Statistiek II

Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie

Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 4

STATISTIEK II

2

• In wetenschappelijk onderzoek vertrekken we vanuit een onderzoeksvraag waaruit wordt afgeleid wat de populatie is en wat de onderzoekseenheden zijn. Om die vraag te beantwoorden verzamelen we data in de vorm van steekproeven omdat de hele populatie vaak moeilijk te onderzoeken is. Die steekproeven worden volgens bepaalde regels getrokken.

• Om via de verzamelde data de onderzoeksvraag te beantwoorden hebben we kansberekeningen nodig: kansen stellen ons in staat om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon.

• Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele. In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.

• Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.

• Bij hypothesetoetsing gebruiken we de steekproevenverdeling van het gemiddelde als kansverdeling. Ook hier zetten we waarden (gemiddelden!) om naar z-scores. We kunnen dan beslissen of ons geobserveerde gemiddelde uitzonderlijk is of niet. Als het uitzonderlijk is – volgens de verdeling die bij H0 hoort – dan verwerpen we H0.

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

• We zijn nooit helemaal zeker van de juistheid van onze conclusie na hypothesetoetsing: fouten zijn mogelijk, en belangrijk is dat we weten hoe groot de kans is op een fout.

• Bij hypothesetoetsing kan je overschrijdingskansen gebruiken, maar net zo goed kan je de kritieke waarden berekenen die bij de overschrijdingskansen horen.

• Hypotheses kunnen éénzijdig of tweezijdig getoetst worden. Eénzijdig toetsen geeft meer kans op significante resultaten, maar mag enkel toegepast worden als er een duidelijk verantwoorde richting in de hypothese zit.

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

3Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

Toetsen voor één populatie

Z-toets, T-toets, X²-toets

VANDAAG

5

1. ToetsingssituatieBij welk soort onderzoeksvragen gebruik je deze toets?2. VoorwaardenWanneer mag je deze toets wel/niet gebruiken?3. HypothesenHoe zien H0 en H1 eruit wanneer je deze toets gebruikt?4. ToetsingsgrootheidWelke grootheid bereken je en wat is de kansverdeling van die

grootheid?5. BeslissingsregelsWanneer verwerp je H0: via overschrijdingskansen of kritieke waarden?6. EffectgrootteHoe belangrijk is het gevonden effect?7. RapporterenHoe vermeld je op een juiste manier de resultaten?

STRAMIEN TOETSEN


6

1. Toetsingssituatie

Heeft het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is een bepaalde waarde of niet?

Vb. Is de gemiddelde IQ score van de populatie van mensen die een training gevolgd hebben meer dan 100?

2. Voorwaarden

σ is bekend en populatie is normaal verdeeld (ook bij kleine N)

σ is niet bekend en/of populatie is niet normaal verdeeld, maar N ≥ 100

Uitleg: als σ niet bekend is maar N ≥ 100 dan mag je s gebruiken

als populatie niet normaal verdeeld is maar N ≥ 100 dan mag je aannemen dat steekproevenverdeling normaal verdeeld is

Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE


1 2 3 4 5 6 7 8 σ bekend? Ja Ja Ja Nee Nee Ja Nee Nee populatie normaal verdeeld?

Ja Ja Nee ja Nee Nee Ja Nee

n ≥ 100 < 100 ≥ 100 ≥ 100 ≥ 100 < 100 < 100 < 100 Z (σ) Z (σ) Z (σ) Z (s) Z (s) Geen Z Geen Z Geen Z



8

3. Hypothesen

Linkseenzijdig H0: µ ≥ µ0H1: µ < µ0

Rechtseenzijdig H0: µ ≤ µ0H1: µ > µ0

TweezijdigH0: µ = µ0H1: µ ≠ µ0

µ0 = veronderstelde waarde voor populatiegemiddelde µ



4. Toetsingsgrootheid

te vervangen door s indien σ niet gekend is en N ≥ 100

Kansverdeling: Standaardnormale verdeling


9

NX

N

XXz

xx


5. Beslissingsregels

2 mogelijkheden:

a. overschrijdingskansen

b. kritieke waarden

a. H0 verwerpen indien:

Pl (z x) ≤ α? >> linkseenzijdig

Pr (z x) ≤ α? >> rechtseenzijdig

Pd (z x) = 2*Pl (z x) ≤ α? (als X < μ) >> tweezijdig

2*Pr (z x) ≤ α? (als X > μ)



b. H0 verwerpen indien:

z x ≤ -1.64 >> linkseenzijdig

z x ≥ 1.64 >> rechtseenzijdig

z x ≤ -1.96 (als X < μ) >> tweezijdig

≥ 1.96 (als X > μ)

Telkens bij α = .05 ! Bij een andere α veranderen ook de kritieke waarden!!



1. Toetsingssituatie

Heeft het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is een bepaalde waarde of niet?

