WACHTTIJDTHEORIEspieksma/colleges/...Conclusie: De marginale verdeling op tijdstip t is een...
89
WACHTTIJDTHEORIE A. HORDIJK bewerkt door F.M. SPIEKSMA Voorjaarssemester 1993 AFDELING DER WISKUNDE EN INFORMATICA RIJKSUNIVERSITEIT LEIDEN Mag. Uitgifte no. 77
Transcript of WACHTTIJDTHEORIEspieksma/colleges/...Conclusie: De marginale verdeling op tijdstip t is een...
WACHTTIJDTHEORIE
A. HORDIJKbewerkt door F.M. SPIEKSMA
Voorjaarssemester 1993
AFDELING DER WISKUNDE EN INFORMATICARIJKSUNIVERSITEIT LEIDEN
Mag. Uitgifte no. 77
INHOUD
1. Geboorte–sterfte processen 1
2. Stationaire verdeling
3. Constructie van wachtrijprocessen
4. Fase–achtige verdelingen
5. Exponentiele wachtrijmodellen
5.1 Erlang verlies verdeling5.2 Erlang vertragingsverdeling5.3 Kwasi–random input; eindig aantal bronnen5.4 De stationaire verdeling voor aankomende klanten5.5 Engset verliesverdeling5.6 Engset vertragingsverdeling
6. Vernieuwingstheorie
6.1 De vernieuwingsfunctie6.2 De resterende levensduur verdeling6.3 Vernieuwingsprocessen met opbrengsten6.4 Regeneratieve processen6.5 Little formules
7. Het M/G/1 wachtrijmodel
7.1 De wachttijd7.2 De werkperiode
8. Optimaal sturen bij de M/G/1 wachtrij
9. Wachtrijen met prioriteiten
10. Netwerken van wachtrijen
10.1 Open exponentiele netwerken10.2 Gesloten exponentiele netwerken10.3 Verschillende typen van klanten
11. Stochastische volgorde problemen
Literatuur **
i
§1. Geboorte-sterfte processen
In de wachttijdtheorie bestuderen we stochastische dynamische systemen (zoals bedie-nings-, verkeers-, communicatie-, computersystemen). Het wiskundig model dat we daarbijgebruiken is het stochastische proces. Dit wordt vastgelegd door een kansruimte (Ω, F ,IP) met daarop gedefinieerd een collectie reeelwaardige stochastische variabelen N(t), 0 ≤t < ∞1). Bijvoorbeeld, N(t) is het aantal klanten op tijdstip t. In deze paragraaf nemende N(t) alleen waarden aan in IN0 = 0, 1, 2, . . .. We zeggen dat het systeem in toestand Ej
is op tijdstip t als N(t) = j.Alle GS-processen hebben de Markov-eigenschap. In woorden luidt deze: indien
het heden gegeven is, dan zijn het verleden en de toekomst stochastisch onafhankelijk.Formeel definieren we de Markov-eigenschap als volgt: voor iedere eindige rij tijdstippent1, t2, . . . , tn+m met 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn+m en iedere rij i1, i2, . . . , in+m ∈ IN0 geldt
IPN(tn+1) = in+1, . . . , N(tn+m) = in+m | N(t1) = i1, . . . , N(tn−1) = in−1, N(tn) = in= IPN(tn+1) = in+1, . . . , N(tn+m) = in+m | N(tn) = in.
Opgave 1: Toon aan dat de ME equivalent is met ieder van de volgende gelijkheden (vooralle rijen van t′s en i′s)
(i) IPN(tn+1) = in+1 | N(t1) = i1, . . . , N(tn−1) = in−1, N(tn) = in
= IPN(tn+1) = in+1 | N(tn) = in
(ii) IPN(t1) = i1, . . . , N(tn−1) = in−1, N(tn+1) = in+1 | N(tn) = in
= IPN(tn+1) = in+1 | N(tn) = inIPN(t1) = i1, . . . , N(tn−1) = in−1 | N(tn) = in.
Een GS definieren we door te zeggen dat het een stochastisch proces is met de Markov-eigenschap en bovendien voldoet aan de volgende eigenschappen (ook wel postulaten ge-noemd):
1. IP alleen een transitie van Ej naar Ej+1 in (t, t + h) | N(t) = j = λj · h + o(h)2. IP alleen een transitie van Ej naar Ej−1 in (t, t + h) | N(t) = j = µj · h + o(h)3. IP geen transitie in (t, t + h) | N(t) = j = 1− (λj + µj)h + o(h).
De schrijfwijze o(h) , kleine orde van h, heeft in eigenschap 1 de volgende betekenis,
limh↓0
[IP. . . − λj · h]h−1 = 0.
In het algemeen zeggen we dat de functie f(h) voor h ≥ 0 van de kleine orde van h is,indien limh↓0 f(h)h−1 = 0.
1) Voor elke t ≥ 0 is N(t, ω) een reeelwaardige meetbare functie op (Ω,F).
1
De getallen λj , j ∈ IN0 resp. µj , j ∈ IN0 worden de geboorte- resp. sterfte-parametersgenoemd. Tesamen met de beginverdeling Pj(0) := IPN(0) = j, j ∈ IN0 leggen deparameters de kansverdeling van het proces eenduidig vast (onder zekere regulariteitseisen).
In het vervolg zullen we Pj(t) voor IPN(t) = j, j ∈ IN0, t ≥ 0, schrijven en Pik(s)voor IPN(t + s) = k | N(t) = i, i, k ∈ IN0, s ≥ 0. De kansverdeling Pj(t), j ∈ IN0
noemen we de marginale verdeling van het proces op tijdstip t. De Pik(s), i, k ∈ IN0
worden overgangswaarschijnlijkheden genoemd.Voor de overgangswaarschijnlijkheden gelden de Chapman–Kolmogorov vergelijkin-
gen:
(1.1) Pij(t + s) =∞∑
k=0
Pik(t)Pkj(s).
Bewijs:
Pij(t + s) = IPN(t + s) = j | N(0) = i
=∞∑
k=0
IPN(t + s) = j, N(t) = k | N(0) = i
=∞∑
k=0
IPN(t + s) = j | N(0) = i, N(t) = kIPN(t) = k | N(0) = i
Gebruikmakend van de ME vinden we dat de laatste uitdrukking gelijk is aan,∞∑
k=0
Pkj(s)Pik(t).
Het is eenvoudig in te zien dat voor een GS-proces de volgende relaties gelden:
1. IP meer dan een transitie (geboorte of sterfte) in (t, t + h) | N(t) = j = o(h);2. Pj(j+1)(h) = λjh + o(h);3. Pj(j−1)(h) = µjh + o(h);4. Pjk(h) = o(h) als |j − k| ≥ 2;5. Pjj(h) = 1− (λj + µj)h + o(h).
De marginale verdelingen Pj(t) zijn differentieerbaar naar t en voldoen aan het volgendestelsel differentiaal vergelijkingen
(1.2)
P ′j(t) = λj−1Pj−1(t)+µj+1Pj+1(t)− (λj + µj)Pj(t), j ≥ 1
P ′0(t) = µ1P1(t) − λ0P0(t).
Bewijs:
Pj(t + h)= IPN(t + h) = j =∞∑
k=0
IPN(t + h) = j | N(t) = kIPN(t) = k
=∞∑
k=0
Pk(t)Pkj(h)
= Pj−1(t)λj−1 · h + Pj(t)[1− (λj + µj)h] + Pj+1(t)µj+1 · h + o(h)
2
⇒ Pj(t + h)− Pj(t)h
= λj−1Pj−1(t) + µj+1Pj+1(t)− (λj + µj)Pj(t) +o(h)h
.
De limiet van de rechterkant (voor h ↓ 0) bestaat en is gelijk aan het rechterlid van (1.2).Dus de rechterafgeleide van Pj(t) bestaat en voldoet aan de gestelde gelijkheid. Dat delinkerafgeleide ook bestaat en gelijk is aan de rechterafgeleide tonen we hier niet aan.
Opgave 2: Toon aan dat de Pj(t), j ∈ IN0 continu en differentieerbaar zijn.We zullen m.b.v. stelsel (1.2) de marginale verdelingen berekenen voor enkele GS-processen.Een proces waarvoor µj = 0, j ∈ IN0 rep. λj = 0, j ∈ IN0 noemen we een zuiver geboorte-resp. sterfte-proces.
1. Het Poisson-proces wordt in vele modellen gebruikt als aankomst-proces van klanten.Het is een zuiver geboorte-proces met λj = λ, j ∈ IN0. We lossen stelsel (1.2) op metbeginvoorwaarden Pj(0) = 1 resp. 0 indien j = 0 resp. 1. Stelsel (1.2) is nu,
P ′0(t) = −λP0(t)(1.3)
P ′j(t) = λPj−1(t)− λPj(t), j ≥ 1.(1.4)
We lossen eerst (1.3) op en schrijven y voor P0(t). We vinden dan
dy
dt= −λy ⇒ dy
y= −λ dt ⇒ ln y = −λt + c (c is een constante)
⇒ y = ec e−λt.
Met y(0) = P0(0) = 1 volgt c = 0, dus
(1.5) P0(t) = e−λt.
Stelsel (1.2) is recursief oplosbaar; stel P0(t), . . . , Pm−1(t) zijn bekend, dan is Pm(t) oplos-baar uit,
P ′m(t) = −λPm(t) + λPm−1(t)
Pm(0) = 0.
We schrijven y resp. u voor Pm(t) resp. Pm−1(t) en vinden dan y′ = −λy + λu. Wegebruiken de substitutie z = y eλt. Dan geldt
z′ = y′ eλt + λy eλt = (−λy + λu) eλt + λy eλt = λu eλt
⇒ z(t) = c + λ
∫ t
0
u(s) eλs ds
Met z(0) = 0 volgt c = 0, zodat
y(t) = λ e−λt
∫ t
0
u(s) eλsds
3
en
(1.6) Pm(t) = λ e−λt
∫ t
0
Pm−1(s) eλs ds.
Met inductie naar j tonen we nu aan, dat
(1.7) Pj(t) =
(λt)j
j!e−λt, j ∈ IN0.
Bewijs. Voor j = 0 is het relatie (1.5). Stel (1.7) is correct voor j = m− 1, dan volgt uit(1.6) dat
Pm(t) = λ e−λt
∫ t
0
(λs)m−1
(m− 1)!e−λs eλsds
=
(λt)m
m!e−λt.
Conclusie: De marginale verdeling op tijdstip t is een Poisson verdeling met parameter λt.
2. Bedieningsproces. In een aantal wachtrijmodellen wordt het volgende bedieningsprocesgebruikt. Het is een zuiver sterfte-proces met µj = j · µ, j ∈ IN en beginvoorwaardenPj(0) = 1 resp. 0 indien j = n resp. j 6= n. Het stelsel differentiaal vergelijkingen is hier
P ′n(t) = −nµPn(t)(1.8)
P ′j(t) = (j + 1)µPj+1(t)− jµPj(t), 0 ≤ j ≤ n− 1.(1.9)
Ook dit stelsel is recursief oplosbaar. Analoog aan de oplossing van (1.3) vinden we voorde oplossing van (1.4),
Pn(t) = e−nµt.
Veronderstel Pn−1(t), . . . , Pj+1(t) zijn bekend. We schrijven y resp. u voor Pj(t) resp.Pj+1(t) en gebruiken de substitutie z = y ejµt. Dan geldt,
z′ = y′ ejµt + jµy ejµt (1.9)= (−jµy + (j + 1)µu︸ ︷︷ ︸
y′
) ejµt + jµy ejµt,
zodat z′ = (j + 1)µ ejµtu en z(t) = c + (j + 1)µ∫ t
0u(s) ejµs ds. Met z(0) = 0 volgt c = 0,
dus y = (j + 1)µ e−jµt∫ t
0u(s) ejµs ds bijgevolg
Pj(t) = (j + 1)µ e−jµt
∫ t
0
Pj+1(s) ejµs ds j ≤ n− 1.
Opgave 3. Toon met inductie aan, dat
Pj(t) =(
n
j
)(e−µt
)j(1− e−µt)n−j 0 ≤ j ≤ n.
4
Conclusie: De marginale verdeling op tijdstip t is een binomiale verdeling met succeskanse−µt.
3. Wachtrij-model. Het aankomstproces van klanten is Poisson(λ). Klanten die aankomenop een tijdstip waarop een klant aanwezig is, verlaten het systeem onmiddellijk. De bedi-eningsduurverdeling van klanten is negatief-exponentieel met parameter µ. De bedienings-duren zijn onderling (stochastisch) onafhankelijk en ook onafhankelijk van het aankomst-proces. Deze onafhankelijkheidsaanname zal in het vervolg steeds gemaakt worden (vaakzonder het expliciet te stellen).
We beschouwen het stochastisch proces met N(t) = 0 resp. 1 indien er op tijdstipt geen resp. een klant aanwezig is. Later zal duidelijk worden dat dit een GS-proces ismet de parameters λ0 = λ, λk = 0, k ≥ 1 en µ0 = 0, µ1 = µ, µk = 0, k ≥ 2. Het stelseldifferentiaal vergelijkingen wordt
P ′0(t) = µP1(t)− λP0(t)
P ′1(t) = λP0(t)− µP1(t),
met als beginvoorwaarden de kansen P0(0) en P1(0).
Opgave 4: Toon aan
P0(t) =µ
λ + µ+(P0(0)− µ
λ + µ
)e−(λ+µ)t
P1(t) =λ
λ + µ+(P1(0)− λ
λ + µ
)e−(λ+µ)t.
§2. Stationaire verdeling
De expliciete berekening van de marginale verdelingen Pj(t), j ∈ IN0, is meestal nietmogelijk. Voor wachtrij-systemen zijn we vaak geınteresseerd in de verdeling op een tijdstipt voor grote waarden van t. Een GS-proces is een speciaal type van een Markovproces (ofbeter Markovketen). Uit de theorie over Markovketens volgt dat limt→∞ Pj(t) bestaatvoor iedere j ∈ IN0. We schrijven voor deze limieten Pj(∞), j ∈ IN0 en we noemen ditde limietverdeling. Een kansverdeling Pj , j ∈ IN0 noemen we echt (of niet-defectief) resp.defectief indien
∑∞j=0 Pj = 1 resp. < 1.
Opgave 5: Bepaal voor de behandelde GS-processen Pj(∞), j ∈ IN0, en∑∞
j=0 Pj(∞).
Een echte kansverdeling Pj , j ∈ IN0 die voldoet aan
Pj =∞∑
k=0
PkPkj(t) ∀j ∈ IN0, ∀t ≥ 0,
5
noemen we een stationaire of evenwichtsverdeling. Indien de beginverdeling Pj(0), j ∈ IN0
een stationaire verdeling is, dan is het proces een stationair proces d.w.z. ∀n, 0 ≤ t1 ≤. . . ≤ tn, i1, . . . , in en ∀s ≥ 0 geldt
IPN(t1) = i1, . . . , N(tn) = in = IPN(t1 + s) = i1, . . . , N(tn + s) = in.
Opgave 6: Toon dit aan.
Stelling: Indien de limietverdeling een echte kansverdeling is, dan is ze een stationaireverdeling.Bewijs: In dit bewijs gebruiken we het volgende lemma.
Lemma: (Gedomineerde convergentie) Veronderstel ∀i ∈ IN0, dat 0 ≤ bi(t) ≤ ai(t) en datlimt→∞ ai(t) en limt→ bi(t) bestaan. Dan volgt uit
(2.1) limt→∞
∞∑i=0
ai(t) =∞∑
i=0
limt→∞
ai(t) < ∞
dat ook geldt
(2.2) limt→∞
∞∑i=0
bi(t) =∞∑
i=0
limt→∞
bi(t) < ∞.
∗Opgave 7: Toon dit aan.
We schrijven ai(t) resp. bi(t) voor Pi(t) resp. Pi(t)Pij(s) voor vaste j en s. Daar de limietverdeling niet-defectief is, geldt relatie (2.1). Relatie (2.2) herschreven geeft,
(2.3) limt→∞
∞∑i=0
Pi(t)Pij(s) =∞∑
i=0
limt→∞
Pi(t)Pij(s).
De CK-vergelijkingen, dit is stelsel (1.1), geven,
(2.4) Pj(t + s) =∞∑
i=0
Pi(t)Pij(s).
Relaties (2.3) en (2.4) tesamen met de schrijfwijze Pj(∞) voor limt→∞ Pj(t + s), s ≥ 0,geven,
(2.5) Pj(∞) =∞∑
i=0
Pi(∞)Pij(s).
Omdat (2.5) geldt voor willekeurige j ∈ IN0 en s ≥ 0, volgt nu dat Pj(∞), j ∈ IN0 eenstationaire verdeling is.
6
Stationaire verdelingen zijn eenvoudiger te berekenen dan marginale verdelingen.Zoals we hieronder zullen zien, is iedere stationaire verdeling een oplossing van een lineairstelsel vergelijkingen.
Stelling: Iedere stationaire verdeling Pj , j ∈ IN0 van een GS-proces voldoet aan hetlineaire stelsel,
(2.6)
0=λj−1Pj−1 + µj+1Pj+1 − (λj + µj)Pj , j ≥ 10=µ1P1 − λ0P0
1=∞∑
j=0
Pj .
Bewijs: Veronderstel dat Pj , j ∈ IN0 een stationaire verdeling is. Indien we de be-ginverdeling Pj(0), j ∈ IN0 gelijk nemen aan de stationaire verdeling Pj , j ∈ IN0, dangeldt Pj(t) = Pj , j ∈ IN0. Voor de afgeleiden naar t volgt dan P ′
j(t) = 0, j ∈ IN0. Wesubstitueren deze relaties in het stelsel (1.2) en we vinden dan het stelsel (2.6).
De combinatie van de voorafgaande 2 stellingen geeft dan, dat we echte limietverdelingenkunnen berekenen door de oplossingen van het stelsel (2.6) te bepalen. In veel gevallenheeft stelsel (2.6) een unieke oplossing. We gaan stelsel (2.6) herschrijven tot een anderstelsel vergelijkingen dat praktisch altijd recursief oplosbaar is. Daartoe herschrijven wede j-de vergelijking van (2.6) tot,
(2.7) λj−1Pj−1 − µjPj = λjPj − µj+1Pj+1.
Schrijven we f(j) voor λjPj − µj+1Pj+1 dan is (2.7) gelijk aan f(j − 1) = f(j). Metf(0) = λ0P0 − µ1P1 = 0 vinden we dat f(j) = 0, j ∈ IN0. Oftewel,
(2.8)
λjPj= µj+1Pj+1, j ∈ IN0
∞∑j=0
Pj = 1.
Stelling: Indien µj > 0, j ≥ 1, dan is
(2.9)∞∑
j=1
(j−1∏i=0
λi
µi+1
)< ∞
een nodige en voldoende voorwaarde opdat de stationaire verdeling bestaat en
(2.10) Pj = P0
j−1∏i=0
λi
µi+1, j ≥ 1
met
(2.11) P0 =
1 +∞∑
j=1
j−1∏i=0
λi
µi+1
−1
7
de unieke oplossing van het stelsel (2.8) is.Bewijs: Recursief oplossen van de Pj ’s geeft
Pj+1 =λj
µj+1Pj =
λj
µj+1Pj−1 = . . . =
j∏i=0
λi
µi+1P0.
Het is nu eenvoudig in te zien dat de Pj ’s alleen aan∑∞
j=0 Pj = 1 kunnen voldoen, indien(2.9) vervuld is. Omgekeerd, indien (2.9) geldt, dan geven (2.10) en (2.11) de uniekeoplossing van (2.8).
Opgave 8: Bepaal de unieke stationaire verdeling voor het GS-proces metµj= 0,1 ≤ j ≤ m
µj> 0,j ≥ m + 1,
λj> 0,0 ≤ j ≤ n
λj= 0,j ≥ n + 1met 1 ≤ m < n.
Voor GS-processen zijn de stationaire verdelingen praktisch altijd expliciet te berekenen.Voor meerdimensionale processen zoals voor netwerken van wachtrijen is dit niet het geval.We zullen hieronder een intuıtieve interpretatie geven van de evenwichtsvergelijkingen(2.8), die vooral voor netwerken van wachtrijen bruikbaar zal zijn. Indien Pj , j ∈ IN0,een stationaire beginverdeling is, dan kunnen we de volgende relatie opschrijven,
Pj = IP(N(t) = j) = IEI(N(t) = j)1, ∀t ≥ 0dus
Pj =1T
∫ T
0
IEI(N(t) = j)dt = IE1T
∫ T
0
I(N(t) = j) dt, ∀T ≥ 0.
In woorden, Pj is de verwachting van de gemiddelde tijd die het systeem in toestand Ej
doorbrengt. Zo is λjPj te zien als het verwachte aantal transities per tijdseenheid van Ej
naar Ej+1. Het verwachte aantal transities per tijdseenheid van Ej+1 naar Ej is gelijk aanµj+1Pj+1. In een evenwichtssituatie moeten deze verwachtingen aan elkaar gelijk zijn. Zoredenerend vinden we, dat de Pj ’s een oplossing moeten vormen van het stelsel (2.8).In het vervolg zullen we voor meerdere belangrijke modellen de (unieke) stationaire verdel-ing berekenen. Laten we in deze paragraaf het meest klassieke model, de Erlang ver-liesverdeling, behandelen. Daarbij beschouwen een telefooncentrale met s uitgaande lij-nen. Gespreksaanvragen vinden plaats volgens een Poissonproces. De gespreksduren zijnnegatief-exponentieel verdeeld met parameter τ−1. Geblokkeerde aanvragen gaan verloren.We zullen zien dat het aantal bezette lijnen een GS-proces is met parameters
λj = λ, 0 ≤ j < s; λj = 0, j ≥ s; µj = j · τ−1, j ≥ 1.
Opgave 9: Toon dat de unieke stationaire verdeling gegeven wordt door
Pj =(λτ)j
j!
[s∑
k=0
(λτ)k
k!
]−1
, 0 ≤ j ≤ s.
1 I(N(t) = j) is een functie op Ω met I(N(t) = j) = 1 resp. 0 indien N(t, ω) = j resp. 6= j.
8
De stationaire verdeling is dus een afgeknotte Poisson verdeling. Voor praktische toepassin-gen is Ps van belang. Dit is de verwachting van de fractie van de tijd die het systeem intoestand Es doorbrengt. Later zullen we zien, dat Ps ook gelijk is aan de waarschijnlijkheiddat een willekeurige aanvraag geblokkeerd is. Schrijven we a voor λτ en B(s, a) voor deblokkeringskans, dan vinden we,
B(s, a) = as/s!
[s∑
k=0
ak/k!
]−1
.
§3. Constructie van systemen
In de wachttijdtheorie speelt de negatief-exponentiele verdeling een centrale rol. Veronders-tel dat T een stochastische variabele is met de negatief exponentiele verdeling en parameterµ. De verdelingsfunctie FT van T is,
FT (x) = IP(T ≤ x) =
0, x < 01− e−µx, x ≥ 0 ;
de dichtheidsfunctie is,
fT (x) =
0, x < 0µ e−µx, x ≥ 0 .
De verwachting IET resp. de variantie van T zijn µ−1 resp. µ−2. Voor T een niet-negatievestochastische variabele definieren we de resterende levensduurverdeling op tijdstip t door,
FT>t(x) := IP(T ≤ t + x | T > t).
Een verdeling heeft de Markov eigenschap, indien voor iedere t > 0 geldt dat de resterendelevensduurverdeling op tijdstip t gelijk is aan de oorspronkelijke verdeling. Ga na dat denegatief exponentiele verdeling deze eigenschap heeft. De negatief exponentiele verdelingis de enige (continue!) verdeling F met F (0) < 1 en de Markov eigenschap.
Beschouwen we nogmaals het wachtrij-model van paragraaf 1. Indien we in dit modelde gespreksduurverdeling niet negatief exponentieel nemen, dan is N(t), t ≥ 0 geenMarkovketen meer. Immers, indien op tijdstip t er een klant in het systeem is, dan zalde toekomst (bijv. de eventualiteit dat het systeem leeg is op tijdstip t + 1) stochastischafhankelijk zijn van het verleden (met name het tijdstip waarop de klant binnenkwam).Conclusie: om onze wachtrijprocessen de Markov eigenschap te laten hebben, moeten weveronderstellen dat de bedieningsduur verdelingen de Markov eigenschap hebben. Langniet altijd is dit een praktisch bruikbare veronderstelling.
Opgave 10: In een dienstencentrum zijn 3 klanten aanwezig, zeg de klanten 1, 2 en 3. Debed. duren zijn neg. exp.(µ). Er zijn 2 bedienden die de klanten 1 en 2 helpen.Beredeneer wat de kans is, dat klant 3 niet als laatste het centrum verlaat.
9
Met behulp van de Markov eigenschap van de negatief exponentiele verdeling kunnen wewachtrijprocessen op constructieve wijze invoeren. We zullen dit doen voor de modellenuit paragraaf 1. Om het bedieningsproces van model 2 te construeren gaan we uit van nstochastische variabelen T1, . . . , Tn, die onderling stochastisch onafhankelijk zijn (afkorting:o.o.) en alle een neg. exp. (µ)-verdeling hebben. Definieer N(t) =
∑nj=1 I(Tj > t) voor Tj
de bedieningsduur van taak j en N(t) het aantal nog aanwezige taken. Het proces N(t),t ≥ 0 heeft dezelfde verdeling als het bedieningsproces van model 2. Dat het proces N(t),t ≥ 0 de ME heeft volgt uit de ME voor de neg. exp. verdeling. De postulaten zullen wenagaan,
IPalleen een transitie van Ej naar Ej+1 in (t, t + h) | N(t) = j = 0IPalleen een transitie van Ej naar Ej−1 in (t, t + h) | N(t) = j
= IPprecies een van de j nog aanwezige taken wordt beeindigd in (t, t + h)
=(
j
1
)(e−µh
)j−1(1− e−µh) = jµh + o(h)
IPgeen transitie in (t, t + h) | N(t) = j= IP geen van de j nog aanwezige taken wordt beeindigd in (t, t + h)= (e−µh)j = 1− jµh + o(h).
Dus aan de postulaten is voldaan. Nu we deze constructie van het wachtrijproces hebben,kunnen we de marginale verdeling op tijdstip t ook direct berekenen. Pj(t) = IP van den taken worden er (n− j) wel en j niet afgehandeld in (0, t) =
(nj
)(e−µt)j(1− e−µt)n−j .
Veronderstel nu, dat Xj , j = 0, 1, . . . een rij van o.o. stochastische variabelen is, alle metneg. exp.(λ) verdeling. Definieer Tj =
∑j−1k=0 Xk en, voor t ≥ 0, de stochastische variabelen
N(t) doorN(t) = j indien Tj ≤ t < Tj+1.
Dan is N(t), t ≥ 0 een Poisson proces met parameter λ.
Opgave 11: Beredeneer dat het geconstrueerde proces aan de ME voldoet en toon aan datde postulaten gelden.
Het model behorende bij de Erlang verliesverdeling (pag. 8) is voor s = 1 het wachtrijmodeluit paragraaf 1. Maken we de verbale omschrijving van pag. 8 tot een procedure (dit wordtgedaan in een simulatieprogramma) dan krijgen we een constructie van het proces. Eenniet volledig uitgewerkte beschrijving is als volgt. Beschouw (s+1) instelbare klokken zoalskook- en schaakklokken. Klok 0 wordt ingesteld op een stochastisch tijdstip getrokken uiteen neg. exp.(λ)-verdeling. Indien klok 0 rinkelt dan wordt er een van de klokken 1 t/ms die niet lopen (bijv. degene met het laagste nummer) ingesteld op een stoch. tijdstipmet neg. exp.(τ−1)-verdeling, tegelijkertijd wordt klok 0 weer ingesteld, etc. Het aantallopende klokken met nummers 1, · · · , s geeft het aantal klanten in het systeem.
Opgave 12: Toon aan dat de parameters van dit proces gegeven worden door,
λj = λ, 0 ≤ j < s; λj = 0, j ≥ s; µj = j · τ−1, 1 ≤ j ≤ s.
10
We zullen in de volgende stellingen laten zien dat de superpositie van onafhankelijke en dedecompositie van Poissonprocessen weer een Poisson proces geeft.
