Tr.1

1. BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất

Điều kiện Nội dung

a < b a + c < b + c (1)

c > 0 a < b ac < bc (2a)

c < 0 a < b ac > bc (2b)

a < b và c < d a + c < b + d (3)

a > 0, c > 0 a < b và c < d ac < bd (4)

n nguyên

dương

a < b a2n+1

< b2n+1

(5a)

0 < a < b a2n

< b2n

(5b)

a > 0 a < b a b (6a)

a < b 3 3a b (6b)

2. Bất đẳng thức Cô–si:

Với a, b 0, ta có: a b

ab2

. Dấu "=" xảy ra a = b.

Hệ quả:

– Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Điều kiện Nội dung

x x x x x0, ,

a > 0

x a a x a

x ax a

x a

a b a b a b

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm mệnh đề đúng

A. a b ac bc B. a b a c b c C.a b

ac bdc d

D.

1 1a b

a b

Câu 2. Tìm mệnh đúng

A.

a b

c d ac > bd B.

a b

c d

a b

c d C.

a ba c b d

c d D.

0

0

a b

c d ac > bd

Câu 3. Tìm mệnh đề sai

A. 2 2a b a b B. 3 3a b a b C. 0 a b a b D. 3 3a b a b

Câu 4. Với mọi số ,x y dương.Bất đẳng thức nào sau đây sai

A. 2x y xy B. 2

a bab

C.

12 a

a D. 2 2 2a b ab

Câu 5. Cho 2 phát biểu

(1) x x

(2) x x

A. Chỉ phát biểu (1) đúng B.Chỉ phát biểu (2) đúng

Tr.2

C. Cả (1) và (2) đều đúng D.Cả (1) và (2) đều sai

Câu 6. Nếu ;a b c d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng

A. a b

c d B.ac bd C.a c b d D. a c b d

Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số : 3 5f x x x là:

A. 16 B. 0 C. 3 D. 5

Câu 8. Với x, y là hai số thực, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1

11

xxy

y

B. x 1

xy 1y 1

C. 1

21

xx y

y

D. 1

01

xx y

y

Câu 9. Cho 0; 0x y và 6xy . Giá trị nhỏ nhất cuả 2 2x y là :

A. 12 B. 6 C. 14 D. 10

Câu 10. Tìm mệnh đề sai

A. , ,a b a b a b B. , ,a b a b a b

C. 2 0,a a D. ,a a a a

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn:

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x) g(x) (1) trong

đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.

Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của

bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất

phương trình vô nghiệm.

* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc g(x)

f(x).

2. Điều kiện của một bất phương trình:

Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều

kiện) của bất phương trình (1).

3. Bất phương trình chứa tham số:

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác

được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm

chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là

một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập

nghiệm.

III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương

đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tr.3

Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với

nhau và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương: Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những

bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất

phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được

gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng (trừ):

P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

4. Nhân (chia):

P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, x

P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, x

5. Bình phương:

P(x) < Q(x) [P(x)]2 < [Q(x)]

2

Bài tập tự luận

Câu 1. Tìm điều kiện của bất phương trình sau:

a/ 4 1 0x x b/2

11 2

9x

x

. c/

2 10

2

x x

x

d/ 2

22

1

xx x x

x.

Câu 2. Giải bất phương trình :

a/5 4

2 1 32

xx

b/

1 2 14

5 3

x x

c/3 1 2 1 2

2 3 4

x x x d/

3 1 3( 2) 5 31

4 8 2

x x x

Câu 3. Giải hệ bất phương trình :

a/

15 88 5

23

2(2 3) 54

xx

x x

b/

56 4 7

78 3

2 252

x x

xx

c/

2 3 3 1

4 55

3 82 3

x x

xx

d/

3 5 0

2 3 0

1 0

x

x

x

Câu 4. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :

a/ m(x – m) x – 1 b/ mx + 6 > 2x + 3m

c/ (m + 1)x + m < 3x + 4

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là bất phương trình một ẩn x

A. 2 1 0x + = B. 2 3x y+ < C. 2 2 0x x+ ³ D. 2 1y x= +

Câu 2. Điều kiện của bất phương trình 1 03

xx

x- + <

+ là:

