Mon Expo Desa II

8/9/2019 Mon Expo Desa II

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Dpartement de physique Diplme des tudes Suprieures Approfondies (DESA)

Modlisation, Simulation et Caractrisation en physique (MSCP)

22

Sous la direction du: Pr. F. LAHNA

Prpar par :

M. Mohamed REFFADI

Comit de jury :M. Mohamed ABID Facult des Sciences Ain ChokM. Abdelkader BOULZHAR Facult des Sciences Ain ChokM. Rachid SEHAQUI Facult des Sciences Ain ChokM. EL hassan SAYOUTY Facult des Sciences Ain Chok

M. Fouzi LAHNA Facult des Sciences Ain Chok Soutenu le : Jeudi 07 Fvrier 2008 14h30.


3/62

Plan

IntroductionGnralits sur llasticitGnralits sur la mcanique de la rupture

33

o es e ca cu u ac eur n ens econtraintesRsultats et interprtations

ConclusionPerspectives


4/62

44


5/62

Introduction

Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sontconcernes par la mcanique de la rupture.

La volont de concevoir des structures de plus en plus lgreset la dure de vie de plus en plus longue ncessite de prendre

55

.

Dfinir les facteurs dlasticit,Dterminer les critres de la rupture,

Dcrire les mthodes analytiques et numriques de calculs dufacteur dintensit des contraintes,Analyser et discuter les rsultats obtenus, analytiquement et

numriquement


6/62

66


7/62

Llasticit est la proprit physique d'un corps dereprendre sa forme initiale aprs suppression de lasollicitation.

Le corps est parfaitement lastique s'il retrouve

Gnralits sur llasticit

77

compltement sa forme originale aprs suppression de lacharge.

Il est partiellement lastique si la dformation produite parles forces externes ne disparat pas compltement lorsquecelles-ci sont annules.


8/62

Tenseur des contraintes-IQuand un corps est soumis l'action de forces extrieures des

contraintes s'tablissent, par raction, l'intrieur de ce corps.


88

Aux contraintes sont associes des dformations.


9/62


10/62


III- lasticit tridimensionnelle

Pour bien dfinir le comportement entre le systme et lescontraintes extrieures, on doit donc crire les diffrentesrelations entre contraintes ( ij), dformations ( ij) et

1010

dplacements (Ui).On a besoin de dfinir 15 quations pour rsoudre un

problme dlasticit en 3 dimensions.


11/62


- Dans le cas d'un matriau isotrope :

1i j i j k k i j

+= [6 quations]

III- lasticit tridimensionnelleA- Loi de Hooke

1111

Avec:E : Module de Young : Coefficient de poisson

1 p o u r i = j0 p o u r i ji j

==


12/62


Le comportement lastique est modlis par un tenseur d'ordre

4 [Cijkl] contenant 81 coefficients lastiques.

- Dans le cas d'un matriau anisotrope :

1212

En appliquant la sommation sur les indices k et l.

Remarque :

Avec [C] Tenseur des rigidits

Avec [S ] Tenseur des complaisances lastiques.

[ ] [ ][ ] C =

[ ] [ ][ ] S=

Le nombre de coefficients indpendants est rduit 21 entenant compte de la symtrie des tenseurs de contraintes et dedformations, et de la stabilit nergtique du tenseur.


13/62


GGG E E E

GGG E E E

12,313,323,32313

12

12,2

13

13,2

23

23,2

3

32

21

12

12

12,1

13

13,1

23

23,1

3

31

2

21

1

1

1

1

En introduisant les coefficients dlasticit pour un matriauanisotrope [S ] scrit sous les formes.

1313

=

GGG E E E

GGG E E E

GGG E E E

GGG E E E S

1213

13,12

23

23,12

3

3,12

2

2,12

1

1,12

12

12,13

1323

23,13

3

3,13

2

2,13

1

1,13

12

12,23

13

13,23

233

3,23

2

2,23

1

1,23

121323321

1

1

1

Ainsi, pour dfinir compltement un matriau dans le cas le plus gnrald'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, troiscoefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients deLEKHNITSKII.


14/62


Dfinition :Un matriau est dit orthotrope, s'il a deux plans de

symtries de comportement mcanique, il y a donc trois axesd'orthotropies, d'o :

- Dans le cas d'un matriau orthotrope :

L'existence de deux plans de symtrie annule douze constantes lastiques.