Stelling: Indien N1(t), N2(t), . . . , Nn(t) voor t ≥ 0 onafhankelijke Poisson processen zijnmet parameters λ1, λ2, . . . , λn, dan is de superpositie N(t) = N1(t) + N2(t) + · · ·+ Nn(t),t ≥ 0 eveneens een Poisson proces met parameter λ1 + λ2 + · · ·+ λn.Bewijs. Bij superpositie blijft de ME behouden. De postulaten volgen uit,
IPalleen een transitie van Ej naar Ej+1 in(t, t + h) | N(t) = j
=n∑
k=1
IPalleen het k′de proces heeft een geboorte in (t, t + h)
=n∑
k=1
(λk · h + o(h))∏j 6=k
(1− λj · h + o(h)) = (λ1 + · · ·+ λn) · h + o(h).
IPgeen transitie in (t, t + h) | N(t) = j
= IPn⋂
k=1
(geen transitie in het k′de proces in (t, t + h))
=n∏
k=1
(1− λk · h + o(h)) = 1− (λ1 + · · ·+ λn) · h + o(h).
De decompositie van een Poisson proces geeft onafhankelijke Poissonprocessen. In dewachttijdtheorie wordt deze eigenschap vaak gebruikt. Laten we de stelling formulerenin de terminologie van een wachtrijproces. We beschouwen daartoe een dienstencentrummet n loketten. Een binnenkomende klant wordt met kans λj
λ verwezen naar loket j metj = 1, . . . , n en λ1+· · ·+λn = λ. Het loten van het loket voor de klanten gebeurt onderlingstochastisch onafhankelijk. Dan geldt dat de aankomstprocessen bij de loketten 1 t/m nonderling onafhankelijke Poissonprocessen zijn met parameters λj , j = 1, 2, . . . , n.
Opgave 13: Toon aan dat het aantal aankomsten in [0, t] bij loket j Poisson verdeeld ismet parameter λjt.
Dat de processen ook stochastisch onafhankelijk zijn, is als volgt in te zien. We schrijvenNk(t) t ≥ 0 voor het aankomstproces bij loket k, k = 1, . . . , n. We moeten aantonen dat,
(3.1)
IP
[n⋂
k=1
(Nk(t1) = ik1, Nk(t2) = ik2, . . . , Nk(tm) = ikm
)]=
=n∏
k=1
IP(Nk(t1) = ik1, Nk(t2) = ik2, . . . , Nk(tm) = ikm
)Opgave 14: Toon aan dat het voor (3.1) voldoende is om te bewijzen dat
(3.2) IP
[n⋂
k=1
Nk(t) = ik
]=
n∏k=1
IP(Nk(t) = ik
).
11
Relatie (3.2) volgt door de multinomiale verdeling toe te passen. Immers met i = i1+· · ·+involgt,
IP
[n⋂
k=1
Nk(t) = ik
]=(
i
i1, i2, . . . , in
) n∏k=1
(λk
λ
)ik
· (λ)i
i!e−λt
=n∏
k=1
(λkt)ik
ik!e−λkt =
n∏k=1
IP(Nk(t) = ik
).
§4. Fase-achtige verdelingen
Vaak is het niet realistisch om aan te nemen dat bedieningsduur verdelingen en verdelingenvan andere stochasten negatief exponentieel verdeeld zijn. Daartoe zullen we in dezeparagraaf een klasse van verdelingen invoeren, waarmee iedere niet-negatieve verdelingbenaderd kan worden. Veronderstel dat Xi, i = 1, . . . , n stoch. variabelen zijn die o.o. enneg.exp. (λ) zijn. Dan heeft S := X1 + . . . + Xn een Erlang verdeling met parameters(λ, n); notatie En
λ . We kunnen S zien als de wachttijd tot de nde aankomst bij een Poissonproces (λ). Dus
Enλ (x) = IP(S ≤ x) = IP(N(x) ≥ n)
=∞∑
j=n
(λx)j
j!e−λx = 1−
n−1∑j=0
(λx)j
j!e−λx voor x ≥ 0.
In de wachttijdtheorie speelt de Erlang verdeling een belangrijke rol. Als een bedienings-duur S een En
λ -verdeling heeft, dan zien we S als de som X1+. . .+Xn en we noemen Xj dej-de fase van de bedieningsduur. Schematisch kunnen we de bedieningsduur S aangevendoor
De resterende bedieningsduurverdeling hangt alleen af van de fase waarin de bedieningzich op dat moment bevindt. We kunnen wachtrijprocessen dan tot Markovketens maken,door voor iedere taak in de toestandsbeschrijving een variabele op te nemen, die aangeeftin welke fase de bediening op dat moment is. De dichtheid van de Erlang-verdeling metparameters (λ, n) is 0 voor x < 0, en (λx)n−1
(n−1)! λ e−λx voor x ≥ 0.
Opgave 15: Veronderstel dat S een Enλ -verdeling heeft. Toon aan, dat IES = nλ−1 en
var S = nλ−2.
12
In praktische modellen gebruikt men vaak de variatie-coefficient (VC) van een stochastischevariabele. Deze grootheid wordt gedefinieerd door
VC(S) =(var S)1/2
IES.
Wanneer S een Enλ verdeling heeft, dan is VC(S) = 1√
n≤ 1 en wanneer Sn een En
nλ-verdeling heeft, dan ziet de dichtheid eruit zoals beneden geschetst is. Uit deze figuur blijkt,dat de verdelingen van Sn voor n = 1, 2, 3, . . . zich bij toenemende n om de verwachting1/λ gaan concentreren. Dit volgt ook uit de ongelijkheid van Chebyshev
IP(|Sn − 1/λ| > ε) ≤ 1ε2
var (Sn) =1n
(λε)−2 → 0 voor n →∞.
De Erlang verdelingen vormen een twee-parameterige familie. Willen we een niet-negatieveverdeling met 1e resp. 2e standaardmoment µ en σ2 via de momenten methode benaderenmet een Erlang verdeling, dan stellen we nλ−1 = µ en nλ−2 = σ2. Hieruit volgt λ = µ
σ2
en n = (λµ) = µ2
σ2 . Voor een Erlang verdeling moet n geheel zijn. We kunnen n =[
µ2
σ2
]nemen; deze benadering is slecht indien n klein is, en wordt zelfs onmogelijk indien µ2
σ2 < 1,oftewel indien de VC groter is dan 1.De hyper-exponentiele verdeling heeft een VC groter dan 1. We beschouwen daartoe eenstochastische variabele S die met kans pk neg. exp. verdeeld is met parameter λk, k =1, . . . , n. Schematisch kunnen we S weergeven door
13
Dan geldtFS(x) = p1Eλ1(x) + p2Eλ2(x) + · · ·+ pnEλn(x)
IES =n∑
k=1
pk/λk, IES2 =n∑
k=1
pk · 2/λ2k
var S =n∑
k=1
pk · 2/λ2k −
(n∑
k=1
pk/λk
)2
.
Gebruikmakend van de Cauchy-Schwarz ongelijkheid:(n∑
k=1
√pk ·
√pk
λk
)2
≤( n∑
k=1
pk
)︸ ︷︷ ︸
=1
(n∑
k=1
pk
λ2k
)
vinden we voor de VC
[VC(S)]2 =var S
(IES)2=
2∑n
k=1 pk/λ2k(∑n
k=1 pk/λk
)2 − 1 ≥ 1.
Een klasse van verdelingen, die dicht ligt in de verzameling van alle niet-negatieve verdelin-gen, zijn de fase-achtige verdelingen. Ze staan de laatste jaren sterk in de belangstelling.Er zijn meerdere mogelijkheden deze klasse te introduceren. Wij kiezen hier voor de een-voudigste voorstelling, nl. mengsels van Erlang verdelingen. We beschouwen weer eenstoch. var. S die met kans pk een Erlang Ek
λ-verdeling heeft, dus
FS(x) =n∑
k=1
pkEkλ(x) met p1, p2, . . . , pn ≥ 0 en
n∑k=1
pk = 1.
Schematisch kunnen we S weergeven door
14
Iedere verdelingsfunktie F (x) met F (0) = 0 kan willekeurig dicht met zo’n fase-achtigeverdeling benaderd worden, mits λ en n maar groot genoeg genomen worden. Door limiet-overgang en continuıteitsoverwegingen zijn dan resultaten voor fase-achtige verdelingen uitte breiden naar alle niet-negatieve verdelingen.Willen we concreet prestatie-grootheden berekenen (bijv. de stationaire verdeling) vooreen wachtrijsysteem met fase-achtige bedieningsduurverdeling, dan mag n niet te grootzijn, want anders wordt het aantal toestanden te groot. Andere representaties van fase-achtige verdelingen zijn de ”Coxian” verdelingen en de ”Phase-type” verdelingen. Dezelaatste worden gedefinieerd als de absorptie-tijd in een transiente Markov keten.
§5. Exponentiele wachtrij-modellen
5.1. Erlang verliesverdeling: het M/M/s/s model
Dit is het model van pag. 8. We vonden voor de stationaire verdeling
Pj = c · (λτ)j
j!, 0 ≤ j ≤ s
met c de normeringsconstante d.w.z. c wordt bepaald door te eisen dat∑s
j=0 Pj = 1 is.
Hier geldt dus c =[∑s
k=0(λτ)k
k!
]−1. Voor de blokkeringskans geldt,
B(s, a) = c · as
s!met a = λτ.
Om deze kansen te berekenen voor grote waarden van s is de volgende recurrente betrekkingvan belang.
Opgave 15A: Leid de volgende recurrente betrekking af:
B(s, a) =aB(s− 1, a)
s + aB(s− 1, a).
15
De grootheid a wordt de aangeboden belasting van het systeem genoemd. De aangebodenbelasting is gelijk aan de verwachting van het aantal aankomsten in een bedieningsduur.We zullen dit afleiden voor een willekeurige bedieningsduurverdeling F met gemiddeldeτ . We schrijven voor N(t) resp. N(S) het aantal aankomsten in (0, t] resp. tijdens eenbedieningsduur. Dan vinden we,
IEN(S)= IE(IE(N(S) | S)
)=∫ ∞
0
IE(N(S) | S = t)dF (t)
=∫ ∞
0
IE(N(t))dF (t) = λ
∫ ∞
0
tdF (t) = λτ = a.
We noemen a/s de verkeersintensiteit en de verwachting van het aantal bezette lijnen dewerkbelasting (notatie a′).
Opgave 15B : Toon aan dat a′ = a[1−B(s, a)].
De bezettingsgraad ρ is de verwachting van het aantal bezette lijnen gedeeld door hettotale aantal lijnen. In het bovenstaande geldt dus ρ = a′/s. De klanten wensen een kleineblokkeringskans. De beheerder wenst een grote verkeersintensiteit. Indien a toeneemt danmoet ook s toenemen om B(s, a) constant te houden; ρ blijkt dan groter te worden, d.w.z.grotere dienstencentra werken efficienter.
Opgave 16: Beschouw een Erlang verliessysteem met 10 bedienden. Metingen wijzen uit,dat ongeveer 1% van de klanten niet bediend wordt. Het volgend jaar zal deverwachting van de vraag per tijdseenheid verdubbelen. De beheerder wil hetservice-niveau handhaven. Hoeveel extra bedienden moeten er aangenomenworden? Gebruik voor opgaven 16 en 17 de grafieken van de B(s, a) functies.
Opgave 17: Een ondernemer biedt diensten aan die gemodelleerd kunnen worden als eens-bedienden Erlang verliessysteem. De aankomstparameter λ is 4 klanten peruur; de gemiddelde bedieningsduur is 1 uur; de ondernemer ontvangt f 10,- vooriedere geholpen klant; de kosten voor de ondernemer zijn f 4,- per bediendeper uur ongeacht of de bediende werkt of niet. Bereken het optimale aantalbedienden en de optimale winst per uur. Wat is de maximale waarde van c, deonkosten per bediende per uur, waarvoor het dienstencentrum nog geen verlieslijdt?
Erlang sprak al in 1917 het vermoeden uit dat de stationaire verliesverdeling dezelfde is vooriedere bedieningsduurverdeling met gemiddelde τ . We zullen dit aannemelijk maken voorhet geval van 1 bediende. Zoals we zagen, kunnen we de kansen P0 resp. P1 interpreterenals de verwachting van de fractie van de tijd dat het systeem vrij resp. bezet is. Detijdstippen waarop het systeem vrij komt zijn zogenaamde regeneratietijdstippen (zie §6),immers op die tijdstippen is de tijdsduur tot aan de volgende aankomst neg. exp. verdeeldmet dezelfde parameter. Laten C, V en W voorstellen de regeneratieperiode resp. vrijeperiode resp. werkperiode.
16
We kunnen de kansen P0 resp. P1 ook interpreteren als de fractie van de vrije resp. bezettetijd per regeneratieperiode. Dit zal in paragraaf 6.1 aangetoond worden. We krijgen dan,
P0 =IEV
IEC=
λ−1
λ−1 + τ=
11 + λτ
=1
1 + a
P1 =IEW
IEC=
τ
λ−1 + τ=
a
1 + a.
In deze afleiding hebben we alleen gebruikt dat het aankomstproces Poisson is en datverwachting van de bedieningsduurverdeling τ is. De bedieningsduurverdeling behoeft dusniet neg. exp. te zijn.Laten we nu veronderstellen, dat het systeem twee Poisson aankomststromen heeft. Zegklanten van type 1 resp. type 2 komen aan volgens een Poisson proces (λ1) resp. Poisson(λ2).De klanten van type 1 resp. type 2 vragen een bedieningsduur die verdeeld is zoals destoachastische variabele S1 (IES1 = τ1) resp. S2 (IES2 = τ2). Weer veronderstellen we,dat er s bedienden zijn en dat klanten die bij aankomst geen vrije bediende vinden, hetsysteem onmiddellijk verlaten. De stationaire verdeling van het aantal klanten in het sys-teem is de Erlang verliesverdeling met parameter a = λ1τ1 +λ2τ2. Immers, de superpositievan de Poisson aankomstprocessen is een Poisson proces met parameter λ = λ1 + λ2 ende gevraagde bedieningsduur van een willekeurige klant uit deze stroom is dan met kansλ1/λ resp. λ2/λ verdeeld zoals S1 resp. S2. Dus de gevraagde bedieningsduur is verdeeldvolgens S = XS1 + (1−X)S2 waarin X alternatief verdeeld is met succeskans λ1/λ. Dus,IES = λ1/λτ1 + λ2/λτ2 en a = λIES = λ1τ1 + λ2τ2.
Opgave 18: Een dienstencentrum heeft Poisson aankomst processen van klanten van type1 (lage prioriteit) resp. van type 2 (hoge prioriteit). Er zijn 10 bedienden.Geblokkeerde klanten van het type 1 verlaten het systeem. Geblokkeerdeklanten van het type 2 worden verwezen naar een 2e groep van bedienden.Volgens metingen komen klanten van het type 2 aan met een gemiddelde van20 per uur, waarvan er gemiddeld 2 per uur geblokkeerd zijn. De klanten vanhet type 2 vragen gemiddeld 12 minuten bediening.
a. Als het gemiddelde aantal aankomsten per uur verdubbelt voor de klantenvan type 1, hoe wordt dan het gemiddelde aantal geblokkeerde klanten peruur van het type 2?
17
b. De geblokkeerde klanten van type 2 vormen een overloop-proces op de 2egroep bedienden. Kunnen we gebruik maken van de Erlang verliesverdel-ing om te beslissen over het optimale aantal bedienden in de tweede groep?
5.2. Erlang vertragingsverdeling: het M/M/s model
We beschouwen een dienstencentrum met een Poisson aankomstproces (λ) en s bedienden.Indien alle bedienden bezet zijn, dan wachten nieuw aangekomen klanten totdat er eenbediende vrijkomt. Deze klanten worden vertraagd. We nemen aan dat de gevraagdebedieningsduur neg.exp(µ) is.
We veronderstellen dat de wachtruimte onbeperkt groot is. Als wachtrijdisciplines wordenvaak gebruikt: FIFO, dit is bediening in volgorde van binnenkomst en LIFO, hierbij wordtde laatst binnengekomen klant het eerst bediend. In de volgende afleiding mogen weiedere wachtrijdiscipline gebruiken waarvoor de bedieningsvolgorde niet van de gevraagdebedieningsduur afhangt. De parameters van het corresponderende GS-proces zijn λj = λ,j ∈ IN0, en µj = jµ resp. sµ voor j = 0, 1, . . . , s− 1, resp. voor j ≥ s. We noteren weer avoor λ/µ, dus a is de aangeboden belasting. Met relatie (2.8) vinden we Pj+1 = λ
µj+1Pj ,
waaruit
Pj =aj
j!P0, j ≤ s en Ps+k =
as+k
sk · s!P0.
Aan relatie (2.8) wordt voldaan inden a/s < 1, oftwel er bestaat alleen een stationaireverdeling, indien de verkeersintensiteit kleiner is dan 1. Intuıtief is dit aannemelijk. Im-mers, wil er evenwicht mogelijk zijn, dan moet de verwachting van het aantal klanten datbinnenkomt tijdens een bedieningsduur, kleiner zijn dan het aantal bedienden. We nemennu aan dat a/s < 1 en vinden dan als unieke stationaire verdeling Pj = caj
j! resp. c aj
sj−ss!
voor j ≤ s resp. j ≥ s+1 met normeringsconstante c gelijk aan(∑s−1
j=0aj
j! + as
(s−1)!(s−a)
)−1.De kans op vertraging noteren we met C(s, a).
Opgave 19: Toon aan dat voor s > a:a. C(s, a) = as
(s−1)!(s−a)
[∑s−1j=0
aj
j! + as
(s−1)!(s−a)
]−1
b. C(s, a) = sB(s,a)s−a[1−B(s,a)]
c. C(s, a) > B(s, a)d. C(s, a) = 1
1+(s−a)[aB(s−1,a)]−1 met B(0, a) = 1e. voor s > a + 1
C(s, a) =[1 +
(s−a
a
) s−1−aC(s−1,a)(s−1−a)C(s−1,a)
]−1.
18
Opgave 20: (M/M/s/n) We beschouwen een verlies-vertragingsmodel; hierin nemen we aandat de wachtruimte een capaciteit heeft van n − s plaatsen. Aankomendeklanten die al de bedienden bezet en de wachtruimte vol vinden verlaten hetsysteem onmiddellijk. Leid voor dit model de stationaire verdeling af. Voorn = s krijgen we het verliesmodel M/M/s/s en voor n = ∞ het vertragingsmodelM/M/s; toon dit aan voor de stationaire verdelingen.
De werkbelasting a′ definieren we weer als de verwachting van het aantal bezette bedienden,dus a′ =
∑s−1j=1 jPj + s
∑∞j=s Pj .
Opgave 21: Ga na dat voor het vertragingsmodel geldt a = a′ en beredeneer waarom ditzo is.
We zullen nu de verdeling van de wachttijd gaan berekenen. Daarvoor moeten we dewachtrijdiscipline vastleggen; we geven de afleiding voor de FIFO-discipline. De wachttijdis de tijd, die een willekeurige klant in de wachtruimte doorbrengt. Om de wachttijd tekunnen berekenen hebben we het aantal klanten dat een willekeurige klant bij aankomst inhet bedieningscentrum aantreft, nodig. Dit stochastisch aantal voor het stationaire procesnoteren we met NA. We zullen later aantonen dat de verdeling van NA gelijk is aan destationaire verdeling van het aantal klanten in het systeem.We berekenen eerst IP(W > t | NA = s + j) voor j ≥ 0. Laten T1, T2, . . . , Tj+1 deopeenvolgende tijdstippen zijn waarop een bediening bij een van de loketten beeindigdwordt. Dan is Xk := Tk − Tk−1 (met T0 = 0) de tijdsduur dat klant k voorop in dewachtrij staat. Dus,
IP(W > t | NA = s + j) = IP(X1 + · · ·+ Xj+1 > t)
Gedurende de tijd tot Tj+1 zijn alle loketten (of bedienden) bezet. Op grond van de ME vande neg.exp. verdeling geldt nu, dat de X ′
ks, k = 1, . . . , j +1, verdeeld zijn als het minimumvan s onderling onafhankelijke neg.exp(µ) verdeelde stochastische variabelen. De verdelingvan de X ′
ks is dus neg.exp.(sµ). Dus heeft X1 + · · · + Xj+1 een Ej+1sµ -verdeling. Hieruit
volgt
IP(W > t | NA = s + j) = e−sµt
j∑k=0
(sµt)k
k!.
We schrijven ρ voor de verkeersintensiteit a/s (omdat a = a′ is er geen verwarring met deρ voor de bezettingsgraad in paragraaf 5.1).
IP(W > t) =∞∑
j=0
IP(W > t | NA = s + j)IP(NA = s + j)
=as
s!P0
∞∑j=0
IP(W > t | N = s + j)ρj =as
s!P0
∞∑j=0
e−sµt
j∑k=0
(sµt)k
k!ρj
=as
s!P0 e−sµt
∞∑k=0
(sµt)k
k!
∞∑j=k
ρj =as
s!P0
∞∑j=0
ρj
︸ ︷︷ ︸C(s,a)
e−sµt∞∑
k=0
(sµtρ)k
k!
19
= C(s, a) e−(1−ρ)sµt.
Hieruit volgt IP(W = 0) = 1 − C(s, a) en IP(W > t | W > 0) = e−(1−ρ)sµt. De voor-waardelijke verdeling van W gegeven dat W > 0, is dus neg. exp. met parameter (1−ρ)sµ.Ga na dat IE(W | W > 0) = 1
(1−ρ)sµ en IE(W ) = C(s,a)(1−ρ)sµ . IEW als funktie van ρ heeft een
verticale asymptoot voor ρ = 1; dit verklaart het explosieve karakter van de gemiddeldewachttijd voor waarden van ρ dicht bij 1.
Opgave 22: Het dienstencentrum uit opgave 17 wordt nu gemodelleerd als een Erlang ver-tragingsmodel met FIFO wachtrijdiscipline. De wachtkosten van een klant dielanger dan 1/2 uur wacht, bedraagt f 40,-, de overige gegevens zijn dezelfdeals in opgave 17. Bereken de optimale opbrengst per uur. Gebruik voor deopgaven 22 en 25 de grafieken van de C(s, a) functies.
Opgave 23: Beschouw een Erlang vertragingsmodel met FIFO wachtrijdiscipline. Bepaal defractie van het aantal vertraagde klanten dat langer wacht dan de gemiddeldewachttijd van de vertraagde klanten.
Opgave 24: Bepaal de verdeling van de verblijftijd, dit is de wachttijd plus de bedienings-duur, voor het Erlang vertragingsmodel met s = 1.
Opgave 25: Beschouw een Erlang vertragingssysteem met 10 bedienden. De aangebodenbelasting is 6 Erlangs. Indien het aantal aankomsten per tijdseenheid toeneemtmet 33 1/3%, wat is dan de toename in,
a. de fractie van de klanten die vertraagd worden,b. de gemiddelde wachttijd voor de vertraagde klanten?
Beantwoord dezelfde vragen voor het geval de gemiddelde bedieningstijd met33 1/3% toeneemt.
Opgave 26: Zij IEL, IELq de verwachting van het aantal klanten in het systeem resp. inde wachtrij en zij IEW , IEWq de verwachting van de verblijftijd in het sys-teem resp. in de wachtrij. Het systeem is een Erlang vertragingsmodel metaankomstparameter λ. Toon aan dat IEL = λIEW en IELq = λIEWq.
Opgave 27: Toon aan dat voor een Erlang vertragingsmodel met FIFO bedieningsdisci-pline de stationaire voorwaardelijke kans dat een vertraagde klant zich nog inde wachtrij bevindt als de volgende klant binnenkomt, gelijk is aan de ver-keersintensiteit ρ.
In deze paragraaf veronderstelden we dat de bedieningsduur neg.exp. verdeeld is. Destationaire verdeling van het aantal klanten en de wachttijd is niet insensitief voor debedieningsduur verdeling!
5.3. Quasi-random input: eindig aantal bronnen.
Beschouw een machinepark met n machines. Iedere machine gaat stuk na een tijd die neg.exp. (γn) verdeeld is. Er zijn s monteurs en de reparatieduur per machine is neg.exp.(µ).
20
Indien we, zoals steeds, aannemen dat alle levensduren en reparatietijden stochastischonafhankelijk zijn, dan spreken we van het Engset model. Voor het bovenstaande model ishet natuurlijk, dat de machines wachten op reparatie. Dit is het Engset vertragingsmodel.Denken we aan n telefoonabonnees die aangesloten zijn op een centrale met s uitgaandelijnen dan veronderstellen we dat geblokkeerde oproepen verloren gaan. Dit is het Engsetverlies model. Voor we deze modellen nader bestuderen, behandelen we in deze en devolgende paragraaf enkele onderwerpen die we daarvoor nodig hebben.In deze paragraaf bestuderen we de quasi-random input. Dit is een geboorte-proces metparameters λj = (n − j)γn resp. 0 voor 0 ≤ j ≤ n − 1 resp. j ≥ n. We zullen aantonendat dit geboorte-proces convergeert naar het Poisson proces indien n → ∞ en nγn → λ(met 0 < λ < ∞). Dit verklaart waarom in veel praktische modellen met een groot aantalbronnen de aanname dat het aankomstproces Poisson is, een redelijke veronderstelling is.Beschouwen we nu een quasi-random input (n, γn) en laat Nn(t) het aantal aankomstenvoorstellen in (0, t]. Dan geldt
IP(Nn(t) = j) =(
n
j
)(1− e−γnt
)j e−γnt(n−j)
=n(n− 1) · · · (n− j + 1)
j!(γnt + o(γn)
)j e−γnt(n−j)
=1(1− 1
n ) · · · (1− j−1n )
j!(nγnt + no(γn)
)j e−nγnt+jγnt
−→n→∞
1j!
(λt)j e−λt, indien nγn −→n→∞
λ.
Hieruit volgt, dat de marginale verdeling op tijdstip t convergeert naar die van het Pois-son proces (λ). Maar niet alleen deze marginale verdelingen, ook de processen con-vergeren. Zij Tn
k voor k = 1, 2, . . . de opeenvolgende tijdstippen van aankomst in het(n, γn)-aankomstproces en zij Xn
k = Tnk+1 − Tn
k (met Tn0 = 0) voor k = 0, 1, . . .. Indien
wij corresponderende stochastische variabelen Tk en Xk, k = 0, 1, . . . definieren voor hetPoisson-proces (λ) dan geldt,
IP(Xn0 > t) = e−nγnt −→
n→∞e−λt = IP(X0 > t)
en voor k ∈ IN,
IP(Xnk+1 > t | Xn
0 = t0, . . . , Xnk = tk) =
= IP(Xnk+1 > t) = e−(n−k−1)γnt −→
n→∞e−λt = IP(Xk+1 > t).
In termen van het aantal kapotte machines op tijdstip t uit een verzameling van n, is hetquasi-random input proces, zoals het boven gedefinieerd is, geassocieerd met het aantalmachines dat voor de eerste keer kapot is gegaan. Echter, als Nn(t) het totaal aantal kerenaangeeft dat in (0, t] een machine kapot is gegaan, dan convergeert Nn(t)t eveneensnaar een Poissonproces met parameter λ, wanneer nγn → λ, n → ∞. Hierbij spelen de
21
kansverdeling van de reparatietijd en de keuze van kapotte machines (het “bedieningsmech-anisme”) geen rol, mits een gerepareerde machine weer als nieuw is en een exp. (γn) nodigheeft alvorens kapot te gaan, die onafhankelijk is van het reparatieproces.
Opgave 27*:Toon dit aan.
5.4. De stationaire verdeling voor aankomende klanten.
Zoals we eerder definieerden, is Pj(t) de kans dat er op tijdstip t j klanten aanwezig zijn.Pj(t) kan dus gezien worden als de kans, dat een waarnemer van buiten (dus die niet alsklant in het systeem aanwezig is) op tijdstip t j klanten aantreft. Laat Πj(t) voorstellende voorwaardelijke kans, dat er juist voor tijdstip t j klanten aanwezig zijn, gegeven dater op tijdstip t een klant aankomt. Πj(t), j ∈ IN0 is de verdeling van het aantal klanten,dat een op tijdstip t aankomende klant aantreft. In het algemeen zijn Pj(t) en Πj(t),j ∈ IN0 verschillende verdelingen. Zeer duidelijk is dit voor het model met 1 machine en1 bediende. Laat E0 resp. E1 voorstellen de toestand dat de bediende vrij resp. bezet is.Als op tijdstip t de machine stuk gaat dan is de toestand E0, dus Π0(t) = 1, ∀t. We zullende relatie tussen Pj(t) en Πj(t), j ∈ IN0 afleiden. Laat C(t, t + h) de eventualiteitvoorstellen, dat een klant aankomt in het tijdsinterval (t, t + h). We nemen aan dat geldtΠj(t) = limh→0 IPN(t) = j | C(t,t + h).Met de regel van Bayes vinden we,
Πj(t) = limh→0
IPC(t, t + h) | N(t) = jPj(t)∑∞k=0 IPC(t, t + h) | N(t) = kPk(t)
.
Voor een GS-proces geldt IPC(t, t + h) | N(t) = j = λj · h + o(h). Substitutie inbovenstaande formule geeft
(5.1) Πj(t) =λjPj(t)∑∞
k=0 λkPk(t).
Voor het Poisson proces (λ) geldt λk = λ, k ∈ IN0, en dus zijn de verdelingen vooreen waarnemer van buiten en voor een aankomende klant aan elkaar gelijk. Laten wede beginverdeling gelijk nemen aan de stationaire verdeling Pj (aannemende dat dezebestaat). Dan geldt Pj(t) = Pj , t ≥ 0, ∀ j en we vinden de volgende expressie voor destationaire verdeling Πj van een aankomende klant
(5.2) Πj =λj
λPj met λ =
∞∑k=o
λkPk.
Opgave 28: Een diensten-centrum met een bediende en een oneindig grote wachtruimte isgemodelleerd als een GS-proces met λj = (j + 1)−1λ voor j ≥ 0 en µj = µ
voor j ≥ 1. Toon aan dat, Pj = (λτ)j
j! e−λt j ≥ 0 en Πj =(1 − e−λt
)−1Pj+1,
j ≥ 0 met τ = µ−1. Bepaal a en a′ en bewijs a = a′.
22
Opgave 28*:Veronderstel een Poisson (λ) aankomstproces en neg.exp(µ) verdeelde bedi-eningsduren en een bediende. Een aankomende klant die j klanten aantreft,verlaat het systeem onmiddellijk met wh. j/j + 1; klanten die niet onmiddel-lijk vertrekken wachten net zolang tot ze bediend zijn. Bepaal Pj en Πj.Toon aan, dat een aankomende klant met kans a−a′
a het systeem onmiddellijkverlaat.
Opgave 29: Beschouw een diensten-centrum met Poisson aankomstproces (λ) en s bedien-den waarin geblokkeerde klanten wachten. De bedieningsduur is neg. exp(µ)verdeeld. Indien de bediening afgelopen is, verlaat de klant met kans (1 − p)het systeem en met kans p vraagt de klant een nieuwe bediening. Bepaal destationaire kans dat een klant die voor de eerste maal aankomt, alle bediendenbezet vindt.
5.5. Engset verliesverdeling
We beschouwen een systeem met quasi-random input (n, γ) en bedieningsduren die neg.exp. (µ) verdeeld zijn. Er zijn s bedienden en we veronderstellen, dat geblokkeerdeoproepen verloren gaan. Het corresponderende GS-proces heeft parameters λj = (n− j)γresp. 0 voor j < s resp. j ≥ s en µj = jµ resp. 0 voor j ≤ s resp. j ≥ s. Ga na dat destationaire verdeling voldoet aan
Pj =(n− j + 1)γ
jµPj−1 = . . . =
(n
j
)(γµ
)jP0
met P0 =[∑s
j=0
(nj
)( γ
µ )j]−1.
De stationaire verdeling bij n bronnen noteren we met Pj [n], j ∈ IN0. Een bron dieeen taak geproduceerd heeft en wacht op bediening, noemen we passief. Als de bedien-ing beeindigd is, dan wordt de bron aktief en produceert na een stochastische tijd (hierneg.exp. (γ)-verdeeld) weer een taak. De verwachting van het aantal taken dat een voort-durend aktieve bron per bedieningsduur produceert, is γ/µ; we noteren dit met a. Wevinden dan,
Pj [n] =
(nj
)aj∑s
k=0
(nk
)ak
=
(nj
)pj(1− p)n−j∑s
k=0
(nk
)pk(1− p)n−k
0 ≤ j ≤ s en p =a
1 + a.
Dit is een afgeknotte binomiale verdeling.Evenals de Erlang verliesverdeling blijkt de Engset verliesverdeling insensitief te zijn voorde gevraagde bedieningsduur S, zolang maar IES = 1/µ.
5.6. Engset vertragingsverdeling
In dit model zijn er n bronnen en s bedienden (n ≥ s). Klanten die alle bedienden bezetvinden, wachten in een wachtrij. Voor de afleiding van de stationaire verdeling mogen weiedere wachtrij discipline nemen, waarvoor de bedieningsvolgorde niet van de gevraagde
23
bedieningsduur afhangt. Voor de afleiding van de wachttijdverdeling zullen we bedieningin volgorde van binnenkomst (FIFO) veronderstellen. De bedieningsduren zijn neg.exp(µ)verdeeld. Het corresponderende GS-proces heeft als parameters λj = (n− j)γ resp. 0 voor0 ≤ j ≤ n resp. j > n en µj = jµ resp. sµ voor 0 ≤ j ≤ s resp. j > s + 1. Ga na dat metde notatie a voor γ/µ voor de stationaire verdeling Pj [n], j ∈ IN0, geldt
Pj [n] =
(nj
)ajP0[n] 0 ≤ j ≤ sn!
(n−j)!s!1
sj−s ajP0[n] s + 1 ≤ j ≤ n
met
P0[n] =
[s∑
k=0
(n
k
)ak +
n∑k=s+1
n!(n− k)!s!sk−s
ak
]−1
.
We zullen nu de relatie afleiden tussen de stationaire verdeling voor een waarnemer vanbuiten (dus Pj [n], j ∈ IN, bij n bronnen) en de stationaire verdeling voor een aankomendeklant. Bij n bronnen noteren we deze met Πj [n], j ∈ IN0. Relatie (5.2) voor een n-bronnen-input is
(5.3) Πj [n] =(n− j)Pj [n]∑n−1
k=0(n− k)Pk[n], 0 ≤ j ≤ n− 1.
We geven de afleiding voor niet nader gespecificeerde sterfte-parameters µj , j ∈ IN0. Destationaire verdeling Pj [n] wordt bepaald door
(5.4) Pj [n] =n(n− 1) · · · (n− j + 1)γj
µ1µ2 · · ·µjP0[n], 1 ≤ j ≤ n
met
(5.5) P0[n] =
[1 +
n∑k=1
n(n− 1) · · · (n− k + 1)γk
µ1µ2 · · ·µk
]−1
.
Substitutie van (5.4) in (5.3) geeft
Πj [n] =n(n−1)···(n−j+1)(n−j)γj
µ1µ2···µjP0[n]
nP0[n] +∑n−1
k=1n(n−1)···(n−k+1)(n−k)γk
µ1µ2···µkP0[n]
1 ≤ j ≤ n− 1.
Delen we teller en noemer door nP0[n] dan vinden we
(5.6) Πj [n] = Pj [n− 1], 1 ≤ j ≤ n− 1.
Relatie (5.6) zegt, dat aankomende klanten het systeem waarnemen zoals een waarnemervan buiten een systeem met (n − 1) bronnen ziet. Met de stationaire verdeling voor
24
aankomende klanten kunnen we de wachttijdverdeling berekenen voor de FIFO discipline.Laten we de tijd die aan aankomende klant in de wachtrij doorbrengt, noteren met W .
(5.7) IPW = 0 =s−1∑j=0
Πj [n] =s−1∑j=0
Pj [n− 1] > 0.
De stochastische variabele die het aantal klanten in het systeem vlak voor aankomst vaneen klant in het stationaire proces aangeeft, noteren we met NA, zodat
(5.8) IPW > t =n−s−1∑
j=0
IPW > t | NA = s + jIPNA = s + j.
We hebben afgeleid, dat IPNA = s + j = Ps+j [n − 1]. Voorts geldt op dezelfde manierals in het Erlang vertragingsmodel, dat de verdeling van W , gegeven dat er bij aankomst(s+j) klanten in het systeem zijn, een Erlang verdeling heeft met (j+1) fasen en parametersµ. Dus
(5.9) IPW > t | NA = s + j = e−sµt
j∑i=0
(sµt)i
i!
Opgave 30: Toon door substitutie van (5.7) en (5.9) in (5.8) aan, dat
IPW > t = cn−s−1∑
j=0
[φ(t)]j
j!e−φ(t)
met φ(t) = sµγ + sµt en c = Π0[n] (n−1)!as
s!
(as
)n−s−1 esµ/γ .De verdeling van W heeft een atoom voor t = 0 en is voor t > 0 een getransformeerdeErlang verdeling met (n − s) fasen en parameter sµ. We hebben de werkbelasting a′
gedefinieerd als de verwachting van het aantal bezette bedienden. Met µj = µ· (# bezettebedienden) vinden we,
a′ =1µ
n∑j=1
µjPj [n].
Met behulp van de relatie λj−1Pj−1[n] = µjPj [n] voor 1 ≤ j ≤ n, vinden we dan
(5.10) a′ =1µ
n−1∑j=0
λjPj [n].
Substitueren we (n− j)γ voor λj , dan volgt
(5.11) a′ =γ
µ
(n−
n∑j=1
jPj [n]).
25
Zoals in het Erlang vertragingsmodel geldt ook hier, dat de aangeboden belasting a gelijkis aan de werkbelasting a′. Met a = γ/µ vinden we
(5.12) a = a(n−
n∑j=1
jPj [n]).
Deze relatie is intuıtief te verklaren. Immers (n−∑n
j=1 jPj [n]) is de verwachting van hetaantal aktieve bronnen en a is de aangeboden belasting van een steeds aktieve bron. Wezullen later met de formule van Little afleiden
(5.13)n∑
j=1
jPj [n] = aµ( 1
µ+ IEW
).
Relaties (5.12) en (5.13) geven met IET = 1µ + IEW , (T is de verblijftijd in het diensten-
centrum, dus de wachttijd + de bedieningsduur)
(5.14) n = aµ( 1
γ+ IET
).
Als het systeem in stationaire verdeling is, geldt dat de verwachting van het aantal gepro-duceerde taken per tijdseenheid gelijk is aan het aantal afgehandelde taken per tijdseenheid;dit laatste wordt de doorzet genoemd, notatie λ. Bijgevolg geldt λ =
∑nj=0 λjPj [n], dus
λ = aµ. T wordt ook de responstijd genoemd, de tijd die een aktieve bron nodig heeft eentaak te produceren heet denktijd, de denktijd + de responstijd heet de cykeltijd (notatieC). Relaties zoals (5.14) zijn belangrijk in de prestatie-analyse voor computer en produktiesystemen. In λ en IEC uitgedrukt wordt (5.14),
(5.15) n = λIEC.
Opgave 31: Beschouw een diensten-centrum met een quasi-random input (n, j) en geblok-keerde klanten wachten. Het bedieningsproces is een sterfteproces met param-eters µj = jµ. Bepaal Πj [n], 0 ≤ j ≤ n− 1.
Opgave 31A: Bepaal IEW voor het Engset vertragingsmodel.
§6. Vernieuwingstheorie
6.1. De vernieuwingsfunktie
Bij het Poisson (λ) proces zijn de tijdsduren tussen de aankomsten exponentieel (λ)verdeeld en onderling onafhankelijk. Een natuurlijke uitbreiding is een aankomstenpro-ces, waarvoor de tussentijden onderling onafhankelijk zijn en een willekeurige verdeling,zeg F , hebben. Vanwege de toepassingen in vervangingsmodellen spreekt men veelal vanvernieuwingen i.p.v. aankomsten en wordt het telproces dat het aantal aankomsten ofvernieuwingen in ieder tijdsinterval aangeeft, een vernieuwingsproces genoemd.
26
Laat Xn, n = 1, 2, . . . , de tijdsduur tussen de (n− 1)e en ne vernieuwing voorstellen. Weveronderstellen dat IP(Xn = 0) = F (0) < 1. De verwachting van de tussentijden noemenwe τ , dus τ = IEXn =
∫∞0
xdF (x).Zij
S0 = 0 en Sn =n∑
i=1
Xi, n ≥ 1,
dan is Sn de tijdsduur tot de ne aankomst of vernieuwing. Het aantal aankomsten in [0, t],zeg N(t), is gelijk aan grootste waarde van n waarvoor geldt Sn ≤ t. Het stochastischeproces N(t), t ≥ 0 wordt een vernieuwingsproces genoemd. Voor iedere t is het aantalvernieuwingen N(t) met kans 1 eindig. Immers, uit de sterke wet van de grote aantallenvolgt, dat met kans 1 Sn/n → τ voor n → ∞. Omdat τ > 0 kunnen er met kans 1 maareindig veel waarden van n zijn waarvoor Sn ≤ t.De vernieuwingsfunktie m(t), t ≥ 0 wordt gedefinieerd door
m(t) = IEN(t), t ≥ 0.
Noteren we Fn(t), n = 1, 2, . . . voor de verdelingsfunktie van Sn dan vinden we de volgenderepresentatie voor de vernieuwingsfunktie.
Lemma.
m(t) =∞∑
n=1
Fn(t).
Bewijs.
N(t) =∞∑
n=1
In
met
In =
1, als de ne vernieuwing in [0, t] ligt0, anders
.
Dan volgt
m(t) = IEN(t) = IE
[ ∞∑n=1
In
]=
∞∑n=1
IEIn =∞∑
n=1
IP(In = 1)
=∞∑
n=1
IP(Sn ≤ t) =∞∑
n=1
Fn(t).
Daar IP(Xn = 0) < 1 is er een α > 0 met IP(Xn ≥ α) > 0. We definieren een majorerendvernieuwingsproces N(t)t≥0 door
Xn =
0 als Xn < αα als Xn ≥ α
en N(t) = supn : X1 + · · ·+ Xn ≤ t.
Dan geldt ten duidelijkste (met kans 1!)
N(t) ≤ N(t).
27
Opgave 32: Toon aan dat voor de stochastische variabele Y met niet-negatieve verdelings-functie G(y) geldt: IEY r = r
∫∞0
yr−11 − G(y)dy. Gebruik dit om aan tetonen, dat IEN
r(t) < ∞.
Uit bovenstaande opgave volgt, dat ook voor N(t) geldt
IENr(t) < ∞ , r = 1, 2, . . . .
Om m(t) te berekenen is de volgende integraalvergelijking van belang.
Stelling.
(6.1) m(t) = F (t) +∫ t
0
m(t− x)dF (x).
Bewijs. We berekenen m(t) = IEN(t) voor vaste t. Indien X1 = x dan geldt,
N(t) =
0 als x > t1 + N∗(t− x) als x ≤ t
met N∗(t) het vernieuwingsproces op de rij stochasten X2, X3, . . .. Hieruit volgt
IEN(t) =∫ ∞
0
IE(N(t) | X1 = x) dF (x) =∫ t
0
(1 + IEN∗(t− x)) dF (x).
IEN∗(t) = IEN(t), omdat alle stochasten Xn dezelfde verdeling hebben. Door substitutiehiervan en herschrijving volgt de integraalvergelijking.Voor F (t) de exponentiele (λ) verdeling kennen we de vernieuwingsfunctie. Immers m(t) =λt, dit is de verwachting van het aantal aankomsten in [0, t] voor een Poisson (λ) proces.Voor niet te grote waarden van t kan de integraalvergelijking numeriek opgelost worden.Voor grotere waarden van t kan de asymptotische ontwikkeling van m(t) gebruikt worden.
Stelling. Met kans 1 geldt limt→∞N(t)
t = 1τ .
Bewijs. Met kans 1 is N(t) een niet dalende functie en dus bestaat N(∞) = limt→∞ N(t).N(∞) < ∞ kan alleen gelden als Xn = ∞ voor minstens een waarde van n. Met IP(Xn =∞) = 0 volgt dat IP(N(∞) < ∞) = 0. Dus er geldt met kans 1 dat limt→∞ N(t) = ∞.Voor iedere t geldt de relatie
SN(t) ≤ t < SN(t)+1.
Dientengevolge
(6.2)SN(t)
N(t)≤ t
N(t)<
SN(t)+1
N(t) + 1N(t) + 1
N(t).
Daar N(t) → ∞ volgt limt→∞N(t)+1
N(t) = 1 met kans 1. Uit de sterke wet van de groteaantallen volgt dat met kans 1
limt→∞
SN(t)
N(t)= lim
t→∞
SN(t)+1
N(t) + 1= τ.
28
De uitspraak van de stelling volgt dan door combinatie met (6.2).Indien we verwachting en limiet mogen verwisselen, dan volgt uit de bovenstaande stelling
limt→∞
m(t)t
=1τ
.
Deze asymptotische ontwikkeling van m(t) geldt wel, maar kan zo niet aangetoond worden.We zullen een asymptotische ontwikkeling afleiden, waaruit de bovenstaande volgt. Wegebruiken daarbij een belangrijke stelling, die in een algemenere vorm te vinden is in Felleronder de naam key renewal stelling.
Key renewal stelling (eenvoudige versie) Veronderstel dat F een dichtheid f heeft enlaat a(t), t ≥ 0, een eindige som zijn van monotone, integreerbare functies. We beschouwende volgende integraalvergelijking voor een functie z(t), t ≥ 0
z(t) = a(t) +∫ t
0
z(t− x)f(x) dx, t ≥ 0.
Deze vergelijking, die ook wel een vernieuwingsvergelijking wordt genoemd, heeft een uniekeoplossing die begrensd is op ieder eindig interval en wel de volgende
z(t) = a(t) +∫ t
0
a(t− x)m′(x) dx, t ≥ 0,
met m′(x) de afgeleide van m(x). Voor z(t) geldt de volgende asymptotische ontwikkeling,
limt→∞
z(t) =1τ
∫ ∞
0
a(x) dx.
Met deze stelling vinden we de volgende asymptotische ontwikkeling van m(t).
Stelling. Veronderstel dat σ2 := var Xn < ∞. Dan geldt
limt→∞
(m(t)− t
τ
)=
σ2
2τ2− 1
2 .
Bewijs. We definieren z(t) := m(t)− t/τ , t ≥ 0.Uit (6.1) volgt dat z(t) voldoet aan de vernieuwingsvergelijking met a(t) = 1
τ
∫∞t
(x −t)f(x) dx− (1−F (t)), t ≥ 0. Merk op, dat a(t) de som is van twee monotone functies. Wemogen dus de key renewal stelling toepassen. Dus
limt→∞
(m(t)− t/τ) =1τ
∫ ∞
0
a(x) dx.
Met ∫ ∞
0
(1− F (x)) dx = τ
29
en ∫ ∞
0
(∫ ∞
t
(x− t)f(x) dx
)dt =
∫ ∞
0
(∫ x
0
dt
)xf(x) dx−
∫ ∞
0
(∫ x
0
t dt
)f(x) dx
= 12
∫ ∞
0
x2f(x) dx =σ2 + τ2
2
vinden we, dat1τ
∫ ∞
0
a(x) dx =σ2
2τ2− 1
2 .
Het blijkt, dat de volgende benadering voor de vernieuwingsfunctie in veel gevallen bruik-baar is voor niet te kleine waarden van t (zie Tijms)
m(t) .=t
τ+
σ2
2τ2− 1
2 .
6.2. De resterende levensduur verdeling.De resterende levensduur R(t) op tijdstip t is gedefinieerd als
R(t) = SN(t)+1 − t.
Om de kans IP(R(t) > u) voor vaste u te bepalen leiden we een vernieuwingsvergelijkingaf. Er geldt
IP(R(t) > u | X1 = x) =
IP(R∗(t− x) > u) als x ≤ t0 als t < x ≤ t + u1 als x > t + u
met R∗(t) de resterende levensduur op tijdstip t voor de tussentijden X2, X3, . . .. DaarR∗(t) in verdeling gelijk is aan R(t), geldt
IP(R(t) > u) =∫ t
0
IP(R(t− x) > u)f(x) dx +∫ ∞
t+u
f(x) dx, t ≥ 0.
Dit is voor vaste u een vernieuwingsvergelijking in de functie z(t) = IP(R(t) > u). Volgensde key renewal stelling geldt,
IP(R(t) > u) = 1− F (t + u) +∫ t
0
(1− F (t + u− x))m′(x) dx.
Alleen als we m′(x) uitgerekend hebben, kunnen we de integraal berekenen. Voor het gevalvan exponentieel (λ) verdeelde tussentijden hebben we 1 − F (t) = e−λt en m(x) = λx.Substitueren we dit, dan vinden we IP(R(t) > u) = e−λu, u ≥ 0. Dit resultaat zegt, datin een Poisson (λ) proces de resterende tijd tot de volgende aankomst exponentieel (λ)verdeeld is. We hebben deze eigenschap in vorige paragrafen herhaaldelijk gebruikt.
30
In het algemeen is de bovenstaande integraal moeilijk te bepalen. Voor grotere waardenvan t kunnen we weer een asymptotische ontwikkeling afleiden. Volgens de key renewalstelling geldt:
(6.3) limt→∞
IP(R(t) > u) =1τ
∫ ∞
u
(1− F (x))dx.
We schrijven H(u) voor 1τ
∫ u
0(1−F (x))dx. De functie H is een verdelingsfunctie. Immers
H(u) is monotoon niet-dalend in u, H(0) = 0 en
limu→∞
H(u) = limu→∞
1τ
∫ u
0
(1− F (x))dx =1τ
∫ ∞
0
(1− F (x))dx
=1τ
∫ ∞
0
(∫ ∞
x
dF (t))
dx =1τ
∫ ∞
0
(∫ t
0
dx
)dF (t) =
1τ
∫ ∞
0
t dF (t) = 1.
Dus H(u) is een verdelingsfunctie met dichtheid 1τ (1−F (u)). Laat R(∞) een stochastische
variabele zijn met verdelingsfunctie H. Volgens de relatie (6.3) geldt dan, dat R(t) inverdeling naar R(∞) convergeert. In toepassingen kan R(∞) als benadering van R(t)voor niet te kleine waarden van t gebruikt worden. H is de evenwichtsverdeling voor deresterende levensduur. Indien X1 als verdeling H heeft en Xn, n ≥ 2 als verdeling F , danis het proces R(t), t ≥ 0, een stationair proces. Zeg, een observator beschouwt het procesals het al een lange tijd geleden gestart is. Indien hij geen informatie over het proces heeft,dan zal de tijdsduur tot de volgende vernieuwing bij benadering de verdeling H hebben.We berekenen de verwachting van deze tijdsduur
IER(∞) =1τ
∫ ∞
0
x(1− F (x)) dx =1τ
∫ ∞
0
x
(∫ ∞
x
dF (t))
dx
=1τ
∫ ∞
0
(∫ t
0
x dx
)dF (t) =
1τ
∫ ∞
0
12 t2 dF (t) =
12τ
IEX2n
=12τ
(τ2 + σ2) =τ
2+
σ2
2τ. =
1τ
[1 + V C2(R(∞)
].
Intuıtief zouden we verwachten dat IER(∞) = τ2 . Dit is alleen het geval voor tussentijden
die deterministisch zijn. Immers, dan is σ2 = 0. Indien het aankomstproces Poissonis, hebben we τ = 1/λ en σ2 = 1/λ2, zodat IER(∞) = 1/λ. Bij gelijke verwachtingenvan de tussentijden is de verwachting van de wachttijd tot de volgende aankomst bij hetPoisson proces dus tweemaal zo groot als bij deterministische tussentijden. In het algemeengeldt, dat hoe groter de variantie van de tussentijden is, hoe langer de verwachting van dewachttijd.Bij het Poisson (λ) proces is de wachttijd tot de eerstvolgende vernieuwing in de even-wichtssituatie exponentieel (λ) verdeeld. Ook de tijdsduur sinds de laatste vernieuwing isexponentieel (λ) verdeeld. Dit is in te zien door te bedenken dat een vernieuwingsprocesdat loopt van t = −∞ tot t = ∞ symmetrisch is in de tijdrichting. In de evenwichtssi-tuatie is de tussentijd tussen de vernieuwingen voor en na een tijdstip t dus de som van
31
twee exponentieel (λ) verdeelde stochastische variabelen. Dit verschijnsel wordt wel dewachttijdparadox genoemd.
6.3. Vernieuwingsprocessen met opbrengstenIn veel modellen zijn er in het vernieuwingsproces opbrengsten of kosten. In deze paragraafleiden we een limietstelling af voor de gemiddelde (verwachte) opbrengsten per tijdseenheid.We beschouwen het vernieuwingsproces N(t), t ≥ 0met Xn, n ≥ 1 de tijdsduur tussen de(n− 1)e en ne vernieuwing. Op het tijdstip van de ne vernieuwing wordt er een opbrengstontvangen met een stochastische grootte van Rn. We nemen aan dat de Rn, n ≥ 1,onderling onafhankelijk zijn en dezelfde verdeling hebben. Vaak zal Rn afhangen van Xn,maar we veronderstellen dat de paren (Xn, Rn), n ≥ 1, wel onderling onafhankelijk zijn endezelfde verdeling hebben. Zij R(t) de totale opbrengst tot op tijdstip t, dan geldt
R(t) =N(t)∑n=1
Rn.
Stelling 1 Indien IE|R1| < ∞ en IEX1 < ∞ dan geldt
(6.4a) limt→∞
R(t)t
=IER1
IEX1met kans 1
(6.4b) limt→∞
IER(t)t
=IER1
IEX1.
Voor het bewijs van deze stelling hebben we de gelijkheid van Wald nodig. We zullen dezegelijkheid eerst afleiden.Laat X1, X2, . . . een rij van onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn. Eenstochastische variabele N , die alleen positieve gehele waarden aanneemt, heet een stoptijdvoor de rij, indien voor n = 1, 2, . . . de eventualiteit N = n stochastisch onafhankelijk isvan Xn+1, Xn+2 . . ..
Stelling 2. (Gelijkheid van Wald) Veronderstel dat Xn, n ≥ 1, onderling stochastischonafhankelijk zijn en dezelfde verdeling hebben met IE|X1| < ∞. Indien N een stoptijd isvoor de rij met IEN < ∞ dan geldt
(6.5) IE
[N∑
n=1
Xn
]= IEN · IEX1.
Bewijs. MetIn =
1 als N ≥ n0 als N < n
vinden weN∑
n=1
Xn =∞∑
n=1
XnIn.
32
We gaan de volgorde van sommatie en verwachting verwisselen. Omdat IE|Xn| < ∞ en eruiteindelijk iets eindigs uitkomt, is dit correct.
(6.6) IE
[N∑
n=1
Xn
]= IE
[ ∞∑n=1
XnIn
]=
∞∑n=1
IE[XnIn].
De eventualiteit In = 0 is de vereniging van de eventualiteiten N = 1 ∪ N = 2 ∪· · · ∪ N = n− 1 en is dus stochastisch onafhankelijk van Xn, Xn+1, . . .. Omdat In alleende waarden 0 en 1 aanneemt, is In stochastisch onafhankelijk van Xn, Xn+1, . . .. In hetbijzonder geldt voor n = 1, 2, . . .,
IE[XnIn] = IE[Xn]IE[In].
Met (6.6) vinden we dan,
IE
[N∑
n=1
Xn
]=
∞∑n=1
IE[Xn]IE[In]
= IE[X1]∞∑
n=1
IE[In]
= IE[X1]∞∑
n=1
IP[N ≥ n]
= IE[X1]IE[N ].
We geven nu het bewijs van Stelling 1.
Bewijs stelling 1. (a)
(6.7)R(t)
t=
(∑N(t)n=1 Rn
N(t)
)·(
N(t)t
).
Volgens de sterke wet van de grote aantallen geldt
(6.8) limt→∞
∑N(t)n=1 Rn
N(t)= IER1 met kans 1,
daar limt→∞ N(t) = ∞ met kans 1. Volgens de stelling op pag. 27 geldt
(6.9) limt→∞
N(t)t
=1
IEX1met kans 1.
