Resistencia II - 1er Corte 10pct - Robin Gomez 9799075

7/26/2019 Resistencia II - 1er Corte 10pct - Robin Gomez 9799075

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INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICOSANTIAGO MARIOAmpliacin MaracaiboPlataorma SAIAMateria: Resistencia de los Materiales II

TRA!A"O SO!RE #E$ORMACION UNITARIA

Autor:

GOMEZ PEA, Robin

C.I.: 9.799.07

Maracaibo, Ma!o de "0#$


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INTRO#UCCION

El ob%eti&o 'rinci'al del estudio de la (ec)nica de (ateriales es su(inistrar al *uturo

in+eniero los conoci(ientos 'ara analiar ! dise-ar las di&ersas ()uinas ! estructuras

'ortadoras de car+a. /anto el an)lisis co(o en el dise-o de una estructura dada

in&olucran la deter(inacin de es*uero ! de*or(acin.

El an)lisis estructural de las &i+as suele di&idirse en &i+as isost)ticas e 1i'erest)ticas.

Recorde(os ue esta di&isin corres'onde a las condiciones de a'o!o ue 'resente el

ele(ento a analiar 2i la &i+a tiene un n3(ero i+ual o in*erior a tres inc+nitas en sus

reacciones, bastar) con a'licar las condiciones de euilibrio est)tico 'ara resol&erla.

456 0 45! 0 4M 0

2i en ca(bio, la &i+a 'resenta un (a!or n3(ero de inc+nitas, no bastar) con las

ecuaciones antes indicadas, sino ue ser) necesario incor'orar nue&as e6'resiones.

Para abordar el an)lisis de las &i+as 1i'erest)ticas o est)tica(ente indeter(inadas

resulta necesario analiar las de*or(aciones ue e6'eri(entar) la &i+a, lue+o de ser

car+ada. 8as distintas car+as sobre la &i+a +eneran tensiones de corte ! *le6in en la

barra, ! a su &e la 1acen de*or(arse. El an)lisis de las de*or(aciones tiene

b)sica(ente dos ob%eti&os. Por una 'arte, el 'oder obtener nue&as condiciones, ue

traducidas en ecuaciones, nos 'er(itan resol&er las inc+nitas en &i+as 1i'erest)ticas.

'or otra 'arte, las de*or(aciones en s;, deben ser li(itadas. 8os en&i+ados de

(adera o acero, 'or e%e('lo, 'ueden uedar correcta(ente dise-ados 'or resistencia,

&ale decir, no se ro('er)n ba%o la car+a, 'ero 'odr)n de*or(arse ()s all) de lo

deseable, lo ue lle&ar;a consi+o el cola'so de ele(entos de ter(inacin co(o cielos

*alsos o &entanales.


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%& CONCEPTOS PREVIOS

=i+a es una estructura dise-ada 'ara so'ortar *ueras 'er'endiculares a su e%e

lon+itudinal. Estas *ueras se 1an de a'licar en un 'lano ue 'asa 'or el centroide de la

seccin tras&ersal de la &i+a de (anera ue se +arantice la ausencia de (o(entos

torsionales en la &i+a.

%&% RELACIONES ENTRE LA CARGA' EL CORTE ( EL MOMENTO $LECTOR

Cuando una &i+a lle&as ()s de una, dos o ()s car+as distribuidas, 'ara +ra*icar el

cortante ! el (o(ento *lector resulta (u! co('licado. 8a construccin del dia+ra(a de

*uera cortante !, es'ecial(ente del dia+ra(a de (o(ento *lector, *acilitar) en +ran

(edida el an)lisis de una &i+a cuando se to(an ciertas consideraciones en la relacin

ue e6iste entre la car+a, la *uera cortante ! el (o(ento *lector.

Considere una &i+a si('le(ente a'o!ada A> ue lle&a una car+a distribuida ?@ 'or

unidad de lon+itud co(o se a'recia en la *i+ura #.#, ! sean C ! CB dos 'untos en la &i+a

a una distancia ?6 uno del otro. El cortante ! el (o(ento *lector en C se denotaran

'or = ! 'or M, res'ecti&a(ente, ! se su'ondr)n 'ositi&osD el cortante ! el (o(ento

*lector en CB se denotara 'or = = ! 'or M M.