1414

=

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

100000

01

0000

001

000

0001

000

0001

1

G

G

G

E E E

E E E

E E E

Dans ce cas on a neuf constantes lastiques indpendantes


15/62


Les quations dquilibre sont donnes par les relations suivantes :

0i j i X

+ =

III- lasticit tridimensionnelleB- Les quations dquilibre

[3 quations diffrentielles scalaires]

1515

j

+=

xU

xU

i

j

j

iij 2

1 [6 quations diffrentielles scalaires]

Les quations gomtriques scrivent sous la forme :

Les Xi sont les composantes des forces volumiques.

C- Les quations gomtriques


16/62


1( )ij ij ij ijt race E E

+= [3 quations]

Avec : i =1 2

III- lasticit bidimensionnelleA- Loi de Hooke

- Dans le cas d'un matriau isotrope :

1616

- Dans le cas d'un matriau anisotrope :

12662226111612

12262222111222

12162212111111

++=

++=

++=

O = ;..

P Den

PC en

C S

ij

ijij Avec : .6,2,1,;

33

33 == jiSSS

SC ji

ijij


17/62


Il est dsormais plus simple dexprimer les quations constitutivesdun matriau orthotrope dans un tat de contraintes planes par unematrice des complaisances plus compacte.

- Dans le cas d'un matriau orthotrope :

III- lasticit bidimensionnelleA- Loi de Hooke

1717

=

12

22

11

12

21

21

2

12

1

12

22

11

100

01

01

G

E E

E E

212

12

1 E E =Avec :


18/62


III- lasticit bidimensionnelle

Les quations dquilibre sont donnes par les relations suivantes :

0i j i X

+ =

B- Les quations dquilibre

[2 quations diffrentielles scalaires]

1818

j

+=

xU

xU

i

j

j

iij 2

1 [3 quations diffrentielles scalaires]

Les quations gomtriques scrivent sous la forme :

Les Xi sont les composantes des forces volumiques.

C- Les quations gomtriques


19/62

1919


20/62

Gnralits sur la mcanique de la rupture

La mcanique de la rupture est une philosophie de conceptionvisant dvelopper uncritre de ruine prenant en comptelexistence de fissures dans le matriau.

La mcanique de la rupture a pour objet ltude le

2020

comportement mcanique dun matriau en prsence de fissuresmacroscopiques.

Le but de la mcanique de la rupture est de formuler des critres,c'est--dire de dfinir les conditions pour les quelles un dfautidentifi (ou non) peut se propager sous une sollicitation donn.


21/62


I- Mode de rupture

2121

Traction(Mode I)

Cisaillement simple(Mode II)

cisaillement anti-plan(Mode III)


22/62


I- Essai et courbe de traction

2222


23/62


I- Essai et courbe de traction

2323


24/62


II- Les facteurs de la rupture A- Facteur dintensit de contraintes

i. Cas dune gomtrie infinie :

1/ 2I ( )K a = En mode I

2424

1/2( ) II K a = En mode II

ii. Cas dune gomtrie finie :

Pour des prouvettes de dimensions finies, plus intressantes en pratique,les facteurs dintensit de contraintes K (m= I, II) sont de la forme :

1/ 2( )m mK a = oum =


25/62


II- Les facteurs de la ruptureB- Le taux de restitution dnergie

Not G, le taux de restitution dnergie reprsente lnergiencessaire pour faire progresser la fissure dune longueur unit.

2525

O E est le module dYoung et le coefficient de poisson.


26/62

2626


27/62

Calcule du facteur dintensit de contrainte KII- La mthode des lments finis

La mthode des lments finis est une mthode de rsolutionapproche d'quations aux drives partielles.

1- Dfinition

2- Importance de la mthode

2727

e tr s nom reux pro mes p ys ques s expr ment sous ormed'quations aux drives partielles soumises des conditions auxlimites particulires.

Mcanique de la ruptureMcanique des solides dformables

Conduction thermiqueElectromanitisme


28/62

II- Le maillage

1- Les types de maillage

Dans la mthode des lments finis, ltape du maillage est primordiale.

Calcule du facteur dintensit de contrainte KI

2828

Maillage triangulaire (3 et 6 nuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nuds).