Relaties (6.7), (6.8) en (6.9) geven onderdeel (a) van de stelling.
33
(b) N(t) + 1 is een stoptijd voor de rij stochasten X1, X2, . . . en dus ook voor de rijstochasten R1, R2, . . .. Uit de gelijkheid van Wald volgt dan
IE
N(t)∑i=1
Ri
= IE
N(t)+1∑i=1
Ri
− IERN(t)+1
= (m(t) + 1)IER1 − IERN(t)+1.
HieruitIER(t)
t=
m(t) + 1t
IER1 −1tIERN(t)+1.
Uit de 2e stelling van pag. 28 volgt, dat limt→∞m(t)+1
t = 1IEX1
. We moeten dus nogaantonen, dat limt→∞
1t IERN(t)+1 = 0.
Zijz(t) = IERN(t)+1.
Met F de verdelingsfunctie van X1 geldt
z(t) =∫ ∞
0
IE(RN(t)+1 | X1 = x) dF (x).
We willen voor z(t) een vernieuwingsvergelijking afleiden. Daartoe beschouwen we
IE(RN(t)+1 | X1 = x) =
IER∗N(t−x)+1 x ≤ t
IE(R1 | X1 = x) x > t,
met R∗t de opbrengsten op (Xn, Rn), n ≥ 2. Er geldt IER∗
N(t−x)+1 = IERN(t−x)+1 =z(t− x). Met
a(t) =∫ ∞
t
IE(R1|X1 = x) dF (x)
vinden we dan
z(t) =∫ ∞
t
IE(RN(t)+1|X1 = x) dF (x) +∫ t
0
IE(RN(t)+1|X1 = x) dF (x)
= a(t) +∫ t
0
z(t− x) dF (x).
Uit het 1e deel van de key renewal stelling volgt
z(t) = a(t) +∫ t
0
a(t− x)m′(x) dx.
We merken op dat a(t) monotoon dalend is als R1 ≥ 0, maar niet noodzakelijk integreer-baar. Dit is voor dit deel van de key renewal stelling ook niet nodig. Omdat IE|R1| < ∞
34
volgt dat limt→ a(t) = 0. Kies ε > 0 en t1 zo, dat |a(t)| < ε voor t ≥ t1. Met |a(t)| ≤ IE|R1|volgt voor t > t1,
|z(t)|t
≤ |a(t)|t
+∫ t−t1
0
|a(t− x)|t
m′(x) dx +∫ t
t−t1
|a(t− x)|t
m′(x) dx
≤ ε
t+
ε
tm(t− t1) + IE|R1|
m(t)−m(t− t1)t
.
Hieruit volgt met de stelling van pag. 28 dat limt→∞|z(t)|
t = 0.Bij stelling 1 hebben we verondersteld dat de opbrengsten op vernieuwingstijdstippen ont-vangen worden. Het is eenvoudig in te zien, dat de uitspraken geldig blijven als er ookopbrengsten ontvangen worden tussen de vernieuwingstijdstippen. Laat hiertoe R(t) weerde totale opbrengst zijn tot op tijdstip t. Indien de opbrengsten niet-negatief zijn, dangeldt met Rn := R(Sn)−R(Sn−1)∑N(t)
n=1 Rn
t≤ R(t)
t≤∑N(t)
n=1 Rn
t+
RN(t)+1
t.
Omdat limt→∞
∑N(t)+1
n=1Rn
N(t)+1 = IER1 met kans 1 en limt→∞N(t)+1
t = 1IEX1
met kans 1, volgtdeel (a).Onder (b) bewezen we dat
limt→∞
IERN(t)+1
t= 0
en dus blijft ook (b) geldig. Indien de opbrengsten ook negatief kunnen zijn, dan moetenwe de positieve en negatieve opbrengsten voor de bewijsvoering scheiden. De stelling blijftgeldig.
Als toepassing van stelling 1 beschouwen we het volgende vervangingsmodel. Een onderdeelvan een machine kan vervangen worden met kosten c1. Als het onderdeel faalt, moet hetvervangen worden en zijn de kosten c2 (c2 > c1). De strategie die we willen gebruiken, iseen vervangingsregel die de leeftijd van het onderdeel gebruikt. De kritieke–grens–s–regelvervangt het onderdeel, als de leeftijd s is of als het onderdeel voor leeftijd s stuk gaat.De vraag is, wat de beste waarde van s is, als we de gemiddelde verwachte kosten pertijdseenheid zo klein mogelijk willen maken.De levensduren van de onderdelen, Y1, Y2, . . ., zijn stochastisch onafhankelijk en hebbenallen dezelfde verdeling F . Als vernieuwingstijdstippen beschouwen we de tijdstippenwaarop onderhoud wordt uitgevoerd, dus bij falen en preventief.Bij kritieke–grens–s–regel is de duur Xn tussen de (n − 1)e en ne vernieuwing gelijk aanmin(s, Yn).De kosten Rn bij de n’de vernieuwing zijn,
Rn =
c1 als s < Yn
c2 als s ≥ Yn
35
Volgens stelling 1 zijn c(s), de gemiddelde verwachte kosten per tijdseenheid, gelijk aanIERn
/IEXn.
IERn = c1(1− F (s)) + c2F (s)
IEXn = IE[min(s, Yn)] =∫ s
0
x dF (x) + s(1− F (s)) =∫ s
0
(1− F (x)) dx.
Dus
c(s) =c1(1− F (s)) + c2F (s)∫ s
0(1− F (x)) dx
.
De beste s-waarde vinden we door de afgeleide van c(s) naar s te beschouwen. Voor de een-voud van de afleiding nemen we aan, dat F een dichtheid f heeft. In vervangingsmodellenwordt vaak de faal-intensiteit gebruikt,
r(x) =f(x)
1− F (x), x ≥ 0.
Een onderdeel met levensduur x faalt tussen x en x+h met waarschijnlijkheid r(x)·h+o(h).We nemen aan dat r(x) stijgend is in x en limx→∞ r(x) = ∞. Het unieke minimum vanc(s) wordt dan aangenomen voor de waarde s∗ die voldoet aan
(c2 − c1)r(s∗) = c(s∗).
Opgave 33: Toon dit aan en geef een verklaring van bovenstaande formule.
6.4. Regeneratieve processen
Een stochastisch proces tesamen met tijdstippen 0 ≤ S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ · · · heet een regen-eratief proces met regeneratietijdstippen 0, S1, S2, . . ., indien de deelprocessen op de inter-vallen (0, S1], (S1, S2], (S2, S3], . . . dezelfde verdeling hebben en stochastisch onafhankelijkzijn.Als voorbeeld beschouwen we een GS proces N(t), t ≥ 0, met IP(N(0) = 0) = 1 enals regeneratietijdstippen de rij opeenvolgende tijdstippen, waarop het systeem leeg raakt(d.w.z. N(Sk) = 0, k = 1, 2, . . .). Een stochastisch proces tesamen met tijdstippen S1 ≤S2 ≤ S3 ≤ · · · heet een uitgesteld regeneratief proces met regeneratietijdstippen S1, S2, . . .,indien de deelprocessen op de intervallen (S1, S2], (S2, S3], . . . dezelfde verdeling hebbenen stochastisch onafhankelijk zijn.Het wachtrijmodel met Poisson aankomsten, willekeurige bedieningsduurverdeling en s be-dienden (M/G/s-model) met een willekeurige beginverdeling is een uitgesteld regeneratiefproces, indien we als regeneratietijdstippen de tijdstippen nemen waarop het systeem leegraakt.Het tijdsinterval tussen opeenvolgende regeneratietijdstippen wordt een herhalingsperiode(engels: cycle) genoemd. We leiden nu met de stellingen uit §6.3 de volgende stelling af.
36
Limietstelling Zij X(t), t ≥ 0 een uitgesteld regeneratief proces met als regeneratietijd-stippen S1, S2, . . .. Indien IE(S2 − S1) < ∞ en voor de functie f geldt,
IE∫ S1
0
|f(X(s))|ds < ∞ en IE∫ S2
S1
|f(X(s))|ds < ∞,
dan volgt
(a) limt→∞
1t
∫ t
0
f(X(s))ds =IE∫ S2
S1f(X(s))ds
IE(S2 − S1)met kans 1
(b) limt→∞
1tIE∫ t
0
f(X(s))ds =IE∫ S2
S1f(X(s))ds
IE(S2 − S1).
Bewijs. We passen de limietstelling voor vernieuwingsprocessen met opbrengsten toe(stelling 1 van pag. 31). Als vernieuwingspunten nemen we de regeneratietijdstippen.De opbrengsten worden ook tussen de vernieuwingstijdstippen ontvangen. Dat mag vol-gens de argumenten van pag. 34. Omdat het proces een uitgesteld regeneratief proces is,geldt dat de periode (0, S1] afwijkend is. Uit IE
∫ S1
0|f(X(s))| ds < ∞ volgt echter dat 1
tmaal de bijdrage over deze periode naar nul convergeert voor t →∞.In de toepassingen die volgen, komen we naast een uitgesteld regeneratief proces ook vaakeen ingebed stochastisch proces met discrete tijdsparameter tegen. Bijvoorbeeld bij hetM/G/s model is dit het proces op de tijdstippen van aankomsten. We zullen daarom ookde limietstelling voor een proces met discrete tijdstippen definieren. Het bewijs kan weervia de resultaten voor vernieuwingsprocessen met opbrengsten gegeven worden.
Limietstelling (discrete tijdsparameter). Zij Xn, n = 1, 2, . . . een uitgesteld regener-atief proces met als regeneratietijdstippen S′1, S
′2, . . .. Indien IE(S′2 − S′1) < ∞ en voor de
functie f geldt,
IES′1∑
k=1
|f(Xk)| < ∞ en IES′2∑
k=S′1+1
|f(Xk)| < ∞
dan volgt
(a) limn→∞
1n
n∑k=1
f(Xk) =IE∑S′2
k=S′1+1 f(Xk)
IE(S′2 − S′1)met kans 1
(b) limn→∞
IE1n
n∑k=1
f(Xk) bestaat en heeft dezelfde limiet.
We gaan bovenstaande stellingen toepassen op een wachtrijproces met als aankomstenpro-ces een geboorteproces waarvoor λj , j ∈ IN0 de parameters zijn. De bedieningsduurverdel-ing en de bedieningsdiscipline mogen willekeurig zijn. Het aantal klanten in het systeem is
37
een uitgesteld regeneratief proces, N(t), t ≥ 0, met S1, S2, . . . de opeenvolgende tijdstippenwaarop het centrum leeg raakt als regeneratietijdstippen.Laat Tk het tijdstip zijn van binnenkomst van de k’de klant na t = 0, dit is de k’deopwaartse sprong in het proces (k ∈ IN). We noteren Nk = N(T−
k ) voor het aantal klantendat de k’de klant bij aankomst aantreft. Voor het aantal klanten dat aankomt in (0, Sk]schrijven we S′k. De stochastische variabelen Nk, k ∈ IN tesamen met S′1, S
′2, . . . vormen
een uitgesteld regeneratief proces met discrete tijdsparameter.Laat T ′
k, k ∈ IN het tijdstip van het k’de vertrek van een klant zijn, dit is de k’de neer-waartse sprong van het proces. We noteren N ′
k = N((T ′k)+) voor het aantal klanten direct
na het k’de vertrek. Van het aantal klanten die vertrekken in (0, Sk] schrijven we S′′k ,k ∈ IN. De stoch.variabelen N ′
k, k ∈ IN tesamen met S′′1 , S′′2 , . . . vormen een uitgesteldregeneratief proces.We kiezen een willekeurige j ∈ IN0 en beschouwen de functie f(x) = 1 resp. 0 als x = jresp. x 6= j. We passen nu de limietstelling op deze functie toe voor de hierboven genoemde3 uitgestelde regeneratieve processen.
1. Laten we de tijdsduur van de 1e herhalingsperiode noteren met T , dus T = S2 − S1.De tijdsduur gedurende deze periode dat er j klanten aanwezig zijn noteren we metTj , dus Tj =
∫ S2
S1IN(s) = k ds. We nemen aan dat IET < ∞ en IES1 < ∞. De
limietstelling geeft dat limt→∞1t IE∫ t
0f(N(s)) ds = IETj
IET .
Met IE∫ t
0f(N(s)) ds = IE
∫ t
0IN(s) = j ds =
∫ t
0IEIN(s) = j ds =
∫ t
0Pj(s) ds,
vinden we dat limt→∞1t
∫ t
0Pj(s) ds bestaat en gelijk is aan IETj
IET . Nemen we aan dat onsproces stationair is met stationaire marginale verdeling Pj, dan volgt dat Pj = IETj
IET ,j ∈ IN0. Deze relatie hebben we reeds gebruikt bij de argumentatie dat de Erlangverliesverdeling insensitief is voor de bedieningsduurverdeling.
2. Laten we het aantal opwaartse sprongen van Ej naar Ej+1 in (S1, S2] noteren met Kj ,dus Kj =
∑S′2k=S′1+1 INk = j. Voor het totale aantal opwaartse sprongen in (S1, S2]
schrijven we K, dus K = S′2 − S′1. De limietstelling met discrete tijdsparameter geeftnu dat limn→∞
1n
∑nk=1 IPNk = j = limn→∞
1n IE
∑nk=1 f(Nk) bestaat en gelijk is
aan IEKj/IEK. Indien ons proces stationair is dan hebben alle Nk, k ∈ IN dezelfdeverdeling en dit is de verdeling van het aantal klanten, zoals een aankomende klantdat aantreft. Deze verdeling hebben we geschreven als Πj, j ∈ IN. We hebben dusgevonden, dat Πj = IEKj
IEK .3. We noteren het aantal neerwaartse sprongen van Ej+1 naar Ej in (S1, S2] met K ′
j ,
dus K ′j =
∑S′′2k=S′′1 +1 IN ′
k = j. Het totale aantal neerwaartse sprongen, dit is hetaantal vertrekkende klanten, in (S1, S2] duiden we aan met K ′, dus K ′ = S′′2 −S′′1 . De limietstelling toegepast op het 3e uitgestelde regeneratieve proces geeft dan,dat limn→∞
1n
∑nk=1 IPN ′
k = j = limn→∞1n IE
∑nk=1 f(N ′
k) bestaat en is gelijk aanIEK ′
j/IEK ′. Indien het proces stationair is dan hebben alle N ′k, k ∈ IN dezelfde
verdeling, dit is de stationaire verdeling voor het aantal klanten dat een vertrekkendeklant achterlaat. Laten we deze verdeling noteren met Π′
j, j ∈ IN0, dan geldtΠ′
j = IEK ′j/IEK ′.
38
Stelling. Indien er geen meerdere klanten tegelijk aankomen of vertrekken dan is de sta-tionaire verdeling voor aankomende klanten dezelfde als die voor vertrekkende klanten.
Bewijs. Indien er niet meerdere klanten tegelijk aankomen of vertrekken, dan geldt Kj =K ′
j , j ∈ IN0 en K = K ′. Met bovenstaande relaties vinden we voor idere j ∈ IN0,
Πj =IEKj
IEK=
IEK ′j
IEK= Π′
j .
We hebben in paragraaf 5.4 voor GS-processen afgeleid, dat Πj = λj/λPj , j ∈ IN0. Hierzullen we dezelfde relatie afleiden voor uitgesteld regeneratieve processen, waarvoor hetaankomstproces een geboorteproces is.
Stelling. Indien het wachtrijproces een uitgesteld regeneratief proces is met als aankomst-proces een geboorteproces met parameters λj , j ∈ IN0, dan geldt Πj = (λj/λ)Pj , j ∈ IN0,met λ =
∑∞j=0 λjPj .
Bewijs. We gebruiken de notatie die in deze paragraaf is ingevoerd. Tj is dus de tijdsduurgedurende de 1e herhalingsperiode dat er j klanten aanwezig zijn. De aankomstparam-eter gedurende Tj is constant en gelijk aan λj . Het aankomstproces gedurende Tj is tebeschouwen als een Poissonproces met parameter λj , dus
(6.10) IEKj = λjIETj .
Met Pj = IETj/IET , j ∈ IN0 vinden we
(6.11) λ =∑
j
λjPj =∑
j
λjIETj
IET.
Met de relaties (6.10) en (6.11) vinden we,
IEK = IE∑
j
Kj =∑
j
IEKj =∑
j
λjIETj(6.12)
=∑
j
λjIETj
IET· IET = λIET.
Relatie (6.10) en IEK = λIET geven,
Πj =IEKj
IEK=
λjIETj
λIET=
λj
λPj .
Voor een Poissonproces met parameter λ geldt λj = λ = λ, ∀ j, dus bij een Poisonprocesals aankomstproces is de stationaire verdeling voor een observator dezelfde is, als die vooraankomende klanten. En deze is meestal weer gelijk aan die voor vertrekkende klanten.
39
6.5. Little formules
We zullen nu de formule(s) van Little gaan afleiden. We doen dit onder de veronderstellingdat het wachtrijproces een uitgesteld regeneratief proces is met als aankomstproces eengeboorteproces. Een relatie die wij bij de afleiding zullen nodig hebben is (6.12): IEK =λIET .
Zoals steeds noteren we het aantal klanten in het systeem op tijdstip s met N(s). Passenwe de limietstelling toe op het uitstelde regeneratieve proces met continue tijdsparameteren met f de identieke functie, dan vinden we, dat limt→∞
1t IE∫ t
0N(s)ds bestaat en gelijk
is aan IE∫ S2
S1N(s)ds/IET . Noteren we voor het aantal klanten in het systeem L, dan
geldt IEL =∑∞
j=1 j · Pj voor het stationaire proces. Voor het stationaire proces geldt ook
IE∫ t
0N(s) ds =
∫ t
0IEN(s)ds = t ·
∑j j · Pj . Hiermee vinden we, dat
(6.13) IEL =IE∫ S2
S1N(s)ds
IET.
Laat Wk voorstellen de verblijftijd van de k-de klant in het systeem, dit is de totale tijd diede k-de klant in het systeem doorbrengt. De stochastische variabelen Wk, k ∈ IN tesamenmet S′1, S
′2, . . . vormen een uitgesteld regeneratief proces. Immers, voor S′i + 1 ≤ k ≤ S′i+1
liggen de Wk in de i-de herhalingsperiode en zo’n periode begint en eindigt met een leegsysteem. Voor het stationaire proces zullen er ook op tijdstip 0 klanten aanwezig zijn,zodat het proces dus een uitgesteld regeneratief proces is. Voor het stationaire procesgeldt, dat de stochastische variabelen Wk, k ∈ IN dezelfde verdeling hebben. We noterenW voor de verblijftijd van een klant in het stationaire proces. Het is duidelijk dat IEWgelijk is aan limn→∞
1n IE
∑nk=1 Wk. Met de limietstelling vinden we dan, dat
(6.14) IEW =IE∑S′2
k=S′1+1 Wk
IEK.
Stelling. Het verband tussen IEL en lyIEW wordt gegeven door de formule van Little
IEL = λIEW.
Bewijs. We beschouwen de oppervlakte tussen het aankomst- en het vertrekproces op deherhalingsperiode (S1, S2]. De oppervlakte is gelijk aan
∫ S2
S1N(s)ds, maar ook gelijk aan∑S′2
k=S′1+1 Wk. Dit is als volgt te beargumenteren. Laat iedere klant 1 gulden betalen vooriedere tijdseenheid die in het systeem wordt doorgebracht.
40
De bediende ontvangt tussen S1 en S2 het bedrag∫ S2
S1N(s) ds. De totale som die de
klanten betalen, is∑S′2
k=S′1+1 Wk. Met relaties (6.12), (6.13) en (6.14) vinden we
IEL =IE∫ S2
S1N(s) ds
IET=
IE∑S′2
k=S′1+1 Wk
IEK· IEK
IET= IEW · λ.
Indien het aankomstproces een Poisson proces (λ) is, dan is de formule van Little IEL =λIEW .
In paragraaf 5.6 stond W voor de stochastische variabele, die de wachttijd aangeeft, deverblijftijd hebben we daar T genoemd. In de notatie van die paragraaf wordt de formulevan Little IEL = λIET . Uitgeschreven met de stationaire waarschijnlijkheden Pj [n],j ∈ IN0 vinden we dan
n∑j=1
jPj [n] =
n∑j=0
λjPj [n]
IET.
Dit geeft de op pagina 25 vermelde afleiding van (5.13).
Opgave 34: Toon de volgende variant op de formule van Little aan
IELq = λIEWq,
met Lq het aantal klanten in de wachtrij en Wq de echte wachtijd, beide voorhet stationaire proces.
Indien de bedieningsduren onderling onafhankelijk zijn en alle dezelfde verdeling hebben,dan is de stationaire verdeling Pj, j ∈ IN0 dezelfde voor iedere bedieningsdiscipline dieniet van de bedieningsduur afhangt. Dus voor al deze bedieningsdisciplines is de verdelingvan L hetzelfde. Met Little’s formule vinden we dat ook de verwachting van de verblijftijdvoor al deze disciplines hetzelfde is. Dit geldt niet voor de verdeling van de verblijftijd!
Opgave 35: We beschouwen een wachtrijmodel met s bedienden. Toon aan onder de veron-derstelling van deze paragraaf dat a = a′, met a de aangeboden belasting gelijk
41
aan λ·IES (S is de bedieningsduur) en a′ de verwachting van het aantal bezettebedienden.
Opgave 36: We beschouwen een GS-proces met parameters λj , µj , j ∈ IN0 (µ0 = 0). Toonm.b.v. de limietstelling aan, dat λj+1Πj = µj+1Πj+1, j ∈ IN0. Leid met dezerelatie het verband Πj [n] = Pj [n− 1], 1 ≤ j ≤ n− 1 van pag. 25 af.
7. Het M/G/1 wachtrijmodel
7.1. De wachttijd
We beschouwen een wachtrijmodel met als aankomstproces een Poisson proces (λ), eenbediende en bedieningsduur S met een willekeurige verdelingsfunctie FS . We schrijvenτ voor IES en veronderstellen dat de verkeersintensiteit ρ = λτ kleiner is dan 1. Hetaantal klanten N(t) in het systeem op tijdstip t, t ≥ 0, tesamen met de opeenvolgendetijdstippen na T0 = 0 waarop het systeem leegraakt, zeg T1, T2, . . ., vormt een uitgesteldregeneratief proces. We zullen aantonen in paragraaf 7.2, dat IE(T2 − T1) < ∞ d.e.s.d.a.ρ < 1. Met behulp van de resultaten uit de vorige paragrafen zullen we een formule afleidenvoor de verwachting van de wachttijd voor een binnenkomende klant zonder de stationaireverdeling voor het aantal klanten in het systeem te berekenen.
Laat voor het stationaire proces Q resp. W voorstellen het aantal klanten dat een bin-nenkomende klant aantreft in de wachtrij resp. de echte wachttijd van een binnenkomendeklant . Volgens opgave 34 geldt
(7.1) IEQ = λIEW
Volgens opgave 35 geldt dat a = a′ met a = ρ = λτ en a′ =∑∞
j=1 Pj = 1 − P0. DusP0 = 1 − ρ. Omdat het aankomstproces Poisson is geldt dat de stat. verdeling vooraankomende klanten, Πj, j ∈ IN0 gelijk is aan de stat. verdeling Pj, j ∈ IN0. MetIPW > 0 = 1−Π0 = 1− P0 vinden we, dat
(7.2) IP(W > 0) = ρ
Voor de wachttijd W geldt
(7.3) IE(W ) = IE(W | W > 0)IP(W > 0).
We noteren de resterende bedieningsduur voor het stationaire proces met R. Met deresultaten uit paragraaf 6.2 is aan te tonen dat
(7.4) IE(R | W > 0) =τ
2+
σ2
2τ,
met σ2 = var (S). We veronderstellen nu dat de bediening in volgorde van binnenkomstis; dan geldt
(7.5) IE(W | W > 0) = IE(Q | W > 0) · τ + IE(R | W > 0).
42
Voor Q geldt
IEQ = IE(Q | W = 0)IP(W = 0) + IE(Q | W > 0)IP(W > 0).
Met IE(Q | W = 0) = 0 en IP(W > 0) = ρ vinden we
(7.6) IE(Q | W > 0) = ρ−1IEQ.
Substitutie van (7.4) en (7.6) in (7.5) geeft met (7.2) en (7.3)
(7.7) IEW = IEQ · τ + ρ(τ
2+
σ2
2τ).
Relaties (7.2) en (7.7) zijn twee vergelijkingen in de onbekenden IEQ en IEW . We kunnenIEW eruit oplossen en vinden dan
(7.8) IEW =ρτ
2(1− ρ)
(1 +
σ2
τ2
).
We zien uit deze formule dat de verwachting van de wachttijd niet alleen afhangt van IESmaar ook van var S. IEW is minimaal indien σ2 = 0, dus bij deterministische bedien-ingsduren. Bij neg. exp. verdeelde bedieningsduren is σ2/τ2 = 1 en is dus de verwachtewachttijd tweemaal zolang.
We hebben verondersteld dat de bediening in volgorde van binnenkomst is. Echterzoals we al lieten zien op pag. 40 is IEQ dezelfde voor iedere bedieningsdiscipline die nietvan de bedieningsduur afhangt. En op grond van (7.1) is ook IEW ongevoelig voor debedieningsdiscipline.
Formule (7.8) geeft een uitdrukking voor de verwachting van de wachttijd W . Wezullen in het vervolg een formule afleiden voor de Laplace-Stieltjes getransformeerde vanW
ω(s) =∫ ∞
0−e−sx dFW (x) = IP(W = 0) +
∫ ∞
0+
e−sx dFW (x).
Uit de Laplace-Stieltjes getransformeerde kan niet alleen het eerste maar kunnen ook hogeremomenten berekend worden. De verdeling FW wordt eenduidig door de getransformeerdeω bepaald. We zullen de afleiding voor een fase-achtige verdeling geven. Waartoe veron-derstellen we dat de bedieningsduurverdeling een mengsel van Erlang verdelingen is
FS(x) =n∑
k=1
pkEkµ(x) met pk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m en
∑k
pk = 1.
Opgave 37: Toon aan, dat voor de Laplace-Stieltjes getransformeerde van FS geldt
η(s) =∫ ∞
0
e−sx dFS(x) =n∑
k=1
pk
(1 +
s
µ
)−k
.
43
Een binnenkomende klant vraagt met kans pk een bedieningsduur bestaande uit k fasendie neg. exp.(µ) verdeeld zijn. We zullen het stochastische proces K(t), t ≥ 0 beschouwenmet K(t) het aantal fasen gevraagde bedieningsduur op tijdstip t. Het K(t)-proces is eenMarkovketen met infinitesimale parameters
IPK(t + h) = j + k | K(t) = j = λpkh + o(h),
omdat klanten volgens een Poisson proces (λ) binnenkomen en k fasen bedieningsduurvragen met kans pk; voorts
IPK(t + h) = j − 1 | K(t) = j = µh + o(h),
omdat iedere fase een neg. exp (µ)-verdeelde duur heeft; en
IPK(t + h) = j | K(t) = j = 1− (λ + µ)h + o(h).
De stationaire waarschijnlijkheden voldoen net zoals bij GS-processen aan een lineairstelsel, de evenwichts-vergelijkingen,
Door de “stroom uit Ej” gelijk te stellen aan de “stroom in Ej” vinden we, met deafspraak dat Pj−k = 0 als k > j,
Pj(µ + λn∑
k=1
pk) = Pj+1µ + λn∑
k=1
pkPj−k, j ∈ IN
P0λ = P1µ, j = 0.