A. 1x ³ và 3x ³ - B. 1x ³ - và 3x ³ - C. 1 0x- ³ và 3x ¹ - D. 1 0x- ³ và 3 0x + ³

Câu 3. Điều kiện của bất phương trình 2 12 3

1x x

x- > +

+ là:

A. 3x ³ B. 1x ³ - C. 3x £ D. 1x ¹ -

Câu 4. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình 3 0x - >

A. ( ) ( )2

5 3 0x x- - > B. 3 1 1x x x- + - > -

Tr.4

C. ( )3 3 0x x- - > D. ( )3 0x x - >

Câu 5. Bất phương trình 2 5 3

3 2

x x- -> có nghiệm là

A. 1; B. 2; C. ;1 2; D. 1

;4

Câu 6. Cặp bất phương trình tương đương là:

A.1 1

3 33 3

xx x

và 3 3x B. 1 x x và 21 x x

C. 1x x và 2 1 1 2 1x x x x D.3 1 1x x và 2 2

3 1 3x x

Bài 7. Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 73

25 3

xx

là

A. 19

;10

B.19

;10

C. 19

;10

D.19

;10

Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 3

35 4

xx

là

A. 1

;2

B.

41;28

C.11

;3

D.13

;3

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0x

A. ¡ B. C. 1;0 D. 1;

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 3 1 2 7

4 3 2 19

x x

x x

A. 6;9 B. 6;9 C. 9; D. 6;

Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình 3 4 2

5 3 4 1

x x

x x

A. ; 1 B. 4; 1 C. ;2 D. 1;2

Câu 12. Số 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình

A. 22 1 1x x x B.2 1 1x x C.1

2 01 x

D. 2

2 2 0x x

Câu 13. Hệ bất phương trình 2 0

2 1 2

x

x x

có tập nghiệm là

A. ; 3 B. 3;2 C. 2; D. 3;

Câu 14. Hệ bất phương trình 3 0

1 0

x

x

có tập nghiệm là:

A. ¡ B. 1;3 C. D. 1;3

Câu 15. Cho bất phương trình : 22 2 8mx m x

Xét các mệnh đề sau

I Bất phương trình tương đương với 2 2x m

II Một điều kiện để mọi 12x là nghiệm của bất phương trình là 2m

III Giá trị của m để thỏa 12x là 2 4m m

Tr.5

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I B.Chỉ II C. II và III D. I , II và III

3. DẤU CỦA NHỊ THỨC

I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1. Nhị thức bậc nhất:

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã cho,

a ≠ 0.

Nghiệm của nhị thức: f(x) = ax + b là x0 = a

b (nghiệm của phương trình ax + b = 0)

2. Dấu của nhị thức bậc nhất: Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong

khoảng (a

b ; +) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-;

a

b ).

x - -a

b +

ax + b trái dấu a 0 cùng dấu a

Bài tập tự luận

Câu 1. Xét dấu biểu thức sau :

a/ f(x) = 2x – 5 b/ f(x) = -11 – 4x

c/ f(x) = (2x + 1)(x – 5) d/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x)

e/ 2( )( 3)

5 10

x xf x

x

f/

3 2

4 3 1f x

x x

;

g/ 22 3

1

x xf x

x

Câu 2. Giải các bất phương trình

a/ (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b/ (2x – 7)(5 – x) ≥ 0

c/ x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0 d/ x³ + 8x² + 17x + 10 < 0.

Câu 3. Giải bất phương trình :

a/4 3

3 1 2 1x x

b/

2 5

1 2 1x x

c/

2 51

2

x

x

d/

2 51

2

x

x

e/ ( 1)( 2)

03

x x

x

f/

3 5

1 2

x x

x x

g/

2x 5

2 x

+ x ≥ 0 h/

2x 3

x 1

≤ x + 1

h/ 22x x

1 2x

≥ 1 – x

Câu 4. Giải các bất phương trình

a/ |5x – 12| < 3 b/ |3x + 15| ≥ 3 c/ |x – 2| > x + 1 d/ |2x – 5| ≤ x + 1

Câu 5. Giải và biện luận các bất phương trình

a/2x m 1

0x 1

b/

mx m 10

x 1

c/ x 1(x m 2) 0

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Nhị thức ( ) 2 4f x x= - luôn âm trong khoảng nào sau đây:

Tr.6

A. ( );0- ¥ B.( )2;- + ¥ C.( );2- ¥ D.( )0;+ ¥

Câu 2. Cho biểu thức ( ) ( )( )1 2f x x x= - + - Khẳng định nào sau đây đúng:

A. ( ) ( )0, 1;f x x< " Î + ¥ B. ( ) ( )0, ;2f x x< " Î - ¥

C. ( ) 0,f x x> " Î ¡ C. ( ) ( )0, 1;2f x x> " Î

Câu 3. Nhị thức nào sau đây dương với mọi 3x >

A. ( ) 3f x x= - B. ( ) 2 6f x x= - C. ( ) 3 9f x x= + D. ( ) 3f x x= +

Câu 4. Bất phương trình ( )1 1 0m x- + > có nghiệm với mọi x khi

A. 1m > B. 1m = C. 1m = - D. 1m < -

Câu 1. Cho bảng xét dấu:

x 2

f x 0

Hàm số có bảng xét dấu như trên là:

A. 2f x x B. 2f x x C. 16 8f x x D. 2 4f x x

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 6 0x x là :

A. 3;3 B. ; 3 3; C. 3;3 D. ( )\ 3;3-¡

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 2 7 0x x

A. 7 3

;2 2

B. 7 2

;2 3

C.7 3

; ;2 2

D.2 7

;3 2

Câu 4. Hàm số có kết quả xét dấu

x -1 2

f x 0 P

là hàm số

A. 1 2f x x x B. 1

2

xf x

x

C.

1

2

xf x

x

D. 1 2f x x x

Câu 5 . Hàm số có kết quả xét dấu

x 1

f x P

là hàm số

A. 1f x x B.

2

1

1

xf x

x

C. 10

1f x

x

D. 1f x x

Câu 6. Hàm số có kết quả xét dấu

x 0 2

f x 0 0

là hàm số

A. 2f x x x B. 2f x x C. 2

xf x

x

D. 2f x x x

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình 1

02

x

x

A. 1;2 B. 1;2 C. ; 1 2; D. 1;2

Tr.7

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1

03 6

x

x

A. 1

2;2

B. 1

;22

C.1

;22

D.

12;

2

Câu 9. Điều kiện m đê bất phương trình 1 2 0m x m vô nghiệm là

A. m Î ¡ B. m C. 1;m D. 2;m

Câu 10. Điều kiện m đê bất phương trình 2 1 2 0m x m vô nghiệm là

A. m Î ¡ B. m C. 1;m D. 2;m

Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình 1

11x

là

A. 1;2 B. 1;2 C. ;1 D. ;1

Câu 12. Cho 0 a b , Tập nghiệm của bất phương trình 0x a ax b là:

A. ; ;a b B. ; ;b

aa

C. ; b a; D. ; ;b

aa

Câu 13. Tim m để bất phương trình 1x m có tập nghiệm 3;S

A. 3m B. 4m C. 2m D. 1m

Câu 14. Tìm m để bất phương trình 3 5 1x m x có tập nghiệm 2;S là

A. 2m B. 3m C. 9m D. 5m

Câu 15. Hệ bất phương trình

115 2 2

33 14

2( 4)2

x x

xx

có tập nghiệm nguyên là:

A. 1 B. 1;2 C. D. 1

Câu 16. Cho hệ bất phương trình 2 4 0

2 0

x

mx m

. Giá trị của m để hệ bất phương trình vô

nghiệm là:

A. 2

03

m B.2

3m C. 0m D. Kết quả khác.

Câu 17. Với giá trị nào của m thì hệ bất phương trình 2

2 2

1

x m

x m

có nghiệm duy nhất?

A. 1;3 B. 1; 3 C. 4; 3 D.

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình 4 3 8x là

A. 4

;3

B. 4

;43

C. ; 4 D. 4

; 4;3

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình 2 3 12x x- £ +

A. ;15 B. 3;15 C. ; 3 D. ; 3 15;

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1

21

x

x

->

- là

Tr.8

A. ( )1;+ ¥ B. ( )3

; 1;4

æ ö÷ç ÷- ¥ È + ¥ç ÷ç ÷çè ø

C.3

;4

æ ö÷ç ÷+ ¥ç ÷ç ÷çè ø D.

