Algebra Superior II. Matrices

Algebra SuperiorNotas de curso

Jose Alejandro Lara RodrıguezFacultad de Matematicas

Universidad Autonoma de Yucatan

3 de mayo de 2013

Indice general

Indice general III

1. El campo de los numeros complejos 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Forma polar de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Raıces n-esimas de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 141.5. El campo de los numeros complejos no es un campo ordenado . . 181.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Polinomios 212.1. El anillo de los polinomios K[t] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Regla de Ruffini (Division sintetica) . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1. Teorema fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . . . . 382.5.2. Derivadas y multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.3. Teorema de las raıces racionales . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.4. Formulas de Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.5. Polinomios con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Matrices 573.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. El anillo de las matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

iii

iv INDICE GENERAL

3.4. La transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5. Multiplicacion de matrices en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6. La traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

CAPITULO 1

El campo de los numeros complejos

1.1. Introduccion

Considerando como universo al conjunto de los numeros enteros, la ecuacionx+a = b, con a, b ∈ N no siempre tiene solucion. De aquı que se tiene que extenderel conjunto de los numeros naturales a otro sistema numerico en el cual ecuacionesde la forma x+ a = b tengan solucion. Ası surge el anillo de los numeros enteros.La construccion formal es como sigue. Se define en el conjunto N×N la relacion deequivalencia dada por (a, b) ∼ (a′, b′)⇔ a+b′ = a′+b. El conjunto de los numerosenteros se define a partir del conjunto cociente Z = N×N/ ∼. El conjunto de losnumeros naturales esta contenido en Z a traves de la identificacion n 7→ [(n, 0)],donde [(a, b)] denota la clase de equivalencia del elemento (a, b) ∈ N × N. Elnegativo del numero natural [(n, 0)] esta dado por [(0, n)]. En el anillo de losnumeros enteros todas las ecuaciones de la forma x+a = b tienen solucion. Prontoeste sistema numerico tambien se vio rebasado, pues no todas las ecuaciones dela forma ax = b tenıan solucion en Z. Se introduce entonces el campo de losnumeros racionales Q. La construccion tambien se hace a partir de una relacionde equivalencia ∼ en el conjunto Z × (Z − {0}). Para el lector interesado, larelacion de equivalencia esta dada por (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc. La clasede equivalencia de (a, b) se denota por a/b. En anillo de los enteros se identifica conel subanillo {a/1: a ∈ Z} de Q. La historia se repite, y ahora en Q hay ecuacionesque no siempre tiene solucion, por ejemplo x2 = 2 o mas general x2 = p, donde pes un numero primo positivo. Se introduce ahora el campo de los numeros reales Rel cual se construye a partir de los numeros racionales. Ahora todas las ecuacionesde la forma x2 = a con a ≥ 0 tiene solucion. Sin embargo, la ecuacion x2 = −1no es soluble en R y tendremos que extender el campo de los numeros reales para

1

2 1. El campo de los numeros complejos

introducir un nuevo campo en el cual todas las ecuaciones polinomiales tendransolucion: el campo de los numeros complejos.

1.2. Numeros complejos

El objetivo de esta seccion es construir el campo de los numeros complejos Cy estudiar su aritmetica.

Consideremos el plano cartesiano C = R × R = {(a, b) : a, b ∈ R}. En esteconjunto definimos una suma y un producto como sigue:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

De acuerdo con estas deficiones se tiene

(1, 3) + (2, 5) = (3, 8),

(0, 0) + (1, 5) = (1, 5),

(8, 7) + (−8,−7) = (0, 0),

(2, 3)(1,−5) = (17,−7),

(1, 0)(3, 5) = (3, 5)

(0, 1)(0, 1) = (0,−1).

Es obvio que la suma y el producto cumplen la propiedad de ser cerrados, esdecir, la suma de dos elementos de C resulta ser nuevamente un elemento de C.De la misma manera, el producto de parejas ordenadas es nuevamente una parejaordenada.

Teorema 1.2.1. El conjunto C junto con las operaciones de suma y productodefinidas previamente es un campo.

Demostracion. Las propiedades conmutativa y asociativa para la suma son evi-dentes. Tambien es claro que el elemento (0, 0) es el neutro aditivo para la suma. Si(a, b) ∈ C es inmediato que (−a,−b) es su inverso aditivo, ası −(a, b) = (−a,−b).

Es facil ver la conmutatividad del producto. Veamos que el producto es aso-ciativo:

(a, b) ((c, d)(e, f)) = (a, b)(ce− df, cf + de)

= (a(ce− df)− b(cf + de), a(cf + de) + b(ce− df))

= (ace− adf − bcf − bde, acf + ade+ bce− bdf).

Por otro lado,

((a, b)(c, d)) (e, f) = (ac− bd, ad+ bc)(e, f)

= ((ac− bd)e− (ad+ bc)f, (ac− bd)f + (ad+ bc)e)

= (ace− bde− adf − bcf, acf − bdf + ade+ bce)

= (a, b) ((c, d)(e, f)) .

1.2. Numeros complejos 3

El elemento (1, 0) es el neutro multiplicativo. Veamos ahora que todo elementono nulo del conjunto C tiene un inverso multiplicativo. Si (a, b) 6= (0, 0), entoncesal a 6= 0 o b 6= 0. Para hallar el inverso multiplicativo de (a, b) debemos resolverla ecuacion (a, b)(x, y) = (1, 0). Esto nos lleva al sistema de ecuaciones

ax− by = 1

bx+ ay = 0.

Dado que a 6= 0 o b 6= 0 se sigue que a2 + b2 6= 0. Por lo tanto este sistema deecuaciones tiene solucion y ademas es unica. De hecho, la solucion a este sistemaesta dada por

x =a

a2 + b2y y =

−ba2 + b2

.

Por lo tanto (a, b)−1 = (a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2)).Finalmente, que la multiplicacion se distribuye con respecto a la suma:

(a, b)((c, d) + (e, f)) = (a, b)(c+ e, d+ f)

= (a(c+ e)− b(d+ f), a(d+ f) + b(c+ e))

= (ac+ ae− bd− bf, ad+ af + bc+ be)

= (ac− bd+ ae− bf, ad+ bc+ af + be)

= (ac− bd, ad+ bc) + (ae− bf, af + be)

= (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f).

Esto concluye la prueba.

Definicion 1.2.2. Al conjunto C junto con la suma y el producto definidos pre-viamente se le denomina el campo de los numeros complejos.

A continuacion veremos que podemos considerar al campo de los numeroscomplejos como una extension del campo de los numeros reales. Para ver esto,consideremos la funcion f : R → C dada por f(x) = (x, 0). La funcion f esinyectiva. En efecto, si x1 6= x2, entonces f(x1) = (x1, 0) 6= (x2, 0) = f(x2).Luego, la funcion f establece una correspondencia biyectiva entre R y el conjuntof(R) = {(x, 0) : x ∈ R} y por lo tanto C contiene una copia de R. La funcion ftiene la propiedad de separar sumas y productos:

f(a+ c) = (a+ c, 0) = (a, 0) + (c, 0) = f(a) + f(c)

f(a)f(c) = (a, 0)(c, 0) = (ac− 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0) = f(ac).

Tambien es facil verificar que f(−a) = −f(a) y si a 6= 0, entonces f(a−1) =f(a)−1. Esto nos demuestra que respecto a la suma y producto, resta y division,los numeros en f(R) se comportan como si fueran numeros reales. Esta es la razonpor la que normalmente no hacemos ninguna diferencia entre el numero real x yel numero complejo f(x) = (x, 0).


Definicion 1.2.3. Sea z = (x, y) ∈ C. Al numero real x se le llama la partereal de z y a y se le llama la parte imaginaria. Escribiremos Re(z) e Im(z) paradenotar las partes real e imaginaria de z.

Los numeros complejos tiene algunas propiedades que no tienen los numerosreales. Sea i = (0, 1). Entonces i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Ası, la ecuacioncuadratica x2 + 1 = 0 que no tiene solucion en el campo de los numeros reales,en el campo de los numeros complejos si la tiene y de hecho tiene mas de unasolucion, pues −i es otra solucion. El numero complejo i recibe el nombre deunidad imaginaria.

Proposicion 1.2.4.

1. i2 = −1.

2. (0, y) = yi. Mas general, (x, y) = x+ yi.

3. Si z ∈ C, entonces z = Re(z) + Im(z)i.

Demostracion. (2) Basta multiplicar y por i: yi = (y, 0)(0, 1) = (y · 1 − 0 · 1, y ·1 + 0 · 0) = (0, y). Luego, (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x+ yi.

(3) Sea z ∈ C. Por el apartado (2) y las definiciones de parte real y parteimaginaria, z = (x, y) = x+ yi = Re(z) + Im(y)i.

En virtud del teorema podemos reescribir la suma y producto de numeroscomplejos como sigue:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ab+ bc)i.

Veamos como un ejemplo de como nos puede ser util esta notacion. Calculemosel inverso multiplicativo de un numero complejo a + bi 6= 0. Recordando que elproducto de binomios conjugados da una diferencia de cuadrados y tomando encuenta que i2 = −1 se tiene

1

a+ bi=

a− bi(a+ bi)(a− bi)

=a− bia2 + b2

=a

a2 + b2− bi

a2 + b2.

Una ganancia que se obtuvo al introducir a los numeros complejos, es que yase puede resolver la ecuacion cuadratica x2 + 1 = 0. De hecho x2 + 1 = x2 − i2 =(x− i)(x+ i), de donde las soluciones son x = i,−i. Otra forma de ver esto, es queel numero real −1 ya tiene al menos una raız cuadrada. Escribiremos

√−1 = i.

De manera mas general, en los numeros complejos cualquier ecuacion cuadraticaax2 + bx+ c = 0 con coeficientes reales tiene solucion. Sabemos que las solucionesde esta ecuacion estan dadas por

x = −b+√b2 − 4ac

2 a, x = −b−

√b2 − 4ac

2 a.


Sabemos que si b2 − 4ac ≥ 0, entonces la ecuacion tiene raıces reales y que sib2 − 4ac < 0, entonces no tiene raıces reales. Supongamos que 4ac − b2 > 0.Entonces

√b2 − 4ac =

√(−1)(4ac− b2) =

√−1√

4ac− b2 = i√

4ac− b2.

Por lo tanto, las soluciones complejas de la ecuacion cuadratica son

x = −b+ i√

4ac− b22 a

, x = −b− i√

4ac− b22 a

.

Ejemplo 1.2.5. Resolver la ecuacion cuadratica z2 + 2z + 2 = 0. Se tiene quea = 1, b = 2 y c = 2. Ası el discriminante de la ecuacion es 4 − 4(2) = −4.Entonces

z =−2±

√−4

2=−2±

√(−1)4

2=−2 + 2i

2= −1± i.

Mas general, cualquier ecuacion cuadratica az2 + bz + c = 0 con coeficientescomplejos tiene dos soluciones y la solucion esta dada por la formula general

z =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Esta la obtenemos de la forma usual, completando cuadrados

0 = az2 + bz + c = a

(z2 +

b

az +

c

a

)= a

(z2 +

b

az +

b2

4a2− b2

4a2+c

a

)= a

(z +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a

Ası que

z = − b

2a±√b2 − 4ac

2a.

Observacion 1.2.6. En este punto vale la pena hablar de la notacion√z, donde

z es un numero complejo. Una raız cuadrada de z es un numero w tal que w2 = z.Si w es una raız cuadrada de z, entonces −w tambien lo es ya que (−w)2 = z.Cuando de numeros reales se trata,

√x denota al numero positivo y tal que y2 = x.

Observe que no hay lugar a confusion pues sabemos perfectamente la diferenciaentre un numero positivo y uno negativo. En el caso de los numeros complejos, nopodemos hablar de numeros positivos o numeros negativos (Vea la Seccion 1.5).Por ejemplo, si z = 3 − 4i, una raız cuadrada de z es w = 2 − i ya que w2 = z.Tambien se tiene −w = −2 + i es otra raız de z. ¿Escribimos

√3− 4i = 2 − i o√

3− 4i = −2 + i? En general evitaremos usar esta notacion.


x

y

z1

z2

z1 + z2

Figura 1.1: La suma de numeros complejos representados geometricamente pormedio de la ley del paralelogramo.

El termino plano complejo se usa frecuentemente para referirse a los puntos deR×R vistos como numeros complejos. En este contexto el eje x es el eje real y eleje y el eje imaginario. Dado que un numero complejo (x, y) es un par ordenadode numeros reales, puede representarse geometricamente mediante un punto opor un vector en el plano complejo. Las operaciones de suma y resta de numeroscomplejos tienen una interpretacion geometrica (Vea la Figura 1.1).

Definicion 1.2.7. Si z = x + yi es un numero complejo, entonces el conjugadode z es z = x − yi. El numero real |z| =

√x2 + y2 es el modulo, norma o valor

absoluto de z.

Graficamente z representa el simetrico de z respecto del eje real, y |z| es ladistancia del origen (0, 0) al punto z = x+ yi.

A continuacion, algunas de las propiedades del conjugado.

Teorema 1.2.8 (Propiedades del conjugado). Si z, w ∈ C, entonces

1. z = z.

2. z + w = z + w.

3. zw = zw.

4. zz = |z|2.

5. z = z si y solo si z ∈ R.

6. z + z = 2 Re(z) y z − z = 2i Im(z).


7. z−1 = z−1.

8. z−1 =z

|z|2.

9.( zw

)=z

w.

Como una aplicacion del teorema podemos obtener resultados adicionales:

1. −z = −z.

2. z − w = z − w.

Por supuesto que esto tambien se deduce directamente de la definicion.

Teorema 1.2.9 (Propiedades de la norma). Sea z, w ∈ C. Entonces

1. |z| = 0 si y solo si z = 0.

2. |z| = |z|.

3. |zw| = |z| |w|.

4. Si z 6= 0, entonces |z−1| = |z|−1. En particular,∣∣∣ zw

∣∣∣ =|z||w|

.

5. Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| y Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|.

6. |z + w| ≤ |z|+ |w|.

Demostracion. Veamos la desigualdad del triangulo.

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww

= |z|2 + zw + zw + |w|2

= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

≤ |z|2 + 2 |zw|+ |w|2

= |z|2 + 2 |z| |w|+ |w|2

= |z|2 + 2 |z| |w|+ |w|2

= (|z|+ |w|)2

Ası que |z + w|2 ≤ (|z|+ |w|)2 y de aquı el resultado se sigue.

Del teorema se deduce que

1. |−z| = |z|.

2. ||z| − |w|| ≤ |z + w|.


El primero es inmediato: |−z| = |(−1)z| = |−1| |z| = |z|. Para el segundo observeque

|z| = |z + w − w| ≤ |z + w|+ |−w| = |z + w|+ |w| .

Luego |z| − |w| ≤ |z + w|. De manera analoga tenemos que |w| − |z| ≤ |z + w|.De aquı se sigue el resultado.

1.2.1. Ejercicios

1. Realice las siguientes operaciones y escriba el resultado en la forma a+ bi.

a) (−5− 2i)(2 + i).

b) 4i− (5− 7i).

c) (2 + 3i)(5 + 2i).

d) i5 + i9 + i13.

e) i6 + i10

f) i3 + i5.

g) 1/i

h) 1/(−i).

i)1 + 2i

−3− i.

j) 1 +

(1

1− i

)3

.

k)1

i+

i

2− i.

l)i3 − 1

i− 1.

2. Determine la parte real y la parte compleja de cada uno de los siguientesnumeros complejos.

a)1

a+ bi.

b)1

(a+ bi)2.

3. Calcule el conjugado de cada uno de los siguientes numeros complejos. Es-criba su respuesta en la forma a+ bi.

a)2 + 2i

4− 4i.


b) i2 + 1

c)−i

2 + i.

4. Simplifique las siguientes expresiones.

a) (1− i)3(2− i)(√

2 + i).

b) |in|, con n ∈ N.

c)

∣∣∣∣1− i1 + i

∣∣∣∣.d)

∣∣∣∣(2− i)(1 + i)− (7 + 2i)

(3 + i)4

∣∣∣∣.5. Calcule el valor absoluto de cada uno de los siguientes numeros complejos.

a) 1 + i

b) 1/i

c) (1− i)/(1 + i).

d) 1 + i+ i2.

e) (i− 1)3.

6. Determine los numeros complejos z que satisfacen la relacion especificada.

a) z = z.

b) z = |z|.c) |z| = |z|.d) z2 = z2.

e) z = z2.

7. Describa geometricamente los siguientes conjuntos.

a) {z ∈ C : |z| < 1}.b) {z ∈ C : |z| = 1}.c) {z ∈ C : |z − (2 + i)| < 3}.d) {z ∈ C : Im(z + 1) = 0}.e) {z ∈ C : 1 ≤ |z| < 2}.

8. Calcule las raıces cuadradas de cada uno de los siguientes numeros complejosy expreselas en la forma a+ bi.

a) 4i− 3


b) 5− 12i

9. Pruebe que cualquier numero complejo z = a + bi tiene al menos una raızcuadrada, esto es, pruebe que existe un numero complejo x + yi tal que(x+ yi)2 = a+ bi.

10. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadraticas.

a) z2 + z + 1 = 0.

b) z2 − 4i− 3 = 0.

c) z2 + (5i+ 1) z + i− 8.

d) 2z2 + 4iz − i− 2 = 0.

1.3. Forma polar de los numeros complejos

Cada numero complejo distinto de cero se puede expresar en forma polar. Seaz = (x, y) 6= (0, 0) un numero complejo. Considerando z un punto en el planocomplejo, este esta determinado de forma unica por el angulo θ, que forma conla direccion positiva del eje real y por su distancia al origen, es decir por |z|.Por propiedades trigonometricas, sabemos que en el triangulo rectangulo OAB(Figura 1.2), los catetos x y y estan dados por

x = |z| cos θ, y = |z| sen θ.

Nos referimos al angulo θ como un argumento de z. Y note que decimos unargumento en vez de decir el argumento ya que el angulo θ esta determinadoen forma unica salvo por multiplos enteros de 2π. Existe una infinidad de valoresde θ que satisfacen las ecuaciones x = |z| cos θ y y = |z| sen θ, pero cualesquierados de estos valores difieren por algun multiplo de 2π. Como es deseable tenerunicidad en el argumento seleccionaremos uno y solamente uno de los valores de θy a ese lo llamaremos el argumento principal de z. Para hacer esto restringiremosθ a un intervalo semiabierto de longitud 2π. Los intervalos [0, 2π) y (−π, π] sonlos que se usan comunmente para este proposito. Nosotros usaremos el intervalo(−π, π] y nos referiremos al correspondiente θ como el argumento principal dez = x + yi y lo denotaremos por θ = arg z. Ası, si z = x + yi 6= 0, el argumentoprincipal de z es el unico numero real θ que satisface las condiciones

x = |z| cos θ, y = |z| sen θ, −π < θ ≤ π.

Dado z = x+ yi, podemos calcular su argumento por θ = arctan y/x, y tomandoen cuenta el cuadrante en el cual esta ubicado z. Por ejemplo, si Por lo tanto,obtenemos lo que se conoce como una representacion polar de z:

z = x+ yi = |z| (cos θ + i sen θ) .

1.3. Forma polar de los numeros complejos 11

Observamos que

z = x+ yi = |z| (cos(θ + 2πk) + i sen(θ + 2πk)) , k ∈ Z.