Met de eis dat∑∞
j=0 Pj = 1, liggen de stationaire waarschijnlijkheden vast, dwz. het stelselheeft een unieke oplossing. Een expliciete oplossing bestaat er zonder nadere specificatievan de pk’s niet. We zullen de evenwichts-vergelijkingen gebruiken bij de berekening vanω(s). Laat Tk, k ∈ IN het tijdstip zijn waarop de k-de klant na t = 0 binnenkomt. Webeschouwen het proces Kn = K(T−
n ), n ∈ IN, dit is het aantal fasen werk dat de n-de klantbij binnenkomst aantreft. De stationaire verdeling noteren we met Πj, j ∈ IN0. Met delimietstelling voor regeneratieve processen is aan te tonen dat Πj = Pj , j ∈ IN0. Voor dewachttijd W geldt dus
FW (t) = IP(W ≤ t) = Π0E0µ(t) +
∞∑j=1
ΠjEjµ(t) =
∞∑j=0
PjEjµ(t),
44
met E0µ(t) = 0 resp. 1 voor t < 0 resp. t ≥ 0.
Voor de Laplace-Stieltjes getransformeerde ω geldt dan,
ω(s) =∫ ∞
0
e−sx dFW (x) =∫ ∞
0
e−sx d
∞∑j=0
PjEjµ(x)
=
∞∑j=0
Pj
∫ ∞
0
e−sx dEjµ(x) =
∞∑j=0
Pj
(1 +
s
µ
)−j
.
Dus we moeten∑∞
j=0 Pj(1 + sµ )−j berekenen. Daartoe vermenigvuldigen we de even-
wichtsvergelijking voor Ej met (1 + sµ )−j en sommeren j van 0 tot ∞. We vinden dan
(7.9) (λ+µ)∞∑
j=0
Pj
(1+
s
µ
)−j
−µP0 = µ∞∑
j=1
Pj
(1+
s
µ
)−j+1
+λ∞∑
j=1
n∑k=1
pkPj−k
(1+
s
µ
)−j
.
De eerste term uit (7.9) is gelijk aan (λ+µ)ω(s). De derde term herschrijven we als volgt:
µ∞∑
j=1
Pj
(1 +
s
µ
)−j+1
= µ(1 +
s
µ
) ∞∑j=1
Pj
(1 +
s
µ
)−j
= µ(1 +
s
µ
)(ω(s)− P0).
In de vierde term herkennen we de convolutie-rij∑n
k=1 pkPj−k, j ∈ IN0, daarom geldt er
∞∑j=1
n∑k=1
pkPj−k
(1 +
s
µ
)−j =∞∑
j=0
Pj
(1 +
s
µ
)−j
·n∑
k=1
pk
(1 +
s
µ
)−k
= ω(s)η(s).
Deze gelijkheden geven tesamen met (7.9)
(λ + µ)ω(s)− µP0 = µ(1 +
s
µ
)(ω(s)− P0) + λω(s)η(s).
Hieruit lossen we ω(s) op. Met P0 = 1−ρ vinden we dan de Pollaczek–Khintchine formule
(7.10) ω(s) =s(1− ρ)
s− λ[1− η(s)].
We hebben deze formule afgeleid voor een fase-achtige verdeling. Met behulp van con-tinuıteitsargumenten kan worden aangetoond, dat (7.10) geldig is voor iedere levensdu-urverdeling.Opgave 38: Bepaal m.b.v. (7.10) IEW , IEW 2 en var W .Opgave 39: Beschouw een M/G/1 wachtrijsysteem. Indien een klant binnenkomt, dan vraagt
hij met kans p geen bediening en met kans (1 − p) een bedieningsduur dieneg.exp. verdeeld is met parameter p. Bepaal de volgende grootheden: IES,var S, IEW , ω(s) en IP(W ≤ t).
45
Met de Pollaczek–Khintchine formule hebben we een uitdrukking gevonden voor deLaplace-Stieltjes getransformeerde van de wachttijdverdeling FW . Om nu een formulevoor FW te vinden herschrijven we ω(s) als
ω(s) = (1− ρ)[1− ρ
(1τ· 1− η(s)
s
)]−1
.
Door de tweede factor in een reeks te ontwikkelen vinden we
ω(s) = (1− ρ)∞∑
j=0
ρj
(1τ· 1− η(s)
s
)j
.
De stationaire resterende levensduurverdeling FR(x) behorende bij een bedieningsduurverdel-ing FS is volgens paragraaf 6.2
FR(x) =1τ
∫ x
0
(1− FS(t))dt.
Opgave 40: Toon aan dat de Laplace-Stieltjes getransformeerde van FR(x), zeg φ(s), gelijkis aan
φ(s) =1τ· 1− η(s)
s.
Dus kunnen we voor ω(s) schrijven
ω(s) = (1− ρ)∞∑
j=0
ρj(φ(s))j .
Maar (φ(s))j is de Laplace-Stieltjes-getransformeerde van de j-voudige convolutie van FR,we noteren deze met F j∗
R . We zien dat ω een mengsel is van getransformeerden. Op grondvan de eenduidigheidsstelling voor Laplace-Stieltjes-getransformeerden moet FW hetzelfdemengsel van de bijbehorende verdelingen zijn. Dus vinden we
(7.11) FW (x) = (1− ρ)∞∑
j=0
ρjF j∗R (x),
met de afspraak dat F 0∗R (x) = 0 resp. 1 voor x < 0 resp. x ≥ 0.
Voor de verrassende formule (7.11) is een eenvoudige verklaring te geven. We beschouwendaartoe het wachtrijsysteem met een bedieningsdiscipline waarvoor de laatst binnengekomenklant meteen bediend wordt, dwz. de klant onder behandeling verlaat bij binnenkomst vaneen klant meteen het loket, ook al is zijn bediening nog niet voltooid. We noemen dezediscipline LIFO-preemptief. We zullen laten zien dat (1− ρ)ρj de stationaire kans is, dat eronder deze discipline j klanten in het systeem zijn. Bovendien geldt dat de resterende bedi-eningsduren voor de aanwezige klanten onderling onafhankelijk zijn en alle de FR-verdeling
46
hebben. Omdat de wachttijd W in het M/G/1-FIFO model dezelfde verdeling heeft als de to-tale gevraagde bedieningsduur (oftewel de hoeveelheid werk) in het M/G/1-LIFO-preemptievemodel, moet relatie (7.11) geldig zijn.
Het is duidelijk uit de gegeven afleiding dat de resultaten ook geldig zijn, indien klantenin groepen aankomen en de bedieningsduur per klant neg. exp.(µ)-verdeeld is. Indien pk,1 ≤ k ≤ n de kans is dat de groepsgrootte k is en η(s) =
∑nk=1 pk(1+ s
µ )−k, dan geldt voorde wachttijd tot aan het moment dat de groep in behandeling komt ook formule (7.11).
7.2. De werkperiode
In deze paragraaf zullen we een formule afleiden voor de getransformeerde van de werkpe-riode. We zullen dan zien dat de verwachting van de herhalingsperiode eindig is, d.e.s.d.a.ρ < 1. De werkperiode is het interval dat verloopt tussen een tijdstip waarop een bin-nenkomende klant het loket vrij aantreft tot aan het eerstvolgende tijdstip dat het loketweer vrij is, m.a.w. een periode waarin de bediende onafgebroken bezig is.
De vrije periode is het tijdsinterval, dat begint op het moment dat een klant bij zijnvertrek geen andere klanten achterlaat en eindigt op het eerstvolgende tijdstip waarop eenklant binnenkomt.
Het tijdsinterval bestaande uit een werkperiode en de daarop aansluitende vrije periodeheet herhalingsperiode.
We noteren de duur van de werk- resp. de vrije- resp. de herhalingsperiode met B resp.V resp. T . Laat Bj voorstellen de tijdsduur die verloopt tussen een tijdstip waarop debediende j klanten moet bedienen tot aan het eerstvolgende tijdstip dat het loket vrij is.We noemen dit een j-werkperiode. Dus B1 is de duur van de werkperiode. We zullen nubeargumenteren dat Bj gelijk is aan de som van j onafhankelijke copieen van B. Immersvoor Bj doet het er niet toe in welke volgorde de klanten bediend worden. Kies daarom eenvan de j klanten, zeg klant 1, geef deze klant zijn gevraagde bedieningsduur en behandeldan alle klanten die tijdens deze bedieningsduur binnengekomen zijn. Ga zo door met allebinnenkomende klanten te bedienen. De tijd die het duurt totdat de (j−1)-oorspronkelijkeklanten overgebleven zijn, noteren we met B(1) en we noemen dit de werkperiode van klant1. Laat B(k) de werkperiode voor klant k voorstellen, 1 ≤ k ≤ j. Het is duidelijk dat,
Bj = B(1) + B(2) + · · ·+ B(j).
Bovendien geldt dat de B(k)’s voor 1 ≤ k ≤ j onafhankelijk zijn en dezelfde verdelinghebben als B.
Laten we IP(Bj ≤ t) resp. IP(B ≤ t) noteren met Fj(t) resp. FB(t), dan geldtFj(t) = (FB(t))j∗. Voor de Laplace-Stieltjes getransformeerden van Fj(t) resp. FB(t)schrijven we βj(s) resp. β(s). Dan volgt βj(s) = (β(s))j .
De werkperiode zal niet langer zijn dan t als de 1e bedieningsduur gelijk aan u ≤ t is ende j ≥ 0 klanten die tijdens deze bedieningsduur binnenkomen een j-werkperiode hebbendie niet langer is dan t− u. In formule vorm
FB(t) =∞∑
j=0
∫ t
0
(λu)j
j!e−λuFj(t− u) dFS(u).
47
Voor de Laplace-Stieltjes getransformeerde β(s) = IE e−sB geldt de relatie
(7.12) β(s) = η(s + λ− λβ(s)).
Immers,
β(s) = s
∫ ∞
0
e−stFB(t)dt
= s
∫ ∞
0
e−st∞∑
j=0
∫ t
0
(λu)j
j! e−λuFj(t− u)dFS(u)dt
= s∞∑
j=0
∫ ∞
u=0
∫ ∞
t=u
e−stFj(t− u)dt (λu)j
j! e−λudFS(u).
Substitueer v = t− u, dan volgt
β(s) =∞∑
j=0
∫ ∞
0
e−(λ+s)u (β(s)λu)j
j! dFS(u)
=∫ ∞
0
e−(λ+s)ueβ(s)λudFS(u) = η(s + λ− λβ(s)).
We leiden nu het volgende resultaat af.
Lemma. ρ = λIES < 1 ⇐⇒ IEB < ∞.
Bewijs. Stel eerst, dat IEB < ∞. Dan is β(s) differentieerbaar in s = 0 met β′(0) = −IEB.Nu geldt,
0 ≤ 1− β(s)s
=∫ ∞
0
1− e−(s+λ−λβ(s))u
sdFS(u)(7.13)
≤∫ ∞
0
s + λ(1− β(s))s
u dFS(u)
=[1 + λ 1−β(s)
s
]IES < ∞, ∀ s ≥ 0.(7.14)
Met behulp van de gedomineerde convergentie stelling volgt, dat we in (7.13) binnen hetintegraalteken naar s mogen differentieren, zodat
IEB = lims↓0
∫ ∞
0
1− e−(s+λ−λβ(s))u
sdFS(u)
=∫ ∞
0
u(1 + λIEB)dFS(u) = (1 + λIEB)IES,
waaruit λIES < 1 onmiddellijk volgt, omdat IES ≥ 0.Laat nu omgekeerd geldem, dat λIES < 1. Uit (7.14) volgt, dat lim sups↓0
1s (1−β(s)) <
∞. Met behulp van het lemma van Fatou concluderen we,
∞ > lim infs↓0
1− β(s)s
≥∫ ∞
0
lim infs↓0
1− e−st
sdFB(t) = IEB.
48
Met (7.12) kunnen we de momenten van FB uitdrukken in de momenten van FS . Er geldt
β′(s) = η′(s + λ− λβ(s))(1− λβ′(s)).
We substitueren s = 0 en gebruiken dat β(0) = 1:
β′(0) = η′(0)(1− λβ′(0)).
Hieruit volgtβ′(0) = η′(0)
[1 + λη′(0)
]−1.
Met IEB = −β′(0) en τ = IES = −η′(0) vinden we dan IEB = τ1−ρ .
We hebben aangetoond, dat voor ρ < 1 de verwachting van de werkperiode eindig is. Deverwachting van de herhalingsperiode is gelijk aan IEB+ 1
λ . Dus ook de verwachting van deherhalingsperiode is eindig, en is het toepassen van de limiestelling onder deze voorwaardegeoorloofd.
Betrekking (7.12) bepaalt bij gegeven η(s) de funktie β(s) eenduidig. Via inversie van(7.12) kan worden aangetoond dat de volgende betrekking voor FB geldt
(7.15) FB(t) =∞∑
j=1
1j
∫ t
0
(λu)j−1
(j − 1)!e−λu dF j∗
S (u).
Opgave 41 : Toon aan, dat IEB2 = IES2
(1−ρ)3 en var B = σ2+ρτ2
(1−ρ)3 met σ2 = varS.We beschouwen het speciale geval M/D/1, d.w.z. de bedieningsduren zijn determinis-
tisch. Laat Nj het aantal klanten voorstellen dat gedurende een j-werkperiode behandeldwordt. We gebruiken de notatie
f (j)n = IPNj = n.
Dan geldt de volgende recurrente betrekking
(7.16) f (j)n =
e−λτj , n = j∑n−j
k=1(λτj)k
k! e−λτj f(k)n−j , n ≥ j + 1
met τ de bedieningsduur.Opgave 42: Toon aan dat (7.16) de volgende oplossing heeft
f (j)n =
j
n
[(λτn)n−j
(n− j)!e−λτn
]n ≥ j.
Opgave 43: Laat Nk nu het aantal klanten voorstellen dat gedurende een k-werkperiode inhet M/G/1 model behandeld wordt.a. Toon aan, dat Nk+l = Nk + Nl met Nk en Nl onafhankelijk.b. Toon aan, dat IE(Nk) = k
1−ρ .
49
c. Toon m.b.v. Nk+l = Nk + Nl (Nk en Nl onafhankelijk) voor het M/D/1model aan, dat de volgende relatie geldt
n−j∑k=i
kk−i−1
(k − i)!(n− k)n−k−j−1
(n− k − j)!=
(i + j)ij
nn−i−j−1
(n− i− j)!i ≥ 1, j ≥ 1n ≥ i + j
.
Voor i = j = 1 krijgen we de betrekking,
n−1∑k=1
(n
k
)kk−1(n− k)n−k−1 = 2(n− 1)nn−2 (n ≥ 2).
Opgave 44: “De verlegen klant”. De verlegen klant gaat niet naar binnen zolang er andereklanten zijn in het systeem. Laat WP voorstellen de wachttijd van de verlegenklant.a. Toon aan dat,
(∗) IPWP ≤ x | WP > 0 =1b
∫ x
0
(1− FB(u)
)du,
met b = IEB.b. Leid uit (∗) af
IPWP ≤ x = (1− ρ) +ρ(1− ρ)
τ
∫ x
0
(1− FB(u)) du.
c. Toon aan dat,
IE(WP | WP > 0) =τ
2(1− ρ)+
(1− ρ)σ2B
2τ=
τ2 + σ2
2τ(1− ρ)2,
met σ2 resp. σ2B de variantie van de bedieningsduur resp. van de werkperiode.
8. Optimaal sturen bij de M/G/1 wachtrijTot nu toe hebben we voor verschillende modellen grootheden berekend die de prestatie vanhet systeem bepalen. M.b.v. deze grootheden kan veelal een optimale bedieningscapaciteitbepaald worden (zie bijv. opgaven 17 en 22). Indien het mogelijk is de bedieningscapaciteitte veranderen in de loop van de tijd, dus indien we het systeem kunnen regelen of sturendoor het inzetten van meer of minder bedieningscapaciteit, dan is het natuurlijk te vragennaar een optimale strategie. De formele opbouw van gestuurde discrete processen gebeurtin het college stochastische dynamische programmering. In deze paragraaf zullen we onsbeperken tot een deelklasse van strategieen.
We zullen in deze deelklasse van strategieen een beste of optimale strategie bepalen. Erkan worden aangetoond, dat deze strategie ook optimaal is in de klasse van alle strategieen.
Het model dat we beschouwen, is het M/G/1 model waarbij de bedieningseenheid uit-en ingeschakeld kan worden. Als de bedieningseenheid ingeschakeld is, dan zijn er kosten
50
van c0 guldens per tijdseenheid, onafhankelijk of er wel dan niet klanten bediend worden.Het is dus voordeliger de bedieningseenheid uit te schakelen indien er niet gewerkt wordt.Echter, het inschakelen van de eenheid kost c1 guldens per keer. Het verblijf van eenklant in het systeem kost c2 guldens per tijdseenheid. We beschouwen de gemiddeldekosten per tijdseenheid. Laten we aannemen, dat er een strategie bestaat met minimalegemiddelde kosten per tijdseenheid; we noemen deze strategie optimaal. Het is duidelijkdat de optimale strategie de eenheid nooit zal uitschakelen resp. inschakelen, indien erklanten aanwezig resp. indien er geen klanten aanwezig zijn. Daarom vermoeden we datde optimale strategie van een van de volgende types is:N -strategie- deze strategie laat de eenheid uitschakelen, indien het systeem leegraakt en
laat inschakelen, als er n (voor een n ∈ IN) klanten in het systeem zijn,0-strategie- deze strategie laat de eenheid altijd ingeschakeld.
Bij de N -strategie wordt ervan uitgegaan dat de bedieningseenheid, ook als zij uit-geschakeld is, kan waarnemen of er klanten in het systeem zijn. Er zijn systemen waarvoordit niet juist is. Daarom beschouwen we ook strategieen van het volgende type:T -strategie- deze strategie laat de machine uitschakelen aan het eind van een werkperiode
en laat dan na t tijdseenheden de eenheid inschakelen om te zien of er klantenzijn. Zo ja, dan blijft de eenheid ingeschakeld. Zo nee, dan wordt de eenheidweer onmiddellijk uitgeschakeld en na t tijdseenheden weer ingeschakeld.
Een strategie die van het N - of T -type is, noemen we een P -strategie. We zullen nu degemiddelde kosten per klant onder een P -strategie gaan berekenen. Omdat de verwachtingvan het aantal klanten dat per tijdseenheid binnenkomt onder alle strategieen λ is, kunnenwe ook de gemiddelde kosten per klant minimaliseren om de optimale strategie te vinden.
Laat aP voorstellen de verwachte aanschakelkosten per klant onder de P -strategie. Kieseen willekeurige klant en laat MP het aantal behandelde klanten zijn gedurende de periodewaarin onze gekozen klant bediend wordt. Het aantal malen dat de eenheid inschakelt engeen klanten aantreft, noteren we met YP . Merk op dat YP = 0 voor een N -strategie.De inschakelkosten per herhalingsperiode zijn c1(1 + YP ). Dus c1(1 + YP ) 1
MPzijn de
inschakelkosten per klant. Hieruit,
(8.1) aP = IE[c1(1 + YP )
MP
]= c1[1 + IEYP ] · IE 1
MP,
want YP en MP zijn onafhankelijk.We gaan nu IE 1
MPberekenen. Laat KP het aantal behandelde klanten in de 1e
herhalingsperiode voorstellen. We noemen een klant van het type i als in de herhal-ingsperiode waarin hij bediend wordt er i klanten binnenkomen. Volgens de limietstellingvoor regeneratieve processen is de fractie van de klanten die van type i zijn, gelijk aaniIP(KP = i)[IEKP ]−1. Dus geldt voor het stationaire proces
IP(MP = i) =iIP(KP = i)
IEKP.
Hieruit volgt
(8.2) IE1
MP=
∞∑i=1
1iIP(MP = i) =
1IEKP
.
51
We gaan nu IEKP berekenen. Laat A′P resp. AP voorstellen het aantal klanten in het
systeem onder strategie P , op het moment dat de eenheid wordt ingeschakeld resp. op hetmoment dat de eenheid gaat werken. Merk op dat voor de N -strategie er geen verschil istussen AP en A′
P . Laat fP (z) voorstellen de voortbrengende functie van de waarschijnli-jkheden IP(A′
P = j), j ∈ IN0, dus
fP (z) =∞∑
j=0
IP(A′P = j)zj .
DaarIP(AP = j) = IP(A′
P = j | A′P > 0) , j ≥ 1
geldt nu, dat
(8.3) IEAP = f ′P (1)[1− IP(A′P = 0)]−1.
Volgens vraagstuk 43b geldt,
(8.4) IE(KP |AP = j) =j
1− ρ, j ∈ IN.
Hieruit
(8.5)
IEKP =∞∑
j=1
IE(KP |AP = j)IP(AP = j)
=∞∑
j=1
j
1− ρIP(AP = j) =
IEAP
1− ρ.
Relaties (8.2), (8.3) en (8.5) tesamen geven,
(8.6) IE1
MP=
(1− ρ)[1− IP(A′P = 0)]
f ′P (1).
Dus
(8.7) aP =c1(1− ρ)[1− IP(A′
P = 0)]f ′P (1)
[1 + IEYP ].
Laat bP voorstellen de verwachte verblijfkosten per klant onder strategie P minus deverwachte verblijfkosten onder de 0-strategie. We noteren de verblijftijd van de gekozenklant in het systeem onder de P -strategie resp. de 0-strategie met XP resp. X0. Dangeldt bP = IE[c2(XP − X0] = c2[IEXP − IEX0]. Laat NP resp. N0 het aantal klanten inhet systeem onder de P -resp. de 0-strategie voor de stationaire processen voorstellen. Wegebruiken de notatie
gP (z) =∞∑
j=0
IP(NP = j)zj en g0(z) =∞∑
j=0
IP(N0 = j)zj .
52
De formules van Little geven ons IENP = λIEXP en IEN0 = λIEX0. Dus geldt IEXP =λ−1g′P (1) en IEX0 = λ−1g′0(1). We zullen in het vervolg aantonen, dat
(8.8) g′P (1)− g′0(1) = f ′′P (1)/2f ′P (1).
Hiermee vinden we dan
(8.9) bP =c2f
′′P (1)
2λf ′P (1).
Voor de som cP van de kosten aP en bP geldt dus
(8.10) cP =c1(1− ρ)[1− IP(A′
P = 0)]f ′P (1)
[1 + IE(YP )] +c2f
′′P (1)
2λf ′P (1).
Met deze formule kunnen we de optimale strategie bepalen. Hiervoor gaan we uitdrukking(8.10) minimaliseren. We beschouwen eerst N -strategieen. Laten we de kosten cP voorde N -strategie met parameter n schrijven als cN (n). Deze strategie Pn laat de bedien-ingseenheid inschakelen, indien er n klanten in het systeem zijn. Dus YPn
= 0 en A′Pn
= n.Waaruit volgt dat IEYPn
= 0, IP(A′Pn
= 0) = 0 en fPn(z) = zn. Door differentieren vindenwe dan f ′Pn
(1) = n en f ′′Pn(1) = n(n− 1). Door substitutie in (8.10) volgt dan
(8.11) cN =c1(1− ρ)
n+
c2(n− 1)2λ
.
Laat n∗ de n-waarde zijn die de uitdrukking (8.11) minimaliseert. Dus
(8.12) cN (n∗) = minn
[c1(1− ρ)
n+
c2(n− 1)2λ
].
Om n∗ te bepalen beschouwen we cN (·) als een functie van de continue variabele x. Westellen
(8.13) cN (x) =c1(1− ρ)
x+
c2(x− 1)2λ
en bepalen nu het minimum van cN (x) voor x > 0. Daartoe differentieren we tweemaal envinden
dcN (x)dx
=−c1(1− ρ)
x2+
c2
2λen
d2cN (x)dx2
=2c1(1− ρ)
x3.
Omdat x > 0, c1 > 0 en ρ < 1 geldt, dat de tweede afgeleide van cN (x) positief is. Dex-waarde van het minimum van cN (x), zeg x∗, vinden we dus door de eerste afgeleide nulte stellen. Er geldt
(8.14) x∗ =
√2λ(1− ρ)c1
c2.
53
De optimale n-waarde n∗ is nu [x∗] of [x∗]+1. Welke van deze twee het is, vinden we doorze beide te substitueren in (8.11) en de kosten te vergelijken.
Het is aannemelijk dat het voor zeer kleine kosten c0 voor de bedieningseenheid goed-koper is de 0-strategie te gebruiken. Laten we de kosten van deze strategie vergelijkenmet de kosten van de N -strategie met parameter n∗, de Pn∗ -strategie dus. We berekenendaartoe de verwachte kosten per klant om de bedieningseenheid te laten werken in de vrijeperiode voorafgaande aan de werkperiode van de gekozen klant. We noteren deze kostenmet c(0). Dan geldt met V de lengte van de vrije periode en M0 het aantal klanten in dewerkperiode van de gekozen klant,
(8.15) c(0) = IE(
c0V
M0
)= c0IEV · IE
[ 1M0
],
immers V en M0 zijn onafhankelijk. We toonden aan, dat IE[ 1M0
] = [IEN0]−1 met N0 hetaantal klanten gedurende de 1e herhalingsperiode. Voor de 0-strategie begint de werkpe-riode met 1 klant. Volgens (8.4) geldt dus IEN0 = (1 − ρ)−1. Het willekeurig kiezen vaneen klant heeft geen invloed op de lengte van de vrije periode behorende bij die klant, dusV is neg.exp.(λ)-verdeeld en IEV = 1
λ . Substitutie in (8.15) geeft
(8.16) c(0) =c0(1− ρ)
λ.
Omdat we in de uitdrukking voor bP de verwachte verblijfkosten onder de 0-strategiehebben afgetrokken, geldt dat de verwachte kosten onder de 0-strategie minus de verwachtekosten onder de Pn∗ -strategie gelijk zijn aan
(8.17) c(0)− cN (n∗) =c0(1− ρ)
λ− cN (n∗).
Uitdrukking (8.17) is positief voor
(8.18) c0 >λcN (n∗)
1− ρ.
Dit betekent dat alleen wanneer (8.18) geldt, de optimale N -strategie beter is dan de0-strategie.
Voorbeeld: We beschouwen een M/G/1-model met inschakelbare bedieningseenheid metde volgende parameters
λ =12, IES = τ = 1, c1 = 12 en c2 = 2.
Uit (8.17) vinden we x∗ =√
3. Hieruit volgt
n∗ =
1 als cN (1) < cN (2)2 als cN (1) > cN (2) .
54
Door substitutie in (8.11) vinden we cN (1) = 6 en cN (2) = 5. Dus geldt dat n∗ = 2. Indien
c0 >λcN (n∗)
1− ρ= 5
dan heeft de N -strategie met parameter n = 2 minder verwachte kosten per klant dan de0-strategie. We zullen in het vervolg aantonen dat de beste N -strategie altijd beter is dande beste T -strategie. Hieruit concluderen we dat de N -strategie voor n = 2 optimaal is indit voorbeeld.Opgave 45: Laat c de minimale verwachte kosten per tijdseenheid zijn voor een stationaire
M/G/1-bedieningssysteem met inschakelbare bedieningseenheid onder een N -strategie danwel de 0-strategie. Toon aan dat
(8.19) c =
c0 + c2
[ρ + ρ2
2(1−ρ)
(1 + σ2
τ2
)]als c0 < λcN (n∗)
1−ρ
c0ρ + λcN (n∗) + c2
[ρ + ρ2
2(1−ρ)
(1 + σ2
τ2
)]als c0 > λcN (n∗)
1−ρ
met σ2 de variantie van de bedieningsduur verdeling.Bereken c voor bovenstaand voorbeeld met een bedieningsduur die neg.exp. verdeeld
is, voor de gevallen (a) c0 = 4 en (b) c0 = 6. Maak dezelfde berekeningen voor constantebedieningsduren.
We gaan nu het stuurbare wachtrijmodel doorrekenen onder een T -strategie. We zullende verwachte omschakelkosten per klant plus de verwachte verblijfkosten per klant onderde T -strategie met parameter t (zeg strategie Pt) minus de verwachte verblijfkosten perklant onder de 0-strategie noteren met cT (t). Volgens opgave 46 geldt
(8.20) cT (t) =c1(1− ρ)
λt+
c2t
2.
Opgave 46: Toon aan, dat voor de Pt-strategie geldt
IE(YPt) =
e−λt
1− e−λt(i)
fPt(z) = e−(1−z)λt(ii)
uitdrukking (8.20).(iii)
De t-waarde die uitdrukking (8.20) minimaliseert voor t ≥ 0, noteren we met t∗. Dus
cT (t∗) = mint≥0
cT (t).
Analoog aan de afleiding van (8.14) vinden we
(8.21) t∗ =
√2(1− ρ)c1
λc2.
55
Door vergelijking van (8.14) en (8.21) constateren we, dat
(8.22) x∗ = λt∗.
Omdat het aankomstproces Poisson (λ) is, geldt dat het verwachte aantal klanten in hetsysteem na t∗ tijdseenheden gelijk is aan λt∗. Het verwachte aantal klanten aanwezig bijinschakeling van de bedieningseenheid voor de beste T -strategie is dus gelijk aan het besteinschakelniveau voor N -strategieen als x∗ geheeltallig is. Om aan te tonen dat de besteN -strategie beter is dan de beste T -strategie onderscheiden we de gevallen dat x∗ wel danniet geheeltallig is.x geheeltallig. Indien x∗ geheeltallig is, dan geldt volgens (8.22), n∗ = x∗ = λt∗. Hieruitvolgt met substitutie van t∗ in (8.20) en λt∗ in (8.13)
cT (t∗)− cN (n∗) = cT (t∗)− cN (λt∗)
=c1(1− ρ)
λt∗+
c2t∗
2− c1(1− ρ)
λt∗− c2(λt∗ − 1)
2λ=
c2
2λ.(8.23)
Daar c2 > 0 en λ > 0 vinden we dat cT (t∗) − cN (n∗) > 0 en inderdaad geldt in dit gevaldat de beste N -strategie beter is dan de beste T -strategie.x niet geheeltallig. Voor het geval dat x∗ niet geheeltallig is, tonen we de volgende ongeli-jkheden aan,
(8.24) cT (t∗) > cN (x∗ + 1)
en
(8.25) cN (x∗ + 1) > cN (n∗).
Ongelijkheden (8.24) en (8.25) tesamen geven dat cT (t∗) > cN (n∗), waaruit ook voor ditgeval volgt dat de beste N -strategie beter is dan de beste T -strategie.
Ongelijkheid (8.24) volgt uit de volgende relaties
cN (x∗ + 1) =c1(1− ρ)x∗ + 1
+c2x
∗
2λ<
c1(1− ρ)x∗
+c2x
∗
2λ
enc1(1− ρ)
x∗+
c2x∗
2λ=
c1(1− ρ)λt∗
+c2λt∗
2λ= cT (t∗).
Om (8.25) aan te tonen noteren we n1 resp. n2 voor [x∗] resp. [x∗] + 1. Dus n1 < x∗ <n2 < x∗+1 en n∗ is gelijk aan n1 of n2. Omdat cN (x) een stijgende functie is voor x > x∗
volgt
(8.26) cN (n2) < cN (x∗ + 1).
Indien n∗ = n2 dan geeft (8.26) ongelijkheid (8.25). Indien n∗ = n1 dan volgt uit dedefinitie van n∗, dat
(8.27) cN (n1) < cN (n2).
56
Ongelijkheden (8.26) en (8.27) tesamen geven dan (8.25).Hiermee is aangetoond dat de ongelijkheden (8.24) en (8.25) gelden en daarmee is
bewezen dat de beste N -strategie te verkiezen is boven de beste T -strategie. Echter,er zijn modellen waar de N -strategieen niet gebruikt kunnen worden, omdat alleen eeningeschakelde bedieningseenheid kan waarnemen of er klanten in het systeem zijn. Indat geval moeten we de beste T -strategie vergelijken met de 0-strategie om de optimalestrategie te bepalen.
Tot slot van deze paragraaf zullen we relatie (8.8) aantonen. We gebruiken daarbijeen ingebedde Markovketen. Het gebruik van ingebedde Markovketens is een belangrijketechniek die ook toepasbaar is in andere modellen. Voor het M/G/1-model beschouwen wede tijdstippen waarop een bedieningsduur afgelopen is. Deze tijdstippen noteerden we oppag. ... met T ′
k, k ∈ IN. Laat N ′k = N((T ′
k)+) voorstellen het aantal klanten in het systeemdirect na het vertrek van de k’de klant. Naar gelang N ′
k positief dan wel gelijk aan nulis, zal er op T ′
k wel of niet een bedieningsduur aanvangen. Omdat het aankomstprocestussentijden heeft met de Markoveigenschap, zal in beide gevallen de waarschijnlijkhedenop eventualiteiten na T ′
k alleeen afhangen van N ′k en bij gegeven N ′
k niet van eventualiteitenvoor T ′
k. Dit impliceert dat de rij van stochastische variabelen N ′1, N
′2, . . . een Markovketen
vormt. Deze keten heet de ingebedde Markovketen voor het M/G/1-model.Het voorafgaande geldt voor de 0-strategie maar ook voor de P -strategie. De over-
gangswaarschijnlijkheden van de ingebedde Markovketen zijn afhankelijk van de strate-gie. We geven eerst de overgangswaarschijnlijkheden onder de 0-strategie, dus voor hetstandaard M/G/1-model. Laat pj voorstellen de waarschijnlijkheid dat er gedurende eenbedieningsduur j klanten binnenkomen. Dan geldt
(8.28) pj =∫ ∞
0
(λt)j
j!e−λtdFS(t), j ∈ IN0.
De overgangswaarschijnlijkheden geven we nu m.b.v. de pj ’s .
(8.29) IP(N ′k+1 = j|N ′
k = i) =
pj als i = 0pj−1+1 als i > 0 en j ≥ i− 10 als i > 0 en j < i− 1
.
Immers, als N ′k = 0 dan moet de (k + 1)e klant die vertrekt, de eerste klant zijn die na T ′
k
binnenkomt. De waarschijnlijkheid dat hij j klanten achterlaat is pj . Als de k-de klant iklanten achterlaat dan laat de (k + 1)e er minstens i− 1 achter. De waarschijnlijkheid dathij er j achterlaat, is gelijk aan de waarschijnlijkheid dat er gedurende zijn bedieningsduurnog j− (i− 1) binnenkomen. Deze waarschijnlijkheid is gelijk aan pj−i+1 indien j ≥ i− 1.De P -strategie verschilt alleen van de 0-strategie na dat het systeem leegraakt. Immersdan schakelt de P -strategie de bedieningseenheid uit. Als de bediening wordt hervat, danzijn er AP klanten in het systeem. Een van deze klanten wordt bediend en tijdens zijnbedieningsduur kunnen er nog klanten bijkomen. Dus onder de P -strategie geldt,
(8.30) p∗j = IP(N ′k+1 = j|N ′
k = 0) =j+1∑i=1
IP(AP = i)pj−i+1.
57
De overige overgangswaarschijnlijkheden zijn voor de P - en de 0-strategie hetzelfde.We zullen nu de voortbrengende functie voor de stationaire kansen onder strategie P
gaan berekenen. Zoals we in paragraaf 6.4 hebben aangetoond, zijn de stationaire kansengelijk aan de stationaire kansen voor vertrekkende klanten. Dus we beschouwen de station-aire kansen voor de ingebedde Markovketen. Deze voldoen aan de evenwichtsvergelijkingen.Deze vergelijkingen zijn, met πj de stationaire kans op j klanten,
(8.31) πj = π0p∗j +
j+1∑i=1
πipj−i+1 , j ∈ IN0
en
(8.32)∞∑
j=0
πj = 1.
Met (8.31) vinden we
(8.33) gP (z) =∞∑
j=0
πjzj = π0
∞∑j=0
p∗jzj +
∞∑j=0
j+1∑i=0
πipj−i+1zj .
Met (8.30) en IP(AP = i) = IP(A′P =i)
IP(A′p>0)
voor i ≥ 1, krijgen we,
∞∑j=0
p∗jzj =
∞∑j=0
j+1∑i=1
IP(A′P = i)
IP(A′P > 0)
pj−i+1zj
=1
zIP(A′p > 0)
∞∑j=1
IP(A′P = j)zj
∞∑j=0
pjzj
.
Met de notatie fP (z) van pag. 51 en h(z) voor∑∞
j=0 pjzj vinden we dan,
(8.34)∞∑
j=0
p∗jzj =
1zIP(A′
P > 0)(fP (z)− IP(A′
P = 0))h(z).
Met analoge argumenten volgt
(8.35)∞∑
j=0
j+1∑i=1
πipj−i+1zj = z−1(gP (z)− π0)h(z).
Uitdrukkingen (8.33), (8.34) en (8.35) tesamen geven met c = π0
IP(A′P
>0),
(8.36) gP (z) = c(fP (z)− 1)h(z)
z − h(z).
58
Daar gP (1) = 1 vinden we met de regel van l’Hopital dat
1 = c limz↑1
(fP (z)− 1)− h(z)z − h(z)
= c limz↑1
f ′P (z)1− h′(z)
= cf ′P (1)
1− h′(1).
h′(1) is gelijk aan het verwachte aantal binnenkomende klanten per bedieningsduur, dush′(1) = λτ = ρ, bijgevolg
(8.37) c =1− ρ
f ′P (1).
Om g0(z) te berekenen zijn we geınteresseerd in de stationaire kansen onder de 0-strategie.Deze stationaire kansen zijn dezelfde als voor de N -strategie met parameter n = 1, zegstrategie P1. Het is duidelijk dat fP1(z) = z, f ′P1
(1) = 1 en c = 1−ρ. Substitutie in (8.36)geeft
(8.38) g0(z) = (1− ρ)(z − 1)h(z)z − h(z)
.
Relaties (8.36), (8.37) en (8.38) tesamen geven
(8.39) gP (z)− g0(z) =(1− ρ)h(z)z − h(z)
(fP (z)− 1f ′P (1)
− z + 1).
Door differentieren van deze uitdrukking en herhaald toepassen van de regel van l’Hopitalvolgt dan
g′P (1)− g′0(1) =f ′′P (1)2f ′P (1)
.
9. Wachtrijen met prioriteiten.
We bestuderen in deze paragraaf het wachtrijmodel met 1 bediende en klanten van ver-schillend type. We zullen enkele prioriteitsregels beschouwen en voor de verschillendeprioriteitsklassen de verwachte wachttijd en/of verblijftijd berekenen. Voor het geval aande verschillende types klanten verschillende verblijfkosten per tijdseenheid toegekend zijn,zullen we een optimale volgorde bepalen.
59
We veronderstellen dat de klanten tot een van de klassen p = 1, 2, . . . , P behoren.De taken van klasse p komen binnen volgens een Poisson-proces (λp). De bedieningsdu-urverdeling van klanten van het type p is FSp
. We gebruiken de volgende notaties,
τp = IESp; λ =P∑
p=1
λp; τ =P∑
p=1
λp
λτp;
ρp = λpτp en ρ = λτ =P∑
p=1
λpτp.
Volgens de stelling op pag. ** is de superpositie van de aankomstprocessen voor de ver-schillende klassen een Poisson-proces met parameter λ. Het aankomstproces van klasse pkunnen we genereren door uit te gaan van een Poisson-proces (λ) en een binnenkomendeklant met λp
λ het type p te geven. De bedieningsduurverdeling voor klanten van het gesu-perponeerde proces is
∑Pp=1(λp/λ)FSp
.In paragraaf 7 hebben we het M/G/1 wachtrijmodel met FIFO-discipline bestudeerd. We
vonden daar dat voor W de echte wachttijd relaties (7.3) en (7.5) gelden. Hieruit
(9.1) IEW = IEQ · τ + IER
De formule van Little geeft IEQ = λIEW . Door substitutie in (9.1) vinden we met ρ = λτ ,
(9.2) IEW =IER
1− ρ.
Met de resultaten van pag. ** vinden we voor de resterende bedieningsduur R, dat
(9.3) IE(R | W > 0) = deel1; 2; · IES2
IES,
met S de bedieningsduur (op pag. ** de tussentijd X2). Hier geldt voor de bedieningsduurS
(9.4) IES =P∑
p=1
λp
λIESp = τ
en
(9.5) IES2 =P∑
p=1
λp
λIES2
p .
Met (7.2), IP(W > 0) = ρ, en ρ/IES = λ geeft (9.3)
(9.6) IER =λ
2· IES2 = 1
2
P∑p=1
λpIES2p .
60
We noteren de wachttijd voor een klant van klasse p met Wp. Voor het aantal klanten vanklasse p schrijven we Np. De totale hoeveelheid werk in het systeem duiden we aan metU . Dan geldt
(9.7) IEU = IER +P∑
p=1
IENp · τp.
De totale hoeveelheid werk in een M/G/1 model is hetzelfde voor iedere bedieningsdiscipline.Voor de FIFO-bedieningsdiscipline is de totale hoeveelheid werk in het systeem gelijk aande echte wachttijd. Dus volgens (9.2)
(9.8) IEU =IER
1− ρ.
Met de Little formules, IENp = λpIEWp, p = 1, . . . , P geven (9.7) en (9.8)
(9.9)IER
1− ρ= IER +
P∑p=1
ρpIEWp.
Waaruit volgt
(9.10)P∑
p=1
ρpIEWp =ρ
1− ρIER.
We kunnen aan de verschillende klassen een prioriteit toekennen en klanten van een hogereprioriteitsklasse bedienen voor klanten van een lagere prioriteitsklasse. Hoe we ook deprioriteiten toekennen, de verwachting van de resterende bedieningsduur zal altijd gelijkzijn aan de uitdrukking in (9.6). Dit betekent dat voor iedere prioriteiten toekenningde uitdrukking
∑Pp=1 ρpIEWp dezelfde zal zijn. We noemen dit de wet van behoud van
vertraging. Als de verwachte wachttijd voor klanten van een klasse verkleind wordt doorde klasse een hoge prioriteit te geven, dan zal de verwachte wachttijd voor klanten uit deandere klassen zo toenemen dat
∑Pp=1 ρpIEWp constant blijft.
We kunnen uit (9.10) een betrekking vinden voor de verwachte aantallen klanten vande verschillende klassen in de wachtrij door de Little formule IEWp = 1
λpIENp te gebruiken,
zodat
(9.11)P∑
p=1
τp · IENp =ρ
1− ρIER.
Voor het speciale geval dat τp = τ , p = 1, . . . , P volgt dan, dat∑P
p=1 IENp constant is.Dus in dit geval is het verwachte totale aantal klanten in het systeem hetzelfde voor iedereprioriteiten toekenning.
61
We zullen nu een optimale volgorde bepalen voor klanten uit de klassen p = 1, . . . , P .We veronderstellen dat het aankomstproces voor klanten van type p een Poisson (λp)-proces is. De bedieningsduurverdeling is FSp
met gemiddelde τp, p = 1, . . . , P . Verdernemen we aan dat de verblijfkosten voor type p klanten per tijdseenheid cp bedragen. Wewillen een prioriteiten toekenning maken die de verwachting van de totale verblijfkostenper tijdseenheid minimaliseert. Laten we voor het stationaire proces het aantal klantenresp. de wachttijd en de verblijftijd voor een type p klant noteren met Np resp. Wp en Tp.We zoeken dan een prioriteitsregel die
(9.12)P∑
p=1
cpIENp
minimaliseert. Met
(9.13) IENp = λpIETp = λpIEWp + ρp
komt dit neer op het minimaliseren van
(9.14)P∑
p=1
cpλpIEWp =P∑
p=1
fpρpIEWp,
met fp = cp/τp.De wet van behoud van vertraging zegt, dat
(9.15)P∑
p=1
ρpIEWp = constant,
voor alle prioriteiten toekenningen.Laten we zonder beperking der algemeenheid veronderstellen dat de klassen zo genum-
merd zijn, datf1 ≤ f2 ≤ . . . ≤ fP .
Een optimale prioriteiten regel krijgen we nu door een klant van klasse p1 een hogereprioriteit te geven dan een klant van klasse p2 indien p1 > p2. Anders gezegd, we kennende prioriteiten toe naar de grootte van het quotient cp/τp. We noemen dit de µc-regel (voorexp. bedieningsduren is 1/τ gelijk aan µ). We zullen nu aantonen dat de µc-regel optimaalis. Zeg k1, . . . , kP is een andere toekenning gedefinieerd door klasse i heeft prioriteit bovenklasse j indien ki > kj . Stel nu dat ki 6= i en ki+1 = i + 1, . . ., kp = P . Dan geldt datki < i en fki
≤ fi. Indien we de klasse i nu prioriteitsindex i geven dan zal IEWi kleinerworden.Opgave 47 Geef aan hoe nieuwe prioriteiten aan klassen 1 t/m i − 1 gegeven dienen te
worden opdat IEWl kleiner wordt voor l = 1, . . . , i− 1.Laten we nu b het verschil in ρiIEWi tussen de oude en nieuwe strategie aangeven. De
IEWp voor p ≥ i + 1 blijft hetzelfde, dus op grond van (9.15) zali−1∑p=1
ρpIEWp een toename
62
van b geven. De uitdrukking in (9.14) wordt minstens b(fi − fi−1) kleiner, indien we deniuwe prioriteiten aan klassen 1 t/m i− 1 toekennen als in opgave 46.
Door dit argument herhaald toe te passen komen we uiteindelijk op de µc-regel. Door-dat de kosten bij iedere verandering in de prioriteitsregel niet toenemen moet de µc-regeloptimaal zijn.
We zullen nu voor enkele prioriteitsregels de verwachte wachttijd en/of verblijftijdberekenen. De eerste die we bestuderen is de HL-regel (Head - of - the - Line). Bij dezeregel gaat een klant van klasse p1 voor een klant van klasse p2 als p1 > p2, bij klanten vandezelfde klasse wordt de FIFO-regel toegepast.
De stochastische variabelen die voor het stationaire proces het aantal klanten in dewachtrij van klasse i bij binnenkomst van een klasse p klant aangeven, duiden we aan metNip. Het aantal klasse i klanten dat binnenkomt gedurende de tijd die een klasse p klantin de wachtrij doorbrengt, noteren we met Mip. Dan geldt,
(9.16) IEWp = IER +P∑
i=p
IENip · τi +P∑
i=p+1
IEMip · τi.
Met de Little formules
(9.17) IENip = λiIEWi en IEMip = λiIEWp, i, p = 1, . . . , P
vinden we
IEWp = IER +P∑
i=p
ρiIEWi +P∑
i=p+1
ρiIEWp.
Hieruit volgt
(9.18) IEWp
1−P∑
i=p
ρi
= IER +P∑
i=p+1
ρiIEWi.
We noteren σp voorP∑
i=p
ρi en we zullen via inductie aantonen dat (9.18) impliceert, dat
(9.19) IEWp =IER
(1− σp)(1− σp+1).
Met de conventie dat 1− σP+1 = 1 volgt relatie (9.19) voor p = P onmiddellijk uit (9.18).We nemen nu als inductieveronderstelling dat (9.18) geldt voor p ≥ i + 1. Dan volgt uit(9.18)
IEWi(1− σi) = IER +P∑
k=i+1
ρkIER
(1− σk)(1− σk+1)
= IER
(1 +
P∑k=i+1
ρk
(1− σk)(1− σk+1)
).
63
We zullen hieronder aantonen dat de tweede factor gelijk is aan (1− σi+1)−1. Hiermee isdan de inductiestap bewezen. Immers, dan geldt IEWi(1− σi) = IER(1− σi+1)−1.
We schrijven ak voor 1− σk, uit de conventie 1− σP+1 = 1 volgt aP+1 = 1. Voorts
ak+1 − ak = 1− σk+1 − 1 + σk =P∑
l=k
ρl −P∑
l=k+1
ρl = ρk.
Hieruit
1 +P∑
k=i+1
ρk
(1− σk)(1− σk+1)= 1 +
P∑k=i+1
ak+1 − ak
akak+1=
1 +P∑
k=i+1
(1ak
− 1ak+1
)= 1 +
1ai+1
− 1aP+1
=1
ai+1= (1− σi+1)−1.
Om inzicht te krijgen hoe uitdrukking (9.19) voor IEWp opgebouwd is, veronderstellenwe even dat de HL-discipline zo veranderd wordt, dat voor klanten uit de klassen p t/m Pde FIFO-regel geldt. Betrekking (9.16) wordt dan met W ∗
p de wachttijd voor deze discipline
IEW ∗p = IER +
P∑i=p
IENip · τi.
Waaruit volgt
IEW ∗p =
IER
(1− σp).
Dus de extra factor (1 − σp+1)−1 voor de verwachte vertraging van klasse p klanten in(9.19) komt, doordat klanten van de klassen p + 1, . . . , P die tijdens de wachttijd van eenklasse p klant binnenkomen, voorgaan bij de bediening.
Bij de HL-regel hebben we stilzwijgend aangenomen dat de bediening van een klant nietonderbroken wordt bij de binnenkomst van een klant met grotere prioriteit. Laten we nude prioriteitsregel bestuderen waarvoor dit wel het geval is. We noemen deze regel de HL-regel met werkonderbreking. Omdat onder deze regel de bediening in meerdere gedeeltenopgesplitst kan worden, beschouwen we in plaats van de wachttijd de tijd die een klant inhet systeem doorbrengt. Voor de verwachting van de resterende bedieningsduur hebbenwe relatie (9.6) afgeleid. Deze betrekking geldt nu niet meer, omdat er bij binnenkomstvan een klasse p klant een werkonderbreking zal optreden, indien er een klasse i klant meti ≤ p − 1 bediend wordt. Laten we de hoeveelheid werk in het systeem afkomstig vanklanten van de klassen p t/m P noteren met Up. Omdat werk van klanten van de klassen 1t/m p− 1 alleen maar gedaan wordt, als er geen werk is voor klanten van de klassen p t/mP , kunnen we Up berekenen door een M/G/1-model met FIFO-discipline te beschouwen metPoisson (
∑Pi=p λi) aankomstproces en bedieningsduurverdeling
(∑Pi=p λi
)−1∑Pi=p λiFSi .
Analoog aan (9.8) is aan te tonen, dat
IEUp =IERp
1− σp
64
met
IERp = 12
P∑i=p
λiIES2i .
We noteren de tijd die een klasse p klant in het systeem doorbrengt met Tp. De verwachtingvan het aantal klasse i klanten dat binnenstroomt tijdens de verblijftijd Tp is λiIETp. Deverwachting van de hoeveelheid werk die zij meebrengen, is ρiIETp. Dus geldt er
IETp = τp +IERp
1− σp+
P∑i=p+1
ρiIETp.
Door IETp hieruit op te lossen vinden we
IETp =τp(1− σp) + IERp
(1− σp)(1− σp+1).
De regel dat de klant met de kortste bedieningstijd voorgaat, noemen we de SJF-regel (Shortest Job First). Bij deze volgorde sluiten we werkonderbreking weer uit. Wezullen voor deze regel een betrekking voor de voorwaardelijke verwachting van de wachttijdgegeven de gevraagde bedieningsduur afleiden. We nemen aan dat de gevraagde bedien-ingsduur een dichtheid, zeg f , heeft en we gebruiken de resultaten voor de HL-regel. Daar-toe beschouwen we een model met klassen p = 1, . . . , k2 +1, dus P = k2 +1. We laten eenklant tot de klasse p ≤ k2 resp. tot de klasse p = k2+1 behoren, indien zijn gevraagde bedi-eningsduur S voldoet aan (p−1)· 1k < S ≤ p· 1k resp. k < S. Klasse p klanten komen dan aanvolgens een aankomstproces dat Poisson is met parameter λp = λ(F ( p
k )−F (p−1k )). Omdat
hier klassen met een lagere index een hogere prioriteit hebben, geldt voor de grootheid σp
(9.20) σp =p∑
l=1
λ
(F( l
k
)− F
( l − 1k
))τl,
met τp de verwachte bedieningsduur van klasse p klanten. Dus
(9.20) τp =(
F(p
k
)− F
(p− 1k
))−1 ∫ pk
p−1k
tf(t) dt.
Volgens betrekking (9.19) geldt voor de wachttijd bij deze indeling in klassen
(9.22) IE[W∣∣∣ p− 1
k< S ≤ p
k
]= IER(1− σp)−1(1− σp−1)−1.
We willen nu de indeling fijner maken door k toe te laten nemen. Met continuıteitsargumentenkunnen we aantonen, dat we de limiet mogen nemen voor k →∞.
65
Ga na dat limiet van σp en van σp−1 voor k →∞ gelijk is aan λ∫ x
0tf(t)dt, indien p/k
naar x convergeert. We vinden dan
(9.23) IE[W | S = x] = IER ·[1− λ
∫ x
0
tf(t) dt
]−2
.
Voor het M/G/1-FIFO-model geldt IEW = IER · (1− ρ)−1. Uit (9.23) vinden we, dat
limx→∞
IE[W | S = x] = IER · (1− ρ)−2
enlimx↓0
IE[W | S = x] = IER.
We hebben meerdere malen gebruikt dat IEW voor het M/G/1-model hetzelfde is voor iederebedieningsdiscipline die niet van de gevraagde bedieningsduur afhangt. De SJF-regel iseen discipline die wel van de gevraagde bedieningsduur afhangt. Uit (9.23) vinden we, dat
(9.24) IEWSJF = IER ·∫ ∞
0
[1− λ
∫ x
0
tf(t) dt
]−2
f(x)dx.
Voor de wachttijd van het FIFO-model geldt,
(9.25) IEWFIFO = IER
(1− λ
∫ ∞
0
tf(t) dt
)−1
.
Opgave 49 laat zien dat IEWSJF < IEWFIFO.Opgave 48 : (komen na pag. ..) We beschouwen een M/G/1 systeem met 2 prioriteit-
sklassen. Gegeven is dat IER = 2, ρ1 = ρ2 = 14
(a) Indien IEW1 = 5 bepaal dan IEW2.(b) Bereken IEW1 en IEW2 voor de HL-regel zonder werkonderbreking.(c) Bereken IEW1 en IEW2 voor de FIFO-regel.
Opgave 49 : We beschouwen de M/G/1-wachtrij met HL-regel zonder werkonderbreking.Er zijn 2 klassen. De indeling vindt plaats op grond van de gevraagde bedien-ingsduur S. Een klant behoort tot klassse 1 resp. 2 naar gelang S ≤ x0 resp.S > x0.
(a) Toon aan, dat
IEW =2∑
p=1
λp
λIEWp =
IER
1− ρ
[1− ρFS(x0)
1− ρ1
](b) Toon aan dat deze prioriteits-regel een verbetering geeft t.o.v. de FIFO-regel, d.w.z.
indien FS(x0) < 1 danIEW < IEWFIFO.
66
10. Netwerken van wachtrijen
10.1. Open exponentiele netwerken.We zullen in deze paragraaf resultaten afleiden voor een algemene klasse van bedienings-disciplines. Daarom voeren we een drietal functies in waarmee we de bedieningsdisciplinekarakteriseren.capaciteitsfunctie: f(x) is de capaciteit van de bedieningseenheid indien er x taken
aanwezig zijn;verdelingsfunctie: ϕ(x, i) is de fractie van de totale capaciteit die aan de taak op de
i’de plaats gegeven wordt indien er x taken aanwezig zijn;plaatsingsfunctie: δ(x, i) is de waarschijnlijkheid dat een aankomende taak plaats i
toegewezen krijgt indien er reeds x aanwezig waren.Het is mogelijk dat een aankomende klant plaats i toegewezen krijgt terwijl plaats i
reeds bezet is. De taak op plaats i schuift dan naar plaats i + 1, en als er een taak opplaats i + 1 aanwezig is, dan krijgt deze de plaats i + 2 etc. Indien er x klanten aanwezigzijn, dan bezetten ze de plaatsen 1 t/m x. We kunnen dit bereiken door af te spreken datals de taak op plaats i afgehandeld is, de taken op de plaatsen i + 1 t/m x verschuivennaar de plaatsen i t/m x− 1.
Laten we enkele voorbeelden beschouwen.1. Het dienstencentrum heeft m loketten, een oneindig grote wachtruimte en FIFO bedi-
eningsdiscipline.
f(x) =
x x ≤ mm x > m
ϕ(x, i) =
1x∧m 1 ≤ i ≤ (x ∧m)0 i > (x ∧m)
δ(x, i) =
1 i = x + 10 i 6= x + 1
2. Het dienstencentrum heeft een centrale verwerkingseenheid met een constante ca-paciteit (zeg f) en de capaciteit wordt gelijkmatig over de taken verdeeld. Deze bedi-eningsdicipline noemen we processor-sharing.
f(x) = f, ∀x > 0; ϕ(x, i) =
1/x 1 ≤ i ≤ x0 i > x
; δ(x, i) =
1/(x + 1) 1 ≤ i ≤ x + 10 i > x + 1.
