Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/...1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep...

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN

ARCHITECTUUR

VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE

PROCESKUNDE (EA11)

Mechanica

van

Materialen

Oefeningensyllabus

Academiejaar 2017-2018

Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM

Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)

Technologiepark-Zwijnaarde 903

9052 Zwijnaarde

Tel. : 09/331.04.32

Fax : 09/264.58.33

Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus

1

Hoofdstuk 1

Krachten, momenten, spanningen en rekken

§ Statica van constructies

1.1 Bepaal de grootte en de positie van de resultante van volgende krachten:

1.2 Bepaal de reactiekrachten van de eenvoudig opgelegde balk ABCD.


2

1.3 Bepaal de reactiekrachten van de ingeklemde balk ABC.

1.4 Bepaal de krachten in de vakwerkstaven, als alle individuele staven verbonden zijn

door scharnieren. Er kan dus geen moment worden overgedragen van de ene staaf naar

de andere.

1.5 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C

van de machine-as werken. De as wordt in A en B ondersteund door lagers die alleen

verticale krachten op de as uitoefenen. De rotatie van de as wordt niet verhinderd.


3

1.6 Het hijstoestel in onderstaande figuur bestaat uit de balk AB en de daaraan bevestigde

katrollen, de kabel en de motor. Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op

de dwarsdoorsnede in het punt C werken als de motor de vracht W van 500 N met

constante snelheid ophijst. Negeer het gewicht van de katrollen en de balk.

1.7 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt G op de dwarsdoorsnede

van de houten balk werken. Neem aan dat de verbindingen bij A, B, C, D en E met

scharnieren zijn uitgevoerd, zodat geen moment kan overgedragen worden.

1.8 Gegeven is onderstaande auto met aanhangwagen. Het gewicht van de auto FG1 is

25000 N. Het gewicht van de aanhangwagen FG2 is 1200 N en grijpt aan net boven de

wielen van de aanhangwagen. De afmetingen zijn a = 2 m, b = 0.5 m en L = 2 m.

In de aanhangwagen wordt nu een massa geplaatst met gewicht Fm = 1000 N. Bepaal

de uiterste posities (x) ten opzichte van de trekhaak opdat de wagen steeds met vier

wielen op de grond blijft.


4

1.9 Gegeven is de volgende constructie:

60 60

6 m

2 m

2 m

10 kN

5 kN/m

C

A B

D

E F

G

Gevraagd zijn de snedekrachten en –momenten in het punt G (halverwege de verticale

staaf met lengte 2 m).

(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

1.10 Gegeven is de volgende constructie. De rechtstaande kolom CF heeft een massa per

lopende meter van 250 kg/m. Ter hoogte van A wordt een horizontale ligger AB

scharnierend verbonden met de kolom. Deze ligger heeft een massa per lopende meter

van 150 kg/m. Vanuit C vertrekken twee trekkabels naar punten B en G.

In F en G wordt de horizontale en verticale verplaatsing van de constructie verhinderd.

Bereken de snedekrachten in E, als het eigengewicht de enige inwerkende belasting is

op de constructie (g = 9,81 m/s2).


5

(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 40 minuten)

§ Spanningen

1.11 De onderstaande staaf heeft een constante breedte van 35 mm en een dikte van 10 mm.

Bepaal de maximale gemiddelde trekspanning (= Fn/A) in de staaf voor de

aangegeven belasting. De belastingen van 9 kN en 4 kN werken niet op de volledige

omtrek van de schijven, maar zijn twee afzonderlijke puntlasten op de boven- en

onderzijde van de schijven.

1.12 De onderstaande lamp van 80 kg wordt ondersteund door twee stangen AB en BC. De

stang AB heeft een diameter van 10 mm en de stang BC een diameter van 8 mm.

Bepaal welke stang de grootste gemiddelde trekspanning (= Fn/A) heeft.


6

1.13 Het onderstaande gietstuk is gemaakt van staal dat een soortelijk massa heeft van

st = 7990 kg/m3. Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) die op de punten A

en B werkt.

1.14 Onderdeel AC in onderstaande figuur wordt belast door een verticale kracht van 3 kN.

Bepaal de positie x van deze kracht, zodanig dat de drukspanning in het punt C gelijk

is aan de trekspanning in de trekstang AB. De stang heeft een dwarsdoorsnede met

oppervlakte 400 mm2, en de contactoppervlakte bij C is 650 mm2. In het punt C is de

balk gewoon opgelegd op de ondergrond.


7

1.15 De onderstaande staaf heeft een vierkante dwarsdoorsnede waarvan breedte en hoogte

beide 40 mm bedragen. Langs de zwaartepuntsas van de dwarsdoorsnede van de staaf

werkt een axiale kracht van 800 N. Bepaal de gemiddelde normaalspanning (= Fn/A)

en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) op het materiaal langs (i) het

doorsnedevlak a-a en (ii) het doorsnedevlak b-b.

1.16 Het hellende onderdeel in onderstaande figuur ondervindt een drukkracht van 600 N.

Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) op de contactvlakken die door AB en

BC worden gedefinieerd, en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) langs het

horizontale vlak dat door EDB wordt gedefinieerd. De wrijving tussen beide houten

balken mag verwaarloosd worden.


8

1.17 Twee onderdelen zijn in B met een scharnier aan elkaar bevestigd. De figuur toont ook

bovenaanzichten van de penverbindingen bij A en B. Als de pennen een toelaatbare

schuifspanning toel = 125 MPa hebben en de staaf CB een toelaatbare trekspanning

toel = 162 MPa , bepaal dan de kleinste diameter van de pennen A en B en de diameter

van de staaf CB, nodig om de belastingen te ondersteunen, tot op de dichtstbijzijnde

hele millimeter.

1.18 Een hangende staaf wordt aan het bovenuiteinde ondersteund door een vast bevestigde

schijf. Als de staaf door een gat van 40 mm diameter gaat, bepaal dan de minimaal

vereiste diameter van de staaf en de minimale dikte van de schijf, nodig om de

belasting van 20 kN te ondersteunen. De toelaatbare trekspanning voor de staaf is toel

= 60 MPa en de toelaatbare schuifspanning voor de schijf is toel = 35 MPa.


9

1.19 Een axiale belasting op de onderstaande as wordt opgevangen door de kraag bij C, die

op de as bevestigd is en zich op de rechterkant van het lager bij B bevindt. Bepaal de

grootste waarde van P voor de twee axiale krachten bij F en E, zodanig dat de spanning

in de kraag niet groter wordt dan de toelaatbare vlaktedruk toel = 75 MPa, en de

trekspanning in de as de toelaatbare waarde van toel = 55 MPa niet overschrijdt.

1.20 De starre, onvervormbare staaf AB wordt ondersteund door een stalen staaf AC met

een diameter van 20 mm en een aluminium blok dat een dwarsdoorsnede heeft met

oppervlakte 1800 mm2. De pennen van 18 mm diameter bij A en C ondervinden een

zuivere afschuiving. Als de bezwijkspanning voor staal st = 680 MPa bedraagt en

voor aluminium alu = 70 MPa, en de bezwijkschuifspanning voor elke pen pen = 900

MPa, bepaal dan de grootste belasting P die op de staaf kan worden uitgeoefend.

Gebruik een veiligheidsfactor VF = 2,0 voor de gegeven materiaaleigenschappen.


10

§ Hoofdspanningen en hoofdrichtingen

1.21 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

MPa

1608032

805056

325670

ij

Bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen in dit punt.

1.22 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

MPa

20060

01200

600180

ij

Bereken de grootste normaalspanning voor de verzameling van alle vlakjes door het

punt P.

§ Rekken

1.23 De dunne staaf in onderstaande figuur ondervindt een temperatuurverhoging die een

functie is van de afstand z en die in de staaf een verlenging veroorzaakt van:

z1040 3

met z in meter.

Bepaal (i) de verplaatsing van uiteinde B van de staaf als gevolg van de

temperatuursverhoging, en (ii) de gemiddelde verlenging van de staaf.


11

1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep van de hefboom en zorgt ervoor dat de arm van

de hefboom in uurwijzerzin roteert over een hoek van = 0,002 rad. Bepaal de

gemiddelde rek die in de draad BC ontstaat.

1.25 Onderstaande plaat wordt vervormd tot de gestippelde vorm. Als in deze vervormde

toestand horizontale lijnen op de plaat horizontaal zijn gebleven en niet van lengte zijn

veranderd, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de zijde AB, en (ii) de gemiddelde

afschuifhoek in de plaat ten opzichte van de x- en de y-as.

1.26 De getoonde plaat zit aan de bovenzijde AD en onderzijde BC vast aan starre

horizontale geleiders. Als de rechterzijde CD een gelijkmatige horizontale verplaatsing

van 2 mm ondergaat, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de diagonaal AC, en (ii)

de afschuifhoek bij E t.o.v. de x- en y-as.


12

§ Wet van Hooke

1.27 Een staaf gemaakt van staal heeft de in onderstaande figuur aangegeven afmetingen.

Als een axiale kracht P = 80 kN op de staaf wordt uitgeoefend, bereken dan de

verandering in lengte en de verandering in de afmetingen van de dwarsdoorsnede nadat

de belasting is aangebracht. Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch, met E = 200

GPa en = 0,32.

1.28 Een aluminium proefstaaf heeft een diameter d0 = 25 mm en een meetlengte L0 = 250

mm. Als een kracht van 165 kN de meetlengte vergroot met 1,20 mm, bepaal dan de

elasticiteitsmodulus. Bepaal tevens de dwarscontractie van de proefstaaf ten gevolge

van de kracht. De glijdingsmodulus van aluminium bedraagt Galu = 26 GPa en de

elasticiteitsgrens v = 440 MPa.


13

1.29 Een samengestelde stalen staaf (E = 200 GPa) bestaat uit twee segmenten AB en BD,

die dwarsdoorsnedes hebben met oppervlakte AAB = 100 mm2, respectievelijk ABD =

200 mm2. In de figuur is te zien dat 5 geïsoleerde puntbelastingen worden uitgeoefend.

