sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige...

49
Wiskunde Vakstudie 2: Meetkunde 1. Meetkunde deel 1 1.1 Inleidende begrippen 1.1.1 Grondbegrippen. Grondbegrippen in vlakke meetkunde - Vlak - Punt - Rechte Relaties tussen grondbegrippen - Ligt op - Gaat door Negaties van deze relaties worden ook gebruikt. Het vlak Voorgesteld door blad papier of beeldscherm. Een punt Voorgesteld door een stip. Notatie: grote letter. Een rechte Voorgesteld door lijn getekend met liniaal. Notatie: kleine letter. 1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het vlak. Axioma 3: Een rechte is bepaald door twee verschillende punten van het vlak. Axioma 4: Er bestaan minstens vier punten waarvan er geen drie op een zelfde rechte liggen. Axioma 5: Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Dit is het “parallellenpostulaat van Euclides”. 1.1.3 Halfrechte, lijnstuk en afstand. Wat is een halfrechte: Een halfrechte is langs één kant begrensd. Een is halfrechte gedefinieerd door zijn grenspunt en een tweede punt. Notatie: [ AB Wat is een lijnstuk: Een lijnstuk is begrensd door twee punten. Notatie: [ AB]

Transcript of sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige...

Page 1: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Wiskunde Vakstudie 2: Meetkunde

1. Meetkunde deel 1 1.1 Inleidende begrippen1.1.1 Grondbegrippen.Grondbegrippen in vlakke meetkunde - Vlak

- Punt- Rechte

Relaties tussen grondbegrippen - Ligt op- Gaat door

Negaties van deze relaties worden ook gebruikt.Het vlak Voorgesteld door blad papier of beeldscherm.Een punt Voorgesteld door een stip.

Notatie: grote letter.Een rechte Voorgesteld door lijn getekend met liniaal.

Notatie: kleine letter.

1.1.2 Axioma’s.Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten.Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het vlak.Axioma 3: Een rechte is bepaald door twee verschillende punten van het vlak.Axioma 4: Er bestaan minstens vier punten waarvan er geen drie op een zelfde rechte liggen.Axioma 5: Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Dit is het “parallellenpostulaat van Euclides”.1.1.3 Halfrechte, lijnstuk en afstand.Wat is een halfrechte:Een halfrechte is langs één kant begrensd.Een is halfrechte gedefinieerd door zijn grenspunt en een tweede punt.Notatie: [AB

Wat is een lijnstuk: Een lijnstuk is begrensd door twee punten.Notatie: [AB ]

1.1.4 HoekWat is een hoek:Het is een deel van het vlak die uitsluitend begrensd is door twee halfrechten met een gemeenschappelijk hoekpunt.Een hoek wordt bepaald door twee halfrechten, die dezelfde oorsprong hebben. We noemen deze halfrechten de benen van de hoek.Notatie: A en B AC

Page 2: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Gestrekte hoek

Rechte hoek= 90°

1.1.5 Cirkel.Wat is een cirkel:Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.Notatie: c( M,r)M is het middelpunt van de cirkelDe straal r is een positief reëel getal.

Middelpuntshoek: Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt met middelpunt van de cirkel.

Page 3: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Omtrekshoek: Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op die cirkel ligt terwijl de benen die cirkel snijden.

Middellijn: Middellijn van een cirkel is een rechte die door het middelpunt gaat.Koorde: Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt.Boog: Een deel van de cirkel begrensd door 2 punten.Een straal van een cirkel:De straal van een cirkel: de afstand van een punt van de cirkel tot het middelpunt.Een diameter van een cirkel:Een diameter van een cirkel is een koorde die door het middelpunt van een cirkel gaat.Een diameter van een cirkel is een middellijn als lijnstuk bekeken.De diameter van een cirkel is de koorde die door het middelpunt gaat.Omtrek:Omtrek cirkel= 2. π . rDe cirkelschijf heeft een oppervlakte. We spreken kortweg van de oppervlakte van de cirkel.Formule:Oppervlakte= r².πWat is een radiaal:De radiaal is gedefinieerd als de hoek gemeten vanuit het middelpunt van een cirkel waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal (halve diameter van de cirkel).

