Modélisation des systèmes du premier et du second psi. ... Sciences Industrielles pour...

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  • Sciences Industrielles pour l’Ingénieur CPGE MPSI-PCSI

    Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 1/12 JRP

    Modélisation des systèmes du premier et du second ordre

    Etude des réponses temporelles à une entrée SINUS

    Réponse HARMONIQUE, diagramme de BODE

    Compétences attendues :

    Au terme de ce cours et des TD qui l’accompagnent, vous devez être capable de : � Définir un système du premier ou du second ordre par sa fonction de

    transfert � Construire pour ces systèmes, la réponse temporelle à une entrée

    sinusoïdale, en marquant avec soin les éléments caractéristiques : amplitude et déphasage.

    � Construire pour ces systèmes, la réponse harmonique : diagramme de BODE, en marquant avec soin les éléments caractéristiques : amplitude et déphasage.

    � Identifier, à partir du comportement d’un système, défini par une réponse harmonique (diag de Bode=, un modèle du premier ou du second ordre.

    Table des matières :

    Etude harmonique des systèmes fondamentaux :

    1. Etude fréquentielle dans le cas général

    1-1 Présentation

    1-2 Résolution par la méthode des complexes

    2. Représentation de la fonction de transfert

    2-1 Représentation de Bode (au programme MPSI, PCSI)

    2-2 Représentation de Black (n’est plus au programme MPSI, PCSI)

    2-3 Représentation de Nyquist (n’est plus au programme MPSI, PCSI)

    3. Réponse harmonique d’un système du 1er ordre

    4. Réponse harmonique d’un système du 2ème ordre

    5. Réponse harmonique d’un système intégrateur pur

    6. Représentation asymptotique d’une fonction de transfert.

    Syst 1er ou 2ème ordre e(t) = E0.sinω.t s(t) = S0.sin(ω.t+ϕ)

  • Sciences Industrielles pour l’Ingénieur CPGE MPSI-PCSI

    Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 2/12 JRP

    1 Etude fréquentielle dans le cas général.

    1.1 Présentation. Soit un système linéaire continu et invariant d’entrée e(t) et de sortie s(t). Il est régi par une équation différentielle à coefficients constants telle que :

    e(t) s(t) Système

    donc

    E(p) S(p) H(p)

    donc

    E(j.ω) S(j.ω) H(j.ω)

    )(.... )(

    )(.... )(

    00 teb dt

    ted btsa

    dt

    tsd a

    m

    m

    mn

    n

    n ++++++++====++++++++

    Lorsque l’entrée est un signal sinusoïdal, t.sin.E)t(e ωωωω==== 0 , il faut chercher la sortie en régime permanent sous la forme : (((( ))))ϕϕϕϕωωωω ++++==== tSts .sin.)( 0 ou s(t) = S0.sin(ω.(t + ∆t)) on a ϕϕϕϕ = ωωωω.∆∆∆∆t Finalement, les deux grandeurs intéressantes dans une étude fréquentielle sont :

    0

    0 E S

    le rapport des amplitudes et ϕϕϕϕ le déphasage.

    Leurs valeurs peuvent changer notablement selon les valeurs de la pulsation de la fonction sinus d’entrée. On représentera donc ce rapport d’amplitude et ce déphasage en fonction de la pulsation sur le diagramme de Bode.

    Les courbes de réponses sinusoïdales ci-dessous sont celles d’un système du premier ordre dont la

    fonction de transfert est : (((( )))) (((( ))))(((( )))) p.,p.pE pS

    pH 501

    1

    1

    1

    ++++ ====

    ττττ++++ ======== avec τ =1/ω0 τ = 0.5s ; ω0 = 2rd/s

    Indiquer la zone de régime transitoire puis le régime établi.

    Lire et indiquer le décalage de temps ∆∆∆∆t . Lire l’amplitude de la sinusoïde de sortie, en régime établi.

    t

    pour ω = 2 rd/s fig. 1

    t

    pour ω = 10 rd/s fig. 2

    on vérifie : ω = 2πf = 2π/T

    On peut lire 3T = 9.45 s donc T = 3.14s

    on vérifie : ω = 2πf = 2π/T

    On peut lire 5T = 3.11 s donc T = 0.62 s

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    Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 3/12 JRP

    t

    pour ω = 1 rd/s fig. 3 t

    pour ω = 50 rd/s fig. 4 on vérifie : ω = 2πf = 2π/T On peut lire 3T = 18.8 s donc T = 6.267s

    on vérifie : ω = 2πf = 2π/T On peut lire 8T = 1.88-0.875 s donc T = 0.1256 s

    Compléter le tableau, puis placer les points sur le diagramme de Bode : Pulsation : Fig3 ω = 1 rd/s Fig 1 ω = 2 rd/s Fig 2 ω = 10 rd/s Fig 4 ω = 50 rd/s