29/62

Calcule du facteur dintensit de contrainte KIIII- Mthodes de calcul de KI

1- Mthodes directes

i. Mthode avec champde dplacement

2

2

(3 )(1 ) 1 2sin ( / 2)

2 2 (3 )(1 ) 1 2cos ( / 2) I

u K r v

+ + =

+ +

2929

ii. Mthode avec champ dedplacement

3( ) cos (1 sin sin )

2 2 22 I

xx

K

r

=

3( ) cos (1 sin sin )2 2 22

I yy

K

r

= +

3( ) cos (sin sin )

2 2 22

I xy

K

r

=


30/62

Calcule du facteur dintensit de contrainte KIIII- Mthodes de calcul de KI

1- Mthodes indirectes

( ). ; ,m mm

P C aG m I II

= =

i. Mthode de complaisance

3030

ii. Mthode de dplacement virtuel

( ). ; ,2

m mm

P C aG m I II a

= =


31/62

3131


32/62

Rsultats et interprtations

L = a + c

bP

2h

I- Description de lessai

3232

ca

Pprouvette DCB

P : Charge applique = 10 daNa : Longueur de fissurec : Ligament

2h : Hauteur de lprouvetteL : Longueur de lprouvette (320mm)b : paisseur de lprouvette = 1 mm


33/62


II- Maillage utilis

... ..1 4 6 9En raison de symtrie, le maillage est effectu sur demi prouvette

3333

h

20mm

320mm

.. ... ...2

3 5

7

8 10


34/62


35/62

- Mthodes utilises1- Mthode complaisance ( numrique)

Nous tournons le programme pour avoir le dplacement virtuel Uycomplaisance C (a) pour chaque matriaux, avec C (a) =2Uy/P,

Trace de la courbe de C (a)


3535

Lissage de C (a), afin de trouver le polynme correspondante,Calcule de

Calcule de

Calcule de KI

En fin, on trace la courbe de KI (a).

aaC

)(

a

aaG C P I I

= )(

2

)(2

)(1

)(2

2

a E

aG K I I

=


36/62

- Mthodes utilises2- Formule de KANNINEN ( Analytique)

[ ]1 3 / 2

2 3 1 0.64( / )( )

P a h aK a

b h

+=


3636

PP :: Charge appliqueCharge appliqueaa :: Longueur de fissureLongueur de fissurehh :: Demi hauteur de lprouvetteDemi hauteur de lprouvettebb :: paisseur de lprouvettepaisseur de lprouvette

La formule analytique de KANNINEN du facteur dintensit decontrainte ne dpend pas de la nature du matriau ( ,E)

a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

KI [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94


37/62

- RsultatsLes rsultats obtenus sont prsents dans des tableaux comme

le suivant :

- Cas de lacier avec (2h= 50mm).Longueur

defissure"a"

DplacementUy

ComplaisanceTaux de

restitutiond'ner ie

FIC KINumrique

FIC KI"KANNINEN

Ecart en%a

aC

)(


3737

N.B: Pour le lissage, on a trouv que le polynme en 3me degr donne

des bons rsultas.

60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%

80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67%100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04%120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31%140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53%160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70%180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84%

200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96%220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06%240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14%


38/62

- Rsultats

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Acier-

4,50E-01

Complaisance en[mm/daN]

Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Acier 2h = 50 mm-

80,00FIC[daN.mm-3/2]

- Cas dAcier


3838

0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

2,50E-01

3,00E-01

3,50E-01

4,00E-01

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure

"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure

"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN


39/62

- Rsultats- Cas du cuivre

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Cuivre-

8,00E-01


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Cuivre-

8,00E+01FIC [daN.mm-3/2]


3939

0,00E+00

1,00E-01

2,00E-01

3,00E-01

4,00E-01

5,00E-01

6,00E-01

7,00E-01


"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01


"a"[mm]

Complaisance

KANINNEN


40/62

- Rsultats- Cas dAluminium

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Aluminium-

1,20E+00


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Alimunium-

8,00E+01

FIC[daN.mm-3/2]


4040

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01


"a"[mm]

Mthode de complaisance

Mthode de KANNINEN


41/62

- Rsultats- Cas du Plexiglas

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Plexiglas-


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Plexiglas-

FIC [daN.mm-3/2]


4141

0

5

10

15

20

25

30

35


"a" en [mm]

Donnes relles

Lissage 3me degr

0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01

8,00E+01


"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN


42/62

- RsultatsLa limite de fiabilit de la formule de KANNINEN

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Acier 2h = 20 mm-



-


4242

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

7,00E+00

8,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 4me degr

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00


"a"[mm]

.

