Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 2018 - extranet.mijnhva.nl · De vraag is of je met wortels...

Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 2018

Basisvaardigheden Algebra

Hoofdstuk 1 t/m 4

2

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1 Rekenen met letters .................................................................................................. 3

1.1. Formules ............................................................................................................................... 3

1.2. Machten................................................................................................................................. 4

1.3 Worteltrekken ......................................................................................................................... 6

1.4 Delen door nul kan niet.......................................................................................................... 9

Hoofdstuk 2 Toepassen van de distributieve eigenschap Eindterm 2.3.01 ............................. 11

2.1 De distributieve eigenschap. Eindtermen 2301_1 en 2301_2 ............................................. 11

2.2 Uitbreiding van de distributieve eigenschap. Eindtermen 2301_1 en 2301_2 .................... 13

2.3 Het ontbinden van tweetermen. Eindtermen 2301_3 ........................................................... 16

2.4 Het ontbinden van drietermen. Eindterm 2301_3................................................................ 17

2.5 Ontbinden met behulp van merkwaardige producten. Eindterm 2301_3 ............................ 18

2.6 Ontbinden in meer dan 2 factoren. Eindterm 2301_3 ......................................................... 19

Hoofdstuk 3 Bewerkingen met breuken Eindterm 2.3.02 ........................................................ 21

3.1 Gelijknamig maken van breuken en optellen van breuken. Eindterm 2302_1 .................... 21

3.2 Vereenvoudigen van breuken. Eindterm 2302_2 ................................................................. 22

3.3 Vermenigvuldigingen en delingen met breuken. Eindterm 2302_3 ..................................... 23

Hoofdstuk 4 Bewerkingen met machten Eindterm 2.3.03....................................................... 28

4.1 Vermenigvuldigen als herhaald optellen ............................................................................. 28

4.2 Machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen. Eindterm 2303_1 ................................. 28

4.3 Eigenschappen van machten met positieve, gehele exponenten. Eindterm 2303_1 ............ 30

4.4 Het delen van machten. Eindterm 2303_2 ........................................................................... 31

4.5 De macht van een macht. Eindterm 2303_3 ....................................................................... 32

4.6 De macht van een product. Eindterm 2303_4 .................................................................... 32

4.7 De macht van een quotiënt. Eindterm 2303_2 ..................................................................... 33

4.8 Vervolg worteltrekken.......................................................................................................... 34

4.9 Hogere machts wortels en hun eigenschappen .................................................................... 37

4.10 Machten met negatieve en/of gebroken exponent .............................................................. 39

3

Hoofdstuk 1

Rekenen met letters

1.1. Formules Met een formule kunnen we een bepaald verband aangeven. Er is bijvoorbeeld een verband tussen lengte,

breedte en oppervlakte van een rechthoek:

Oppervlakte_rechthoek = lengte * breedte

1) Opgave

Bereken de oppervlakte van een rechthoek, waarvan de lengte 6 en de breedte 3½ is.

Oppervlakte rechthoek, lengte en breedte zijn de variabelen in deze formule. Variabelen worden vaak afgekort,

of zelfs door één letter weergegeven. Bijvoorbeeld:

O=l*b of nog korter: O = lb

Toch is er een verschil tussen de drie variabelen O, l en b.

O heet ook wel de afhankelijk variabele en l en b de onafhankelijk variabelen.

2) Opgave

Waarom zou O de afhankelijk variabele worden genoemd en waarom zijn l en b onafhankelijk variabel?

Voor rechthoeken waarvan de lengte 2 maal zo groot is als de breedte geldt de fomule:

O=2b²

3) Opgave

Laat zien dat die formule klopt.

Onder de omtrek van een figuur wordt verstaan de afstand die je aflegt als je er een keer helemaal omheen

gelopen bent.

4) Opgave

Laat zien dat voor de omtrek van een rechthoek geldt:

Omtrek = 2l + 2b

5) Opgave

Van een rechthoek is de lengte drie keer zo groot als de breedte. Laat zien dat voor de omtrek geldt:

Omtrek = 8b.

6) Opgave

Laat zien dat voor een rechthoek met lengte l en breedte b geldt: l = ½ omtrek – b

4

Een rechthoek heeft omtrek p en breedte b. Voor de oppervlakte O geldt: O = ½ bp - b²

7) Opgave

Laat zien dat die formule klopt.

8) Opgave

Van een rechthoek is de lengte 4½ maal zo groot als de breedte. De oppervlakte van die rechthoek is 32.

Bereken de omtrek van die rechthoek.

9) Opgave

Van een rechthoek met lengte 10 zijn de omtrek en de oppervlakte gelijk.

Bereken de breedte.

Een rechthoek waarvan de beide zijden even lang zijn heet een vierkant.

10) Opgave

Laat zien dat voor de omtrek van een vierkant met oppervlakte O geldt:

Omtrek = 4 O

11) Opgave

Van een rechthoek is de oppervlakte 35 en de omtrek 33. Bereken de lengte en de breedte van de

rechthoek.

1.2. Machten

Veronderstel dat een bepaalde machine nu ƒ 2500,- kost en dat verwacht wordt dat de prijs jaarlijks verhoogd

zal worden met 3%. We bereken de prijs na drie jaar.

We beginnen met de prijs na één jaar. Die prijs krijgen we door 2500 te vermenigvuldigen met 1.03 2500*1,03

De prijs na twee jaar krijgen we door deze uitkomst weer te vermenigvuldigen met 1,03: 2575*1,03

De prijs na drie jaar krijgen we door deze uitkomst weer te vermenigvuldigen met 1,03: 2652.25*1,03;

Dit resultaat kun je als volgt in één keer krijgen: 2500*1,03*1,03*1,03;

1,03*1,03*1,03 wordt ook zo genoteerd: 1,03³ Dit is een macht. 1,03 is het grondtal van deze macht en 3 is de exponent van deze macht.

Vooral bij langere periodes is het handig om met machten te werken. De prijs na tien jaar bij een gelijkblijvende

jaarlijkse verhoging van 3% is in één keer als volgt uit te rekenen: 2500*1,0310

12) Opgave

5

Een artikel kost ƒ 3200,-. Verwacht wordt dat de prijs jaarlijks met 5% zal dalen.

Bereken de verwachte prijs na zes jaar.

13) Opgave

Iemand beweert: Als de prijs zes keer daalt met 5% betekent dit een daling van totaal 30%. Laat zien

dat deze bewering NIET juist is.

14) Opgave

Iemand beweert: Als de prijs 4 keer stijgt met 5 procent dan is dit een stijging van ongeveer 21,6 %.

Laat zien dat deze bewering WEL juist is.

25 is een verkorte schrijfwijze voor 2*2*2*2*2. Dus 25 = 32

15) Opgave

Bereken zonder gebruik te maken van een rekenmachine:

Het berekenen van machten zoals in de vorige opgave heet ook wel machtsverheffen.

Wat betreft de volgorde van bewerkingen gelden de volgende regels:

1 Berekeningen tussen haakjes moeten eerst worden uitgevoerd.

2 Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrang op elkaar.

3 Optellen en aftrekken hebben geen voorrang op elkaar.

4 Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.

5 Machtsverheffen gaat voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

6 Als er geen voorrang is dan rekent men in de volgorde van links naar rechts.

16) Opgave

Bereken zonder een rekenmachine te gebruiken.

a) 3* 2³ b) 2³ + 25 c) 2 + 10*2³ d) (3 + 2)4 e) 5²(3² + 2³)

f) g) h)

Berekeningen waarin machten voorkomen zijn soms te vereenvoudigen. Drie voorbeelden:

* kun je schrijven als , want * =(2*2*2)*(2*2*2*2). Hierin kun je de haakjes weglaten.

, want teller en noemer van deze breuk kun je delen door 5³.

, want teller en noemer van deze breuk kun je delen door 2²

, want

In het algemeen gelden de volgende rekenregels voor machten:

In het tweede geval kan a niet nul zijn. In het vervolg zullen we een dergelijke opmerking doorgaans

34 23 106 112 53

104

52( )23

2

( )332

23 24 27 23 24

53

54

1

5

26

2224

( )232

26 ( )232

23 23

ap aq a( )p q

ap

aqa

( )p q

( )apq

a( )p q

6

achterwege laten.

17) Opgave

Welke van de volgende beweringen zijn waar?

a) * = b) * c) d)

e) f) * = g) h) * =

i)

Met behulp van de rekenregels voor machten kun je allerlei algebraïsche uitdrukkingen vereenvoudigen.

Bijvoorbeeld:

4xy.2x = 8 x²y

3a³b² . 5a²b³ = 15 a5b5

(2a³b)² = 4 a6b2

36 a5b9 = 4 a³ b6

9 a² b³

18) Opgave

Vereenvoudig zo ver mogelijk:

a. 2x²y² . 6 x³y f. (2xy²)² - x²y4 b. -4a5b4c3 . -2 a4b5c2 g. (2xy²)² : x²y4

c. 27 x8y12 : 9 x4y6 h. (2xy²)² . x²y4

d. (-3x² y³)² . 2x²y² i. (2xy²)² + x²y4

e. (-2x³y³)² j. (2xy²)² - 4 - x² - y4

-4 x5y6

1.3 Worteltrekken Het omgekeerde van optellen is aftrekken. Bijvoorbeeld:

100+20 = 120 en dus 120-20 = 100.

Het omgekeerde van vermenigvuldigen is delen. Bijvoorbeeld:

6*15 = 90 en dus 90/15 = 6.

Het omgekeerde van machtsverheffen is worteltrekken. Bijvoorbeeld:

5² = 25 en dus 25 = 5.

In 5² is de exponent 2. We spreken ook wel van 5 kwadraat. De omkering hiervan is de tweedemachtswortel.

Omdat die het meest voorkomt spreekt men in plaats van over "tweedemachts wortel" kortweg over "wortel".

Opmerkingen:

Een tweedemachtswortel van een negatief getal bestaat niet. Bijvoorbeeld kan niet want er is geen getal

52 53 56 52 53 55

210

2228

210

2225

23 53 73 23 53 103 22 24 26 22 24 26

( )223

26

25

7

waarvan het kwadraat -25 is.

Verder geldt de afspraak dat de uitkomst van een tweemachtswortel positief is. Dus bijvoorbeeld en

niet -5.

In het algemeen geldt dus:

a bestaat alleen als a positief of nul is en a is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is

aan a.

Wortels zijn bijzondere getallen. Alle positieve gehele getallen zijn eigenlijk ook wortelgetallen.

Want neem bijvoorbeeld het getal 61. Dat is te schrijven als een wortelgetal.

19) Opgave

Vul in : 61 = … .

Niet elk wortelgetal is evenwel een geheel getal. Zo is bijvoorbeeld 61 geen geheel getal. De waarde van 61

is alleen bij benadering vast te stellen.