Een rechte hoek meet π2rad

Twee hoeken zijn Supplementair als en slechts als de som van de hoeken 180° is.Twee hoeken zijn Complementair als en slechts als de som van de hoeken 90° is.Meten van een grootheid is deze vergelijken met een gelijksoortige grootheid.1.1.6 Onderlinge ligging van rechten.Wat zijn snijdende rechten:

Page 4: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Twee rechten a en b snijden elkaar als en slechts als ze juist 1 punt gemeenschappelijk hebbenBespreek de onderlinge ligging van rechten1) Twee rechten a en b zijn evenwijdig als en slechts als ze samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.Overstaande hoeken bij twee snijdende rechten: Twee hoeken zijn overstaand als en slechts als de benen van de ene hoek liggen in het verlengde van de benen van de andere hoek.

Stelling: De overstaande hoeken bij twee snijdende rechten zijn even groot.Bewijs: Gegeven: Hoek A

Rechte a en b die snijden.

Te bewijzen: A1= A3 en A2= A4 Bewijs:

A1+ A2=180°( gestrekte hoek ) A2+ A3=180 ° (gestrekte hoek )dus is A1=180 °− A2 dus A3=180 °− A2

dus moet A1= A3

1.1.7 Hoeken gevormd door twee rechten en een snijlijn.

Overeenkomstige hoeken:

A1=B1 A2=B2 A3=B3 A4=B4

Verwisselende binnenhoeken:

A3=B1 A4=B2Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn:

A3 en B2 A4 en B1Verwisselende buitenhoeken:

Page 5: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

A1=B3 en A2=B4Buitenhoeken aan dezelfde kan van de snijlijn:

A1 en B4 A2 en B3Stelling: Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde recht, dan zijn elke twee overeenkomstige hoeken gelijk.

- Gevolgen: Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn o Elke twee verwisselende binnenhoeken gelijk;o Elke twee verwisselende buitenhoeken gelijk;o Elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair;o Elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.

Omgekeerde stelling: Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte, twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.

- Gevolgen: Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde recht,o Twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.o Twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig.o Twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn

deze twee rechten evenwijdig.o Twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn

deze twee rechten evenwijdig.1.1.8 Middelloodlijn van een lijnstuk en deellijn van een hoek.Wat is de middelloodlijn van een lijnstuk:

De middelloodlijn van een lijnstuk [AB ] is de rechte m die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op de drager van dit lijnstuk.

De deellijn van een hoek:De deellijn van een hoek is de rechte die de hoek in 2 gelijke hoeken verdeelt.

Deellijn van 2 snijdende rechten:De deellijn van een hoek is ook de deellijn van de overstaande hoek: Opdracht 7.

Page 6: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.1.9 Projecties.1.1.10 Spiegelingen

1.1.11 Afstandsvraagstukken1.1.12 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkelWat is een raaklijn aan de cirkel:Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft.

De afstand van het middelpunt van de cirkel tot de raaklijn is gelijk aan de straal van de cirkel.

Page 7: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2 Driehoeken1.2.1 Benamingen en notaties

Teken een driehoek waarvan de lengte van de drie zijden gegeven is. Kan je bij drie willekeurige lengtes steeds een driehoek tekenen.Stelling In een driehoek is een zijde korter dan de som van de lengtes van de twee andere zijden en langer dan het verschil van de lengtes van de twee andere zijden. Dit is de driehoeksongelijkheid in een driehoek.L1¿ L2¿ L3¿

Voorwaarde driehoek te tekenen.L1¿¿ L2¿¿L3¿¿ L1¿ L2−L3¿

1.2.2 Eigenschappen van de hoeken en de zijden van een driehoek.StellingDe som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan (radialen).Bewijs

Page 8: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Stelling: Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken.Bewijs:

1.2.3. Soorten driehoeken:Een scherphoekige driehoek: is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijnEen stomphoekige driehoek: is een driehoek waarvan één hoek stomp is.Een rechthoekige driehoek: is een driehoek waarvan een hoek recht is.Een ongelijkzijdige driehoek: is een driehoek die niet gelijkbenig is( d.w.z. drie zijden met verschillende lengte).Een gelijkbenige driehoek: is een driehoek waarvan minstens 2 zijden even lang zijn.Een gelijkzijdige driehoek: is een driehoek waarvan de 3 zijden even lang zijn.Bij een gelijkbenige driehoek ABC met |AB|=|AC| spreken we over de top A en de tophoek Â, over de benen [AB] en [AC], over de basis [BC] en over de basishoeken ∡B en ∡C.

