J.A. van Maanen, De koeiennon. Hoe rekenen en wiskunde te leren, en van wie ISBN 978-90-70786-03-8

(oratie in het vakgebied “Didactiek van het wiskundeonderwijs”, Universiteit Utrecht, 21 maart 2007, 16:15 uur)

DDee kkooeeiieennnnoonn

Hoe rekenen en wiskunde te leren,en van wie?

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

DDee kkooeeiieennnnoonnHoe rekenen en wiskunde te leren,

en van wie?

Rede

uitgesproken bij de aanvaarding

van het ambt van gewoon hoogleraar

in de Didactiek van het Wiskundeonderwijs

aan de Faculteit Bètawetenschappen

van de Universiteit Utrecht

door

JJoohhaannnneess AArrnnoolldduuss vvaann MMaaaanneenn

op woensdag 21 maart 2007

Universiteit Utrecht

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

ISBN 978-90-70786-03-8

UUiittggaavveeFreudenthal Instituut voor Didactiek van Wiskunde enNatuurwetenschappen (FIsme), Utrecht© 2007 J.A. van Maanen

VVoorrmmggeevviinngg eenn pprroodduuccttiieeKoos Vierkant, Groningen

DDrruukk Wilco, Amersfoort

OOmmssllaagg eenn ddee iilllluussttrraattiiee oopp ddee aacchhtteerrzziijjddeeOntleend aan een rekenhandschrift door Willem Claesz. van Assendelft, ca. 1620; afgebeeld op 70% van de ware grootte. Op de achterzijde staan twee berekeningen met behulp vande regel van drieën. Een hoeveelheid van een bepaalde stof isgewogen en kost een bepaald bedrag (het gewicht “8 ponden5 engelsen” kost “9 pond 8 grooten”). Gevraagd wordt hoe-veel een ander gewicht van die stof kost (“hoe veel cost 378pond 5 onc”). De onderverdeling staat genoteerd: 1 pondgewicht bevat 16 ons, en elk ons 20 engelsen; 1 pond geldbevat 20 schellingen en elke schelling heeft 12 grooten.Verder valt de notatie van de deling op. Dit is geen staart-deling, ook geen kolomsgewijze deling, maar de sinds demiddeleeuwen veel gebruikte galei-methode, zo genoemdomdat de berekening na afloop de vorm van een schip heeft.Zie Marjolein Kool, die conste vanden getale, Hilversum:Verloren, 1999 voor gedetailleerde achtergrondinformatie.

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

Mijnheer de Rector,waarde collega’s, lieve familie en vrienden,

Onderwijs in rekenen en wiskunde1 staat en valt metde docent. Een kleine enquête in mijn omgeving hier-over levert op2:

Bij ‘didactiek van het wiskundeonderwijs’ moest ik direct denken aan de roomskatholieke non van wie ik op de middelbare school wiskunde kreeg. Zij gaf die wiskunde altijd op een manier dat ieder-een (dom of slim) het begreep en dat gaf haar de bijnaam de koeiennon, omdat zij volgens alle ouders en leerlingen, in staat wasom een koe wiskunde te leren. We hebben het nooit in een weilanduitgeprobeerd, maar iedereen in onze klas haalde minimaal een vol-doende op het eindexamen.

Na deze herinnering nu de indruk van een leerling uitvwo-43:

We hebben bijvoorbeeld 6 hoofdstukken in een jaar, en dan kan het goed dat je voor het eerste hoofdstuk gemiddeld een 8 staat, endan het volgende een 5/6. Bij talen bijvoorbeeld; daar ben je goed inof niet en verschillen de cijfers minder dan van bijvoorbeeld wis-kunde.Verder is het zo, (...) dat (...) of je wiskunde snapt, ook erg van je leraar af hangt. Alle leraren geven op een andere manier les, enbij wiskunde is het wel belangrijk "hoe".Want ik heb 4 docenten wiskunde gehad en bij sommige snap ikiets gewoon sneller dan bij de andere, maar dat verschilt ook weerper persoon. Het ligt er gewoon aan hoe jij op iets kijkt en als datvan de leraar ongeveer hetzelfde is snap je een som/vraag sneller.

De inzet van de leraar is belangrijk, maar het is devraag of wiskundeleraren er met inzet komen. Rafaëlzegt van niet, het hangt ook van de persoon af.

5

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 5

Ik herken daar veel van uit mijn eigen tijd als leraar.4

Soms deed een hele klas het goed, maar de parallelklasniet, terwijl ik me daar misschien wel meer voor inzet-te. En soms ‘klikte’ het niet met een groep als geheel. Ikdenk hier even aan het uiterst ongemakkelijke jaar ineen vierde klas, waarvan ik ook klassenleraar was. Geenland mee te bezeilen, inzet of niet. En ik heb ookFrancisca nog helder voor ogen. Ik zal vast een keer ietsverkeerd gedaan hebben, of een keer iets niet gedaanhebben, toen ze het nodig had. Hoe het ook zij, haarouders wilden dat ze na de vijfde een andere wiskun-dedocent zou krijgen. Ook de opvattingen van de leraar, over opvoeden enover het vak, spelen mee. Ik laat een ouder van eenbasisschoolleerling aan het woord5:

Als een groep-drie-leerkracht aan de ouders van de leerlingen mee-deelt “... dat we behalve aan lezen en schrijven helaas ook tijd moeten besteden aan rekenen” is er nog veel werk aan de reken-winkel.

In deze groep drie wordt ongetwijfeld gerekend, maarde kinderen zullen de voorkeur van de leerkracht welmerken. Je moet als kind van zes sterk in je schoenenstaan, als je eerder klaar bent dan de andere kinderenen je zou nog wat moeilijker rekensommen willen heb-ben.Dit begin staat model voor hoe ik vandaag het leren vanrekenen en wiskunde zal benaderen. Ik zal me veelalbaseren op eigen waarnemingen en inzichten, en hierniet systematisch ingaan op de stand van de wiskunde-didactiek als wetenschap.

6

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 6

HHooee rreekkeenneenn eenn wwiisskkuunnddee ttee lleerreenn??

Over deze vraag is de laatste tijd veel te doen, over lerenis veel te doen, en over de resultaten van het reken– enwiskundeonderwijs niet minder. Als een onderwerp inde cartoons van Fokke en Sukke aan de orde komt, danheeft het òf zelf al iets lachwekkends òf het is ‘een gevalvan niet in orde’. De opschudding vanaf voorjaar 2006over de rekenvaardigheid van instromende pabo-stu-denten volgden Fokke en Sukke in de NRC als volgt:

Deze cartoon6, van 10 oktober 2006, werd twee dagenlater nog eens dunnetjes overgedaan. Op 11 oktoberhad het Nederlandse voetbalelftal met 2–1 gewonnenvan Albanië (dat valt onder de dingen die op zichzelf aliets lachwekkends hebben) en dat leidde een dag latertot de volgende cartoon.

7

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 7

Het probleem waarop Fokke en Sukke reageerden, wasniet nieuw, en anders dan de ophef doet denken washet al lang bekend. Het merendeel van de pabo-studen-ten heeft een havo-opleiding met profiel Cultuur enMaatschappij (C&M) achter de rug, of de mbo-opleidingtot onderwijsassistent. Studenten met havo-C&M heb-ben een wiskundevak gedaan7 waarin getallen een rolspelen, maar veel rekenwerk komt daar niet bij kijken.Bovendien wordt het via een schoolexamen afgesloten,en op veel scholen stopt het al voor het examenjaar. Zogaat het sinds de invoering van de profielen, en die tra-den in werking op 1 augustus 1998, hoewel de scholener ook voor konden kiezen om de profielen in 1999 inte voeren.8 In deze structuur zit vooraf ingebakken dat