Bepaal de verticale verplaatsing van uiteinde A en de verplaatsing van B t.o.v. C.

1.30 De getoonde constructie bestaat uit een holle aluminium buis AB met Ealu = 70 GPa.

De dragende oppervlakte van de holle cilinder bedraagt 400 mm2. Binnenin de buis

bevindt zich een stalen staaf met een diameter van 10 mm en Est = 200 GPa, die aan

een starre kraag in B is bevestigd. De stalen staaf kan horizontaal vrij verplaatsen ter

hoogte van de doorgang in A. Er wordt een trekbelasting van 8 kN op de staaf

uitgeoefend. Bereken de verplaatsing van uiteinde C van de staaf.


14

1.31 Een onvervormbare balk rust op twee korte palen. De paal AC is van staal (Est = 200

GPa) en heeft een diameter van 20 mm. De paal BD is van aluminium (Ealu = 70 GPa)

en heeft een diameter van 40 mm. Bepaal de verplaatsing van het punt F op de balk

AB als dit punt een verticale belasting van 90 kN ondervindt.

1.32 Een onderdeel is gemaakt van een materiaal dat een soortelijke massa [kg/m3] en een

elasticiteitsmodulus E [N/m2] heeft. Als dit materiaal wordt gevormd tot een kegel met

de in de figuur getoonde afmetingen, bepaal dan hoe ver het uiteinde van de kegel

verplaatst als gevolg van de zwaartekracht, wanneer het in een verticale positie wordt

opgehangen.


15

1.33 Een rechthoekig rubberblok ondervindt een gelijkmatige druk p = 150 MPa op alle

zijden. Bepaal de volumerek en de lengteverandering van elke zijde. Neem Erub = 4

GPa en rub = 0,45.

1.34 Een ronde proefstaaf met diameter 2,5 cm wordt in zijn langsrichting belast met een

trekkracht van 20 kN. Als het materiaal zich elastisch gedraagt en een E-modulus heeft

van 70 GPa, bereken dan de procentuele verlenging.

1.35 De zuiger van een hydraulische pers heeft een diameter van 40 cm, terwijl de

zuigerstang een diameter heeft van 6 cm. De lengte van de zuigerstang is 1 meter en de

waterdruk bedraagt 1 MPa. Bereken de spanning in de zuigerstang en de verlenging

van de zuigerstang als de waterdruk langs de kant van de zuigerstang aangrijpt. De

elasticiteitsmodulus van de zuiger en zuigerstang is 200 GPa.

1.36 Een stalen transmissiekabel (E = 200 GPa) van 750 m lengte en 0,5 cm diameter wordt

door een lange rechte leiding getrokken. Als het ene uiteinde van de kabel 17,5 cm in

de leiding wordt getrokken, hoeveel verplaatst het andere uiteinde dan als de trekkracht

in de kabel 1,5 kN bedraagt ?

1.37 Een ronde metalen proefstaaf met diameter 1 cm is belast in trek. Als de treklast 5 kN

bedraagt en de meetlengte van 25 cm een verlenging van 0,0227 cm ondergaat,

bereken dan de E-modulus van het materiaal.


16

1.38 Een rechte staaf met dwarsdoorsnede A, lengte L, soortelijke massa en

elasticiteitsmodulus E draait met een constante hoeksnelheid rond één van zijn

eindpunten om een as die loodrecht staat op zijn lengte-as. Bereken de maximale

trekspanning in de staaf en de verlenging van het vrije eindpunt van de staaf.

1.39 Een horizontale balk met een gewicht van 50 N is opgehangen aan drie kabels, twee

aan de uiteinden van de balk en één in het midden. The twee buitenste kabels met

diameter 0,125 cm zijn vervaardigd uit messing (E = 85 GPa), de middenste kabel met

diameter 0,0625 cm uit staal (E = 200 GPa). Als de horizontale balk onvervormbaar

ondersteld wordt en alle kabels hebben dezelfde lengte, bereken dan de spanningen in

de kabels.

1.40 Een stalen bout met diameter 2,5 cm wordt in een stalen huls gebracht met 5 cm

interne diameter en 6,25 cm externe diameter. De bout wordt via een moer (rechts)

voorgespannen tussen de starre eindblokken van de huls tot de trekkracht in de bout 40

kN bedraagt. Na voorspanning is de lengte van de huls tussen de starre eindblokken 40

cm en de afstand tussen de kop van de bout (links) en de moer (rechts) is 50 cm. Als

nu een externe trekkracht van 30 kN wordt aangebracht op de starre eindblokken,

bereken dan de trekkracht in de bout.


17

1.41 Een dunne rechthoekige aluminium plaat heeft de onderstaande afmetingen. De

elastische constanten van het materiaal zijn E = 77,5 GPa en G = 29,5 GPa.

Ze is onderworpen aan de spanningstoestand:

MPa

000

011520

020100

ij

Bepaal de lengteverandering van de diagonaal AC.

1.42 Gegeven is de volgende belastingstoestand:

De balk AB is bij A met een pen bevestigd en wordt opgehangen aan twee aluminium

staven, elk met een diameter van 25 mm en een elasticiteitsmodulus Ealu = 70 GPa. Als

de balk AB als onvervormbaar mag beschouwd worden en in het begin horizontaal

staat, bepaal dan de kracht in elke verticale staaf wanneer de belasting van 22 kN

wordt aangebracht.



18

1.43 Gegeven is het volgende probleem:

A

20 kNm

10 kN

0,5 m 2 m 0,5 m

B C

1 m 1 m

Een starre, onvervormbare balk is opgehangen aan drie vervormbare staven met

volgende dwarsdoorsnede:

25 mm

25 mm

De wanddikte van de kokers is 3 mm.

Bereken de maximale normaalspanning en geef aan in welke verticale staaf ze

optreedt.


1.44 Een kracht F wordt aangelegd aan een constructie van starre balken, verbonden door

veren met veerconstante ki (i = 1...3), zoals aangegeven in bovenstaande figuur.

Bepaal het verband tussen de aangelegde kracht F en de gerealiseerde verplaatsing u.


19

1.45 Gegeven is een schematische voorstelling van een drukknop. De veer rechts onderaan

heeft een vrije lengte l0 en is voorgespannen tot lengte a (in P steunt de hefboom

immers tegen de behuizing van de drukknop).

Bepaal de kracht F zodat de opening met breedte ‘t’ opgeheven wordt en er dus

elektrisch contact gemaakt wordt om het licht aan te steken. Gezien de beperkte

verplaatsingen, mag men aannemen dat F tijdens belasting verticaal blijft aangrijpen,

en de hefboomsarm gelijk blijft aan de afstand ‘b’.


Een veer heeft een stijfheid k = 400 kN/m en in ongerekte toestand een lengte van 250

mm. De veer wordt ingedrukt, over het 200 mm lange gedeelte AC van de aluminium

staaf AB geplaatst, en vervolgens losgelaten. Bepaal de kracht die de staaf bij A op de

muur uitoefent. Voordat de belasting wordt aangebracht, is er een ruimte van 0,1 mm

tussen de staaf en de muur bij B. De staaf is bij A in de muur ingeklemd. Verwaarloos

de dikte van de onvervormbare plaat bij C. De stijfheid van het aluminium is 70 GPa.

§ Thermische spanningen

1.47 Gegeven zij een “trimetaal”, dat opgebouwd is uit een centrale strip van staal (1),

waaraan aan beide zijden twee identische aluminium strippen (2a) en (2b) vast zijn

verbonden. De lengte en de breedte van elke strip zijn gelijk.


20

Verdere gegevens zijn:

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 206E

mm 1000L

mm 6h

mm 30b

6-

1

1

1

1

aluminium:

C/1023,0

0,3

GPa 72E

mm 1000L

mm 8h

mm 30b

6-

2

2

2

2

Het trimetaal, spanningsvrij ondersteld bij 20 C, wordt homogeen opgewarmd tot

100 C. Gevraagd:

a) bereken in elke strip de optredende thermische spanning. Er dient enkel rekening

gehouden te worden met de spanningen xx in de langsrichting,

b) bepaal de uiteindelijke afmetingen van het trimetaal (opnieuw enkel in de

langsrichting).

1.48 Het te analyseren systeem bestaat uit:

- twee starre eindblokken, die vrij kunnen bewegen in de horizontale richting,

- vier stalen buizen A, symmetrisch opgesteld,

- één aluminium strip B.

De buizen én de strip zijn gelast aan beide eindblokken.

De dwarsdoorsnede van de stalen buizen A en de aluminium strip B zijn hieronder

getoond:

De eigenschappen van materialen A en B zijn:


21

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 200E

mm 400L

mm 10r

mm 7r

6-

a

a

a

u

i

aluminium:

C/1021,0

0,25

GPa 70E

mm 400L

mm 4h

mm 30b

6-

b

b

b

Bereken de thermische spanning in de materialen A en B, als het geheel een

gelijkmatige temperatuurstijging van 100 C ondergaat.

1.49 Een bout met moer steekt in een gat in een blok. Bij omgevingstemperatuur is er een

speling van 0,10 mm tussen de bout en het blok. De bout wordt 100 C afgekoeld,

terwijl het blok geen verandering van temperatuur of lengte ondergaat.

De eigenschappen van het materiaal van bout en moer zijn:

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 200E

6-

Gevraagd:

a) wat is dan de thermische spanning in deze bout ?

b) wat is de verandering van de diameter van de bout ?

1.50 Een stalen staaf (E = 200 GPa) is zodanig gekrompen dat hij precies tussen twee starre

ondersteuningen past als de temperatuur T1 = 15 C. Als de temperatuur wordt

verhoogd tot T2 = 50 C, bepaal dan de gemiddelde thermische drukspanning die in de

staaf ontstaat.


