Tres Momentos y Hardy Cross

5/19/2018 Tres Momentos y Hardy Cross

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METODO DE LOS TRES MOMENTOS

(ECUACION DE CLAPEYRON)


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VIG S CONTINU S

Cuando se trabajan con vigas con ms de un tramo, las reacciones no pueden sercalculadas estticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los TresMomentos, el cual puede ser utilizado tambin para resolver vigas de un solo tramo. Esta

ecuacin para una viga continua de tres apoyos puede ser expresada de la siguientemanera:

M1L1+ 2M2(L1+ L2) + M3L2+ (6A1a1)/L1+ (6A2b2)/L2= 0

Dnde:

M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2A1, A2 : rea del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1 .

b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.


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En este caso tendramos 3 ecuaciones con 5 incgnitas (M1, M2, M3, M4y M5).Generalizando, siempre vamos a tener dos incgnitas ms que las ecuaciones de TresMomentos que vamos a construir.

Si se va a trabajar con ms de dos tramos, deben escribirse una ecuacin de TresMomentos por cada par de tramos consecutivos.

Por ejemplo:

Tramo 12 : M1L1+ 2M2(L1+ L2) + M3L2+ (6A1a1)/L1+ (6A2b2)/L2= 0

Tramo 23 : M2L2+ 2M3(L2+ L3) + M4L3+ (6A2a2)/L2+ (6A3b3)/L3= 0

Tramo 3 - 4 : M3L3+ 2M4(L3+ L4) + M5L4+ (6A3a3)/L3+ (6A4b4)/L4= 0


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Pero los momentos en los extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientescriterios:

1 Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo ser igual a cero. Para eldiagrama de arriba, M1= 0 y M5= 0.

2 Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuacin adicional de TresMomentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero.Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado,podramos escribir la siguiente ecuacin de Tres Momentos, en donde todos lostrminos con subndice cero valen cero:

M4L4+ 2M5(L4+ L0) + M0L0+ (6A4a4)/L4+ (6A0b0)/L0= 0

M4L4+ 2M5L4+ (6A4a4)/L4= 0

O sea :


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3 Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguir valiendo cero.Adems, el momento siguiente al de dicho extremo ser igual a la suma de

los productos de las cargas por su brazo de palanca a este ltimo apoyo.

M1= 0 y M2= PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fcil obtener los momentosflectores en cada apoyo.


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Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando lasiguiente frmula, para cada tramo:

R1 = (M2 - M1) / L1

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman.
http://bp1.blogger.com/_fRCBBy3Lgwc/SJFYX6NX3JI/AAAAAAAAAJs/USFg_RyQU9Y/s1600-h/R1.jpg


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R5 = (M4-M5) / L4

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier nmerode apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionante en 3 apoyos entres y con las cargas que se encuentran en la viga.

Por ejemplo:

R1 = (M2 - M1) / L1

R2 = (M1 - M2) / L1+ (M3 - M2) / L2

R3 = (M2-M3) / L2+ (M4 - M3) / L3

R4 = (M3-M4) / L3+ (M5 - M4) / L4


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EL METODO POR PASOS

Separar la viga en tramos tomndolos de dos en dos.

Construir el diagrama del cortante y momento flector , calculando y ubicando lasreas y sus respectivos centroides

Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la esttica ;calculando y ubicando las reacciones de los apoyos .

Aplicar la ecuacin de los tres momentos en los tramos , de dos en dos,obteniendo un sistema de ecuaciones con dos incgnitas por cada tramo;sustituir y resolver , considerando las condiciones de borde, donde losmomentos son cero.

Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de fuerza ,

calculando las fuerzas en los tramos con os valores encontrados para obtener lasreacciones reales de los apoyos.( Opcional).

Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura.


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EN GENERAL

PARA EL CALCULO DE MOMENTOS Y CORTANTES EN UNA VIGA CONTINUA SE TIENE QUE:


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Caso 01: Carga Puntual

Caso 02: Carga Uniformemente repartida

= 23

= 12 ( )

=13 (2)

=1

3( + )


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Aplicaciones:

Obtener el diagrama de momento flexionante y fuerza cortante de la viga continua de la figura.(Considere EIconstante para toda la viga)

SOLUCION

Primero, se obtiene el D.M.F. De cada tramo de la viga, como si cada tramo fuera una viga simplementeapoyada , con las cargas aplicadas en la viga continua ; este diagrama se corregir con el diagrama de losmomentos flexionantes que aparezcan en los apoyos.


