PDF Pnas 1978 Montroll 4633 7

8/22/2019 PDF Pnas 1978 Montroll 4633 7

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USAV o l . 7 5 , N o . 1 0 , p p . 4 6 3 3 - 4 6 3 7 ~ O c t o b e r 1 9 7 8A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e sS o c i a l d y n a m i c s a n d t h e q u a n t i f y i n g o f s o c i a l f o r c e s

( l o g i s t i c c u r v e / r e p l a c e m e n t a n d e v o l u t i o n / t r a n s p o r t a t i o n )E L L I O T T W. MONTROLLI n s t i t u t e f o r F u n d a m e n t a l S t u d i e s , D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f R o c h e s t e r , R o c h e s t e r , N e w Y o r k 1 4 6 2 7C o n t r i b u t e d b y E l l i o t t W. M o n t r o l l , J u l y 1 0 , 1 9 7 8ABSTRACT S o c i a l a n d i n d u s t r i a l e v o l u t i o n a r y p r o c e s s e sa r e c o n s i d e r e d t o b e a s e q u e n c e o f r e p l a c e m e n t s o r s u b s t i t u t i o n s :n e w i d e a s f o r o l d , n e w l a b o r p a t t e r n s f o r o l d , n e w t e c h n o l o g i e sf o r o l d . T h e l o g i s t i c e q u a t i o n h a s o f t e n b e e n u s e d t o d e s c r i b ep o p u l a t i o n g r o w t h p r o c e s s e s a n d r e p l a c e m e n t p r o c e s s e s . I ts o m e t i m e s s u f f e r s f r o m c o n t r a d i c t i n g o b s e r v a t i o n a l d a t a . I t i ss h o w n h e r e t h a t t h e d e v i a t i o n s a r e o f t e n a s s o c i a t e d w i t h u n u s u a li n t e r m i t t e n t e v e n t s - w a r s , s t r i k e s , e c o n o m i c p a n i c s , e t c . - a n dt h a t i n m a n y c a s e s a f e w y e a r s a f t e r t h e e v e n t i t c a n b e a b -s t r a c t e d a s a n i n s t a n t a n e o u s a f u n c t i o n i m p u l s e . A f t e r t h e e v e n t ,t h e e v o l u t i o n a r y p r o c e s s c o n t i n u e s a l o n g i t s n o r m a l c o u r s e . Af o r m u l a i s d e r i v e d t o u s e t h e o b s e r v a t i o n a l d a t a t o d e t e r m i n et h e s t r e n g t h o f t h e i m p u l s e m o d e l i n g a n e v e n t .D u r i n g a n y p e r i o d o f h i s t o r y , t h e m i d d l e - a g e d a n d e l d e r l y l a -m e n t u p o n t h e c h a n g e s " i n t h e w o r l d " d u r i n g t h e i r l i f e t i m e ,c o m p l a i n i n g t h a t " t h i n g s " a r e n o l o n g e r w h a t t h e y w e r e . T h et h i n g s t h a t h a v e c h a n g e d t h e m o s t v a r y f r o m o n e g e n e r a t i o nt o a n o t h e r . I n t h i s c e n t u r y t h e a u t o m o b i l e h a s r e p l a c e d t h eh o r s e ; t h e l i g h t b u l b , t h e g a s m a n t l e ; t h e m o v i e t h e a t r e , h o m ee n t e r t a i n m e n t ( f i n a l l y , t e l e v i s i o n , t h e m o v i e t h e a t r e ) ; t h e B a l k a nS t a t e s o f t h e S o v i e t B l o c , t h e o l d A u s t r o - H u n g a r i a n E m p i r e ; t h em e a n i n g f u l r e l a t i o n s h i p , f o r m a l m a r r i a g e ; t o n a m e j u s t a f e w .T h e c o n t i n u i n g c h a n g e i n o u r h a b i t s a n d l o y a l t i e s i s b o u n d t oa f f e c t e c o n o m i c a n d s o c i a l s t r u c t u r e s . On t h i s b a s i s , s o c i a ls c i e n c e m o d e l s s h o u l d i n c l u d e t h e e v o l u t i o n o f s o c i a l p r o -c e s s e s .T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o p r e s e n t a n e l e m e n t a r y p o i n t o fv i e w f o r t h e d e v e l o p m e n t o f a s t y l e f o r t h e d e s c r i p t i o n o f s o c i a ld y n a m i c s . A p h y s i c a l s c i e n t i s t w i l l i m m e d i a t e l y o b s e r v e t h ei n f l u e n c e o f N e w t o n ' s l a w s o f p a r t i c l e d y n a m i c s u p o n t h es t r u c t u r e o f t h i s s t y l e . F o l l o w i n g i n t h e N e w t o n i a n t r a d i t i o n ,I p r o p o s e t h r e e l a w s o f s o c i a l d y n a m i c s ( 1 ) .

THREE "LAWS" OF SOCIAL DYNAMICSN e w t o n ' s f i r s t l a w o f d y n a m i c s i s t h e p o s t u l a t e t h a t , i n t h e a b -s e n c e o f a n e x t e r n a l f o r c e , e v e r y b o d y i n a s t a t e o f m o t i o n w i l lr e m a i n i n t h a t s t a t e o f m o t i o n - i . e . , i t w i l l c o n t i n u e t o m o v e i na s t r a i g h t l i n e w i t h a c o n s t a n t v e l o c i t y . O f c o u r s e , t h i s s i t u a t i o nn e v e r p r e v a i l s i n e a r t h b o u n d e x p e r i m e n t s , b u t i t i s s t i l l a g o o ds t a r t i n g p o i n t f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l m o d e l s o fd y n a m i c a l s y s t e m s .T h e f i r s t l a w o f s o c i a l d y n a m i c s i s h e r e c h o s e n t o h a v e t w os i m i l a r l y s t a t e d p a r t s( a ) I n t h e a b s e n c e o f a n y s o c i a l , e c o n o m i c , o r e c o l o g i c a lf o r c e , t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e l o g a r i t h m o f a p o p u l a t i o n , N ( t ) ,o f a n " o r g a n i s m " i s c o n s t a n t ,d l o g N ( t ) / d t = c o n s t a n t . [ l a ]W i t h o u t t h e p r e s c r i b e d f o r c e s t h i s e q u a t i o n i s a l s o p o s t u l a t e dt o b e v a l i d f o r t h e v a r i a t i o n o f t h e p o p u l a t i o n o f o b j e c t s o fp r o d u c t i o n ( a u t o m o b i l e s , r a d i o s , e t c . ) , a n d f o r t h e c h a n g e i n ap o p u l a t i o n o f a n e w s o c i a l g r o u p .

