Symmetrie

Symmetrie: van harmonie naar theorie.

31

SYMMETRIE nader bekeken

Afdruk uit Hoofdstuk 3 uit de doctoraal scriptie van ing. P.M.Dijkstra voor het doctoraalexamen Wijsbegeerte op 20 september 1993. De tekst is aangepast aan de spelling van 2013, verder zijn niet alle afbeeldingen in overeenstemming met het

origineel. Hiervoor wordt verwezen naar het origineel dat opvraagbaar is bij de Erasmus Universiteit Rotterdam.


31

In het vorige hoofdstuk is vooral de wiskundige betekenis van symmetrie uitgewerkt. Wanneer er vanuit een historisch opzicht wordt gekeken naar symmetrie, blijkt er sprake te zijn van een vrij recente ontwikkeling. Het is John. J. Roche die tijdens een seminar over symmetrie in de natuurkunde gehouden in 1983(!) hierover voor het eerst een introducerend historisch onderzoek presenteert1. Hij tracht daar vooral de geschiedenis van symmetrie binnen de wetenschappen onder de aandacht te brengen van de historici van de wetenschappen. Dit omdat er volgens hem geen literatuur is waarin de historie van symmetrie en haar gebruik in de wetenschappen van met name voor de 17e eeuw is uitgewerkt. Uit Roche's artikel laat zich begrijpen dat het begrip symmetrie er altijd wel geweest is, maar dat het nooit de aandacht heeft gekregen die het eigenlijk verdient. Verder is door de operationele betekenis van symmetrie, die het vanaf de 18e eeuw heeft gekregen, symmetrie langzaam maar zeker op de voorgrond gekomen. Roche gaat hier niet verder op in maar wil laten zien dat symmetrie op vele wijzen wordt opgenomen in de natuurkunde en dat zelfs klassieke concepties van symmetrie nog steeds in de moderne theorieën zijn terug te vinden. Hier zal een historische schets worden gegeven waarin de nadruk komt te liggen op de toenemende explicitering van symmetrie, onder het motto 'symmetrie: van harmonie naar theorie'.

1 Gehouden in Sant Feliu de Guíxols, Spanje, van 20-26 sept.1983. Het artikel is te vinden in Doncel (1987), J.R.Roche:"A critical study of symmetry in physics

from Galileo to Newton".


31

Een datering van symmetrie. Bij een onderzoek naar symmetrie kan er gekeken worden naar het woord zelf: waar en wanneer treedt het, eventueel voor het eerst, op. Wat is de betekenis van het woord en in welke context wordt het gebruikt. Er kan ook gekeken worden naar die historisch overgeleverde materialen waar het gebruik van symmetrie expliciet naar voren komt. Het blijkt dat de uitkomst van deze twee manieren niet synchroon zijn met elkaar. Het woord symmetrie is veel jonger dan het gebruik van symmetrie. De geboorte van het schrift wordt rond 3000 v.Chr. geschat met het spijkerschrift als eerste schrift dat zich had ontwikkeld uit pictogrammen2. Het Griekse alfabet is van veel latere datum en stamt uit het overgeleverde Fenicische3 alfabet waarin de Grieken een fundamentele vernieuwing hadden aangebracht rond 775 v.Chr., te weten het aanbrengen van klinkers zodat het Griekse alfabet tenslotte bestond uit zeven klinkers en zeventien medeklinkers4. Symmetrie komt uit het oude Grieks van «σvµµeτρία» en is een woord met klinkers waardoor het tijdstip van haar ontstaan niet voor 775 v.Chr. kan liggen. Veel ouder dan het schrijven is bijvoorbeeld het maken van aardewerk. Wanneer er wordt gekeken naar optredende symmetrieën, het gebruik van symmetrie, is het al heel duidelijk aanwezig op een beschilderde beker uit Soesa van ca. 5000-4000 v.Chr. De hieronder afgebeelde vaas bevat een fries van vogels met zeer lange nekken die langs de bovenrand zijn aangebracht. Een later voorbeeld dat vooral vanuit kunsthistorisch oogpunt als een erg belangrijke vondst wordt aangemerkt is een vaas uit Uruk van ca. 3500-3000 v.Chr. De vaas is hieronder afgebeeld en geeft een fries te zien van dadelpalmen en gerst aren. Deze vaas is zo belangrijk omdat ze als oudste voorbeeld wordt genomen van een kunstenaar die de mogelijkheden van een begrensd beeldvlak uitbuit om in dit geval een nieuwjaarsfeest uit te beelden. Het is veelbetekenend omdat de tijd van maken van deze vaas samenviel met de uitvinding van het schrift. De regelmatigheid van richting, plaatsing en groepering die in de Uruk-vaas zo duidelijk aanwezig is, komt overeen met de regelmaat van schrijven5.

2 Zie Kline (1974), blz 25 e.v. en artikel van Roche in Doncel (1987) 3 De Feniciërs leefden in het huidige Libanon in steden aan de Middellandse Zeekust en maakten sinds ca. 743 v.Chr. deel van het Assyrische rijk, Honour

(1988),blz. 84 ev. 4.Neugebaur, (1975) blz. 262, wijst op een verband tussen de 7 klinkers en de 7 op dat moment bekende planeten. Zelfs de vorm van de klinkers schijnt in

overeenstemming te zijn met de aanschouwing van de planeten zoals de letter 'epsilon' lijkt op de halve maan. 5 Honour (1988) blz. 33 en 34.


31

Let op: bovenstaande vaas komt niet uit soesa, hij is wel uit de oudheid.

Fig. 32. Soesa en Uruk lagen in de grote rivierbekkens van de Eufraat en de Tigris in het Nabije Oosten. Het gebied wat door de Grieken werd aangeduid als Mesopotamië6 en behoort tot die gebieden die gerekend worden tot de vroegste beschavingen. Weyl noemt7 in dit verband de Sumeriërs, die zich als kolonisten in onder andere Soesa bevonden, als typerend voorbeeld van alle antieke beschavingen die erg gesteld waren op symmetrie. Een veel voorkomend motief dat hij als voorbeeld neemt is de afbeelding van een arend met een leeuwenkop. De populariteit van dit motief blijkt uit de verbreidingen en veranderingen van dit motief die zijn terug te vinden in het latere Perzië, Syrië en Byzantium tot aan het begin van de 20e eeuw. De dubbelhoofdige arendskop op de militaire uniformen van het Tsaristische Rusland en de Oostenrijks-Hongaarse monarchie vertoont veel overeenkomsten met het populaire motief. Andere veel oudere voorbeelden dan het schrift waarin het gebruik van symmetrie naar voren komt, zijn terug te vinden in de architectuur, de opbouw van steden aan de hand van overgeleverde plattegronden en symmetrische afbeeldingen op

6 Grieks voor 'land tussen de rivieren'. 7 Weyl (1952), blz. 8 en 9. Zie blz. 9 voor een afbeelding van het motief.


31

gebouwen en dergelijke. Hiermee is het verschil in datering aangegeven tussen het gebruik van symmetrie en het verwoorden van symmetrie voor wat betreft het historisch overgeleverde materiaal. Het woord symmetrie Etymologisch vindt het woord symmetrie, zoals hiervoor al was aangegeven, zijn oorsprong in de Griekse Oudheid na 775 v.Chr. Het is een Griekse term met een Griekse conceptie en er is waarschijnlijk geen goede equivalent in een ander Europees idioom te vinden8. Het komt van «σvµµeτρία» ofwel 'summetriea' dat evenredigheid of juiste verhouding betekend en is afgeleid van summetreomai wat samen-meten, uitmeten of overeenstemmen betekent. In eerste instantie laat zich dit begrijpen vanuit een geometrische context. Als hèt voorbeeld kan dan de Elementen van Euclides (ca. 300 v.Chr.) worden genomen. Om echter recht te doen aan de betekenis die symmetrie gebruikelijk had, moet het in een andere veel bredere context besproken worden. De Elementen en de betekenis die symmetrie daar heeft is zèèr specifiek en is eerder te begrijpen als een toppunt van de Griekse rationaliteit en als zodanig als een geïsoleerde opbrengst ervan9. Symmetrie verschijnt in de Hellenistische periode (300-50 v.Chr.) en werd in het algemeen zonder scherp onderscheid samen genomen met termen als harmonie, ritme, balans, evenwicht, stabiliteit, goede verhoudingen, gelijkheid van structuur en schoonheid van vorm. Deze termen werden gebruikt in allerlei situaties en bij verschillende beschrijvingen van zaken. Hierdoor heeft symmetrie een heel brede betekenis en is het op veel plaatsen terug te vinden10. Daarmee heeft het niet alleen betrekking op ruimtelijke objecten maar ook via een synoniem als "harmonie" op de natuur, het esthetische leven en bij kunstvormen als muziek en theater. Symmetrie en harmonie bij de Grieken, een gevoel voor eenheid. Door de brede context waarin symmetrie werd opgenomen bij de Grieken is het niet expliciet besproken of als een toonaangevend begrip terug te vinden. Hiermee is waarschijnlijk de reden aangegeven waarom de meeste overzichtswerken over de Grieken in hun indexen het begrip symmetrie niet vermelden. Het cluster van begrippen waarin symmetrie werd opgenomen maakt echter wel een relatie mogelijk met een heel centraal thema bij de Grieken dat wel uitvoerig wordt besproken. Dit centrale thema is het gevoel voor eenheid.

