Optimización del cálculo por Monte Carlo de la Dosis en ......3. Método Propuesto Para la...

Optimización del cálculo por Monte Carlo de la Dosis en

Radioterapia: Producción de Pares

J. Massa1, R. Wainschenker, J. Doorn

E-mail: [email protected]

Abstract. El cálculo de la dosis en radioterapia es de suma importancia para realizar la

planificación de un tratamiento. La optimización del cálculo de alta precisión es indispensable

para lograr tiempos compatibles con la práctica médica. Es posible optimizar este problema en

varios aspectos: en el modelo físico subyacente, en el método de cálculo o a través de métodos

globales. En este trabajo se presenta una mejora del método de cálculo, específicamente para la

interacción Producción de Pares. La estrategia utilizada se basa en un método de reemplazo

de la función de rechazo por un método que utiliza la inversa de la función de densidad de probabilidades acumuladas. Respecto de la calidad de los resultados, se conservó la calidad de

los modelos tomados como referencia. Los resultados obtenidos consisten en una optimización

en un factor 10 respecto del método de rechazo utilizado en las soluciones tomadas como

referencia.

1. Introducción El objetivo de este trabajo es contribuir a la reducción del tiempo de cálculo por Monte Carlo aplicado

al cálculo de la dosis en radioterapia. Si bien el método se ha desarrollado específicamente para

reducir el tiempo de cálculo de la interacción de fotones con la materia denominada producción de

pares, la estrategia puede utilizarse para el cálculo de otras magnitudes de forma directa aplicando el

método de Monte Carlo en general.

El cálculo de la dosis en radioterapia es de gran relevancia debido a que es una herramienta

esencial en la planificación de tratamientos de radioterapia y el interés por la optimización del cálculo

se origina debido a que actualmente los tiempos de cálculo mediante los métodos más precisos son

demasiado grandes para los condicionamientos de la práctica médica. Este problema de optimización

puede ser tratado desde varios aspectos según diferentes puntos de vista: es posible realizar

optimizaciones sobre el modelo físico principalmente con el fin de evitar el cálculo de ciertas

magnitudes consideradas no relevantes para la solución. Este tipo de optimizaciones debe considerarse

con cuidado ya que pueden acarrear una pérdida de precisión de los resultados si no se consideran con

cuidado las estrategias que permiten cambiar el modelo físico. Pueden realizarse otro tipo de

optimizaciones, sobre la estrategia o algoritmo de cálculo aplicado sobre el modelo físico, éste trabajo

pertenece a esta categoría. Estas optimizaciones intentan obtener un modelo probabilístico directo

entre los números al azar y las magnitudes que se desean calcular.

En este trabajo se obtuvo un método directo de cálculo para la energía del par electrón-positrón

(energía reducida) en la interacción producción de pares, como parte del cálculo general de dosis.

1 INTIA, Fac. Cs. Exactas, UNICEN, Campus, Tandil, Argentina

XVIII Congreso Argentino de Bioingeniería SABI 2011 - VII Jornadas de Ingeniería Clínica Mar del Plata, 28 al 30 de septiembre de 2011

El método de cálculo desarrollado toma como base el modelo probabilístico del problema. A través

de la integración de las funciones de densidad de probabilidades que relaciona la energía reducida con

la sección eficaz (probabilidad de interacción), se obtuvo una forma directa para realizar el cálculo.

Se aproximó la inversa de la función de densidad de probabilidades acumuladas mediante

polinomios algebraicos para diferentes energías y finalmente se encontró la relación de los

coeficientes de los polinomios. Con estas relaciones y la energía del fotón incidente se construyó un

nuevo polinomio de ajuste que permite, dado un número al azar, obtener directamente la energía

reducida.

La comparación en tiempo de cálculo de este nuevo método con el utilizado en los programas de

alta precisión tomados como referencia indica que se han logrado reducciones del orden de 9 veces,

manteniendo el error relativo en el cálculo de las magnitudes involucradas por debajo del 1% en el

peor de los casos. Esto es relevante, ya que se intenta que el error general en el cálculo de la dosis no

supere el 3%.

En la sección 2 se presenta una introducción al fenómeno de producción de pares, los modelos

teóricos adecuados para el cálculo de este efecto, junto con el algoritmo clásico de cálculo que utiliza

la función de rechazo. En la sección 3 se presenta el método propuesto de ajuste polinomial, mientras

que en la sección 4 se presentan los resultados hallados relativos a la precisión del cálculo y la

reducción temporal. Finalmente las conclusiones y el trabajo futuro se detallan en la sección 5.