3. Bij deze bedieningsdiscipline krijgt de aankomende taak onmiddellijk alle capaciteit.We noemen deze discipline LIFO - met werkonderbreking.
f(x) = 1, ∀x > 0 ϕ(x, i) =
1 i = x0 i 6= x
δ(x, i) =
1 i = x + 10 i 6= x + 1.
4. Het dienstencentrum heeft ∞-veel loketten.
f(x) = x,∀x ϕ(x, i) =
1/x 1 ≤ i ≤ x0 x > i
δ(x, i) =
1/(x + 1) 1 ≤ i ≤ x + 10 i > x + 1
.
5. Het dienstencentrum heeft m loketten en geen wachtruimte. De taken die bij aankomstalle loketten bezet vinden verlaten het centrum onmiddellijk.
f(x) =
x 1 ≤ x ≤ m∞ x > m
ϕ(x, i) =
1/x 1 ≤ i ≤ x0 i > x
, voor x ≤ m en ϕ(m + 1, i) = 0 i 6= m + 1
1 i = m + 1
δ(x, i) =
1/(x + 1) 1 ≤ i ≤ x + 10 i > x + 1
, voor x ≤ m− 1 en δ(m, i) = 0 i 6= m + 1
1 i = m + 167
Bedieningsdisciplines 2 t/m 5 voldoen aan de relatie
(10.1) ϕ(x + 1, i) = δ(x, i) ∀x en 1 ≤ i ≤ x + 1.
Bedieningsdisciplines waarvoor (10.1) geldt noemen we symmetrisch.We beschouwen nu een dienstencentrum met bedieningsdiscipline (f, ϕ, δ)?. De taken
komen binnen volgens een Poisson proces (λ). De bedieningsduren hebben een exponentieleverdeling met parameter µ. Laten we het aantal taken dat aanwezig is in het centrum,voor het stationaire proces aanduiden met N . De stationaire verdeling wordt met ρ = λ/µgegeven door
IP(N = n) = ρnn∏
x=1
1f(x)
P0(10.2)
P0 =
[1 +
∞∑n=1
ρnn∏
x=1
1f(x)
]−1
(10.3)
Precieser gezegd, alleen indien∑∞
n=1 ρn∏n
x=11
f(x) < ∞, bestaat er een stationaire verdel-ing en deze voldoet aan (10.2) en (10.3). We zullen aantonen dat de oplossing (10.2) en(10.3) aan het globale evenwichtsstelsel voldoet. Dit stelsel luidt
(10.4) IP(N = n)(λ + f(n)µ) = IP(N = n− 1)λ + IP(N = n + 1)f(n + 1)µ ∀n.
Daar volgens (10.2)IP(N = n)
IP(N = n− 1)=
ρ
f(n)∀n
volgt relatie (10.4) indien aan (10.3) voldaan is.In deze paragraaf zullen we Markov ketens met een meerdimensionale toestandsruimte
gebruiken. We zullen invoeren de notatie voor de overgangsintensiteiten en een belangrijkeeigenschap van Markov ketens. Toestanden duiden we aan met E, E′, E(1), E(2) etc. Deovergangsintensiteit van toestand E naar E′ noteren we met q(E,E′). Voor het boven-staande model geldt met E(n) = n q(E(n), E(n + 1)) = λ, q(E(n), E(n − 1)) = f(n)µ.We schrijven P (E) voor de stationaire waarschijnlijkheid op toestand E. Het globaleevenwichtsstelsel luidt:
(10.5) P (E)∑E′
q(E,E′) =∑E′
P (E′)q(E′, E) ∀E.
Een proces X(t) gedefinieerd voor alle −∞ < t < +∞ heet omkeerbaar, indien de waarschi-jnlijkheids wet van X(t), −∞ < t < +∞ gelijk is aan de waarschijnlijkheids wet vanX(s − t), −∞ < t < +∞ voor iedere s. In het bijzonder betekent dit voor iedere n ent1, . . . , tn, dat (X(t), X(t2), . . . , X(tn)) en (X(s − t1), X(s − t2), . . . , X(s − tn)) dezelfdeverdeling hebben voor iedere s.
? We nemen aan dat, f(x) > 0 voor x > 0.
68
Een omkeerbaar proces is een stationair proces, immers (X(t1), X(t2), . . . , X(tn)) en(X(t1 + s), X(t2 + s), . . . , X(tn + s)) hebben beide dezelfde verdeling voor iedere s nl. deverdeling van (X(−t1), X(−t2), . . . , X(−tn)).
Zonder bewijs vermelden we, dat de omkeerbaarheid equivalent is met ieder van devolgende 2 eigenschappen
1. P (E)q(E,E′) = P (E′)q(E′, E) ∀E,E′;2. Kolmogorov’s criterium:
Voor iedere eindige rij van toestanden, zeg E(1), E(2), . . . , E(n) moet gelden
q(E(1), E(2))q(E(2), E(3)) · · · q(E(n− 1), E(n))q(E(n), E(1)) =q(E(1), E(n))q(E(n), E(n− 1)) · · · q(E(3), E(2))q(E(2), E(1)).
Het is eenvoudig na te gaan dat het stationaire proces, zeg N(t), voor −∞ < t < +∞behorende bij een Poisson (λ) aankomstproces en een bedieningskarakteristiek (f, ϕ, δ) eenomkeerbaar proces is. Immers met
P (E(n)) = ρnn∏
x=1
1f(x)
P0
enq(E(n), E(n + 1)) = λ; q(E(n), E(n− 1)) = f(n)µ
geldt,P (E(n))q(E(n), E(n + 1)) = P (E(n + 1))q(E(n + 1), E(n)) ∀n.
Het blijkt dat ieder stationair GS-proces gedefinieerd voor −∞ < t < +∞ omkeerbaar is.De tijdstippen van de opwaartse sprongen in N(t), −∞ < t < +∞ zijn de aankomst-
tijdstippen van taken en vormen volgens de aanname een Poisson(λ) proces. Omdat hetproces omkeerbaar is, volgt dat ook de opwaartse sprongen in N(s− t), −∞ < t < ∞ eenPoisson(λ) proces vormen. Maar dit zijn de neerwaartse sprongen van N(t), −∞ < t < ∞.Dus de vertrektijdstippen van taken vormen ook een Poisson(λ) proces. We noemen diteigenschap S1. Laten we N(t), −∞ < t < +∞ resp. N(−t), −∞ < t < +∞ het voor-waartse resp. het achterwaartse proces noemen. Voor het voorwaartse proces geldt datN(t) stoch. onafhankelijk is van het aankomstproces na t, ∀t. Laten we dit de eigenschapS′2 noemen. Iedere eigenschap van het voorwaartse proces geldt ook voor het achterwaartseproces. De eigenschap S′2 voor het achterwaartse proces zegt dat N(t) stoch. onafhankelijkis van het vertrekproces voor tijdstip t, ∀t. Laten we deze eigenschap S2 noemen.
We gaan nu een zeer eenvoudig netwerk beschouwen nl. twee dienstencentra in eenproduktielijn. We veronderstellen dat taken bij het centrum 1 aankomen volgens eenPoisson(λ) proces. Indien een taak afgehandeld is bij centrum 1, dan gaat hij naar centrum2. De gevraagde bedieningsduur bij centrum i is exponentieel verdeeld met parameterµi en de bedieningskarakteristiek is (fi, ϕi, δi) voor i = 1 en 2. Het aantal taken bijcentrum i op tijdstip t noteren we met Ni(t), i = 1 en 2. We beschouwen het stationaireproces, dus Ni(t) is voor iedere t verdeeld als Ni, i = 1 en 2. Het is duidelijk dat het
69
proces N1(t), −∞ < t < +∞ dezelfde waarschijnlijkheids wet heeft als in het geval van 1dienstencentrum met (f1, ϕ1, δ1). Dus volgens (10.2) en (10.3) met ρ1 = λ/µ1
(10.6) IP(N1 = n1) = ρn11
n1∏x=1
1f1(x)
P10
en
(10.7) P10 =
[1 +
∞∑n=1
ρn1
n∏x=1
1f1(x)
]−1
.
Het aankomstproces bij centrum 2 is het vertrekproces bij centrum 1. We hebben geziendat dit ook een Poisson(λ) proces is. Hieruit volgt met ρ2 = λ/µ2
(10.8) IP(N2 = n2) = ρn22
n2∏x=1
1f2(x)
P20
en
(10.9) P20 =
[1 +
∞∑n=1
ρn2
n∏x=1
1f2(x)
]−1
.
We willen graag de stationaire waarschijnlijkheid IP(N1 = n1, N2 = n2) weten. Destochastische varariabele N2(t) wordt bepaald door het vertrekproces bij centrum 1 voortijdstip t en natuurlijk de gevraagde bedieningsduren bij centrum 2.
Zoals we afgesproken hebben veronderstellen we steeds, dat alle bedieningsduren bij decentra 1 en 2 onderling stochastich onafhankelijk zijn. Volgens eigenschap S2 geldt nu datN1(t) en het vertrekproces voor tijdstip t onafhankelijk zijn. Maar dat betekent dat N1(t)en N2(t) stochastisch onafhankelijk zijn voor iedere t en dus zijn N1 en N2 onafhankelijk.Hieruit volgt
(10.10) IP(N1 = n1, N2 = n2) = ρn11 ρn2
2
n1∏x1=1
1f1(x1)
n2∏x2=1
1f2(x2)
P10P20
met P10 en P20 zoals in (10.7) resp. (10.9).Betrekking (10.10) kunnen we ook afleiden door het globale evenwichtsstelsel op te
lossen. Het stelsel is, met P (n1, n2) = IP(N1 = n1, N2 = n2),
P (n1, n2)[λ + f1(n1)µ1 + f2(n2)µ2] = P (n1 − 1, n2)λ+(10.11)+ P (n1 + 1, n2 − 1)f1(n1 + 1)µ1 + P (n1, n2 + 1)f2(n2 + 1)µ2 ∀n1, n2.
Voor de waarschijnlijkheden uit (10.10) geldt
P (n1, n2)λ = P (n1, n2 + 1)f2(n2 + 1)µ2(10.12)P (n1, n2)f1(n1)µ1 = P (n1 − 1, n2)λ(10.13)P (n1, n2)f2(n2)µ2 = P (n1 + 1, n2 − 1)f1(n1 + 1)µ1(10.14)
70
We noemen (10.12), (10.13) en (10.14) centrum-lokale evenwichtsstelsels. Als kansen eenoplossing zijn van lokale stelsels, dan zijn ze ook een oplossing van het globale stelsel endus vormen ze de stationaire verdeling.
We beschouwen nu een produktielijn met r dienstencentra. Taken komen bij centrum1 aan volgens een Poisson(λ) proces en taken die afgehandeld zijn bij centrum i gaan naarcentrum i + 1, 1 ≤ i ≤ r − 1. De bedieningskarakteristiek bij centrum i is (fi, ϕi, δi) ende gevraagde bedieningsduur is exponentieel verdeeld met parameter µi, 1 ≤ i ≤ r. Doorde eigenschappen S1 en S2 herhaald toe te passen vinden we dat het vertrekproces bijcentrum i, dit is het aankomstproces bij centrum i + 1, een Poisson(λ) proces is. Voortsgeldt, dat de aantallen klanten bij de centra op tijdstip t, zeg Ni(t), 1 ≤ i ≤ r, stochastischonafhankelijk zijn. Dus geldt met ρi = λi/µi, 1 ≤ i ≤ r
10.15 IP(N1 = n1, . . . , Nr = nr) =r∏
l=1
ρnl
l
nl∏x=1
1fl(x)
Pl0
en
(10.16) Pl0 =
[1 +
∞∑n=1
ρnl
n∏x=1
1fl(x)
]−1
.
We beschouwen nu een algemeen open netwerk met dienstencentra 1 t/m r. Bij centrumi is er een aankomstproces van taken die komen van buiten het netwerk, het netwerkwordt daarom open genoemd. We veronderstellen dat dit proces een Poisson proces metparameter λi is, 1 ≤ i ≤ r. Indien een taak afgehandeld is bij centrum i, dan gaat hij naarcentrum j met kans pij . De matrix (pij) 1 ≤ i, j ≤ r heet de routeringsmatrix. Indienwe een taak zouden volgen en alleen letten op welke centra bezocht worden en dus nietop de verblijftijden bij de bezochte centra, dan geeft dit een Markovketen met discretetijdsparameter en overgangswaarschijnlijkheden (pij). We merken op dat 1 −
∑rj=1 pij
de kans is, dat een taak die afgehandeld is bij centrum i het netwerk verlaat. Bij eenopen netwerk waar taken van buiten binnenkomen, moet er een positieve kans zijn dattaken het netwerk weer verlaten, anders divergeert het aantal taken naar oneindig. Bijeen routeringsmatrix (pij), 1 ≤ i, j ≤ r en parameters λi, 1 ≤ i ≤ r kunnen we hetvolgende lineaire stelsel in de onbekenden γi, 1 ≤ i ≤ r opstellen. We noemen ze derouteringsvergelijkingen
(10.17) γi = λi +r∑
j=1
γjpji , 1 ≤ i ≤ r.
We noteren γ resp. λ voor de kolomvector met als i-de component γi resp. λi. Het stelselin vectornotatie wordt
γT = λT + γT P.
Door iteratie hiervan vinden we
γT = λT + λT P + λT P 2 + · · ·+ λT P k + γT P k+1.
71
We veronderstellen nu dat limk→∞
P(k+1)ij = 0 ∀i, j, d.w.z. de matrix P is voorbijgaand. Dan
volgt dat (10.17) een unieke oplossing heeft die gegeven wordt door
(10.18) γi = λi +∞∑
k=1
r∑j=1
λjp(k)ji .
Het is eenvoudig na te gaan dat voor de produktielijn geldt, dat λ1 = λ, λi = 0, 1 ≤ i ≤ ren γi = λ, 1 ≤ i ≤ r.
De grootheden γi/µi noteren we met ρi en noemen we de verkeersintensiteiten. Voorde produktielijn is ρi inderdaad de verkeersintensiteit van centrum i. Immers het aankom-stproces is Poisson(γi) en de bedieningsduur is exponentieel(µi) verdeeld.
Laten we een iets gecompliceerder netwerk beschouwen
(10.19)
Op grond van eigenschap S1 is het vertrekproces uit centrum 1 een Poisson(λ1) proces.Iedere vertrekkende taak bij centrum 1 gaat met kans p13 naar centrum 3. Dus de taken-stroom van centrum 1 naar centrum 3 vormt een Poisson proces met parameter λ1p13. Zozijn ook de takenstromen van centrum i naar centrum j Poisson processen met parametersλipij , i = 1, 2 en j = 3, 4. Omdat de aankomstprocessen bij centra 1 en 2 onafhankelijkeprocessen zijn, zijn ook de vertrekprocessen bij de centra 1 en 2 onafhankelijk. Dus zijnde takenstromen van 1 naar 3 en van 2 naar 3 stochastisch onafhankelijk en Poisson. Desuperpositie bij centrum 3 is dus een Poisson proces met parameter γ3 = λ1p13 +λ2p23. Zois de aankomststroom bij centrum 4 een Poisson proces met parameter γ4 = λ1p14 +λ2p24.We vinden zo dat het aankomstproces bij ieder centrum een Poisson proces is en dat deparameters γi, i = 1, 2, 3, 4 gevonden worden als oplossing van het stelsel (10.18).
Bij de routeringsmatrix (pij), 1 ≤ i, j ≤ r beschouwen we een gerichte graaf G = (V,A)met knooppuntenverzameling V = v1, v2, . . . , vr en (vi, vj) ∈ A indien pij > 0. Indien degraaf geen ronden bevat, dan kunnen we analoog aan model (10.19) beargumenteren datalle takenstromen onderling onafhankelijk en Poisson zijn. De verkeersintensiteiten vindenwe door de routeringsvergelijkingen op te lossen.
Voor het model van (10.19) zullen we nu beargumenteren dat N1, N2, N3, N4 stochastischonafhankelijk zijn. Bevat de graaf van het netwerk geen ronden, dan laat zich analoog aan-tonen dat N1, . . . , Nr stochastisch onafhankelijk zijn. Voor het model van (10.19) geldt,dat N1(t) en N2(t) onafhankelijk zijn. N1(t) en N2(t) zijn onafhankelijk van de vertrekpro-cessen bij de centra 1 en 2 voor het tijdstip t. Maar deze vertrekprocessen bepalen tesamenmet de routering de variabelen N3(t) en N4(t) en dus zijn deze stochastisch onafhankelijkvan N1(t) en N2(t). Dat N3(t) en N4(t) onderling stochastisch onafhankelijk zijn, komtdoordat de takenstromen van centra i naar de centra j, 1 ≤ i, j ≤ 2 onderling onafhanke-lijk zijn. We gebruiken hierbij dat de decompositie van een Poissonproces onafhankelijke
72
Poissonprocessen geeft. We concluderen dat de stationaire kansen voor een netwerk zonderronden voldoen aan (10.15) en (10.16) met ρi = γi/µi en γi, 1 ≤ i ≤ r de oplossing van derouteringsvergelijkingen.
Indien het netwerk ronden bevat, dan zijn de aankomststromen bij de centra geenPoissonprocessen. Gelukkig geldt er toch dat de stochastische variabelen N1, . . . , Nr
stochastisch onafhankelijk zijn en dat
(10.20) IP(Ni = ni) = ρnii
ni∏x=1
1fi(x)
Pi0
met ρi = γi/µi en Pi0 zoals in (10.16).Om dit aan te tonen beschouwen we het globale evenwichtsstelsel. We noteren n resp.
n + ei resp. n − ei resp. n − ei + ej voor (n1, . . . , ni, . . . , nj , . . . , nr) resp. (n1, . . . , ni +1, . . . , nj , . . . , nr) resp. (n1, . . . , ni − 1, . . . , nj , . . . , nr) resp. (n1, . . . , ni − 1, . . . , nj +1, . . . , nr).
Met de afspraak dat P (n1, . . . , nr) = 0 indien ni < 0 voor een 1 ≤ i ≤ r, vinden wedan voor het globale stelsel
P (n)
[r∑
i=1
λi +r∑
i=1
fi(ni)µi
]=
r∑i=1
P (n− ei)λi+
+r∑
i=1
r∑j=1
P (n + ei − ej)fi(ni + 1)µipij +r∑
i=1
P (n + ei)fi(ni + 1)µi
1−r∑
j=1
pij
.
Het blijkt dat de kansen (10.20) niet alleen aan het globale stelsel voldoen, maar net zoalsbij (10.11) ook een oplossing zijn van de centrum-lokale stelsels.
Opgave 50: Toon aan, dat
P (n)n∑
i=1
λi =r∑
i=1
P (n + ei)fi(ni + 1)µi
1−r∑
j=1
pij
en
P (n)fj(nj)µj = P (n− ej)λj +r∑
i=1
P (n + ei − ej)fi(ni + 1)µipij , 1 ≤ j ≤ r.
We vinden dus dat (10.15) en (10.16) tesamen met de verkeersintensiteiten ρi = γi/µi,met γi, 1 ≤ i ≤ r de oplossing van de routeringsvergelijkingen, de algemene stationairewaarschijnlijkheden geven voor een open netwerk van wachtrijen.
73
Opgave 51: We beschouwen het volgende netwerk
Centrum 1 heeft een karakteristiek zoals 4 van pag. ... en µ1 = 8. Centra 2, 3 en 4hebben een karakteristiek zoals 1 van pag. ... met s = 1 en µi = 1, i = 2, 3 en 4. Hetaankomstproces is Poisson met parameter λ = 1. Bereken de stationaire waarschijnlijkhe-den en IEN1, IEN2, IEN3 en IEN4.Opgave 52: Brandweerprobleem.
We veronderstellen dat het onstaan van branden in Leiden gebeurt volgenseen Poisson-proces (λ). Met kans p1 zal bij een alarm 1 brandweerwagende brand kunnen blussen. De tijdsduur totdat de wagen weer terugkeert bijde brandweergarage, veronderstellen we exponentieel verdeeld met parameterµ11. Met kans p2 zal bij een alarm 1 brandweerwagen onvoldoende blijkente zijn. Na een exponentieel(µ21) verdeelde tijdsduur rukt er dan een tweedebrandweerwagen uit. De twee brandweerwagens blussen gedurende een tijd, dieexponentieel verdeeld is met parameter µ22. Daarna keert er een naar de garageterug, de andere blust na en ruimt op, dit heeft een duur die exponentieelverdeeld is met parameter µ23. Met kans p3 zal een alarm onmiddellijk tweebrandweerwagens laten uitrukken. In dit geval blussen de wagens tesamengedurende een exponentieel verdeelde tijd met parameter µ31, waarna weer eenvan de wagens nog gedurende een exponentieel verdeelde tijd met parameterµ32 werkt. Er zijn dus drie typen van branden – type 1 met kans p1 enparameter µ11; type 2 met kans p2, dit type heeft 3 fasen met parameters µ21,µ22 en µ23; type 3 met kans p3, dit type heeft 2 fasen met parameters µ31 enµ32.
De stationaire kans dat er zijn: i branden van type 1; j1 + j2 + j3 brandenvan type 2 met jv in fase v, v = 1, 2, 3; k1 + k2 branden van type 3 met kv infase v, v = 1, 2 noteren we met P (i; j1, j2, j3; k1, k2). Toon aan, dat
P (i; j1, j2, j3; k1, k2) =
1i!
[p1λ
µ11
]i 1j1!
[p2λ
µ21
]j1 1j2!
[p2λ
µ22
]j2 1j3!
[p2λ
µ23
]j3 1k1!
[p3λ
µ31
]k1 1k2!
[p3λ
µ32
]k2
×
× exp−[p1λ
µ11+
p2λ
µ21+
p2λ
µ22+
p2λ
µ23+
p3λ
µ31+
p3λ
µ32
].
74
Pm =∑
I
P (i; j1, j2, j3; k1, k2)
met I = i; j1, j2, j3; k1, k2 : i + j1 + 2j2 + j3 + 2k1 + k2 = m is de kans, dater in totaal m brandweerwagens nodig zijn. Indien er M brandweerwagens in
Leiden zijn dan is∞∑
m=M+1
Pm de waarschijnlijkheid dat er brandweerwagens
tekort zijn.
10.2. Gesloten exponentiele modellen
Een netwerk van wachtrijen heet gesloten, indien er geen taken van buitenaf het netwerkkunnen binnenkomen. Het aantal taken in het netwerk zal dus steeds hetzelfde zijn, zeg m.Indien er Ni klanten bij centrum i zijn, 1 ≤ i ≤ r, dan moet gelden dat N1 + · · ·+Nr = m.De stochastische variabelen N1, N2, . . . , Nr kunnen dus niet stochastisch onafhankelijk zijnin een gesloten netwerk. Toch zal blijken dat voor de stationaire kansen analoge formulesgelden als voor de open netwerken.
De routeringsvergelijkingen voor het open netwerk zijn gegeven in (10.17). Voor hetgesloten netwerk zijn er geen Poisson aankomstprocessen dus de λi ’s zijn gelijk aan nul.
Voor open netwerken zonder ronden hebben we beargumenteerd, dat het aankomst-proces bij centrum i een Poissonproces is met parameter γi. Bij een gesloten netwerk zijnde takenstromen tussen de centra zeker niet Poisson. Toch blijkt, dat om de parametersdie het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid geven, te vinden, we de router-ingsvergelijkingen voor het gesloten model moeten oplossen. We veronderstellen weer datpij , 1 ≤ i, j ≤ r aangeeft de kans dat een taak die afgehandeld is bij centrum i naarcentrum j gaat. Bij gesloten netwerken moet gelden
r∑j=1
pij = 1, 1 ≤ i ≤ r.
Dus P = (pij), 1 ≤ i, j ≤ r vormt de matrix van overgangswaarschijnlijkheden van eenzog. niet-defectieve Markov keten. We veronderstellen dat deze Markovketen irreducibelis, oftewel de gerichte graaf zoals gedefinieerd bovenaan pag. ** is sterk samenhangend.De routeringsvergelijkingen voor het gesloten netwerk zijn
γi =r∑
j=1
γjpji, 1 ≤ i ≤ r(10.21)
γi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ r enr∑
i=1
γi = 1.(10.22)
Voorwaarde (10.22) voegen we toe om de oplossing eenduidig te doen zijn. Echter iedereniet-negatieve oplossing van (10.21) geeft dezelfde stationaire kansen voor het netwerk.
Deze stationaire kansen zijn, met ρi = γi/µi en (fi, ϕi, δi) de karakteristiek voor cen-trum i, 1 ≤ i ≤ r,
(10.23) IP(N = n1, . . . , Nr = nr) = Cr∏
l=1
ρnl
l
nl∏x=1
1fl(x)
75
met
(10.24) n1 + n2 + · · ·+ nr = m
en
(10.25) C−1 =∑
n1+···+nr=m
r∏l=1
ρnl
l
nl∏x=1
1fl(x)
.
We zien dat de vorm (10.23)∗ dezelfde is als (10.15). Het verschil zit in de normeringscon-stante. Voor de verdeling van Nl vinden we uit (10.23), (10.24) en (10.25)
IP(Nl = nl) = ρnl
l
nl∏x=1
1fl(x)
∑∏i 6=l
ρnii
ni∏x=1
1fi(x)
· C
met de sommatie over alle n1, . . . , nl−1, nl+1, . . . , nr zdd. dat n1 + · · ·+nl−1 +nl+1 + · · ·+nr = m− nl.
Voor het geval r = 2 volgt dan
IP(N1 = n1) = Cρn11
n1∏x=1
1f1(x)
ρm−n12
m−n1∏x=1
1f2(x)
= IP(N1 = n1, N2 = m− n1)
De stochastische variabelen N1, . . . , Nr zijn dus niet stochastisch onafhankelijk.Dat de stationaire kansen voldoen aan (10.23) laat zich weer aantonen, door te verifieren
dat de kansen zoals gedefinieerd in (10.23) een oplossing zijn van de centrum lokale stelsels.Er geldt met de notatie en conventie uit paragraaf 10.1,
(10.26) P (n)fj(nj)µj =r∑
i=1
P (n + ei − ej)fi(ni + 1)µipij , 1 ≤ j ≤ r.
In paragraaf 5.5 bespraken we een model voor n telefoonabonnees die aangesloten zijnop een centrale met s uitgaande lijnen. Eigenlijk is dit model een gesloten netwerk met2 centra. Een abonnee die geen gebruik maakt van de telefoon representeren we dooreen klant bij centrum 1. Een abonnee die een lijn krijgt, stellen we voor door dezelfdeklant maar nu bij centrum 2. De bedieningskarakteristiek voor centrum 2 is voorbeeld
∗ We gebruiken de conventie dat voor nl = 0,
ρnll
nl∏x=1
1
fl(x)= 1
76
5 uit paragraaf 10.1 met m = s. Voor de karakteristiek bij centrum 1 kunnen we voor-beeld 4 nemen. Het is eenvoudig na te gaan dat γ1 = 1
3 , γ2 = 12 de oplossing is van de
routeringsvergelijkingen.Zoals in paragraaf 5.5 veronderstellen we dat de bedieningsduren exponentieel verdeeld
zijn met parameters γ resp. µ voor de centra 1 resp. 2. De stationaire kansen zijn dan,
IP(N2 = j) = IP(N1 = m− j, N2 = j) = C
(12µ
)j 1j!
(12γ
)m−j 1(m− j)!
= C∗(
m
j
)(γ
µ
)j
met
C∗ = C1m!
(12γ
)m
.
Uit∑s
j=0 IP(N2 = j) = 1 volgt C∗ =[ s∑j=0
(mj
)(γµ
)j]−1. Dit is de Engset verdeling van
paragraaf 5.5.Opgave 53: Machine reparatie probleem.
We beschouwen een machinepark met m machines. Iedere machine gaat stukna een tijd die exponentieel verdeeld is met parameter γ. Er zijn s (s <m) monteurs en de reparatieduur per machine is exponentieel verdeeld metparameter µ. Bepaal de stationaire kansen.
