Nieuwe Wiskrant 30-1/oktober 2010 13

InleidingDe verstekverbinding is een bekende manier om tweebalken met dezelfde dwarsdoorsnede onder een hoekmet elkaar te verbinden. Bij een reguliere verstekver-binding worden beide balken afgekant onder de halvehoek van de verbindingshoek. In een reguliere ver-stekverbinding ligt het zaagvlak in het bissectricevlakvan de verbindingshoek, in tegenstelling tot dwarsver-stek [1]. In een correct uitgevoerde verstekverbindinglopen de ribben keurig door over de verbinding. Watde rotatiehoek van de eerste balk over zijn hartlijn ookis, en wat de beoogde verstekhoek ook is: het is altijdmogelijk om de lengterotatie van een tweede balk zote kiezen dat er een correcte verstekverbinding ont-staat. Er zijn dus twee onafhankelijke, continue vrij-heidsgraden. Zie figuur 1, en op website [2] kunt u erzelf mee experimenteren. De vorm van het zaagvlakvarieert dus ook.

fig. 1 Reguliere verstekverbindingen, met de twee vrijheids-graden: verbindings- en rotatiehoek.

Verstekverbindingen kunnen worden gebruikt om‘draadfiguren’ te maken met balken. Het kan een wareuitdaging zijn om zo’n figuur gesloten te krijgen: het isniet vanzelfsprekend dat de ribben in de laatste ver-binding netjes doorlopen [1]. In dit artikel komt eenandere uitdaging aan bod: meer dan twee balken

samen laten komen in één verbinding. Het doel iswederom om de ribben van de balken netjes te latendoorlopen over de verbinding. We noemen ze vertakteverstekverbindingen. Met behulp van deze verbindingenkunnen complexe objecten gemaakt worden, zoalsveelvlakken en bomen. In de volgende paragraafwordt ingegaan op de algemene principes van regu-liere vertakte verstekverbindingen, in het bijzonderverbindingen met drie identieke dwarsdoorsnedes.Dan gaan we in op de onmogelijke kubus, die achtdrievoudige verstekverbindingen bevat. Vervolgenseen object met vijf verbindingen waarin vier balkensamenkomen en tenslotte enkele conclusies.

Algemene principes voor drievoudige verstekverbindingenLaten we eerst de reguliere drievoudige verstekverbin-gen bekijken, waarin drie balken met identieke dwars-doorsnede samenkomen. Drie gegeven lijnsegmentenA, B en C ontmoeten elkaar in een punt onder eenvaste hoek. We gaan de richting van de lijnen beschrij-ven met hun lengte- en breedtegraad. In de eerstevoorbeelden kiezen we voor segment A: lengte en

breedte, op de evenaar dus, voor segment B: westerlengte en breedte en voor segment C:

westerlengte en noorderbreedte. Als gevolghebben we AB = , AC BC . Dezelijnsegmenten vormen de hartlijnen van drie balkenmet vierkante dwarsdoorsnede die samen komen ineen vertakte verstekverbinding. Om de ribben naad-loos in elkaar over te laten lopen, moet ieder tweetalbalken een correcte verstekverbinding hebben, als dederde balk even buiten beschouwing gelaten wordt.Er zijn dus drie zulke paren. We beginnen met eenvierkante balk die lijnsegmant A als hartlijn heeft.Deze balk kan nog steeds vrij geroteerd worden, maariedere rotatie van balk A dwingt ook een rotatie van debalk rond lijnsegment B af, en ook van de balk rond C.Maar de rotatie van balk B veroorzaakt weer eenandere rotatie op balk C. Er kunnen zo dus twee strij-

00 90

045 61

90 70

Vertakte verstekverbindingen: principes en wiskunst

Een verstekverbinding koppelt twee balken met identieke dwarsdoorsnede zodanig datde ribben van de balken netjes over de verbinding heen doorlopen. Als er meer dan tweebalken samenkomen in een punt, spreken we over een vertakte verstekverbinding. TomVerhoeff en Koos Verhoeff gaan in op deze verbindingen. Tom gaf onlangs een voor-dracht over dit onderwerp op de Bridgesconferentie (Pécs, Hongarije); op NWD 2010sprak hij over de tweewegverbindingen.

14 Vertakte verstekverbindingen: principes en wiskunst

dige eisen op balk C ontstaan, hetgeen te zien is infiguur 2.

fig. 2 Tweevoudige verstekverbindingen afgeleid uit een drievou-dige verbinding: A beïnvloedt B, A beïnvloedt C, B beïnvloedt C.