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Tramo 1-2-3

1 Aplicacin del teorema : Tramo 1 2 y 23:

+

+

+

=

+ + + = ()()

(.)(.)

+ + =. ()


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Tramo 2-3-4

2 Aplicacin del teorema : Tramo 2 - 3 y 3 - 4:

+

+

+

=

+ + + = (.)(.)

()(.)

+ + =. ()


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Resumiendo tenemos:

+ + =. ()

+ + =. ()

Con : = = , tenemos un sistema de ecuaciones con dos incgnitas

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) tenemos:

Graficando estos valores y superponiendo la grafica obtenida a la que ya se tenia , se puedeobtener el diagrama de momento flexionante para la viga.

= . =. .


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El diagrama de fuerza cortante se puede obtener a partir de las cargas y reacciones en la viga,tales como:

= 0 =

Para el tramo 12:

Para las fuerzas externas:

= 0 = =3.

Correccin por Momento:

= 0 , 6 + 4.2 = 0.

, = . .


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Para el tramo 23:Para las fuerzas externas:

= 0 = =2.5.


= 0 , 5 + 3.438 4.32 = 0.

, = . .

Para el tramo 34:

= 0 =2.28 =2.71.

Para las fuerzas externas:


= 0 , 7 3.438 + 0 = 0.

, = . .


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En conclusin tenemos:

Reacciones como vigas simplemente apoyadas:

Reacciones por momentos :

RESULTANTES:


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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR


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OTRA FORMA PARA EL CALCULO DE LAS REACCIONES ES:

= ,

+

= 3 +

04.32

6

= 3 0 . 7 2 = . .

= , + ,

+

= 3 + 2 . 5 04.32

6+ 4.323.438

5

= . .

= . Tn.


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METODO DE DISTRIBUCION DE MOMENTOS

O HARDY CROSS


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MTODO DE DISTRIBUCIN DEMOMENTOS

El Mtodo de redistribucin de momentoso mtodo de Cross,es un mtodo de anlisisestructural para vigas estticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por HardyCross. Fue publicado en 1930en una revista de la ASCE. El mtodo slo calcula el efectode los momentos flectores e ignora los efectos axialesy cortantes, lo cual es suficientepara fines prcticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras

comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseo y anlisis de estructuras, el mtodode redistribucin de momentos fue el ms ampliamente usado en la prctica

En el mtodo de redistribucin de momentos, cada articulacin de la estructura a seranalizada, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Despus cadaarticulacin fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al

momento de ser liberado no est en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacenteshasta que el Equilibrioes alcanzado. El mtodo de distribucin de momentos en trminosmatemticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas deecuacionespor medio de iteracin.El mtodo de redistribucin de momentos cae dentro de la categora de los mtodos dedesplazamientodel anlisis estructural
http://es.wikipedia.org/wiki/Hardy_Crosshttp://es.wikipedia.org/wiki/Hardy_Crosshttp://es.wikipedia.org/wiki/1930http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Articulaci%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Equilibriohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_de_ecuaciones&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Articulaci%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/1930http://es.wikipedia.org/wiki/Hardy_Crosshttp://es.wikipedia.org/wiki/Hardy_Crosshttp://es.wikipedia.org/wiki/Hardy_Cross


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Implementacin Preliminar

En disposicin de aplicar el mtodo de redistribucin de momentos para analizar unaestructura, lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos son losmomentos producidos al extremo del miembro porcargas externas cuando las juntas estn fijas.

Momentos deempotramiento enextremos fijos

La Rigidez a la Flexin (EI/L) de un miembro es

representada como el producto del Mdulo de Elasticidad(E) y el Segundo momento de rea, tambin conocido comoMomento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) delmiembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin demomentos, no es el valor exacto pero es la Razn aritmticade rigidez de flexin de todos los miembros.

Rigidez a la Flexin

Los factores de distribucin pueden ser definidos como lasproporciones de los momentos no equilibrados llevadospor cada uno de los miembros.

Coeficientes dereparto
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_de_Elasticidad&action=edit&redlink=1


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Los momentos no equilibrados son llevadossobre el otro extremo del miembro cuando sepermite el giro en el apoyo. La razn demomento acarreado sobre el otro extremo entre

el momento en el extremo fijo del extremoinicial es el coeficiente de transmisin.