22

1.51 Een buis van aluminium (Ealu = 73,1 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met een

dwarsdoorsnede-oppervlakte van 600 mm2 wordt gebruikt als bus voor een bout van

staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van

400 mm2. Als de temperatuur T1 = 15 C is, houdt de moer de constructie zodanig in

positie dat de axiale kracht in de bout mag worden verwaarloosd. Als de temperatuur

oploopt tot T2 = 80 C, bepaal dan de gemiddelde spanning in de bout en in de bus.

1.52 Een messing plaat (E = 120 GPa, = 0,33 en = 1610-6 m/mC) met afmetingen 20

mm x 30 mm x 2 mm is gevat in een star frame met een verwaarloosbare thermische

uitzettingscoëfficiënt. De vier randen van de plaat zijn star met het frame verbonden.

Als de temperatuur daalt met 100 C, bereken dan de resulterende spanningen in de

plaat.


23

1.53 Een aluminium bout (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met diameter 2,2 cm wordt

in een stalen bus (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) geplaatst met binnendiameter

2,5 cm en wanddikte 0,3 cm. Beide worden op een temperatuur van 140 C gebracht

en bij deze temperatuur wordt de aluminium bout lichtjes aangeschroefd in de stalen

bus. Als de temperatuur nu met 20 C daalt, bereken dan de spanningen in de

aluminium bout.

§ Arbeid en elastische energie

1.54 Een dunwandig vat heeft de vorm van een bol. De gemiddelde diameter van de bol is

D en de wanddikte e (waarbij e << D). Dit sferisch vat is onderworpen aan een

inwendige druk p.

D

e

p

Een goede benadering voor de spanningstoestand is, in bolcoördinaten:

e4

Dp00

0e4

Dp0

000

][

r

r

rrrr

waarbij:

D = 20 m

e = 8 mm

p = 0,5 MPa

E = 210 GPa

= 0,3

Gevraagd:

a) bereken de elastische energie in de wand van het vat,

b) verifieer het resultaat door de arbeid van de inwendige druk te berekenen.


24

§ Orthotrope materialen

1.55 Men heeft een multiplex-plaat opgebouwd door achtereenvolgens veel dunne lagen

van eenzelfde houtsoort en dezelfde dikte op elkaar te lijmen, met afwisselend een laag

waarin de vezels volgens de x-as liggen en een laag waarin de vezels volgens de y-as

liggen. De aldus opgebouwde plaat wordt beschouwd als een homogeen materiaal.

Men heeft in het laboratorium volgende proeven verricht, telkens in vlakspanning (33

= 13 = 23 = 0):

- een trekproef in de x-richting met:

0

0

MPa10

12

22

11

Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3

33

3

22

3

11

104,0

102,0

100,1

- een proef in afschuiving met:

MPa10

0

0

12

22

11

Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3

12 100,5

Bepaal, met behulp van alle beschikbare inlichtingen, zoveel mogelijk

elasticiteitsconstanten en schrijf de gevonden waarden in een matrix [S], zodat

]S[ . Zet een vraagteken voor de onbekende waarden.

1.56 Een plaat is vervaardigd uit boron/epoxy composiet.


25

Dit transversaal isotroop materiaal telt vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten,

zodat:

GPa

9,500000

014,80000

0014,8000

0004,297,136,24

0007,134,296,24

0006,246,240,209

]C[

De plaat wordt belast in vlakspanning (33 = 13 = 23 = 0), met de spanningen 11 en

22 uniform verdeeld over de randen, zodat 11 = 6,56210-4 en 22 = -59,05510-4.

Gevraagd:

a) bepaal de waarde van de aangelegde spanningen 11 en 22 en de dikteverandering,

b) bereken de rekverhouding 11/22 in twee gevallen:

- de plaat wordt belast met 11 = 75 MPa,

- de plaat wordt belast met 22 = 75 MPa.


26

Hoofdstuk 2

Structureel gedrag

§ Geometrische eigenschappen

2.1 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede:

a) de juiste ligging van het zwaartepunt O,

b) het traagheidsmoment Iyy om de horizontale as door O.

2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale

as door het zwaartepunt.

2.3 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede van het T-profiel de ligging van het

zwaartepunt en het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.


27

2.4 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt, de

traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz om de horizontale en verticale as door het

zwaartepunt, de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de

hoofdtraagheidsmomenten.

2.5 Een hoekprofiel met uniforme dikte 0,5 cm heeft twee benen van 6 cm en 4 cm.

Bereken de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de

hoofdtraagheidsmomenten.


28

2.6 Een Z-profiel heeft een dwarsdoorsnede zoals aangegeven in onderstaande figuur.

Bereken de traagheidsmomenten om de assen y en z, evenals de ligging van de

hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

§ Dwarskracht- en momentenlijnen bepalen

2.7 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

xy

z

F

CBA

L a


29


xy

z

F

A

L

a

B


xy

z

A

L

B

K


xy

z

BA

L

K


xy

z

BA

L

q0


30

2.12 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 3 m wordt belast met een verdeelde

belasting q(x) = q0(1-x/L), met q0 = 2000 N/m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

2.13 Een balk op twee steunpunten wordt belast met een verdeelde belasting q(x) =

q0[x/(L1+L2)], met q0 = 700 N/m, L1 = 9 m en L2 = 3 m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

§ Normaalspanningen t.g.v. N

2.14 Een ingeklemde balk met een T-vormige sectie wordt op het uiteinde belast met een

axiale kracht Q.

Bepaal het aangrijpingspunt van Q zodanig dat de spanning in elke sectie gelijkmatig

verdeeld is. Duid het aangrijpingspunt van Q aan op de figuur.


31

2.15 De balken AB en BC worden gesteund in de scharnieren A en C en zijn onderling

verbonden in B met een scharnier. Het gedeelte AD wordt belast met q(x) = q0(1-x/3),

met x in meter. De balk BC heeft een ronde sectie met diameter 10 mm.

Bepaal q0 zodanig dat de spanning in de staaf BC 150 MPa bedraagt.

§ Normaalspanningen t.g.v. M

2.16 Een balk op twee steunpunten, met lengte 3 m, wordt belast met twee tegengestelde

puntkrachten Q = 10 kN, aangrijpend op x = 1 m en x = 2 m. De pijlen in de figuur

geven de fysische zin van de krachten weer.

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn door het schrijven van de

evenwichtsvergelijkingen voor een afgezonderde moot,

b) zoek een I-profiel (zie tabel in cursus) zó dat de maximale normaalspanning xx

niet meer dan 200 MPa bedraagt,

c) vergelijk het gewicht van het gevonden I-profiel met het gewicht van een balk met

volle rechthoekige sectie, met dezelfde hoogte en dezelfde maximale

normaalspanning onder deze belasting.

2.17 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 2 m wordt belast met een kracht Q =

1000 N, aangrijpend in x = 2 m, en met een koppel K = 500 Nm, aangrijpend op x =

1,3 m.


32

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn,

b) zoek de maximale normaalspanning xx als de balk een volle rechthoekige

doorsnede heeft.

2.18 De hieronder geschetste balk heeft een volle ronde sectie met diameter 150 mm.

Bepaal het verloop van de normaalspanningen over de sectie in het punt A.

2.19 Een portiek is opgebouwd uit staven met vierkante doorsnede 10 x 10 mm. De grootste

normaalspanning mag niet meer bedragen dan 100 MPa.


33

Hoeveel mag de kracht Q dan bedragen ?

2.20 Een stalen I-profiel met totale hoogte 10 cm heeft flenzen met een breedte van 5 cm en

een dikte van 0,625 cm. De dikte van de lijfplaat is 0,475 cm.

Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in

trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op

dit I-profiel.

2.21 Een stalen buis met een externe diameter van 5 cm en een wanddikte van 0,5 cm wordt

gedimensioneerd voor een toelaatbare spanning van 100 MPa.

Bereken het maximaal buigend moment.


34

2.22 Een stalen T-profiel met totale hoogte 10 cm heeft een flens met een breedte van 10

cm. De dikte is overal 1 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen

zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment

dat men mag aanbrengen op dit T-profiel.

2.23 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):

BA

10 kN

5 kNm

1 m 2 m

x2 m

2 m2 m2 m

2 kN/m

Op de balk grijpt links (x = 0) een neerwaartse puntkracht aan van 10 kN, tussen x = 3 m

en x = 5 m een verdeelde belasting van 2 kN/m en op het rechteruiteinde (x = 9 m) een

koppel van 5 kNm met de getekende zin.

Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:

30 cm

2 cm

25 cmy

z

Het U-profiel heeft een constante wanddikte van 2 cm en wordt geplaatst met de twee

benen naar beneden. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met

het draadmodel.

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de

tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Waar (welke doorsnede + positie binnen doorsnede) treedt de grootste normaalspanning

xx in de balk op ? Maak een duidelijke tekening van het spanningsverloop in deze

dwarsdoorsnede.



35


BA

2 m

x

1 m1 m3 m

2 kN/m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 2 kN/m tussen x = 3 m en x = 4 m.

In het punt B (x = 5 m) is de balk opgehangen aan een verticale staaf van 2 m.


300 mm 40 mm

150 mmy

z50 mm

80 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een massieve doorsnede,

waaruit onderaan een rechthoekig stuk is weggenomen. Eigenschappen van het profiel

worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de maximale normaalspanning (in absolute waarde) die optreedt over de

volledige balk. Geef met een figuur duidelijk aan waar deze spanning precies optreedt.

U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.


§ Schuifspanningen t.g.v. V (formule Jourawski)

2.25 Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het cirkelvormig profiel:


36

x y

z

R

2.26 Een balk met ruitvormige sectie wordt in een bepaalde doorsnede belast met de

dwarskracht Vz = -100 kN. Bereken de schuifspanning xz in het punt A (yA = 7,5 mm;

zA = -22,5 mm).

2.27 Een balk die aan één zijde is ingeklemd, wordt belast met een kracht Q = 120 kN op de

top, zoals op de figuur aangeduid. Q ligt in het vlak x-z en is evenwijdig met de z-as.

De doorsnede is een T-profiel. Bereken de grootste schuifspanning die in deze balk

veroorzaakt wordt door de dwarskracht.