Con frecuencia, se usa la siguiente notacion: eiθ = cos θ + i sen θ y ası podemosescribir en forma compacta la forma polar de z: z = |z| eiθ.

Eje real

Eje imaginario

|z|=

√ x2 +

y2

θ

z = (x, y) = x+ yi

x = |z| cos θ

y = |z| sen θ

Figura 1.2: Representacion polar de un numero complejo.

Ejemplos 1.3.1.

1. Una forma polar de la unidad imaginaria es i = cosπ/2 + i sen π/2.

2. Una forma polar de −1 es −1 = cos π + i sen π.

3. Escribir la forma polar del numero complejo z =√

3+i. El valor absoluto de

z es√

(√

3)2 + 12 = 2, el arco cuya tangente es 1/√

3 es π/3. Ası, el argumen-

to de z es arg(z) = π/6. Una forma polar es z = 2 (cos(π/6) + i sen(π/6)).

4. Calcular ahora la forma polar del numero complejo z = 1 − i√

3. El va-lor absoluto de z es 2. Observamos que z esta en el cuarto cuadrante.Dado que el arctan(

√3) = π/3, se sigue que arg(z) = −π/3. Luego z =

2 (cos(−π/3) + i sen(−π/3))) o z = 2e−π/3.

5. Sea z = 4(cos(7π/6)+i sen(7π/6)). Calcular la forma rectangular de z. Comosen(7π/6) = sen(π + π/6) = − sen(π/6) = −1/2 y cos(π + π/6) = −

√3/2,

tenemos que z = −2√

3− 2i.


Teorema 1.3.2. Sean z1 = |z1| (cos θ1 + i sen θ1) y z2 = |z2| (cos θ2 + i sen θ2)numeros complejos en forma polar. Entonces

z1z2 = |z1| |z2| (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)) ,

z−11 =1

|z1|(cos(−θ1) + i sen(−θ1)) , si z1 6= 0,

z1z2

=|z1||z2|

(cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)) ,

z1 = |z1| (cos(−θ1) + i sen(−θ1)) .

Demostracion. Multiplicando y aplicando las identidades trigonometricas para elcoseno y el seno de la suma de dos angulos, se tiene:

z1z2 = |z1| |z2| ((cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2) + i (cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2))

= |z1| |z2| (cos(θ1 + cos θ2) + i(sen(θ1 + θ2))) .

A continuacion calculamos z−11 :

1

|z1|(cos(−θ1) + i sen(−θ1)) z1 =

1

|z1|(cos(−θ1) + i sen(−θ1)) |z1| (cos θ1 + i sen θ1)

=1

|z1||z1| (cos(−θ1 + θ1) + i sen(−θ1 + θ1))

= (cos 0 + i sen 0)

= 1.

Para probar el ultimo resultado, recordemos que cos(−θ) = cos θ y sen(−θ) =− sen θ. Entonces

z1 = |z1| (cos θ1 − i sen θ1)

= |z1| (cos(−θ1) + i sen(−θ1)) .

La formula para el producto de numeros complejos en forma polar nos pro-porciona una interpretacion geometrica del producto: el producto de z1 y z2 es elnumero complejo cuya norma es |z1| |z2| y con argumento la suma de los argu-mentos de z1 y z2 (Vea la Figura 1.3).

Usando la notacion compacta z = |z| eiθ podemos reescribir el teorema comosigue. Si z1 = |z1| eiθ1 y z2 = |z2| eiθ2 , entonces

z1z2 = |z1| |z2| ei(θ1+θ2),

z−11 =1

|z1|e−iθ1 , si z1 6= 0,

z1z2

=|z1||z2|

ei(θ1−θ2),

z1 = |z1| e−iθ1 .

1.3. Forma polar de los numeros complejos 13

x

y

z1|z1|

θ1

z2

|z 2|

θ2

z1z2

|z 1z 2|

θ1 + θ2

Figura 1.3: El producto de z1 y z2 se obtiene multiplicando las normas y sumandolos argumentos.

Veamos las bondades de la formulas establecidas en el teorema.

Ejemplo 1.3.3. Sean z1 = 3 (cosπ/12 + i sen π/12), z2 = 5 (cosπ/8 + i sen π/8).Entonces

z1z2 = 3 · 5(

cos( π

12+π

8

)+ i sen

( π12

+π

8

))= 15

(cos

5π

24+ i sen

5π

24

),

z−11 =1

3

(cos−π12

+ i sen−π12

),

z2z1

=5

3

(cos

π

24+ i sen

π

24

).

Ahora bien, la forma es todavıa mas util si deseamos calcular potencias de numeroscomplejos. Calculemos z21 .

z21 = 32(

cos( π

12+

π

12

)+ i sen

( π12

+π

12

))= 9

(cos

2π

12+ i sen

2π

12

)= 9

(cos

π

6+ i sen

π

6

).


Calculemos ahora z31 .

z31 = z21z1 = 9 · 3(

cos

(2π

12+

π

12

)+ i sen

(2π

12+

π

12

))= 27

(cos

3π

12+ i sen

3π

12

)= 33

(cos

π

4+ i sen

π

4

).

¿Cuanto sera z121 ?

z121 = 312

(cos

12π

12+ i sen

12π

12

)= 312 (cos π + i sen π) = −312.

Tambien podemos usar el teorema para calcular potencias negativas, por ejem-plo z−31 .

z−21 = (z−11 )2 =1

32

(cos−π12

+ i sen−π12

)2

=1

32

(cos−2π

12+ i sen

−2π

12

)=

1

32

(cos−π6

+ i sen−π6

).

Y ası sucesivamente.

Usaremos ahora el teorema para calcular una raız cubica.

Ejemplo 1.3.4. Sea z = 8 (cosπ/4 + i sen π/4). Calculemos una raız cubica dez, es decir, hallemos un numero complejo un w = |w| (cos β + i sen β) tal w3 = z.Por un lado, w3 = |w3| (cos 3β + i sen 3β). Estamos buscando un angulo β tal quecos 3β + i sen 3β sea cos π/4 + i sen π/4. Entonces 3β − π/4 debe ser un multiploentero de 2π. Es decir 3β = π/4+2πk para algun entero k. Ası β = π/12+2πk/3.

En la siguiente seccion haremos un estudio mas detallado del calculo de raıcesn-esimas.

1.4. Raıces n-esimas de un numero complejo

En esta seccion mostraremos como calcular raıces n-esimas para cualquierentero positivo n. Una primera forma de atacar el problema serıa, tratar de resolverla ecuacion (x+yi)n = a+ bi. Por ejemplo, suponga que queremos calcular la raızcubica de a+bi. Supongamos que x+yi es tal que (x+yi)3 = a+bi. Desarrollandode acuerdo al teorema de binomio

(x+ yi)3 = x3 + 3ix2y + 3xy2i2 + y3i3

= x3 + 3ix2y − 3xy2 − iy3

= (x3 − 3xy2) + i(3x2y − y3).

1.4. Raıces n-esimas de un numero complejo 15

Igualando con a+ bi, tendrıamos que resolver el sistema de ecuaciones

x3 − 3xy2 = a

3x2y − y3 = b,

el cual parece complicado de resolver (y de hecho lo es). En su lugar de hacer esto,calcularemos las raıces usando la forma polar.

Teorema 1.4.1 (Teorema de D’Moivre). Si z = |z| (cos θ + i sen θ) 6= 0 y n ∈ Z,entonces zn = |z|n (cos(nθ) + i sen(nθ)).

Demostracion. Primero haremos la prueba por induccion para n ≥ 0. El resultadoes trivial para n = 0, 1. Supongamos que el resultado es valido para n > 1.Entonces

zn+1 = znz = |z|n (cos(nθ) + i sen(nθ)) |z| (cos θ + i sen θ)

= |z|n+1 (cos(nθ + θ) + i sen(nθ + θ))

= |z|n+1 (cos((n+ 1)θ) + i sen((n+ 1)θ)).

Ası el teorema es cierto para toda n ≥ 0. Supongamos ahora que n < 0. Obvia-mente n > 0. Podemos entonces aplicar el teorema a (z−1)−n. Entonces

zn = (z−1)−n =∣∣z−1∣∣−n (cos(−n)(−θ) + i sen(−n)(−θ))

= |z|n (cos(nθ) + i sen(nθ)).

Definicion 1.4.2. Sea z ∈ C y n ∈ N. Diremos que una raız n-esima de z es wsi wn = z. Escribiremos z = w1/n.

Ejemplo 1.4.3. Calculemos la raız o raıces cuartas del numero complejo z =−8√

2 + 8i√

2. Como arctan(−1) = π/4 y z esta en el segundo cuadrante, enton-ces arg z = π/2 + π/4 = 3π/4. El valor absoluto de z es |z| =

√82 · 2 + 82 · 2 =√

4 · 82 = 16. Luego, la forma polar de z es z = 16 (cos 3π/4 + i sen 3π/4). Que-remos hallar w = |w| (cos β + i sen β) tal que w4 = z. Tomando valor absolu-to obtenemos |w4| = |w|4 = |z| = 16, es decir que |w| = 4

√16 = 2, y w4 =

|w|4 (cos 4β + i sen 4β) = 16 (cos 4β + i sen 4β). Comparando ahora las formas po-lares 16 (cos 4β + i sen 4β) = 16 (cos 3π/4 + i sen 3π/4) obtenemos que cos 4β +i sen 4β = cos 3π/4 + i sen 3π/4 y por lo tanto 4β y 3π/4 difieren por algun multi-plo de 2π. Es decir,

β =1

4

(3π

4+ 2πk

), k ∈ Z.


Si tomamos k = 0, 1, 2, 3 obtenemos los valores

β =3

16π,

11

16π,

19

16π,

27

16π.

Observe que cada uno de estos valores de β estan en el intervalo (0, 2π] y por lotanto ninguno par de ellos difiere por algun multiplo de 2π. Entonces cada unode los siguientes numeros complejos es una raız cuarta de z:

w1 = 2

(cos

3

16π + i sen

3

16π

), w2 = 2

(cos

11

16π + i sen

11

16π

),

w3 = 2

(cos

19

16π + i sen

19

16π

), w4 = 2

(cos

27

16π + i sen

27

16π

).

Si queremos trasladarlos los argumentos de estos numeros al intervalo (−π, π]basta con restarles π a cada uno de ellos. Ası, la otra representacion de las raıcesson

w1 = 2

(cos−13π

16+ i sen

−13π

16

), w2 = 2

(cos−5π

16+ i sen

−5π

16

),

w3 = 2

(cos

3π

16+ i sen

3π

16

), w4 = 2

(cos

11π

16+ i sen

11π

16

).

Si ahora tomamos k = 4, 5, 6, 7 obtenemos

β =35

16π,

43

16π,

51

16π,

59

16π.

Estos cuatro valores de β difieren de los correspondientes valores previos por multi-plos de 2π. Ası que estos ultimos valores generan w1, . . . , w4, respectivamente.

Como −π < β ≤ π es equivalente a −1 < 14

(34

+ 2k)≤ 1 y este ultimo es

equivalente a −19/8 < k < 13/8, se sigue cuando k = −2,−1, 0, 1 los siguientesvalores de β estan en el intervalo (−π, π],

β = −13

16π,− 5

16π,

3

16π,

11

16π.

Vea la Figura 1.4.

Teorema 1.4.4. Si z 6= 0 es un numero complejo y n ∈ N, entonces z tieneexactamente n raıces n-esimas.

Demostracion. Supongamos que z = |z| (cosα + i senα) y w = |w| (cos β + i sen β)son tales que wn = z. Esto se traduce en la igualdad.

wn = |w|n (cosnβ + i sennβ) = |z| (cosα + i senα).

1.4. Raıces n-esimas de un numero complejo 17

Eje real

Eje imaginario

−2 2

−2

2

w3, k = 0

316π (33,75◦)

w4, k = 1

1116π (123,5◦)

w2, k = −1

− 516π (−56,25◦)

w2, k = −2

−1316π

Figura 1.4: Las cuatro soluciones de la ecuacion w4 = z = −8√

2 + 8i√

2.

Tomando valores absolutos de ambos lados y considerando que |cos θ + i sen θ| = 1

para cualquier θ, se tiene que |w|n = |z|, es decir |w| = |z|1/n. Dado que wn y zrepresentan al mismo numero complejo, se sigue que sus argumentos difieren por

un multiplo entero de 2π. Ası nβ = α+2kπ, o lo que es lo mismo β =1

n(α+2kπ).

Sea k ∈ Z. Por el algoritmo de la division, existen q, r ∈ Z tales que k = nq + rcon 0 ≤ r < n. Entonces

β =1

n(α + 2kπ) =

1

n(α + 2(nq + r)π) =

1

n(α + 2rπ) + 2qπ.

Ası es suficiente considerar los siguientes valores k = 0, 1, . . . , n− 1. Supongamosque para 0 ≤ j, l < n, se tiene 1

n(α + 2jπ) = 1

n(α + 2lπ). Entonces j = l y por

tanto los valores de β son diferentes cuando k = 0, 1, . . . n− 1.

Note que las n-esimas raıces de z estan igualmente espaciadas en el cırculo concentro en el origen y radio R = |z|1/n.

Ejemplo 1.4.5. Calculemos las raıces n-esimas de la unidad. Sea z = 1 = cos 0+


i sen 0. Entonces los numeros

wk = cos2kπ

n+ i sen

2kπ

n, 0 ≤ k ≤ n− 1,

son las n-raıces diferentes de la unidad.

1.5. El campo de los numeros complejos no es

un campo ordenado

Recordemos que una relacion < en un conjunto A es una relacion que satisfacelas siguientes dos propiedades:

1. Si a, b ∈ A, entonces una y solo una de las siguientes afirmaciones es cierta:

a < b, a = b, b < a

2. La relacion es transitiva, es decir, si a < b y b < c, entonces a < c.

En ocasiones el orden que aquı estamos definiendo se conoce con el nombre derelacion de orden estricto.

Un conjunto ordenado es un conjunto en el que se ha definido un orden.Un campo ordenado es un campo K que ademas es un conjunto ordenado, y

que tiene las siguientes propiedades que relacionan el orden y las operaciones decampo.

1. Si x, y, z ∈ K y y < z, entonces x+ y < x+ z.

2. Si x, y ∈ K y x > 0 y y > 0, entonces xy > 0.

Si K es un campo ordenado, se dice que x es positivo si x > 0; si x < 0 se diceque x es negativo. Por ejemplo, Q y R son campos ordenados.

Proposicion 1.5.1. Sea K un campo ordenado. Entonces

a) Si x > 0, entonces −x < 0, y viceversa.

b) Si x 6= 0, entonces x2 > 0. En particular 1 > 0.

Demostracion. (a) Si 0 < x, entonces (−x) + 0 < (−x) + x = 0, es decir −x < 0.Si ahora −x < 0, entonces x+ (−x) < x+ 0 = x, y 0 < x.

(b) Como x 6= 0, entonces x > 0 o x < 0. Supongamos primero que x > 0.Entonces por la segunda parte de la definicion de campo ordenado, xx > 0, i.e.,x2 > 0. Si ahora x < 0, entonces −x > 0. Luego (−x)(−x) > 0, es decir x2 > 0.Como 1 = 12 se sigue 1 > 0.

1.6. Ejercicios 19

En el campo de los numeros complejos no es posible definir un orden de talmanera que C se convierta en un campo ordenado. Si se definiera algun orden detal manera que C fuera un campo ordenado se tendrıa que i2 > 0 pues i 6= 0. Estoimplicarıa que −1 > 0, lo cual a su vez nos llevarıa a que 1 < 0. Pero como encualquier campo ordenado se tiene que 1 > 0 tendrıamos entonces que 1 > 0 y0 > 1 lo que nos llevarıa a la contradiccion 1 > 1.

1.6. Ejercicios

1. Escriba cada uno de los siguientes numeros en forma polar:

a) −1− i.b) −1 + i.

c) 1− i.d) 1 + i.

e) 2− 2i.

f) −4− 4i.

g)−2

1 + i√

3.

h) −1− i√

3

3

i)(a+ bi)n

(c+ di)m, con n,m ∈ N.

2. Encuentre el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.Grafique el conjunto solucion.

a) w7 = 1.

b) w8 = 1.

c) w6 = −1.

d) w4 = i.

e) w4 = −i.f) w4 = 1 + i.

g) w4 = −119− 120i.

3. Calcule las siguientes potencias.

a) (1 + i)9.

b) (−1 + i)10.


c)(−√

3

2− 1

2i)6

.

d)(cos

π

30+ i sen

π

30

)24.

4. Sean z, w ∈ C tal que wn = z y sea w1 = cos 2πn

+ i sen 2πn

una raız n-esima.Pruebe que w,w1w, . . . , w

n−11 w son las raıces n-esimas de z.

5. Sea n ≥ 2 y w1, . . . , wn las raıces n-esimas de la unidad.

a) Pruebe que w1 + · · ·+ wn = 0.

b) Pruebe que para cada k, 1 ≤ k ≤ n tal que wk 6= 1, se tiene que 1 +wk +w2k + · · ·+ wn−1k = 0.

6. Pruebe que si Re z1 > 0 y Re z2 > 0, entonces el argumento principal dez1z2 es la suma de los argumentos, es decir, arg(z1z2) = arg z1 + arg z2.

7. Calcule las cuatro raıces de la ecuacion z4 + 4 = 0 y factorice z4 + 4 comoel producto de dos factores cuadraticos con coeficientes reales.

CAPITULO 2

Polinomios

En esta capıtulos estudiaremos al anillo de los polinomios, su definicion ypropiedades principales.

2.1. El anillo de los polinomios K[t]

Esta seccion daremos las definicion de polinomio y mostraremos que el conjun-to de todos los polinomios es un anillo conmutativo con unitario. Antes repasemosalgunos conceptos. Recordemos que una operacion binaria en un conjunto R esuna operacion que a cada par de elementos a y b de R les asigna nuevamente unelemento de R. En terminos formales, una operacion binaria en R es una funcionR × R → R. Por ejemplo, en el conjunto de los numeros naturales N una opera-cion binaria esta dada por la suma: N × N → N, (a, b) 7→ a + b. Otra operacionbinaria esta por la multiplicacion (a, b) 7→ ab. De hecho, se pueden definir muchasoperaciones binarias. Otra operacion binaria serıa N × N → N, (a, b) 7→ 2a + 3b.Una operacion que no es binaria en N es la resta, ya que la resta de dos numerosnaturales no siempre es un numero natural, es decir la asignacion (a, b) 7→ a−b noes una funcion de N×N a N. Sin embargo, la resta si es una operacion binaria en elconjunto de los numeros naturales. La division no define una funcion N×N→ N,es decir, la division no es una operacion binaria en N.

Recordamos que un anillo es conjunto no vacıo R junto con dos operacionesbinarias + y · llamadas suma y multiplicacion o producto, respectivamente, quesatisfacen las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: a+ b = b+ a

2. Asociativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

21

22 2. Polinomios

3. Existencia del neutro aditivo: Existe un elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = apara toda a de R.

4. Existencia de inversos aditivos: Para cada a ∈ R, existe un elemento −a ∈ Rtal que a+ (−a) = 0.

5. Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c

6. Leyes distributivas: a · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = ac + bc paracualesquiera elementos a, b, c de R.

Un anillo se dice que es conmutativo si ademas satisface la propiedad conmutativa:a · b = b · a para cualesquiera a, b ∈ R.

Se dice que un anillo tiene elemento unitario si existe un elemento neutro parala multiplicacion: Existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · a = a para toda a ∈ R.

Un anillo puede tener elemento unitario pero no ser conmutativo, o puede serconmutativo y no tener elemento unitario, etc. Por ejemplo, el conjunto de todaslas matrices de cuadradas de n× n es un anillo que no es conmutativo pero tieneun elemento unitario.

Sea R un anillo conmutativo con unitario. Se dice que x 6= 0 es un divisor decero si existe un elemento y 6= 0 tal que xy = 0. Se dice que R es un dominioentero si R no tiene divisores de cero.

En este capıtulo solo consideraremos anillos conmutativos con elemento uni-tario.

Ejemplo 2.1.1. Todos los campos son anillos conmutativos con unitario. Ası Q,R y C son anillos. No todos los anillos son campos. Ahı esta el anillo de losnumeros enteros Z que por supuesto no es un campo.

Ejemplo 2.1.2. Cualquier subconjunto no vacıo de los numeros complejos quesea grupo bajo la adicion y cerrado bajo la multiplicacion es un anillo (conmu-tativo). Esto es porque las propiedades asociativa y distributiva son heredita-rias. En particular los conjuntos Z, Q, R, C, 2Z, Z[

√2] = {a + b

√2: a, b ∈ Z},

Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} son anillos. El anillo Z[i] es el anillo de los enterosgaussianos.

Ejemplo 2.1.3. En el conjunto Z/nZ = {0, 1, . . . , n− 1} considere la suma y elproducto modulo n, es decir, la suma modulo n de a y b es el residuo (o resto)no negativo que se obtiene al dividir a+ b entre n. Por el algoritmo de la divisionsabemos que existen q, r unicos tal que a + b = nq + r, 0 ≤ r < n. De manerasimilar, el producto modulo n de a y b es el resto no negativo que obtiene al dividirab entre n. Este es un anillo conmutativo con unitario. Si n > 1, siempre existenenteros a, b distintos de cero en el anillo tales que ab = 0.

2.1. El anillo de los polinomios K[t] 23

A continuacion se dan las tablas de suma y multiplicacion del anillo de losenteros modulo 4.

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Notamos que 2 es un divisor de cero ya que 2 · 2 = 0. Por lo tanto el anillode los enteros modulo 4 no es un dominio entero. Por otro lado, el lector puedeverificar que el anillo de los enteros modulo 5 sı es un dominio entero.

Ejemplo 2.1.4. Otra forma de definir el anillo de los enteros modulo n es comosigue. Sea n > 1 un entero. La relacion a ∼ b si y solamente si n divide a a − bes una relacion de equivalencia en Z. Denotemos con a la clase de equivalencia dea ∈ Z. Denotemos al conjunto cociente (el conjunto formado por todas las clasesde equivalencia) por Z/nZ. Ası Z/nZ = {a : a ∈ Z}. Recordamos que a = a+nZ.Se define la suma y la multiplicacion como sigue: a + b = a+ b, a · b = a · b.Se puede probar que esta operacion esta bien definida y que Z/nZ es un anilloconmutativo con unitario. Tambien se puede probar que que si n > 1 no es unnumero primo, entonces existen elementos a, b ∈ Z/nZ ambos diferentes de cerotales a · b = 0.

Nos enfocaremos a los polinomios definidos sobre un campo. Sin embargo, esposible definir a los polinomios en un contexto mas general y considerar polinomiossobre un anillo conmutativo con unitario.

Definicion 2.1.5. Sea K un campo. Sea t una indeterminada. Un polinomiosobre K en la indeterminada t es una expresion de la forma

a0 + a1t+ · · ·+ antn

donde a0, a1, . . . , an son elementos del campo K, 0 ≤ n ∈ Z. Los numerosa0, a1, . . . , an son los coeficientes del polinomio.

Los terminos de la forma 0tm pueden ser omitidos o reemplazados por 0. Losterminos de la forma 1tm se pueden escribir simplemente tm. Ası por ejemplo, envez de escribir 2 + 3t+ 0t2 + 0t3 + 1t4, podemos escribir 2 + 3t+ t4.

Tambien adoptamos la convencion usual de escribir −atm en vez de (−a)tm.De esta manera, en vez de escribir (−1) + 2t + (−3)t2 simplemente escribimos−1 + 2t− 3t2.

No es necesario escribir los terminos de un polinomio siempre en el mismoorden. Por ejemplo, el polinomio a0 + a1t + a2t

2 + a3t3 lo podemos escribir a0 +

a2t2 + a1t+ a3t

3 o tambien a3t3 + a2t

2 + a1t+ a0.

24 2. Polinomios

El polinomio cuyos coeficientes son todos cero 0 + 0t + 0t2 + · · · + 0tn es elpolinomio cero y se escribe simplemente 0.

En vez de escribir a0 +a1t+a2t2 + · · ·+ant

n escribamos∑akt

k donde la sumaes sobre todos los enteros k ≥ 0 y ak = 0 para toda k > n.

Diremos que los polinomios

f =∑

aktk, g =

∑bkt

k

son iguales si y solo si ak = bk para toda k ≥ 0. En palabras, dos polinomiosson iguales si y solamente si los correspondientes coeficientes son iguales, en elentendido de que las potencias de t que no aparezcan tienen coeficiente cero.

El conjunto de todos los polinomios sobre K sera denotado por K[t] y nosreferiremos a el como el anillo de polinomios sobre K en la indeterminada t.

Sean f =∑ait

i y g =∑bit

i dos polinomios. Definimos la suma y la multi-plicacion de f y g como sigue:

f + g =∑

(ak + bk)tk, fg =

∑ckt

k,

donde

ck =∑i+j=k

aibj =k∑i=0

aibk−i.

La suma de f y g se realiza termino a termino. En notacion algo mas largaescribimos para la suma:

(a0 + a1t+ a2t2 + · · · ) + (b0 + b1t+ b2t

2 + · · · )= (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ (a2 + b2)t

2 + · · ·

Para el producto,

(a0 + a1t+ a2t2 + · · · )× (b0 + b1t+ b2t

2 + · · · )= a0b0 + (a1b0 + a0b1)t+ (a2b0 + a1b1 + a0b2)t

2 + · · ·

En cuanto a la multiplicacion, la formula que aquı se da se obtiene multiplicandolos polinomios usando las leyes distributivas usuales (que en realidad todavıano hemos probado que son validas en este contexto), usando que (aix

i)(bjxj) =

aibjxi+j y agrupando los terminos semejantes. Multipliquemos por ejemplo, f =

a0 + a1t+ a2t2 y g = b0 + b1t+ b2t

2 + b3t3:

(a0 + a1t+ a2t2)(b0 + b1t+ b2t

2 + b3t3) = a0b0 + a0b1t+ a0b2t

2 + a0b3t3+

a1b0t+ a1b1t2 + a1b2t

3 + a1b3t4+

a2b0t2 + a2b1t

3 + a2b2t4 + a2b3t

5.


Agrupando los terminos semejantes obtenemos

(a0+a1t+a2t2)(b0+b1t+b2t

2+b3t3) = a0b0+(a1b0+a0b1)t+(a2b0+a1b1+a2b2)t+

(a2b1 + a1b2 + a0b3)t3 + (a2b2 + a1b3)t

4 + a2b3t5.

Note que los coeficientes que no aparecen se entienden que son cero. Los coefi-cientes de t3, t4 y t5 se escriben

a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3,

a4b0 + a3b1 + a2b2 + a1b3 + a0b4,

a5b0 + a4b1 + a3b2 + a2b3 + a1b4 + a0b5.

respectivamente.A continuacion probaremos que en K[t] se cumplen las leyes usuales de suma

y multiplicacion.

Teorema 2.1.6. El conjunto K[t] con la suma y multiplicacion definida previa-mente es un anillo conmutativo con unitario que contiene a K.

Demostracion. Veamos que (K[t],+) es un grupo abeliano, es decir, veamos que lasuma es conmutativa, asociativa, que existe un elemento neutro para la suma y quecada polinomio tiene un inverso aditivo. De la definicion de suma de polinomios sesigue inmediatamente que la suma es conmutativa y asociativa. Sean f =

∑akt

k,g∑bkt

k y h =∑ckt

k polinomios. Entonces

f + g =∑

(ak + bk)tk =

∑(bk + ak)t

k = g + f

Por otro lado,

f + (g + h) =∑

aktk +

(∑bkt

k +∑

cktk)

=∑

aktk +

∑(bk + ck)t

k

=∑

(ak + (bk + ck))tk

=∑

((ak + bk) + ck)tk

=∑

(ak + bk)tk +

∑ckt

k

=(∑

aktk +

∑bkt

k)

+∑

cktk

= (f + g) + h.

El polinomio cero es el neutro aditivo para la suma:

f + 0 =∑

aktk +

∑0tk =

∑(ak + 0)tk =

∑akt

k = f.

26 2. Polinomios

Finalmente,

f +∑

(−ak)tk =∑

aktk +

∑(−ak)tk =

∑(ak + (−ak))tk =

∑0tk = 0.

Ası, el inverso aditivo de f es −f =∑

(−ak)tk. Esto prueba que (K[t],+) es ungrupo abeliano.

Con respecto a la multiplicacion debemos probar que es conmutativa, asocia-tiva, que se cumplen las leyes distributivas y que existe un elemento neutro parael producto. Empecemos con la propiedad conmutativa.

fg =∑

aktk∑

bktk =

∑ckt

k, gf =∑

bktk∑

aktk =

∑dkt

k,

donde ck = akb0 + ak−1b1 + . . .+ a0bk y dk = bka0 + bk−1a1 + . . .+ b0ak. Entoncesck = dk y por lo tanto fg = gf .

Veamos ahora la propiedad asociativa. Sean gh =∑αkt

k y fg =∑βkt

k,donde αk =

∑i+j=k bicj y βk =

∑r+s=k arbs. Entonces

f(gh) =∑

aktk∑

αktk =

∑γkt

k,

(fg)h =∑

βktk∑

cktk =

∑δkt

k.

donde,

γk =∑i+j=k

aiαj =∑i+j=k

ai∑r+s=j

brcs =∑

i+r+s=k

aibrcs,

δk =∑i+j=k

βicj =∑i+j=k

(∑r+s=i

arbs

)cj =

∑r+s+j=k

arbscj.

Luego γk = δk para toda k y por tanto f(gh) = (fg)h.A continuacion mostramos que existe un neutro para la multiplicacion. Con-

sideremos el polinomio constante 1 =∑βk, donde β0 = 1 y βk = 0 para toda

k ≥ 1. Entonces

f · 1 =∑

αktk,

donde αk = akα0 + ak−1α1 + . . .+ a0αk = ak. Luego f · 1 = f .Dejamos que el lector verifique la propiedad distributiva: f(g + h) = fg + fh.K esta contenido en K[t] mediante la identificacion a↔ at0.

Definicion 2.1.7. El grado de un polinomio distinto de cero, es el maximo gradode los terminos que tienen coeficiente distinto de cero. El grado del polinomio ceroes −∞, donde −∞ es un sımbolo sujeto a las convenciones: Para cualquier enteron se tiene

n > −∞, −∞+ n = −∞, −∞+ (−∞) = −∞, −∞× n = −∞, (−∞)2 = −∞.


El grado de un polinomio se denota con el sımbolo deg f . Observe que si f 6= 0,entonces deg f ≥ 0.

Si el polinomio f =∑akt

k tiene grado n, por definicion an 6= 0 y ak = 0 paratodo k > n. Se dice que ant

n es el termino lıder o principal y an es el coeficientelıder o principal. Se dice que el polinomio es monico si el coeficiente principal es1.

Ejemplo 2.1.8. Consideremos el anillo de polinomios Q[t]. Sean f = 3 + 2t −3t2 + t3, g = 5 y h = 2 − t2 + 2t4. Entonces deg f = 3, deg g = 0 y deg h = 4.El termino principal de f es t3 y su coeficiente principal es 1. El polinomio fes monico, en tanto que g y h no lo son. El grado de fg es 3 y el grado de fhes 7, que es la suma de los grados de f y g. Si p = 1 + t + 3t2 − t3, entoncesdeg(f + p) = 1 < max{deg f, deg p}.

Teorema 2.1.9. Si f y g son polinomios sobre K en la indeterminada t, i.e., sif, g ∈ K[t], entonces

deg(f + g) ≤ max{deg f, deg g}, deg(fg) = deg f + deg g.

Demostracion. Sea n = deg f y m = deg g. Observe que es posible que n = −∞o m = −∞.

Sean f =∑akt

k y g =∑bkt

k. Sea k > max{deg f, deg g} ≥ deg f, deg g. Pordefinicion de grado se tiene que ak = 0 y bk = 0 y por lo tanto ak + bk = 0 paratoda k > max{deg f, deg g}. Esto prueba la primera afirmacion.

Si f = 0 o g = 0, entonces fg = 0 y deg fg = −∞. En cualquiera de lostres casos f = 0 y g = 0, f = 0 y g 6= 0, o f 6= 0 y g = 0, se tiene quedeg f + deg g = −∞.

Supongamos que ambos f y g son distintos de cero. Veamos que cn+m 6= 0y ck = 0 para k > n + m. Observe que si i < n, se tiene que 0 < n − i y deaquı m < m + n − i = j. Por lo tanto bj = 0 y aibj = 0. Por otro lado, si i > n,ai = 0. Luego,

cn+m =∑

i+j=n+m

aibj =m+n∑i=0

aibm+n−i =n−1∑i=0

aibj + anbm +m+n∑i=n+1

aibj = anbm.

Como an 6= 0 y bm 6= 0, entonces anbm 6= 0.Sea ahora k > n + m. Si i ≤ n, se tiene n − i ≥ 0 y entonces j = k − i >

n− i+m ≥ m y por lo tanto bj = 0. Por otro lado, si i > n, ai = 0. Entonces

ck =∑i+j=k

aibj =k∑i=0

aibk−i =n∑i=0

aibj +k∑

i=n+1

aibj = 0.

Corolario 2.1.10. K[t] es dominio entero.

28 2. Polinomios

Demostracion. En la prueba del teorema anterior se prueba que si f 6= 0 y g 6= 0,entonces el termino principal de fg es el producto de los terminos principales def y g, ası que fg 6= 0.

2.2. Divisibilidad

Uno puede hablar de divisibilidad en cualquier anillo conmutativo con unitario.En particular, dado que K[t] es un anillo conmutativo con unitario, tiene sentidohablar de divisibilidad de polinomios.

Definicion 2.2.1. Sean f, g ∈ K[t]. Se dice que g divide a f si existe un polinomioh ∈ K[t] tal que f = gh.

Otras formas de decir que g divide a f son:

g es un divisor de f ,g es un factor de f ,f es un multiplo de g,f es divisible entre g.

El lector puede encontrar que algunos autores piden que el divisor sea distintode cero.

Para expresar que g divide a f se utiliza la notacion g | f . La notacion g - fsignifica que g no divide a f .

Ejemplo 2.2.2. En el anillo Q[t], el polinomio g = 10t2+3t−1 divide al polinomiof = 10t5 + 3t4 − t3 − 10t2 − 3t+ 1 ya que f = gh, donde h = t3 − 1.

Ejemplo 2.2.3. Cualquier polinomio divide al polinomio cero, ya que 0 = g · 0.Por otro lado, el unico polinomio que divide al cero es el polinomio cero.

Ejemplo 2.2.4. Si f = 32t3− 2t2 + t− 29 ∈ Q[t] y c = 8, entonces c | f . Se debemostrar que f = cg para algun polinomio g ∈ Q[t]. Se tiene

f = 32t3 − 2t2 + t− 29 =8

8(32t3 − 2t2 + t− 29) = 8

(4t3 − 1

4t2 +

1

8t− 29

8

).

Entonces f = 8g donde g ∈ Q[t]. Esto muestra que 8 | f .En general, es facil probar que si c ∈ K con c 6= 0 y f ∈ K[t], entonces c | f .

Se deja de ejercicio al lector.

Ejemplo 2.2.5. El polinomio g = t− 1 no divide al polinomio f = t2 + t− 1.Supongamos que g sı divide a f y sea h = a0 + a1t tal que f = gh. Entonces

t2 + t+ 1 = a1t2 + (a0 − a1)t− a0

2.2. Divisibilidad 29

Entonces a1 = 1, a0 − a1 = 1 y −a0 = 1 lo cual no es posible. De hecho se tiene

t2 + t− 1 = (t− 1)(t+ 2) + 1.

En la siguiente seccion se estudia el algoritmo para dividir un polinomio entreotro.

El siguiente teorema recoge la propiedades elementales de la divisibilidad.

Teorema 2.2.6. Sea K un campo y sea K[t] el anillo de polinomios sobre K.Entonces,

1. Para cualquier f ∈ K[t], se tiene f | f .

2. Si g | f y f | h, entonces g | h.

3. Sean k1, k2 ∈ K con k1 6= 0 6= k2. Las siguientes condiciones son equivalen-tes:

a) f | gb) k1f | k2g.

4. Si f | g y g | f , entonces g = cf , para algun c ∈ K con c 6= 0.

5. Si g | f y f 6= 0, entonces deg g ≤ deg f .

Demostracion. 3) Supongamos g = fh para algun polinomio h. Multiplicando pork2 ambos lados se tiene k2g = k2fh. Como k1 6= 0, se tiene k2g = k1f(k2k

−11 h).

Recıprocamente, supongamos que k2g = k1fh para algun h. Como k2 6= 0,podemos multiplicar por su inverso multiplicativo para obtener g = f(k−12 k1h).

4) Si g = 0, entonces f tambien es cero y el resultado es trivial. Supongamosentonces que g 6= 0. Existen polinomios h, h1 tales que g = fh y f = gh1. Entoncesg = ghh1. Tomando grados,

deg g = deg g + deg h+ deg h1

Como todos los grados involucrados son numeros enteros, es decir, ninguno es−∞ podemos cancelar deg g y concluir que deg h + deg h1 = 0 y dado quedeg h, deg h1 ≥ 0, se sigue que deg h = deg h1 = 0 y tanto h como h1 son constan-tes distintas de cero.

5) Existe un polinomio h tal que f = gh. Si h fuera el polinomio cero setendrıa que f serıa cero, lo cual es contrario a la hipotesis. Ası h 6= 0 y por lotanto deg h ≥ 0. Como deg f − deg g = deg h ≥ 0, se tiene que deg f ≥ deg g.

Algunos resultados adicionales.

30 2. Polinomios

Teorema 2.2.7. Sean f1, f2 ∈ K[t]. Si g | f1 y g | f2, entonces

g | f1h1 + f2h2

para cualesquiera polinomios h1, h2 ∈ K[t].

Demostracion. La prueba es analoga al correspondiente resultado para numerosenteros. Se deja de ejercicio al lector.

Al igual que en el caso de los entero se tiene la siguiente definicion.

Definicion 2.2.8. Un maximo comun divisor de f y g es un polinomio d 6= 0 talque

a) d | f y d | g, y

b) Si d′ | f y d′ | g, entonces d′ | d.

Definicion 2.2.9. Sean f y g no nulos. Decimos que f y g son asociados si f | gy g | f .

De la definicion se sigue inmediatamente el siguiente teorema.

Teorema 2.2.10. Si d1 y d2 son dos maximos comunes divisores de f y g, en-tonces d1 y d2 son asociados.

