Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 2 Hoofdstuk 5 -...

⁄92

Hoofdstuk 5 - Matrices

5.1 Matrices

bladzijde 112

1a Per week gaan er 12 7 6 25+ + = auto’s weg uit Amsterdam. Na vier weken is de voorraad dus nog 300 4 25 200− × = auto’s.

Per week gaan er 0 8 4 12+ + = auto’s weg uit Rotterdam. Na vier weken is de voorraad dus nog 200 4 12 152− × = auto’s.

b Rotterdam kan 16 weken leveren want 16 12 192× = auto’s. Amsterdam kan 12 weken leveren want 12 25 300× = auto’s.

Amsterdam is dus het eerst door de voorraad heen.

2a

BS OC GP PC VS CC

BS

OC

GP

PC

VS

CC

0 1 2 2 3 3

1 0 1 1 2 2

2 1 0 1 1 2

2 11 2 0 2 1

3 2 1 2 0 1

3 2 2 1 1 0

b Je kunt vanuit elk station vertrekken maar je kunt ook in elk station aankomen.

3a

van

naar

BS OC GP PC VS CC

BS

OC

GP

PC

VS

CC

0 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0

00 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0

b Je hebt aan een halve matrix genoeg omdat deze symmetrisch is in de hoofddiagonaal. Als bijvoorbeeld van VS naar GP een directe verbinding is dan is er die ook van GP naar VS. Je kunt kiezen uit de linker onderhelft of de rechter bovenhelft.

c De haltes met de meeste enen in een rij of kolom liggen het meest centraal omdat die het vaakst direct zijn verbonden met een ander station.

0pm_MW9_VWOBB_WiskDDl2-Uitw.indd 92 14-08-2008 14:21:18

Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 2

© Noordhoff Uitgevers bv

⁄93


bladzijde 113

4 A 5

36

B

C4D

van

naar

A B C D

A

B

C

D

0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

0 0 1 0

van

naar

A B C D

A

B

C

D

0 5 8 12

5 0 3 7

6 3 0 4

10 7 4 0

5a

van

naar

Al Ut Zw

Amsterdam

Rotterdam

148 800 86 800 744 400

0 99 200 49 600

b

naar

van

Al Ut Zw

Amsterdam

Rotterdam

17 11 9

11 10 6

6a

1 2 3 5 4 0

3 1 9 7 0 2

3 8 4

2 16 2

+ + − ++ − + +

=−

b

5.2 Matrices vermenigvuldigen

bladzijde 114

7a 50 17 20 21 25 29 1995× + × + × = dus het klopt b Dit is de weekopbrengst in euro’s van de verkoop van alle gereedschappen in

Rotterdam voor de prijsverhoging. c eerste rij × eerste kolom 35 17 15 21 30 29 1780× + × + × = eerste rij × tweede kolom 35 18 15 23 30 32 1935× + × + × = tweede rij × tweede kolom 50 18 20 23 25 32 2160× + × + × =

3 2 3 1

3 2 3 4

4 6 4 2

4 0 4 1

5× ×× − ×

+× × −× ×

+− × 44 5 0

5 2 5

6 24 20 3 8 0

6 0 10 112

− ×− × − − ×

=+ − − +

− + + 22 4 2

10 5

4 1312

12+ −

=−




⁄94


voor na

V P

ha

be

za

ha be ze

×

17 18

21 23

29 32

AAm

Ro

voor na

Am

Ro

35 15 30

50 20 25

1780 1935

19

995 2160

d De weekopbrengst vóór de prijsverhoging is 1 780 1 995 3 775+ = euro. e De prijsverhoging levert ( )1935 2160 3775 320+ − = euro extra op.

bladzijde 115

8a

4 0

1 5

5 7

−

b

4 2 6 4

2 1 3 2

0 0 0 0

6 3 9 6

−−

− − −

c 4 10( ) d

−−

−

17

3

19

31 9a

P B

olympix super

small

medium

large

×

5 2

4 6

8 3

small medium large

olympix

super

60 75 90

75 85 995

1320 840

1475 945

olympix super

ol

su

.

.

b De getallen 1 320 en 945 hebben betekenis. De totaalprijs van de trainingspakken van het merk Olympix is 1320 euro en van het

merk Super is dat 945 euro. c De penningmeester is in totaal 1320 945 2 265+ = euro kwijt.




⁄95


d

B P

small medium large

olympix

super

× 60 75 90

75 85 95

olympix super

small

medium

large

5 2

4 6

8 3

small medium large

small

medium

large

4500 545 640

690 810 930

705 855 1005

De getallen op de hoofddiagonaal hebben een zinvolle betekenis namelijk de totale

kosten per maat in euro’s. De totale kosten zijn 450 810 1005 2 265+ + = euro.

10a

51 20 38

71 28 53

11 4 8

7 11

50 80

; b Nee, want K × L is een 3 × 3 matrix en L × K is een 2 × 2 matrix. c Het aantal kolommen van M is niet gelijk aan het aantal rijen van K. d K × M =

9 38 30 52

12 53 42 74

3 7 6 12

; L × M en M × l zijn niet te berekenen. e N × M = M f N × N = N

11a Bijvoorbeeld

0 1

2 1 1

0 0

12

12

en

0 0 2

2 1 4

2 2 8

−− −

of eenvoudiger

0 1 0

1 0 0

0 0 1

en

1 0 0

0 0

0 2 0

12

b Matrix X =

1

1

5.3 Overgangsmatrices

bladzijde 116

12a Er zijn 497 auto’s van de Eendweg die via het plein naar de Gansstraat gaan. De som van de eerste kolom geeft het aantal auto’s van de Eendweg, dus 900.

b De som van alle getallen in de matrix is 4000, het aantal auto’s dat het Vogelplein passeert.

c 497900

0 55≈ ,

d

van

naar

E F G

E

F

G

0 01 0 49 0 47

0 44 0 01 0 53

0 55 0

, , ,

, , ,

, , 550 0 00,




⁄96


e 0 01 1200 0 49 1550 0 47 2250 1829, , ,× + × + × = auto’s verlaten het plein richting Eendweg 0 44 1200 0 01 1550 0 53 2250 1736, , ,× + × + × = auto’s verlaten het plein richting Fuutlaan

0 55 1200 0 50 1550 0 00 2250 1435, , ,× + × + × = auto’s verlaten het plein richting Gansstraat.

13a De som van de fracties uit P en S is 1. b

van

naar

S P

S

PA

0 98 0 08

0 02 0 92

, ,

, ,

=

c A BS

P× =

62 000

38 000

d Begin 2004 woonden er 62 000 mensen in de stad en 38 000 op het platteland.

bladzijde 117

14a In 2002 vierden 546 104 650+ = personen Sinterklaas. Hiervan vierden 104 geen Sinterklaas in 2003.

b

van

naar

W N

W

NM

0 84 0 20

0 16 0 80

, ,

, ,

=

c MW

N×

=

650

335

613

372 in 2003

MW

N×

=

613

372

589

396 in 2004

MW

N×

=

589

396

574

411 in 2005

In 2004 vierden 589 mensen Sinterklaas. In 2005 574.

15a 0,25

0,5

0,5 0,75

QT WP

b

van

naar

QT WP

QT

WPM

0 50 0 25

0 50 0 75

, ,

, ,

=

c Het is een vereenvoudiging van de werkelijkheid en een wiskundige beschrijving van de overgangen.




⁄97


d MQT

WP×

=

300

300

225

375

M

QT

WP×

=

225

375

206

394 Na één maand tanken 375 mensen bij de ‘Witte Pomp’.

Na twee maanden zijn dat er 394.

16a 0,08 0,10 0,07

0,92 0,90 0,75

V4 V5 V6

b In 4 vwo blijft 8% zitten. c In 6 vwo slaagt 100 – 7 = 93%. d Als iemand een klas overslaat of teruggeplaatst wordt.

In de praktijk zal dit vrijwel nooit het geval zijn. e Er vertrekt niemand en er komt geen nieuwe leerling op school. f

M2

4 5 6

4

5

6

0 0064 0 0

0 1656 0 01 0

0 828 0 1

= van

naar

,

, ,

, , 553 0 0049,

M3

4 5 6

4

5

6

0 0005 0 0

0 0224 0 001 0

0 207 0

= van

naar

,

, ,

, ,00197 0 0003,

In M2 staan de percentages per 2 jaar, 82,2% van de leerlingen in 4 vwo zit 2 jaar later in 6 vwo bijvoorbeeld en in M3 staan de percentages per 3 jaar.

5.4 Machten van matrices

bladzijde 118

17a

van

naar

A B C

A

B

C

0 7 0 3 0 2

0 1 0 5 0 2

0 2 0 2 0 6

, , ,

, , ,

, , ,

= M

b M

A

B

C

×

=

30

30

30

36

24

30

is de verdeling aan het eind van de dag.




⁄98


c dag 1 2 3 4 5 6A 36 38 39 40 40 40B 24 22 21 20 20 20C 30 30 30 30 30 30

d Na vier dagen verandert de verdeling niet meer.

18a 170 inwoners blijven in A, zodat de overgangskans van A naar A gelijk is aan

170200

0 85= ,

van

naar

A B C

A

B

C

0 85 0 05 0 06

0 05 0 88 0 10

0 10 0

, , ,

, , ,

, ,007 0 84,

= M

b M

A

B

C

2

200

300

500

227

342

431

×

=

begin 2009

M

A

B

C

4

200

300

500

343

365

392

×

=

begin 2011

c Bijvoorbeeld M

A

B

C

100

200

300

500

267

394

339

×

=

= V en M V V× = dus is de stabiele verdeling: 267 in A, 394 in B en 339 inwoners in C.

bladzijde 119

19a 0,8

0,6

0,2 0,4K L

b In een stabiele situatie moet gelden: 0 2 0 6

0 8 0 40 2 0

, ,

, ,,

×

=

⇒ +K

L

K

LK ,,6L K= ⇒

0 8 0 6, ,K L= dus 8 6K L= . c Uit 8 6K L= volgt K L= 0 75,

Omdat ook geldt K L+ = 1400 vind je 0 75 1400, L L+ =

Dus is L = =14001 75

800,

en is K = 600 .

d Overgangsmatrix5 700

700

599

801×

=

en Overgangsmatrix6 ×

=

700

700

600

800 dus is na 6 perioden de situatie stabiel.

20a M M M2

3 5 4

12 7 3

13 0 0

= × =−−




⁄99


b Nee, want M N× =− − −

−−

1 1 2

1 2 2

4 3 16

en N M× =−

− −

6 3 5

9 8 10

16 3 3

. c Ja, want M M M M M⋅ = ⋅ =3 2 2 4 .

21a Een éénjarige krijgt gemiddeld 3 nakomelingen. b

0 1 2 3

0

1

2

3

1 8 1 8 0 25 0

0 1 8 1 2 0 3

0 54 0 0 0

0 0 4

2M =

, , ,

, , ,

,

, 55 0 0

De getallen stellen de overgangen per 2 jaar voor. Zo is 54% van de nuljarigen over

2 jaar tweejarig en de tweejarigen hebben per individu over 2 jaar gemiddeld voor 1,2 éénjarige nakomelingen gezorgd.

c Overgangsmatrix × =

V

300

60

90

0

na 1 jaar.

Overgangsmatrix2

360

180

54

45

× =

V na 2 jaar. Na één jaar zijn er 450 dieren en na twee jaren zijn er 639 dieren. d A = ( )1 1 1 1 e n 0 1 2 3 4 5

Tn 200 450 639 1076 1663 2687

Als je twee opeenvolgende waarden van Tn op elkaar deelt is dit niet constant. De totale populatie groeit dus niet exponentieel.