Page 9: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.4 Congruente driehoeken.Twee driehoeken zijn congruent dan en slechts dan als de drie zijden van de ene driehoek even lang zijn als de zijden van de tweede driehoek en als de drie hoeken van ene driehoek even groot zijn als de hoeken van de tweede driehoek.ABCA’B’C’

1) |AB|=|A’B’| 4) A=A '

2) |AC|=|A’C’| 5) B=B '

3) |BC|=|B’C’| 6) C=C 'Congruentiekenmerken:Kenmerk 1: ZHZTwee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de ene driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en die ingesloten hoeken even groot zijn.Kenmerk 2: HZHTwee driehoeken zijn congruent als een paar zijden van de tweede driehoeken even lang zijn en de twee paar aanliggende hoeken gelijk zijn.Gevolgen kenmerk 2: ZHH Twee driehoeken zijn congruent als een paar zijden van de twee driehoeken even lang zijn een aanliggende hoeken gelijk zijn en het paar overstaande hoeken gelijk zijn.Kenmerk 3: ZZZTwee driehoeken zijn congruent als 3 zijden van de eerste driehoek even lang zijn als 3 zijden van de andere driehoek.Kenmerk 4 ( voor rechthoekige driehoeken)Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de ene driehoek even lang zijn als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de andere driehoek.

1.2.5 Merkwaardige lijnen in een driehoek.Wat is een middelloodlijn van een driehoek?Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die door het midden gaat van een zijde en loodrecht staat op de drager van deze zijde.Wat is een deellijn van een driehoek?Een deellijn ( bissectrice) van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijhorende hoek in twee gelijke delen verdeelt.Wat is een hoogtelijn in een driehoek?Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.Wat is een hoogte van en driehoek?Een hoogte van een driehoek is de afstand van een hoekpunt tot de overstaande zijde.Wat is een zwaartelijn in een driehoek?Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.De term zwaartelijn wordt in twee betekenissen gebruikt. Al naar het geval wordt de rechte of het lijnstuk binnen de driehoek bedoeld.

Page 10: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.6 Eigenschap in een gelijkbenige driehoek.Stelling:In een gelijkbenige driehoek is de deellijn van de tophoek ook de zwaartelijn en de hoogtelijn door de top. Ze is ook de middelloodlijn van de basis.

Page 11: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.7 Kenmerk van een gelijkbenige driehoek.Stelling:In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.Bewijs:

Omgekeerd: Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.Bewijs:

Wat is een kenmerk: Een stelling en een omgekeerde. Vanaf we als en slechts als hebben.Wat is een criterium: Het zelfde als een kenmerk.

Page 12: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.8 Kenmerk van een rechthoekige driehoek.StellingIn een rechthoekige driehoek is de lengte van zwaartelijn naar de schuine zijde gelijk aan de helft van de lengte van die zijde.Bewijs:

Omgekeerde stellingAls in een driehoek een zwaartelijn naar een zijde gelijk is aan de helft van die zijde, dan is de hoek tegenover die zijde recht.Bewijs:

Page 13: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.9 Verband tussen zijden en hoeken in een driehoek.StellingAls twee zijden van een driehoek ongelijk zijn, dan ligt de grootste hoek tegenover de langste zijde.StellingAls twee zijden van een driehoek ongelijk zijn dan ligt de langste zijde tegenover de grootste hoek.1.2.10 Kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk.StellingEen punt dat op gelijke afstand ligt van twee gegeven punten, ligt op de middelloodlijn van het lijnstuk bepaald door de gegeven punten.Omgekeerde stellingElk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk.Bewijs:

Page 14: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.2.11 Kenmerk van de deellijn van een hoek.Een punt dat op gelijke afstand ligt van twee gegeven snijdende rechten, ligt op de deellijn van de hoek gevormd door de twee rechten.