Figura 1.1 Viga simplemente apoyada con carga distribuida w(x)

A1ora se des'rende la 'orcin de la &i+a CCB ! se dibu%a su dia+ra(a de cuer'o libre.

8as *ueras e%ercidas sobre el cuer'o libre inclu!en una car+a de (a+nitud @ 6 !

*ueras ! 'ares internos en C ! en CB. a ue el corte ! el (o(ento *lector se 1an

su'uesto 'ositi&os, las *ueras ! 'ares se diri+ir)n co(o se indica en la *i+ura si+uiente:


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Figura 1.2 Elemento diferencial de una viga

RELACIONES ENTRE LA CARGA ( EL CORTANTE&Escribiendo ue la su(a de la

co('onentes &erticales de la *ueras ue act3an sobre el cuer'o libre CCB son cero, se

tiene ue

F45!0D = H = V J @x 0

V = - @x

Ki&idendo a(bos co('onentes entre L6 ! 1aciendo ue L6 se a'ro6i(e a cero H0, se

tiene ue:

HEcuacin

8a ecuacin H indica ue, 'ara una &i+a car+ada co(o se (uestra en la *i+ura

res'ecti&a, la 'endiente d=Nd6 de la cur&a de cortante es ne+ati&aD el &alor nu(rico de

la 'endiente en cualuier 'unto es i+ual a la car+a 'or unidad de lon+itud en dic1o

'unto.

Inte+rando la ecuacin entre los 'untos C ! K, se escribe:


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Ad&ierta ue este resultado ta(bin 'odr;a 1aberse obtenido considerando el euilibrio

de la 'orcin de la &i+a CK, !a ue el )rea ba%o la cur&a de car+a re'resenta el total de

la car+a a'licada entre C ! d.

Kebe ta(bin obser&arse ue la ecuacin no es &)lida en un 'unto donde se a'liue

una car+a concentradaD la cur&a de cortante es discontinua en tal 'unto, co(o se &io enla seccin anterior. Ke (anera si(ilar, las ecuaciones resultantes des'us de 1aberla

inte+rado de%an de ser &alidas cuando se a'lican car+as concentradas entre C ! K,

debido a ue no consideran el ca(bio s3bito en el cortante causado 'or la car+a

concentrada. Por lo tanto, las ecuaciones resultantes deber)n a'licarse solo entre

car+as concentradas sucesi&a(ente, en otras 'alabras car+as distribuidas.

RELACION ENTRE EL CORTANTE ( EL MOMENTO $LECTOR& Re+resando al

dia+ra(a de cuer'o libre de la *i+ura res'ecti&a, ! escribiendo a1ora ue la su(a de(o(entos alrededor de CB es cero, se tiene ue:

F4MC)0D HM M M =.x @x .(x/2) 0

M =Vx - @ (x)2/2

Ki&idiendo a(bos (ie(bros de la ecuacin entrex y haciendo que x se aproxime a

cero, se obtiene:

HEcuacin

8a ecuacin indica ue la 'endiente dMNd6 de la cur&a de (o(ento *lector es i+ual al

&alor del cortante. Esto es cierto en cualuier 'unto donde el cortante ten+a un &alor

bien de*inido, esto es, en cualuier 'unto donde no se encuentre a'licada una car+a

concentrada. 8a ecuacin ta(bin (uestra ue = 0 en 'untos donde M es ()6i(o.

Esta 'ro'iedad *acilita la deter(inacin de los 'untos donde es 'osible ue la &i+a *alleba%o *le6in.

Inte+rando la ecuacin entre los 'untos C ! K, se escribe:


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Ke la ecuacin :

Pendiente del dia+ra(a de (o(ento

*le6ionante en cada 'unto. 5uera cortante en cada 'unto.

Figura 1. !ra"ca de la cortante y momento #ector de una viga con cargadistribuida.

Kel an)lisis +ra*ico deduci(os ue el ca(bio de &alor de la *uera cortante HL= es el


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)rea ba%o la car+a distribuida: L=

Kel (is(o (odo deduci(os ue el ca(bio de &alor del (o(ento *lector HLM es el )rea

ba%o el dia+ra(a del es*uero cortante: LM

*& ES$UER+OS CORTANTES EN VIGAS

En la seccin anterior se &io ue una car+a trans&ersal a'licada a una &i+a resultara en

es*ueros nor(ales ! cortantes en cualuier seccin trans&ersal dada de la &i+a. 8os

es*ueros nor(ales se crean 'or el (o(ento *lector M en dic1a seccin ! los es*ueros

cortantes 'or el cortante =. Co(o el criterio do(inante en el dise-o de un &i+a 'or

resistencia es el ()6i(o &alor del es*uero nor(al en la &i+a, en el ca';tulo anterior el

an)lisis se li(it a la deter(inacin de los es*ueros nor(ales .8os es*ueros cortantes,

sin e(bar+o son i('ortantes, 'articular(ente en el dise-o de &i+as cortas ! +ruesas !

su estudio ser) el te(a de la 'ri(era 'arte de este ca';tulo.

Figura $.1 Fuer%a cortante y momento #ector


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Figura $.2 Esfuer%o cortante

*&% CORTANTE EN LA CARA .ORI+ONTAL #E UNA VIGA/

Considere una &i+a 'ris()tica A> con un 'lano &ertical de si(etr;a ue so'orta &arias

car+as concentradas ! distribuidas H*i+ura $.. A una distancia ?6 del e6tre(o A se

des'rende de la &i+a un ele(ento CKKQCQ con la lon+itud L6 ue se e6tiende a tra&s

del anc1o de la &i+a desde la su'er*icie su'erior de la &i+a 1asta una 'lano localiado a

una distancia y#del e%e neutro H*i+ura $..

Figura $.3 Fuer%as cortantes en una viga


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Figura $. &eccion de la viga

8as *ueras e%ercidas sobre este ele(ento consiste de las *ueras cortantes &erticales V

Q! VQ!,una *uera cortante 1oriontal LS e%ercida sobre la cara in*erior del ele(ento,

las *ueras nor(ales ele(entales 1oriontales scd" ! s!d" ! 'osible(ente una car+a

#L6 H*i+ura $.. 2e escribe la ecuacin de euilibrio.

Figura $.' &eccin de corte de la viga

Konde la inte+ral se e6tiende 'or el )rea so(breada de la seccin localiada sobre la

l;nea !!# .des'e%ando LS de esta ecuacin ! utiliando la ecuacin sM!Nl, 'ara

e6'resar los es*ueros nor(ales en tr(inos de los (o(entos *lectores en C ! K, se

tiene:


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8a inte+ral de la ecuacin re'resenta el 'ri(er (o(ento con res'ecto al e%e neutro de

la 'orcin de la seccin trans&ersal de la &i+a ue se localia 'or enci(a de la l;nea !

!# ! se denotara 'or T. 2e sabe ue:

Al sustituir en la ecuacin se obtiene la si+uiente e6'resin 'ara el corte 1oriontal

e%ercido sobre el ele(ento de la &i+a.

Figura $.$ &eccin de corte de la viga

8o (is(o se 1abr;a obtenido si se 1ubiera utiliado co(o cuer'o libre el ele(ento

in*erior $!$!$$$$, en lu+ar del ele(ento su'erior !!$$H*i+ura 7 !a ue las *ueras

cortantes LS ! LSQ, e%ercidas 'or los dos ele(entos uno sobre el otro son i+uales !

o'uestas . Esto nos lle&a a obser&ar ue el 'ri(er (o(ento T de la 'orcin Q de la

seccin trans&ersal localiada ba%o la l;nea !!# H*i+ura$.U es i+ual en (a+nitud !

o'uesto en sentido al 'ri(er (o(ento del )rea de toda la seccin trans&ersal con

res'ecto a su e%e centroidal !, 'or lo tanto, debe ser cero. Esta 'ro'iedad en ocasiones

utiliarse 'ara si('li*icar el c)lculo de T. se ad&ierte ue T es ()6i(o 'ara !# 0, !a

ue los ele(entos de la seccin trans&ersal localiada 'or enci(a del e%e neutro

contribu!e 'ositi&a(ente la inte+ral ue de*ine a T, (ientras ue los ele(entos

localiados 'or deba%o de dic1o e%e contribu!e ne+ati&a(ente. El corte hori%onta& por


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unidad de &on'itud, que se denotara 'or la letra , se obtiene a(bos (ie(bros de la

ecuacinH = ( VQ / I )01 entre L6:

Recuerde ue T es el 'ri(er (o(ento con res'ecto al e%e neutro de la 'orcin de la

seccin trans&ersal localiada bien 'or enci(a o bien 'or deba%o del 'unto en el ue se

calcula, ! ue l es el (o(ento centroidal de inercia de toda el )rea de la seccin

trans&ersal. El corte 1oriontal 'or unidad de lon+itud ta(bin se conoce co(o &uo

cortante.

*&* #ETERMINACION #E LOS ES$UER+OS CORTANTES EN UNA VIGA

Considere de nue&o en una &i+a con un 'lano &ertical de si(etr;a, so(etida a &ariascar+as concentradas o distribuidas ue se a'lican sobre ese 'lano. 2e &io en la seccin

'recedente ue, si 'or (edio de dos corte &erticales ! uno 1oriontal, se des'rende de

la &i+a un ele(ento de lon+itud L6 H*i+ura $.7, la (a+nitud LS de la *uera cortante

e%ercida sobre la cara 1oriontal del ele(ento 'uede obtenerse de la ecuacin

H = ( VQ / I )01 . El esuer%o cortante promedio tpromen dic1a cara del ele(ento se

obtiene di&idiendo LS entre el )rea LA de la cara. Obser&ando ue LA tL6, donde t es

el es'esor del ele(ento ene el corte, se escribe:

Figura $. Esfuer%o cortante en una seccin de la viga

2e nota ue, co(o los es*ueros cortantes t12! t21 e%ercidos res'ecti&a(ente sobre un


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'lano trans&ersal ! en un 1oriontal a tra&s de KQ son i+uales, la e6'resin obtenida

re'resenta ta(bin el &alor 'ro(edio de t12en la l;nea KQ# KQ" H*i+ura 9 Obser&e ue

t1234, en las caras su'erior e in*erior de la &i+a , 'uesto ue no se e%ercen *ueras sobreestas caras se si+ue ue a lo lar+o de los bordes su'erior e in*erior de la seccin

trans&ersal H*i+ura #0 .ta(bin se nota ue , aunue T es ()6i(o 'ara !0, no 'uede

concluirse ue tpromser) ()6i(o a lo lar+o del e%e neutro , !a ue de'ende del anc1o t

de la seccin co(o de T .

Figura $.* Esfuer%o cortante en la seccin de la viga

2ie('re ue el anc1o de la &i+a 'er(aneca 'eue-o co('arado con la altura , el

es*uero cortante solo &aria sua&e(ente a lo lar+o de la l;nea !$* !$2 H*i+ura 9, !

'uede usarse la ecuacin de tprom'ara calcular t12en cualuier 'unto a lo lar+o de !

$* !$2 .en realidad t12 es (a!or en !$* !$2 ue en KQ, 'ero la teor;a de la elasticidad(uestra ue , 'ara una &i+a de seccin rectan+ular , de anc1o b ! la altura 1, ! sie('re

ue bV1N , el &alor del es*uero cortante en los 'untos C# ! C" H*i+ura #0 no e6cede

()s del 0.U W el &alor 'ro(edio del es*uero calculado a lo lar+o del e%e neutro.


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Figura 1+ Esfuer%os en el e,e

*&5 ES$UER+OS CORTANTES t12EN TIPOS COMUNES #E VIGAS

En la seccin anterior se &io ue 'ara una &i+a rectan+ular del+ada, es decir 'ara una

&i+a de seccin rectan+ular de anc1o b ! altura 1 con bV1N , la &ariacin del es*uero

cortante a tra&s de anc1o de la &i+a es (enor ue el 0.UW de tprom. Puede entonces

usarse la ecuacin:

Konde t es i+ual al anc1o b de la &i+a ! T es el 'ri(er (o(ento del )rea so(breada A

con res'ecto al e%e neutro H*i+ura ##.


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Figura 11

Obser&ando ue la distancia desde el e%e neutro al centroide CB de A es

, ! recordando ue, se escribe:

Recordando, 'or otra 'arte, ue/


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Co(o !a se obser& en la seccin anterior, los es*ueros cortantes son cero en la 'arte

su'erior ! en la base de la seccin . Saciendo !0 en la ecuacin anterior, se

obtiene el &alor del es*uero cortante ()6i(o en una seccin dada de una &i+a

rectan+ular del+ada.