Deze tegenstrijdigheid is zelfs duidelijker te zien wan-neer we de twee rotaties van balk C, afgedwongendoor de rotaties van balk A en balk B over elkaar leg-gen. Zie figuur 3.

fig. 3 De rotaties van balk C onder invloed van de beide twee-voudige verstekverbindingen. Het past niet...

fig. 4 De twee manieren waarop de verstekverbinding klopt.

Als we nu balk A met de klok mee roteren, dan veroor-zaakt dit een rotatie van balk B en balk C tegen de klokin. Maar de rotatie van balk B zelf veroorzaakt juistweer een rotatie met de klok mee op balk C. Dus doorbalk A op een geschikte manier te roteren moet hetmogelijk zijn het verschil op te heffen: de effecten vanhet roteren van A en B op C zijn tegengesteld en kun-nen elkaar dus opheffen. Het blijkt dat er twee wezen-lijk verschillende manieren zijn waarop deze

verstekverbinding klopt. In figuur 4 zien we links demogelijkheid waarbij drie ribben van de balkensamenkomen in één punt (er is nog zo’n punt, maardat is niet zichtbaar). In de rechter afbeelding heb jezo’n punt niet: de ribben van de balken komen paars-gewijs samen. Er is een punt (twee zelfs) waar drie ran-den samenkomen, maar dat zijn de randen van dezaagvlakken.

Samengevat, wanneer drie balken samenkomen in eenpunt onder een bepaalde hoek, dan lukt dat alleenmaar bij een bepaald aantal rotaties. Het is niet moge-lijk om onafhankelijk van elkaar de verstekhoek en derotatiehoek te kiezen: de een legt restricties op aan deander. Of, als we beginnen met een tweevoudige ver-stekverbinding van balken A en B, dan is er maar eenbeperkt aantal mogelijkheden voor de richting van eenderde balk C om met A en B een drievoudige verstek-verbinding te vormen.

In figuur 5 zijn de balken A en B in het horizontalevlak onder in verstek verbonden. Er zijn nu vijfmogelijkheden om met een derde balk C een verstek-verbinding te maken, als we ons tenminste beperkentot de bovenste helft van het binnenbissectricevlakvan A en B.

fig. 5 De vijf mogelijke manieren waarop balk C met een lood-rechte verstekverbinding van A en B een verstekverbinding kan vormen.

In figuur 6 is te zien in welke richtingen balk C op hetpaar A en B geplaatst kan worden zodat er een correctedrievoudige verstekverbinding ontstaat, zonder derestrictie dat C in het bissectrice vlak ligt. De eindpun-ten van balk C liggen op een bol. De dikke lijnen gevende richtingen aan waar het rotatieverschil (het verschilin rotaties van de doorsnede van balk C die door A enB opgelegd worden) een veelvoud van is. Op deevenaaar bedraagt dit verschil in rotaties . Er ont-staat een singulariteit wanneer de richting van Cdezelfde is als die van A of B. Uit deze figuur blijkt datde kromme gevormd door de eindpunten van C, dieeen correcte vertakte verstekverbinding mogelijk

90

900

Nieuwe Wiskrant 30-1/oktober 2010 15

maken, in vier afzonderlijke vlakken liggen (een daar-van is het horizontale vlak dat twee ‘vertakkingen’bevat). Al deze vlakken bevatten ook de eindpuntenvan de balken A en B. We hebben dit nog niet bewezenen poneren het hier als een vermoeden.[Het vermoe-den is onlangs door de auteur bewezen. (red.)]

fig. 6 Grafiek van de rotatieverschillen.

In het algemeen klopt de drievoudige verstekverbin-ding wanneer het rotatieverschil een symmetrie is vande dwarsdoorsnede van de balk. Bij een vierkante balkkomt dat overeen met veelvouden van . Voor bal-ken met een gelijkzijdige driehoek als dwarsdoorsnedemoet het rotatieverschil veelvoud van bedragen.Als de dwarsdoorsnede van de balk geen spiegelsym-metrieën heeft, dan is het niet mogelijk om een cor-recte drievoudige verstekverbinding te realiseren: debalken A en B dwingen doorsneden van balk C af dieelkaars spiegelbeeld zijn, zie figuur 7

fig. 7 Een drievoudige verstekverbinding kan niet als de dwarsdoorsnede van de balk niet spiegelsymmetrisch is.