22a Voor elke periode geldt dat 8% ziek wordt. b Na één periode is 8% van de gezonden ziek geworden → 0 08, Gn en blijft 90% van

de zieken ziek → 0 90, Zn . G G Zn n n+ = +1 0 92 0 1, , c Z G Z Z G Z G= + ⇒ = ⇒ =0 08 0 9 0 1 0 08 0 8, , , , , Verder geldt Z G+ = 100 dus 0 8 100 56100

1 8, ,G G G+ = ⇒ = ≈ en Z = 44 d

van

naar

G Z

G

ZM

0 92 0 1

0 08 0 9

, ,

, ,

=

MG

Z100 50

50

56

44⋅

=

e Als MG

Z

G

Z⋅

=

dan is de verdeling stabiel en uit Z + G = 100 volgt dat Z = 100 – G.

0 92 0 1 100, ,G G G+ −( ) = 10 0 18= , G G ≈ 56 en Z = − =100 56 44




⁄100


5.5 De inverse matrix

bladzijde 120

23a 0,90 geeft aan dat 90% van de gezonde leerlingen twee dagen later nog gezond is. 0,60 geeft aan dat 60% van de zieke leerlingen twee dagen later gezond is. 0,40 geeft aan dat 40% van de zieke leerlingen twee dagen later nog ziek is.

b Op 12 januari was het aantal zieke leerlingen 0 10 1803 0 40 227 271, ,× + × ≈ c 0 9 0 6

0 1 0 4

1803

227

, ,

, ,

⋅

=

g

z Uitschrijven hiervan geeft onder andere 0 9 0 6 1803, ,g z+ = d g z g z+ = ⇒ = −2030 2030 , dus 0 9 2030 0 6 1803, ( ) ,⋅ − + =z z

1803 0 6 0 9 20301803 0 6 1827 0 90 3

− = −− = −

, , ( ), ,

,

z z

z zzz

z g=

= =24

80 1950en

24a V Bg

z− × =

1 1950

80 en dit klopt met opdracht 23d.

b V V V V I⋅ = ⋅ = =

− −1 1 1 0

0 1

c V V B V V B B× × = × × =− −( ) ( )1 1

Je rekent 2 dagen terug en dan weer 2 dagen vooruit of andersom. In beide situaties krijg je de situatie van 10 januari.

bladzijde 121

25a S V

A

B

C

× =

4490

5040

4470

in de eerste week van november

en S V

A

B

C

5

4642

4676

4682

× =

na vijf maanden.

b S V

A

B

C

− × =

1

4800

7000

2200

in de eerste week van september.

26a 2 1a c− = (1) 2 0b d− = (2) a c+ =3 0 (3) b d+ =3 1 (4) b Uit (1) en (3) volgt − =7 1c dus c = − 1

7 en a = 37 .

Uit (2) en (4) volgt 7 1b = dus b = 17 en d = 2

7 .

A− =−

=

−

137

17

17

27

17

3 1

1 2




⁄101


c M Mp q

r s ps qrs q

r p ps qr⋅ =

⋅⋅

⋅−

−

=⋅

−1 1 1 pps qr pq pq

rs rs qr sp

− − +− − +

=

1 0

0 1 d ps qr− ≠ 0

27a a1 1= en b b1 22 1+ = en − =c3 1 en a a1 22 0+ = Alle andere waarden zijn 0. a1 1= ; a2

12= − b2

12= en c3 1= − de rest is 0

b A− = −

−

1 12

12

1 0 0

0

0 0 1

c a b c

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 0 1

0 2 0

0 2 1

×−

=

⇒1 0 0

0 1 0

0 0 1

a b c a c a c b

a1 1 1 1 1 1 1 1

2

1 2 2 0 0 1 1 1

0

= + = − = ⇒ = = = −=

, , , en

,, ,2 2 1 0 0 0

0 22 2 2 2 2 2 2

12

3 3

b c a c a c b

a b

+ = − = ⇒ = = == +

en

22 0 1 0 1 13 3 3 3 3 3c a c a c b= − = ⇒ = = − =, en

dus A− =−

−

1 12

1 1 1

0 0

0 1 1

.

