Una descripción de lageometría fractal

Gilberto Arenas Dıaz Sonia M. Sabogal Pedrazagarenasd@uis.edu.co ssabogal@uis.edu.co

Profesores Universidad Industrial de Santander

XXII Coloquio Distrital de Matem aticas y Estadıstica

Universidad Nacional de Colombiadiciembre 4 al 7 de 2006

Bogota, D.C.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 1/10

Espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función

d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d (x, y)

(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 2/10

Espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función

d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d (x, y)

(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:

M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 2/10

Espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función

d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d (x, y)

(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:

M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 2/10

Espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función

d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d (x, y)

(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:

M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .

Fácilmente se verifica que, no importa cuáles sean lospuntos x, y, z ∈ M , se cumple d (x, y) ≥ 0,d (x, y) = d (y, x) y d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 2/10

Espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función

d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d (x, y)

(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:

M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .

Fácilmente se verifica que, no importa cuáles sean lospuntos x, y, z ∈ M , se cumple d (x, y) ≥ 0,d (x, y) = d (y, x) y d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).

x

z

y

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 2/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L X L

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦ X L◦

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦

◦

X L◦

◦

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦

◦◦

X L◦

◦◦

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦

◦◦ ◦

X L◦

◦◦ ◦

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦

◦◦ ◦ ◦

X L◦

◦◦ ◦◦

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es convergente Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy Sn converge en L

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L

1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L

1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.

1/n es de Cauchy pero no converge en (0, 1).

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Completez

(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.

Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy

X L◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦

X L◦

◦◦ ◦◦◦•

Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L

1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.

1/n es de Cauchy pero no converge en (0, 1).

(X, d) es un espacio métrico completo si todasucesión de Cauchy es convergente

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 3/10

Contracciones

Una función f : X −→ X se dice que esuna contracción si existe r ∈ [0, 1) tal qued(f(x), f(y)) ≤ r d(x, y) para todo x, y ∈ X.

•x

•y

f

•f(x)

•f(y)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 4/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

•x

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

•x

•f(x)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

•x

•f(x) •

f(f(x))

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.

Si X es completo la sucesión Fn

converge a p.

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.

Si X es completo la sucesión Fn

converge a p.

f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.

Si X es completo la sucesión Fn

converge a p.

f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p

p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.

Si X es completo la sucesión Fn

converge a p.

f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p

p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

••

•••

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

Teorema del punto fijo

Si X es completo toda contracción tiene un único punto fijo.

Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión

Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}

es de Cauchy.

Si X es completo la sucesión Fn

converge a p.

f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p

p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.

•x

•f(x) •

f(f(x))

•f◦3(x)

••••p

••

•••

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

El hiperespacio H(X)

Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A

contiene una subsucesión convergente en A.

H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10

Distancia para H(X)

Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10

Distancia para H(X)

Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:

d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}

aA

B

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10

Distancia para H(X)

Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:

d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}

aA

Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}

•

A

B

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10

Distancia para H(X)

Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:

d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}

aA

Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}

•

A

B

h(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}

A

B

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10

Distancia para H(X)

Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:

d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}

aA

Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}

•

A

B

h(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}

A

BSi (X, d) es completo

(H(X),h) forma unespacio métrico completo.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

=⇒W es contracción en H(X)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

⇑ H(X) es completo

=⇒W es contracción en H(X)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

W tiene un punto fijo A ∈ H(X)

⇑ H(X) es completo

=⇒W es contracción en H(X)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción

∃!A ⊆ X, A compacto,

A 6= ∅ tal que A =N⋃

i=1

ωi(A)

A : atractor del SIF

⇑

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

W tiene un punto fijo A ∈ H(X)

⇑ H(X) es completo

=⇒W es contracción en H(X)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Sistemas iterativos de funciones

{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X

SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción ⇒

∃!A ⊆ X, A compacto,

A 6= ∅ tal que A =N⋃

i=1

ωi(A)

A : atractor del SIF

⇑

W : H(X) −→ H(X)

K 7−→ W (K) =

N⋃

i=1

ωi(K)

W tiene un punto fijo A ∈ H(X)

⇑ H(X) es completo

=⇒W es contracción en H(X)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

W (K) W (W (K))

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

W (K) W (W (K))

W (W (W (K)))

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

W (K) W (W (K))

W (W (W (K)))W ◦4(K)

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Ejemplo

{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi

(

xy

)

=

(

a bc d

) (

xy

)

+

(

ef

)

W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)

i a b c d e f

1 0.5 0 0 0.5 0 0

2 0.5 0 0 0.5 0.5 0

3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

1

1

K

W (K) W (W (K))

W (W (W (K)))W ◦4(K)

Triángulo de Sierpinski

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10

Referencias

[1] M. Barnsley. Fractals Everywhere, Academic Press, Inc.

San Diego, 1988.

[2] B. Mandelbrot. Los Objetos Fractales. Forma, azar y

dimensión. Tusquets Editores, S.A. Barcelona, 1993.

[3] B. Mandelbrot. The fractal Geometry of Nature. Freeman

San Francisco, 1992.

[4] G. N. Rubiano. Fractales para profanos. Universidad

Nacional de Colombia, Editorial Unibiblos, Bogotá, 2002.

Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 10/10