8

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 8

de rekenkennis van havo-leerlingen die naar de pabogaan, niet veel verder kan reiken dan het niveau vaneen leerling uit groep 8 van de basisschool. De instro-mers vanuit het mbo, ze vormen 30% tot 40% van detotale instrooom, blijken bij binnenkomst op de pabozelfs het niveau van groep 8 niet te halen. Ook dat hoeftniet te verbazen. De meeste van hen hebben eerst vmbogedaan, en hadden aan het eind van de basisschoolgeen havo-vwo advies. Het waren toen al geen sterkerekenaars. Op het vmbo zijn ze gestopt met leren reke-nen toen ze 14 waren. De pabo’s hebben al jaren programma’s om de reken-vaardigheid van hun studenten tijdens de opleidingnaar een hoger niveau te brengen. De situatie is zekerzorgelijk, maar de plotselinge verontwaardiging in2006 over het rekenniveau van de studenten die aan depabo beginnen, zegt niet zozeer iets over de pabo alswel over havo en mbo; en natuurlijk zegt het iets overover de klagers. De wet is uit 1998, de opschudding ont-stond in de eerste dagen van 2006 door een studie naarde rekenvaardigheid van pabo-studenten van tweemedewerkers van het Cito9 en werd verder gevoed doorKamervragen en in mei 2006 door een rapport van hetKohnstamm Instituut over de instroom op de pabo’s.10

Ruim voor de invoering van de profielen speelden er aldiscussies over de toelatingseisen van de pabo. In 1988werd ingevoerd dat pabo-instromers havo-wiskunde Ain hun examenpakket moesten hebben, maar in 1990werd die maatregel alweer ingetrokken, waarschijnlijkomdat de pabo’s anders niet genoeg studenten zoudentrekken. Het fenomeen dat door druk van de vervolg-opleidingen de instroomeisen verlaagd werden, zullenwe nog terugzien.

9

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 9

MMeeeerr eenn bbeetteerr lleerreennKinderen leren rekenen en wiskunde. Hoe gaat dat inzijn werk? Voor de basisschool in Nederland doet hetinformatieve en zeer gedetailleerde rapport over de in2004 gehouden Periodieke Peiling van het Onderwijs-niveau (kortweg PPON)11 de volgende observaties:

° De invoering van de Euro op 1 januari 2002 maaktedat 80% van de basisscholen in 2004, toen de peilinggehouden werd, een nieuwe reken-wiskunde metho-de had aangeschaft. Driekwart van de scholen gebruikte één van de drie grote methoden (40% Pluspunt, 20% Wereld in getallen en 15% Rekenrijk).Daarnaast gebruiken twee van de drie leerkrachten materiaal voor remedial teaching.

° Rekenen-wiskunde doen de basisscholen gemiddeld5 uur per week; een half uur extra op scholen die inde bovenbouw veel allochtone leerlingen hebben. Voor zwakke leerlingen trekt ongeveer de helft van de leerkrachten per week gemiddeld een half uur extra uit.

° De werkvormen zijn sinds 1992 meer gedifferenti-eerd geworden. Voor groep 8 gaf in 1992 de helft vande leraren aan dat ze alle leerlingen dezelfde instructie gaven, terwijl ze bij het oefenen differen-tieerden naar niveau en tempo. In 2004 werkte 64% van de docenten op deze wijze. Het deel van de lera-ren dat in groep 8 zowel bij instructie als bij oefenendifferentieerde, nam van 1992 tot 2004 toe van 15% tot 25%. Voor de groepen 6 en 7 is hetzelfde beeld zichtbaar.

° Een kwart van de scholen had in 2004 een rekencoör-dinator, en 55% had de beschikking over een remedialteacher; dit komt overeen met de situatie in 1997.

10

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 0

° De zakrekenmachine wordt in de groepen 7 en 8 in bijna alle basisscholen gebruikt. In groep 6 is het gebruik van de rekenmachine sinds 1997 toegeno-men, van 15% naar 40% van de leraren. De overwe-gende reden om de rekenmachine niet te gebruiken,is dat hij niet in de rekenmethode voorkomt.

° De meeste leraren onderwijzen het rekenen eerst kolomsgewijs. Een optelling als 247+368 wordt daar-bij eerst gesplitst in het optellen van de honderdtal-len (200+300=500), de tientallen (40+60=100) en de eenheden (7+8=15), die daarna weer samengenomenworden (500+100+15=615). Uit oefensessies met Hannah, die in groep 8 zit, weet ik dat de koloms-gewijze methode goed is voor het begrip, maar meer tijd kost dan het klassieke cijferalgoritme. Voor optellen en aftrekken stappen de meeste lera-ren in groep 6 over naar het klassieke cijferen, voor vermenigvuldigen in groep 7, maar voor delen handhaaft ongeveer 60% het kolomsgewijze algorit-me; zo ook in de groep van Hannah. 40% van de leraren stapt voor het eind van de basisschool nog net over op de klassieke staartdeling.

° De aandacht voor hoofdrekenen en voor het kiezen van slimme rekenstrategieën was in 1997 toegeno-men vergeleken met 1992, en de toename heeft zichin 2004 voortgezet. De toegenomen aandacht voor hoofdrekenen en rekenstrategieën heeft een keerzij-de, als het gaat om het uitvoeren van meer ingewik-kelde bewerkingen. Het lijkt wel, zegt het rapport, alsof veel leerlingen zo gespitst zijn op het vinden van een slimme manier om een probleem ‘uit het hoofd’ op te lossen dat ze het niet op papier uitvoe-ren, en de opgaven dus niet goed maken.

11

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

Over het voortgezet onderwijs zal ik beknopter zijn.Wie de krant leest, weet dat de beelden van de situatieuiteenlopen; vaak gaat dat gepaard met de moraal diede schrijver eraan wil verbinden. Er zijn over wiskundeop havo en vwo sinds de invoering van de profielen enhet studiehuis veel zorgwekkende observaties. Bij dia-gnostische toetsen aan de poort van de universiteitenkunnen de verse eerstejaars veel vragen niet meer goedbeantwoorden, terwijl de eerstejaars van tien jaar gele-den die stof wel in hun bagage hadden, althans in hunbagage hoorden te hebben, want ook toen waren nietalle eerstejaars even goed toegerust. Het aantal con-tacturen op havo en vwo is afgenomen, de resultatenvan de examens worden kunstmatig op een zelfde peilgehouden, want de kennis neemt af. Let wel, dit zijn degeluiden die je hoort en leest. Zaken die eindexamen-kandidaten vroeger uit het hoofd kenden, zoeken ze nuop een formulekaart op, en voor de meest eenvoudigeberekeningen gebruiken ze de rekenmachine; zeggende geluiden. De Onderwijsraad, die eind 2006 onder-zoek deed naar het kennisniveau in het voorgezetonderwijs12, komt tot vergelijkbare conclusies, zowelvoor de beheersing van de Nederlandse taal als voorrekenen en wiskunde. Ik bewaar mijn reactie op dezegeluiden en zorgen nog even, want de grote aandachtvoor havo en vwo zou bijna doen vergeten dat de meesteleerlingen naar het beroepsonderwijs gaan (de lijnvmbo—mbo—hbo). De voorlopige aantallen voor hetschooljaar 2005/200613 zijn:

leerlingenaantal 2005/2006 (voorlopig; bron: CBS)

havo 3/4/5 137.440 vwo 3/4/5/6 149.760

vmbo 3/4 226.790 mbo 481.650

12

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

Ook als je met de helft van het aantal mbo-leerlingenrekent om vergelijkbare leeftijdsgroepen te hebben,spreken de aantallen voor zich.De invoering van de beroepscompetenties als sturingvoor de programma’s heeft in het beroepsonderwijseen veel fundamentelere omslag bewerkstelligd dan debasisvorming en profielen in havo en vwo hebbengedaan. De wiskunde, vroeger in de meeste sectorenvan het beroepsonderwijs een zelfstandig vak, komt opde meeste scholen alleen terug als het van belang isvoor de beroepspraktijk. Dit leidt tot ernstige proble-men bij de aansluiting tussen mbo en hbo. Heeft eenleerling die mbo-techniek achter de rug heeft, kennisvan exponenten en logaritmen? Het zou kunnen, maarzekerheid heeft de hbo-opleiding waar deze leerlingzich meldt, niet. Eerder zagen we al de problemen metde rekenvaardigheid bij de aansluiting tussen mbo enpabo. Een aantal instellingen14 werkt op dit momentonder aanvoering van de mbo-raad aan een raamwerk,dat richting moet geven aan de programma’s van dembo-opleidingen. Ook moet het bij toelating van mbonaar hbo houvast bieden aan de hbo-opleidingen; hetproces heeft veel weg van mosterd maken terwijl demaaltijd al gevorderd is. De vraag is of de huidige pro-blemen ‘kinderziekten’ zijn, die vanzelf of door lichteinterventies overgaan, zoals dat bijvoorbeeld met hetprobleemgestuurde onderwijs aan de MedischeFaculteit in Maastricht gebeurd is, of dat een totaalandere koers nodig is. Ik ben voorstander van een aan-tal stevige interventies.

