Sveska Uvod u Linearnu Algebru v2

8/12/2019 Sveska Uvod u Linearnu Algebru v2

1/87

Univerzitet u ZeniciPedagoki fakultetOdsjek: Matematika i informatika

Sadraj sveske sa vjebi iz predmetaUvod u linearnu algebru

(akademska 2010/2011.)

Sedmica broj 1Osnovni pojmovi iz Matematike

Algebarski izrazi 3 Kvadratne jednaine i kvadratne funkcije 5

Sedmica broj 2Uvod u Matematiku

Polinomi 9 Matematika indukcija 17

Sedmica broj 3Uvod u Matematiku

Brojevi (skroz ukratko) 33 Skupovi i operacije sa skupovima (skroz ukratko) 35 Funkcije i binarne relacije 40

Sedmica broj 4

Opta algebra Algebarske strukture sa jednom operacijom 49

Grupoid, Polugrupa i Grupa 49 Abelova grupa 51

Sedmica broj 5Opta algebra

Prsten, tijelo i polje 65

Sedmica broj 6, 7 i 8

Uvod u Linearnu algebru Matrice 79

Determinante 82 Rang matrice 89 Inverzna matrica 95 Matrine jednaine 97

Sedmica broj 9 i 10Uvod u Linearnu algebru

Sistemi linearnih jednaina 113

Gaussov postupak 113 Metoda determinanti (Cramerova metoda) 115 Kroneker-Kapelijeva metoda 124 Homogeni sisemi linearnih jednaina 129

1

Sedmica broj 11Vektorski prostor

Realni vektorski prostor. 131 Vektorski podprostori 133

Sedmica br. 12 i 13Vektorski prostor

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora 139 Baza i dimenzije. Raunanje sa bazama 143 Linearne transformacije. 151

Sedmica br. 14Linearne transformacije

Linearni operatori. 153 Sopstveni (svojstveni) vektori i sopstvene (svojstvene) vrijednosti matrice 155

Sedmica br. 15

Linearne transformacije Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti linearnog operatora 161 Minimalni polinom matrice 163

DodatakIspitni rokovi

Neki ispitni rokovi iz 2010. godine 169

Literatura i zbirke za dodatno usavravanje:Milii, Uumli, Zbirka zadataka iz vie matematike 1;Mitrinovi, Matematika u obliku metodike zbirke 1. dio;Stojanovi, Zbirka zadataka iz matematike 1;Mitrinovi, Mihajlovi, Vasi, Linearna algebra, Polinomi, Analitika geometrija;Vasii ostali, Zbirka zadataka iz algebre, prvi i drugi dio;

2


2/87

3 4


3/87

5 6


4/87

7 8


5/87

9 10


6/87

11 12


7/87

13 14


8/87


9/8717 18


10/8719 20


11/8721 22


12/8723 24


13/8725 26


14/8727 28


15/8729 30


16/8731 32


17/87

33 34


18/87

35 36


19/87

37 38


20/87

39 40


21/87

41 42


22/87

43 44


23/87


24/87

47

(Zadaci su skinuti sa stranice: \pf.unze.ba\nabokovZa uocene greske pisati na [email protected])

48


25/87

49 50


26/87

51 52


27/87

53 54


28/87

55 56


29/87

57 58


30/87

59 60


31/87

61 62


32/87

63 64


33/87

65 66


34/87

67 68


35/87


36/87

71 72


37/87

73 74


38/87

75 76



39/87

77 78


40/87

79 80


41/87

81 82


42/87

83 84


43/87

85 86


44/87

87 88


45/87

89 90


46/87

91 92


47/87


48/87

95 96


49/87

97 98


50/87

99 100


51/87

101 102


52/87

103 104


53/87

105 106


54/87

107 108


55/87

109 110


56/87

111 112


57/87

113 114


58/87

115 116


59/87


60/87

119 120


61/87

121 122


62/87


63/87

125 126


64/87

127 128



65/87

129 130


66/87

131 132


67/87


68/87

135 136


69/87

137 138


70/87

139 140


71/87

141 142


72/87

143 144


73/87

145 146


74/87

147 148


75/87

149 150


76/87

151 152


77/87

153 154


78/87

155 156


79/87

157 158


80/87

159 160


81/87

161 162


82/87

163 164


83/87

165 166


84/87

167 168


85/87

Pismeni ispit iz Uvoda u linearnu algebra18.06.2010.Grupa A

1. Zadan je skupXsvih matrica oblika2 3 5

3 2

a b a bA

a b a b

gdje su ,a b . Dokaite da jeX

vektorski potprostor prostoraM2;2. Odredite neku bazu i naite dimenziju odX.

2. Diskutovati i rijeiti sistem za razne vrijednosti parametra

Pismeni dio ispita iz predmeta Uvod u linearnu algebru, 02.07.2010.

