Deel III Matrices (recto)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel III Matrices

06/08/2015

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 6 augustus 2015

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord iii

Wat is wiskunde? iv-xi

Parate kennis bij aanvang van de derde graad x-xviii

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2 II,i-ii,1-95

III Matrices III,i,1-81

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek XIV,i,1-39

XV Vectorruimten XV,i,1-59

XVI Getaltheorie

XVII Analytische meetkunde

XVIII Differentiaalvergelijkingen

XIX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xix-xxiii

ii

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Deel III

Algebra - Matrices

III

Inhoudsopgave Deel Matrices

1 Matrices 1

1.1 Definities, notaties en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Optelling van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Vermenigvuldiging van een reeel getal met een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Vermenigvuldiging van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Toepassing 1 - Aantal verbindingen in grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Toepassing 2 - Migratie- en populatievoorspellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Lineaire stelsels en inverteerbare matrices 28

2.1 Lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Lineaire stelsels oplossen met eliminatie-algoritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Eerste manier - Eliminatie-algoritme van Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tweede manier - Eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Derde manier - Gauss en Gauss-Jordan eliminatie-algoritme met behulp van matrices . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Trapvorm van een matrix en rij-equivalente matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Rang van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Aantal oplossingen van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Inverteerbare matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Toepassing 1 - Methode om de inverse van een matrix te berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Toepassing 2 - Codeertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Toepassing 3 - Vraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Inzicht in elektrotechniek - wetten van Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Determinanten 53

3.1 Determinant van een 1 × 1 matrix, 2 × 2 matrix en 3 × 3 matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Determinant van een n× n matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Eigenschappen van determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Toepassing 1 - Determinant van een driehoeksmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Toepassing 2 - Determinant berekenen met behulp van elementaire rijoperaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Toepassing 3 - Determinant en rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Toepassing 4 - Determinant en inverse matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Toepassing 5 - Determinant en vierkante lineaire stelsels: de regel van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Toepassing 6 - Determinant van Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Toepassing 7 - Determinant en de vergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Toepassing 8 - Determinant en de oppervlakte van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Toepassing 9 - Meetkundige betekenis van de determinant van een 2 × 2 matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Toepassing 10 - Meetkundige betekenis van de determinant van een 3 × 3 matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Inzicht in planologie - evenwicht bij migratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Antwoorden op geselecteerde oefeningen 76

Hoofdstuk 1

Matrices

The Matrix is everywhere, it is all around us. . .

Morpheus in de sciencefictionfilm The Matrix (1999).

In dit hoofdstuk introduceren we het begrip matrix als een middel om gegevens weer te geven. Voor de hand lig-gende bewerkingen van gegevens zoals optelling en vermenigvuldiging worden vertaald in termen van deze matrices.Toepassingsgebieden bevinden zich onder meer in de grafentheorie, statistiek, natuurkunde (meetkundige optica, ma-trixmechanica), elektrotechniek (netwerkanalyse) en informatica (computergraphics).

1.1 Definities, notaties en voorbeelden

3 Op ontdekking. Heleen is de eigenares van drie kledingzaken. Ze heeft een vestiging te Aalter, Brugge enGent. In elke winkel houdt men de verkoop van vier kledingstukken van een nieuwe collectie in de gaten. In demaand december 2014 noteert Heleen de volgende verkoopcijfers.

T-shirt broek hemd sjaal

Aalter 60 30 20 15Brugge 80 65 35 10

Gent 120 90 80 0

Deze verkoopcijfers vormen een rechthoekige schema met 3 rijen en 4 kolommen. Om schrijfwerk te besparenlaat Heleen de namen van de vestigingen (Aalter, . . . ) en kledingstukken (T-shirt, . . . ) weg. Ze schrijft dan

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

.

James Joseph Sylvester(1814 - 1897)

3 Definitie1. Een (reele) matrix is een (niet ledig) schema reele getallen, gerang-schikt in een rechthoekige vorm volgens rijen en kolommen.

We schrijven zo’n schema tussen rechthoekige haakjes. Doorgans noteren weeen matrix met een Latijnse hoofdletter.

Voorbeeld. A =

[1 3 −1, 23

2 0√

2

]en B =

[0 12 −π

].

3 Definities, notaties en afspraken.

1. Een matrix met m rijen en n kolommen noemt2men een m× n matrix.We noemen m× n de orde (of dimensie) van de matrix.

Voorbeeld. Vul aan: A =

[0 1 −

√7

81 1/3 0, 66

]is een . . .× . . . matrix.

De matrix A opslaan in de grafische rekenmachine kan als volgt.

2ND MATRIX EDIT 2 ENTER 3 ENTER 0 ENTER 1 ENTER etc.

1De term matrix werd in deze context voor eerst gebruikt door Sylvester 1848, als Latijnse vertaling van het Engelse woord womb.2Lees m × n matrix als m maal n matrix of m bij n matrix. Tenzij anders vermeld stellen de letters m en n steeds strikt positieve

natuurlijke getallen voor.

III-1

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Matrix

http://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester

2. De verzameling van alle m× n matrices noteren3 we met Rm×n.

In symbolen:

Rm×n def= A | A is een m× n matrix

Voorbeeld. We hebben A =

[0 1 −

√7

81 1/3 0, 66

]∈ R2×3 en B =

1−110

∈ R4×1.

3. De getallen van een matrix A noemt men de elementen van de matrix. Het getal4 op de i-de rij en de j-dekolom noemen we het (i, j)-de element van A. Dat getal noteren we met aij of Aij .

Voorbeeld. Vul aan: voor de matrix A =

[0 1 −

√7

81 1/3 0, 66

]is a12 = . . . , a21 = . . . , a23 = . . .

2ND MATRIX 1:[A] ENTER >

Een 2× 3 matrix A is altijd van de vorm A =

[a11 a12 a13a21 a22 a23

]waarbij aij ∈ R.

Algemeen is een m× n matrix A altijd van de vorm

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

waarbij aij ∈ R.

We kunnen dit in compacte vorm schrijven als A = [aij ]1 ≤ i ≤ m1 ≤ j ≤ n

of kortweg A = [aij ].

4. Een rijmatrix is een matrix met een rij. Een kolommatrix is een matrix met een kolom.

Voorbeeld. Matrix A =[1 0 −π 6

]is een rijmatrix en matrix B =

−110, 23

0

is een kolommatrix.

5. Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Voor een n× n matrix A noemt men

. a11, a22, . . . , ann de hoofddiagonaal (of kortweg diagonaal),

. an1, an−1 2, . . . , a1n de nevendiagonaal.

Voorbeeld. A =

1 2 34 5 67 8 9

is een vierkante matrix. Duid de hoofddiagonaal en de nevendiagonaal aan.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal de vierkante 3× 3 matrix A waarvoor Aij = i+ j − 2.

Oplossing.

3Lees Rm×n niet als R tot de macht m maal n maar wel als R, m maal n.4Stilzwijgend veronderstellen we steeds i ∈ 1, 2, . . . ,m en j ∈ 1, 2, . . . , n waarbij m× n de orde van de matrix is. Twee matrices A

en B zijn gelijk als A en B dezelfde orde hebben en het (i, j)-de element van A gelijk is aan het (i, j)-de element van B.

III-2

Belgische popgroepClouseau

3 Modelvoorbeeld 2. Een jeugdbeweging wil de clubkas spijzen en is op zoeknaar een nieuwe bron van inkomsten. Er zijn verschillende voorstellen: eenwafelbak houden, een toneelstuk opvoeren, een Vlaamse kermis organiseren ofeen optreden van Clouseau. De vermoedelijke netto-opbrengst bij elk weertypewordt voorgesteld in de volgende tabel (uitgedrukt in euro):

zon bewolkt regen

wafelbak 500 500 500toneelstuk 250 350 350

Vlaamse kermis 650 400 50optreden Clouseau 1200 900 −300

(a) Schrijf de matrix P op die de getallen in de tabel weergeeft.

(b) Wat is de praktische betekenis van P32 en P43?

(c) Verklaar waarom P31 > P33.

Oplossing.

3 Definities, notaties en afspraken (vervolg).

6. Een bovendriehoeksmatrix is een vierkante matrix waarvan de elementen onder de diagonaal gelijk zijn aanhet getal 0. Een onderdriehoeksmatrix is een vierkante matrix waarvan de elementen boven de diagonaalgelijk zijn aan het getal 0.

Voorbeeld. BovendriehoeksmatrixA =

1 0 −7

0 2 −2√

20 0 8

en onderdriehoeksmatrix B =

1 0 0 0−3 2 0 0−1 1 7 01 0 2 0

.

7. Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix waarvan de elementen boven en onder de diagonaal gelijk zijnaan het getal 0.

Voorbeeld. A =

−3 0 00 0 0

0 0 −√

2015

is een diagonaalmatrix.

8. Een scalaire matrix is een diagonaalmatrix waarvan alle diagonaalelementen aan elkaar gelijk zijn.

Voorbeeld. A =

[−3 00 −3

]is een scalaire matrix.

9. Een eenheidsmatrix is een diagonaalmatrix waarvan alle diagonaalelementen gelijk zijn aan het getal 1.De n× n eenheidsmatrix noteren we met En of In.

Voorbeeld. E3 =

1 0 00 1 00 0 1

is de 3× 3 eenheidsmatrix. Eenheidsmatrices zijn voorgeprogrammeerd:

2ND MATRIX MATH 5:identity

10. Een nulmatrix is een matrix waarvan alle elementen gelijk zijn aan het getal 0. De m×n nulmatrix noteren5

we met Om×n. We schrijven On×n ook als On.

Voorbeeld. O2×4 =

[0 0 0 00 0 0 0

]en O2 =

[0 00 0

]zijn nulmatrices.

11. Vervangen we in een matrix A elk element aij door −aij dan verkrijgen we de tegengestelde matrix −A.


[1 3 72 1 4

]is de tegengestelde matrix −A =

[. . . . . . . . .. . . . . . . . .

].

5Soms schrijven we ook 0 voor een nulmatrix. De context maakt dan duidelijk of we het getal 0 of een nulmatrix bedoelen en wat deorde is van die nulmatrix.

III-3

http://nl.wikipedia.org/wiki/Clouseau

3 Op ontdekking (vervolg). Heleen, eigenares van drie kledingwinkels, rang-schikt de verkoopcijfers zodat elke rij de gegevens van een winkel bevat en elkekolom de gegevens van een kledingstuk bevat.


Aalter 60 30 20 15Brugge 80 65 35 10

Gent 120 90 80 0

matrix A =

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

Heleen had natuurlijk ook de gegevens van elk kledingstuk in een rij kunnen schikken en de gegevens van elkewinkel in een kolom.

Aalter Brugge Gent

T-shirt 60 80 120broek 30 65 90hemd 20 35 80sjaal 15 10 0

matrix B =

60 80 12030 65 9020 35 8015 10 0

Vul aan: het (2, 3)-de element van de matrix B is het (. . . , . . .)-de element van de matrix A.

Vul aan: de tweede rij van de matrix B is de . . . . . . . . . rij/kolom (schrappen wat niet past) van de matrix A.

3 Definities, notaties en afspraken (vervolg).

12. Zij A een m× n matrix. De getransponeerde matrix AT is de n×m matrix met als (i, j)-de element aji.

In symbolen:(AT)ij

def= Aji


[1 3 72 1 4

]

︸︷︷︸2×3 matrix

is de getransponeerde matrix AT =

. . . . . .. . . . . .. . . . . .

︸︷︷︸...×... matrix

.

2ND MATRIX 1:[A] 2ND MATRIX MATH 2:T ENTER

13. Een symmetrische matrix is een matrix A waarvoor AT = A.

Voorbeeld. A =

[1 −7−7 3

]is een symmetrische matrix.

14. Een scheefsymmetrische matrix is een matrix A waarvoor AT = −A.

Voorbeeld. A =

[0 7−7 0

]is een scheefsymmetrische matrix.

3 Modelvoorbeeld 3. Bewijs de volgende eigenschap:

∀A ∈ Rm×n : (AT )T = A

Bewijs. Neem een willekeurige matrix A ∈ Rm×n. We moeten aantonen dat de matrices (AT )T en A gelijk zijn.Dat kunnen we doen door aan te tonen dat (1) de matrices dezelfde orde hebben en (2) het (i, j)-de element van(AT )T gelijk is aan het (i, j)-de element van A (voor elke i en j). Welnu,

(1) de matrices (AT )T en A hebben dezelfde orde, want (vul aan):

A ∈ Rm×n dus AT ∈ R...×... waaruit (AT )T ∈ R...×...

(2) het (i, j)-de element van (AT )T is gelijk aan het (i, j)-de element van A, want (vul aan):((AT )T

)ij

= . . .

Uit (1) en (2) volgt nu dat (AT )T = A.

III-4

1.2 Optelling van matrices

3 Op ontdekking. Heleen, eigenares van drie kledingwinkels, verzamelt de of-ficiele verkoopcijfers voor de maand december 2014.


Aalter 60 30 20 15Brugge 80 65 35 10

Gent 120 90 80 0

matrix A =

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

Maar daarnaast werden er - hoewel dit volstrekt illegaal is - in alle winkels nogkledingstukken zonder kasticket verkocht, die niet in de officiele cijfers zijn terug te vinden. De extra verkoopwordt weergegeven door


Aalter 10 5 20 5Brugge 15 20 40 10

Gent 0 0 0 0

matrix B =

10 5 20 515 20 40 100 0 0 0

Bepaal de matrix C die de (echte) totale verkoop weergeeft.

Oplossing. In de vestiging te Aalter worden van de T-shirts officieel 60 stuks verkocht (want a11 = 60) en nogeens 10 stuks zonder factuur (want b11 = 10). Dus gaan er te Aalter in totaal 70 T-shirts over de toonbank.

Op analoge manier vinden we (vul aan) matrix C =

70 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

.

3 Definitie (som van matrices). Zij A en B twee m× n matrices. De som A+ B is de m× n matrix met als(i, j)-de element aij + bij .

In symbolen:

(A+B)ijdef= Aij +Bij

3 Voorbeeld. Vul aan:

[1 2 −12 3 0

]


+

[−3 1 10 −4 0

]


=

[. . . . . . . . .. . . . . . . . .

]

︸︷︷︸...×... matrix

.

3 Eigenschap 1.

1. De som van een m× n matrix A met de m× n nulmatrix (van dezelfde orde) is dezelfde matrix A.

In symbolen:

∀A ∈ Rm×n : A+Om×n = A = Om×n +A

Men zegt dat de nulmatrix Om×n het neutraal element is voor de optelling van matrices in Rm×n.

2. De som van een m× n matrix A met z’n tegengestelde −A is de m× n nulmatrix.

In symbolen:

∀A ∈ Rm×n : A+ (−A) = Om×n = (−A) +A

? Eigenschap 2. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg optelling noemen

+ : Rm×n × Rm×n → Rm×n

(A,B) 7→ A+B

en die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(1) optelling is associatief: ∀A,B,C ∈ Rm×n : (A+B) + C = A+ (B + C),

(2) Om×n is het neutraal element voor optelling: ∀A ∈ Rm×n : A+Om×n = A = Om×n +A,

(3) invers element voor optelling: ∀A ∈ Rm×n : A+ (−A) = Om×n = (−A) +A.

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (1)-(3) noemen we de verzameling Rm×n voorzien van de optelling +een groep, notatie Rm×n,+.

Bovendien geldt ook de eigenschap

(4) optelling is commutatief: ∀A,B ∈ Rm×n : A+B = B +A.

Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep Rm×n,+ commutatief (of abels 6).

6Genoemd naar Niels Henrik Abel (1802 - 1829). Volledigheidshalve vermelden we: het verschil van twee m× n matrices A en B isde som van A met het tegengestelde van B.

III-5

http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

1.3 Vermenigvuldiging van een reeel getal met een matrix

3 Op ontdekking. Heleen, eigenares van drie kledingzaken, verzamelt de (officiele) verkoopcijfers voor de maanddecember 2014.


Aalter 60 30 20 15Brugge 80 65 35 10

Gent 120 90 80 0

matrix A =

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

Nieuwsgierig als ze is wil Heleen een schatting maken van de verkoopcijfers voor het ganse jaar. Hoe ziet degeschatte matrix J van de verkoopcijfers voor 2014 er uit? Hou er rekening mee dat Heleen een maand per jaarde deuren sluit.

Oplossing. In de vestiging te Aalter worden in een maand tijd 60 T-shirts verkocht. Dus op een gans jaar gaaner in totaal 11 · 60 = 660 T-shirts over de toonbank.

Op analoge manier vinden we matrix J =

660 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

(vul aan).

3 Definitie (scalaire7 vermenigvuldiging van een matrix met een reeel getal). Zij r een reeel getal en Aeen m× n matrix. De (scalaire) vermenigvuldiging r ·A is de m× n matrix met als (i, j)-de element r · aij .In symbolen:

(r ·A)ijdef= r ·Aij .

3 Voorbeeld 1. Vul aan: 3 ·[1 2 −12 3 0

]


=

[. . . . . . . . .. . . . . . . . .

]

︸︷︷︸...×... matrix

.

3 Voorbeeld 2. Gegeven zijn de matrices A =

[1 −1 20 2 −3

]en B =

[2 −2 −31 0 −1

].

Bereken 2A− 3B. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld (matrixvergelijking). Gegeven zijn matrices A=

1 −1 1 12 0 0 14 2 0 2

en B=

6 0 2 61 0 3 100 1 4 1

.

Bepaal alle matrices X die voldoen aan de vergelijking 3A+1

2X = 5B.

Oplossing.

? Eigenschap. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg scalaire vermenigvuldiging noemen

· : R× Rm×n → Rm×n

(r,A) 7→ r ·A

die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(5) scalaire vermenigvuldiging is associatief: ∀r, s ∈ R,∀A ∈ Rm×n : (r · s) ·A = r · (s ·A),

(6) scalaire vermenigvuldiging en optelling zijn ∀r, s ∈ R,∀A ∈ Rm×n : (r + s) ·A = r ·A+ s ·A,onderling distributief: ∀r ∈ R,∀A,B ∈ Rm×n : r · (A+B) = r ·A+ r ·B,

(7) normalisatie van scalaire vermenigvuldiging: ∀A ∈ Rm×n : 1 ·A = A.

Omdat de commutatieve groep Rm×n,+, die voldoet aan eigenschappen (1)-(4), bovendien voldoet aan eigen-schappen (5)-(7) noemen we de verzameling Rm×n voorzien van de optelling + en de scalaire vermenigvuldiging· een (reele) vectorruimte (of lineaire ruimte), notatie R,Rm×n,+.

7Een scalair (ook wel scalar genoemd, meervoud scalairen) duidt in de ruimste zin op een gewoon getal.

III-6

1.4 Vermenigvuldiging van matrices

3 Op ontdekking. Heleen, eigenares van drie kledingzaken, verzamelt de (of-ficiele) verkoopcijfers voor de maand december 2014.


Aalter 60 30 20 15Brugge 80 65 35 10

Gent 120 90 80 0

matrix A =

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

Op elk van de verkochte kledingstukken maakt Heleen winst, die weergegevenwordt in de volgende tabel (in euro).

winst

T-shirt 5broek 15hemd 10sjaal 2

matrix B =

515102

Welke winst maakt Heleen op deze vier kledingstukken in de vestiging te Aalter, te Brugge en te Gent?

Oplossing. Op de verkoop te Aalter maakt Heleen een winst van

60 · 5 + 30 · 15 + 20 · 10 + 15 · 2 = 980.

Bij deze bewerking vermenigvuldigen we de elementen van de eerste rij van de matrix A met de overeenkomstigeelementen van de kolom in de matrix B en tellen we deze producten op. We zeggen dat we de eerste rij van Avermenigvuldigen met de kolom van B. Dit noteren we schematisch als

[60 30 20 15

]·

515102

=

[980].

Om de winst te Brugge en te Gent te berekenen moeten we ook de tweede rij en de derde rij van de matrix Avermenigvuldigen met de kolom van de matrix B (vul aan)

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

︸︷︷︸A

·

515102

︸︷︷︸B

=

980. . .. . .

︸︷︷︸A·B

.

3 Op ontdekking (vervolg). Een economische crisis steekt de kop op. Heleen houdt nu rekening met een kleinerewinstmarge, weergegeven in de volgende tabel.

oude winst nieuwe winst

T-shirt 5 3broek 15 10hemd 10 5sjaal 2 2

matrix C =

5 315 1010 52 2

Indien we de oude winstmarge gebruiken, welke winst maakt Heleen op deze vier kledingstukken in de vestigingte Aalter, te Brugge en te Gent? En indien Heleen rekening houdt met de nieuwe winstmarge?

Oplossing. Met de oude winstmarge berekenen we de winst door de eerste, de tweede en de derde rij van dematrix A te vermenigvuldigen met de eerste kolom van de matrix C (zie boven).

Met de nieuwe winstmarge berekenen we de winst door de eerste, de tweede en de derde rij van de matrix A tevermenigvuldigen met de tweede kolom van de matrix C.

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

·

31052

=

610. . .. . .

Samen stellen we deze twee bewerkingen als volgt voor:

60 30 20 1580 65 35 10120 90 80 0

︸︷︷︸A

·

5 315 1010 52 2

︸︷︷︸C

=

980 610. . . . . .. . . . . .

︸︷︷︸A·C

.

III-7

3 Definitie. Zij A een m× n matrix en B een n× p matrix. De vermenigvuldiging A ·B is de m× p matrix metals (i, j)-de element het getal dat we verkrijgen door de i-de rij van A als volgt te vermenigvuldigen met de j-dekolom van B:

[ai1 ai2 . . . ain

]·

b1jb2j...bnj

= ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . .+ ain · bnj .

In symbolen: (A ·B)ijdef= ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . .+ ain · bnj

3 Voorbeeld 1. Bereken het (1, 2)-de element van A ·B waarbij A =

1 22 3

−1√

2


en B =

[3 2 0 −1

1 4√

3 0

]


.

Oplossing. De matrix A ·B is een . . .× . . . matrix. We berekenen het (1, 2)-de element van A ·B als volgt:

1 2

2 3

−1√

2

︸︷︷︸A

·[

31

24

0√3

−10

]

︸︷︷︸B

=

∗ . . . ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

︸︷︷︸A·B

want (A ·B)12 = a11b12 + a12b22 = . . .

3 Voorbeeld 2. Bereken de producten C ·D en D ·C van de matrices C =

[1 0 23 −1 1

]en D =

8 0 1 0−1 1 2 30 3 −2 0

.

Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle kan met behulp van de grafische rekenmachine.

3 Voorbeeld 3. Gegeven zijn drie matrices A,B en C waarbij A een 5× 4 matrix, B een 4× 5 matrix en C een6× 4 matrix is. Geef telkens aan of de bewerking bestaat en zo ja, wat de orde is van de resulterende matrix.

(a) A ·B (d) C ·B(b) B ·A (e) (A ·B) · C(c) A · C (f) (C ·B) ·A

Oplossing.

III-8

3 Modelvoorbeeld 1. Bertha weegt 150kg en wenst gewicht te verliezen met eentrainingsprogramma. Haar activiteiten en verbruikte Calorieen per uur wordengegeven in de volgende tabellen8.

uren per dag per activiteit

lopen fietsen zwemmen

maandag 0, 5 0, 5 0

dinsdag 0 0 1, 5

donderdag 0, 5 1 0

vrijdag 0 0, 5 1

verbruikte Calorieen per uur

lopen fietsen zwemmen

750 1200 600

Bereken met behulp van matrices het aantal calorieen dat Bertha verbruikt op maandag, dinsdag, donderdag envrijdag.