37

§ Samengestelde belastingen

2.28 Op de rand van een kolom wordt een kracht van 150 N uitgeoefend. Verwaarloos het

gewicht van het onderdeel en bepaal de spanningstoestand in de punten B en C.

2.29 Onderstaand constructie-onderdeel heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede. Bepaal de

spanningstoestand die in het punt C door de belasting wordt veroorzaakt.

2.30 Een rechthoekig blok heeft een te verwaarlozen gewicht en ondervindt een verticale

kracht P. Bepaal het waardenbereik voor de excentriciteit ez van de belasting langs de

z-as, zodanig dat deze geen trekspanning in het blok veroorzaakt.


38

2.31 Een balk met een dwarsdoorsnede 60 mm x 100 mm is onderworpen aan een axiale

trekkracht van 60 kN. Als de vloeigrens van het materiaal in uni-axiale trek 150 MPa

bedraagt, bereken dan de maximale dwarskracht die men bijkomend mag aanbrengen

(parallel met de langste zijde van de rechthoek) vooraleer de balk begint te vloeien.

§ Doorbuigingen

2.32 Bepaal de verplaatsing van het punt C voor de volgende balk:

xy

z

F

A

a

b

B

C

2.33 Een balk op twee steunpunten wordt met drie krachten belast, waarvan er twee bekend

zijn.


39

Bepaal de grootte van de kracht Q zodanig dat de doorbuiging in het aangrijpingspunt

van Q nul is. Maak gebruik van superpositie van gekende oplossingen.

2.34 Een balk AB is in A ingeklemd. In B zijn de balken AB en CD aan elkaar gelast, zodat

de rechte hoek tussen deze twee balken behouden blijft tijdens de belasting. De

zwaartepunten van alle dwarse doorsneden liggen in het vlak x-z. Dit vlak snijdt alle

dwarse doorsneden volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede van elke balk is een

vierkant met zijde 40 mm. In D werkt een uitwendige kracht Qx = 1,5 kN. De

elasticiteitsmodulus bedraagt 210 GPa.

Bepaal de verplaatsing van het punt C.

2.35 Gegeven is de volgende stalen balk met E = 200 GPa:

xy

z

F

K

De totale lengte van de balk is 3 meter. Op het vrije uiteinde van de balk grijpt een

koppel K aan van 45 kNm met de aangeduide zin.

De balk heeft over zijn volledige lengte het volgende profiel in het y-z vlak (met een

opening met diameter 100 mm):

400 mm

200 mm

y

z


40

Gevraagd:

a) bepaal de zin en grootte van de kracht F zodat de totale verticale doorbuiging op het

uiteinde van de balk onder de gezamenlijke belasting van F en K nul is. U bent

verplicht de tekenconventies van Hoofdstuk 2 te gebruiken.

b) bereken de plaats en de waarde van de maximale normaalspanning. De invloed van

de dwarskracht mag verwaarloosd worden.



BA

10 kNm 5 kNm

1 m 4 m 2 m

Op de balk grijpen links en rechts twee externe koppels aan, respectievelijk 10 kNm en

5 kNm groot.


30 cm

10 cm

10 cm

y

z

15 cm

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht

de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Bereken en teken op een verzorgde figuur de verdeling van de normaalspanning xx in

de zwaarst belaste doorsnede.

In welke doorsnede is de helling van de balk maximaal ?


§ Singulariteitsfuncties

2.37 Bepaal de vergelijking van de doorbuigingslijn voor de eenzijdig ingeklemde balk in

onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant.


41

2.38 Bepaal de maximale doorbuiging van de balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid

EI is constant.


xy

z

10 kN/m

2 kN

5 m

2 m

10 m

B

Tussen x = 5 m en x = 10 m bevindt zich een verdeelde belasting van 10 kN/m en op

het linkeruiteinde van de onderste ligger bevindt zich een neerwaartse kracht van 2 kN.



42

y

z

25 mm 25 mm

25 mm

500 mm

100 mm

t = 5 mm

Twee kokers met een vierkante sectie en een wanddikte van 5 mm zijn aan weerszijden

van een massieve rechthoek gelast. In elk van de drie balksegmenten van de

constructie bevinden de kokers zich aan de zijde waar de trekspanningen in de balk

optreden.

Welke is de meest beperkende voorwaarde: het feit dat de doorbuiging in het punt B

moet beperkt blijven tot 25 mm, of het feit dat de maximale normaalspanning xx in de

balk 210 MPa mag bedragen ? Bereken ook de effectief optredende waarde van de

doorbuiging in B en de maximale normaalspanning xx in de constructie.



xy

z

1 kN/m

4 m

2 m

5 m

5 kNm

C

A B

3 m 3 m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 1 kN/m tussen x = 3 m en x = 7 m.

In het punt B (x = 10 m) grijpt een koppel van 5 kNm aan met de getekende zin. Het

punt C bevindt zich aan het uiteinde van het kraagstuk op x = 5 m (horizontaal

gemeten vanaf de linkerkant).



43

y

z

t = 10 mm

300 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een holle zeshoekige koker

met wanddikte 10 mm en binnenhoogte van 300 mm. Eigenschappen van het profiel

worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de totale verplaatsing (in horizontale en verticale richting) van het punt C

(waarbij u mag veronderstellen dat C op de hartlijn van de balk ligt. U bent verplicht

de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.


2.41 Gegeven zijn de volgende stalen balken ABC en CD (E = 200 GPa, = 0,3). De

linkerbalk ABC steunt in zijn rechtersteunpunt C op het uiteinde van de ingeklemde

balk CD.

Ax B

C

3 kN/m

1 m 1 m1 m 1 m 1 m 1 m

D

Beide balken hebben onderstaande dwarsdoorsnede:


44

50 mm

80 mm

y

z 10 mm

10 mm

50 mm

10 mm 180 mm 10 mm

Bereken de helling van de balk ABC in het punt B.

2.42 Gegeven zijn de stalen balken AB en DC (E = 200 GPa, = 0,3).

Het uiteinde B van de balk AB is door middel van een veer met veerconstante k = 500

kN/m verbonden met het uiteinde C van de balk DC.

De dwarsdoorsnede van beide balken is een vierkant kokerprofiel met

buitenafmetingen 200 mm x 200 mm en wanddikte 10 mm.

Bereken de verticale verplaatsing van het punt B.

1 m

K = 5 kNm

A

1 m

3 kN

x B

CD

L = 0,5 m


45

2.43 Een stalen draagstructuur (E = 210 GPa) is opgebouwd uit twee cilindrische staven.

Beide staven hebben een lengte van 1 m en zijn scharnierend met elkaar verbonden in

het punt S. De structuur wordt aan de rechterkant (punt B) verbonden met een starre

wand door middel van een vaste ondersteuning. Aan de linkerzijde (punt A) wordt de

structuur ondersteund door middel van een rol. Op de linker staaf grijpt centraal een

verdeelde belasting aan van 8000N/m. Op de rechter staaf grijpt centraal een puntlast

aan van 4000N.

25cm

4000 N8000 N/m

25cm50cm 50cm 50cm

A BS

De doorsnede van de cylindrische staven waaruit de draagstructuur is opgebouwd, is

getoond in onderstaande figuur. Het aangeduide YZ-assenstelsel ligt in het middelpunt

van de cirkel. De z-as gaat door de middellijn van de gelijkbenige driehoek, de y-as

gaat door het basis van de driehoek.

Het massieve materiaal is gearceerd, de driehoek is de holte in het materiaal.

zz

y

60 mm

20 mm

15 mm

Gevraagd:

1) Bereken en teken de V-lijn, N-lijn en M-lijn.

2) Bepaal de waarde van de grootste normaalspanning en duid de positie aan op

beide bovenstaande figuren.

3) Bepaal de doorbuiging van het scharnierpunt S ten gevolge van de aangelegde

belastingen.



46

Hoofdstuk 3

Oplossingsmethodes

Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien


47

Hoofdstuk 4

Tweedimensionale elastische problemen

§ Vlakspanning

4.1 In het punt P bestaat de volgende vlakspanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z):

MPa

000

010030

03050

ij

a) stel deze spanningen voor op de cirkel van Mohr,

b) welke waarden nemen deze componenten van de spanning aan in het assenkruis

(x’,y’) dat = 60 in tegenuurwijzerzin gedraaid is t.o.v. (x,y). Stel ook deze

spanningen voor op de cirkel van Mohr,

c) bereken de corresponderende rekken in het assenkruis (x,y) als E = 100 GPa en =

0,3.

4.2 Een dunne rechthoekige schijf in messing (E = 91 GPa, = 1/3) wordt op de onderkant

langs twee zijden gesteund zó dat:

y

0)0,y,100(w

0)0,y,0(w

0)0,0,0(v

0)0,y,0(u


48

Deze schijf wordt in zijn vlak belast met spanningen )n(

aangrijpend op de omtrek

van de plaat zó dat de verplaatsingscomponenten in het vlak van de plaat gegeven zijn

door:

yx1048v

z104x1016x108u6

26264

waarin u, v, x, y en z uitgedrukt zijn in millimeter.

Gevraagd:

a) bepaal de verplaatsingscomponent w zó dat in de plaat een vlakspanningstoestand

heerst,

b) bereken en teken het verloop van de componenten )z,y,xi()n(

i van de

spanningsvector )n(

op het randoppervlak van de plaat,

c) controleer het inwendig spanningsevenwicht,

d) onderzoek de spanningstoestand in het punt A(x = 20, y = 30). Bereken de

hoofdspanningen en hoofdrichtingen en teken de cirkel van Mohr.

De plaat wordt nu samen met steunen en belasting op 3 km diepte onder het

wateroppervlak gebracht, zodat een hydrostatische druk gesuperponeerd wordt op de

reeds bestaande belasting.

e) zoek het resulterende verplaatsingsveld,

f) zoek de resulterende spanningstoestand en hoofdspanningen in het punt A.