13

Meer frequente interactie tussen leerling en vak-deskundige leraar doet de leerling beter en meer op niveau leren dan de afgelopen jaren vaak het geval was.

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

Moet er wat gebeuren? Zeker, er moeten diverse dingengebeuren:1. Het contact tussen leerling en leraar moet voor de

leerling veel meer opleveren.2. De leraar moet meer tijd ter beschikking hebben,

zowel voor de leerling als voor zichzelf.Wat het eerste punt betreft: op havo en vwo heerst in dewiskundeles sterk de cultuur van het zelf werken doorleerlingen. Dat is niet zo zeer het effect van hetStudiehuis, het is sinds jaar en dag de meest gehan-teerde werkvorm. Dat zou niet bezwaarlijk zijn, als deleerlingen in de zelfwerktijd het onderste uit de kanzouden halen, maar dat gebeurt te weinig. Leerlingenkrijgen te laat weerwerk op hun uitwerkingen, als er aleen reactie op komt van de leraar. De wiskunde wordtdan een voortkabbelende stroom van niet geïntegreer-de ditjes en datjes. Veel leerlingen doen erg hun best,maar de samenhang kunnen ze zelf niet aanbrengen.Daar hebben ze de leraar bij nodig, en als die niet voorgerichte en geregelde feedback zorgt, dan dobberen ze.Of ze verdrinken. Dat geldt natuurlijk niet voor de 10%bovenlaag voor wie het niet uitmaakt van wie ze hetvak leren. Die kunnen en doen het goed, ook zonder ofondanks de leraar. Dat gerichte en geregelde feedbackde leeropbrengst significant verhoogt, wordt dooronderzoek bevestigd.15 Voor het beroepsonderwijs ligtde situatie anders, zeker voor het mbo, maar frequenteinteractie tussen leerling en vakdeskundige leraar isook daar geboden. Leerlingen zijn niet direct bekwaamom met hun vragen zelf deskundigheid op te zoeken.Zo is het in voorbije eeuwen nooit gegaan: de leerlingen de gezel werkten jaren in frequente interactie meteen meester. Die interactie hield in dat de meester lei-ding gaf. De overstap van aanbodgestuurd onderwijs

14

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

naar vraaggestuurd onderwijs is prima, maar zonderleiding komen de goede vragen niet eens los. De positievan de wiskunde in het beroepsonderwijs zal in dekomende jaren een belangrijk thema van ontwikkel-werk en onderzoek zijn voor het Freudenthal Instituut.

Frequente interactie veronderstelt dat de leraar daar-voor tijd en faciliteiten heeft. Hier zit op dit momenteen serieus knelpunt. Het aantal uren dat een leraar inhet voortgezet onderwijs moet maken in een volledigebetrekking, liep terug van 29 lesuren van 50 minutenper week in 1964 (en 30 als de schoolleiding wat pressieuitoefende), tot 25 lesuren nu. Daar staat tegenover datveel scholen van de leraar nu een langere aanwezigheidop school eisen dan dit lang het geval was.

Er staat ook tegenover dat het aantal van 25 aanzienlijkhoger is dan in de landen om ons heen. De onderwijs-statistieken van de OECD (in het Nederlands: de

15

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 5

Organisatie voor Economische Samenwerking enOntwikkeling, OESO), in te zien via de tabellen van destudie Education at a glance 200616, zijn informatief. Destudie maakt onderscheid tussen basisonderwijs,onderbouw voortgezet onderwijs en bovenbouw voort-gezet onderwijs. In Nederland had de leraar in 2004zowel in de onderbouw als in de bovenbouw 750 contact-uren per jaar, verdeeld over 37 weken. Uren zijn hier klok-uren. Het gemiddelde aantal uren voor de landen van deOESO was 704 uur in de onderbouw en 663 in de boven-bouw, ook verdeeld over 37 weken. Voor de op datmoment 19 landen van de Europese Unie lagen degemiddelden op 667 uur (onderbouw) en 641 uur (boven-bouw). Ter vergelijking zijn hier onze buurlanden:

Vlaanderen 718 en 673 uur in 37 weken, Wallonië 724en 664 uur in 37 weken, Denemarken 640 en 560 in 42weken, Duitsland 751 en 705 in 40 weken, Frankrijk 639en 614 in 35 weken. Engeland doet het anders. Daar zijn

16

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 6

docenten op alle niveaus gedurende 38 weken 1265 uurvoor school beschikbaar.De conclusie is dat de Nederlandse docent in het voort-gezet onderwijs meer uren geeft dan gemiddeld in deOESO, meer uren dan gemiddeld in de Europese Unie,en meer uren dan in onze buurlanden (op één uitzon-dering na: de Duitse onderbouwdocent). In enkelebuurlanden wordt wel meer weken les gegeven. Je zoudenken: de Nederlandse docent heeft veel uren, dusheeft tijd voor zijn leerlingen. Maar die vlieger gaat nietop, want die vele uren zijn ook nog eens over veel klas-sen verdeeld, en dus over zeer veel leerlingen.De cijfers voor het basisonderwijs vertonen een verge-lijkbaar beeld, waarbij het grote aantal lesuren inNederland (930 uur in 40 lesweken) opvalt. Daarnaastspelen in het basisonderwijs nog de recente wijzigin-gen in de Wet op het primair onderwijs en de Wetmedezeggenschap onderwijs. Beide wetten dateren uit1992 en in november 2006 werd er bij wetswijzigingaan toegevoegd dat scholen met ingang van 1 januari2007 een inspanningsverplichting en per 1 augustus2007 een resultaatsverplichting hebben om “de aan-sluiting tussen onderwijs en kinderopvang gemakkelij-ker te maken als ouders dit wensen.”17 Het betekent dathet bevoegd gezag van de school moet zorgen dat ertussen half acht ’s ochtends en half zeven ’s avonds het-zij les gegeven wordt, hetzij kinderopvang beschikbaaris. Die opvang is op kosten van de ouders, dat wel. Maarde school moet zorgen dat het geregeld is.

Regelgeving heeft grote invloed, op alles en iedereen inhet onderwijs. Neem de regeling van de doorstroom-rechten. Doorstroomrechten zeggen voor elke oplei-ding in het hoger onderwijs welke combinatie van exa-

17

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 7

menvakken een leerling in havo of vwo gedaan moethebben om tot de betreffende opleiding te kunnen wor-den toegelaten. Toen het leven nog overzichtelijk was,in de tijd van de Mammoetwet, was die regeling neer-gelegd in de zogenaamde ‘kruisjeslijst’. In 1998, bij deinvoering van de profielen, werden de doorstroomrech-ten opnieuw vastgesteld. Onder druk van het hogeronderwijs was voor het meest bèta-gerichte profiel,Natuur en Techniek, het wiskundevak Wiskunde B1,2ontwikkeld (spreek uit: wiskunde-B-een-twee). Hetbestond en bestaat nog steeds uit twee onderdelen: B1en B2. B1 is ook verplicht voor leerlingen die het profielNatuur en Gezondheid volgen. Toekomstige studentengeneeskunde doen in elk geval Wiskunde B1. WiskundeB2 is alleen verplicht voor leerlingen in het profielNatuur en Techniek. Dankzij de lobby van het hogeronderwijs en zeker de Technische Universiteiten roer-den zich hierin, werd Wiskunde B2 stevig opgetuigd,met aandacht voor redeneren en bewijzen, voortgezet-te vlakke meetkunde en voortgezette analyse. In degroep die het vak ontwikkelde zat bijvoorbeeld de oud-rector van de TU in Twente, De Smit. Tijdens hetNederlands Mathematisch Congres van 1995 gaf DeSmit opening van zaken over de “verzoeken vanuit hetWetenschappelijk Onderwijs ten aanzien van het vakwiskunde.”18

Die luidden: “° meer inzicht, minder trucs;

° nadruk op wiskundige denkwijze (modelleren, abstraheren);

° nadruk op basisinzichten die rijpingstijd nodig hebben;

° de algemeen vormende en selecterende rol van de wiskunde;

18

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 8

° specifieke voorkennis voor bepaalde studierichtingen;

° beter beeld geven van wiskundestudie en beroep van wiskundige;

° afnemende interesse voor de wiskundestudie versus grote vraag naar wiskundigen;

° mathematisering van de maatschappij;

° komst van de computer.”