2. Estado del Arte La interacción producción de pares puede verse como la transformación de un fotón en un par

electrón-positrón en el campo Coulombiano de un átomo. En la figura 1, se puede observar un

esquema simplificado de esta interacción.

Figura 1. Esquema de Producción de Pares

La creación de pares es el fenómeno más probable para energías de fotones superiores a las decenas

de MeV. Para crear el par, el fotón debe tener al menos una energía igual a 2moec2. En el caso de

simulaciones para tratamientos de radioterapia tiene sentido su cálculo a partir de los 4 o 5 MeV,

dependiendo también del elemento con el cual se produzca la interacción.

Desde el punto de vista físico, Dirac en 1928 plantea la existencia de este efecto. Los experimentos con cámaras de niebla que se realizaron posteriormente mostraron la aparición de un fenómeno

conocido como producción de triplas, que resultó ser el mismo fenómeno en el caso particular en que

el fotón interactúa con un electrón del átomo en lugar de con el campo del núcleo atómico [1].

2.1 Modelos teóricos para el cálculo de Producción de Pares

Respecto del cálculo del este efecto, Oppenheimer y Plesset establecieron las probabilidades teóricas

del proceso, confirmando la dependencia sobre el cuadrado del número atómico (Z). Posteriormente, Bethe y Heitler realizaron un desarrollo en el cual consideraron con más detalle las correcciones para

altas energías del fotón incidente. Este modelo derivado de la aproximación de Born [2] permite


calcular las secciones eficaces diferenciales DCS (derivada de la probabilidad de interacción respecto

de la energía reducida) para fotones incidentes de energía E. La Ec. (1) muestra la expresión para este

modelo que incluye además, una corrección similar a la Coulombiana para bajas energías, una

corrección radiativa para altas energías, corrección por formación de triplas y adecuación para el

cálculo por Monte Carlo con función de rechazo [3].

)]()()

2

1(2[

3

2][ 21

22 εφεφεηαε

σ+−+= re

ppCZZr

d

d

(1)

Donde EcmE e /)( 2+= −ε es la energía reducida, 2

er es el cuadrado del radio clásico del electrón,

α la constante de estructura fina, Z el número atómico del elemento, η representa la contribución por

creación de triplas, Cr es el factor de la corrección radiativa, )(1 εφ y )(2 εφ se definen de acuerdo a las

ecuaciones (2) y (3) con 1g , 2g y 0g definidos en las ecuaciones (4), (5) y (6) respectivamente.

)()()( 011 kgbg +=εφ (2)

)()()( 022 kgbg +=εφ

(3)

)]1ln(3)arctan(44[)arctan(6)1ln(23

7 21212

1 bbbbbbbg +−−−−+−= −− (4)

)]1ln(3)arctan(44[2

1)arctan(3)1ln(2

6

11 21212

2 bbbbbbbg +−−+−+−= −− (5)

),()(4)/ln(4 00 ZkFZfccRmg e +−= h (6)

Donde h/cRme es el radio de apantallamiento reducido,

)(Zfces la corrección de alta energía

Coulombiana de Davies, Bethe y Maximon y ),(0 ZkF

es otro factor de ajuste.

El modelo presentado estima con precisión la DCS para altas energías del fotón incidente, pero subestima los valores para bajas energías cerca del límite inferior. Posteriormente se introdujeron otras

mejoras en la expresión que determina la DCS para bajas energías, que permiten estimarlas con mayor

precisión. Estas fueron compiladas en tablas por Hubbel, Gimm y Oberbo utilizando las correcciones

empíricas Coulombianas en el rango de 5 a 50 MeV, así como los cálculos exactos de la aproximación

de Born de Onda Distorsionada para otros rangos [4].

Las mejoras de precisión en la estimación de las secciones eficaces posteriores a la presentada por Motz,Olsen y Koch [2] deben ser consideradas en contexto, ya que la disminución del error se produce

para energías en la zona entre 1,5 y 5 MeV, en la que el efecto de producción de pares es

aproximadamente 1000 veces menos probable que el efecto Compton. Estas correcciones proveen

entonces una reducción del error del orden de 5*10-4. Es por esta razón que en todo lo que sigue se

utiliza el formalismo presentado en las ec. (1) a ec. (6).

En la figura 2 se observa un gráfico de las secciones eficaces de las interacciones de fotones con la materia, donde en la parte derecha se pueden ver las zonas donde las interacciones Compton y

Producción de Pares son importantes.


Figura 2. Secciones eficaces de interacciones de fotones con la materia.

2.2 Cálculo de Producción de Pares por Monte Carlo

Respecto a los algoritmos de cálculo empleados, en los sistemas de alta precisión utilizados como

referencia PENELOPE [3], GEANT y EGS[5] comparten un modelo propuesto por Baró [6] basado en

la función de rechazo. En este, la expresión que determina la DCS es separada en dos partes, una de

ellas es monótona creciente y se encuentra normalizada por lo que es posible aplicar la función de

densidad de probabilidades acumulada. Sin embargo, parte de la ecuación se utiliza como función de

rechazo para validar los resultados obtenidos en la primera.

Específicamente, la ecuación (1) puede ser escrita de la forma que se muestra en la ecuación (7),

donde )(επ i son monótonas crecientes y normalizadas a 1 y

)(εiUson positivas y normalizadas, por

lo tanto son funciones de rechazo válidas.

)()()()()( 222111 επεεπεε UuUuPpp += (7)

Sobre este modelo se implementó un algoritmo de rechazo cuyos pasos se muestran a continuación:

(i) Sortear un valor entero i (=1,2) de acuerdo a:

21

1)1(uu

up

+= y

21

2)2(uu

up

+=

(ii) Muestrear un valor de ε utilizando )(επ i con las fórmulas de la ecuación (8) en el caso de

i igual a 1 o 2 respectivamente

=

=

−+

−−+=

2

1

)2)(1

2

1(

1

)12)(1

2

1(

2

1 3/1

i

i

kk

k

ξ

ξε (8)

(iii) Generar un nuevo número aleatorio ξ para el uso en la función de rechazo.

(iv) Si )(εξ iU> volver al paso (i)

(v) Retornar ε

Respecto de la eficiencia del cálculo por este método de función rechazo, es del orden del 70% en

energías bajas y crece hasta el 95% en altas energías. Las energías utilizadas para comprobar esta

eficiencia corresponden al rango bajo-medio de esta interacción, como las utilizadas en el cálculo de

dosis en tratamientos de radioterapia.


3. Método Propuesto Para la optimización del tiempo de cálculo del fenómeno Producción de Pares se ha utilizado una

estrategia que evita el uso de la función de rechazo, a través de la aplicación de un método directo para

acceder a la energía reducida a través de un número al azar, dada la energía del fotón incidente y

conociendo el Z del átomo con el cual se produce la interacción.

La idea general del método consiste en construir una aproximación a la función de densidad de

probabilidades acumulada que facilite su uso en un programa de cálculo. Esta aproximación se

construyó tolerando errores muy por debajo de los provistos por el modelo. En tal sentido se

encontraron seis polinomios algebraicos de ajuste de grado 4 que permiten conocer los coeficientes del

polinomio algebraico de grado 5 de aproximación a la función inversa.

3.1 Obtención de la función inversa

Como modelo de base se utilizó el expresado en la ecuación (1). Si bien se podría obtener la expresión

analítica de la integral de esta ecuación para luego obtener la función inversa, se utilizó esta ecuación

para obtener las integrales numéricas para diferentes valores de energías y números atómicos respecto

de la energía reducida. Esta integral se realizó en forma acumulada ajustando el espaciado de manera

de trabajar con la precisión requerida. De esta manera se pudo obtener una función de densidad de

probabilidades acumulada monótona creciente y normalizada a 1. En la figura 3 se muestra la DCS y

su correspondiente integral acumulada para distintas energías de fotón incidente.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Energía Reducida

DC

S y

DCS A

cum

No

rmalizad

as

5 MeV

10 MeV

20 MeV

Figura 3. Funciones DCS para diferentes energías y sus correspondientes funciones de

densidad de probabilidad acumulada.

Si bien con los datos de la integral numérica es posible obtener una tabla inversa aplicando un

método como el de búsqueda binaria de modo de poder utilizar el método de precálculo para dado un

número al azar obtener vía una técnica de interpolación la magnitud deseada, de la forma en que se

aplicó para el efecto fotoeléctrico y Compton [7][8], se optó por otro método que se describe a

continuación.

i) Se obtuvo la energía reducida como función de la densidad de probabilidades acumulada, para

un rango de energías desde 5 a 20 MeV, con una separación de 2.5 MeV, para los elementos

con número atómico desde 1 hasta 20 con presencia significativa en el cuerpo humano. En la

figura 4 se muestran (por simplicidad) algunas de estas funciones para energías de fotón

incidente de 5,15 y 20 MeV.