8 Wiener (1973),'Symmetry", blz 346 ev. 9 Wiener (1973), 'Symmetry', blz. 346, V.d.Waerden (1950), blz. 7 en Struik (1967), blz. 38 e.v. 10 Volgens de Hist. of Ideas, 'Symmetry', blz 346 ev., treedt Symmetrie in het werk van Homerus niet op en mist hiermee de eigenaardige verbale sterkte die

zo eigen is aan de in dit werk opgenomen termen. Homerische termen hebben altijd een centrale betekenis die ondanks vele latere andere connotaties behouden

blijft. Het karakter van de term symmetrie is duidelijk anders.


31

Het leven ontstaat en vergaat, mensen gaan over van jong naar oud, het verschil in licht en donker, de groei van een boom ontstaan uit een eenvoudig eikeltje et cetera. Maar ondanks al deze veranderingen en overgangen moet er iets zijn dat onveranderlijk blijft. Als antwoord op het waarom er iets onveranderlijk moet zijn geeft Copleston11 aan: 'Omdat de verandering is van iets in iets anders. Er moet iets zijn wat primair

is, dat blijft, dat verschillende vormen aanneemt en dit proces van verandering ondergaat. Verandering kan niet slechts een conflict zijn van tegenstellingen; denkende mannen waren ervan overtuigd dat er iets achter deze tegenstellingen was, iets dat primair was.'.

Dit 'iets' werd bij de natuurfilosofen12 aangeduid met de oermaterie. Waarbij volgens Coppleston niet het belangrijkste ligt in het zoeken van deze oermaterie maar in het gemeenschappelijke idee van eenheid. De Ionische natuurfilosofen hadden een besef van veranderingen en tegenstellingen en tegelijk een besef van een achterliggende eenheid die onveranderlijk is. Ontvankelijkheid voor begrippen als harmonie en symmetrie past mijns inziens bij het hier besproken gevoel van eenheid. Het zijn termen met een overkoepelend karakter; zij overbruggen tegenstellingen en dualismen en geven een uitdrukking aan de wens te zoeken naar dat wat permanent is èn eenheid geeft. Wat voorbeelden, Hier zal nog een aantal voorbeelden worden gegeven van de Griekse filosofie waar de samenhang tussen het gevoel van eenheid èn de notie van symmetrie duidelijk zijn terug te vinden. Daarna zal de specifieke invulling van symmetrie die het bij Euclides heeft, worden besproken. Hierbij zal een probleem worden aangegeven, bij deze notie van symmetrie, waarmee het gevoel van eenheid danig op de proef werd gesteld. Bij de Griekse filosoof Plato (429-348 v.Chr.) kan men drie voorbeelden van symmetrie aantreffen. Het eerste voorbeeld is te vinden in de Timaios13. Daar wordt expliciet gebruik gemaakt van geometrische figuren die symmetrisch met elkaar zijn om een harmonieus filosofisch systeem aan te bieden. Hij gebruikt hiervoor de vijf regelmatige veelhoeken, waarvan de ontdekking wordt toegeschreven aan de school van Pythagoras, als de vormen van de vier basiselementen van de oermaterie waaruit alle objecten bestaan. De vijfde veelhoek gebruikt hij om aan te geven dat deze door de Demiurg (de Schepper) werd gebruikt als het model voor het ontwikkelen van het universum. Deze veelhoeken en de overeenkomende basiselementen zijn hieronder weergegeven.

11 Copleston (1985), Vol. I, blz. 20. 12 Zoals Thales van Milete (ca. 580 v.Chr.) die water zag als de oermaterie. Of Heraclitus van Efese (ca. 500-425 v.Chr.) die, naast het vuur als de oermaterie,

een dynamisch principe aaannam van het worden. 13 Zie bijvoorbeeld Roche in Doncel (1987), Weyl (1952), blz. 73. en Taylor (1987), blz. 378-381.


31

tetrahedron of tetraeder (regelmatig 4 vlak): vuur

octahedron of octaeder (regelmatig 8-vlak): lucht

kubus of hexaeder (regelmatig 6-vlak): aarde

icosahedron of icosaeder (regelmatig 20-vlak): water

dodecahedron (regelmatig 12-vlak): het universum

Fig. 33. Het tweede voorbeeld waar noties als symmetrie en harmonie worden gehanteerd is de constructie van een toonladder op basis van getalsverhoudingen. Daarmee is volgens Plato aan te tonen dat onze oren niet alle toonintervallen horen maar dat deze intervallen zich wel mathematisch laten construeren14. Het derde en laatste voorbeeld geeft een belangrijke inbreng van Plato aan voor zijn invloed op de astronomie15. De kosmos16 wordt door Plato geometrisch beschreven als een stationaire sferische aarde omgeven door planeten en sterren die zich in concentrische cirkels bewegen. Hier wordt de cirkel met zijn volledige symmetrie als ideaalbeeld genomen. Samen met Plato zorgt Aristoteles (384-322 v.Chr.) ervoor dat deze astronomische opvatting van de symmetrische uniforme bewegingen wordt gehandhaafd. Wel heeft het wereldbeeld van Aristoteles een beroemde asymmetrie, namelijk die tussen de aardse en hemelse bewegingen17. Een asymmetrie die tot in de Renaissance een probleem blijft18. Zoals al eerder is vermeld is het werk19 'De elementen' van Euclides op te vatten als het toppunt van de Griekse rationaliteit. De geometrie zoals hier gepresenteerd onderscheidde zich van die in alle andere culturen door de wetenschappelijke aanpak. De geometrie werd besproken omwille van de geometrie. Er werd niet een geometrie gegeven die gebaseerd was op het praktische nut van de landmeetkunde zoals bij de Egyptenaren of voor de astrologie zoals bij de Babylonïers20. 14 Zie Roche in Doncel (1987) en Dijksterhuis (1989), blz. 13 e.v. 15 Deze invloed van Plato op de astronomie is al vroeg erkend. Roche noemt Simplicius (549 n.Chr.) die Plato aanmerkt als degene die het gezicht van het

Griekse programma van de astronomie heeft bepaald door de nadruk op de (planetaire) bewegingen in termen van uniform bewegende cirkels. 16 Kosmos= Gr. Orde. 17 Een uitvoerige bespreking van deze asymmetrie met een oplossing daarvoor aangegeven door Aristoteles is te vinden in Dijksterhuis (1989), blz. 38 e.v. 18 Zie de paragraaf, "Symmetrie in de Renaissance, opkomst van de moderne wetenschap.", waar een verdere bespreking van dit probleem wordt gegeven. 19 Hier moet wel opgemerkt worden dat de oorspronkelijke tekst ontbreekt en dat er gewerkt wordt met compilaties van werken waarvan vermoedelijk de

vroegste dateren van omstreeks 400 n.Chr. Zie Kline (1974) blz. 57, Struik (1967), blz.39. 20 Zie voor een uitvoerige bespreking van deze eigenzinnige aanpak bijvoorbeeld A.v.d. Waerden (1950), blz. 217 e.v. en Struik (1967), blz. 45 e.v.


31

Over het ontstaan van het werk worden er naast het algemene argument dat het een onderwijzend werk was ook andere motieven aangegeven. Struik21 noemt in dit verband het samennemen van Euclides van drie overgeleverde problemen uit de Griekse geometrie als motief. Deze zijn de constructie van de regelmatige veelhoeken, de theorie van irrationelen van Theatetus en de theorie van proporties van Eudoxus. Weyl noemt in dit verband A.Speiser die de stelling verdedigt dat de constructie van de vijf regelmatige veelhoeken en de demonstratie dat er niet meer zijn dan dezen, het belangrijkste doel is van het deductieve systeem van de geometrie zoals het is opgekomen bij de Grieken en gecanoniseerd door Euclides. M.Kline bespreekt dat Euclides meesterlijk beredeneert dat het er maar precies 5 kunnen zijn! Een modern analytisch bewijs hiervan is te vinden in de Appendix A van H.Weyls Symmetry. In de Elementen van Euclides wordt een geometrie gegeven die gebaseerd is op een door hem ingebracht stelsel van axioma's en definities. Deze gepresenteerde wijze, de later genoemde axiomatische methode, wordt tot ver in de 19e eeuw als hèt voorbeeld genomen waaraan wetenschap dient te voldoen22. Hier is echter een belangrijk facet naar voren te brengen door naar de specifieke invulling van symmetrie te kijken die Euclides hiervan geeft. Daardoor wordt in de context van het gevoel voor eenheid en symmetrie een belangrijk probleem zichtbaar, waar mijn inziens door een axiomatische aanpak het gevoel van eenheid dan wel harmonie werd hersteld. Euclides hanteerde in de Elementen symmetrie als 'in lengte commensurabel'23 in de betekenis van: meetbaar zijn met gemeenschappelijke maat. Figuren of groottes zijn soms af meetbaar via gehele vaste maten. De zijden en een diagonaal van een vierkant zijn in dit geval echter in commensurabele kwantiteiten24! Hiermee wordt een interessant probleem zichtbaar dat uiteindelijk pas rond 1800 zijn oplossing vond namelijk, het wortel twee probleem ofwel het probleem van de irrationele getallen. Een gelijkzijdige driehoek met rechte zijden met lengte èèn heeft als schuine zijde maat een afstand van wortel twee25. Het probleem is dat wortel twee een irrationeel getal is, bij benadering 1,4142..., en geen breuk; er zijn geen gehele getallen m en n zodanig dat wortel twee gelijk is aan m/n. Het getal wortel twee is niet af te meten via een gehele vaste maat. Waarmee de harmonie tussen de rekenkunde en de geometrie verbroken wordt! Euclidisch omzeilde dit probleem door juist producten als geometrische kwantiteiten te benaderen en niet als getallen, zodat dan bijvoorbeeld het produkt axb niet een getal is maar een product van twee lengtes waarbij axb overeenkomt met de oppervlakte van een figuur. Met deze aanpak is de lengte van wortel twee wel te construeren. De schuine zijde is te verkrijgen uit samengestelde figuren dan wel uit samengestelde symmetrische afbeeldingen zoals in hoofdstuk twee is aangegeven!