In de nieuwe kruisjeslijst stond Natuur en Techniek alshet verplichte profiel voor toelating tot de studies aande Technische Universiteiten. Maar toen eind 1999bekend werd dat slechts 20% van de examenkandidatenhet profiel Natuur en Techniek koos19, en de instroombij de technische studies daardoor onder druk stond,besloten de TU’s dat voor toelating tot de technischestudies het profiel Natuur en Gezondheid met het deel-vak Wiskunde B1 voldoende zou zijn. Het ministerievan OC&W deelde dit op 12 juli 2000 mee: “Samen metde TU’s is besloten de universiteiten de mogelijkheid tegeven studenten in hun propedeusejaar alsnog eenkans te geven aan de toelatingseis te voldoen.” Daarmeekozen de TU’s voor toekomstige studenten die de doorhenzelf gewenste extra kennis over redeneren en bewij-zen en over meetkunde niet hadden. Uit welke hoekkomen nu de klachten dat de eerstejaars niet meer kun-nen rekenen en redeneren?20

Deze actie van de TU’s viel veel wiskundedocentenrauw op hun dak. Ze hadden zich ingezet om inhoud envorm te geven aan het nieuwe onderdeel Wiskunde B2,en hup, daar verdwenen de leerlingen. Het Vakdossier2000 Wiskunde21 van de SLO laat zien dat de innerlijketegenspraak tussen de vraag om hoge eisen enerzijds ende verlaging van de toelatingsnorm anderzijds in hetvoortgezet onderwijs niet begrepen werd. Docenten

19

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 9

kregen door deze actie het gevoel dat hun werk er nietveel toe deed, als Wiskunde B1,2, het paradepaardje vanhet wiskundeonderwijs, door het meest voor de handliggende vervolgonderwijs niet eens meer nodig werdgeacht. De regelgeving was in dit geval opportunistischen niet opbouwend.

20

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 0

ZZiinnvvooll ooeeffeenneennStel nu eens dat wiskundelessen productiever zoudenverlopen. Dan zouden de leerlingen meer kunnen oefe-nen. “Meer oefenen” houdt in: oefenen in meer onder-werpen, maar ook per onderwerp meer opgaven doenen moeilijker opgaven doen.Het repertoire dat leerlingen daarmee zouden opbou-wen, is precies waar de vervolgopleidingen in het hogeronderwijs om roepen. Docenten aan deze instellingenklagen over —wat ze noemen— de ‘hiaten’ in de kennisvan de eerstejaars. Dat dwingt hen namelijk om huneigen onderwijs aan te passen. Als ik naar de wiskunde-curricula kijk, begrijp ik datwel. Je kunt in een college aan eerstejaars in 2007 nietzonder meer gebruiken dat cos2φ =2cos2φ -1, en je kunter zeker niet van uit gaan dat studenten dit bij een ten-tamen paraat hebben, want in het vwo worden deze‘dubbele-hoek formules’ wel onderwezen, maar de leer-lingen hoeven ze bij het examen niet meer uit hethoofd te kennen, en ze oefenen er dus minder mee.Vermindering van parate kennis is waarneembaar, ener is duidelijk een aansluitingsprobleem. Hoe lost het hoger onderwijs dat op? Kijkt men daar bij-voorbeeld naar de mogelijkheden van de eerstejaars,naar wat die nu wèl kennen en kunnen, in vergelijkingmet de parate-kennis-generatie? Maakt men gebruikvan datgene wat voor de parate kennis in de plaatsgekomen is? Nee, zo gaat het niet. De eerstejaars dientzich aan het aanbod van het hoger onderwijs aan tepassen. De ontbrekende kennis wordt bijgespijkerd endaarna kunnen de colleges zo blijven als ze waren.Maar de didactiek aanpassen aan de wezenlijk anderepopulatie, dat is een andere en veel grotere stap.

21

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

Didactiek aanpassen gebeurt te weinig; ik vind dit eengemiste kans. Het hoger onderwijs zou namelijk goedgebruik kunnen maken van het gegeven dat studentengeleerd hebben om zelf dingen uit te zoeken en kenniste verwerven. In praktische opdrachten en profielwerk-stukken hebben de havo- en vwo-leerlingen veel kennisen vaardigheden opgedaan die de parate-kennis-genera-tie niet had. Ik baseer deze uitspraak op een groot aan-tal contacten met leerlingen uit de bovenbouw vanhavo en vwo, en haal graag één geval naar voren. Op degedenkwaardige woensdag 8 december 2005 kwamentwee vwo-5 leerlingen uit Zwolle me uithoren over eengeavanceerd wiskundig onderwerp, dat weliswaar goedaansloot bij de schoolwiskunde, maar het vwo-niveauver oversteeg. Het enthousiasme spatte eraf, en het wasduidelijk dat hier minstens één toekomstige bèta inactie was. Zijn maat zal een goede secretaris worden,want zo zat hun tandem in elkaar: de bèta, Kais, steldede vragen en Jasper noteerde de antwoorden. Welke eer-stejaars uit de parate-kennis-generatie had al eens overhet probleem van elementaire integreerbaarheid nage-dacht, en kon daarover de stelling van Liouville citeren?Jasper en Kais kenden hele series primitieven en ze kon-den die kennis toepassen ook. Wat was hun motivatieom ze bij elkaar te zoeken en te leren? Ze melden inhun profielwerkstuk dat ze dit deden om goed voorbe-reid aan hun speurwerk te beginnen; ik citeer:

“Als we een literatuurstudie gaan doen, of naar een universiteit, dan moeten we de primitieven van functies wel goed in ons hoofd hebben zitten.”

En ze hadden het in orde. Kais kende de dubbele-hoekformules door en door, want hij had ze nodig voor zijnonderzoek naar integreerbaarheid.

22

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

Als ik dit voorbeeld wat breder trek, dan vind ik het eenzeer geslaagde manier van oefenen en van kennisopbouwen. De beruchte dubbele-hoek formules,typisch formules in rijtjes met een hoge doorelkaar-haalcoëfficiënt, komen hier vanzelfsprekend naarvoren. Ze worden onthouden in samenhang met hetdoel waarvoor je ze gebruikt, want ze zetten het kwa-draat van de functies sinus en cosinus om in functiesdie direct te integreren zijn: sin2x of cos2x.Kale rijtjes leren, zoals sommige recente boeken propa-geren, lijkt mooi, maar het legt een geweldig beslag ophet geheugen als je die kennis nergens aan kunt vast-maken. Het leidt tot verwarring. Natuurlijk moet jemet een zekere hoeveelheid basiskennis beginnen, ende tafels van 2 en 3 uit je hoofd kennen, en misschiennog een paar, dat is voor een leerling goed te doen en jehebt er ook nog wat aan. Maar oefenen met nieuwe pro-blemen in samenhang met eerdere kennis, of met eenonderzoeksvraag zoals in het geval van Kais en Jasper,daar schiet de leerling veel meer mee op. En als de leer-ling dan nog op tijd weerwerk krijgt, en zijn koers kanaanpassen of —als hij op de goede weg is— vervolgen,dan geven we goed wiskundeonderwijs. Nederlandheeft goed onderwijs nodig, beter hoeft niet.