4.3 De zijden van een vierkante plaat ADBC zijn vastgelijmd aan de vier staven van een

kader ADBC waarvan de eindpunten verbonden zijn door scharnieren. De staven zijn

vervaardigd uit een veel stijver materiaal dan de plaat. De vier scharnierpunten liggen

precies op de vier hoekpunten van de plaat. In de scharnieren A en C wordt een

trekkracht F uitgeoefend volgens de richting AC, waardoor de staven op hun beurt

spanningen )n(

uitoefenen op de plaat. De spanningsvector )n(

is langs elke zijde

rakend aan die rand en is in elk punt ervan even groot. Daardoor is de

spanningstoestand in elk punt van de plaat dezelfde.


49

De gegevens van de plaat zijn de volgende:

zijde a = 100 mm

dikte t = 10 mm

E = 20 GPa

= 0,3

Bepaal de equivalente veerconstante k, waarbij geldt:

AC verlengingkF

4.4 Een dunne plaat wordt zó belast dat er een homogene vlakspanningstoestand heerst

met hoofdspanningen I = 80 MPa en II = 110 MPa. De materiaalconstanten zijn: E =

130 GPa en = 0,26.

Bepaal de totale volumeverandering van deze plaat onder de vermelde belasting.

4.5 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een

punt weergegeven.


50

Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven

positie 30 in uurwijzerzin is gekanteld.

4.6 In onderstaande figuur wordt de vlakspanningstoestand in een bepaald punt getoond.

Gevraagd:

a) beschrijf de spanningstoestand in dit punt in functie van de hoofdspanningen,

gebruik makend van de transformatieformules,

b) bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen m.b.v. de cirkel van Mohr,

c) beschrijf de spanningstoestand in functie van de maximale schuifspanning en de

gemiddelde normaalspanning.

4.7 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het element in het punt A op de

eenzijdig ingeklemde balk de aangegeven spanningstoestand.


51

Bepaal de hoofdspanningen in het punt A.

4.8 Bepaal voor de getekende vlakspanningstoestand de hoofdspanningen en de stand van

het element in dat punt.

4.9 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een

punt weergegeven.

Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven

positie 30 in tegenuurwijzerzin is gekanteld.


52

4.10 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het punt A op het houten frame

de aangegeven spanningstoestand.

Bepaal de hoofdspanningen in het punt A en de maximale schuifspanning.

4.11 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de

grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning.

4.12 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de

grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning.


53

§ Vlakvervorming

4.13 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:

ycosx300x1015v10

ysinx882x653u106

6

Bepaal de vervormingstoestand in het punt (x = 1, y = 1). Bereken m.b.v. de cirkel van

Mohr de hoofdrichtingen en hoofdrekken.


0w

y25,0x06,0v

y28,0x3,0u

a) teken op de onvervormde rechthoek een vierkant rooster en ga na hoe dit rooster

vervormt,

b) bestudeer de vervorming in het punt O. Beschouw daartoe een infinitesimaal klein

vierkantje met zijden u = v = 10010-6 mm:


54

- teken het vervormde vierkant en bepaal de vervormingstensor in het punt O,

- bepaal de hoofdrichtingen en de hoofdrekken in het punt O,

- teken de bijhorende cirkel van Mohr.

c) bepaal de componenten van de vervormingstensor in het punt O in het assenstelsel

(x’,y’) dat over 45 in tegenuurwijzerzin is geroteerd (zie figuur). Duid de

beeldpunten van de assen x’ en y’ aan op de cirkel van Mohr,

d) waar ligt het punt A in het vervormde blok ? Bepaal de rektensor in A zoals voor

het punt O,

e) bepaal de spanningstensor in het punt O indien men een meer realistisch

verplaatsingsveld beschouwt:

0w

10y25,0x06,0v

10y28,0x3,0u2

2

De materiaalconstanten zijn: E = 56 GPa, = 0,25.

Doe dit op twee manieren:

- bepaal de spanningen in de gekende hoofdrichtingen en transformeer naar het

assenstelsel (x, y),

- gebruik de wet van Hooke in het assenstelsel (x, y).


0w

yx108v

x105u3

23

a) teken het lichaam OBCD na vervorming,

b) bestudeer de vervorming in het punt A (x = 20, y = 40). Beschouw daartoe een

infinitesimaal klein vierkantje met zijden u = v = 10010-6 mm. Bepaal de

hoofdrekken en hoofdrichtingen.


55

4.16 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de

rektensor:

6

ij 10

000

015060

060250

Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen. Bepaal ook de waarde en richting van de

maximale hoekvervormingen.

4.17 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de

rektensor:

6

ij 10

000

010050

050300

Bepaal de vervormingstoestand op een element dat over een hoek van 20 in

uurwijzerzin is gedraaid.

§ Axiaalsymmetrische schijf

4.18 Binnen een dikwandige buis werkt een druk van 10 MPa.

Opdat de buis haar oorspronkelijke lengte zou behouden, moet op beide uiteinden

getrokken (of gedrukt ?) worden met een kracht F in de langse richting. Bereken hoe

groot die kracht moet zijn, als:

a = 100 mm

b = 200 mm

L = 106 mm

E = 200 GPa

= 0,3


56

4.19 Een stalen cilinder is aan het rechteruiteinde afgesloten en steunt daarbij tegen een

onwrikbare wand. Aan de linkerkant steekt er een plunjer in de cilinder, waarop een

kracht van 10 kN wordt uitgeoefend. In het punt A, op de buitenwand van de cilinder,

is er een rekstrookje gekleefd dat de langse rek zz meet.

De materiaaleigenschappen van de cilinder zijn:

E = 210 GPa

= 0,3

Welke rek zz zal men meten ?

4.20 Beschouw het getekende dikwandig vat onder inwendige druk. Dit volumetrisch vat is

axiaalsymmetrisch rond de z-as en heeft de vorm van een capsule.

z

r

A

p = 0o

p = 100 bari

100 m

m

200 m

m

De materiaaleigenschappen van het vat zijn:

E = 210 GPa

= 0,3

Gevraagd:

a) bereken de spanningstoestand in een punt A op de binnenwand, dat zich

“voldoende ver” van de uiteinden van het vat bevindt,

b) schets het verloop van de spanningen voor 50 mm < r < 100 mm,

c) bereken alle componenten van de rek in het punt A.

4.21 Een rubber cilinder wordt samengedrukt in een dunne, stalen buis door een axiale

spanning zz. Bereken de druk tussen het rubber en de stalen buis in twee gevallen:

a) de stalen buis gedraagt zich als een star lichaam,

b) de stalen buis kan vervormen.

De elastische constanten van het staal en het rubber zijn respectievelijk (ES, S) en (ER,

R). Verwaarloos de wrijving tussen het staal en het rubber en onderstel dat zowel het

rubber als het staal gehoorzamen aan de wet van Hooke.


57

ES = 210 GPa, S = 0,30

ER = 10 MPa, R = 0,50

a/b 0,99

4.22 Twee korte stalen cilinders (E = 210 GPa en = 0,3) zitten in elkaar geklemd. De

oorspronkelijke afmetingen van de afzonderlijke schijven waren:

Schijf 1:

mm 100dikte

mm 130b

mm 80a

11

1

Schijf 2:

mm 100dikte

mm 180b

mm 130a

2

22


58

Door afkoeling van de cilinder 1 en opwarming van de cilinder 2 konden zij in elkaar

geschoven worden. Vandaag kan men niet meer achterhalen hoe groot dit

temperatuurverschil was, noch hoeveel 1 en 2 waren. Men weet alleen nog met

stelligheid dat de drukspanning na afkoeling in het contactoppervlak tussen de twee

cilinders –15 MPa bedroeg.

Men wil nu de twee cilinders weer uit elkaar halen, door op de buitenste cilinder in

axiale richting te drukken. Hierdoor zet deze cilinder immers uit in de radiale richting.

Hoe groot moet de drukkracht N worden om de cilinders los van elkaar te maken ?

(Aanwijzingen: eventuele wrijving in het contactoppervlak mag verwaarloosd worden.

Reken dat, zonder N, er vlakspanning is).

4.23 Een lange cilinder met dikke wand is ingevat in een starre wand en over zijn hele

lengte vast verbonden met deze starre wand. De cilinder is onderworpen aan een

uniforme interne druk pi.

Bepaal de spanningen en verplaatsing in de cilinder voor ro/ri = 2,5 en = 1/3. Stel de

resultaten grafisch voor.



59

100 mm

95 mm 1 m

500 kN

Een axiaalsymmetrische buis met een lengte van 1 meter past precies en zonder speling

in een starre koker. De buis is echter op geen enkele manier vastgemaakt aan de koker.

Op de bovenrand van de buis wordt nu een neerwaartse uniform verdeelde belasting

geplaatst, zodat de resulterende kracht 500 kN bedraagt.

De materiaalparameters zijn:

staal:

MPa 210

0,3

GPa 200E

v

Gevraagd:

a) wat is de zakking van de bovenrand van de buis ?

b) wat is de radiale verplaatsing van de binnenrand van de buis ?

c) treedt er ergens in de buis vloeien op ? Zo ja, waar, en zo nee, welke is de reserve

tot de vloeigrens ? Gebruik het von Mises-criterium.


§ Axiaalsymmetrische schijf met thermische spanningen

4.25 Gegeven zij een aluminiumbuis die bij 20 C passend (zonder speling) in een stalen

buis geschoven is. De geometrie en materiaaleigenschappen zijn:


60

aluminium:

C/1023,0

0,3

GPa 72E

mm 2000L

mm 130b

mm 100a

6-

1

1

1

1

1

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 206E

mm 2000L

mm 145b

mm 130a

6-

2

2

2

2

2

Het geheel wordt opgewarmd van 20 C (spanningsvrije toestand) naar 100 C.

Gevraagd: bereken de optredende thermische spanningen in beide buizen en schets hun

verloop over de wanddikte.

4.26 Een dunne ronde schijf, bestaande uit twee aaneensluitende ringen uit verschillend

materiaal, wordt thermisch belast.