21 De nu volgende genoemde personen en discussies zijn terug te vinden in Struik (1967), blz 52 ev., Weyl (1952), blz.74. e.v. en Kline (1974), blz. 56 e.v. 22 Voor een uitvoerige bespreking van de axiomatische behandeling van de meetkunde en haar toepassing op de logica en de getallenleer is bijvoorbeeld

W.Beth (1940) te raadplegen. 23 Vertaling uit het Grieks van 'µήχει σύµµετςoς'uit Euclides, boek X, door v.d. Waerden (1950), blz 157. Door 'summetros' met het latijnse

'commensurabel' te vertalen is tevens te zien dat v.d.Waerde niet gericht is op de term 'symmetrie' zoals in deze scriptie. 24 Zie bijvoorbeeld Weyl (1952), blz. 75. 25 Een afstand die met de moderne formule van Pythagoras, x²+y²=z², is af te leiden. Een saillant detail, de algemene stelling van Fermat voor xn+yn=zn met x,y

en z als gehele getallen waarbij n<3 schijnt bij het ter perse gaan van deze scriptie bewezen te zijn.


31

In dit geval uit gelijkzijdige driehoeken26. Hieronder is dit visueel afgebeeld waarbij voor het linker plaatje de klassieke met Euclidisch overeenkomstige benadering van het wortel twee probleem geldt. Het rechter plaatje geeft de modernere invulling met de analytische geometrie27 waarin het probleem uiteindelijke door het invoeren van irrationele getallen en een uitgewerkte getallenleer is uitgewerkt28. De Grieken hadden dit probleem van in commensurabiliteit ingezien maar hun hang naar harmonie zou wel eens een reden geweest kunnen zijn om in plaats van het probleem uit te diepen dit over te brengen naar een louter argumentatieve meetkunde. Waarbij de mogelijkheid tot constructies van de in commensurabele lengte via samengestelde figuren als een extra reden hiervoor is op te vatten.

Stelling van pythagoras. Fig. 34. Symmetrie, harmonie en schoonheid zijn onlosmakelijk verbonden met elkaar in de werken van de Grieken en worden op verschillende manieren gebruikt om uiteindelijk de harmonie en schoonheid van het leven te beschrijven. Symmetrie, in de zin van orde in de chaos dan wel een gevoel van eenheid, is een idee waarmee de mens door de eeuwen heen heeft geprobeerd om orde, schoonheid en perfectie te creëren of te begrijpen29. Symmetrie in de middeleeuwen 26 Einstein wijst in dit verband naar het door hem zelf kunnen bewijzen van het theorema van Pythagoras met behulp van gelijkheid van driehoeken als èèn van

de twee wonderen van zijn kindertijd. Het tweede 'wonder' heeft ook een verband met symmetrie en komt ter sprake in de paragraaf 'Invariantie en variatie,

symmetrie en theorie', Holton (1988) blz. 386. 27 De analytische aanpak voor de geometrie in onderscheidt met een axiomatische wordt door Descartes (1596-1650) geïntroduceerd. Zie voor een bespreking

hiervan bijvoorbeeld Struik (1967) vanaf blz 102. 28 W.Beth (1940), blz. 62, wijst erop dat pas bij Dedekind (1872) het begrip van het irrationele getal in een dusdanige vorm was gebracht, waardoor een

getalsmatige aanpak van de meetkunde mogelijk werd die in strengheid niet langer bij de euclidische methode achterstond. 29 Een invulling die in deze eeuw nog is terug te vinden. Zie bv de opmerking die Weyl zelfs hierover in de 20e eeuw nog maakt in Symmetry blz.5.


31

Voor de Middeleeuwen wordt hier alleen Ramon Llull (1234-1310) genoemd. Hij was een groot Catalaans mysticus en een veelzijdig wiskundige en wordt hier besproken omdat hij een theocentrisch systeem introduceerde dat expliciet gebaseerd was op symmetrie. Zijn systeem bestaat uit classificaties, ontdekkingen en demonstratieve bewijzen voor alle gebieden van de menselijke kennis. Hij maakt hiervoor gebruik van de hieronder afgebeelde kaarten. Door rotaties van de verschillende schijven was hij instaat een enorm aantal proposities af te leiden. Om deze reden wordt hij wel de vader van de mathematische logica genoemd. Met deze kaarten komen verschillende soorten symmetrie samen en bovenal het ideaal van een totaal overzicht van kennis via eenvoudige op symmetrie gebaseerde variaties.

schijven van Llull Fig. 35. Roche geeft aan hoe een op 9-voudige symmetrie gebaseerde door Llull aangeduide 'kunst van het ontdekken van de waarheid' als een symmetrische taxonomie heel vruchtbaar kan opereren. Als moderne analogie noemt hij ook de periodieke tabel van Mendeleef van chemische elementen en de onderverdeling op basis van symmetrie zoals in de elementaire deeltjes theorie plaatsvindt30. Symmetrie in de Renaissance, opkomst van de moderne wetenschap. Voor het begin van de moderne wetenschap wordt vaak het volgende rijtje namen genoemd van N. Copernicus (1473-1543), G. Galilei (1564-1642), J. Kepler (1571-1630) en uiteindelijk I. Newton (1642-1727) met zijn Principia, met daarin een mathematisering van de klassieke mechanica, en de Opticks. Een belangrijk element hierin is de Copernicaanse Wending, het geocentrisch wereldbeeld verandert in een heliocentrisch wereldbeeld: niet de aarde maar de zon is het centrum van rotatie waarom de planeten draaien31. Minder bekend maar wel 30 Zie bijvoorbeeld Johnston (1987).

31 Zie Bernard Cohen (1987) voor een uitvoerige bespreking van dit onderwerp.


31

saillant is het feit dat Copernicus deze verandering invoerde op basis van symmetrieoverwegingen32. Sinds de invoering door Plato en later Aristoteles van het paradigma van de astronomie met de uniforme cirkelvormige beweging van de planeten langs homo centrische sferen hadden nieuwere waarnemingen dit paradigma onder vuur genomen. Eerst werd echter getracht om deze circulaire astronomie te handhaven, zoals Ptolemeus tot het uiterste probeerde33. Hiervoor voerde Ptolemeus epicycles in: enkele planeten bewogen zich uniform en circulair om een excentrisch punt dat zelf voortbewoog op een cirkel met de aarde als middelpunt. Iets anders dat hij invoerde was de beweging van de planeten onder en boven de zon. Copernicus was in deze een meer puriteinse aanhanger van het symmetrische overgeleverde beeld en voorkwam de laatstgenoemde asymmetrie van onder- en boven planeten door de zon als middelpunt te nemen. Hierdoor kon hij hetzelfde geometrische schema toepassen voor alle planeten. Hij werd hierin gesterkt door het neoplatonisme dat hij aanhang. Daarin werd de zon genomen als de grote verlichter van het universum34. Kepler doorbreekt het paradigma van de circulaire astronomie. Het heliocentrisch beeld neemt hij over, de cyclische opvatting liet hij vallen ten gunste van elliptische bewegingen. De afstand tussen de planeten probeert hij te verklaren met behulp van 'nesting' van de vijf regelmatige veelhoeken. Kepler beschouwde vanuit zijn Pythagorianisme en Neoplatonisme de mathematische harmonie en symmetrie als in zichzelf voldoende verklaringen voor de kosmische architectuur35. Dit ging echter niet ten koste van zijn diepe respect voor observaties zoals gedaan door T.Brahe (1546-1601). De verschillende opvattingen met de noties van symmetrie laten zich heel duidelijk aanschouwelijk weergeven zoals hieronder is te zien.

Tycho Brahe en Keplers solids. Fig. 36. Hiermee wordt de historische bespreking van symmetrie als harmonie beëindigd. Met de opkomst van de moderne wetenschap zal ook een verdere explicitering van symmetrie op gaan treden. Symmetrie krijgt hiermee een meer theoretische invulling

32 Ontleent van de bespreking van Roche in Doncel (1987) over symmetrie. 33 Voor een uitvoerige bespreking van deze 'wanhopige' pogingen is Duhem (..) te raadplegen. Als voorbeeld voor wetenschapbedrijven als een collectief

gebeuren is Kuhn's (1970) werk hierover na te slaan. 34 Zie hiervoor Roche in Doncel (1987) en Dijksterhuis (1989), blz. 320. 35 Zie hiervoor de expliciete bespreking van Holton (1988), blz.62-71.


