Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts · 2017. 9. 16. · dr. Brenda Casteleyn Page 3 2000...

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Wiskunde: functies

20 februari 2021

dr. Brenda Casteleyn

Met dank aan: Atheneum van Veurne

Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 2

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema.

De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.

2. Oefeningen over functies

1997 – Juli Vraag 6

In 1995 voorziet het ministerie van sociale zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in België de komende 15 jaren zal verdubbelen van 200 000 tot 400 000. Hiervoor zullen meer hulpverleners opgeleid moeten worden. In een voorstudie stelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen op: een lineaire groei in model I en een exponentiële groei in model II, in functie van het aantal jaren t na 1995.

Welke van de volgende beweringen is fout?

Voor t=22,5 jaar voorspelt model I, 500 000 bejaarden met psychische problemen.

Voor t=22,5 jaar voorspelt model II, 2 .400 000 bejaarden met psychische problemen.

Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden zijn met psychische problemen dan volgens model I.


1997 – Augustus Vraag 7

Een populatie van dieren groeit exponentieel volgens de formule

N = 100 e0,1t waarbij t in jaren uitgedrukt is; de starttijd is t=0.

Welke van de volgende beweringen is niet juist?

De groeisnelheid neemt lineair toe De groeisnelheid na 10 jaar is 100e De groeisnelheid na 5 jaar is √𝑒 keer zo groot als op t=0. De groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren



Het wijfje van een bepaalde mot legt 60 eitjes. In een jaar kunnen 5 generaties elkaar opvolgen. Onderstel dat 2/3 van de eitjes niet uitkomen en dat 50% van de motten wijfjes zijn. Als elke larve ongeveer 20 mg wol eet, schat de hoeveelheid wol die gedurende één jaar gegeten kan worden door de nakomelingen van 1 wijfje.

44 kg 22 kg 4,4 kg 2,2 kg

2002 - Juli Vraag 6

Als f(x) = x2 – x dan kan men aantonen dat f(x+1) gelijk is aan:

–f(-x) –f(x) f(-x) f(x)


Gegeven f(x) = 5x + 1 (f(x+2)-f(x+1)) / (f(x+1)-f(x)) = 5

Altijd waar Nooit waar Enkel waar als x positief is Niet waar als x rationeel is


Gegeven F(x) = 3x Wat is de waarde van ( ) ( )

( ) + 1/9

3 6 9 12


Gegeven is een rationele functie f(x) =

Als f(x) = 1/2 , hoeveel bedraagt dan de waarde van f(-3x/2)?

-2/11 -5 -7/11


7/10

2010 Vraag 6

Een virus wordt verspreid. Het aantal infecties in functie van de tijd in dagen wordt gegeven als: y(t) = at2 + bt + a

Na 2 dagen zijn er 3 geïnfecteerde mensen, na 3 dagen zijn er 7 zieken. Hoeveel dagen zal het duren vooraleer 31 mensen geïnfecteerd zijn?

4 dagen 5 dagen 6 dagen 7 dagen

2010 Vraag 10

Gegeven is de functie f(x) = 5-x. Hoeveel bedraagt de waarde van de volgende uitdrukking?

f(x + 1). (f(x + 1) − f(x + 2)

f(2x)

10/4 -1/4 5/4 4/125


Als f(x) = en g(x) =- dan is f(g(x)) gelijk aan

− ( )

− ( )

-

-

2016 – Augustus geel Vraag 1.

Als f(x) = e4x-3, wat is dan f(1 – ln (1/x))?

e +

ex4 (ex)4 e - x4

2016 – Augustus geel Vraag 3


Voor een functie f op een interval a,b definieert men haar gemiddelde waarde als GW(f) =

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Beschouw drie functies f1, f2 en f3, op het interval 0,1 gegeven door de voorschriften f1 (x) = x f2 (x) = sin x en f3 = x2

Welke van de volgende uitspraken is correct?

GW(f3) < GW(f2) < GW (f1) GW(f3) < GW(f1) < GW (f2) GW(f2) < GW(f1) < GW (f3) GW(f1) < GW(f2) < GW (f3)

2017 Juli geel Vraag 1

In de volgende figuur worden vier krommen weergegeven.

De grafiek van de functie f met functievoorschrift

f(x) = - ln( )

bestaat uit de unie van de krommen

(a) en (b) (a) en (d) (b) en (c) (c ) en (d)


2017 Augustus geel Vraag 1

In de onderstande figuur zie je de krommen k, l, m en n. Welke kromme is de grafiek van de

functie f met voorschrift f(x) = - 2 ?

k l m n

2020 – Tandarts Vraag 4

De functie f met voorschrift

f(x) = 2x3 + x2 -13x + 6

heeft drie reële nulwaarden, waarvan er één gegeven is, namelijk x = 2. Het verschil in absolute waarden tussen de andere twee nulwaarden is gelijk aan

7/2 5/2 2 3


3. Oplossingen oefeningen

1997 – Juli – Vraag 6

Gegeven: psychische problemen zullen de komende 15 jaren verdubbelen van 200 000 tot 400 000.