D

D

D

i

t

o

Ta

Tb

De twee materialen hebben echter eenzelfde thermische geleidingscoëfficiënt , zodat

het temperatuurprofiel hetzelfde is als in een monolithische schijf:


61

i

o

i

ab0a

D

Dln

D

r2ln

TT)TT()r(T

waarbij:

Di = 300 mm

Dt = 400 mm

Do = 500 mm

Ta = 520 C

Tb = 20 C

T0 = 0 C

De eigenschappen van materialen 1 en 2 zijn:

materiaal 1:

C/101,0

0,3

GPa 200E

6-

1

1

1

materiaal 2:

C/101,2

0,3

GPa 200E

6-

2

2

2

Gevraagd:

a) welk materiaal (1 of 2) moet men aan de buitenkant gebruiken, teneinde de kleinste

maximale trekspanning te bekomen ?

b) bepaal de contactdruk tussen de twee ringen, indien het materiaal 1 aan de

binnenkant gebruikt wordt.

4.27 Gegeven zijn twee dunne concentrische buizen met volgende afmetingen:

250 mm

150 mm200 mm

staal

aluminium

Bij een omgevingstemperatuur van 20 C past de aluminium buis precies en zonder

speling binnenin de stalen buis. De inklemmingen verhinderen de radiale verplaatsing

niet.

De materiaalparameters zijn:

aluminium:

C/100,32

0,3

GPa 72E

6-

1

1

1

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 200E

6-

2

2

2


62

Gevraagd:

a) als men de temperatuur verhoogt van 20 C naar 70 C, wat is dan de

contactspanning tussen de aluminium buis en de stalen buis ?

b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 70 C, welke bijkomende inwendige druk

p mag men opleggen zodat de totale contactdruk tussen de aluminium en stalen buis

beperkt blijft tot 20 MPa ?



e

e

z

r

Aluminium

Staal

70 mm

150 mm

200 mm

A A’

Doorsnede A-A’

Een aluminium schijf (E = 70 GPa; = 0,3; = 2310-6/C) past precies en zonder

speling binnen een stalen schijf (E = 210 GPa; = 0,3; = 1210-6/C). Beide

schijven worden tussen twee starre horizontale platen geschoven en passen precies en

zonder speling tussen de twee starre platen. Alles is spanningsloos bij

kamertemperatuur en de schijven zijn op geen enkele manier vastgelast aan de twee

starre platen. De radiale verplaatsing wordt dus niet verhinderd en de wrijving mag u

verwaarlozen.

Als de temperatuur met 100 C wordt verhoogd, welke is dan de contactspanning

tussen de aluminium en stalen schijf (op r = 150 mm) ?



100 mm

200 mm e

e

z

r

= 10 m

t = 20 mm

A A’

Doorsnede A-A’


63

Een dunne schijf uit aluminium (E = 70 GPa; = 0,3; = 2310-6/C) met dikte 20

mm wordt tussen twee starre horizontale platen geschoven. Als de schijf rust op de

onderste starre plaat, is de speling tussen de aluminium schijf en de bovenste starre

plaat precies 10 m.

Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur. De schijf wordt in geen enkel geval

vastgelast aan de wanden en kan vrij uitzetten in radiale richting (wrijving mag u

verwaarlozen).

Men brengt nu de belasting aan in twee stappen:

1) eerst wordt de temperatuur uniform verhoogd met 100 C,

2) deze temperatuur wordt aangehouden en men brengt bijkomend een radiale druk

van 10 bar aan op de buitenrand van de schijf.

Bereken de totale radiale verplaatsing van de binnenrand (r = 100 mm) van de schijf,

vanuit de begintoestand (alles spanningsloos) naar de eindtoestand (temperatuur +

radiale druk).


§ Spanningsconcentraties

4.30 Een oneindig uitgestrekte plaat bevat een ronde opening met diameter 2a = 30 mm en

wordt op een grote afstand van de opening belast met een gelijkmatig verdeelde

schuifspanning xy = 100 MPa.

Gevraagd:

a) de spanningscomponenten in poolcoördinaten,

b) de plaats en de waarde van de grootste schuifspanning op de rand van de opening.

4.31 Een dunne, grote plaat met dikte 2 mm, heeft een kleine ronde opening in het centrum.

De plaat wordt in twee onderling loodrechte richtingen belast: xx = 2 en yy = -.

De plaat heeft een vloeigrens in trek van 280 MPa, een vloeigrens in druk van 350

MPa, een elasticiteitsmodulus E = 200 GPa en Poisson-coëfficiënt = 0,3.


64

Gevraagd:

a) leid een uitdrukking af voor de maximale spanning aan de rand van de opening,

b) bepaal de maximale waarde van , zó dat op geen enkele plaats in de plaat vloeien

optreedt, noch in trek noch in druk,

c) wat is de dikte van de plaat op het moment dat het vloeien start ?

4.32 Een dunne, grote plaat met een kleine ronde opening in het centrum wordt

onderworpen aan zuivere afschuiving langs haar randen. Bereken de

spanningsconcentratiefactor k (= max/).


65

Hoofdstuk 5

Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen

§ Trekproef

5.1 Een trekproef voor een staallegering levert het spanning-rek diagramma van

onderstaande figuur op. De onderste curve is een uitvergroting van het eerste deel van

de bovenste curve en de schaalverdeling voor de onderste curve staat onderaan op de

-as aangegeven.

Bereken de elasticiteitsmodulus en de vloeigrens op basis van 0,2 % blijvende rek.

Geef in de grafiek de breukspanning en bezwijkspanning aan.

5.2 Onderstaande figuur toont het spanning-rek diagramma voor een aluminiumlegering.

Een proefstaaf van dit materiaal wordt onderworpen aan een spanning van 600 MPa.

Bepaal de permanente rek die na opheffen van de belasting in de proefstaaf

achterblijft.


66

5.3 De aluminium staaf (Ealu = 70 GPa) in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige

dwarsdoorsnede en ondervindt een axiale trekbelasting van 10 kN. Bepaal m.b.v. het

gegeven spanning-rek diagramma bij benadering de verlenging van de staaf wanneer

de belasting wordt uitgeoefend. Keert de staaf terug als de belasting wordt

opgeheven ?


67

5.4 Een proefstaaf van een titaniumlegering wordt aan een torsieproef onderworpen. Het

resulterende schuifspanning-glijding diagramma staat in onderstaande figuur.

Bepaal de glijdingsmodulus G, de evenredigheidsgrens en de maximale

schuifspanning.

Als nu een blok van dit materiaal wordt belast met een schuifkracht D, bepaal dan de

maximale afstand d, waarover de bovenkant van een blok van dit materiaal horizontaal

kan worden verplaatst als het materiaal zich elastisch gedraagt. Hoe groot moet D zijn

om deze verplaatsing te veroorzaken ?


68

5.5 Een trekproef wordt uitgevoerd op een proefstaaf van zacht staal met diameter 2 cm.

De staaf vloeit onder een last van 80 kN. Het bereikt een maximum last van 150 kN en

breekt tenslotte bij een last van 70 kN.

Gevraagd:

a) de vloeigrens,

b) de treksterkte,

c) de gemiddelde spanning bij breuk, als de diameter van het ingesnoerde

breukoppervlak 1 cm bedraagt.

§ Vloei- en breukcriteria

5.6 Gegeven is een lange dunwandige cilinder belast met een inwendige druk p.

Men kan aantonen dat er in de mantel van de cilinder een vlakspanningstoestand

heerst, met volgende spanningen in het assenstelsel ( xe

, y

e

, z

e

):

000

0t4

Dp0

00t2

Dp

waarin t de wanddikte van de cilinder is, en D de gemiddelde diameter.

Bepaal de maximaal toelaatbare inwendige druk voor een drukvat met:

D = 1600 mm


69

t = 8 mm

E = 210 GPa

= 0,3

en een veiligheidsfactor 2 op het bereiken van de elasticiteitsgrens v = 360 MPa.

5.7 De spanningstoestand in een constructie-onderdeel is tweedimensionaal en bedraagt:

MPa

000

07060

060140

ij

Als de vloeigrens van het materiaal 225 MPa bedraagt, bepaal dan zowel met het von

Mises criterium als met het Tresca criterium of er al dan niet vloeien optreedt.

5.8 Een stukje krijt is onderworpen aan een constante trekkracht P, die in elke

dwarsdoorsnede van het krijtje een trekspanning van 0,51u veroorzaakt. De

treksterkte u van het krijt werd bepaald uit een simpele trekproef. Nu wordt een

bijkomend wringmoment T opgelegd dat geleidelijk toeneemt in waarde.

Bepaal de grootte van de schuifspanning veroorzaakt door het wringmoment T bij

breuk en bepaal de richting van het breukoppervlak. Let op de keuze van het

assenstelsel: de x-as ligt in de axiale richting en raakt aan het oppervlak, de y-as raakt

aan het oppervlak in de tangentiële richting en de z-as is de normale aan het

buitenoppervlak.

5.9 Gegeven is het volgend probleem:

xy = -50 MPa

xx = 80 MPa


70

Een dunne plaat uit keramiek wordt belast met een trekspanning xx = 80 MPa en een

schuifspanning xy = -50 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul.

Als de uni-axiale breukspanning, gemeten in een conventionele trekproef, 150 MPa

bedraagt, met welke factor mogen de twee spanningscomponenten dan nog aangroeien,

voordat breuk optreedt, als beide spanningscomponenten proportioneel aangroeien ?

Onder welke hoek zal het breukvlak te zien zijn ? Maak een duidelijke tekening en

controleer met de cirkel van Mohr.



110 mm100 mm

staal

L = 2 m

Een stalen buis (E = 210 GPa; = 0,3) met wanddikte 10 mm wordt tussen twee starre

verticale wanden bevestigd. De buis kan vrij uitzetten in de radiale richting, maar kan

niet verplaatsen in de langsrichting. Wrijving mag u verwaarlozen.