Figura 12 -istribucin de esfuer%os cortantes de la seccin transversal de una viga

8a relacin obtenida (uestra ue el &alor ()6i(o del es*uero cortante en una &i+a deseccin rectan+ular es un 0W (a!or ue el &alor =NA ue se 1ubiera obtenido

su'oniendo, errnea(ente, una distribucin uni*or(e a tra&s de toda la seccin

trans&ersal.

En el caso de una &i+a est)ndar a(ericana H&i+a 2 o una &i+a de aleta anc1a H&i+a X,

la ecuacin si+uiente 'uede usarse 'ara calcular el &alor 'ro(edio del es*uero

cortante t12 e%ercido sobre una seccin aaB o bbB de la seccin trans&ersal de la &i+a

co(o se obser&a en la *i+ura #.

Konde = es *uera cortante &ertical, t el anc1o de la seccin a la ele&acin considerada.

T el 'ri(er (o(ento del )rea so(breada con res'ecto al e%e neutro ccB e I el (o(ento


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de inercia de toda la seccin trans&ersal con res'ecto a ccB. Kibu%ando tpromcontra la

distancia &ertical !, se obtiene la cur&a de la *i+ura. 2e notan las discontinuidades

e6istentes en esta cur&a, ue re*le%an la di*erencia entre los &alores de t

corres'ondientes, res'ecti&a(ente a las aletas A>GK ! AB>BGBKB ! al al(a E55BEB.

Figura 13

En el caso del al(a, el es*uero cortante t12&ar;a slo (u! li+era(ente a tra&s del

corte bbB ! 'uede su'onerse i+ual al 'ro(edio tprom. Esto no es cierto sin e(bar+o,

'ara las aletas. Por e%e('lo considerando la l;nea 1oriontal KE5G se nota ue t12escero entre K ! E ! entre 5 ! G, !a ue estos se+(entos son 'arte de la su'er*icie libre

de la &i+a. Por otra 'arte, el &alor de t12entre E ! 5 'uede obtenerse 1aciendo t E5 en

la ecuacin tprom =VQ / It. En la 'r)ctica +eneral(ente se su'one ue toda la car+a

cortante la so'orta el al(a ! ue una buena a'ro6i(acin del &alor ()6i(o del

es*uero cortante en la seccin se obtiene di&idiendo = entre el )rea del al(a.


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*&6 ANALISIS A#ICIONAL SO!RE LA #ISTRI!UCION #E ES$UER+OS EN UNA

VIGA

Figura 1 Fuer%a aplicada sobre una viga empotrada

Considere una &i+a en &oladio, de seccin trans&ersal rectan+ular de anc1o b ! altura

1, so(etida a una car+a P, en su e6tre(o libre H*i+ura #. Co(o la *uera cortante = de

la &i+a es constante e i+ual en (a+nitud a P

Ke la ecuacin A se nota ue los es*ueros cortantes de'enden solo de la distancia !

del e%e neutro. 2on inde'endientes, 'or tanto, de la distancia desde el 'unto de

a'licacin de la car+a, se si+ue ue todos los ele(entos localiados a la (is(a

distancia de la su'er*icie neutra su*ren la (is(a de*or(acin 'or cortante co(o se

(uestra en la *i+ura. Aunue las secciones 'lanas no 'er(anecan 'lanas, la distancia

entre dos 'untos corres'ondientes K ! KY localiados en distintas secciones, se

(antiene i+ual. Esto indica ue las de*or(aciones nor(al 6 ! los es*ueros nor(ales

[6 no se a*ectan 'or los es*ueros cortantes ! ue la 1i'tesis *or(ulada en la seccin

anterior. 2e %usti*ica 'ara la condicin de car+a de la *i+ura #.


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Figura 1'

2e conclu!e ue el an)lisis de los es*ueros en un &oladio de seccin trans&ersal

rectan+ular, so(etido a una car+a P en su e6tre(o libre, es &)lido. 8os &alores

correctos del es*uero cortante en la &i+a est)n dados 'or la ecuacin anterior ! los

es*ueros nor(ales a una distancia 6 del e6tre(o libre se obtiene 1aciendo.

8a &alide de esta 'ro'osicin de'ende, sin e(bar+o, de las condiciones de e6tre(o.

2i la ecuacin HA se a'lica en todas 'artes, entonces la car+a P debe distribuirse da(anera 'arablica sobre la seccin de e6tre(o libre. Ade()s, el so'orte e('otrado

debe ser tal ue 'er(ita el ti'o de de*or(acin 'or cortante indicado en la *i+ura H#.