( b ) I n t h e a b s e n c e o f a n y s o c i a l , e c o n o m i c , o r e c o l o g i c a lf o r c e , t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e l o g a r i t h m o f t h e p r i c e o fm a i n t e n a n c e P ( t ) ( p e r u n i t t i m e ) o f a n " o r g a n i s m " i s a l s oc o n s t a n td l o g P ( t ) / d t = c o n s t a n t . [ l b ]

I n t h e c a s e o f o b j e c t s o f p r o d u c t i o n , P ( t ) i s t o b e i n t e r p r e t e d a sa u n i t c o s t .A d i s c u s s i o n o f p a r t b o f t h e f i r s t l a w a n d o f t h e i n f l u e n c e o fp r i c e s o n p a r t a w i l l b e g i v e n e l s e w h e r e .T h e p o p u l a t i o n o f i n a n i m a t e o b j e c t s i s i n c l u d e d s o t h a tp o p u l a t i o n g r o w t h m o d e l s m i g h t b e a p p l i e d t o p r o d u c t i o n o fa n d c o m p e t i t i o n b e t w e e n m a n u f a c t u r e d i t e m s .E q . l a i s , o f c o u r s e , n o t h i n g b u t t h e M a l t h u s i a n l a w o f e x -p o n e n t i a t i o n o f p o p u l a t i o n s ( 2 ) , a n d E q . l b i s a s t a t e m e n t o f t h ea c c o u n t a n t s ' " d i s c o u n t i n g " p r i n c i p l e a n d t h e h o u s e w i v e s ' o b -s e r v a t i o n t h a t t h i n g s a r e a l w a y s g e t t i n g m o r e e x p e n s i v e . T h ec o n s t a n t i n E q . l a m i g h t b e n e g a t i v e a s w e l l a s p o s i t i v e b e c a u s ei n t e r e s t i n s o m e i t e m s j u s t d i e s a w a y .I t m i g h t b e c l a i m e d t h a t t h e f i r s t l a w o f s o c i a l d y n a m i c s i sm o r e o f t e n a p p l i c a b l e t o t h e r e a l w o r l d t h a n i s N e w t o n ' s f i r s tl a w o f m e c h a n i c s t o r e a l d y n a m i c a l s y s t e m s , s i n c e s o c i a l r e -f o r m e r s a s w e l l a s c o n s e r v a t i v e p o l i t i c i a n s f r e q u e n t l y s e e km e a n s o f v i o l a t i n g E q s . l a a n d l b . N u m e r o u s o b s e r v a t i o n se x h i b i t i n g t h e f i r s t l a w a r e i n r e f s . 3 a n d 4 .N e w t o n w a s v e r y a s t u t e i n h i s u s e o f t h e s e c o n d l a w a s t h ed e f i n i t i o n o f a f o r c e . Who c a n g o w r o n g b y m a k i n g d e f i n i t i o n si f h e d o e s n o t m a k e t o o m a n y o f t h e m ? T h e s e c o n d l a w i s j u s tt h e s t a t e m e n t t h a t a f o r c e i s t h a t w h i c h c a u s e s t h e f i r s t l a w t ob e v i o l a t e d . I w i l l n o t a t t e m p t t o o u t d o t h e m a s t e r o n t h i sp o i n t .T h e s e c o n d " l a w " o f s o c i a l d y n a m i c s i s t h e p o s t u l a t e :E q . l a o r l b o r b o t h a r e v i o l a t e d w h e n a s o c i a l , e c o n o m i c ,o r e c o l o g i c a l f o r c e i s a p p l i e d . Ho w i s t h e f o r c e t o b e c h o s e n o rm e a s u r e d ? B y o b s e r v i n g t h e m a n n e r i n w h i c h t h e f i r s t l a w i sv i o l a t e d !S e v e r a l e x a m p l e s o f a p p l i e d f o r c e s w i l l f o l l o w t h e s t a t e m e n to f : T h e t h i r d " l a w . " E v o l u t i o n i s t h e r e s u l t o f a s e q u e n c e o f r e -p l a c e m e n t s .N e w t o n n e v e r t r i e d t o d e r i v e h i s l a w s o f f o r c e f r o m f i r s tp r i n c i p l e s . T h e r e s t o r i n g f o r c e f o r a d i s p l a c e d m a s s i n a h a r -m o n i c o s c i l l a t o r w a s m e r e l y t h e f o r c e o f g r e a t e s t m a t h e m a t i c a ls i m p l i c i t y a n d o n e f o u n d t o b e u s e f u l i n d e s c r i b i n g m a n yp h y s i c a l p h e n o m e n a . T h e p o s t u l a t i o n o f t h e i n v e r s e s q u a r e l a wo f t h e g r a v i t a t i o n f o r c e w a s n a t u r a l f o r a g e n i u s w h o s e g e o -m e t r i c i n t u i t i o n t o l d h i m i t w a s j u s t w h a t w a s r e q u i r e d t o p r o -d u c e K e p l e r ' s e m p i r i c a l o b s e r v a t i o n s o n e l l i p t i c a l p l a n e t a r yo r b i t s .O n e o f t h e s i m p l e s t m a t h e m a t i c a l f o r m s f o r a f o r c e t h a tm i g h t r e p l a c e t h e c o n s t a n t o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . l a i sa l i n e a r f o r c e : F I N ( t ) = k-a N ( t ) [ 2 1w h i c h r e p r e s e n t s a d e t e r e n c e t o p o p u l a t i o n g r o w t h . I f one s e t s

4 6 3 3

T h e p u b l i c a t i o n c o s t s o f t h i s a r t i c l e w e r e d e f r a y e d i n p a r t b y p a g ec h a r g e p a y m e n t . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r e b e h e r e b y m a r k e d " a d -v e r t i s e m e n t " i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t et h i s f a c t .


