Tweedegraads vergelijkingen oplossen

Een korte en onvolledige samenvatting van paragraaf 1.3 van hoofdstuk 1 HAVO 4 wiskunde B

© 2011 W.v.Ravenstein

Wat is een tweedegraads vergelijking?

• Dat is een vergelijking met termen en getallen waarbij de hoogste macht van ‘x’ (de variabele) gelijk is aan twee.

• Voorbeelden: x² = 3x + 4 x² = 2 (4x - 3)² = (x + 4)² + 12x + 19 9x(x - 1) = 4x - 5

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 4

• Oplossen?

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 4

• Oplossen?

• x=2 of x=-2

• TWEE OPLOSSINGEN DUS!

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 2

• Oplossen?

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 2

• Oplossen?

• x=− 2 of x= 2

• TWEE OPLOSSINGEN DUS!

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 0

• Oplossen?

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = 0

• Oplossen?

• x=0

• Één oplossing dus!

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = -3

• Oplossen?

Voorbeeld 1

• Het meest eenvoudige voorbeeld:

• x² = -3

• Oplossen?

• De oplossing is dat er geen oplossing is…

• Géén oplossing dus!

Conclusie

Bij een tweedegraads vergelijking kan je dus 2, 1 of 0 oplossingen krijgen.

Dat geldt voor alle tweedegraads vergelijkingen.

Dat je ‘t maar weet…

Nu de rest nog…

Er volgen nu 8 voorbeelden… de

vraag is steeds “hoe pak je dat aan?”

Voorbeeld 1

• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 1

• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0

• Oplossen? Hoe?

• Ontbinden in factoren!

• Product-som-methode…

• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0

• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2

Waarom werkt dat?

• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0

• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0

• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2

Waarom werkt dat?

• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0

• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0

• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2

• Een soort van hoofdregel:

Als a · b = 0 dan is a = 0 of b = 0.

Voorbeeld 2

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 2

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0

• Oplossen? Hoe?

• Gebruik de hoofdregel…

• 3𝑥 + 2 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0

• 3𝑥 = −2 ∨ 𝑥 =7

𝑥 = −2

3∨ 𝑥 = 7

Voorbeeld 3

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 3

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8

• Oplossen? Hoe?

• De hoofdregel gaat nu niet werken!

• Het moet wel NUL zijn… en niet 8.

• Haakjes wegwerken, op nul herleiden en verder oplossen…

Voorbeeld 4

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8

• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8

• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8

• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0

• Maar wat nu?

Voorbeeld 4

• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8

• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8

• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8

• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0

• Maar wat nu?

• Met de abc-formule zou ‘t kunnen… Maar dat gaan we nu niet doen

Voorbeeld 5

• 𝑥² + 4𝑥 = 0

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 5

• 𝑥² + 4𝑥 = 0

• Oplossen? Hoe?

• Ontbinden in factoren!

• 𝑥 𝑥 + 4 = 0

• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 + 4 = 0

• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −4

Voorbeeld 6

• 𝑥² + 4 = 20

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 6

• 𝑥² + 4 = 20

• Oplossen? Hoe?

• Lijkt toch wel erg veel op het eenvoudigste voorbeeld van net…

• 𝑥² = 16

• 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 4

Voorbeeld 7

• 𝑥² − 8𝑥 = 12

• Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 7

• 𝑥² − 8𝑥 = 12

• Oplossen? Hoe?

• Eerst op nul herleiden…

• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0

• Maar dan?

Voorbeeld 7

• 𝑥² − 8𝑥 = 12

• Oplossen? Hoe?

• Eerst op nul herleiden…

• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0

• Maar dan?

• Ontbinden in factoren gaat niet!

Voorbeeld 8

• 𝑥² − 8𝑥 = 12

• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0

• Ontbinden gaat niet? Wat dan?

Voorbeeld 8

• 𝑥² − 8𝑥 = 12

• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0

• Ontbinden gaat niet? Wat dan?

• De ABC-formule!

• 𝑎 = 1, 𝑏 = −8 𝑒𝑛 𝑐 = −12

• 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = −8 2 − 4 · 1 · −12 = 112

• 𝑥 =−𝑏± 𝐷

2𝑎=

−−8± 112

2·1=

8±4 7

2

• 𝑥 = 4 − 2 7 ∨ 𝑥 = 4 + 2 7

Tot slot - overzicht

• Ontbinden in factoren

• Verschillende typen tweedegraads vergelijkingen

• De abc-formule

E I N D E

"Inside every cynical person, there is a disappointed idealist." George Carlin