31

die nu besproken zal gaan worden. De operationele betekenis van symmetrie, van harmonie naar theorie. In de Dictionary of Historical Ideas wordt aangegeven dat in een lexicografisch opzicht de betekenis van symmetrie vanaf de oudheid een verandering heeft ondergaan. Een verandering die hier is aangeduid onder het motto symmetrie: van harmonie naar theorie. De oude betekenissen zijn ondanks deze verandering niet verloren gegaan maar er is wel een explicitering van symmetrie gaan optreden. Het bijzondere van deze explicitering is dat het een toevoeging is geweest in vergelijking met de andere betekenissen waardoor symmetrie een meer operationele betekenis heeft gekregen die met de loop der tijden is gaan overheersen. Deze verandering vindt plaats in de loop van de 18e eeuw en wordt door Roche op twee plaatsen vrijwel tegelijkertijd getraceerd. In de eerste plaats krijgt symmetrie een duidelijk geometrische invulling als bilaterale- of spiegelsymmetrie zoals het met name in de architectuur naar voren komt. Roche noemt hiervoor de wiskundige A.Legendre (1752-1833) die als eerste het woord symmetrie in deze strikt geometrische betekenis laat verschijnen in zijn Geometrie van 1794. Daarmee begint de invulling van symmetrie zoals deze is uitgewerkt in het vorige hoofdstuk36. Vrijwel tegelijkertijd verschijnt symmetrie op een andere, tweede plaats waar het een meer abstracte invulling krijgt, namelijk in de algebra. Roche noemt hiervoor de wiskundige A.T. Vandermonde (1735-1796) en ook J.Lagrange (1736-1813) die zich expliciet met symmetrische functies gaan bezig houden. De betekenis die symmetrie daar heeft is de invariantie37 van een functie onder verwisseling van bepaalde coëfficiënten. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is een willekeurige tweedegraads vergelijking ax²+bx+c=0 waarvoor moet gelden dat er twee gelijke wortels optreden. Met de bekende abc formule moet dan gelden dat de discriminant nul is, ofwel √(b²-4ac)=0. Invariant is hier de discriminant bij de eis van twee gelijke wortels38. Het zijn deze twee met name wiskundige en hiermee theoretische invullingen van symmetrie die symmetrie als zodanig onder de aandacht hebben gebracht. Roche stelt dat het samennemen en de afzonderlijke uitbreiding van deze twee invullingen verantwoordelijk zijn geweest voor de vele expliciete ontwikkelingen van symmetrie in met name de wiskunde en de natuurkunde39. Als voorbeeld van deze geschetste ontwikkeling zal hier een bespreking volgen van de Kristallografie. Dit zal een uitvoerige bespreking worden omdat een schets van deze geschiedenis tevens een duidelijk voorbeeld is van het hier aangegeven motto, symmetrie: van harmonie naar theorie. Vervolgens zal de situatie worden aangegeven van hoe er rond de eeuwwisseling over symmetrie werd gedacht. Dit hoofdstuk zal worden afgesloten met het moderne begrip van symmetrie als variatie en invariantie,

36 Zie hoofdstuk twee,'Geometrische symmetrie'. 37 De term invariantie wordt in de paragraf, "Abstracte symmetrie in de natuurwetenschappen als variatie en invariantie", uitvoeriger besproken. 38 Zie voor een uitvoerige bespreking hiervan, "Invariant twins, Cayley and Sylvester", E.T.Bell in Newman (1988) blz 335. 39 Voor een uivoerig overzicht met literatuuropgave van het hedendaagse gebruik van symmetrie in de wis- en natuuurkunde is in het bijzonder M.Hazewinkel

(1984) te raadplegen.


31

waarmee de nadruk is komen te liggen op de abstracte invulling van symmetrie.


31

De Kristallografie. Inleiding. De eerste succesvolle toepassingen van symmetrie vinden plaats in de kristallografie. Onder een kristal wordt in de moderne betekenis de rangschikking van moleculen in een vast meetkundig patroon verstaan zoals die optreden bij sommige vaste stoffen. Dit patroon blijft zich door de gehele stof op verschillende wijze herhalen. Deze rangschikking van de moleculen als een patroon, ofwel het geordende patroon, wordt de kristalstructuur van de stof genoemd. Hiermee is symmetrie een fundamenteel kenmerk van kristalroosters. Hieronder zijn enkele kristalroosters weergegeven.

afbeelding van enkele kristalroosters. Fig. 37. Grotere structuren zijn ook voor te stellen als bij stenen en mineralen. Wanneer mineralen een meetkundige structuur vertonen is deze het gevolg van de rangschikking van de moleculen. De meetkundige structuur is de kristalstructuur op macroniveau. Gesteenten zijn slechts mengsels van één of meer verschillende mineralen waaruit samengestelde patronen ontstaan. Onder gunstige omstandigheden ontwikkelen kristallen zich als 'goed gevormde' kristallen die opvallen door hun 'mooie' geometrische vormen. Bekende voorbeelden zijn edelstenen, als diamant, en Iceland spar. Deze goed gevormde kristallen hebben in eerste instantie de meeste belangstelling gekregen van waaruit zich de kristallografie heeft ontwikkelt en daarmee grote delen van de in hoofdstuk twee weergegeven theorie over symmetrie. Door de structuur laten kristallen zich onderscheiden met gassen en vloeistoffen. De moleculen van de laatste twee genoemde toestanden bewegen nog zo vrij dat zich geen patroonvorming voordoet. Een mooi en voor iedereen bekend voorbeeld waarbij is overgegaan van een vloeibare - naar een vaste toestand zijn de prachtige sneeuwkristallen die een zeshoekige symmetrie vertonen. Water in vloeibare vorm vertoont geen kristalstructuur maar bij bevriezing ontleent het ijs zijn vorm rechtstreeks aan de onderliggende kristalstructuur van de ijsmoleculen. Dit overgaan van een vloeibare- naar een vaste stof wordt kristallisatie genoemd40. Een markante uitzondering van een vaste stof die geen kristalstructuur vertoont is

40 Dit en meer over de markante eigenschappen die verkregen zijn door de Kristallografie is te lezen in Gardner (1986), hoofdstuk 11, 'Kristallen'.


31

glas. Deze artificiële stof ontstaat door een zeer snel afkoelen van bepaalde vloeistoffen waardoor de moleculen zo dicht op elkaar worden 'vastgevroren' zodat zij niet de kans hebben om een ordelijk patroon te vormen41. Het ontbreken van een kristalstructuur geeft aan dat glas eigenlijk niet als een vaste stof kan worden aangemerkt. Het vloeibare karakter van glas toont zich in de tijd door het optredend verschijnsel van 'doorzakken'. Kennis van de kristalstructuren en de verschillende eigenschappen van kristallen, hebben een grote invloed op de ontwikkeling van vele wetenschapsgebieden zoals de natuurkunde, scheikunde, biologie en de geologie. Uitingen van deze kennis zijn terug te vinden in vele hedendaagse toepassingen. Zoals in de huizen- en vliegtuigbouw waar de kennis van de kristaleigenschappen van materialen zoals metaal een grote rol spelen. De samenstelling en de diverse symmetrieën van het kristalrooster van metalen zorgen voor diverse mechanische eigenschappen als treksterkte en het bekende optredende verschijnsel van metaalmoeheid als onregelmatigheid in het rooster of herhalende patroon. Of in de elektrotechniek waar het aanbrengen van geringe verontreinigingen in germanium- en siliciumkristallen zorgen voor halfgeleiders als de transistor en de diode. Een techniek die de basis vormt van de moderne elektronica zoals is terug te vinden in de computer en televisie. Een wat ouder bekend voorbeeld is het kristalelement van een pick-up waarbij gebruik wordt gemaakt van kristallen die reageren op trillingen in de vorm van het opwekken van elektriciteit42. Tot slot zijn nog de Polaroid brillenglazen te noemen waarbij gebruik wordt gemaakt van de brekingseigenschappen van licht die optreden bij kristallen. Een historisch overzicht. De historie van de kristallografie is uitgebreid en veelomvattend en biedt nog vele onderzoeksgebieden. Hier zal slechts een korte schets worden gegeven. Door het bijzondere verschijnsel dat goed gevormde kristallen in de natuur voorkomen èn de menselijke interesse of gevoeligheid voor geometrische vormen, is de bekendheid van de mens met kristallen al tot ver voor de eerste beschavingen terug te vinden43. Een expliciet voorbeeld in de filosofie zijn de al eerder besproken regelmatige veelhoeken van Pythagoras en Plato44. Al deze vormen zijn als kristallen terug te vinden in de natuur. Wanneer er naar de eis van regelmatige veelhoeken wordt gekeken is de enige veelhoek die vanuit theoretisch opzicht niet als een 'zuivere' veelhoek op kan treden de regelmatige vijfhoek. Weyl45 wijst op Pyriet (ijzersulfide) een kristal, dat in Sicilië is te vinden wat een vijfhoekige structuur heeft maar waar èèn zijde niet gelijk is aan de andere vier en daarmee geen regelmatige veelhoek. De constructie van de regelmatige vijfhoek is volgens Weyl hierdoor als een 'zuivere' abstracte constructie aan te merken. Een constructie die wordt toegeschreven aan Theatetus. Over dit niet voorkomen van kristallen als zuivere vijfhoeken zoals de kristallografie aangeeft is meer te zeggen. De opmerking van Weyl

41 Glas is niet kristallijn waardoor volgens natuurkundige begrippen een in de winkel aangeboden 'glas van kristal' niet als een 'glas van kristal' is aan te merken. 42 Dit verschijnsel wordt aangeduid met piëzo-electriciteit. Piëzo= van Gr, piezoo=drukken. 43 Zie Burke (1966) blz. 12 ev. 44 Zie de paragraaf "Wat voorbeelden.". 45 Weyl (1952), blz 74.