3;1

4

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 15 3x - ³ là

A. )6;é + ¥êë B.( ;4ù- ¥ úû

C. Æ D. ¡

Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1x x- > +

A. Æ B. 1

0;2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø C.

1;2

æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø D.

1;

2

æ ö÷ç ÷+ ¥ç ÷ç ÷çè ø

4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by c (1) (hoặc ax + by < c,

ax + by c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng

0, x và y là các ẩn số.

II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1)

được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm(hay miền nghiệm) của bất phương trình ax + by c

(1):

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng

: ax + by = c.

Bước 2: Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên (thường lấy O(0;0) nếu O ).

Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by.

Bước 4: Kết luận:

Nếu ax0+by0 c là mệnh đề đúng thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) chứa điểm M là

miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0.

Nếu ax0+by0 c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) không chứa điểm M là

miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0.

* Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là

miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta

phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ

bất phương trình đã cho.

Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Miền nghiệm của hệ bất phương trình :

3 4 12 0

5 0

1 0

x y

x y

x

Là miền chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. 1; 3M B. 4;3N C. 1;5P D. 2; 3Q

Câu 2. Cặp số 1; 1 là nghiệm của bất phương trình

A. 2 0x y B. 0x y C. 4 1x y D. 3 1 0x y

Tr.9

Câu 3. 00; 3M thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:

A.2 3

2 5 12 8

x y

x y x

B.2 3

2 5 12 8

x y

x y x

C.

2 3

2 5 12 8

x y

x y x

D.

2 3

2 5 12 8

x y

x y x

5. DẤU CỦA TAM THỨC

I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c trong đó a, b, c là

những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0.

Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), = b

2 - 4ac

Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x R.

Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -a

b.

Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm 1x ,

2x (x1 < x2). Khi đó f(x) trái dấu với hế số a với

mọi x nằm trong khoảng (x1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2].

* Chú ý: Khi hệ số b chẵn ta có thể thay bằng ' = b'2 - ac.

Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax

2 + bx + c (a≠0)

Tính = b2 - 4ac

Nếu < 0 thì f(x) vô nghiệm và

x - +

ax2 + bx

+c cùng dấu với a

Nếu = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = -a

bvà

x - -a

b +

ax2 + bx+

c

cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

Nếu > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và

x - x1 x2 +

ax2 +bx +

c cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

II- ÁP DỤNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Bất phương trình bậc hai: Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax

2 + bx + c < 0 (hoặc ax

2 + bx +

c 0 hoặc ax2 + bx + c > 0, ax

2 + bx + c 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho với a ≠ 0.

2. Giải bất phương trình bậc hai:

Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trị x để ax2 + bx + c âm (dương, không âm,

không dương) tương ứng với < 0 (> 0, 0, 0) của bất phương trình.

Bài tập tự luận

Câu 1. Xét dấu các biểu thức sau

Tr.10

a/ 3x² – 2x + 1 b/ (x² – 4x + 3)(x – 5) c/ 2x² – 7x + 5 d/ 2 2

2

(3x x)(3 x )

4x x 3

Câu 2. Giải các bất phương trình

a/ –2x² + 5x < 2 b/ 5x² – 4x < 12 c/ –2x² + 3x ≥ 7 d/ x² – x – 6 ≤ 0

e/ 2

2

3x x 40

x 3x 5

f/

2

2

4x 3x 10

x 5x 7

Câu 3. Giải các hệ bất phương trình sau

a/ 2

2

x 6x 5 0

x x 6 0

b/

2

2

2x x 6 0

3x 3 10x

c/

2

2

2x 5x 4

x 3x 10

d/

2

2

4x 7 x

x 2x 1 0

e/ –4 ≤ 2

2

x 2x 7

x 1

≤ 1 f/ 1/13 ≤

2

2

x 2x 2

x 5x 7

≤ 1

Câu 4. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a. 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b. x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0

c. mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d. (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0

e. |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0

Câu 5. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm

a/ (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b/ (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0

c/ mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d/ (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0

Câu 6. Giải các bất phương trình

a. 2x² < |5x – 3| b. x – 8 > |x² + 3x – 4|

c. |x – 3| – |x + 1| < 2 d. |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5|

e. |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0 f. 2

x 2

x 5x 6

≥ 3

g. 2

2

x 4x

x x 2

≤ 1 h.

