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2006

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..

..

..

..

..

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..

..

..

..

..

..

..

..

254.

41T

ange

ns

..

..

..

..

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..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

25

VD

efin

itio

nen

nac

h[R

R01]

25

5.1

Men

ge.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

255.

2T

eilm

enge

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.25

5.3

Aufr

unden

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.25

5.4

Abru

nden

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.5

Eig

ensc

haf

ten

der

Eb

ene

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.6

Eig

ensc

haf

ten

von

Ger

aden

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.7

Ger

ade

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.8

Hal

bge

rade

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

265.

9Str

ecke

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.10

Exi

sten

zei

ner

Sen

krec

hte

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

265.

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alle

leG

erad

en.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

265.

12P

aral

lele

nax

iom

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

265.

13P

rism

a.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

265.

14T

eilb

arke

itei

ner

Sum

me

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.15

Tei

lbar

keit

eines

Pro

dukt

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.26

5.16

Tei

lbar

keit

durc

hStu

fenza

hle

n.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

275.

17T

eilb

arke

itdurc

hZ

wei

er-

und

Fünfe

rpot

enze

n.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

275.

18T

eilb

arke

itdurc

h2

und

5.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.27

5.19

Tei

lbar

keit

durc

h4

und

25.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.27

5.20

Tei

lbar

keit

durc

h8

und

125

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.27

5.21

Tei

lbar

keit

durc

h3

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

27

Inh

alt

sver

zeic

hn

is

5.22

Tei

lbar

keit

durc

h9

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

275.

23P

rim

zahl

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.27

5.24

Bes

tim

mung

des

ggT

aus

der

Pri

mfa

ktor

zerl

egung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

275.

25B

esti

mm

ung

des

kgV

aus

der

Pri

mfa

ktor

zerl

egung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

27

VI

Defi

nit

ion

enn

ach

[RR

02]

28

6.1

Bru

ch.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

286.

2Ä

quiv

alen

zvo

nG

leic

hunge

n(U

ngl

eich

unge

n)

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.3

teilgü

ltig

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.4

allg

emei

ngü

ltig

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.5

uner

füllbar

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.6

Äqu

ival

enzu

mfo

rmung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

286.

7D

irek

teP

rop

orti

onal

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..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.8

Ach

sensp

iege

lung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.28

6.9

Fix

punkt

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

6.10

Fix

gera

de

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

6.11

Fix

krei

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

6.12

Ach

sensy

mm

etri

e.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

296.

13(A

chse

nsy

mm

etri

scher

)D

rach

en.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

6.14

glei

chsc

hen

klig

esT

rap

ez(a

chse

nsy

mm

etri

sch)

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

VII

Defi

nit

ion

enn

ach

[RR

04]

29

7.1

Dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ät.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

297.

2In

dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ät.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

7.3

Par

alle

lver

schie

bung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.30

7.4

Fix

elem

ente

der

Par

alle

lver

schie

bung

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

307.

5V

ekto

r.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

307.

6D

rehu

ng

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

307.

7P

unkt

spie

gelu

ng

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.30

7.8

Dre

hsy

mm

etri

e.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.31

7.9

Kre

is.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.31

7.10

Mit

tels

enkr

echt

e.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

317.

11H

alb

eben

e.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

317.

12W

inke

lhal

bie

rende

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

317.

13U

mkr

eis

des

Dre

ieck

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

317.

14In

krei

sdes

Dre

ieck

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

317.

15P

aral

lele

npaa

rzu

einer

Ger

ade

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.31

7.16

Mit

telp

aral

lele

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

32

VII

ID

efin

itio

nen

nac

h[R

R96]

32

8.1

Min

imum

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.32

8.2

Max

imum

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.32

8.3

Ext

rem

wer

tequ

adra

tisc

her

Ter

me

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.32

8.4

Defi

nit

ionsm

enge

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.32

8.5

Pro

dukt

men

ge.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.32

8.6

Funkt

ion

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

328.

7U

mke

hrr

elat

ion

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

328.

8U

mke

hrb

arke

itei

ner

Funkt

ion

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

328.

9H

ypot

enuse

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

33

IXD

efin

itio

nen

nac

h[R

R06]

33

9.1

Quad

ratw

urz

el.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.33

9.2

Zer

legu

ngs

glei

chhei

t.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

33

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

•m

ithilfe

der

Flä

chen

sätz

eam

rech

twin

klig

enD

reie

ckStr

ecke

nlä

nge

nb

erec

hnen

•P

fadre

geln

und

ihre

Anw

endung

Inhal

tder

Jahrg

angs

stufe

9

(1)

Sys

tem

elinea

rer

Gle

ichu

nge

n

(2)

Ree

lle

Zah

len

(3)

Quad

rati

sche

Funkt

ionen

[VSE

]

(4)

Quad

rati

sche

Gle

ichu

nge

nund

Ungl

eich

unge

n

(5)

Sys

tem

em

itqu

adra

tisc

hen

Gle

ichu

nge

n

(6)

Flä

chen

inhal

teb

ener

Vie

leck

e

(7)

Abbildung

durc

hze

ntri

sche

Str

ecku

ng

(8)

Flä

chen

satz

amre

chtw

inkl

igen

Dre

ieck

(9)

Ber

echnu

nge

nam

Kre

is

(10)

Rau

mge

omet

rie

(11)

Dat

enund

Zufa

ll

Jah

rgan

gss

tufe

10

Am

Ende

der

Jahrg

angs

stufe

10so

llen

die

Sch

üle

rüb

erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•P

oten

zter

me

mit

hilfe

der

Pot

enzg

eset

zeum

form

en

•G

raphen

und

Eig

ensc

haf

ten

von

Pot

enzf

unkt

ionen

mit

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xm n

•G

raphen

und

Eig

ensc

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ten

von

Exp

onen

tial

funkt

ionen

und

der

enU

mke

hrf

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•m

ithilfe

der

Defi

nit

ion

des

Log

arit

hm

us

und

der

Ben

utz

ung

des

Tas

chen

rech

ner

sT

erm

e

um

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enund

einfa

che

Exp

onen

tial

glei

chunge

nlö

sen

•D

efinit

ion

von

cos(

ϕ),

sin

(ϕ)

und

tan

(ϕ);

Wer

teund

Win

kelm

aße

mit

hilfe

des

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chen

-

rech

ner

ser

mit

teln

•Sei

tenlä

nge

nund

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aße

imre

chtw

inkl

igen

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imb

elie

big

enD

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ckb

erec

hnen

•Ska

larp

rodukt

anw

enden

•K

oord

inat

envo

nB

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Urp

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enb

eiden

bek

annt

enA

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nb

erec

hnen

sow

ie

Gle

ichu

nge

nvo

nB

ildgr

aphen

erm

itte

ln

•V

ekto

ren

und

2×

2-M

atri

zen

verw

enden

Inhal

tder

Jahrg

angs

stufe

10

Sei

te54

XII

IL

EH

RP

LA

NÜ

BE

RS

ICH

TR

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LS

CH

UL

E

•Sch

rägb

ilder

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per

nze

ichnen

•L

apla

ce-W

ahrs

chei

nlich

keit

ener

mit

teln

Inhal

tder

Jahrg

angs

stufe

8

(1)

Ter

me

(2)

Lin

eare

Gle

ichu

nge

nund

Ungl

eich

unge

n

(3)

Bru

chte

rme

und

Bru

chgl

eich

unge

n

(4)

Funkt

ionen

[VSE

]

(5)

Lin

eare

Funkt

ionen

[VSE

]

(6)

Funkt

ionen

der

indir

ekte

nP

rop

orti

onal

ität

(7)

Dre

ieck

eund

Vie

reck

e

(8)

Gru

ndla

gen

der

Rau

mge

omet

rie

(9)

Dat

enund

Zufa

ll

Jah

rgan

gss

tufe

9

Am

Ende

der

Jahrg

angs

stufe

9so

llen

die

Sch

üle

rüb

erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•Sys

tem

elinea

rer

Gle

ichu

nge

nm

itzw

eiV

aria

ble

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sen

•qu

adra

tisc

he

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ichu

nge

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Lös

ungs

form

el,

Bed

eutu

ng

der

Dis

krim

inan

te,

Koo

rdin

aten

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nit

tpunkt

evo

nF

unkt

ionsg

raphen

,T

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ntia

lpro

ble

me

•in

der

Men

geR

der

reel

len

Zah

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nen

•D

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ion

der

Quad

ratw

urz

elke

nnen

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anw

enden

•ei

nfa

che

Ter

mum

form

unge

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itQ

uad

ratw

urz

eln

•G

raphen

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Eig

ensc

haf

ten

von

quad

rati

schen

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,Sch

eite

lfor

m

•G

leic

hunge

nvo

nP

arab

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erm

itte

ln,

Par

amet

erve

rfah

ren

•F

läch

enin

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teeb

ener

Fig

ure

nin

sbes

onder

eau

chm

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zwei

reih

iger

Det

erm

inan

ten

•U

mfa

ng

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Flä

chen

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tvo

nK

reis

en,

Man

tel-

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.O

ber

fläc

he

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Vol

um

envo

nP

ris-

men

,P

yram

iden

,ge

raden

Kre

iszy

linder

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Kre

iske

geln

sow

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uge

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•A

bbildung

durc

hze

ntri

sche

Str

ecku

ng

anw

enden

•Str

ecke

nlä

nge

nm

itdem

Vie

rstr

ecke

nsa

tzb

esti

mm

en

•B

erec

hnu

nge

nm

ithilfe

von

Vek

tore

n

•Ä

hnlich

keit

von

Dre

ieck

en

Sei

te53

XD

efin

itio

nen

nac

h[R

R08]

33

10.1

Log

arit

hm

usf

unkt

ion

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.33

XI

Bew

eise

34

XII

Gra

ph

isch

eD

arst

ellu

ng

bin

om

isch

erF

orm

eln

48

XII

IL

ehrp

lan

üb

ersi

cht

Rea

lsch

ule

49

Lit

erat

ur

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

IE

xam

ensk

urs

nac

h[W

W15]

1.1

Gru

nd

sätz

lich

es

Es

wer

den

dre

iT

hem

enzu

rA

usw

ahl

gest

ellt

,w

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eines

inner

hal

bvo

ndre

iStu

nden

zub

ear-

bei

ten

ist.

1.2

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nd

ard

form

ulie

run

gen

1.2

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ufg

aben

zum

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emat

isch

enB

egri

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•G

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Sie

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Defi

nit

ion

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•D

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Sie

...

•E

rklä

ren

Sie

...

•E

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Sie

...

Erk

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ng

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eie

Defi

nit

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bei

Erk

läru

ng

und

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äute

run

g

•E

rklä

run

gund

Erl

äute

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gen

thal

ten

neb

ender

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nit

ion

des

Beg

riff

s

–V

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des

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ts

–A

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–A

ufz

eige

nvo

nB

ezie

hunge

nzu

Ob

er-,

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Nac

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riff

en

1.2

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ufg

aben

zum

ath

emat

isch

enS

ätze

n,

Zu

sam

men

hän

gen

un

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n

•F

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...

•G

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Sie

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n

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eige

nSie

,das

s..

.

•B

egrü

nden

Sie

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s..

.

•E

rklä

ren

Sie

,das

s..

.

•E

rläu

tern

Sie

,das

s..

.

Erk

läru

ng

•B

egri

ffe

verl

ange

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–F

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ulier

ung

eines

Sat

zes

OD

ER

–F

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ulier

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eines

mat

hem

atis

chen

Zusa

mm

enhan

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DE

R

–B

esch

reib

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eines

mat

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atis

chen

Ver

fahre

ns

inko

rrek

ter

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cher

Fac

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rach

e

•B

ewei

sen

Sie

.../

Zei

gen

Sie

...

verl

angt

exak

teD

urc

hfü

hru

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eines

mat

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chen

Be-

wei

ses;

Bew

eiss

chri

tte

sind

klar

dar

zule

gen

•B

egrü

nden

Sie

...

hei

ßt,

das

sau

chM

itte

ldes

ansc

hau

lich

enund

pla

usi

ble

nSch

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ens

zuge

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ensi

nd

Sei

te7

Sta

at

sex

am

en

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ak

tik

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Mat

hem

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ik

•P

unkt

-und

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inat

enb

erec

hnen

•W

inke

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em

ithilfe

von

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fen-

und

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hse

lwin

keln

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ieN

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Sch

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lwin

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erm

itte

ln

•In

nen

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kels

um

me

imD

reie

ck

•ge

omet

risc

he

Ort

slin

ien

bes

chre

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eis

und

Inkr

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eines

Dre

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von

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nge

nte

und

Zen

tral

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hden

Ber

ührp

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•R

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inke

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zund

Sat

zdes

Thal

es

•In

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reti

eren

von

Dat

en

Inhal

tder

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angs

stufe

7

(1)

Erw

eite

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des

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erei

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geQ

der

rati

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enZ

ahle

n

(2)

Gle

ichu

nge

nund

Ungl

eich

unge

n

(3)

Pro

por

tion

alit

äten

(4)

Par

alle

lver

schie

bung

(5)

Dre

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(6)

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ung

geom

etri

scher

Pro

ble

me

mit

hilfe

von

Abbildunge

n

(7)

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met

risc

he

Ort

slin

ien

und

Ort

sber

eich

e

(8)

Dat

enund

Zufa

ll

Jah

rgan

gss

tufe

8

Am

Ende

der

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angs

stufe

8so

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die

Sch

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erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•T

erm

edurc

hT

erm

um

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selb

stst

ändig

vere

infa

chen

und

Ext

rem

wer

tequ

adra

tisc

her

Ter

me

erm

itte

ln

•linea

reG

leic

hunge

nund

Ungl

eich

unge

nund

der

enV

erkn

üpfu

nge

nlö

sen

•ei

nfa

che

Bru

chgl

eich

unge

nlö

sen

•F

unkt

ionsb

egri

ff

•G

erad

engl

eich

unge

nau

fste

llen

und

zuge

geb

enen

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ichu

nge

nG

erad

enze

ichnen

•D

reie

cke

konst

ruie

ren

•die

Kon

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zvo

nD

reie

cken

nac

hwei

sen

•E

igen

schaf

ten

bes

onder

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reie

cke

und

Vie

reck

e

Sei

te52

XII

IL

EH

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LA

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RS

ICH

TR

EA

LS

CH

UL

E

•P

oten

zbeg

riff

kennen

und

anw

enden

•A

ddit

ion

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Subtr

akti

onin

der

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geZ

der

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ahle

n

•T

abel

len

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Dia

gram

me

erst

elle

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ausw

erte

n

•E

igen

schaf

ten

und

die

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vors

chri

ftder

Ach

sensp

iege

lung

kennen

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dar

aus

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Eig

ensc

haf

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achse

nsy

mm

etri

scher

Fig

ure

nab

leit

en

•A

chse

nsp

iege

lung

durc

hfü

hre

nund

erke

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•W

inke

lm

esse

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zeic

hnen

•re

lati

veH

äufigk

eite

nb

erec

hnen

Inhal

tder

Jahrg

angs

stufe

6

(1)

Erw

eite

rung

des

Zah

lenb

erei

chs:

Men

geQ

+ 0der

pos

itiv

era

tion

alen

Zah

len

(2)

Rec

hnen

mit

pos

itiv

enra

tion

alen

Zah

len

(3)

Dez

imal

brü

che;

Rec

hnen

mit

Dez

imal

brü

chen

(4)

Gle

ichu

nge

nund

Ungl

eich

unge

n

(5)

Dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ät

(6)

Erw

eite

rung

des

Zah

lenb

erei

chs:

Men

geZ

der

ganze

nZ

ahle

n

(7)

Gru

ndb

egri

ffe

der

eben

enG

eom

etri

e

(8)

Ach

sensp

iege

lung

(9)

Dat

enund

Zufa

ll

Jah

rgan

gss

tufe

7

Am

Ende

der

Jahrg

angs

stufe

7so

llen

die

Sch

üle

rüb

erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•G

rundre

chen

arte

nund

Pot

enzg

eset

zein

der

Men

geIQ

der

rati

onal

enZ

ahle

n

•G

leic

hunge

nund

Ungl

eich

unge

nder

For

max

+b≧

cbzw

.ax

+b≦

cdurc

hÄ

quiv

alen

-

zum

form

unge

nlö

sen

•dir

ekte

und

indir

ekte

Pro

por

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äten

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nnen

,dar

stel

len

und

ausw

erte

nso

wie

fehle

nde

Grö

ßen

ber

echnen

;Sac

hau

fgab

enlö

sen

•P

roze

nt-

und

Zin

srec

hnu

ng

•m

itdem

Koo

rdin

aten

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emum

gehen

•E

igen

schaf

ten

von

Kon

gruen

zabbildunge

n

•P

aral

lelv

ersc

hie

bung

und

Dre

hung

anw

enden

Sei

te51

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at

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am

en

Did

ak

tik

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Mat

hem

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ik

•E

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ren

Sie

.../

Erl

äute

rnS

ie..

.ve

rlan

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orm

uli

eren

hin

aus

–V

erdeu

tlic

hung

der

Sät

ze,

Zusa

mm

enhän

ge

–V

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hre

nm

itte

lsge

eign

eter

Bei

spie

le,

Ski

zzen

,V

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schau

lich

unge

nod

erB

esch

rei-

bunge

n

–K

EIN

EB

ewei

se

1.2

.3A

ufg

aben

zur

Met

ho

dik

•Z

eige

nSie

mög

lich

eZ

ugä

nge

zum

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a

...a

uf

•B

esch

reib

enSie

unt

ersc

hie

dlich

eM

aß-

nah

men

zum

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a..

.

•B

esch

reib

enSie

(Sch

üle

r-)A

ktiv

ität

en,

die

zur

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riff

sbildung

...g

eeig

net

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•E

rört

ern

Sie

auft

rete

nde

Feh

ler

(und

Ler

nsc

hwie

rigk

eite

n)

und

Maß

nah

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zu

der

enV

erm

eidung

oder

Beh

ebung

Erk

läru

ng

•B

esch

reib

ung

und

evtl

.B

egrü

ndung

des

Sac

hver

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tes

•gg

f.ko

nkr

ete

Bei

spie

lean

führe

n

•W

ieder

gab

ein

stru

kturi

erte

rR

eihen

folg

e

1.2

.4A

ufg

aben

zuU

nte

rric

hts

ziel

enu

nd

der

enB

egrü

nd

un

g

•F

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ulier

enSie

Ler

nzi

ele

zum

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a..

.