31

dat de regelmatige vijfhoek niet voorkomt in de natuur is afhankelijk van de meetnauwkeurigheid en mogelijkheid hiervan die op deze kristallen worden toegepast. Aanschouwelijk lijken de vijfhoekige kristallen hèèl regelmatig! Waar Weyl waarschijnlijk op doelt zonder het in dit verband duidelijk uit te spreken is, dat vanuit theoretisch opzicht een vijf-voudige symmetrie in de kristallografie in strijd is met deze theorie. De constructie van regelmatige veelvlakken vanuit èèn basisvlak is in deze discussie iets anders dan het voorkomen van regelmatige veelvlakken als kristallen in de natuur. Er zal nu verder worden gegaan met de ontwikkeling van de kristallografie zelf waarbij ook de hiervoor aangegeven nuance duidelijker zal worden. Wanneer er globaal naar de ontwikkeling van de kristallografie als wetenschap wordt gekeken dan is deze in drie fasen te onderscheiden. In de eerste fase is er een gerichtheid op de uiterlijke vorm. Vervolgens wordt in de tweede fase een nadruk gelegd op de mogelijke inwendige regelmatige opbouw van de kristallen. En tot slot de derde fase waarin de theorie van symmetrie, zoals in het tweede hoofdstuk van deze scriptie is weergegeven, wordt ontwikkeld. De kristallografie is hiermee aan het begin van deze eeuw volledig wiskundig uitgewerkt voor wat betreft de in- en uitwendige opbouw voor alle mogelijke optredende kristallen. Een inwendige opbouw die tot op dat moment door de beperkte waarnemingsvormen nog steeds een hypothetisch karakter hadden. Hier kwam een verandering in vanaf 1912 door de ontwikkeling van modernere waarnemingstechnieken waardoor de inwendige opbouw 'zichtbaar' werd. Heden ten dage is de gerichtheid niet meer op de geometrische vormen van kristallen maar op de kristaleigenschappen op basis van de structuur met de daarbij optredende krachten46. Met dit globale overzicht zal nu elke fase nog wat verder worden uitgewerkt. In eerste instantie hield men zich bezig met goed gevormde kristallen die al van oudsher in de belangstelling hadden gestaan. Hierdoor lag de interesse vooral op de uiterlijke vorm. Het verschijnsel wetenschap ontwikkelt zich met name vanaf de 16e eeuw mede door de verzamelkabinetten waar liefhebbers in dit geval allerlei kristallen hadden verzameld. De kristallografie als wetenschap is dan ook ontstaan uit een poging tot het systematisch classificeren van kristallen47. Deze classificatie is gericht op de uiterlijke vorm. Zoals al eerder is aangegeven is de uiterlijke vorm het gevolg van de interne opbouw. Een kennis die nu algemeen is maar bij het ontstaan van de kristallografie, gezien de hiervoor geschetste gerichtheid niet direct voor de hand lag. Het werk van de 'eerste' kristallograven bestond dan ook uit het classificeren van de beschikbare kristallen door het overnemen van de uitwendige vormen, het opmeten van alle hoeken en hun aantal. Het is de Deense bisschop Nicolaus Steno (1638-1686) die in 1669 zijn dissertatie 'De solido intra solidum naturaliter contento dissertationis prodromus' publiceert en daarmee als eerste wetenschappelijke kristallograaf wordt aangemerkt48. Een dissertatie over de groei van kristallen waarin de vegetatieve opvatting werd vervangen door een mechanische opvatting van aanplakkende deeltjes. Deze overgang van een organische naar een anorganische opvatting bracht het kristallenonderzoek in de richting van een geometrie. Daarbij zag hij regelmatigheden

46 Dit laaste punt is de specifieke benadering van Burke (1966). Zie blz 7. 47 Burke (1966) blz. 53 e.v.: die expliciet een bespreking geeft van de rol van classificatie als een integraal onderdeel van wetenschap. 48 Newman (1988) vertaald de titel als 'Concerning Solids Naturally Contained within Solids'.


31

in de groei van de kristallen. De hoeken tussen de vlakken van verschillende kwartskristallen waren telkens gelijk49. Een ander bekend kristallograaf is J.B. Romé de l'Isle (1736-1790) die aangaf dat de optredende hoeken kenmerkend zijn voor de stoffen die onderzocht waren. De variatie van de kristallen was bij hem ook nog gericht op de uiterlijk geometrische vorm. Ondanks moleculaire hypotheses over de mogelijke interne opbouw van de kristallen stonden deze opvattingen bij hem nog naast elkaar. Hij maakte hiermee nog een duidelijk onderscheid tussen de uitwendige geometrische structuur en de mogelijke inwendige opbouw van het kristal50. Beide kristallograven worden genoemd als de wegbereiders van wat later de kristallografische wet van vlakken onder vaste hoek wordt genoemd (the constancy of interfacial angles). De onderzochte goed gevormde kristallen vertoonden regelmaat in de onderlinge hoeken tussen de vlakken. De tweede fase gaat in met de Franse Abt, René Just Haüy, (1743-1822) die het wiskundig verband aanbrengt tussen de interne structuur en de uitwendige vorm. 51. De basis hiervan is wat later de kristallografische wet van de rationele indexen wordt genoemd. In het kort stelt deze wet dat zodra er gerefereerd wordt naar drie kruisende assen alle vlakken die verschijnen op een kristal beschreven kunnen worden door numerieke indexen die gehele getallen zijn, en dat deze gehele getallen gewoonlijk kleine getallen zijn. Hiermee worden, met een simpele basisregel, alle mogelijke hoeken aangegeven die uiterlijk mogelijk zijn. Waardoor de opbrengst van het tijdrovende en veelomvattende classificeren van kristallen systematisch wordt samengevat. Voor wat betreft de regelmatige vlak verdeling is hieronder een 'afgebroken' kristal weergegeven waarbij door het verbinden van de vlaklijnen en het aanbrengen van regelmatige verbindingen langs de aslijnen het eerste aspect van de basisregel is weergegeven.

49 Burke (1966), blz.55: All these systems of classification (van de 18e eeuw) had as one of their principal roots the work of Nicolaus Steno. 50 Burke (1966),blz 78.: Although R.de I'sle accepted the molecular hypothesis and insisted that the variety of forms were related geometrically his theory of

truncation had not served to advance the juxtaposition concept. 51 Er was over deze relatie al vaker gespeculeerd zoals bijvoorbeeld Kepler die in 1611 in een kleine monografie, Stena seu de Nive Sexzangula; "een

nieuwjaarsgift: over hexagonale sneeuw", het idee dat externe vorm af kan hangen van interne structuur onder de aandacht brengt. Lockwood (1978),

paragraaf,"Introduction".


31

Fig. 38. Vervolgens werd door Haüy met de inbreng van een hypothese een relatie gelegd naar een mogelijke interne opbouw. Een hypothese die stelde dat de kristallen zijn opgebouwd uit 'kleine blokjes', de tegenwoordig genoemde eenheidscellen52. Deze 'blokjes' zijn als representanten op te vatten van de regelmatige verdelingen over de assen. Hieronder is een constructie voorbeeld weergegeven van Haüy waarbij een uitwendige vorm wordt opgebouwd uit inwendige blokjes.

constructie vb van H. Fig. 39. Bij het al dan niet kunstmatig breken van kristallen zijn bepaalde breekvlakken eenvoudiger te verkrijgen dan andere53. Door voor de inwendige structuur een rooster te nemen laat zich dit hieronder aanschouwelijk voor stellen. Vlak 1 is eenvoudiger te verkrijgen dan vlak 2.

52 Burke (1966), blz. 78 en blz. 79. 53 Het kunstmatig breken van kristallen wordt door kristallografen het 'klieven' genoemd. Dit klieven vereist een grote vaardigheid. Een bekend voorbeeld

hiervoor is het slijpen en klieven van diamanten en edelstenen.


31

Fig. 40. Haüy's wet was op empirische gronden verkregen, maar het universele karakter was fundamenteel voor de wiskundige benadering van kristallen54. Hierbij komen de zoals in hoofdstuk twee besproken symmetrieën en de formele groepentheorie aan de orde en wordt overgegaan op de derde fase. Met de hypothese dat kristallen uit eenheidscellen zijn opgebouwd is vervolgens de eis te stellen dat voor een vaste stof de cellen de gehele ruimte moeten vullen. Een vaste stof kenmerkt zich in haar 'vaste' karakter doordat de cellen sluitend in elkaar passen omdat anders de werkende krachten door de overgebleven ruimten de structuur laten veranderen zoals bij glas55. Wanneer er van een tweedimensionaal vlak en van regelmatige veelhoeken wordt uitgegaan, dan zijn slechts enkele veelhoeken mogelijk om sluitende patronen te verkrijgen. Deze zijn hieronder weergegeven.

54 Een saillant detail is dat de 'ontdekking' van eenheidscellen expliciet

onder de ogen van Haüy kwamen door een ongelukje in zijn eigen kabinet. Door het vallen van een mineraal behorende bij de calciet groep vertoonde zich de

structuur van de rhombohedra die bij verder breken hetzelfde bleef, een eenheidscel. Een vorm die overeenkwam met Ysland spar (ook behorende tot de calciet

groep) en zo naast de eerder verkregen eenheidscel die zich bij verder breken bleef herhalen tevens een familiegelijkenis aangaf met een andere stof. Burke

(1966), blz 83. 55 Hier wordt gebruik gemaakt van een 'andere' symmetrie overweging, namelijk evenwicht van krachten.