Bereken de maximale druk (in bar) die men binnenin de stalen buis mag aanbrengen,

vooraleer de eerste zone in de stalen buis begint te vloeien. De vloeigrens van dit staal

is 210 MPa, gemeten in een uni-axiale trekproef.


§ Rekstrookjes

5.11 De rektoestand in het punt A op de hefboom wordt gemeten met de rekstrookrozet.


71

Als gevolg van de belastingen zijn de waarden:

6

6

6

c

b

a

10264

10135

1060

Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen in dit punt.

Als de hefboom gemaakt is van staal (Est = 200 GPa en st = 0,3), bepaal dan ook de

hoofdspanningen in het punt A.

5.12 Gegeven is een dunne plaat, belast met een drukspanning xx = -100 MPa en een

schuifspanning xy = -50 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul.

Het materiaal is staal, met E = 210 GPa en = 0,3.

A

BC

110 65

xy = -50 MPa

xx = -100 MPa20

Op het oppervlak van de plaat worden drie rekstrookjes gekleefd, onder de hoeken 20,

65 en 110 met de horizontale richting.

Welke rekwaarden A, B en C leest men uit voor deze drie rekstrookjes ? Teken een

cirkel van Mohr als controle.


5.13 Gegeven is het volgend composietmateriaal:

= 10

A

B C90

45


72

Een epoxy hars is versterkt met glasvezels, die allemaal volgens dezelfde richting

georiënteerd zijn: onder een hoek van 10 met de horizontale richting, zoals aangeduid

op de bovenstaande figuur. Men voert een trekproef uit in de horizontale richting en

instrumenteert het proefstuk met 3 rekstrookjes A, B en C, zoals schematisch

aangeduid op bovenstaande figuur. Op een bepaald ogenblik tijdens de trekproef meet

men volgende waarden van de rekstrookjes:

A = 0.007616

B = -0.002886

C = -0.002391

Bereken de vervormingstoestand (11, 22, 12) in het lokaal assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

).


§ Breukmechanica

5.14 De ontwerpspanning voor een constructie-onderdeel is 690 MPa in trek. Bepaal de

kritieke scheurwijdte (in het midden van de plaat) voor:

a) een staallegering met KIc = 134 MPa m ,

b) een titaniumlegering met KIc = 60 MPa m ,

c) wat moet de ontwerpspanning zijn voor acryl als de maximum toegelaten

scheurgrootte 4,8 mm bedraagt en KIc = 1,75 MPa m .

Interpreteer de resultaten als men bedenkt dat de vloeigrens voor de staal- en

titaniumlegering 1035 MPa bedraagt, en 50 MPa voor acryl.

De Configuration Correction Factor CCF mag gelijkgesteld worden aan 1,12.

5.15 De breuktaaiheid KIc van een zeker materiaal bedraagt 25 MPa m . Als een plaat van

dit materiaal een scheur van 1,5 mm bevat in het midden van de plaat, welke is dan de

spanning waarvoor breuk optreedt ? Herhaal de berekeningen voor een plaat met een

scheurlengte van 10 mm in het midden van de plaat, als de vloeigrens van het

materiaal 450 MPa bedraagt. Interpreteer de resultaten.

De Configuration Correction Factor CCF mag gelijkgesteld worden aan 1,12.


73

Oplossingen

Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken

1.1 R = 6 kN

x = 0.8 m

1.2 RA,H = 2.5 kN

RA,V = 3.693 kN

RD = 3.636 kN

1.3 RA,H = 1.414 kN

RA,V = 6.414 kN

RMA = -3.414 kNm

1.4 RA,H = -2.886 kN (naar links gericht)

RB,H = 2.886 kN

RB,V = 5 kN

1.5 Fx = 0.0 N

Fz = 58.75 N

My = 5.6875 Nm

1.6 F_x = -500 N (positief naar rechts)

F_z = 500 N (positief naar boven)

M_y = 500 Nm (positief in uurwijzerzin)

1.7 Fx = -6200 N

Fz = -3150 N

My = -6300 Nm

1.8 Het achterwiel komt los als x > 12,11 m

1.9 N = 2,709 kN

M = -2,499 kNm

V = 0 kN

1.10 N = -16,7744 kN

M = 2,3838 kNm

V = 1,9865 kN


74

1.11 F_x,BC = 30 kN (maximale kracht in sectie BC)

sigma_BC = 85,7 MPa

1.12 sigma_BA = 8,05 MPa

1.13 sigma = 0,22 MPa

1.14 x = 123.8 mm

1.15 (i) = 0.5 MPa en = 0.0 MPa

(ii) = 0.375 MPa en = 0.2165 MPa

1.16 AB = 2.4 MPa

AC = 1.6 MPa

= 0.8 MPa

1.17 pen A = 4 mm

pen B = 6 mm

staaf BC = 6 mm

1.18 Staafdiameter >= 20,6 mm

Dikte van de schijf >= 4,55 mm

1.19 Axiale spanning in as: P <= 51,8 kN

Vlaktedruk in kraag in C: P <= 55,0 kN

1.20 Veiligheidsfactoren worden altijd toegepast bij het design van een werkelijke

constructie. Er is immers een (soms grote) onzekerheid over de belastingen op de

constructie, en er is ook spreiding op de materiaaleigenschappen. Daarom voert men

veiligheidsfactoren in. Verder zijn er in dit geval 3 beperkende voorwaarden voor de

kracht P:

staaf AC: P <= 170,9 kN

blok B: P <= 168 kN

pen A en C: P <= 183,2 kN

1.21 sigma_I = 202,1288 MPa

sigma_II = 110,4628 MPa

sigma_III = -32,5910 MPa


75

a_I_ij = 0,02031 0,45947 0,88796

a_II_ij = 0,84645 –0,48057 0,22931

a_III_ij = 0,53209 0,74695 –0,39868

1.22 I = 196.62 MPa

aI,1 = 0.9637

aI,2 = 0.0

aI,3 = -0.2669

1.23 (i) 0.00238 m

(ii) 0.0119 mm/mm

1.24 eps_gem = 0,001

1.25 eps_AB,gem = -7,93 x 10^-3

gamma_xy = 0,0121 rad

1.26 eps_gem,AC = 0,00669

gamma_xy = -0,0132 rad

1.27 Met E_staal = 200 GPa en nu_staal = 0,32, worden de waarden:

delta_xx = 120 micrometer

delta_yy = -2,56 micrometer

delta_zz = -1,28 micrometer

1.28 E = 70.028 GPa

d = -0.0416 mm

1.29 Met E_staal = 200 GPa worden de waarden:

delta_A = 0,615 mm (verlenging)

delta_B_C = 0,105 mm (verlenging)

1.30 uC = 0.41985 mm

1.31 delta_F = 0,225 mm (naar beneden)

1.32 Verplaatsing uiteinde = (gamma x L^2)/(6 x E-modulus)


76

1.33 volumerek = -0,0113

delta_a = -0,375 mm

delta_b = -0,188 mm

delta_c = -0,281 mm

1.34 rek (%) = 0,058 %

1.35 = 43,5 MPa

verlenging = 0,218 mm

1.36 delta = 46,2 cm

1.37 E = 70 GPa

1.38 max = ½ * rho * omega^2 * L^2

urr = rho * omega^2 * L^3 / (3 * E)

1.39 st = 37.04 MPa

br = 15.74 MPa

1.40 Pb = 47.87 kN

1.41 delta_L_AC = 0,248 mm

1.42 FCD = 8,8 kN

FEF = 26,4 kN

1.43 RA = 10,833 kN

= 41 MPa

1.44 F = [2 * k3 + (2 * k1 * k2)/(2*k1 + k2)] * u

1.45 F = (b+c)/b * k * (l0 – a + (b+c)/b*t)

1.46 Veerkracht = 19,95 kN

Snedekracht in A = 13,98 kN


77

1.47 a) xx, staal = 95.4 MPa, xx, alu = -35.77 MPa

b) L = 1001.343 mm

1.48 sigma_Alu = -65,7 MPa

sigma_St = 12,3 MPa

1.49 a) zz = 120 MPa

b) D = -0.0128 mm

1.50 Met E = 200 GPa en alfa = 12 x 10^-6 /graad Celsius:

sigma = -84 MPa

1.51 staal = 50.6 MPa

alu = -33.8 MPa

1.52 xx = yy = 286.6 MPa

1.53 sigma_Alu = 10,238 MPa

sigma_St = -14,748 MPa

1.54 a) Uinw = 3.2725 * 106 Joule

1.55 Alle waarden x 10^-4 mm^2/N

S_11 = 1.0

S_12 = -0.2

S_13 = -0.4

S_22 = 1.0

S_23 = -0.4

S_44 = 10.0

1.56 a) 11 = 46.06 MPa, 22 = -127.3 MPa

b) abs(11/22) = 1.75

abs(22/11) = 14.343


78

Hoofdstuk 2: Structureel gedrag

2.1 Kies bv. het assenstelsel in de linkerbenedenhoek van het profiel, op de hartlijn.

y_O = 5,92 mm

z_O = 8,36 mm

I_yy = 8102 mm^4

2.2 De oefening kan exact worden opgelost, maar het draadmodel levert hier een veel

snellere oplossing, en U kan nagaan dat de gemaakte fout zeer klein is. Maak alleszins

gebruik van de formules voor statische momenten en traagheidsmomenten uit Tabel

2.1.