“En de actie ‘Lieve Maria’ dan?” , zult u denken. Die wastoch afkomstig van studenten die vonden dat ze opschool te weinig hadden geleerd? Ja en nee. “Ja” heb ik

23

ZZiinnvvooll ooeeffeenneenn iiss vvoooorr ddee lleeeerrlliinngg vvaann ggrroooott bbeellaanngg,, mmaaaarr hheett lleerreenn vvaann ggeeïïssoolleeeerrddee rriijjttjjeess eenn ffoorrmmuulleess bbaaaarrtt oonnbbeeggrriipp..

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

al toegelicht: leerlingen kunnen meer en beter lerendan de afgelopen jaren het geval was. Maar de actie‘Lieve Maria’ heeft ook een andere kant, die ik u nietwil onthouden. Tijdens het 42ste Nederlands Mathematisch Congres,maart 2006 in Delft, hadden de Leidse wiskundestu-denten Frank van Rest en Gonny Hauwert een half uurom voor een zaal wiskundigen hun actie toe te lichten.Hun verhaal kwam erop neer dat ze veel over hetmaken van de website en het omgaan met de mediahadden geleerd. Diverse vraagstellers probeerden teachterhalen bij welke studieonderdelen de studentennu vwo-kennis te kort gekomen waren, maar daar had-den deze woordvoerders van ‘Lieve Maria’ geen ant-woord op. ‘Geef eens een voorbeeld uit het college ana-lyse’ hielp een van de toehoorders ze nog op weg. Maarnee, niet over analyse of algebra spraken de ‘LieveMaria’ studenten, ook al werden ze er nog zo dringendaan herinnerd, maar over media. Media was het sleu-telwoord; en Maria natuurlijk.

24

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

PPrriioorriitteeiitteenn vvoooorr ddee lleerraarreennoopplleeiiddiinnggBij herhaling heb ik het over de ‘vakdeskundige’ leraar. Laat ik eerst duidelijk maken wat mij beweegt om ditpunt van de vakdeskundigheid zo nadrukkelijk naarvoren te halen. Ik baseer me hier op een serie ervarin-gen met leerlingen uit basisonderwijs en voortgezetonderwijs. De ervaringen variëren van uitwisselingenper email tot korte series bijlessen. Leeftijden en school-typen lopen uiteen van basisschool groep 8 via deonderbouw van havo/vwo naar examenklassen vwo, ende activiteiten van standaard opgaven tot praktischeopdrachten en profielwerkstukken. Ik zeg erbij datdeze ‘steekproef’ niet representatief is voor de jaar-groepen waarin deze leerlingen zaten. Ik heb mijn‘proefpersonen’ niet willekeurig gekozen, maar ze heb-ben zich zelf gemeld omdat ze een probleem hadden.Niettemin vermoed ik dat ze model staan voor grotegroepen kinderen die ook een probleem hebben, maarer misschien niet zo goed weg mee wisten. Voordat ik twee specifieke casussen bespreek, wil ik derode draad noemen die uit deze waarnemingen naarvoren komt, en dat is dat bijna al deze leerlingen aanhun lot overgelaten werden, dat hun leraar ongericht temoeilijke opdrachten gaf, of de vakkennis miste om uitde stof van het leerboek de relevante kennis naar vorente halen. Ik zei het zojuist ook al: leerlingen gaan dob-beren of ze verdrinken. Natuurlijk moeten ze niet allesvoorgekauwd krijgen, maar weggestuurd worden engeen aanspraak meer kunnen maken op advies of weer-werk gaat te ver. Eerst wat bijspijkerwerk met een meisje uit 5 vwo datgeen vat kreeg op een praktische opdracht. Ze kon erniet achter komen wat de leraar bedoelde, en hij wilde

25

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 5

of kon haar dat ook niet vertellen. Mijn bijdrage wasbeperkt maar wel cruciaal: stilstaan bij de vraagstel-ling, en met tekeningen en tekst wat op papier probe-ren te krijgen; zaken waarvan ik vond dat ze daarmeebij haar eigen leraar had moeten zijn. Dat had ze welgeprobeerd, maar vergeefs. Het liep goed af, getuigehaar verslag per email22:

Ik had gister de constructie aan mijn vriendin en mijn leraar uitgelegd. Mijn leraar vond het geweldig, hij vroeg me om nogeen extra kopietje te maken, dus had ik dat gedaan. Toen ik hethem vandaag met ons verslag gaf, was hij helemaal in zijn nop-jes. Alsof dat kopietje zijn lieveling was. Bovendien zei hij ook dat hij altijd leerlingen een puntje extra geeft als die hem ietskunnen leren, en dat had hij; dus dat was ook mooi meegeno-men.Dus nogmaals heel erg bedankt. Morgen hebben we de presen-tatie. Maar helaas maar in 7 minuten, dus we gaan geen inge-wikkelde constructies uitleggen. Had ik wel leuk gevonden maar ja...

Hier gaat het goed. De leerling wint met externe hulpaan zelfvertrouwen. De leraar die “een puntje extrageeft” als leerlingen hem iets kunnen leren, het lijktmooi. Maar hoeveel leerlingen blijven in zo’n situatieterneergeslagen achter? Leraren hoeven natuurlijk nietalles te weten, maar deze leerling was aanvankelijk hetbos in gestuurd en werd, als je er goed over nadenkt, bijde beoordeling ook niet serieus genomen. Maakt u dan nu kennis met Olivier, uit 2 vwo, met wieik in maart 2006 twee keer twee uur werkte. Olivier hadmoeite met het hoofdstuk over gegevensverwerking enstatistiek. Hij haalde op school zelden onvoldoendes,maar wiskunde was de uitzondering op de regel. Ik

26

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 6

kende hem zijdelings, toen ik met zijn ouders afsprakdat ik hem zou helpen bij de voorbereiding van de toetsover het hoofdstuk. Hij leek me slim en opgewekt, enhelemaal niet het type om slechte cijfers voor wiskun-de te halen. Natuurlijk vereisen goede cijfers ook dat deleerling zich inzet en doorbijt. Oliviers werkhouding,daar had ik geen zicht op, voordat we aan de slag gingen.

De twee lessen, aan onze eettafel, waren onthullend.Hier zat een potentieel zeer goede bètaleerling, die wel-iswaar niet erg gemotiveerd begon, maar die wel in dekortste keren enthousiast te krijgen was. Maar de wis-kunde was wekenlang langs hem heen gegaan. Zoietslees je af uit een schrift. Er stond veel in dat schrift,maar bijna nooit was aan de aantekeningen te zienwaarover ze gingen. Meestal stonden er rijtjes vangenummerde getallen, kennelijk antwoorden van opga-ven. Een enkele keer stond er een berekening, die dante herkennen was aan het feit dat er een gelijkteken invoorkwam. Maar waar zijn berekeningen over gingen,en wat er mee bereikt werd, dat stond er niet. Ik vroeg Olivier aan het begin van de eerste zitting, nazijn schrift met hem doorgekeken te hebben, of hij eensom kon noemen uit de tweede helft van het hoofd-stuk, waar hij niet goed uitgekomen was. Dat kon hijdirect, want hij had zich al voorgenomen om over eenaantal sommen een vraag te stellen. De betreffendeopgave23, in het kader op pagina 28, lijkt op het eerstegezicht een platte rekensom. Olivier was vlot in staatom de berekeningen te maken. Hij deed het niet fout-loos, maar hij reageerde goed op vragen en verbeterdezichzelf snel. Wat vooral opviel was de vlakheid. Hijdeed onderdeel na onderdeel, maar er zat geen enkelreliëf in.

