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Sciences Physiques - MPSI 2 Thermodynamique Machines thermiques Exercice n°1 ( ) Un moteur réel fonctionnant entre deux sources de chaleur, l’une à , l’autre à , produit par cycle, pour de transfert thermique fourni. 1. Comparer son rendement à celui d’une machine de Carnot fonctionnant entre les deux mêmes sources. 2. Calculer l’entropie créée par cycle. 3. Montrer que la différence entre le travail fourni par la machine de Carnot et la machine réelle est égale pour une dépense identique. Exercice n°2 ( ) Un congélateur neuf a un coefficient d’efficacité . Un appareil dans lequel on a laissé s’accumuler une couche de glace a une efficacité réduite. On suppose que l’effet de la couche de glace est de multiplier par l’entropie créée pour un même transfert thermique pris à la source froide. L’intérieur du congélateur est à et la pièce dans laquelle il se trouve à . 1. Calculer numériquement , rapport entre l’efficacité du congélateur neuf et l’efficacité d’une machine réversible fonctionnant avec les mêmes sources. 2. Montrer que ce rapport devient pour le congélateur usagé : Calculer et l’efficacité réduite . Exercice n°3 ( ) Un moteur à explosion fonctionne suivant le cycle réel à quatre temps suivant. Les quatre temps sont : l’admission (1er temps) ; la compression (2ème temps) ; l’explosion et la détente (3ème temps) ; enfin l’échappement : éjection et refoulement (quatrième temps). T fr = 400 K T ch = 650 K 500 J 1500 J T fr S créée e = 2,0 2 −20°C 19°C α ′ α = α 2 − α ′ α ′ e AB BC CD DE EF FA 1
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Machines thermiques
Exercice n°1 ( )Un moteur réel fonctionnant entre deux sources de chaleur, l’une à , l’autre à
, produit par cycle, pour de transfert thermique fourni. 1. Comparer son rendement à celui d’une machine de Carnot fonctionnant entre les deux
mêmes sources. 2. Calculer l’entropie créée par cycle. 3. Montrer que la différence entre le travail fourni par la machine de Carnot et la machine
réelle est égale pour une dépense identique.
Exercice n°2 ( )Un congélateur neuf a un coefficient d’efficacité . Un appareil dans lequel on a laissé s’accumuler une couche de glace a une efficacité réduite. On suppose que l’effet de la couche de glace est de multiplier par l’entropie créée pour un même transfert thermique pris à la source froide. L’intérieur du congélateur est à et la pièce dans laquelle il se trouve à . 1. Calculer numériquement , rapport entre l’efficacité du congélateur neuf et l’efficacité
d’une machine réversible fonctionnant avec les mêmes sources. 2. Montrer que ce rapport devient pour le congélateur usagé :
Calculer et l’efficacité réduite .
Exercice n°3 ( )Un moteur à explosion fonctionne suivant le cycle réel à quatre temps suivant.
Les quatre temps sont : l’admission (1er temps) ; la compression (2ème temps) ; l’explosion et la détente (3ème temps) ; enfin l’échappement : éjection et refoulement (quatrième temps).
Tfr = 400 KTch = 650 K 500 J 1500 J
TfrScréée
e = 2,0
2−20°C
19°Cα
′α = α2 −α
′α ′e
AB BCCD DE EFFA
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1. Décrire le fonctionnement du moteur pour chacune des étapes du cycle et approximer le cycle moteur réel dans un diagramme de Clapeyron par un cycle dit de Beau de Rochas et d’Otto. Pour cela, on confondra d’une part et , puis on négligera les étapes d’admission et de refoulement du gaz constitué d’un mélange air et essence.
2. Justifier le sens de parcours du cycle. 3. Donner l’expression du rendement en fonction des températures , , et .
4. Soit le rapport de compression . Donner l’expression du rendement de ce
moteur en fonction de et .
Exercice n°4 ( )La quasi-totalité des véhicules neufs disposent d’une climatisation. Pour refroidir l’air intérieur d’une voiture, un fluide frigorigène, l’hydrofluorocarbone HFC connu sous le nom de R314a, effectue en continu des transferts énergétiques entre l’intérieur, l’extérieur de la voiture et le compresseur.
Sur le diagramme enthapique de l’hydrofluorocarbone HFC, de masse molaire , sont représentées :
• la courbe de saturation de l’équilibre liquide-vapeur du HFC (en trait gras) • les isothermes pour des températures comprises entre et par pas de
F B
TB TC TD TE
α = VmaxVmin
α γ = CP
CV
M = 32 g.mol−1
−40°C 160°C10°C
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• les isentropiques pour des entropies massiques comprises entre et par pas de
• les isotitres en vapeur sous la courbe de saturation pour des titres massiques en vapeur variant de à par pas de .
est en bar et en . Lors de l’exploitation du diagramme, les mesures sont effectuées avec les incertitudes suivantes :
; ; ; ;
1. Où sont sur le diagramme les domaines liquide, vapeur, équilibre liquide-vapeur du fluide ?
2. Dans quel domaine du diagramme le fluide à l’état gazeux peut être considéré comme un gaz parfait ?
On étudie dans la suite l’évolution du fluide au cours d’un cycle en régime permanent. Le transfert thermique reçu par le fluide dans l’évaporateur permet la vaporisation isobare complète du fluide venant de (4) et conduit à de la vapeur à température et pression : point (1). 3. Placer le point (1) sur le diagramme. Relever la valeur de l’enthalpie massique et de
l’entropie massique du fluide au point (1). Le compresseur aspire la vapeur (1) et la comprime de façon isentropique avec un taux de
compression .
4. Déterminer . Placer le point (2) sur le diagramme. Relever la température et celle de l’enthalpie massique en sortie du compresseur.
5. Déterminer la valeur du travail mécanique massique reçu par le fluide lors de son passage dans le compresseur. Commenter le signe de .
Le fluide sort du compresseur et entre dans le condenseur dans lequel il est refroidi de manière isobare jusqu’à la température : point (3). 6. Placer le point (3) sur le diagramme et relever l’enthalpie massique en sortie du
condenseur. Le fluide sortant du condenseur est détendu dans un détendeur supposé adiabiatique jusqu’à la pression : point (4). 7. Montrer que la transformation dans le détendeur est isenthalpique. 8. Placer le point (4) sur le diagramme et tracer le cycle complet. Relever la température
et le titre massique en sortie du détendeur. 9. En déduire le transfert thermique massique échangé par le fluide lors de son
passage à travers l’évaporateur entre (4) et (1). L’air intérieur du véhicule est-il refroidi ?
10.Définir l’efficacité, ou coefficient de performance, du climatiseur. Calculer sa valeur. 11. Comparer cette valeur à celle d’un climatiseur de Carnot fonctionnant entre la
température de l’évaporateur et la température de liquéfaction du fluide sous la pression . Commenter le résultat obtenu.
12.Le débit massique de fluide est . Calculer la puissance thermique évacuée à l’intérieur du véhicule et la puissance mécanique consommée par le climatiseur.
1,7 kJ.K −1. kg_1
2,25 kJ.K −1. kg_1 0,05 kJ.K −1. kg_1
xG 0 1 0,1P h kJ. kg−1
Δh = ±5 kJ. kg−1 Δs = ±50 J.K −1. kg−1 Δx = ±0,05 ΔT = ±5°C ΔPP
= 5%
T1 = 5°CP = 3bar
h1s1
r = P2P1
= 6
P2 T2h2
wm
wm
T3 = 60°Ch3
P1
T4 x4qe
P2Dm = 0,1 kg. s−1
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Exercice n°5 ( )Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversé suivant.
L’air pris dans l’état à la température et de pression est comprimé suivant une adiabatique réversible jusqu’au point où il atteint la pression . Le gaz se refroidit à la pression constante et atteint la température finale de la source chaude , correspondant à l’état . Puis, l’air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique réversible pour atteindre l’état de pression . Pour finir, le gaz se réchauffe à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial .
On considère l’air comme un gaz parfait de coefficient . On posera et . On prendra , et .
1. Représenter le cycle parcouru par le fluide en coordonnées de Clapeyron. 2. Rappeler les conditions nécessaires pour assurer la validité des formules de Laplace.
Donner le formule de Laplace relative à la pression et à la température. 3. Exprimer les températures et en fonction de , , et . Calculer leurs
valeurs numériques. 4. Définir l’efficacité de la pompe à chaleur à partir des quantités d’énergie échangées
au cours du cycle. 5. Montrer que l’efficacité s’exprime seulement en fonction de et , puis calculer sa
valeur numérique. 6. Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la
pompe à chaleur suivant le cycle de Carnot réversible entre les températures et ?
7. Établir l’expression de l’efficacité dans le cas d’un cycle de Carnot. Calculer sa valeur numérique.
8. Comparer les valeurs obtenues pour et , puis interpréter la différence observée. 9. Déterminer l’expression de l’entropie créée pour une mole d’air au cours du cycle
de Joule en fonction de , et .
10.Étudier le signe de en fonction de . Était-ce prévisible ? 11. Calculer sa valeur dans ce cas précis. 12.Sachant qu’en régime permanent, les fuites thermiques s’élèvent à ,
calculer la puissance du couple compresseur-turbine qui permet de maintenir la température de la maison constante.
Exercice n°6 ( )Dans l’étude théorique du moteur Diesel, on suppose que le fonctionnement est décrit par le cycle de Diesel dans lequel la combustion est supposée s’effectuer à pression constante. Dans les moteurs actuels et notamment ceux dits rapides, on a cherché à réaliser une combustion procédant sous deux régimes : la combustion commence à volume constant et se termine à pression constante. Le cycle consiste alors en une compression adiabatique , un échauffement isochore , un échauffement isobare
, une détente adiabatique et une détente isochore . L’objet de ce problème est d’étudier un tel moteur. On considère un moteur Diesel à six cylindres fonctionnant suivant le cycle mixte à quatre temps. Le moteur à quatre temps effectue un cycle tous les deux tours. Il présente un rapport de compression volumétrique
A T0 P0B P1
T1C
D P0A
γ = 1,4 β = 1− γ −1
a = P1 / P0 T0 = 283K T1 = 298 K a = 5
TB TD T0 T1 a β
e
e a β
T0T1
eCarnot
e eCarnotScréée
R β x = aβ T0T1
Scréée x
Qf = 20kW
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et une cylindrée . est le volume maximal d’air aspiré, le
volume disponible dans le cylindre au moment où commence l’injection du combustible,
le volume quand la combustion se termine. On note le rapport d’injection. On
désigne par la pression de l’air à l’aspiration, celle du moment où commence l’injection du combustible et la pression maximale atteinte dans le cylindre. On suppose que le cycle est décrit de manière quasi-statique. On admet que le gaz constitué essentiellement d’air est assimilable à un gaz parfait et que la masse de carburant est négligeable devant celle de l’air pour un cycle. On raisonnera sur un cycle fictif fermé sans se préoccuper des étapes consistant à évacuer les gaz issus de la combustion (échappement) pour les remplacer par de l’air frais (admission) qu’on modélisera par l’évolution isochore . On note et les capacités thermiques massiques respectivement à volume et pression constants ; on admet qu’ils sont constants. On donne : et
. désigne la masse d’air aspirée par cycle et par cylindre. 1. Représenter le cycle dans un diagramme . Vérifier graphiquement qu’il
s’agit d’un cycle moteur. 2. Exprimer les transferts thermiques lors des transformations , et en fonction
des températures, de la masse , de et de . 3. Justifier que l’on définisse le rendement par l’expression :
4. Donner son expression en fonction des températures et de .
5. Exprimer les températures , , et en fonction de , , , et .
6. En déduire l’expression du rendement en fonction de , , et .
La combustion d’une masse de carburant produit un transfert thermique où désigne le pouvoir calorifique dont l’unité est . On admet qu’il s’agit
d’une constante indépendante des conditions durant la combustion. La masse de combustible pulvérisé dans un cylindre à chaque cycle est égale à avec . Au début de la compression, la température est et la pression . On désigne par
la masse de combustible injectée par cycle et par cylindre et par celle qui brûle à
volume constant. Le cycle est caractérisée par . On note la
masse molaire de l’air. 7. Exprimer la masse d'air contenue dans le cylindre en fonction de , , , ,
et . 8. Exprimer en fonction de , , et . 9. En comparant les deux expressions obtenues pour , établir l’expression de et
en fonction de , , , , , , , ,. 10.Exprimer en fonction de , , , . 11. En déduire l’expression de en fonction de , , , , , , .
a = VAVB
= 15 C =VA −VB = 15 L VA VB
VD c = VDVC
PA PBPC
EAcV cP
γ = 1,39cP = 1,02 kJ. kg
−1.K −1 mABCDEA P,V( )
BC CD EAm cV γ
rth = − WQBC +QCD
γ
TB TC TD TE TA a c d = PDPB
γ
a c d γ
′m η ′mη = 42,2 MJ. kg−1 J. kg−1
αm α = 0,04TA = 338 K PA
µ µV
kV = 100µVµ
M = 29 g.mol−1
m a C PA TA RMair
QBC kV η m αQBC TC
PC TA PA a kV η α γ cVQCD kV η m α
TD a kV η α γ cV TA
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12.Quelle valeur doit-on donner à pour que la pression maximale dans le cylindre ne dépasse pas sachant que ?
13.Si prend cette valeur, déterminer les valeurs de , , , , , , , et . 14.Déterminer la valeur du rendement théorique. 15.Calculer la puissance du moteur sachant qu’il tourne à tours minute. 16.La puissance réelle est-elle inférieure ou supérieure à cette valeur théorique ? Justifier
votre réponse.
kV65 bar PA = 1bar
kV VA VB TB TC TD c d TE b
2300
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