I_zz = 21920 mm^4

2.3 z_C = 8,55 cm

I_yy = 646 cm^4

2.4 I_y'y' = 2,90 x 10^9 mm^4

I_z'z' = 5,60 x 10^9 mm^4

I_y'z' = 3,00 x 10^9 mm^4

I_YY = 7,54 x 10^9 mm^4

I_ZZ = 0,960 x 10^9 mm^4

2.5 I_y'y' = 0,17395 x 10^6 mm^4

I_z'z' = 0,0627 x 10^6 mm^4

I_y'z' = 0,06079 x 10^6 mm^4

I_YY = 0,2 x 10^6 mm^4

I_ZZ = 0,0359 x 10^6 mm^4

2.6 I_y'y' = 5,08 x 10^6 mm^4

I_z'z' = 1,84 x 10^6 mm^4

I_y'z' = 2,31 x 10^6 mm^4

I_YY = 6,281 x 10^6 mm^4

I_ZZ = 0,639 x 10^6 mm^4

2.7 x < L : V = F*a/L, M = F * a * x/L

x > L : V = -F, M = F * (L+a-x)

2.8 V = - abs(F)

M = abs(F) * (a - x)

2.9 V = 0


79

M = K

2.10 V = K/L

M = K/L * x

2.11 V = q_0 * L/6 * [1 - 3*(x/L)^2]

M = q_0 * L^2/6 * [x/L - (x/L)^3]

2.12 V = -q_0 * L/2 * (1 - x/L)^2

M = q_0 * L^2/6 * (1 - x/L)^3

2.13 x < 9 m : V = 29.166 * x^2 – 466.66

M = 9.722 * x^3 – 466.66*x

x > 9 m : V = 29.166 * x^2 – 4200

M = 9.7222 * x^3 – 4200*x + 33600

2.14 z_C = -9,231 mm t.o.v. midden bovenste rechthoek

2.15 q0 = 27489 N/m

2.16 b) IPE 80

c) gewicht I / gewicht massieve rechthoek = 0.61144

2.17 b) Mmax = 2500 Nm

max = 138,88 MPa

2.18 xx,N = 0,08 MPa

xx,M = 0,0569 * z [MPa] (met z in mm)

2.19 Q < 82,64 N

2.20 M_max = 4926 Nm

2.21 M_max = 724 Nm

2.22 M_max = 3790 Nm


80

2.23 sigma_max = -16,8556 MPa

2.24 sigma_max = 2,83077 MPa

2.25 tau_xz = 4/3 * V/(pi*R^2) * (cos(theta))^2

2.26 tau_xz = -74,074 MPa

2.27 xz,max = -20,47 MPa

2.28 sigma_B = 75 kPa (trekspanning)

sigma_C = -150 kPa (drukspanning)

2.29 xx,N = -1,316 MPa

xx,M = -63,158 MPa

2.30 -h/6 <= e_z <= +h/6

2.31 Tresca: V < 299,3 kN

von Mises: V < 345,6 kN

2.32 Eerst verplaatsing B t.o.v. AB, dan doorbuiging BC

u_x(C) = F*a/(E*A) + F*b^3/(3EI_yy) + F*a*b^2/(EI_yy)

u_z(C) = -F*b*a^2/(2*EI_yy)

2.33 Q = 1375 N

2.34 Eerst doorbuiging in B t.g.v. buiging van AB berekenen

u_x = 1,395 mm

u_z = 1,046 mm

2.35 a) F = 22,5 kN (opwaarts)

b) = 8,89 MPa

2.36 sigma_max = 7,5622 MPa

helling maximaal als x = 3,66 m


81

2.37 v = 1/EI * (-129*x^2 + 26/3*x^3 –1/3*x^4 + 1/3*<x-5>^4 + 25*<x-5>^2 [meter]

2.38 Doorbuiging maximaal in C of waar du/dx = 0 (3 m < x < 9 m)

u(C) = -1560 kNm^3/(EI_yy)

u(D) = 630,357 kNm^3/(EI_yy) (voor x = 6,071 m)

2.39 u(B) = -47,54177 mm

sigma_max = -89,943 MPa

2.40 ux = 0,177 mm

uz = -5,5322 mm

2.41 Helling in x = 1,5 m bedraagt 0,0004624 rad

2.42 u_B = -4,254 mm

2.43 Enkel verticale snedekracht in scharnier = 2 kN opwaarts

IYY = 630337,4231 mm4

Doorbuiging uS = -8,15 mm


82

Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes

Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien


83

Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen

4.1 b) ’xx = -88.48 MPa, ’yy = 38.48 MPa, ’xy = -49.95 MPa

c) xx = 0.0008, yy = -0.00115, zz = 0.00015, xy = -0.00078

4.2 a) w(x,y,z) = -4x10-4 z – 8x10-6 xz

b) xx = (-1.638*x + 81.9) MPa

yy = (3.822*x + 27.3) MPa

xy = (1.638*y) MPa

d) I = 132.65 MPa

II = 20.23 MPa

e) bijkomend verplaatsingsveld: u/v/w = -1,078 * 10^-4 * x/y/z

f) sigma_I = 103,22 MPa, sigma_II = -9,20 MPa, sigma_III = -29,43 MPa

4.3 k = 153.846 kN/mm

4.4 V = 11.224 mm3

4.5 sigma_x'x' = -25,8 MPa

sigma_y'y' = -4,15 MPa

tau_x'y' = -68,6 MPa

4.6 a) I = 116.4 MPa, II = -46.4 MPa

c) max = 81.4 MPa, gem = 35 MPa

4.7 sigma_I = 20,4 MPa

sigma_II = -0,440 MPa

4.8 sigma_I = 2,49 MP


theta = 22,5 graden

4.9 sigma_x'x' = -8,20 MPa

sigma_y'y' = 12,20 MPa

tau_x'y' = 5,66 MPa

4.10 sigma_I = 31,2 kPa

sigma_II = -51,2 kPa

tau_max = 41,2 kPa


84

4.11 sigma_I = 62,36 MPa

sigma_II = 17,64 MPa

tau_max = 22,36 MPa

4.12 sigma_I = 38,3 MPa


au_max = 28,3 MPa

4.13 eps_xx = 1395 x 10^-6

eps_yy = 252 x 10^-6

eps_xy = -350 x 10^-6

eps_I = 1492 x 10^-6

eps_II = 153 x 10^-6

theta = -15,74 graden

4.14 b) I = 0.3878, II = 0.1622, III = 0.0

c) ’xx = 0.165, ’yy = 0.385, ’xy = -0.025

e) xx = 257.6 MPa, yy = 235.2 MPa, zz = 123.2 MPa, xy = -49.28 MPa

4.15 eps_I = 0,3412

eps_II = 0,01875

theta = 41 graden 26 minuten

4.16 I = 259.05 * 10-6

II = -158.8 * 10-6

’xy,max = -208.8 * 10-6

gem = 50 * 10-6

4.17 eps_x'x' = -309 x 10^-6

eps_y'y' = -91,3 x 10^-6

eps_x'y' = -25,95 x 10^-6

4.18 N_z = +188,495 kN

4.19 eps_zz = -1,421 x 10^-4

4.20 a) rr = -10 MPa, = 16.66 MPa, zz = 3.33 MPa

c) rr = -76.19 * 10-6, = 88.88 * 10-6, zz = 6.34 * 10-6

4.21 a) = nu_R / (nu_R – 1) * sigma_zz

b) -sigma_zz


85

4.22 Nz = -13146.8 kN

4.23 po = 0.4324 * pi

4.24 a) delta_z = -0,73775 mm

b) u_r = -0,001574 mm

c) nee. Vergelijkingsspanning = 144,37 MPa

4.25 *rr = -14.4516 MPa

Palu = -1405.907 kN

Pst = 1405.907 kN

4.26 Het is een dunne schijf. Er worden dus geen spanningen opgebouwd in de z-richting

(sigma_zz = 0). Men moet dus enkel de aansluitingsvoorwaarde in de radiale richting

opleggen, nl. u(r = 0,2; binnenste schijf) = u(r = 0,2; buitenste schijf). De

tussenresultaten zijn:

u_1(T(r)) = 0,073154 mm

u_1(sigma_rr*) = 3,2714 * 10^(-3) * sigma_rr*

u_2(T(r)) = 0,029065 mm

u_2(sigma_rr*) = -4,8555 * 10^(-3) * sigma_rr*

4.27 a) *rr = -12,5 MPa

b) a = -14,4 MPa

4.28 *rr = -44,6867 MPa

4.29 ur = 0,280506 mm

4.30 b) max = ()max/2 = 200 MPa

4.31 b) 40 MPa

c) h = 1.99916 mm

4.32 k = 4


86

Hoofdstuk 5: Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen

5.1 E = 2,16 x 10^5 MPa

sigma_0,2 = 469 MPa

sigma_trek = 745 MPa

sigma_breuk = 621 MPa

5.2 eps_perm = 0,0150

5.3 Plastische vervorming in zone BC van de staaf

Totale verlenging ongeveer 18,3 mm

Verlenging na ontlasting is ongeveer 17,7 mm

5.4 G = 45,0 GPa

tau_evenred = 360 MPa

tau_max = 490 MPa

d = 0,16 mm

D = 432 kN

5.5 sigma_v = 254 MPa

sigma_trek = 477 MPa

sigma_waar (ware spanning bij breuk) = 892 MPa

5.6 p = 2,0785 MPa

5.7 Tresca: materiaal vloeit (sigma_I = 155,9 MPa, sigma_III = -85,9 MPa)

von Mises: 212,3 MPa < 225 MPa -> geen vloeien

5.8 xy < 0,7 u

theta = -3459’

5.9 R = 1.44

theta = -2540’

5.10 p = 206,7 bar

5.11 I = 272 x 10^-6

II = 33,8 x 10^-6

theta = 109,3

I = 62,0 MPa


87

II = 25,4 MPa

5.12 A = -6,027337 x 10-4

B = -2,0481733 x 10-4

C = 2,6940038 x 10-4

5.13 11 = 0,005434

22 = -0,00021

12 = 0,01376

5.14 CCF = 1.0 gekozen (zelfde conclusies gelden voor bv. CCF = 1,12)

2a_staal = 24 mm

2a_tit = 4,81 mm

sigma_acrylic = 20,15 MPa

Titanium veel scheurgevoeliger dan staal; breuk voor acrylic bij slechts 40 % van zijn

treksterkte.

5.15 breuk,1,5 mm = 459,85 MPa

breuk,1,0 mm = 178,10 MPa

Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/...1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep...

Documents

Transcript of Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/...1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep...