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rr€bw Cálculo y Átgebra Lineal

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Prácticas y Soluciones

# ÍÜ,ffi We Z rvl6rtr LryTYC&

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oe-935 / 49X220

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\

;3 *--ñ*<-

NSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICA

ESCUELA DE MATEMATICACALCULO Y ALGEBRA LINEAL

PRACTICA DE SUCESIONES

I. Escriba los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general se indica:

'$t.t a.=ryi ñs Qn=2n+1

$, / ¡\'| -lar=1 . I\r,/

an :2-, aosnlt

nl.0=--n

Qn)l

N',*V r'."l-l¿ .t:

a,

an

t.4 -2)nl. $*''

* o" =

ari

a

i

.q.- o.=:

#*- a,=n-2sen(+)

a

\\n

fb\" #

, ri..ulo

sg s€)

e'.

2(n +r)t

2-3-4.....(n+1)

al = Qz =1, 0,,*, = Qn

para n)2,n e IN

. 1/At=1, Az: /2,1

= l* or,

paran>2, n e IN

Ñnt a,,=

srg a.=

(n -r)r

= l, * 1''¡"\ n.)

'7'.."Q"

at = -1, a,, =3ar-,para n>2, re IN

al = a2 -- 0, a. =1'

0, =%llfu,J

paran)4, n e IN

l- r \"*',n

1.3.5'. 'Qr-t)

[(- r)".'lf- sl n es par=1

lr' si n es impar

Si /(x) = x2 + x-l y r, = I, hallar los siguientes tres términos de la sucesión. AdenL

encuentre f(*r).

(-l)"3"n!

4.

6.

,/-1e2 / Sea {a,, } una sucesión tal que: 0n =

a. Calcule los términos o3, as y

b. Determine (simplifique)

3. Sea {a,,}unasu""sióntal que: o,, = @ (:") r

Determine si {a,, } es una sucesión creciente o decreciente.

Encuentre la fórmula para el término general (n-ésimo ténnino) de las siguientes sucesiones:

@o @@@( .1-1 I -l I<-l- -| 2 4 8t6 )

{r, 4, 7,10, ...}

fz-34-5[3 s 7' e

2-4'6 ..Q")

2. {r.0.r. o. l. 0....}

{-r.r -6.21. }

li 4 5 6 Ia-

-fló 25 36 4e )

I. .-I?r, 2, 7,14, 23,

Ir z 3

\2 3' 3 4' 4.5

7.

9.4l

s.6 )

Determine si la sucesión cuyo término

encuentre€l límite respectivo.

n' -lA--=-" n+l*r

3n2 -n+44..:- --_ -

" 2n'+l\...q.4s!;_i:r' '

lt -e 27 -81 I

124 I 16 )

1..l r i I<r. l. -. -. -....>l. 2624 )

general a,t es dado converge o diverge. Si converge,

.,ño\NE ^_., I-¿. an =J-

,

'.tunr#, 4n+3+. A.. =-" 3n+4

, ', . ;: ,,--: -l''i

(n -z)t" nl.

8.

10.

18.

20.

au8.

6.

10. au

Ji*Ji:,li *!i

_ (-t)" ,'l+n3

9.

13. an

15. an

ln ("')rl. cl,,=-

n

-7^I' qn

- f a-ln'+l

(-r\'-'roñ--u " l+n'+n''

/ \n

ll. a.. =l-l':l,, \3i

: arctan 2n

=ln(n +l)-ln n

( nr\t¿. a -sen-l" t))\-/

14. a,,=Jn+2-Ji

16. Q, = lt 2-"

/r\a,, =(_1) "sen | 1

|\nl

( zn )a..=arctanl-l" \2n+l)le. d,:cos (ry)

22. o,=+

c!)1nl.

27. on:4

30. e,=frttr(:)

21.

tn (2.+,")0n24.23. a, :(1*l)

\ n) 3n

_n+ln n+l

n' n2¿). A-=-

2n+l 2n-l 26.

28. 4,, =

4..

29. o- =t" nl.

archivo: Ale-Lin/suc-98.doc

SSTiTUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICA

ESCUELA DE MATEMATICAC'i-CUT-O Y ALGEBRA LINEAL

PRACTICA DE SERIES

Analice la convergencia de las siguientes series'

.ut.tlt. su suma (valor al cual converge la serie)'

En los casos que haYa convergencla'

tk=0

\-.L

tt, -l

In=0

2n-l,

2n

zk-l " 2n+31k-)nL-

In=+

t< (t< +t) n+l

2)an--¿n

J,,,^n(n+3)ü r' Z'. ñq6e' sabiendoque s' =Mfr6+,

*p, i -:]-=: , sabiendo que 's,' = t6i - 1

Á Jn+'ln+l

f ,.., } 6;6ra, sabiendo que s,, =

So.

sL

(Zn+t) , Sabiendo que (zt +t\= (r + 1)'

Paracadaunadelasseriessiguientes,determinqsi !,"}"''É""odivergen'ser conYergente, calcule su suma'

r S \ 'l¡. L -tr-Z

N. z/'.1'

,4(-n)"

sabiendo que

sabiendo que

n+l2n +3

u.

L 'tr-Zelt

En caso de

3 Q, +r) (2.n +f

-@ ¡k-2 ¡k-2T , -*a 6o-l

qt/

ll. thl "Á (n +-!

v¿-¿

-3)"'' + 5.2'*

i, * [--t-*¡l:]]"Zlnln+21 \2 ) t 3 Q-+ t) (22 + 3)

tilice el criterio de la integral y el criterio de pseries pma ¡r¡nlizar la converge'ñcia

Ie2

t

14.

tfl¡.''p

É (r-'*' * ,-oeo)tl=3

4. Z,t-"¿=l_pot /tú

atctafi n

l-"t-

Ir).senl I\n)

"'

6 i-:-Á Jn+l

-(116. t l-=4 | 1/ Jr=l \ Vn

Ék=1

7y¿-¿tt=l

RT¡t=2

10. Itt=l

I

n' -1

3n2 +l"r .'ln'+n+l4L

k/''/qT

,¿-¿n-2

1

n ln.ln

{g*/, w-

-(.,1 zl;G.@ ñarcfan tt

13. t "-Á n'+l @*,

¡\rl--= |n')

11 $ InrrL. ,/

-,7n

lnn)n-

18É

r)--l n")

(n + 1) h'?(r + 1)17 i -J:Á J2n+l

n' Utilice el criterio de comparación directa o el criterio de comparación por paso al

límite para analizar la convergencia de las series siguientes:

'*""tob "^ " --P---- "

bÉ @ ,O"t#* 2 I *l+ senkÉ--:--2* -lSs

Ir;_---:-:-

V(¿*t)'-l6.Y

.1-¿k=l

I n+ Ji,"'1

3-senk2k +l

n2'+ 5-_-.-4n' + 3n

lnkL

e^

1

e" - cosn

lnk----:Jk+l

"t - \sen" \n' + n)

3',',+4

lnkk+1

k +lnk-_--:-k'+l

J;+t - Jr-l

cos'(n - l)n3 +l

)+sen:k

-

r,t +l

? -+- cos r--n'*l

(zn-1) 2"*'

¿[,IK

o\ao.,¿_¿t k=t

úL14. t"L¿ ^Kk=t e

lo\-L¿

t) \-H

arctan k-k 1k

-sa/) Lk=l

qy./¿n=l

¿-¿k=l

13tk=l

t7YZ¿

tet

11 \-/K=l

167/-

18 I

t0\- ¿-¡=i

)tsL/

9

zn'\ 7n24Ét¡=l Y (r= +5n-l)

1rtn=l

#"{ry }

sr¿6. Ltl=l

r0. Ii¡=0

t4T /-/r=3

+ (-t)"-/-=

lnn

tilice el criterio de las series alternadas pata analizar la convergencia de las series

siguientes.