2/5

4 6 3 4 A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s : M o n t r o l la = k / O , t h e n E q . l a b e c o m e s t h e w e l l - k n o w n V e r h u l s t e q u a -t i o n ( w i t h p o p u l a t i o n s a t u r a t i o n a t N = 0 ) ( 3 , 5 )

d l o g $ N ( t ) / 1 0 / d t = k $ l - ( N ( t ) / 0 ) 1 [ 3 ]w h o s e s o l u t i o n y i e l d s a r e m a r k a b l y a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n o ft h e p o p u l a t i o n g r o w t h i n m a n y c o u n t r i e s . T h e g r o w t h t o s a t u -r a t i o n a c c o r d i n g t o t h e s o l u t i o n o f E q . 3 i s o f t e n c a l l e d t h e l o -g i s t i c c u r v e . T h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f d e v i a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e di n t h e n e x t s e c t i o n .

I f o n e s e t s x N / 0 a n d y = 1 / x , t h e n- d ( y - 1 ) / d t = k ( y - 1 ) , a n d [ 4 ]y ( t ) - I = [ y ( O ) - 1 ] e x p ( - k t ) [ 5 ]

s o t h a tl o g [ x / ( l - x ) ] = l o g [ x ( 0 ) / [ 1 - x ( 0 ) ] ] + k t . [ 6 ]

A m o r e g e n e r a l ( t w o - p a r a m e t e r ) f o r c e l a w ( 3 ) i sF I N ( t ) 3 = k $ i - [ N ( t ) / ] 0 / v - G , ( N / O ) [ 7 ]

w h i c h y i e l d s V e r h u l s t ' s e q u a t i o n w h e n v = 1 a n d t h e G o m p e r t ze q u a t i o n ( 6 ) w h e n v = 0 :d N / d t = -Nk l o g ( N / 0 ) . [ 8 ]

T h e s i m p l e s t i n t e r a c t i o n b e t w e e n t w o s p e c i e s i s o b t a i n e d b yc h o o s i n g t h e s e c o n d s p e c i e s t o a p p l y a f o r c e l i n e a r i n i t s p o p u -l a t i o n t o t h e f i r s t s p e c i e s a n d v i c e v e r s a s o t h a td l o g N i / d t = k i + C 1 2 N 2d l o g N 2 / d t = k 2 + C 2 1 N 1 .

T h e c a s e k i = a l > 0 , k 2 = a 2 < 0 , C 1 2 = X I < 0 , a n d C 2 1 = X 2> 0 y i e l d s t h e w e l l - k n o w n L o t k a - V o l t e r r a e q u a t i o n s f o r c o m -p e t i n g s p e c i e s ( 7 - 9 )d N 1 / d t = a 1 N I - X j N j N 2 [ 9 a ]

d N 2 / d t = - a 2 N 2 + X 2 N 1 N 2 [ 9 b ]s u c h t h a t t h e p r e d a t o r s p e c i e s 2 p r e y s u p o n s p e c i e s 1 i n s u c h am a n n e r t h a t s p e c i e s 2 w o u l d d i s a p p e a r w i t h o u t s p e c i e s 1 a n ds p e c i e s 1 w o u l d p r o p a g a t e i n a M a l t h u s i a n m a n n e r w i t h o u ts p e c i e s 2 . T h e s e e q u a t i o n s h a v e p e r i o d i c s o l u t i o n s ( 8 , 9 ) .F i n a l l y , i n a n a s s e m b l y o f m a n y i n t e r a c t i n g s p e c i e s , o n em i g h t a d d t h e i n f l u e n c e o f o t h e r s p e c i e s t o t h e r i g h t - h a n d s i d eo f E q . 3 a s a r a n d o m f o r c e , F ( t ) , t o y i e l d t h e e q u a t i o n

d l o g [ N ( t ) / 0 ] / d t = k G , ( N / O ) + F ( t ) . [ 1 0 ]T h e s p e c i a l c a s e G I ( x ) = 1 - x w a s f i r s t c o n s i d e r e d b y L e i g h( 1 0 ) a n d t h e g e n e r a l c a s e w a s a n a l y z e d i n r e f . 9 . I f o n e a s s u m e sF ( t ) t o b e g e n e r a t e d b y a G a u s s i a n r a n d o m p r o c e s s w i t h

< F ( t l ) F ( t 2 ) > a v = a 2 6 ( t 2 - t l ) , [ 1 1 ]t h e n i t c a n b e s h o w n i n t h e s t a n d a r d m a n n e r t h a t t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n o f N a t t i m e t , P [ N ( t ) ] , s a t i s f i e s t h e F o k k e r - P l a n c ke q u a t i o n : a d a 1vap2 [ 1 2 a ]i n w h i c h

v = l o g ( N / 0 ) . [ 1 2 b ]T h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n w i t h P = 0 i s e a s i l yv e r i f i e d ( 9 ) t o b e

P ( v , t ) = P o e x p [ 2 a - 2 f G ( e x p v ) d v ] [ 1 3 ]

i n w h i c h P o i s a n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t . I n t h e G o m p e r t z a n dV e r h u l s t c a s e s , t h e s t e a d y - s t a t e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a r e , r e -s p e c t i v e l y ,G o m p e r t z : P = P o e x p ( - k v 2 / c r 2 ) , v = l o g ( N / 0 ) [ 1 4 ]

V e r h u l s t : P = P o e x p 2 k [ v - e x p v ] / a 2= P o ( N / 0 ) 2 k / , T 2 e x p ( - 2 k N / O c r 2 ) . [ 1 5 ]

E q . 1 5 w a s f i r s t d e r i v e d b y L e i g h a n d E q . 1 4 w a s f i r s t g i v e n i nr e f . 9 . A n o i s y G o m p e r t z g r o w t h p r o c e s s c a n b e s h o w n t o b ee q u i v a l e n t t o t h e O r n s t e i n - U h l e n b e c k p r o c e s s f o r t h e t h e o r yo f B r o w n i a n m o t i o n i n t h e v a r i a b l e v ( 1 1 ) .O f c o u r s e , m a n y m o r e m o d e l s h a v e b e e n d i s c u s s e d i n t h el i t e r a t u r e . My m a i n i n t e r e s t h e r e i s t o d i s c u s s t h e t h i r d l a w , t h el a w o f e v o l u t i o n , a s a s e q u e n c e o f r e p l a c e m e n t s . I c h o o s e t h ec a n o n i c a l f o r m f o r t h e e v o l u t i o n a r y f o r c e t o b e t h e r i g h t - h a n ds i d e o f t h e V e r h u l s t ( o r l o g i s t i c ) e q u a t i o n ( E q . 3 ) . T h i s w a s e x -p l o i t e d b y F i s h e r a n d P r y ( 1 2 ) a s t h e a p p r o p r i a t e m o d e l f o r t h ed y n a m i c s o f i n d u s t r i a l r e p l a c e m e n t . I d i s c u s s t h e r e p l a c e m e n ta s a n e v o l u t i o n a r y p r o c e s s i n t h e n e x t s e c t i o n w h e r e I s h a l l a l s oa n a l y z e c a s e s i n w h i c h t h e c a n o n i c a l f o r m i s v i o l a t e d .DYNAMICS O F R EP L A C EM EN T PROCESS A NDMEASUREMENT OF FORCES AC CELERATING