Omgekeerd Als een punt op de deellijn ligt van de hoek gevormd door twee snijdende rechten dan ligt het even ver van de benen van die hoek.

Page 15: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Construeer de deellijn van een hoek en verklaar de constructie.

Page 16: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.3 Vierhoeken1.3.1 Benamingen en notatiesVierhoek: een vierhoek is een vlakke figuur gevormd door 4 zijden en 4 hoeken.Wat is een diagonaal van een vierhoek:Een verbindingslijnstuk van 2 overstaande hoekpunten.Wat is een koordenvierhoek:Een convexe vierhoek heet koordenvierhoek als de hoekpunten op één cirkel liggen.1.3.2 Soorten vierhoekenEen vierkant: Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en met 4 gelijke rechte hoeken.

In een vierkant zijn de diagonalen even lang, staan ze loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor.Een rechthoek: Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken.

|AB| is de lengte van de rechthoek|AD| is de breedte van de rechthoek.In een rechthoek zijn de diagonalen even lang( en delen ze elkaar middendoor).Een ruit: Een ruit is een vierhoek met 4 gelijke zijden.In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor.

Een Parallellogram: Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

Schuine zijden: [AD] en [BC]De hoogte: [AE]

Page 17: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

De diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor.Een trapezium: Een trapezium is een vierhoek met tenminste één paar evenwijdige zijden.

[AD] is de kleine basis van de trapezium[BC] is de grote basis van de trapezium[AF] is de hoogte van de trapeziumEen gelijkbenig trapezium: Een trapezium waarvan de opstaande zijden even lang en niet evenwijdig zijn noemt men een gelijkbenig trapezium.

1.1.3 oppervlakteVierkant:Oppervlakte=Zijde. Zijde= z²Parallellogram:Oppervlakte=b.hRuit:Oppervlakte= kleine diagonaal. Grote diagonaal:2

Oppervlakte=

D⋅d2

Trapezium: oppervlakte=

kleine basis . grote basis2

.hoogte

Oppervlakte=

b .B2

.h

1.4 Veelhoeken1.4.1 Convexe veelhoekenDefinitie convexe veelhoek:Is een veelhoek waarvan de diagonalen binnen de figuur zelf liggen.Bepaal formule voor de som van de hoeken van een convexe veelhoek.

Bepaal de formule voor het aantal diagonalen van een convexe veelhoek.

1.4.2 Regelmatige veelhoekenDefinitie van een regelmatige veelhoek:Veelhoeken waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn.Toon aan dat de straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige zeshoek gelijk is aan de zijde van deze zeshoek.

Page 18: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.5 Nog meer over driehoeken1.5.1 Kenmerk van de middenparallel van een driehoek.Wat is een middenparallel van een driehoek:De lijn door de middens van twee zijden van een driehoek is een middenparallel van die driehoek.Stelling1:Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig met de derde zijde en gelijk aan de helft ervan.Bewijs:

In driehoek ABC zijn D en E de middens van AB en AC.Trek nu CG // AB en verleng ED tot G.Nu is in de driehoeken ADE, CDG:(1) hoek A = hoek C (Z-hoeken)(2) |AD| = |CD|(3) hoek D = hoek D (overstaande hoeken)Dus ADE, CDG zijn congruent (HZH), waaruit volgt dat |CG| = |AE| = |EB| ......(4)enED = DG = ½EG ......(5)Nu is BCGE een parallellogram, waaruit volgt dat EG // BC, en dus ook ED // BC.Maar ook BC = EG, zodat uit (5) volgt: ED = ½BC

Stelling2: Als een rechte door het midden van een zijde van driehoek gaat en evenwijdig is met een tweede zijde, dan gaat ze door het midden van de derde zijdeBewijs:

geg: ABC, rechte a//CBa door E met |AE|=|EB|te bewijzen:a door midden van [AB] of |AD|=|DC| bewijs:CG//AE en EGCB parallellogram.

|GC|=|AE| (parallellogram)

D1=D2 (overstaande hoeken)

A=B1 (verwisselende binnenhoeken bij CG//AB, snijlijn AC

ADECDG (ZHH)|AD|=|CD|

1.5.2 Merkwaardige punten in een driehoek:De middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt en dit punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek.