Een alternatief om dit allemaal te begrijpen is de voor-stelling van een gesloten lineaire structuur die het padC, O, A, O, B, O, C volgt, waarin O het centrale ontmoe-tingspunt is, en A, B en C de eindpunten van de balkenA, B en C. In A, B en C stellen we ons gewone vouwver-bindingen voor (Zie [1]) onder een hoek van ; in

O bevinden zich de drie reguliere (tweevoudige) ver-stekverbindingen. Deze gesloten structuur met zes bal-ken is zelf doorsnijdend, sterker nog, zowel op OA alsop OB vallen twee balken samen. De twee balken opOC vallen niet noodzakelijkerwijs samen: dat hangt afvan het verschil in rotatie van hun doorsnede. In [1] isdit de totale torsie langs het pad genoemd. Merk op dathet aantal vouwverbindingen drie is, een oneven aan-tal. Volgens het Odd Fold Matching Theorem [1] betekentdat dat er twee rotaties mogelijk zijn die een passendeverbinding bij C opleveren. Deze twee verbindingenkomen overeen met de eerder genoemde mogelijkedrievoudige verstekverbindingen.

De onmogelijke kuboïdeIn de lithografie van Eschers Belvedere zit naast de trap-pen een man die een onmogelijke kuboïde vasthoudtterwijl hij naar een tekening van een Neckerkubuskijkt.

fig. 8 Fragment van Escher’s Belvedere.

Dit inspireerde Dick Baas Becking een ontwerp temaken van een object dat er, gezien vanuit het juistegezichtspunt, uitziet als zo’n kuboïde, zonder toe-vlucht te hoeven nemen tot een open structuur. Destichting Ars en Mathesis gaf Popke Bakker, een kunste-naar die bekend staat om zijn gebruik van verstekver-bindingen, de opdracht om het ontwerp van Dick uitte voeren.

Het ontwerp bevat acht drievoudige verstekverbin-dingen. Het bleek verre van vanzelfsprekend te zijnhoe de details uit Dicks oorspronkelijke idee af testemmen waren zodat alle verstekverbindingen netjespasten. De tweede auteur, Koos Verhoeff, werd omhulp gevraagd om de klus te klaren. Hij begon mettwee in elkaar grijpende vierkanten die met vier dwars-balken verbonden werden. Maar dit leverde nog veelmogelijkheden op. Voor iedere configuratie kan detotale hoeveelheid afwijkingen berekend worden. Ver-volgens schreef hij een computerprogramma dat naareen geschikte configuratie zoekt, door stap voor stapalle parameters zo aan te passen dat de totale afwijkingminimaal werd. Na enig experimenteren leverde het

90

120

180

16 Vertakte verstekverbindingen: principes en wiskunst

algorithme, tot grote verrassing, een uitvoerbareoplossing, zie figuur 9..

fig. 9 Buizenconstructie van de onmogelijke kuboïde.

Het definitieve ontwerp, zie figuur 10, bestaat uittwaalf vierkante balken verbonden door acht regulieredrievoudige verstekverbindingen. Zes van die verbin-dingen zijn van het type zoals links te zien is in figuur4, de andere twee zijn van het rechtertype. (Deze tweezijn duidelijk herkenbaar op de foto van figuur 10.)Het ontwerp is als volgt helder te karakteriseren, ziede onderste tekening in figuur 9. De zes ‘ribben’ vande ‘kuboïde’ worden gevormd door twee congruentevierkanten ( en , met hoeken van

), twee congruente parallellogrammen (en met en

) en twee conguente niet-vlakke vierhoeken ( en met

en ).Voor de verhouding tussen de verschillende lengtesgeldt: . De balken zijn gero-teerd over . Aanvankelijkwaren we verbaasd dat dit ontwerp uit zulke ‘mooie’hoeken bestaat. Achteraf gezien kan wel begrepenworden waarom dit ontwerp werkt, ook zonder toe-vlucht te nemen tot computeralgorithmen. Sterkernog, er is zelfs nog een andere oplossing, namelijk

wanneer de balken over geroteerd worden. Alledrievoudige verstekverbindingen veranderen dan vantype. Popke Bakker heeft het oorspronkelijke ontwerpin verschillende materialen en afmetingen uitgevoerd.Een grote roestvrijstalen versie is te zien op de Kunst-route van de Erasmus Universiteit te Rotterdam.[3]

fig. 10 De onmogelijke kuboïde (Dick Baas Becking, Popke Bak-ker, Koos Verhoeff, 1988, Erasmus Universiteit Rotterdam).

Verstekverbindingen met meer dan drie takkenAls er vier balken met gelijke dwarsdoorsnede in eenpunt samenkomen, dan wordt het nog ingewikkelder.In dit geval moeten er maar liefst zes paren van twee-voudige verbindingen beschouwd worden. Als alterna-tief kan ook geprobeerd worden om aan een bestaandedrievoudige verstekverbinding een vierde tak toe tevoegen. Deze vierde balk moet dan een passende ver-stekverbinding maken met de overige drie balken. Inhet algemeen lukt dit niet door de balken op geschiktemanier te roteren, zoals dat wel bij de drievoudige ver-bindingen ging. De keuze van de dwarsdoorsnede ende verbindingshoeken komt nogal ‘nauw’.