27

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 7

Waar wringt de schoen? Als je de opbouw van de opga-ve analyseert, is het duidelijk dat de auteur er op uit isom de leerling zelf een stelling te laten ontdekken,namelijk: als je een aantal getallen met één vast getalvermenigvuldigt (in deze opgave met 1,05), dan wordtook het (rekenkundig) gemiddelde van die getallen metdat vaste getal vermenigvuldigd. In termen van salaris:als alle lonen met 5% stijgen, dan stijgt het gemiddeldeloon ook met 5%.Het zelf herkennen en formuleren van die stelling is deintellectuele kick van deze som; daarin komt het reliëf

28

11aa Hiernaast zie je een overzicht van de maandlonen van de werknemers in een schoonmaakbedrijf.Laat met een berekening zien dat het gemiddelde loon € 2.200,- is.

bb Alle werknemers bij het schoonmaakbe-drijf krijgen een loonsverhoging van 5%.Laat zien dat het gemiddelde loon ook met 5% stijgt.

cc Hoeveel euro’s is het verschil in loons-verhoging tussen de meest- en de minst-verdienende?

dd Men stelt voor om het totale bedrag van de loonsverhoging zo te verdelen dat alle werknemers er met hetzelfde bedrag op vooruit gaan.Hoeveel loonsverhoging krijgt iedereen dan?

ee Hoeveel procent loonsverhoging krijgen bij dit voorstel de laagstbetaalden? En hoeveel procent krijgt de hoogstbetaal-de erbij.

aantalpersonen

10715521

loonin €

1.0001.2001.6002.2002.800

29.000

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 8

naar voren. En over het laatste onderdeel is ook eenmooie boom op te zetten, in het kader van de maat-schappelijke vorming van de leerlingen. Maar in de les,vertelde Olivier, ging het helemaal niet zo. De lerareslegde zelden iets uit. Je kon wel eens iets aan haar vra-gen, maar je moest zelf je sommen maken en de ant-woorden controleren. We zijn nog wat dieper op deze som ingegaan. Wat zouer gebeuren als iedereen er 100 Euro bij kreeg? Olivierhad de goede intuïtie: het gemiddelde gaat ook 100Euro omhoog. Vervolgens liet ik hem zien dat je dezeconclusie ook zonder al dat rekenwerk kunt inzien. Ikgaf hem het voorbeeld van drie getallen, waarvan we inhet midden lieten hoe groot ze waren. Om ze uit elkaar te houden nummerde ik ze x1, x2 en x3

en het gemiddelde noemden we G, hetgeen inhield dat

G =x1+ x2+ x3

: “de getallen eerst optellen en daarna de3

som door 3 delen”. Het leek Olivier wel logisch om dat zote doen. Nu komt er bij alle getallen een vast bedrag s bij.Wat wordt dan het nieuwe gemiddelde Gnieuw?

Olivier schreef op: Gnieuw =x1+s+x2+s+x3+s . Op dit punt

3aangekomen stokte de voortgang. De ervaring met alge-braïsch manipuleren is zeer beperkt. Maar met uitlegover het samennemen van de drie termen s, en watnadenken over het rekenen met breuken, zag Olivier goed in dat

Gnieuw =x1+s+x2+s+x3+s

=x1+x2+x3+3s

=x1+x2+x3 +3s

= G+s3 3 3 3

Ofwel: het nieuwe gemiddelde is het oude gemiddeldeplus s. De ontdekking was nu compleet. We hadden ietsbewezen dat altijd klopte, en dat ons veel rekenwerkbespaarde. Weliswaar hadden we het alleen voor drie

29

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 9

onbekende getallen gecontroleerd, maar dat het voortwee, of vier of meer getallen net zo ging, was Olivierdirect duidelijk. Deze twee gevallen zijn niet uitzonderlijk. De basis-schoolleerkracht die zegt “helaas” ook te moeten reke-nen met de kinderen van groep 3 is ook zo’n geval. Jezult als kind graag willen rekenen. Individuele contac-ten met andere leerlingen bevestigen dit beeld. Ze wil-len graag, maar ze krijgen te weinig sturing. Je zouhoopvol kunnen denken dat dit positief beleid van deleraar is: leer ze om het zelf uit te zoeken. Maar zowerkt het niet, want als leerlingen willen besprekenwat ze hebben uitgezocht, krijgen ze een cijfer en geenweerwerk. Dat komt doordat de leraar overladen is,maar het komt ook doordat sommige leraren vakkennismissen. Enerzijds is de afgelopen jaren het curriculumverbreed, bijvoorbeeld door de invoering van een keu-zeonderwerp en van praktische opdrachten in debovenbouw van havo en vwo. Je kunt als leraar nietalles weten. Anderzijds is in de programma’s van deopleidingen de aandacht voor het vak en de vakdidac-tiek afgenomen. Zeker de pabo’s en de tweedegraadsopleidingen in het hbo zijn door de invoering van deberoepscompetenties steeds minder aandacht aan vaken vakdidactiek gaan besteden. Een toekomstige leraarmoet bekwaam zijn op zeven gebieden, van “interper-soonlijk competent” tot “competent in reflectie en ont-wikkeling”. Eén van die zeven is “vakinhoudelijk en

30

DDee lleerraarreennoopplleeiiddiinngg ddiieenntt zziicchh vvoooorraall oopp ddee vvaakkddeesskkuunnddiigghheeiidd vvaann ddee ((ttooeekkoommssttiiggee)) lleerraaaarr ttee rriicchhtteenn..

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 30

didactisch competent”. Het is belangrijk, een leraarmoet met anderen kunnen omgaan, en met collega’s(want dat is weer een aparte competentie). Een leraarmoet kunnen organiseren, moet van pedagogiek weten.Maar hoe liggen de verhoudingen? Hoeveel tijdbesteedt een student aan een pabo aan rekenen en taal,en aan rekendidactiek en taaldidactiek? Soms nietmeer dan één van de acht semesters die de opleidingduurt. Laten we vakdeskundige leraren opleiden, zowelde studenten voordat ze de school ingaan als de zitten-de leraren.Eén van de kleine druppels op deze gloeiende plaat ishet landelijke expertisecentrum voor de lerarenoplei-ding rekenen/wiskunde (ELWIeR), dat het FreudenthalInstituut in samenwerking met verschillende leraren-opleidingen en lerarenopleiders vanaf 1 december 2006vormgeeft. Door het actualiseren van de didactiekboe-ken over rekenen en wiskunde, scholing en discussie,bundeling en ontsluiting van informatie en doen vanonderzoek ten dienste van de lerarenopleidingen wilhet expertisecentrum ervoor zorgen dat de lerarenop-leidingen voor vragen en verdere ontwikkeling een aan-spreekpunt hebben.

31

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

IICCTT eenn wwiisskkuunnddeeoonnddeerrwwiijjssDoordat ICT de school binnengekomen is, heeft deleraar andere mogelijkheden dan in het verleden. Zelfsvergeleken met vijf jaar terug zijn de mogelijkhedenenorm toegenomen. De technologische vooruitgangspeelt een rol in de organisatie van de lessen. Er zijntegenwoordig ‘Smartboards’, computerschermen tergrootte van een schoolbord. Zo’n scherm reageert opaanraking, je kunt er op schrijven en je kunt opslaanwat je geschreven hebt, en dat zo nodig afdrukken. Jekunt er, zeg maar met de muis van je hand, de compu-ter mee besturen, en dezelfde zaken die je op een PCkunt doen, kun je dus ook op zo’n schoolbord: proces-sen modelleren, simulaties grafisch weergeven, eenspel doen, bewegende beelden bekijken. “Het zijn maareen paar leraren die hiermee overweg kunnen.” Ikciteer hier een leerling. Een ontwikkeling die de eneleraar omarmd heeft en die aan de andere leraar voor-bij gegaan is, is de zogeheten Elektronische Leer-Omgeving of ELO. Je vindt ze in het onderwijs in zeerveel gedaanten en onder vele namen, waarvan sommi-ge suggereren dat ze alles bij het oude laten (ik denkaan het veel gebruikte BlackBoard). Andere systemenvertellen met hun naam wat duidelijker hun functie,zoals DWO, de Digitale Wiskunde Oefenomgeving, diehet Freudenthal Instituut ontwikkeld heeft en aanscholen aanbiedt. Een eerste onderzoeksronde, naarhet leren van algebraïsche vaardigheden, laat zien datleerlingen op deze wijze effectief leren, veel oefenen enin het bijzonder profijt hebben van de directe feedbackdie in de oefeningen ingebouwd is. Ook werkend aan‘gewone’ computers, en vaak doen ze dat ook thuis,kunnen leerlingen veel bereiken. Bij statistiek kunnen

32

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

ze met behulp van de computer processen simuleren engrote hoeveelheden reële data verwerken, terwijl ik mede sommen van vroeger nog wel herinner: de waarne-mingsgegevens bestonden uit de getallen 3, 4, 4, 6 en 7en de leerling werd gevraagd om gemiddelde, stan-daardafwijking, mediaan en modus te berekenen (van-wege de modus kwam het getal 4 twee keer voor). Het Freudenthal Instituut heeft in de afgelopen jarenop dit punt belangrijke programmatuur ontwikkeld, enaansluitend ontwikkelingsonderzoek gedaan. Ik laateen voorbeeld zien van een zogenaamde thinklet.Thinklet is een term uit het Engels met een opvallendeetymologie.