El (odelo resultante H#$ es (u! di*;cil de encontrar en la 'r)ctica. 2in e(bar+o del

'rinci'io de saintJ&ernant se si+ue ue, 'ara otros (odos de a'licacin de a'licacin de

la car+a ! 'ara otros ti'os de so'ortes e('otrados, las ecuaciones HA ! H> toda&;a

'ro'orcionan la distribucin correcta de es*ueros, e6ce'to cerca a los e6tre(os de la

&i+a.


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Figura 1$

Cuando una &i+a de seccin rectan+ular se so(ete a &arias *ueras concentradas co(o

indica en la si+uiente *i+ura, 'uede usarse el 'rinci'io de su'er'osicin 'ara deter(inar

es*ueros nor(ales ! cortantes en secciones localiadas entre los 'untos de a'licacinde las car+as. 2in e(bar+o, co(o las car+as P#, P", P, etc., se a'lican en la

su'er*icie de la &i+a ! no 'uede su'onerse ue estn distribuidas 'arablica(ente a

tra&s de la seccin, los resultados obtenidos de%an de ser &alidos en la in(ediata

&ecindad del 'unto de a'licacin de las car+as.

Figura 1 Fuer%as sobre la viga empotrada

Cuando la &i+a se so(ete a una car+a distribuida co(o en la si+uiente *i+ura el corte

&aria con la distancia del e6tre(o de la &i+a ! as; lo 1ace el es*uero cortante a una

ele&acin dada !. 8as de*or(aciones 'or cortante resultantes son tales ue la distancia

entre dos 'untos corres'ondientes de di*erentes secciones trans&ersales, co(o K#, KY#

o K", KY" de'ender) de su ele&acin.


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Figura 1* fuer%as distribuidas sobre la viga empotrada

Kebe notarse ta(bin ue en 'orciones de la &i+a localiadas ba%o una car+a

concentrada o distribuida, los es*ueros nor(ales [! se e%ercer)n sobre las caras

1oriontales de un ele(ento cubico de (aterial, ade()s de los es*ueros \6!(ostrados en la *i+ura.

5& ES$UER+O NORMAL

5&% #E#UCCI7N #E LA $ORMULA #E LA $LE,I7N

8os es*ueros nor(ales 'roducidos 'or el (o(ento *le6ionante se lla(an es*ueros 'or

*le6in ! las relaciones entre estos es*ueros ! el (o(ento *le6ionante se e6'resan(ediante la *r(ula de la *le6in Para su deduccin se si+ue el (is(o 'rocedi(iento

ue desarroll 'ara deducir la *r(ula de la torsin , es decir, las de*or(aciones

el)sticas %unto con la le! de Soo]e deter(inan la *or(a de la distribucin de es*ueros,

! (ediante las condiciones de euilibrio se establece la relacin entre los es*ueros !

las car+as.


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Fig.3/1a Fig.3/1bFigura 3/1. -eformaciones

8a *i+ura J#a (uestra dos secciones ad!acentes ab! cd se'aradas una distancia dx.

Kebido a la *le6in 'roducida 'or la car+a P, las secciones ab ! cd+iran una con

res'ecto a la otra un 'eue-o )n+ulo 8 , co(o se &e en la *i+ura J#b, 'ero

'er(anecen 'lanas ! sin distorsin de acuerdo con la 9ipt:;i; %.

8a *ibra acde la 'arte su'erior se acorta ! la *ibra bdse alar+a. En al+3n 'unto entre

ellas e6iste una *ibra, tal co(o ef, cu!a lon+itud no &ar;a. /raando la l;nea cd'or ,

'aralela a ab, se obser&a ue la *ibra acse 1a acortado una lon+itud cc ! est), 'ues,

co('ri(ida, (ientras ue a *ibra bdse 1a alar+ado la lon+itud dd! est) so(etida a

tensin.

El 'lano ue contiene todas las *ibras co(o la efse lla(an supericie neutra, !a ue

tales *ibras no &ar;an de lon+itud !, 'or tanto, no est)n su%etas a es*uero al+uno. En

se+uida &ere(os ue la su'er*icie neutra 'asa 'or los centros de +ra&edad de las

secciones trans&ersales de la &i+a.