•F

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ulier

enund

erlä

ute

rnbzw

.b

egrü

n-

den

Sie

Zie

lezu

mT

hem

a..

.

•E

rläu

tern

Sie

die

Bed

eutu

ng

des

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as

...

•K

onzi

pie

ren

Sie

eine

Fol

gevo

nA

ufg

aben

zum

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a..

.

Erk

läru

ng

•L

ehr-

oder

Ler

nzi

ele

insi

nnv

olle

rG

lied

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vers

chie

den

eL

eist

ungs

dim

ensi

onen

–P

rodukt

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Pro

zess

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e:K

ennt

nis

se,

Fäh

igke

iten

,F

erti

gkei

ten

–G

rob-

und

Fei

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Unt

erte

ilung

–et

c.

•B

egrü

ndung

von

Zie

len

und

Dis

kuss

ion

der

Bed

eutu

ng

des

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asau

fB

asis

did

akti

scher

Arg

um

ente

,z.

B.

–B

edeu

tung

des

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asim

mat

hem

atis

chen

Um

feld

,in

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enG

ebie

ten

der

Mat

he-

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ikod

erau

chin

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enF

ächer

n

–B

edeu

tung

des

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asfü

rF

örder

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allg

emei

ner

mat

hem

atis

cher

Fäh

igke

iten

–B

edeu

tung

des

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asfü

ral

lgem

eine

kogn

itiv

eF

örder

ung

der

SuS

–B

edeu

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des

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asfü

rp

osit

ive

Ein

stel

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zur

Mat

hem

atik

–B

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für

Bew

älti

gung

von

Aufg

aben

imsp

äter

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erufs

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Allta

gsle

ben

der

SuS

Sei

te8

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

1.2

.5A

ufg

aben

zuU

nte

rric

hts

seq

uen

zen

•Ski

zzie

ren

Sie

eine

Unt

erri

chts

sequ

enz

zum

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a..

.

•E

ntw

icke

lnSie

eine

Unt

erri

chts

sequ

enz

zum

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a..

.

•A

rbei

ten

Sie

eine

Unt

erri

chts

sequ

enz

zum

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a..

.aus

•B

esch

reib

enSie

eine

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erri

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sequ

enz

zum

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a..

.

Erk

läru

ng

•D

arst

ellu

ng

einer

geor

dnet

enF

olge

von

stru

kturi

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wie

der

gege

ben

enL

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täte

n

•m

eist

Bez

ug

auf

meh

rere

aufe

inan

der

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ende

Unt

erri

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einhei

ten

•es

gibt

Seq

uen

zen,

bei

den

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ufe

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der

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eder

Ein

hei

ten

aus

päd

agog

isch

enbzw

.le

rn-

psy

chol

ogis

chen

Grü

nden

ein-

oder

meh

rmal

sunt

erbro

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wir

d

•B

esch

reib

ung

sollte

auch

met

hod

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eV

orsc

hlä

gezu

rE

rrei

chung

und

Sic

her

ung

von

Ler

n-

ziel

enen

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ten

•A

nfü

hru

ng

von

Vor

kennt

nis

sen/L

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sset

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n

•det

ailier

teA

usf

ühru

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jeder

einze

lnen

Unt

erri

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einhei

tw

ird

NIC

HT

erw

arte

t

•E

ntw

ickl

enS

ie..

.od

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rbei

ten

Sie

...a

us

verl

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genau

ere,

üb

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kizz

iere

nhin

ausg

e-

hen

de

Erl

äute

rung

der

Leh

r-und

Ler

nsc

hri

tte

1.2

.6A

ufg

aben

zuU

nte

rric

hts

ein

hei

ten

•Ski

zzie

ren

Sie

eine

Unt

erri

chts

einhei

t

zum

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a..

.

•E

ntw

ickl

enSie

eine

Unt

erri

chts

einhei

t

zum

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a..

.

•A

rbei

ten

Sie

eine

Unt

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einhei

tzu

m

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a..

.aus

•B

esch

reib

enSie

unt

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chtl

iche

Maß

nah

-

men

,A

ktiv

ität

enund

Ler

nsc

hri

tte

zum

Them

a..

.

Erk

läru

ng

•U

nter

rich

tsei

nhei

tis

tin

der

Reg

elei

ne

Unt

erri

chts

stunde

–m

axim

alei

ne

Dop

pel

stunde

•in

jedem

Fal

lD

arst

ellu

ng

einer

Sac

han

alys

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Pla

nung

eines

Unt

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verl

aufs

–A

rtund

Abfo

lge

von

Leh

rer-

und

Sch

üle

rakt

ivit

ätge

htkl

arher

vor

–E

rken

nbar

keit

von

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rerf

orm

,Soz

ialf

orm

und

Med

ienei

nsa

tz

•E

ntw

icke

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ie..

.od

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rbei

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Sie

...a

us

verl

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üb

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kizz

iere

nhin

ausg

e-

hen

de

Bes

chre

ibung

und

Beg

ründung

der

gepla

nten

Ver

laufs

schri

tte;

KE

INL

ehre

r-Sch

üle

r-

Dia

log

Sei

te9

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

•T

erm

wer

teim

Zah

lenb

erei

chder

nat

ürl

ichen

Zah

len

ber

echnen

•L

ösungs

men

gen

einfa

cher

Gle

ichu

nge

nso

wie

Ungl

eich

unge

nim

Zah

lenb

erei

chder

nat

ürl

i-

chen

Zah

len

bes

tim

men

•si

cher

esR

echnen

mit

gängi

gen

Grö

ßen

und

Maß

einhei

ten

•ei

nfa

che

Sac

hau

fgab

enlö

sen

•die

grundle

genden

geom

etri

schen

Fig

ure

n;

Bes

tim

mung

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Um

fang

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Flä

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inhal

t

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Rec

htec

ken

•V

olum

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Ob

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he

von

Würf

elund

Quad

er

•si

cher

erund

sorg

fält

iger

Um

gang

mit

dem

Zei

chen

wer

kzeu

g

•T

eilb

arke

itsr

egel

nan

wen

den

;grö

ßter

gem

einsa

mer

Tei

ler

(ggT

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klei

nst

esge

mei

nsa

mes

Vie

lfac

hes

(kgV

)

•E

rfas

sen,

Dar

stel

len

und

Ausw

erte

nvo

nD

aten

Inhal

tder

Jahrg

angs

stufe

5

(1)

Aufb

audes

Dez

imal

syst

ems

(2)

Die

vier

Gru

ndre

chen

arte

n

(3)

Rec

hnen

mit

Grö

ßen

aus

dem

Allta

g

(4)

Geo

met

risc

he

Gru

ndfo

rmen

und

geom

etri

sche

Gru

ndb

egri

ffe

(5)

Flä

chen

mes

sung

(6)

Rau

mm

essu

ng

(7)

Tei

lbar

keit

nat

ürl

icher

Zah

len

(8)

Dat

enund

Zufa

ll

Jah

rgan

gss

tufe

6

Am

Ende

der

Jahrg

angs

stufe

6so

llen

die

Sch

üle

rüb

erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•R

echen

tech

nik

en(e

insc

hließ

lich

Sch

ätze

n,

Runden

und

Üb

ersc

hla

gsre

chnen

)und

Rec

hen

-

gese

tze

inden

vier

Gru

ndre

chen

arte

nau

fder

Gru

ndla

geei

nes

gefe

stig

ten

Zah

lenv

erst

änd-

nis

ses

imZ

ahle

nb

erei

chder

Men

geQ

+ 0der

pos

itiv

enra

tion

alen

Zah

len

•T

erm

wer

teim

Zah

lenb

erei

chder

pos

itiv

enra

tion

alen

Zah

len

ber

echnen

•L

ösungs

men

gen

einfa

cher

Gle

ichu

nge

ndurc

hÄ

quiv

alen

zum

form

unge

nüb

erve

rsch

ieden

en

Gru

ndm

enge

nb

esti

mm

en

•dir

ekt

pro

por

tion

ale

Zusa

mm

enhän

geer

kennen

und

inSac

hau

fgab

enan

wen

den

Sei

te50

XII

IL

EH

RP

LA

NÜ

BE

RS

ICH

TR

EA

LS

CH

UL

E

a2

−b

2=

(a+

b)(

a−

b)

Das

Pro

dukt

aus

der

Sum

me

und

der

Diff

eren

zzw

eier

Zah

len

ist

glei

chder

Diff

eren

zder

Qua-

dra

teder

bei

den

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len.

XII

IL

ehrp

lan

üb

ersi

cht

Rea

lsch

ule

Bem

erku

ng:

ImF

olge

nden

ents

pri

cht

[VSE

]der

Ver

kehrs

-und

Sic

her

hei

tser

zieh

ung

und

esw

ird

jew

eils

nur

Mat

hem

atik

Ib

etra

chte

t.

Jah

rgan

gss

tufe

5

Der

Unt

erri

cht

die

ser

Jahrg

angs

stufe

bau

tau

ffo

lgen

den

mat

hem

atis

chen

Ken

ntnis

sen

und

Er-

fahru

nge

nau

sder

Gundsc

hule

auf:

•Z

ahlb

erei

ch:N

bis

100

000

0

•sc

hri

ftlich

eV

erfa

hre

nfü

rA

ddit

ion,Subtr

akti

on,M

ult

iplika

tion

(ein

-und

zwei

stel

lige

Fak

-

tore

n),

Div

isio

n(e

inD

ivis

orbis

20)

•R

unden

auf

alle

Vie

lfac

he

von

10,

100

oder

1000

•ge

rundet

eZ

ahle

nin

Dia

gram

men

(z.

B.

Säu

lendia

gram

m)

dar

stel

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Info

rmat

ionen

aus

Tex

ten,

Tab

elle

n,

Sch

aubilder

nund

Dia

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entn

ehm

en

•G

röße

n(a

uch

inK

omm

asch

reib

wei

se):

Gel

dw

erte

;Z

eit;

Län

ge;

Mas

se;

Hoh

lmaß

e(m

l,l)

•F

igure

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Kör

per

:D

reie

ck,

Vie

reck

,R

echt

eck,

Quad

rat,

Kre

is

•W

ürf

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er,

Kuge

l,Z

ylin

der

,P

yram

ide,

Keg

el

•M

aßst

ab

•Sym

met

rien

:A

chse

nsy

mm

etri

e(F

achb

egri

ffe:

Sym

met

riea

chse

,sy

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sch,

dec

kungs

-

glei

ch);

Ein

blick

indie

Dre

hsy

mm

etri

e(F

achb

egri

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Dre

hpunkt

,D

rehri

chtu

ng)

;E

inblick

indie

Sch

ieb

esym

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rie

•Z

eich

nen

mit

Geo

dre

ieck

und

Zir

kel;

Zei

chnen

und

Mes

sen

von

Str

ecke

n

Am

Ende

der

Jahrg

angs

stufe

5so

llen

die

Sch

üle

rüb

erfo

lgen

des

Gru

ndw

isse

nve

rfüge

n:

•R

echen

tech

nik

enin

den

vier

Gru

ndre

chen

arte

n

•R

echen

gese

tze

auf

der

Gru

ndla

geei

nes

gefe

stig

ten

Zah

lenv

erst

ändnis

ses

imZ

ahlb

erei

ch

N0

Sei

te49

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

•der

Ver

laufs

pla

nung

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vora

nzu

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–D

arst

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ng

not

wen

dig

erL

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orau

sset

zunge

nund

erfo

rder

lich

enV

orw

isse

ns

der

SuS

–(s

trukt

uri

erte

)F

orm

ulier

ung

der

Unt

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chts

ziel

e:G

rob-

und

Fei

nzi

ele;

allg

emei

ne

Zie

le,

Neb

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•P

unkt

efü

rV

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ufs

pla

nung

sollen

bzw

.kö

nnen

sein

–M

otiv

atio

nfü

rzu

beh

andel

ndes

Them

a

–ei

gent

lich

eB

ehan

dlu

ng

des

Them

asim

Unt

erri

cht

∗w

icht

ige

Leh

reri

mpuls

eunt

erB

erück

sich

tigu

ng

mög

lich

erL

ernsc

hwie

rigk

eite

n

∗m

öglich

eA

ufg

aben

,A

rbei

tsblä

tter

,M

edie

nei

nsa

tz

–M

öglich

keit

ender

Ver

tief

ung

und

der

Ler

nzi

elko

ntro

lle

1.3

Defi

nie

ren

von

Beg

riff

en

•V

erw

endung

mög

lich

stw

enig

erA

nga

ben

um

glei

chze

itig

prä

zise

und

eindeu

tig

einen

ma-

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atis

chen

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zuch

arak

teri

sier

en

•ex

trem

teure

sT

elef

onge

sprä

chal

sH

ilfs

vors

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•„K

ann

ein

Unku

ndig

erm

itder

gege

ben

enE

rklä

run

gve

rste

hen

,w

orum

esge

ht?“

•fo

rmal

eH

ilfe

:„E

in(b

ekan

nter

Beg

riff

)nen

ntm

an/h

eißt

(neu

erB

egri

ff),

wen

n(c

har

akte

-

risi

eren

de

Bed

ingu

nge

n)

...“

1.3

.1S

tati

sch

eD

efin

itio

nen

Gen

erel

lve

rwen

det

man

zur

Char

akte

risi

erung

mat

hem

atis

cher

Beg

riff

eb

erei

tsb

ekan

nte

Eig

en-

schaf

ten

und/o

der

ber

eits

defi

nie

rte

Beg

riff

e.

For

mulier

unge

n,

wel

che

einen

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ledig

lich

mit

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von

Eig

ensc

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ten

bes

chre

iben

,nen

nt

man

stat

isch

eD

efinit

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.

Gen

erel

lst

rebt

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an,

das

sdie

zur

Bes

chre

ibung

verw

endet

enE

igen

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•U

nab

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gike

it

•V

olls

tändig

keit

:U

mei

nen

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hin

reic

hen

dge

nau

zub

esch

reib

en,

müss

enge

nüge

nd

viel

eF

order

unge

nan

sein

enO

ber

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gest

ellt

wer

den

;ch

arak

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sier

ende

Eig

ensc

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envo

llst

ändig

sein

,um

das

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esch

reib

en,

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bes

chri

eben

wer

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soll.

•W

ider

spru

chsf

reih

eit

sind

(Mer

khilfe

:U

VW

-Reg

el).

Sei

te10

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

1.3

.2D

ynam

isch

eD

efin

itio

nen

Insb

eson

der

eb

eige

omet

risc

hen

Kör

per

nfä

llt

esof

tsc

hwer

,st

atis

che

Defi

nit

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anzu

führe

n.

Oft

wei

cht

man

des

hal

bau

fF

orm

ulier

unge

nau

s,die

Ent

steh

ungs

-und

Her

stel

lungs

wei

sevo

n

Kör

per

nb

esch

reib

en.

Es

wer

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oft

Vor

stel

lunge

nw

ieZ

iehen

,V

erbi

nden

,D

ehn

enher

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zo-

gen.

Der

arti

geB

esch

reib

unge

nnen

ntm

andyn

amis

che

Defi

nit

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.

Bei

mei

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form

ulier

endyn

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ist

esgü

nst

ig,

ein

Sta

ndar

dfo

rmat

und

eine

Sta

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dfo

rmulier

ung

zuve

rwen

den

:

Sta

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rmat

bes

teht

aus

zwei

Tei

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•er

ster

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nga

be,

wel

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Ele

men

tezu

mH

erst

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ndes

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riff

sb

enöt

igt

wer

den

(z.

B.

Punkt

auße

rhal

bei

ner

Eb

ene)

•zw

eite

rT

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Bes

chre

ibung,

wie

man

mit

den

zur

Ver

fügu

ng

steh

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Ob

jekt

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Kör

per

her

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len

kann.

Sta

ndar

dfo

rmulier

ung

einer

dyn

amis

chen

Defi

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ion

beg

innt

mit

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be

der

ben

ötig

ten

Her

stel

lungs

elem

ente

und

mit

„Geg

eben

sei

...“

oder

„Geg

eben

ist

...“

.

Her

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des

Kör

per

sw

ird

dan

nei

nge

leit

etm

it„E

in..

.ent

steh

t,in

dem

man

...“

1.3

.3D

efin

iere

nvo

ngeo

met

risc

hen

Ab

bild

un

gen

Ein

edri

tte

Art

von

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nit

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bilden

die

Char

akte

risi

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nge

omet

risc

her

Abbildunge

n.

Hie

ris

tes

günst

ig,

konkr

ete

Kon

stru

ktio

nsv

orsc

hri

ften

(für

Zir

kel-

und

Lin

ealk

onst

rukt

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)

anzu

geb

en,

wel

che

bes

chre

iben

,w

ieei

nP

unkt

auf

sein

enB

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abge

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wir

d.

Gen

erel

lis

tb

eim

Ers

tellen

einer

der

arti

gen

Kon

stru

ktio

nsv

orsc

hri

ftzu

bea

chte

n,

das

sw

irkl

ich

auss

chließ

lich

nur

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geb

enw

ird,w

ieei

nP

unkt

(und

NIC

HT

etw

aei

nD

reie

ck)

abge

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wir

d.

Bei

mV

erfa

ssen

der

atig

erK

onst

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ionsv

orsc

hri

ften

ist

esgü

nst

ig,

ein

Sta

ndar

dfo

rmat

und

eine

Sta

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dfo

rmulier

ung

zuve

rwen

den

:

Sta

ndar

dfo

rmat

bes

teht

aus

vier

Tei

len:

•er

ster

Tei

l:ei

nle

iten

der

Sat

zder

Art

„Ein

e..

.ist

eine

geom

etri

sche

Abbildung

gem

äß

folg

ender

Vor

schri

ft:“

•zw

eite

rT

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Anga

be,

wel

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Ob

jekt

eb

enöt

igt

wer

den

,um

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eindeu

tig

durc

h-

führe

nzu

können

(z.

B.

Spie

gela

chse

,D

rehze

ntru

mund

Dre

hwin

kel)

•dri

tter

Tei

l:B

esch

reib

ung

für

einen

Urp

unkt

inal

lgem

einer

Lag

e,w

iem

anm

itzu

rV

er-

fügu

ng

steh

enden

Ob

jekt

enei

nen

einze

lnen

Punkt

auf

sein

enB

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abbildet

−→ei

gent

lich

eK

onst

rukt

ionsv

orsc

hri

ft

•vi

erte

rT

eil:

Abbildung

von

spez

iellen

Punkt

en,

bei

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endie

imdri

tten

Tei

lan

gege

ben

e

Kon

stru

ktio

nN

ICH

Tdurc

hfü

hrb

aris

t(z

.B

.A

bbildung

des

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trum

sei

ner

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spie

ge-

lung)

Sei

te11

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

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ztm

annu

nob

ige

For

mel

nin

(∗)

ein,

soer

häl

tm

an

h2

+p

2+

h2

+q2

=p

2+

2pq

+q2

=⇒

h2

=pq

(iii

)

Ski

zze3

Anal

ogzu

mB

ewei

sdes

Höh

ensa

tzes

erhäl

tm

ana

2=

pc

und

b2=

qc.

2

XII

Gra

ph

isch

eD

arst

ellu

ng

bin

om

isch

erF

orm

eln

Bin

omis

che

For

mel

nka

nn

man

folg

ender

maß

engr

aphis

chdar

stel

len

4:

(a+

b)2

=a

2+

2a

b+

b2

Das

Quad

rat

der

Sum

me

zwei

erZ

ahle

nis

tgl

eich

der

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me

der

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rate

der

Zah

len,ve

rmeh

rt

um

das

dop

pel

teP

rodukt

.

(a−

b)2

=a

2−

2a

b+

b2

Das

Quad

rat

der

Diff

eren

zzw

eier

Zah

len

ist

glei

chder

Sum

me

der

Quad

rate

der

Zah

len,

ver-

min

der

tum

das

dop

pel

teP

rodukt

.

3http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/H%C3%B6hensatz.svg

(Zu

gri

ffam

03.0

3.2

015)

4http://www.mathematische-

basteleien.de/binomi.htm#Graphische%20Darstellung

(Zu

gri

ffam

03.0

3.2

015)

Sei

te48

XI

BE

WE

ISE

=⇒

∆D

BC

,∆

AD

Cund

∆A

BC

sind

ähnlich

∆D

BC

∼∆

AB

C=

⇒a p

=c a

=⇒

a2

=cp

∆A

DC

∼∆

AB

C=

⇒b q

=c b

=⇒

b2=

cq

a2

+b2

=cp

+cq

=c(

q+

p)

=c2

∆A

DC

∼∆

DB

C=

⇒h p

=q h

=⇒

h2

=pq

Da

die

Flä

chen

der

Dre

ieck

epro

por

tion

alzu

rF

läch

eder

jew

eils

angr

enze

nden

Quad

rate

sind,

reprä

sent

iert

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Gle

ichu

ng

CB

D+

AC

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B

den

Sat

z.

(ii)

Ski

zze2

Für

die

dre

ire

chtw

inkl

igen

Dre

ieck

em

itden

Sei

ten

a,b

,cund

h,p

,aund

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,bgi

ltje

wei

ls

der

Sat

zdes

Pyt

hag

oras

:

a2

+b2

=c2

(∗)

;h

2+

p2

=a

2;

h2

+q2

=b2

Fer

ner

gilt

:p

+q

=c

=⇒

(p+

q)2

=c2

2http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Kathetensatz.svg

(Zu

gri

ffam

03.0

3.2

015)

Sei

te47

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

1.4

Mat

hem

atis

che

Sät

zeu

nd

Bew

eise

1.4

.1A

uss

agen

un

dm

ath

emat

isch

eS

ätze

•A

uss

agen

:im

Allge

mei

nen

nur

gram

mat

isch

eK

onst

rukt

ionen

von

Bed

eutu

ung,

von

den

en

man

pri

nzi

pie

llunt

ersc

hei

den

kann,

obsi

ew

ahr

sind

oder

fals

ch

•w

ahre

Auss

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nen

ntm

anin

der

Mat

hem

atik

Sät

ze

•Je

der

mat

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atis

che

Sat

zb

este

htau

sei

ner

Vor

auss

etzu

ng

und

einer

Beh

auptu

ng.

1.4

.2S

tru

ktu

rier

envo

nB

ewei

sen

Inder

Wen

n-D

ann-F

orm

ulier

ung

eines

Sat

zes

steh

thin

ter

dem

Wen

ndie

Vor

auss

etzu

ng

und

hin

ter

dem

Dan

ndie

Beh

auptu

ng.

Die

sbildet

die

Gru

ndla

gefü

rden

Bew

eis

des

Sat

zes.

pri

nzi

pie

lle

Str

ukt

ur

eines

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eise

s:

Vor

auss

etzu

ng

=⇒

Fol

geru

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=⇒

...

=⇒

...

=⇒

Beh

auptu

ng

Pro

ble

me

bei

die

ser

Art

der

Dar

stel

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•häu

fig

Mis

sver

stän

dnis

seüb

erB

edeu

tung

des

Inkl

usi

onsp

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•B

egrü

ndunge

nfü

rei

nze

lne

Fol

geru

nge

nnic

ht/u

nvol

lstä

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geb

en

Bea

chte

des

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bfo

lgen

des

Sta

ndar

dfo

rmat

für

Bew

eise

:V

orau

sset

zung(

en)

=⇒

Fol

geru

ng

1m

it

Beg

ründung

=⇒

Fol

geru

ng

2m

itB

egrü

ndung

=⇒

...

=⇒

Beh

auptu

ng

mit

Beg

ründung

1.4

.3S

atz

un

dK

ehrs

atz

pri

nzi

pie

lle

Str

ukt

ur

mat

hem

atis

cher

Sät

ze:

Vor

auss

etzu

ng

=⇒

Beh

auptu

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OD

ER

Wen

n

Vor

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ng,

dan

nB

ehau

ptu

ng

häu

fige

Feh

lerq

uel

leb

eim

For

mulier

enei

nes

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sei

nes

Sat

zes:

(unb

ewuss

tes)

Ver

tausc

hen

von

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etzu

ng

und

Beh

auptu

ng

−→V

erta

usc

htm

anb

eiei

nem

mat

hem

atis

chen

Sat

zV

orau

sset

zung

und

Beh

auptu

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soer

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t

man

die

Um

kehra

uss

age .

Die

Um

kehra

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age

eines

(wah

ren)

Sat

zes

ist

NIC

HT

von

vorn

her

ein

wah

r.

1.4

.4B

ewei

sid

een

Zum

Bew

eise

nvo

nSät

zen

imSta

atse

xam

engi

bt

espri

nzi

pie

llzw

eiStr

ateg

ien:

•B

ewei

sbzw

.B

ewei

sidee

ausw

endig

gele

rnt

•m

anb

edie

ntsi

chheu

rist

isch

erM

ethod

en,

um

Bew

eisi

dee

zuge

ner

iere

n

Bei

mA

usw

endig

lern

enre

icht

die

zugr

undel

iege

nde,

spez

ifisc

he

Bew

eisi

dee

voll

und

ganz

aus.

Sei

te12

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

heu

rist

isch

eStr

ateg

ien:

•in

Geo

met

rie:

Ein

zeic

hnen

„gu

ter“

Hilfs

linie

n

Aufg

aben

mit

Hilfs

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n

Dre

ieck

enH

öhen

,Sei

tenhal

bie

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Win

kelh

albie

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Mit

tels

enkr

echt

en,

Par

alle

len

zuSei

ten

Vie

reck

enD

iago

nal

en,

Sei

tenm

itte

nlinie

n

Kre

isen

Rad

ien,

Tan

gent

en

•in

Ari

thm

etik

und

Alg

ebra

:V

erw

enden

zugr

undel

iege

nder

Defi

nit

ionen

1.5

Allg

emei

nes

zuU

nte

rric

hts

ein

hei

ten

un

dU

nte

rric

hts

seq

uen

zen

1.5

.1B

egri

ffse

rläu

teru

ngen

•U

nte

rric

hts

ein

heit

(UE

)

–dau

ert

eine

oder

zwei

Unt

erri

chts

stunden

–in

Exa

men

sprü

fung

KE

INE

Anga

be

von

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tein

hei

ten

für

die

Tei

leder

UE

erfo

rder

lich

–D

arst

ellu

ng

des

Them

asod

erei

ner

Ler

nei

nhei

tim

Rah

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von

ein

bis

einei

nhal

b

Zei

tstu

nden

•U

nte

rric

hts

seq

uen

z(U

S)

–um

fass

tm

ehre

reU

Es:

ca.

4bis

10U

Es

–in

Exa

men

sprü

fung

KE

INE

Anga

be

einer

zeit

lich

enU

nter

teilung

der

US

inU

Eer

-

ford

erlich

1.5

.2S

tru

ktu

rei

ner

Un

terr

ich

tsei

nh

eit

•V

orb

ere

itu

ng

s-u

nd

Du

rch

füh

run

gst

eil

Vor

ber

eitu

ngs

phas

en

–Sac

han

alys

e

–L

ernv

orau

sset

zunge

n

–L

ernzi

ele

–ev

tl.

met

hod

isch

eund

did

akti

sche

Vor

bem

erku

nge

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Durc

hfü

hru

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phas

en

–E

inst

ieg

indie

Pro

ble

mst

ellu

ng

–P

roble

mst

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ng

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mlö

sung

–Sic

her

ung

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erti

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Ob

alle

die

seP

has

enin

einer

UE

vork

omm

enund

inw

elch

erA

usp

rägu

ng

die

sge

schie

ht,

hän

gtvo

mT

hem

aund

auch

dav

onab

,ob

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chum

eine

Ein

führu

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stunde

oder

eine

Sei

te13

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

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ik

(d)

erhal

tedad

urc

hei

nP

aral

lelo

gram

mm

itder

Flä

che

AP

=G

rundlinie

·Höh

e=

(a+

c)·h

=⇒

AT

=(a

+c)

·h2

(2)

Sei

enm

die

Mit

tellin

ieund

hdie

Höh

edes

Tra

pez

es.

(a)

konst

ruie

reei

nT

rap

ezund

ein

Rec

htec

km

itB

reit

em

und

Höh

eh

(b)

lege

Tra

pez

und

Rec

htec

küb

erei

nan

der

(c)

Die

bei

den

Dre

ieck

e,die

üb

erdas

Rec

htec

khin

ausr

agen

,si

nd

jew

eils

kongr

uen

tm

it

den

bei

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en,

die

das

Tra

pez

vom

Rec

htec

k„a

btr

ennen

“.

(d)

legt

man

die

seD

reie

cke

ents

pre

chen

dum

,so

erhäl

tm

anei

nR

echt

eck

mit

der

Flä

che

AR

=m

·h

=⇒

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=m

·h2

Beh

:Sat

zgru

pp

edes

Pyt

hag

oras

(i)

Sat

zdes

Pyt

hag

oras

:a

2+

b2=

c2

(ii)

Kat

het

ensa

tzdes

Eukl

id:

a2

=p

·cund

b2=

q·c

(iii)

Höh

ensa

tzdes

Eukl

id:

h2

=p

·q

Bew

eis

(i)

Ski

zze1

Sei

∆A

BC

ein

rech

twin

klig

esD

reie

ckm

itden

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ten

a,

bund

c.F

erner

seie

nD

der

Höh

enfu

ßpunkt

der

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eh

,q

=[A

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und

p=

[BD

].

Weg

ender

Win

kels

um

me

imD

reie

ckgi

lt:

�A

CD

=�

CB

D

1http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Pythagoras_large_font.svg

(Zu

gri

ffam

03.0

3.2

015)

Sei

te46

XI

BE

WE

ISE

(⇐)

Sei

∆A

BC

glei

chsc

hen

klig

.F

erner

seie

nM

bder

Mit

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unkt

von

[AC

]und

Ma

der

Mit

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punkt

von

[BC

].

Es

gilt

:A

C=

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=⇒

AM

b=

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aund

�B

AC

=�

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A

Nac

hK

ongr

uen

zsat

zSW

Sfo

lgt:

∆A

BM

a∼ =

∆A

BM

b

Dam

itfo

lgt

sofo

rt:

AM

a=

BM

b

2

Beh

:D

asP

rodukt

zwei

erte

iler

frem

der

nat

ürl

icher

Zah

len

ist

genau

dan

nei

ne

Quad

rat-

zahl,

wen

nb

eide

Zah

len

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ratz

ahle

nsi

nd.

Bew

eis

(⇐)

Sei

engg

T(m

,n)

=1,

m=

b2und

n=

c2m

itb,

c,m

,n∈N

.

Dan

ngi

lt:

m·n

=b2

·c2

=(b

·c)2

(⇒)

Sei

engg

T(m

,n)

=1

und

m·n

=a

2m

ita,m

,n∈N

.

Dan

ngi

lt:

m·n

=a

2⇐

⇒√

mn

=a

Weg

ena

∈N

muss

auch

√m

n∈N

sein

.

Die

sis

tge

nau

dan

nder

Fal

l,w

enn

m·n

eine

Quad

ratz

ahl

ist.

Fer

ner

gilt

:√

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=√

m·√

n

Die

sis

tnu

rdan

nin

Nen

thal

ten,

wen

nm

und

nse

lbst

schon

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ratz

ahle

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nd.

Der

Fal

lm

=n

ist

weg

engg

T(m

,n)

=1

ausg

esch

loss

en.

2

Beh

:D

asge

omet

risc

he

Mit

tel

ist

klei

ner

als

das

arit

hm

etis

che

Mit

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oder

glei

ch:

√a

·b≦

a+

b2

Bew

eis

Idee

:U

nter

den

Rec

htec

ken

mit

glei

chem

Um

fang

hat

das

Quad

rat

den

größ

ten

Flä

chen

-

inhal

t.

√a

·b≦

a+

b

2(∗

)

⇐⇒

2·√

a·b≦

a+

b

⇐⇒

4·a

·b≦

(a+

b)2

=a

2+

2·a

·b+

b2

⇐⇒

0≦

a2

−2

·a·b

+b2

=(a

−b)

2

Die

sgi

ltfü

ral

lea,b

∈R

,al

sois

tau

ch(∗

)al

säq

uiv

alen

teG

leic

hung

allg

emei

ngü

ltig

.

2

Beh

:D

erF

läch

enin

hal

tei

nes

Tra

pez

esis

t(1

)A

T=

(a+

c)·h

2und

(2)

AT

=m

·h.

Bew

eis

(1)

Sei

ena

und

cdie

bei

den

par

alle

len

Sei

ten

und

hdie

Höh

edes

Tra

pez

es.

(a)

konst

ruie

rezw

eiko

ngr

uen

teT

rap

eze

(b)

zeic

hne

Höh

eh

auf

Sei

tea

ein

(c)

lege

eines

der

Tra

pez

eso

andas

ander

e,das

sdie

bei

den

glei

chen

Sch

enke

lanei

nan

der

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en

Sei

te45

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

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Wie

der

hol

ungs

-od

erÜ

bungs

stunde

han

del

t.

Üblich

erw

eise

ist

inder

Exa

men

sprü

fung

für

die

Bes

chre

ibung

die

ses

unt

erri

chts

pra

kti-

schen

Tei

lset

wa

eine

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tstu

nde

vorg

eseh

en.

Als

Ric

htm

aßso

llte

NIC

HT

meh

ral

sei

n

Vie

rtel

der

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tau

fdie

Vor

ber

eitu

ngs

phas

enve

rwen

det

wer

den

.O

ftw

erden

auch

nur

Tei

-

leei

ner

UE

verl

angt

,w

elch

edan

nen

tspre

chen

dau

sführl

ich

bea

rbei

tet

wer

den

sollte

n.

•S

ozia

lfo

rmen

–L

ehre

r-Sch

üle

r-G

esprä

ch:

(Fro

ntal

-)U

nter

rich

tdes

Leh

rers

mit

gesa

mte

rK

lass

e

–in

div

iduel

les

Arb

eite

n

–P

artn

er-

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Gru

pp

enar

bei

t

–Sta

tion

enle

rnen

oder

Ler

nzi

rkel

–P

roje

ktunt

erri

cht

–U

nter

rich

tim

Com

pute

rrau

m

Üblich

erw

eise

sollte

nin

einer

UE

meh

rere

Soz

ialf

orm

en,

wel

che

vom

Zie

ldes

Unt

erri

chts

-

absc

hnit

tes

abhän

gen,

vork

omm

en.

Bei

der

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hfü

hru

ng

einer

UE

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vor

alle

mau

ffo

lgen

des

geac

htet

wer

den

:

–ak

tive

Bet

eiligu

ng

von

SuS

amU

nter

rich

t

–ad

äquat

eko

gnit

ive

For

der

ung

der

SuS

–im

Auge

beh

alte

nvo

nZ

iel

bzw

.T

eilz

iele

nder

UE

1.5

.3S

tru

ktu

rei

ner

Un

terr

ich

tseq

uen

z

Vor

ber

eitu

ngs

phas

enw

ieb

eiU

E

Du

rch

füh

run

gsp

hase

n:

stär

ker

auf

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rfri

stig

enL

ernpro

zess

ausg

eric

htet

•E

inor

dnu

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inG

esam

tcurr

iculu

mund

Pro

ble

mst

ellu

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•A

nga

be

der

Ler

nsc

hri

tte

imR

ahm

ender

US

•Sic

her

ung

Wic

htig

bei

US:

•deu

tlic

hes

Her

auss

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der

aufe

inan

der

aufb

auen

den

Ler

nsc

hri

tte

•B

esch

reib

ung

kann

–m

uss

aber

nic

ht–

inF

orm

aufe

inan

der

folg

ender

UE

erfo

lgen

Sei

te14

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

1.5

.4V

orb

erei

tun

gsp

has

en

•m

ath

em

ati

sch

eS

ach

an

aly

se:

Um

wel

che(

n)

mat

hem

atis

chen

Inhal

t(e)

geht

es?

–E

rfas

sen

vork

omm

ender

Beg

riff

evo

nih

rem

mat

hem

atis

chen

Inhal

ther

–ku

rze

Erl

äute

rung

der

vork

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enden

Beg

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eod

erV

erfa

hre

n(D

efinit

ion

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Dar

-

stel

lung

eines

Ver

fahre

ns)

–ev

tl.

Ein

ordnu

ng

der

Beg

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eod

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hre

nin

größ

ere

Zusa

mm

enhän

ge

–in

Exa

men

sprü

fung

häu

fig

ber

eits

invo

rher

gehen

den

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aben

ber

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durc

hge

führt

–hilfr

eich

,si

chse

lbst

die

Fra

gezu

stel

len,

∗w

elch

eze

ntra

len

Beg

riff

eau

ftre

ten

∗w

elch

eZ

usa

mm

enhän

gezu

ander

enB

egri

ffen

bes

tehen

∗um

wel

ches

Ver

fahre

nes

sich

han

del

t

∗w

asdie

Auss

age

eines

ange

geb

enen

oder

ben

ötig

ten

Sat

zes

ist

•L

ern

vo

rau

ssetz

un

gen

–b

etre

ffen

das

mat

hem

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che

Wis

sen

–F

ähig

keit

enund

Fer

tigk

eite

nder

SuS

zu

mV

erst

ändnis

der

UE

oder

US

not

wen

dig

häu

fige

rF

ehle

r:L

ernv

orau

sset

zunge

nw

erden

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lgem

ein

bes

chri

eben

•L

ern

zie

le:

Wel

che

Zie

lew

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gese

tzt

bzw

.w

elch

eK

omp

eten

zen

sollen

Ler

nen

de

erw

er-

ben

? –Z

iele

,w

elch

em

itU

Eod

erU

Ser

reic

htw

erden

sollen

–Z

iele

können

sich

bez

iehen

auf

∗W

isse

n

∗K

önnen

∗F

ähig

keit

en

∗F

erti

gkei

ten

∗aff

ekti

ven

Ber

eich

–op

erat

ional

isie

rt:

Ler

nzi

ele

sollte

nso

ange

führt

wer

den

,das

ssi

esi

chzu

mei

nen

auf

einen

spez

ifisc

hen

Inhal

tb

ezie

hen

und

zum

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en,d

ass

ihr

Err

eich

enau

chüb

erprü

ft

wer

den

kann

–es

können

auch

Gro

b-

bzw

.H

auptz

iel(D

AS

zent

rale

Zie

l)und

Fei

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ele

unt

ersc

hie

den

wer

den

Bei

der

Bes

chre

ibung

von

Ler

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elen

sollte

nin

sbes

onder

edie

inden

KM

K-B

ildungs

stan

dar

ds

ange

führt

enK

om

pete

nze

nb

erück

sich

tigt

wer

den

,b

eiden

ennac

hIn

hal

ts-

und

Pro

zess

zie-

len

unt

ersc

hie

den

wir

d.

Sei

te15

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

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ik

Man

erhäl

tal

so

c2=

a2

+b2

−2a

· CS

=a

2+

b2+

2ac

cos(

γ)

ImF

alle

eines

stum

pfw

inkl

igen

Dre

ieck

sge

htm

anan

alog

vor

und

man

erhäl

t:

a2

=b2

+c2

−2b

cco

s(α

)

b2=

c2+

a2

−2c

aco

s(β

)

c2=

a2

+b2

−2a

bco

s(γ

)

2

Beh

:E

inko

nvex

esV

iere

ckis

tge

nau

dan

nei

nSeh

nen

vier

eck,

wen

nsi

chdie

gege

nüb

er-

lieg

enden

Win

kel

zu18

0◦er

gänze

n.

Bew

eis

(⇒)

Sei

ein

konv

exes

Vie

reck

2A

BC

Dei

nSeh

nen

vier

eck.

=⇒

∃K

reis

k,

sodas

sgi

lt:

A,B

,C,D

∈k

Zei

chne

nun

eine

wei

tere

Seh

ne

ein

und

wäh

ledie

seoh

ne

Ein

schrä

nku

ng

[BD

].

Nun

bilden

die

bei

den

Kre

isb

ögen

BD

und

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sich

ergä

nze

nde

Kre

isb

ögen

.

Nac

hU

mfa

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win

kels

atz

gilt

,das

ssi

chU

mfa

ngs

win

kel

üb

ersi

cher

gänze

nden

Kre

isb

ögen

zu18

0◦er

gänze

n.A

lso

gilt

hie

rau

ch,d

ass

sich

gege

nüb

erlieg

ende

Win

kelz

u18

0◦er

gänze

n.

Für

die

Seh

ne

[AC

]gi

ltdie

san

alog

(⇐)

Es

ergä

nze

nsi

chge

genü

ber

lieg

ende

Win

kel

imko

nvex

enV

iere

ck2

AB

CD

zu18

0◦.

Nac

hU

mfa

ngs

win

kels

atz

exis

tier

enzw

eisi

cher

gänze

nde

Kre

isb

ögen

,der

enU

mfa

ngs

win

kel

sich

zu18

0◦er

gänze

n.

=⇒

∃K

reis

k,

sodas

sgi

lt:

A,B

,C,D

∈k

=⇒

konv

exes

Vie

reck

2A

BC

Dis

tei

nSeh

nen

vier

eck

2

Beh

:Z

wei

Sei

tenhal

bie

rende

eines

Dre

ieck

ssi

nd

genau

dan

ngl

eich

lang,

wen

ndas

Dre

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glei

chsc

hen

klig

ist.

Bew

eis

(⇒)

Sei

enM

bder

Mit

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unkt

von

[AC

],M

ader

Mit

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unkt

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[BC

]und

Sder

Sch

nit

tpunkt

von

[AM

a]

und

[BM

b].

Es

gilt

:Sei

tenhal

bie

rende

teilen

sich

inal

len

Dre

ieck

enim

Ver

häl

tnis

2 1=

AS

SM

a

=B

S

SM

b

Nac

hV

orau

sset

zung

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:A

S=

BS

und

SM

a=

SM

b

Fer

ner

gilt

für

∆A

SM

bund

∆B

MaS

:�

MbS

A=

�B

SM

a

Mit

Kon

gruen

zsat

zSW

Sgi

lt:

∆A

SM

b∼ =

∆B

MaS

=⇒

AM

b=

BM

a=

⇒1 2A

C=

1 2B

C=

⇒A

C=

BC

=⇒

∆A

BC

ist

glei

chsc

hen

klig

.

Sei

te44

XI

BE

WE

ISE

Mit

der

Win

kels

um

me

imD

reie

ck∆

AB

Cgi

lt:

180◦

=�

MA

C+

�C

BM

+(�

MA

C+

�C

BM

)

=2

·�M

AC

+2

·�C

BM

=⇒

90◦

=�

MA

C+

�C

BM

=�

AC

B

2

Beh

:Sin

uss

atz:

Inei

nem

bel

iebig

enD

reie

ck∆

AB

Cgi

lt:

sin

(α)

a=

sin

(β b=

sin

(γ)

c.

Bew

eis

Sei

D∈

[AB

]der

Höh

enfu

ßpunkt

der

Höh

eh

c.

Dan

ngi

ltnac

hD

efinit

ion:

sin

(α)

=h

c bund

sin

(β)

=h

c a

=⇒

sin

(α)

a=

sin

(β)

b

Unt

erB

enutz

ung

der

glei

chen

Sch

luss

wei

sem

itei

ner

wei

tere

nH

öhe

(ha

oder

hb)

erhäl

t

man

die

vollst

ändig

eB

ehau

ptu

ng.

2

Bem

erku

ng:

Die

ser

Sat

zgi

ltau

chin

stum

pfw

inkl

igen

Dre

ieck

en,

da

sin

(π−

β)

=si

n(β

)gi

lt.

Beh

:C

osin

uss

atz:

Inei

nem

bel

iebig

enD

reie

ck∆

AB

Cgi

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c2=

a2

+b2

−2a

bco

s(γ

).

Bew

eis

Bet

rach

tezu

näc

hst

ein

spit

zwin

klig

esD

reie

ck∆

AB

C.

Sei

S∈

[BC

]der

Höh

enfu

ßpunkt

der

Höh

eh

a.

Man

erhäl

tso

mit

zwei

rech

twin

klig

e

Dre

ieck

e∆

AB

Sund

∆S

CA

.

Bet

rach

tezu

näc

hst

∆A

BS

und

erhal

tenac

hP

ythag

oras

:

c2=

(BS

)2+

h2 a

⇐⇒

h2 a

=c2

−( B

S)2

und

genau

soin

∆S

CA

:b2

=(C

S)2

+h

2 a⇐

⇒h

2 a=

b2−

(CS

)2

Set

zeb

eide

Gle

ichu

nge

nzu

sam

men

und

erhal

tezu

sam

men

mit

a=

BS

+C

S:

c2−

( BS

)2=

b2−

(CS

)2

⇐⇒

c2=

b2+

( BS

)2−

(CS

)2

⇐⇒

c2=

b2+

(

a−

(CS

))

2−

(CS

)2

⇐⇒

c2=

b2+

a2

−2a

· CS

+(C

S)2

−(C

S)2

⇐⇒

c2=

a2

+b2

−2a

· CS

In∆

SC

Ais

tnu

nab

er[C

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gera

de

die

Anka

thet

evo

nγ

=�

AC

Bund

bdie

Hyp

oten

use

.

Als

ogi

lt:

cos(

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=C

S b⇐

⇒C

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b·c

os(γ

)

Sei

te43

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

–all

gem

ein

em

ath

em

ati

sch

eK

om

pete

nzen

∗m

athem

atis

char

gum

enti

eren

∗P

roble

me

mat

hem

atis

chlö

sen

∗m

athem

atis

chm

odel

lier

en

∗m

athem

atis

che

Dar

stel

lunge

nve

rwen

den

∗m

itsy

mb

olis

chen

,for

mal

enund

tech

nis

chen

Ele

men

ten

der

Mat

hem

atik

um

gehen

∗K

omm

uniz

iere

n

–A

nfo

rderu

ng

sbere

ich

em

ath

em

ati

sch

er

Ko

mp

ete

nzen

∗R

epro

duzi

eren

∗Z

usa

mm

enhän

geher

stel

len

∗V

eral

lgem

einer

nund

Refl

ekti

eren

–in

halt

sbezo

gen

em

ath

em

ati

sch

eK

om

pete

nzen

∗L

eiti

dee

Zah

l

∗L

eiti

dee

Mes

sen

∗L

eiti

dee

Rau

mund

For

m

∗L

eiti

dee

funkt

ional

erZ

usa

mm

enhan

g

∗L

eiti

dee

Dat

enund

Zufa

ll

Wen

nnic

htau

sdrü

cklich

eine

ausf

ührl

iche

Bes

chre

ibung

der

Ler

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ele

verl

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ist,

dan

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ist

eine

Bes

chrä

nku

ng

auf

wen

ige

zent

rale

Zie

lesi

nnv

oll.

Hie

rfür

sind

3od

er4

Zie

levö

llig

ausr

eich

end.

Ein

eU

nter

schei

dung

zwis

chen

Gro

b-

und

Fei

nzi

elen

ist

NIC

HT

not

wen

dig

.

•d

idak

tisc

he

un

dm

eth

od

isch

eV

orb

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erk

un

gen

(ev

tl.)

–did

akti

sche

Vor

bem

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Dar

legu

ng,

wel

che

Bed

eutu

ng

Them

aim

Rah

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des

gesa

mte

nC

urr

iculu

ms

bes

itzt

und

war

um

esim

mat

hem

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chen

Leh

rgan

gw

icht

ig

ist

–m

ethod

isch

eV

orb

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kung:

Beg

ründung,

wie

das

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Unt

erri

cht

beh

andel

t

wir

d

–in

der

Exa

men

sprü

fung

ist

esra

tsam

,die

sen

Tei

ler

stN

AC

Hder

Bes

chre

ibung

der

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hfü

hru

ngs

phas

enzu

erst

elle

nbzw

.die

(Vor

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emer

kung

indie

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hfü

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ngs

-

phas

ezu

inte

grie

ren

−→did

akti

sche

oder

met

hod

isch

eE

rläu

teru

nge

nin

einze

lnen

Phas

enin

tegr

iert

1.5

.5D

urc

hfü

hru

ngsp

has

enei

ner

UE

Wie

kann

man

vorg

ehen

,dam

itL

ernen

de

die

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stre

bte

nZ

iele

erre

ichen

können

?

•E

inst

ieg

indie

Pro

ble

mst

ellu

ng

–H

infü

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zum

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a

–häu

fig

auch

das

Wor

tM

oti

vati

on

verw

endet

–so

llte

neu

gier

igm

achen

Sei

te16

IE

XA

ME

NS

KU

RS

NA

CH

[WW

15]

–so

llte

Fra

geod

erP

roble

mau

fwer

fen

–ka

nn

Wie

der

hol

ung

früher

erIn

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te(G

rundw

isse

n,

letz

teStu

nde)

sein

–ka

nn

inner

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auße

rmat

hem

atis

che

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enst

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ng

sein

–ka

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ledig

lich

aus

Info

rmat

ion

bes

tehen

,z.

B.

heu

teSta

tion

enle

rnen

;dan

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llab

er

auf

Bed

eutu

ng

der

Inhal

tein

der

Stu

nde

oder

amE

nde

der

UE

einge

gange

nw

erden

–did

akti

sche

und/o

der

met

hod

isch

eA

nm

erku

nge

nund

Erl

äute

runge

nei

nfü

gen;b

eson

-

der

sb

eiunge

wöh

nlich

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inst

iege

n

War

um

wurd

eder

Ein

stie

gge

nau

soge

wäh

lt?

–pri

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pie

llsi

nd

unge

wöh

nlich

eE

inst

iege

gern

ege

lese

n

•P

roble

mst

ellu

ng

–P

roble

mst

ellu

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evtl

.durc

hw

eite

res

Bei

spie

lnac

hdem

Ein

stie

gdeu

tlic

hher

vorh

eben

–SuS

muss

imL

aufe

der

Stu

nde

deu

tlic

hw

erden

,m

itw

elch

emP

roble

mbzw

.w

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er

Fra

gesi

esi

chb

esch

äfti

gen

sollen

–häu

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dir

ekt

mit

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aben

stel

lung

gege

ben

•P

roble

mlö

sung

–ze

ntra

ler

Tei

lder

UE

–D

arst

ellu

ng,

inw

elch

erA

rtund

Wei

seSuS

die

Lös

ung

des

Pro

ble

ms

erre

ichen

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;

daz

usi

nd

folg

ende

Fra

gen

und

Üb

erle

gunge

nnot

wen

dig

oder

hilfr

eich

:

∗W

elch

eSch

ritt

ew

erden

von

SuS

erw

arte

tbzw

.vo

mL

ehre

ran

gedac

ht?

∗H

ilfr

eich

,w

enn

Lös

ung

auf

vers

chie

den

enD

arst

ellu

ngs

eben

en(e

nak

tiv,

ikon

isch

,

sym

bol

isch

)er

folg

t?

∗H

ilfe

stel

lunge

nfü

rSuS,

die

die

Lös

ung

NIC

HT

sofo

rter

kennen

?

∗A

rbei

tsblä

tter

?

∗E

rwar

tung

von

Erg

ebnis

sen

nac

hG

rupp

enar

bei

tder

SuS?

∗H

ilfs

mit

tel?

Med

ien,

neu

eT

echnol

ogie

n?

–did

akti

sche

und/o

der

met

hod

isch

eA

nm

erku

nge

nund

Erl

äute

runge

nei

nfü

gen

•Sic

her

ung

–F

esti

gung

und

Übung

vom

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tenen

Res

ult

atbzw

.der

Pro

ble

mlö

sung

–A

nwen

dung

von

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nnt

enZ

usa

mm

enhän

gen,

Ver

fahre

nund

Ein

sich

ten

in(s

ehr)

ähnlich

enB

eisp

iele

n

–T

ransf

erau

funb

ekan

nte

Ber

eich

enu

rin

enge

nG

renze

n

–fü

rje

glic

hes

Ler

nen

ist

Üb

enund

Sic

her

nse

hr

wic

htig

•V

erti

efung

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ehan

dlu

ng

oder

Hin

wei

sau

fw

eite

rgeh

ende

Fra

gen

–A

ufg

aben

mit

eige

nem

Pro

ble

mlö

sean

satz

oder

Tra

nsf

erau

fan

der

eG

ebie

te

–E

rwar

tung

neu

erkr

eati

ver

Ansä

tze

Sei

te17

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

�A

CB

+�

BD

A=

180◦

(iv

)Sei

die

Ger

ade

durc

hE

und

Mdie

Mit

tels

enkr

echt

evo

n[A

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Die

sesc

hnei

de

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Tan

gent

e

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Kre

isdurc

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imP

unkt

F.

Die

Dre

ieck

e∆

FM

Aund

∆F

EA

sind

rech

twin

klig

eD

reie

cke

mit

dem

gem

einsa

men

Win

-

kel�

AF

E=

�A

FM

.W

egen

der

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kels

um

me

imD

reie

ckm

uss

dah

erge

lten

:

�F

AE

=�

AM

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)

�A

MF

ist

aber

gera

de

der

hal

be

Mit

telp

unkt

swin

kel,

da

[ME

]al

sM

itte

lsen

krec

hte

im

glei

chsc

hen

klig

enD

reie

ck∆

AB

Mgl

eich

zeit

igdie

Win

kelh

albie

rende

von

�A

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ist.

Dam

itgi

ltab

ernac

h(i

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�A

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=�

AC

B(♮

)

Zusa

mm

ener

häl

tm

andan

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it(♦

)und

(♮):

�F

AE

=�

AM

F=

�A

CB

und

�F

AE

=�

AC

B

2

Beh

:U

mke

hru

ng

des

Um

fangs

win

kels

atze

s/P

erip

her

iew

inke

lsat

zes:

Üb

erei

ner

Str

ecke

[AB

]w

erden

die

Punkt

eC

und

Dso

gew

ählt

,das

ssi

ein

einer

Hal

beb

ene

lieg

enund

�A

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=�

AD

Bgi

lt.

Dan

nlieg

endie

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eA

,B

,C

und

Dau

fei

nem

Kre

is.

Bew

eis

Bilde

den

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isk

um

die

Punkt

eA

,B

und

C.

Ange

nom

men

D/∈

k=

⇒∃

Punkt

P∈

(AD

∩k)

Nac

hU

mfa

ngs

win

kels

atz/

Per

ipher

iew

inke

lsat

zgi

ltnu

nab

er:

�A

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=�

AP

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�A

DB

Fer

ner

gilt

nac

hK

ongr

uen

zsat

zSSW

:∆

AB

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∆A

BD

Das

hei

ßt,

die

bei

den

Dre

ieck

em

üss

enso

gar

iden

tisc

hüb

erei

nan

der

lieg

en,

da

sie

zwei

gem

einsa

me

Punkt

ehab

en.

Dam

itm

üss

enab

erdie

Punkt

eP

und

Düb

erei

nst

imm

en,

was

imW

ider

spru

chzu

rA

n-

nah

me

D/∈

kst

eht.

2

Beh

:Sat

zdes

Thal

es:

Lie

gen

die

Eck

punkt

eei

nes

Dre

ieck

s∆

AB

Cau

fei

nem

Kre

isund

geht

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Gru

ndse

ite

durc

hden

Mit

telp

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Mdes

Kre

ises

,so

han

del

tes

sich

um

ein

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klig

esD

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ck..

Bew

eis

Sei

Mder

Mit

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unkt

der

Str

ecke

[AB

]und

rder

Rad

ius

des

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ises

.

Dan

ngi

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AM

=B

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=r

Som

itsi

nd

∆A

MC

und

∆M

BC

glei

chsc

hen

klig

eD

reie

cke.

Ingl

eich

schen

klig

enD

reie

cken

sind

die

Bas

isw

inke

lgl

eich

groß

,al

sogi

lt:

�M

AC

=�

AC

Mund

�C

BM

=�

MC

B

Sei

te42

XI

BE

WE

ISE

Bew

eis

(ii)

Für

die

sen

Tei

lis

tei

ne

Fal

lunt

ersc

hei

dung

nöt

ig:

1.

Fall

:M

lieg

tau

fA

C.

Dan

ngi

lt:

∆M

BC

ist

glei

chsc

hen

klig

=⇒

�C

MB

=�

MC

B(∗

)

Wei

ter

gilt

:�

AM

Bis

tA

uße

nwin

kel

des

Dre

ieck

s∆

MB

Cund

dam

itgi

lt:

�A

MB

=�

MC

B+

�C

BM

(∗)

=2

·�A

CB

Der

sym

met

risc

he

Fal

l,das

sM

auf

[BC

]lieg

t,ka

nn

anal

ogge

zeig

tw

erden

.

2.

Fall

:M

lieg

tim

Inner

endes

Dre

ieck

s∆

AB

C.

Dan

ngi

lt:

�A

CB

=�

AC

M+

�M

CB

(♣)

∆A

MC

ist

glei

chsc

hen

klig

=⇒

�M

AC

=�

MC

B

∆B

CM

ist

glei

chsc

hen

klig

=⇒

�C

BM

=�

MC

B(∗

∗)

Auße

rdem

gilt

weg

ender

Win

kels

um

me

imD

reie

ckund

(∗∗)

:

�C

MA

=18

0◦−

2·�

AC

Mund

�B

MC

=18

0◦−

2·�

MC

B

Für

den

Mit

telp

unkt

swin

kel�

AM

Bgi

ltso

mit

:

�A

MB

=36

0◦−

(�C

MA

+�

BM

C)

=36

0◦(1

80◦

−2

·�A

CM

+18

0◦−

2·�

MC

B)

=36

0◦−

(

360◦

−2

·(�

AC

M+

�M

CB

))

(♣)

=2

·�A

CB

3.

Fall

:M

lieg

tau

ßerh

alb

des

Dre

ieck

s∆

AB

C.

Dan

ngi

lt:

�A

CB

=�

MC

B−

�M

CA

(♠)

∆A

CM

glei

chsc

hen

klig

=⇒

�C

AM

=�

MC

A

∆B

CM

glei

chsc

hen

klig

=⇒

�C

BM

=�

MC

B(♥

)

Auße

rdem

gilt

weg

ender

Win

kels

um

me

imD

reie

ckund

(♥):

�A

MC

=18

0◦−

2·�

MC

Aund

�B

MC

=18

0◦−

2·�

MC

B

Für

den

Mit

telp

unkt

swin

kel�

AM

Bgi

ltso

mit

:

�A

MB

=�

AM

C−

�B

MC

=18

0◦−

2·�

MC

A−

(180

◦−

2·�

MC

B)

=2

·(�

MC

B−

�M

CA

)

(♠)

=2

·�A

CB

(i)

Aus

dem

Bew

eis

von

(ii)

folg

t,das

sal

leU

mfa

ngs

win

kel

mit

dem

selb

enM

itte

lpunkt

swin

kel

die

glei

che

Grö

ße,

näm

lich

gera

de

den

hal

ben

Mit

telp

unkt

swin

kel

hab

en.

(iii

)Sei

Dei

nP

unkt

auf

dem

Kre

isb

ogen

AB

.

Die

Sum

me

der

kom

ple

men

täre

nM

itte

lpunkt

swin

kel

bet

rägt

:�

AM

B+

�B

MA

=36

0◦

Als

ois

tnac

h(i

i)die

Sum

me

der

kom

ple

men

täre

nU

mfa

ngs

win

kel

die

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fte:

Sei

te41

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

–of

tm

öglich

,V

erti

efung

sozu

wäh

len,

das

sA

usb

lick

auf

eine

kom

men

de

Them

enst

el-

lung

gege

ben

wir

d

VO

RSIC

HT

:V

erti

efung

NIC

HT

zuan

spru

chsv

ollg

esta

lten

;kan

nau

fzu

künft

ige

Them

en-

ber

eich

ehin

wei

sen

aber

NIC

HT

der

enIn

hal

tau

sführl

ich

beh

andel

n!

1.5

.6D

urc

hfü

hru

ngsp

has

enei

ner

US

Wie

kann

man

vorg

ehen

,dam

itL

ernen

de

die

ange

stre

bte

nZ

iele

erre

ichen

können

?

•In

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tew

erden

vom

Ein

fach

enzu

mSch

wer

enhin

aufg

ebau

t

•P

roble

mst

ellu

ng

und

Ein

ordnu

ng

indas

Ges

amtc

urr

iculu

m

–E

inst

ieg

inU

Sis

thäu

fig

ein

neu

erA

bsc

hnit

tod

erei

nneu

esK

apit

el

–A

ufz

eige

ndes

Bez

uge

sneu

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tezu

ber

eits

beh

andel

ten

Inhal

ten;

kann

durc

hau

s

imU

mfa

ng

einer

UE

sein

–am

Ende

die

ser

Ein

ordnu

ng

sollte

die

Pro

ble

mst

ellu

ng

steh

en

•A

nga

be

der

Ler

nsc

hri

tte

imR

ahm

ender

US

–ze

ntra

ler

Tei

lder

Bea

rbei

tung

–A

nfü

hru

ng

der

Ler

nsc

hri

tte

unt

erm

athem

atis

chen

Ges

icht

spunkt

en

–ku

rzau

fm

ethod

isch

eB

ehan

dlu

ng

einge

hen

–did

akti

sche

Beg

ründung

und

Erl

äute

rung

der

einze

lnen

Sch

ritt

e

•Sic

her

ung

–fo

rtla

ufe

nde

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her

ung

nac

hje

dem

der

einze

lnen

Ler

nsc

hri

tte

–B

erück

sich

tigu

ng

von

Sic

her

unge

nb

eiB

esch

reib

ung

der

Ler

nsc

hri

tte

1.5

.7A

nh

ang

Fol

gende

Inhal

teso

llte

nau

fje

dem

Fal

lal

sA

nh

an

gb

eilieg

en:

•ge

pla

ntes

Taf

elbild

•gg

f.H

efte

intr

äge

•U

nter

rich

tsm

ater

ialien

:A

rbei

tsblä

tter

,G

rupp

enar

bei

tsau

fträ

ge,

Lau

fzet

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Fol

ien

...

•gg

f.Sit

zpla

n,

falls

zum

Ver

stän

dnis

nöt

ig

IIH

inw

eise

zur

Exa

men

sprü

fun

gn

ach

[Rei

15]

Gen

erel

lso

llte

bei

der

Anfe

rtig

ung

der

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men

sarb

eit

auf

folg

ende

Asp

ekte

geac

htet

wer

den

:

•V

erw

endung

korr

ekte

rF

achsp

rach

e

•V

erw

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ekte

rm

athem

atis

cher

Sch

reib

wei

se

•Ü

ber

sich

tlic

hke

itund

korr

ekte

Rec

htsc

hre

ibung

•V

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cht

auf

Allge

mei

nau

ssag

en

Sei

te18

IVD

EF

INIT

ION

EN

III

An

mer

kun

gen

zur

Exa

men

sprü

fun

gn

ach

[Rot1

5]

3.1

Inh

altl

ich

eK

lars

tellu

ngen

bez

üglic

hve

rwen

db

arer

Med

ien

•A

rbei

tsbla

tt

–en

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tIm

puls

e,A

nre

gunge

n,H

ilfe

,Han

dlu

ngs

auff

order

unge

n..

.(sp

rach

lich

eE

ben

e)

–en

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tA

usg

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situ

atio

nen

,zu

verv

olls

tändig

ende

Zei

chnu

nge

n,

Bilder

seri

en..

.

(han

del

nde

Eb

ene)

–en

thäl

tbildlich

-sym

bol

isch

eD

arst

ellu

nge

n(z

eich

ner

isch

eE

ben

e)

–ka

nn

inje

der

Phas

edes

mat

hem

atis

chen

Ler

npro

zess

esei

nge

setz

tw

erden

∗P

has

eder

Ers

tbeg

egnu

ng:

vorn

ehm

lich

mot

ivie

render

Char

akte

r

∗P

has

eder

Erk

ennt

nis

gew

innu

ng:

Ver

mit

tlung

neu

erK

ennt

nis

sein

Bez

ug

auf

Beg

riff

e,L

ehrs

ätze

oder

Ver

fahre

n

∗P

has

eder

Ein

übung:

Med

ium

einer

oper

ativ

enSic

her

ung

des

Gel

ernt

en

∗P

has

edes

Tra

nsf

ers:

Mög

lich

keit

enund

Gre

nze

nder

Üb

ertr

agung

des

Gel

ernt

en

•m

ater

ielle

Ob

jekt

e

–B

ilder

,M

odel

le,

real

eG

egen

stän

de,

tech

nis

che

Hilfs

mit

tel

...

–B

erei

tste

llung

oder

Sic

her

ung

von

Info

rmat

ionen

–kl

are

Bes

chre

ibung

der

Unt

erri

chts

skiz

ze

IVD

efin

itio

nen

Ist

imF

olge

nden

von

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die

Red

e,dan

nso

llte

ange

geb

enw

erden

,au

sw

elch

erG

rundm

enge

die

Zah

lst

amm

t.

4.1

Kon

gru

enza

bb

ildu

ng

•E

ine

Abbildung,

die

sich

durc

hei

ne

Ach

sensp

iege

lung

oder

die

Hin

tere

inan

der

ausf

ühru

ng

von

(endlich

viel

en)

Ach

sensp

iege

lunge

ner

setz

enlä

sst,

nen

ntm

anK

ongr

uen

zabbildung.

•E

ine

Abbildung

nen

ntm

anK

ongr

uen

zabbildung,

wen

nsi

eei

ne

Ach

sensp

iege

lung,

eine

Dre

hung,

eine

Ver

schie

bung

oder

eine

Sch

ubsp

iege

lung

ist.

•E

ine

Abbildung,

die

länge

n-

und

win

kelt

reu

ist,

nen

ntm

anK

ongr

uen

zabbildung.

4.2

Pu

nkt

spie

gel

un

g

Ein

eP

unkt

spie

gelu

ng

ist

eine

geom

etri

sche

Abbildung

gem

äßfo

lgen

der

Vor

schri

ft:

(1)

Geg

eben

sei

ein

ausg

ezei

chnet

erP

unkt

Z(d

asso

genan

nte

Spie

gelz

entr

um

).

(2)

Fal

lsZ

ungl

eich

P,

zeic

hnet

man

durc

hZ

und

einen

Urp

unkt

Pdie

Ger

ade

ZP

und

schnei

det

die

sem

itdem

Kre

isk(Z

;P)

mit

Mit

telp

unkt

Zund

Rad

ius

|ZP

|.D

erSch

nit

t-

punkt

von

k(Z

,P)

mit

ZP

,der

NIC

HT

mit

Pzu

sam

men

fällt,

ist

der

Bildpunkt

P′

des

Urp

unkt

esP

.

(3)

Fal

lsZ

=P

,so

gilt

:P

′=

P=

Z.

Sei

te19

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

Fra

ge:

Wan

nsi

nd

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eben

eD

reie

cke

ähnlich

?

Zw

eiD

reie

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sind

ähnlich

e,w

enn

gilt

:

•(W

W)

Üb

erei

nst

imm

ung

inzw

eiW

inke

lnO

DE

R

•(S

SS)

Üb

erei

nst

imm

ung

inal

len

Ver

häl

tnis

sen

ents

pre

chen

der

Sei

ten

OD

ER

•(S

WS)

Üb

erei

nst

imm

ung

imV

erhäl

tnis

zwei

erSei

ten

und

dem

einge

schlo

ssen

enW

inke

l

OD

ER

•Ü

ber

einst

imm

ung

imV

erhäl

tnis

zwei

erSei

ten

und

dem

Geg

enw

inke

lder

größ

eren

Sei

te

Beh

:Sti

mm

enzw

eiD

reie

cke

inzw

eiW

inke

lnüb

erei

n,s

osi

nd

sie

einan

der

ähnlich

.(W

W)

Bew

eis

Man

zeig

e,das

sei

ne

Ähnlich

keit

sabbildung

exis

tier

t,b

eider

das

eine

Dre

ieck

das

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des

ander

enD

reie

cks

ist.

Sei

SA

;kei

ne

zent

risc

he

Str

ecku

ng

mit

Zen

trum

Aund

Str

eckf

akto

rk.

SA

;k:

∆A

BC

→∆

A′ B

′ C′

,k

=A

′ B′

AB

α=

α′

(nac

hV

orau

sset

zung)

AB

1=

A′ B

′

β1

=β

=β

′(W

inke

ltre

ue

von

SA

;k)

=⇒

∆A

B1C

1∼ =

∆A

′ B′ C

′(K

ongr

uen

zsat

zw

sw)

=⇒

∆A

BC

∼∆

A′ B

′ C′

(Defi

nit

ion

der

Ähnlich

keit

)

2

Beh

:U

mfa

ngs

win

kels

atz/

Per

ipher

iew

inke

lsat

z

(i)

Alle

Um

fangs

win

kel

(Per

ipher

iew

inke

l)üb

erdem

selb

enK

reis

bog

ensi

nd

glei

ch.

(ii)

Der

Um

fangs

win

kelü

ber

einem

Kre

isb

ogen

ist

hal

bso

groß

wie

der

zuge

hör

ige

Mit

telp

unkt

swin

kel.

(iii)

Um

fangs

win

kel

üb

ersi

cher

gänze

nden

Kre

isb

ögen

ergä

nze

nsi

chzu

180◦

.

(iv)

Der

Seh

nen

-Tan

gent

en-W

inke

lau

fder

Geg

ense

ite

der

Seh

ne

ist

glei

chgr

oß

wie

der

Um

fangs

win

kel.

Sei

te40

XI

BE

WE

ISE

Anal

ogze

igt

man

,das

sdie

sau

chfü

rdie

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tenhal

bie

rende

[FC

]m

itei

ner

bel

iebig

en

wei

tere

nSei

tenhal

bie

renden

und

esfo

lgt,

das

ssi

chal

ledre

iSei

tenhal

bie

renden

inei

nem

Punkt

S(S

chw

erpunkt

des

Dre

ieck

s)sc

hnei

den

.

2

Beh

:D

iedre

iM

itte

lsen

krec

hten

imD

reie

ckhab

enei

nen

gem

einsa

men

Sch

nit

tpunkt

.

Bew

eis

Sei

∆A

BC

ein

Dre

ieck

und

seie

nm

a,

mb

und

mc

die

Mit

tels

enkr

echt

enau

fdie

Dre

ieck

s-

seit

en.

Da

ma,

mb

und

mc

vers

chie

den

eG

erad

ensi

nd,

hab

ensi

eje

wei

lsei

nen

gem

einsa

men

Sch

nit

tpunkt

.

Sei

ohne

Ein

schrä

nku

ng

Mder

Sch

nit

tpunkt

von

ma

und

mb.

Dan

ngi

lt:

•M

lieg

tau

fm

b,

also

hat

Mden

selb

enA

bst

and

zuA

und

zuC

•M

lieg

tau

chau

fm

a,

also

hat

Mden

selb

enA

bst

and

zuB

und

zuC

=⇒

Mhat

auch

den

selb

enA

bst

and

zuA

und

B

=⇒

Mlieg

tau

fder

Mit

tels

enkr

echt

enm

c

=⇒

ma,

mb

und

mc

schnei

den

sich

also

inei

nem

gem

einsa

men

Punkt

M.

2

Beh

:D

iedre

iH

öhen

imD

reie

ckhab

enei

nen

gem

einsa

men

Sch

nit

tpunkt

.

Bew

eis

Sei

∆A

BC

ein

Dre

ieck

.

Kon

stru

iere

zunäc

hst

die

Par

alle

len

zuden

Dre

ieck

ssei

ten

durc

hdie

gege

nüb

erlieg

enden

Eck

enund

erhal

teei

ngr

ößer

esD

reie

ck∆

A′ B

′ C′ .

Jezw

eider

vier

Tei

ldre

ieck

edes

neu

enD

reie

cks

bilden

ein

Par

alle

logr

amm

.

ImP

aral

lelo

gram

msi

nd

gege

nüb

erlieg

ende

Sei

ten

glei

chla

ng

und

esfo

lgt,

das

sdie

Sei

ten

von

∆A

′ B′ C

′ge

rade

dop

pel

tso

lang

sind

wie

die

Sei

ten

von

∆A

BC

.

Die

Höh

endes

urs

prü

ngl

ichen

Dre

ieck

s∆

AB

Cst

imm

endah

erm

itden

Mit

tels

enkr

echt

en

des

Dre

ieck

s∆

A′ B

′ C′

üb

erei

n.

Da

sich

die

Mit

tels

enkr

echt

nei

nes

Dre

ieck

sin

einem

Punkt

schnei

den

(Um

krei

smit

tel-

punkt

),m

uss

die

sau

chfü

rdie

Höh

endes

Dre

ieck

s∆

AB

Cge

lten

.

2

Fra

ge:

Wan

nfa

llen

die

Sch

nit

tpunkt

evo

nden

Höh

enund

den

Sei

tenhal

bie

renden

im

Dre

ieck

zusa

mm

en?

Imgl

eich

seit

igen

Dre

ieck

fallen

die

Höh

en,

Win

kelh

albie

renden

,Sei

tenhal

bie

renden

und

Mit

tel-

senkr

echt

enzu

sam

men

.

Fra

ge:

Was

unt

ersc

hei

det

die

Mit

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enkr

echt

envo

nden

ander

enD

reie

cksl

inie

n?

Die

Mit

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enkr

echt

ensc

hnei

den

sich

inei

nem

Punkt

,w

elch

ergl

eich

wei

tvo

nal

len

dre

iE

ck-

punkt

enen

tfer

ntis

tund

glei

chze

itig

Mit

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unkt

des

Um

krei

ses

ist.