2.3. Algoritmo de Euclides

Recordemos ahora el algoritmo para dividir un polinomio entre otro. Seanf = 6t6 + 7t5 + 6t4 + 5t3 + 5t2 + 7t + 2 y g = 3t2 + 2t + 2 polinomios en Q[t].El algoritmo es mas o menos ası. Para empezar dividimos el coeficiente principalde f entre el coeficiente principal de g (esto da 2t4), el resultado lo multiplicamospor g, se lo restamos a f y obtenemos un polinomio f1 de grado menor que f . Esdecir,

f1 = f − 2t4g = f − (6t6 + 4t5 + 4t4) = 3t5 + 2t4 + 5t3 + 5t2 + 7t+ 2.

Esto lo escribimos en la siguiente forma:

2t4

3t2 + 2t+ 2)

6t6 + 7t5 + 6t4 + 5t3 + 5t2 + 7t + 2− 6t6 − 4t5 − 4t4

3t5 + 2t4 + 5t3

2.3. Algoritmo de Euclides 31

Dado que el grado de f1 es todavıa mas grande que el grado de g repetimos elproceso, pero ahora a f1 y obtenemos

2t4 + t3

3t2 + 2t+ 2)

6t6 + 7t5 + 6t4 + 5t3 + 5t2 + 7t + 2− 6t6 − 4t5 − 4t4

3t5 + 2t4 + 5t3

− 3t5 − 2t4 − 2t3

3t3 + 5t2 + 7t

Se continua de esta manera hasta obtener un polinomio de grado estrictamentemas pequeno que el grado de g. Al final de este proceso obtenemos lo siguiente:

2t4 + t3 + t + 1

3t2 + 2t+ 2)

6t6 + 7t5 + 6t4 + 5t3 + 5t2 + 7t + 2− 6t6 − 4t5 − 4t4

3t5 + 2t4 + 5t3

− 3t5 − 2t4 − 2t3

3t3 + 5t2 + 7t− 3t3 − 2t2 − 2t

3t2 + 5t + 2− 3t2 − 2t− 2

3t

El cociente es q = 2t4 + t3 + t+ 1, el resto es r = 3t y por supuesto f = gq + r.El siguiente teorema tambien es conocido como el algoritmo de la division.

Teorema 2.3.1 (Algoritmo de Euclides). Sea K un campo. Dados f, g ∈ K[t]con g 6= 0, existen q, r ∈ K[t] unicos tales que

f = gq + r, con deg r < deg g.

Demostracion. Si f = 0, sean q = r = 0. Como g 6= 0, deg g es un entero nonegativo y deg r = −∞ < deg g, esto de acuerdo con las convenciones tomadaspara −∞. Supongamos ahora que f 6= 0. Haremos la prueba por induccion sobren = deg f . Sea m = deg g. Si m > n, tomamos q = 0 y r = f . Entonces f = gq+rcon deg r = deg f < deg g. Supongamos ahora que n ≥ m. Consideremos ahora elpolinomio

f1 = f − anbmtn−mg

cuyo grado es estrictamente menor que el grado de f . Aplicando la hipotesis deinduccion a f1 se sigue que existen polinomios q1 y r tales que f1 = q1g + r con

32 2. Polinomios

deg r < deg g. Entonces

f =anbmtn−mg + f1 =

anbmtn−mg + q1g + r = qg + r

donde q = anbmtn−m + q1. Esto completa el paso inductivo.

Para la unicidad, supongamos que q1 y r1 son polinomios que satisfacen lasmismas condiciones que q y r. Entonces f = gq+r = gq1+r1. Es decir g(q−q1) =r1 − r. Como el grado de un producto es la suma de los grados, si q − q1 6= 0,se tendrıa que el grado del polinomio en el lado izquierdo es estrictamente masgrande que m; por otro lado, el grado del polinomio r1− r es estrictamente menorm. Luego tiene que ser q − q1 = 0 y por lo tanto tambien r1 − r. Ası q = q1 yr = r1.

Observacion 2.3.2. Terminamos la seccion senalando que el maximo comundivisor de dos polinomios no nulos f y g, al igual que en el caso del anillo de losnumeros enteros, se puede obtener a partir del algoritmo de Euclides. Euclides:

f = gq0 + r0,

g = r0q1 + r1,

r0 = r1q2 + r2,

...

rn−2 = rn−1qn + rn,

rn−1 = rnqn+1,

donde rn es el ultimo residuo distinto de cero.

Ejemplo 2.3.3. Sean f = 3t6 + 9t5 + 3t4 + 9t2− 12t− 12 y g = 3t4 + 6t3− 3t− 6.Aplicando el algoritmo euclidiano obtenemos:

f = g(t2 + t− 1) + 9t3 + 18t2 − 9t− 18,

g = (9t3 + 18t2 − 9t− 18)t

3+ 3t2 + 3t− 6,

9t3 + 18t2 − 9t− 18 = (3t2 + 3t− 6)(3t+ 3).

Un maximo comun divisor de f y g es 3t2 + 3t − 6. El maximo comun divisormonico de f y g es d = t2 + t− 2.

Ejemplo 2.3.4. Utilice el algoritmo euclidiano para verificar que los polinomiosf = 3t4− 2t3− 3t2 + 5t− 2 y g = t2 + 3t+ 2 son primos relativos. Realizamos las

2.4. Regla de Ruffini (Division sintetica) 33

divisiones:

f = g(3t2 − 11t+ 24) + (−45t− 50),

g = (−45t− 50)

(− 1

45t− 17

405

)− 8

81,

−45t− 50 = − 8

81

(3645

8t+

2025

4

).

El maximo comun divisor es una constante, por lo que un maximo comun divisorde f y g es −8/81, que es polinomio de grado 0. Luego f y g son primos relativos.

2.4. Regla de Ruffini (Division sintetica)

A continuacion se explica la Regla de Ruffini, tambien conocido como divisionsintetica. Esta regla proporciona un metodo sencillo para dividir un polinomioentre otro de la forma t− a.

La Regla de Ruffini o division sintetica no es otra cosa que una forma abreviadadel algoritmo de la division cuando el divisor es un factor lineal de la forma t− a.A continuacion explicaremos el metodo con un ejemplo. Primero dividimos elpolinomio f = 2t5 − 6t4 + 3t3 − 8t2 − 2 entre g = t − 3 utilizando el metodo“largo”:

2t4 + 3t2 + t + 3

t− 3)

2t5 − 6t4 + 3t3 − 8t2 − 2− 2t5 + 6t4

3t3 − 8t2

− 3t3 + 9t2

t2

− t2 + 3t

3t− 2− 3t + 9

7

A continuacion se explica la forma abreviada.

1. En el primer renglon se escriben los coeficientes del dividendo, es decir de f ,ordenados de izquierda a derecha, empezando con el coeficiente correspon-diente al termino principal (el que corresponde a la mayor potencia de f),sin omitir terminos nulos. Del divisor t − 3 solo se escribe 3 en el segundorenglon, a la izquierda de la caja invertida como se indica a continuacion.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3

34 2. Polinomios

2. Se baja el coeficiente principal hasta el tercer renglon como se indica conti-nuacion.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3

2?

3. Se multiplica por 3 el coeficiente que se acaba de bajar y el resultado seescribe en el segundo renglon debajo del siguiente coeficiente.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3 6

2?��*

·3

4. Se realiza la suma de los datos en la columna y el resultado se escribe en eltercer renglon.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3 6

2?��*

·30?+

5. Se repite el proceso. Se multiplica 3 por 0 y el resultado s e escribe en elsegundo renglon, debajo del coeficiente en la columa siguiente. Se efectuala suma de los datos en esa columna y el resultado se escribe en el tercerrenglon.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3 6 0

2 0��*

·33?+

6. Repetir el proceso hasta terminar.

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3 6 0 9 3 9

2?��*

·30?+

��*

·33?+

��*

·31?+

��*

·33?+

��*

·37?+

2 − 6 3 − 8 0 − 2

3 6 0 9 3 9

2 0 3 1 3 7

7. Escribir la respuesta. Los numeros en el tercer renglon son los coeficientesdel cociente, excepto el numero en la ultima columna, que corresponde alresiduo o resto. El cociente tiene grado uno menos que el dividendo. En estecaso, como f tiene grado 5, q tiene grado 4.

q = 2t4 + 3t2 + t+ 3, r = 7.

2.5. Raıces de polinomios 35

Observaciones 2.4.1. 1. La Regla de Ruffini es aplicable a polinomios sobrecualquier campo. Se deja al alumno resolver el siguiente ejercicio. Usandodivision sintetica (Regla de Ruffini), calcule el cociente y el resto que seobtiene al dividir el polinomio f = t3 + (2i− 4)t2− (7i− 6)t+ 11i+ 2 ∈ C[t]entre t− 1 + i.

2. Sea f ∈ K[t] y g = c(t − a), donde c ∈ K y c 6= 0. Por el algoritmo de ladivision, existen polinomios q, r ∈ K[t] tales que

f = (t− a)q + r = c(t− a)(q

c) + r, deg r < deg(c(t− a)) = 1,

Esto muestra que la division sintetica se puede aplicar aun cuando el divisorno sea monico, primero dividiendo entre t− a para obtener un cociente q yluego dividir todos los coeficientes del cociente entre la constante c.

Ejemplo 2.4.2. Usando la Regla de Ruffini, halle el cociente y el resto que obtieneal dividir f = 3t3 − 12t2 − 12t − 8 entre g = 3t − 15. Escribimos g = 3(t − 5) yaplicamos la division sintetica a f y t− 5.

3 − 12 − 12 − 8

5 15 15 15

3 3 3 7

El cociente que se obtiene al dividir f entre t− 5 es q = 3t2 + 3t+ 3 y el restor = 7; el cociente que se obtiene al dividir f entre 3t− 15 es q/3 = t2 + t+ 1:

f = (t− 5)(3t2 + 3t+ 3) + 8 = (3t− 15)3t2 + 3t+ 3

3+ 8

= (3t− 15)(t2 + t+ 1) + 8.

2.5. Raıces de polinomios

Es frecuente usar f(t) en vez de f para denotar a un polinomio en la inde-terminada t. Sin embargo, esta notacion hace que el polinomio f parezca unafuncion con t su variable independiente y definitivamente un polinomio no esuna funcion. Sin embargo, cada polinomio genera una funcion. El polinomiof = a0 + a1t + · · · + ant

n ∈ K[t], da origen a una funcion de K en K que acada α le asocia el elemento

a0 + a1α + · · ·+ anαn

36 2. Polinomios

que se obtiene al sustituir t por α. Abusando de la notacion, denotaremos por fa la funcion ası obtenida:

f : K → K, f(α) = a0 + a1α + · · ·+ anαn

Usaremos la convencion de que α0 = 1 para cualquier α ∈ K. Ası, si f es unpolinomio constante, digamos f = a0 = a0t

0, la funcion inducida por f sera lafuncion constante f(α) = a0.

Ejemplos 2.5.1. 1. Sea f = 3t3 − 3t2 − 3t− 6 ∈ Q[t]. Entonces

f(0) = −6, f(1) = −9 f(2) = 0.

2. Si f = 3 ∈ R[t], entonces f(α) = 3 para todo α ∈ R.

Cuando K es el campo de los numeros complejos, no existe confusion en usarel sımbolo f para denotar tanto al polinomio como a la funcion asociada a el, yaque en esta situacion los polinomios f y g dan origen a la misma funcion si y solosi f = g.

Ejemplo 2.5.2. Sea h = c0 + c1t + c2t2 + c3t

3 un polinomio con coeficientescomplejos tal que la funcion inducida es la funcion cero, es decir que h(α) = 0para toda α ∈ C. Como h es la funcion cero, tambien lo seran cada una de susderivadas. Las primeras 3 derivadas de h son

h(1)(α) = c1 + 2c2α + 3c3α2 = 0,

h(2)(α) = 2c2 + 2 · 3c3α = 0,

h(3)(α) = 3!c3 = 0

En particular se tiene h(0) = c0 = 0, h(1)(0) = c1 = 0, h(2)(0) = 2c2 = 0 yh(3)(0) = 3!c3 = 0. Luego c0 = c1 = c2 = c3 = 0. Luego h es el polinomio cero.

El ejemplo anterior se generaliza en el siguiente teorema.

Teorema 2.5.3. Sean f, g ∈ C[t]. f y g dan origen a la misma funcion si y solosi f = g.

Demostracion. Obviamente, si f y g son iguales dan origen a la misma funcion.Supongamos ahora que las funciones inducidas por los polinomios f =

∑ait

i

y g =∑bit

i son iguales, es decir, f(α) = g(α) para toda α ∈ C. Veamos quelos polinomios f y g son iguales, es decir, que ai = bi para toda i. Sea h(α) =f(α)−g(α) =

∑ciα

i = 0, donde ci = ai−bi. Dado que h es la funcion cero, todassus derivadas tambien lo son. Pero

h(α) = c0 + c1α + c2α2 + c3α

3 + c4α4 + · · · ,

h(1)(α) = c1 + 2c2α + 3c3α2 + 4c4α

3 + · · ·h(2)(α) = 2c2 + 2 · 3c3α + 3 · 4c4α2 + · · ·h(3)(α) = 3!c3 + 2 · 3 · 4c4α + · · ·


En particular, h(i)(0) = 0 para toda i ≥ 0. Ası,

0 = h(0) = c0,

0 = h(1)(0) = c1,

0 = h(2)(0) = 2c2,

0 = h(3)(0) = 3!c3,

...

Un proceso inductivo simple (se deja al lector escribir los detalles) muestra queh(i)(0) = i!ci para toda i ≥ 0. Entonces 0 = ai − bi y queda demostrado elteorema.

Observacion 2.5.4. El teorema nos es cierto con otro tipo de campos, por ejem-plo con campos finitos. Consideremos el anillo F3[t], donde F3 = {0, 1, 2} denota alcampo finito de 3 elementos. Los polinomios f = t y g = t+(t3−t)2 = t6−2t4+t2+tdan origen a la misma funcion de F3, a saber, α 7→ α.

Si el lector no esta familiarizado con campos finitos, es suficiente que conserveen mente que si K no es el campo de los numeros complejos o algun subcampode el, entonces el teorema no necesariamente es cierto.

Definicion 2.5.5. Sea f ∈ K[t]. Se dice que α ∈ K es una raız o cero de f sif(α) = 0.

Las raıces del polinomio f son las soluciones de la ecuacion f(α) = 0.

Ejemplo 2.5.6. Considere el polinomio f = t2 + 1. Si f ∈ R[t], es bien sabidoque la ecuacion f(α) = 0 no tiene solucion, es decir, f no tiene ceros en el campode los numeros reales. Pero si f ∈ C[t], entonces f tienes dos ceros y estos son iy −i.

El ejemplo anterior muestra el hecho de que un polinomio tenga una raız o nola tenga depende del campo en el cual se consideren sus coeficientes.

Teorema 2.5.7 (El Teorema del residuo). Si f ∈ K[t] es dividido por t − α,entonces el residuo es f(α).

Demostracion. De acuerdo con el Teorema 2.3.1, existen polinomios q (cociente)y r (residuo) tales que

f = (t− α)q + r, deg r < deg(t− α) = 1.

Como deg r < 1, entonces deg r = −∞ o deg r = 0. En el primer caso r = 0y en el segundo r es una constante diferente de cero. En cualquier caso r ∈ K.Entonces

f(α) = (α− α)q(α) + r = r.

38 2. Polinomios

Ejemplo 2.5.8. Calcule el resto que se obtiene al f = 3t3− 12t2− 33t+ 72 entret+ 3.

De acuerdo con el Teorema del Resiudo, debemos calcular f(−3). Podemoshacer esto de dos maneras. Primero por evaluacion directa:

f(−3) = 3(−3)3 − 12(−3)2 − 33(−3) + 72 = −18.

La segunda manera es usando la Regla de Ruffini:

3 − 12 − 33 72

− 3 − 9 63 − 90

3 − 21 30 − 18

.

Teorema 2.5.9 (El Teorema del factor). Sea f ∈ K[t] un polinomio. Entonces αes cero de f si y solo si t− a divide a f . En sımbolos,

f(α) = 0⇔ t− α | f.

Demostracion. Sea α ∈ K. De acuerdo con el Teorema 2.5.7, se tiene

f = (t− α)q + f(α).

Si α es un cero de f entonces f(α) = 0 y t − α divide a f . Recıprocamente,si t − α divide a f , entonces f = (t − α)q para algun polinomio q. Entoncesf(α) = (α− α)q(α) = 0q(α) = 0 y α es una raız de f .

Ejemplo 2.5.10. Determine si α = 2/3 es un cero del polinomio f = 6t3 + 2t2 +2t− 4. Basta aplicar la Regla de Ruffini para determinar si t− α divide o no a f :

6 2 2 − 423

4 4 4

6 6 6 0

.

Como f(2/3) = 0, se sigue que α si es una raız de f .

2.5.1. Teorema fundamental del Algebra

A partir de aquı, centraremos nuestra atencion a polinomios con coeficientescomplejos.

El siguiente teorema garantiza que todo polinomio con coeficientes complejosde grado n > 0 tiene al menos una raız compleja, aunque no dice como calcularlas raıces.

Teorema 2.5.11 (Teorema Fundamental del Algebra). Sea f ∈ C[t] con deg f ≥1. Entonces existe al menos un α ∈ C tal que f(α) = 0.


Demostracion. Se omite la prueba ya que esta fuera de los alcances de este curso.

Es claro que todo polinomio de grado uno tiene una raız, de hecho, si f = a+bt,una raız es −a/b. Si es un polinomio de grado 2, digamos f = a + bt + ct2, losceros de f se calculan usando la formula general

α =−b±

√b2 − 4ac

2a

Por ejemplo, si f = (i+ 2)t2 + (7−4i)t+ 3 + 29i, entonces a = i+ 2, b = 7−4iy c = 3 + 29i. Luego,

α =−7 + 4i±

√(7− 4i)2 − 4(i+ 2)(3 + 29i)

2(i+ 2)

=−7 + 4i±

√125− 300i

4 + 2i

=−7 + 4i± 15− 10i

4 + 2i

=(−7± 15) + (4∓ 10)

4 + 2i.

Entonces

α1 =8− 6i

4 + 2i= 1− 2i,

α2 =−22 + 14i

4 + 2i= −3 + 5i.

La solucion para la ecuacion cubica general se debe a los algebristas italia-nos del siglo XVI Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia y Girolamo Cardano. Elalumno de Cardano, Ludovico Ferrari descubrio que la ecuacion general cuartose puede reducir a una ecuacion cubica y por tanto ser resuelta por medio deraıces cuadradas y raıces cubicas. Estas formulas fueron publicadas por primeravez por Cardano (1501-1676) en 1545 en su libro Ars Magna. Tales formulas soncomplicadas y de poca utilidad para el calculo numerico.

Se dice que una ecuacion es soluble por radicales si sus raıces pueden ser ex-presadas mediante un numero finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisionesy extracciones de raıces, a partir de sus coeficientes. Ası, las ecuaciones de primeroy hasta cuarto grado son solubles por radicales.

Despues de 300 anos de estar buscando formulas generales para la resolucionde ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que 5, la sospecha de que talesformulas no existıan se hizo cada vez mas fuerte. Fue en 1826 cuando Niels HenrikAbel (1802-1829) demostro que no existe una formula general para las ecuaciones

40 2. Polinomios

polinomiales de grado 5 o superior en terminos de los coeficientes del polinomiousando unicamente las operaciones algebraicas y la extraccion de raıces.