ii) Se obtuvo un conjunto de polinomios de ajuste de la inversa de la Probabilidad Acumulada

desde 0 hasta un valor de energía reducida, llamados PIPAE,Z(ξ ).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

DCS Acum Normalizadas

En

erg

ía R

ed

uci

da

15 MeV Acum

20 MeV Acum

5 MeV Acum

Figura 4. Inversa de las funciones de densidad de probabilidad acumuladas para las energías 5, 15 y

20 MeV.

iii) Se graficaron los coeficientes de estos polinomios de ajuste como función de la inversa de la

energía y del número atómico. Se observa que estos coeficientes de cada grado pueden ser ajustados con suficiente precisión mediante ecuaciones de cuarto grado. Estas ecuaciones, forman los

polinomios de ajuste de coeficientes PACi(E,Z).donde cada uno ajusta el coeficiente de grado i del

polinomio PIPAE,Z(ξ ). Esto puede observarse en la figura 5.

Figura 5. Polinomios de ajuste de coeficientes.


iv) Se comprobó que con los PACi(E,Z) se pueden reconstruir los polinomios PIPAE,Z(ξ ) de ajuste de

la inversa de la integral acumulada con un error menor al 1% para cualquier energía del fotón

incidente.

3.2 Algoritmo de cálculo utilizando función inversa

Finalmente, a partir de una energía de fotón incidente (E0) y el número atómico del elemento Z0, se

utilizan los coeficientes de ajuste del polinomio PACi(E0,Z0) para calcular los coeficientes del

polinomio PIPA Eo,Zo(ξ ). Con esta ecuación se calcula la energía reducida dado un número al azar

uniformemente distribuido entre 0 y 1.

4. Resultados Los resultados se organizan en tres aspectos: en primer lugar se presentan los coeficientes hallados

para los polinomios de ajuste de la integral inversa y las expresiones que determinan estos

coeficientes. Luego se describe lo concerniente a la precisión de los resultados, mientras que por

último se presentan las optimizaciones logradas en cuanto al tiempo de ejecución y la cantidad de números al azar obtenidos.

4.1 Coeficientes de los polinomios de ajuste de la integral inversa

Los polinomios PIPAE,Z(ξ ) tienen la forma de la ecuación (9), en tanto que los polinomios

PACi(E0,Z0) que permiten determinar los coeficientes ai se muestran en la ecuación (10). La precisión

de los coeficientes ai ha sido seleccionada de forma tal que no se diferencien ante las variaciones en el

número Z.

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5, *****)( aaaaaaZE +++++= ξξξξξξε (9)

0,

1

1,

2

2,

3

3,

4

4, ****)( iiiiii bEbEbEbEbEa ++++= −−−− (10)

La matriz de los coeficientes de ajuste bi,j se muestra en la tabla 1 para energías entre 5 y 20 MeV y

números atómicos entre 1 y 20 presentes en el tejido humano.

Tabla 1. Valores de coeficientes para energías de 5 a 20 MeV.

a0 a1 a2 a3 a4 a5

b0 0,0071 1,2316 -1,8684 6,3771 -5,6760 2,2595

b1 0,7022 4,3529 -25,8500 -16,7770 -41,0980 16,9700

b2 -2,9128 -39,9890 207,8400 613,3900 322,9500 -137,6500

b3 16,5900 125,6800 -644,9700 -5296,3000 -656,7500 316,6100

b4 -34,2740 -153,0700 758,8900 12922,0000 68,5540 -144,9000

Se destaca nuevamente que la incidencia de la variación de los números atómicos Z que componen la

mayoría de los tejidos del cuerpo humano no altera en forma apreciable los coeficientes de la Tabla 1

para las energías con las que se trabaja en la práctica.


4.2 Precisión de los resultados.

En figura 6 se observan los errores calculados como la diferencia relativa entre los valores obtenidos

por los polinomios PIPAE,Z(ξ ) y los valores de la inversa de la integral calculados por el modelo

teórico utilizado. Para poder mostrar los errores, se los aumenta en un factor 10 y se observa que en

los peores casos, donde estadísticamente las energías reducidas asociadas son las menos probables, el

error alcanza el 2%. Cabe destacar que en el rango de mayor probabilidad el error se mantiene por

debajo del 1 por mil.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0DCS Acum Normalizadas

En

erg

ía R

ed

uci

da

y s

us

err

ore

s

rela

tiv

os

5 MeV Acum

15 MeV Acum

20 MeV Acum

5 Mev Errores

20 Mev Errores

15 MeV Errores

Figura 6. Errores aumentados en 10. Se observan valores máximos del 2%.