Sei

te39

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

4.3

Ter

m

Ein

Ter

mis

tei

nsi

nn

voll

erR

echen

ausd

ruck

(for

mal

:ei

ne

Zei

chen

reih

e),

der

bei

Bel

egung

säm

t-

lich

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aria

ble

nin

einen

Zah

lenw

ert

üb

erge

ht.

Bem

erku

ng:

Som

itdar

fin

einem

Ter

mK

EIN

„=“

enth

alte

nse

in!

4.4

Fu

nkt

ion

Geg

eben

seie

nzw

einic

htle

ere

Men

gen

A,B

.E

ine

Funkt

ion

ist

eine

Zuor

dnu

ng,

die

jedem

x∈

A

genau

ein

y∈

Bzu

ordnet

.

4.4

.1in

jekt

ive

Fu

nkt

ion

Für

alle

x1

6=x

2gi

lt:

f(x

1)

6=f

(x2)

4.4

.2su

rjek

tive

Fu

nkt

ion

Es

gibt

für

alle

y∈

Bei

nx

∈A

mit

f(x

)=

y

4.4

.3b

ijekt

ive

Fu

nkt

ion

Ein

eF

unkt

ion

hei

ßtbij

ekti

v,fa

lls

sie

inje

ktiv

und

surj

ekti

vis

t.

4.4

.4pr

op

orti

on

ale

Fu

nkt

ion

en

Funkt

ionen

mit

der

Ter

mdar

stel

lung x

7−→ax

,a

>0

,x

>0

hei

ßen

pro

por

tion

ale

Funkt

ionen

.a

ist

dab

eider

Pro

por

tion

alit

ätsf

akto

r.

4.4

.5lin

eare

Fu

nkt

ion

Ein

eF

unkt

ion

f:

x7−→

mx

+t

mit

m,t

∈Q

hei

ßtlinea

reF

unkt

ion.

4.4

.6B

etra

gsf

un

ktio

n

Die

Funkt

ion

f:

x7−→

|x|=

xfü

rx

≥0

−x

für

x≤

0hei

ßtB

etra

gsfu

nkt

ion.

4.5

Tei

lbar

keit

Für

Zah

len

aund

bsa

gen

wir

:a

teilt

b,fa

lls

esei

ne

Zah

lk

gibt

mit

b=

k·a

.

4.6

Tei

lerm

enge

Für

eine

Zah

ln

hei

ßtdie

Men

geT

(n)

={

a

∣ ∣ ∣ ∣

ate

ilt

n

}

Tei

lerm

enge

von

n.

4.7

Pri

mza

hl

Hat

die

Tei

lerm

enge

T(n

)ge

nau

zwei

Ele

men

te,

sohei

ßtdie

Zah

ln

Pri

mza

hl.

Sei

te20

IVD

EF

INIT

ION

EN

4.8

teile

rfre

md

eZ

ahle

n

Gilt

für

zwei

Zah

len

aund

bgg

T(a

;b)

=1,

sonen

ntm

ana

und

bte

iler

frem

d.

4.9

Ger

ade

Ein

eG

erad

eis

tei

ne

Lin

ievo

nunen

dlich

erA

usd

ehnu

ng.

4.1

0p

aral

lele

Ger

aden

•Z

wei

Ger

aden

gund

hhei

ßen

par

alle

l,w

enn

sie

sich

NIC

HT

schnei

den

(oder

glei

chsi

nd).

•Z

wei

Ger

aden

hei

ßen

par

alle

l,w

enn

sie

üb

eral

lden

glei

chen

Abst

and

zuei

nan

der

hab

en.

•Z

wei

Ger

aden

hei

ßen

par

alle

l,w

enn

sie

von

einer

dri

tten

Ger

aden

imgl

eich

enW

inke

l

gesc

hnit

ten

wer

den

.

4.1

1se

nkr

ech

te/or

thogon

ale

Ger

aden

•Z

wei

Ger

aden

gund

hhei

ßen

senkr

echt

(g⊥

h),

wen

nsi

esi

chsc

hnei

den

und

alle

vier

ents

tehen

den

Win

kel

rech

teW

inke

lsi

nd.

•Z

wei

Ger

aden

gund

hhei

ßen

senkr

echt

,w

enn

g6=

hund

die

Ger

ade

gb

eiei

ner

Ach

sen-

spie

gelu

ng

anh

mit

ihre

mB

ild

zur

Dec

kung

kom

mt

(gal

soF

ixge

rade

ist)

.

•Z

wei

Ger

aden

gund

hhei

ßen

senkr

echt

,w

enn

g6=

hund

esei

ne

Dre

hung

um

90◦

gibt,

die

glei

chze

itig

gau

fh

und

hau

fg

abbildet

.

4.1

2O

rtsl

inie

un

dO

rtsb

erei

ch

Punkt

e,die

eine

Eig

ensc

haf

tE

bes

itze

n,

hei

ßen

geom

etri

scher

Ort

zur

Eig

ensc

haf

tE

.

Bem

erku

ng:

Eis

tin

der

Sch

ule

mei

sten

s„gl

eich

erA

bst

and

von

...“

.

Bildet

die

seP

unkt

men

geei

ne

Lin

ie,

sohei

ßtdie

seO

rtsl

inie

.

Ste

llt

die

Punkt

men

geei

ne

Eb

ene

oder

einen

Tei

lder

Eb

ene

dar

,so

hei

ßtsi

eO

rtsb

erei

ch.

4.1

3K

reis

Die

Men

geal

ler

Punkt

ein

der

Eb

ene,

die

von

einem

gege

ben

enP

unkt

Mden

glei

chen

Abst

and

rhab

en,

hei

ßtK

reis

mit

Mit

telp

unkt

Mund

Rad

ius

r.

4.1

4M

itte

lsen

krec

hte

Die

Men

geal

ler

Punkt

eP

,die

von

zwei

vers

chie

den

enP

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enA

und

Bgl

eich

enA

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hab

en,

ist

die

Mit

tels

enkr

echt

em

AB

auf

[AB

].

Sei

te21

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

2.

Fall

:m

6=n

=⇒

mx

+t

=n

x+

u=

⇒(m

−n

)x=

u−

tm

6=n

===⇒

x=

u−

tm

−n

=⇒

∃x,

sodas

sg

und

hei

nen

Punkt

Pge

mei

nsa

mhab

en.

Insg

esam

tfo

lgt

also

die

Beh

auptu

ng.

2

Beh

:D

iege

genü

ber

lieg

enden

Sei

ten

eines

Par

alle

logr

amm

ssi

nd

glei

chla

ng.

Bew

eis

Sei

2A

BC

Dei

nP

aral

lelo

gram

mm

it[A

B]‖

[CD

]und

[BC

]‖

[AD

].

Die

Dia

gonal

e[A

C]t

eilt

das

Vie

reck

inzw

eiD

reie

cke,

wel

che

bei

de

die

Sei

te[A

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esit

zen.

�D

CA

=�

BA

C(W

echse

lwin

kel)

�C

AD

=�

AC

B(W

echse

lwin

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Nac

hK

ongr

uen

zsat

zW

SW

gilt

:∆

AB

C∼ =

∆A

CD

Som

itfo

lgt

sofo

rt:

AB

=C

Dund

BC

=A

D

2

Beh

:D

iago

nal

enim

Par

alle

logr

amm

hal

bie

ren

sich

gege

nse

itig

.

Bew

eis

Sei

2A

BC

Dei

nP

aral

lelo

gram

mm

it[A

B]

‖[C

D],

[BC

]‖

[AD

],A

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und

BC

=A

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Fer

ner

sei

Sder

Sch

nit

tpunkt

der

Dia

gonal

en[A

C]

und

[BD

].

Nac

hK

ongr

uen

zsat

zW

SW

gilt

:∆

AB

S∼ =

∆S

CD

,w

egen

•A

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(nac

hV

orau

sset

zung)

•�

BA

S=

�D

CS

(Wec

hse

lwin

kel)

•�

SB

A=

�S

DC

(Wec

hse

lwin

kel)

Som

itfo

lgt

sofo

rt:

AS

=S

Cund

BS

=S

D

2

Beh

:D

iedre

iSei

tenhal

bie

renden

imD

reie

ckhab

enei

nen

gem

einsa

men

Sch

nit

tpunkt

.

Bew

eis

Sei

en∆

AB

Cei

nD

reie

ck,

Dder

Mit

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unkt

von

[BC

],E

der

Mit

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von

[AC

]und

Fder

Mit

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von

[AB

].F

erner

sei

Sder

Sch

nit

tpunkt

von

[AD

]und

[BE

].

Dan

ngi

lt:

CB

CD

=C

A

CE

=2 1

Mit

der

Um

kehru

ng

der

Str

ahle

nsä

tze

folg

t:[A

B]‖

[ED

]und

AB

ED

=2 1

∆A

BS

und

∆E

SD

sind

ähnlich

,w

egen

•Ü

ber

einst

imm

ung

imSch

eite

lwin

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�D

SE

=�

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B

•Ü

ber

einst

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ung

der

Wec

hse

lwin

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�B

AS

=�

ED

S

Dam

itgi

lt:

AS

SD

=B

S

SE

=2 1

Sei

te38

XI

BE

WE

ISE

Beh

:Z

wei

Stu

fenw

inke

lα

=w

(p,g

)und

β=

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,g)

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ngr

uen

t,w

enn

p

und

hpar

alle

leG

erad

ensi

nd.

Bew

eis

(⇒)

Sei

enα

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ngr

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t.Sch

eite

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ein

Sch

enke

llieg

enje

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lsau

fg.

Ver

schie

be

den

Sch

eite

lvon

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tlan

gder

Ger

aden

gau

fden

Sch

eite

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aei

ne

Tra

nsl

atio

nw

inke

ltre

u

ist,

wir

dα

aufβ

abge

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und

folg

lich

pau

fh

.Da

bei

Tra

nsl

atio

nen

Ger

aden

aufpar

alle

le

Ger

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wer

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,is

tp

par

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lzu

h.

(⇐)

Sei

enp

und

hpar

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l.V

ersc

hie

be

den

Sch

eite

lvo

nα

auf

den

Sch

eite

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nβ

entl

ang

der

Ger

aden

g.

Dan

nw

ird

pau

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abge

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und

folg

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αau

fβ

.D

aei

ne

Tra

nsl

atio

n

win

kelt

reu

ist,

gilt

:α

ist

kongr

uen

tzu

β.

2

Beh

:Z

wei

Wec

hse

lwin

kel

α=

w(p

,h)

und

β=

w(h

,g)

sind

genau

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nko

ngr

uen

t,w

enn

pund

hpar

alle

lsi

nd.

Bew

eis

Bet

rach

teden

Win

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γ.

Es

gilt

:γ

ist

Stu

fenw

inke

lzu

αund

Sch

eite

lwin

kel

zuβ

.

Die

Stu

fenw

inke

lγ

und

αsi

nd

genau

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nko

ngr

uen

t,w

enn

pund

hpar

alle

leG

erad

en

sind.

Die

Sch

eite

lwin

kel

γund

βsi

nd

imm

erko

ngr

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t.

Dam

itsi

nd

die

Wec

hse

lwin

kel

αund

βge

nau

dan

nko

ngr

uen

t,w

enn

pund

hpar

alle

le

Ger

aden

sind.

2

Beh

:E

inV

iere

ckm

itdre

ire

chte

nW

inke

lnis

tei

nR

echt

eck.

Bew

eis

Es

gilt

:D

ieW

inke

lsum

me

imV

iere

ckb

eträ

gt36

0◦.

=⇒

360◦

−3

·90◦

=90

◦

=⇒

auch

der

vier

teW

inke

lhat

ein

Win

kelm

aßvo

n90

◦

=⇒

Das

Vie

reck

ist

ein

Rec

htec

k.

2

Beh

:Z

wei

vers

chie

den

eG

erad

eng

und

hhab

enhöc

hst

ens

einen

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Pge

mei

nsa

m.

Bew

eis

Sei

eng(x

)=

mx

+t

und

h(x

)=

nx

+u

mit

m,n

,t,u

∈R

zwei

vers

chie

den

eG

erad

en.

1.

Fall

:m

=n

=⇒

mx

+t

=m

x+

u=

⇒t

=u

Die

sgi

ltnu

rdan

n,

wen

ng

und

hid

enti

sch

sind

und

steh

tim

Wid

ersp

ruch

zur

Vor

auss

et-

zung.

=⇒

Für

t6=

ugi

bt

esK

EIN

EN

Punkt

P,

den

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hge

mei

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mhab

en.

Sei

te37

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

4.1

5M

itte

lpu

nkt

swin

kel,

Um

fan

gs-

bzw

.R

and

win

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Sei

enA

und

Bzw

eive

rsch

ieden

eP

unkt

eei

nes

Kre

ises

mit

Mit

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M.

Dan

nhei

ßtder

Win

kel

AM

BM

itte

lpunkt

swin

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Sei

Cei

nP

unkt

des

Kre

ises

,der

bez

ügl

ich

der

Ger

aden

AB

inder

selb

enH

alb

eben

ew

ieM

lieg

t.

Dan

nhei

ßtder

Win

kel

AC

Bder

zum

Win

kel

AM

Bge

hör

ige

Um

fangs

-bzw

.R

andw

inke

l.

4.1

6sy

mm

etri

sch

(Ab

bild

un

gsg

eom

etri

e)

Ein

eF

igur

hei

ßtsy

mm

etri

sch,

wen

nes

eine

Kon

gruen

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gibt,

wel

che

die

Fig

ur

auf

sich

selb

stab

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.

Bem

erku

ng:

Fig

ur

und

Bildfigu

rsi

nd

iden

tisc

h,

das

hei

ßtin

vari

ant

unt

erdie

ser

Abbildung.

4.1

7K

on

gru

enza

bb

ildu

ng

Ein

elä

nge

ntre

ue

Abbildung

der

Eb

ene

auf

sich

selb

sthei

ßtK

ongr

uen

zabbildung.

For

mal

er:

Sei

Eei

ne

Eb

ene.

Dan

nhei

ßtf

:E

→E

mit

f(A

)f(B

)∼ =

AB

für

alle

A,B

∈E

Kon

gruen

zabbildung.

4.1

8ko

ngru

ent

(Ab

bild

un

gsg

eom

etri

e)

Zw

eige

omet

risc

he

Fig

ure

nhei

ßen

genau

dan

nko

ngr

uen

t,w

enn

esei

ne

Kon

gruen

zabbildung

gibt,

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che

die

Fig

ur

auf

die

ander

eab

bildet

.

Bem

erku

ng:

ents

pri

cht

der

Vor

stel

lung

„dec

kungs

glei

ch“

4.1

9F

ixp

un

kt,

Fix

ger

ade,

Fix

pu

nkt

ger

ade

Sin

dei

nP

unkt

und

sein

Bild

unt

erei

ner

Abbildung

iden

tisc

h,s

ohei

ßtei

nso

lche

Punkt

Fix

punkt

der

Abbildung.

Sin

dei

ne

Ger

ade

und

ihr

Bild

unt

erei

ner

Abbildung

iden

tisc

h,

sohei

ßtei

ne

solc

he

Ger

ade

Fix

gera

de.

Sin

dal

leP

unkt

eei

ner

Ger

aden

Fix

punkt

e,so

hei

ßtdie

seF

ixpunkt

gera

de.

4.2

0S

pie

gel

bild

Sei

enA

und

Bzw

eive

rsch

ieden

eP

unkt

eei

ner

Ger

aden

gund

Pei

nP

unkt

,der

NIC

HT

auf

g

lieg

t.Is

tP

′ei

nvo

nP

vers

chie

den

erP

unkt

,fü

rden

[AP

]∼ =

[AP

′ ]und

[BP

]∼ =

[BP

′ ]gi

lt,

so

hei

ßtP

′Spie

gelb

ild

von

Pbzg

l.der

Ger

aden

g.

4.2

1A

chse

nsp

iegel

un

g

Ein

eA

bbildung

der

Eb

ene

aufsi

ch,d

ieje

dem

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Pse

inSpie

gelb

ild

P′b

ezügl

ich

der

Ger

aden

gzu

ordnet

,hei

ßtA

chse

nsp

iege

lung.

Die

Ger

ade

ghei

ßtSpie

gela

chse

.

Sei

te22

IVD

EF

INIT

ION

EN

4.2

2gle

ich

sin

nig

orie

nti

ert

Zw

eiko

ngr

uen

teF

igure

nhei

ßen

glei

chsi

nnig

orie

ntie

rt,

wen

ndie

eine

durc

hdie

Hin

tere

inan

-

der

ausf

ühru

ng

einer

gera

den

Anza

hl

von

Ach

sensp

iege

lunge

nau

fdie

ander

eab

gebildet

wer

den

kann.

4.2

3P

un

ktsp

iegel

un

g

•E

ine

Abbildung

ϕM

der

Eb

ene

auf

sich

hei

ßtP

unkt

spie

gelu

ng,

wen

nsi

ege

nau

einen

Fix

-

punkt

Mb

esit

ztund

jedem

Punkt

Pden

Bildpunkt

P′

sozu

ordnet

,das

sM

die

Str

ecke

[PP

′ ]hal

bie

rt.

Mhei

ßtZ

entr

um

der

Punkt

spie

gelu

ng.

•B

eiei

ner

Punkt

spie

gelu

ng

amP

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Mlieg

enje

der

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und

sein

Bild

aufei

ner

Ger

aden

durc

hM

glei

chw

eit

entf

ernt

von

M.

4.2

4D

reh

un

g

•E

ine

Abbildung

DM

,αder

Eb

ene

auf

sich

hei

ßtD

rehu

ng,

wen

nsi

eei

nen

Fix

punkt

M

bes

itzt

und

wen

nfü

rje

den

von

Mve

rsch

ieden

enP

unkt

Pund

sein

Bild

P′

gilt

,das

s

MP

=M

P′

und

Win

kel

PM

P′=

αis

t.

Mhei

ßtD

rehpunkt

und

αD

rehw

inke

l.

•B

eiei

ner

Dre

hung

wer

den

alle

Punkt

eei

ner

Fig

ur

auf

Kre

isen

mit

dem

glei

chen

Mit

tel-

punkt

Min

glei

chem

Dre

hsi

nn

um

glei

chgr

oße

Win

kel

gedre

ht.