    Amplitude S0 : 0.88 0.7 0.2 0.04 GdB -1.11dB -3.1dB -14dB -28dB

    Déphasage ∆t 0.5s 0.45 s 0.14s 0.03s Déphasage ϕ=ω.∆t 0.5 rad = 28.65° 0.9 rad = 51.57° 1.4rad = 80.2° 1.5rad = 86°

    Après les petits calculs nécessaire, placer le point de rapport d’amplitude converti en dB par la relation : GdB = 20.log(S0/E0) puis le point du déphasage : ϕϕϕϕ=ωωωω.∆∆∆∆t

    Diagramme de Bode : Courbe de gain :

    rd/s Courbe de phase :

    rd/s

    10

    0

    -10

    -20

    -30

    ωωωω0 = 2

    -90°_

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    Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 4/12 JRP

    1.2 Résolution par la méthode des complexes.

    Pour déterminer 0

    0 E S

    et ϕϕϕϕ , on utilise les variables complexes : (((( ))))ϕϕϕϕωωωω ωωωω

    ++++====

    ==== tj

    tj

    eSS

    eEE

    .. 0

    .. 0

    .

    . et on considère

    l’équation différentielle suivante : Eb dt

    Ed bSa

    dt

    Sd a

    m

    m

    mn

    n

    n .......... 00 ++++++++====++++++++ . Cette

    équation devient, après calcul des dérivées :

    (((( )))) (((( )))) EbEjbSaSja mmnn .............. 00 ++++++++====++++++++ ωωωωωωωω . On obtient finalement : (((( )))) (((( ))))

    (((( ))))ωωωω ωωωω ωωωω

    . ..

    ..

    0

    0 jH a...ja

    b...jb

    E

    S n

    n

    m m ====

    ++++++++

    ++++++++====

    On reconnaît la fonction de transfert du système où la variable de Laplace p a été remplacée par ωωωω.j .

    Or ϕϕϕϕ. 0

    0 je E S

    E

    S ==== . Donc les deux grandeurs intéressantes, 0

    0 E S

    et ϕϕϕϕ , s’obtiennent à partir de la

    fonction de transfert avec son module et son argument.

    Module : (((( ))))ωωωω. 0

    0 jH E

    S E S

    ======== et Argument : (((( ))))(((( ))))ωωωωϕϕϕϕ .argarg jH E

    S ==== 

      

     ====

    2 Représentation de la fonction de transfert. L’étude de la fonction de transfert permet de connaître le comportement fréquentiel du système. Afin

    de faciliter l’interprétation des évolutions de 0

    0 E S

    et ϕϕϕϕ en fonction de ωωωω, des représentations

    graphiques sont adoptées. Elles sont appelées lieux de transfert de la fonction. Les tracés suivants sont relatifs à un système d’ordre 1.

    2.1 Représentation de Bode. (La seule représentation à connaitre, au programme de MPSI et PCSI)

    E c h e l l e l o g

    ω

    G a i n e n d B = 2 0 l o g |H ( iω ) |

    E c h e l l e l o g

    ω ϕ

    0 °

    - 4 5 °

    - 9 0 °

    0 d B

    ω 1 ω 2

    G

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    2.2 Représentation de Black. (Cette représentation n’est plus au programme de MPSI et PCSI)

    ω

    Gain en dB = 20 log |H(iω)|

    0 dB

    ω1

    ω2

    G

    ϕ 0°-90° -45°

    La courbe doit être graduée en pulsation.

    2.3 Représentation de Nyquist. (Cette représentation n’est plus au programme de MPSI et PCSI)

    ω

    Im (H(iω))

    ω1

    ω2

    0 Ré (H(iω))K

    ϕ A

    1

    où )( ωiHOA = La courbe doit être graduée en pulsation.

    3 Réponse harmonique d’un système du 1er ordre.

    de fonction de transfert : (((( )))) (((( ))))(((( )))) p. K

    pE pS

    pH ττττ++++

    ======== 1

    soit (((( )))) (((( ))))(((( )))) ωωωωττττ++++====ωωωω ωωωω====ωωωω

    .j. K

    .jE

    .jS .jH

    1 .

    Représentation de Bode de cette transmittance.

    221202020 ωωωωττττ++++−−−−====ωωωω==== .logKlog).j(HlogGdB

    ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω))=argK - arg(1+j.ττττ.ωωωω)=arctan(0/K) - arctan(ττττ.ωωωω/1) = - arctan(ττττ.ωωωω) Asymptotes du lieu de transfert :

    • Pour 0→ω Klog).j(HlogGdB 2020 →→→→ωωωω==== donc asymptote horizontale.

    ϕϕϕϕ = arg(H(j.ωωωω)) → 0°