Una generalizacion a los resultados de Abel que es aplicable a todos las ecua-ciones polinomiales fue dada por el joven de 20 anos Evariste Galois. El escribio losresultados de sus investigaciones la noche anterior en la que murio en un duelo.Galois proporciona no solo una elegante respuesta a la pregunta de por que no hayformulas generales para resolucion de ecuaciones de quinto grado y superior, sinoque tambien explica en detalle por que es posible resolver ecuaciones de gradoinferior al quinto, y por que las soluciones son expresables mediante operacio-nes algebraicas y extraccion de raıces. Con esto da comienzo la Teorıa de Galois.Galois tambien da respuesta a los problemas clasicos de geometrıa de la construc-tibilidad mediante regla y compas (cuadratura del cırculo, duplicacion del cubo ytriseccion de un angulo).

El siguiente teorema es una consecuencia del Teorema Fundamental del Alge-bra.

Teorema 2.5.12 (Teorema de la Factorizacion Unica). Sea f ∈ C[t] con n =deg f ≥ 1. Entonces existen α1, . . . , αn ∈ C y 0 6= c ∈ C tales que

f = c(t− α1) · · · (t− αn). (2.5.12.1)

La factorizacion es unica salvo el orden en que aparecen los factores.

Demostracion. (Existencia) La prueba es por induccion. Si n = 1, f = a0 + a1t =c(t− α), donde c = a1 y α = −a0/a1.

Supongamos ahora que el teorema es cierto para polinomios de grado mayorque 1. De acuerdo con el Teorema 2.5.11, f tiene al menos una raız compleja.Llamemos a este cero αn. De acuerdo con el Teorema del Residuo, t − αn dividea f , es decir,

f = (t− αn)q (2.5.12.2)

para algun polinomio q. Dado que f tiene grado n, se sigue que q es un polinomio degrado n− 1. De acuerdo con la hipotesis de induccion, existen numeros complejosα1, . . . , αn−1 y una constante c distinta de cero tal que q = c(t−α1) · · · (t−αn−1).Sustituyendo q en (2.5.12.2) se completa el paso inductivo.

(Unicidad) Queda pendiente por ahora.

Es claro que los αj’s son los unicos ceros complejos de f . Y tambien debe serclaro que los ceros no necesariamente son distintos. Agrupando los ceros que serepiten, podemos reescribir la Ecuacion (2.5.12.1) como sigue

f = c(t− β1)m1 · · · (t− βr)mr ,

donde los βj’s son distintos entre sı, mi ≥ 1 y m1 + · · · + mr = n. Se dice que elnumero mi es la multiplicidad del cero βi.


Ejemplo 2.5.13. Si

f = (1 + i)(t− 1 + 2i)(t+ 3− 4i)(t+ 3− 2i)(t− 1 + 2i)(t+ 3− 2i)(t+ 3− 2i),

agrupando los terminos comunes se tiene

f = (1 + i)(t− 1 + 2i)2(t+ 3− 2i)3(t+ 3− 4i)

Ası, el cero β1 = 1− 2i aparece dos veces, el cero β2 = −3 + 2i aparece tres vecesy el cero β = −3 + 4i solo aparece una vez.

La multiplicidad de un cero se puede definir usando el concepto de divisibilidadcomo sigue:

Definicion 2.5.14. α es un cero (o raız) de multiplicidad m del polinomio f si(t− a)m | f pero (t− a)m+1 - f .

Ası, podemos decir que todo polinomio de grado n sobre el campo de los nume-ros complejos tiene exactamente n raıces tomando en cuenta su multiplicidad.

Observacion 2.5.15. α es una raız de multiplicidad m si y solamente si f =(t − α)q para algun polinomio q con q(α) 6= 0. Si q(α) = 0, entonces α serıauna raız de q y q = (t − α)q1 para algun polinomio q1. Entonces se tendrıa quef = (t − α)m+1q1 y (t − α)m+1 | f . Esto contradice la afirmacion que α tienemultiplicidad m. Recıprocamente, si f(t− α)q con q(α) 6= 0, es claro que α es uncero y (t−α)m | f . Si tambien (t−α)m+1 dividiera a f , digamos f = (t−α)m+1q1.Igualando las dos expresiones para f , (t − α)m+1q1 = (t − α)mq y como el anilloC[t] es un dominio entero, se puede cancelar y obtenemos q = (t− α)q1. Esto nosconduce a la contradiccion q(α) = 0.

2.5.2. Derivadas y multiplicidad

En esta subseccion estudiaremos la relacion que existe las derivadas de unpolinomio y la multiplicidad de sus raıces.

Definicion 2.5.16. Sea f =∑ait

i un polinomio. La derivada formal f ′ de f(tambien denotada por Df) es el polinomio f ′ =

∑iait

i−1. Para n ≥ 1, la (n+1)-esima derivada f (n+1) de f es la derivada de la n-esima derivada: f (n+1) = (f (n))′.

Se conviene en que f (0) = f . De esta manera f (n) esta definido para todon ≥ 0.

La prueba del siguiente teorema es directa de la definicion y se deja de ejercicioal lector.

Teorema 2.5.17. Si f, g son polinomios y a, b son constantes, entonces

1. (af + bg)′ = af ′ + bg′.

42 2. Polinomios

2. (fg)′ = f ′g + fg′.

3. Si m es un entero positivo, entonces fm = mfm−1f ′.

A continuacion se presenta la relacion entre las derivadas y la multiplicidadde las raıces. Primero un ejemplo.

Ejemplo 2.5.18. Sea α un cero de multiplicidad 3 de un polinomio f . Entoncesf = (t− α)3q para algun polinomio q con q(α) 6= 0. Derivando f :

f ′ = 3(t− α)2q + (t− α)3q′,

f (2) = 6(t− α)q + 3(t− α)2q′ + 3(t− α)2q′ + (t− α)3q′′,

f (3) = 6q + 6(t− α)q′ + 6(t− α)q′ + 3(t− α)2q′′ + 3(t− α)2q′′ + (t− α)3q′′′.

Entonces f (0)(α) = f (1)(α) = f (2)(α) = 0, pero f (3)(α) = 6q(α) 6= 0.El recıproco tambien es cierto como se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 2.5.19. Sea f ∈ C[t] de grado n > 0. Entonces α ∈ C es una raız demultiplicidad m si y solamente si

a) f (0)(α) = f (1)(α) = · · · = f (m−1)(α) = 0,

b) f (m)(α) 6= 0.

Demostracion. La prueba es por induccion sobre m. Supongamos que α es unraız de multiplicidad 1. Escribamos f = (t − α)q con q(α) 6= 0. Entonces f ′ =tq + (t− α)q′ y

f (0)(α) = f(α) = 0, f ′(α) = αq(α) 6= 0.

Supongamos ahora que la afirmacion es verdadera para m > 1. Sea α una raızde multiplicidad m + 1 y escribamos f = (t− α)m+1q con q(α) 6= 0. La derivadade f es

f ′ = (m+ 1)(t− α)mq + (t− α)m+1q′

= (t− α)m ((m+ 1)q + (t− α)q′)

De aquı se tiene que (t−α)m | f ′. Observe que t−α no divide a (m+1)q+(t−α)q,pues si lo hiciera, como t−α divide a (t−α)q′, t−α tendrıa que dividir a (m+1)qy por lo tanto a q, implicando que q(α) = 0. Ası α es una raız de multiplicidadm del polinomio f ′. Aplicando induccion a f ′, se tiene que (f ′)(i)(α) = 0 parai = 0, . . . ,m− 1 y (f ′)(m)(α) 6= 0. Es decir

f (1)(α) = f (2)(α) = · · · = f (m)(α) = 0, f (m+1)(α) 6= 0.

La recıproca tambien sera mostrada por induccion. Supongamos ahora que αes tal que f (0)(α) = 0 y f (1)(α) 6= 0. Entonces α es una raız de f , es decir, t−α | f


y α no es raız de f ′ ya que f ′(α) 6= 0. Se afirma que la raız es de multiplicidad1. Si este no fuera el caso, se tendrıa que f = (t − α)2q para algun polinomio q.Derivando f

f ′ = 2(t− α)q + (t− α)2q′.

Se tendrıa que f ′(α) = 0 que es una contradiccion. Entonces α es una raız demultiplicidad 1.

Supongamos ahora que la afirmacion es valida para m > 1. Supongamos queα es tal que

f (0)(α) = f (1)(α) = · · · = f (m)(α) = 0, f (m+1)(α) 6= 0,

Considerando que para i > 0 se tiene que f (i) = (f ′)(i−1), aplicamos la hipotesisde induccion a f ′ y se concluye que α es una raız de multiplicidad m de f ′. Esdecir para algun polinomio q,

f ′ = (t− α)mq, y t− α - q

Ahora bien, como α es una raız de f escribimos f = (t− α)m1q1 con q1(α) 6= 0 ym1 ≥ 1. Derivando esta expresion para f ,

f ′ = m1(t− α)m1−1q1 + (t− α)m1q′1 = (t− α)m1−1q2,

donde q2 = m1q1 + (t − α)q′1. Dado que t − α - q1, se concluye que t − α - q2 ytampoco (t−α)m divide a q2. Comparando las dos expresiones para f ′ se obtiene

(t− α)mq = (t− α)m1−1q2.

Como (t−α)m no divide a q2, (t−α)m | (t−α)m1−1 y por lo tanto deg(t−α)m ≤deg(t − α)m1−1, es decir, m ≤ m1 − 1. Analogamente, como (t − α)m1−1 - q,entonces (t− α)m1−1 | (t− α)m y en consecuencia m1 − 1 ≤ m. Esto muestra quem1 = m+ 1. Esto concluye el paso inductivo y tambien la demostracion.

Ejemplo 2.5.20. Una raız del polinomio f = t5−5t4 +7t3−2t2 +4t−8 es α = 2.Determine su multiplicidad y exprese f de la forma f = (t− 2)mq con q(2) 6= 0.

La primeras tres derivadas de f con las respectivas evaluaciones son,

f ′ = 5t4 − 20t3 + 21t2 − 4t+ 4, f ′(2) = 0,

f ′′ = 20t3 − 60t2 + 42t− 4, f ′′(2) = 0,

f ′′′ = 60t2 − 120t+ 42, f ′′′(2) = 42.

De acuerdo con el teorema anterior, la raız 2 tiene multiplicidad 3.Usemos ahora la Regla de Ruffini como sigue. Primero dividimos f entre t−2.

1 − 5 7 − 2 4 − 8

2 2 − 6 2 0 8

1 − 3 1 0 4 0

44 2. Polinomios

Entonces f = (t − 2)g1, donde g1 = t4 − 3t3 + t2 + 4. Ahora dividimos g1 entret− 2:

1 − 3 1 0 4

2 2 − 2 − 2 − 4

1 − 1 − 1 − 2 0

Luego f = (t − 2)2g2, donde g2 = t3 − t2 − t − 2. Una ultima aplicacion de ladivision sintetica nos da:

1 − 1 − 1 − 2

2 2 2 2

1 1 1 0

Entonces f = (t− 2)3g3, donde g3 = t2 + t+ 1 y t− 2 - g3.

Teorema 2.5.21. Un polinomio f tiene una raız de multiplicidad mayor que 1 siy solamente si f y f ′ no son primos relativos.

Demostracion. Supongamos que α que una raız de multiplicidad m > 1. Entonces

f = (t− α)mq y t− α - q,

para algun polinomio q. Derivando f ,

f ′ = m(t− α)m−1q + (t− α)mq′

Por lo tanto α tambien es una raız de f ′, es decir t − α | f ′. Esto muestra quet− α es un divisor comun de f y f ′. Por lo tanto f y f ′ no son primos relativos.

Recıprocamente, supongamos f y f ′ no son primos relativos y sea d el maximocomun divisor de f y f ′. Como d no es una constante, su grado es positivo y porlo tanto, por el Teorema 2.5.11, d tiene al menos una raız, digamos α. Entoncest−α | f y t−α | f ′, es decir, f (α) = f (1)(α) = 0. De acuerdo con el Teorema 2.5.19,la multiplicidad de α es al menos 2.

Observacion 2.5.22. El teorema anterior se puede reescribir de la siguiente ma-nera:

f no tiene raıces multiples si y solamente si f y f ′ son primosrelativos.

Ejemplo 2.5.23. Determine si el polinomio f = t3− 3t− 2 tiene raıces multipleso no. La derivada de f es f ′ = 3t2 − 3. Calculemos el maximo comun divisormediante el algoritmo euclidiano.

f = g

(t

3

)− 2t− 2,

g = (−2t− 2)

(−3

2t+

3

2

).


El maximo comun divisor monico de f y g es t + 1. Como f yf ′ no son primosrelativos concluimos que f tiene una raız de multiplicidad mayor que 1.

2.5.3. Teorema de las raıces racionales

El siguiente teorema limita la busqueda de raıces de polinomios cuyos coefi-cientes son todos enteros.

Teorema 2.5.24 (Teorema de las raıces racionales). Sea f = a0 +a1t+ · · ·+antn

un polinomio de grado n con coeficientes enteros. Si r/s ∈ Q con r y s primosrelativos es una raız de f , entonces r divide al termino constante y s divide alcoeficiente principal: r | a0 y s | an. En particular, si f es un polinomio monicocon coeficientes enteros y f(d) 6= 0 para cada divisor d del termino constante,entonces f no tiene raıces en Q.

Demostracion. De acuerdo con la hipotesis,

0 = f(r/s) = a0 + a1

(rs

)+ · · ·+ an−1

(rs

)n−1+ an

(rs

)n.

Multiplicando por sn se obtiene

0 = a0sn + a1s

n−1r + · · ·+ an−1srn−1 + anr

n.

Luego,

anrn = s

(−a0sn−1 − a1sn−2r − · · · − an−1rn−1

)por lo que s divide a anr

n. Por hipotesis, r y s son primos relativos, ası que sdivide a an.

Por otro lado se tiene,

a0sn = r

(−a1sn−1 − · · · − an−1srn−2 − anrn−1

)y por lo tanto r | a0sn y como r y s son primos relativos, se tiene que r | a0.Ejemplo 2.5.25. Veamos si el polinomio f = 6t3 + 4t2 + 4t− 2 cuyos coeficientesson todos enteros tiene raıces racionales. De acuerdo con Teorema 2.5.24, lasposibles raıces racionales son de la forma r/s donde r | −2 y s | 10. Los divisores de−2 son A = {1, 2,−1,−2}. Los divisores de 6 son B = {1, 2, 3, 6,−1,−2,−3,−6}.Los posibles pares (r, s) son |A×B| = 4× 8 = 32. Al realizar los cocientes r/s seobtiene que los posibles ceros son

{1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/6, 2,−1/3,−1,−1/6,−1/2,−2/3,−2}.Lo que sigue es probar cada uno de los candidatos y esto puede hacerse por mediode la division sintetica o simplemente evaluando f en cada uno de estos valores.Vemos que f(1) = 12 y f(1/3) = 0. Luego 1/3 es un cero de f . Usando la divisionsintetica obtenemos Luego, f = (t − 1/3)(6t2 + 6t + 6) = 6(t − 1/3)(t2 + t + 1).El polinomio g = t2 + t+ 1 es monico, los divisores del termino constante son 1 y−1 y g(d) 6= 0 para d ∈ {1,−1}, se sigue que g no tiene raıces racionales. Ası, launica raız racional de f es 1/3.

46 2. Polinomios

2.5.4. Formulas de Vieta

A continuacion veamos las relaciones que existen entre los coeficientes y lasraıces de un polinomio.

Ejemplo 2.5.26. Consideremos el polinomio monico f = a0 + a1t+ t2 ∈ C[t]. Deacuerdo con el Teorema 2.5.12, f se puede factorizar en un producto de factoreslineales:

f = (t− r1)(t− r2)

donde r1 y r2 son las raıces de f . Desarrollando el lado derecho obtenemos

t2 + a1t+ a0 = t2 − (r1 + r2)t+ r1r2.

Luego a0 = r1r2 y a1 = −(r1 + r2).

Ejemplo 2.5.27. Sea f = t3 + a2t2 + a1t

1 + a0 ∈ C[t] y sean r1, r2, r3 sus raıces.Entonces

f = (t−r1)(t−r2)(t−r3) = t3− (r1 +r2 +r3)t2 +(r1r2 +r1r3 +r2r3)t−r1r2r3.

Por lo tanto,

a0 = −r1r2r3, a1 = r1r2 + r1r3 + r2r3, a2 = −(r1 + r2 + r3).

Un ejemplo final,

Ejemplo 2.5.28. Sean r1, r2, r3, r4 todas las raıces del polinomio monico t4 +a3t

3 + a2t2 + a1t

1 + a0 de grado 4. Luego f = (t − r1)(t − r2)(t − r3)(t − r4).Desarrollando el lado derecho

f = t4 − (r1 + r2 + r3 + r4)t3 + (r1r2 + r1r3 + r2r3 + r1r4 + r2r4 + r3r4)t

2

− (r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4)t+ r1r2r3r4.

Por lo tanto,

a0 = r1r2r3r4,

a1 = −(r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4),

a2 = r1r2 + r1r3 + r2r3 + r1r4 + r2r4 + r3r4,

a3 = −(r1 + r2 + r3 + r4).

Se tiene el siguiente teorema que es facil de probar por induccion.


Teorema 2.5.29 (Formulas de Vieta). Sea f = a0+a1t+· · ·+an−1tn−1+tn ∈ C[t]y sean r1, . . . , rn todas sus raıces. Entonces

f = tn − s1tn−1 + s2tn−2 + · · ·+ (−1)nsn

donde

s1 = r1 + · · ·+ rn,

s2 = r1r2 + r1r3 + · · ·+ r2r3 + r2r4 + · · ·+ rn−1rn...

sn = r1r2 · · · rn

Es decir, si la suma de los productos de las rj’s tomadas de i en i.

Ejemplo 2.5.30. Encuentre todas las raıces del polinomio f = 3t3−15t2−27t+135 sabiendo que una de las raıces es el negativo de la otra.

Escribimos f = 3g donde g es el polinomio monico g = t3 − 5t2 − 9t + 45.Nombremos a las raıces de g por r1, −r1 y r2. De acuerdo con el teorema se tieneque −5 = −(r1− r1 + r2) = −r2. Ası, una raız es 5. Ahora reducimos g aplicandola Regla de Ruffini:

1 − 5 − 9 45

5 5 0 − 45

1 0 − 9 0

Luego g = (t− 5)(t2 − 9) = (t− 5)(t− 3)(t+ 3). Como f = 3(t− 5)(t− 3)(t+ 3)las raıces de f (que son las mismas que las de g) son 5, 3,−3.

Ejemplo 2.5.31. Las raıces del polinomio f = t3 + 6t2 + c t − 10, tomadas endeterminado orden, estan en progresion aritmetica. Halle las raıces y el valor delcoeficiente c.

De acuerdo con las formulas de Vieta (Teorema 2.5.29) para n = 3,

−(r1 + r2 + r3) = 6,

r1r2 + r1r3 + r2r3 = c,

−r1r2r3 = −10.

Como las raıces estan en progresion aritmetica, podemos suponer que las raıcesson r2 − d, r2, r2 + d. Sustituyendo en la primera ecuacion, obtenemos −3r2 = 6,de donde r2 = −2. Como −2 es una raız sabemos que f(−2) = 0. Calculamosf(−2) usando Regla de Ruffini: calcular f(−2).