(-r)" n

2n-l

i (-l)'*' (T+t)

H \ / ln(n+l)

,@icüÁnt

t (-t)'ft 3"tnn

i l-l)".' 4-fr \ / 3n'+5,*rffiFriffitr',tf',!9

i (-r)" lnn

,7n

(-r)"*

#4.a

5.

ü7.

nT /-¿n=2

t"-S /-

qf/-¿n=l

,tiri t

(- r)" e

á)'12 (-r)";?

(-t)"'4

(-3)" n-'

(- r)"-'n+4

p"-r*pf

ldytu, series alternadas que se presentan a continuación son convergentes.

A. Aproxime la suma de la serie con la exacti

,# g;-,* í ¡\n+l

t \-'4 (E < o.ool)7, ¡a\

.\

i !{ (E<o.oooor)Á l2n) t

,# (E<o.oor)

+ r'<o.or)

J.

-/-¿

r

n=0

6.

8.

t-_l

Én=0

5.

7.

!

ir

r i IIL (E < o,ool)Á 2n+l

l- I )"-'

-- (E < 0.001)

n-

áffi (E<o.ooor) + f {-')":" (E<o.ooor)

** ,,=o srt)t =

(3n+l) !

.,, (pÑv"I LW VII. Utilice los criterios del cociente (razón, D'Alambert) o de laraíz (Cauchy) para analizatb

., i\,N ¡ la convergencia de las series siguientes:

l1r-Lt' Sr I a9*"*,- 2' E##

B. Halle el nrlmero de términos necesarios para aproximar la suma de la serie conla exactitud indicada (E: error)

ii4 4 iPJ.fr n" u,=, n"

r\- )/-

tud indicada (E: error)

ry i *(E<o.oooor),Á 2" n.

4 p #: (E<o.oor)

ffi,., < o'ooool)

V (E < o,oo2)

trit

tl

*f*b"4t=\'Q*- 6Y /¿

n=l

(- 5)".' n!

r .s q.....(+n -:):f

9.

sZ-¿k=2

t)THn=l

In=l

16. I/t=l

18. Én=2

( tn t)'i.frJ

ba * r)"rrS /,

t? t/,3.4's'...'(n+2)4ó.8..- (zn+z)

14.2.s.8. ...

3.5.7....'(ln - t).(zn +t)

15. tk=l

t7tn=v

lett=0

(t-*\rV+4k)

(- r)" 3'

O;.f'

( fr+t )'o-'l- |

\2k -1 )

(n -z)l¡ n-2J

(-r)* (¿+z)tkl r0-

7¿#

L¿2' -l"'

;ü:e"

/ s ( sn+t(20' l" \^,-t)

u-chir o : Alg-Lin/series'doc

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICAESCUELA DE MATEMATICACALCULO Y ALGEBRA LINEAL

PRACTICA DE SERIES DE POTENCIAS

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias (haga el esttlos extremos.del intervalo de convergencia).

fr i (-r) "('+t)''"s 7t 2" L

n=0

t/¿

2.

4.

\-Z¿/¡=0

\-/-¿

10.

@qyLtt=l

v.L

s.L-_I

5.

j '':-'1::-

r\-ItLl=0

n t (2.x -r)'5"

(x-ll/' "'

2.4.6. ....(2")I''3.s . .....Q"-t)

(- t)'.' *2n-1-@-¡r(x +2) "

J;

n(x + 3)'3.s'7.....(zn+t)

n(x=l)'2" +l

(-l)''*t *"-t2n-l

nt (x-3)'

zS-It t¿-¿n=0

ú8.t¿-¿n=l

1¿. \-/Hn=I

s-lo. )1¿--l

18. IF-n

/ a rrz*lItnl\zn+z)

tq t/n-l

(- t)'*' n! (x -2)'(2") t

(x + 4)t"-t

2n -l

(-:)"(x - t)"J;+l

| !l (r+6) "\2,/ ' /

(- l)" 3".'(1 - x) "

2:'',

, (2x -t) "

4',

(-l)"*'Qtn)t ,"

lt.

1.4'7' .Q"-z)

vZ-¿

@

¿-/,-_t

I_l

vZ-¿

12.

talJ.

15.

t7.

(*) 20Én=2

(- r)' (*-z)'(

(:x-t) " tn n

(*) No analice los extremos

13

[ {-t:renga una serie de potencias de x para las funciones que se dan a continuación e indique el::ten.alo de convergencia. (Haga uso de la lista básica que se presenta al final).

$P I r(x\: e"

: "f (*)= , ur"tan,

2. f(*)= r-"

4. f (*) = arctan x

x

6. f(*)=, t-r

- ^/ t S€fiX-' J (x/:

-x

i 1. f(r)= sentx (*)

ñ ) sugerencia: sen'x- I - cos 2x

2

t2. .f(*)= Ji ", *

f i L sando series de potencias, aproxime cada una de las integrales siguientes con la exactitudindicada (E: error).

I f e-" dx (r < o,oot) z. ¡" sef,x & (r < o,ooor)

-1 [', A{11d¿* (r < o,ooor) 4. f .o, Ji ¿, (r < o.ooor)¿x

Jx¡x\

I \+2u * (r < o,oot) 8 f'' x2 arctan ¡ dx (n < 0.001)

¿ / .\9. I cos(r')arv (r < o,ooot) ro. f, # (r <o,ooor)

il-L)

il. f': xt e-" d* (E < o,ool) 12. f ,rn(r') a* (n < o,oool)

ANEXO

A continuación se presenta una lista de series de potencias de varias funciones elementales juntosus intervalos de convergencia.

SERIES DE POTENCIAS PARA FL|NCIONES ELEMENT'ALES

I ; =: (-r) .(x_r) .

v"

v1l.

(-t)"-'(r-l)',

0 < x<2

-1 < x < 1

-l < x < I

-1 < x < I

l<-r<1

-r= IR

-re IR

xe IR

0<x<2

2.*= ;

(-1)"'"

arcranr=i (-l)"""7,__o 2 n +l

,urr=i (:.lY"x'"*'fr (z n+r)t

cos ir = i (1)' "'?. (zn) r

a

4.

6.

5.

otf'\J

7.

8.

9.

^.r _(-

lnx

vLt1=0

:\-.L

15

PuiSlTn-[--TO TECNOLOGICO DE COSTA RICA

]EP [3.II..q*\{ENTO DE MATEMATICA:.4^ :T-I'O Y ALGEBRA LINEAL

PRACTICA

ry;'

t'a

Muestre que A1 = 5 13

,s ,

Jg'b}TATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

>ean las matrices:

!= -l 'l , ,=13 2 :l ,=l ; -i

" il ,=Í,

il\o , ol* [-t o t)¿- [-r o , ,l . I o/r, ,(,:-i

Celcule: * \ r'-',"\^ " t,. ^ ...\lO \

"-S-**'Hrru mnñu "U4#3 ,fiffiffi'-$d+ .-S-**-ea

% -gDrD r.W.s-t-*-, ,hS HellarunernetrizMtalque 2'{ rB r M=0-'

(b)

tesi.,4.A=A

-2 -+)s +l;

-2 -3)

(esto es A2 = A). Mostrar que

(-t 3 s\ -\II:r=l I -3 -sl _i_;i[-r 3 s)

c-ot 19,.VL/

(o: Sea O =lO

[5

tol0 tl0o)

I

:

II

i1

il I{ll, ^t , tnl\ lrl' ' i

I'

4.

5.

(aSea la matriz A =l

U

A2:A

1)l. a€

a)

b. A2 =I

IR, a > 0 . ¿Para qué valores de r¿ se cumplirá que:

A2 :0

define como la suma de todo

Calcule latraza de

(lc:l 5

It\-¿

(223)tlB:12 4 41,ttl? -) -5t\" - -/

¡\-ol_lad-bcl

Ial

-o¿ - ¡)

Si A e Mn,r(IR) la traza de A, denotada por Tr(A), se

elementos de la diagonal principal, esto es: fr(,A) = f o,, .

i=1

I

2

1-

Sea A y B matrices. Determine:

.,;. (,a + a\2 A2 +2AB + 82

+2AB+82? Justifique.¿Se podría concluir que (,,4 + B)2 = -12

Paru cada una de las sieuientes matrices. calcule. su inversa si existe:

a. Usando operaciones elementales por filasb. Usando el método de cofactores

il(8 o -3)

D=l-s I -2¡[0 3 -4)

6.

8.

7. Probar

demost

I/-r

I'

\2l

-4)

ü (8o=l-t

[10

,-. ./Á, (o t -l)ttE=14 -3 ol,

[l 13 +)

lz"ltobl"

lZx+y+z--2d. l{x + y +22=-lll0x +2y + 5z = -7

I

2

lx + y +'22 =I

l2x-3v+62+2u'=f. Ill -42 + r' =I

lv- w =

{x + 2v +I"l3x- 2y -l2x -5y +I

[x +4y +

lx + y - 2zIh. lrr-y+22f3x + 2y- 4z

-tI

-l

1)I0lt.t"

1l'-lr)

_0II

0

t2-202l)z

J*ermine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. En caso de quesi:sran infinitas soluciones, escriba dos soluciones paficulares. Utilice el método de eliminación.c Gauss-Jordan.

+ b - 3c + d - -5-b+llc-l8d=-8+3c- 4d --3

1

-t

+w+3v=l+2w+ 6v = 2

-3w-9v =3

3y+z+5w--ly-z +2w--42z-3w = 3

3y-22=52y + 3z =2y + 4z=1

), -)a

-\

3z =-46z=0

+22+w=5- z -2w=2+32 -J

fa

l" -.&. 1'l-3x +

lzx +

r 1tl+" -

lx+yI¡ {2x+3y-il

l4x + 5y

(a ó) lx),f >e3.1 =l I v X=l I\c d) \y)

JEmostrar que el sistema lineal

\o\---.- )

AX:0 tiene solo la solución nula o trivial si ad - bc =* 0

I l. Para cada caso, determine

única,(ii) ninguna solución, (iii)

los valores de ft (r e n) tales que el sistema.tenga: (i) solt

más de una solución.

(a)

(d)

(t

l*(c) lxI

L.r

(

l'*1'*lkr+

fx +y+luj:"+ 4y+22

l2x+3y- z

-r 2l2 -2:|2 1l5 -?l' "l

-2 4l -{,l-

-3 l0l -d ', oi:_286 f .

-. (b)".'lo;sl

a

-k (b)

-l

--3-_)-l

y+kz=0ky+, - I

Y+z:Jt

*))*Z=

+ ky+z =

+ y+kz=

? -32

lry*tqt - z

[x + 2y+ kz

ft (1

k ,.!",\ (t,

t"t*.-,]'

., C'' L'

a"

12. Verfique, usando propiedades de los determinantes. que:

atht,t1I-l-- | All+(a) l+^la-t1/t"I-< t-¡A-n4

l0232431

1\l

241-200l 13

'71__TL

= 156(d)(c)

r23ol2 | 2 1l

l=00 0 t tl34r21

2

I

0

4

13. Suponiendo que:

Calcular:

an atz oti

azt Qzz Qzt

ott asz. ass

-8

alt

att

ozt

c.

l¡l- 5ct,,t"b. | 2a,,t --I )att

azz

otz

azz

att

on

ozt

-3orr. -3o,2orr. 2o,5or, 5o,

on - atz att

Qzt - Qzz Qzt

a:t - olz Qst

19

),I,ee l=

60

r-li

Determine a,b, c, d (números reales) tales que satisfagan simultáneamente:

-l-l

I - i':s.¡ jr et por Cramer los siguientes sistemas de ecuaciones:

rl'13'irb lé i'100

ü15 ,?"r: qué valores de cr, las siguientes matrices NO son invertibles?

( -a g-l a+l\ü -3\ | |a 'l b. I I 2 3

|-1 l-d [r-o a+3 o*l)

,{rü¿: los valores de T para los cuales:

n-i o 1l& -?. T+2 -tl=O

0 0 T+11

,:)t sabiendo o* "

= [;

/(a ó\iLÍn¡ :*:. tl=l ,l\c d)

', lÍ: MT

- r ,r. , -(-7b- ''rt -[zt

12"+y -32 =5(c)j3x +2y-22=5

l5x-3y - z-16

1-r-v*z=l/: .3x+22 --l

l-lx+ y+22=2

lrr-)t*z=3(b) j3x + 2y -22 = |

[x -3y+ z=-2

18. Para cada una de las siguientes matrices cuadradas, calcule los valores característicos (solo Ireales) y para cada valor característico calcule el conjunto de vectores característico asociadosét.

(t 2 2)tlo:1, 4 o It\202)

[2 -r ']u =

f -] :, -rt) ()u: -2 es valor ProPio)

19. Sea:

archivo: ALG-LIN/MA-DETER.doc

a.

b.

(2tt)¿ =l 1 2 I I Si a¡ = 4 es un valor característico de A.

[rr2)Determine los otros valores característicos

Determine un vector característico para dt = 4

lMs,ffiT:- - r ü TECNOLOGICO DE COSTA RICA

,iWffiF aJ-]1-\ÍENTO DE MATEMATICA,rtt,*¡ji- -"- -r-) \- ALGEBRA LINEAL

'.,ú-J2 il-,]

a

1+ i'(t + i)3

1+ I l-il+l l+i C.TP{\Jó U¿ AR

is7 +i98 _i1s

si(z+zi)(r - i\z+ i[: - ;)

3i-50 _ 2i-37

2l(-"

PRACTICA DE NUMEROS COMPtEJoSfú

f-g.'iz¡¡ las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma t+.í1--j

la i(2 + t)(3 - 4i) b. (-t +zi)(-7 -2i)

d.

f.

ii t:ir,,t!'.:'

\h.

4i-13+5i-le

b. (t+i)z-wi=3-i(z+i)z+(2-i)w=2i

¡rr le:errnine el válor de los números reales x, y que

imügJlltr:üS.

3tr

2

iz+(1+i)w=3+i-\ .

\1+i)z-(6-i)u'=+

satisfacen cada una de'las ecuacioney

f {1= $, erg(r) =: = lZ, Arg(z) = o

r le:ermine, en la forma a+bi los números comPlejos z y w gue cumPlan las

É-4i)2 -2@-!i)=x+¡ b. 3+2xi+3Yi=8i+x-2Y

io

(z-zt)(x + yi)=2(x -2yt)-t+2i d. (t -;)x +2yi = 4+2i

aSean z:-3+ix'y, w=xL +y+4i. Hallar x, y rcales para que z y w sean compl,conjugados .

Si z es un número complejo. Bajo qué condiciones se cumple que: , = ,?

Determine la relación que debe existir entre los números reales x, y para que el nún(x + yi)(Z + 3i)sea un número real.

Sea w=(x-;)(x+ 3-4i). Hallar los valores reales de x para los cuales w es imaginario pr

Escriba el número w resultante en cada caso.

Probar que si z y w son dos números complejos entonces se cumple:

V *_rl' =Vl' *l*lt + 2 xe(z -)

lz + *12 +1, - wl2 = 214' .4,W

ll.' Sea, = Jj-5i,obten"r r.E talquecumpla: lz+v'l= I y Arg(z+u,)=!

12. Determine el número complejo z que cumple las condiciones dadas.

S,-u. Ars(z*Q=: b. l2-4=Ja

Ars(z-o)=+,k>o,kcte

a.

b.

a.a -

I

A l,_?l -2ol-.

Arg(z + l)=

O l,-it=Arg(z) =!

3n

4

+11=.,6

,r(, * '.zt)={

2

c. lrt =lt/lrr l/Zl

Vl=lt - ,l

lz +rl= JjV -tllzl: t

lz -31= 5

g' 3rArg(z -2)=

4

\.\ lz

t'h. )VA

23

i{aciendo uso del Teorema de Moivre,determine el número complejo ' : q+bi que corresponde a

cada una de las exPresiones dadas:

/i, .,1200

' \/z* /z)

/-r4(d: + i,¡

para cada uno de los números complejos que se dan a continuación, carcule todas las raíces que

se indican, expréselas en la forma q + bi y represéntelas gráficamente.

1-t.1 Raíces cuadradas de:

a. z=l+Jii b' z=2i c'

1-1.2 Raíces cúbicas de:

.-_1 A o--

z=-l b. z=-i c. z=-8+8td. z=Z-ZJ1 ¡

d.

. ,'l(-l + i)'

u r55f 1 3l| +t I

[2 2)

, f 3( n 7IlI sen- +, cos- I\ 3 3/

13TI22

l-1.3 Raíces cuartas de:

a. z=i

Resolver en (f cada una de las siguientes ecuaciones:

z3 +t=Jj ¡ b. ,4 -2*2 +4 = o

d. ys -32=o e. 2x3+x2+l=0

Factorice en (t los siguientes polinomios:

a. 2x3 -x2 +6x-3c. x4 +14x2 +49

t:z=1VJ+I c. z=-8+8J3t d. z=-1

ya -16=o

"2 -r=-l

b.

d.

*4 -2*2 +3x-26x4 +iox3 + 5x2 -3x

17. Determine en {f el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:

a. xo -3x' +3x2 -2 =0 sabiendo que 1 + i es una solución

b. x' -3xt +l2x - l0 = 0 sabiendo que I-3i es una solución.

c. xa +3x3 +5x2 +4x+2=0 sabiendo que l- -1 es una sorución.

d. 2xa -10x3 + 9x2 +l4x+10=0 sabiendoqueJ r lesunasolución

xo + x' - 4x2 + 2x -12 :0 sabiendo qu, Ji i es una solución.

2x'' -7x'+ l0¡-6=0 sabiendo que 1 + i es unasolución.

2x3 -9x2 +l4x-5:0 sabiendo que 2 - i esuna solución.

xa + 4x2 + 3 = 0 sabiendo que -i es una solución.

18. Escribir en la forma q + bi el número complejo correspondiente a cada una de las sisuexpresiones:

f.

IJD'

h.

a.

ALl-

0D'

TI

aeL

¡ ,7llJE

, ,') _;(r - i)" h.

b. ln(-t) + ln(-i)

Q -t 3i)"'

rn(: "^i )

i + e2ni

,i ln(i)

m('5-:i)

25

(fhlo y Álgebra LinealüWte 2A03

ffiiea complementaria, coordenadas Polares

2. Cambie de coordenadas rectangulares a coordenadas polares los siguientes puntos

3. Cambie de coordenadas polares a coordenadas rectangulares los siguientes puntos

c) (- t,t)t't Q,-t l)

(o\d 13.'; I

\ T,/

\vt ls.-t' I

\ 3)

yl (' 3,-2)

{d) (s,s)

,f- Las siguientes ecuaciones están dadas en coordenadas rectangulares' expresarlas en forma

/ )-\D | -t.''" I

\.3// -\d)l-3.-':l\ r./

0 Y=z@ Y=*t

0r*=,$ *+y=3

c) rcos? = 5

fl 12 sen(20) = 4

polar

1fx=2,ú) z"y =1

Q l'-x7 =4

5. Las siguientes ecuaciones están dadas en coordenadas polares, expresarlas en forma

rectangular

S r =3

fi 12 cos(20) = |

Q, =3csc0

.0 tt-t)' * !2 =r

rSB=1\+e) r = 1-cos(2á)

. h) r =8sen0 -2cos0

Prof. Greivin Ramírez Arce, gram kez@itcr'ac'ct

6' Relacione las ecuaciones dadas en coordenadas polares con su gráfrca,utilizando las figque se presentan.a) r = 3sen0b) r =3cos0c) r = -3sen0d) r = -3cos0e) r =2*2sen0

r = 2+2cos0r =3*2sen0r = 3 *2cos0r = 2 +3sen0r =2r3cos0

k) ,r=7¡ cosdl) r=Z+ sen7m) r = 3senQe)n) r = 2cos(50)o) r =3cos(49)

0s)h)i)i)

Figura I Figura 2 Figura 3

Figura 4

tl

/

\'2"

! | |

-

Figura 5 Figura 6

Figura 7 Figara I Figura 9

Prof. Greivin Ramírez Arce, gram irez@itcr. ac. cr

{y

2.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICADEPARTAMENTO DE MATEMATICACALCULO Y AI.GEBRA LINEAL

/\-

4. Sean los vectores tr =(-2,-2,1) y

a la vez las siguientes condiciones:

a ollB

PRACTICA DE VECTORES

Pruebe que si A y B son vectores cualesquiera, entonces los vectores

u =llBll ,t +lltll B y w =llall¿ - ll¿ll n son ortogonales.

Sean A=(2,1,1),8 =(0,2,1) y C =(t,t,o).24.38_ A. B-C

Calcule el área del triángulo de vér

aJ. Sea P y Q los vectores (l,0,-l) y (1,0,f respectivamente.

Determine los vectore s 14'enfri que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

a. WrP b. llwll=2

c. La medida del ángulo formado por los vecfores W y QesrEaJ

5.

6.

g = \-1,2,1). Determine los vectores p y e en N que cur

b. P+2A=Q c. PLA

Sean I = (1,0,1), B = (3,0,-1) vectores en ft3 . Sea C un vector en ni paralelo al vector A.

Sabiendo que el área del paralelogramo generad o por Ai , né es +(u.t.\t, determine c.

Determine los números o, B, 1, que cumplen las siguientes condiciones:

a. (2,-4) ="r(t,3)+ B(t,z)+ i.(t,-r) 2. (o, p, l.)r(r,-r,r)

29

ylaf trnsidere el triángulo generado por los vectores Uy

-Tt:redida del ángulo comprendido entre U y V sea de _-

V en N tal que su área sea de Á(u'l)z

. Calcule U 'V.

Considere los vectore s A = (-2,0 -2) lt B = (-2,1,-1) ' Determinar los vectores C

rales que cumplan las condiciones siguientes:

A C\IA b. C=D-B c. llDll= Jt

Vz Y Wz: n- V2sonlJ'Si 4 y V2 sonvectores I'i, pruebe que W1: Vt +

Determine los valores de cr para que los vectores (1,0,.,), (-t,t,t) ! (r,1,2u + 1) sean l'i'

Sean {/ = (x,y,x). Determine xy si se tiene que:

a. lltlll = znD b' (/ forma un ángulo de

yDenN

|"o"la parte Positiva del eje Y

Sea

de x,

c

v =Q,1$) y l{ =(z,z,o) vectores tn 'Rt ' Sea U = (''y'*) vector ld' Detetmine los valores

ydetalformaqueUcumplasimultáneamentelassiguientescondiciones.

Pr oY,U = -2V b. U LW

_ si , y vson vectores de d tares que u y v son ortogonales, demuestre que llu +vll=llu -vll

r Sea ¿1 =(1,-1,2)yV=(t,z,Z)

a. Hallar lluxtzll b

c. Calcule: UxV+VxU

Determinar f e N tul que 2Y +V +U = 0

-' Sean tr = (t.0.-2) Y s =(t. 1)Hallar C e IP tal que: A'C =l;y AxC=B

16. Sea U,V e IP.3 tales que:

simultáneamente:

a. wllu

r-l =(t,t,-2) y y =(2,-3,1). Í{allar W eIR3 que cuj

b. llw xrll=s

18.

17. Seau,ze IR3talesque: u=(1,0J)y v=(0,t,-o).Determine w erRa,w=(w,,ry,[rr,,tal que:

l. W, =llproy,,Ull 2. W, =llU +rll

3 ry =llull+llvll 4. Wq = a, donde o es la medida del ángulo entre U y V

Sabiendo que {u,V,Wl , es Li. demuestre que:

a. {U +f -2W,U -V -W,U +W\ esl.i.

b. {U +V -314/,U +3V -W,V +Wl esl.d.

19. Sea {l,n,c\ vectorei l.i. Determine si {w,x,r\ es l.i o 1.d., donde: w = A-X=A+B+C. Y=A-C.

20. Sean U=(1,-1,-l) y V =(t,O,-t) vectores en [U. Determine los vectores A v B en ¡{,cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

a. Allu b. Proy,,B =2V c. B+V=A

Sean P = (2,3,3), g = (t,2,2) y R = (- 1,-l,l) puntos en N. Calcule:

a. El área del triángulo de vértices P, Qy R.

b. La medida del ángulo interno cuyo vértice es R.

Sean I =(3,-2,r,4), B=(-1,0,1,2)y c=(9,-4,-1,2) vectoresenRo.Determinesiestosvecto:son Li. o l.d.

21.

22.

Hallar el o los

31

vectores X en IIt tales queSean .4 = (1,2,-1) v g =(2,-1,-3) vectores en üt''

satisfagan simultáneamente lo siguiente :

3- Xes una combinación lineal de A y B

b. Xes PerPendicular a A

ú llxll' = llall' -zll,all'

:.{' En los ejercicios siguientes V = Cl},ll

t. Si

f(x)= **'s(")=2x-3

Calcule:

1. (f,ü (Producto escalar)

2 ii/ll3. Si h(x) =cx-4

Determine c tal que g y h seanortogonales

Verif,rque que las funciones:

f(x) = t'E(x) = ,o'son (1.i.)

Sean

f(x)=x+cg(x)= x+c+3

Determine c tal que (f ,g) =

4. Sea

f(*)=2x-5g(*) = "

Calcule:

2.

3.

^1+t

i

ProYtsa. b lln,wfll

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICACALCULO Y ALGEBRA LINEAL

I

2.

aJ.

4.

PRCTICA SOBRE RECTAS Y PLANOS

Determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 4 = (2'-2'I) Y 3 = \2'4'"

Determine otros tres puntos que pertenezcan a esta recta'

Hallar las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta I que pasa por el punto P = (4'1'3)

que es patalela a la recta de ecuación:

x_3=+==L

¿Es la recta que pasa por los puntos p = (4,8,0) V R = (1,2,3) paralela a la recta que pasa por

puntos 9=(0.5.0) Y T=(-3'-1.3)?

Determine si las recta t1 y f| son perpendiculares' siendo:

- x-2 Y+\ z-lLtt ) -_-=

4

- x'-Z v+l l-zI -'-"z' -1 2 -3

Sea r y R rectas u..,rto]'. l"j;: "ff:",":,,3 -l

R:(x, y,z) = (3,2,1)+ r' (2,1.- l),/ e IR

Determine.rasecuacionesparamétricasdelarectaTquecumplasimultáneamentelascondicicsiguientes.

o Tcontiene al punto de intersección entre I y R

o TesPerPendicular aLY R

calcule la distancia del punto ¡=(1,-1,1) a la recta con ecuación (x,y,z)=(1,1,1) +t'(2'2'2

IR

Determine las ecuaciones paramétricas de la recta I que es la intersección de los planos;

n, :-2x + Y -42 = -l Y frz :x -3Y +22 -5 =0

5.

6.

-

{i,,'trñ\)__

33

\:: : el plano que contiene los puntos: 'l(2,_t,t), nQ'z'-t) y C(- l'3'2) ' Sea la recta I de

:.- -:, 1t1ir (*, y, t)= (- 1,1 Z,t) + ft,0,2).

- Determine la ecuación del plano z '

- Determine el punto P de intersección entre el plano x y larecta L'

- Determine la ecuación de la recta Ique es perpendicular a E y que contiene al punto P'

: : ;¡.ja uno de lds siguientes ejercicios, determi ne la ecuación cartesiqna del plano que satisface

.. ;..ndiciones indicadas:

,. Perpendicular al vector I'{ =3i -2i +5k y pasapor el punto P =(1,-1,2)

- Pasa por los puntos I = (0.0.0)- B = (3.0'0). C = (4'l'l)

, Perpendicular al segmento de recta que une los puntos

¡ : 1+,0,0) y T = (0,-8,2) y qr. pasa por el punto medio de dicho segmento.

:cuación 3l'. -ztq, +2(z +5) = O representa un plano para cada valor de ft . Una expresión de

: ,ipo se llama unafamilia de planos. Determinar el o los planos de esta familia que pasan por

:lrnto ¿ = (1,_2,0)

-,--:.¡ la ecuación del plano que pase por el punto 74 =(0,1,1) y sea paralelo a los vectores

=rt.l.3) y w=(2.0.1).

piano pasa por el punto (t,t,t) y es perpendicular a cada uno de los planos

-l.r + z=3 y 3x-7-22=5. Hallarsuecuación'

lr:;rrninar una ecuación del plano que contenga el punto (1,-2,3) y sea paralelo al plano con

.-*¡ción 3x+Y+z=7.

--:- l¡¡elánguloqueconformanlosplanosconecuaciones2x+y-22=5 y 3x-6y-22=7

-,-ir una ecuación del plano que pasa por Q=(2,1,2)y que contiene alarccta con ecuación:

x+2 -Y+I -z+l^^a_, J J

Parte I

r. 712, -:1r,318, -r14,5132

2. r13, 215. 317, 419, slrr

3. -213,41g, -Bl27, 16lB7, -32/243

7. 3, g f 2, g l2, 27 18, 8r140

5. -t12,114, -rlB, rl16, -r132

6. 1, 0, -r19,0, rl25

7. 712, 71r2, r1120, 1/1680, 7130240

8. 4, 12,24, 40,60

9. 1, -L f 4, L l27 , -11256, r 13125

10. 1, 312, t619, r25164, t296/625

11. 1, 312, 512,35/8,6318

t2. r 12, 213, 7 16, 7 13, 91. lt8

13. -1, -3, -9, -27, -81

14. l, r,2,3,5

15. 0, 0, r,1f 3, 4f9

'16. 1, r12,213,315, 518

17. r, -113,9, -tf 3,25

18. -1, 0, -3, 0, -5

Parte II

I. 12: Q.$25

;¡;s : 0'61805

'r:¿:0'6180339890"'f(rt) :0.00004822530864. . .

SolucionesPrcparado por Lrris A. A<:trIr¿

Sucesiones

2. (a) e,s :Q,S:

Q,n.+1

-2718-243132

(-3)"+1(ri + 1)!

2.4.6...(2rt)(2tr*2)(b) -312

3. o,1 = I.6667, o,2:1.5, a3 = 1.1607.aa;t 0.83712. a5;z 0.57954, . . . . de modoque {ar,} es decleciente.

N{ás formaimente, como

2(4n+5)(2n+1)3(3n+2)(3n,+I)'

16que tlende a ¡.r- < I cllando ?? - oo.

¿(entonces on+l ( o,n, así que {rrr} es

decreciente.

Parte IIIl. en : (-t¡" ¡2"-t

^ I - (-l)"z. un - 2

3. n,r. - 3n, - 2

4. an - (-1)"nl

5. o,n.:(-1;"*t(n * 1)

2n,*In,+ 2ñ--" 1, +3¡,

0'n:'11'2-2

o,n: (-I)"+tQl2)"

O-(rr+1)(r¡f2)

a'n,*I

-:v'n

6.

7.

B.

1t.

10. a, :1l0t - 1)l

Parte IV

1. rrn --+ {l

1')'2. {1 ,, + ,;1

3. rir, - oc (rlit'ergc)

I o,, ' 'tf '"1

- .) /ob. tt| ' ,)f L

6. n,-¡¡Fl

I (lr)+l

B. rrr, - oo (cliverge)

9. a, clive'rge

10. ar, - 3

IL. o, dir''erge

12. rr,, tlir-r'rge

- l.)tJ.(ln'ttl-

1.1. o, * $

1.5. ar, + Q

Parte I

t. il12. cliverge

3 1 2

4. clir,erqe

5. 3

ti. I

Parte II

1. clive'r'ge

2.312

16. rrr,-(]'

17 4,, - i1

18. n,, '- 1¡

i9. rrn riir-ctgt'

ji).,i,, -r -I

21. rr,' + g

22. a,, *m(divcrge)

2l3 o,t -- ¡'il

27' rr,, - Ll3

2lt a,, - -ll226. ar, * U

'.)i . ttr, - co (clivelge)

2E. n,, - 3

29. o.,, - l)

30 rrn _l

Series

3 rl2J,. -3215

5 r97l6L)

6. cliverge'

7 . 4lltit

8. ll,',1E

e -5136

10. diverge

11. diverge

L2 4413

l3 113/28

u 514

15 úlr2

16 116

Parte III

1. tliver ge

2. couverge

3. cliverge

4. conr''erge

Ii

ü

fr¿,r¡e IVl[,"n r¡r:¡ación e,n - bn, significa

orrü'.<limP(oo(porlo' 0n.

n,nrff'.: rrrn conver'ge s )]bnannr E- --p

- --inr-erget a'n. - lf77'3

' -onverge: a,n N If 2n

i irrerge: a" > 3lVn,

'r{l iOn\-elge::;<21(2k-l)-712k

í :onr-erge: o'r"- !f 71,2

ü i:rerge: o¡, - lf P'z/z

* : rr-erge:

:.. > 2l(2k + 1) - 1¡¡t

{ ttr-erge: a¡r. - Ilk

9. diverge: 0" h 0

10. converge: o,n. N If rt,3/2

11. converg€i o,¡ ru 7lt<z/z

12. converge: a'n l If n,3

13. convergei ak - 1f2k

14. converge: ok - 1f2k

15. convergei an - Ifen

16. diverge: 0'¡, * 7lk:r/z

17. diverge:o¡ > rlJT +I - rlkl/2

18. convelgei a,n - If n,3

19. converge'. a,n 1lf 3"

20. conver'ge: n,, 17f 2"

21. rliverge:o¡>1.1(k+1)-Ilk

22. diverge'- Q,¡ * 7lk1/4

23. converge: o.n ru If na/3

24. convergei a.n - If 3n

25. convergP.'. Q'n - Iln3/z

26. diverge: an f 0

Parte V

1. divelge

2. converge condicionalmente

3. divelge .

4. diverge

X$. converge absolutamente

6. converge condicionaltlente

7. convelge condicionalnente

B. converge absolutarnente

9. divelge

10. convelge absolutauietrtc'

11. conr-erge absoltttattretlit

12. conrrer ge condicionalmente

13. converge conclicionalmente

14. convet'ge absolutameiite

Parte VIStib-parte A:

1. ^9b : .9475394290. . .

2. 56:.6065321181...

3. Sa : 11403025794. . .

4. 57 : .9474829748. . .

5. ^97:.4058035714...

6. Sa: .8414682540. . .

- " 7. Sz : .1301587302...

8. ,55 : -.1611328125. . .

Sub-parte B:

1. Hasta n,:499

2. Hasta n, : 31

3. Hasta ¡t :3

4. Hasta rt,: 4

Parte VIIPala cada e.jercicio se indica

n^ ' I.L: Iinr ""*r I ó L: lirn [ffi.Q.n

1,. conrrelge: L :21¡r

2. converge'. L :0

3. divelge: L:3le

4. converge: L :0

Series de

Parte IPara cada e.iercicio se indica dóncle hav

convergencia absoluta v dónde hav convergencia

condicional (los valores de z que no se indican

dan divergencia).

potencias

Absoluta: r : 0

Absoluta: -I<r<I;condicional: r :7

Absoluta: -1 <:r < 5;

condicional: rr : -1Absoluta:0<r:<6;con<-licional: r : 0

5. converge'. L :0

6. divelge: L:5147. converge: L:08. convelge: L:09. converge: L:0

10. converge: L:0

2.

3.

4.

5.

o.

7.

8.

9.

10.

11

11. diverge; L: oo

12. <liverge: L :3

13. converge: L:11214. diverge: L:31215. converge: L:31416. converge: L:114

17. conrrerge: -L : 0

18. diverge; L: m

19. conrrelge: L:1110

20. cliverge, f-: J5l2

16.

77.

t8.

19.

t2.

13.

t4.

Absoluta: -3<r<1Absoluta: todo r:

Absoluta: r :712

Absoluta: -5<r<-3Absoiuta: -I 1r( 3

Absoluta:213<r<413;condicional'. r : 413

Absoluta: -I<r11Absoluta: r : -6Absoluta: todo r

Absoluta: -513<r<IIl3Absoluta: -3<r<-1;corrdicional r : -3

Absoluta: -312<r<512Absoluta: todo r:

Absoluta:0<r <213;condicional: r :0

Absoluta: -1 <r<3

20. Absolut,a: 7f2 < r < 7f2

Parte II

, S3""-' lr 2ln.:0

2.

2

¡+.

6.

7.

tqL

15

,$

isi.

.i]lj[illL

Famq,e InIH,un r"n,-l -¿-m se indican la serie que da el valor

irMütdrr*: -, ,a ---uma parcial apropiada'

r -1 tn

1 \- - ''1, , , S¿x .7474867725

il

Ilarte 1

01o?

-71

-l

¿

a

A

r t ,n <(2nlI\F -' ' l^ , ,, : 51 = .4930555556

l¡r i l)('2n -l L)l

r r rn <(4n-F2)\- -r, 'u : ,Sr = .1245659722ln + 2)(2n + I) -

llatrices, determinantes Y

oo f t:n O(2nl 1)

z V \-Lt ' '.St:¿.42407)t¿'J1' /-^ (bt + 2)(2n + 2)ln=u

co / 1\n a(2nt4)R \- \-rl'u ::Sn=.0156250U0()" /-^ (2n + 4)(2tt + 1)

N:U

oa /-1\n9. t '= ' r'l'= ,,iSz =.9317765568" tJ^ (6r, ¡ I )(2n )!

n =ll

6 / rrn <(6n*1)t \-rl 'u _ ; ,Sr ry .4g888ig286¿'^ 6zr. * 1n:tJ

oc ¡ 11n r,(2n- 3)

il. t'-,1' "=,', ;'St t '035'1166666-- /_¿^ (2n + 3)r!N:U

oo I -1\n1, \- t " ,,: ,9r = .3102813853'" /-^ (4r¡ * 3)(2n + 1)!

(-1)'.5(n+1); So = .4484580499

(n. + 1)2

(-1)'

ecuaclones

\-

\-

\.-

x\-. -.t

\-

\-

- * "r:: -i -2n-l-'r- r ,l_

- L'.

- - -):-2q2n=7

l-, - 2)l- '-i ,-2n,¡2n -l

oo

¿\--1-n-0

oo

5\-"' 1rn.:o

oo

6\-"/J

n.:0

52;t .44

'¡

IU.

1

-1

-E,f

-5

.f

I

o

)

11 \:s)ni,r\)rl

-3\6l-o/

" sistemas

(z-4b [,-3 -?

(r -16 [-; I

, (r)

^ (-s oó\ r -2

de

n\;l-6 I

0\Iol

0l

-1 )-ó/

Parte 9

7. r: -w j-I, A: ut 12, z: B

2. a,: (19d- 15)17, b: -(36d+c:(3d_2)17

3. No ha"- solución

4. No hav solucióu

5. r:2,U:7,2:-I

6. r: -4uf3, a:5ulg - I, z =u:w+2

7. No hav solución

8. r:L,A:22,u:-3u

Parte 11

1. k * 3; nunca; A, :3

2.k#lyk*-2;k:1ól'::-

3. k + 1y k I -2; k: -2; A::1

4.k+2vk* -5;k: -5;k:2

Parte 13

1.8

2. -240

3. -8

Parte 14

r. l, -2, -72. -4,5

Parte 15

e ( 2 -1 )10. Indefinido

11 I I)\ -r /

Parte 4

1. No hay solución

2. o,:0

3. No hav solución

Parte 5fr@) :7, Tr(C) :0, Tr(D) :5.

Parte 6

@+ a)2: A2 + AB + BA+ 82.En general, AB # BA, pot lo queAB + BA+ 2AB v (A+ n)2 I A2 +2AB + 82.

Parte 8

(-tt 2 2\1. 1 -4 0 1l

\ 6 -1 -rl

2( ?-? -;)\-t o rl( -rtt 2/B 4/3 \3. 1 -1 0 1l\ 713 -rl3 -513 I/ r -1 o -1\, I o -tl2 o o I4' | -tt, 1 rlb Jlb

I

\ 2/5 -rl2 -215 -rl5 /

. (o 1-l \5 t, 1_3 i)

6 (z; -1 )

\s 2 4)

t,l

0

Parte 16

1. Siemple que b: c

2. o :0, b: 1, c: -7d12

Parte 17

1. r:3, A:0, z: -52. r :7, .U :2, z :3

3. :¡r: 371I7, U: *25117. z: -l2ly7

Parte 18

1. ar - 0, t,1 - (-2,\,2): a2:3.uz : (1, -2,2); cv3 : 6, ¿ry : (2.2. l).

2. a1 :0, u1 : (-I,7,5); oz - -2,uz: (I,1,1); a3 : 3, tr3 : (1. -4,1).

Parte 19

1. El otlo es o2 - 1.

2. (7,I,1) o ctialquier mírltiplo.

t.compreJos

\r 6 -it/3

Parte 3

1. z:!-if2,w:112

9 19 15 29.z: - 13 - 13'' uu: - ts +

13'

99 113. 32 30

':37- BT''w:-BT- BT'

i.

z.

Números

Parte 1

,_.1. 5 + 10r

'-*2. 53

3. -1 - 2i,J'': 4. -I+2i

5. -112.' - l. , llo.-t/c+t/o

7. I+i,8.2+3i,

Parte 2

JJn 3/30I

-- -

-1

222. r3i,

/; '6^ vz vz.J. -- t ---=-?

44\ 4,. -r

)

t)--

'\a ¿.

\ ,J.

Parte 4

L r:-T13,y:2512

2. :r: :2,517, y :217

3. l.':-1,g:0

4. t::4,y:3

Parte 6r:*1,y:-4

Parte 8y: -3r/2

Parte Ir : -4+ us : L7i ó r: 1 + tn : -Bi

14.1,

1.

2.

3.

4.

.(+.+)+(1 + r)

+i

.(;. +,)

Parte 12

1. z--k+2ki\/52. z :3/2 +i\/E/z3. z :7/2 +i,ñ/24. No hay solución

5. z_1/2+i\fT/2.

6. z' 0óz-2i.