33

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 33

Engels voor ‘computerprogramma’ was application eneen programmaatje werd met een verkleinwoordapplet genoemd. Dat vond men erg algemeen, en pro-grammaatjes die je aan het denken zetten, zoals we diein het wiskundeonderwijs gebruiken, kregen door-variërend de naam thinklet. De thinklet die ik nu laatzien, werd bedacht en geprogrammeerd in het kadervan het project ‘Speciaal Rekenen’, dat het FreudenthalInstituut uitvoert in het kader van de integratie vanleerlingen met bijzondere behoeften in het regulierebasisonderwijs. Het betreft hier een computerprogramma waarmeeleerlingen zelf kunnen oefenen in klokkijken.

De klok loopt bij het starten van het programma gelijkmet de klok van de computer. Op het beeldscherm kande leerling de wijzers van de klok ‘beetpakken’ en ver-zetten. De cijfers op de digitale klok veranderen danmee. De klok kan spreken en de achtergrond corres-pondeert met het tijdstip op de dag, Om 11 uur ’s och-tends is er een zon te zien die nog niet op zijn hoogstepunt is, en als 11 uur digitaal als 23:00 te zien is, is deachtergrond donker, want dan is het nacht. Voor leer-lingen in het Speciaal Onderwijs is dat niet gemakke-lijk en het is wel belangrijk dat ze op deze wijze mettijd kunnen omgaan, en dat ze ook met tijdstippenleren rekenen. Hoe lang ben je met een bepaalde taakbezig geweest? Het kan later van groot belang voor zezijn om dat te kunnen berekenen.

34

OOnnddeerrwwiijjss kkaann mmeeeerr uuiitt IICCTT hhaalleenn,, eenn ddaaaarrmmeeee mmeeeerr uuiitt ddee lleeeerrlliinngg

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

Waarom zou je kinderen dit soort activiteiten met decomputer laten doen? Ik noem een aantal argumenten:

° thinklets zijn geduldig

° de leerling is voor 100% zelf aan het werk, anders gebeurt er namelijk niets. Als de leerling er geen zinin heeft en gaat zitten MSN-en of achter het schermin slaap valt, gebeurt er natuurlijk ook niets. Maar: wie wil, kan aan een stuk door zijn gang gaan.

° thinklets zijn consequent in hun aanbod. Elke leer-ling krijgt de stof op dezelfde manier aangeboden. Ook dat heeft een tegenhanger: thinklets weten nietdat een bepaalde leerling een aantal stappen zoukunnen overslaan, of misschien beter, ze zijn daar-voor nog niet subtiel genoeg.

° thinklets hebben toeters en bellen die de docent voor het bord niet heeft: beweging, variatie in kleuren vorm, de mogelijkheid van directe feedback, een onbegrensd aanbod (bijvoorbeeld van oefenma-teriaal).

° thinklets zijn via internet te bereiken; ze zijn van alle plaatsen (ook thuis!), van alle tijden (ook na heteten!) en van alle leeftijden (ook met opa en oma te bekijken), zolang je maar de beschikking hebt over een browser.

De beschikbaarheid van software betekent nog niet dathet onderwijs erdoor verbetert, en dat de leraar zich bij-voorbeeld kan bezighouden met de interactie met deleerlingen, of met het analyseren van de vorderingendie ze met het programma maken. Daarvoor moet aanstevige randvoorwaarden voldaan zijn:

° de school moet voldoende apparatuur en ruimte hebben.

35

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 35

° de leraar moet met de computer kunnen omgaan, endat vraagt aanzienlijke scholing, vooral voor de generatie die er niet mee opgegroeid is.

Neem mijzelf: ik zag de eerste rekenmachine als vakan-tiekracht bij mijn vader op het werk. Het was zo’nmachine op handkracht. Als je de zwengel heen enweer bewoog, telde hij op of trok hij af, en meer kon hijniet, hoewel u terecht zou kunnen opmerken dat ver-menigvuldigen herhaald optellen is, en dat een appa-raat dat kan optellen dus ook kan vermenigvuldigen. Zeker, u hebt gelijk, en ik nodig u van harte uit om dezeredenering eens toe te passen om √2 x √3 te berekenen.Het eerste elektronische wat ik zag, waren in het eerstejaar van mijn studie twee programmeerbare HP’s waar-op je resultaten van natuurkundeproeven kon verwer-ken, bijvoorbeeld om de beste rechte lijn door een pun-tenwolk te bepalen. Het fenomeen dat de leraar bij hetwerken met de computer links en rechts door zijn leer-lingen ingehaald werd, ken ik uit eigen ervaring. Hetbehoeft geen nader betoog dat er scholing nodig is omICT voor het reken– en wiskundeonderwijs te kunneninzetten.

Het hier geschetste gebied van ICT en reken– en wis-kundeonderwijs is een van de terreinen waarop hetFreudenthal Instituut actief is, in ontwikkelwerk, scho-ling en onderzoek. Een van de lopende onderzoeken ishet door de ProgrammaRaad OnderwijsOnderzoek vande Nederlandse Organisatie voor WetenschappelijkOnderzoek (NWO) gefinancierde onderzoek ‘Tool Use’;de volledige naam in het Nederlands luidt: “Hetgebruik van tools in een innovatief leerarrangementvoor wiskunde.”

36

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 36

Het gaat om het leren van wiskunde, door leerlingen inde tweede klas, die zich het begrip functie eigen gaanmaken. Dit begrip staat of valt bij dynamiek en bij deverschillende gedaanten waarin functies in de wiskun-de voorkomen. De onderzoekers willen weten hoe deverwerving van het begrip kan worden ondersteunddoor inzet van de computer, juist omdat dynamiekessentieel is en met pen en papier moeilijk te visualise-ren. Ook is het moeilijk om leerlingen allerlei verschil-lende gevallen te laten bestuderen en om ze te latengeneraliseren over die gevallen. Leerlingen gebruikende computer hier als onderzoeksmiddel, net zoals datin het hedendaagse wiskundig onderzoek veel gedaanwordt.

Interessant in dit project is verder dat een van de onder-zoekers een docent uit het Voortgezet Onderwijs is. Hijdoet dit in het programma Leraar in Onderzoek vanNWO, gebied Exacte Wetenschappen. Dit programmabiedt scholen voor voortgezet onderwijs de middelenom een docent te vervangen, die dan één dag per weekgedurende maximaal twee jaar bij een universiteitwetenschappelijk onderzoek kan doen. Het Freudenthal Instituut heeft op dit moment drievan deze leraar-onderzoekers, van wie er dus één mee-werkt aan Tool Use. Het gebied Exacte Wetenschappenheeft met dit programma al jaren een voortrekkersrol,die nu wordt nagevolgd door het in februari 2007gestarte Programma Onderzoek ‘Vernieuwing Bèta- vakken’ van het Platform Bèta Techniek. Daarin zullenin Nederland 20 docenten uit het voortgezet onderwijspromotie-onderzoek doen over onderwerpen die aan-sluiten bij vernieuwingen die in 2010 in de bovenbouwvan het voortgezet onderwijs zullen ingaan.

