1 / 54

Wiskundig valt er veel in de plooi

Philippe Cara

Vrije Universiteit Brussel

pcara@vub.ac.be

Leuven, 13 mei 2009

ORIGAMI!

2 / 54

■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen

■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa

in 12de eeuw

ORIGAMI!

3 / 54

■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen

■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa

in 12de eeuw■ 1797: Hiden Senbazuru

Orikata■ 1880: “Oru” (plooien)

“Kami” (papier)■ 1935: Yoshizawa voert

symbolen en diagrammenin

Hoe maken we. . . ?

4 / 54

Waarom ik ?

5 / 54

Waarom ik ?

5 / 54

Papiervouwen : een hobby ?

6 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen

Papiervouwen : een hobby ?

7 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs

Papiervouwen : een hobby ?

8 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs■ Interessant voor vei-

ligheid en ruimte

Papiervouwen : een hobby ?

9 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs■ Interessant voor vei-

ligheid en ruimte

Papiervouwen : een hobby ?

10 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs■ Interessant voor vei-

ligheid en ruimte

Papiervouwen : een hobby ?

11 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs■ Interessant voor vei-

ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-

neeskunde

Papiervouwen : een hobby ?

12 / 54

■ Ontspannend, weinigrisico

■ Interesseert meetkundi-gen

■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-

derwijs■ Interessant voor vei-

ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-

neeskunde

13 / 54

WAT KAN GECONSTRUEERD WORDEN ?

Meetkundige constructies

14 / 54

Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.

Meetkundige constructies

14 / 54

Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.

1. Tussen twee verschillende punten kan men steeds eenrechte lijn trekken.

2. Elke eindige rechte lijn kan steeds oneindig verlengdworden op een continue wijze.

3. Men kan steeds een cirkel tekenen indien zijn middelpunten een straal gegeven zijn.

We kunnen tweedegraadsvergelijkingen

oplossen

15 / 54

■ y − y1 = y2−y1

x2−x1

(x − x1)

■ (x − x1)2 + (y − y1)

2 = R2

Onmogelijke constructies

16 / 54

Drie problemen waarvoor men eeuwenlang tevergeefs naar eenoplossing zocht:

1. De duplicatie van de kubus = de constructie van de zijdevan een kubus die een volume heeft gelijk aan hetdubbele van dat van een gegeven kubus.

2. De trisectie van de hoek = de verdeling van een gegevenwillekeurige hoek in drie evengrote hoeken.

3. De kwadratuur van de cirkel = de constructie van eenvierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.

Onmogelijke constructies

17 / 54

1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3

√2z.

Onmogelijke constructies

17 / 54

1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3

√2z.

2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.

Onmogelijke constructies

17 / 54

1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3

√2z.

2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.

3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√

π.

Onmogelijke constructies

17 / 54

1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3

√2z.

2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.

3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√

π.

Galoistheorie =⇒ geen van deze drie problemen heeft eenoplossing met passer en liniaal.

Met passer en geijkte liniaal

18 / 54

Eerste stappen

19 / 54

Eerste stappen

19 / 54

Eerste stappen

19 / 54

Eerste stappen

19 / 54

Binaire breuken

20 / 54

■ We kunnen alle breuken1

2nconstrueren!

Binaire breuken

20 / 54

■ We kunnen alle breuken1

2nconstrueren!

■ We kunnen dus ook de m2n

maken, in 2n−1 vouwen.

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384 =3×102+8×101+4×100

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384 =3×102+8×101+4×100

101 =1×22+0×21+1×20

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3

101 =1×22+0×21+1×20

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3

101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3

101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3

We kunnen dus binaire breuken m2n

met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.

Binaire schrijfwijze van getallen

21 / 54

384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3

101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3

We kunnen dus binaire breuken m2n

met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.

.111= 1×2−1+1×2−2+1×2−3 = 7

8

Binaire breuken

22 / 54

.11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5 =25

32

.11001 =1

2(1 + 1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4)

...

.11001 =1

2(1 +

1

2(1 +

1

2(0 +

1

2(0 +

1

2(1)))))

We kunnen 25

32berekenen door van rechts naar links te lezen

en, afhankelijk van wat er staat,

1. plus 0, maal 1

2

2. plus 1, maal 1

2

Deze twee bewerkingen met papier

23 / 54

r

Deze twee bewerkingen met papier

23 / 54

r r1

2(0 + r)

Deze twee bewerkingen met papier

23 / 54

r r1

2(0 + r)

r

Deze twee bewerkingen met papier

23 / 54

r r1

2(0 + r)

r r1

2(1 + r)

Efficientie!

