MATRICES y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATEMÁTICA I

M. Bocco - 2016

2 M. Bocco - 2016

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Problema de aplicación (Floricultura)

En una semana un vivero vendió 40 plantines de dos tipos de flores: arvejillas y pensamientos. Los plantines de arvejillas costaban 5 $ cada uno y los de pensamientos los vendió a 8 $ cada uno. Las ventas totales en este rubro fueron de 236 $ ¿Cuántos plantines se vendieron de cada tipo? Para conocer la cantidad de plantines vendidos de cada tipo de flor expresaremos el enunciado anterior utilizando ecuaciones. En este problema encontramos dos incógnitas, que llamaremos:

� con la letra x a la cantidad desconocida de plantines vendidos de arvejillas � con la letra y a la cantidad desconocida de los plantines vendidos de pensamiento

Entonces, traduciendo el enunciado al lenguaje matemático:

. . en una semana un vivero vendió 40 plantines → 40=+ yx

. . Los de arvejilla costaban 5 $, entonces por éstos recibió un total de → x$5

. . Los de pensamiento costaban 8 $, entonces por éstos recibió un total de → y$8

... Las ventas totales en este rubro fueron de 236 $ → $236$8$5 =+ yx

En este problema tenemos ahora dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente, la cantidad vendida y la ganancia obtenida:

=+=+

23685

40

yx

yx

lo que constituye un sistema de ecuaciones.

Definición 1: Una ecuación lineal en n variables es una expresión algebraica de la forma:

bxaxaxa nn =+++ L2211

donde naaa ,,, 21 L y b son números reales y nxxx ,,, 21 L variables.

Definición 2: Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables, es un conjunto de m ecuaciones lineales que se deben satisfacer simultáneamente, de la forma:

=+++==+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

L

L

L

2211

22222121

11212111

..........................

Este sistema se denota como: sistema de ecuaciones lineales m x n

3 M. Bocco - 2016

Cada una de las m ecuaciones está formada por la suma de n términos de la forma jji xa donde la

letra jia representa al número real que es el coeficiente correspondiente a la incógnita jx de la i-ésima

ecuación y la letra ib representa el término independiente de la misma ecuación.

Ejemplo 1: Para el sistema

=−

=+

72

832

21

21

xx

xx tenemos para la primera ecuación 211 =a , 312 =a y 81 =b .

Para la segunda ecuación 121 =a , 222 −=a y 72 =b

Ejemplo 2: El sistema

−=−−−=+−−=−−+

4322

122

10352

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

tiene tres (3) ecuaciones y cuatro (4) incógnitas.

En este sistema los valores que toman los coeficientes son: 211 =a , el 123 −=a , el 334 −=a y el

término independiente 12=b

Si renombramos la primera variable 1x como x , la segunda variable 2x como y , y las restantes

variables zx =3 y wx =4 , podemos reescribir el sistema de la forma:

−=−−−=+−−=−−+

4322

122

10352

wzyx

wzyx

wzyx

Definición 3: Para un sistema de m ecuaciones de primer grado, con n incógnitas el conjunto solución se conforma con las n-uplas ordenadas ( )nxxx ,,, 21 K que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones,

o bien es el conjunto vacío.

En el caso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, llamamos par ordenado a la solución, que será ( )21 , xx

Ejemplo 3: a) El sistema(2 x 2):

=+

=−

52

125

21

21

xx

xx

tiene como solución única al par ordenado (1,2)

b) El sistema (3 x 2):

=

=−

=+

4

1

2

1

21

21

x

xx

xx

4 M. Bocco - 2016

no tiene solución, ya que por la última ecuación 41 =x , con lo cual para verificarse la primera ecuación

debe ser 22 −=x , y estos valores no cumplen la segunda ecuación ( 1)2(4 ≠−− ).

c) El sistema (2 x 2):

=+

=+

633

2

21

21

xx

xx

tiene infinitas soluciones. De acuerdo a la primera ecuación debe verificarse que 12 2 xx −= y

reemplazando esta relación en la segunda ecuación se tiene que 6)2(33 11 =−+ xx , igualdad que siempre

se verifica, independientemente del valor que tome dicha variable, entonces todo par ordenado de la forma )2,( 11 xx − , para 1x cualquier número real, es solución del sistema.

Definición 4: Un sistema de ecuaciones lineales que tiene solución (al menos una) se denomina sistema consistente. Si no tiene solución decimos que es inconsistente.

SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2

Definición 5: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables o incógnitas se representa, en su forma general, por:

=+=+

22221

11211

byaxa

byaxa

Cada ecuación representa gráficamente una recta en el plano. En general hay tres posibilidades:

1. Las rectas se intersecan en un punto. 2. Las rectas son coincidentes. 3. Las rectas son paralelas.

Los tres comportamientos observados en los gráficos de las rectas se corresponden con el tipo de soluciones que presentará el sistema de ecuaciones:

1. El sistema tiene una solución única. 2. El sistema tiene infinitas soluciones. 3. El sistema no tiene soluciones.

Ejemplo 4: a) El sistema

=+

=+

52

832

21

21

xx

xx se representa gráficamente mediante las rectas de ecuación:

5 M. Bocco - 2016

38

32

12 +−= xx

25

21

12 +−= xx

Ambas rectas se intersecan en el punto: )2,1( que es la solución única del sistema.

b) El sistema

=+

=+

1664

832

21

21

xx

xx se representa gráficamente mediante las rectas de ecuación:

38

32

12 +−= xx

616

64

12 +−= xx .

Ambas rectas son coincidentes, luego el sistema tiene infinitas soluciones.

c) El sistema

=+

=+

1064

832

21

21

xx

xx se representa gráficamente mediante las rectas de ecuación:

38

32

12 +−= xx

610

64

12 +−= xx

Ambas rectas son paralelas ¿por qué? , luego el sistema no tiene solución.

6 M. Bocco - 2016

SISTEMAS EQUIVALENTES

Definición 6: Dos sistemas de ecuaciones, con el mismo número de variables, se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Operaciones para obtener un sistema equivalente a otro:

1. Intercambiar el orden de las ecuaciones. 2. Multiplicar una ecuación por un número no nulo. 3. Realizar combinaciones lineales de dos ecuaciones de modo de eliminar una variable en

una de éstas, esto es: “reemplazar una ecuación elegida por el resultado de sumarle a la misma el producto de otra ecuación por un número no nulo”. Esta operación permite eliminar la primera variable de la ecuación elegida.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, aplicar en el mismo las operaciones anteriores permitirá obtener un nuevo sistema de ecuaciones de forma triangular y equivalente al original, pero cuyas soluciones sean “más fáciles” de encontrar.

Para el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas la forma general de un sistema triangular es:

==+=++

IxH

GxFxE

DxCxBAx

3

32

321

En el sistema en forma triangular, el proceso de encontrar la solución se simplifica, ya que se resuelve la última ecuación en la única variable presente, sustituyendo el valor de ésta en la ecuación anterior se obtiene el valor de la restante incógnita que aparece, y con ambos valores en la ecuación que le precede se obtiene el valor de la otra incógnita.

En caso de un sistema con mayor número de ecuaciones este procedimiento se realiza en forma análoga y si el sistema triangular es equivalente al original, las soluciones encontradas resuelven el sistema dado.

En general para resolver un sistema de m ecuaciones de primer grado con n incógnitas, el uso de las operaciones antes citadas para encontrar un sistema equivalente, es la metodología más conveniente para resolución de sistemas, pues se aplica para sistemas con igual o distinto número de ecuaciones e incógnitas. Este método se conoce como de combinaciones lineales, o método de Gauss.

Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, encontrando previamente un sistema triangular equivalente:

−=−−=−−=++

122

12

4

zyx

zyx

zyx

7 M. Bocco - 2016

En primer lugar, sumamos a la segunda ecuación el resultado de multiplicar la primera ecuación por 1− , en la práctica realizamos sin escribir las operaciones:

3230

12

4)1()1()1()1(

−=−−=−−+

−=−+−+−

zyx

zyx

zyx

Reemplazando con este resultado a la segunda ecuación, obtenemos el sistema equivalente:

−=−−−=−−

=++

122

323

4

zyx

zy

zyx

Para eliminar el primer coeficiente de la tercera ecuación multiplicamos la primera ecuación por 2− y se la sumamos a la tercera, reemplazando ésta última con el resultado, se obtiene:

−=−−−=−−

=++

943

323

4

zy

zy

zyx

Debemos eliminar ahora el segundo coeficiente de la tercera ecuación, para ello multiplicamos la segunda ecuación por 1− y se la sumamos a ésta, reemplazando entonces la tercera con el nuevo resultado:

−=−−=−−

=++

62

323

4

z

zy

zyx

Entonces, resolviendo “de abajo hacia arriba”, de la tercera ecuación podemos obtener el valor de la variable z :

362 =→−=− zz

y sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos y :

13633)3(233)(23 −=→−=−−→−=−−→−=−− yyyzy

Finalmente, sustituyendo los valores 3=z e 1−=y en la primera ecuación, se obtiene el valor de x :

2424)3()1(4 =→=+→=+−+→=++ xxxzyx

La solución del sistema será entonces la terna ordenada: )3,1,2(),,( −=zyx

REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Todo sistema de ecuaciones lineales m x n de primer grado, con n incógnitas se puede escribir en forma simplificada en un “cuadro o arreglo de números” como sigue:

8 M. Bocco - 2016

mFila

2Fila

1Fila

L

↓↓↓↓

+

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

nn

L

LLLLL

L

L

L

21

222221

111211

)1(ColCol2Col1Col

En este “cuadro de números” la primera fila muestra los coeficientes de cada una de las n variables

de la primera ecuación, en su orden; y después de la línea de puntos el término independiente de la misma ecuación. De igual manera en la segunda fila leemos los coeficientes de cada una de las n variables y el término independiente de la segunda ecuación, y así siguiendo… la última fila contiene cada uno de los coeficientes de las n variables y el término independiente de la última ecuación.

Análogamente, la primera columna muestra todos los coeficientes que multiplican a la primera incógnita en todas las ecuaciones, la segunda columna a los que multiplican a la segunda incógnita y así siguiendo… la penúltima columna permite leer todos los coeficientes que multiplican a la última incógnita; la última columna (después de la línea de puntos) contiene los términos independientes de cada ecuación. Ejemplo 6: El sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:

−=−−−=+−−=+−+

1322

122

4532

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Se representa por un arreglo de números en tres filas con cinco columnas:

−−−−−−−

13212

12121

45132

9 M. Bocco - 2016

MATRICES

Definición 7: Una matriz A es un cuadro o arreglo ordenado de números. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, A, B, … y los elementos se denotan por jia donde i → fila y j → columna.

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

Denotamos por [ ]jiaA = , i =1, ..., m, j =1, ..., n y decimos que la matriz A tiene m filas y n

columnas, es decir es una matriz m x n. En una matriz distinguimos:

↓↓↓

nCol2Col1Col L

mFila

2Fila

1Fila

L

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

Ejemplo 7: La siguiente es una matriz 4 x 3:

−

−−

=

609

650

421

721

A

En la misma 212 =a , 941 =a y 633 =a .

Definición 8: Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Una matriz cuadrada n x n se dice que es de orden n.

En general una matriz cuadrada, de orden n, se representa por:

A=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

10 M. Bocco - 2016

Nota: En una matriz cuadrada, los elementos de la forma iia , es decir los elementos que se encuentra en el mismo número de fila y columna, forman la diagonal principal de la matriz. Ejemplo 8: Las siguientes matrices A y B son cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

−−−=

123

503

421

A

−=

01

32B

y la diagonal principal de A está formada por los elementos 1,0,-1 y para la matriz B, por los elementos 2 y 0.

Definición 9: La matriz identidad, que se denota con I, es una matriz cuadrada de orden n, en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y todos los restantes son elementos nulos.

En general la matriz Identidad se representa por I =

100

010

001

L

MMM

L

L

VECTORES

Definición 10: Un vector es una matriz que consta de una única fila o columna. Un vector fila es una matriz 1 x n y un vector columna es una matriz es m x 1.

Ejemplo 9: Los siguientes vectores son, respectivamente, un vector fila X, de 1 x 3 y un vector columna Y de 4 x 1.

[ ]402=X

=

4

3

2

1

Y

11 M. Bocco - 2016

OPERACIONES CON MATRICES

Definición 11: Dos matrices [ ]jiaA= y [ ]jibB = son iguales si para todo i, j se verifica: jiji ba =

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Definición 12: Dadas las matrices [ ]jiaA = y [ ]jibB = , ambas con igual dimensión m x n, la matriz

suma BA+ se define como: [ ]jiji baBA +=+

Es decir los elementos de la matriz suma resultan de realizar la suma de los correspondientes elementos de ambas matrices.

Ejemplo 10: Para las matrices

−=407

350

213

A y

−

−=

210

852

421

B

=+217

5102

632

BA

Definición 13: Dadas las matrices [ ]jiaA = y [ ]jibB = , ambas con igual dimensión m x n, la matriz

resta o diferencia BA− se define como: [ ]jiji baBA −=−

Ejemplo 11: Para las matrices

−=407

350

213

A y

−

−=

210

852

421

B

a)

−−−−−

=−617

1102

214

BA b)

−−

−=−

617

1102

214

AB

Ejemplo 11: Las siguientes matrices A y B representan las ventas realizadas por tres establecimientos agrícolas de Córdoba a lo largo de dos años, respectivamente, de sus dos principales cultivos (soja y trigo), expresadas en quintales. Establecimiento Establecimiento

12 M. Bocco - 2016

trigo

sojaA

EEE

=

7008001000

460620800

321

trigo

sojaB

EEE

=

600880930

510680720

321

Entonces la cantidad de quintales vendidos de soja y trigo en los dos años se puede mostrar, para cada establecimiento, a través de la suma de matrices:

trigo

sojaBA

EEE

=+

130016801930

97013001520

321

PRODUCTO DE MATRICES POR ESCALAR

Definición 14: Dada la matriz [ ]jiaA = y el número real α , el producto de este escalar por la matriz,

denotado por A.α , se define por [ ]jiaA .. αα =

Ejemplo 12: Para la matriz:

−=407

350

213

A es:

−=12021

9150

639

3A y ( )

−−−

−−−=−

407

350

213

1 A

Ejemplo 13: La matriz A representa las ventas realizadas por tres establecimientos agrícolas de Córdoba en un año, de sus dos principales cultivos (soja y trigo), expresadas en quintales.

Establecimiento

trigo

sojaA

EEE

=

7008001000

460620800

321

Entonces si se proyecta un aumento del 20 % en las ventas para el próximo año, los resultados que se obtendrán se muestran a través del producto:

trigo

sojaA

EEE

=

8409601200

55274496020,1

321

13 M. Bocco - 2016

PRODUCTO DE MATRICES

Definición 15: Dadas las matrices [ ]jiaA = , de dimensión m x p , y [ ]jibB = cuya dimensión es p x n,

la matriz producto BA. es la matriz formada por m filas y n columnas, que se define por:

[ ]jicBA =.

donde cada elemento jic se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B, esto es:

jppijijiji bababac ... 2211 +++= L

Importante: Para poder realizar el producto de dos matrices se debe verificar que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplo 14: Para las matrices

=

43

21A y

=

20

11B , el producto

=

2221

1211.

cc

ccBA

donde 10.21.111 =+=c , 52.21.112 =+=c , 30.41.321 =+=c , 112.41.322 =+=c

Entonces:

=

113

51.BA

Ejemplo 15: Para las matrices

=

ts

baA (2 x 2) y

−−

=254

321B (2 x 3), la matriz producto, A . B

tendrá dos filas y tres columnas. La matriz producto es:

−+−+−+−+

=tststs

bababaBA

23524

23524.

Ejemplo 16: El producto de una matriz A por la matriz Identidad, da por resultado la misma matriz A:

=

43

21A y

=

10

01I entonces

=

++++

=43

21

1.40.30.41.3

1.20.10.21.1.IA .

Ejercicio: Comprobar que el producto I. A también da por resultado la matriz A.

14 M. Bocco - 2016

DISTINTOS TIPOS DE MATRICES

MATRICES ESCALONADAS

Definición 16: Una matriz se dice que está en la forma escalonada por filas si se verifica que: * Si la fila k no es toda nula, el número de ceros de la fila siguiente, fila k + 1, es mayor que el número de ceros de la fila k y el primer elemento no nulo de la fila k está a la derecha de la fila anterior, fila k – 1. * Las filas cuyos elementos son todos nulos se encuentran debajo de las filas que contienen elementos no nulos.

Ejemplo 17:

a)

−100

310

241

b)

0000

3800

0131

Ejemplo 18: Si consideramos que la siguiente matriz representa la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, podríamos reescribir el sistema como:

−−

5000

2310

5121

entonces

=−=+

=−+

50

23

52

zy

zyx

y la última expresión es obviamente un absurdo (50 ≠ ), luego dicho sistema no tiene solución.

MATRIZ DIAGONAL

Definición 17: Una matriz cuadrada [ ]jiaA = se denomina matriz diagonal si todos los elementos que no

pertenecen a la diagonal principal son nulos, es decir 0=jia para todo ji ≠ .

Ejemplo 19: La siguiente es una matriz diagonal

−=

300

060

001

A

15 M. Bocco - 2016

MATRIZ TRIANGULAR

Definición 18: Una matriz cuadrada [ ]jiaA = se denomina:

* Triangular superior si los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir 0=jia para ji > .

* Triangular inferior si los elementos de que se encuentran por encima de la diagonal principal son nulos, es decir 0=jia para ji < .

Nota: una matriz triangular puede tener elementos nulos en su diagonal.

Ejemplo 20: Las siguientes matrices son triangular superior y triangular inferior, respectivamente:

−

−=

300

380

421

A y

−

=

5432

0061

0032

0001

B

MATRIZ TRASPUESTA O TRANSPUESTA

Definición 19: La matriz traspuesta de una matriz [ ]jiaA = (de dimensión m x n) es la matriz [ ]jibB = (n x m)

definida por ijji ab = , es decir la matriz transpuesta se forma cambiando filas por columnas, y se denota

por tA .

Ejemplo 21: Para la matriz

−=642

150

321

A su matriz traspuesta es:

−=

613

452

201tA

OPERACIONES Y PROPIEDADES de las MATRICES

Para las matrices A, B y C para las cuales se puedan definir las operaciones, y los escalares βα , se verifican: a) Propiedad Conmutativa:

A + B = B + A

b) Propiedad Asociativa de la suma: A + (B + C) = (A + B ) + C

c) Propiedad Asociativa del producto: A . (B . C) = (A . B) . C

16 M. Bocco - 2016

d) Propiedad Distributiva del producto de matrices: A . (B + C) = (A . B) + (A . C) (A + B) . C = (A . C) + (B . C)

e) Propiedad Asociativa del producto por escalar: ( )βα . . A = α . (β . A)

( )α . (A . B) = (α . A) . B

f) Propiedad Distributiva del producto por escalar: ( )βα + . A = (α . A) + (β . A)

g) Elemento Neutro de la suma: La matriz nula O que verifica A + O = A

h) Elemento Neutro del producto: La matriz identidad I que verifica A . I = I . A = A

Observar: El producto de matrices no es conmutativo. Ejemplo 22: Para las siguientes matrices A y B se verifica que: ABBA .. ≠

=

03

12A ,

−=

20

41B entonces:

=

123

62.BA mientras que

−=

06

114.AB

Propiedades de la Matriz Transpuesta

a) ( ) AAtt =

b) ( ) tt AA .. αα = (α escalar).

c) ( ) ttt BABA +=+

d) ( ) ttt ABBA .. =

INVERSA DE UNA MATRIZ

Definición 20: Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

A . B = B . A = I

siendo I la matriz identidad. La matriz B se llama inversa de A y se denota por 1−A .

Ejemplo 23: Si consideramos las matrices

=

31

52A y

−−

=21

53B , entonces

IBA =

=

−−

=

10

01

21

53.

31

52. y IAB =

=

−−

=10

01

31

52.

21

53.

17 M. Bocco - 2016

Puesto que A . B = B . A = I, entonces A es una matriz invertible y

−−

=−21

531A .

Ejemplo 24: La matriz

=

62

31A no tiene inversa pues, para ello debería existir una matriz

=

wz

yxB

que verifique A . B = B . A = I. Realizando el primer producto, obtenemos

++++

=

=

wyzx

wyzx

wz

yxBA

6262

33.

62

31.

Entonces para que este producto sea igual a la matriz identidad

=

10

01I debe verificarse:

13 =+ zx , 062 =+ zx , 03 =+ wy y 162 =+ wy

Como de la segunda igualdad podemos deducir la relación zx 3−= , entonces en la primera igualdad se tendría 033 =+− zz lo cual contradice su valor que debe ser 1. Con lo cual, la matriz A no tiene una matriz inversa. Observación: Otro tipo de matrices que no tienen inversa son aquellas para las cuales una fila está formada únicamente por elementos nulos.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: FORMA MATRICIAL

Dado un sistema de ecuaciones lineales, hemos visto que aplicar tres tipos de operaciones permite obtener un nuevo sistema de ecuaciones de forma triangular y equivalente al original, pero cuyas soluciones son “más fáciles” de encontrar. Recordemos que las operaciones que aseguran obtener el nuevo sistema son:

Operaciones para obtener un sistema equivalente.

1. Intercambiar el orden de las ecuaciones. 2. Multiplicar una ecuación por un número no nulo. 3. Reemplazar una ecuación elegida por el resultado de sumarle a la misma el producto de

otra ecuación por un número no nulo. Las anteriores operaciones para un sistema de ecuaciones lineales, trabajando sobre la matriz que

lo representa, se traducen en:

Operaciones entre filas de una matriz

1. Intercambiar el orden de las filas. 2. Multiplicar una fila por un número no nulo. 3. Realizar combinaciones lineales de dos filas de modo de eliminar un coeficiente en una de

éstas, esto es: “reemplazar una fila elegida por el resultado de sumarle a la misma el producto

18 M. Bocco - 2016

de otra fila por un número no nulo”, esta operación permite eliminar el primer coeficiente de la fila elegida.

Ejemplo 24: Resolver aplicando el método de Gauss el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:

−=−−=−−=++

122

12

4

zyx

zyx

zyx

Para comenzar a aplicar el método escribimos la matriz que representa el sistema:

−−−−−

1212

1121

4111

Aplicando a la segunda fila la operación 3., podemos eliminar el primer coeficiente de la misma. Para ello observamos que si multiplicamos la primera fila por 1− y luego sumamos las dos primeras filas, reemplazando con éste resultado a la segunda, obtenemos la matriz equivalente:

−−−−−−

1212

3230

4111

Para obtener la matriz anterior, en la práctica realizamos sin escribir las operaciones:

3230

1121

4)1(1)1(1)1(1)1(

−−−−−+

−−−−

M

M

M

Para eliminar el primer coeficiente de la tercera fila multiplicamos la primera fila por 2− y se la sumamos a la tercera, reemplazando ésta última con el resultado, se obtiene:

−−−−−−

9430

3230

4111

Nuevamente la matriz anterior, es el resultado de realizar sin escribir las operaciones:

9430

1212

4)1(1)2(1)2(1)2(

−−−−−−+−−−−

M

M

M

Debemos eliminar ahora el segundo coeficiente de la tercera fila, para ello multiplicamos la segunda por 1− y se la sumamos a ésta, reemplazando entonces la tercera fila con el nuevo resultado, es decir las

operaciones que realizamos son:

19 M. Bocco - 2016

6200

9430

)3()1()2()1()3()1(0)1(

−−−−−+

−−−−−−−

M

M

M

Para obtener la siguiente matriz triangular, de la cual podemos escribir el sistema triangular equivalente al dado:

−−−−−

6200

3230

4111

−=−−=−−

=++⇒

62

323

4

z

zy

zyx

Entonces, resolviendo “de abajo hacia arriba”, de la tercera ecuación podemos obtener el valor de la variable z :

362 =→−=− zz

y sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos y :

13633)3(233)(23 −=→−=−−→−=−−→−=−− yyyzy

Finalmente, sustituyendo los valores 3=z e 1−=y en la primera ecuación, se obtiene el valor de x :

2424)3()1(4 =→=+→=+−+→=++ xxxzyx

La solución del sistema será entonces la terna ordenada: )3,1,2(),,( −=zyx

Observación: Es aconsejable siempre comprobar que la solución verifique el sistema original reemplazando dichos valores en el mismo. Ejemplo 25: Encontrar el conjunto solución del sistema:

=++=−−=++

0663

6224

12222

zyx

zyx

zyx

En notación matricial el sistema se escribe:

−−0663

6224

12222

Notemos que las operaciones por filas de la matriz se simplificarían si tenemos como primer

coeficiente en la primera fila el número 1; realizaremos entonces la operación 2., es decir multiplicamos la primera fila por (1/2):

6111

1221

221

221

221

M

M

obtenemos así la matriz:

20 M. Bocco - 2016

−−0663

6224

6111

Para eliminar el primer coeficiente de la segunda fila multiplicamos la primera por 4− y se la

sumamos a la segunda, reemplazando esta última con el resultado, (recordar que esta operación se realiza sin escribir):

18660

6224

6)4(1)4(1)4(1)4(

−−−−−+

−−−−

M

M

M

Esta operación permite obtener la matriz:

−−−0663

18660

6111

Continuando con el método, para eliminar el primer coeficiente de la tercera fila multiplicamos la primera por 3− y se la sumamos a la tercera, la cual se sustituye por dicho resultado:

18330

0663

6)3(1)3(1)3(1)3(

−+

−−−−

M

M

M

La matriz equivalente tiene la forma:

−−−−18330

18660

6111

Podemos ahora aplicar la operación 1 e intercambiar la segunda fila con la tercera y luego eliminar el primer coeficiente no nulo de esta última (6− ) sumándole el resultado de multiplicar a la segunda fila por 2:

−−−−

18660

18330

6111

y

54000

18660

18)2(3)2(3)2(0)2(

−−−−+−

M

M

M

Que en notación matricial es:

−−

54000

18330

6111

El sistema de ecuaciones que la matriz representa es:

21 M. Bocco - 2016

−=−=+

=++

540

1833

6

z

zy

zyx

La tercera ecuación de este sistema de forma triangular que hemos obtenido es un absurdo (540 −≠ ) ya que no existe ningún número real z que multiplicado por 0 sea igual a un número negativo. Entonces el sistema no tiene solución, es decir { }== φS COMANDOS del SOFTWARE MAXIMA

• Comando Ecuaciones > Resolver Sistema lineal permite entrar un sistema de ecuaciones para su resolución. Se debe entrar el número de ecuaciones del sistema y luego el comando abre una caja que permite entrar cada una de los ecuaciones, se deben las variables que se desean obtener como solución sistema (en la caja correspondiente). Si el sistema tiene solución única, el soft entrega el valor de la misma, si el sistema tiene infinitas soluciones, el soft muestra como resultado las variables escritas de forma que se pueden observar la dependencia del o de los parámetros; en cambio si el sistema no tiene solución, el sistema entrega como resultado el símbolo [ ].

• Comando Algebra > Introducir Matriz permite entrar la matriz de datos. Se debe entrar el número de filas y columnas de la matriz y el nombre de la matriz y luego el comando abre una caja que permite entrar cada uno de los elementos de la misma.

• Comando Algebra > Transponer Matriz permite obtener la transpuesta de una matriz cuadrada, indicando el nombre de la matriz (en lugar del símbolo % que por defecto coloca el software). Para realizar la operación siempre debe emplearse la secuencia de teclas Mayus+Enter y debe previamente introducirse la matriz que se desea invertir.

• Comando Algebra > Invertir Matriz permite obtener la inversa de una matriz cuadrada, indicando el nombre de la matriz (en lugar del símbolo % que por defecto coloca el software). Para realizar la operación siempre debe emplearse la secuencia de teclas Mayus+Enter y debe previamente introducirse la matriz que se desea invertir.