Considere(os a1ora la de*or(acin de una *ibra cualuiera ghsituada a una distancia

! de la su'er*icie neutra. 2u alar+a(iento hkes el arco de circun*erencia de radio !

)n+ulo 8 ! &iene dado 'or:

8a de*or(acin se obtiene di&idiendo el alar+a(iento entre la lon+itud efde la *ibra


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8la(ando al radio de cur&atura de la su'er*icie neutra, la lon+itud es i+ual a , 'or lo ue

la de*or(acin unitaria &ale

2u'oniendo ue el (aterial es 1o(o+neo ! obedece a la le! de Soo]e, 9ipt:;i; * el

es*uero en la *ibra gh&iene dado 'or:

Esta e6'resin indica ue el es*uero en cualuier *ibra es directa(ente 'ro'orcional asu distancia ! a la su'er*icie neutra, !a ue se 1a su'uesto ue el (dulo el)stico es

i+ual a tensin ue a co('resin, 9ipt:;i; 5, ! el radio de cur&aturapde la su'er*icie

neutra es inde'endiente de la ordenada ! de la *ibra. A1ora bien, los es*ueros no

deben sobre'asar el l;(ite de 'ro'orcionalidad, 'ues en caso contrario de%ar;a de

cu('lir la le! de Soo]e en la ue se 1a basado la deter(inacin de la *or(a de

distribucin de los es*ueros. Para co('letar la deduccin de la *r(ula de la *le6in se

a'lican las condiciones de euilibrio. 8as *ueras e6teriores ue act3an a un lado de la

seccin en estudio uedan euilibradas 'or la *uera cortante ! el (o(ento *le6ionante

resistentes. Para ue se 'roduca este euilibrio, un ele(ento di*erencial cualuiera de

la seccin de e6'loracin est) so(etido a las *ueras ue indica en la *i+ura J". 8a

interseccin de la su'er*icie neutra con la seccin se lla(a ee neutro, abre&iada(ente

E.


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Figura 3/2 Fuer%as 0ue actan sobre un elemento de rea de la seccin recta

8os tr(inos +! ', constantes, se 1an sacado *uera del si+no inte+ral. Co(o ! da es el

(o(ento est)tico del )rea di*erencial dA res'ecto de E.


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. Puesto ue las *ueras e6teriores no tienen co('onente se+3n el e%e Z, en

el siste(a de *ueras cortantes est) en euilibrio. /a(bin se &er) co(o el 'lan

de las *ueras 'uede no ser el 'lano ^, sino uno 'aralelo a l. En estos casos, las

car+as 'roducen un (o(ento con res'ecto al e%e ^ ue es euilibrado 'or

'ara cu('lir la ecuacin . Esta condicin se &eri*ica

auto()tica(ente 'ara secciones si(tricas res'ecto del e%e , !a ue cualuier

ele(ento tiene otro si(trico !, 'or lo tanto, las inte+rales se anulan. Co(o

consecuencia, 'ara secciones si(tricas con res'ecto del e%e , el 'lano de *ueras

e6teriores debe coincidir con el 'lano ^, ! si no ocurre as;, la &i+a estar) so(etida a

torsin.

Considere(os a1ora la condicin . 8as *ueras e6teriores no 'roducen

(o(ento con res'ecto al e%e , ni ta('oco las *ueras cortantes interiores. Por tanto:

2ustitu!endo [6, 'or +y/p, resulta:

8a inte+ral es el 'roducto de inercia P12=ue es nulo sola(ente si ! Z son e%es

de si(etr;a o e%es 'rinci'ales de la seccin. Esto constitu!e la %usti*icacin de la

9ipt:;i;


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Puesto ue es el (o(ento de inercia_ del )rea con res'ecto al e%e de

re*erencia, ue en este caso es E.


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Obtenidos los dia+ra(as se ubican en ellos los &alores ()6i(os ! la 'osicin en la cual

se 'resentan. Con estos &alores ()6i(os 'rocede(os a calcular los es*ueros

()6i(os 'roducidos en la &i+a.

E%e('lo #. Keter(inar las ecuaciones de distribucin de la *uera cortante ! del(o(ento *le6ionante 'ara la &i+a (ostrada en la *i+ura J$a.

Figura /$a

2O8`CIO

Resistencia II - 1er Corte 10pct - Robin Gomez 9799075

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