Twee modellen op: een lineaire groei in model I en een exponentiële groei in model II, in functie van het aantal jaren t na 1995.

Gevraagd: Welke van de volgende beweringen is fout?

Voor t=22,5 jaar voorspelt model I, 500 000 bejaarden met psychische problemen.

Voor t=22,5 jaar voorspelt model II, 2 .400 000 bejaarden met psychische problemen.



Oplossing:

Model 1 is lineair, dus op de grafiek een rechte. Model 2 is exponentieel, dus een kromme. Uit de tekening blijkt dat voorbij punt t=15 de exponentiële kromme oven de lineaire komt, dus C is juist. Maar in het stuk voor 2015 ligt model 2 (exponentieel) onder model 1, dus D is fout.

Controle mogelijkheden A en B:

Lineair: N = 200 000 + 200 000/15.t (van 1995 tot 2010 is 15 jaar)

Voor t = 22,5 jaar vinden we dan 200 000 + 200 000/15.22,5 = 500 000

Exponentieel: N = 200 000 . 2 t/15

Voor t = 22,5 jaar vinden we 200000.222,5/15 = 200000.21,6 = 400 000.√2

Antwoord D



Gegeven: Een populatie van dieren groeit exponentieel volgens de formule

N = 100 e0,1t waarbij t in jaren uitgedrukt is; de starttijd is t=0.

Gevraagd: Welke van de volgende beweringen is niet juist?

De groeisnelheid neemt lineair toe De groeisnelheid na 10 jaar is 100e De groeisnelheid na 5 jaar is √𝑒 keer zo groot als op t=0. De groeisnelheid is evenredig met het aantal dieren

Oplossing:

Antwoord A is fout vant de populatie groeit exponentieel, dus per definitie neemt de groeisnelheid dan niet lineair toe.

Antwoord A


Gegeven: Het wijfje van een bepaalde mot legt 60 eitjes. In een jaar kunnen 5 generaties elkaar opvolgen. Onderstel dat 2/3 van de eitjes niet uitkomen en dat 50% van de motten wijfjes zijn. Elke larve eet ongeveer 20 mg wol

Gevraagd: hoeveelheid wol die gedurende één jaar gegeten kan worden door de nakomelingen van 1 wijfje.

Oplossing:

In 1 generatie: 1/3 van 60 = 20 nakomelingen, waarvan 10 wijfjes en 10 mannetjes

Generatie 2: voor elk wijfje 20 nakomelingen, waarvan 10 wijfjes, dus 100 wijfjes en 100 mannetjes

Generatie 3: voor elk van de 100 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus 1000 wijfjes en 1000 mannetjes

Generatie 4: voor elk van de 1000 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus 10000 wijfjes en 10000 mannetjes

Generatie 5: voor elk van de 10000 wijfjes 20 nakomelingen, waarvan de helft wijfjes, dus 100 000 wijfjes en 100 000 mannetjes

Er zijn na 5 generaties 100 000 + 10 000 + 1000 + 100 +10 vrouwtjes en evenveel mannetjes,

Dus in het totaal 222220 motten, die elk 20 mg eten = 4 444 400 mg of 4,44 kg


Antwoord C

2002-Juli Vraag 6

Gegeven: Als f(x) = x2 – x

Gevraagd: f(x+1) ? welke van de opgegeven waarden?

Oplossing:

We vullen voor x de waarde (x+1) in in de gegeven functie:

f(x+1) = (x+1)²−(x+1)

= (x²+2x+1)−(x−1)=

= x² + x

Vul nu de waarden van elke antwoordmogelijkheid in f(x) en kijk of dat gelijk wordt aan x2 + x

-f(-x) = - ((-x)2 - (-x) = -x +x = 0 (niet gelijk aan x2+x, dus fout)

-f(x) = -((x2) - (x)) = -x2 + x (niet gelijk aan x2+x,, dus ook fout)

f(-x) = (−x)² -(−x) = x2 + x

Antwoord C


Gegeven f(x) = 5x + 1

Gevraagd: (f(x+2)-f(x+1)) / (f(x+1)-f(x)) = 5 ?

Oplossing:

(5 (x+2)+1) – (5(x+1)+1))/ (5(x+1)+1) – (5x+1))

(5x.52 +1)- (5x.5+1) / (5x.5 +1)-(5x+1)

(25.5x +1)- (5.5x+1) / (5x.5 +1)-(5x+1)

20.5x / 4.5x = 20/4 = 5

Antwoord A


Gegeven F(x) = 3x

Gevraagd: de waarde van ( ) ( )

( ) + 1/9


Oplossing:

( ) ( )

( )+ 1/9

+1/9

32 - 3-2 + 1/9

9 – 1/9 +1/9 = 9

Antwoord C


Gegeven: rationele functie f(x) =

f(x) = 1/2 ,

Gevraagd: f(-3x/2)?