31

sluitende patronen. Fig. 41. Kristallen kunnen hiermee slechts twee-,drie-, vier- en zesvoudige symmetrieassen hebben. Een vijfvoudige symmetrieas is niet mogelijk omdat figuren die hiermee overeenkomen geen sluitende patronen kunnen vormen. Neem bijvoorbeeld voor het platte vlak een Pentagon (een vijfhoek) als basisvlak in de vorm zoals een vlak van Plato's regelmatige ruimtelijke dodecaedron aangeeft, aangeduid met de pentagondodecaedron. Hiermee is in het platte vlak geen sluitend patroon te maken. Zo ook niet wanneer dit vlak wordt gebruikt om een ruimtelijke eenheid cel te construeren in de vorm van de genoemde pentagondodecaedron. Wanneer deze als ruimtelijke eenheid cel wordt genomen is ook hiermee geen sluitende ruimtelijke verdeling te maken. Een voorbeeld van een figuur in het platte vlak dat wel een sluitende patroon vorming geeft is het hierboven weergegeven vierkant. Analoog aan het vorige voorbeeld is met deze figuur een ruimtelijke eenheid cel te construeren in de vorm van een kubus. Deze laatste ruimtelijke figuur laat, equivalent aan het platte vlak, in de ruimte een sluitende verdeling toe en is daardoor als eenheid cel te nemen! Kubussen zijn bijvoorbeeld sluitend in een doos te verdelen56. Het is op dit punt waar de al eerder aangestipte discussie bij Weyl over de niet voorkomende regelmatige vorm van de dodecaedron als een kristal in de natuur terug komt. Waar Weyl op doelt is dat met het hiervoor besprokene de dodecaedron niet als eenheid cel kan worden genomen om sluitende ruimtelijke verdelingen te maken zoals die voor moeten komen bij vaste stoffen. Daar deze vormen bij benadering toch voorkomen moet er met het uitgangspunt van eenheidscellen een eenheid cel te bedenken zijn die de dodecaedron, met een Pentagon als vlak, kan benaderen. Hiervoor wordt de kubus als eenheid cel genomen en de constructie ervan zoals door Haüy al is gemaakt wordt hieronder weergegeven. Hiermee is de uiterlijke vijfhoekige vorm bij benadering op te bouwen met kubussen die als grondvorm een vierkant hebben.

56 De op basis van symmetrie verkregen kennis van het zo optimaal verdelen van ruimtelijke objecten vindt zijn vele toepassingen in de hedendaagse logistiek.


31

Het onderzoek in de kristallografie van de 19e eeuw richt zich op deze constructies, de optredende symmetrieën en met name in de tweede helft de wiskundige beschrijving ervan. Zowel voor wat betreft de uiterlijke vormen alsook de inwendige opbouw via eenheidscellen. Ook zijn er ontwikkelingen en discussies over wat er precies onder symmetrie wordt verstaan. In eerste instantie hanteerde men alleen reflectie ofwel spiegelsymmetrie en in beperkte mate de rotatie. De opkomst van de groepentheorie maakte het mogelijk om symmetrie als afbeelding of operatie op te vatten. Hiermee werd een systematische en abstracte bespreking van symmetrie mogelijk. Ter wille van het overzicht zullen hier nog enkele belangrijke vorderingen in de kristallografie worden genoemd. Hierbij komt vooral het steeds abstractere karakter en de uitbreiding van wat onder een symmetrie afbeelding wordt verstaan duidelijk naar voren57. Wanneer er van de uiterlijk optredende vormen van kristallen wordt uitgegaan, zijn de hieronder afgebeelde 47 vormen terug te vinden. De 7 kolommen staan voor de regelmatige veelhoeken die voldoen aan de eerder genoemde optredende symmetrie-assen en de daaruit verkregen kristallen met de regelmatige veelhoeken58. Onder de getrokken horizontale lijn staan de niet regelmatige vormen die wel via interne regelmatige eenheidscellen zijn op te bouwen. Geen afbeelding. tabel Shubnikov blz 47 Fig. 42. Via een wiskundige analyse van de symmetrieafbeeldingen, reflectie en rotatie, toonde J.F.C. Hessel (1796-1872) aan dat er in totaal 32 unieke combinaties van symmetrieafbeeldingen zijn die elke mogelijke externe symmetrie kunnen aangeven die bij kristallen op kunnen treden. Dit worden de 32 symmetrieklassen genoemd. Twintig jaar later gaat A. Bravais (1811-1863), voor de inwendige opbouw van kristallen, uit van geometrische figuren gevormd door punten die regelmatig gedistribueerd zijn in de ruimte. Daarbij geldt dat elk punt of deeltje dezelfde omgeving heeft. Hij bewees dat punten of deeltjes in maximaal 14 ruimte-roosters gearrangeerd kunnen worden. Tevens bracht hij de relatie aan tussen deze ruimteroosters en de externe symmetrie van kristallen gegeven in de 32 symmetrieklassen van Hessel. Met de komst van de groepentheorie59 en een uitbreiding van het aantal afbeeldingen die symmetrieën op kunnen leveren zoals translatie, schroefrotatie en andere afbeeldingen, zoals bijvoorbeeld in hoofdstuk twee zijn aangegeven, komt men uiteindelijk op de 230 ruimtegroepen. Dit betekent dat er 230 verschillende manieren zijn om identieke objecten van arbitraire structuur regelmatig in een ruimte zijn te verdelen. Dit geldt niet alleen voor eindige maar ook voor oneindige

57 Voor een expliciete uitwerking hiervan is het uitstekende werk van Shubnikov (1974) te hanteren. 58 Een indeling die al door Haüy is aangebracht, Burke (1966), blz. 78 e.v.. Het overzicht is overgenomen uit Shubnikov (1974) blz. 74. 59 De term groep werd voor het eerst gehanteerd door de wiskundige E.Galois (1811-1832)in 1830 in een artikel dat hij de avond voor zijn dood in een duel

schreef. Meer over de geschiedenis van de groepentheorie is te lezen in "The group concept", C.J.Keyser in Newman (1988),blz. 1509 e.v. en Kline (1974), blz.

1136 e.v.


31

figuren. Deze ruimtegroepen zijn afzonderlijk door Federov, Schoenflies en Barkov in 1890 bepaald. Hiermee was nog geen einde gekomen aan alle ontwikkelingen. Het zijn Wulff en Viola die voor eindige figuren één afbeelding centraal stellen van waaruit alle afbeeldingen zijn te verkrijgen, namelijk de reflectie. Hiermee kan men een nog grotere abstractie maken. Alle afbeeldingen in driedimensionale ruimte zijn via reflectie en een maximum van 3 assen (niet perse symmetrieassen) te bereiken. Wanneer dit concept wordt uitgebreid naar oneindige figuren is het Boldyrev die in 1907 aantoont dat elke symmetrie afbeelding vervangen kan worden door een opeenvolgende reflectie over maximaal 4 vlakken. N.V. Belov geeft met deze kennis via een 'klasse' algoritme uiteindelijk in 1951 de volledige wiskundige afleiding van alle 230 (Federov) ruimtegroepen. Belangrijk is dat aan het begin van deze eeuw de wiskundige theorie volledig was uitgewerkt. De inwendige opbouw aan de hand van eenheidscellen berustte echter nog steeds op aangenomen hypothesen. De genoemde roosterstructuren dan wel eenheidscellen zijn zo klein dat ze zelfs niet met een gewone microscoop zijn waar te nemen. Het zal tot 1912 duren voordat deze konden worden waargenomen door middel van röntgenstraling, een techniek ontwikkelt door de Duitse fysicus Max von Laue (1879-1960). Tegenwoordig kunnen met behulp van zogenaamde veldemissie-microscopen vergroting gemaakt worden van twee miljoen maal, zodat niet alleen de rangschikking van de individuele moleculen en atomen in een rooster zijn te zien maar ook de optredende afwijking. Hiermee zijn de kristalroosters niet langer louter wiskundige constructies maar liggen zij ook binnen het bereik van betrekkelijk eenvoudige waarnemingstechnieken. Het moderne onderzoek heeft vooral de nadruk op de kristaleigenschappen gebaseerd op de (interne) structuur met de daarbij optredende krachten. De geometrische analyses ofwel de vorm als zodanig is op de achtergrond geraakt. Tegenwoordig wordt elke stof ongeacht zijn uiterlijke vorm onderworpen aan kristallografisch onderzoek. De kristallografie is als voorbeeld van een wetenschap te nemen, waarin de menselijke gevoeligheid voor mooie (symmetrische) vormen kan leiden tot ver doorgevoerde abstracte theorievorming. Binnen dit hoofdstuk komt dit overeen met het motto van symmetrie,van harmonie naar theorie, waarbij in de theorie zelf ook sprake is van harmonie, in de zin van geordende patronen.


31

Symmetrie rond de eeuwwisseling. Rond de eeuwwisseling is de kristallografie het voorbeeld waar symmetrie tot in een formele theorie was verwerkt zoals hiervoor is aangegeven. Daarnaast is er nog een ander monumentaal werk verschenen waar vele noties van symmetrie zijn terug te vinden en wat nu besproken zal worden. In 1917 verschijnt de eerste druk van 'Growth and Form' geschreven door D'Arcy W. Thompson (1860-1948). Een werk dat gezien het grote succes tot 1979 zal worden herdrukt. Weyl60 noemt het een klassieker en een meesterwerk van de Engelse literatuur waarin een combinatie is te vinden tussen een gedegen kennis van de geometrie, fysica en biologie met grote eruditie, wetenschappelijk inzicht en ongewone originaliteit. In de inleiding61 geeft Thompson aan dat conform de titel het werk handelt over groei en vorm wat door hem in relatie wordt genomen met organismen. De term groei is een vage notie voor een complexe zaak die hij in relatie brengt met de vorm. Groei in relatie met vorm, of het nu gaat om een toename van grootte zonder ogenschijnlijke verandering of een verandering van vorm in een meer of mindere complexe structuur. Hiermee wordt groei benaderd op een wijze die in eerste instantie overeenkomt met wat op aanschouwelijke gronden onder groei wordt verstaan. Mensen zien dat wat groei wordt genoemd in eerste instantie als een verandering van vorm (die daarna meestal kwalitatief wordt aangeduid). Thompson gaat een stap verder door aan te geven van wat hij onder de vorm verstaat; 'De vorm, dan, van elk deel van materie, of het nu levend of dood is, en de

veranderingen van vorm welke verschijnen in zijn bewegingen en zijn groei, mogen in alle gevallen beschreven worden als het gevolg van de actie van kracht. In het kort, de vorm van een object is een 'diagram van krachten' (blz.16).