AND DETERRING REPLACEMENT OREVOLUTIONARY PROCESSA s e t o f F i s h e r a n d P r y ' s t y p i c a l e v o l u t i o n a r y c u r v e s i s p l o t t e di n F i g . 1 . T h e y r e p r e s e n t t h e r e p l a c e m e n t o f o n e i n d u s t r i a lp r o c e s s ( o r p r o d u c t ) b y a n o t h e r . T h e y c a n a l s o b e i n t e r p r e t e da s m a r k e t p e n e t r a t i o n c u r v e s . H e r e x i s t h e f r a c t i o n o f t h em a r k e t c a p t u r e d b y t h e n e w p r o c e s s ( o r p r o d u c t ) a n d ( 1 - x )i s t h a t r e m a i n i n g f o r t h e o l d . F i s h e r a n d P r y ( 1 2 ) h a v e f o u n do v e r t w e n t y e x a m p l e s o f t h e i r i n d u s t r i a l r e p l a c e m e n t m e c h a -n i s m a n d o t h e r a u t h o r s h a v e s u p p l e m e n t e d t h e l i s t ( 1 3 - 1 5 ) .H e r m a n a n d I ( 1 6 ) h a v e n o t i c e d t h a t t h e i n d u s t r i a l r e v o l u t i o ni n b o t h t h e U n i t e d S t a t e s a n d S w e d e n h a s a l s o e v o l v e d i n t h el o g i s t i c p a t t e r n , a s e x h i b i t e d i n F i g . 2 , w i t h ( 1 - x ) t h e r e b e i n gt h e f r a c t i o n o f t h e w o r k f o r c e p e r f o r m i n g a g r i c u l t u r a l t a s k s a n dx b e i n g t h e f r a c t i o n p e r f o r m i n g n o n a g r i c u l t u r a l t a s k s . T h e d a t a

0 . 0 1 1 / I ' / ~ / I 1 / 11 8 6 0 1 8 8 0 1 9 0 0 1 9 2 0 1 9 4 0Y e a rF I G . 1 . R e p l a c e m e n t d y n a m i c s o f f o u r t e c h n o l o g i e s , f o l l o w i n gt h e m o d e l a n d d a t a o f F i s h e r a n d P r y ( 1 2 ) .

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 5 ( 1 9 7 8 )

I 1 1 ,V-


3/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 5 ( 1 9 7 8 ) 4 6 3 5

060/e

02 ~.0/

1 . 0( 0

o 1 .

c m 0 . 8

a~ ~ ~~~~Ya

O 0 . 6C0 . 4

1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980Y e a r

F I G . 2 . V a r i a t i o n o f t h e r a t i o o f n o n a g r i c u l t t i r a l w o r k e r s t o a g r i -c u l t u r a l w o r k e r s i n t h e A m e r i c a n a n d S w e d i s h l a b o r f o r c e ( 1 6 ) .f o l l o w t h e s o l u t i o n o f t h e V e r h u l s t e q u a t i o n f o r o v e r 1 0 0 y e a r s .A n e w s o c i a l f o r c e e m e r g e d i n 1 9 4 0 t h r o u g h a f l o o d o f t e l e -g r a m s f r o m t h e W h i t e H o u s e , s t a r t i n g w i t h t h e w o r d " G r e e t i n g s. . . " a n d r e c e i v e d b y y o u n g f a r m e r s t h e c o u n t r y o v e r . T h e s et e l e g r a m s a c c e l e r a t e d t h e d e c l i n e i n a g r i c u l t u r a l w o r k f o r c eb e y o n d t h e e x p e c t e d r a t e o f t h e c a n o n i c a l V e r h u l s t p r o c e s s .A n e x a m p l e o f t h e i n f l u e n c e o f a d e t e r r i n g f o r c e i s e v i d e n ti n F i g . 3 , a r e c o r d o f t h e r e p l a c e m e n t o f r a i l s e r v i c e b y a i r s e r -v i c e i n i n t e r c i t y p a s s e n g e r t r a v e l . t T h e r e ,

a n n u a l a i r p a s s e n g e r m i l e s [ 1 6 1a n n u a l a i r & r a i l p a s s e n g e r m i l e s .N o t i c e t h a t i n t h e p e r i o d 1 9 4 7 - 1 9 5 9 t h e d a t a a r e i n a c c o r d w i t hE q . 6 b . T h e d e t e r r e n c e i n r e p l a c e m e n t e v o l u t i o n d u r i n g1 9 6 0 - 1 9 6 1 s e e m s t o h a v e b e e n d u e t o s e v e r a l u n u s u a l l y l o n gs t r i k e s b y a i r l i n e w o r k e r s a n d t o t h e p u b l i c ' s r e s p o n s e t o a s e r i e so f s e r i o u s a i r p l a n e a c c i d e n t s . B y 1 9 6 2 , t h e s y s t e m r e c o v e r e d a n dt h e r e p l a c e m e n t c u r v e c o n t i n u e d w i t h i t s o l d s l o p e u n t i l t h e l a t e1 9 6 0 s . T h e n , a c c e l e r a t e d r e p l a c e m e n t t o t h e e n d o f t h e d e c a d eo c c u r r e d a t t h e t i m e t h e l a r g e s t r a i l p a s s e n g e r c a r r i e r , t h eP e n n - C e n t r a l l i n e , w a s s u f f e r i n g t h r o u g h i t s p r e b a n k r u p t c y a n db a n k r u p t c y c o n d i t i o n . T h e m a n a g e m e n t o f p a s s e n g e r r a i ls e r v i c e w a s r e o r g a n i z e d i n t h e 1 9 7 0 s b y A m t r a k .T h e r o l e o f i n t e r c i t y b u s e s w a s o m i t t e d f r o m t h e a b o v e d i s -c u s s i o n b e c a u s e , d u r i n g t h e p e r i o d i n v e s t i g a t e d , t h e f r a c t i o no f t h e t o t a l p a s s e n g e r t r a f f i c m a i n t a i n e d b y t h e m c h a n g e d v e r yl i t t l e .O t h e r e x a m p l e s o f i n t e r m i t t e n t a c c e l e r a t i n g a n d d e t e r r i n gf o r c e s a r e e a s i l y f o u n d . D e v i a t i o n s f r o m t h e l o g i s t i c n a t i o n a lp o p u l a t i o n c u r v e s d u r i n g a n d a f t e r w a r s a n d d u r i n g e c o n o m i cd e p r e s s i o n s a r e c o m m o n . T h e s e w i l l b e d i s c u s s e d e l s e w h e r e . R .B o l t ( p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n ) h a s s h o w n t h a t t h e U n i t e d S t a t e sh a s b e e n e x p e r i e n c i n g a n e d u c a t i o n a l e v o l u t i o n s i n c e 1 9 0 0 i n

4 0

2 0

1 0864

2

1 . 00 . 80 . 60 . 4

1 9 5 0 1 9 5 5 1 9 6 0 1 9 6 5 1 9 7 0 1 9 7 5Y e a rF I G . 3 . M a n n e r i n w h i c h i n t e r c i t y p a s s e n g e r t r a v e l b y r a i l h a sb e e n r e p l a c e d b y a i r t r a v e l . t

t h a t t h e f r a c t i o n o f p e r s o n s r e c e i v i n g u n i v e r s i t y d e g r e e s h a sb e e n f o l l o w i n g a l o g i s t i c p a t t e r n w i t h i n t e r m i t t e n t f o r c e s a p -p e a r i n g d u r i n g a n d a f t e r W o r l d War I a n d W o r l d War I I . T h er e p l a c e m e n t o f t h e s a i l b o a t b y t h e s t e a m b o a t i s d i s c u s s e d a t t h ee n d o f t h i s s e c t i o n . I n o w p r e s e n t a s y s t e m a t i c p r o c e d u r e f o rm e a s u r i n g t h e m a g n i t u d e o f i n t e r m i t t e n t f o r c e s .L e t t h e s o l i d s t r a i g h t l i n e i n F i g . 4 r e p r e s e n t t h e c a n o n i c a le v o l u t i o n a r y c u r v e f o r a r e p l a c e m e n t p r o c e s s a n d s u p p o s e t h a ta n a c c e l e r a t i n g f o r c e w a s a p p l i e d a t t i m e r a n d w i t h d r a w n a ta l a t e r t i m e . A f t e r w i t h d r a w a l , t h e e v o l u t i o n a r y c u r v e w i l lp a r a l l e l t h e u n a c c e l e r a t e d o n e a n d w i l l r e a c h a l e v e l A a t a t i m et * , s o m e w h a t e a r l i e r t h a n t h e t i m e t t h a t w o u l d h a v e b e e n r e -q u i r e d t o r e a c h t h e s a m e l e v e l i n t h e n o r m a l f a s h i o n . I f F ( t ) i st h e a c c e l e r a t i n g f o r c e , t h e a c c e l e r a t i n g p r o c e s s i s c h a r a c t e r i z e db y d l o g x / d t = k ( l - x ) + F ( t ) . [ 1 7 ]I n t h e t i m e r e g i m e a f t e r t h e w i t h d r a w a l o f a n i n t e r m i t t e n tf o r c e , t h e c o n t i n u i n g e v o l u t i o n a r y c u r v e p a r a l l e l s t h e u n a c -c e l e r a t e d o n e . T h e t i m e g a i n e d ,A t = t - t * [ 1 8 ]

1 0A-

1 . 0 1 -O . i - 1

l I l lT t * tF I G . 4 . S c h e m a t i c o f t h e manner i n w h i c h an i n t e r m i t t e n t a c -c e l e r a t i n g or d e t e r r i n g f o r c e a f f e c t s r e p l a c e m e n t d y n a m i c s .

111111111 1 / 9/10-

[-~~~/' = 5 / 6 -_xx1/2-

x=1/6

t M o n t r o l l , E . W. ( 1 9 7 8 ) P r o c e e d i n g s o f E n d r o n m e n t a l P r o t e c t i o nA g e n c y C o n f e r e n c e o n M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g , i n p r e s s .

A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s : M o n t r o l l


4/5

4 6 3 6 A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s : M o n t r o l li n r e a c h i n g t h e l e v e l A c o u l d h a v e b e e n a c h i e v e d b y t h e i n -t r o d u c t i o n o f a n e q u i v a l e n t 6 f u n c t i o n i m p u l s e . T h e o b j e c t o ft h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n i s t o d e r i v e a n e x p r e s s i o n f o r t h ea m p l i t u d e a o f t h e 6 f u n c t i o n i m p u l s e

F ( t ) = a b ( t - T ) [ 1 9 ]n e c e s s a r y t o y i e l d t h e o b s e r v e d g a i n e d t i m e A t . W e t h e n c o n -s i d e r a t o b e t h e m e a s u r e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e o r i g i n a l l ya p p l i e d a c c e l e r a t i n g f o r c e , w h a t e v e r i t s d e t a i l e d n a t u r e . T h ef o r m u s e d f o r t h e 6 f u n c t i o n i s

F ( t ) = ( i f t < r o r r + 6 < t [ 2 0 ]t a / S i f r < t < r + SO u r f i n a l r e q u i r e d e q u a t i o n s w i l l b e o b t a i n e d b y t a k i n g t h el i m i t a * 0 . T h e s o l u t i o n o f a c a n o n i c a l V e r h u l s t e q u a t i o n ( E q .3 ) w a s s h o w n t o b e E q s . 5 a n d 6 .U p o n i n t r o d u c t i o n o f t h e 6 f u n c t i o n f o r c e , t h e f o r m o f E q .1 7 i sd x / d t = k x ( 1 - x ) + x a / S

w i t h r < t < X +S T , o r [ 2 1 a ]- d y / d t = y f k + ( a / 6 ) } - k = k ( y - 1 ) + ( y a / l ) ,

i f y = 1 / x . [ 2 1 b ]I n t h e r e g i m e t > T , E q . 3 i s a g a i n a p p l i c a b l e w i t h i t s s o l u t i o nb e i n gl o g i x ( t * ) / [ 1 - x ( t * ) ] j = - l o g [ y ( T ) - 1 ] + k ( t * - T ) [ 2 2 ]a t t h e t i m e t * w h e n t h e a c c e l e r a t e d e v o l u t i o n r e a c h e s l e v e l Ai n F i g . 4 . T h e n f r o m E q s . 2 2 a n d 6 , b e c a u s e t h e f u n c t i o n o n t h el e f t s i d e o f b o t h e q u a t i o n s c o r r e s p o n d s t o t h e l e v e l A ,k A t k ( t - t * ) = - l o g j [ y ( T ) - l ] / [ y ( O ) - 1 I I - k T . [ 2 3 ]