2. Voorwaarden• σ is niet bekend en populatie is normaal verdeeld en N < 100• N > 30 en populatie is niet normaal verdeeld

T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE

12

1 2 3 4 5 6 7 8 σ bekend? Ja Ja Ja Nee Nee Ja Nee Nee populatie N verdeeld? Ja Ja Nee ja Nee Nee Ja Nee n ≥ 100 < 100 ≥ 100 ≥ 100 ≥ 100 < 100 < 100 < 100 Z (σ) Z (σ) Z (σ) Z (s) Z (s) -Geen Z

-Wel t als 30<n<100 -Geen t als n < 30

-Geen Z -Wel t

-Geen Z -Wel t als 30<n<100 -Geen t als n < 30


13

3. Hypothesen

Linkseenzijdig H0: µ ≥ µ0H1: µ < µ0

Rechtseenzijdig H0: µ ≤ µ0H1: µ > µ0

TweezijdigH0: µ = µ0H1: µ ≠ µ0

µ0 = veronderstelde waarde voor populatiegemiddelde µ




cfr. Z-toets maar s ipv σ

Kansverdeling: Student t-verdeling

Vrijheidsgraden: df = N-1


14

Ns

X

N

sX

tx00


Student t-verdeling

Lijkt sterk op de normale verdeling

- Symmetrisch

- Gemiddelde = 0

- Bij oneindig grote steekproef identiek

Verschillen:

- Iets platter, dikkere staarten

- Bepaald door grootte steekproef

-> Meerdere t-verdelingen: parameter df


15

William Gosset, zichtbaar tevreden met het ontdekken van de t-verdeling


16

Wat zijn vrijheidsgraden?

vrijheidsgraden = df = degrees of freedom= het aantal observaties waarvan de waarden arbitrair kunnen worden bepaald

In deze t-toets: df = N-1

Vb. gemiddelde van 5 getallen is 10 -> hoeveel getallen mag ik dan vrij kiezen?

Als ik 4 getallen arbitrair kies (bv. 5,11,3,8) dan ligt het 5e getal namelijk vast (nl. 23) opdat er een gemiddelde van 10 zou zijn

Dus we hebben 5-1 of 4 vrijheidsgraden



17

Vrijheidsgraden in de t-toets:

Bij een t-toets gebruiken we s als schatter voor σs = een afwijkingsscore:

We weten dat het gemiddelde van afwijkingsscores altijd 0 is.

Dus: als we met n (vb. 5) afwijkingsscores werken en het gemiddelde ligt vast nl. 0, dan kunnen we N-1 (vb. 4) afwijkingsscores vrij kiezen.

Als de steekproefgrootte N is, dan is de t-verdeling voor het gemiddelde

gebaseerd op N-1 vrijheidsgraden


1

)²(²

N

XXs i

1

)²(

N

XXs

i



a. overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien:

Pl (t x) ≤ α? >> linkseenzijdig

Pr (t x) ≤ α? >> rechtseenzijdig

Pd (t x) = 2*Pl (t x) ≤ α? (als X < μ) >> tweezijdig

2*Pr (t x) ≤ α? (als X > μ)



19

Rechtseenzijdig toetsenH0: µ ≤ 100 x = 102.93 sx = 12.36 n = 29H1: µ > 100 t x = 102.93 – 100 √29 = 1.28

12.36

df = 28P r = 0.11t x = 1.28

-> is P r (t x) ≤ α?ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet



Probleem met overschrijdingskansen: Er zijn net zoveel t-verdelingen als er vrijheidsgraden zijn. Dan zouden er oneindig veel tabellen met overschrijdingskansen beschikbaar moeten zijn.

-> toetsen met kritieke waarden



21

b. Toetsen met kritieke waarden

-> t waarde opzoeken die hoort bij significantieniveau α

-> Tabel kritieke waarden van de t-verdeling in bijlage 1

Rechtseenzijdig toetsen

bij α = 0.05 en df = 28 -> rechter kritieke waarde = 1.701

df = 28

P r = 0.05

t = 1.701

-> t x ≥ 1.701 ?

ja: verwerp H0

neen: verwerp H0 niet



Onderzoekshypothese: vaders van grote gezinnen vinden van zichzelf dat ze geen gemiddelde intelligentie hebben. In de populatie is schatting van IQ normaal verdeeld met µ = 100. De onderzoeker laat 29 vaders in grote gezinnen hun IQ schatten.

Resultaat in deze steekproef: X = 102.93 en s = 12.36

1. Hoe zien H0 en H1 eruit?

H0: µ = 100

H1: µ ≠ 100

2. Welke toetsingsgrootheid?

σ is onbekend, populatie is normaal verdeeld, N < 100 -> t-toets



3. t score berekenen

4. Kritieke t waarde opzoeken in tabel

-> df = 29-1 = 28 en α = 0.05 en 2-zijdig

-> 2.048


23

28.12936.12

10093.102

N

s

µXt

xx


24

5. t score vergelijken met kritieke t score

1.28 < 2.048 dus H0 niet verwerpen

-2.048 2.048



25

• Opmerking: SPSS gaat ervan uit dat σ niet gekend is en voert steeds een t-toets uit (dus ook in situaties waar een Z-toets toegelaten is)

• Maar: de overschrijdingskansen bij een t-toets zijn groter dan bij een z-toets (zie ook dikkere staarten in t-verdeling in vergelijking met z-verdeling)

• Gevolg: H0 zal minder snel verworpen worden bij een t-toets in vergelijking met een z-toets:1-β (P om H0 terecht te verwerpen - onderscheidingsvermogen) neemt af

• We krijgen dus minder snel een significant resultaat bij een t-toets in vergelijking met een z-toets. Daarom eventueel manuele Z-toets gebruiken als aan de voorwaarden is voldaan.