Coeficientes de transmisin

Un momento actuando en sentido horario esconsiderado positivo. Esto difiere de la[convencin de signos] usual en ingeniera, lacual emplea un sistema de coordenadascartesianas con el eje positivo X a la derecha yel eje positivo Y hacia arriba, resultando enmomentos positivos sobre el eje Z siendoantihorarios.

Convencin de signos

Estructuras de marcos con o sin ladeo puedenser analizadas utilizando el mtodo dedistribucin de momentos.

Estructuras de marcos


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Ejemplo 01:La viga estticamente indeterminada mostrada en la figura ser analizada.

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud L = 10 m. Las rigideces a Flexin son EI, 2EI, EIrespectivamente. Cargas concentradas de magnitud 10 KN actuando a una distancia a = 3 m desde

el soporte A. Carga uniforme de intensidad q = 1 KN / m, acta en BC. Miembro CD est cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de

magnitud P = 10KN.
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MomentDistributionMethod.jpg


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En los siguientes clculos, los momentos antihorarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos (Momentos de empotramiento Perfecto)

A B

P

a b

B C

L

C D

P

L / 2 L / 2


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Coeficientes de Reparto

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son DAB= DDC= 1.

Coeficientes de transmisin

Los coeficientes de transmisin son 1 / 2 (porque la seccin es constante), exceptopara el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.


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Distribucin de Momentos

Articulacin A Articulacin B Articulacin C Articulacin D

Coeficientes de reparto 0 1 0.2727 0.7273 0.6667 0.3333 0 0

Momentos en Extremos Fijos 14.700 -6.300 8.333 -8.333 12.500 -12.500

Paso 1 -14.700 -7.350

Paso 2 1.450 3.867 1.934

Paso 3 -2.034 -4.067 -2.034 -1.017

Paso 4 0.555 1.479 0.739

Paso 5 -0.246 -0.493 -0.246 -0.123

Paso 6 0.067 0.179 0.090

Paso 7 -0.030 -0.060 -0.030 -0.015

Paso 8 0.008 0.022 0.011

Paso 9 -0.004 -0.007 -0.004 -0.002

Paso 10 0.001 0.003

Suma de Momentos 0 -11.569 11.569 -10.186 10.186 -13.657

Nmeros en gris son momentos balanceados; flechas ( / ) representan el acarreode momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.


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Momentos en articulaciones, determinados por el mtodo de distribucin

de momentos.

Resultados


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Los diagramas completos de cortante y momento flextor son como sigue. Nota que elmtodo de distribucin de momentos solo determina los momentos en las juntas.Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de clculosadicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio

interno de la seccin. Tales como el calculo de reacciones.

DFC DMF

Diagrama de esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores.

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

j l
http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nico


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Ejemplo 02: Utilizando el mtodo de Hardy Cross, analizar la viga:

Solucin

1) Calculo de los MEP.

= +12 =

21212 =+36 =36

= +

12 +

8 =

224

12 +

2024

8 =+156 =156

= +

=+32 = +

= +1884

12 36

La carga en el voladizo produce un momento de : 6 x 3 =+ 18

) /


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2) Calculo de rigideces: K= I/L

= 1024 = 512

=312 =

4

=212 =

6

12

= 3

= 5

= 2

3) Calculo de los factores de distribucin: = =

Nudo A: =

Nudo B:

= + = + =

= 3 8 = 0.375 = 5 8 =0.625

= 1.00


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Nudo C:

= + = + =7

= 5 7 =0.714 = 2 7 = 0.286

= 1.00

Nudo D: =

C l l d M t l ( It i ) F T 1/2


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Calculo de Momentos en los apoyos ( Iteracion)

1.00 0.375 0.625 0.714 0.286 1.00 0.00C.D.

MEP +36.00 -36.00 -156.00 +32.00 -16.00 +18.00+156.00

-36.00 -45.00 -75.00 +88.54 +35.46 -2.00

-22.50 -18.00 +44.27 -37.50 -1.00 +17.732

-22.50 -9.85 -16.42 +27.489 +11.011 -17.732

-107.69M +0.00 -73.66 +73.66 -18.00+107.68 +18.00

9CICLOS

....

F.T. = 1/2

C l l d R i


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Calculo de Reacciones

DIAGRAMAS DE CORTANTES Y MOMENTO FLECTOR


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GRACIAS

Ing. Felipe Villavicencio Gonzlez

Tres Momentos y Hardy Cross

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