1 6 c −10−2 −2 −8 −2c+ 16

1 4 c− 8 −2c+ 6

48 2. Polinomios

Ası 0 = f(−2) = −2c+ 6, i.e., c = 3. Por lo tanto f = (t+ 2)(t2 + 4t− 5) = (t+2)(t+5)(t−1). Las raıces son −5,−2, 1 (Note que estan en progresion aritmetica:−5,−5 + 3,−2 + 3 o tambien −2− 3,−2,−2 + 3).

2.5.5. Polinomios con coeficientes reales

En esta subseccion mostraremos que todo polinomio de grado positivo concoeficientes reales puede expresarse como un producto de polinomios no constantescon coeficientes reales de grado a lo mas dos de tal manera que los polinomios degrado 2 no tienen raıces reales.

Ejemplo 2.5.32. El polinomio t4 − 1 se puede factorizar de la siguiente manera

t4 − 1 = (t2 − 1)(t2 + 1) = (t− 1)(t+ 1)(t2 + 1).

Dado que las raıces cubicas de la unidad son

1, −1

2+

1

2i√

3, −1

2− 1

2i√

3,

el polinomio t3 − 1 se puede factorizar en las siguientes formas:

t3 − 1 = (t− 1)

(t+

1

2− 1

2i√

3

)(t+

1

2+

1

2i√

3

)= (t− 1)(t2 + t+ 1).

En la primera factorizacion dos factores tiene coeficientes complejos. En la segundafactorizacion todos los polinomios tienen coeficientes reales.

A continuacion algunos preliminares.

Definicion 2.5.33. Si f = a0 + a1t+ · · ·+ antn es un polinomio con coeficientes

complejos, el conjugado de f es el polinomio

f = a0 + a1t+ · · ·+ antn.

Ejemplo 2.5.34. Por ejemplo, si f = (2−i)+(3+2i)t+(−1+i)t2+4t3, entonces

f = (2 + i) + (3− 2i)t+ (−1− i)t2 + 4t3.

El siguiente teorema enumera las propiedades basicas de la conjugacion depolinomios.

Teorema 2.5.35. Sea f, g, h ∈ C[t]. Entonces

1. f = f .

2. f = f si y solamente si f ∈ R[t].


3. Si f = gh, entonces f = gh.

4. g | f si y solamente si g | f .

5. Si f tiene coeficientes reales, entonces

g | f ⇔ g | f.

Demostracion. Las primeras cuatro propiedades son consecuencias directas delas correspondientes propiedades de la conjugacion de numeros complejos. Seanf =

∑ait

i, g =∑bit

i y h =∑cit

i.1) Se tiene

f =∑

aiti =∑

aiti =

∑ait

i = f.

2) Se tienef = f ⇔ ai = ai ∀i⇔ ai ∈ R ∀i.

3) Supongamos que ak =∑

i+j=k bicj para todo k. Entonces

ak =∑i+j=k

bicj =∑i+j=k

bicj =∑i+j=k

bicj.

Los incisos 4) y 5) son inmediatos de 3) y 4), respectivamente.

Teorema 2.5.36. Sea f un polinomio con coeficientes reales. Si α ∈ C es unaraız de f de multiplicidad m, entonces α tambien es una raız de f de multiplicidadm.

Demostracion. Como la multiplicidad de α es m se tiene que

(t− α)m | f y (t− α)m+1 - f.

De acuerdo con el teorema anterior, se tiene que

(t− α)m = (t− α)m | f = f,

Esto muestra que α es una raız de f . Si (t− α)m+1 dividiera a f se tendrıa que

(t− α)m+1 = (t− α)m+1 | f

lo cual no es cierto. Esto muestra que la multiplicidad de la raız α es m.

Por lo tanto, si un f es un polinomio que tiene coeficientes reales, el numerode raıces complejas que no son reales debe ser un numero par.

Veamos esto primero con un ejemplo.

50 2. Polinomios

Ejemplo 2.5.37. Sea f un polinomio con coeficientes reales de grado 5. Suponga-mos que α1, α2, α3 son raıces de multiplicidad 2, 2 y 1, respectivamente. Entonces

f = c(t− α1)2(t− α2)

2(t− α3), c ∈ R.

Supongamos que α1 /∈ R. De acuerdo con el teorema, se tiene que α1 tambien esuna raız de f de multiplicidad 2. Entonces α1 = α2. Como α3 tambien es una raızde multiplicidad 1, se sigue que α3 = α3 y por lo tanto α3 ∈ R. Entonces

f = c(t− α1)2(t− α1)

2(t− α3)

= c(t2 − (α1 + α1)t+ α1α1)(t− α3)

= c(t2 − 2 Reα1t+ |α1|2)(t− α3)

Esto muestra que f se puede expresar como un producto de polinomios de gradoa lo mas 2 de tal manera que los polinomios de grado 2 no tienen raıces reales.

Teorema 2.5.38. Todo polinomio f de grado positivo con coeficientes reales puedeexpresarse como un producto de polinomios con coeficientes reales de grado menoro igual a dos de tal manera que los polinomios de segundo grado no tienen raıcesreales.

Ejemplo 2.5.39. Exprese el polinomio f = 3 t6− 24 t5 + 87 t4− 180 t3 + 228 t2−168 t+60 como un producto de polinomios con coeficientes reales de grado maximo2, con la particularidad de que los polinomios de segundo grado no deben tenerraıces reales, sabiendo que α = 1 + i es una raız de multiplicidad 2.

Dado que α = 1 + i es una raız de multiplicidad 2, entonces α = 1− i tambienes una raız de multiplicidad 2. Entonces

p = (t− α)(t− α) = t2 − 2 Reα + |α|2 = t2 − 2t+ 2

es un factor de f que aparece dos veces. Dividiendo f entre p2 o f entre p y elcociente resultante entre p:

3t4 − 18t3 + 45t2 − 54t + 30

t2 − 2t+ 2)

3t6 − 24t5 + 87t4 − 180t3 + 228t2 − 168t + 60− 3t6 + 6t5 − 6t4

− 18t5 + 81t4 − 180t3

18t5 − 36t4 + 36t3

45t4 − 144t3 + 228t2

− 45t4 + 90t3 − 90t2

− 54t3 + 138t2 − 168t54t3 − 108t2 + 108t

30t2 − 60t + 60− 30t2 + 60t− 60

0

2.6. Ejercicios 51

3t2 − 12t + 15

t2 − 2t+ 2)

3t4 − 18t3 + 45t2 − 54t + 30− 3t4 + 6t3 − 6t2

− 12t3 + 39t2 − 54t12t3 − 24t2 + 24t

15t2 − 30t + 30− 15t2 + 30t− 30

0

El discriminante del polinomio t2 − 4t+ 5 es negativo ası que este no tiene raıcesreales. La factorizacion pedida es f = 3(t2 − 2t+ 2)2(t2 − 4t+ 5).

2.6. Ejercicios

1. Calcule la suma y el producto de los siguientes pares de polinomios:

a) f = −7t2 + t+ 12, g = −44t2 − 3t.

b) f = −13t2 + t+ 1

2, g = −t+ 2.

c) f = −21t2 + 322

, g = t− t− 1.

d) f = 334t2 − t− 1

2, g = −t2 − t+ 29

7.

2. La derivada formal de un polinomio esta bien definida para cualquier campoK y no se necesita el concepto de lımite para la definicion. Sea K un campo.Si f(t) =

∑ait

i ∈ K[t] la derivada formal f ′(t) esta definida por f ′(t) =∑iait

i−1. Por ejemplo, si f(t) = a0 + a1t + a2t2, entonces su derivada es

f ′(t) = a1 + 2a2t. Si f, g ∈ K[t] y a, b ∈ K, pruebe que

a) (af(t) + bg(t))′ = af ′(t) + bg′(t);

b) (f(t)g(t))′ = f ′(t)g(t) + f(t)g′(t);

c) (f(g(t)))′ = f ′(g(t))g′(t).

3. Sea f ∈ K[t] un polinomio de grado 7. Si f = f1f2f3f4 donde cada fi es degrado positivo, pruebe que dos de los fi tiene el mismo grado. Si f = f1f2f3con deg fi > 0 para i = 1, 2, 3, ¿se puede concluir que dos fi tienen el mismogrado?

4. Sea f ∈ K[t] de grado 8 y suponga que f = f1f2f3f4, donde deg fi > 0 parai = 1, 2, 3, 4. Pruebe que dos de los fi tienen el mismo grado.

5. Evalue cada el polinomio en los puntos indicados.

a) f = −2 + 3t+ 5t3 ∈ Q[t] en α = 0,−1, 3.

52 2. Polinomios

b) f = 3− 2t2 + 4t4 ∈ R[t] en α =√

2, 0.

c) f = 5t2 − 125 ∈ C[t] en α = 3− 2i,−3 + 2i.

d) f = 3t2 − 6t− 45 ∈ C[t] en α = 1− i, 1 + i, 0.

e) f = −(i− 3)t3 − 2t2 + (i+ 1)t− 1 en α = i, i+ 1.

6. Encuentre el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio f entreel polinomio g:

a) f = 3t5 + t4 + 2t3 + 2t2 + 3, g = t2 + 1.

b) f = t7 + 4t6 + 4t5 + 2t4 − t3 + 3t+ 1, g = t2 + t+ 1.

c) f = t5 + 2t4 + 3t3 + 3t2 + 2t+ 1, g = t2 + t+ 1.

7. Calcule el maximo comun divisor de los siguientes pares de polinomios:

a) f = 3t4 − 5t3 − 22t2 + 52t− 24 y g = 5t3 + 20t2 − 15t− 90.

b) f = 5t4 − 16t3 + 3t2 + 20t− 4, g = 7t2 − 7t− 14.

c) f = 3t3 + 6t2 + 6t+ 3 y g = t3 + 3t2 + 4t+ 4.

8. ¿Es g = t2 + t+ 1 un factor de f = t4 + t3 + t2 + t+ 1?

9. Utilice la Regla de Ruffini (metodo de la division sintetica) para encontrarel cociente y el residuo que se obtiene al dividir f entre g.

a) f = t3 + 2t2 + 2t+ 6 entre g = t+ 1.

b) f = 2t3 + t2 + t entre g = 2t− 1.

c) f = t3 + (2i− 4)t2 − (7i− 6)t+ 11i+ 2 ∈ C[t] entre g = t− i− 2.

d) f = 2t3 − 2t2 − 2t+ 4, g = 2t− 4.

10. Calcule el resto que se obtiene al dividir f entre g:

a) f = t4 − t3 − 5t+ 10, g = t− 2.

b) f = 10t4 + 4t3 − 2t2 + 2t− 1, g = 2t+ 2.

11. Sea K un campo y sea K∞ el conjunto de todas las sucesiones infinitas(ak)k≥0 = (a0, a1, . . . , ak, . . . ) tales que ak ∈ K para toda k ≥ 0 y ak = 0para toda k, excepto para un numero finito de k’s. Si K es el campo de losnumeros racionales, entonces la sucesion (1, 1, 2, 3, 1/2, 0, 0, 5, 7, 0, 0, 0, . . . )es un elemento de Q∞. Pruebe que el conjunto K∞ es un anillo conmutativocon unitario con las operaciones de suma y multiplicacion definidas por

(ak) + (bk) = (ak + bk),

(ak)(bk) = (ck),

2.6. Ejercicios 53

donde ck =∑

i+j=k aibj =∑k

i=0 aibk−i. Defina la funcion ϕ : K → K∞

por ϕ(a) = (a, 0, 0, 0, . . . ). Pruebe que ϕ es inyectiva, y tambien que separasumas y productos. Por lo tanto K∞ contiene una copia de K, a saber ϕ(K),y podemos identificar a↔ ϕ(a). Sea t = (0, 1, 0, 0, 0, . . . ). Entonces t ∈ K∞.Pruebe que f = (ak) ∈ K∞ se puede escribir en la forma a0 + a1t + a2t

2 +. . .+ ant

n, donde n se elige de tal manera que ak = 0 para toda k > n.

Este ejemplo muestra que los polinomios sobre un campo K pueden serdefinidos como sucesiones de elementos de K.

12. Pruebe que el polinomio t2−2 ∈ Q[t] no puede expresarse como el productode dos polinomios en Q[t] de grado 1. En otras palabras, pruebe que en t2−2no se puede factorizar en Q[t].

13. (Polinomios de interpolacion de Lagrange)

a) Sea K un campo. Sean α1, α2, α3 ∈ K distintos entres sı. Para cadaj ∈ {1, 2, 3} construya el polinomio

gj =∏i 6=j

t− αiαj − αi

.

Por ejemplo,

g1 =(t− α2)(t− α3)

(α1 − α2)(α1 − α3).

Verifique que

gj(αi) =

{0 si i 6= j,

1 si i = j.

Sean β1, β2, β3 ∈ K elementos arbitrarios. Construya un polinomio gde grado 3 tal que g(α1) = β1, g(α2) = β2 y g(α3) = β3.

b) Sea K el campo de los numeros reales. Sean α1 = −1, α2 = −1, α3 = 2,β1 = 2, β2 = −5 y β3 = 1. Encuentre un polinomio g de grado 3 talque g(αi) = βi.

c) SeaK un campo. Sean α1, . . . , αn puntos distintos deK y sean β1, . . . , βnpuntos de K. Encuentre un polinomio g de grado n tal que g(αi) = βi.

14. Factorice el polinomio t2 − 2 ∈ R[t] como el producto de dos polinomios degrado 1.

15. Sea f = t3 + 6t2 + 12t + 8 ∈ C[t]. Encuentre todos los ceros de f , es decir,halle todas las α ∈ C tales que f(α) = 0.

54 2. Polinomios

16. Pruebe las siguientes afirmaciones. Sean f, g, h ∈ K[t].

a) Sea 0 6= c ∈ K. Pruebe que c | f .

b) Si f | g y f | h, entonces h | (g ± h).

c) Si f | (g + h) y f | h, entonces f | g.

17. Sean f, g, h ∈ Z[t], es decir, suponga que f, g, h tienen coeficientes enteros. Sif = gh y g(0) = 5, ¿es posible que f(0) = 123456? Justifique su respuesta.

18. Encuentre el polinomio (o polinomios de grado 2) tal que f(0) = 0, f(1) =−12 y f(−1) = −14.

19. Como K[t] es un anillo conmutativo con unitario, tiene sentido hablar deinversos multiplicativos. Se dice que f ∈ K[t] tiene inverso multiplicativosi existe un polinomio g ∈ K[t] tal que fg = 1. Pruebe que las siguientesafirmaciones son equivalentes:

a) f tiene un inverso multiplicativo.

b) f | 1.

c) deg f = 0.

20. Encuentre todas las raıces del polinomio t4 − 1 ∈ C[t].



23. Sea f, g ∈ K[t]. si f | g, pruebe que toda cero de f es un cero de g.

24. Encuentre todas las raıces racionales, si las tiene, del polinomio f = 10t4 +24t3 + 12t2 + 2t− 12.

25. Encuentre todas las raıces racionales, si las tiene, del polinomio f = t3 +43t2 + 4

3t+ 1

3.

26. Encuentre todas las raıces racionales, si las tiene, del polinomio f = t3+t+1.

27. Una raız del polinomio f = t6 − 6t5 + 13t4 − 13t3 + 6t2 + 4t − 8 es α = 2.Determine su multiplicidad.

28. Utilice el Teorema 2.5.21 para determinar cual o cuales de los siguientespolinomios tienen raıces multiples:

a) t3 + 3t+ 2

b) t6 − 4t4 + 6t3 + 6t4 − 12t+ 9.

2.6. Ejercicios 55

29. Sea p un numero primo. Pruebe que los polinomios t2− p y t3− p no tienenraıces racionales.

30. Pruebe que las unicas raıces del polinomio f = t4 + 2t2 + 1 ∈ C[t] son i y−i.

31. Pruebe que el numero complejo i es una raız de multiplicidad 4 del polinomiof = t5 − (3i + 1)t4 + (4i− 2)t3 − (2i− 6)t2 − (4i + 3)t + i− 1. Factorice fcomo un producto de polinomios de grado 1.

32. Pruebe que el polinomio 1 − t4 + t5 no tiene ninguna raız de multiplicidad4.

33. Encuentre todas las raıces del polinomio f = 18t3 + 18t2 − 8t− 8 sabiendoque una es la negativa de la otra.

34. Las raıces del polinomio f = t3+3t2+c t−3, tomadas en determinado orden,estan en progresion aritmetica. Halle las raıces y el valor del coeficiente c.

35. Encuentre las raıces del polinomio f = t4 + 3t3 − 6t2 − 28t − 24 sabiendoque tiene una raız de multiplicidad 3.

36. Factorice el polinomio f = 2t4 − 4t3 − 22t2 + 24t + 72 como un produc-to de factores lineales sabiendo que tiene dos raıces distintas cada una demultiplicidad 2.

37. Sean r1, r2 y r3 las raıces de f = 15t3 +32t2 +3t−2. Sin hallar directamentelas raıces calcule

1

r1+

1

r2+

1

r3, r21 + r22 + r23.

38. Encuentre todas las raıces del polinomio f = 9t3− 12t2− 51t+ 18 sabiendoque una raız es el recıproco de la otra.

39. Exprese el polinomio f = 3 t6−15 t5 +18 t4 +24 t3−108 t2 +132 t−72 comoun producto de polinomios con coeficientes reales de grado a lo mas dos, detal manera que los polinomios de grado 2 no tengan raıces reales, sabiendoque 1 + i es una raız de multiplicidad 2.

40. Exprese el polinomio f = 3 t5 − 15 t4 + 36 t3 − 48 t2 + 36 t − 12 como unproducto de polinomios con coeficientes reales de grado a lo mas dos, de talmanera que los polinomios de grado 2 no tengan raıces reales, sabiendo que1 + i es una raız de multiplicidad 2.

41. Sea f ∈ C[t] un polinomio de grado impar. Pruebe que f tiene al menos unaraız real.

CAPITULO 3

Matrices

En este capıtulo se introduce la definicion de matriz y las operaciones que sepueden realizar con ellas (suma, resta y multiplicacion). Se probara que el conjuntode todas las matrices del mismo tamano junto con la suma es un grupo abeliano;tambien se probara que el conjunto de todas las matrices cuadradas es un anillono conmutativo con elemento unitario.

Tambien se presentan las definiciones de los diferentes tipos de matrices (matrizcuadrada, matriz diagonal, matriz identidad, matriz triangular superior o inferior,etc). Tambien se introducen los conceptos de transpuesta y traza de una matriz,pasando por el concepto de matriz invertible. Se presentan ejemplos de las diversasoperaciones con matrices cuando estas estan particionadas.

Al final del capıtulo se estudia brevemente a las matrices elementales y a lasoperaciones elementales de matrices.

A menos que se diga lo contrario, a lo largo de este capıtulo, K siempre deno-tara un campo arbitrario.

3.1. Definiciones basicas

En esta seccion se introduce la definicion de matriz y las definiciones de losdiferentes tipos de matrices: matriz cuadrada, matriz identidad, matriz triangularsuperior e inferior y matriz diagonal.

Definicion 3.1.1. Sea K un campo arbitrario y sean m,n enteros positivos. Unamatriz A de (tamano) m × n es un arreglo rectangular de mn elementos de Kordenados en m renglones (filas) horizontales y n columnas verticales encerrados

57

58 3. Matrices

entre parentesis o entre corchetes:

columna j↓

a11 a12 · · · aij · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n...

... · · · ... · · · ...

renglon i→ ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

... · · · ... · · · ...

am1 am2 · · · amj · · · amn

= A.

El i-esimo renglon de A es:

Ai∗ =(ai1 ai2 · · · aij · · · ain

), (1 ≤ i ≤ m).