T h e q u a n t i t y y ( T ) i s f o u n d b y s o l v i n g t h e a c c e l e r a t e d e v o -l u t i o n e q u a t i o n ( E q . 2 1 b ) . B e f o r e d o i n g s o , we n o t e t h a tl o g { - ~ = l o g {()'}{()1o Y ( O ) - I I o Y ( O ) _ I I I y ( ) - I }

= - k T + l o g f [ y ( T ) - 1 ] / ( y ( T ) - 1 ) 1 [ 2 4 ]k ( t - t * ) = - l o g l y ( T ) l ? 1 - k ,

s i n c eT - T = b . [ 2 5 ]

S i n c e 6 i s s m a l ly ( T ) - 1 = y ( r ) - 1 + b d y / d t +

B y u s i n g E q . 2 1 b , a s 6 - * 0l o g - = l o g ( 1 + 6 ( d ) - 1 l b ( d y / d t ) / [ y ( r ) - 1 ]

- a y ( T ) / [ - y ( T ) ] . [ 2 6 ]T h e n , s i n c e y ( r ) = 1 / x ( r ) , we h a v e , f r o m E q . 2 5 , a s 6 - 0

[ 2 7 a ]

I n c i d e n t a l l y , t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . 1 7 i sx ( t ) = x ( O ) l e x p f [ k + F ( t ) ] d t l

X I + k x ( 0 ) d r e x p S [ k + F ( t ' ) ] d t ' 1E q . 2 7 b c a n b e d e r i v e d b y i n c o r p o r a t i n g E q . 1 9 i n t h i s e x -p r e s s i o n . H o w e v e r , t h e a l g e b r a i s m o r e t e d i o u s t h a n t h a t g i v e na b o v e .L e t u s c a l c u l a t e t h e v a l u e o f a a p p r o p r i a t e f o r t h e d e t e r r i n gi n t e r m i t t e n t f o r c e a p p l i e d i n t h e p e r i o d 1 9 6 0 - 1 9 6 1 t o a i r l i n ee v o l u t i o n a s i n d i c a t e d i n F i g . 3 . T h e A t v a l u e a t t h e l e v e l x =5 / 6 i s - 1 . 8 y e a r s ; x / ( l - x ) = 1 . 7 o r x = 0 . 6 3 a t t h e t i m e o f t h ea p p l i c a t i o n o f t h e f o r c e . T o e s t i m a t e k , n o t e t h a t 1 1 y e a r s w e r er e q u i r e d f o r x / ( l - x ) t o b e m u l t i p l i e d b y a f a c t o r 1 0 i ne v o l v i n g f r o m 0 . 1 t o 1 . 0 s o t h a t , f r o m E q . 6 b ,

k = ( 1 / 1 1 y e a r ) l o g e l 0 = 0 . 2 0 9 / y e a r .H e n c e , f r o m E q . 2 7 b

a = - ( 0 . 2 0 9 ) ( 1 . 8 ) ( 0 . 3 7 ) = - 0 . 1 3 9 - 0 . 1 4 .T h e r e p l a c e m e n t p a t t e r n o f s a i l b y s t e a m i n t h e U . S . M e r -c h a n t M a r i n e d u r i n g t h e p e r i o d 1 8 3 0 - 1 9 5 0 w a s r a t h e r l i k e t h a t

o f r a i l b y a i r t r a v e l i n t h e m i d d l e 1 9 0 0 s . D a t a f r o m t a b l e sQ 4 1 7 - 4 3 2 o f r e f . 1 7 a r e s u m m a r i z e d i n F i g . 5 . T h e l a u n c h i n go f s t e a m s h i p s i n s i g n i f i c a n t n u m b e r s d a t e s f r o m 1 8 2 5 . D u r i n gt h e t w o d e c a d e s 1 8 3 0 - 1 8 5 0 , t h e l o g a r i t h m o f t h e f r a c t i o n o ft o n n a g e i n s t e a m e r s t o t h a t i n s a i l i n g s h i p s f o l l o w e d t h e c a -n o n i c a l s t r a i g h t l i n e , a s i t d i d a g a i n i n t h e i n t e r v a l 1 8 7 0 - 1 9 1 5 .A t f i r s t , s t e a m b o a t s a p p e a r e d i n r i v e r t r a f f i c a n d t h e n i n c o a s t a lt r a f f i c ; l a t e r o n t h e y b e g a n t r a n s a t l a n t i c r u n s , b u t o n l y a f t e r t h eC i v i l War c o u l d t h e y s u c c e s s f u l l y c o m p e t e w i t h t h e c l i p p e rs h i p s o n t h e l o n g e r P a c i f i c p a s s a g e s a n d o n t h e v o y a g e s a r o u n dt h e H o r n c o n n e c t i n g t h e E a s t C o a s t w i t h S a n F r a n c i s c o .T h e f i r s t f a s t c l i p p e r s h i p s a p p e a r e d i n t h e 1 8 3 0 s , a t a b o u tt h e s a m e t i m e s t e a m b o a t s w e r e b e c o m i n g p r a c t i c a l . T h e y w e r e

ora = k ( A t ) [ 1 -x ( r ) ] .

Y e a rF I G . 5 . M a n n e r o f r e p l a c e m e n t o f s a i l i n g s h i p s b y s t e a m s h i p s i n[ 2 7 b ] t h e U . S . m e r c h a n t f l e e t ; d a t a f r o m r e f . 1 7 .