26

• Demo SPSS: metalfans en haarlengte

• Hebben metalfans langere haren dan de gemiddelde volwassene?



27

6. Effectgrootte

7. Rapporteren

Om na te gaan of metalfans langere haren hebben dan de algemene bevolking werd een one sample t-test uitgevoerd. Gemiddeld hadden de metalfans uit de steekproef langere haren (M = 9.83, SD = 2.62) dan de referentiewaarde 8.9 uit de populatie, t(59) = 2.739, p = .008, r = .34.



Wat als niet voldaan is aan voorwaarden voor parametrisch toetsen bij bestuderen van 1 populatie?

• variabele niet normaal verdeeld in populatie?• steekproef < 30 ?• geen intervalvariabele?

χ²-toets voor frequenties

Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES


1. Toetsingssituatie Stemmen de geobserveerde frequenties in de steekproef overeen met

de verwachte frequenties op basis van normen of eerder onderzoek? Vb. Stemmen de frequenties leerlingen die lezen op niveau AVI-2, AVI-

3, AVI-4 en AVI-5 in het tweede leerjaar van een bepaalde school overeen met de frequenties van deze leesniveaus in de algemene bevolking?

2. Voorwaarden• de categorieën waarvan de frequenties bestudeerd worden moeten

elkaar uitsluiten. • 20% of minder van de categorieën heeft een verwachte frequentie

kleiner dan 5;• geen enkele categorie heeft een verwachte frequentie van minder

dan 1;• ordinale variabelen worden beschouwd als nominale variabelen.



3. Hypothesen

Enkel tweezijdig!

H0: π1 = π2 = … = πk

H1: niet H0

Of

H0: π1 = πA ; π2 = πB ; … ; πk = πK

H1: niet H0




met df = k – 1

fo = geobserveerde frequenties

fe = verwachte frequenties

k = aantal categorieën




a. overschrijdingskansen

maar χ²-verdeling afhankelijk van df, dus teveel mogelijkheden om te tabelleren, daarom:

b. kritieke waarden



6. Effectgrootte (phi)

(interpreteerbaar zoals r)

7. Rapporteren

Verwachte en geobserveerde proportie, X², df, p-waarde.



Klas 2e leerjaar: 9 van 26 leerlingen lezen op niveau AVI-5. Ongewoon veel? Meer dan verwacht?

Verwachte frequentie = 23% of 6/26

Geobserveerde frequentie = 35% of 9/26

Verschil groot genoeg om van significantie te spreken?

Hypotheses: H0: πminder dan AVI-5 = 20 ; πAVI-5 of meer = 6 en H1: niet H0



Hypotheses:

H0: πminder dan AVI-5 = 20 ; πAVI-5 of meer = 6 en H1: niet H0

Toetsingsgrootheid:

Beslissen:

Is 1.95 groter dan kritieke waarde? tabel kritieke X²-waarden

kritieke waarde bij α = .05 en df = 1 is gelijk aan 3.84.

Aangezien 1.95 < 3.84 wordt H0 niet verworpen.



36

• Demo SPSS: voorkeur vrijetijdsactiviteit bij senioren.

• Een gemoedelijke Duitse gemeente wil in het kader van de budgettering voor recreatie weten of de senioren in de gemeente een uitgesproken voorkeur hebben voor een bepaalde vrijetijdsactiviteit. Een steekproef van senioren wordt gevraagd een keuze te maken tussen wandelen, fietsen of rotsklimmen.



interval/ordinaal

nominaal

1

nominaal

> 1

1

one sample t-test /z-test1

2

> 2

interval/ordinaal

onafh.

onafh.

onafh.

afh.

afh.

independent t-test / z-test

dependent t-test

one way ANOVA

repeated measures ANOVA

Pearson correlation

nominaal

interval

gemengd

afh.

gemengd

n-way ANOVA

repeated measures ANOVA

mixed design ANOVA

multiple regression

Pearson chi-square

multiple regression

nominaal/ ordinaal

onafh.

type AV? aantal OV? type OV? hoeveel populaties?

categorieën afhankelijk?

parametrisch non-parametrisch

Rank-sum

Signed-ranks

Kruskal-Wallis

Friedman’s ANOVA

Spearman correlation

niet in dit boek chi-square goodness of fit

1

≥ 2

chi-square goodness of fitonafh.

Statistiek II

Documents

Transcript of Statistiek II