Oplossing. Om in te zien welke bewerking we moeten uitvoeren, berekenen we bijvoorbeeld het aantal Calorieendat Bertha verbruikt op maandag:

750 · 0, 5 + 1200 · 0, 5 + 600 · 0 = 975.

Hierin herkennen we de matrixvermenigvuldiging

[750 1200 600

]·

0, 50, 50

=

[975].

Met dit voorbeeld zien we in hoe we met een matrixvermenigvuldiging het aantal verbruikte Calorien op maandag,dinsdag, donderdag en vrijdag bepalen:

3 Modelvoorbeeld 2. Peter is de eigenaar van vier tankstations. Per jaarverkoopt hij gemiddeld de volgende hoeveelheden (uitgedrukt in duizendtallenliter).

station 1 station 2 station 3 station 4

super 122 204 107 170

diesel 214 328 197 325

De volgende tabel geeft de gemiddelde brandstofprijzen9van de afgelopen jaren(uitgedrukt in euro per liter).

super diesel

2009 1, 3372 1, 0225

2010 1, 4802 1, 2018

2011 1, 6328 1, 4405

Bereken met behulp van matrices de gemiddelde omzet per jaar en per tankstation.

Oplossing.

8 In de voedingswaardeberekening en bij dieten gebruikt men vaak de benaming Calorie (met hoofdletter) voor kilocalorie, wat somsvoor verwarring zorgt. De in de tabel vermelde getallen hebben dus wel degelijk de eenheid kilocalorie en zijn reele cijfers voor iemand meteen gewicht van 150 kg die langzaam loopt aan 6 km/u, fietst aan 20 km/u en rustig zwemt. Merk op dat Bertha niet sport op woensdag,zaterdag en zondag (want dan eet ze taart bij haar vriendinnen).

9Gemiddelden van de officiele prijs van super plus loodvrije en diesel met laag zwavelgehalte.

III-9

? Modelvoorbeeld 3. Bewijs de volgende eigenschap:

∀A ∈ Rm×n,∀B ∈ Rn×p : (A ·B)T = BT ·AT .Bewijs. Dat in het algemeen (A ·B)T 6= AT ·BT , kunnen we inzien met behulp van een voorbeeld (vul aan):

voor A =

[1 23 4

]en B =

[5 67 8

]is (A ·B)T︸︷︷︸

...

6= AT ·BT︸︷︷︸...

Om de eigenschap te bewijzen nemen we willekeurige matrices A ∈ Rm×n en B ∈ Rn×p.

(1) De matrices (A ·B)T en BT ·AT hebben dezelfde orde.

Inderdaad,

(2) Het (i, j)-de element van (A ·B)T is gelijk aan het (i, j)-de element van BT ·AT , want (vul aan):

enerzijds is((A ·B)T

)ij

= . . .

terwijl anderzijds(BT ·AT

)ij

= . . .

Uit (1) en (2) volgt dat (A ·B)T = BT ·AT .

dominostenen

? Modelvoorbeeld 4. Bewijs met behulp van volledige inductie10:

∀n ∈ N0 :

[2 30 2

]n= 2n−1 ·

[2 3n0 2

]

Bewijs. Het bewijs verloopt in twee stappen.

Stap 1. We tonen aan dat de formule geldt voor n = 1:

[2 30 2

]1?= 21−1·

[2 3 · 10 2

].

Inderdaad: LL =

[2 30 2

]1=

[2 30 2

]terwijl RL = 21−1 ·

[2 3 · 10 2

]= 1·

[2 30 2

].

Stap 2. We tonen aan dat, als de formule geldt voor n = k (met k ∈ N0 willekeurig), dan geldt ze ook voorn = k + 1. Met andere woorden, veronderstel dat de formule geldig is voor n = k:

[2 30 2

]k= 2k−1·

[2 3k0 2

](inductiehypothese).

We moeten bewijzen dat de formule geldig is voor n = k + 1:[2 30 2

]k+1

= 2k+1−1·[2 3(k + 1)0 2

].

Welnu (vul aan),[2 30 2

]k+1

=

[2 30 2

]k·[2 30 2

]1= . . .

Uit Stap 1 en Stap 2 kunnen we besluiten dat de formule geldt voor elk natuurlijk getal n ≥ 1.

10Volledige inductie is een bewijstechniek voor uitspraken van de vorm ∀n ∈ N : . . . of ∀n ∈ N0 : . . .. Zo’n bewijs verloopt in tweestappen: (1) basisstap toon aan dat de uitspraak geldt voor de kleinste waarde van n (dus n = 0 of n = 1) en (2) inductiestap toonaan dat als de uitspraak geldt voor n = k (met k willekeurig), dan geldt ze ook voor n = k + 1. De aanname dat de uitspraak geldtvoor n = k noemt men de inductiehypothese. Het principe van volledige inductie is vergelijkbaar met het omvallen van dominostenen:indien (1) de eerste steen omvalt en (2) als een willekeurige steen omvalt, dan valt ook de volgende steen om, dan is noodzakelijk zo datalle dominostenen zullen omvallen. Een bekend resultaat dat op deze manier kan bewezen worden is het binomium van Newton (zie DeelTelproblemen).

III-10

3 Eigenschap 1.

1. De vermenigvuldiging van matrices is associatief.

In symbolen:11

(A ·B) · C = A · (B · C)

2. De vermenigvuldiging van matrices is distributief ten opzichte van de optelling van matrices.

In symbolen:11

A · (B + C) = A ·B +A · C(A+B) · C = A · C +B · C

3. De vermenigvuldiging van een n× n matrix A met de n× n eenheidsmatrix En is dezelfde matrix A.

In symbolen:

∀A ∈ Rn×n : A · En = A = En ·A

Men zegt dat de eenheidsmatrix En het eenheidselement is voor de vermenigvuldiging van matrices in Rn×n.

? Eigenschap 2. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg vermenigvuldiging noemen

· : Rn×n × Rn×n → Rn×n

(A,B) 7→ A ·B

en die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(5’) vermenigvuldiging is associatief: ∀A,B,C ∈ Rn×n : (A ·B) · C = A · (B · C),

(6’) vermenigvuldiging en optelling zijn ∀A,B,C ∈ Rn×n : A · (B + C) = A ·B +A · C,onderling distributief: ∀A,B,C ∈ Rn×n(A+B) · C = A · C +B · C,

(7’) En is eenheidselement voor de vermenigvuldiging: ∀A ∈ Rn×n : A · En = A = En ·A.

Omdat de commutatieve groep Rn×n,+, die voldoet aan eigenschappen (1)-(4), bovendien voldoet aan eigen-schappen (5’)-(7’) noemen12 we de verzameling Rn×n voorzien van de optelling + en de vermenigvuldiging · eenring (met eenheid), notatie Rn×n,+, ·.Onderstaande figuur toont een overzicht van de verschillende structuren op de verzameling Rn×n.

verzameling Rn×n

+ : Rn×n × Rn×n → Rn×n

eig. 1-3

groep Rn×n,+

eig. 4

commutatieve groep Rn×n,+

· : R× Rn×n → Rn×n

eig. 5-7

· : Rn×n × Rn×n → Rn×n

eig. 5’-7’

ring Rn×n,+, ·reele vectorruimte R,Rn×n,+

11. . . voor matrices A,B,C waarvoor de bewerkingen gedefinieerd zijn. De associativiteit van de vermenigvuldiging is niet triviaal. Vooreen voorbeeld dat de associativiteit duidelijk maakt verwijzen we naar Oefening 37.

12Andere voorbeelden van ringen zijn de gehele getallen Z,+, · de rationale getallen Q,+, · en de reele getallen R,+, · Deze ringen zijnallen commutatief. De verzameling van de natuurlijke getallen N is geen groep voor de optelling en dus ook geen ring.

III-11

3 Voorbeeld 4 (macht13 van een matrix). Bereken algebraısch A3 waarbij A =

[0 1−1 0

]en controleer je

resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

3 Waarschuwing. Heel wat courante uitspraken in verband met de vermenig-vuldiging van matrices blijken vals, waaronder:

1. Voor twee matrices A en B geldt niet noodzakelijk dat A ·B = B ·A.

Dus de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief.

Voorbeeld.

[2 31 4

]

︸︷︷︸A

·[7 32 1

]

︸︷︷︸B

= . . .

[7 32 1

]

︸︷︷︸B

·[2 31 4

]

︸︷︷︸A

= . . .

Indien voor twee vierkante matrices A en B toch A ·B = B ·A dan zeggen we dat A en B commuteren.

2. Voor twee matrices A en B volgt uit A ·B = 0 niet noodzakelijk dat A = 0 of B = 0.

Voorbeeld.

2 −18 −4−2 1

︸︷︷︸A

·[2 14 2

]

︸︷︷︸B

= . . . en toch is A 6= 0 en B 6= 0.

Indien er voor een matrix A 6= 0 een matrix B 6= 0 bestaat waarvoor A · B = 0 dan noemen we A eenlinker nuldeler.

Indien er voor een matrix A 6= 0 een matrix C 6= 0 bestaat waarvoor C · A = 0 dan noemen we A eenrechter nuldeler.

Een matrix A 6= 0 die zowel een linker nuldeler als een rechter nuldeler is, noemen we een nuldeler.

3. Voor twee matrices A en B volgt uit A ·B = A · C niet noodzakelijk dat B = C.

Voorbeeld.

[1 23 6

]

︸︷︷︸A

·[3 −82 3

]

︸︷︷︸B

=

[1 23 6

]

︸︷︷︸A

·[5 21 −2

]

︸︷︷︸C

en toch is B 6= C.

4. Voor een matrix A bestaat niet noodzakelijk een matrix B waarvoor A ·B = En en/of B ·A = En.

Voorbeeld. Er bestaat geen matrix B waarvoor[−1 22 −4

]

︸︷︷︸A

·[b11 b12b21 b22

]

︸︷︷︸B

=

[1 00 1

]

︸︷︷︸E2

.

Inderdaad, wil zo’n B bestaan dan moet . . .

Indien er voor een vierkante n× n matrix A toch een matrix B bestaat waarvoor A ·B = En = B · A dannoemen we A inverteerbaar (of regulier). Een matrix die niet regulier is noemen we singulier.

13Wegens de associativiteit van de vermenigvuldiging is (A ·A) ·A = A · (A ·A), zodat A3 def= A ·A ·A ondubbelzinnig bepaald is. Analoog

voor hogere natuurlijke machten van een matrix. Per definitie stelt men A0 gelijk aan de identieke matrix En, omdat op die manier derekenregel Am ·An = Am+n geldt voor alle m,n ∈ N.

III-12

1.5 Toepassingen

Grafentheorie is een tak van de wiskunde waarin matrices een fundamentele rol spelen. Grafentheorie kent vele toe-passingen, onder andere in de informatica (netwerken, eindigetoestandsautomaten, link structuur van websites enordenen van data), taalkunde (modelleren van syntaxis, semantische netwerken), scheikunde (beschrijven van molecu-laire structuren), natuurkunde (gecondenseerde materie) en sociologie (beschrijven van sociale netwerken).

In Toepassing 1 bespreken we een werkwijze om het aantal verbindingen in grafen te tellen. Toepassing 2 handelt overtoepassingen van grafentheorie in demografie (migratievoorspellingen) en biologie (populatievoorspellingen).

Toepassing 1 - Aantal verbindingen in grafen

3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf14. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8. (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .

14Een formele, algemene definitie van een graaf luidt als volgt: een (eindige, gerichte) graaf is een koppel eindige verzamelingen (P,L)waarbij L ⊂ P × P × N. De verzameling P noemt men de punten (of knopen) van de graaf en de verzameling L noemt men de lijnen (ofranden) van de graaf. Is (a, b, n) ∈ L dan maken we dat visueel door n lijnen van a naar b te tekenen, of door a met b met een lijn teverbinden, voorzien van het getal n. Kent men daarenboven aan elke lijn een reeel getal toe, dan spreekt men van een gewogen graaf.

III-13

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1

]·

3210

=

[8].

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸︷︷︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸︷︷︸Q

= . . .

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de

element van de matrix P ·Q en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

b1 b2 b3 b4

a1 2 1 0 1a2 3 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 13 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk.

De notatie a1 b1 wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj .

III-14

Metro van Londen

3 Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naars1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van jegrafische rekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.



aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

. . . · . . .︸︷︷︸via s1

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s2

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s3

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s4

= . . . (∗∗)


In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .


Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸︷︷︸P

·

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix

P 2 en dat is gelijk aan . . .

III-15

http://nl.wikipedia.org/wiki/Metro_van_Londen

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

III-16

Toepassing 2 - Migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

3 Op ontdekking. We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2015 wonen er 60 000 mensen in de stad en 40 000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende (gewogen) graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.



aantal mensen in de stadna een jaar:

0, 95 · 60 000︸︷︷︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 40 000︸︷︷︸aandeel van platteland

= 58 200. (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

. . .


In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal mensen in de stadna een jaar:

[0, 95 0, 03

]·[60 00040 000

]=[58 200

].

Analoog herken je:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

[. . . . . .

]·[

. . .

. . .

]= . . .


Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[60 00040 000

]

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix15 (of migratiematrix) genoemd.

stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i.

De notatie stad platteland wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad platteland = 0, 05.

15Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 1(= 100%).

III-17

http://nl.wikipedia.org/wiki/Jan_van_Eyckplein

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

III-18

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

3 Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

. Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

. Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafi-sche rekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende (gewogen) graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.



aantal eitjesna een maand:

. . . · . . .︸︷︷︸aandeel van eitjes

+ . . . · . . .︸︷︷︸aandeel van larven

+ . . . · . . .︸︷︷︸aandeel van insecten

= . . . (∗∗)


In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal eitjesna een maand:

[. . . . . . . . .

]·

. . .. . .. . .

=

[. . .

].


Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .

︸︷︷︸P

·

. . .. . .. . .

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Leslie-matrix16 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

16Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaalmogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door de ecoloog Patrick Holt Leslie 1945) vereist een populatie dieniet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

III-19

http://www.plantpress.com/wildlife/o250-redheadedcardinalbeetle.php

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

III-20

Oefeningen

1 Matrices Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 Definities, notaties en voorbeelden 1234

456

478

8 8 9

1.2 Optelling van matrices1.3 Vermenigvuldiging van een reeel getal met een

matrix

1011

12 13 14 14

1.4 Vermenigvuldiging van matrices 151617

18192021

21222324

21252627

212829

303132

3334

35 3637

1.5 Toepassingen 38 394041

42 43

Oefeningen bij §1.1

B Oefening 1. Gegeven zijn de matrices A =

1 −30 −2−11 13

en B =

[−18

].

(a) Vul aan: A ∈ R···×... en B ∈ R···×....

(b) Bepaal de tegengestelde matrix van A en de tegengestelde matrix van B (gebruik de correcte notatie).

(c) Bepaal de getransponeerde matrix van A en de getransponeerde matrix van B (gebruik de correcte notatie).

B Oefening 2. Gegeven zijn de matrices A =

[1 −1 02 0 3

]en B =

3 01 40 5

. Bepaal AT , BT en (AT )T .

B Oefening 3. Gegeven zijn de matrices

A =

[x 1 20 x2 − y 3

]waarbij x, y ∈ R en B =

[1 1 20 2 3

].

Bepaal de waarde(n) x, y ∈ R waarvoor de matrices A en B gelijk zijn.

Oefening 4. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

B (a) Er is geen enkele matrix die zowel een rijmatrix als een kolommatrix is.

B (b) Als een bovendriehoeksmatrix ook een onderdriehoeksmatrix is, dan is die matrix een diagonaalmatrix.

B (c) Elke symmetrische matrix is een vierkante matrix.

B? (d) Een nulmatrix is een scalaire matrix waarvan de diagonaalelementen gelijk zijn aan het getal 0.

B? (e) De diagonaalelementen van een scheefsymmetrische matrix zijn gelijk aan het getal 0.

B?? (f) Als een symmetrische matrix ook scheefsymmetrisch is, dan is die matrix een nulmatrix.

B?? (g) Als we een scheefsymmetrische matrix transponeren dan verkrijgen we een symmetrische matrix.

B? Oefening 5. Gegeven zijn de verzamelingen

(a1, a2, a3) | ai ∈ R en [a1 a2 a3

]| ai ∈ R.

Welke verzameling stelt R1×3 voor en welke verzameling stelt R3 voor?

B? Oefening 6.

(a) Bepaal a, b, c ∈ R zodat de matrix A =

2a− b+ 8 0 00 −3a− b+ c− 7 2c

01

3a+ b+ 7 8

een scalaire matrix is.

(b) Bepaal p, q, r ∈ R zodat de matrix B =

0 p− 7 3q − 88 0 −5−9 5 3r

scheefsymmetrisch is.

III-21

B?? Oefening 7.

(a) Bepaal de 2× 2 matrix A waarvoor aij = i+ j

(b) Bepaal de 3× 2 matrix B waarvoor bij = 2− i+ j2.

(c) Bepaal de 2× 2 matrix C waarvoor cij =

5i− j als i ≥ j,0 als i < j.

Oefening 8. Bewijs de volgende eigenschappen.

B?? (a) ∀A ∈ Rm×n : (−A)T = −(AT )

V (b) Zij A een symmetrische matrix. Bewijs dat A scheefsymmetrisch is als en slechts als A de nulmatrix is.

V? (c) Zij A een scheefsymmetrische matrix. Bewijs dat alle elementen op de diagonaal gelijk zijn aan 0.

U Oefening 9 (nagaan van een (scheef)symmetrische matrix met de grafische rekenmachine). Onderstaandeen manier om met behulp van de grafische rekenmachine te controleren of een matrix A (scheef)symmetrisch is. Dewaarde 0 staat voor vals, 1 staat voor waar (zie Deel Logica).

2ND TEST 1:=

(a) Wat kun je besluiten over de matrix A die in bovenstaand voorbeeld ingevoerd werd?

(b) Zij A een vierkante matrix die noch symmetrisch noch scheefsymmetrisch is. Geef de output voor de uitspraak[A]T=-[A] en voor de uitspraak [A]T 6=[A]. Controleer met je grafische rekenmachine.

Oefeningen bij §1.2 en §1.3


A =

[2 11 −3

], B =

[0 −11 3

]en C =

[0 1 00 1 0

].

Bereken algebraısch de volgende matrices (indien mogelijk). Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

(a) A+B (d) AT +BT

(b) A+ C (e) (A+B)T

(c) AT −B (f) B +BT

B Oefening 11. Bereken algebraısch de matrix 5 ·A− 3 ·B waarbij A =

[0 1 −12 3 7

]en B =

[1 −1 50 1 9

].

B? Oefening 12. Gegeven zijn de matrices

U =

[8 −1−u u

]waarbij u ∈ R, T =

[−t2 t2t −t

]waarbij t ∈ R, W =

[−1 2w1 w − 2

]waarbij w ∈ R.

Bepaal de waarde(n) u, t, w ∈ R waarvoor U + T = W .

B?? Oefening 13. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) ∀A,B ∈ Rm×n : (A+B)T = AT +BT

(b) ∀A ∈ Rm×n,∀r ∈ R : (r ·A)T = r · (AT )

Oefening 14. Zij A een vierkante matrix.

V (a) Bewijs dat de matrix A+AT symmetrisch is.

V (b) Bewijs dat de matrix A−AT scheefsymmetrisch is.

V?? (c) Bewijs dat A op een unieke manier te schrijven is als de som van een symmetrische en een scheefsymmetrischematrix.

III-22


B Oefening 15. Bereken het (2, 3)-de element van A ·B en het (3, 1)-de element van A ·B waarbij

A =

1 32 35 −2

en B =

[2 0 −43 1 2

].


A =

[10 3 12 0 2

], B =

1 3 01 2 10 0 1

en C =

1 00 31 2

.

Bereken algebraısch en indien mogelijk B ·AT −B · C.

B Oefening 17. Gegeven zijn matrices A =

[1 23 4

]en B =

[1 −20 2

]. Ga telkens na met je grafische rekenmachine.

(a) (A+B)2?= A2 + 2A ·B +B2 (e) (5 ·A)T

?= 5 ·AT

(b) (A−B) · (A+B)?= A2 −B2 (f) (A ·B)T

?= AT ·BT

(c) (A ·B)2?= A2 ·B2 (g) (A ·B)T

?= BT ·AT

(d) (A+B)T?= AT +BT (h) (A ·AT )T

?= A ·AT

B? Oefening 18. Gegeven zijn de matrices

A =

1 2 −20 2 12 −1 5

, B =

[1 0 62 1 0

]en C =

1 7 8a 2 10 1 3

waarbij a ∈ R.

Bereken algebraısch de volgende matrices (indien mogelijk). Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

(a) A ·B (d) A3

(b) A ·BT (e) 3B

(c) B ·A (f) B · C

B? Oefening 19. Gegeven matrix A =

[1 10 1

], bepaal alle matrices X die voldoen aan de vergelijking 2(X+ 2E2) = A2.

B? Oefening 20. Zij A,B,C matrices van orde n× n. Waar of vals? Beoordeel de volgende redenering.

A ·B = A · C ⇒ A ·B −A · C = 0

⇒ A · (B − C) = 0

⇒ A = 0 of B − C = 0

⇒ A = 0 of B = C

Oefening 21. Twee broertjes, Jacob en Johann, hebben elk hun eigen kip. De mama,die een wiskundejuf is, noteert per dag het aantal eieren dat elke kip gelegd heeft. Zezet de gegevens in een tabel:

ma di wo do vr za zo

kip van Jacob 2 1 3 0 1 2 1kip van Johann 1 1 2 1 0 1 1

Noem K de matrix die met bovenstaande tabel geassocieerd wordt.

B? (a) Stel een matrix D op, zodat we in K ·D kunnen aflezen hoeveel eieren elke kipgelegd heeft op dinsdag.

B?? (b) Stel een matrix W op, zodat we in K ·W kunnen aflezen hoeveel eieren er perkip gelegd zijn in het weekend.

V (c) Stel een matrix G op, zodat G ·K aangeeft hoeveel eieren er per dag beschikbaar zijn voor het gezin.

V? (d) Stel een matrix R op, zodat we in K ·R kunnen zien hoeveel eieren elke kip gemiddeld per dag legt.

III-23

B?? Oefening 22. Bepaal de waarde(n) voor a, b, c ∈ R waarvoorb− a a+ cb b+ c0 4c

·

[4 12 0

]=

4a+ 4c 114 28a 0

.

B?? Oefening 23. Als A een 2× 4 matrix is en F =(A · CT −BT

)Teen 5× 2 matrix, bereken dan de orde van B en C.

B?? Oefening 24. Gegeven is een n× n matrix A die idempotent is (zie Oefening 33). Bereken (2A− En)2.

V Oefening 25. Toon aan dat de matrix A =

[1 −3−3 9

]een nuldeler is.

V Oefening 26. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) ∀A ∈ Rn×n : A · En = A = En ·A

(b) ∀A ∈ Rm×n : (A ·AT )T = A ·AT

(c) ∀A ∈ Rm×n,∀B,C ∈ Rn×p : A · (B + C) = A ·B +A · C

(d) ∀A,B ∈ Rm×n,∀C ∈ Rn×p : (A+B) · C = A · C +B · CV Oefening 27. Bewijs telkens met behulp van volledige inductie.

(a) ∀n ∈ N0 :

[1 −10 1

]n=

[1 −n0 1

]

(b) ∀n ∈ N0 :

[3 05 3

]n= 3n−1 ·

[3 0

5n 3

]

(c) ∀n ∈ N0 :

2 1 30 2 40 0 2

n

= 2n−1 ·

2 n n(n+ 2)0 2 4n0 0 2

(d) Als A2 = A dan is An = A voor elke n ∈ N0.