5.6 Gemengde opdrachten

bladzijde 122

28a Naar C wijzen de meeste pijlen dus zal de keus op C vallen. b Naar C wijzen de meeste pijlen dus volgens deze graaf is C het minst geschikt. c

van

naar

A B C D E F G

A

B

C

D

E

F

G

0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1

−−

− −− −

− −

1 1

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

d Je telt de getallen van elke rij op. Dan heeft E (Els) de beste score en wordt dus vertegenwoordiger van de groep.

29a M × P =

prijs

menu

menu

menu

menu

1

2

3

4

260

200

240

220




⁄102


b S × M =

menu menu menu menu

B

eiwit

energie

1 2 3 4

2 0 6 1 2 0 8, , , 11

65 80 70 75

112 00 4 000 8 800 6 400

c Voor de volwassene voldoet geen enkel menu, voor het kind voldoen de menu’s 2 en 4. d Menu 4 moet nog aangevuld worden met 15 gram eiwit en met 600 kJ energie. Door 75 gram sojabonen toe te voegen is hier aan voldaan. e Je moet minimaal 0 9

0 1 9,, = delen rijst hebben om aan de vitamine B2 behoefte te

voldoen. Dan wordt er ruimschoots aan de eiwit- en energiebehoefte voldaan. Dat kost 9 0 70 6 30× =, , euro.

bladzijde 123

30a De kans is 70% dat het morgen zonnig is als het vandaag zonnig is.

bc M2 0 61 0 52

0 39 0 48=

, ,

, ,

0,61 is de kans dat het overmorgen zonnig is als het vandaag zonnig is. 0,39 is de kans dat het overmorgen bewolkt is als het vandaag zonnig is. 0,52 is de kans dat het overmorgen zonnig is als het vandaag bewolkt is. 0,48 is de kans dat het overmorgen bewolkt is als het vandaag bewolkt is.

d Uit bijvoorbeeld M20 0 57 0 57

0 43 0 43≈

, ,

, , volgt dat M M20 201

0

0

1

0 57

0 43⋅

= ⋅

≈

,

, Dus maakt het niet uit of het vandaag zonnig of bewolkt is: over 20 dagen is de kans dat het zonnig is 0,57 en dat het bewolkt is 0,43. De verhouding hiervan is ongeveer 4 : 3. e Volgens dit model kun je ongeveer 4

7 365 209× ≈ zonnige dagen per jaar verwachten.

31a 1

1

; 2

1

; 3

2

; 5

3

b Je krijgt steeds de som van de vorige twee en de laatste term uit de rij van Fibonacci.

c Ff

f16 17

16

1

0

1597

987⋅

=

=

f16 987= en f17 1597=

d Ff

f

f

f− ⋅

=

=

1 17

16

16

15

987

610 f15 610=

e Ff

f

f

f−

−

⋅

=

=

1 1

0

0

1

0

1

Ff

f

f

f−

−

−

−

⋅

=

=−

1 0

1

1

2

1

1

Ff

f

f

f− −

−

−

−

⋅

=

=

−

1 1

2

2

3

1

2 f− =1 1 ; f− = −2 1 ; f− =3 2

32a Uit de matrixvermenigvuldiging volgen de twee vergelijkingen uit het stelsel. b 1

412

18

14−




⁄103


c 2 4

1 2

2 4

1 2

2 4

1 2

1−

⋅−

⋅

=−

−x

y

⋅

−16

8

Ix

y⋅

=−

⋅

−2 4

1 2

6

8

1

dus 2 4

1 2

6

8

1−

⋅

=

−x

y

d 1 2

3 1

3

18

4

3

1 5767

−

⋅−

=

−

x = 4 57 en y = 3 6

7

e

1 2 1

1 1 1

0 2 1

1

2

4

1

1

2

1−

−

⋅

=

−

x = 1, y = 1 en z = 2

Test jezelf

bladzijde 126

T-1a

W1 W2 W3 W4

Q P

A

B

C

− =− − − −−

26 25 30 27 31 31 29 50 28

15 12

,

111 11 13 9 12 50 10 50

99 50 98 99 50 99 50 95

− − −− − −

, ,

, , , 889 98 92−

W1 W2 W3 W4

=

A

B

C

1 3 0 1 50

3 0 4 2

1 50 0 6 6

,

,

b Q - P is de prijsverhoging op 1 januari 2006 ten opzichte van 1 januari 2005. c Door elk getal uit matrix Q te vermenigvuldigen met 1,15 krijg je de gevraagde matrix. W1 W2 W3 W4

A

B

C

29 90 34 50 35 65 33 93

17 25 12 65 14

, , , ,

, , ,, ,

, , , ,

95 14 38

114 43 114 43 109 25 112 70

T-2a Verwissel de rijen en kolommen van matrix A.

J.. C.. F.. Prijs Prijs

winkel1

winkel 2

winkel 3

10 144 4

12 10 3

15 8 2

200

150

60

×J8GI

C46L

F46L 00

6 500

5 700

5

=winkel1

winkel 2

winkel 3 4400

De getallen 6 500, 5 700 en 5 400 geven de totale inkoopprijs van de verkochte fietsen in de drie winkels.

b De winst per fiets is achtereenvolgens 140, 70 en 230 euro.

J.. C.. F.. winst winst

W1

W 2

W 3

10 14 4

12 10 3

15 8 2

×

=J

C

F

W1

W 2

W3

140

70

230

3300

30700

3120

Winkel 1 maakte in januari de meeste winst.




⁄104


c

J.. C.. F.. winst winst

winkel1

winkel 2

winkel 3

10 144 4

12 10 3

15 8 2

150

75

250

×J8GI

C46L

F46L

=winkel1

winkel 2

winkel 3

3550

3300

33550

= W

T-3a

periode 1

periode 2

A B

A

BM

0 6 0 2

0 4 0 8

, ,

, ,

=

b M

A

B2 625

500

415

710×

=

bladzijde 127

T-4a WS

E×

=

940

460

985

415 op 22 mei

WS

E×

=

985

415

1019

381 op 29 mei

b WS

E6 940

460

1088

312×

=

dus na 6 weken

c WS

E− ×

=

1 940

460

880

520 op 8 mei

de WS

E26 0

1000

800

200×

=

dus 200 klanten

en WS

E×

=

800

200

800

200, er treedt geen verandering meer op.

T-5a 2 3

1 2

b

−−

−

3 1 3

0

1 0 1

12

12

T-6a Nee, want er is geen diplomaat die zowel Swahili als Duits beheerst. b

M1M2 M3M4M5

M1

M2

M3

M4

M5

B A⋅ =

3 1 2 2 2

1 2 1 2 1

2 1 2 2 1

2 2 2 3 11

2 1 1 1 2

De waarden geven aan in hoeveel talen twee diplomaten kunnen communiceren.




⁄105


c

E F D S

E

F

D

S

A B⋅ =

5 3 2 2

3 3 1 1

2 1 2 0

2 1 0 2

De waarden geven aan hoeveel diplomaten de desbetreffende twee talen beheersen.

T-7 In is een n n× matrix. Om twee matrices te kunnen vermenigvuldigen moet het aantal kolommen van de

eerste matrix gelijk zijn aan het aantal rijen van de tweede matrix. Als dan zowel A B⋅ als B A⋅ een n n× matrix is moeten beide matrices wel n rijen en n kolommen hebben.




Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 2 Hoofdstuk 5 -...

Documents

Transcript of Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 2 Hoofdstuk 5 -...