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 5 ( 1 9 7 8 )

k A t =k ( t-t * ) =a l [ l x ( - T ) l


5/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 5 ( 1 9 7 8 ) 4 6 3 7T a b l e 1 . G r o s s t o n n a g e , a c c o r d i n g t o t y p e , i n U n i t e d S t a t e sm e r c h a n t f l e e t *

G r o s s t o n n a g e , t o n s X 1 0 - 3Y e a r S t e a m S a i l1 8 4 0 2 0 2 1 9 7 81 8 4 5 3 2 6 2 0 9 11 8 5 0 5 2 6 3 0 1 01 8 5 5 7 7 0 4 4 4 21 8 6 0 8 6 8 4 4 8 0

* D a t a f r o m r e f . 1 7 .b u i l t i n l a r g e n u m b e r s d u r i n g t h e d e c a de 1 8 4 5 - 5 5 ( p e a k i n gb e t w e e n 1 8 5 0 a n d 1 8 5 3 ) . Two i m p o r t a n t e v e n t s o f 1 8 4 9 s t i m -u l a t e d t h e i r p r o d u c t i o n , p e r t u r b i n g t h e t a k e - o v e r b y s t e a m : ( i )d i s c o v e r y o f g o l d i n C a l i f o r n i a ; a n d ( i i ) r e p e a l o f t h e B r i t i s hN a v i g a t i o n A c t s a n d t h e b r e a k i n g o f t h e C h i n a t r a d e m o n o p o l yl o n g e n j o y e d b y t h e B r i t i s h m e r c h a n t m a r i n e . T h e e x p a n s i o no f t r a d e t o t h e W e s t C o a s t , t h e O r i e n t , a n d A u s t r a l i a b y a d -v e n t u r o u s A m e r i c a n s k i p p e r s c r e a t e d a n e n o r m o u s d e m a n d f o rt h e s p e e d y c l i p p e r s a s i n d i c a t e d i n T a b l e 1 ." A m o n g t h e m o s t f a m o u s b u i l d e r s o f C l i p p e r s h i p s w a sD o n a l d M c K a y o f B o s t o n w h o l a u n c h e d t h e S o v e r e i g n o f t h eS e a o f 2 4 2 1 t o n s r e g i s t e r e d i n 1 8 5 2 . . . . t h i s C l i p p e r a c h i e v e da s p e e d o f 4 1 1 m i l e s i n o n e d a y . B u t i t w a s [ h i s ] L i g h t e n i n g( 1 8 5 4 ) . . . t h a t e s t a b l i s h e d t h e b e s t r e c o r d f o r a s i n g l e d a y s r u n ,4 3 6 m i l e s , a r e c o r d n o t s u r p a s s e d b y a s t e a m s h i p f o r m a n y y e a r s. . . . C o n s t r u c t i o n o f t h e e x t r e m e C l i p p e r c a p a b l e o f m a k i n gu p t o 1 8 k n o t s g e n e r a l l y s t o p p e d a f t e r 1 8 5 4 b e c a u s e o f a f i -n a n c i a l s l u m p " ( 1 8 ) . D u r i n g t h e t i g h t m o n e y e p i s o d e o f t h eP a n i c o f 1 8 5 7 , a l l t y p e s o f c o n s t r u c t i o n w e r e c u r t a i l e d .S t e a m b o a t c o n s t r u c t i o n w a s f a v o r e d o v e r s a i l f o r t h e i n -c r e a s e d l o c a l t r a n s p o r t r e q u i r e d b y t h e C i v i l W a r . " I n o r d e r t ok e e p u p w i t h t h e t i m e s [ e v e n ] D o n a l d M c K a y , d u r i n g t h e C i v i lW a r , c h a n g e d h i s y a r d o v e r s o t h a t h e c o u l d b u i l d i r o n s h i p s ,m a r i n e e n g i n e s , e t c . " ( 1 9 ) . T h e c o n s i d e r a b l y i m p r o v e ds t e a m b o a t m o d e l s d o m i n a t e d n a v a l c o n s t r u c t i o n i n t h e p o s t w a rr e c o n s t r u c t i o n p e r i o d 1 8 6 5 - 1 8 7 3 o n l y t o b e a b a t e d b y t h e P a n i co f 1 8 7 3 w h o s e e f f e c t s p e r s i s t e d f o r s e v e r a l y e a r s . W i t h t h e r e -t u r n t o n o r m a l c y , t h e s t e a m b o a t r e p l a c e m e n t c u r v e f o l l o w e di t s c a n o n i c a l c o u r s e u n t i l 1 9 1 5 w h e n t h e s h i p p i n g r e q u i r e m e n t so f W o r l d War I s t i m u l a t e d a n a c c e l e r a t e d n a v a l c o n s t r u c t i o np r o g r a m . B y t h a t t i m e , n o o n e c o n s i d e r e d n e w s a i l i n g v e s s e l sa s s u i t a b l e f o r c o m m e r c i a l s h i p p i n g .N o w , l e t u s e s t i m a t e t h e m a g n i t u d e o f a n i n s t a n t a n e o u s i m -p u l s i v e f o r c e t h a t w o u l d , i n t h e l o n g r u n , h a v e t h e d e t e r r e n te f f e c t o b s e r v e d f r o m t h e c o m b i n a t i o n o f t w o p a n i c s ( 1 8 5 7 a n d1 8 7 3 ) , t h e C i v i l W a r , a n d M r . M c K a y ' s b o l d a t t e m p t t o d e m -o n s t r a t e t h e s u p e r i o r i t y o f s a i l t o s t e a m . T h e d e t e r r e n c e t i m eo f t h e s e c o m b i n e d i n f l u e n c e s , m e a s u r e d a t x = 1 / 2 i s t - t =- 1 1 . 2 5 y e a r s . T h e v a l u e o f k a p p r o p r i a t e f o r t h e r a t e c o n s t a n ti n a V e r h u l s t e q u a t i o n t o r e p r o d u c e o b s e r v e d x / ( 1 - x ) v a l u e si n 1 8 3 0 a n d 1 8 5 0 i s k = 0 . 0 5 2 / y e a r . T h e x ( t ) t o b e i d e n t i f i e di n F i g . 5 w i t h 1 8 5 0 ( t h e y e a r o f t h e a p p l i c a t i o n o f t h e d e t e r r i n gf o r c e ) i s 0 . 1 4 5 . H e n c e , f r o m E q . 2 7 b ,

a = ( 0 . 0 5 2 ) ( - 1 1 . 2 5 ) [ 1 - 0 . 1 4 5 ] = - 0 . 5 0A n u m b e r o f a v a l u e s f o r o t h e r p r o c e s s e s w i l l b e p r e s e n t e de l s e w h e r e .