Hiermee is Thompson in staat om de studie van de groei van organismen te koppelen aan de wiskunde en de natuurkunde. 'Wij willen zien hoe, in sommige gevallen op z'n minst, de vorm van levende

dingen, en de delen van levende dingen, verklaard kunnen worden door fysische overwegingen, en te realiseren dat in het algemeen geen organische vorm bestaat behoudens in overeenstemming met fysische en wiskundige wetten' (blz 15).

Een term als kracht is dan ook door hem ontleent aan de Newtoniaanse mechanica die vanaf zijn ontstaan met name in de 19e eeuw een enorme ontwikkeling van de natuurwetenschappen heeft opgeleverd zoals bijvoorbeeld in de thermodynamica62. Hierin schuilt de kracht van het werk in die zin dat hij in staat is om een verband te leggen tussen verschillende wetenschappen door een impliciete notie als symmetrie. Vanuit de hier aangegeven lijn voor symmetrie van harmonie naar theorie is het werk van Thompson te begrijpen als een (her)opname van het beschreven

60 Weyl (1952), blz 60. 61 Thompson (1979) blz 15. 62 Voor een bespreking van deze ontwikkeling is bijvoorbeeld Dampier (1968).


31

gevoel van eenheid na de enorme toename door de operationele invulling van symmetrie zoals het theoretisch vanaf de 18e eeuw is opgekomen. Thompson maakt niet alleen veelvuldig gebruik van de geometrische invulling van symmetrie maar ook van de meer abstractere noties zoals bijvoorbeeld de notie van juiste verhoudingen en evenwichtssituaties bij krachten. Hieronder worden als voorbeeld van de enorme diversiteit van het werk drie voorbeelden gegeven waarin deze noties van symmetrie duidelijk naar voren komen.

Groei als diletatie symmetrie ,Analogie tussen diverse schedels en verwijzen naar de waterdruppel, gnomen en visje met enatiomorf zwaardje. Fig. 43. Hiermee is het hele werk als een demonstratie van toepassingen van symmetrie op te vatten, waarbij gestreefd wordt naar een koppeling van de diverse wetenschappen om zo een gevoel van eenheid te verkrijgen conform de meer 'klassiekere' invullingen van symmetrie63. Abstracte symmetrie in de natuurwetenschappen als variatie en invariantie. Wanneer er naar de natuurwetenschappen wordt gekeken in de eerste decades van de twintigste eeuw dan blijkt buiten de kristallografie de notie symmetrie niet expliciet voor te komen. Holton noemt in dit verband dat termen als symmetrie en asymmetrie alleen gebruikt werden bij esthetische oordelen die veelal in tegenstelling werden opgevat met wetenschappelijke uitspraken. Het begrip symmetrie of asymmetrie is niet opgenomen in het zakenregister van zowel de Encyclopaedia Britannica (1910) en in Physik (1915), twee gerenommeerde werken voor de

63 Om door middel van symmetrie overwegingen een overzicht en een gevoel van eenheid van de diverse wetenschappen te verkrijgen is later in hoofdstuk vier

bij Prigogine eenvoudig te constateren.


31

natuurkundigen. Het is in 1929 in de 11e editie van de grootste fysische encyclopedie, van Müller-Pouillet, waar naast de aanduiding voor de kristallografie een tweede aanduiding plaatsvind, naar symmetrische tensoren en daarmee de relativiteitstheorie van A.Einstein (1879-1955). Met deze laatste theorie en een andere, de kwantummechanica, zal het begrip symmetrie een enorme uitbreiding ondergaan en daarmee volledig geëxpliciteerd worden. Hiervoor zijn met name het werk van H.Weyl (1885-1955), Symmetry van 1952 en Symmetries and Reflections uit 1967 van E.P.Wigner (1902-.) als voorbeeld te nemen. Het al eerder genoemde seminar in Sant Feliu de Guíxols, (Spanje), in 1983 met als titel, Symmetries in Physics (1600-1980) is niet alleen een uitdrukking van deze opgetreden explicitering van symmetrie maar ook een 'bewust' zijn van de grote invloed van symmetrie in de ontwikkelingen van, in dit geval, de moderne natuurwetenschappen. Wanneer tegenwoordig het zakenregister wordt opengeslagen van bijvoorbeeld de Encyclopaedia Britannica dan is er een groot aantal verwijzingen over symmetrie te vinden en is symmetrie zelf als een eigen op zich staand 'onderwerp' beschreven. Degene die vooral verantwoordelijk is geweest voor de invoer van het begrip symmetrie dan wel asymmetrie in de natuurkunde is Einstein geweest64. In zijn drie beroemde artikelen van 1905, die de basis vormen voor de relativiteitstheorie, gebruikt hij expliciet het begrip asymmetrie op een tot dan toe ongebruikelijke wijze. Holton citeert hiervoor de openingsregel van het eerste artikel:" Het is bekend dat Maxwell's elektrodynamica- zoals het tegenwoordig wordt verstaan- toegepast op bewegende lichamen, voert tot asymmetrieën die niet verschijnen als inherent in de fenomenen." Hiermee wordt volgens Holton door Einstein niet de bestaande theorie zelf eventueel als fout aangemerkt of teruggevoerd op experimentele puzzels of problemen maar dat het gewoonlijke verstaan van deze theorie voert tot asymmetrieën die niet aan de verschijnselen zelf zijn toe te schrijven. Fenomenen of verschijnselen vertonen in dit geval een symmetrisch karakter terwijl de beschrijving of het bepalen van deze verschijnselen gekarakteriseerd zijn door asymmetrieën65. Waar Holton op doelt, in zijn poging om wetenschappelijke genieën te begrijpen, is dit opmerkelijke en originele geëxpliciteerde gevoel van Einstein voor deze polariteiten en symmetrie-eigenschappen in de natuur of beschrijvingen van de natuur en het 'overbruggen' dan wel oplossen van asymmetrieën tussen dezen66. Een gevoeligheid die later, zoals hiervoor al is geschetst, zo belangrijk wordt in de relativiteitstheorie en de hedendaagse natuurkunde. Symmetrie wordt nu expliciet opgenomen als een argument voor kennis van verschijnselen en beschrijvingen ervan dan wel voor het aangeven van een persoon die een gevoeligheid heeft voor deze symmetrieën en eventueel optredende

64 Holton (1988), blz 380 ev. 'The Signifance of Asymmetry'.

65 Holton (1988),blz. 381: The phenomenon is characterized by symmetry; but the machinery for calculation was characterized by polarity or asymmetry (until

Einstein showed, later in the paper, how to "relativize" the problem so that the same equation may be used for both cases).

66 Holton (1988), blz. 380: It really is the hallmark of Einstein's most famous contributions that he could deal with, use, illuminate, transform the existence of

apparent contradictories or opposites, sometimes in concepts that had not yet been widely perceived to have polar character. One need only think of his bridging of

mechanics and electrodynamics, energy and mass, space coordinates and time coordinates, inertial mass and gravitational mass.


31

asymmetrieën ertussen. Hiermee wordt een bepaalde opvatting over symmetrie en kennis gehanteerd die het mogelijk maakt om over te gaan naar het centrale thema van deze scriptie. Dit thema, waarin het gebruik van symmetrie centraal staat en de rol van de twee genoemde opvattingen over kennis, zal in het volgende hoofdstuk worden besproken. In deze paragraaf zal hieraan nog voorbij worden gegaan en zal slechts aan de hand van een aantal 'gedachten-experimenten' deze gevoeligheid voor symmetrie met termen als variatie en invariantie worden aangegeven. Indien mogelijk zal ook kort de relatie worden aangegeven met de eerder besproken wiskundige betekenis van symmetrie. Het zijn voorbeelden waarbij geen vergaande uitwerking zal worden gegeven67. Het eerste voorbeeld is het voorbeeld waar Einstein op doelde in de hierboven geciteerde openingszin; een symmetrische gebeurtenis die asymmetrisch beschreven werd. Als contrast hiermee is het tweede voorbeeld op te vatten die asymmetrische gebeurtenissen aangeeft die een symmetrische beschrijving hebben. Beide voorbeelden hebben betrekking op de natuurkunde. Het derde en laatste voorbeeld geeft ter afsluiting een meer wiskundig voorbeeld waarin het onderscheid tussen een meer aanschouwelijke en abstracte benadering van symmetrie met de termen variatie en invariantie wordt aangegeven. Het eerste voorbeeld heeft betrekking op elektrische verschijnselen zoals beschreven door de elektrodynamische wetten van J.C.Maxwell (1831-1879). Het is de eigenaardige optredende asymmetrie in de beschrijvingen van een symmetrische gebeurtenis. Het handelt om een experiment waarbij geïnduceerde stromen optreden. Hiervoor is als voorbeeld een elektrisch netwerk te nemen met daarin opgenomen een spoel. Verder is een magneet nodig. De laatste zal bij bewegen langs de spoel een stroom opwekken in het netwerk. Deze stroom wordt aangeduid als de geïnduceerde stroom. In plaats van het bewegen van de magneet kan men ook het netwerk laten bewegen ten opzichte van deze magneet. Er blijkt dan dat in beide gevallen de geïnduceerde stroom gelijk is. Meer algemeen, beide situaties dan wel gebeurtenissen zijn invariant. Niet invariant ofwel variërend zijn de wiskundige beschrijvingen van deze twee situaties. Voor elke situatie dient gebruik te worden gemaakt van verschillende vergelijkingen! Het is dit verschil, deze asymmetrie waarop Einstein de nadruk legt in zijn artikel. Waar Einstein naar toe wil is dat op een of andere wijze de twee afzonderlijke wiskundige beschrijvingen zoals gegeven in de wetten van Maxwell in elkaar over kunnen gaan dan wel invariant zijn: symmetrische gebeurtenissen vereisen symmetrische vergelijkingen van deze gebeurtenissen. Een vereenvoudigde voorstellingswijze waarop dit kan geschieden is door gebruik te maken van de groepentheorie en elke wiskundige beschrijving van een situatie als groep op te vatten. Vervolgens wordt er getracht een relatie aan te brengen tussen deze twee groepen. Indien dit mogelijk is, is er een invariante beschrijving gegeven van invariante gebeurtenissen. Het voorbeeld maakt duidelijk dat begrippen als variatie en invariantie beiden gehanteerd worden om symmetrie aan te geven.