20) Opgave

Tussen welke twee gehele getallen zit de waarde van 61 ?

21) Opgave

Benader zonder de rekenmachine te gebruiken 61 in één decimaal nauwkeurig.

De vraag is of je met wortels dezelfde bewerkingen kunt uitvoeren als met gehele getallen. Dus de vraag is of je

bijvoorbeeld wortels kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

22) Opgave

Onderzoek of a + b = (a+b).

Zo’n vraag pakt een wiskundige meestal als volgt aan:

1. Hij gaat wat proberen door voor a en b zo maar eens wat getallen in te vullen en hij gaat kijken of het

klopt.

Dan zijn er twee mogelijkheden:

• het klopt wel

• het klopt niet.

In het laatste geval ben je snel klaar. Zodra je een getallenvoorbeeld hebt gevonden waarvoor de uitspraak niet

klopt, dan geldt de regel dus niet algemeen.

In het eerste geval is hij nog niet klaar. Integendeel. De uitspraak mag dan kloppen voor dat toevallige

getallenvoorbeeld, maar wellicht zijn er andere voorbeelden te noemen waarvoor de regel niet klopt.

2. Hij gaat nog eens enkele getallenvoorbeelden uitproberen.

25 5

8

Mochten al die getallenvoorbeelden kloppen dan neemt hij de volgende stap.

3. Het begint nu de moeite waard te worden om de regel te bewijzen. Dat wil zeggen hij gaat een logische

redenering bedenken waarmee de waarheid van de uitspraak onomstotelijk komt vast te staan.

4. Als dat lukt dan kan hij iedereen met zijn redenering overtuigen. Lukt het niet dan heeft de uitspraak

geen algemene geldigheid.

23) Opgave

Nog even terug naar de vorige opgave.

Ga na dat er oneindig veel voorbeelden voor a en b te bedenken zijn, waarvoor de uitspraak klopt.

Ga ook na dat er in ieder geval één voorbeeld is te noemen waarvoor de uitspraak niet geldt.

Wat is je conclusie?

24) Opgave

Er geldt dus niet a + b = (a + b). Misschien kun je wortels op een andere manier bij elkaar

optellen, bijvoorbeeld a + b = (ab). Onderzoek of dit zo goed is.

Wat je ook probeert: de som van twee wortels is niet als één wortel te schrijven.

Hoe ligt dat bij de bewerking aftrekken?

25) Opgave

Onderzoek of a - b = (a-b).

En hoe zit het met vermenigvuldigen?

26) Opgave

Onderzoek of a * b = (a*b).

27) Opgave

Bewijs: a * b = (a*b).

28) Opgave

Bewijs: a : b = (a:b).

Conclusies uit de voorgaande opgave:

1. De som van twee wortels kun je niet schrijven als één wortel. Hetzelfde geldt voor het verschil van twee

wortels.

2. Het product (ofwel vermenigvuldiging) van twee wortels kun je wel als één wortel schrijven. Dat geldt

ook voor het quotiënt van twee wortels.

• a * b = (a*b).

• a / b = (a/b).

Die laatste eigenschappen kun je gebruiken om wortelgetallen te vereenvoudigen.

Bijvoorbeeld:

9

24 = 4*6 = 2*6 of eenvoudigweg 26

29) Opgave

Ga na dat de rekenmachine voor 24 en 26 dezelfde uitkomst geeft.

30) Opgave

Vereenvoudig zo ver mogelijk de volgende wortels.

a. 80 b. 18 c. 90 d. 147 e. 512 f. 180 g. 125

1.4 Delen door nul kan niet De bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je uitvoeren met elk willekeurig tweetal

getallen, echter met één uitzondering:

Je kunt een getal niet delen door nul

Als je dit toch probeert in op een rekenmachine op de computer krijg je doorgaans een foutmelding, bijvoorbeel

“Erro, division by zero”.

Dat delen door nul niet kan, is een gevolg van het feit dat een getal vermenigvuldigd met nul als uitkomst altijd

nul oplevert. Bekijk de volgende voorbeelden:

100/10 = 10 want 10*10=100;

100/5 = 20 want 20*5=100;

100/2 = 50 want 2*50=100;

Veronderstel nu dat 100/0 een uitkomst heeft. Die noemen we u. Dan zou gelden:

100/0 = u want u*0=100

Dit laatste is niet waar want:

u*0=0 voor elk getal u

Voor 100/0 is dus geen uitkomst te vinden.

We laten dit ook nog eens zien met behulp van een praktisch voorbeeld.

Als je een half uur rijdt met een snelheid van 80 km per uur, leg je een afstand af van 40 km (je berekent

0.5*80). Er geldt dan het volgende verband tussen tijd, snelheid en afstand: afstand=tijd*snelheid

Deze formule kun je ook in de volgende vorm schrijven:

In deze vorm is de formule te gebruiken om uit te rekenen welke snelheid je moet hebben om een gegeven

afstand in een gegeven tijd af te leggen. Zoals bijvoorbeeld:

Om 250 km in drie uur af te leggen moet je een snelheid hebben van km per uur , ofwel (afgerond) 83 km

per uur.

Om 250 km in twee uur af te leggen moet je een snelheid hebben van km per uur, ofwel 125 km per uur.

snelheidafstand

tijd

250

3

250

2

10

Om 250 km in een half uur af te leggen moet je een snelheid hebben van km per uur, ofwel 500 km per

uur.

Het is echter absurd om voor de tijd 0 te nemen, je zou je dan immers afvragen hoe snel je moet rijden om 250

km in nul uur af te leggen. Wel kun je vaststellen dat de uitkomst van heel groot wordt als de tijd heel

dicht bij nul neemt. Hoe dichter de tijd bij nul ligt hoe groter de snelheid. Je kunt de tijd dus wel in de buurt van

nul kiezen, maar niet precies gelijk aan nul.

Bijvoorbeeld:

- Om 250 km in een seconde af te leggen moet je een snelheid hebben van 250

1

3600

ofwel 90000 km per uur.

31) Opgave

We bekijken de breuk .

Zoek een getal p zodanig dat deze breuk groter is dan 100.

Voor welk getal p is deze breuk precies gelijk aan 100?

Voor welk getal p is deze breuk precies gelijk aan 1 000 000?

250

1

2

250

tijd

5

p

11

Hoofdstuk 2

Toepassen van de distributieve eigenschap

Eindterm 2.3.01

2.1 De distributieve eigenschap.

Eindtermen 2301_1 en 2301_2 Formules kunnen er verschillend uitzien en toch hetzelfde effect hebben. We laten hiervan een voorbeeld zien.

Als een flatgebouw vier woningen per verdieping heeft en het gebouw vijf verdiepingen telt is het totaal aantal

woningen gelijk aan 5*4=20.

Veronderstel dat er een stuk aangebouwd wordt volgens de schets hieronder, dus met een rijtje van drie

woningen per verdieping:

Je kunt nu het totaal aantal woningen op twee manieren berekenen:

1e manier: oude deel: 5*4, nieuwe deel: 5*3 , dus totaal 5*4 + 5*3.

2e manier: na uitbreiding zitten er 4+3 woningen naast elkaar, er zijn nog steeds vijf verdiepingen, totaal dus

5*(4 +3).

In beide gevallen kom je op totaal 35 woningen.

32) Opgave

Je had ook een paar verdiepingen op het oorspronkelijke flatgebouw kunnen zetten. Maak zelf een keuze

en bereken op beide bovenstaande manieren het totaal aantal woningen.

We doen dit nu algemener:

Stel dat in een flatgebouw van v verdiepingen er aanvankelijk a woningen naast elkaar zitten en er een stuk

wordt aangebouwd waarin b woningen naast elkaar zitten.

Stel dat het totale aantal woningen T is. Je kunt nu op twee manieren een formule opstellen voor T.

12

1e manier:

Er zitten totaal a + b woningen naast elkaar. Er zijn v verdiepingen. Dus geldt:

T = v ( a + b )

2e manier:

In het linker deel zitten va woningen, in het rechterdeel vb. Dus geldt:

T = va + vb

Kennelijk is de uitkomst van v ( a + b ) altijd gelijk aan die van va + vb.

Dit wordt kortweg ook wel zo weergegeven: v ( a + b ) = va + vb.

Hieronder is schematisch weergegeven hoe de ene uitdrukking overgaat in de andere.

Wat we hier constateren geldt niet alleen voor gehele getallen, maar ook voor breuken, negatieve getallen en als

je de optelling vervangt door een aftrekking. Deze algemene eigenschap van getallen heet ook wel de

distributieve eigenschap.

Je kunt op allerlei manieren variëren op de distributieve eigenschap, bijvoorbeeld:

3( s – 5t) = 3s – 3.5t = 3s -15t

-4( x – 14) = -4x + 56

-3a (2a – 4b) = -6a² + 12ab

Uiteraard kun je er nog meer flatgebouwen naastzetten, zodat ook geldt:

-z ( x + y – z ) = -xz – yz + z²

33) Opgave

Pas de distributieve eigenschap toe bij het herleiden van de volgende vormen.

a. 8x( x – 2y ) b. -3x( 2a – 5x ) c. 2( a – x + 50 ) d. -2xy( x – y )

De distributieve eigenschap kan soms ook gebruikt worden om formules te vereenvoudigen. Op grond van de

distributieve eigenschap is bijvoorbeeld voor elk getal de uitkomst van gelijk aan de uitkomst

van ofwel de uitkomst van .

Let op: Hier worden weer maaltekens weggelaten. betekent: 7 maal g.

34) Opgave

Laat zien dat 2( a - x² ) – x ( 4 – 2x ) gelijk is aan 2a – 4x.

35) Opgave

Pas de distributieve eigenschap toe bij het herleiden van de volgende vormen. Vereenvoudig je antwoord

zoveel mogelijk.

g 5 g 2 g

g ( )5 2 7 g

7 g

13

3x( x – 4 ) – 6( x² - 2x )

-2a ( a + x ) – 2x ( x – a )

3x( 2x – 12y + z ) + 6y ( 6x + y + z ) – 3z ( x + 2y – 2z)

-2 ( 2x – 3y) + 2 ( 3x + y ) – 2 ( x – y )

De distributieve eigenschap is ook te gebruiken bij hoofdrekenen. Bijvoorbeeld:

Bereken 12 * 65.

Uitwerking: 10*65=650, daarbij moet nog 2*65=130, dus 12*65=780.