10.3 Verschillende typen van klanten.
In deze paragraaf beschouwen we eerst een dienstencentrum met karakteristiek (f, ϕ, δ).Daarna zullen we aangeven hoe de resultaten uit te breiden zijn naar netwerken vanwachtrijen. In veel realistische modellen zijn er taken of klanten van verschillend type.De aankomstprocessen en/of de bedieningsduurverdeling van taken verschillen per type.We moeten nu een meer gedetailleerde toestandsbeschrijving gebruiken.
Voor iedere taak in het centrum is er een paar getallen (i, j). Het eerste getal i geeftaan het type van de klant. Dus bij 2 typen is i = 1 of 2. Het tweede getal j geeft de plaatsvan de taak in de wachtrij. Dus bij aanwezigheid van n taken geldt, j ∈ 1, 2, . . . , n.We veronderstellen dat er k verschillende typen van klanten zijn en dat type i klantenbinnenkomen volgens een Poissonproces(λi)∗, 1 ≤ i ≤ k. In het eerste deel van dezeparagraaf veronderstellen we dat alle typen een exponentiele bedieningsduur hebben metdezelfde parameter µ.
De toestand duiden we aan met E. Indien er n klanten aanwezig zijn dan is Ede verzameling van n paren getallen die de type- en plaatsnummers aangeven. Dus,E = (i1, j1), . . . , (in, jn). Omdat (j1, . . . , jn) een permutatie is van de plaatsnummers(1, . . . , n), en E een ongeordende verzameling is, kunnen we de klanten zo indiceren dat hetindexnummer gelijk is aan het plaatsnummer. De toestand E laat zich met deze conventieook noteren als E = (i1, . . . , in) met il het type van de klant op de plaats l, 1 ≤ l ≤ n.
∗ De aankomstprocessen voor klanten van verschillend type zijn stochastisch onafhankelijk.
77
We willen weer de stationaire kansen berekenen en we zullen deze noteren met P (E) =P ((i1, . . . , in)) als E = (i, . . . , in). Voor E = (i1, . . . , in) noteren we de toestand waarin deklant op de l-de plaats ontbreekt, met E− il. Volgens de conventie over de plaatsnummersvan paragraaf 10.1 verschuiven dan de taken op de oude plaatsen l + 1 t/m n naar deplaatsen l t/m n − 1. De toestand waarin er een klant extra is met type i en plaats jduiden we aan met E + (i, j). Indien j = n + 1 dan laat E + (i, j) zich ook noteren met(i1, . . . , in, in+1) en in+1 = i. Indien j ≤ n dan verschuiven de taken op de oude plaatsen jt/m n naar de plaatsen j + 1 t/m n + 1 en krijgen daardoor ook een ander indexnummer.
Met ρi = λi/µ, 1 ≤ i ≤ k geldt
(10.27) P ((i1, . . . , in)) = P0
n∏x=1
ρix
f(x)
met
(10.28) P−10 = 1 +
∞∑n=1
∑i1,...,in
n∏x=1
ρix
f(x).
Precieser gezegd, indien de reeks in (10.28) convergent is, dan geeft de uitdrukking in(10.27) de stationaire kansen met P0 de kans dat het systeem leeg is.
Dat de stationaire kansen voldoen aan (10.27), is aan te tonen door te verifieren dat aande globale evenwichtsvergelijkingen voldaan wordt. We zullen dit doen door de centrum-lokale stelsels te beschouwen. De centrum-lokale stelsels hier zijn het analogon van λnPn =µn+1Pn+1 (zie pag. *) voor het GS-proces. Deze stelsels worden met E = (i1, . . . , in)
(10.29) P (E)k∑
i=1
λi =k∑
i=1
n+1∑j=1
P (E + (i, j))f(n + 1)ϕ(n + 1, j)µ
en
(10.30) P (E)f(n)
n∑j=1
ϕ(n, j)
µ =n∑
l=1
P (E − il)λilδ(n− 1, l).
Het is eenvoudig na te gaan dat de kansen (10.27) voldoen aan (10.29) en (10.30).Laten we nu het geval beschouwen dat de bedieningsduurverdelingen verschillen per
type. We veronderstellen dat type i klanten een bedieningsduur hebben die exponentieelverdeeld is met parameter µi, 1 ≤ i ≤ k. Verder moeten we ons beperken tot bedienings-disciplines die symmetrisch zijn, dwz. relatie (10.1) moet gelden. We schrijven nu ρi voorλi/µi en noteren weer de stationaire kans op E = (i1, . . . , in) met P (E).
Er geldt voor dit geval, dus bij een symmetrische bedieningsdiscipline, dat het bijbe-horende proces omkeerbaar is met stationaire kansen die voldoen aan betrekkingen (10.27)en (10.28). Volgens eigenschap 1 op pag. ** is het hiervoor voldoende om aan te tonen,dat voor alle n ≥ 1 en alle E = (i1, . . . , in) geldt
(10.31) P (E − il)λilδ(n− 1, l) = P (E)f(n)ϕ(n, l)µil
, 1 ≤ l ≤ n.
78
Daar δ(n− 1, l) = ϕ(n, l), volgt dit meteen uit P (E) = ρil
f(n)P (E − il).Vaak zijn we alleen geınteresseerd in het aantal klanten van de verschillende typen en
niet de plaatsen die ze bezetten. Deze kansen zijn eenvoudig uit de gevonden stationairekansen af te leiden. Voor E = (i1, . . . , in) noteren we het aantal maal dat onder i1, . . . , intype i voorkomt met ni, 1 ≤ i ≤ k. Dan geldt
(10.32) P (E) = P0
k∏i=1
ρnii
n∏x=1
1f(x)
.
Indien we de plaatsnummers van de type i klanten permuteren dan behouden we dezelfdetoestand E. Indien we alle plaatsnummers permuteren dan behouden we dezelfde aantallenklanten van de verschillende typen. Voor de stationaire kans P (n1, . . . , nk) op ni, 1 ≤ i ≤ k,type i klanten geldt dus,
(10.33) P (n1, . . . , nk) = P0
(n
n1, . . . , nk
) k∏i=1
ρnii
n∏x=1
1f(x)
.
Laten we nu, als concreet model, beschouwen een k-dimensionale generalisatie van hetErlang verliesmodel. Er zijn k typen klanten. Type i klanten komen binnen volgens eenPoisson(λi) proces en vragen een exponentiele bedieningsduur met parameter µi. Er zijn sbedienden en klanten die alle bedienden bezet vinden, verlaten het systeem onmiddellijk.De bedieningskarakteristiek is zoals voorbeeld 5 van par. 10.1 met m = s. Deze karakter-istiek is symmetrisch dus de µi’s mogen verschillend zijn. De keuze van f(s + 1) = ∞ enδ(s, s + 1) = ϕ(s + 1, s + 1) = 1 zorgt ervoor dat P (E) = 0 als E = (i1, . . . , in) met n > s.Voor n ≤ s geldt,
n∏x=1
1f(x)
=1n!
.
Volgens formule (10.33) geldt
P (n1, . . . , nk) = P0
k∏i=1
ρnii
ni!voor n1 + · · ·+ nk ≤ s.
De stationaire kans P (n) dat er n klanten in het systeem zijn, is gelijk aan∑n1+···+nk=n
P (n1, . . . , nk).
Met het multinomium (stelling 10.7 van het collegedictaat Discrete Wiskunde) volgt
P (n) = P0
∑n1+···+nk=n
k∏i=1
ρnii
ni!= P0
1n!
(k∑
i=1
ρi
)n
.
79
Met ρ =k∑
i=1
ρi volgt,
P−10 =
[s∑
n=0
ρn
n!
]en P (n) = P0
ρn
n!, 0 ≤ n ≤ s.
Indien µi = µ, 1 ≤ i ≤ k en λ =∑k
i=1 λi dan is ρ gelijk aan λ/µ. We vinden hiermee deErlangverliesverdeling weer terug.
De resultaten van deze paragraaf zijn ook geldig voor netwerken van wachtrijen. We za-gen dat voor een symmetrische bedieningskarakteristiek het stationaire proces omkeerbaaris. Daaruit volgt dat ook het vertrekproces van klanten van type i een Poissonproces ismet parameter λi. Omdat de aankomstprocessen voor de verschillende typen stochastischonafhankelijk zijn, geldt er ook dat de vertrekprocessen stochastisch onafhankelijk zijn.Analoog aan de argumenten in paragraaf 10.1 laat zich dan beredeneren voor het geval hetnetwerk open is en een boomstructuur heeft, dat de takenstroom van type l die aankomtbij centrum j, een Poisson proces is met parameter γj(l). De γj(l) zijn de oplossing vande routeringsvergelijkingen voor klanten van het type l,
(10.34) γj(l) = λj(l) +r∑
i=1
γi(l)pij(l), 1 ≤ j ≤ r,
met r het aantal dienstencentra in het netwerk; λj(l) de parameter van het Poisson aankom-stproces van buiten het netwerk bij centrum j voor klanten van het type l; en pij(l) dekans dat een klant van type l die afgehandeld is bij centrum i, naar centrum j gaat.
De stationaire kans P (nj1, nj2, . . . , njk) op nji klanten van type i, 1 ≤ i ≤ k, bijcentrum j volgt dan uit formule (10.33)
(10.35) P (nj1, nj2, . . . , njk) = Pj0
(nj
nj1, . . . , njk
) k∏l=1
ρnjl
j (l)nj∏
x=1
1fj(x)
met ρj(l) = γj(l)µj(l)
en µj(l) de parameter van de exponentiele bedieningsduur van klantenvan type l bij centrum j. Evenals in par. 10.1 geldt ook hier, dat de aantallen klanten bijde verschillende centra stochastisch onafhankelijk zijn. Dus de simultane verdeling vooralle centra wordt
(10.36) P ((n11, . . . , n1k), (n21, . . . , n2k), . . . , (nr1, . . . , nrk)) =r∏
j=1
P (nj1, . . . , njk).
SlotopmerkingenDoor het verifieren van gecompliceerde evenwichtstelsels laat zich aantonen dat (10.35)en (10.36) ook gelden, indien het netwerk geen boomstructuur heeft. Bovendien geldenanaloge formules voor het gesloten netwerk. Deze resultaten zijn geldig indien voor iedercentrum j, 1 ≤ j ≤ r, minstens een van de volgende voorwaarden vervuld is
80
(i) de parameters van de exponentiele bedieningsduren voor de verschillende typen zijnaan elkaar gelijk, dwz. µj(l) = µj voor 1 ≤ l ≤ k.
(ii) de bedieningskarakteristiek (fj , ϕj , δj) is symmetrisch, dwz. ϕj(x + 1, i) = δj(x, i) ∀xen 1 ≤ i ≤ x + 1.
Een heel belangrijke eigenschap van de symmetrische bedieningsdisciplines is dat de sta-tionaire verdeling insensitief is voor de bedieningsduurverdeling. We zijn deze eigenschap altegengekomen bij het Erlang verliesmodel. Dit betekent voor een netwerk van wachtrijendat in ieder centrum met symmetrische bedieningsdiscipline de bedieningsduurverdelingwillekeurig mag zijn. De produktvorm voor de stationaire kansen uit paragrafen 10.1, 10.2en 10.3 blijft dan geldig, indien we voor de bedieningsparameters µ het omgekeerde vande verwachte bedieningsduur invullen. Merk op, dat voor FIFO-bedieningsdisciplines destionaire kansen i.h.a. niet insensitief voor de bedieningsduurverdelingen zijn, daar FIFO
geen symmetrische bedieningsdiscipline is!Opgave 54: We beschouwen het netwerk van opgave 51 en we veronderstellen dat er 2
typen van klanten zijn. Voor de type 1 klanten gelden de gegevens van opgave51. Voor klanten van type 2 geldt de hieronder getekende routering. De bedi-eningskarakteristieken zijn zoals in opgave 51. De gevraagde bedieningsduurvoor klanten van type 2 bij centrum 1 heeft een verwachting van 1/9. Degevraagde bedieningsduren van klanten van type 2 bij de centra 2, 3 en 4 zijnexponentieel verdeeld met verwachting 1.
Bereken de stationaire kansen en IEN1, IEN2, IEN3 en IEN4.Opgave 55: Een dienstencentrum heeft s bedienden. Klanten die alle bedienden bezet vin-
den verlaten onmiddellijk het centrum. Er zijn 2 typen van klanten. Klantenvan het type 1 komen aan volgens een Poisson proces met parameter λ. Klantenvan het type 2 hebben een kwasi-random input met parameters n en j. Debedieningsduren zijn exponentieel met parameter µi voor het type i, i = 1, 2,.Bepaal de stationaire kans P (n1, n2) dat er ni klanten van type i, i = 1, 2 inhet centrum zijn.
Opgave 56: We beschouwen een dienstencentrum met s bedienden. Er zijn k typen vanklanten. Een klant van het type i verlaat het systeem onmiddellijk indien allebedienden bezet zijn of indien er si ≤ s klanten van zijn type aanwezig zijn, 1 ≤i ≤ k. Klanten van de verschillende typen komen aan volgens onafhankelijkePoissonprocessen met parameters λi, 1 ≤ i ≤ k. De bedieningsduren zijnexponentieel verdeeld met parameters µi, 1 ≤ i ≤ k. Bepaal de blokkeringskansvoor klanten van het type i voor 1 ≤ i ≤ k.
81
§8. Stochastische volgorde problemen. In deze paragraaf beschouwen we een aantaltaken die door een of meerdere machines behandeld moeten worden. De taken hebben eenstochastische verwerkingstijd. De vraag is in welke volgorde de taken door de machineverwerkt moeten worden. Als optimaliteitscriterium wordt vaak de verwachting van detotale maaktijd gebruikt, dit is de tijdsduur tot alle taken voltooid zijn.Als eerste model beschouwen we n taken die door een machine verwerkt moeten worden.De i’de taak heeft een exponentieel verdeelde verwerkingstijd met parameter µi. Hiernemen we aan dat de beslisser een opbrengst ri ontvangt, indien taak i voltooid is. Wezullen aantonen dat de verwachte opbrengst op ieder tijdsinterval [0, t] maximaal is, indiende taken naar afnemende volgorde van µiri, i = 1, . . . , n, behandeld worden. Dit wordt deµr-regel genoemd.Eerst een intuıtieve argumentatie. Indien taak i op tijdstip t nog niet voltooid is en demachine gedurende (t, t + ∆t) aan taak i werkt, dan is de verwachte opbrengst gedurendedit interval µiri∆+o(∆t). De intensiteit van de opbrengst is dus maximaal. indien gewerktwordt aan de taak met de grootste µr. De verwachte opbrengst over een interval [0, t] lijktvoor willekeurige t dientengevolge maximaal te zijn onder de µr-regel. We tonen dit nuformeel aan.Laat Xi de tijdsduur voorstellen die nodig is om taak i te verwerken*. Verder noteren wede stochastische variabele die de opbrengst op het interval [0, t] van taak i aangeeft metRi. We zullen de volgende relatie gebruiken.
IE[min(Xi, t)
]=∫ ∞
0
IP[min(Xi, t) > x
]dx
=∫ t
0
e−µixdx = 1µi
(1− e−µit).
Laat π een beslissingsstrategie voorstellen; hier is π de volgorde waarin de taken ver-werkt worden. De kans respectievelijk de verwachting wanneer strategie π gebruikt wordt,noteren we met IPπ· respectievelijk IEπ·. Indien deze kans en/of verwachting niet vanπ afhangt laten we het subscript π weg.De tijdsduur die aan taak i gewerkt wordt voor tijdstip t duiden we aan met Ti. Merk op,dat deze stochastische variabele ook van π afhangt; deze afhankelijkheid geven we echterniet aan in de notatie.Indien strategie π op tijdstip ti aan taak i begint, dan geldt
IEπ(Ri | taak i wordt op ti begonnen) = riIPXi < t− ti= ri(1− e−µi(t− ti))
= µiriIE[min(Xi, (t− ti)
].
Hieruit volgt, datIEπ(Ri) = µiriIEπTi.
* Alle verwerkingstijden in deze paragraaf zijn stochastisch onafhankelijk.
82
Voor R de totale opbrengst op [0.t] geldt
(11.1) IEπR = IEπ
( n∑i=1
Ri
)=
n∑i=1
µiriIEπTi.
Dus we maximaliseren de verwachte opbrengst door de IEπTi met het grootste gewicht µiri
maximaal te maken, d.w.z. door zo vroeg mogelijk met deze taak te beginnen, vervolgensde taak met het een na grootste gewicht, etc. Dit geeft de µr-regel.Het volgende probleem dat we beschouwen is het geval van twee identieke machines en den taken moeten op een van beide machines verwerkt worden. De verwerkingstijd Xj vantaak j is exponentieel verdeeld met parameter µj , j = 1, . . . , n. Taken worden in volgordegezet, zeg i1, . . . , in. zodra taak ik voltooid is, begint de vrijgekomen machine aan taakik+1. De tijdsduur totdat alle taken voltooid zijn, heet de maaktijd. We willen een volgordebepalen waarvoor de verwachting van de maaktijd minimaal is. Voor onze analyse nemenwe aan dat op tijdstip 0 een van de machines werkt aan de taak met index 0. De resterendeverwerkingstijd van deze taak duiden we aan met X0. Laat M de maaktijd voorstellenen D de tijdsduur dat nog slechts een machine werkt aan de laatste taak. De som vande werktijden van de machines is dan gelijk aan 2M −D; deze som moet gelijk zijn aan∑n
j=0 Xj . Dus
2M = D +n∑
j=0
Xj ,
zodat voor idere strategie π geldt
(11.2) 2IEπM = IEπD +n∑
j=0
IEXj ,
immers IEXj is onafhankelijk van de gekozen strategie π, j = 0, . . . , n. Dus om IEπMte minimaliseren moeten we IEπD minimaliseren. We zullen aantonen dat de optimalestrategie is de taken in volgorde van toenemende parameterwaarde te verwerken. Om ditte kunnen bewijzen, zullen we eerst aantonen dat voor de strategieen π = (0, 2, 1, . . . , n)en π = (0, 1, 2, . . . , n) geldt
(11.3) IEπD ≤ IEπD,
indien µ1 = min(µ1, . . . , µn).Laten pj en pj , j ≥ 0, de kansen zijn onder strategieen π respectievelijk π, dat de laatstetaak die voltooid wordt, taak j is. Daar p0 en p0 beide gelijk zijn aan IPX0 >
∑nj=1 Xj
geldt
(11.4) p0 = p0.
Met inductie naar n tonen we vervolgens aan, dat
(11.5)p1 ≤ p1
pj≥ pj , j = 2, . . . , n.
83
Daar∑n
j=0 pj =∑n
j=0 pj = 1 is (11.5) voor n = 1 juist.Voor n = 2 berekenen we p1 en p1. p1 is de kans dat X1 > X0 en bovendien dat deresterende verwerkingstijd van X1 na X0 groter is dan X2. Met F de verdelingsfunctie vanX0 vinden we
(11.6) p1 =∫x1>x0+x2
µ1e−µ1x1µ2e
−µ2x2dx1dx2dF (x0) = µ2µ1+µ2
∫e−µ1x0dF (x0).
p1 is gelijk aan de kans dat X2 > X0 en X1 groter dan de resterende verwerkingstijd vanX2 plus de kans dat X0 > X2 en X1 groter dan de resterende verwerkingstijd van X0,d.w.z.
p1 =∫x2>x0∧x1>x2−x0∪x0>x2∧x1>x0−x2
µ1e−µ1x1µ2e
µ2x2dx1dx2dF (x0)(11.7)
= µ2µ1+µ2
∫e−µ2x0dF (x0) + µ2
µ2−µ1
∫ (1− e−µ2x0
)dF (x0).
Daar µ2µ2−µ1
≥ µ2µ1+µ2
en 1− e−µ2x0 ≥ e−µ1x0 − eµ2x0 volgt
(11.8) µ2µ2−µ1
(1− e−µ2x0
)≥ µ2
µ1+µ2
(e−µ1x0 − e−µ2x0
).
De Stieltjesintegraal naar F geeft dan dat p1 ≥ p1. Omdat p2 = 1−p0−p1 en p2 = 1−p0−p1
volgt dat p2 ≤ p2.Voor n ≥ 3 noteren we p∗j en p∗j , 1 ≤ j ≤ n − 1, voor de kansen onder strategieen π en πdat taak j de laatste taak van de taken 1 tot en met n− 1 is die voltooid wordt. Op grondvan de inductieaanname geldt dan
(11.9) p∗1 ≤ p∗1, p∗j ≥ p∗j , j = 2, . . . , n− 1.
Daar taak n voor n ≥ 3 onder beide strategieen de taak is waar het laatst aan begonnenwordt en de verwerkingstijden de Markov eigenschap hebben, geldt
(11.10) pj = p∗jµn
µn+µj, pj = p∗j
µn
µn+µj, j = 1, . . . , n− 1.
Met (11.9) volgt danp1 ≤ p1, pj ≥ pj , j = 2, . . . , n− 1.
Voorts geldt
pn − pn =n−1∑j=0
(p∗j − p∗j
) µj
µj+µn
=(p∗1 − p∗1
)µ1
µ1+µn+
n−1∑j=2
(p∗j − p∗j
) µj
µj+µn
≥ µ1µ1+µn
n−1∑j=1
(p∗j − p∗j
)= 0,
84
de ongelijkheid geldt omdat µj ≥ µ1 en dus
µj
µj+µn≥ µ1
µ1+µn.
Hiermee is de inductiestap aangetoond en dus geldt relatie (11.5) voor alle n.Om nu relatie (11.3) aan te tonen beschouwen we de volgende expressie voor IEπD en deanaloge expressie voor IEπD:
IEπD =n∑
j=1
pj1µj
+ p0IE(X0 −
n∑j=1
Xj | X0 >n∑
j=1
Xj
).
We vinden dan
IEπD − IEπD =n∑
j=1
1µj
(pj − pj)
≥ 1µ1
(p1 − p1) + 1µ1
n∑j=2
(pj − pj) = 0,
de ongelijkheid volgt uit (11.5) en µ1 = min(µ1, µ2, . . . , µn). Hiermee is relatie (11.3)aangetoond.We gaan vervolgens bewijzen dat als µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn de verwachting van de maaktijdminimaal is onder strategie (0, 1, . . . , n). We noemen dit de LEPT-regel*. Beschouw hiertoeeen willekeurige strategie die taak 1 niet als eerste voorschrijft, zeg (0, i1, . . . , ik, ik+1, 1, . . .).Voor X0 nemen we de tijdsduur tot taken 0, . . . , ik voltooid zijn en we passen relatie (11.3)toe. We vinden dan dat strategie (0, i1, . . . , ik, 1, ik+1, . . .) een verwachte maaktijd heeftdie niet groter is**. Deze argumentatie herhalend vinden we dat (0, 1, i1, . . . , ik+1, . . .) nietslechter is.Indien i1 6= 2, kunnen we met dezelfde argumenten taak 2 naar de tweede plaats na taak0 schuiven zonder de verwachte maaktijd daarbij te vergroten. Zo doorgaande tonen weaan, dat de verwachte maaktijd onder strategie (0, 1, . . . , n) kleiner dan of gelijk is aan dieonder een willekeurig gekozen strategie, en dus is de LEPT-regel optimaal. Op soortgelijkemanier kan worden aangetoond dat de LEPT-regel ook optimaal is voor meer dan tweemachines.Laten we nu aannemen, dat bij de voltooiing van taak j een opbrengst rj ontvangenwordt. De verwachte opbrengst op een interval [0, t] duiden we aan met R. We zoeken nude strategie π die IEπR maximaliseert. Weer geldt relatie (11.1)
(11.11) IEπR =n∑
i=1
µiriIEπTi,
* LEPT is een afkorting van Longest Expected Processing Time.
** Ga na dat de verwachte maaktijd echt kleiner is, als de µ’s verschillend zijn.
85
met Ti de tijdsduur dat voor tijdstip t aan taak i gewerkt wordt. Op grond van (11.11)lijkt het alsof de µr-regel ook optimaal is voor meerdere machines. Dit is echter nietaltijd zo. Om dit in te zien, beschouwen we het model met µjrj = 1, 1 ≤ j ≤ n, enµ1 < µ2 < · · · < µn. In dit geval is de verwachte opbrengst gelijk aan de totale werktijdvan de machines tot tijdstip t. De LEPT-regel maximaliseert de verwachte tijdsduur datbeide machines werken en dus ook de verwachting van de totale werktijd van beide machinestot aan t. Dus de LEPT-regel is optimaal in dit geval. Omdat de µ’s verscillend zijn, ishet de unieke optimale strategie. Echter, volgens de µr-regel zou iedere volgorde optimaalzijn, dus in het algemeen geldt de µr-regel niet.In het volgende speciale geval is de µr-regel wel optimaal, namelijk indien
µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn
enµ1r1 ≥ µ2r2 ≥ · · · ≥ µnrn.
Dan minimaliseert strategie (1, 2, . . . , n) de verwachte opbrengst op ieder tijdsinterval [0, t].Het volgende model dat we beschouwen, heeft twee machines en iedere taak moet op beidemachines verwerkt worden: eerst op machine A en dan op machine B. De verwerkingstijdenvan taak j op machines A en B zijn exponentieel verdeeld met parameters λj respectievelijkµj . Indien een taak voltooid is op machine A, wordt de taak in de wachtrij voor machineB gezet.Ons criterium is de tijdsduur tot alle taken op beide machines voltooid zijn. Het is duidelijkdat het er niet toe doet in welke volgorde B de taken afhandelt, mits B werkt zolang ertaken voor B beschikbaar zijn.We beschouwen eerst het geval met n = 2 taken. De maaktijden noteren we met C1,2 enC2,1 voor de volgordes 1, 2 respectievelijk 2, 1 op machine A. Dan geldt
IEC1,2 = 1λ1
+ 1µ1+λ2
+ µ1µ1+λ2
(1λ2
+ 1µ2
)+ λ2
µ1+λ2
(1
µ1+ 1
µ2
)en
IEC2,1 = 1λ2
+ 1µ2+λ1
+ µ2µ2+λ1
(1λ1
+ 1µ1
)+ λ1
µ2+λ1
(1
µ1+ 1
µ2
).
De uitdrukking voor IEC1,2 is als volgt te verklaren. De verwachting van de tijdsduurtot taak 1 voltooid is op machine A, is 1/λ1. Dan begint machine A aan taak 2 entegelijkertijd begint machine B aan taak 1. De tijdsduur tot een van beide taken voltooidis, heeft verwachting 1/(µ1 + λ2). De kans dat taak 1 het eerst voltooid is, is gelijk aanµ1/(µ1 + λ2), de resterende tijd voor taak 2 op machine A heeft verwachting 1/λ2 en daarkomt nog 1/µ2 bij, de verwachte verwerkingstijd van taak 2 op machine B. Dit verklaartde derde term, de vierde term geeft de bijdrage voor het geval dat taak 2 als eerste voltooidis. De uitdrukking voor IEC2,1 is analoog te verklaren.Het is eenvoudig in te zien, dat
1µ1+λ2
+ µ1µ1+λ2
· 1λ2
= 1λ2
,
en dus
(11.12) IEC1,2 = 1λ1
+ 1λ2
+ 1µ1+λ2
· 1µ1µ2
(µ2
1 + λ2µ2 + λ2µ1
).
86
Met de analoge expressie voor IEC2,1 vinden we
(11.13)
IEC1,2 − IEC2,1= 1µ1+λ2
1µ2+λ1
1µ1µ2
[(µ2 + λ1)(µ2
1 + λ2µ2 + λ2µ1)
−(µ1 + λ2)(µ22 + λ1µ1 + λ1µ2)
]= − 1
µ1+λ2
1µ2+λ1
[(λ1 − µ1)− (λ2 − µ2)
].
BijgevolgIEC1,2 ≤ IEC2,1 ⇐⇒ (λ1 − µ1) ≥ (λ2 − µ2).
We moeten dus de verschillen nemen van de bedieningsduurintensiteiten voor machinesA en B en de taak met het grootste verschil als eerste verwerken. Dit geeft de optimalevolgorde voor twee taken. Voor meer dan twee taken kan worden aangetoond, dat bedieningop machine A in volgorde van dalende intensiteitsverschillen ook optimaal is.
87