2x 51 0

x 3

Câu 7. Giải các bất phương trình sau

a. 2x x 12 8 x b. 2x x 12 7 x

c. 2x 4x 21 x 3 d. 2x 3x 10 x 2

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số có kết quả xét dấu

x 1 2

f x 0 0

là hàm số

A. 2 3 2f x x x B. 2 3 2f x x x

C. 1 2f x x x D. 2 3 2f x x x

Câu 2. Hàm số có kết quả xét dấu

x 1 2 3

f x 0 0 0

là hàm số

A. 23 3 2f x x x x B. 21 5 6f x x x x

C. 22 4 3f x x x x D. 1 2 3f x x x x

Tr.11

Câu 3. Hàm số có kết quả xét dấu

x 1 2 3

f x 0 0 0

là hàm số

A. 22 4 3f x x x x B. 21 5 6f x x x x

C. 1 3 2f x x x x D. 23 3 2f x x x x

Câu 4. Cho bảng xét dấu

x 1 2 3

f x + 0 0 +

g x 0

f x

g x 0 P 0

A.

2

2

4 3

4 4

f x x x

g x x x

B.

2 4 3

2

f x x x

xg x

C.

2 1

3

f x x x

xg x

D.

2 4 3

2

f x x x

xg x

Câu 5. Cho các mệnh đề

I Với mọi 1;4x , 2 4 5 0f x x x

II Với mọi ; 4 5;10x , 2 9 10 0g x x x

III 2 5 6 0h x x x Với mọi 2;3x

A. Chỉ mệnh đề III đúng B. Chỉ mệnh đề I và II đúng

C. Cả ba mệnh đề điều sai D. Cả ba mệnh đề điều đúng

Câu 6. Khi xét dấu biểu thức 2

2

3 10

1

x xf x

x

ta có

A. 0f x khi 5 1x hay 1 2x

B. 0f x khi 5x hay 1 1x hay 2x

C. 0f x khi 5 2x

D. 0f x khi 1x

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình 2 4 3 0x x là

A. ; 3 1; B. 3; 1 C. ; 1 3; D. 3; 1

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 2 6 0x x là

A. ; 2 3; B. C. ; 1 6; D. 2;3

Câu . Bất phương trình có tập nghiệm ( )2;10 là

A. 2 12 20 0x x- + > B. 2 3 2 0x x- + > C. 2 12 20 0x x- + < D. ( )2

2 10 0x x- - >

Câu 9. Tìm m để 2 2 8 1f x x m x m luôn luôn dương

A. 0;28 B. ;0 28; C. ;0 28; D. 0;28

Tr.12

Câu 10. Tìm m để 2 2 1 4f x mx m x m luôn luôn dương

A. 1

1;3

B. 1

; 1 ;3

C. 0; D.

1;

3

Câu 11. Tìm m để 22 2 2 2f x x m x m luôn luôn âm

A. 0;2 B. ;0 2; C. ; 0 2; D. 0;2

Câu 12. Tìm m để 2 2 1 4f x mx m x m luôn luôn âm

A. 1

1;3

B. 1

; 1 ;3

C. ; 1 D.

1;

3

Câu 13. Tìm m để 2 3 0x mx m có tập nghiệm là ¡

A. 6;2 B. ; 6 2; C. 6;2 D. ; 6 2;

Câu 14. Tìm m để 2 4 1 5 0mx m x m vô nghiệm

A. 1

1;3

B. 1

1;3

C. ; 0 D. 1

; 1 ;3

Câu 15. Tìm m để 22 2 2 2 0x m x m có hai nghiệm phân biệt

A.1

0;2

B. 1

;0 ;2

C.

