Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid - JCU thesis over oneindige sommen
1
Contactgegevens Meer informatie bij [email protected] [email protected] Deze poster is gemaakt voor de JCU-Docentenconferentie 2011. Inleiding Onze thesis gaat over wiskunde: wiskunde is geen populair onderwerp voor een thesis, omdat er geen experimenten kunnen worden gedaan. Daar komt nog bij dat wiskunde vaak saai wordt gevonden. Wij zien dat anders. Reeksen De optelling van een oneindige rij reële getallen noemen we een oneindige som of reeks: Een aantal van deze reeksen hebben een eindige uitkomst: we zeggen dan dat zo’n reeks convergent of convergeert. Een voorbeeld hiervan is de meetkundige reeks Dat de uitkomst 1 is, wordt geïllustreerd in de afbeelding hieronder. Het kan ook gebeuren dat de uitkomst juist oneindig groot wordt. Dit noemen we divergent. Een voorbeeld hiervan is de wat flauwe reeks In onze thesis hebben wij speciaal gekeken naar een aantal bijzondere reeksen, die van de vorm waarbij f een functie is die aan een aantal extra voorwaarden voldoet. In het bijzonder hebben we de vraag gesteld wanneer zo’n reeks convergeert naar 0. Met dank aan Drs. Philip van Egmond, Junior College Utrecht Prof. Dr. Frits Beukers, Universiteit Utrecht Het proces Bij wiskunde kunnen de resultaten heel belangrijk zijn voor de wiskundigen, maar compleet nutteloos in de ogen van omstanders. Het praktisch nut van theoretische wiskunde, waaronder onze thesis valt, is nihil. Desalnittemin zijn de persoonlijke voordelen wel aardig groot. Wiskunde vereist een vorm van logisch denken die op zeer veel andere vlakken kan worden gebruikt. En hoewel praktische toepassingen voor de hieronder gepresenteerde wiskunde nog gevonden moeten worden, blijft het een fascinerend onderwerp. We hebben dus iets onderzocht puur om het willen weten en vanwege onze interesse in dit onderwerp. Het onderwerp van onze thesis is lastig om uit te voeren op een gewone school. Hier kwamen de contacten van het JCU van pas, vooral omdat wij nu werden geholpen door een begeleider van de UU. Harry Smit en Merlijn Staps Leuk om een plaatje, foto, of figuur toe te voegen! Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid JCU JCU JCU JCU- - -Thesis over de convergentie van oneindige sommen Thesis over de convergentie van oneindige sommen Thesis over de convergentie van oneindige sommen Thesis over de convergentie van oneindige sommen Een paar bijzondere voorbeelden In onze thesis hebben wij gekeken naar een groot aantal reeksen en ook een algemene formule gevonden om deze op te lossen: Met behulp van deze formule waren we in staat om van een groot aantal reeksen de uitkomst uit te rekenen. Enkele voorbeelden: De alternerende harmonische reeks: De hyperharmonische reeks: De reeks van Leibniz: Het blijkt dat constantes zoals pi, die we natuurlijk kennen van de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter, ook plotseling bij dit meer algebraïsche onderwerp opduiken.
-
Upload
junior-college-utrecht -
Category
Documents
-
view
440 -
download
0
description
Poster van Harry Smit en Merlijn Staps over hun thesis (profielwerkstuk) op het JCU over de convergentie van oneindige sommen. Voor de Docentenconferentie Blink uit in bèta.
Transcript of Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheid - JCU thesis over oneindige sommen
ContactgegevensMeer informatie bij
Deze poster is gemaakt voor de JCU-Docentenconferentie 2011.
Inleiding
Onze thesis gaat over wiskunde: wiskunde is geen populair onderwerp voor een thesis, omdat er geen experimenten kunnen worden gedaan. Daar komt nog bij dat wiskunde vaak saai wordt gevonden.
Wij zien dat anders.
ReeksenDe optelling van een oneindige rij reële getallen noemen we een oneindige som of reeks:
Een aantal van deze reeksen hebben een eindige uitkomst: we zeggen dan dat zo’n reeks convergent of convergeert. Een voorbeeld hiervan is de meetkundige reeks
Dat de uitkomst 1 is, wordt geïllustreerd in de afbeelding hieronder.
Het kan ook gebeuren dat de uitkomst juist oneindig groot wordt. Dit noemen we divergent. Een voorbeeld hiervan is de wat flauwe reeks
In onze thesis hebben wij speciaal gekeken naar een aantal bijzondere reeksen, die van de vorm
waarbij f een functie is die aan een aantal extra voorwaarden voldoet. In het bijzonder hebben we de vraag gesteld wanneer zo’n reeks convergeert naar 0.
Met dank aanDrs. Philip van Egmond, Junior College Utrecht
Prof. Dr. Frits Beukers, Universiteit Utrecht
Het proces
Bij wiskunde kunnen de resultaten heel belangrijk zijn voor de wiskundigen, maar compleet nutteloos in de ogen van omstanders. Het praktisch nut van theoretische wiskunde, waaronder onze thesis valt, is nihil.
Desalnittemin zijn de persoonlijke voordelen wel aardig groot. Wiskunde vereist een vorm van logisch denken die op zeer veel andere vlakken kan worden gebruikt. En hoewel praktische toepassingen voor de hieronder gepresenteerde wiskunde nog gevonden moeten worden, blijft het een fascinerend onderwerp. We hebben dus iets onderzocht puur om het willen weten en vanwege onze interesse in dit onderwerp.
Het onderwerp van onze thesis is lastig om uit te voeren op een gewone school. Hier kwamen de contacten van het JCU van pas, vooral omdat wij nu werden geholpen door een begeleider van de UU.
Harry Smit en Merlijn Staps
Leuk om een plaatje, foto, of figuur toe te voegen!
Onderzoek vanuit pure nieuwsgierigheidOnderzoek vanuit pure nieuwsgierigheidOnderzoek vanuit pure nieuwsgierigheidOnderzoek vanuit pure nieuwsgierigheidJCUJCUJCUJCU----Thesis over de convergentie van oneindige sommenThesis over de convergentie van oneindige sommenThesis over de convergentie van oneindige sommenThesis over de convergentie van oneindige sommen
Een paar bijzondere voorbeelden
In onze thesis hebben wij gekeken naar een groot aantal reeksen en ook een algemene formule gevonden om deze op te lossen:
Met behulp van deze formule waren we in staat om van een groot aantal reeksen de uitkomst uit te rekenen. Enkele voorbeelden:
De alternerende harmonische reeks:
De hyperharmonische reeks:
De reeks van Leibniz:
Het blijkt dat constantes zoals pi, die we natuurlijk kennen vande verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter, ook plotseling bij dit meer algebraïsche onderwerp opduiken.