V? Oefening 28. Zij A en P twee n×n matrices waarbij A symmetrisch is. Toon aan dat PT ·A ·P ook een symmetrischematrix is.

V? Oefening 29. Na de appelpluk wordt de oogst gesorteerd. Elke sorteerder heeft eengrote bak met zes deelvakken: horizontaal drie met de bedoeling drie groottecatego-rieen te onderscheiden, verticaal twee om onderscheid te maken tussen gaaf fruit eniets minder goed gevormde exemplaren. De inhoud van de vakken wordt gewogen enin een schema genoteerd overeenkomstig met de indeling van de bak. Het resultaatvan zo’n schema is bijvoorbeeld:

groot normaal klein

gaaf 11, 3 37, 6 18, 1

minder gaaf 19, 4 22, 2 14, 7

(a) Stel de matrix A op die we met bovenstaand schema associeren.

(b) Stel matrices G en H op, zodat we met G · A ·H de totale hoeveelheid fruit van de grootste categorie kunnenberekenen.

(c) Stel matrices S en T op, zodat we met S ·A · T de totale hoeveelheid gaaf fruit kunnen berekenen.

V?? Oefening 30. Zij A een 2× 2 matrix waarvoor A ·[13

]=

[45

]en A2 −A+ 5E2 = 0. Bepaal A.

V?? Oefening 31. Gegeven is de matrix A =

[a bc d

]waarbij a, b, c, d ∈ R.

(a) Toon aan dat A2 = (a+ d) ·A− (ad− bc) · E2

(b) Zoek met behulp van (a) een idempotente matrix A (zie Oefening 33).

(c) Zoek met behulp van (a) een involutorische matrix A (zie Oefening 33).

(d) Zoek met behulp van (a) een nilpotente matrix met index 2 (zie Oefening 33).

(e) Bewijs: als A3 = 0 dan is A2 = 0.

III-24

V?? Oefening 32. Een rij van punten P1, P2, P3, . . . in het vlak met co(Pi) = (ai, bi) voldoet aan

(ai+1, bi+1) = (√

3 ai − bi,√

3 bi + ai)

voor elke i ∈ N0. Bovendien is (a100, b100) = (2, 4). Bepaal a1 + b1.Aanwijzing. Maak gebruik van Oefening 35.

U Oefening 33 (bijzondere matrices). In deze oefening bespreken we drie bijzondere soorten matrices.

(a) Een n× n matrix A noemt idempotent17 als A2 = A. Ga na dat de volgende matrix idempotent is:

A =

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

.

(b) Een n× n matrix A noemt involutorisch als A2 = En. Ga na dat de volgende matrix involutorisch is:

A =

−1 0 −18 1 40 0 1

.

(c) Een n × n matrix A noemt nilpotent als er een natuurlijk getal k bestaat waarvoor Ak = On. De kleinstepositieve waarde voor k wordt de index van A genoemd. Ga na dat de volgende matrix nilpotent is en bepaalde index van A:

A =

1 0 −1

2 3√

2 03√

4 + 3√

2 + 1 1 − 3√

2− 1

.

U Oefening 34 (substitutie van een matrix in een veelterm). Voor een veelterm P (x) = a0 + a1x+ . . .+ amxm

en een matrix A ∈ Rn×n is de substitutie van de matrix A in de veelterm P (x) gelijk aan de n× n matrix

P (A)def= a0A

0 + a1A1 + a2A

2 + . . .+ amAm.

Zij P (x) = x2 − 4x− 5 en A =

1 2 22 1 22 2 1

. Toon algebraısch aan18 dat P (A) = 0.

U? Oefening 35 (rotaties in het vlak). Voor elke (georienteerde) hoek α stellen we

Aαdef=

[cosα − sinαsinα cosα

].

(a) Zij P (x, y) 6= O een punt in het vlak en Q(x′, y′) het punt dat we verkrijgen door het punt P over een hoek αte roteren ten opzicht van de oorsprong. Bewijs dat

Aα ·[xy

]=

[x′

y′

].

Om deze reden noemt men de matrix Aα een rotatiematrix.

(b) Bewijs dat voor twee hoeken α en β geldt dat Aα ·Aβ = Aα+β . Wat is de meetkundige betekenis?

(c) Bewijs dat voor elke hoek α geldt dat ∀n ∈ N : (Aα)n = Anα. Wat is de meetkundige betekenis?

(d) Bewijs dat ∀n ∈ N0 :(A2π/n

)n= E2. Wat is de meetkundige betekenis?

U?? Oefening 36 (matrices en de rij van Fibonacci). De rij van Fibonacci19 is de rij met als recursief voorschrift

(Fn)

F1 = 1F2 = 1Fn = Fn−1 + Fn−2 voor n > 2

en opsomming van enkele termen geeft

(Fn) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .

Beschouw de matrix A =

[1 11 0

]. Bewijs dat An =

[Fn+1 FnFn Fn−1

].

17Niet te verwarren met . . . .18Dat er voor elke vierkante matrix A van orde n een veelterm P (x) van graad ≤ n bestaat waarvoor P (A) = 0 volgt uit de stelling van

Hamilton-Cayley (zie Deel Vectorruimten).19Genaamd naar Leonardo van Pisa 1202 door de wiskundige Francois Edouard Anatole Lucas 1877. Leonardo van Pisa is beter

bekend onder de naam Fibonacci, afgeleid van filius Bonacci wat zoveel betekent als zoon van Bonaccio. De rij van Fibonacci werd eerderbeschreven door de Indische wiskundige Acharya Hemachandra ±1150.

III-25

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci

http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucas

http://en.wikipedia.org/wiki/Acharya_Hemachandra

U?? Oefening 37 (de vermenigvuldiging van matrices is associatief). Een groot-handelaar biedt zijn klanten-winkeliers een reeks pakketten groenten en vlees aan.Hij heeft twee soorten klanten: bevoorrechten, d.w.z. regelmatige afnemers en ge-wone klanten die af en toe eens bestellen. Bevoorrechte klanten krijgen altijd eeninteressante prijs. De verkoopprijs van de groenten en het vlees is als volgt vastgelegd(uitgedrukt in aantal euro per kilogram):

groenten vlees

bevoorrechte klanten 0, 25 5gewone klanten 0, 3 6, 2

matrix A =

[0, 25 50, 3 6, 2

].

De groothandelaar biedt op een bepaald moment de volgende pakketten aan (uitgedrukt in aantal kilogram per pakket):

pakket 1 pakket 2 pakket 3

groenten 100 90 80vlees 10 20 30

matrix B =

[100 90 8010 20 30

].

Twee winkeliers reageren op dat aanbod en bestellen. De gegevens worden voorgesteld in volgende tabel (uitgedruktin aantal pakketten per winkelier):

winkelier 1 winkelier 2

pakket 1 6 8pakket 2 7 9pakket 3 5 10

matrix C =

6 87 95 10

.

(a) De groothandelaar wil weten hoeveel kilogram groenten en vlees elke winkelier bestelde. Welke matrixvermenig-vuldiging reken je daarvoor uit?

(b) Bereken nu A · (B · C). Wat stelt deze matrix voor?

(c) Een winkelier wil weten wat de prijzen zijn per pakket, zowel voor bevoorrechte als gewone klanten. Welkematrixvermenigvuldiging reken je daarvoor uit?

(d) Bereken nu (A ·B) · C. Wat stelt deze matrix voor?

Uit (b) en (d) besluiten we A · (B · C) en (A · B) · C dezelfde betekenis hebben. Dit is de intrinsieke reden waaromdeze matrices gelijk moeten zijn en waarom in het algemeen de vermenigvuldiging van matrices associatief is.


Oefening 38. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

B (a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

B (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.

B (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.

V (d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.

A

B

C

D

E

B?? Oefening 39. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

III-26

B?? Oefening 40. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen20 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% vande markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

3 maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest;

3 maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest;

3 maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

B?? Oefening 41. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en dooreen lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

3 eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Leslie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

Leeuwebekken(Antirrhinum)

V Oefening 42. We bekijken erfelijke eigenschappen die gecontroleerd worden doortwee genen, genoteerd A en a. De mogelijke combinaties zijn AA, Aa en aa. Zo’nparen noemt men genotypes. Bij leeuwebekken wordt de kleur van de bloem bepaalddoor twee genen: AA geeft rode bloemen, Aa roze bloemen en aa witte bloemen.

genotype ouders

genotypenakomeling

AA−AA AA−Aa AA− aa Aa−Aa Aa− aa aa− aa

AA 1 0,5 0 0,25 0 0Aa 0 0,5 1 0,5 0,5 0aa 0 0 0 0,25 0,5 1

De tabel wordt als volgt gelezen: als bijvoorbeeld beide ouders genotye Aa heben, dan is de kans dat de nakomelinggenotype aa heeft gelijk aan 0, 25. Een kweker heeft leewebekken van ieder genotype: noem x0 het percentage plantenvan genotype AA, y0 het percentage planten van genotype Aa en z0 het percentage planten van genotype aa. Iedereplant wordt bevrucht met hetzelfde genotype.

(a) Stel de evolutie van de planten voor met een graaf.

(b) Naar welke waarde evolueren de percentages rode, roze en witte bloemen?

Petersen-graaf

U Oefening 43 (sterk reguliere grafen). Voor een aantal steden (noem dit aantal n)wil men een vluchtschema voor vliegtuigen ontwerpen waarbij volgende voorwaardenvoldaan moeten zijn: voor elke stad is er een directe vlucht van en naar hetzelfdeaantal steden en tussen elke twee steden is er juist een vlucht met hoogstens eentussenstop. Grafen die aan deze eigenschap voldoen, noemt men sterk regulier21. Gana dat voor 2 ≤ n ≤ 5 enkel n = 2 en n = 5 een oplossing kent.

20Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.21Men kan aantonen dat er voor n ∈ 6, 7, 8, 9 geen sterk reguliere graaf is, maar voor n = 10 wel: de zogenaamde Petersen-graaf

(genoemd naar Julius Petersen 1898 maar eerder ontdekt door Sir Alfred Bray Kempe 1886).

III-27

http://nl.wikipedia.org/wiki/Leeuwenbek

http://en.wikipedia.org/wiki/Petersen_graph

http://en.wikipedia.org/wiki/Julius_Petersen

http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Kempe

Hoofdstuk 2

Lineaire stelsels en inverteerbare matrices

Het oplossen van stelsels speelt een prominente rol in de ingenieurswetenschappen, fysica, chemie, informatica eneconomie. In dit hoofdstuk bespreken we algoritmen1 om de oplossingen van een lineair stelsel te vinden. In deoplossingsverzameling wordt het aantal vrijheidsgraden bepaald door twee getallen: de zogenaamde rang van decoefficientenmatrix en de rang van de uitgebreide matrix. In het algemeen kunnen we spreken over de rang van eenmatrix, wiens waarde bepalend blijkt voor het al dan niet inverteerbaar zijn van de matrix.

2.1 Lineaire stelsels3 Voorbeeld 1. Op een boerderij lopen kippen en konijnen rond, in totaal zijn

ze met 13. Samen hebben deze dieren 36 poten. Hoeveel kippen en hoeveelkonijnen zijn er? Los algebraısch op.

Oplossing. Noemen we x het aantal kippen en y het aantal konijnen, dan kunnenwe het vraagstuk herleiden tot een stelsel

S

x+ y = 13

2x+ 4y = 36.

We noemen het stelsel S een lineair stelsel van twee vergelijkingen in tweeonbekenden, of kortweg een 2× 2 stelsel. Het stelsel noemt lineair omdat het

een eindig stel van lineaire vergelijkingen in een eindig aantal onbekenden is, hier x en y. In het derde jaar hebje drie technieken gezien om zo’n stelsel algebraısch op te lossen.

1. Gelijkstellingsmethode.x+ y = 13

2x+ 4y = 36⇔

x = 13− yx = 18− 2y

⇔x = 13− y13− y = 18− 2y

⇔x = 13− yy = 5

⇔x = 8

y = 5

2. Substitutiemethode.x+ y = 13

2x+ 4y = 36⇔

x = 13− y2x+ 4y = 36

⇔x = 13− y2(13− y) + 4y = 36

⇔x = 13− yy = 5

⇔x = 8

y = 5

3. Combinatiemethode.x+ y = 13 | · (−2)

2x+ 4y = 36 | · 1 ⇔−2x− 2y = −26

2x+ 4y = 36⇔

x = 8

y = 5+

2y = 10

Meetkundig stellen de twee vergelijkingen telkens een rechte in het vlak voor. Het snijpunt van deze tweerechten geeft de oplossing van het stelsel weer. We noteren OplS = (8, 5).

1Een algoritme is een systematische zoekstrategie die gegarandeerd tot de juiste oplossing leidt. Zo’n algoritme bestaat uit een eindigereeks instructies om vanuit een gegeven begintoestand het daarbij behorende doel te bereiken. Denk bijvoorbeeld aan het Euclidischalgoritme dat de grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen bepaalt.

III-28

Ganzen hebben geen oor-schelpen.

3 Voorbeeld 2. Op een boerderij lopen ganzen, schapen, koeien en varkens, intotaal zijn ze met 65. Samen hebben deze dieren 244 poten en 114 oorschelpen.Bepaal (indien mogelijk) het aantal van elke soort.

Oplossing. Noemen we x1 het aantal ganzen, x2 het aantal schapen, x3 hetaantal koeien en x4 het aantal varkens dan kunnen we het vraagstuk herleidentot een stelsel

S

x1 + x2 + x3 + x4 = 65

2x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 = 244

2x2 + 2x3 + 2x4 = 114

Dit is een lineair stelsel van drie vergelijkingen in vier onbekenden, kortweg een 3× 4 stelsel. Om op een vlottemanier de oplossing(en) van zo’n stelsel te bepalen moeten we nieuwe technieken aanleren.

2.2 Lineaire stelsels oplossen met eliminatie-algoritmen

3 Op ontdekking 1. Bepaal (algebraısch) alle oplossingen van het stelsel

S

x1 + x3 − 2x4 = 0

x2 = 7

x5 = −1.

Oplossing. Dit is een lineair stelsel van drie vergelijkingen in vijf onbekenden, kortweg een 3× 5 stelsel.

Het stelsel is in die mate eenvoudig dat we de oplossingen vrijwel meteen kunnen aflezen: onmiddellijk volgtx2 = 7 en x5 = −1. Verder, kiezen we x3 vrij (een willekeurig getal r) en x4 vrij (een willekeurig getal s) danligt x1 vast (namelijk x1 = −r + 2s). Dus

S

x1 + x3 − 2x4 = 0

x2 = 7

x5 = −1

⇔

x1 = −r + 2s

x2 = 7

x3 = r

x4 = s

x5 = −1

(r, s ∈ R).

Antwoord. Elke oplossing van S is van de vorm (−r + 2s, 7, r, s,−1) voor een zekere r, s ∈ R. De verzamelingvan alle oplossingen noemen we de oplossingsverzameling van het stelsel S en noteren we met OplS. Zo vindenwe:

OplS = (−r + 2s, 7, r, s,−1) | r, s ∈ R.

Bijvoorbeeld, kies r = 0 en s = 0 dan is (0, 7, 0, 0,−1) een oplossing van het stelsel S

kies r = 1 en s = 0 dan is (−1, 7, 1, 0,−1) een oplossing van het stelsel S

kies r = 2 en s = −3 dan is (−8, 7, 2,−3,−1) een oplossing van het stelsel S

...

We noemen r en s de parameters in de oplossingsverzameling.

3 Op ontdekking 2. Bepaal (algebraısch) de oplossingsverzameling van het stelsel

S

2x1 + 4x2 − 10x3 + 12x4 = 28− 2x3 + 7x4 = 12

3x1 + 6x2 − 10x3 + x4 = 13

Oplossing. Het stelsel S is een lineair stelsel van drie vergelijkingen in vier onbekenden.

We controleren bijvoorbeeld dat

(7, 0, 1, 2) ∈ OplS en (14, 0, 0, 0) /∈ OplS.

Om alle oplossingen te vinden halen we inspiratie uit Op ontdekking 1: we vervangen het stelsel S door eennieuw stelsel S′ dat dezelfde oplossingsverzameling heeft en dat eenvoudig is, in die zin dat we de oplossingenvrijwel meteen kunnen aflezen.

Om zo’n nieuw eenvoudig stelsel te vinden maken we gebruik van volgende elementaire operaties:

Operatie 1. Verwissel twee vergelijkingen.

Operatie 2. Vermenigvuldig een vergelijking met een reeel getal verschillend van het getal 0.

Operatie 3. Tel bij een vergelijking een veelvoud op van een andere vergelijking.

Elk van deze operaties geeft een nieuw stelsel met dezelfde oplossingsverzameling als het vorig stelsel.

III-29

Eerste manier - Eliminatie-algoritme van Gauss

Bij het eliminatie algoritme van Gauss2 doorloopt men de volgende drie stappen.

Stap 1. Breng de linker niet-nul kolom tot de vorm

1 · xi∗ · xi

...∗ · xi

door Operatie 1,2 en 3 toe te passen.

In ons voorbeeld is dit de eerste kolom. We delen daartoe de eerste vergelijking door 2.

S

2x1+ 4x2− 10x3+ 12x4 = 28

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

R1→ 12 ·R1−−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

Stap 2. Breng de kolom uit Stap 1 tot de vorm

xi0...0

door Operatie 3 toe te passen.

In ons voorbeeld tellen we bij de derde vergelijking −3 keer de eerste vergelijking op.

S

2x1+ 4x2− 10x3+ 12x4 = 28

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

...−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

R3→R3−3R1−−−−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

− 2x3+ 7x4 = 12

5x3− 17x4 = −29

Stap 3. Bedek de eerste vergelijking en pas Stap 1 en Stap 2 toe op het deelstelsel dat overblijft. Blijf Stap 3herhalen tot je alle vergelijkingen doorlopen hebt. In ons voorbeeld wordt dit:

S

2x1+ 4x2− 10x3+ 12x4 = 28

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

...−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

− 2x3+ 7x4 = 12

5x3− 17x4 = −29

R2→− 12 ·R2−−−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

x3−7

2x4 = −6

5x3− 17x4 = −29

R3→R3−5R2−−−−−−−−→

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

x3−7

2x4 = −6

1

2x4 = 1

R3→2R3−−−−−−→ S′

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

x3−7

2x4 = −6

x4 = 2.

Het stelsel S′ heeft dezelfde oplossingsverzameling als stelsel S. De oplossingen van S′ vinden we gemakkelijkterug door het principe van achterwaartse substitutie:

S′

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

x3−7

2x4 = −6

x4 = 2

⇔

x4 = 2

x3 = 1

x1 + 2x2 = 7

⇔

x4 = 2

x3 = 1

x2 = r

x1 = 7− 2r

(r ∈ R).

Antwoord. De oplossingsverzameling van het stelsel is gelijk aan OplS = (7− 2r, r, 1, 2) | r ∈ R.2De vroegste presentatie van dit algoritme gaat terug naar de zogenaamde Jiuzhang Suanshu (de negen hoofdstukken van de

wiskundige kunst), opgesteld door verscheidene Chinese wiskundigen (10de eeuw v.Chr. tot 1e eeuw n.Chr.). De editie gepubliceerd in1084 geldt als het eerste wiskundig boek ooit. Het eliminatie algoritme werd in Europa herontdekt door Carl Friedrich Gauss 1809.

III-30

http://nl.wikipedia.org/wiki/De_negen_hoofdstukken_van_de_wiskundige_kunst

http://nl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Tweede manier - Eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan

Bij het eliminatie algoritme van Gauss-Jordan3 doorloopt men na Stap 1,2 en 3 ook nog

Stap 4. Breng elke kolom tot de vorm

0...0xi0...0

door Operatie 3 toe te passen.

In ons voorbeeld wordt dit:

S

2x1+ 4x2− 10x3+ 12x4 = 28

− 2x3+ 7x4 = 12

3x1+ 6x2− 10x3+ x4 = 13

...−−−−−→ S′

x1+ 2x2− 5x3+ 6x4 = 14

x3−7

2x4 = −6

x4 = 2

R2→R2+72 ·R3−−−−−−−−−→

R1→R1−6R3

x1+ 2x2− 5x3 = 2

x3 = 1

x4 = 2

R1→R1+5R2−−−−−−−−→ S′′

x1+ 2x2 = 7

x3 = 1

x4 = 2.

Het stelsel S′′ heeft dezelfde oplossingsverzameling als stelsel S. De oplossingen van S′′ kunnen we vrijwel meteenaflezen

S′′

x1+ 2x2 = 7

x3 = 1

x4 = 2

⇔

x1 = 7− 2rx2 = rx3 = 1x4 = 2

(r ∈ R).

Antwoord. De oplossingsverzameling van het stelsel is gelijk aan OplS = (7− 2r, r, 1, 2) | r ∈ R.

Het vergt erg veel schrijfwerk om deze eliminatie-algoritmes te doorlopen. Daarom gebruiken we in het vervolg

Derde manier - Gauss en Gauss-Jordan eliminatie-algoritme met matrices

We kunnen het stelsel S ook schrijven als een matrixvergelijking

S

2x1 + 4x2 − 10x3 + 12x4 = 28− 2x3 + 7x4 = 12

3x1 + 6x2 − 10x3 + x4 = 13⇔

2 4 −10 120 0 −2 73 6 −10 1

︸︷︷︸A

·

x1x2x3x4

︸︷︷︸x

=

281213

︸︷︷︸b

.

De matrix A noemt men de coefficientenmatrix van het stelsel S. De matrix

[A | b] def=

2 4 −10 12 | 280 0 −2 7 | 123 6 −10 1 | 13

noemt de uitgebreide matrix van het stelsel S. Omdat de vergelijkingen van het stelsel S corresponderen metde rijen van de uitgebreide matrix [A | b], corresponderen de Operaties 1,2,3 met de volgende zogenaamdeelementaire rijoperaties op de uitgebreide matrix [A | b].

Rijoperatie 1. Verwissel twee rijen.

Rijoperatie 2. Vermenigvuldig een rij met een reeel getal verschillend van het getal 0.

Rijoperatie 3. Tel bij een rij een veelvoud op van een andere rij.

3Ontdekt door Wilhelm Jordan 1887.

III-31

http://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan

Het eliminatie-algoritme van Gauss doorloopt de volgende drie stappen op de uitgebreide matrix [A | b].

Stap 1. Breng de linker niet-nul kolom tot de vorm

1∗...∗

door Rijoperatie 1,2 en 3 toe te passen.

Stap 2. Breng de kolom uit Stap 1 tot de vorm

10...0

door Rijoperatie 3 toe te passen.

Stap 3. Bedek de eerste rij en pas Stap 1 en Stap 2 toe op de deelmatrix die overblijft. Blijf Stap 3 herhalentot je alle rijen doorlopen hebt.

Bij het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan doorloopt men na Stap 1,2 en 3 ook nog

Stap 4. Breng elke kolom tot de vorm

0...010...0

door Rijoperatie 3 toe te passen.

In ons voorbeeld wordt dit:

2 4 −10 12 | 280 0 −2 7 | 123 6 −10 1 | 13

R1→ 1

2 ·R1−−−−−−→

1 2 −5 6 | 140 0 −2 7 | 123 6 −10 1 | 13

R3→R3−3R1−−−−−−−−→

1 2 −5 6 | 140 0 −2 7 | 120 0 5 −17 | −29

R2→− 12 ·R2−−−−−−−→

1 2 −5 6 | 14

0 0 1 − 72 | −6

0 0 5 −17 | −29

R3→R3−5R2−−−−−−−−→ T ′ =

1 2 −5 6 | 14

0 0 1 − 72 | −6

0 0 0 1 | 2

men noemt T ′ een rij-echelonvorm

R2→R2+72 ·R3−−−−−−−−−−→

R1 → R1 + 5R2

R1 → R1 − 6R3

T =

1 2 0 0 | 7

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

men noemt T een trapvorm4

(of gereduceerde rij-echelonvorm).

De omkaderde elementen 1 noemt men de hoekstenen (of hoofdelementen) van de trapvorm T . Ze komenovereen met de zogenaamde hoofdonbekenden, hier x1, x3, x4. Het element 2 dat vetjes gedrukt is noemt meneen niet-hoeksteen (of nevenelement) van de trapvorm T en komt overeen met de nevenonbekende x2.

Het eenvoudiger stelsel wordt nu:

1 2 0 00 0 1 00 0 0 1

·

x1x2x3x4

=

712

⇔

x1 + 2x2 = 7x3 = 1x4 = 2

⇔

x1 = 7− 2rx2 = rx3 = 1x4 = 2

(r ∈ R).

Onthoud dat je de niet-hoekstenen (hier enkel x2) vrij kiest.

Antwoord. De oplossingsverzameling van het stelsel is gelijk aan OplS = (7− 2r, r, 1, 2) | r ∈ R.

4De definitie van een trapvorm komt aan bod in §2.3.

III-32

gebakken gans

3 Modelvoorbeeld 1 (voorbeeld 2 pagina 29). Op een boerderij lopen gan-zen, schapen, koeien en varkens, in totaal zijn ze met 65. Samen hebben dezedieren 244 poten en 114 oorschelpen. Bepaal (indien mogelijk) het aantal vanelke soort. Werk algebraısch (elementaire rijoperaties opschrijven).

Oplossing. Noemen we x1 het aantal ganzen, x2 het aantal schapen, x3 hetaantal koeien en x4 het aantal varkens dan kunnen we het vraagstuk herleidentot een stelsel

x1 + x2 + x3 + x4 = 65

2x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 = 244

2x2 + 2x3 + 2x4 = 114.

We lossen dit stelsel op door de trapvorm van de uitgebreide matrix [A | b] tebepalen.

Controleren kan met behulp van de grafische rekenmachine5.

2ND MATRIX EDIT 2ND MATRIX MATH B:rref(

Een veelvoorkomend type oefening is een stelsel bespreken: men vraagt hierbij om de oplossingsverzameling van het

gegeven stelsel te bepalen. Tenzij anders vermeld hoef je de elementaire rijoperaties niet op te schrijven6.

3 Modelvoorbeeld 2. Bespreek algebraısch het stelsel

2x2 + 8x3 = −8

x1 − 2x2 − x3 = 0

− 4x1 − 8x3 + 5x2 = 2.

Oplossing.

5Het commando rref staat voor row reduced echelon form, de Engelse term voor gereduceerde rij-echelon vorm. Voor het eliminatiealgoritme van Gauss gebruik je ref wat staat voor row echelon form, de Engelse term voor rij-echelon vorm.

6In dat geval noteert men in plaats van de rijoperatie een pijl → of ook wel het symbool ∼, wat staat voor rijequivalentie (zie §2.3).

III-33

2.3 Trapvorm van een matrix en rij-equivalente matrices

Met behulp van het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan kunnen we elk lineair stelsel oplossen door de uitgebreidematrix te rij-herleiden naar een trapvorm (zie §2.2). In deze paragraaf gaan we wat dieper in op de definitie eneigenschappen van zo’n trapvorm.

3 Definitie. Zij T een m×n matrix. We noemen T een trapvorm (of gereduceerde rij-echelonvorm) als de volgendevoorwaarden tegelijk voldaan zijn:

1. eventuele nulrijen bevinden zich onderaan; en

2. het linker niet-nul element van een rij is gelijk aan 1, hoeksteen (of hoofdelement) van de rij genaamd; en

3. de hoeksteen van een rij bevindt zich links ten opzichte van de hoekstenen van de volgende rijen; en

4. de elementen boven en onder een hoeksteen van een rij zijn gelijk aan 0.

Voorbeeld. Matrix

1 −5 0 2 0 −4

0 0 1 −3 0 6

0 0 0 0 1 70 0 0 0 0 0

is trapvorm, omkaderde elementen 1 zijn hoekstenen.

3 Definitie. Zij A en B twee m × n matrices. Als we de matrix B kunnen verkrijgen door een eindig aantalelementaire rijoperaties uit te voeren op de matrix A dan zeggen we dat B rij-equivalent is met A, notatieB ∼ A.

Voorbeeld. Gegeven zijn de matrices A =

3 −25 11 7

en B =

1 70 10 1

. Uit

3 −25 11 7

︸︷︷︸A

R1↔R3−−−−−→

1 75 13 −2

R2→R2−5R1−−−−−−−−→

R3→R3−3R1

1 70 −340 −23

R3→− 1

23 R3−−−−−−−−→R2→− 1

34 R2

1 70 10 1

︸︷︷︸B

volgt dat B rij-equivalent is met A, notatie B ∼ A. Door elke elementaire rijoperatie om te keren kunnenwe de procedure omgekeerd doorlopen:

1 70 10 1

︸︷︷︸B

R3→−23R3−−−−−−−−→R2→−34R2

1 70 −340 −23

R2→R2+5R1−−−−−−−−→

R3→R3+3R1

1 75 13 −2

R1↔R3−−−−−→

3 −25 11 7

︸︷︷︸A

waaruit blijkt dat ook A ∼ B. Zowel A als B zijn rij-equivalent met de trapvorm T =

1 00 10 0

.

De volgende eigenschap zegt dat elke matrix rij-equivalent is met juist een trapvorm.

3 Eigenschap (hoofdeigenschap van trapvorm van een matrix).

Zij A een matrix. Dan bestaat er juist een trapvorm T die rij-equivalent is met A.

Bewijs. Valt buiten het bestek van deze cursus.

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de matrix A =

[1 3 72 1 4

].

(a) Bepaal algebraısch de trapvorm van A.

(b) Bepaal algebraısch de trapvorm van AT .

Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

III-34

? Eigenschap 1. We hebben op de verzameling Rm×n een relatie7 geconstrueerd, die we in het vervolg rij-equivalentie noemen

A ∼ B ⇔ A is rij-equivalent met B

die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(1) rij-equivalentie is reflexief: ∀A ∈ Rm×n : A ∼ A,(2) rij-equivalentie is symmetrisch: ∀A,B ∈ Rm×n : A ∼ B ⇒ B ∼ A,(3) rij-equivalentie is transitief: ∀A,B,C ∈ Rm×n : A ∼ B en B ∼ C ⇒ A ∼ C.

Omdat voldaan is aan eigenschappen (1)-(3) noemen we rij-equivalentie een equivalentierelatie8, notatie Rm×n,∼.

? Definitie. Zij A ∈ Rm×n. De verzameling van alle matrices X die rij-equivalent zijn met A, noemen we deequivalentieklasse van A en noteren die met KA.

In symbolen:

KA = X ∈ Rm×n | X ∼ A

Voorbeeld. Gegeven is de matrix A =

3 −25 11 7

. Uit het vorig voorbeeld volgt

1 75 13 −2

,

1 70 −340 −23

,

1 70 10 1

,

1 00 10 0

∈ KA.

Wegens de vorige stelling bevat elke equivalentieklasse KA juist een trapvorm T .

Schematisch:

Rm×n

. . .

KA

KA′KA′′

A

T. . .

A′

T ′

. . .

A′′

T ′′

. . .

? Eigenschap 2. Zij A en B twee m× n matrices. Dan geldt

(1) A ∼ B ⇔ KA = KB ,

(2) A 6∼ B ⇔ KA ∩KB = ∅.

Bewijs.

7Een relatie R op een verzameling V is een deelverzameling van het Cartesisch product V × V . Is (A,B) ∈ R dan schrijft men ook welA ∼R B, of kortweg A ∼ B. Zo heeft een functie f : R→ R aanleiding tot de relatie R = (x, f(x)) | x ∈ R ⊂ R× R.

8Andere voorbeelden van equivalentierelaties zijn N,= (de verzameling van de natuurlijke getallen voorzien van de relatie gelijkheid),Z, |·| (de verzameling van de gehele getallen voorzien van de relatie absolute waarde) en R[x], gr (de verzameling van de reele veeltermenvoorzien van de relatie graad).

III-35

2.4 Rang van een matrix

Met behulp van het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan kunnen we elk lineair stelsel oplossen door de uitgebreidematrix te rij-herleiden naar een trapvorm en het aantal vrijheidsgraden in de oplossingsverzameling is afhankelijk vanhet aantal hoekstenen van zo’n trapvorm (zie §2.2). Omdat elke matrix precies een trapvorm heeft (zie §2.3), ligtdat aantal hoekstenen van de trapvorm ondubbelzinnig vast. Dat aantal noemen we de rang van de matrix. In dezeparagraaf gaan we wat dieper in op de eigenschappen van het begrip rang van een matrix.

3 Definitie. Zij A een matrix. Het aantal hoekstenen van de trapvorm van A noemen we de rang van de matrixA. We noteren dit getal met rangA.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de matrix A =

[1 3 72 1 4

].

(a) Bepaal algebraısch de rang van A.

(b) Bepaal algebraısch de rang van AT .

Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.


[m 1 31 m m− 2

]waarbij m ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van m waarvoor rangA = 2.

Oplossing.

3 Eigenschap. Zij A een m× n matrix. Dan geldt:

(1) rangA ≤ m en rangA ≤ n,

(2) rangA = rangAT .

Bewijs9van (1).

Vermeldenswaardig is de betekenis van maximale rang voor vierkante matrices. In het vervolg van Deel Matrices zullenwe deze stelling nog verder aanvullen.

3 Stelling (hoofdstelling van vierkante matrices - eerste versie). Zij A een n× n matrix. Dan is

rangA = nm

de trapvorm van A is de eenheidsmatrix En.

Bewijs. Volgt uit de definitie van de rang van een matrix.

9Voor een bewijs van (2) verwijzen we naar Deel Vectorruimten.

III-36

2.5 Aantal oplossingen van een lineair stelsel

Met behulp van het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan kunnen we elk lineair stelsel A · x = b oplossen door deuitgebreide matrix [A | b] te rij-herleiden naar een trapvorm (zie §2.2). De gedaante van die trapvorm verraadt hetaantal oplossingen van het stelsel, zo moge blijken uit de volgende

3 Op ontdekking. We beschouwen telkens een 4×4 stelsel, waarbij de trapvorm van de uitgebreide matrix [A | b]gegeven is. Geef het vereenvoudigd stelsel, de oplossingsverzameling en vul aan met = of <.

(a) [A | b] ∼

1 −1 0 7 | 00 0 1 3 | 00 0 0 0 | 10 0 0 0 | 0

. vereenvoudigd stelsel

.OplS = . . .

. rangA . . . rang [A | b]

(b) [A | b] ∼

1 0 0 0 | −50 1 0 0 | −30 0 1 0 | 20 0 0 1 | 6


.OplS = . . .

. rangA . . . rang [A | b] . . . n

(c) [A | b] ∼

1 −1 0 0 | −50 0 1 0 | −30 0 0 1 | 20 0 0 0 | 0


.OplS = . . .

. rangA . . . rang [A | b] . . . n

3 Eigenschap (hoofdeigenschap van aantal oplossingen van een lineair stelsel).

Zij S een m× n stelsel, [A | b] de uitgebreide matrix en T de trapvorm van de uitgebreide matrix. Dan geldt

Geval 1. rangA < rang [A | b]Dan is de laatste niet-nulrij van T van de gedaante

[0 0 . . . 0 | 1

].

Dan heeft het stelsel S geen oplossingen (strijdig stelsel, vals stelsel).

Geval 2. rangA = rang [A | b]Dan is de laatste niet-nulrij van T van de gedaante

[0 0 . . . 1 ∗ . . . ∗ | ∗

].

Subgeval 1. rang [A | b] = n

Dan heeft het stelsel een unieke oplossing.

Subgeval 2. rang [A | b] < n

Dan heeft het stelsel oneindig veel oplossingen.Het aantal parameters in de oplossingsverzameling is gelijk aan n− rang [A | b].Het aantal overbodige vergelijkingen in het stelsel is gelijk aan m− rang [A | b].

Dit leidt tot een verband tussen de rang van vierkante matrix A en de oplossingen van lineaire stelsels A · x = b.

3 Stelling (hoofdstelling van vierkante matrices - tweede versie). Zij A een n× n matrix. Dan is:10

rangA = nm

de trapvorm van A is de eenheidsmatrix Enm

het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm

∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing.

Bewijs. Neem b ∈ Rn×1. Dan volgt uit de hoofdeigenschap van aantal oplossingen van een lineair stelsel:

A · x = b heeft een unieke oplossing ⇔ rangA = rang[A | b] = n⇔ rangA = n.

10Vreemd genoeg is in dit geval de uitspraak ∃b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing equivalent met deuitspraak ∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing.

III-37

Een typische oefening op voorgaande eigenschap is het aantal oplossingen van een stelsel bespreken: men vraagt hierbijom te bepalen of het gegeven stelsel geen, een of oneindig veel oplossingen heeft; en in het geval van oneindig veeloplossingen hoeveel parameters de oplossingsverzameling heeft.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is het stelsel

x1 − x2 + x3 + 2x4 = 2

2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 3

x1 − x3 + 7x4 = 3.

Bespreek het aantal oplossingen van dit stelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachine en schrijf je werkwijzeduidelijk op.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Bespreek voor elke waarde van m ∈ R het aantal oplossingen van het stelsel

a+mb+ 2c = −4

a− 2b+mc = 0

a+mb+ (m2 − 2)c = −m− 2.

Oplossing.

III-38

2.6 Inverteerbare matrices

In deze paragraaf breiden we het begrip inverteerbaarheid van een matrix uit naar links-inverteerbaar en rechts-inverteerbaar. Nadien linken we het al of niet inverteerbaar zijn van een vierkante matrix met de rang van die matrix.

3 Definitie. Zij A een vierkante n× n matrix.

. Indien er een matrix BR

bestaat waarvoor A ·BR

= En dan noemen we A rechts-inverteerbaar.

. Indien er een matrix BL

bestaat waarvoor BL·A = En dan noemen we A links-inverteerbaar.

. Indien er een matrix B bestaat waarvoor A ·B = En = B ·A dan noemen we A inverteerbaar (of regulier).

. Een matrix die niet regulier is noemen we singulier.

Voorbeeld 1. De matrix A =

[−1 22 −4

]is noch links- noch rechts- noch inverteerbaar (zie pagina 12).

Voorbeeld 2. De matrix A =

[14 −1010 −7

]is zowel links-inverteerbaar, rechts-inverteerbaar als inverteerbaar,

want (ga na): [14 −1010 −7

]

︸︷︷︸A

·[−7/2 5−5 7

]

︸︷︷︸B

=

[1 00 1

]

︸︷︷︸E2

=

[−7/2 5−5 7

]

︸︷︷︸B

·[14 −1010 −7

]

︸︷︷︸A

.

3 Opmerking. Vanzelfsprekend is elke inverteerbare matrix A ook links- en rechts-inverteerbaar. We vermeldendat de omgekeerde implicatie ook waar is. Sterker nog, links-inverteerbaarheid of rechts-inverteerbaarheid isgenoeg om inverteerbaarheid af te dwingen (zie Oefening 33). Met andere woorden:

A is links-inverteerbaar ⇔ A is inverteerbaar ⇔ A is rechts-inverteerbaar

Dat in het geval van een inverteerbare matrix A een bijhorende matrix B uniek is, wordt aangetoond in devolgende

3 Eigenschap. Zij A een n× n matrix. Dan bestaat er hoogstens een matrix B waarvoor A ·B = En = B ·A.

Bewijs. Om deze eigenschap te bewijzen, nemen we aan dat voor twee matrices B,B′ geldt

A ·B = En = B ·A (∗)A ·B′ = En = B′ ·A. (∗∗)

We moeten aantonen dat noodzakelijk B = B′. Welnu (vul aan):

B = B · En(∗∗)= . . .

Indien A inverteerbaar is mogen we dus spreken van de inverse van de matrix A en we noteren11 die met A−1.De grafische rekenmachine kan de inverse van een matrix bepalen (ga na welke de juiste werkwijze is).

3 Modelvoorbeeld. Ga telkens na of de matrix A inverteerbaar is. Zoja, bepaal de inverse van de matrix A.

(a) A =

1 1 12 3 23 1 4

(b) B =

1 2 12 4 02 4 −7

Oplossing.

11De reden waarom men de inverse van A als A−1 noteert, is omdat de rekenregel Am · An = Am+n dan uitgebreid wordt voor allem,n ∈ Z. Merk op dat wegens de niet-commutativiteit van de vermenigvuldiging in het algemeen B ·A−1 6= A−1 ·B, zodat het delen dooreen matrix zinloos is, evenals de schrijfwijze B

A.

III-39

Nagaan of een matrix al dan niet inverteerbaar is, kan met de grafische rekenmachine. Maar de instrinsieke reden vaninverteerbaarheid wordt hiermee niet gegeven. Zo’n criterium sporen we op in deze

3 Op ontdekking. Gegeven zijn de matrices A =

[1 00 0

]en C =

[3 −14 −1

].

(a) Toon algebraısch aan dat A niet inverteerbaar is.

(b) Toon algebraısch aan dat C inverteerbaar is.

Oplossing.

(a) Wil A inverteerbaar zijn, dan moet A rechts-inverteerbaar zijn en dan moet er een matrix BR

bestaanwaarvoor A ·B

R= E2. Welnu,

A ·BR

= E2 ⇔[1 00 0

]·[b11 b12b21 b22

]=

[1 00 1

]⇔

[b11 b120 0

]=

[1 00 1

]

en deze laatste matrixvergelijking heeft duidelijk geen oplossingen (waarom?). We besluiten dat A nietrechts-inverteerbaar is.

Die niet-inverteerbaarheid kunnen we linken met de trapvorm van A en wel op de volgende manier: dematrixvergelijking A ·B

R= E2 kan herschreven worden als twee lineaire stelsels, namelijk

A ·[b11b21

]=

[10

], A ·

[b12b22

]=

[01

]. (∗)

Beide stelsels in (∗) kunnen opgelost worden door telkens de uitgebreide matrix te beschouwen:

[1 0 | 10 0 | 0

],

[1 0 | 00 0 | 1

]

waaruit onmiddellijk volgt dat het tweede stelsel geen oplossingen heeft. Wat betekent dit voor rangA?

matrix A is niet inverteerbaar want rangA . . . . . .

(b) Wil C inverteerbaar zijn, dan moet C rechts-inverteerbaar zijn en dan moet er een matrix BR

bestaanwaarvoor C ·B

R= E2. Net als hierboven kan deze matrixvergelijking herschreven worden als twee lineaire

stelsels, namelijk

C ·[b11b21

]=

[10

], C ·

[b12b22

]=

[01

]. (∗∗)

Beide stelsels in (∗∗) kunnen opgelost worden door telkens de uitgebreide matrix te herleiden naar eentrapvorm (vul aan):

[3 −1 | 14 −1 | 0

]→[. . . . . . | . . .. . . . . . | . . .

],

[3 −1 | 04 −1 | 1

]→[. . . . . . | . . .. . . . . . | . . .

]

Beide stelsels in (∗∗) hebben een (unieke) oplossing, namelijk (vul aan)

[b11b21

]=

[. . .. . .

],

[b12b22

]=

[. . .. . .

]zodat B

R= . . .

Hoe kunnen we deze oplossing controleren?

Hieruit volgt dat C rechts-inverteerbaar is. Wegens de opmerking op pagina 39 is C ook inverteerbaar. Watis de inverse van C?

Hoe konden we meteen inzien dat beide stelsels in (∗∗) een (unieke) oplossing hebben?

We besluiten (vul aan):

rangC . . . . . . dus matrix C is rechts-inverteerbaar

III-40

Veralgemenen van bovenstaande werkwijze leidt tot de volgende

? Stelling. Zij A een n× n matrix. Dan geldt

A is inverteerbaar ⇔ rangA = n

Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.

Deel 1. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Wil A inverteerbaar zijn, danmoet A rechts-inverteerbaar zijn en dan moet er een matrix B

Rbestaan waarvoor A ·B

R= En. Welnu,

A ·BR

= En ⇔

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

︸︷︷︸A

·

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

bn1 bn2 . . . bnn

︸︷︷︸B

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

︸︷︷︸En

Deze matrixvergelijking kan herschreven worden als n lineaire stelsels, namelijk

A ·

b11b21...bn1

︸︷︷︸b1

=

10...0

︸︷︷︸e1

, A ·

b12b22...bn2

︸︷︷︸b2

=

01...0

︸︷︷︸e2

, . . . , A ·

b1nb2n...bnn

︸︷︷︸bn

=

00...1

︸︷︷︸en

Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels

A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en

telkens een (unieke) oplossing (waarom?). Dus er bestaat een matrix BR

waarvoor A · BR

= En. We besluitendat A rechts-inverteerbaar is. Dus A is ook inverteerbaar (waarom?).

Deel 2. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n. Dat kan door aan te tonen dathet homogeen stelsel A · x = 0 een unieke oplossing heeft (waarom?).

We beschouwen het homogeen lineair stelsel A ·

x1...xn

︸︷︷︸x

=

0...0

︸︷︷︸0

. Dan geldt

A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0

⇔ En · x = 0

⇔ x = 0

Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. We besluiten dat rangA = n (waarom?).

Dankzij deze stelling kunnen we de hoofdstelling van vierkante matrices opnieuw uitbreiden.

3 Stelling (hoofdstelling van vierkante matrices - derde versie). Zij A een n× n matrix. Dan is:

rangA = nm



∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossingm

A is inverteerbaar.

Bewijs. Volgt uit de voorgaande stelling.

III-41

2.7 Toepassingen

Toepassing 1 - Methode om de inverse van een matrix te berekenen

3 Op ontdekking. Ga algebraısch na of de matrix A =

1 1 12 3 23 1 4

inverteerbaar is. Zo ja, bepaal de inverse.

Oplossing. Wil A inverteerbaar zijn, dan moet A rechts-inverteerbaar zijn en dan moet er een matrix BR

bestaanwaarvoor

1 1 12 3 23 1 4

︸︷︷︸A

·

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

︸︷︷︸B

=

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸E3

.

Met andere woorden, we moeten nagaan of er reele getallen bij bestaan waarvoor

1 1 12 3 23 1 4

︸︷︷︸A

·

b11b21b31

︸︷︷︸b1

=

100

︸︷︷︸e1

,

1 1 12 3 23 1 4

︸︷︷︸A

·

b12b22b32

︸︷︷︸b2

=

010

︸︷︷︸e2

,

1 1 12 3 23 1 4

︸︷︷︸A

·

b13b23b33

︸︷︷︸b3

=

001

︸︷︷︸e3

.

Daartoe herleiden we de uitgebreide matrix van elk stelsel naar een trapvorm (ga na):

[A | e1]...−→

1 0 0 | 100 1 0 | −20 0 1 | −7

, [A | e2]

...−→

1 0 0 | −30 1 0 | 10 0 1 | 2

, [A | e3]

...−→

1 0 0 | −10 1 0 | 00 0 1 | 1

Elk van deze stelsels heeft een (unieke) oplossing. Dus A is rechts-inverteerbaar en dus ook inverteerbaar, metinverse

B = A−1 =

10 −3 −1−2 1 0−7 2 1

.

In het vervolg kunnen we wat korter te werk gaan. In plaats van de drie uitgebreide matrices afzonderlijk teherleiden naar een trapvorm, kunnen we ineens de matrix [A | E3] herleiden naar trapvorm

[A | E3] =

1 1 1 | 1 0 02 3 2 | 0 1 03 1 4 | 0 0 1

r2→r2−2r1−−−−−−−→

r3→r3−3r1

1 1 1 | 1 0 00 1 0 | −2 1 00 −2 1 | −3 0 1

r1→r1−r2−−−−−−−→r3→r3+2r2

1 0 1 | 3 0 00 1 0 | −2 1 00 0 1 | −7 2 1

r1→r1−r3−−−−−−−→

1 0 0 | 10 −3 −10 1 0 | −2 1 00 0 1 | −7 2 1

waarbij we de trapvorm van A (linkerhelft) aflezen. Omdat rangA = 3 is A inverteerbaar en we kunnen tevensde inverse van A aflezen (rechterhelft).

3 Modelvoorbeeld. Ga algebraısch na of de matrix A =

1 2 12 4 02 4 −7

inverteerbaar is. Zoja, bepaal de inverse.

Oplossing.

III-42

Toepassing 2 - Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap NU GELAND. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet.

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit:

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt NU gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor GE, LA, ND. Dit geeft de gecodeerde boodschap:

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40 Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40 Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸︷︷︸A

·[x1x2

]=

[5691

].

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing.

III-43

Toepassing 3 - Vraagstukken

Heel wat vraagstukken leiden tot het oplossen van een lineair stelsel. Bij het oplossen van een vraagstuk bestaat deeerste stap altijd uit het benoemen van de onbekenden, zodat de lezer je redenering vlot kan volgen.

Niccolo Fontana Tartaglia(1499 - 1557)

3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia12). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken13en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

12Aan de slachting die de Fransen in 1512 in Brescia aanrichtten hield hij littekens in het gezicht en problemen met het spreken over.Vandaar droeg hij zijn leven lang een baard en werd ’Tartaglia’ oftewel ’stotteraar’ werd genoemd.

13Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuze-mogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blancoantwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken [28].

III-44

Oefeningen

2 Lineaire stelsels en inverteerbare matrices Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Lineaire stelsels2.2 Lineaire stelsels oplossen met eliminatie-

algoritmen

123

34

34

56

78

9 10

2.3 Trapvorm van een matrix en rij-equivalentematrices

2.4 Rang van een matrix

1112

1314

14 15

2.5 Aantal oplossingen van een lineair stelsel 16 171819

192021

222324

252627

2.6 Inverteerbare matrices 28 29 30 31 32 33

2.7 Toepassingen 34353637

3738394041

424344

4546

47 48 49 50


B Oefening 1. Van welk stelsel is [2 3 −1 05 −4 2 1

]

de uitgebreide coefficientenmatrix?

B Oefening 2. Bespreek telkens het lineair stelsel volgens het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan. Maak gebruikvan je grafische rekenmachine, noteer duidelijk je werkwijze.

(a)

3x = y + z4y = 2x− z (d)

x1 + x2 + 3x3 + x4 = 1x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 12x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 2x1 − x2 + 5x3 + x4 = 1

(b)

a− b+ 2c = 82a+ 3b− c = 6−a+ 6b− 7c = −18b− c = −2

(e)

x+ y + z + t = 2x+ y + z − t = 4x+ y − z − t = 6x− y − z − t = 8

(c)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 12x1 + x3 − x4 = 1

(f)

x1 − x2 + 3x3 + x4 = 82x1 + 3x2 − x3 + x4 = 77x1 + 3x2 + 7x3 + 5x4 = 6

Oefening 3. Bespreek telkens algebraısch het lineair stelsel volgens het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan (ele-mentaire rijoperaties opschrijven). Controleer je trapvorm met behulp van je grafische rekenmachine.

B (a)

3x+ y = 6

x− 2y = −5B? (d)

x+ 3y + 10z = 31

x+ 4y + 12z = 39

x+ y + 6z = 14

B (b)

3x− 2y = 4x− 8

4x+ y + 7 = 6x− 3y − 9B? (e)

x+ 3y − z = 1

2x+ 4z = 3

− x+ 9y − 11z = −2

B? (c)

2x+ y + 3z = 0

x− y − z = 0

3x+ 2y + 4z = 0

B?? (f)

x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 10

3x1 + 4x2 + 11x3 + 10x4 = 36

17x1 + 13x2 + 14x3 + 18x4 = 146

Oefening 4. Bespreek telkens algebraısch het stelsel.

III-45

B? (a)

y + 2z = 1

x+ 2y + 3z = 2

3x+ y + z = 3

B?? (d)

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0

2x1 + 3x2 − x3 + 3x4 = 0

4x1 + 6x2 + x3 + 2x4 = 0

B? (b)

x+ 2y = 0

x+ 4y − 2z = 4

2x+ 4z = 4

3x+ 6z = −12

− 2x− 8y + 4z = −8

B?? (e)

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 1

2x1 + 4x2 − 8x5 = 3

− 2x2 + 4x3 + 6x4 + 4x5 = 0

B? (c)

a+ b− 2c = 0

2a+ b− 3c = 0

4a− 2b− 2c = 0

6a− b− 5c = 0

7a− 3b− 4c = 1

B?? (f)

3u+ v + 2w − t = 0

2u− v + w + t = 0

5u+ 5v + 4w − 5t = 0

2u+ 9v + 3w − 9t = 0

V Oefening 5. Bespreek het niet-lineair stelsel

2

x− 1

y+

1

z= 0

− 1

x+

2

y+

3

z= 0

4

x+

1

y+

9

z= 0

V Oefening 6. Gegeven zijn drie reele getallen a, b, c waarvoor 3a− b+ 5c = 44 en a+ 2c = 12. Bepaal a− b+ c.

V? Oefening 7. Bespreek het niet-lineair stelsel

3xy + 2yz − zx = 1

2xy − 2yz + 4zx = −2

− 2xy + yz − zx = 0

V? Oefening 8. Bepaal de oplossingsverzameling van het stelsel

−√xy +√yz − 3

√zx = −19

7√xy + 2

√yz + 2

√zx = 37

− 5√xy + 3

√yz − 2

√zx = −21

V?? Oefening 9. Bepaal alle kwadratische functies f waarvoor de grafiek van f de punten P (1, 1) en Q(2, 1) bevat.

U Oefening 10 (niet-lineaire stelsels). Het volgend stelsel vergelijkingen is niet lineair:ex + ey = 5

ex − ey = 3.

(a) Laat zien dat via een tussenstap in dit stelsel toch een lineair stelsel verborgen zit.

(b) Los het lineair stelsel en het oorspronkelijk stelsel op.

Oefeningen bij §2.3 en §2.4

B Oefening 11. Bepaal telkens algebraısch de trapvorm en de rang van de matrix. Controleer met je grafische reken-machine.

(a) A =

0 1 01 0 00 0 0

(d) D =

[0 1 2 0 50 0 0 1 1

]

(b) B =

[1 2 5 00 0 1 1

](e) E =

1 0 10 1 00 0 0

(c) C =

1 2 00 0 00 0 1

(f) F =

[0 00 0

]

III-46

B Oefening 12. Geef een 5× 4 matrix met rang 2.

B? Oefening 13. Bereken algebraısch de rang van de matrix

A =

2 1 −2 −23 2 −1 41 1 1 6

Oefening 14. Bepaal telkens voor elke waarde van m ∈ R de rang van de matrix door de trapvorm van de matrix teberekenen.

B? (a) A =

[2 4

m− 2 6

]B? (c) C =

[1 2m 53 4m− 1 6

]

B? (b) B =

[3 6m

1 +m 2

]B?? (d) D =

1 m m 2m 1 m 01 m m+ 1 1

V? Oefening 15. Gegeven is een algemene 2× 2 matrix

A =

[a bc d


Bepaal de voorwaarde(n) op a, b, c en d waarvoor de rang van A maximaal is.


B Oefening 16. Bespreek telkens het aantal oplossingen van het stelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachineen schijf je werkwijze duidelijk op.

(a)

2x− y + z = 0

− x+ 2y + 3z = 0

4x+ y + 9z = 0

(c)

2x+ y + 3z = 8

x− y − z = 2

3x+ 2y + 4z = 1

(b)

x1 + x2 − x3 = 1

2x1 − x2 + 7x3 = 5

− 3x1 − 4x2 + 6x3 = 3

(d)

x+ y + 3z + t = 1

x+ 2y + 2z + t = 1

2x+ 3y + 5z + 2t = 2

x− y + 5z + t = 1

5x+ 5y + 15z + 5t = 5

B? Oefening 17. Beschouw het stelsel

S

2x+ 3y = 3

5x− 7y = 21.

(a) Bepaal hoeveel oplossingen het stelsel S heeft.

(b) Hoe kunnen we de oplossingsverzameling OplS meetkundig voorstellen?

(c) Bepaal, met behulp van (a) en de hoofdstelling van vierkante matrices, hoeveel oplossingen het stelsel S′ heeft,met

S′

2x+ 3y = 821

5x− 7y = −756.

B? Oefening 18. Bepaal de waarde(n) van de parameter m ∈ R zodat het volgend stelsel niet vals is:

5x− 3y = 64

2x+ y = 52

7x+my = 32.

Oefening 19. Bespreek telkens voor elke waarde van m ∈ R het aantal oplossingen van het stelsel.

B? (a)

3mx− 12y = 12

x−my = mB?? (c)

x+ 4y + 2mz = 3

x+ y −mz = 0

mx+ (m+ 1)y + (m− 1)z = m

B? (b)

a− 2c = m+ 4

− 2a+mb+ 7c = −14

− a+mb+ 6c = m− 12

B?? (d)

mx+ y + z = 1

x+my + z = m

x+ y +mz = m2

III-47

B?? Oefening 20. Bepaal telkens de waarde(n) van k ∈ R zodat het stelsel oplossing(en) heeft.

(a)

x1 + x2 − x3 = 12x1 − x2 + 7x3 = 5−3x1 − 4x2 + 6x3 = k

(b)

kx+ y + z = 1

x+ ky + z = 1

x+ y + kz = 1

B?? Oefening 21. Gegeven is het volgend stelsel, waarbij k ∈ R:

kx+ y + z = kx+ ky + z = kx+ y + kz = k.

(a) Bepaal alle waarden van k waarvoor het stelsel geen oplossingen heeft.

(b) Bepaal alle waarden van k waarvoor het stelsel oneindig veel oplossingen heeft.

(c) Bepaal alle waarden van k waarvoor het stelsel precies een oplossing heeft.

V Oefening 22. Beschouw het stelsel

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 0

2x1 + x2 + x3 − 2x4 = 0

3x1 − x2 + 4x3 − 8x4 = 0.

Bepaal, zonder berekeningen uit te voeren, of (0, 0, 0, 0) de enige oplossing is.

V Oefening 23. Beargumenteer bij de volgende vragen je antwoord.

(a) Aan een strijdig stelsel wordt nog een lineaire vergelijking toegevoegd. Wat kun je zeggen over de oplossingenvan dit nieuwe stelsel? Geef een voorbeeld.

(b) De oplossingen van een stelsel bevatten een parameter. Nu wordt er een lineaire vergelijking (in dezelfde varia-belen) toegevoegd. Welke mogelijkheden zijn er voor het aantal vrije parameters in het nieuwe stelsel? Geef eenvoorbeeld van elk van de mogelijkheden.

V Oefening 24 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1987).Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen in x, y, z ∈ R

ax+ y + 2z = 0

x+ 2y + z = b

2x+ y + az = 0

met a en b reele parameters.

(a) Voor welke waarden van a en b is dit stelsel strijdig?

(b) Voor welke waarden van a en b heeft dit stelsel een unieke oplossing? Bereken in dit geval de oplossing.

V? Oefening 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999 tweede ronde).Veronderstel dat het volgend stelsel in de onbekenden x, y, z, u een oplossing heeft:

x+ y = a

y + z = b

z + u = c

u+ x = d.

Dan geldt zeker dat

(A) a+ b+ c+ d = 0 (B) a+ b = c+ d (C) a+ c = b+ d (D) a+ d = b+ c (E) stelsel heeft geen oplossing

V? Oefening 26. Bespreek voor elke waarde van k, l ∈ R het stelsel

x1 + 2x2 + x3 = 2−3x1 − x2 + 2x3 = 42x1 + 4x2 + kx3 = l.

V? Oefening 27 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).Los het volgend stelsel op:

x+ ay + a2z + a3 = 0

x+ by + b2z + b3 = 0

x+ cy + c2z + c3 = 0

waarbij a, b, c ∈ R.

III-48


B Oefening 28. Gegeven zijn de inverteerbare matrices

A =

[1 23 5

]en B =

[1 −20 1

].

Ga telkens na met behulp van je grafische rekenmachine.

(a) (A ·B)−1?= A−1 ·B−1 (d) (AT )−1

?=(A−1

)T

(b) (A ·B)−1?= B−1 ·A−1 (e) (2 ·A)−1

?= 2−1 ·A−1

(c) (AT )−1?= A−1 (f) (A−1)−1

?= A

B? Oefening 29. Toon algebraısch aan dat de matrix P =

[−3 20 0

]singulier is.

B?? Oefening 30. Gegeven zijn de matrices A =

[1 −2−1 2

]en C =

[1 −21 2

].

(a) Toon algebraısch aan dat A niet rechts-inverteerbaar is.

(b) Toon algebraısch aan dat C rechts-inverteerbaar is.

V Oefening 31. Beschouw het lineair stelsel

x− 2y + z = 2−x+ 3y − z = 3x+ y = 4.

Los het stelsel algebraısch op zonder een trapvorm te berekenen als je weet dat de coefficientenmatrix A inverteerbaaris en

A−1 =

−1 −1 11 1 04 3 −1

.

V? Oefening 32. Zij A en B twee inverteerbare n× n matrices. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) De matrix A ·B is inverteerbaar en (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.

(b) De matrix AT is inverteerbaar en(AT)−1

=(A−1

)T.

(c) Voor r ∈ R0 is de matrix rA inverteerbaar en (rA)−1 =1

rA−1.

(d) De matrix A−1 is inverteerbaar en(A−1

)−1= A.

Aanwijzing. Toon telkens aan dat de definitie van een inverteerbare matrix voldaan is voor de vooropgestelde kandidaatinverse.

V?? Oefening 33. Zij A een n× n matrix. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) Als A links-inverteerbaar is, dan is A rechts-inverteerbaar.

(b) Als A rechts-inverteerbaar is, dan is A links-inverteerbaar.

(c) Als A links-inverteerbaar en rechts-inverteerbaar is dan is A inverteerbaar.

III-49


DocumentairefilmSuper Size Me (2004)

B Oefening 34. Morgan Spurlock schuift aan in fastfoodrestaurant Super size. Hijziet nergens een prijslijst hangen. Hij heeft 6 euro op zak en zou graag 2 cola’s, 2hamburgers en 1 portie friet bestellen. Er staan 3 mensen voor hem in de rij. Deeerste bestelt 3 cola’s, 1 portie friet en 2 hamburgers en betaalt 6, 60 euro. De tweedebestelt 3 hamburgers, 2 porties friet en 2 cola’s en betaalt 7, 60 euro. De derde vraagt3 porties friet met 5 hamburgers en 4 cola’s en betaalt 13, 10 euro. Kan Morgan zijnbestelling betalen en zo ja, hoeveel moet hij betalen?

B Oefening 35. In de winkel koopt An drie blikjes cola, twee zakjes chips en een zaksnoep en betaalt daarvoor 4 euro. Leen koopt een blikje cola, een zakje chips en driezakken snoep voor 4, 70 euro. Ivo betaalt voor twee blikjes cola, drie zakjes chips eneen zak snoep 3, 90 euro. Wat is de afzonderlijke prijs van een blikje cola, een zakjeships en een zak snoep?

B Oefening 36. Anna, Brigitte en Charlotte vormen een driegeslacht. Samen zijn ze105 jaar oud. Anna is negen jaar ouder dan Brigitte en Charlotte samen. Jammergenoeg komen Anna en Charlotte samen nog drie jaartjes te kort om het dubbel vande leeftijd van Brigitte te zijn. Hou oud zijn deze drie dames?

Oefening 37. Ga telkens algebraısch na of de matrix A inverteerbaar is. Zo ja, geef de inverse van A.

B (a) A =

[1 42 8

]

B? (b) A =

1 2 32 5 31 0 8

B? Oefening 38. Gegeven zijn de inverteerbare matrices

A =

[1 3−1 4

]en B =

[1 21 −1

].

(a) Bepaal algebraısch A−1 en B−1.

(b) Ga algebraısch na dat A ·B inverteerbaar is en bepaal (A ·B)−1.

Calpe Costa Blanca,Spanje

B? Oefening 39. In hotel Viva Franco in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

B? Oefening 40. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en desom van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerddan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

B? Oefening 41. Een gezin heeft drie kinderen, waaronder een tweeling. Wanneer de buurvrouw vraagt hoe oud ze zijn,antwoordt de vader, die van raadsels houdt, het volgende:

. als ik driemaal de leeftijd van Hilde, onze oudste, optel bij de totale leeftijd van beide anderen, dan is het resulaateen drievoud en

. drie jaar geleden was Hilde even oud als de anderen samen.

Hou oud zijn de kinderen?

B?? Oefening 42. Bepaal de waarde(n) van k, l ∈ R waarvoor de matrix A =

1 2 12 k 02 4 l

inverteerbaar is.

B?? Oefening 43. Ga algebraısch na of de volgende matrix inverteerbaar is. Zo ja, geef de inverse van A.

A =

0 1 0 21 0 1 00 1 0 11 0 2 0

III-50

http://nl.wikipedia.org/wiki/Super_Size_Me

http://en.wikipedia.org/wiki/Calp

B?? Oefening 44. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

V Oefening 45 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2001).Een bioloog heeft voor een experiment met muizen een voedselmengsel nodig dat, buiten andere stoffen, bestaat uit23g proteıne, 6, 2g vet en 16g vocht. Hij beschikt over mengsels met de volgende samenstelling:

proteıne (%) vet (%) vocht (%)

mengsel 1 20 2 15mengsel 2 10 6 10mengsel 3 15 5 5

Welke van de volgende hoeveelheden van mengsel 1 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoe-veelheden van de mengsels 2 en 3, het gevraagde voedselmengsel te verkrijgen?

(A) 30g

(B) 40g

(C) 50g

(D) 60g

V Oefening 46. Twee identieke vazen bevatten een verschillende hoeveelheid water. Het totale gewicht van de eerstevaas bedraagt 4/5 van het totale gewicht van de tweede vaas. Gieten we het water van de tweede vaas in de eerste,dan weegt de eerste vaas 8 maal meer dan de tweede lege vaas. Als de tweede vaas 50g water meer bevat dan de eerstevaas, zoek dan het gewicht van elke vaas en de hoeveelheid water die ze oorspronkelijk bevatten.

V? Oefening 47 (het probleem van Bachet14). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

V?? Oefening 48 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1997).Bepaal een veelterm A(x) van de vijfde graad die deelbaar is door x − 2 en door x2 + 2x + 2. We weten ook dat desom van de quotienten van de deling van A(x) door x− 2 en door x2 + 2x+ 2 gelijk is aan 2x4 + 8x3 + 8x2 + 6x.

U? Oefening 49 (inverse van een 2× 2 matrix). Gegeven is een algemene 2× 2 matrix

A =

[a bc d


Bewijs: als A inverteerbaar is, dan wordt de inverse gegeven door

A−1 =1

ad− bc ·[d −b−c a

].

Melancholia IAlbrecht Durer (1514)

U?? Oefening 50 (magisch vierkant). Een magisch vierkant15(of tovervierkant) is eenvierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen ende beide diagonalen alle dezelfde som opleveren. Meestal - en zo ook in deze oefening- eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat, waarbijn het aantal cellen in een zijde is, genaamd de orde van het magisch vierkant. Eenmagisch vierkant van orde drie is bijvoorbeeld

8 3 4

1 5 9

6 7 2

(a) Toon aan dat bij een magisch vierkant van orde n de som in elke rij, kolom en

diagonaal gelijk is aann(n2 + 1)

2.

(b) Bepaal alle magische vierkanten van orde twee. Hoeveel vrijheidsgraden zijn er?

(c) Bepaal alle magische vierkanten van orde drie. Hoeveel vrijheidsgraden zijn er?

14 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).15De eerste verschijning van een magisch vierkant in de Europese kunst komt voor op de gravure Melencolia I (melancholie) van Albrecht

Durer. Het jaartal is verwerkt in het vierkant.

III-51

http://en.wikipedia.org/wiki/Calp

http://nl.wikipedia.org/wiki/Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac

Inzicht in elektrotechniek

In dit voorbeeld16 laten we zien hoe men in een elektrisch netwerk de spanning, stroomsterkte en weerstand kanbepalen met behulp van lineaire stelsels.

In nevenstaande figuur zien we een elektrisch netwerk metdrie knooppunten a, b, c en drie stroomdraden met ieder eenohmse weerstand. Het netwerk heeft twee inkomende stro-men Ia en Ib en een uit knooppunt c uitgaande stroom. Wegaan uit van de in nevenstaande figuur gegeven en ontbre-kende waarden:

R1 = 1Ω Ia = 1A I1 = ?

R2 = 5Ω Ib = 2A I2 = ?

R3 = 3Ω Ic = ? I3 = ?

De wetten van Kirchhoff17 zijn twee regels die het gevolgzijn van het behoud van energie en lading in een elektrischnetwerk. Ze beschrijven relaties tussen de weerstanden R in

een netwerk, stromen I in knooppunten van het netwerk en spanningen U in stroomkringen van het netwerk.

3 De eerste wet van Kirchhoff heeft betrekking op de knooppunten van een netwerk en volgt uit het principevan behoud van elektrische lading:

Beschouwen we in een knooppunt een ingaande stroom als positief en een uitgaande stroom als negatief,dan is in elk knooppunt de som van de stromen gelijk aan nul.

Passen we deze eerste wet toe op de drie knooppunten a, b en c van bovenstaand netwerk, dan verkrijgen wehet stelsel

Ia + I1 − I3 = 0

Ib − I1 − I2 = 0

−Ic + I2 + I3 = 0

(∗)

3 De tweede wet van Kirchhoff heeft betrekking op de gesloten lussen van een netwerk (stroomkringengenaamd) en volgt uit het principe van behoud van energie:

Beschouwen we in een stroomkring een spanningsbron als positief als ze optreedt in wijzerzin en negatiefals ze optreedt in tegenwijzerzin, dan is in elke stroomkring de som van de spanningen gelijk aan nul.

Passen we deze tweede wet toe op de enige stroomkring abc van bovenstaand netwerk, dan verkrijgen we devergelijking (wegens de Wet van Ohm U = R · I):

R1I1 −R2I2 +R3I3 = 0. (∗∗)

Combineren van (∗) en (∗∗) geeft een stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden I1, I2 en I3:

I1 − I3 = −Ia−I1 − I2 = −Ib

R1I1 −R2I2 +R3I3 = 0.

Na het invullen van de gegeven waarden kunnen we dit stelsel oplossen (algebraısch of met behulp van de grafischerekenmachine):

I1 − I3 = −1

−I1 − I2 = −2

I1 − 5I2 + 3I3 = 0

⇔

I1 =7

9A

I2 =11

9A

I3 =16

9A.

De uitgaande stroom Ic krijgen we tenslotte uit de derde vergelijking van het stelsel (∗) en vinden Ic = I2+I3 = 3A.

16Gebaseerd op [83, Pagina’s 27 en 28] en [134, Wetten van Kirchhoff]. Elektrotechniek is een technische discipline die zich bezighoudtmet de studie en de toepassing van elektriciteit en elektromagnetische velden.

17Voor het eerst beschreven door Gustav Robert Kirchhoff 1845.

III-52

Hoofdstuk 3

Determinanten

I have in previous papers defined a “Matrix” as a rectangulararray of terms, out of which different systems of determinantsmay be engendered as from the womb of a common parent; [. . . ]

J.J. Sylvester, 1851

In dit hoofdstuk associeren we met elke vierkante matrix A een reeel getal, waarvan het al of niet nul zijn zaldetermineren (i.e. vaststellen) of een lineair stelsel A · x = b al dan niet een unieke oplossing heeft. Dat getal noemenwe dan ook de determinant, notatie detA en wegens de hoofdstelling van vierkante matrices (zie Hoofdstuk 2) wordtonze eis:

detA 6= 0 ⇔ de trapvorm van A is de eenheidsmatrix En

Bovendien wensen we ook dat we in zo’n geval de unieke oplossing van een lineair stelsel A · x = b kunnen uitdrukkenmet determinanten. Dat zal zich vertalen in de zogenaamde regel van Cramer, zie §3.4.

In de volgende paragraaf laten we zien hoe we vanuit bovenstaande eis de definitie van determinant van matrices metlage orde op het spoor komen.

3.1 Determinant van een 1× 1 matrix, 2× 2 matrix en 3× 3 matrix

3 Op ontdekking 1. In Hoofdstuk 2 zagen we dat elke matrix te rij-herleiden is naar een trapvorm. We vragenons af hoe de trapvorm van een vierkante matrix er kan uitzien.

. Neem een willekeurige 1× 1 matrix A. Hoe kan de trapvorm T van A er uitzien?

A =[a11

]

T =[1]

T =[0]

a116= 0

a11 = 0

We besluiten:

als A =[a11]

dan is de trapvorm van A gelijk aan de eenheidsmatrix E1 als en slechts als a11 6= 0

. Neem een willekeurige 2× 2 matrix A. Hoe kan de trapvorm van A er uitzien?Gemakkelijkshalve nemen we aan dat a11 6= 0.

A =

a11 a12

a21 a22

1a12a11

a21 a22

1a12a11

0a11a22 − a12a21

a11

T =

[1 00 1

]

T =

[1 ∗0 0

]

a11a22− a12a

216= 0

a11a22 − a12a21 = 0

We besluiten1:

als A=

[a11 a12a21 a22

]dan is de trapvorm van A de eenheidsmatrix E2 als en slechts als a11a22−a12a21 6=0

1In geval a11 = 0 dan is de trapvorm van A de eenheidsmatrix E2 als en slechts als a21 6= 0 en a12 6= 0, dus als en slechts als a12a21 6= 0,dus als en slechts als a11a22 − a12a21 6= 0.

III-53

. Neem een willekeurige 3× 3 matrix A. Met een analoge redenering (en wat rekenwerk) kan men aantonen:

als A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

dan is de trapvorm van A de eenheidsmatrix E3 als en slechts als

a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11 6= 0

3 Definitie (determinant van een 1× 1 matrix, 2× 2 matrix en 3× 3 matrix)2.

Voor een 1× 1 matrix, 2× 2 matrix en 3× 3 matrix wordt de determinant als volgt gedefinieerd.

. Als A =[a11]

dan det(A)def= a11

. Als A =

[a11 a12a21 a22

]dan det(A)

def= a11a22 − a12a21

. Als A=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

dan det(A)

def= a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a13a22a31−a12a21a33−a23a32a11

Naast detA schrijft3 men ook wel |A| of voluit, bijvoorbeeld

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣.

Voor een 2× 2 matrix en 3× 3 matrix kunnen we deze definitie schematisch voorstellen:

A =a11 a12

a21 a22

detA = a11a22 − a12a21

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken telkens algebraısch de determinant van de matrix.

(a) A =[−4]

(b) B =

[2 −45 −10

]

(c) C =

3 2 41 −2 32 3 2

Oplossing.

Controleren met behulp van de grafische rekenmachine kan als volgt.

2ND MATRIX EDIT 2ND MATRIX MATH 1:det(

2De term determinant werd in deze betekenis voor eerst gebruikt door Louis-Augustin Cauchy 1812, geınspireerd door de benamingdeterminant voor homogene veeltermen in meerdere veranderlijken door Carl Friedrich Gauss 1801. Determinanten werden eerderbestudeerd dan matrices. Het eerste gebruik van determinanten gaat terug naar China, tweede eeuw voor Christus.

3Lees |A| niet als absolute waarde van A of lengte van A maar wel als determinant van A.

III-54

http://nl.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy

http://nl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Pierre Frederic Sarrus(1798 - 1861)

3 De regel van Sarrus. Een ander mnemotechnisch middel om de formulevoor de determinant van een 3 × 3 matrix te onthouden werd ontwikkeld doorSarrus4: herhaal na de derde kolom de eerste twee kolommen, maak de somvan de hoofddiagonalen (volle lijnen) en verminder met de nevendiagonalen(stippellijnen).

A =

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraısch de determinant met behulp van de regel van Sarrus.

|A| =

∣∣∣∣∣∣

1 2 3−1 3 4−2 −3 0

∣∣∣∣∣∣

Oplossing.

Determinanten van matrices voldoen aan heel wat eigenschappen. De belangrijkste is wellicht het zogenaamd ontwik-kelen naar een rij of een kolom. Daarvoor hebben we het volgend begrip nodig.

3 Definitie (deelmatrix). Zij A een n× n matrix. De (i, j)-deelmatrix van A is de matrix die we verkrijgen alswe de i-de rij en de j-de kolom van A verwijderen. We noteren deze nieuwe matrix met Dij .

In symbolen:

als A =

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∈ Rn×n dan is Dij =

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∈ R(n−1)×(n−1)

Voorbeeld. Gegeven is de matrix A =

−4 2 −1

5√

3 017 1 −5

.

. De (1, 1)-deelmatrix van A is (vul aan):

D11 = . . .

. De (2, 3)-deelmatrix van A is (vul aan):

D23 = . . .

4Sarrus ontwikkelde zijn regel in 1833. Deze regel is ook van toepassing op 2× 2 matrices, maar niet bij orde groter of gelijk aan 4× 4.

III-55

http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus

3 Op ontdekking 2. We merken het volgende op.

. Als A =

[a11 a12a21 a22

]

dan det(A)= a11a22 − a21a12

= a11 det[a22

]− a21 det

[a12

]

= a11 det

[a11 a12a21 a22

]− a21 det

[a11 a12a21 a22

]

= a11 det(D11)− a21 det(D21)

. Als A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

dan det(A)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

= a11a22a33 − a11a32a23 − a21a12a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13

= a11

(a22a33 − a32a23

)− a21

(a12a33 − a32a13

)+ a31

(a12a23 − a22a13

)

= a11 det

[a22 a23a32 a33

]− a21 det

[a12 a13a32 a33

]+ a31 det

[a12 a13a22 a23

]

= a11 det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

− a21 det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

+ a31 det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11 det(D11)− a21 det(D21) + a31 det(D31)

De omkaderde formules noemt men ontwikkelen naar de eerste kolom. We hebben de volgende eigenschap be-wezen.

Pierre-Simon, marquis deLaplace

(1749 - 1827)

3 Eigenschap (ontwikkelen naar de eerste kolom)5.

Zij A een n× n matrix. Dan is voor n = 2 en n = 3:

det(A) = a11 det(D11)− a21 det(D21) + a31 det(D31) · · ·+ an1(−1)n+1 det(Dn1)

=

n∑

i=1

ai1(−1)i+1 det(Di1)

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken telkens algebraısch de determinant van de matrixdoor te ontwikkelen naar de eerste kolom.

(a) A =

[1 73 2

]

(b) B =

6 −2 40 1 −35 −1 3

Oplossing.

5Wat het ontwikkelen naar een andere kolom of ontwikkelen naar een rij levert, wordt besproken in §3.3. Ontwikkelen naar een rij ofkolom wordt ook wel Laplace ontwikkeling genoemd, naar Laplace 1772 doch eerder ontdekt door Gottfried Wilhelm Leibniz .

III-56

http://nl.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

http://nl.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

http://nl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz

3.2 Determinant van een n× n matrix

In de vorige paragraaf hebben we de determinant van een 1× 1, 2× 2 en 3× 3 matrix vastgelegd met een formule intermen van de coefficienten van die matrix. Voor een 4 × 4 matrix, 5 × 5 matrix, etc. wordt zo’n expliciete formulevoor de determinant te omslachtig6. Daarom gaat men anders te werk.

De determinant van een 2 × 2 en 3 × 3 matrix voldoen aan de eigenschap ontwikkelen naar de eerste kolom. Vooreen 4 × 4 matrix, 5× 5 matrix, etc. vormt die eigenschap precies de inspiratie om de determinant van een matrix tedefinieren aan de hand van de determinanten van zijn deelmatrices.

3 Definitie (determinant van een n× n matrix met n ≥ 4).

Als A =

a11 . . . a1na21 . . . a2n...

...an1 . . . ann

dan det(A)

def

=

n∑

i=1

ai1(−1)i+1 det(Di1)

= a11 det(D11)− a21 det(D21) + a31 det(D31) · · ·+ an1(−1)n+1 det(Dn1)

Het proces waarbij de determinant op deze manier geschreven wordt noemt men ontwikkelen naar de eerstekolom. Verder noemen we

. het getal Mijdef= det(Dij) de minor van aij ,

. het getal Cijdef= (−1)i+j det(Dij) de cofactor van aij .

Met deze benamingen kunnen we de definitie van een determinant korter noteren als

det(A) = a11C11 + a21C21 + · · ·+ an1Cn1 ontwikkelen naar de eerste kolom.

Parodie op filmTheMatrix

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraısch de determinant van de volgende ma-trix. Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

A =

1 3 2 10 2 1 02 3 5 44 1 0 1

Oplossing.


−2 0

√2√

3 −1 −52 6 17

.

(a) Bereken algebraısch de minor van a32.

(b) Bereken algebraısch de cofactor van a32.

Hanteer de correcte notaties.

Oplossing.

6Voor een 1× 1 matrix bevat die formule 1 term, voor een 2× 2 matrix zijn dat 2 = 1 · 2 termen en voor een 3× 3 matrix 6 = 1 · 2 · 3termen. In het algemeen zal zo’n expliciete formule 1 · 2 · . . . · n = n! termen bevatten. Zo bestaat de expliciete formule voor een 10× 10matrix al uit 10! = 3 628 800 termen. De theorie van de partities maakt het toch mogelijk om zo’n formule effectief op te schrijven,bijvoorbeeld met de zogenaamde formule van Leibniz: det(A) =

∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) waarbij Sn de verzameling is van

alle permutaties (bijectieve afbeeldingen van V naar zichzelf) van de verzameling V = 1, 2, . . . , n en sign(σ) het teken van de partitie(±1). In hogere wiskunde wordt de determinant op deze manier gedefinieerd. Op die manier kan men aantonen dat het aantal termen indeze som inderdaad gelijk is aan n!.

III-57

http://www-cs-students.stanford.edu/~eliang/pics/acting.html

3.3 Eigenschappen van determinanten

In deze paragraaf bespreken we enkele eigenschappen van determinanten. Samen met de eigenschappen beschreven inde toepassingen in §3.4 zijn ze fundamenteel voor een goed begrip van matrices, lineaire stelsels en determinanten.

3 Op ontdekking 1. Zij A =

[a11 a12a21 a22

]een 2× 2 matrix.

. We kunnen de determinant berekenen door te ontwikkelen naar de eerste kolom:

A =

[a11 a12a21 a22

]a11C11 + a21C21 = a11a22 + a21(−a12) = detA

. Wat gebeurt er met de determinant als we ontwikkelen naar een andere kolom? Vul aan:

A =

[a11 a12a21 a22

]a12C12 + a22C22 = . . .

. Wat gebeurt er met de determinant als we ontwikkelen naar een rij? Vul aan:

A =

[a11 a12a21 a22

]a11C11 + a12C12 = . . .

A =

[a11 a12a21 a22

]a21C21 + a22C22 = . . .

3 Eigenschap 1 (ontwikkelen naar een willekeurige rij of kolom). Zij A een n × n matrix. Dan kan dedeterminant van A berekend worden door te ontwikkelen naar een willekeurige rij of kolom.

In symbolen:

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj ontwikkelen naar de j-de kolom,

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin ontwikkelen naar de i-de rij.


In de praktijk kiest men een rij of kolom met veel nullen zodat de berekening van detA eenvoudiger wordt, zo getuigehet volgend

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraısch en zo efficient als mogelijk de volgende determinant

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 3 5 10 2 1 00 3 0 01 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Oplossing.


[a11 a12a21 a22

]een 2× 2 matrix.

. Wat gebeurt er met de determinant als we de matrix A transponeren? Vul aan:

det(AT ) =

∣∣∣∣a11 a21a12 a22

∣∣∣∣ = . . .

3 Eigenschap 2 (determinant van de getransponeerde). Zij A een n× n matrix. Dan geldt:

det(AT ) = det(A)

Bewijs. Berekenen we det(AT ) door bijvoorbeeld te ontwikkelen naar de eerste kolom van AT , dan is dat hetzelfdeals ontwikkelen naar de eerste rij van A, hetgeen detA oplevert.

III-58


[a11 a12a21 a22

]en B =

[b11 b12b21 b22

]twee 2× 2 matrices.

. Wat gebeurt er met de determinant als we de matrices A en B optellen? Vul aan:

det(A+B) =

∣∣∣∣a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

∣∣∣∣

= . . .

Voor 2×2 matrices geldt in het algemeen wel/niet dat det(A+B)=detA+detB (schrappen wat niet past).

. Wat gebeurt er met de determinant als we de matrices A en B vermenigvuldigen? Vul aan:

det(A ·B) =

∣∣∣∣a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

∣∣∣∣

= . . .

Voor 2× 2 matrices geldt in het algemeen wel/niet dat det(A ·B)=detA · detB (schrappen wat niet past).

We vermelden zonder bewijs de volgende

3 Eigenschap 3 (determinant van een product). Zij A en B twee n× n matrices. Dan is

det(A ·B) = det(A) · det(B)


[a11 a12a21 a22

]een 2× 2 matrix.

We hernemen de elementaire rijoperaties uit Hoofdstuk 2 (zie pagina 31):

Rijoperatie 1. Verwissel twee rijen.

Rijoperatie 2. Vermenigvuldig een rij met een reeel getal verschillend van het getal 0.

Rijoperatie 3. Tel bij een rij een veelvoud op van een andere rij.

. Wat gebeurt er als we twee rijen verwisselen van plaats? Vul aan:∣∣∣∣a21 a22a11 a12

∣∣∣∣ = . . .

. Wat gebeurt er als we een rij vermenigvuldigen met een reeel getal r? Vul aan:∣∣∣∣r · a11 r · a12a21 a22

∣∣∣∣ = . . .

. Wat gebeurt er als we bij een rij een veelvoud van een andere rij optellen? Vul aan:∣∣∣∣a11 + r · a21 a12 + r · a22

a21 a22

∣∣∣∣ = . . .

3 Eigenschap 4 (invloed van elementaire rijoperaties op de determinant). Zij A een n× n matrix.

(1) Verwisselt men twee rijen, dan verandert de determinant van teken.

(2) Vermenigvuldigt men een rij met een reeel getal dan wordt de determinant met dat getal vermenigvuldigd.

(3) Telt men bij een rij een veelvoud op van een andere rij, dan wijzigt de determinant niet.

We onthouden deze eigenschap schematisch:

ARi↔Rj−−−−−→ B

det(B) = −det(A)

ARi→r·Ri−−−−−−→ B

det(B) = r · det(A)

ARi→Ri+r·Rj−−−−−−−−−→ B

det(B) = det(A)

III-59

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de matrix

M =

a b cd e fg h i

waarbij a, b, . . . , i ∈ R

en stel dat a, b, . . . , i zo gekozen zijn dat det(M) = 5. Bepaal telkens de determinant van de gegeven matrix.

(a) A =

g h id e fa b c

(b) B =

a b c−6d −6e −6fg h i

(c) C =

a b cd e f

g − 3a h− 3b i− 3c

Oplossing.

3 Eigenschap 5. Zij A een n× n matrix.

(4) Als A een nulrij heeft, dan is det(A) = 0.

(5) Als A twee dezelfde rijen heeft, dan is det(A) = 0.

(6) Als A een rij heeft die een veelvoud is van een andere rij, dan is det(A) = 0.

Bewijs.

Omdat det(AT ) = det(A) gelden eigenschappen 4 en 5 ook voor de kolommen van een matrix.

3 Eigenschap 6. Zij A een n× n matrix.

(1’) Verwisselt men twee kolommen, dan verandert de determinant van teken.

(2’) Vermenigvuldigt men een kolom met een reeel getal dan wordt de determinant met dat getal vermenigvul-digd.

(3’) Telt men bij een kolom een veelvoud op van een andere kolom, dan wijzigt de determinant niet.

(4’) Als A een nulkolom heeft, dan is detA = 0.

(5’) Als A twee dezelfde kolommen heeft, dan is detA = 0.

(6’) Als A een kolom heeft die een veelvoud is van een andere kolom, dan is detA = 0.

III-60

3.4 Toepassingen

Toepassing 1 - Determinant van een driehoeksmatrix

3 Op ontdekking. Bereken de determinant van de volgende bovendriehoeksmatrix

A =

−5 0 3 20 2 1 −30 0 3 −10 0 0 −2

.

Oplossing. Ontwikkelen naar de laatste rij levert

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−5 0 3 20 2 1 −30 0 3 −10 0 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣= −2 ·

∣∣∣∣∣∣

−5 0 30 2 10 0 3

∣∣∣∣∣∣= −2 · 3 ·

∣∣∣∣−5 00 2

∣∣∣∣ = −2 · 3 · 2 · (−5) = 60.

We kunnen deze methode veralgemenen voor alle driehoeksmatrices.

3 Eigenschap 7 (determinant van een driehoeksmatrix).

De determinant van een driehoeksmatrix is het product van de diagonaalelementen.

In symbolen:

Als A =

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . ann

of A =

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

......

an1 an2 . . . ann

dan is det(A) = a11a22 . . . ann

Bewijs. We bewijzen de eigenschap voor een bovendriehoeksmatrix. Het resultaat voor een onderdriehoeksmatrixvolgt dan uit Eigenschap 2 (determinant van de getransponeerde).

We bewijzen de eigenschap met behulp van volledige inductie.

Stap 1. De formule geldt voor n = 2, want7∣∣∣∣a11 a120 a22

∣∣∣∣ = a11a22.

Stap 2. We tonen aan dat, als de formule geldt voor n = k (met k een willekeurig natuurlijk getal groter dan1), dan geldt ze ook voor n = k + 1. Met andere woorden, veronderstel dat de formule geldig is voor n = k:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1k0 a22 . . . a2k...

......

0 0 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22 . . . akk (inductiehypothese).

We moeten bewijzen dat de formule geldig is voor n = k + 1. Welnu,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1k a1,k+1

0 a22 . . . a2k a2,k+1

......

......

0 0 . . . akk ak,k+1

0 0 . . . 0 ak+1,k+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= ak+1,k+1 Ck+1,k+1

= ak+1,k+1 (−1)k+1+k+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1k0 a22 . . . a2k...

......

0 0 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= ak+1,k+1(−1)2(k+1)a11a22 . . . akk

= a11a22 . . . akkak+1,k+1.

Uit Stap 1 en Stap 2 kunnen we besluiten dat de formule geldt voor elk natuurlijk getal n ≥ 2.

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraısch en zo efficient als mogelijk de volgende determinant

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 07 −3 0 0−3 7 5 08 5 9 4

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Oplossing.

7Uiteraard geldt de formule ook voor n = 1. Merk op dat elke 1× 1 matrix een driehoeksmatrix is.

III-61

Toepassing 2 - Determinant berekenen met behulp van elementaire rijoperaties

3 Principe 1 (verlaging van de orde). De determinant van een vierkante matrix A berekenen via ontwikkelengebeurt best naar een rij of kolom waar veel nullen staan, zie Eigenschap 1 (ontwikkelen naar een willekeurigerij of kolom). Als die nullen er niet staan kunnen we die creeren met behulp van elementaire rijoperaties. Doorbij elke elementaire rijoperatie de invloed op detA bij te houden, kunnen we op deze manier detA berekenen,zie Eigenschap 4.

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraısch de determinant van de volgende matrix met behulp van verlaging vande orde.

A =

1 2 43 7 85 4 8

Oplossing.

3 Principe 2 (rijherleiden naar een bovendriehoeksmatrix of trapvorm). Via het eliminatie-algoritme vanGauss of Gauss-Jordan uit §2.2 kunnen we elke vierkante matrix A rijherleiden naar een bovendriehoeksmatrixof zelfs naar een trapvorm, waarvan de determinant gemakkelijk te berekenen is met Eigenschap 7 (determinantvan een driehoeksmatrix). Door bij elke elementaire rijoperatie de invloed op detA bij te houden, kunnen we opdeze manier detA berekenen, zie Eigenschap 4.

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraısch de determinant van de volgende matrix door te rijherleiden naar eenbovendriehoeksmatrix.

A =

1 4 −3 11 6 −5 5−3 −8 5 −42 8 −2 1

Oplossing.

III-62

Toepassing 3 - Determinant en rang

We begonnen dit hoofdstuk met de doelstelling om met elke vierkante matrix A een reeel getal te associeren, waarvanhet al of niet nul zijn determineert of een lineair stelsel A · x = b al dan niet een unieke oplossing heeft. Wegens dehoofdstelling van vierkante matrices (zie Hoofdstuk 2) werd dit vertaalt in de eis

detA 6= 0 ⇔ de trapvorm van A is de eenheidsmatrix En.

Aan de hand van deze eis hebben we in §3.1 de determinant van een 1 × 1 matrix, 2 × 2 matrix en 3 × 3 matrixingevoerd. Dat deze eis nu ook voldaan is voor een willekeurige n× n matrix, bewijzen we in

3 Eigenschap 8. Zij A een n× n matrix. Dan geldt:

detA 6= 0 ⇔ de trapvorm van A is de eenheidsmatrix En

Bewijs. We rijherleiden de matrix A naar een trapvorm T en houden de invloed op detA bij. Wegens Eigenschap4 (invloed van elementaire rijoperaties op de determinant) hebben we voor een zeker getal c ∈ R0

A ∼ T

detT = cdetA

zodat detA 6= 0 als en slechts als detT 6= 0. En dat laatste kan alleen als T de eenheidsmatrix is.

Met deze eigenschap kunnen we de hoofdstelling van vierkante matrices uit Hoofdstuk 2 voor een laatste keer uitbreiden.

3 Stelling (hoofdstelling8 van vierkante matrices - vierde versie). Zij A een n× n matrix. Dan

rangA = nm



∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossingm

A is inverteerbaarm

detA 6= 0

Herinner dat de rang van A het aantal hoekstenen is in de trapvorm van A. We kunnen nu Eigenschap 8 veralgemenennaar een alternatieve beschrijving van het begrip rang.

? Eigenschap 9. Zij A een m× n matrix. Dan geldt:

rangA = r ⇔

elke vierkante deelmatrix van orde groter dan r × r heeft determinant 0er bestaat een vierkante deelmatrix van orde r × r met determinant 6= 0

? Modelvoorbeeld. Gegeven is de matrix

A =

1 2 3 04 5 6 07 8 9 0

.

Bepaal algebraısch de rang A met behulp van de determinant van deelmatrices. Controleer nadien door detrapvorm van de matrix te berekenen.

Oplossing.

8De equivalentie ∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing ⇔ detA 6= 0 maakt deel uit van de zogenaamde

regel van Cramer, zie pagina 65.

III-63

Toepassing 4 - Determinant en inverse matrix

De hoofdstelling van vierkante matrices geeft het verband tussen determinant en inverteerbare matrices (A is inver-teerbaar als en slechts als detA 6= 0), wat doet vermoeden dat er ook een verband is tussen de determinant van A ende inverse van A. Dat is het onderwerp van deze toepassing.

3 Op ontdekking. Zij A =

[a11 a12a21 a22

]een 2× 2 matrix. Ontwikkelen naar de eerste en tweede rij geeft

a11C11 + a12C12 = detA,

a21C21 + a22C22 = detA.

We herkennen hierin een matrixvermenigvuldiging:

[a11 a12

]·[C11

C12

]=[det(A)

],

[a21 a22

]·[C21

C22

]=[det(A)

].

Die twee bewerkingen kunnen we als een matrixvermenigvuldiging schrijven:[a11 a12a21 a22

]·[C11 C21

C12 C22

]=

[detA ∗∗ detA

].

We berekenen de ontbrekende elementen van de matrix in het rechterlid (vul aan):

a11C21 + a12C22 = . . .

a21C11 + a22C12 = . . .

Op deze manier verkrijgen we

[a11 a12a21 a22

]·[C11 C21

C12 C22

]=

[detA . . .. . . detA

]= . . .

De nieuwe matrix in het linkerlid helpt de matrix A om de eenheidsmatrix te verkrijgen. Men noemt deze matrixdan ook de ‘geadjungeerde’ van A. Veralgemenen leidt tot de volgende

3 Definitie. Zij A een n × n matrix. De geadjungeerde matrix (of adjunctmatrix) van A is de matrix die weverkrijgen als we elk element aij van A vervangen door zijn cofactor Cij en daarna die matrix transponeren.

In symbolen:

Als A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

dan is adj(A)

def=

C11 C12 . . . C1n

C21 C22 . . . C2n

......

...Cn1 Cn2 . . . Cnn

T

3 Eigenschap 9. Zij A een n× n matrix. Dan is A · adj(A) = detA · En .


3 Eigenschap 10. Zij A een inverteerbare n× n matrix. Dan is A−1 =1

detA· adj(A) .

Bewijs. Wegens Eigenschap 9 is A · adj(A) = detA · En. Omdat detA 6= 0 (waarom?) kunnen we beide leden

delen door het getal detA, waarna we verkrijgen dat A ·(

1

detA· adj(A)

)= En, waaruit het gestelde volgt.

In Toepassing 1 op pagina 42 zagen we een methode om algebraısch de inverse van een matrix te berekenen. Eigenschap10 biedt een alternatieve werkwijze aan.

3 Modelvoorbeeld. Ga algebraısch en met behulp van determinanten na of de matrix A =

2 4 62 5 7−2 −4 −5

inverteerbaar is. Zo ja, bereken de inverse matrix met behulp van de geadjungeerde matrix.

Oplossing.

III-64

Toepassing 5 - Determinant en vierkante lineaire stelsels: de regel van Cramer

3 Op ontdekking. Beschouw een vierkant lineair stelsel

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.

We kunnen dit stelsel herschrijven als

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

·

x1x2x3

=

b1b2b3

of kortweg A · x = b.

Wegens de hoofdstelling van vierkante matrices heeft dit lineair stelsel een unieke oplossing als en slechts alsdetA 6= 0. Die unieke oplossing kunnen we vinden door beide leden van A · x = b links vermenigvuldigen metA−1 (waarom bestaat de inverse van A?). Toepassen van Eigenschap 10 geeft

x1x2x3

= A−1 · b =

1

detA· adj(A) · b =

1

detA

C11 C21 C31

C12 C22 C32

C13 C23 C33

·

b1b2b3

=

1

det(A)

C11b1 + C21b2 + C31b3C12b1 + C22b2 + C32b3C13b1 + C23b2 + C33b3

waaruit (neem in linker- en rechterlid de eerste rij):

x1 =C11b1 + C21b2 + C31b3

det(A)=

∣∣∣∣∣∣

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Analoog vinden we x2 en x3, zodat

x1 =

∣∣∣∣∣∣

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

x2 =

∣∣∣∣∣∣

a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

x3 =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

Deze methode kan veralgemeend worden naar alle vierkante lineaire stelsels.

Gabriel Cramer(1704 - 1752)

3 Eigenschap 11 (regel van Cramer9).

Zij A een n× n matrix en b ∈ Rn×1. Dan geldt

het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing ⇔ detA 6= 0

In dat geval wordt die unieke oplossing x gegeven door (vervang i-de kolom):

xi =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . b1 . . . a1na21 . . . b2 . . . a2n...

......

an1 . . . bn . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣det(A)


3 Modelvoorbeeld. Bepaal de oplossingen van het volgend stelsel met behulp van de regel van Cramer. Noteerduidelijk je werkwijze.

x1 + 3x2 + x3 = −22x1 + 5x2 + x3 = −5x1 + 2x2 + 3x3 = 6

Oplossing.

9 Toegeschreven aan Colin Maclaurin 1748 voor n = 2, 3 en Cramer 1750 voor elke n ∈ N0, doch eerder ontdekt door GottfriedWilhelm Leibniz . De regel van Cramer heeft als voordeel dat je het stelsel niet volledig hoeft op te lossen om een onbekende te vinden.

III-65

http://nl.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer

http://en.wikipedia.org/wiki/Colin_Maclaurin



Toepassing 6 - Determinant van Vandermonde

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4−1−2

y

x

P

Q

R

3 Op ontdekking. We beschouwen de drie punten P (−1, 4), Q(3, 3)en R(4, 1) (zie figuur). Bestaat er een veelterm f(x) = ax2 + bx + cvan graad ≤ 2 wiens grafiek door deze drie punten gaat?

Oplossing. De eis dat een veeltermfunctie f(x) = ax2 + bx + c doordeze punten gaat is gelijkwaardig met zeggen dat volgend lineair stelseloplossingen heeft:

f(−1) = 4

f(3) = 3

f(4) = 1

⇔

a− b+ c = 4

9a+ 3b+ c = 3

16a+ 4b+ c = 1.

We kunnen dit stelsel herschrijven als

1 −1 (−1)2

1 3 32

1 4 42

︸︷︷︸A

·

cba

=

431

. (∗)

Een matrix van de vorm

1 x1 x211 x2 x221 x3 x23

noemt men een 3 × 3 Vandermonde10 matrix. We berekenen de

determinant van A op zo’n manier dat de methode te veralgemenen is voor een n× n Vandermonde matrix:∣∣∣∣∣∣

1 x1 x211 x2 x221 x3 x23

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 x1 01 x2 x22 − x1x21 x3 x23 − x1x3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 x2 − x1 x2(x2 − x1)1 x3 − x1 x3(x3 − x1)

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣x2 − x1 x2(x2 − x1)x3 − x1 x3(x3 − x1)

∣∣∣∣

= (x2 − x1)(x3 − x1)

∣∣∣∣1 x21 x3

∣∣∣∣

= (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2) =

3∏

i, j = 1i < j

(xj − xi).

In ons voorbeeld vinden we (vul aan): detA = (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2) = . . .

We merken dat detA 6= 0. Wat is hiervan de meetkundige betekenis?

Omdat detA 6= 0, heeft het stelsel (∗) een unieke oplossing (waarom?). Die oplossing vinden we bijvoorbeelddoor met de grafische rekenmachine de inverse van A te berekenen (vul aan):

cba

= A−1 ·

431

= . . .

Antwoord. Er is een veelterm van graad ≤ 2 waarvan de grafiek de drie punten bevat, namelijk f(x) = . . .

3 Algemeen. De determinant van een n× n Vandermonde matrix wordt gegeven door de formule∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 x21 . . . xn−11

1 x2 x22 . . . xn−12...

......

...1 xn x2n . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

n∏

i, j = 1i < j

(xj − xi)

Hieruit volgt dat voor n verschillende punten (waarvan er geen twee boven elkaar liggen) er precies een veeltermvan graad ≤ n− 1 is die deze n punten bevat.

10Genoemd naar Alexandre-Theophile Vandermonde (1735 - 1796). Alhoewel Vandermonde in zijn vier publicaties 1771,1772 be-langrijk werk leverde op het gebied van determinanten, zijn dit soort matrices er niet in terug te vinden. De misplaatste naam ishoogstwaarschijnlijk te wijten aan Henri Leon Lebesgue 1940.

III-66

http://nl.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde

http://nl.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue

Toepassing 7 - Determinant en de vergelijking van een rechte

In deze toepassing linken we het opstellen van een Cartesische vergelijking van een rechte in het vlak met het berekenenvan een determinant. Dit kan worden uitgebreid naar het opstellen van een Cartesische vergelijking van een vlak inde ruimte (zie Deel Ruimtemeetkunde).

y

xx1

y1

x2

y2

P

Q

3 Opbouw. We beschouwen twee verschillende punten P (x1, y1) enQ(x2, y2). Om de vergelijking van de rechte PQ op te stellen, onder-scheiden we twee gevallen.

. Eerste geval. De rechte PQ is niet evenwijdig is met de y-as(zie figuur). Dan wordt de vergelijking van de rechte PQ gegevendoor

PQ : y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)

wat we kunnen herschrijven als

PQ : (y − y1)(x2 − x1)− (y2 − y1)(x− x1) = 0.

. Tweede geval. De rechte PQ is evenwijdig met de y-as. In dat geval is x1 = x2 en levert de vorigevergelijking ook de rechte PQ, want

(y − y1) (x2 − x1)︸︷︷︸0

−(y2 − y1)(x− x1) = 0 ⇔ (y2 − y1)︸︷︷︸6=0

(x− x1) = 0

⇔ x = x1.

De rechte PQ heeft dus, ongeacht zijn ligging, de volgende vergelijking:

PQ : (y − y1)(x2 − x1)− (y2 − y1)(x− x1) = 0.

Nu herkennen we in het linkerlid de determinant van een 2×2 matrix, die kunnen manipuleren tot de determinantvan een (eenvoudigere) 3× 3 matrix:

(y − y1)(x2 − x1)− (y2 − y1)(x− x1) = 0 ⇔ − det

[x− x1 y − y1x2 − x1 y2 − y1

]= 0

⇔ det

x− x1 y − y1 0x1 y1 1

x2 − x1 y2 − y1 0

= 0

⇔ det

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

= 0.

We hebben de volgende eigenschap bewezen.

3 Eigenschap 12 (vergelijking van een rechte met determinant).

De vergelijking van de rechte door twee verschillende punten P (x1, y1) en Q(x2, y2) wordt gegeven door

PQ : det

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

= 0

3 Modelvoorbeeld. Bepaal met behulp van een determinant de vergelijking van de rechte door de punten P (2, 7)en Q(−2, 4).

Oplossing.

III-67

Toepassing 8 - Determinant en de oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte van een driehoek is eenvoudig te berekenen als men de lengte van de basis en de hoogte kent, of alsmen de lengte van de drie zijden kent (formule van Heron, zie Deel Goniometrie en precalculus 2). In geval men enkelde coordinaten van de drie hoekpunten kent, moet men wat rekenwerk verrichten om een van de vorige formules tekunnen aanwenden.

Een alternatief is een formule die de oppervlakte van een driehoek uitdrukt in termen van de coordinaten van de hoek-punten. Opnieuw duikt de determinant op. Het resultaat wordt aangewend in Toepassing 9, waar we de meetkundigebetekenis van de determinant van een 2× 2 matrix bespreken.

y

x

Q

P

R3 Opbouw. We beschouwen drie verschillende punten P (x1, y1),Q(x2, y2) en R(x3, y3). Om de oppervlakte van de driehoek PQRte berekenen, vertrekken we vanuit de basisformule

Opp. 4PQR =1

2· basis× hoogte

=1

2· |PQ| · d(R,PQ)

waarbij d(R,PQ) de afstand van punt R tot rechte PQ voorstelt. Uithet vierde jaar kennen we de formule voor de afstand van een punttot een rechte: schrijven we de vergelijking van PQ als ax + by = c,dan is

d(R,PQ) =|ax3 + by3 − c|√

a2 + b2.

De vergelijking van de rechte PQ wordt gegeven door det

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

= 0, wat we kunnen herschrijven als

PQ : (y−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x−x1) = 0 of nog −(y2 − y1)︸︷︷︸a

x+(x2 − x1)︸︷︷︸b

y = y1(x2 − x1)− (y2 − y1)x1︸︷︷︸c

.

Aldus verkrijgen we

Opp. 4PQR =1

2· |PQ| · d(R,PQ)

=1

2· |PQ| · |(y3 − y1)(x2 − x1)− (y2 − y1)(x3 − x1)|√

(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2

=1

2· |PQ|

∣∣∣∣∣∣det

x3 y3 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣

|PQ|

=1

2

∣∣∣∣∣∣det

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣.


3 Eigenschap 13 (oppervlakte van een driehoek met determinant).

De oppervlakte van een driehoek met hoekpunten P (x1, y1), Q(x2, y2) en R(x3, y3) wordt gegeven door

Opp. 4PQR =1

2

∣∣∣∣∣∣det

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣

3 Modelvoorbeeld. Bepaal met behulp van een determinant de oppervlakte van de driehoek met als hoekpuntenP (−1, 3), Q(2, 1) en R(−4, 1).

Oplossing.

III-68

Toepassing 9 - Meetkundige betekenis van de determinant van een 2× 2 matrix

In de vorige toepassingen hebben we de vergelijking van een rechte en de oppervlakte van een driehoek uitgedrukt meteen determinant. Meetkundige betekenis van de determinant van een 2× 2 en 3× 3 matrix komt in deze en volgendetoepassing aan bod.

y

xx1

y1

x2

y2Q

P

R

O

3 Opbouw. We beschouwen twee verschillende punten P (x1, y1) enQ(x2, y2). De punten O, P (x1, y1), Q(x2, y2) en R(x1 + x2, y1 + y2)vormen de vier hoekpunten van een parallellogram OPRQ (zie figuur).We berekenen de oppervlakte van dat parallellogram door het in tweedriehoeken te verdelen en Eigenschap 13 (oppervlakte van een drie-hoek met determinant) toe te passen:

Opp. OPRQ = Opp. ∆OPQ+ Opp. ∆RQP

∆OPQ ∼= ∆RQP wegens congruentiekenmerk ZZZ

= 2 ·Opp. ∆OPQ

= 2 · 1

2

∣∣∣∣∣∣det

0 0 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣det

[x1 y1x2 y2

]∣∣∣∣


3 Eigenschap 14 (meetkundige betekenis van de determinant van een 2× 2 matrix).

De oppervlakte van een parallellogram met hoekpunten O(0, 0), P (x1, y1), Q(x2, y2) en R(x1 +x2, y1 +y2) wordtgegeven door

Opp. OPRQ =

∣∣∣∣det

[x1 y1x2 y2

]∣∣∣∣

3 Modelvoorbeeld. Bepaal met behulp van determinanten de oppervlakte van de parallellogram OPRQ met alshoekpunten O(0, 0), P (−3, 6), Q(5, 9) en R(2, 15).

Oplossing.

Toepassing 10 - Meetkundige betekenis van de determinant van een 3× 3 matrix

Q

P

R

O

Een parallellogram is een vlakke figuur, het analogon in de ruime is eenzogenaamd parallellepipedum: een zesvlak met drie paren van parallellezijdes. Ligt een van de hoekpunten in de oorsprong, dan wordt het paral-lellepipedum bepaald door drie naburige hoekpunten P , Q en R (zie figuur).

We vermelden zonder bewijs:

3 Eigenschap 15 (meetkundige betekenis van de determinantvan een 3× 3 matrix).

Het volume van een parallellepipedum bepaald door P (x1, y1, z1),Q(x2, y2, z2) en R(x3, y3, z3) wordt gegeven door

Vol. =

∣∣∣∣∣∣det

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

III-69

Oefeningen

3 Determinanten Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

3.1 Determinant van een 1× 1 matrix, 2× 2 matrixen 3× 3 matrix

12

123

3.2 Determinant van een n× n matrix 4 56

7

3.3 Eigenschappen van determinanten 8910

11121312

101314

910151617

101819

20 21 22

3.4 Toepassingen 2324

2526

272829

303132

33 34 3536

37 38


Oefening 1. Bereken telkens algebraısch de determinant.

B (a)

∣∣∣∣2 34 5

∣∣∣∣ B (d)

∣∣∣∣sin(1, 3) − cos(1, 3)cos(1, 3) sin(1, 3)

∣∣∣∣ B? (g)

∣∣∣∣∣∣

−2 2 −3−1 1 32 0 −1

∣∣∣∣∣∣

B (b)

∣∣∣∣−3 21 7

∣∣∣∣ B? (e)

∣∣∣∣∣∣

1 0 3−1 2 70 2 0

∣∣∣∣∣∣B? (h)

∣∣∣∣∣∣

1 2 30 5 2−2 4 1

∣∣∣∣∣∣

B (c)

∣∣∣∣50 −96−20 28

∣∣∣∣ B? (f)

∣∣∣∣∣∣

1 0 10 1 01 0 1

∣∣∣∣∣∣B? (i)

∣∣∣∣∣∣

1 −1 23 1 −12 1 −1

∣∣∣∣∣∣

Oefening 2. Bereken telkens algebraısch de determinant met behulp van ontwikkelen naar de eerste kolom.

B (a)

∣∣∣∣−1 27 1

∣∣∣∣ B? (b)

∣∣∣∣∣∣

−1 5 −80 0 24 2 −3

∣∣∣∣∣∣B? (c)

∣∣∣∣∣∣

1 2 32 1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣

B? Oefening 3. Bereken telkens algebraısch de determinant met behulp van de regel van Sarrus. De letters stellen steedsreele getallen voor. Controleer (indien mogelijk) je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

(a)

∣∣∣∣∣∣

3 2 −1−2 1 4−3 −5 0

∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣

−4 −3 −31 0 14 4 3

∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣

a 0 ab b 00 c c

∣∣∣∣∣∣


B Oefening 4. Gegeven is de matrix A =

2 −3 40 1 −31 2 2

.

(a) Bereken algebraısch de cofactor van a13.

(b) Bereken algebraısch de minor van a22.

Hanteer de correcte notaties.

B? Oefening 5. Gegeven is de matrix A =

2 1 34 −2 0−1 1 0

. Bepaal de cofactoren van de elementen in de derde kolom.

III-70

B? Oefening 6. Bereken algebraısch de determinant van de matrix

A =

1 2 1 20 2 0 0−2 3 0 40 2 0 −1

.

B?? Oefening 7. Bereken telkens algebraısch de determinant met behulp van ontwikkeling volgens de eerste kolom.De letters stellen steeds reele getallen voor. Controleer (indien mogelijk) je resultaat met behulp van je grafischerekenmachine.

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1 30 −3 −6 104 1 4 82 0 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6 −6 3 6 80 2 −7 −3 90 0 −1 −3 90 0 0 2 50 0 0 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a 1 0 0−1 b 1 00 −1 c 10 0 −1 d

∣∣∣∣∣∣∣∣


B Oefening 8. Gegeven is de determinant D =

∣∣∣∣∣∣

2 1 34 −2 0−1 1 0

∣∣∣∣∣∣.

(a) Bepaal de waarde van D door te ontwikkelen naar de eerste rij.

(b) Bepaal de waarde van D door te ontwikkelen naar de derde kolom.

Oefening 9. Zij A,B ∈ Rn×n met det(A) = −3 en det(B) = −4. Bereken telkens de gevraagde determinant.

B (a) det(AT ) B? (c) det(A ·AT ) B? (e) det(A2 ·B3)

B (b) det(A ·B) B? (d) det(A3) V (f) det(det(A) ·A)

Oefening 10. Zij A,B ∈ Rn×n. Waar of vals? Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

B (a) det(A ·B) = det(B ·A)

B? (b) det(−A) = −detA

B?? (c) Als A inverteerbaar is dan is det(A−1) =1

det(A)

V (d) det

(det(A) ·A

)= det(A) · det(A)

V? (e) Als detA = detB = 0 dan is det(A+B) = detA+ detB

B? Oefening 11. Verklaar voor elke matrix waarom de determinant gelijk is aan nul (eigenschap vermelden).

(a) A =

1 3 53 5 21 3 5

(b) B =

1 0 1−6 4 23 −2 −1

(c) C =

2 1 07 2 01 3 0

(b) B =

2 3 44 6 81 −1 2

(d) D =

−1 2 33 1 −2−2 −3 −1

(f) F =

a b cb c a

a− b b− c c− a

B? Oefening 12. Los de volgende vergelijkingen op naar x.

(a)

∣∣∣∣∣∣

1− x −3 33 −5− x 36 −6 4− x

∣∣∣∣∣∣= 0 (b)

∣∣∣∣∣∣

x 1 1x x 11 x x

∣∣∣∣∣∣= 0 (c)

∣∣∣∣∣∣

2− x 2 10 4 2

x2016 6 12

∣∣∣∣∣∣= 0

B?? Oefening 13. Bereken telkens algebraısch de determinant, waarbij je gebruik maakt van de geziene eigenschappenvan determinanten. De letters stellen steeds reele getallen voor.

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2015 15 25 402015 25 16 392015 16 24 402015 24 15 41

∣∣∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣

22 29 2725 23 3028 26 24

∣∣∣∣∣∣

(d)

∣∣∣∣∣∣

a a aa x xa y y

∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣

a a+ 3 a+ 6a+ 1 a+ 4 a+ 7a+ 2 a+ 5 a+ 8

∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣

x a aa x aa a x

∣∣∣∣∣∣

(g)

∣∣∣∣∣∣

a+ b b− a bb+ c c− b ca y y

∣∣∣∣∣∣(h)

∣∣∣∣∣∣

1 a− 1 b(a+ 1)2 2a− 1 b(2a+ 1)3 3a− 1 b(3a+ 1)

∣∣∣∣∣∣(i)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a+ x a− x a− y a+ ya− x a− y a+ y a+ xa− y a+ y a+ x a− xa+ y a+ x a− x a− y

∣∣∣∣∣∣∣∣

III-71

B?? Oefening 14. Zij A en B twee 2× 2 matrices. Toon aan dat

detA+ detB =1

2(det(A+B) + det(A−B)) .

V Oefening 15. Zij A een matrix waarvoor A2 = En. Bepaal alle mogelijke waarden voor detA.

V Oefening 16. Zij A =

[a11 a12a21 a22

]een 2× 2 matrix.

(a) Wat gebeurt er met de determinant als we A met een reeel getal r vermenigvuldigen? Bewijs je vermoeden.

(b) Formuleer de eigenschap voor een n× n matrix.

V Oefening 17. Zij ∆ =

∣∣∣∣∣∣

a b cb c ac a b

∣∣∣∣∣∣met a, b, c ∈ R0. Bepaal de waarde van de volgende determinant in functie van ∆:

∣∣∣∣∣∣

a3 ab ac2

ab c acac a bc

∣∣∣∣∣∣.

V? Oefening 18. Waar of vals? Indien waar, argumenteer waarom. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

(a) Het product van twee singuliere matrices is singulier.

(b) Het product van twee reguliere matrices is regulier.

(c) Het product van een singuliere matrix met een reguliere matrix is singulier.

(d) Het product van een singuliere matrix met een reguliere matrix is regulier.

V? Oefening 19. Gegeven is de determinant

∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣.

waarbij a, b, c ∈ R. Toon aan dat b− c, c− a en a− b delers zijn van ∆ zonder de determinant te berekenen.

U Oefening 20 (orthogonale matrices). Zij A ∈ Rn×n. We noemen A orthogonaal indien A ·AT = En.

(a) Toon aan dat A =

[√2/2 −

√2/2√

2/2√

2/2

]een orthogonale matrix is.

(b) Bewijs dat voor elke orthogonale matrix A

(i) AT ·A = En,

(ii) detA = ±1.

U? Oefening 21 (inverteerbaarheid van de getransponeerde). Zij A een vierkante matrix. Toon aan:

A is inverteerbaar ⇔ AT is inverteerbaar

en in dat geval is(AT)−1

=(A−1

)T.

U?? Oefening 22 (matrices en de rij van Fibonacci). De rij van Fibonacci11 is de rij met als recursief voorschrift

(Fn)

F1 = 1F2 = 1Fn = Fn−1 + Fn−2 voor n > 2

en opsomming van enkele termen geeft (Fn) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . ..

Beschouw de matrix A =

[1 11 0

].

(a) Bewijs dat An =

[Fn+1 FnFn Fn−1

]voor alle n ≥ 2 (zie ook Hoofdstuk 1 Oefening 35).

(b) Bewijs dat Fn+1Fn−1 − F 2n = (−1)n voor alle n ≥ 2.

11Genaamd naar Leonardo van Pisa 1202 door de wiskundige Francois Edouard Anatole Lucas 1877. Leonardo van Pisa is beterbekend onder de naam Fibonacci, afgeleid van filius Bonacci wat zoveel betekent als zoon van Bonaccio. De rij van Fibonacci werd eerderbeschreven door de Indische wiskundige Acharya Hemachandra ±1150.

III-72

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci

http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucas

http://en.wikipedia.org/wiki/Acharya_Hemachandra


B Oefening 23. Bepaal op het zicht de determinant van de matrices A =

5 3 70 4 110 0 −2

en B =

1 4 60 0 20 3 1

.

B Oefening 24. Los telkens het lineair stelsel op met behulp van de regel van Cramer. Noteer duidelijk je werkwijze.

(a)

2x+ 3y = 45x+ 2y = −1

(c)

x+ 2y + 3z = 1−x+ 2z = 2−2y + z = −2

(e)

2x+ y + 3z = 93x+ 2y − 4z = −13x− 3y + 7z = 28

(b)

9a = 5b+ 7−16a+ 29b = −3

(d)

3x1 + 2x2 + 2x3 = 72x1 + 2x2 + 3x3 = 76x1 + 3x2 − 2x3 = 7

(f)

2a+ b+ c = 3a− b− c = 0a+ 2b+ c = 0

B? Oefening 25. Ga algebraısch en met behulp van determinanten na of de matrix A =

1 2 −10 1 −11 −1 −2

inverteerbaar is.

Zo ja, bereken de inverse matrix met behulp van de geadjungeerde matrix.

B? Oefening 26. Bereken de volgende determinanten met behulp van de determinant van Vandermonde. De lettersstellen steeds reele getallen voor.

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 4 81 3 9 271 −3 9 −271 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣

B?? Oefening 27. Gegeven is de matrix A =

λ− 2 0 3

2 λ 01 λ 1

waarbij λ ∈ R.

Bepaal met behulp van de determinant de waarde(n) van λ waarvoor de matrix A inverteerbaar is.

B?? Oefening 28. Ga telkens algebraısch na of de matrix inverteerbaar is. Zo ja, bereken de inverse matrix met behulpvan de geadjungeerde matrix.

(a) A =

3 2 −1−1 6 31 2 0

(b) B =

1 2 32 5 7−2 −4 −5

(c) C =

0 2 3−2 0 4−3 −4 0

B?? Oefening 29. Beschouw het lineair stelsel

3sx1 − 2x2 = 4−6x1 + sx2 = 1

waarbij s ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van s waarvoor het stelsel een unieke oplossing heeft. Bepaal in dat geval de unieke oplossing.

V Oefening 30. Bepaal telkens met behulp van determinanten de rang van de matrix.

(a) A =

[2 46 12

](b) B =

1 2 −3 22 4 −6 4−1 −2 3 −2

(c) C =

1 3 43 1 72 −2 3

V Oefening 31 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen

mx+ y − z = 1

x+my − z = 1

−x+ y +mz = 1.

Gevraagd:

(a) de determinant D, gevormd door de coefficienten van de onbekenden, te berekenen;

(b) de voorwaarden vinden opdat het stelsel een enige oplossing heeft;

(c) in dat geval de waarde van x te berekenen;

(d) het geval m = 0 te onderzoeken.

III-73

V Oefening 32. Bespreek voor elke θ ∈ R het stelselx cos θ − y sin θ = 3

x sin θ + y cos θ = 2.

V? Oefening 33. Zij A ∈ R2×2 en r ∈ R+0 . Bewijs met behulp van de meetkundige betekenis van de determinant dat

det(rA) = r2 detA.

V?? Oefening 34. Bepaal de mogelijke waarde(n) voor λ ∈ R het volgend stelsel oplossingen verschillend van de nulop-lossing heeft: [

1 −2−1 0

]·[xy

]= λ ·

[xy

].

U Oefening 35 (inverse matrix van een inverteerbare 2× 2 matrix).

Zij A =

[a bc d

]een inverteerbare 2× 2 matrix. Bewijs de formule

A−1 =1

detA

[d −b−c a

]

Opmerking. Met deze formule onthoud je hoe je uit de matrix A de inverse A−1 kan verkrijgen:

(1) de diagonaalelementen van A verwisselen;

(2) de nevendiagonaalelementen van A laten staan en voorzien van een minteken;

(3) delen door de determinant.

U Oefening 36 (oppervlakte van een driehoek met determinant). Bewijs dat de oppervlakte van een driehoekmet hoekpunten P (x1, y1), Q(x2, y2) en R(x3, y3) wordt gegeven door

Opp. PQR =1

2

∣∣∣∣det

[x2 − x1 y2 − y1x3 − x1 y3 − y1

]∣∣∣∣

U? Oefening 37 (georienteerde oppervlakte van een parallellogram). We noemen de oppervlakte van een pa-rallellogram OPRQ positief georienteerd als de hoek ([OP, [OQ) positief georienteerd (tegenwijzerzin) is. Dat isequivalent met zeggen dat op de vlakke figuur de letters in parallellogram OPRQ in tegenwijzerzin worden doorlopen(zie linkerfiguur). Analoog spreken we van een negatief georienteerd parallellogram OPRQ (zie rechterfiguur).

y

xx1

y1

x2

y2Q

P

R

O

parallellogram OPRQ met positieve orientatie

y

xx2

y2

x1

y1P

Q

R

O

parallellogram OPRQ met negatieve orientatie

Voorzien we het maatgetal van de oppervlakte van de parallellogram OPRQ met een plusteken bij een positiefgeorienteerd parallellogram en met een minteken bij een negatief georienteerd parallellogram dan, dan spreken we vande georienteerde oppervlakte van het parallellogram. Bewijs de volgende uitbreiding van de meetkundige betekenis vaneen 2 × 2 matrix: de georienteerde oppervlakte van een parallellogram met hoekpunten O(0, 0), P (x1, y1), Q(x2, y2)en R(x1 + x2, y1 + y2) wordt gegeven door

geort. opp. OPRQ = det

[x1 y1x2 y2

]

U?? Oefening 38 (determinant van de geadjungeerde matrix). Zij A een n× n matrix. Bewijs dat

det(adjA) = (detA)n−1

III-74

Inzicht in planologie

Dit voorbeeld hoort thuis in de planologie12, waarin we een een migratievoorspelling met behulp van matrices uitHoofdstuk 1 hernemen. Met behulp van determinanten verklaren we waarom zo’n migratie een evenwicht toelaaten tonen hoe zo’n evenwicht kan berekend worden.

We beschouwen het eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. hetplatteland op pagina 17. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het plattelanden dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. We kunnen de migratiebewegingvoorstellen met behulp van de volgende (gewogen) graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

De migratiematrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor eenandere plaats.

stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

Is bijvoorbeeld het aantal inwoners in de stad 60 000 en op het platteland 40 000, dan kunnen we het aantal inwonersna een jaar berekenen met de bewerking

P ·[60 00040 000

]=

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]·[60 00040 000

]=

[58 20041 800

].

Om het aantal inwoners na twee jaar te kennen, passen we voorgaande redenering nogmaals toe:

P ·[58 20041 800

]= P 2 ·

[60 00040 000

]=

[56 54443 456

].

We spreken van een evenwicht (x, y) als het aantal inwoners in de stad x en op het platteland y onveranderd blijft.Dit is equivalent met zeggen dat het aantal inwoners na een jaar niet verandert, uitgewerkt:

P ·[xy

]=

[xy

]⇔ P ·

[xy

]−[xy

]=

[00

]. ⇔ (P − E2) ·

[xy

]=

[00

]

Als (x, y) = (0, 0) dan is hieraan voldaan. Dit noemen we een triviaal evenwicht. Wil er een niet-triviaal evenwichtbestaan, dan moet het stelsel (P − E2) · X = 0 oplossingen hebben verschillend van de nuloplossing. Wegens deHoofdstelling van vierkante matrices is dit equivalent met zeggen dat det(P − E2) = 0. En inderdaad,

det(P − E2) =

∣∣∣∣0, 95− 1 0, 03

0, 05 0, 97− 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−0, 05 0, 030, 05 −0, 03

∣∣∣∣ = 0,

een gevolg van het feit dat de som in elke kolom gelijk is aan 1 = 100%. Men ziet eenvoudig in dat zoiets het gevalis voor elke migratiematrix. Met andere woorden, elke migratiematrix bezit een niet-triviaal evenwicht. Om zo’nevenwicht te vinden, lossen we het stelsel (P − E2) ·X = 0 verder op:

P ·[xy

]=

[xy

]⇔ (P − E2) ·X = 0 ⇔

[1 −0, 60 0

]·[xy

]= ·[00

]⇔ x− 0, 6y = 0

zodat bij elk evenwicht het aandeel in de stad gelijk is aan 60% van het aandeel op het platteland. Is het totaalaantal inwoners in stad en platteland samen 100 000, dan vinden we het evenwicht x = 37 500 inwoners in de staden y = 62 500 inwoners op het platteland.

12Planologie is de wetenschap die het ruimtegebruik in een land bestudeert. Onze werkwijze berust op de algemene techniek van hetzoeken van eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Het bestaan van een niet-triviaal evenwicht volgt uit het feit dat elke vierkantematrix waarvan de som in elke kolom gelijk is aan 1 = 100% als eigenwaarde 1 heeft, zie Deel Vectorruimten.

III-75

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Hoofdstuk 1

(1) (a) A ∈ R3×2, B ∈ R1×1

(3) x = 1 en y = −1

(4) (a) vals

(b) waar

(c) waar

(d) vals

(e) waar

(f) waar

(g) vals

(6) (a) a = −3, b = −6, c = 0

(b) p = −1, q = 17/3, r = 0

(7) (a) A =

[2 33 4

]

(b) B =

2 51 40 3

(c) C =

[4 09 8

]

(9) (a) A is niet symmetrisch, wel scheefsymmetrisch

(b) respectievelijk 0 (vals) en 1 (waar)

(10) (a) A+B =

[2 02 0

]

(b) A+ C = /

(c) AT −B =

[2 20 −6

]

(d) AT +BT =

[2 20 0

]

(e) (A+B)T =

[2 20 0

]

(f) B +BT =

[0 00 6

]

(11) 5 ·A− 3 ·B =

[−3 8 −2010 12 8

]

(12) t = −3, w = −2 en u = −7

(15) (A ·B)23 = −2 en (A ·B)31 = 4

(16) B ·AT −B · C =

18 −715 −40 0

III-76

(17) (a) (A+B)2 6= A2 + 2A ·B +B2

(b) (A−B) · (A+B) 6= A2 −B2

(c) (A ·B)2 6= A2 ·B2

(d) (A+B)T = AT +BT

(e) (5 ·A)T = 5 ·AT

(f) (A ·B)T 6= AT ·BT

(g) (A ·B)T = BT ·AT

(h) (A ·AT )T = A ·AT

(18) (a) A ·B = /

(b) A ·BT =

−11 4

6 232 3

(c) B ·A =

[13 −4 282 6 −3

]

(d) A3 =

−23 20 −3616 3 3452 −2 73

(e) 3B =

[3 0 186 3 0

]

(f) B · C =

[1 13 26

2 + a 16 17

]

(19) X =

[−3/2 1

0 −3/2

]

(20) vals

(21) D =

0100000

, W =

0000011

, G =[1 1

], R =

1/71/71/71/71/71/71/7

(22) a = 1, b = 2 en c = 1

(23) matrix B heeft orde 5× 2 en matrix C heeft orde 5× 4

(24) (2A− En)2 = En

(29) (b) G =[1 1

]en H =

100

(c) S =[1 0

]en T =

111

(30) A =

[−23/7 17/7−55/7 30/7

]

(32) a1 + b1 =1

298

(37) (a) B · C(b) de rekening per winkelier en per soort klant (uitgedrukt in euro per winkelier)

(c) A ·B(d) de rekening per winkelier en per soort klant (uitgedrukt in euro per winkelier)

III-77

Hoofdstuk 2

(2) (a) OplS = (0; 3r;−0, 1r; r) | r ∈ R(b) OplS = (6− r,−2 + r, r) | r ∈ R(c) OplS = ∅(d) OplS = (1− 4r − s, r, r, s) | r, s ∈ R(e) OplS = (5,−1,−1,−1)(f) OplS = ∅

(3) (a) OplS = (1, 3)(b) OplS = (8, 0)(c) OplS = (0, 0, 0)(d) OplS = ∅(e) OplS = ∅(f) OplS = (4 + 3r + 2s, 6− 5r − 4s, r, s) | r, s ∈ R

(4) (a) OplS = (1,−1, 1)(b) OplS = ∅(c) OplS = ∅

(d) OplS =

(17

3r,−13

3r,

4

3r, r

)| r ∈ R

(e) OplS = ∅

(f) OplS =

(−3

5r,−1

5r + s, r, s

)| r, s ∈ R

(5) OplS =

(− 3

5r,−−3

7r,

1

r

)| r ∈ R0

(6) a− b+ c = 20

(7) x = −√

3/2, y = −√

3/6 en z =√

3/2

(8) OplS = (9, 1, 4), (−9,−1,−4)

(9) f(x) =

(−1

2+

1

2r

)x2 +

(3

2− 3

2r

)x+ r met r ∈ R \ 1

(10) (b) OplS = (ln 4, 0)

(13) rangA = 2

(14) (a) rangA =

1 als m = 5

2 als m 6= 5

(b) rangB =

1 als m =−1±

√5

2

2 als m 6= −1±√

5

2(c) rangC = 2 voor elke waarde van m

(d) rangD =

2 als m = −1

3 als m 6= −1

(15) De rang van A is maximaal als en slechts als ad− bc 6= 0.

(16) (a) Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen, met 1 parameter in de oplossingsverzameling.

(b) Het stelsel heeft geen oplossingen.

(c) Het stelsel heeft een unieke oplossing.

(d) Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen, met 2 parameters in de oplossingsverzameling.

(17) (a) Het stelsel heeft een unieke oplossing.

(18) m = −9

III-78

(19) (a) Het stelsel heeft een unieke oplossing als m 6= ±2 en oneindig veel oplossingen met 1 parameter in deoplossingsverzameling als m = ±2.

(b) Het stelsel heeft een unieke oplossing als m 6= 0 en oneindig veel oplossingen met 1 parameter in deoplossingsverzameling als m = 0.

(c) Het stelsel heeft geen oplossingen als m = −1, een unieke oplossing als m 6= ±1 en oneindig veel oplossingenmet 1 parameter in de oplossingsverzameling als m = 1.

(d) Het stelsel heeft geen oplossingen als m = −2, een unieke oplossing als m 6∈ −2, 1 en oneindig veeloplossingen met 2 parameters in de oplossingsverzameling als m = 1.

(20) (a) Het stelsel heeft oplossingen als en slechts als k = −2.

(b) Het stelsel heeft oplossingen als en slechts als k 6= −2.

(21) (a) k = −2

(b) k = 1

(c) k ∈ R \ −2, 1

(23) (a) Het stelsel blijft strijdig.

(b) Ofwel is het nieuwe stelsel strijdig, ofwel blijft het aantal parameters in de oplossingsverzameling van hetnieuwe stelsel gelijk aan 1, ofwel heeft het nieuwe stelsel een unieke oplossing.

(24) (a) Het stelsel is strijdig als a = −1 en b 6= 0.

(b) Het stelsel heeft een unieke oplossing als en slechts als a ∈ R \ −1, 2 en b ∈ R. In dat geval wordt dieunieke oplossing gegeven door

x = − b

2(a+ 1), y =

b(a+ 2)

2(a+ 1), z = − b

2(a+ 1)

(25) (C)

(26) OplS =

(−2k + l

k − 2,−−2k + l

k − 2,l − 4

k − 2

)als k 6= 2

∅ als k = 2 en l 6= 4

(−2 + r, 2− r, r) | r ∈ R als k = 2 en l = 4

(28) (a) (A ·B)−1 6= A−1 ·B−1

(b) (A ·B)−1 = B−1 ·A−1

(c) (AT )−1 6= A−1

(d) (AT )−1 =(A−1

)T

(e) (2 ·A)−1 = 2−1 ·A−1

(f) (A−1)−1 = A

(31) OplS = (−1, 5, 13)

(34) Morgan kan zijn bestelling betalen en moet daarvoor 5, 5 euro betalen.

(35) De afzonderlijke prijs van een blikje cola is 0, 6 euro, van een zakje chips 0, 5 euro en van een zak snoep 1, 2 euro.

(36) Anna is 57 jaar, Brigitte 36 jaar en Charlotte 12 jaar.

(37) (a) De matrix A is niet inverteerbaar.

(b) De matrix A is inverteerbaar, met als inverse A−1 =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

.

(38) (a) A−1 =

[4/7 −3/71/7 1/7

]en B−1 =

[1/3 2/31/3 −1/3

]

(b) (AB)−1 =

[2/9 1/271/9 −4/27

]

(41) Ofwel is Hilde 9 jaar en de tweeling 6 jaar, ofwel is Hilde 15 jaar en de tweeling 9 jaar.

(42) k 6= 4 en l 6= 2

III-79

(43) De matrix A is inverteerbaar en A−1 =

0 2 0 −1−1 0 2 00 −1 0 11 0 −1 0

.

(45) (D)

(46) Het gewicht van een vaas is 50g, de eerste vaas bevatte 150g water en de tweede vaas 200g water.

(48) A(x) = (x− 2)(x2 + 2x+ 2)(2x2 + 2x+ 2)

Hoofdstuk 3

(1) (a) −2

(b) −23

(c) −520

(d) 1

(e) −20

(f) 0

(g) 18

(h) 19

(i) 1

(2) (a) −15

(b) 44

(c) 0

(3) (a) 23

(b) 1

(c) 2abc

(4) (a) −1

(b) 0

(5) (a) 2

(b) −3

(c) −8

(6) −4

(7) (a) −90

(b) 48

(c) abcd+ ad+ ab+ cd+ 1

(8) (a) 6

(b) 6

(9) (a) −3

(b) 12

(c) 9

(d) −27

(e) −576

(f) (−3)n+1

(10) (a) waar

(b) vals

(c) waar

(d) vals

(e) vals

III-80

(12) (a) OplV = −2, 4(b) OplV = −1, 1(c) OplV = 2

(13) (a) 160

(b) 0

(c) 2106

(d) 0

(e) 0

(f) (x+ 2a)(x− a)2

(g) (a− y)(b2 − ac)(h) 0

(i) −16a(x− y)(x+ y)2

(15) detA = ±1

(17) ac2∆

(18) (a) waar

(b) waar

(c) waar

(d) vals

(23) detA = −40 en detB = −3

(24) (a) OplS = (−1, 2)

(b) OplS =

(188

181,

85

181

)

(c) OplS =

(−5

3,

13

12,

1

6

)

(d) OplS = (1, 1, 1)(e) OplS = (1,−2, 3)(f) OplS = (1,−2, 3)

(26) (a) 540

(b) (b− a)(c− a)(c− b)(c) (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c)

(27) (a) De matrix A in inverteerbaar als en slechts als λ ∈ R \ −1, 0.

(29) Het stelsel heeft een unieke oplossing als en slechts als s ∈ R \ −2, 2 en in dat geval wordt de oplossingsverza-

meling gegeven door OplS =

(4s+ 2

3s2 − 12,s+ 8

s2 − 4

).

(30) (a) rangA = 1

(b) rangB = 1

(c) rangC = 2

(31) (a) D = m(m− 1)(m+ 1)

(b) Het stelsel heeft eeb enige oplossing als en slechts als m ∈ R \ −1, 0, 1.(c) x = 1/m

(d) Als m = 0 dan heeft het stelsel geen oplossingen.

(32) OplS = (3 cos θ + 2 sin θ, 2 cos θ − 3 sin θ)

(34) Het stelsel heeft oplossingen verschillend van de nuloplossing als en slechts als λ ∈ R \ −1, 2.

III-81

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[10] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2000.

[11] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[12] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[13] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[14] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, (2014) 360 pagina’s.

[15] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).

[16] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[17] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3 (2014), 4-15.

[18] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[19] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[20] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.



[23] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.

[24] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).

[25] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com (2012) 110 pagina’s.

[26] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com (2013) 188 pagina’s.

xix

[27] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[28] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1 (2014), 2-7.

[29] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[30] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[31] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[32] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[33] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[34] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[35] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).

[36] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.

[37] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[38] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[39] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[40] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[41] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[42] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[43] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[44] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[45] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[46] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[47] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[48] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[49] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[50] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[51] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[52] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[53] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[54] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[55] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[56] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[57] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[58] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

xx

[59] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[60] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[61] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[62] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[63] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[64] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[65] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[66] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[67] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[68] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[69] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[70] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[71] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[72] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[73] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[74] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[75] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[76] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[77] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[78] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[79] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[80] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[81] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.

[82] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

[83] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[84] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[85] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[86] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[87] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[88] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[89] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[90] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[91] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[92] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[93] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[94] N.J. Schons en C. De Cock, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

xxi

[95] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[96] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[97] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[98] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[99] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[100] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[101] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[102] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[103] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[104] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014.

[105] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[106] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[107] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[108] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[109] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[110] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.

[111] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[112] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[113] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[114] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[115] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[116] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[117] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[118] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[119] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[120] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[121] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[122] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[123] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[124] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[125] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[126] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[127] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[128] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[129] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

xxii

http://www.statbel.fgov.be/

http://www.amatyc.org/SML/

http://amc.maa.org/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://xxx.lanl.gov/

http://users.ugent.be/~jebossae/

http://www.carrieretijger.nl/

http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/

http://home.scarlet.be/math/

http://www.cube20.org/

http://www.koendenaeghel.be/

http://www.geogebra.org/

http://www.geogebratube.org/

http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen

http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf

http://www.leren.nl/cursus/leren_en_studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/

http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

http://www.wiskundeolympiade.nl/

http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/

[130] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[131] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[132] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[133] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[134] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[135] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxiii

http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/

http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/

http://www.usolvit.be/

http://www.vwo.be/

http://nl.wikipedia.org/

http://en.wikipedia.org/

http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

Deel III Matrices (recto)

Documents

Transcript of Deel III Matrices (recto)