Sterbewegingen in de Melkweg

• Cartesiaans coordinaten stelsel (x,y,z)

• Theoretisch galacto- centrisch stelsel (r,,z)

• Observationeel helio- centrisch coordinaten stelsel (l,b,R)

Coordinatenstelsels voor plaatsbepaling van sterren in Melkweg

Bewegingen van sterren

Om de bewegingen van sterren in de zonsomgeving te beschrijven, onderscheiden we verschillende componenten:• De beweging van het ensemble van sterren in de zonsomgeving die gezamenlijk rond het melkwegcentrum roteren; het coordinatenstelsel dat in deze gemiddelde beweging is verankerd, noemt men de Local Standard of Rest (LSR).

• De beweging van de Zon t.o.v. de LSR.

• De beweging van sterren t.o.v. de LSR.

Coordinatenstelsel voor snelheden

ZZZw

v

u

LSR

LSR

LSR

0

0 is de snelheid waarmee het ensemblevan sterren in de zons-omgeving (LSR) rondhet galactisch centrumroteert.

Snelheidsverdeling lokale sterren

u-, v- en w-componenten van verschillende groepen sterrenin de zonsomgeving. A sterren zijn gemiddeld ~109 jaar,K reuzen ~2x109 jaar en M dwergen ~5x109 jaar oud.

Snelheidsverdeling lokale sterren (II)

• De breedte van de snelheidsverdeling (snelheids dispersie) neemt blijkbaar met de leeftijd toe.• De w verdeling is smaller dan de u en v verdeling.• De v verdeling is scheef (“asymmetrical drift” )• De afwijking van het gemiddelde van de verdeling van de verwachte waarde (0 km/s) bepaalt de snelheid van de zon t.o.v. de LSR: Zon: u = -9 km/s, v = 12 km/s, w = 8 km/s• Daarmee ligt ook de richting van de zonsbeweging vast: l = arctan(v/u) = 530 en b = arctan(w/(u2+v2)1/2) = 290

Zonsbeweging en asymmetrical drift uit Hipparcos gegevens

jonge sterren oude sterren (Dehnen & Binney 1998)

Groepen met een grotere snelheidsdispersie y (ouderesterren) liggen gemiddeld verder “achter” op decirkelvormige baan rond het melkwegcentrum

Asymmetrical driftOudere sterren roteren systematisch langzamer rond het melkwegcentrum dan jonge sterren. Dit heeft te maken met de kinematische evolutie van het Melkwegstelsel.

Sterren worden versneld door ontmoetingen met zware gaswolken inhet melkwegvlak. Uit de theorie vande twee-lichaam botsingen volgt(dynamische relaxatie):

3/1

00

2

11

t

t

dt

d

0 = 10 km/s (jonge sterren)t0 = 200 miljoen jaar

Differentiele galactische rotatie

Radiele snelheid

Tangentielesnelheid

Dynamica van sterrenstelsels• Tot nu toe ruimtelijke verdeling en beweging van afzonderlijke sterren besproken• Nu: intern consistente beschrijving van massa verdeling en beweging van sterren onder invloed van de zwaartekrachtswerking• Melkwegstelsel stationair systeem, d.w.z. leeftijd langer dan doorlooptijd van een ster (ster beweegt onder invloed van de gravitatiepotentiaal van alle andere sterren samen).• Melkwegstelsel niet in statistisch evenwicht (leeftijd korter dan de relaxatietijd), d.w.z. geen Maxwellse snelheidsverdeling• Dynamica van het melkwegstelsel wordt sterk beinvloed door de bewegingstoestand van de gaswolk waaruit het is ontstaan.

M3 ~12 miljard jaar oud ~miljoen sterren

Pleiaden ~10 miljoen jaar oud ~10,000 sterren

M67 ~5 miljard jaar oud

Viriaal theorema

Een sterrenstelsel is een gravitationeel gebonden systeemvan puntmassa’s. Om de bewegingen van de sterren in eensterrenstelsel te kunnen beschrijven, moet men een n-lichaamprobleem oplossen. Dit is in het algemeen niet mogelijk. Welkan men proberen relaties tussen gemiddelde dynamischeeigenschappen van het stelsel te formuleren, bijvoorbeeldtussen de kinetische en potentiele energie.

Een van deze relaties is het viriaal theorema.

Eenvoudig geval: planeet rond Zon

02

2

1 2

Tr

GMv

r

GMm

mvTKinetische energie

Potentiele energie

Baansnelheid

Viriaal theorema

Algemeen geval

i ij ji

ji

ii

rr

mGm

vmT

2

2

1

Beschouw N puntmassa’s met massa mi en positie ri tenopzichte van het zwaartepunt van het systeem.

Punttraagheidsmoment (“viriaal”):

ii

ii rrmI

Tweede tijdsafgeleide viriaal

ii

ii rrmI

ii

ii vrmdt

dI 2

ii

iiii

ii armvvmdt

Id 22

2

2

ii

ii ramT 24

jjii

i ijji

ijiji

iiii

rrrr

rr

rrrmGmram

)( :Schrijf

)(3

(per definitie)

iiii

jjjj

iiii

ram

ramram

2

i ij i ij ij i ij

j jiij

jijij

i ij ij

ji

j jiij

jijij

i ij ij

ji

iiii

rr

rrrmGm

rr

mGm

rr

rrrmGm

rr

mGmram

2

3

3

)( aangezien

)(2

)( :Dan

Viriaal theorema

02

0en 0

24

2

2

2

2

T

dt

Id

dt

dI

Tdt

Id

Stationaire toestand (massaverdeling verandert niet):

Bijzonder geval

Systeem bestaande uit N sterren met gelijke massa m

R

GM

N

vv

TNR

GM

N

vvNmMvMvmT

ii

ii

iii

2

0212

2

1

2

1

2

2

2

2

222

en )(

;

Viriaal massa

G

RMv

R

GM rr

233

2

222

Object R (pc) <v2> (km/s)

M (Mzon)

Open sterrenhoop

5 0.5 103

Bolhoop 10 10 106

Kern melkweg 10 50 108

Melkwegstelsel 104 200 1011

Cluster 106 500 1014

Massa-lichtkracht verhouding

In ons Melkwegstelsel bevindt zich 4-8 x 109 Mo inde vorm van gas (atomair + moleculair) en ongeveer1011 Mo in de vorm van sterren.De lichtkracht van een ster is afhankelijk van zijn massa:

de massa-lichtkracht wet voor hoofdreekssterren.

In de zonsomgeving geldt: 55 sterren per 1000 pc3 die tezamen 38 Lo uitzenden inde V band (75% van hoofdreekssterren) en een totalemassa van 25 Mo vertegenwoordigen.

9.3

00

M

M

L

L

Om de M/L verhouding te bepalen, moet men de massa-en lichtkracht functie van de sterpopulatie met elkaarcombineren. Dan vindt men:M/LV 0.9 voor hoofdreekssterren 0.7 voor alle sterren < 2 inclusief witte dwergen en interstellair gas

LV (Lzon) M/L

Pleiaden 4.5 x 103 ~1

Cen 1.0 x 106 4

Melkweg 1.5 x 1010 > 10

Dynamica van sterrenstelsels (II)

• Tot nu toe: - Galactische coordinaatsystemen - Snelheidsverdeling lokale sterren: zonsbeweging en snelheidsevolutie - Differentiele galactische rotatie constanten van Oort - Viriaal theorema en viriaal massa• Nu: - Beweging in potentiaalveld zwaartekracht - Dynamische relaxatie

Beweging in potentiaalveld

De kracht die een massa m ondervindt ten gevolge vanN andere massa’s kan worden geschreven als functievan de gravitatiepotentiaal (x):

In het geval van een continue verdeling van massa:

xdxx

xxxGxxF

xdxx

xGx

xxxx

Gmx

xmvmdt

d

ii i

i

33

3

))(()()(

)()(

voor )(met

)()(

)(4)(

integraal eoppervlaktaan gelijk is integraal volume

1)(

1)(

)( bolletjeklein buiten 01

)()(

2

2

)(

2

3

)(

2

322

xGx

Sdff

Vdxx

xG

xdxx

xG

xSxdxx

xGx

xx

xS

x

xS

Stelling van Gauss: gegeven een voldoende “vlakke” functie f

Poisson vergelijking

Veronderstel constantbinnen bolletje S

(r) kan men op verschillende manieren representeren:

22

002

0

22

)(),(

)/ln()(4)(

)(

)(

zar

GMzr

rrrGrr

ar

GMr

r

GMr

puntmassa M

Plummer sphere (bolhoop)

dark halo

schijf

Stationair systeem en relaxatie

• Melkwegstelsel stationair systeem, d.w.z. leeftijd langer dan doorlooptijd van een ster (ster beweegt onder invloed van de gravitatiepotentiaal van alle andere sterren samen).