Page 19: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

De deellijnen van een driehoek gaan door één punt en dit punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek.

De hoogtelijnen van een driehoek zijn concurrent. Het snijpunt heet het hoogtepunt van de driehoek.

De zwaartelijnen zijn concurrent. Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijn in twee stukken waarvan het stuk van het zwaartepunt tot het hoekpunt het dubbele is van het andere stuk.

1.6 Congruente figuren1.6.1 Definitie van Congruente figuren.Wat zijn congruente figuren: zijn 2 figuren die dezelfde grote en dezelfde vorm hebben.Notatie: fig F¿ fig F’Welke eigenschappen hebben congruente figuren?- even grote overeenkomstige hoeken- even lange overeenkomstige zijden.Congruente figuren kunnen door een translatie of een verschuiving, door een rotatie of draaiing, door een spiegeling of door een samenstelling van deze transformatie in elkaar overgaan.

Page 20: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.7 Cirkeleigenschappen1.7.1 Eigenschappen in een cirkel.Stelling1: Een middellijn loodrecht op een koorde deelt de koorde middendoor.

Wat is het apothema van een koorde?Het apothema van een koorde is het lijnstuk dat vanuit het middenpunt loodrecht op de koorde staat.Stelling 2:Even lange koorden in een cirkel hebben even lange apothema’s

Stelling 3:Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat in de cirkel.

Page 21: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling
Page 22: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Stelling 4:Omtrekshoeken op eenzelfde boog of op gelijke bogen zijn even groot.- Uit vorige stelling omtrekshoek is helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog.- Als je twee hoeken hebt met de zelfde boog en zelfde middelpuntshoek.Geg:

A op [PQ ]B op [PQ ]|PQ|=|PQ|TB : A=B

B: A=12M 1

B=12 M 2

Booglente = r. ( zie 1.1)

|PQ|=r . M 1

|PQ|=r . M 2

⇒ M 1=M 2⇒ A=D

Of Hoek A, B en C staan alle drie op dezelfde boog PQDus Hoek PMG is het dubbel van PBQ, PAQ en PCQ. Dus hoek B=hoek A=hoek CStelling 5:Elke omtrekshoek die op een halve cirkel staat, is recht.

Geg: driehoek BACTe bewijzen: Hoek BAC= ½ BMCBewijs: Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat: Boog hier|BC| gemeenschappelijk.Dus hoek APB= ½. AMB=1/2.180°=90°

Stelling 6:In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken elkaars supplement.

Page 23: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Wat is een raakomtrekshoek van een cirkel?Een raakomtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan een been de cirkel snijdt en het andere been de cirkel raakt.

Stelling 7: Een raakomtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.

Stelling 8:Een raaklijn aan de cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt.

Page 24: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.7.2 Onderlinge ligging van 2 cirkels.

Page 25: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.7.3 Constructies van raaklijnen.Construeer de raaklijn in een punt aan een cirkel

Construeer de raaklijn uit een punt aan een cirkel

Page 26: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Construeer de gemeenschappelijke raaklijnen aan twee cirkels.( inwendige en uitwendige raaklijnen).Gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen.

Page 27: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Gemeenschappelijke inwendige raaklijnen.