7. z: -1+¡¿8. z : -1*i\/3

Parte 13

1. 2-100

2. -8-8i3. -8 + 8rlg

, r \/J."' t* z'5. -zu + 2u¿tfz

6.i

Parte 14

14.2

1 aI,\/3r.-r, rt zi, r/3 1.z. zt t-¡ - ¡z

J. il4 + iilL, -2.168430162 + .b8102e1. 5810291 108 _ 2.168430162¿

4. 1.491669055 _ .5429231353i,

-.275M92993 + 1.563284863?,

-1.216019755 _ 1.02036r728i

14.3

r.+(6tfr,t[r-rt,\'-\ z '-r-')'*(rE-rt _\E+ rt\t\

, -

, ')

2. I{2(ca(n l2Q * i sen(tr / 24)),t{2(ren(tr/24) - icos(tr l2!)

e.+(.Á+i), +(1 -i\/3), ,A , r/2.*'- 2 * 2t

Parte 15

1. .9651555191 + .8098616401r,

-1. 183938514 + .43091 83784i,.27878n944 _ 7.2407 800L9i

2. +1.2247 44871 + .7071.067813i

3. +2, +2i

Parte 11

t/'t:- z + (+.),

@-tll)(r+tJ5)(2r-t)

t* -'*í61t, -t -í6)(z + 2)(r - 1)

@+i\,n\2("-irt)z

4. 2r(r+ 1+ *rr"+ 1 - $l¡6* -'¡

Parte 1-7

f,*$,'*u1, 1 +3i

t Jt.3. -l *i, -; *--;-z¿z

t+t, -f,+i2, -3, ti,J2

312, L+i

1.

3.

ll2,2+i+¿, +¿Jt

Parte I-8

I.i

2. 1+i

3. =i2

4. -35. e-n/2

6. 2305.694030 - 109448.0209?

7. -.3097435049 - .8576580126?

^ ln12 7r.o' z -l'9. ln3 * n'z

7.

8.

1.

2.

4.

5.

6.

Vectores

2. -1r.A2270384

ñ -ñ ,J2 o J2,t. (v,J\,v) r (;,-'/3,;)4. P : (22,_32,-20), Q: (18, -36, -18)

5. (0,0,0) ó (2,O,2)

6. a: -lA, p - -6, ):4

-28./3

8. c: (2,o,2)y D: (0,1-,L), óc: (1,0,1) v¿l : (-1, 1, 0)

9. Sean 4., b escalares tales que aWt *bW2: g'

Entonces 0: "(Yt

+Vú *b(V -Vz) :(a*b\V*@-b)v2-Como Vt Y Vzson l.i-, a *b :0 Y ¿ - b : 0'

Resolviendo, resulta a : b : 0'

No hay.

r : -10, g: 10

llu+vll :w : J(r:ú lT-:v(porque U 'V -- 0)

n: *.rt, a :21

a. 31/5, b. (-1, -t,-r), c. (o,o,o)

3(1, ;,0)

' J3,,- zu(2. 9591 8, 3. 31662, 9.24504, 2.7 8L25)

(Ver ejercicio 9.)

Independientes (ver ejercicio 9)'

10.

11.

t2.

13.

14.

15.

L6.

17.

L8.

19.i

I

Rectas y planos

l. (*,A, z) : (2, -2,1) + ¿(0,6,4).Algrrnc puntc: (2, -'1.4, -T), (2, -8, -3),(2,4,5), (2, 10, g).

(r: a+t,. lo:1+?r,,-n:o;':

Ie:3*5ú

z-3

4r-TyI6z:33r*Ulz:4

,4cos-1

-2L

20.

21.

A: (3, -3, -3), B : (2,-3,-2)

^' g!'b' 6'e825'

zr. q_f,f,r¡

12.

13.

L4.

3. Sí

4. Sí

7RO5. (;,i,á) r ¿(0,5,5)

^ 2J6o'3

[r: -215 -2t7- ly: -slt

lr:t8. a. 11r * 5y * 132 : il, b. (-2, 13, -1),

t. (-2, L3, -1) + ú(11,5, 13)

9. a. 3n -29 *5z : tí,b. y - z :0,c.r*2y*z*2:0

3r*l8y-162+8:0

-7(r * 2) - 3(y+ 3) + 5(z - \ : 0

(r,U, r) : (3,2,4) + ú(-10, 3, -12)r-22:-4fr-A:3(r :6tla:atIz:8ú1/2

r-2y*32:n\n4ór -2y l3z: -1,2\/14

5r -3y - z:6r - 5z + 5 :015 5(;,;, -;) * ú(5,7,13)

3r*9y-52*11:0

15.

16.

L7.

18.

19.

20.

27.

22.

10.

11.

-30r*20y*l4z*70:02r*59-42-L

23.

24.

25.

26.

10

Hoja de Respuestas

1.

Las coordenadas que representan el mismo punto son las opciones a, c y e.

2.( ?z\

a) | 2.': I

\ 4)/\I E\

c) lr4,-" I\ r,/

"" I6)

7tl'4)

i)-)

")')

b)lta\z

ilr't1

a) I'\z

c) v4,

u (0,

at ('

a) x2 +y'=9d) "'-yt =lg) y:3

6.Figural(o)Figura 2 (b)Figura3(i)Figura4(l)Figura 5 (h )

1-l-a

L

a

z

b) r=sen0

e) r = tan9sec^O

h) r =2cos0

b) Y=*t) 6' + y'l - 4yo

h) (x+t)t *(y-4)' =r7

Figura6(f)FiguraT(m)Figura8(g)Figura9(d)Figural0(e)

Figurall(k)Figura 12 (c)Figura13(j)Figura14(n)Figura15(a)

4.2

3.

z"' zI.., I

-4 3)

cosáI

sen(20)

= -4sec,(20)

f,.

c) arctan(2)= Q

3f) r=

sen9 + cos0

a) r=

d) r'

s) ,'

c)x,5fl *y=2

Prof. Greivin Ramírez Atce, gmnirez@itcr. ac.cr

12

Prof. Greivin Ramírez Atce, grarrirez@itcr.ac'cr

T4

xiii)

Prof. Greivin Ramírez Arce, graanirez@itcr. ac. cr

27

Figura 12Figura 1I

Ftgura I0

T.Trazar|agréfftcadecadaunadelassiguientesecuacionesbásicasdadasencoordenadas Polares'

i. r=lii. r=-2

^77111. U=jT

ltiv. 0=-.o

rrazar ta stérrtcade cada una de las 'ieyi:ljli^lill1":': 'i1':::l?::ifl"*'ilfftr:x';:TilHffi;-'F::::,::.::::'-""T:,::,:1ffi .;:1o;:1i

:!|1tb:,tr**'ut poto y de.ser necesario construir una tabla de valores'

vi) r=1-sen0 xt) r=2sen

8.

i) r = 2cos0iD ¡ = -2sen0iii) r = 2csc0iv) r = 2sec0v) r =I+cos0

vi) r=l-sen0vii) r = l+2sen0viii) r =l-2cos0ix) r=2-sen9x) r =2+cos0

xi) r = 2sen(20)Kl) r=xii) r == 3 cos(3CI)

xiii)xiv)

2xv)r: z.""ro

-2sen(50)2sen0 +2cos0

r=f=

Figura. I5Figura 13

Prof. Greivin Ramírez Arce, gram irez@\tct'ac'cr

tAa I IrLL' I ie-rá rc

flryp \ ¡'tlr'c¿¡;¡q

3¡ ü "",; j

ár(

.?: € W&f,

<i\ *,-\*4€ ¿or@(a"'

.}\r ",,

;* f 5PLn/4

/*n -{^qb

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r..1, r \/VX')

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il,)

'¡!rbÜ &?