NATURE O F C O NT IN UI NG P ROGR AMA f u r t h e r e l a b o r a t i o n o f t h e a b o v e i d e a s i s p o s s i b l e t h r o u g ht h e f o l l o w i n g d a t a a n a l y s i s p r o g r a m . T h e v a l u e s o f t h e r a t ec o n s t a n t s , k , a p p r o p r i a t e t o n u m e r o u s i n d u s t r i a l ( 1 2 - 1 5 ) , s c i -e n t i f i c ( 2 0 ) , a n d s o c i a l ( 1 6 - 1 8 ) e v o l u t i o n a r y p r o c e s s e s a s w e l la s t h o s e o f p o p u l a t i o n g r o w t h ( 3 , 2 1 ) c a n b e a s s e m b l e d . a v a l u e sc a n b e d e r i v e d f r o m t h o s e e v o l u t i o n a r y c u r v e s t h a t i n d i c a t e t h ee x i s t e n c e o f i n t e r m i t t e n t f o r c e s . I t i s h o p e d t h a t , a s t h e c o l l e c t i o n

o f k a n d a v a l u e s g r o w s , o n e w i l l d e v e l o p s o m e i n t u i t i o n o n t h ee v o l u t i o n a r y r a t e c o n s t a n t s a s s o c i a t e d w i t h v a r i o u s c l a s s e s o fp r o c e s s e s a n d t h e i n f l u e n c e o f v a r i o u s t y p e s o f a c c e l e r a t i n g a n dd e t e r r i n g f o r c e s . I n c a s e s e x h i b i t i n g a s i g n i f i c a n t r a n d o mc o m p o n e n t t o a f o r c e l a w ( c f . E q . 1 0 ) t h e s t a t i s t i c a l p a r a m e t e r sc a n b e e s t i m a t e d .T h i s s t u d y w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e G e n e r a l E l e c t r i c F o u n -d a t i o n a n d G e n e r a l E l e c t r i c C o r p o r a t e R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t .

1 . M o n t r o l l , E . W. ( 1 9 7 8 ) N o n l i n e a r E q u a t i o n s i n A b s t r a c t S p a c e s ,e d . L a k s h m i k a n t h a m , V . ( A c a d e m i c , New Y o r k ) , p p . 1 6 1 - 2 1 6 .2 . M a l t h u s , T . R . ( 1 7 9 8 ) An E s s a y o n t h e P r i n c i p l e o f P o p u l a t i o na s I t A f f e c t s t h e F u t u r e I m p r o v e m e n t o f S o c i e t y .3 . M o n t r o l l , E . W . & B a d g e r , W. W . ( 1 9 7 4 ) I n t r o d u c t i o n t oQ u a n t i t a t i v e A s p e c t s o f S o c i a l P h e n o m e n a ( G o r d o n a n d B r e a c h ,New Y o r k ) .4 . L a p p , R . E . ( 1 9 7 3 ) T h e L o g a r i t h m i c C e n t u r y ( P r e n t i c e - H a l l ,E n g l e w o o d C l i f f s , N J ) .5 . V e r h u l s t , P . F . ( 1 8 4 4 ) Mem. A c a d . R . B r u x e l l e s , 2 8 , 1 .6 . G o m p e r t z , R . ( 1 8 2 5 ) P h i l o s . T r a n s . R . S o c . L o n d o n , 1 1 5 , 5 1 3 -5 8 5 .7 . L o t k a , A . J . ( 1 9 5 6 ) E l e m e n t s o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y ( D o v e rR e p r i n t s , New Y o r k ) .8 . V o l t e r r a , V . ( 1 9 3 1 ) L e c o n s s u r l a T h e o r i e m a t h e m a t i q u e d e l al u t t e p o u r l a v i e ( G a u t h i e r - V i l l a r s , P a r i s ) .9 . G o e l , N . , M a i t r a , S . & M o n t r o l l , E . W. ( 1 9 7 1 ) R e v . M o d . P h y s .4 3 , 2 3 1 - 2 7 6 .1 0 . L e i g h , E . G . ( 1 9 6 9 ) S o m e M a t h e m a t i c a l P r o b l e m s i n B i o l o g y( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I ) , V o l . 1 .1 1 . M o n t r o l l , E . W . & W e s t , B . J . ( 1 9 7 9 ) S t u d i e s i n S t a t i s t i c a l M e -c h a n i c s ( N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m , N e t h e r l a n d s ) , i n p r e s s .

1 2 . F i s h e r , J . C . & P r y , R . H . ( 1 9 7 1 ) T e c h . F o r e c a s t . S o c . C h a n g e 3 ,7 5 - 8 8 .1 3 . B l a c k m a n , A . W . , J r . ( 1 9 7 4 ) T e c h . F o r e c a s t . S o c . C h a n g e 6 ,4 1 - 6 3 .1 4 . M a r c h e t t i , C . ( 1 9 7 5 ) S e c o n d S t a t u s R e p o r t o n t h e I H A S A P r o j e c to n E n e r g y S y s t e m s , e d . H a f e l e , W. ( I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o rA p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L u x e n b u r g , A u s t r i a ) , p p . 2 0 3 - 2 1 7 .1 5 . S t e m , M . O . , A y r e s , R . W . & S h a p a n k a , A . ( 1 9 7 5 ) T e c h . F o r e c a s t .S o c . C h a n g e , 7 , 5 7 - 7 9 .1 6 . H e r m a n , R . & M o n t r o l l , E . W . ( 1 9 7 2 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA6 9 , 3 0 1 9 - 3 0 2 3 .1 7 . U . S . C e n s u s B u r e a u ( 1 9 7 6 ) H i s t o r i c a l S t a t i s t i c s o f t h e U n i t e dS t a t e s , C o l o n i a l T i m e s t o 1 9 7 0 ( U . S . G o v e r n m e n t P r i n t i n g O f -f i c e , W a s h i n g t o n , D C ) .1 8 . I m l a y , M . H . i n E n c y c l o p e d i a ' B r i t a n n i c a ( 1 9 6 7 E d i t i o n ) , ( W m .B e n t o n , C h i c a g o ) , V o l . 5 , p . 9 3 0 .

1 9 . M c K a y , R . C . ( 1 9 2 8 ) S o m e Famous S a i l i n g S h i p s a n d T h e i rB u i l d e r , D o n a l d McKay ( P u t n a m , New Y o r k ) .2 0 . D e S o l a P r i c e , D . J . ( 1 9 6 7 ) L i t t l e S c i e n c e , B i g S c i e n c e ( C o l u m b i aU n i v . P r e s s , New Y o r k ) .2 1 . P e a r l , R . ( 1 9 2 4 ) S t u d i e s i n Human B i o l o g y ( W i l l i a m s a n dW i l k i n s , B a l t i m o r e , M D ) .

A p p l i e d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s : M o n t r o l l

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