Paola guzman

Transformada de Transformada de FourierFourier

f(t) F(w)

LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Los 4 tipos de transformaciones Los 4 tipos de transformaciones de Fourier :de Fourier :

La propiedad de convolucion en La propiedad de convolucion en los cuatro casos :los cuatro casos :

Teorema de Parseval en los Teorema de Parseval en los cuatro casos :cuatro casos :

Concepto de OrtogonalidadConcepto de OrtogonalidadOrtogonalidad de las funciones seno y cosenoOrtogonalidad de las funciones seno y cosenoSerie Serie trigonométrica detrigonométrica de Fourier FourierCálculo de los coeficientes de la Serie de FourierCálculo de los coeficientes de la Serie de FourierSimetrías en señales periódicasSimetrías en señales periódicasForma Exponencial Compleja de la Serie de Forma Exponencial Compleja de la Serie de

FourierFourierEspectros de frecuencia discretaEspectros de frecuencia discretaPotencia y Teorema de ParsevalPotencia y Teorema de ParsevalDe la serie a la Transformada de FourierDe la serie a la Transformada de Fourier

OrtogonalidadOrtogonalidad

0g(t)f(t)b

dta

Se dice que dos funciones f(t) y g(t) son Se dice que dos funciones f(t) y g(t) son ortogonalesortogonales en el intervalo a<t<b si se cumple que:en el intervalo a<t<b si se cumple que:

0gfaeEquivalent

Ejemplo: las funciones t y tEjemplo: las funciones t y t22 son ortogonales en el son ortogonales en el intervalo –1< t <1 :intervalo –1< t <1 :

04tdttdttt

1

141

1

31

1

2

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –ortogonales en el intervalo –< t << t < : :

02

tsensentcostdt2

Norma de una funciónNorma de una función

dtNormaab

f(t)f(t)}f(t){

Se define la norma de la función f(t) en el intervalo a<t<ba<t<b como:

Ortogonalidad de un conjunto de Ortogonalidad de un conjunto de funcionesfunciones

Se dice que las funciones fSe dice que las funciones fkk(t) son (t) son ortogonalesortogonales en el intervalo a<t<b si dos en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera ffunciones cualesquiera fmm(t), f(t), fnn(t) de dicho (t) de dicho conjunto cumplenconjunto cumplen

nmpararnmpara0

dt(t)(t)ffn

b

anm

Conjunto ortonormal de funcionesConjunto ortonormal de funciones

nmparanmpara

dta 1

0(t)(t)ff

b

nm

Se dice que las funciones fSe dice que las funciones fkk(t) son (t) son ortonormalesortonormales en el intervalo a<t<b si dos en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera ffunciones cualesquiera fmm(t), f(t), fnn(t) de dicho (t) de dicho conjunto cumplenconjunto cumplen

Ortogonalidad de senos y cosenosOrtogonalidad de senos y cosenos

El conjunto infinito de funciones seno y coseno El conjunto infinito de funciones seno y coseno forman un conjunto ortogonal de funciones en el forman un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo -intervalo -TT//22<t< <t< TT//22..

1,cos1,cos00t, cos2t, cos200t,cos3t,cos300t,...,t,...,sensen00t,sen2t,sen200t,sen3t,sen300t,...t,...

00==22//TT


0m

)(msen2m

T/2)(msen2m

t)(msent)dtcos(m00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0


2.- f(t)=1 Vs. sen(m2.- f(t)=1 Vs. sen(m00t):t):

3.- cos(m3.- cos(m00t) Vs. cos(nt) Vs. cos(n00t):t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

mt)(mcost)dtsen(m

000

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00


4.- sen(m4.- sen(m00t) Vs. sen(nt) Vs. sen(n00t):t):

5.- sen(m5.- sen(m00t) Vs. cos(nt) Vs. cos(n00t):t):

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00

Las integrales se pueden obtener con las Las integrales se pueden obtener con las identidades trigonométricas:identidades trigonométricas:

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

sensen22= ½ (1-cos2= ½ (1-cos2) ) coscos22= ½ (1+cos2= ½ (1+cos2))

Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de Fourier

Sea f(t) una función periódica con período T :Sea f(t) una función periódica con período T :

Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ af(t) = ½ a0 0 + a+ a11cos(cos(00t)+at)+a22cos(2cos(200t)+...t)+...

+ b+ b11sen(sen(00t)+bt)+b22sen(2sen(200t)+...t)+...

00=2=2/T./T.

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

Cálculo de los coeficientes de la Cálculo de los coeficientes de la SerieSerie


0n0n021

Multiplicando ambos miembros por cos(nMultiplicando ambos miembros por cos(n00t) e integrando t) e integrando de –T/2 a T/2 :de –T/2 a T/2 :

multiplicando por sen(nmultiplicando por sen(n00t) e integrando de –T/2 a T/2 :t) e integrando de –T/2 a T/2 :

integrando de –T/2 a T/2:integrando de –T/2 a T/2:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

El intervalo de integración no necesita ser simétrico El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no solo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier solo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completointervalo que cubra un periodo completo

de tde t00 a t a t00+T, con t+T, con t00 arbitrario arbitrario

las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.intervalo que cumpla este requisito.

EjemploEjemplo: Encontrar la Serie de Fourier para : Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:la siguiente función de periodo T:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para10tpara1

)t(f

CoeficientesCoeficientes aann::

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tn(sen

n1)tn(sen

n1

0npara0

CoeficienteCoeficiente aa00::

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0

Coeficientes bCoeficientes bnn::

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tncos(

n1)tncos(

n1

)1)n(cos())ncos(1(n1

0npara))1(1n2 n

Finalmente la Serie de Fourier queda comoFinalmente la Serie de Fourier queda como

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 051

031

0

00==, T=2, T=2

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armónico

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armónicos

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Serie Trigonométrica de FourierSerie Trigonométrica de FourierForma compactaForma compacta

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2n

2nn baC

n

n1n a

btan

Una función periódica f(t) se puede escribir como la suma Una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de de componentes sinusoidalescomponentes sinusoidales de diferentes frecuencias de diferentes frecuencias nn=n=n00..

A la componente sinusoidal de frecuencia nA la componente sinusoidal de frecuencia n00: : CCnncos(ncos(n00t+t+nn) se le llama la ) se le llama la enésima armónicaenésima armónica de f(t). de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la A la primera armónica (n=1) se le llama la componente componente fundamentalfundamental y su periodo es el mismo que el de f(t) y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia A la frecuencia 00=2=2ff00=2=2/T se le llama /T se le llama frecuencia frecuencia angular fundamentalangular fundamental..

Componentes y armónicasComponentes y armónicas

A la componente de frecuencia cero CA la componente de frecuencia cero C00, se le llama , se le llama componente de corriente directacomponente de corriente directa (cd) y corresponde al (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes CLos coeficientes Cnn y los ángulos y los ángulos nn son respectiva-mente son respectiva-mente las las amplitudesamplitudes y los y los ángulos de faseángulos de fase de las armónicas. de las armónicas.

EjercicioEjercicio: Encontrar la serie de Fourier para : Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2media onda de periodo 2..

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice Una función (periódica o no) se dice función parfunción par (o con simetría par) si su (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par sies decir, la función f(t) es par si

f(t) = f(-t)f(t) = f(-t)

f(t)

t


En forma similar, una función f(t) se dice En forma similar, una función f(t) se dice función imparfunción impar o con simetría impar, si su o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente:decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)-f(t) = f(-t)

f(t)

t


EjemploEjemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? impares? f(t) = t+1/tf(t) = t+1/tg(t) = 1/(tg(t) = 1/(t22+1)+1)

Solución:Solución:f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.

g(-t)=1/((-t)g(-t)=1/((-t)22+1) = 1/(t+1) = 1/(t22+1)=g(t), por lo tanto g(t) es +1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.función par.


EjemploEjemplo: ¿La función h(t)=f(1+t: ¿La función h(t)=f(1+t22) es par o ) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.impar?, donde f es una función arbitraria.Solución:Solución:Sea g(t)= 1+tSea g(t)= 1+t22, Entonces h(t)=f(g(t)), Entonces h(t)=f(g(t))Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Pero g(-t)=1+(-t)Pero g(-t)=1+(-t)22 = 1+t = 1+t22=g(t),=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).es función par, sin importar como sea f(t).


EjemploEjemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, : De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:todas las siguientes funciones son pares:h(t) = sen (1+th(t) = sen (1+t22))h(t) = exp(1+th(t) = exp(1+t22)+5/ (1+t)+5/ (1+t22))h(t) = cos (1+th(t) = cos (1+t22)+1)+1h(t) = (1+th(t) = (1+t22)-(1+t)-(1+t22)1/2)1/2etc...etc...Ya que todas tienen la forma f(1+tYa que todas tienen la forma f(1+t22))


Como la función sen(nComo la función sen(n00t) es una función impar t) es una función impar para todo npara todo n0 y la función cos(n0 y la función cos(n00t) es una t) es una función par para todo n, se tiene que:función par para todo n, se tiene que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto btérminos seno, por lo tanto bnn= 0 para todo n= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto a términos coseno, por lo tanto ann= 0 para todo n= 0 para todo n


Por Por ejemploejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un , la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:contiene términos coseno:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


031

0

Simetría de Media OndaSimetría de Media Onda

Una función periodica de periodo T se dice Una función periodica de periodo T se dice simétrica de simétrica de media ondamedia onda, si cumple la propiedad, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:de las positivas pero desplazadas medio periodo:

)t(f)Tt(f 21

f(t)

t

Simetrías y Coeficientes de FourierSimetrías y Coeficientes de Fourier

SimetríaSimetría CoeficientesCoeficientesFunciones Funciones en la serieen la serie

NingunaNingunaSenos y Senos y cosenoscosenos

ParPar bbnn=0=0únicamente únicamente

cosenoscosenos

ImparImpar aann=0=0únicamente únicamente

senossenos

media media ondaonda

Senos y Senos y cosenos cosenos imparesimpares

2/

00

4 )cos()(T

Tn dttntfa

2/

00

4 )()(T

Tn dttnsentfb

imparndttntf

parna T

Tn

2/

00

4 )cos()(

0

imparndttnsentf

parnb T

Tn

2/

00

4 )()(

0

2/

2/0

2 )cos()(T

TTn dttntfa

2/

2/0

2 )()(T

TTn dttnsentfb

Simetrías y Coeficientes de FourierSimetrías y Coeficientes de Fourier

Por Por ejemploejemplo, la señal cuadrada, ya , la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Es una función impar, por ello su serie de Fourier sólo contiene términos seno de Fourier sólo contiene términos seno de frecuencia impar:frecuencia impar:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


031

0

Forma Exponencial Compleja de la Forma Exponencial Compleja de la Serie de FourierSerie de Fourier

Sea f(t) una función periodica con periodo T=2Sea f(t) una función periodica con periodo T=2//00..

A partir de la forma trigonométrica de la Serie de Fourier:A partir de la forma trigonométrica de la Serie de Fourier:

Por identidades de Euler:Por identidades de Euler:


0n0n021

)ee()tn(sen

)ee()tncos(tjntjn

j21

0

tjntjn21

0

00

00

])ee(b)ee(a[a)t(f1n

tjntjnj2

1n

tjntjn21

n021 0000

]e)jba(e)jba([a)t(f1n

tjnnn2

1tjnnn2

102

1 00

)(),(, 21

21

021

0 nnnnnn jbaFjbaFaF

)()(1

000

n

tjnn

tjnn eFeFFtf

11

000)(

n

tjnn

n

tjnn eFeFFtf

n

tjnneFtf 0)(

A la expresión obtenida se le llama A la expresión obtenida se le llama

Forma exponencial compleja de la Forma exponencial compleja de la serie de Fourierserie de Fourier

n

tjnneFtf 0)(

Paola guzman

Engineering

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