24 / 54

Hier slechts n vouwen nodig!!!

25

32= .11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5

Benaderingen

25 / 54

1

3= .0101010101 . . .

Benaderingen

25 / 54

1

3= .0101010101 . . .

Dus vouw bovenkant naar benden, onderkant naar bovenbovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkantnaar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden,onderkant naar boven, bovenkant naar benden, onderkantnaar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven,. . .

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

■ Diagonaal ≡ X = Y

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w

1−x+w

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w

1−x+w

■ z = 1 − y = 1−x1−x+w

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w

1−x+w

■ z = 1 − y = 1−x1−x+w

■ Zij p = 2n en stel w = mp

en x = np

met m,n < p

Willekeurige breuken

26 / 54

w

z

x

y

y

■ Y = w + x−w

y+zX = w + (x − w)X

■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w

1−x+w

■ z = 1 − y = 1−x1−x+w

■ Zij p = 2n en stel w = mp

en x = np

met m,n < p

■ Dan y = mp+m−n

en z = p−n

p+m−n.

Constructie van a/b

27 / 54

■ Dan y = mp+m−n

en z = p−n

p+m−n.

■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.

Constructie van a/b

27 / 54

■ Dan y = mp+m−n

en z = p−n

p+m−n.

■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.

■ Voorbeeld: voor 1

3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0

Constructie van a/b

27 / 54

■ Dan y = mp+m−n

en z = p−n

p+m−n.

■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.

■ Voorbeeld: voor 1

3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0

■

Origami axioma’s

28 / 54

Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.

Origami axioma’s

29 / 54

p1 en p2 −→ zo plooien dat p1 op p2 terecht komt.

Origami axioma’s

30 / 54

Twee rechten l1 en l2 −→ die op elkaar vouwen.

Origami axioma’s

31 / 54

Punt p1 en een rechte l1 −→ loodlijn op l1 door p1

construeren.

Origami axioma’s

32 / 54

p1 en p2 samen met een rechte l1 −→ een vouw maken doorp2 zo dat p1 op l1 terecht komt.

Origami axioma’s

33 / 54

1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p

construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken

door q zo dat p op L terecht komt.

De meetkunde der spiegelingen!

Trisectie

34 / 54

Trisectie

35 / 54

Trisectie

36 / 54

Trisectie

37 / 54

Origami axioma’s

38 / 54

Twee punten p1, p2 en twee rechten l1, l2 −→ een vouwmaken zo dat p1 op l1 komt en p2 op l2.

Zonder instrumenten ?

39 / 54

1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p

construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken

door q zo dat p op L terecht komt.6. Twee punten p, q en twee rechten L,M −→ een vouw

maken zo dat p op L komt en q op M .

Plooien is beter dan Euklides!

40 / 54

Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!

Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met

passer en geijkte liniaal.

Plooien is beter dan Euklides!

40 / 54

Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!

Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met

passer en geijkte liniaal.

7de axioma : Gegeven p en l1, l2, kunnen we een vouwmaken, loodrecht op l2, die p afbeeldt op l1.

Duplicatie van de kubus

41 / 54

Duplicatie van de kubus

41 / 54

Erik Demaine

42 / 54

■ Geboren op 28 februari1981 in Canada.

■ Werd op 20-jarige leeftijdprof op MIT.

■ Uiterst multidisciplinair!■ Meer dan 100 publi-

caties!■ Werkt veel op gebied van

origami en wiskundigeveralgemeningen vanvouwen.

■ Houdt ook van comput-ers.

■

http://erikdemaine.org

Pasen

43 / 54

Verpakkingsprobleem

44 / 54

De kubus: 2√

2z Mozartkugel = eenheidssfeer1.6π2 < 2π2

Er valt veel in de plooi

45 / 54

En er valt nog veel meer in de plooi!

Modulaire origami

46 / 54

Modulaire origami

47 / 54

Modulaire origami

48 / 54

Modulaire origami

49 / 54

Modulaire origami

50 / 54

Modulaire origami

51 / 54

Modulaire origami

52 / 54

Modulaire origami

53 / 54

Modulaire origami

54 / 54