• Melkwegstelsel niet in statistisch evenwicht (leeftijd korter dan de relaxatietijd), d.w.z. geen Maxwellse snelheidsverdeling.

• Dynamica van het melkwegstelsel wordt sterk beinvloed door de bewegingstoestand van de gaswolk waaruit het is ontstaan.

Dynamische relaxatie

• Stationaire toestand (dynamisch evenwicht): Deze toestand wordt bereikt als de deeltjes voldoende tijd hebben gehad om de potentiaal af te tasten. minimaal eens het systeem doorlopen

• Dynamische relaxatie (statistisch evenwicht): Een stersysteem is dynamisch gerelaxeerd als het geaccumuleerde effect van storingen op de aanvakelijke beweging van de ster door ontmoetingen met andere sterren van dezelfde orde van grootte is geworden als de aanvankelijke beweging zelf.

GM

R

v

R

v

Rtdyn

3

2

2 Bolhoop 106 jaar

Melkweg 109 jaar

Galactische potentiaal

De gravitatie potentiaal bestaat uit twee stukken:• Gemiddelde, vlakke potentiaal alle sterren• “Pukkelige”, diepe potentiaal naburige sterren

Sterke, nabije botsingen

Veronderstel: alle sterren hebben massa m en een gemiddelde snelheid v in een willekeurige richting

Sterke botsing als de verandering in potentieleenergie van dezelfde orde is als de initielekinetische energie van de ster:

Zonsomgeving: v 30 km/s m 0.5 Mzon rs 1 AU dus…..

2

22 2

2 v

Gmrr

mv

r

Gms

Hoe vaak sterke botsing?Gemeten over tijdsduur t ontmoet de ster anderesterren binnen straal rs in een volumen (cylinder):

Gegeven n sterren per volume eenheid, vindt er eensterke botsing plaats als:

2srtvV

1

3

2313

22

3

2

2

1010104

4

1

1

pc .km/s jr

n

Mo

mv

nmG

v

rnvt

rnvt

s

s

ss

Zwakke, verre botsingen

Dv

GmdttF

Mv

dt

dvM

tvD

GmMDF

22

0

23222

)(

/

Aantal ontmoetingen tussen ster A en sterren B metbotsingsparameters tussen D en D+dD in een tijd t is:

minmax

22max

min22

22

22

/

)ln(84

2

ontmoetingper en ontmoeting aantal

2

DD

v

tnmGDdD

vD

mGtvn

vv

DdDtnv

D

D

ln8 22

3

22

nmG

vt

vv

R

De tijd die nodig is om de som van de snelheids-verstoringen te doen toenemen tot de aanvangs-snelheid van de ster:

zodat

Dynamische relaxatie

• Ondergrens van de integratie wordt ruwweg bepaald door de gemiddelde afstand tussen de sterren Dmin ~ n -1/3 ~ RN-1/3

• Bovengrens afmeting van het stelsel Dmax ~ R• Verre ontmoetingen zijn het belangrijkst: ze veroorzaken weliswaar kleine v ’s maar ze komen zeer vaak voor. = Dmax / Dmin ~ N1/3

of = R/rs ~ N (par 3.1)• De waarde van is zeer ongevoelig voor de gekozen waarden voor Dmax en Dmin :

Open sterrenhoop N ~ 100 ln ~ 2 Melkwegstelsel 1012 25

12123

2152321

32

22

3

109212

432

8

)ln(pc

jaar )ln(

/en /met

ln

//

///

m

MRN

Gm

RNt

RNnRGMv

nmG

vt

oR

R

• Relaxatietijd neemt toe als de straal van het stelsel toeneemt• Relaxatietijd neemt af als de massa van de sterren in het stelsel toeneemt Zware sterren relaxeren eerder; equipartitie van energie (mv2 gelijk voor alle sterren) wordt het eerst bereikt door zware sterren < v2 > kleiner voor zware sterren, blijven in het vlak of zakken naar het centrum. • Relaxatietijd neemt toe als het aantal sterren in het stelsel toeneemt

Object R (pc) N tR (jaar)

Open sterrenhoop

5 100 108

Bolhoop 10 106 1010

Kern melkweg 10 108 1011

Melkwegstelsel 104 1011 1016