36) Opgave

Bereken uit het hoofd:

a. 11*520 b. 12* 25 c. 19*35 d. 98*15

2.2 Uitbreiding van de distributieve eigenschap.

Eindtermen 2301_1 en 2301_2

We kijken nog een keer naar het voorbeeld van het flatgebouw van v verdiepingen hoog en per verdieping a +

b woningen naast elkaar:

Veronderstel dat er nog eens w verdiepingen bij komen:

Je kunt nu het totaal aantal woningen op twee manier berekenen:

Totale "hoogte" keer totale "breedte": ( w + v ) * ( a + b )

"hoogte" keer "breedte" per vak: wa + wb + va + vb

De uitkomsten van die beide vormen moeten hetzelfde zijn, dus:

( w + v )( a + b ) = wa + wb + va + vb

14

Dit is een uitbreiding van de distributieve eigenschap.

De distributieve eigenschap is nog verder uit te breiden. Zo geldt bijvoorbeeld:

( w + v ) ( a + b + c ) = wa + wb + wc + va + vb + vc

37) Opgave

Maak in een tekening duidelijk waarom deze laatste uitdrukking van de distributieve eigenschap klopt.

Ook op de uitbreiding van de distributieve eigenschap kun je variëren, bijvoorbeeld:

(a + 2)(b + 3) = ab + 3a + 2b + 6

(a – 2)(b – 3) = ab – 3a – 2b + 6 . Let vooral op de + voor de 6.

(a – 3)(a + 5) = a² + 5a -3a -15 = a² + 2a - 15

38) Opgave

Pas de distributieve eigenschap toe bij de herleiding van de volgende vormen:

(a – 4)(b + 6)

(a – 3)(b – 6)

(a + 6)(b – 5)

(a + x)(b – y)

39) Opgave

Doe hetzelfde met:

(a – 3)(a + 2)

(x – 5)(x – 3)

(x + 4)(x – 6)

(x + 3)(x+10)

40) Opgave

Doe hetzelfde met:

(2x – 3)(x – 4)

(3x + 5)(2x – 1)

(x² - 5)(y + 3)

2(x – 4)(x + 3)

Het is ook mogelijk een product met drie factoren te herleiden. Een voorbeeld:

(x-2)(x-3)(x-4).

Vergelijk dit eens met het product van drie getallen.

41) Opgave

Bereken 3*8*5 op drie verschillende manieren en constateer dat je er steeds 120 uit krijgt

Bij het vermenigvuldigen van drie getallen zie je dat de volgorde waarin je de factoren met elkaar

vermenigvuldigt geen invloed heeft op de uitkomst. Dat is dus ook zo met (x-2)(x-3)(x-4). Met andere woorden

je kunt bijvoorbeeld eerst (x-3)(x-4) uitrekenen en dan vervolgens x-2 vermenigvuldigen met de uitkomst ervan.

42) Opgave

15

Herleid (x-3)(x-4).

43) Opgave

Laat zien door de distributieve eigenschap toe te passen dat :

(x-2)(x-3)(x-4) = (x-2)(x² - 7x + 12) = x³ - 9x² + 26x -24.

44) Opgave

Laat zien dat je hetzelfde antwoord krijgt wanneer je een andere volgorde van vermenigvuldiging kiest,

dus bijvoorbeeld eerst (x-2)(x-4) en dan vermenigvuldigen met x-3.

45) Opgave

Herleid op dezelfde manier:

(x+3)(x-4)(x+5)

(x-1)(x+2)(x-3)

(a+5)(a-6)(a+1)

(a-2)(a+3)(a-5)

46) Opgave

Laat zien dat:

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = a² - b²

De producten in deze opgave heten merkwaardige producten. Ze komen vaak voor in de analyse in diverse

gedaantes. Voorbeelden:

(2x + 3y)² = (2x)² + 2.2x.3y + (3y)² = 4x² + 12 xy + 9y²

(3x – 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

(4x – 5)(4x + 5) = 16x² - 25

47) Opgave

Bestudeer de voorbeelden goed en ga na dat ze inderdaad bijzondere gevallen zijn van de merkwaardige

producten uit de vorige opgave.

48) Opgave

Werk de haakjes weg en schrijf meteen, zonder tussenstappen, het antwoord op.

(3a + 5x)² (5x – 3y)(5x + 3y)

(3x – 6)² (5 – 4a)(5 + 4a)

(a² + 3)² (a² - 1)( a² +1)

((a-1)(a+1))² (2ab – 3)² (ab + 1)(ab – 1)

(a - b)(a + b)

(2p – 10q)² (-2x + 3)² (-ab – a)²

16

49) Opgave

Bereken uit het hoofd:

(3-2)(3+2)

(78 -38)(78 + 38)

99² 53²

2.3 Het ontbinden van tweetermen.

Eindtermen 2301_3

Tot nu toe hebben we de distributieve eigenschap vooral gebruikt om een uitdrukking als om te

werken tot . Je kunt ook het omgekeerde doen. Dus voor pa + pb schrijven p( a + b ) .

We zeggen in dit geval ook wel dat we de uitdrukking hebben ontbonden in factoren.

50) Opgave

Ontbind de volgende vormen in factoren.

px + py b. ax – ay c. 2x – 4y d. 4 + 4x

Je kunt ook een getal ontbinden in factoren. De bedoeling is dan dat je dat getal schrijft als een product van

zoveel mogelijk getallen. Die getallen heten de factoren van de ontbinding.

Voorbeeld: Ontbind 70 in factoren.

Oplossing 70 = 2*5*7.

Fout zou zijn : 70 = 2*35 of 70 = 10*7 of 70 = 14*5.

Weliswaar zijn dit ontbindingen, maar niet in zoveel mogelijk factoren.

Nog een voorbeeld: Ontbind 24 in factoren.

Antwoord: 24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 2³ * 3

51) Opgave

Ontbind de volgende getallen in factoren:

a. 56 b. 144 c. 162 d. 98

Een klas kreeg de opdracht om 4xy + 8x te ontbinden in factoren. De docent kreeg verschillende soorten

antwoorden.

Soort 1 : 4xy + 8x = x ( 4y + 8 )

Soort 2 : 4xy + 8x = 2 ( 2xy + 4x )

Soort 3 : 4xy + 8x = 4 ( xy + 2x )

Soort 4 : 4xy + 8x = 2x ( 2y + 4 )

Bij elk van deze uitdrukkingen is het linkerlid gelijk aan het rechterlid. Zo bezien, zou je ze allemaal goed

kunnen rekenen. Toch geven we de voorkeur aan een ontbinding waarbij zoveel mogelijk factoren “buiten de

haakjes” gehaald worden.

52) Opgave

Hoe ziet die ontbinding er uit?

p ( )a b

p a p b

p a p b

17

Als je deze opdracht goed hebt gedaan dan heb je geantwoord:

4xy + 8x = 4x ( y + 2 )

53) Opgave

Ontbind in factoren.

8 x - 28 xy

- 12 xy + 18 y² a²bc + ab²c + abc²

– 24abc + 9bc

6 x²y – 15 xy ²

-8pq – 16 p

54) Opgave

Bedenk zelf nog een viertal ontbindbare tweetermen en wissel die uit met je buur(man/vrouw)

2.4 Het ontbinden van drietermen.

Eindterm 2301_3

De distributieve eigenschap heb je ook gebruikt om vormen als (a+b)(p+q) te herleiden. De uitkomst ap + aq +

bp + bq is uiteraard weer te ontbinden in (a+b)(p+q).

Om die weg terug te bewandelen is het zaak om het volgende plaatje goed te bekijken:

p q

a

b

55) Opgave

Hoe kun je aan de hand van dit plaatje bewijzen dat ap + aq + bp + bq gelijk is aan (a+b)(p+q)?

56) Opgave

Maak een soortgelijk plaatje om aan te tonen dat ab + 3a + 2b + 6 gelijk is aan

(a + 2)(b + 3).

57) Opgave

Ontbind in factoren:

ab + 3b – a – 3

xy +7x – 5y – 35

ab – 7a – 3b + 21

58) Opgave

Sommige van de onderstaande vormen zijn te ontbinden. Welke zijn dat en waar kun je dat snel aan

zien?

ab + 6b – 5a – 30

ab + 6b – 4a – 18

ab – 6b + 4a + 24

ap aq

bp bq

18

ab – 6b – 4a + 24

59) Opgave

Bedenk zelf een vijftal viertermen die je kunt ontbinden.

x² + 5x – 2x – 10 is te ontbinden, omdat 5.-2 gelijk is aan -10.

En dus is x² + 5x – 2x – 10 gelijk aan (x+5)(x-2).

Ofwel (x+5)(x-2) is een ontbinding van x² + 3x – 10.

Hoe zit dat met bijvoorbeeld x² + 6x – 16 ? Kun je die vorm ook ontbinden?

Ja, want je kunt 6x schrijven als 8x – 2x. en dus is x² + 6x – 16 te schrijven als

x² + 8x - 2x – 16. Omdat 8.-2 gelijk is aan -16 is deze vorm te ontbinden en wel in (x+8)(x-2).

Kortom: x² + 6x – 16 = (x+8)(x-2).

In het kort gezegd komt de procedure bij het ontbinden van drietermen van de vorm

x² + ax + b neer op het zoeken van twee getallen die opgeteld a en vermenigvuldigd b zijn.

60) Opgave


x² - 10x + 16

x² + 11x + 24

x² - 9x – 36

x² + 4x – 60

x² - 12x + 20

x² + 8x – 48

x²- x – 2

61) Opgave

Bedenk zelf een vijftal drietermen die je kunt ontbinden.

2.5 Ontbinden met behulp van merkwaardige producten.

Eindterm 2301_3

Bij het ontbinden van drietermen in een merkwaardig product maakt je ook gebruik van de hierboven

toegepaste aanpak.

Voorbeeld:

Ontbind x² + 8x + 16.

Je zoekt twee getallen die vermenigvuldigd 16 en opgeteld 8 zijn.

62) Opgave

Waarom is (x+4)² een ontbinding van x² + 8x + 16?

63) Opgave


19

x² - 20x + 100

x² - 12x + 36

x² + 10x + 25

x² - 100

x² - 144

Die laatste twee voorbeelden van de vorige opgave kunnen worden ontbonden in de vorm (x-a)(x+a).

Ook de volgende voorbeelden zijn van een dergelijke vorm.

64) Opgave


4x² - 81

9x² - 64

25x² - 36

16x² - 49

2.6 Ontbinden in meer dan 2 factoren.

Eindterm 2301_3

Tot slot nog een aantal ingewikkelder voorbeelden. Kijk eerst nog een hoe je getallen ontbindt in factoren.

Bijvoorbeeld 2004

Is het getal deelbaar door 2?

Zo ja, wat is de uitkomst?

Zo nee, is het getal deelbaar door 3?






65) Opgave

Het lijkt erop dat in het rijtje vragen een paar is overgeslagen. Moet je niet een onderzoek doen naar de

deelbaarheid door 4 en door 6?

66) Opgave

Wat zal de volgende vraag in het rijtje zijn?

Nu de ontbinding van 2004.