Page 28: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling
Page 29: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.8 De stelling van Thales1.8.1 Evenredige lijnstukken.Met de verhoudingen van twee lijnstukken bedoelen we de verhouding van de lengtes van de lijnstukken. Als de verhouding van twee lijnstukken gelijk is aan de verhouding van twee andere lijnstukken, dan ontstaat een evenredigheid zoals we die in de getallenleer bestuderen. De lijnstukken zijn dan evenredig genoemd.

|AB||CD|

=|EF||GH|

1.8.3 De stelling van ThalesDe lijnstukken die evenwijdige rechten van een snijlijn afsnijden zijn evenredig met de overeenkomstige lijnstukken die ze afsnijden van elke andere snijlijn.

|AB||CD|

=|A ' B '||C ' D '|

Omgekeerde stellingAls twee rechten AA’ en BB’ evenwijdig zijn waarbij C een punt van AB en C’ een punt van A’B’ is en waarbij de lijnstukken[AB],[CB],[A’C’] en [C’B’] een evenredigheid vormen, dan is ook de rechte CC’ evenwijdig met AA’( en met BB’)

1.8.3 ConstructieZie oefeningen

Page 30: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.9 Gelijkvormige figuren1.9.1 Definitie van gelijkvormige figuren.Wat zijn gelijkvormige figuren: Figuren met dezelfde vorm waarbij de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.Notatie: fig F Fig F’EigenschappenVerklaar waarom alle vierkanten gelijkvormig zijn.Verklaar waarom alle cirkels gelijkvormig zijn:De cirkel is altijd gelijkvormig omdat ze allemaal een hoek hebben van 360 graden. Ze hebben dezelfde vorm en de straal bedraagt bij tot de verhouding.Als [AB] een lijnstuk van de eerste figuur F is en [A’B’] een lijnstuk van de gelijkvormige figuur F’ is, dan is de verhouding

|AB||A ' B '|

=kde gelijkvormigheidsfactor van de gelijkvormigheid genoemd.

1.9.2 Gelijkvormige driehoeken.Twee driehoeken zijn gelijkvormig dan en slecht dan als de lengte van de overeenkomstige zijden van de twee driehoeken dezelfde verhouding hebben en als de overeenkomstige hoeken even groot zijn.Notatie:ABCDEF

- Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de ene gelijk zijn aan twee hoeken van de andere.(HH)

o Geg: ABC en DEF

o A=D en B=E- Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene driehoek evenredig zijn met

twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken gelijk zijn.(ZZ H Z

Z )o Dus als A=D

|AB||DE|

=|BC||EF|

=|CA||FD|dan ABCDEF

- Als de 3 zijden van een driehoek evenredig zijn met de zijden van een andere, dan zijn deze

twee driehoeken gelijkvormig als (ZZ Z

ZZZ )

1.10 Stelling van Pythagoras1.10.1 HulpstellingenBewijs de volgende zeer belangrijke stellingen in een rechthoekige driehoek.Stelling 1:In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde middelevenredig tussen de stukken waarin ze de schuinde zijde verdeelt.

Page 31: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Stelling 2In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde middelevenredig tussen de schuine zijde en haar loodrechte projectie op de schuine zijde.

Page 32: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.10.2 De stelling van PythagorasStellingIn een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijde.Bewijs

Page 33: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Omgekeerde stelling:Als in een driehoek het kwadraat van één zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere zijde dan is de hoek tegenover die zijde recht.

1.10.3

ConstructiesConstrueer Vierkantswortel (n). Hierbij is n een natuurlijk getal.

Page 34: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Construeer de middelevenredige bij twee gegeven lijnstukken.

1.10.4 Oefeningen

Page 35: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

1.11 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek.1.11.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.Wat is de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.( met andere woorden de y-coördinaat.)Wat is de cosinus van een scherp hoek in een rechthoekige driehoek?

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaat getal van het beelpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.( met andere woorden de x-coördinaat).Wat is de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?

De tangens van een hoek(90° + k. 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek en de cosinus van de hoek .Voorwaarde dat cos0Wat is de cotanges van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek?