37

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 37

Op diverse aansluitende terreinen doet het FreudenthalInstituut onderzoek naar de mogelijkheden van ICT inhet wiskundeonderwijs. Ik noem het onderzoek vanPaul Drijvers over de vraag of de computer de functievan pen en papier kan overnemen met behoud van demogelijkheden op theoretische reflectie24, het werk vanArthur Bakker en Koeno Gravemeijer over het gebruikvan applets bij vroeg statistiekonderwijs en het werkvan Peter Boon in samenwerking met het Sint MichaelCollege in Zaandam om algebraonderwijs onder tebrengen in een Elektronische Leeromgeving, waarin deleerling een applet gebruikt voor zowel de opgaven alsvoor intelligente feedback. Veel andere zaken moet ikhier ongenoemd laten; ik sluit dit onderwerp af met deprioriteiten voor de komende jaren voor onderzoek opICT-gebied. Dat zijn: leren in een spelomgeving, oefe-nen met intelligente feedback, wiskundig leren onder-zoeken, en de toepassingen van nieuwe educatievehardware (zoals computerscherm op schoolbordfor-maat). Voor de liefhebber van jargon: games, thinklets,the student-researcher and educational tools.

38

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 38

WWaaaarr ssttaaaann wwee eenn hhooee ggaaaann wwee vveerrddeerr??

Ik vat de kern van mijn betoog samen. Ik pleit voor

° vakdeskundige leraren, in basisonderwijs en voort-gezet onderwijs

° frequente interactie tussen leerling en leraar

° zinvol oefenen

° een lerarenopleiding die zich vooral richt op de vak-deskundigheid van de leraar

° onderwijs dat meer uit ICT haalt.Ik zie het als mijn taak in de komende jaren om onder-wijs en onderzoek in gang te houden of nieuw op te zet-ten dat hierop gericht zal zijn. Ik prijs mij gelukkig te werken binnen en met eenenthousiast team, dat hart heeft voor het reken- en wis-kundeonderwijs, dat deskundig, creatief en resultaat-gericht is. Freudenthal Instituut, ik heb het afgelopenhalf jaar met zeer veel plezier kennisgemaakt met jul-lie en met jullie werk. Ik dank Jan de Lange voor hetinzicht en de energie waarmee hij het instituut de afge-lopen 20 jaar geleid heeft en het gemaakt heeft wat hetnu is. Jan, ik ben blij dat je nog wat dingen overgelatenhebt om te doen, en ik kijk daarnaar uit.Hetzelfde geldt voor de samenwerking met studentenen met vele anderen binnen en buiten de UniversiteitUtrecht, binnen de didactiek van de bètawetenschap-pen, binnen de wiskunde, binnen de onderwijsweten-schap. Dat nu ook de geschiedenis van de wiskundeweer naast de deur is, Jan Hogendijk en Henk Bos, ver-heugt mij zeer. Mocht ik u vergeten zijn, komt u mij daar dan graag inOvervecht op wijzen. Aan de slag voor inhoudrijk, stimulerend en dushumaan wiskundeonderwijs.

39

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 39

Voor de wiskundeleraren onder ons ligt hier een taak.Om, in navolging van de koeiennon, niet te rusten voor-dat ‘het’ overgekomen is, voordat er een glimlach ophet gezicht van de leerling of student verschenen is. Voor de didactici ligt hier een taak. Maar vandaag vooral: voor de nieuwe hoogleraar“didactiek van het wiskundeonderwijs” ligt hier eentaak.

Ik heb gezegd.

40

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 0

NNootteenn1 Ik zal dit hierna met “wiskundeonderwijs” aanduiden.2 Te beginnen met een opmerking van Berna Sillessen, 2 februari

20063 Rafaël van der Steen, 21 januari 20064 Van 1971tot 1972 en van 1977 tot 1992 aan het Christelijk

Gymnasium en, daartussen, van 1974 tot 1975 aan de Koningin Wilhelmina Mavo, beide te Utrecht.

5 Stelling 4 bij het proefschrift ‘Elke positieve actie begint met critiek’ van Sacha la Bastide–van Gemert (Groningen, 11 mei 2006)

6 Met dank aan Jean-Marc van Tol (voor het Fokke en Sukke team). 7 Wiskunde A18 Regeling examenprogramma’s profielen v.w.o./h.a.v.o. wiskunde,

gepubliceerd in Uitleg en in mei 1998 in een aparte brochure vande directie voorlichting van OC&W: ISBN 90 346 3577 5

9 G.J.J.M. Straetmans, T.J.H.M. Eggen, ‘Afrekenen op rekenen: over de rekenvaardigheid van pabo-studenten en de toetsing daarvan’,Tijdschrift voor Hoger Onderwijs 23 (november 2005), nr. 3, pp. 123-139

10 Joost Meijer e.a., Reken- en Taalvaardigheid van Instromers Lerarenopleiding Basisonderwijs. Voorstellen ter verbetering van de reken- en taalvaardigheid van instromende studenten Lerarenopleiding Basisonderwijs, gebaseerd op een kleinschalig verkennend onderzoek, Amsterdam: SCO Kohnstamm Instituut en Rotterdam: RISBO, Mei 2006

11 In 1986 door de minister van OC&W ingesteld, in 1987 voor het eerst en in 2004 voor de vierde keer gehouden in groep 8. J. Janssen, F.van der Schoot, B. Hemker, Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004, Arnhem: Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling 2005, PPON-reeks nummer 32.

12 Verkenning Versteviging van kennis in het onderwijs,uitgebracht aan de minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap. Uitgave van de Onderwijsraad, Den Haag, 2006.

13 Cijfers van het Centraal Bureau voor Statistiek, op 24/02/2007 geraadpleegd via www.cbs.nl.

41

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

14 Cinob, Cito, FI en SLO 15 Bijvoorbeeld R.Vollmeyer, F. Rheinberg, ‘A surprising effect of

feedback on learning’, Learning and Instruction 15 nr. 6 (2005), pp. 589-602 en P.-F. Siew, ‘Flexible on-line assessment and feedback for teaching linear algebra’, Int. Journal of Math. Education in Science and Technology, vol. 34, no. 1 (2003), pp. 43–51

16 www.oecd.org/edu/eag200617 Vastgelegd in artikel 45 van de Wet op het Primair Onderwijs

(WPO)18 Verslag door Marja Bos in Euclides 71 (1995/6), pp. 20–2119 Eerste peiling 1999-2000 door het Monitoringsproject van het

Tweede Fase Adviespunt, te raadplegen via www.tweede-fase-loket.nl/monitoring/index.php

20 L.F. Feiner deelt in een ingezonden brief (NRC, 9 februari 2007) mee dat eerstejaarsstudenten natuurkunde met een N&T achter-grond de wiskunde ook onvoldoende beheersen. Minder dan

15% van de eerstejaars zijn N&G’ers, zegt de schrijver, en die “komen er vervolgens snel achter dat ze de verkeerde studie gekozen hebben.”De briefschrijver beseft zelf niet hoe vreselijk deze mededeling is.In de eerste plaats ziet hij/zij over het hoofd dat de stap van de technische universiteiten belangrijk aan de uitholling van het profiel N&T heeft bijgedragen. N&T was veel vitaler geweest als N&T het vanzelfsprekende toelatingsniveau tot de technische studies had bepaald. In de tweede plaats maakt het blijkbaar nietuit als studenten, die door de TUs zelf met N&G binnengehaald zijn, de studie vervolgens toch niet aankunnen. Het CBS gaf 640als voorlopig aantal eerstejaars studenten wo-natuurkunde over het jaar 2005/2006 (voorlopig aantal per 2 maart 2007); bijna honderd jonge mensen kiezen dus elk jaar verkeerd.

21 P. van der Zwaart, W. Laaper, Vakdossiers 2000. Wiskunde,Enschede: SLO, februari 2001, p. 26, zie ook pp. 19, 61

22 email van Mirjam, 15 december 200423 E. van der Eijk e.a., Moderne Wiskunde editie 8 (Groningen:

Wolters-Noordhoff, 2004), deel 2a vwo, p. 10424 Kieran, C. & Drijvers, P. ‘The co-emergence of machine techni-

ques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: A study of CAS use in secondary school algebra’, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11 (2006) nr. 2, pp. 205-263.

42

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a

o at e op aa 08 03 007 : 3 ag a 3

DDee kkooeeiieennnnoonn

HHooee rreekkeenneenn eenn wwiisskkuunnddee ttee lleerreenn,,eenn vvaann wwiiee??

JJaann vvaann MMaaaanneenn

UUnniivveerrssiitteeiitt UUttrreecchhtt