La j-esima columna de A es:

A∗j =

a1ja2j...anj

, (1 ≤ j ≤ n).

La coleccion de todas las matrices de m × n se denota por Km×n. Otras no-taciones para el mismo fin son Mm×n(K) o Matm×n(K). Cuando la matriz tieneuna sola columna se llama vector columna; si solo tiene un renglon se denominavector renglon. Se denotara con Kn al conjunto de todos los vectores columna, esdecir Kn = Kn×1.

Hay diferentes maneras de referirse en forma abreviada a una matriz. Podemosescribir A = (aij)m×n o simplemente A = (aij) para indicar que el elemento enla entrada (i, j) es aij. Tambien es frecuente usar la notacion [A]ij en vez de aijpara denotar al elemento en la entrada (i, j). Si [A]ij denota al elemento de A enla posicion (i, j), escribimos A = ([A]ij). Si A∗1, . . . , A∗n son las columnas de A,escribimos:

A = [A∗1| . . . |A∗n].

Tambien se puede escribir:

A =

A1∗...

Am∗

,donde A1∗, . . . , Am∗ son los renglones de A.

3.1. Definiciones basicas 59

Ejemplo 3.1.2. Sea K el campo de los numeros complejos. Las siguientes sonmatrices de 2× 3, 2× 2, 1× 3 y 3× 1, respectivamente.

A =

(3 −2 i7 −1

√−2

), B =

(1 3

1 + 2i 3

), C =

(1 −1 3

), D =

101− i

3i

.

La matriz C es un vector renglon, en tanto que D es un vector columna. El primerrenglon y la segunda columna de A son

A1∗ =(3 −2 i

), A∗2 =

(−2−1

).

respectivamente. El elemento que esta en la posicion (2, 1) de la matriz B es 1+2iy se escribe:

[B]21 = 1 + 2i o tambien b21 = 1 + 2i.

La delta de Kronecker δij esta definida como sigue:

δij =

{1 si i = j,

0 si i 6= j.

Este sımbolo es util para definir por ejemplo a la matriz de 3 × 3 que en lasposiciones (i, i) es igual a 1 y es igual a cero en cualquier otra posicion:

I = (δij)3×3 =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

=

1 0 00 1 00 0 1

.

Algunas matrices tienen una estructura particular por lo que reciben nombresespeciales.

Definicion 3.1.3. 1. Una matriz A de m×n es cuadrada si m = n, y decimosque A es una matriz cuadrada de orden n. Los elementos a11, a22, . . . , annforman la diagonal principal de A.

2. Una matriz cuadrada D = (dij) ∈ Kn×n es una matriz diagonal si dij = 0para i 6= j. Si D es una matriz diagonal, se escribe D = diag(d11, . . . , dnn).

3. La matriz identidad de n×n denotada por In (o simplemente I) es la matrizI = (δij), donde δij es la delta de Kronecker.

4. Se dice que una matriz cuadrada U es triangular superior si [U ]ij = 0 cuandoi > j, i.e., si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero.

5. Una matriz cuadrada L es triangular inferior si [L]ij = 0 cuando i < j, i.e.,cuando todas las entradas arriba de la diagonal principal son cero.

60 3. Matrices

6. A la matriz que tiene ceros en todas sus entradas se le llama matriz cero yse denota con el sımbolo 0.

Ejemplo 3.1.4. Sea K el campo de los numeros reales. Las matrices:

D1 =

(3 0

0√

2

), D2 =

0 0 00 −1 00 0 −4

,

son matrices diagonales. Note que una matriz diagonal, es simultaneamente unamatriz triangular inferior y superior. Las siguientes matrices son triangulares.

U =

3 −1 70 −1 40 0 2

, L =

3 0 02 −1 01 1 1

.

La primera es triangular superior y la segunda triangular inferior. Las siguientesmatrices son ejemplos de matrices identidad:(

1 00 1

),

1 0 00 1 00 0 1

.

Finalmente, las siguientes son ejemplos de matrices cero:(0 0 00 0 0

),

(0 00 0

),

0 0 00 0 00 0 0

.

3.2. El espacio vectorial de las matrices

La matrices se pueden sumar y multiplicar por un escalar. Estas dos opera-ciones convierten al conjunto de todas las matrices de m× n es lo que se conocecomo un espacio vectorial.

Definicion 3.2.1 (Suma de matrices). Sean A,B ∈ Km×n. La suma de A y Bdenotada por A+B se obtiene sumando las correspondientes entradas de A y B:

[A+B]ij = [A]ij + [B]ij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Si A = (aij), B = (bij) y C = A+B, tambien se escribe cij = aij + bij.

Observacion 3.2.2. Si las matrices A y B son de diferente tamano, la suma noesta definida.

Ejemplo 3.2.3. Si A,B ∈ Q2×3 son las matrices:

A =

(0 −1 00 0 1

2

), B =

(−1 2 012

1 0

)entonces A+B =

(−1 1 012

1 12

).

3.2. El espacio vectorial de las matrices 61

Ejemplo 3.2.4. Sea K = F5. Si A,B ∈ K2×3 son las matrices:

A =

(2 1 41 0 3

), B =

(3 2 23 1 2

)entonces A+B =

(0 3 14 1 0

).

El inverso aditivo de A, es la matriz denotada por −A, cuyos entradas sonlos inversos aditivos de los elementos en las correspondientes entradas de A. Estoes, si A = (aij), entonces −A = (−aij). Esto permite definir la sustraccion de lamanera usual. Si A y B son matrices del mismo tamano, la diferencia A − B sedefine como la matriz A−B = A+ (−B).

Ejemplo 3.2.5. Si A =

1 0 11 −2 −2−1 −1 −1

2

, entonces −A =

−1 0 −1−1 2 21 1 1

2

.

Definicion 3.2.6. Dos matrices A y B son iguales si y solo si A y B son delmismo tamano y aij = bij para todo i, j.

El siguiente teorema presenta las propiedades basicas de la suma de matrices.

Teorema 3.2.7. El conjunto Km×n de todas las matrices de m× n junto con lasuma de matrices es un grupo abeliano. Es decir,

a) La suma es conmutativa, es decir, A+B = B + A, para A,B ∈ Km×n.

b) La suma es asociativa, es decir, A+ (B+C) = (A+B) +C, para A,B,C ∈Km×n.

c) La matriz 0 es el neutro aditivo para la suma: A + 0 = A para cualquiermatriz A.

d) Existencia de los inversos aditivos: A+ (−A) = 0 para A ∈ Km×n.

Demostracion. Escribamos A = (aij), B = (bij) y C = (cij).Los elementos (i, j) de las matrices A + B y B + A son aij + bij y bij + aij,

respectivamente. Como aij + bij = bij + aij, entonces las matrices A+B y B +Ason iguales. Esto prueba el inciso a).

Los elementos (i, j) de las matrices A+(B+C) y (A+B)+C son aij+(bij+cij)y (aij + bij) + cij, respectivamente. Como

aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij,

se sigue que las matrices A+ (B + C) y (A+B) + C son iguales.Para el inciso c) basta observar que aij + 0 = aij para para cualquier para

(i, j).Finalmente, para cada (i, j) se tiene que aij + (−aij) = 0 ası que A+ (−A) =

0.

62 3. Matrices

A continuacion se define la multiplicacion de una matriz por escalar.

Definicion 3.2.8 (Multiplicacion por escalar). Sean c un escalar y A ∈ Km×n unamatriz. La multiplicacion de c por A, denotada por cA esta dada por [cA]ij = c[A]ijpara 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Ejemplo 3.2.9. Si A =

(3 −1 4−1 3 −5

), entonces:

2A =

(6 −2 8−2 6 −10

), − 1A =

(−3 1 −4

1 −3 5

), 0A =

(0 0 00 0 0

).

Cualquier escalar multiplicado por la matriz cero resulta en la matriz cero.Por ejemplo,

3

(0 0 00 0 0

)=

(3 · 0 3 · 0 3 · 03 · 0 3 · 0 3 · 0

)=

(0 0 00 0 0

).

Las propiedades de la multiplicacion por escalar se resumen en el siguienteteorema.

Teorema 3.2.10. Sean A,B matrices del mismo tamano y sean c1, c2 escalares.

a) c(A+B) = cA+ cB.

b) (c1 + c2)A = c1A+ c2A.

c) c1(c2A) = (c1c2)A.

d) 1 · A = A.

e) (−1)A = −A.

f) 0A = 0.

g) c 0 = 0.

Demostracion. Usaremos la notacion [A]ij para denotar al elemento (i, j) de lamatriz A. Las pruebas se siguen directamente de la definicion. Por un lado, elelemento (i, j) de la matriz c(A + B) es de acuerdo con la definicion c[A + B]ij;por otro lado, el elemento (i, j) de la matriz A+B es [A]ij + [B]ij. Entonces

[c(A+B)]ij = c[A+B]ij = c([A]ij + [B]ij) = c[A]ij + c[B]ij = [cA]ij + [cB]ij

= [cA+ cB]ij.

Esto prueba el inciso a). El inciso b) se prueba como sigue:

[(c1 + c2)A]ij = (c1 + c2)[A]ij = c1[A]ij + c2[A]ij = [c1A]ij + [c2A]ij

Las demas pruebas se dejan al lector.

Observacion 3.2.11. El Teorema 3.2.7 junto con las propiedades a)-d) del Teo-rema 3.2.10 muestran que el conjunto de las matrices de m×n junto con la sumade matrices y la multiplicacion por escalar es un espacio vectorial sobre el campoK. Los espacios vectoriales se estudian en los cursos de Algebra Lineal.

3.3. El anillo de las matrices cuadradas 63

3.3. El anillo de las matrices cuadradas

Las matrices se pueden multiplicar cuando estas tienen las dimensiones ade-cuadas.

Definicion 3.3.1. Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kn×r. El producto de A por B (tambienllamado multiplicacion) denotado por AB es la matriz de tamano m × r cuyasentradas estan dadas por

[AB]ij =n∑k=1

[A]ik[B]kj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ r.

Si C = AB y se usa la notacion A = (aij) y B = (bij), entonces

cij =n∑k=1

aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ r.

Note que para poder efectuar la multiplicacion de A y B en ese orden, esnecesario que el numero de columnas de A sea igual al numero de renglones deB. De otra manera el producto no esta definido. Por ejemplo, si

A =

(a11 a12 a13a21 a22 a23

)y B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

el producto de A y B existe ya que el numero de columnas de A coincide con elnumero de renglones de B y AB sera una matriz de 2× 4. La entrada (1, 1), (1, 2)y (2, 3) de la matriz AB son

[AB]11 =3∑

k=1

a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + a13b31,

[AB]12 =3∑

k=1

a1kbk2 = a11b12 + a12b22 + a13b32,

[AB]23 =3∑

k=1

a2kbk3 = a21b13 + a22b23 + a23b33.

Ejemplo 3.3.2. Sea K el campo de los numeros racionales.

A =

(0 −2 11 1 5

), B =

1 −2 0 1−1 1 0 2

1 6 −7 1

⇒ AB =

(3 4 −7 −35 29 −35 8

).

64 3. Matrices

Observamos que AB esta definido, pero no BA, pues el numero de columnas deB con coincide con el numero de renglones de A. Aun cuando esten definidos ABy BA, estos no necesariamente son iguales:(

1 −1)( 3

4

)= −1,(

34

)(1 −1

)=

(3 −34 −4

).

Cuando el producto de dos matrices da como resultado una matriz de 1 × 1,usualmente no escriben los parentesis ya que la matriz se identifica con el escalar.

Aun cuando A y B sean ambos del mismo tamano, no necesariamente AB =BA. Si ahora,

A =

(1 11 1

), B =

(−1 1−1 1

)=⇒ AB =

(−2 2−2 2

), BA =

(0 00 0

).

Tambien es importante mencionar que las leyes de cancelacion no son validascuando de matrices se trata. Es decir, AB = AC con A 6= 0 no necesariamenteimplica que B = C:(

1 43 1

)(1 11 1

)=

(5 54 4

)=

(2 34 0

)(1 11 1

).

Observacion 3.3.3. Es importante recalcar lo discutido en el ejemplo anterior.

1. El producto de matrices no es conmutativo.

2. En general no es cierto que si A 6= 0 y B 6= 0 y AB esta definido, entoncesAB 6= 0.

3. Las leyes de la cancelacion no son aplicables al producto de matrices, i.e.,AC = BC o CA = CB con C 6= 0 no necesariamente implica que A = B.

Si A es una matriz cuadrada, tiene sentido hacer los productos AA = A2,AAA = A3, etc. Haremos la convencion que A0 = I y A1 = A. Para n ≥ 0,definimos An+1 = A · An.

En la siguiente proposicion se supone que las matrices que aparecen son talesque tiene sentido el producto o la suma indicada.

Teorema 3.3.4.

a) El producto de matrices es asociativo: A(BC) = (AB)C.

b) El producto de matrices se distribuye con respecto a la suma:

A(B + C) = AB + AC, Ley distributiva izquierda,

(A+B)C = AC +BC Ley distributiva derecha.

3.3. El anillo de las matrices cuadradas 65

c) AI = A, IA = A.

d) c(AB) = (aA)B = A(cB).

e) A0 = 0, 0A = 0.

f) Si A es una matriz cuadrada, para cualesquiera enteros no negativos m,nse tiene:

AmAn = Am+n, (Am)n = Amn.

Demostracion. Haremos algunas prueba. Las demas se dejan de ejercicio al lector.a) Supongamos que A ∈ Km×n, B ∈ Kn×r y C ∈ Kr×s. Entonces:

[A(BC)]ij =n∑i=1

[A]ik[BC]kj =n∑i=1

[A]ik

(r∑`=1

[B]k`[C]`j

)

=n∑i=1

r∑`=1

[A]ik[B]k`[C]`j =r∑`=1

n∑i=1

[A]ik[B]k`[C]`j

=r∑`=1

(n∑i=1

[A]ik[B]k`

)[C]`j =

r∑`=1

[AB]i`[C]`j

= [(AB)C]ij.

Como para cualquier (i, j) se tiene la igualdad se concluye que A(BC) = (AB)C.b) Supongamos ahora que A ∈ Km×n y B,C ∈ Kn×r. Entonces

[A(B + C)]ij =n∑k=1

[A]ik[B + C]kj =n∑k=1

[A]ik([B]kj + [C]kj)

=n∑k=1

([A]ik[B]kj + [A]ik[C]kj) =n∑k=1

[A]ik[B]kj +n∑k=1

[A]ik[C]kj.

Luego A(B + C) = AB + AC.c) Veamos que la matriz identidad es el neutro multiplicativo. Supongamos

que A es de m× n e I es de n× n. Recordando que [I]kj = 0 si k 6= j e [I]kj = 1cuando k = j, se tiene

[AI]ij =n∑k=1

[A]ik[I]kj = [A]ij.

d) Veamos que cAB = (cA)B:

[cAB]ij = c[AB]ij = cn∑k=1

[A]ik[B]kj =n∑k=1

(c[A]ik)[B]kj =n∑k=1

[cA]ik[B]kj

= [(cA)B]ij.

66 3. Matrices

Teorema 3.3.5. El conjunto Kn×n de las matrices cuadradas de n×n junto conlas operaciones de suma y producto de matrices es un anillo con unitario.

Demostracion. Que Kn×n es un anillo con elemento unitario se sigue del Teore-ma 3.2.7 y de los incisos a), b) y c) del Teorema 3.3.4.

Observacion 3.3.6. Si n > 1, en general Kn×n no es conmutativo. El siguienteejemplo ilustra que puede suceder AB 6= BA.(

1 00 0

)(0 10 0

)=

(0 10 0,

),

(0 10 0

)(1 00 0

)=

(0 00 0

).

Terminamos la seccion con algunas definiciones de matrices que tienen propie-dades particulares.

Definicion 3.3.7. a) Una matriz cuadrada A se dice que es nilpotente si Ak = 0para algun entero positivo k.

b) Una matriz cuadrada A es idempotente si A2 = A.

Ejemplo 3.3.8. La matriz A =

0 −1 20 0 10 0 0

es nilpotente ya que

A2 =

0 0 −10 0 00 0 0

A3 =

0 0 00 0 00 0 0

.

Ejemplo 3.3.9. La matriz A =

(1 10 0

)es idempotente, ya que:

A2 =

(1 10 0

)(1 10 0

)=

(1 10 0

).

3.4. La transpuesta de una matriz

Definicion 3.4.1. Si A ∈ Km×n, la transpuesta de A es la matriz AT de n ×mdada por:

[AT ]ij = [A]ji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Si x =(a1 . . . an

)es un vector renglon, entonces xT se convierte en un

vector columna:

xT =

a1...an

.

3.4. La transpuesta de una matriz 67

Recıprocamente, si x es un vector columna, xT es un vector renglon.De acuerdo con la definicion, las entradas en cada renglon de AT son las

correspondientes entradas en la columna de A, es decir, si A = [A∗1| . . . |A∗n],entonces:

AT =

AT∗1...

AT∗n

.

Si A =

A1∗...

Am∗

, AT = [AT1∗| . . . |ATm∗].

En cualquier caso:

AT =

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

......

...a1n a2n · · · amn

.

Ejemplo 3.4.2. Sea K el campo de los numeros complejos. Considere las matri-ces:

A =

3− 2i −5 61 + i 2 71 + 2i 2− 3i 1

, B =

(1 −1 58 −3 2

).

Entonces:

[AT ]11 = 3− 2i, [AT ]12 = 1 + i, [BT ]31 = 5.

Las transpuestas de A y B son:

AT =

3− 2i 1 + i 1 + 2i−5 2 2− 3i6 7 1

, BT =

1 8−1 −3

5 2

,

respectivamente.

Las propiedas basicas de la transpuesta son la siguientes.

Teorema 3.4.3. a) (AT )T = A.

b) (A+B)T = AT +BT .

c) (cA)T = cAT .

d) (AB)T = BTAT .

68 3. Matrices

Demostracion. Las pruebas de los incisos a), b) y c) se dejan de ejercicio al lector.Supongamos que A ∈ Km×n y B ∈ Kn×r. Para cualquier 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ r,

[(AB)T ]ij = [AB]ji =n∑k=1

[A]jk[B]ki =n∑k=1

[AT ]kj[BT ]ik

=n∑k=1

[BT ]ik[AT ]kj = [BTAT ]ij.

Esto prueba el inciso d).

Definicion 3.4.4. Se dice que una matriz cuadrada A es simetrica si A = AT .Se dice que es antisimetrica si A = −AT .

Ejemplo 3.4.5. Considere las matrices

A =

7 2 −12 −2 1−1 1 −3

, B =

1− 2i 3− 4i 5− i3− 4i 1 + i 3i5− i 3i −3

, C =

0 −10 1310 0 −1−13 1 0

.

Las matrices A y B son simetricas; la matriz C es antisimetrica.

Ejemplo 3.4.6. Si A es una matriz de m×n, entonces ATA y AAT son matricessimetricas. En efecto:

(ATA)T = AT (AT )T = ATA.

De manera similar se prueba que AAT es simetrica.

La siguiente definicon se aplica unicamente cuando K es un subcampo delcampo de los numeros complejos (Para fijar ideas el lector puede suponer quek = C).

Definicion 3.4.7. Sea K un subcampo del campo de los numeros complejos. SiA ∈ Km×n, la matriz conjugada de A es la matriz A de n×m dada por:

[A]ij = [A]ij, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

La conjugada transpuesta de A es la matriz A∗ = AT

, i.e.,

[A∗]ij = Aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Ejemplo 3.4.8. Se tiene(2− 4i 1− i 2

3 3 + 4i 0

)∗=

2 + 4i 31 + i 3− 4i

2 0

.