( met sin0)De cotanges van een hoek ( k. 180°) is het quotiënt van de cosinus van die hoek en dsinus van die hoek.=> verdere informatie in VBTL 4: p 8 t.e.m 19

Page 36: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

2. Georiënteerde meetkundeInleidingin het voorgaande deel gaat het over lijnstukken en hoeken. Een lijnstuk is bepaald door de twee grenspunten. Een hoek is bepaald door twee halfrechten met gemeenschappelijk grenspunt, hoekpunt van de hoek genaamd. In het volgende deel bekijken we opnieuw een lijnstuk en ee oek maar voegen we er een oriëntatie aan toe.2.1 Georiënteerde lijnstukEen lijnstuk [AB] is bepaald door de grenspunten A en B of door B en A. De volgorde van de punten speelt geen rol. Dit is niet zo bij een georiënteerd lijnstuk.

heeft A als beginpunt en B als eindpunt.

heeft B als beginpunt en A als eindpunt.Meteen is de notatie duidelijk. Het pijltje geeft de orientatie van het georiënteerde lijnstuk aan.

Twee georiënteerde lijnstukken zijn gelijk dan en slechts dan als ze dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde lengte hebben.

Zie VBTL 2 p 512.2 Georiënteerde hoekEen hoek AÔB is bepaald door de halfrechten AO] en BO] met gemeenschappelijk punt O, ongeacht de volgorde van de benen van de hoek. De hoek wordt aangegeven door een boogje. Dit is niet zo bij een georiënteerde hoek.AÔB heeft als begin been [OA en als eindbeen [OB.BÔA heeft als beginbeen [OB en als eindbeen [OA.De volgorde van de punten in de notatie is belangrijk. Op het boogje dat de hoek toont wordt een pijltje geplaatst dat de oriëntatie aangeeft.

Er wordt een afspraak gemaakt over het meten van georiënteerde hoeken. Als de orientatie van beginbeen naar eindbeen in tegenwijzerzin gaat, dan krijgt de hoek een positief maatgetal; l de oriëntatie in wijzerzin gaat, dan krijgt de hoek een negatief maatgetal.

Zie VBTL 2 p 632.3 Transformatie van het vlak.Een vlak is een verzameling van punten. Een transformatie van het vlak beeldt ieder punt van het vlak af op een punt van het vlak.2.4 Translatie of een verschuivingWaardoor wordt een translatie vastgelegd?Een translatie wordt vastgelegd door een georiënteerd lijnstuk.VBTL 2 p 50 onderaan

Page 37: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

Wat is een translatie of verschuiving ?De verschuiving bepaald door het georiënteerde lijnstuk [AB] is een transformatie van het vlak waarbij elk punt X een beeld Y heeft zodat de georiënteerde lijnstukken [AB] en [XY] dezelfde zin, richting en lengte hebben.

t is de notatie van de translatie bepaald door het georiënteerde lijnstuk .Het beeld van een rechte door een verschuiving is een rechte. Deze rechte is evenwijdig met de gegeven rechte.Een verschuiving behoud:- de lengte van een lijnstuk;- de grootte van een hoek;- de oppervlakte;- de evenwijdigheid.

VBTL 2 p 51 bovenaan2.5 Rotatie of draaiingWaardoor wordt een draaiing bepaald?Een rotatie word bepaald door een georiënteerde hoek.Wat is een rotatie of draaiing?De draaiing of rotatie met centrum O over een georiënteerde hoek α is een transformatie van het vlak waarbij O op zichzelf wordt afgebeeld en elk ander punt X op een punt Y zodanig dat |OX|=|OY| en ∡XOY=α.r(O,α) is de notatie van de rotatie bepaald door het centrum O en de georiënteerde hoek α.Het beeld van een rechte bepaald door een draaiing is een rechte.Een draaiing beboud:- de lengte van een lijnstuk;- de grootte van een hoek;- de oppervlakte;- de evenwijdigheid.

VBTL 2 p 642.6 HomothetieWaardoor wordt een homothetie bepaald?

Wat is het verband tussen de lengt van een gegeven lijnstuk en zijn beeld?Wat is het verband tussen de oppervlakte van een figuur en zijn beeldfiguur?

Page 38: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

2.7 SpiegelingenVBTL 2 vanaf p 272.8 Samensteling van transformatie van het vlak.

Page 39: sonnycc.files.wordpress.com  · Web view1.1.2 Axioma’s. Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling

3 Driehoeksmeting.In VBTL 4: hoofdstuk 1.