10;

2

D. 1

;0 ;2

Câu 16. Tìm m để 24 2 1 1 2 0m x m x m vô nghiệm

A. ¡ B. C. 4; D. ; 4

Câu 17. Tìm m để 2 2 1 2 0f x x m x m 0;1x

A. ;2 B. 1; C. D. 1;2

Câu 18. Tập nghiệm của hệ 2

2

7 6 0

8 15 0

x x

x x

là

A. 1;3 B. 5;6

C. 1;3 5;6 D. Kết quả khác

Câu 19. Tập nghiệm của hệ

2 4 3 0

2 5 0

x x

x x

là

A. 1;3 B. 3;5 C. 2;5 D. 2;1 3;5

Câu 20. Hệ bất phương trình sau vô nghiêm

A. 2 2 0

2 1 3 2

x x

x x

ìï - £ïïíï + < +ïïî

B.

2 4 0

1 1

2 1

x

x x

ìï - >ïïïíï <ïï + +ïî

C. 2

2

5 2 0

8 1 0

x x

x x

ìï - + <ïïíï + + £ïïî

D. 1 2

2 1 3

x

x

ìï - £ïïíï + £ïïî

Câu 21. Số nghiệm nguyên của hệ

56 4 7

78 3

2 252

x x

xx

ìïï + > +ïïïíï +ï < +ïïïî

A. 0 B. Vô số C. 4 D. 8

Câu 22. cho biêu thức 2 1 5 7f x x x x chọn đáp án đúng

A. 0f x trên 1

;5 7;2

B. 0f x trên 1

; 7;2

Tr.13

C. 0f x trên 1

;5 7;2

D. 0f x trên 1

; 5;72

Câu 23. Tập nghiệm của phương trình 3 2 2 2x x x x là

A.( )1;2 B. 1;2 C. ;1 D. ;1

Câu 24. Tìm m để phương trình 2 21 2 3 5 0x m x m m có hai nghiệm trái dấu

A. 5

1;2

B. 5

1;2

C. 5

1;2

D. 5

1;2

Câu 25. Tìm m để bất phương trình 2 3 0x mx m có tập nghiệm là ¡

A. 2m hoặc 6m B. 2 6m

C. 6m hoặc 2m D. 6 2m

Câu 26 Với giá trị nào của m để bất phương trình 2

2

2 50

1

x x

x mx

nghiệm đúng với mọi x?

A. 2;2 B. 2;2 C. ; 2 2; D. Kết quả khác

Câu 27. Để giải bất phương trình 4 3 23 2 0x x x , một học sinh lập luận ba giai đoạn như

sau:

1 Ta có: 4 3 2 2 23 2 0 ( 3 2) 0x x x x x x

2 Do 2 2 2 20 ( 3 2) 0 3 2 0x x x x x x neân

32 2

13 2 0 3 2 0 1 2

2

xx x x x x

x

Suy ra

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là: 1;2

Hỏi: Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?

A. Sai từ 3 B. Lập luận đúng C. Sai từ 2 D. Sai từ 1

Câu 28. Cho phương trình bậc hai 2 2 2 0x mx m . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

B. Phương trình luôn vô nghiệm.

C. Phương trình chỉ có nghiệm khi m > 2.

D. Tồn tại một giá trị m để phương trình có nghiệm kép.

Câu 29. Tìm m để bất phương trình 2 22 2 4 0x mx m m vô nghiệm

A. 2m B. 2m C. 2m D. 2m

Câu 30. Tìm m để hệ bất phương trình

2

2

5 4 0

( 1) 0

x x

x m x m

có nghiệm duy nhất

A. 1m B. 2m C. 1m D. 4m

Câu 31. Cho hệ bất phương trình 2 7 12 0

0

x x

x m. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi giá trị của m là

A. 3m B. 4m C. 4m D.3 4m

Câu 32. Tìm m để bất phương trình 2 2( 1) 1 0mx m x m nghiệm đúng với mọi x

A. 1m B. 1m C.1 3m D. Kết quả khác

Câu 33. Với giá trị nào của m để hai bất phương trình 2 4 3 0x m m và 2 3 3x m x

tương đương?

A. 7m hoặc 0m B. 1m hoặc 3m C. m D. m ¡

Câu 34. Tìm m để bất phương trình 2( 2) 2 m x m m nghiệm đúng với mọi x ?

Tr.14

A. 3 B. 1 C. 2 D. 2

Câu 35. Tìm m để bất phương trình 2 24 3m x m x m vô nghiệm?

A. 1 B. 3 C. 1 D. 2