4.3 Cálculo de la optimización temporal.

Con el fin de comparar el tiempo de cálculo de las diferentes alternativas tratadas en este trabajo, se

construyó un programa para el cálculo de las energías reducidas por los métodos de rechazo, el

método propuesto en este trabajo y un método de interpolación sobre las tablas como el utilizado en

los trabajos anteriores para la optimización del cálculo del efecto fotoeléctrico [8].

Se consideró el cálculo de 1*106 valores para disminuir el efecto de la dispersión entre los

diferentes equipos en los que se realizaron las pruebas. Además, la medición de tiempos se realizó

asegurando que la frecuencia principal del microprocesador se mantenga fija durante la ejecución del

programa. Los resultados medidos en tiempo promedio, factor de optimización respecto al método de

rechazo y la cantidad de números al azar utilizados promediados se presentan en la tabla 2.

Tabla 2. Valores de coeficientes.

Interpolación Bilineal

Método de ajuste polinomial Método de rechazo

Tiempo Promedio (s) 0.70 2.83 26.40

Factor de Optimización temporal respecto a

Método de Rechazo 37.2 9.3 1

Cantidad de números al azar promedio 1 1 2


5. Conclusiones y Trabajo Futuro

• Se desarrolló un método que aproxima la inversa de la función de densidad de

probabilidades acumulada y se la aplicó para el cálculo del efecto de producción de pares.

Esto evita el uso de expresiones complicadas que si bien son conceptualmente válidas, son

innecesarias en el caso de la utilización en un programa de cálculo.

• El método implementado permitió reducir el tiempo de cálculo del efecto Producción de

Pares en un factor de 9.3 veces. Si bien la implicancia que esta reducción tiene en el cálculo

total de la dosis en radioterapia es desconocida aún, debido a que no se dispone del modelo

completo, es acumulable y combinable con otras optimizaciones ya realizadas o a realizar.

• El método hallado permite obtener los valores de energía reducida necesarios para el cálculo

de la interacción producción de pares sin involucrar el manejo del gran volumen de

información que supone el trabajo con tablas para implementar el método de interpolación

bilineal.

5.1 Trabajos Futuros.

Se espera completar este trabajo integrándolo junto con las optimizaciones ya realizadas para los

efectos Fotoeléctrico y Compton [7], entre otras [8].

Además, se planifica realizar el estudio de sensibilidad para la implementación de Interpolación

Bilineal con la idea de evaluar la posible implementación de un modelo mixto según la disponibilidad

de recursos (memoria vs. capacidad de cálculo).

6. Referencias bibliográficas

[1] Hubbell J.H. “Electron-positron pair production by photons: A historical overview”. Radiation

Physics and Chemistry, Vol. 75, pp. 614-623, 2006

[2] Motz J.W., Olsen H.A., Koch H.W. “Pair production by photons”. Rev. Mod Phys., Vol 41, pp.

581-639, 1969

[3] F. Salvat, J. Fernández Varea, J Sempau, “PENELOPE-2008, A Code System for Monte Carlo

Simulation of Electron and Photon Transport,” Workshop Proc., Barcelona, Spain, ISBN: 978-

92-64-99066-1, 2008

[4] Hubbell J.H., Gimm H.,Overo I.. “Pair, triplet, and total atomic cross sections (and mass

attenuation coeffcients) for 1 MeV-100 GeV photons in elements Z = 1 to 100", J. Phys. Chem.

Ref. Vol 9, 1023-1147. 1980

[5] Kawrakow I., Rogers D. “The EGSnrc Code System: Monte Carlo Simulation of Electron and

Photon Transport”, Ionizing Radiation Standards, National Research Council of Canada, Nov 7,

2003, NRCC Report PIRS-701, 2003

[6] Sempau J. et al. “An algorithm for Monte Carlo simulation of couped electron-photon

transport”. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, B. 132, pp 377-390, 1997

[7] Massa J., Wainschenker R., Doorn J., Caselli E., “Time improvement of photoelectric effect

calculation for absorbed dose estimation”, IOP Publishing, Journal of Physics: Conference

Series 90, doi:10.1088/1742-6596/90/1/012048, 2007

[8] Massa, J.M.; Doorn, J.H.; Wainschenker, R.S. “Low-coupled parallel strategy for Monte

Carlo radiation dose calculation” . Engineering in Medicine and Biology Society (EMBC), 2010

Annual International Conference of the IEEE, August 2010, pp. 1771 – 1774, 2010


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