In [4] staat een afbeelding van een visvormig toe-standsdiagram, zie figuur 11. Deze graaf beschrijft demogelijke gedragingen van een vertragingsongevoeligsysteem met twee ingangspoorten a en b en twee uit-gangspoorten d en e. Het systeem begint in de centraletoestand met label 0 en iedere pijl komt overeen meteen gebeurtenis op de bijbehorende poort. De tweeknopen met label 1 stellen dezelfde toestand voor.

AADD BBCC90 AABB

CCDD BAA ABB 45= =

AAB BBA 135= =

ABCD ABCDABC CDA 60= = DAB BCD 90= =

AB:BC 1:1+1/ 2 7:12=

arc 2 1– tan 22 5=

45

Nieuwe Wiskrant 30-1/oktober 2010 17

fig. 11 ‘Vis’ toestandsgraaf.

fig. 12 Object met viervoudige verstekverbindingen.

De tweede auteur heeft van deze graaf een 3D-voorstel-ling gemaakt zodat de pijlen elkaar niet snijden. Infiguur 12 is dit ontwerp te zien vanuit verschillende

kijkhoeken en figuur 13 toont een tweetal houten uit-voeringen. Al deze sculpturen bestaan uit zestien bal-ken met een gelijkzijdige driehoek als dwarsdoorsnede.Ze bezitten de symmetrieën van de symmmetriegroep

, hetgeen ook de symmetriegroep van het tetraëderis. Op zes plaatsen komen twee balken samen en er zijnvijf reguliere viervoudige verstekverbingen. Dit ont-werp kan niet met vierkante balken gemaakt worden.

fig. 13 Vissculpturen (Koos Verhoeff 1994).

ConclusiesWe hebben de voorwaarden gekarakteriseerd waaron-der vertakte verstekverbindingen met meerdere bal-ken die dezelfde dwarsdoorsnede hebben,gerealiseerd kunnen worden. In tegenstelling tot detweevoudige verstekverbindingen leggen de vertakteverbindingen beperkingen op aan de combinaties vanrotaties over de hartlijn van de balken en aan de ver-

S4

18 Vertakte verstekverbindingen: principes en wiskunst

stekhoek. Deze vertakte verstekverbindingen kunnenin kunstwerken toegepast worden, zoals is geïllu-streerd. Tot slot, de fractaalbomen, ontworpen doorKoos Verhoeff (zoals te zien op de expositie op deNWD), bevatten niet de drievoudige verstekverbindin-gen zoals die in dit artikel beschreven zijn. In dezefractaalbomen bevatten de zaagvlakken niet het puntwaar de hartlijnen van de takken samenkomen. Het ismeer zo dat de dikke tak op te vatten is als een aantaldunnere paralelle balken, die ieder verbonden zijn meteen dunnere tak door een tweevoudige, al dan nietscheve, verstekverbinding. Dit wordt in een volgendartikel beschreven.

fig. 14 fractaalboom (ontwerp Koos Verhoeff, uitvoering Hans de Koning) zoals die op de NWD te zien was.

Tom Verhoeff, Faculteit Wiskunde en Informatica,Technische Universiteit Eindhoven

Koos Verhoeff, Valkenswaard

Noten[1] Verhoeff, T., & Verhoeff, K. (2008). The Mathe-

matics of Mitering and Its Artful Application,Bridges Leeuwarden: Mathematical Connections in Art,Music and Science, Proceedings of the Eleventh AnnualBridges Conference, in The Netherlands, pp. 225-234,July 2008(Te downloaden van http://www.win.tue.nl/~wstomv/publications/mathmitering-final.pdf)

[2] Verhoeff, T. Miter Joint and Fold Joint. Zie The wol-fram Demonstration Project, http://demonstrati-ons.wolfram.com/MiterJointAndFoldJoint/(laatst bezocht: 7 september 2010)

[3] Erasmus Universiteit Rotterdam. Kunstroute http://www.eur.nl/kunstzaken/kunstroute/(laatst bezocht: 9 september 2010)

[4] Verhoeff, T. (1994). A Theory of Delay-Insensitive Sy-stems. Dissertatie, Technische Universiteit Eindho-ven, Faculteit wiskunde en informatica. ISBN 90-386-0353-3

Dit artikel is een vertaling en bewerking van BranchingMiter Joints: Principles and Artwork dat verscheen in deproceedings van Bridges 2010: Mathematics, Music, Art,Architecture and Culture. July 2010, Pécs, Hongarije.

Vertaling: Tom Goris en Tom Verhoeff

Foto’s: Koos VerhoeffIllustraties: Tom Verhoeff