Het getal is deelbaar door 2. Uitkomst: 1002

1002 is ook deelbaar door 2. Uitkomst: 501

501 is deelbaar door 3. Uitkomst 167.

En 167 is een priemgetal, dat wil zeggen dat getal kun je alleen maar door 1 en zichzelf delen.

Dus: 2004=2² . 3 . 167

20

67) Opgave


98

144

625

2662

Bij het ontbinden van algebraïsche veeltermen ga je op soortgelijke wijze aan het werk.

Ook nu gaat erom de vorm in zoveel mogelijk factoren te ontbinden.

Voorbeeld:

Ontbind -2x³ + 6x² + 8x

Aanpak: De vorm is deelbaar door -2 en door x.

Dus -2x³ + 6x² + 8x = -2x(x² - 3x - 4) = -2x(x-4)(x+1)

Nog een voorbeeld:

Ontbind 12x4 – 3x².

Aanpak: De vorm is deelbaar door 3 en door x². Dus 12x4 – 3x² = 3x²(4x² - 1) = 3x²(2x-1)(2x+1)

68) Opgave

Ontbind in factoren

a. 3xy² - 75x

b. 3a² + 24a +36

c. 4x² - 16y²

d. -a³ - a² + 30a

e. -5x³ + 25x² + 70x

f. a²b +2ab²+b³

g. 2a4 +4a² - 6

69) Opgave

Bedenk nu zelf minstens vijf voorbeelden van twee- of drietermen die in minstens 4 factoren ontbonden

kunnen worden.

21

Hoofdstuk 3

Bewerkingen met breuken

Eindterm 2.3.02

.

3.1 Gelijknamig maken van breuken en optellen van breuken.

Eindterm 2302_1

70) Opgave

Hoe kun je een leerling in de brugklas uitleggen dat 5

3gelijk is aan

15

9?

Is er ook een manier om dat met behulp van een tekening uit te leggen? Breuken met verschillende noemers kun je gelijknamig maken, dat wil zeggen dat je de breuken met dezelfde noemer schrijft.

71) Opgave

Maak gelijknamig, maak de noemer van je antwoord zo klein mogelijk:

2

1en

5

3

9

5en

5

3

12

5en

8

3

6

1en

15

2

Opmerking: de noemer in je antwoord, noemen we het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV) van de noemers van de afzonderlijke breuken. Zo hebben bijvoorbeeld 12 en 8 als KGV 24

72) Opgave

Maak gelijknamig, maak de noemer van je antwoord weer zo “ klein” mogelijk:

a

2 en

b

3

x

5 en

xy

6

2x

4 en

3a

5

abd

a en

de

ab

ba

2

en

dc

3

22

2)yx(

x

en

)zw)(yx(

y

73) Opgave

Leg uit op brugklasniveau:

5

3 +

5

1 =

5

4

7

2 +

3

1 =

21

13

74) Opgave

Bereken en vereenvoudig zo mogelijk je antwoord:

20

3 +

15

2

24

5 +

40

3

16

5 +

40

5

60

1 +

210

1

75) Opgave

Bereken en vereenvoudig zo mogelijk je antwoord:

a

2 +

b

3

b4

a5 +

c2

a7

q7

r15 +

qr14

p3

ba

22

+ b

2 +

a

2

2)ba(

ab6

+

ba

b2

3.2 Vereenvoudigen van breuken.

Eindterm 2302_2 Als je een breuk vereenvoudigt, deel je teller en noemer door dezelfde factor. Als je niet direct door de grootste gemeenschappelijke factor hebt gedeeld, herhaal je dit nog een keer. Zo ga je door, totdat er geen verdere vereenvoudiging meer mogelijk is.

23

Voorbeeld: 15

14

45

42

90

84

180

168

We hebben 168 en 180 achtereenvolgens door 2, nogmaals door 2 en door 3 gedeeld. We hadden beide dus ook direct door 2*2*3=12 kunnen delen. We noemen 12 de GGD (grootste gemeenschappelijke deler) van 168 en 180.

76) Opgave

Vereenvoudig

105

45

70

28

182

130

330

210

77) Opgave

Vereenvoudig

ab3

a2 2

2

32

xy30

yx24

yx13

yx262

24

410

47

qp24

qp32

)b2a(15

)b2a(12 3

)b2a(12

)b3a(3

ba2

b2a

x

xy9x6 2

3.3 Vermenigvuldigingen en delingen met breuken.

Eindterm 2302_3

2

1 *

5

3 = ? De vraag die hier gesteld wordt, is “Wat is de helft van

5

3?”

24

Omdat 5

3 gelijk is aan

10

6, is het antwoord “De helft van

5

3 is

10

3”

Dus 2

1 *

5

3 =

2

1 *

10

6=

10

3

78) Opgave

Verklaar waarom 3

1 *

9

5 =

27

5

Verklaar nu ook 3

2 *

9

5 =

27

10. Bedenk dat

3

2= 2 *

3

1

Kun je nu ook verklaren b

a *

d

c =

bd

ac?

In de vorige opgave heb je een verklaring gegeven voor de algemene regel voor vermenigvuldigen van breuken:

b

a *

d

c =

bd

ac (“teller * teller” en “noemer * noemer”)

Als we breuken vermenigvuldigen, kunnen we vaak de opgave vereenvoudigen door “schuin weg te strepen”.

Voorbeeld 35

12 *

21

10 =

7

4 *

7

2 =

49

8

79) Opgave

Leg uit hoe de berekening in het voorbeeld is verlopen en verklaar waarom dat zo mag.

80) Opgave

Bereken, vereenvoudig zo mogelijk je antwoord:

5

4 *

8

3

24

3 *

6

5

6

51 *

4

3

8

33 *

9

44

81) Opgave

Bereken, vereenvoudig zo mogelijk je antwoord:

b2

a *

b

a3

bd

ca2

* 2cd

ab

mn4

xyz3 3

* 22

3

yn

xm2

25

b2

)c4a( 2 *

b

)c4a(

Een bekende regel is “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk”.

Een voorbeeld: 3

2 :

5

4 =

3

2 *

4

5 =

12

10 =

6

5

Om dit te kunnen verklaren, moet je je goed realiseren wat delen betekent. We beginnen met een eenvoudig voorbeeld. Waarom is 35 : 5 = 7? Omdat 7 * 5 = 35 zal ongetwijfeld je antwoord zijn. Je kunt ook zeggen: 35 : 5 = 7 omdat 5 zeven maal in 35 past. Nu een eenvoudig voorbeeld met een breuk:

1 : 3

1 = ? De vraag is hoeveel keer een derde in een hele past, dat gaat drie keer.

Dus 1 : 3

1 = 3

82) Opgave

Verklaar waarom

1 : 7

1 = 7

10 : 7

1 = 70

3 : 4

1 = 12

2

12 :

4

1 = 10

In 1d ben je een stapje verder gegaan. Het deeltal is nu ook een breuk. Daar kijken we nog wat beter naar.

1 : 3

1 = 3 want in één hele passen drie derden.

Nu 2

1:

3

1 = ?

We hebben gezien: in één hele passen drie derden.

In één halve passen dus2

11 derden.

Dus 2

1:

3

1 =

2

1 * 3 =

2

3 =

2

11

Nu delingen waarin de deler (het tweede getal) geen stambreuk is (een stambreuk is een breuk met teller 1):

Voorbeeld: 1 : 4

3

We weten al 1 : 4

1= 4.

26

In 1 : 4

3 delen we door een drie maal zo groot getal, het antwoord wordt dus drie maal zo klein.

Dus 1 : 4

3 =

3

4 =

3

11

Nog een voorbeeld: 5 : 4

3 en

5

3 :

4

3

We weten 1 : 4

3 = 1 *

3

4 =

3

4

5 : 4

3 is vijf maal zo groot, dus 5 :

4

3 = 5 *

3

4 =

3

20 =

3

26

5

3 :

4

3 is

5

3 maal zo groot, dus

5

3 :

4

3 =

5

3 *

3

4 =

5

4

83) Opgave

Bereken en verklaar

1 : 5

1

3 : 5

1

2

1 :

5

1

3

1 :

5

1

4

3 :

5

4

84) Opgave

Bereken:

14

3 :

5

4

7

6 :

14

3

5

41 :

5

4

6

54 :

12

52

85) Opgave

cd

ab2 :

bc4

ad

z5

yx6 2

: yz10

xz3

27

x4

ac3ab2 :

x3

axy5

5

43

mp5

nm4 :

np

mn2 2

28

Hoofdstuk 4

Bewerkingen met machten

Eindterm 2.3.03

4.1 Vermenigvuldigen als herhaald optellen

Als je heel vaak dezelfde getallen bij elkaar moet optellen, is dat veel schrijfwerk:

3 + 3 =

3 + 3 + 3 =

3 + 3 + 3 + 3 =

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = enz.

Zo is men op het idee gekomen, dat af te korten tot:

2 x 3 =

3 x 3 =

4 x 3 =

5 x 3 = enz.

En het bijzonder werd afgesproken, dat: "1 x 3 = 3"

Definitie 1

Vermenigvuldigen met een natuurlijk getal is herhaald optellen.

In formule:

Voor n en 2n geldt:

keer

.....

n

aaaaan

en bovendien:

1xa=a; 0xa=0; -1xa=1x-a=0. Opmerking

Het is nodig om apart af te spreken, dat aa 1 , want nu is er geen sprake van "herhaald optellen", er wordt überhaupt

niet opgeteld!

4.2 Machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen.

Eindterm 2303_1

Geheel analoog aan de vorige § gaan we nu de herhaalde vermenigvuldiging "afkorten":

3 x 3 =

3 x 3 x 3 =

3 x 3 x 3 x 3 =

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = enz.

Notatie:

32 =

29

33 =

34 =

35 = enz.

En apart spreken we weer af, dat: 31 = 3

Algemeen:

Definitie

Machtsverheffen tot een natuurlijk getal is herhaald vermenigvuldigen.

In formule:

Voor n en 2n geldt:

keer

.....

n

n aaaaa

en bovendien:

aa 1

Opmerking

Analoog aan herhaald optellen is het nodig, om aa 1 apart af te spreken, want nu is er geen sprake van "herhaald

vermenigvuldigen".

Definitie

Een getal van de vorm na heet de n - de macht van a .

Hierbij heet a het grondtal en n de exponent.

De woorden "macht" en "grondtal" spreken voor zichzelf:

Als 1a geldt: hoe groter n , hoe groter ("machtiger") het resultaat.

Opmerking

Twee machten komen in het dagelijks leven zóveel voor, dat ze een aparte naam gekregen hebben.

Het zijn de tweede macht en de derde macht, die samenhangen met oppervlakte - resp. inhoudsberekeningen:

Definitie

Kwadrateren is tot de tweede macht verheffen.