4.2

5T

ran

slat

ion

(Par

alle

lver

sch

ieb

un

g)

•E

ine

Abbildung

der

Eb

ene

auf

sich

hei

ßtP

aral

lelv

ersc

hie

bung

oder

Tra

nsl

atio

n,

wen

nsi

e

als

Hin

tere

inan

der

ausf

ühru

ng

von

zwei

Ach

sensp

iege

lunge

nS

gund

Sh

anpar

alle

len

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sen

gund

hdar

gest

ellt

wer

den

kann.

•B

eiei

ner

Par

alle

lver

schie

bung

bew

egen

sich

alle

Punkt

eau

fzu

einan

der

par

alle

len

Ger

aden

glei

chw

eit

ingl

eich

erR

icht

ung.

4.2

6D

ilata

tion

(zen

tris

che

Str

ecku

ng)

Ein

eA

bbildung

der

Eb

ene

auf

sich

hei

ßtD

ilat

atio

n(z

entr

isch

eStr

ecku

ng)

genau

dan

n,

wen

n

sie

jede

Ger

ade

auf

eine

zuih

rpar

alle

leG

erad

eab

bildet

und

einen

Fix

punkt

hat

.

Bem

erku

ng:

Man

könnt

edie

zent

risc

he

Str

ecku

ng

also

auch

„Par

alle

lver

größ

erung“

nen

nen

.

4.2

7Ä

hn

lich

keit

sab

bild

un

g

Unt

erÄ

hnlich

keit

sabbildung

vers

teht

man

die

Hin

tere

inan

der

ausf

ühru

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einer

endlich

enA

nza

hl

von

zent

risc

hen

Str

ecku

nge

nund

Kon

gruen

zabbildunge

n.

4.2

8D

reh

stre

cku

ng

Ein

eV

erkn

üpfu

ng

einer

Dre

hung

und

einer

Str

ecku

ng

mit

iden

tisc

hem

Zen

trum

hei

ßtD

rehst

re-

ckung.

Sei

te23

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

Beh

:K

ongr

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zabbildunge

nsi

nd

bij

ekti

vund

dam

itum

kehrb

ar

Bew

eis

Zw

eive

rsch

ieden

eP

unkt

ekö

nnen

NIC

HT

den

glei

chen

Bildpunkt

hab

en,

da

der

Abst

and

erhal

ten

ble

ibt

(inje

ktiv

).

Um

geke

hrt

gibt

eszu

jedem

Punkt

Xei

nU

rbild.

Den

nse

iP

ein

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und

P′

sein

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.Sch

lage

um

Pei

nen

Kre

is,

des

sen

Rad

ius

kongr

uen

tzu

rStr

ecke

[P′ X

]is

t.

Bet

rach

tenu

ndie

Bilder

der

Punkt

eau

fder

Kre

islinie

:si

ebilden

einen

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isum

P′ ,

auf

dem

auch

Xlieg

t.D

amit

hat

Xei

nU

rbild

(surj

ekti

v).

2

Beh

:K

ongr

uen

zabbildunge

nsi

nd

gera

den

treu

(das

hei

ßt,

Ger

aden

wer

den

auf

Ger

aden

abge

bildet

).

Bew

eis

Sei

enA

,B

und

Cve

rsch

ieden

eP

unkt

eau

fei

ner

Ger

aden

,w

obei

ohne

Ein

schrä

nku

ng

B

zwis

chen

Aund

Blieg

t.

Annah

me:

Der

Bildpunkt

B′

lieg

tN

ICH

Tau

fder

Ger

aden

durc

hdie

Bildpunkt

eA

′ C′ .

Da

AB

+B

C=

AC

,fo

lgt

auch

A′ B

′+

B′ C

′=

A′ C

′ .

Die

sis

tab

erN

ICH

Tm

öglich

(Dre

ieck

sungl

eich

ung)

.

2

Beh

:K

ongr

uen

zabbildunge

nsi

nd

par

alle

lent

reu.

Bew

eis

Da

die

Abbildunge

nbij

ekti

vund

gera

den

treu

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stdie

Anza

hld

erSch

nit

tpunkt

ezw

eier

Ger

aden

glei

chder

Anza

hl

der

Sch

nit

tpunkt

eder

Bildge

raden

.

2

Beh

:Z

wei

Neb

enw

inke

ler

geb

enzu

sam

men

180◦

.

Bew

eis

Fol

gtunm

itte

lbar

aus

der

Defi

nit

ion:

Ger

ade

ents

pri

cht

einem

gest

reck

ten

Win

kel

2

Beh

:Sch

eite

lwin

kel

sind

glei

chgr

oß.

Bew

eis

Sei

enβ

und

γSch

eite

lwin

kel.

Dan

ngi

bt

esei

nen

gem

einsa

men

Neb

enw

inke

lα

,so

das

s

α+

β=

180◦

und

α+

γ=

180◦

.E

sfo

lgt

β=

γ.

2

Sei

te36

XI

BE

WE

ISE

Beh

:1 9

=0.

1

Bew

eis

0.11

1111

...=

1 10+

1 100

+1

1000

+..

.=

1 10·

∞∑ n=

0

(

1 10

)

n

Mit

geom

etri

scher

Rei

he

folg

t∞

∑ n=

0

(

1 10

)

n

=1 10

·10 9=

1 9

2

Beh

:0.

9=

1

Bew

eis

Sei

0.9

=a.

Dan

ngi

lt:

10a

=9.

9

⇐⇒

10a

−a

=9.

9−

0.9

⇐⇒

9a=

9⇐

⇒a

=1

2

Bew

eis

(Alt

ern

ati

ve)

Es

gilt

:1 9

=0.

1.A

lso

folg

t:0.

9=

9·0

.1=

9·1 9

=1

2

Beh

:√

2is

tir

rati

onal

.

Bew

eis

Sei

√2

=m n

mit

m,n

∈Z

,n

6=0

und

ggT

(m,n

)=

1.

=⇒

2n2

=m

2

Da

2n2

gera

de

ist

für

alle

n∈

Z,

muss

auch

m2

eine

gera

de

Zah

lse

inund

som

itden

Tei

ler

2b

esit

zen.

Dan

nm

uss

aber

ber

eits

mden

Tei

ler

2b

esit

zen.

Als

ois

tm

2durc

h4

teilbar

.F

olgl

ich

ist

n2

und

dam

itau

chn

durc

h2

teilbar

.D

ies

ist

jedoc

hei

nW

ider

spru

ch

zugg

T(n

,m)

=1.

=⇒

√2

ist

irra

tion

al.

2

Beh

:√

21is

tir

rati

onal

.

Bew

eis

Sei

√21

=m n

mit

m,n

∈Z

,n

6=0

und

ggT

(m,n

)=

1.

=⇒

21n

2=

m2

=⇒

21∣ ∣ ∣

m2

=⇒

21∣ ∣ ∣

m(∗

)=

⇒21

∣ ∣ ∣n

2=

⇒21

∣ ∣ ∣n

Die

sst

eht

imW

ider

spru

chzu

ggT

(m,n

)=

1.

=⇒

√21

ist

irra

tion

al.

2

(∗)

ergi

bt

sich

aus

der

Subst

ituti

onm

=21

·m′ ,

wor

aus

folg

t:21

n2

=21

2m

′2

Sei

te35

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

4.2

9S

pie

gel

stre

cku

ng

Ein

eV

erkn

üpfu

ng

einer

Ach

sensp

iege

lung

und

einer

Str

ecku

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mit

Zen

trum

auf

der

Ach

sehei

ßt

Spie

gels

trec

kung.

4.3

0S

tufe

nw

inke

l

Zw

eiW

inke

lα

=w

(p,g

)und

β=

w(h

,g)

hei

ßen

genau

dan

nStu

fenw

inke

l,w

enn

jeei

nSch

enke

l

der

bei

den

Win

kel

auf

einer

gem

einsa

men

Ger

aden

glieg

tund

die

bei

den

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enSch

enke

l

bez

ügl

ich

gin

der

selb

enH

alb

eben

elieg

en.

4.3

1D

reie

ck

Ein

Dre

ieck

ist

die

Ver

einig

ung

der

Str

ecke

nzw

isch

endre

ive

rsch

ieden

enP

unkt

en,

die

NIC

HT

auf

einer

Ger

aden

lieg

en.

4.3

2H

öh

enim

Dre

ieck

Sei

AB

Cei

nD

reie

ck.

Dan

nhei

ßen

die

Sen

krec

hten

der

Ger

aden

AB

,A

Cund

BC

,die

jew

eils

durc

hdie

gege

nüb

erlieg

enden

Punkt

eC

,B

und

Age

hen

,H

öhen

gera

den

des

Dre

ieck

s.

Die

(Maß

eder

)Str

ecke

nau

fden

Höh

enge

raden

vom

Eck

punkt

des

Dre

ieck

szu

rge

genü

ber

lie-

genden

Ger

aden

hei

ßen

Höh

endes

Dre

ieck

s.

4.3

3S

eite

nh

alb

iere

nd

ed

esD

reie

cks

Die

Ger

aden

,die

durc

hden

Mit

telp

unkt

einer

Dre

ieck

ssei

teund

den

gege

nüb

erlieg

enden

Eck

-

punkt

bes

tim

mt

sind,

hei

ßen

Sei

tenhal

bie

rende

des

Dre

ieck

s.

4.3

4Q

uad

rat

Ein

Vie

reck

mit

vier

kongr

uen

ten

Sei

ten

und

vier

rech

ten

Win

keln

hei

ßtQ

uad

rat.

4.3

5R

ech

teck

Ein

Vie

reck

hei

ßtR

echt

eck,

falls

alle

Win

kel

rech

teW

inke

lsi

nd.

4.3

6R

aute

Ein

Vie

reck

mit

vier

kongr

uen

ten

Sei

ten

hei

ßtR

aute

oder

Rhom

bus.

4.3

7P

aral

lelo

gra

mm

Ein

Vie

reck

,des

sen

gege

nüb

erlieg

ende

Sei

ten

jew

eils

par

alle

lsi

nd,

hei

ßtP

aral

lelo

gram

m.

4.3

8T

rap

ez

Ein

Vie

reck

mit

zwei

par

alle

len

Sei

ten

hei

ßtT

rap

ez.

4.3

8.1

gle

ich

sch

enkl

iges

Tra

pez

Ein

Vie

reck

mit

zwei

Paa

ren

kongr

uen

ter

ben

achb

arte

rW

inke

lhei

ßtgl

eich

schen

klig

esT

rap

ez.

Sei

te24

VD

EF

INIT

ION

EN

NA

CH

[RR

01]

4.3

9D

rach

en

Ein

Vie

reck

,des

sen

eine

Dia

gonal

edurc

hdie

ander

ehal

bie

rtw

ird,

hei

ßt(s

chie

fer)

Dra

chen

.

4.3

9.1

sym

met

risc

her

Dra

chen

Ein

Vie

reck

,b

eidem

eine

Dia

gonal

eau

fei

ner

Sym

met

riea

chse

lieg

t,hei

ßtsy

mm

etri

scher

Dra

-

chen

.

4.4

0S

inu

s

Inäh

nlich

enre

chtw

inkl

igen

Dre

ieck

enis

tdas

Ver

häl

tnis

der

Län

gen

von

Geg

enka

thet

eund

Hyp

oten

use

imm

ergl

eich

.E

shän

gtN

ICH

Tvo

nder

Län

geder

Sei

ten,

sonder

nnu

rvo

nder

Grö

ßedes

Win

kels

ab.

Die

ses

Ver

häl

tnis

nen

ntm

anSin

us

eines

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kels

.

Sin

usw

erte

sind

Quot

ient

envo

nSei

tenlä

nge

nim

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twin

klig

enD

reie

ck.

Sie

sind

unb

enan

nte

Zah

len.

Da

die

Hyp

oten

use

imm

erlä

nge

ris

tal

sdie

Geg

enka

thet

e,gi

bt

esnu

rSin

usw

erte

zwis

chen

0

und

1.

Sin

us(

α)

=si

n(α

)=

Geg

enka

thet

e

Hyp

oten

use

4.4

1T

angen

s

Inäh

nlich

enre

chtw

inkl

igen

Dre

ieck

enis

tdas

Ver

häl

tnis

der

Län

gen

von

Geg

enka

thet

eund

Anka

thet

eim

mer

glei

ch.

Es

hän

gtN

ICH

Tvo

nder

Län

geder

Sei

ten,

sonder

nnu

rvo

nder

Grö

ße

des

Win

kels

ab.

Die

ses

Ver

häl

tnis

nen

ntm

anT

ange

ns

eines

Win

kels

.

Tan

gensw

erte

sind

Quot

ient

envo

nSei

tenlä

nge

nim

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twin

klig

enD

reie

ck.

Sie

sind

unb

enan

nte

Zah

len.

Der

Tan

gensw

ert

ist

um

sokl

einer

,je

klei

ner

der

Win

kel

ist.

Tan

gens(

α)

=ta

n(α

)=

Geg

enka

thet

e

Anka

thet

e=

sin

(α)

cos(

α)

VD

efin

itio

nen

nac

h[R

R01]

5.1

Men

ge

Ein

eM

enge

ist

die

Zusa

mm

enfa

ssung

unt

ersc

hei

dbar

erD

inge

zuei

nem

Gan

zen.

5.2

Tei

lmen

ge

Bhei

ßtT

eilm

enge

von

A,

wen

nje

des

Ele

men

tvo

nB

auch

Ele

men

tvo

nA

ist.

5.3

Au

fru

nd

en

Die

zuru

nden

de

Ziff

erw

ird

um

1er

höh

t,w

enn

eine

der

Ziff

ern

5,6,

7,8

oder

9fo

lgt.

Die

nac

hfo

lgen

den

Ziff

ern

wer

den

durc

hN

ullen

erse

tzt.

Sei

te25

Sta

at

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am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

XI

Bew

eise

Beh

:G

ilt

a∣ ∣ ∣

bund

a∣ ∣ ∣

c,so

folg

ta

∣ ∣ ∣(b

+c)

.

Bew

eis

a∣ ∣ ∣

b=

⇒∃k

:b

=k

·a

a∣ ∣ ∣

c=

⇒∃l

:c

=l·a

=⇒

b+

c=

k·a

+l·a

=(k

+l)

·a

=⇒

∃(k

+l)

:b

+c

=(k

+l)

·a

=⇒

a∣ ∣ ∣

(b+

c)

2

Beh

:G

ilt

a∣ ∣ ∣

bund

a∣ ∣ ∣

cfü

rb

>c,

sofo

lgt

a∣ ∣ ∣

(b−

c)

Bew

eis

a∣ ∣ ∣

b=

⇒∃k

:b

=k

·a

a∣ ∣ ∣

c=

⇒∃l

:c

=l·a

=⇒

b−

c=

k·a

−l·a

=(k

−l)

·a

=⇒

∃(k

−l)

:b

−c

=(k

−l)

·a

=⇒

a∣ ∣ ∣

(b−

c)

2

Beh

:G

ilt

a∣ ∣ ∣

b,so

folg

tfü

rje

de

Zah

ln

:a

∣ ∣ ∣(n

·b)

Bew

eis

a∣ ∣ ∣

b=

⇒∃k

:b

=k

·a

=⇒

n·b

=n

·k·a

=(n

·k)

·a

=⇒

∃(n

·k):

n·b

=(n

·k)

·a

=⇒

a∣ ∣ ∣

(n·b

)

2

Sei

te34

XD

EF

INIT

ION

EN

NA

CH

[RR

08]

8.9

Hyp

ote

nu

se

Imre

chtw

inkl

igen

Dre

ieck

ist

die

größ

teSei

tedie

Hyp

oten

use

.Sie

lieg

tdem

rech

ten

Win

kel

gege

nüb

er.

IXD

efin

itio

nen

nac

h[R

R06]

9.1

Qu

adra

twu

rzel

Die

nic

htneg

ativ

eL

ösung

der

Gle

ichu

ng

x2

=a

mit

a∈Q

+ 0hei

ßtQ

uad

ratw

urz

elau

sa.

9.2

Zer

legu

ngsg

leic

hh

eit

Zw

eiF

igure

nhei

ßen

zerl

egungs

glei

ch,

wen

nsi

esi

chin

paa

rwei

seko

ngr

uen

teT

eilfi

gure

nze

rleg

en

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en.

Zer

legu

ngs

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che

Fig

ure

nhab

engl

eich

enF

läch

enin

hal

t.

XD

efin

itio

nen

nac

h[R

R08]

10.1

Logar

ith

mu

sfu

nkt

ion

Die

Funkt

ion

fm

ity

=lo

g a(x

)und

a∈R

+\{

1}hei

ßtL

ogar

ithm

usf

unkt

ion

zur

Bas

isa.

Sei

te33

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

5.4

Abr

un

den

Die

zuru

nden

de

Ziff

erble

ibt

unv

erän

der

t,w

enn

eine

der

Ziff

ern

0,1,

2,3

oder

4fo

lgt.

Die

nac

hfo

lgen

den

Ziff

ern

wer

den

durc

hN

ullen

erse

tzt.

5.5

Eig

ensc

haf

ten

der

Eb

ene

Die

Eb

eneE

ist

eine

Punkt

men

gem

itunen

dlich

viel

enE

lem

ente

n.

Jeder

einze

lne

Punkt

ist

Ele

men

tder

Eb

ene.

Sie

ist

nac

hal

len

Sei

ten

unb

egre

nzt

.

5.6

Eig

ensc

haf

ten

von

Ger

aden

Ein

eG

erad

eis

tei

ne

Men

gevo

nunen

dlich

viel

enP

unkt

en.S

ieis

tnac

hb

eiden

Sei

ten

unb

egre

nzt

.

5.7

Ger

ade

Ein

eG

erad

eis

tdurc

hzw

eiP

unkt

eei

ndeu

tig

fest

gele

gt.

5.8

Hal

bger

ade

Von

einem

Punkt

beg

renzt

erT

eil

einer

Ger

aden

hei

ßtH

albge

rade.

5.9

Str

ecke

Ein

von

zwei

Punkt

enb

egre

nzt

erT

eil

einer

Ger

aden

hei

ßtStr

ecke

.

5.1

0E

xist

enz

ein

erS

enkr

ech

te

Zu

einer

Ger

aden

gibt

esdurc

hei

nen

Punkt

genau

eine

Sen

krec

hte.

5.1

1p

aral

lele

Ger

aden

Zw

eiG

erad

enhei

ßen

zuei

nan

der

par

alle

l,w

enn

sie

bei

de

zuei

ner

dri

tten

Ger

aden

senkr

echt

sind.

5.1

2P

aral

lele

nax

iom

Zu

einer

Ger

aden

gibt

esdurc

hei

nen

Punkt

genau

eine

Par

alle

le.