Grupa A

1. Dati su vektori 2 1, , 2a m m

, 2 , 2,b m m

i 2 1,0, 2c m m

. Odrediti sve

vrijednosti parametra m tako da ovi vektori budu linearno zavisni, pa za najveu dobijenu

vrijednost parametra m napisati vektor a

kao linearnu kombinaciju vektora b

i c

.

0 1 2


86/87

3. Dokaite da je 0, 1G a a a sa operacijom 5log ba b a grupa. (Uputa: 5log5 aa )4. Rijeiti matrinu jednainu: (2 ) 3B X A I A , gdje jeIjedinina matrica i

1 0 1

2 1 1

3 2 2

A

,

1 0 2

3 1 0

0 1 2

B

.

Pismeni ispit iz Uvoda u linearnu algebruGrupa B18.06.2010.

1. Rijeiti matrinu jednainu 2A X B C B X , ako je

2. Diskutovati i rijeiti sistem za razne vrijednosti parametra ,a b

( 3) 3 0

( 3) ( 3) 0

( 3) ( 2)

a x ay z u

a x a z u

a x a u b

3. Dokaite da je2

: , , 2 0a b

S a b a bb a

uz uobiajeno mnoenje matrica grupa.

4. Pokazati da je skup rjeenja linearne jednaine 2 - 0x y z nad poljem potprostor

vektorskog porstora 3

171

2. Rijeiti matricnu jednacinu: - 2 -AX X A I ako je 2 3 41 0 1

A

.

3. Diskutovati rjeenja i rijeiti system za razne vrijednosti parametra :

4. Neka su 1a b a b i2

aba b binarne operacije na skupu . Ispitati da li ( , , )

ima strukturu prstena.


Grupa B02.07.2010.

1.a)Ako je 1 2 3, ,a a a

jedna baza vektorskog prostora 3 nad poljem , dokazati da i vektori

1 1 23b a a

, 2 1 2 35 4b a a a

i 3 1 2 32 2 6b a a a

takoeine bazu prostora 3 nad poljem .

b) Ako je 1 2 3, ,a a a

kanonska baza vektorskog prostora 3 nad poljem , a 1 2 3, ,b b b

kao pod a)

izraziti vektor (5,3,7)c

preko vektora 1 2 3, ,b b b

.

2. Rijeiti matricnu jednacinu: -1( )A BX A B priemu je3 4

1 2A

2 5

1 2B

smatrajui da je matricaA+BXregularna.

3. Rijeiti i diskutovati rjeenja sistema za razne vrijednosti parametara ,a b

4. Je li skup 2{ ( ) : det( ) 1}U X M X uz standardno mnoenje matrica grupa? (Skup 2 ( )M je skup

svih matrica formata 2 2 sa elementima iz skupa kompleksnih brojeva.)

172


Grupa A

1. Jesu li

skupovi: 4 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

{( , , , ) : 1}, {( , , , ) : 0},U x x x x R x x x x V x x x x R x x x x vektorski

prostori. Obrazloiti tvrdnje.

2. U ovisnosti o parametru R rijeiti sistem jednaina metodom determinanti:

1

2)12( zyx


87/87

.1

1

zyx

zyx

3. Zadana je matrica:

.

54321

54321

54321

54321

54321

A

Za koje vrijednosti parametra R je matrica A regularna? Odrediti rang matrice za sve R .4. a) Je li skup

2 2{ (R) : }T

O X M X X I uz standardno mnoenje matrica grupa? 2 2 (R)M je skup

matrica reda 2x2 nad poljem realnih brojeva, aIje jedinina matrica.

b) Nai sve matrice koje komutiraju sa matricom: .43

21

A


Grupa B

1. Neka je 51 2 3 4, 5 1 2 2 3 3 4 5{( , , , ) : , 0}.V x x x x x R x x x x x x x Dokaite da je V vektorski prostorte naite mu neku bazu i dimenziju.

2. a)Odredite strukturu koju mnoenje matrica ini na skupu | ,0

a a ba b

b

b)Odredite sve polinome P treeg stupnja koji zadovoljavaju slijedee uvjete:P(0)=1, P(1)=4, P(2)=15,P(-1)=0, P(-2)=-5.

3. Ako za regularne matrice2 2

, ,A B X M Mn(R) vrijedi1 2 1

A X B AX izrazitiXpomouAiB, te detX

pomocu detA i detB. Ako znamo da je detA = 6 i detB = 9 koliko je detX?

4. U ovisnosti o parametru R rijeiti sistem jednaina metodom determinanti:

173

Sveska Uvod u Linearnu Algebru v2

Documents

Transcript of Sveska Uvod u Linearnu Algebru v2