Met 2a bereken je dan de oppervlakte van een vierkant met zijde a .

Definitie

Kuberen is tot de derde macht verheffen.

Met 3a bereken je dan de inhoud van een kubus met zijde a .

86) Opgave

Reken de volgende sommen eerst zonder en daarna met je zakrekenmachine of maple uit:

2

4

3

4

4

2

7

4

)5(

)3(

5

3

43

23

23

23

23

32

)2()2(

44

33

33

35

34

x

x

x

30

4.3 Eigenschappen van machten met positieve, gehele exponenten.

Eindterm 2303_1

We leiden enkele rekenregels af, uitsluitend voor het geval dat zowel in de begin - als in de eindsituatie alleen maar

gehele exponenten 1 voorkomen.

(Negatieve en gebroken exponenten bekijken we in één van de volgende paragrafen)

Het vermenigvuldigen van machten:

532 )()( aaaaaaaaaaaaa

Algemeen:

Stelling

Bij vermenigvuldigen van machten van hetzelfde grondtal, moet je de exponenten optellen.

In formule: qpqp aaa

Bewijs: qp

qpqp

qp aaaaaaaaaaaa

keerkeerkeer

.......)...()...(

87) Opgave

Bij welke sommen uit de vorige opgave had je hiervan gebruik kunnen maken?

Als in een wiskundige expressie meer verschillende bewerkingen voorkomen, gelden de volgende zogenaamde

voorrangsregels.

Voorrangsregels bij bewerkingen

Berekeningen tussen haakjes moeten eerst worden uitgevoerd.

Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrang op elkaar.

Optellen en aftrekken hebben geen voorrang op elkaar.

Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.

Machtsverheffen gaat voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Als er geen voorrang is dan rekent men in de volgorde van links naar rechts.

88) Opgave

Bereken eerst zonder rekenmachine en controleer daarna met je rekenmachine of met Maple:

a) 3* b) c) 2 + 10* d) e)

f) * g) * h) i) j) k)

89) Opgave

Welke van de volgende beweringen zijn waar?

24 24 23 52 ( )3 2 4 52 ( )3 22

23 22 23 32 105 104

52( )23

2

( )332

31

a) * = b) * c) d)

e) f) * = g) h) * =

i)

k) werk de haakjes weg: ))(( 2332 baba

Controle van een bewering.

Als je wilt controleren of een bewering waarin variabelen voorkomen waar is, zijn er twee mogelijkheden:

beredeneren;

een 'proef op de som' nemen door een waarde in te vullen voor de variabele(n).

Is bijvoorbeeld de volgende bewering waar voor elk getal a?

* =

Uitwerking:

Door beredeneren:

* betekent (a*a)*(a*a*a) en dit is gelijk aan . De bewering is dus waar.

Door een waarde in te vullen:

Neem a = 3, dan geldt * = * =9*27=243 en = 243. Dit klopt.

Invullen geeft niet altijd zekerheid. Bijvoorbeeld:

We willen controleren of *a waar is voor elke waarde van a. We vullen in a = 2 en het klopt. Dit wil

echter niet zeggen dat de bewering waar is. Immers als je invult a = 3, dan is en 2* .

Toch kan proberen wel wat opleveren. Als je slechts één getal vindt waarvoor de bewering niet klopt weet je

zeker dat de bewering niet waar is.

90) Opgave

Ga na welke van de volgende beweringen waar zijn voor elke waarde van p

a) b) c) d)

e) f) g)

4.4 Het delen van machten. Eindterm 2303_2

2

3

5

aaaaaa

aaaaa

a

a

Algemeen:

Stelling

52 53 56 52 53 55

210

2228

210

2225

23 53 73 23 53 103 22 24 26 22 24 26

( )223

26

a2 a3 a5

a2 a3 a5

a2 a3 32 33 a5 35

a2 2

a2 9 a 6

p3 p4 p7 p3 p4 p12

p12

p3p4

p12

p3p9

p2 p2 p4 p2 p2 2 p2 p2 p3 p5

32

Bij delen van machten van hetzelfde grondtal, moet je de exponenten aftrekken.

In formule:

qp

q

p

aa

a

Bewijs:

qp

qp

q

P

q

p

aaaaaa

aaaa

a

a

keer

keer

keer

.....

.....

91) Opgave

a. Werk in tweetallen en bedenk voor elkaar vijf sommen waarbij je deze formule kan gebruiken. Controleer elkaar.

b. Om te onderzoeken of iemand niet te zwaar of te licht is heeft met de volgende formule “bedacht”: deel het

gewicht van de persoon (in kg) door zijn lengte in het kwadraat (in m). Als de uitkomst tussen 20 en 25 zit is hij

niet te zwaar of te licht; noem dit het vetgehalte.

- Noem de lenge l ,het gewicht w en het vetgehalte v.

- iemand is 1.80 m en 90 kg zwaar. Je medestudent schrijft op: 9

555

9

500

9,0

150

9,02

9,0100

8,1

9022

xx

x; Wat

vind je van deze berekening?

- hoe zou je de formule kunnen herleiden als het gewicht 50 maal de lengte is? Reken v hierboven nu uit met je

formule.

4.5 De macht van een macht.

Eindterm 2303_3

12333343 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Algemeen:

Stelling

Bij de macht van een macht moet je de exponenten vermenigvuldigen.

In formule:

pqqp aa

Bewijs:

pq

pq

q

ppp

qp aaaaaaaaaaaa

keer

keer

keerkeerkeer

.......)..(.....)..()..(

4.6 De macht van een product.

Eindterm 2303_4

333 ))(())()(()( babbbaaaabababab

33

Algemeen:

Stelling

De macht van een product is het product van de machten.

In formule:

ppp baab )(

Bewijs:

pp

ppp

p babbbaaaabababab keerkeerkeer

).....().....()(.....))(()(

92) Opgave

1. Een leerling moet " 3)3( a " uitrekenen en krijgt daaruit 33a . Hoe help je deze leerling zonder voor te zeggen?

Bedenk een hint.

2. Welke eigenschap gebruik je als je de stap maakt: (ab)(ab)(ab) = (aaa)(bbb) ?

4.7 De macht van een quotiënt.

Eindterm 2303_2

Stelling

De macht van een quotiënt is het quotiënt van de machten.

In formule:

p

pp

b

a

b

a

93) Opgave

Bewijs dat zelf.

94) Opgave

Schrijf zonder haakjes:

3

2

3

432

3

)3

(

)2

1(

)(

)3(

y

zyx

a

Bereken voor x=2, y=-3, z=3

1

34

:

77

22

23

22

)(3

)3

2(

)5(

zxy

yz

y

x

Een student schijft: ,23:6 22 want ,2:2 22 aa Wat vind je hiervan?

4.8 Vervolg worteltrekken

In paragraaf 1.3 zagen we:

a bestaat alleen als a positief of nul is en a is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is

aan a.

“Positief of nul” kun je vervangen door “niet negatief”

Je krijgt dan de volgende definitie:

De wortel uit een niet-negatief getal is het niet-negatieve getal, dat je in het kwadraat moet

verheffen om het oorspronkelijke getal terug te krijgen.

Notatie voor de wortel uit A:

A

De definitie zegt dat je iets moet doen. Je krijgt dan de "definitie-formule":

AA 2

Hierbij zijn dus zowel 0A als 0A .

Opmerking

In bovenstaande definitie staat twee keer "niet-negatief".

De eerste keer is een wiskundige noodzaak: uit een negatief getal kan je geen wortel trekken. Geen enkel

getal levert nl., in het kwadraat verheven, een negatief getal op.

De tweede keer is een afspraak.

De wortel uit 16 zou best 4 of -4 kunnen zijn. Je zou dan echter nooit over "de" wortel uit 16 kunnen

praten, maar slechts over "een" wortel.

Dat is natuurlijk nogal onhandig, en daarom wordt internationaal afgesproken om van de twee mogelijkheden

altijd de niet-negatieve te kiezen.

Opmerking

Die "niet-negativiteit" vind je ook terug in de bekende "abc - formule": a

acbbx

2

42

2,1

Wanneer de wortel zelf al positief of negatief zou kunnen zijn, was het - teken overbodig!

35

95) Opgave

Waarom staat er in de definitie steeds "niet-negatief" in plaats van gewoon "positief"?

Stelling

||2 AA

96) Opgave

Laat zien, dat dit een rechtstreeks gevolg van de definitie van de wortel is.

97) Opgave

Bereken:

a.

2

2

4

2

6

)3(

3

5

b.

4

64

2

81

16

.

a

ba

a

c.

9

45

4

12

16,0

16

1

d.

3

5

32

125

27

x

a

e. Bereken: , , en

f. Bedenk in tweetallen een paar mooie opgaven voor elkaar.

g. Een medestudent zegt: .2 xx Klopt dat? Licht je antwoord toe.

De volgende twee stellingen worden veel gebruikt om wortels uit de noemer van een breuk te verdrijven:

Stelling

A

A

A

1 voor elke niet negatieve waarde van A

Bewijs:

A

A

A

A

A

A

AA

2

11

98) Opgave

Verdrijf de wortel uit de noemer bij:

a).

5

35

3

52

5

3

b).

3

1

2

2

62

2

9 16 9 16 9 16 16 9

36

c). Een leerling schrijft op: 12

22

Hoe komt deze leerling aan het antwoord denk je? Hoe help je?

Eerder zijn de merkwaardige producten behandeld. In de volgende stellingen zullen deze producten worden toegepast bij

het manipuleren met breuken.

Stelling (worteltruc)

BA

BA

BA

2

1 en

BA

BA

BA

2

1

Bewijs:

BA

BA

BABA

BA

BA

BA

BABA

2

)()(

11

99) Opgave

Bewijs nu zelf het geval BA

BA

BA

2

1

Een bijzonder geval van bovenstaande stelling krijgen we, als er twee wortels in de noemer staan:

Stelling (worteltruc)

BA

BA

BA

1 en

BA

BA

BA

1

100) Opgave

Bewijs dat zelf.

101) Opgave

Verdrijf de wortels uit de noemer bij:

a). 132

7

b). 115

74

c). 57

32

d) Bedenk een paar mooie opgaven voor je medestudent.

37

4.9 Hogere machts wortels en hun eigenschappen Het omgekeerde van optellen is aftrekken. Bijvoorbeeld:

100+20=120 en dus 120-20=100.

Het omgekeerde van vermenigvuldigen is delen. Bijvoorbeeld:

6*15=90 en dus 90/15=6.

Het omgekeerde van machtsverheffen is worteltrekken. Bijvoorbeeld:

=25 en dus = 5.

In is de exponent 2. We spreken ook wel van 5 kwadraat. De omkering hiervan is de tweedemachtswortel.

Omdat die het meest voorkomt spreekt men in plaats van over "tweedemachts wortel" kortweg over "wortel".

Nog een voorbeeld:

en dus .

In woorden:

7 tot de macht 2 is gelijk aan 49 en dus is de tweedemachtswortel van 49 gelijk aan 7.

Je kunt dit ook zo zeggen:

7 kwadraat is 49 en dus is de wortel van 49 gelijk aan 7.

Analoog aan de wortel definiëren we nu de n -de machts wortel:

Definitie

Voor n en 1n spreken we af:

Als n even is:

De n -de machts wortel uit een niet-negatief getal is het niet-negatieve getal dat je tot de n -de macht moet

verheffen om het oorspronkelijke getal weer terug te krijgen.

Als n oneven is krijgen we eenvoudig:

De n -de machts wortel uit een getal is het getal dat je tot de n -de macht moet verheffen om het oorspronkelijke

getal weer terug te krijgen.

Notatie:

n A

De definitie zegt dat je iets moet doen. Je krijgt dan de "definitie-formule":

AA nn

102) Opgave

Leg duidelijk uit, waarom er onderscheid gemaakt wordt tussen:

n even

n oneven

Opmerking

Eigenlijk heet de "gewone" wortel dus "tweedemachts wortel".

Deze zou dus met 2 genoteerd moeten worden.

Hij komt echter zó vaak voor, dat we die "2" in de praktijk altijd weglaten en domweg schrijven.

103) Opgave

Wat is de betekenis van n A als n =1 ?

104) Opgave

5225

52

72 49 49 7

38

Waarom staat in de definitie van n A niet domweg n ?

Stelling

De n -de machts wortel uit een product is het product van de n -de machts wortels.

In formule:

nnn BAAB

Bewijs:

nnn BAAB?

(1)

Verhef links en rechts tot de n -de macht.

nnn

nn BAAB

?

(2)

De linkerkant is nu triviaal (gebruik de definitieformule).

nnn BAAB

?

(3)

Voor de rechterkant gebruiken we een stelling uit § 4.4.

nn

nn BAAB

?

(4)

Nu is ook de rechterkant triviaal (m.b.v. de definitieformule).

ABAB?

(5)

En nu is het antwoord uiteraard bevestigend.

Aangezien de vragen (1) t/m (5) equivalent zijn, is dus ook het antwoord op de eerste vraag bevestigend, en daarmee is de

stelling bewezen.

105) Opgave

Welke stelling uit § 4.4 wordt bij de stap van (3) naar (4) gebruikt?

Analoog geldt:

Stelling

De n -de machts wortel uit een quotiënt is het quotiënt van de n -de machts wortels.

In formule:

n

n

n

B

A

B

A

106) Opgave

Bewijs dat zelf.

107) Opgave

Laat door middel van een tegenvoorbeeld zien, dat niet geldt:

De n -de machts wortel uit een som (of verschil) is de som (of het verschil) van de n -de machts wortels.

108) Opgave Bereken:

39

a.

53 28

33:279

327

22

pxp

x

x

b.

5 1510

3

4

3

.

64

16

27

xa

c.

33 6

3

44 23

2

)125(

8

33

)3(

)3(

r

rd

x

d. Bedenk een paar mooie sommen voor elkaar.

4.10 Machten met negatieve en/of gebroken exponent

In het voorgaande hebben we de betekenis van na leren kennen voor n en 1n .

Die betekenis was: herhaalde vermenigvuldiging.

Ook hebben we een aantal rekenregels afgeleid.

In de komende § zullen we het machtsbegrip uitbreiden op een zódanige manier, dat de rekenregeltjes ook geldig blijven

voor het gegeneraliseerde machtsbegrip.

Bekijk eens het voorbeeld: 3

3

a

a

We weten: 13

3

aaa

aaa

a

a

Volgens het rekenregeltje:

"Bij delen van machten met hetzelfde grondtal moet je de exponenten aftrekken"

zouden we krijgen:

033

3

3

aaa

a

We definiëren daarom:

Definitie:

10 a voor iedere a R (mits 0a )

Nu we dit hebben, kunnen we ook negatieve exponenten definiëren:

Bekijk eens de vorm: na

1

Volgens de definitie van 0a en het bovengenoemde rekenregeltje zouden we krijgen:

nn

nnaa

a

a

a

001


40

Definitie

n

n

aa

1

voor iedere a R en n (mits 0a )

Opmerking

Hiermee is nu de betekenis van na vastgelegd voor iedere n Z

109) Opgave

a.

4

3

2

2

64

)27(

81

4

b.

4

2

0

0

)3(

)4

1(

)3(

5

p

yx

Vervolgens proberen we ook de n - de machts wortel uit a als macht te schrijven:

??aan

Verhef tot de n - de macht:

nnn aa ??

De linkerkant is triviaal (definitieformule)

naa ??

We eerder gedefinieerd: aa 1

Dus:

naa ??1

Volgens het rekenregeltje:

"Bij de macht van een macht moet je de exponenten vermenigvuldigen"

zouden we krijgen:

naa ??1

Conclusie:

n

1??


Definitie

nn aa

1

voor elke a R

en n \ {0}

41

110) Opgave

In de definitie van na

staat: voor iedere a R en n (mits 0a )

In de definitie van na

1

staat echter: voor elke a R

en n \ {0}

111) Opgave

Geef nu zelf een zinvolle betekenis aan: n

m

a

(Twee manieren!)

Opmerking

Hiermee is de betekenis van na vastgelegd voor iedere n Q (mits a R

)

Een probleem is nu nog, wat de betekenis zou moeten zijn van iets als 2a .

Je rekenmachine heeft daar geen problemen mee, want die kent alleen maar rationale getallen.

Intern wordt 2 afgerond tot 1.414213562, en de betekenis van 414213562.1a kennen we ondertussen.

112) Opgave

Bereken en controleer de antwoorden met je ZRM of Maple:

a) b) 81

1

2

c) d)

Vereenvoudig zo veel mogelijk:

2

6

1

3

84

1

)2(

)4(

)(

yx

a

))((

)25(3

)32(2

qpqp

2

6

1

3

84

1

)16(

)4(

)(

y

a

Tot nu toe hebben we alleen wortels bekeken waarvan de uitkomst een geheel getal is. Vaak hebben wortels

geen gehele uitkomst. Je kunt dan de waarde van de wortel schatten.

Bijvoorbeeld:

Hoe groot is ongeveer ofwel ?

Schatting: en . Dus ligt tussen 5 en 6.

Nog een voorbeeld:

Hoe groot is ongeveer ?

Schatting: en . Dus ligt tussen 4 en 5.

113) Opgave

Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt elk van de volgende wortels?

27

1

381

1

41000000

1

6

27

1

227

52 25 62 36 27

90

1

3

43 64 53 125 90

1

3

42

a) b) c) d)

In het voorgaande hebben we gezien dat wortels zijn op te vatten als machten met gebroken exponenten. De

voorrangsregels zijn uit te breiden met regels voor worteltrekken. We krijgen dan:

Berekeningen tussen haakjes moeten eerst worden uitgevoerd.

Vermenigvuldigen en delen hebben geen voorrang op elkaar.

Optellen en aftrekken hebben geen voorrang op elkaar.

Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.

Machtsverheffen gaat voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Machtsverheffen en worteltrekken hebben geen voorrang op elkaar.

Worteltrekken gaat voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Als er geen voorrang is dan rekent men in de volgorde van links naar rechts.

80

1

4120 1000

1

212

1

3

43

Basisvaardigheden Algebra

Uitwerkingen

Hoofdstuk 1

Rekenen met letters

1.1. Formules

1)

Oppervlakte = 212

136 bl

2) De oppervlakte van een rechthoek is afhankelijk van de lengt en de breedte van de rechthoek.

Je kan een willekeurige l en b nemen daarmee kan je de oppervlaktes van uitrekenen.

3)

blO

bbO

bO

2

2 2

De lengte was 2 maal zo groot als de breedte, dus bl 2

4)

Omtrek = bl 22

Omtrek = bbll b

l

5)

3b

b b

3b

bbbbbOmtrek 833

6)

44

bOmtrekl

bOmtrekl

blOmtrek

bbllOmtrk

2

1

22

22

7) bb

2

2

1

)2

1(

2

1

2

1

bbpeOppervlakt

bbpeOppervlakt

bleOppervlakt

bpl

bomtrekl

pOmtrek

8)

3

129

9

139

3

11

9

17

3

1132

322

3

22

2

132

2

1

3

22

9

17

2

1432

2

1432

2

2

2

2

p

p

p

p

bbpO

b

b

b

bb

blO

OF

𝑙 = 4,5 ∙ 𝑏 Oppervlakte = 32 = l∙b Omtrek = ?

32 = 𝑙 ∙ 𝑏 = 4,5𝑏 ∙ 𝑏 = 4,5𝑏2 → 𝑏2 =32

4,5→ 𝑏 = √

32

4,5→ 𝑏 = √

64

9→ 𝑏 =

√64

√9→ 𝑏 =

8

3

45

𝑜𝑚𝑡𝑟𝑒𝑘 = 2𝑙 + 2𝑏 = 2 ∙ 4,5𝑏 + 2𝑏 = 9𝑏 + 2𝑏 = 11𝑏 = 11 ∙8

3=88

3= 29

1

3

9)

O = l . b en l = 10

Omtrek = 2l + 2b

Omtrek = O

2l + 2b = l . b

20 + 2b = 10b

20 = 8b

2

12b

10)

l

l l l= lengte van de zijde

l

llllOmtrek

lOmtrek

lOmtrek

llOmtrek

OOmtrek

4

4

4

4

2

11) O =35 en p= Omtrek = 33

4

1132

1404

1272

35142

116

)4(

0352

116

352

116

352

116

2

11635

332

135

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

D

D

D

CABD

bb

bb

bb

bb

bb

bbpO

46

b1 = = =

2

12 en b2 = = = 14

l= 2

1 p – b als b1= 2

12 dan l= 14

2

1233

21

als b2 =14 dan l=2

121433

21

1.2. Machten 12)

3200 . 0,956 = 2352,29 en dat is € 2352,30

13)

0,956 0,74 en niet 0,7

14)

1,054 1,216 is wel 1,216

15)

34= 3 .3 .3 .3 =18

23= 2 .2 .2 =8

106= 10 .10 .10 .10 .10 .10 =1000000

53= 5 .5 .5 =125

16)

a) 3 x 23=3 x(2x2x2)= 3x8 = 24

b) 23+25 =(2x2x2) + (2x2x2x2x2) = 8 + 32 = 40

c) 2+10x23 = 2+10x(2x2x2) = 2+10x8 = 2+80= 82

d) (3+2)4 = 54 = 5x5x5x5 = 625

e) 52(32+23) = 5x5(3x3+2x2x2) = 25(9+8) = 25x17 = 425

f) = = = 400

g) (23)2 = (2x2x2)2 = (8)2= 8x8= 64

h) (33)2 = (3x3x3)2 = (27)2 = 27x27= 729

17)

a) 52x53 = (5x5)x(5x5x5) = 55 ( niet waar)

b) 52x53 = (5x5)x(5x5x5) = 55 (waar)

c) = = 28 (waar)

d) = = 28 (niet waar)

e) 23 + 53 = 73

(2x2x2) + (5x5x5) = 8+125 = 133 en 7x7x7 = 343 (niet waar)

f) 23 + 53 = 103

(2x2x2) ∙ (5x5x5) = 8 ∙ 125 =1000 en 10x10x10= 1000 (waar)

g) 22 + 24 = 26

(2x2) + (2x2x2x2) = 4 +16 = 20 en 2x2x2x2x2x2 = 64 (niet waar)

h) 22 x 24 = 26

(2x2) x (2x2x2x2) = 26 (waar)

i) (22)3 = 26

(22)3 = (2x2)3 = 43 = 4x4x4 = 64 en 2x2x2x2x2x2 = 64 (waar)

18)

a) 12 5 3

47

b) 8a9b9c5

c) 3 4 6

d) (9 4 6)x(2 2 2) = 18 6 8

e) = -

f) 4 2 4 – 2 4 = 3 2 4

g) = 4

h) (4 2 4)x( 2 4) = 4 4 8

i) 4 2 4+ 2 4 = 5 2 4

j) 4 2 4 – 4 - 2 4

1.3 Worteltrekken

19)

20) 7 en 8

21) 7,8

22) =

Stel a=9 en b=16, invullen geeft

3 + 4 =

7 5 dus

23) als a=0 en/of b=0 dan klopt de uitspraak.

a=9 en b=16, invullen geeft

3 + 4 =

7 5 dus de uitspraak klopt niet.

24) =


3 + 4 =

7 12 dus

25) =


4 - 3=

1 dus

26) =

= dat klopt

27) = = =

28) = = 21

b

a=

b

a

29) 4,89898

2 4,89898

48

30)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

1.4 Delen door nul kan niet

31) = 100 p = dus p = 0,05

Bij p= 0,05 is de breuk precies gelijk aan 100

Bij p< 0,05 is de breuk groter dan 100

= 1 000 000 p = dus p = 0,000005

Bij

200000

1

5 is precies gelijk aan 1000000

Hoofdstuk 2

Toepassen van de distributieve eigenschap

Eindterm 2.3.01

2.1 De distributieve eigenschap.

Eindtermen 2301_1 en 2301_2

32) Bijvoorbeeld

Nieuwe deel

Oude deel

1e manier: oude deel = 5x2

nieuwe deel = 2x4

dus totaal: 5x4 + 2x4 = 28

2emanier: na uitbreiding zitten er nog steeds 4 woningen naast elkaar, er zijn nog steeds 5+2 verdiepingen,

totaal dus 4x(5+2) = 28

33)

a)

N N N N

N N N N

O O O O

O O O O

O O O O

O O O O

O O O O

49

b)

c)

d)

34) 2 35)

• 3

• •

•

36) a) 10 x 520 = 5200 en 1 x 520 = 520 dus 5200 + 520= 5720 b) 10 x 25 = 250 en 2 x 25 = 50 dus 250 + 50 = 300 c) 20 x 35 = 700 en 1 x 35 = 35 dus 700 – 35 = 665 d) 100 x 15 = 1500 en 2 x 15 = 30 dus 1500 – 30 = 1470

2.2 Uitbreiding van de distributieve eigenschap.

Eindtermen 2301_1 en 2301_2 37) w v

a b c 38)

• (a 4)(b+6) = ab + 6a – 4b 24

• (a 3)(b 6) = ab – 6a 3b +18

• (a+6)(b 5) = ab – 5a + 6b 30

• (a+ 39)

• • • •

40)

• • • •

41) 3 x 8 x 5 = 120 3 x 5 x 8 = 120 8 x 5 x 3 = 120

wa wb wc

va vb vc

50

42)

43)

2426924142127

)127)(2()1234)(2()4)(3)(2(

23223

22

xxxxxxxx

xxxxxxxxxx

44)

242692481863

)3)(86()3)(824()3)(4)(2(

23223

22

xxxxxxxx

xxxxxxxxxx

45)

• 60174601255

)5)(12()5)(1234()5)(4)(3(

23223

22

xxxxxxxx

xxxxxxxxxx

• 652

6233)3)(2()3)(22()3)(2)(1(

23

22322

xxx

xxxxxxxxxxxxxxx

• (a + 5)(a – 6)(a + 1)=(a2 – 6a +5a – 30)(a + 1)=(a2 – a – 30)(a + 1)=(a3 + a2 – a2 –a – 30a – 30= a3 –31a –30

• (a – 2)(a + 3)(a – 5)= (a2 + 3a –2a –6)(a -5)=(a2 + a –6)(a – 5)=a3 – 5a2 + a2 – 5a –6a + 30= a3 – 4a2 – 11a + 30

46) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 –ab –ab + b2 = a2 –2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 –ab +ab –b2 = a2 –b2 47) __ 48)

• • • (5x –6)2 = 9x2 –36x + 36

• (5 –4a)(5 + 4a) = 25 – 16a2

• (a2 + 3)2 = a4 + 6a2 +9

• (a2 –1)(a2 +1) = a4 –1

• ((a –1)(a +1))2 = (a2 –1)2 = a4 –2a2 +1

• (2ab –3)2 = 4a2 –12ab +9

• (ab +1)(ab –1) = a2b2 –1

• ( = a –b

• (2p –10q)2 = 4p2 –40pq + 100q2

• (-2x +3)2 = 4x2 –12x +9

• (-ab –a2) = a2b2 + 2a2b + a2 49)

• (3 − √2)(3 + √2) = 9 + 3√2 − 3√2 − 2 = 7

• 40 (op soortgelijke manier als hierboven)

• (100 – 1)2 =10000 – 100 – 100 +1 = 9801

51

• (50 + 3)2 = 2500 + 150 + 150 + 9= 2809

2.3 Het ontbinden van tweetermen.

Eindtermen 2301_3 50)

a. p(x + )

b. c. d.

51)

a. 56 = 2 x 28 = 2 x 2 x 14 = 2 x 2 x 2 x 7 = 23 x 7 b. 144 = 2 x 72 = 2 x 2 x 36 = 2 x 2 x 2 x 18 = 2 x 2 x 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 24 x 32 c. 162 = 2 x 8 = 2 x 3 x 27 = 2 x 3 x 3 x 9 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2 x 34 d. 98 = 2 x 72 = 2 x 7 x 7 = 2 x 72

52) 53)

• • • • • •

54) __

2.4 Het ontbinden van drietermen.

Eindterm 2301_3

55) Je hebt een rechthoek met lengte = (p + q) en breedte = (a + b) a

b

p q Stel je wilt de oppervlakte berekenen O = breedte x lengte O = (a + b)(p + q) Je kan ook eerst de oppervlakte van rechthoek met lengte = p en breedte= a berekenen. O1 = a . p

En de oppervlakte van rechthoek met lengte = q en breedte = a berekenen. O2 = a . p

als je zo doorgaat krijg je

52

a O3 = b . p b O4 = b . q

p q Al die oppervlaktes bij elkaar opgeteld is de oppervlakte (a + b)(p + q) dus O1 + O2 + O3 + O4 =(a + b)(p + q) en dus ap + aq + bp + bq = (a + b)(p + q)

QED 56) Bijvoorbeeld a b b 3

57)

➢ (a + 3)(b –1)

• ( ➢ (a –3)(b –7)

58) Er moet gelden:

vb. (opgave 57)

in dit geval: Behalve dat moet ook gelden:

vb. in dit geval: 7 x -5 = -35

➢ ab + 6b –5a –30

deze vergelijking is wel te ontbinden omdat ab = b . a 6 x -5 = -30 ,dus dan wordt het (a +6)(b –5) ➢ ab + 6b –4a –18

deze vergelijking is niet te ontbinden omdat ab b . a 6 x -4 -18. ➢ ab –6b + 4b + 24

deze vergelijking is niet te ontbinden omdat ab b . a 6 x -4 24. ➢ ab –6b – 4b + 24

➢ deze vergelijking is wel te ontbinden omdat ab = b . a -6 x -4 = 24 ,dus dan wordt het (a --6)(b –4) Bedenk wel: positief getal x positief getal = positief getal positief getal x negatief getal = negatief getal negatief getal x negatief getal = positief getal

59) __ 60)

• 82 xx

• 83 xx

• (x – 12)(x + 3)

• (x +10)(x – 6)

• 102 xx

• (x – 4)(x + 12)

• (x + 1)(x – 2)

61) __

O1 O2

O3 O4

ab 2b

3a

2 x 3 = 6

53

2.5 Ontbinden met behulp van merkwaardige producten.

Eindterm 2301_3

62) 63)

• • • • •

64)

• • • •

2.6 Ontbinden in meer dan 2 factoren.

Eindterm 2301_3 65) Nee, want 4 is een veelvoud van 2, en 6 is een veelvoud van 3 en 2. 66) Zo nee, is het getal deelbaar door 11? Zo ja, wat is de uitkomst? 67)

• 98 = 2 x 72

• 144 = 24 x 32

• 625 = 54

• 2662 = 2 x 113 68)

a. b. 3a2+24a + 36 = 3(a2+ 8a +12) = 3(a+6)(a+2)

c. d. –a3 –a2 +30a= -a(a2+a –30)= -a(a –5)(a +6)

e. -5 f. a2b + 2ab2 + b3=b(a2+ 2ab +b2) = b(a +b)(a + b) g. 2a4 + 4a2 –6 = 2(a4 + 2a2 –3) = 2(a2 –1)(a2 + 3)

69)__

Hoofdstuk 3

54

Bewerkingen met breuken

Eindterm 2.3.02

.

3.1 Gelijknamig maken van breuken en optellen van breuken.

Eindterm 2302_1 70) met verhoudingstabel bijv. x3

x3

= 71)

➢

➢

➢

➢ 72)

➢

➢

➢

➢

➢

➢ 73)__ 74)

➢

3 9

5 15

55

➢

➢

➢ 75)

➢ ab

ab

ab

a

ab

b

ba

323232

➢

➢

➢

➢

2)(

)4(2

ba

bab

3.2 Vereenvoudigen van breuken.

Eindterm 2302_2 76)

➢

➢

➢

➢

77)

➢

➢ ➢

➢

➢ -4

5∙ (a + 2b)2

➢

➢

➢ )32(3)32(3

yxx

yxx

56

3.3 Vermenigvuldigingen en delingen met breuken.

Eindterm 2302_3 78)

de derde van is

twee keer de derde van is

79)

de verhouding van de uitkomst blijft hetzelfde 80)

➢ of 4∙3

5∙8=

12

40=

3

10

➢ of tellers en noemers met elkaar vermenigvuldigen zoals de tweede manier bij de vorige opdracht. 81)

➢

➢

➢

➢

82)

• een zevende past zeven keer in een hele

• een zevende past zeventig keer in tien helen

• een kwart past twaalf keer in drie helen

• een kwart past tien keer in twee helen en een half

83)

• een vijfde past vijf keer in een hele 5

• een vijfde past vijftien keer in drie helen 15

• Een vijfde past vijf keer in een hele. Dus 2 ½ keer in een halve 2,5

• Een vijfde past vijf keer in een hele. Dus 5/3 in één derde 5/3

• 3

44

5

=3

4∙14

5

=3

4∙5

4=

15

16

84)

➢

➢

➢

57

➢ 85)

➢

➢

➢

➢

Hoofdstuk 4

Bewerkingen met machten

Eindterm 2.3.03

4.1 Vermenigvuldigen als herhaald optellen

Definitie 1: vermenigvuldigen met een natuurlijk getal is herhaald optellen

Definitie 2: machtsverheffen tot een natuurlijk getal is herhaald vermenigvuldigen

Definitie 3: kwadrateren is tot de tweede macht verheffen. Met a2 bereken je dan de oppervlakte van een

vierkant met zijde a

Definitie 4: kuberen is tot de derde macht verheffen. Met a3 bereken je dan de inhoude van een kubus met zijde

a

4.2 Machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen.

Eindterm 2303_1

86)

• 32 = 3 x 3 = 9

• 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

• (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81

• (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

• -44 = -256 ( je moet eerst machtsverheffen, dan pas vermenigvuldigen. Dus 44 = 256 en dan nog het

antwoord 256 met min( -1 ) vermenigvuldigen)

• -72 = -49

• 42 + 33 = (4 x 4) + (3 x 3 x 3) = 16 + 27 = 43

• 53 – 32 = (5 x 5 x 5) – (3 x 3) = 125 – 9 = 116

• 33 + 32 = (3 x 3 x 3) + (3 x 3) = 27 + 9

• 33 x 32 = 33+2 = 35 = 243 ( zie de stelling van paragraaf 4.3)

• 43 x 42 = 43+2 = 45 = 1024

• (-2)3 x (-2)4 = (-2)3+4 = (-2)7 = -128 of als je het zo doet ((-2) x (-2) x (-2)) x ((-2) x (-2) x (-2) x (-2)) = -

8 x 16 = -128

Tip: een negatief getal die je tot een even natuurlijke getal verheft in de macht levert altijd een positief getal op.

En als je een negatief getal tot een oneven natuurlijke getal verheft in de macht levert altijd een negatief getal

58

op.

4.3 Eigenschappen van machten met positieve, gehele exponenten.

Eindterm 2303_1

87) Bij alle sommen, want daar komen de zogenaamde voorrangsregels voor.

88)

a) 3 x 24 = 3 x (2 x 2 x 2 x 2) = 3 x 16 = 48

b) 24 + 23 = (2 x 2 x 2 x 2) + (2 x 2 x 2) = 16 + 8 = 24

c) 2 + 10 x 52 = (5 x 5) x 10 + 2 = (25 x 10) + 2 = 252

d) (3 + 2)4 = (5)4 = 625

e) 52 x (3 + 22) = 52 x (3 + (2 x 2)) = 52 x (3 + 4) = 52 x 7 = 25 x 7 = 175

f) 23 x 22 = 23+2 = 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

g) 23 x 32 = (2 x 2 x 2) x (3 x 3) = 8 x 9 = 72

h) 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000

i) = = = 400

j) (23)2 = (2 x 2 x 2)2 = 82 = 8 x 8 = 64 of (23)2 = 23x2 =26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

k) (33)2 = 33x2 = 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =729 89) De beweringen die waar zijn, zijn b), c), f),h) en i)

k) 90) De volgende beweringen zijn waar: a), d) en f)

4.4 Het delen van machten. Eindterm 2303_2 91) a)

➢ =

➢

➢

➢

➢ b) als je goed naar de berekening kijkt, dan zie je dat je medestudent de haakjes is vergeten, in plaats van 2 x 0,92 moest hij

eigenlijk (2 x 0,9)2opschrijven, want 1,82 2 x 0,92 maar wel 1,82 2 x 0,9)2 en natuurlijk de rest van de berekening is fout.

59

4.5 De macht van een macht.

Eindterm 2303_3

4.6 De macht van een product.

Eindterm 2303_4 92)

1. De leerling help je door hem eerst de voorrangsregels uit te leggen en later hoe je producten uitvoert met letters door een aantal voorbeelden te geven of door: (3)3= 3∙3∙3=27 (3a)3=?

2. Sorteren en uitvermenigvuldigen door het t.o.v. ontbinden in factoren te doen.

4.7 De macht van een quotiënt.

Eindterm 2303_2

93)

(a/b)p =

94)

➢

➢

➢

➢ 66

33

2

2733

yyy

Bereken voor ,2x 3y en 3

1z

➢ 400162522525))5(( 4422 xx

➢

2

3

3

2y 324729

9

4

9

4

9

4

3

2 6623

2

yyy

➢

➢

Ik vind wat zij/hij opschrijft niet goed want hier moet het grondtal hetzelfde zijn en dat is dus niet gelijk aan 2. En

en dit klopt, dus ze vergelijkt iets fout met iets goed.

60

4.8 Vervolg worteltrekken 95) omdat “positief” betekent alles groter dan nul, en “niet-negatief” betekent alles groter of gelijk aan nul. 96)

bestaat alleen als a positief of nul is, en is het positieve getal waar van het kwadraat gelijk is aan a De wortel uit een niet- negatief getal is het niet – negatieve getal, dat je het kwadraat moet verheffen om het oorspronkelijke getal terug te krijgen.

Hieruit kun je het halen: = 97)

a)

• = of =(52)1/2 = 52x1/2 =51 =5

• =9

• =3

• = (-62)1/2=-6 b)

•

• = a2 x b2

• = 4

• c)

• = 0,25

•

•

• d)

•

•

•

• e)

•

•

•

• f) __

g) , dat klopt niet. Stel je voor en is het

61

98) a)

•

•

• b)

•

•

•

c) Aan dit antwoord komt hij volgens mij door verkeerd uit te vermenigvuldigen bij het toepassen van de worteltruc. Ik zou hem helpen door hem stapsgewijs door het proces te begeleiden en zijn vaardigheden vergroten door veel met wortels te werken en veel te rekenen.

99)

Bewijs dat:

Bewijs:

100)

Bewijs dat:

Bewijs:

Bewijs dat:

Bewijs: : 101)

a)

b)14

777511420

1111511525

777511420

115

115

115

74

115

74

62

c)

d) en

4.9 Hogere machtswortels en hun eigenschappen 102)

De onderscheid wordt gemaakt om duidelijkheid te krijgen over een niet-negatief getal (dit is bij even) en getal ( dit is

bij oneven) 103)

als ?

Dus welke getal moet je tot de macht 1 verheffen om A te krijgen, dit is de vraag die je jezelf moet stellen. dus

104)

Omdat bij sommige mensen bij nul begint en hier wordt expliciet gezegd dat moet zijn 105) Volgens mij wordt de stelling in paragraaf 4.5 gebruikt en niet die van paragraaf 4.4 106)

? (1)

Verhef links en rechts tot de -de macht

? (2) De linkerkant is nu triviaal (gebruik de definitieformule)

? (3) Voor de rechterkant gebruiken we een stelling uit paragraaf 4.7 (de macht van een quotiënt)

? (4) Nu is rechts ook triviaal (m.b.v. definitieformule)

? (5) En nu is het antwoord bevestigend Aangezien de vragen (1) t/m (5) equivalent zijn, is dus het antwoord op de eerste vraag bevestigend, en daarmee is de stelling bewezen.

63

107)

? (1)

? (2) Dit kan niet zo door gaan tot om (1) te krijgen, want je krijgt dubbele producten en dat is niet zo bij (1)

Tegenvoorbeeld:

108) a)

b) 216

327

4

3

(welk getal moet je tot de macht 3

verheffen om 27 te krijgen)

4643

325

115

5

110

5

1

15105 1510 )( xaxaxaxa

c) 2344 23

122

122

1

2

3)3(

3)3()3())3(()3(

rdrd

xxxxx

2

3

8

27)(3

3

3

8

2738

2738

3 31

633 6 125)125( rr

d) 5107373 18181836 xxxxxx

42564

236

112

6

118

6

1

12186 1218 )( xyxyxyxy

4.10 Machten met negatieve en/of gebroken exponent

109)

a)16

1

4

14

2

2

6561

1

)81(

181

2

2

19683

1

)27(

1)27(

3

3

42

1

885353 16)(16161628

933

339

33

399

33

279

981327327

242222

ppppppp

64

16777216

1

64

164

4

4

b) 150 (Alles tot de macht 0 is 1, behalve 00 )

1)3( 0 yx

161

)(

1)(

1612

41

2

41

(delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde)

2244

4

81

1

3

1

)3(

1)3(

pppp

Opgave 110:

Hier wordt duidelijk nadruk gelegd op dat je niet kan delen door nul, want bij definitie 1 kan a geen nul zijn,

omdat n

n

aa

1 en bij definitie 2 kan a geen nul zijn, want na

1

, dus daarom

n is geen nul dus n met 0n )

Opgave 111:

n

m

a voor ieder a element van en n element van

n

m

a voor ieder n

m uit … met n is niet nul en a is niet nul

Opgave 112:

32727 3)

3

1(

9818181 2)(2

1

38181 4)(4

1

1010000001000000 6)(6

1

2

288 1)( 4

84

14

1

aaaaa

24444)4( 2

1

6

3

6

13

6

1

3

yxyxyxyxyxyx 44422)2( 2

62)32(2

615)25(3

qpqpqpqpqp

12

2

1

22

1

2 )()())(()(

288 48

41

41

)( aaaa

65

2

1

4

1

4

1444)4(

2

1

2

1

6

3

6

13

6

1

3

yyy

256

1

)16(

1)16(

2

2

Opgave 113: (Lees blz. 46 uit je syllabus) !!!

a) )

4

1(

80 oftewel 4 80

Schatting: 1624 en 8134

Dus het ligt tussen 2 en 3

b) 120 oftewel )

2

1(

120



c) )

2

1(

1000 oftewel 1000

Schatting: 961312 en 1024322

Dus het ligt tussen 31 en 32.

d) )

31(

12 oftewel 3 12



Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 2018 - extranet.mijnhva.nl · De vraag is of je met wortels...

Documents

Transcript of Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 2018 - extranet.mijnhva.nl · De vraag is of je met wortels...