Oplossing: f(x) = ½ = x = 3

f(-3x/2) = . = -2/11

Antwoord A


Gegeven: aantal infecties in functie van de tijd in dagen: y(t) = at2 + bt + a

Na 2 dagen zijn er 3 geïnfecteerde mensen, na 3 dagen zijn er 7 zieken.

Gevraagd: Hoeveel dagen zal het duren vooraleer 31 mensen geïnfecteerd zijn?

Oplossing:

Vul de vergelijking in voor 2 en 3 dagen en los het stelsel op:

y(t) = a22 + b2 + a = 3

y(t) = a32 + b3 + a = 7

b = -1 en a = 1

Voor 31 mensen geldt dan volgende vergelijking:

t2 – t + 1 = 31

t2 – t = 30


Enkel voor waarde t=6 klopt deze vergelijking

Antwoord C

2010 Vraag 10

Gegeven: f(x) = 5-x.

Gevraagd: de waarde van de ( ).( ( ) ( )

( )

5—(x+1). (5-(x+1) – 5-(x+2))/5-2x

5—x-1. (5-x-1) – 5-x-2))/5-2x

(5-2x-2 – 5-2x-3)/ 5-2x

5-2 – 5-3 = 1/25 - 1/125 = 5/125 -1/125 = 4/125

Antwoord D


Gegeven: f(x) = en g(x) =-

Gevraagd: f(g(x)) ?

Oplossing

F(g(x)) =

= : ( )

= .( )

=

= -

Antwoord C

2016 – Augustus Geel Vraag 1.

Gegeven: f(x) = e4x-3,

Gevraagd: f(1 – ln (1/x))?


Oplossing

𝑒 ( ) = 𝑒 = 𝑒 = = = = e.x4

Antwoord B

2016 – Augustus Geel Vraag 3

Gegeven: Voor een functie f op een interval a,b definieert men haar gemiddelde waarde

als GW(f) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Beschouw drie functies f1, f2 en f3, op het interval 0,1 gegeven door de voorschriften f1 (x) = x f2 (x) = sin x en f3 = x2

Welke van de volgende uitspraken is correct?

GW(f3) < GW(f2) < GW (f1) GW(f3) < GW(f1) < GW (f2) GW(f2) < GW(f1) < GW (f3) GW(f1) < GW(f2) < GW (f3)

Oplossing:

GW (f1) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 1. = 1. ½ = 1/2

GW (f2)= ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 1. [−𝑐𝑜𝑠] =1( -cos 1 + cos 0) = -0,54 +1 = 0,46

GW (f3)= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 1. = 1/3

GW(f3) < GW(f2) < GW (f1)

Antwoord A

2017 Juli geel Vraag 1

In de volgende figuur worden vier krommen weergegeven.


De grafiek van de functie f met functievoorschrift bestaat uit de unie van de krommen ?

f(x) = - ln( )

Oplossing:

f(x) = - ln( ) = ln (x2) = 2 lnx

2 lnx = 0 voor x = 1 of x =-1

ln e = 1 2 ln e =2

We vinden dus volgende punten (1,0), (-1,0), (e,2), (-e,2)

krommen (c) en (d) voldoen

Antwoord D

2017 Augustus geel Vraag 1

In de onderstande figuur zie je de krommen k, l, m en n. Welke kromme is de grafiek van de

functie f met voorschrift f(x) = - 2 ?


Oplossing:

Enkele functiewaarden:

(0,-1) enkel m of n voldoen

(1,-1/2) m voldoet

Antwoord C

2020 – Tandarts Vraag 4

De functie f met voorschrift

f(x) = 2x3 + x2 -13x + 6

heeft drie reële nulwaarden, waarvan er één gegeven is, namelijk x = 2. Het verschil in absolute waarden tussen de andere twee nulwaarden is gelijk aan

Oplossing:

Met regel van Horner

2 1 -13 6

2

2 5 -3 0

(x-2)(2x2 + 5x -3)

D = 25 + 24 = 49


x1 = (-5-7)/4 = -12/4

x2 = (-5+7)/4 = 2/4

Verschil tussen nulpunten in absolute waarde: verschil tussen nulpunten =

(0.5-(-3))= 7/2 en |7/2| = 7/2.

Antwoord A

Noot: wie 5/2 als antwoord vond, heeft verschil gemaakt van de absolute waarden gemaakt in plaats van het verschil in absolute waarde.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts · 2017. 9. 16. · dr. Brenda Casteleyn Page 3 2000...

Documents

Transcript of Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts · 2017. 9. 16. · dr. Brenda Casteleyn Page 3 2000...