67 Eventueel kan de bibliografie over symmetrie voor de uitwerking geraadpleegd worden.


31

Het tweede voorbeeld heeft betrekking op de beschrijving van bewegende lichamen. Hier worden twee als afzonderlijk opgevatte gebeurtenissen vanuit beschrijvend opzicht als invariant aangemerkt. Het betreft het vallen van een voorwerp op verschillende plaatsen. Veronderstel de twee verschillende situaties van een vallende steen vanuit de mast van een bewegend schip en een vallende steen vanuit een boom aan de kust68. Dit kan men als twee afzonderlijke gebeurtenissen op vatten. Voor de beschrijving ervan kan echter gebruik worden gemaakt van dezelfde vergelijkingen zoals door Galilei en Newton zijn uitgewerkt in de klassieke mechanica. Beschouw hiervoor de onderstaande analoge situatieschetsen, van een vallende kogel en het "stoomtreintje", voor de beide gebeurtenissen met de fysische beschrijving ervan door middel van het parallellogram van krachten. De krachten diagrammen zijn symmetrisch te maken wanneer de vallende steen aan de kust een zetje krijgt. Voor waarnemers in de top van de mast dan wel in de boom is het beschrijven van de vallende steen dezelfde.

Fig. 44. Het aandachtspunt van de natuurkunde is nu niet de eventuele snelheid in horizontale dan wel verticale richting maar het verschil in snelheid dat optreed. De vallende steen ondergaat in beide situaties een gelijke versnelling. Het verschil in snelheid wordt opgevat als de kracht, in dit geval zijn de vallende stenen onderhevig aan dezelfde Gravitatiekracht. Kracht wordt hiermee opgevat als een 'afwijking' van de 'normale' beweging van voorwerpen zoals in de wet van Inertie is uitgedrukt; elk lichaam is in rust of heeft een eenparig rechtlijnige beweging. Hiermee werd de beroemde asymmetrie die bij Aristoteles optrad tussen de tijdelijke bewegingen van het ondermaanse (de aarde) en de perfecte harmonische en symmetrische

68 Een beroemd en veel gehanteerd voorbeeld. G.Galilei gebruikt dit voorbeeld in zijn fameuze dialoog betreffende de twee belangrijke wereld systemen. Hierin

voert hij drie personen op, Salviati (die voor Galilei spreekt), Sagredo (de verstandige leek) en Simplicio (als vertegenwoordiger van de aristotelische filosofie), om

de traditionele aristoteleaanse opvattingen omtrent de val en worp bewegingen te verwerpen. Hierin schakelt Galilei over van een dynamische naar een

kinematische beschouwingswijze, waarbij het niet gaat om de verklaring maar om de beschrijving van val en worp bewegingen. Dijksterhuis (1989), blz 373. e.v.,

Bernard Cohen (1985) blz 84. e.v.


31

bewegingen van de hemellichamen opgelost. Dit door een ander aandachtspunt te nemen, van het kijken naar verschillende snelheden dan wel een gerichtheid op beweging zoals bij Aristoteles naar snelheidsverschillen. Een gevolg hiervan is dat de bewegingen die de hemellichamen maken niet meer worden opgevat als het voorbeeld voor ideale bewegingen maar juist als een afwijking van de beweging zoals door de wet van inertie is aangegeven. De planeten bewegen 'cirkelvormig doordat zij aan wederzijdse aantrekkingskrachten onderhevig zijn! Het resultaat van dit voorbeeld en voor deze tekst belangrijk is dat verschillende gebeurtenissen met dezelfde wiskundige vergelijkingen beschreven kunnen worden. Het derde en daarmee laatste voorbeeld is meer wiskundig en heeft betrekking op aanschouwelijk verschillende figuren en situaties waar al dan niet geometrische symmetrieën optreden naar een abstract begrip van symmetrie via het aangeven van variatie en het invariante. Neem een vel papier en teken daar een aantal willekeurige figuren op als cirkels, driehoeken en vierkanten die elkaar snijden. Geeft hierbij de snijpunten aan met letters A,B,C... Hieronder is een voorbeeld gegeven. <geen afbeelding>

Fig. 45. Het kan zijn dat sommige figuren symmetrisch zijn zoals hierboven via wederzijdse translatie de twee cirkels symmetrisch zijn. Vervolgens wordt het vel papier samengenomen tot een prop papier. Het is voorstelbaar dat de hiervoor gemaakte symmetrieafbeelding niet meer mogelijk is. Zelfs niet wanneer getracht wordt het papier weer glad te strijken. Algemeen geldt dat de grootte van de oppervlakten, de hoeken en de lengtes van de lijnstukken niet invariant zijn, onder de uitgevoerde transformatie van het verkreukelen. Is er een invariantie aan te wijzen? Invariant zijn de zogeheten orde van punten van de snijdende lijnen zoals hier met letters zijn aangegeven. Ongeacht welke verkreukeling ook van het papier, om van letter A naar B te komen moet altijd D gepasseerd worden. De orde van punten is invariant. Deze punten zelf zijn op te nemen als elementen van een groep. Met dit voorbeeld is een eenvoudige voorstelling te maken van Euclidische en niet-Euclidische meetkunde. Een onderscheid dat aan het eind van de 19e eeuw is 'ontdekt' en aangebracht. De relaties tussen de punten zijn wiskundig te beschrijven. Eenvoudig voorgesteld geldt voor een Euclidische ruimte dat de onderlinge afstand en de optredende hoeken tussen de punten gelijk zijn (de metrische eigenschappen blijven behouden). Dit kijken, onder de noemer van symmetrie, naar wat varieert en wat niet varieert dan wel invariant is, is met name door A.Einstein geëxpliciteerd69. De vruchtbaarheid

69 Einstein duidde de vanuit deze conceptie ontwikkelde theorie, zoals in de drie artikelen wordt uitgewerkt, in eerste instantie aan met de term

'Invariantentheorie'. Holton ((1988), blz. 380) wijst hierop en vermeldt dat pas later deze theorie met 'relativiteitstheorie' werd aangeduid. Een ontwikkeling die

Holton betreurt omdat de eerste term precies Einsteins benaderingswijze aanduid. Dit terwijl de tweede term veelal tot een verkeerde interpretatie van de theorie in


31

van deze aanpak gezien de ontwikkelingen in de moderne natuurkunde heeft ertoe geleid dat deze wijze als een aparte benaderingswijze wordt opgenomen bij complexe fysische problemen zoals bijvoorbeeld Hazewinkel aangeeft70. Hij onderscheidt hiervoor twee afzonderlijke benaderingswijzen, een directe oplossingsbenadering en het exploiteren van symmetrieën, waarbij de hier besproken voorbeelden betrekking hebben op deze tweede benaderingswijze. Ter afsluiting van dit historisch overzicht worden hier nog vijf71 verschillende wijzen vermeld waarmee volgens Roche symmetrie in de natuurkunde is te traceren. Hij vermeldt terecht dat deze lijst verre van volledig is. 1. Symmetrie op beschrijvend niveau, beschrijven van fysische objecten, structuren, eigenschappen, processen, gebeurtenissen en wetten gebaseerd op observeerbare symmetrieën van verschillende soorten. 2. Symmetrie functionerend als een Kantiaans a priori principe, als onbewuste richtinggever voor het construeren van fysische theorieën. 3. Symmetrie als een expliciet postulaat om te gebruiken als principe van exploratie, inductie, taxonomie of ontdekking. 4. Symmetrie als een richtinggevend principe voor het ontwerpen van die experimentele instrumenten die als 'machines' van ontdekken fungeren. 5. Symmetrie als een principe van verklaring, bewijs, analyse, voorspelling en probleemoplossing. Met dit overzicht is over te gaan op het volgende hoofdstuk.

allerlei gebieden heeft geleid. Holton werkt dit verder niet uit maar waarschijnlijk doelt hij op de vaak gemaakte verkeerde opvatting over de relativiteitstheorie als

'alles is relatief'. Dit terwijl de gerichtheid juist ligt op dat wat invariant is. Het benadrukken van de term 'relateren' in relativiteit zou naar mijn mening een

'correctie' aanbrengen in deze 'verkeerde' opvattingen. Waarmee een relationele opvatting van kennis wordt aangeduid. Meer hierover in het laatste hoofdstuk van

deze scriptie.

70 Zie Hazewinkel (1984) blz. 1.

71 Roche noemt zelf abusievelijk vier.

Symmetrie

Documents

Transcript of Symmetrie