Complaisance

KANNINEN


43/62



3,50E+00



FIC [daN.mm-3/2]


4343

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

3,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

,


"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN


44/62



Complaisance en



4444

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

3,50E-02


"a" en [mm]

[mm/daN]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00


"a"[mm]

FIC [daN.mm-3/2]

Complaisance

KANNINEN


45/62





4545

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

3,50E-02


"a" en [mm]

[mm/daN]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,0020,00


"a"[mm]

FIC [daN.mm-3/2]

Complaisance

KANNINEN


46/62

IV- Matriaux orthotropesLes matriaux orthotropes utiliss dans notre travail sont

reprsents dans le tableau suivant :

Mat riaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas

E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669


4646

E2 (daN/mm ) 108 96,1 132

E3 (daN/mm2) 108 _ 92G12 (daN/mm2) 141 101,4 120

12 0,22 0,5 0,367

21 0,0139 2,497E-02 0,029

13 0,22 _ 0,384

31 0,0139 _ 0,021

23 0,62 _ 0,594

32 0,62 _ 0,414


47/62

- Mthodes utilises1- Mthode complaisance ( numrique)

Nous suivons les mme tapes que pour les matriauxisotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons laformule suivante :

21

11


4747

11

66122

11

222

22112

222+

+ = K G I I

Avec :

S ijij = En contraintes planes


48/62

- Mthodes utilises2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique)

41

1

2

1

2

2222

22

33

sincossin

sinsin 312)( +

+

+

=

hr

cc

cccc

cc

cca

b shchsh

shsh

hP

K

I

I


4848

11

6612

11

22

11

22

22

++

O11

66=r 4

1

22

1161

=

h

Avec : S ijij = En contraintes planes

et


49/62

Longueurde Dplacement Uy Complaisance

Taux derestitution

FIC KIaC )(

- RsultatsLes rsultats obtenus sont prsents dans des tableaux comme lesuivant :

- Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).


4949

fissure"a" d'nergie

60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,6780 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46

100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02

160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48

a


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- Rsultats- Cas du Pin Sylvester

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Pin sylvestere -

6,00E+00


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Pin sylvestere -25,00

FIC [daN.mm-3/2]


5050

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de la fissure"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,00

5,00

10,00

15,00

,

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de fissure"a"[mm]

Complaisance-CP-


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- Rsultats- Cas du Douglas

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Douglas-

6,000


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"-Douglas-

30,000FIC [daN.mm-3/2]


5151

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de la fissure"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220Longueur de fissure

"a"[mm]

Complaisance


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53/62

R l i i


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- RsultatsLa limite de fiabilit de la formule du Pr. LAHNA

Courbe de complaisance en fonction de "a"-Eucalyptus 2h=40mm-

9,000

Complaisance [mm/daN]

Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=40mm-

30,000

FIC [daN.mm-3/2]


5454

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

R lt t t i t t ti


55/62



5,000



25,000

FIC [daN.mm-3/2]


5555

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

R lt t t i t t ti


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FIC [daN.mm-3/2]


5656

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance

Lissage 3me degr

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

ComplaisancePr. LAHNA


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58/62

5858

Conclusion


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Conclusion

Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linaire,pour les matriaux isotropes et orthotropes

Une concordance entre les valeurs de KI obtenus partir les

formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceuxobtenus par la mthode numrique (mthode de complaisance),Le KI ne dpend pas de la nature du matriau mais seulement

de sa omtrie dans le cas des isotro es.

5959

Le KI dpend de la nature du matriau dans le cas des

orthotropeLa formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle :

25 mm( %4=lh )


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6060

Perspectives


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Perspectives

Dans cette tude on a cherch tudier la propagation de lafissure en supposant que cette dernire se propage d'unemanire linaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la ralit.

Cette tude reste encore un sujet trs vaste de recherche

6161

que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pourcela on prvoit dans des tudes venir de :

Prendre en considration le changement de la direction dela fissure (critre de bifurcation).

tudier une gomtrie d'prouvette afin de trouver laformule analytique de calcul de KI.


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Mon Expo Desa II

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