5.1

3P

rism

a

Ver

schie

bt

man

ein

Vie

leck

(Dre

ieck

,V

iere

ck,

Fünfe

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.)se

nkr

echt

zur

Eb

ene

die

ses

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leck

s,

soer

häl

tm

anei

nen

Kör

per

,den

man

(ger

ades

)P

rism

anen

nt.

5.1

4T

eilb

arke

itei

ner

Su

mm

e

Sin

dzw

eiZ

ahle

na

und

bdurc

hn

teilbar

,so

ist

auch

ihre

Sum

me

durc

hn

teilbar

.

5.1

5T

eilb

arke

itei

nes

Pro

du

kts

Ist

eine

Zah

la

durc

hn

teilbar

,so

ist

auch

jedes

Pro

dukt

mit

dem

Fak

tor

adurc

hn

teilbar

.

Sei

te26

VD

EF

INIT

ION

EN

NA

CH

[RR

01]

5.1

6T

eilb

arke

itd

urc

hS

tufe

nza

hle

n

Bes

itzt

eine

nat

ürl

iche

Zah

lge

nau

1/2/

3E

ndnu

llen

,dan

nis

tsi

edurc

h10

/100

/100

0te

ilbar

.

5.1

7T

eilb

arke

itd

urc

hZ

wei

er-

un

dF

ün

ferp

ote

nze

n

Bes

itzt

eine

Zah

l1/

2/3

Endnu

llen

,dan

nis

tsi

edurc

h2/

4/8

und

5/25

/125

teilbar

.

5.1

8T

eilb

arke

itd

urc

h2

un

d5

Ein

eZ

ahl

ist

genau

dan

ndurc

h2

oder

5te

ilbar

,w

enn

die

letz

teZ

iffer

durc

hdie

seZ

ahl

teilbar

ist.

5.1

9T

eilb

arke

itd

urc

h4

un

d25

Ein

eZ

ahl

ist

genau

dan

ndurc

h4

oder

durc

h25

teilbar

,w

enn

die

Zah

lau

sden

letz

ten

bei

den

Ziff

ern

durc

hdie

seZ

ahl

teilbar

ist.

5.2

0T

eilb

arke

itd

urc

h8

un

d125

Ein

eZ

ahl

ist

genau

dan

ndurc

h8

oder

durc

h12

5te

ilbar

,w

enn

die

Zah

lau

sden

letz

ten

dre

i

Ziff

ern

durc

hdie

seZ

ahl

teilbar

ist.

5.2

1T

eilb

arke

itd

urc

h3

Ein

enat

ürl

iche

Zah

lis

tdurc

h3

teilbar

,w

enn

ihre

Quer

sum

me

durc

h3

teilbar

ist.

5.2

2T

eilb

arke

itd

urc

h9

Ein

enat

ürl

iche

Zah

lis

tdurc

h9

teilbar

,w

enn

ihre

Quer

sum

me

durc

h9

teilbar

ist.

5.2

3P

rim

zah

l

Ein

eZ

ahl,

der

enT

eile

rmen

gege

nau

zwei

Ele

men

teb

esit

zt,

hei

ßtP

rim

zahl.

5.2

4B

esti

mm

un

gd

esggT

aus

der

Pri

mfa

ktor

zerl

egu

ng

Man

bildet

das

Pro

dukt

alle

rge

mei

nsa

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Pri

mfa

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enin

der

jew

eils

nie

dri

gste

nvo

rkom

men

-

den

Pot

enz.

5.2

5B

esti

mm

un

gd

eskg

Vau

sd

erP

rim

fakt

orze

rleg

un

g

Man

bes

tim

mt

das

kgV

zwei

erZ

ahle

nau

sder

Pri

mfa

ktor

zerl

egung,

indem

man

das

Pro

dukt

alle

rau

ftre

tenden

Pri

mfa

ktor

enin

der

jew

eils

höc

hst

envo

rkom

men

den

Pot

enz

nim

mt.

Sei

te27

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

7.1

6M

itte

lpar

alle

le

Der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

unkt

e,die

von

zwei

gege

ben

enP

aral

lele

ngl

eich

enA

bst

and

hab

en,

ist

ihre

Mit

telp

aral

lele

.

m=

{

P

∣ ∣ ∣ ∣

d(P

;p1)

=d(P

;p2)}

VII

ID

efin

itio

nen

nac

h[R

R96]

8.1

Min

imu

m

Ter

me

der

For

max

2+

cm

ita

>0

bes

itze

nfü

rx

=0

ein

Min

imum

mit

dem

Wer

tc.

(a,c

∈Q

)

8.2

Max

imu

m

Ter

me

der

For

max

2+

cm

ita

<0

bes

itze

nfü

rx

=0

ein

Max

imum

.D

iese

shat

den

Wer

tc.

8.3

Ext

rem

wer

teq

uad

rati

sch

erT

erm

e

(1)

Der

Ter

ma

·(x

+b)

2+

chat

für

x=

−b

den

Ext

rem

wer

tc.

(2)

Für

a>

0lieg

tei

nM

inim

um

vor.

Für

a<

0lieg

tei

nM

axim

um

vor.

a∈Q

\{0}

b,c,

x∈Q

8.4

Defi

nit

ion

smen

ge

Die

Defi

nit

ionsm

enge

Dei

nes

Ter

ms

bez

ügl

ich

sein

erG

rundm

enge

Gis

tdie

Men

geal

ler

Ele

-

men

teau

sG

,fü

rdie

der

Ter

mw

ert

ber

echen

bar

ist.

8.5

Pro

du

ktm

enge

Die

Pro

dukt

men

geM

1×

M2

ist

die

Men

geal

ler

geor

dnet

enP

aare

(x|y

)m

itx

∈M

1und

y∈

M2.

8.6

Fu

nkt

ion

Ord

net

eine

Rel

atio

nje

dem

Ele

men

tder

Defi

nit

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enge

Dge

nau

ein

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men

tder

Wer

tem

enge

Wzu

,so

nen

ntm

ansi

eF

unkt

ion

inD

×W

.

8.7

Um

keh

rrel

atio

n

(1)

Die

Um

kehrr

elat

ion

ents

teht

durc

hV

erta

usc

hen

der

Var

iable

nin

der

Rel

atio

nsv

orsc

hri

ft.

(2)

Den

Gra

phen

der

Um

kehrr

elat

ion

erhäl

tm

anau

sdem

Gra

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der

Rel

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ndurc

hSpie

-

gelu

ng

ander

Win

kelh

albie

renden

des

I.und

III.

Quad

rant

en.

8.8

Um

keh

rbar

keit

ein

erF

un

ktio

n

Ein

eF

unkt

ion

hei

ßtum

kehrb

ar,

wen

ndie

zuge

hör

ige

Um

kehrr

elat

ion

wie

der

eine

Funkt

ion

ist.

Sei

te32

VII

DE

FIN

ITIO

NE

NN

AC

H[R

R04]

7.8

Dre

hsy

mm

etri

e

Ein

eF

igur

hei

ßtdre

hsy

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etri

sch

zum

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kel

αm

itdem

Zen

trum

Z,

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nsi

enac

hD

rehu

ng

um

Zm

itα

mit

sich

selb

stzu

rD

ecku

ng

kom

mt.

7.9

Kre

is

Der

Kre

isk

um

Mm

itR

adiu

sr,

kurz

k(M

;r),

ist

der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

unkt

eP

,die

vom

Punkt

Mdie

Ent

fern

ung

rhab

en.

7.1

0M

itte

lsen

krec

hte

Der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

unkt

e,die

von

zwei

Punkt

engl

eich

eE

ntfe

rnung

hab

en,

ist

die

Mit

tels

enkr

echt

eder

Ver

bin

dungs

stre

cke

der

bei

den

Punkt

e.

m[A

B]=

{

P

∣ ∣ ∣ ∣

AP

=B

P

}

7.1

1H

alb

eben

e

Der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

unkt

e,die

vom

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Aei

ner

Str

ecke

[AB

]ein

klei

ner

e(g

röße

re)

Ent

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ung

als

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en,

ist

die

Hal

beb

ene

bez

ügl

ich

m[A

B],

inder

A(B

)lieg

t.

HA

={

P

∣ ∣ ∣ ∣

AP

<B

P

}

HB

={

P

∣ ∣ ∣ ∣

AP

>B

P

}

7.1

2W

inke

lhal

bie

ren

de

Der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

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e,die

von

den

Sch

enke

lnei

nes

Win

kels

glei

chen

Abst

and

hab

en,

ist

die

Hal

bie

rende

des

Win

kels

. wα

={

P

∣ ∣ ∣ ∣

d(P

;g)

=d(P

;h)}

wob

eiα

=�

(g;h

)

7.1

3U

mkr

eis

des

Dre

ieck

s

Jedes

Dre

ieck

bes

itzt

einen

Um

krei

s.Sei

nM

itte

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Mu

ist

der

Sch

nit

tpunkt

der

Mit

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enk-

rech

ten.

Sei

nR

adiu

sr u

ist

die

Ent

fern

ung

von

Mu

zuden

Eck

punkt

en.

7.1

4In

krei

sd

esD

reie

cks

Jedes

Dre

ieck

bes

itzt

einen

Inkr

eis.

Sei

nM

itte

lpunkt

Mi

ist

der

Sch

nit

tpunkt

der

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kelh

albie

-

renden

.Sei

nR

adiu

sr i

ist

der

Abst

and

von

Mi

zuden

Sei

ten.

7.1

5P

aral

lele

np

aar

zuei

ner

Ger

ade

Der

geom

etri

sche

Ort

alle

rP

unkt

e,die

von

einer

gege

ben

enG

erad

enden

glei

chen

Abst

and

a

hab

en,

ist

das

Par

alle

lenpaa

rzu

rG

erad

eng

imA

bst

and

a.

p1

∪p

2=

{

P

∣ ∣ ∣ ∣

d(P

;g)

=a

}

Sei

te31

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

VI

Defi

nit

ion

enn

ach

[RR

02]

6.1

Bru

ch

Ein

Bru

chis

tei

ne

ander

eSch

reib

wei

sefü

rei

nen

Quot

ient

en.

Es

gilt

:

a b=

a:b

a∈N

0b

∈N

6.2

Äq

uiv

alen

zvo

nG

leic

hu

ngen

(Un

gle

ich

un

gen

)

Zw

eiG

leic

hunge

n(U

ngl

eich

unge

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wel

che

bei

glei

cher

Gru

ndm

enge

die

glei

che

Lös

ungs

men

ge

bes

itze

n,

hei

ßen

äquiv

alen

t.

6.3

teilg

ült

ige

Gle

ich

un

g(U

ngle

ich

un

g)

Ein

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

hei

ßtte

ilgü

ltig

inG

,w

ennL

eine

echt

eT

eilm

enge

vonG

ist.

6.4

allg

emei

ngü

ltig

eG

leic

hu

ng

(Un

gle

ich

un

g)

Ein

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

hei

ßtal

lgem

ein

gült

igin

G,

wen

nL

glei

chG

ist.

6.5

un

erfü

llbar

eG

leic

hu

ng

(Un

gle

ich

un

g)

Ein

eG

leic

hung

(Ungl

eich

ung)

hei

ßtuner

füllbar

inG

,w

ennL

die

leer

eM

enge

ist.

6.6

Äq

uiv

alen

zum

form

un

g

•A

ddie

rtbzw

.su

btr

ahie

rtm

anzu

mL

inks

term

und

zum

Rec

htst

erm

einer

Gle

ichu

ng

die

glei

che

Zah

l,so

erhäl

tm

anei

ne

Gle

ichu

ng,

die

zur

urs

prü

ngl

ichen

äquiv

alen

tis

t.

•L

iest

man

eine

Gle

ichu

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von

rech

tsnac

hlinks

,so

erhäl

tm

anei

ne

daz

uäq

uiv

alen

te

Gle

ichu

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•M

ult

iplizi

ert/

div

idie

rtm

anden

Lin

kste

rmund

den

Rec

htst

erm

einer

Gle

ichu

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mit

/durc

h

der

/die

glei

che(

n)

Zah

l,so

erhäl

tm

anei

ne

Gle

ichu

ng,

die

zur

urs

prü

ngl

ichen

äquiv

alen

t

ist.

Bem

erku

ng:

Quad

rier

enei

ne

Gle

ichu

ng

ist

KE

INE

Äqu

ival

enzu

mfo

rmung!

6.7

Dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ät

Durc

hei

ne

dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ätw

erden

Zah

lenpaa

re(x

|y)

fest

gele

gt,

für

die

gilt

:

y=

k·x

x,y

,k∈Q

+

6.8

Ach

sen

spie

gel

un

g

Pa 7−→

P′

Bes

tim

mungs

stück

:Spie

gela

chse

a

Abbildungs

vors

chri

ft:

Für

P∈

agi

lt:

P=

P′ .

Sei

te28

VII

DE

FIN

ITIO

NE

NN

AC

H[R

R04]

Für

P/∈

agi

lt:

(1)

Der

Bildpunkt

P′

lieg

tau

fder

Sen

krec

hten

szu

rSpie

gela

chse

adurc

hden

Urp

unkt

P.

(2)

Der

Bildpunkt

P′

hat

von

der

Spie

gela

chse

aden

glei

chen

Abst

and

wie

der

Urp

unkt

P.

6.9

Fix

pu

nkt

Fis

tF

ixpunkt

,w

enn

gilt

:F

′=

F

Jeder

Punkt

der

Spie

gela

chse

ais

tF

ixpunkt

.

6.1

0F

ixger

ade

gis

tF

ixge

rade,

wen

ngi

lt:

g′=

g

Die

Spie

gela

chse

aund

jede

Sen

krec

hte

daz

uis

tF

ixge

rade.

6.1

1F

ixkr

eis

kis

tF

ixkr

eis,

wen

ngi

lt:

k′=

k

Jeder

Kre

ism

itdem

Mit

telp

unkt

auf

der

Spie

gela

chse

ais

tF

ixkr

eis.

6.1

2A

chse

nsy

mm

etri

e

Ein

eF

igur,

die

durc

hA

chse

nsp

iege

lung

auf

sich

selb

stab

gebildet

wer

den

kann,

hei

ßtac

hse

n-

sym

met

risc

h.

Die

Spie

gela

chse

hei

ßtSym

met

riea

chse

.

6.1

3(A

chse

nsy

mm

etri

sch

er)

Dra

chen

•zw

eiP

aare

glei

chla

nge

rSei

ten

•ei

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aar

glei

chgr

oßer

Win

kel

•die

ander

enW

inke

lw

erden

durc

hdie

Ach

sehal

bie

rt

6.1

4gle

ich

sch

enkl

iges

Tra

pez

(ach

sen

sym

met

risc

h)

•zw

eiP

aare

glei

chgr

oßer

Win

kel

•ei

nP

aar

glei

chla

nge

rSei

ten

•die

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enSei

ten

sind

par

alle

lund

wer

den

durc

hdie

Ach

sehal

bie

rt

VII

Defi

nit

ion

enn

ach

[RR

04]

7.1

Dir

ekte

Pro

por

tion

alit

ät

y=

k·x

⇐⇒

y x=

kx

,y∈Q

+

7.2

Ind

irek

teP

rop

orti

on

alit

ät

x·y

=k

⇐⇒

y=

k xx

,y∈Q

+

Sei

te29

Sta

at

sex

am

en

Did

ak

tik

der

Mat

hem

at

ik

7.3

Par

alle

lver

sch

ieb

un

g

P#

„

AB

7−→P

′

Die

Par

alle

lver

schie

bung

ist

die

Ers

atza

bbildung

einer

Dop

pel

achse

nsp

iege

lung

anzw

eizu

ein-

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par

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len

Ach

sen.

Bes

tim

mungs

stück

:V

ersc

hie

bungs

pfe

il# „

AB

Abbildungs

vors

chri

ft:

Jedem

Punkt

Pw

ird

durc

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nen

Ver

schie

bungs

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ilei

nP

unkt

P′

zu-

geor

dnet

.D

ieV

ersc

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ile

sind

sozu

wäh

len,

das

ssi

ein

Län

geund

Ric

htung

mit

# „

AB

üb

erei

nst

imm

en.

7.4

Fix

elem

ente

der

Par

alle

lver

sch

ieb

un

g

Die

Par

alle

lver

schie

bung

bes

itzt

KE

INE

NF

ixpunkt

.

Jede

Ger

ade

inV

ersc

hie

bungs

rich

tung

ist

Fix

gera

de.

7.5

Vek

tor

Die

Men

geal

ler

Pfe

ile

mit

glei

cher

Län

geund

Ric

htung

hei

ßtV

ekto

r.Je

der

sein

erP

feile

kann

als

Rep

räse

ntan

tdes

Vek

tors

genom

men

wer

den

.

7.6

Dre

hu

ng

PZ

;α 7−→P

′

Die

Dre

hung

um

Zm

itdem

Win

kelm

aßα

ist

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Ers

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einer

Dop

pel

achse

nsp

iege

lung

anzw

eiA

chse

n,

die

sich

inZ

unt

erei

nem

Win

kel

vom

Maß

ϕ=

α 2sc

hnei

den

.D

abei

gilt

:

α∈]

0◦;3

60◦[.

Bes

tim

mungs

stück

e:D

asZ

entr

um

Z.

Das

Dre

hwin

kelm

aß(k

urz

der

Dre

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kel)

α.

Abbildungs

vors

chri

ft:

Das

Zen

trum

Zw

ird

auf

sich

abge

bildet

.

Für

jeden

Punkt

P6=

Zgi

lt:

P′

lieg

t

(1)

auf

dem

Kre

isum

Zdurc

hP

(2)

auf

dem

frei

enSch

enke

ldes

Win

kels

vom

Maß

α,

der

inZ

an[Z

Pan

getr

agen

wir

d.

7.7

Pu

nkt

spie

gel

un

g

PZ 7−→

P′

Die

Punkt

spie

gelu

ng

ist

der

Sp

ezia

lfal

lei

ner

Dre

hung

mit

α=

180◦

.

Bes

tim

mungs

stück

:Spie

gelz

entr

um

Z.

Abbildungs

vors

chri

ft:

Das

Zen

trum

Zw

ird

auf

sich

abge

bildet

.

Für

jeden

Punkt

P6=

Zgi

lt:

P′

lieg

t

(1)

auf

dem

Kre

isum

Zdurc

hP

(2)

auf

der

Hal

bge

raden

[PZ

Sei

te30