Las propiedas basicas de la transpuesta conjugada son la siguientes.

3.4. La transpuesta de una matriz 69

Teorema 3.4.9. a) (A∗)∗ = A.

b) (A+B)∗ = A∗ +B∗.

c) (cA)∗ = cA∗.

d) (AB)∗ = B∗A∗.

Demostracion. La prueba se deja de ejercicio para el lector.

Definicion 3.4.10. Se dice que una matriz cuadrada A ∈ Cn×n es hermitiana siA = A∗. Se dice que es anti-hermitiana si A = −A∗.

Ejemplo 3.4.11. Las siguientes matrices son hermitianas:

(3 2− i

2 + i 1

),

−1 1 + i 3 + 4i1− i 3 2− i3− 4i 2 + i 5

,

1 2 32 4 53 5 2

.

La matriz i 5− i 2 + i−5− i −3i 2 + 3i−2 + i −2 + 3i 4i

es una matriz antihermitiana.

Definicion 3.4.12. Sean x y y vectores columna del mismo tamano, es decir,x, y ∈ Kn. Entonces el producto interno o interior de x y y es el escalar xTy, y elproducto exterior de x y y es la matriz de n× n xyT .

Ejemplo 3.4.13. El producto interno y externo de los vectores x =(

3−12

)y

y =( −1

52

)es:

xTy =(3 −1 2

)−152

= 3(−1) + (−1)5 + (2)(2) = −4,

xyT =

−152

(3 −1 2)

=

−3 15 61 −5 −2−2 10 4

,

respectivamente.

Definicion 3.4.14. Sea A ∈ Km×n.

a) Una inversa izquierda de A es una matriz B ∈ Kn×m tal que BA = In.

70 3. Matrices

b) Una inversa derecha de A es una matriz B ∈ Kn×m tal que BA = Im.

c) Suponga que A es una matriz cuadrada. Una matriz B es una inversa de Asi AB = BA = I. Si A tiene una inversa, se dice que es invertible o que esnosingular. En otro caso, se dice que la matriz es no invertible o singular.

Se sigue de la definicion que cuando una matriz es invertible, su inversa esunica. Supongamos que A tiene dos inversas, digamos B1 y B2. Entonces:

B1 = B1I = B1(AB) = (B1A)B = IB = B.

La inversa de A (cuando existe) se denota por A−1.

Ejemplo 3.4.15. Sea K el campo de los numeros racionales y sea A la matriz:

A =

(3 −1 5−8 7 4

).

A tiene al menos dos inversas derechas ya que:(3 −1 5−8 7 4

) 713

113

813

313

0 0

=

(1 00 1

)=

(3 −1 5−8 7 4

) 413

413

413

713

113− 1

13

.

Del ejemplo anterior se observa que en general, no es valida la ley cancelativapara matrices, es decir, es posible tener XA = Y A con A 6= 0 sin que esto impliqueque X = Y .

Proposicion 3.4.16. Sean A,B matrices no singulares. Entonces:

a) AB es no singular y (AB)−1 = B−1A−1.

b) A−1 es no singular y (A−1)−1 = A.

c) AT es no singular y (AT )−1 = (A−1)T .

Demostracion. a) Como A y B son ambas no singulares, existen sus respectivasinversas A−1 y B−1. Entonces:

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.

De manera similar se muestra que (B−1A−1)(AB) = I. Esto prueba que la inversade AB es B−1A−1, es decir, (AB)−1 = B−1A−1.

b) Por definicion AA−1 = A−1A = I. Se sigue que A−1 es invertible y suinversa es A.

c) Se tiene:(A−1)TAT = (AA−1)T = IT = I.

Analogamente se tiene que AT (A−1)T = I. Ası (AT )−1 = (A−1)T .

3.5. Multiplicacion de matrices en bloques 71

3.5. Multiplicacion de matrices en bloques

Con frecuencia es util considerar una matriz compuesta por una o varias ma-trices denominadas submatrices. Una submatriz de una matriz A es una matrizque se obtiene eliminando cualquier combinacion de columnas y renglones de A.

Por ejemplo, si A =

1 1 3 23 5 7 21 2 9 84 0 2 2

, las siguientes matrices son submatrices

de A: (3 5 7 24 0 2 2

),

(3 5 24 0 2

),

(3 22 2

).

La primera se obtuvo eliminando los renglones primero y tercero. La segunda seobtuvo eliminando los renglones primero y tercero y la tercera columna. Final-mente, la ultima submatriz se obtuvo eliminando los renglones segundo y tercero,y las primeras dos columnas.

Al introducir lineas horizontales y verticales en una matriz, podemos particio-narla en submatrices o bloques:

1 1 0 03 5 0 00 0 9 80 0 2 2

.

Supongamos que las matrices A y B estan particionadas en submatrices comose indica a continuacion:

A =

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

.... . .

...Am1 Am2 . . . Amn

, B =

B11 B12 . . . B1p

B21 B22 . . . B2p...

.... . .

...Bn1 Bn2 . . . Bnp

Supongamos que para cada tercia de enteros (i, k, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n,

1 ≤ j ≤ p, las matrices Aik y Bkj, (1 ≤ k ≤ n) se pueden multiplicar. Entonces elproducto AB esta definido y el (i, j)-esimo bloque de AB es

Ai1B1j + Ai2B2j + · · ·+ AinBnj =n∑k=1

AikBkj.

En otras palabras, el producto se forma operando los bloques en cada matrizcomo si fueran escalares. La multiplicacion de matrices de esta forma en ocasionesresulta util, pues simplifica la notacion.

72 3. Matrices

La prueba de este hecho es sencilla, aunque se debe tener mucho cuidado conlos manejos de los subındices. En lugar de hacer la prueba, ilustraremos la tecnicacon ejemplos.

Ejemplo 3.5.1. Considere las siguientes matrices particionadas:

A =

−3 4 1 7 8

4 5 0 1 45 −1 4 0 06 1 5 0 0

=

(A11 A12

A21 A22

),

B =

1 1 1−1 0 1

0 0 32 −1 21 1 −1

=

(B11 B12

B21 B22

)

Observe que para k = 1, 2 las matrices Aik y Bkj se pueden multiplicar. Entonces

AB =

(A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

)=

15 −2 105 7 76 5 165 6 22

.

Ejemplo 3.5.2. Si

A =

3 5 3 02 1 0 31 0 0 00 1 0 1

=

(C 3I2I2 0

), B =

1 0 2 00 1 0 30 0 1 00 0 0 1

=

(I2 D0 I2

),

entonces

AB =

(CI2 + 3I2 · 0 CD + 3I22I2 + 0 · 0 I2D + 0 · I2

)=

(C CD + 3I2I2 D

)

=

3 5 9 152 1 4 61 0 2 00 1 0 3

.

Ejemplo 3.5.3. A ∈ Km×n y B ∈ Kn×r. A es una submatriz de sı misma, por loque podemos considerarla particionada en un solo bloque. Si B esta particionadaen columnas, B = [B∗1| . . . |B∗r], se tiene

AB = A[B∗1| . . . |B∗r] = [AB∗1| . . . |AB∗r].

3.6. La traza de una matriz 73

Si particionamos ahora A en renglones y B en columnas,

AB =

A1∗A2∗

...Am∗

[B∗1|B∗2| . . . |B∗r] =

A1∗B∗1 A1∗B∗2 . . . A1∗B∗rA2∗B∗1 A2∗B∗2 . . . A2∗B∗r

......

. . ....

Am∗B∗1 Am∗B∗2 . . . Am∗B∗r

.

Ejemplo 3.5.4. Si A ∈ Km×n se particiona en columnas [A∗1|A∗2| . . . |A∗n] yx ∈ Kn×1 en renglones

x1x2...xn

,

entonces Ax = x1A∗1 + x2A∗2 + · · ·+ xnA∗n.

3.6. La traza de una matriz

Definicion 3.6.1. La traza de una matriz A = (aij) ∈ Kn×n se define como lasuma de los elementos de la diagonal principal de A y se denota por traza(A).Esto es,

traza(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann =n∑i=1

aii.

Ejemplo 3.6.2. Se tiene

traza

10 −29 0−2 −5 8

1 1 15

= 10− 5 + 15 = 20.

Algunas de las propiedades de la traza se presentan en la siguiente proposicion.

Teorema 3.6.3.

1. Para cualesquiera matrices A,B ∈ Kn×n y cualquier escalar α se tiene

a) traza(A+B) = traza(A) + traza(B),

b) traza(αA) = α traza(A).

En otras palabras, la traza es una funcion lineal.

74 3. Matrices

2. Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kn×m. Entonces

traza(AB) = traza(BA).

3. Si A es una matriz cuadrada, traza(A) = traza(AT ).

Demostracion. Sean A = (aij), B = (bij) y α un escalar. Entonces

traza(A+B) =n∑i=1

(aii + bii) =n∑i=1

aii +n∑i=1

bii = traza(A) + traza(B).

traza(αA) =n∑i=1

αaii = αn∑i=1

aii = α traza(A).

Esto prueba el inciso 1.

Sean C = AB y D = BA. Entonces

cij =n∑k=1

aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

dij =m∑k=1

bikakj, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Notese que AB ∈ Km×m y BA ∈ Kn×n. Luego

traza(AB) =m∑i=1

cii =m∑i=1

n∑k=1

aikbki =n∑k=1

m∑i=1

bkiaik =n∑k=1

dkk = traza(BA).

Esto prueba el inciso 2.

La demostracion del ultimo apartado es inmediata ya que la diagonal principalde A y de AT son la misma.

Por induccion se puede extender la propiedad 2 de la proposicion anterior. Ası,si A1, . . . , At son matrices tales que el producto A1 · · ·At esta definido, entonces

traza(A1 · · ·At) = traza(AtA1 · · ·At−1).

En particular se tiene

traza(ABC) = traza(CAB) = traza(BCA).

Sin embargo, en general no es cierto que traza(ABC) = traza(BAC).

3.7. Matrices elementales 75

3.7. Matrices elementales

A continuacion se definen las operaciones elementales de renglon.

Definicion 3.7.1. Sea A una matriz de m×n. Una operacion elemental de renglonen la matriz A es uno de los siguientes tres tipos de operaciones:

1. Intercambio de dos renglones de A.

2. Reemplazo de un renglon de A por algun multiplo escalar no nulo de este.

3. Reemplazo de un renglon de A por ese renglon mas un multiplo escalar nonulo de otro renglon.

Utilizaremos la siguiente notacion para indicar el tipo de operacion que seaplico para pasar de la matriz A a la matriz B.

Operacion Sımbolo Significado del sımbolo

1 Rij Intercambio de los renglones i y j.2 Ri(c) Reemplazo del renglon i por c veces el renglon i.3 Rij(c) Reemplazo del renglon i por el renglon i mas c veces el

renglon j.

Ejemplo 3.7.2. En cada caso la matriz B se obtuvo de la matriz A aplicando laoperacion elemental de renglon indicada.

A B3 5 8 42 1 12 64 1 7 4

R13−−−→

4 1 7 42 1 12 63 5 8 4

−3 4 −1−5 7 −11−1 13 −4

R2(3)−−−→

−3 4 −1−15 21 −33−1 13 −4

−1 5 2 3−3 9 5 4

6 −7 8 10

R21(−5)−−−−−→

−1 5 2 32 −16 −5 −116 −7 8 10

Definicion 3.7.3. Una matriz elemental E de n×n es una matriz que se obtieneal aplicar a la matriz In exactamente una operacion elemental de renglon. Eijdenota la matriz elemental que se obtiene al aplicar a In la operacion elementalRij, Ei(c) denota la matriz elemental que se obtiene al aplicar a la matriz identidadla operacion elemental Ri(c), y Eij(c) denota la matriz elemental que se obtieneal aplicar a la matriz identidad la operacion elemental Rij(c).

Ejemplo 3.7.4. Sea n = 3. Las matrices elementales E13, E2(3) y E21(−5) son:

E13 =

0 0 10 1 01 0 0

, E2(3) =

1 0 00 3 00 0 1

, E21(−5) =

1 0 0−5 1 0

0 0 1

,

76 3. Matrices

respectivamente.

Si escribimos In = (δij) y Eij = (αrs), entonces:

αrs = δrs, r 6= i, j, 1 ≤ s ≤ n,

αis = δjs, 1 ≤ s ≤ n,

αjs = δis, 1 ≤ s ≤ n.

Si Ei(c) = (βrs), entonces:

βrs = δrs, r 6= i, 1 ≤ s ≤ n,

βis = cδis, 1 ≤ s ≤ n.

Finalmente si Eij(c) = (γrs), entonces:

γrs = δrs, r 6= i, 1 ≤ s ≤ n,

γis = δis + cδjs, 1 ≤ s ≤ n.

Proposicion 3.7.5. Sea A ∈ Km×n. Si B es la matriz que se obtiene de Aal aplicarle una operacion elemental, entonces B = EA, donde E es la matrizelemental correspondiente a la operacion elemental aplicada a A.

Demostracion. Supongamos que B se obtiene de A al intercambiar los renglones i

y j, es decir ARij // B . Veamos que B = EijA. Para r 6= i, j, 1 ≤ r ≤ m, tenemos

que:

[EijA]rs =m∑k=1

δrkaks = δrrars = ars = [B]rs, 1 ≤ s ≤ n.

Ademas:

[EijA]is =m∑k=1

δjkaks = δjjajs = ajs = [B]is, 1 ≤ s ≤ n.

[EijA]js =m∑k=1

δikaks = δiiais = ais = [B]js, 1 ≤ s ≤ n.

Ası Br∗ = Ar∗ si r 6= i, j, Bi∗ = Aj∗ y Bj∗ = Ai∗. Esto prueba la igualdadB = EijA. Supongamos ahora que B se obtiene de A al aplicarle la operacionelemental Rij(c). Veamos que B = Eij(c)A. Para r 6= i, 1 ≤ r ≤ m, tenemos que:

[Eij(c)A]rs =m∑k=1

δrkaks = δrrars = ars = [B]rs, 1 ≤ s ≤ n.

3.7. Matrices elementales 77

Por otro lado:

[Eij(c)A]is =m∑k=1

(δik + cδjk)aks =m∑k=1

δikaks + cm∑k=1

δjkaks

= δiiais + cδjjajs = ais + cajs = [B]is, 1 ≤ s ≤ n.

Luego Br∗ = Ar∗ si r 6= i, Bi∗ = Ai∗ + cAj∗. Ası B = Eij(c)A. Se deja al lectorprobar que si B se obtiene de A al aplicarle la operacion elemental Ri(c), entoncesB = Ei(c)A.

Ejemplo 3.7.6. Para cada matriz del Ejemplo 3.7.2 se tiene:4 1 7 42 1 12 63 5 8 4

=

0 0 10 1 01 0 0

3 5 8 42 1 12 64 1 7 4

,

−3 4 −1−15 21 −33−1 13 −4

=

1 0 00 3 00 0 1

−3 4 −1−5 7 −11−1 13 −4

,

−1 5 2 32 −16 −5 −116 −7 8 10

=

1 0 0−5 1 0

0 0 1

−1 5 2 3−3 9 5 4

6 −7 8 10

.

Proposicion 3.7.7. Las matrices elementales son invertibles. Mas aun:

a) E−1ij = Eji = Eij.

b) Ei(c)−1 = Ei(1/c) con c 6= 0.

c) Eij(c)−1 = Eij(−c) con i 6= j.

Demostracion. a) Sea B = EijEji. Como Eij es una matriz elemental, por laProposicion 3.7.5, B se obtiene de Eji intercambiando los renglones i y j.Luego B = I. Analogamente EjiEij = I.

b) Ei(c) se obtiene de la matriz identidad multiplicando el renglon c. Por laProposicion 3.7.5, Ei(1/c)Ei(c) es la matriz que se obtiene de Ei(c) multi-plicando su i-esimo renglon por 1/c. Luego Ei(1/c)Ei(c) = I. AnalogamenteEi(c)Ei(1/c) = I.

c) La prueba es similar a las anteriores y se deja de ejercicio al lector.

Proposicion 3.7.8. Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar unasucesion finita de operaciones elementales, es decir:

AR1−−−→ A1

R2−−−→ A2 −−−→ · · ·Rs−−−→ As = B,

entonces B = PA, para alguna matriz invertible P .

78 3. Matrices

Demostracion. Sea Ei la matriz elemental correspondiente a la operacion elemen-tal Ri. Entonces A1 = E1A, A2 = E2A1 = E2E1A,

A1 = E1A, A2 = E2A1 = E2E1A, . . . , B = As = Es · · ·E2E1A.

Como las matrices elementales son invertibles, P = Es · · ·E2E1 es una matrizinvertible y B = PA.

Ejemplo 3.7.9. Suponga que a la matriz A =

2 2 24 7 76 18 22

∈ R3×3 se le aplican

las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B.

AR21(−2)−−−−−→ A1

R31(−3)−−−−−→ A2R32(−4)−−−−−→

2 2 20 3 30 0 4

= B.

Entonces,

B = E32(−4)E31(−3)E21(−2)A =

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

2 2 24 7 76 18 22

.

3.8. Ejercicios

1. Determine los elementos [A]12, [A]31 y [A]33 de la matrizA =

1 −1 −114 8 −1336 1 3

.

Escriba la diagonal principal de A.

2. Provea ejemplos de matrices triangulares superiores, triangulares inferioresy matrices diagonales.

3. Provea ejemplos de matrices simetricas y antisimetricas.

4. Provea ejemplos de matrices hermitianas y anti-hermitianas.

5. Si

A =

(−1 2 2−1 −5 5

), B =

(0 −6 −111 −2 0

),

C =

(1 −31 −1

), D =

(−10 −2

2 1

),

realice si es posible hacerlo, las siguientes operaciones:

a) A+B, b) 5A, c) −D, d) A+D, e) 2C + 5D, f) A−B,g) AT +BT , h) AC, i) DB, j) CA+DB, k) A10, l) C3.

3.8. Ejercicios 79

6. Determine la matriz X si 5X =

(5 −5 −5

30 −10 0

).

7. Si A =

2 −1 10 0 1−1 2 −4

, B =

−3 0−2 −7−5 −1

y C =

−11−1

, calcule los

siguientes productos siempre que sea posible:

a) AB, b) BA, c) CB d) CTB, e) A2 f) B2,g) CTC h) CCT i) BBT j)BTB k) CTAC.

8. Encuentre los valores de x y y de tal manera que 4 −14 0 33 0 −1 10 −3 1 12

+

−2 3 y −1 −1−1 −1 2 −1

1 2 −1 −8x

=

2 2x −1 22 −1 1 01 −1 0 5 y

.

9. Encuentre los valores de x, y de tal manera que 2 −1 −1 −11 x y −33 −4 −3 −1

−2 5 −5 1x 0 −3 620 0 −3 1y 0 1 −3

=

−5 10 −5 −5813 5 −11 194−16 15 5 −245

.

10. Verifique que cada una de las siguientes matrices son nilpotentes:

(0 c0 0

),

0 1 10 0 20 0 0

,

0 1 00 0 00 2 0

,

0 −1 3 20 0 3 50 0 0 −40 0 0 0

11. Verifique que cada una de las siguientes matrices son idempotentes:(

0 01 1

),

(1 01 0

),

(1 00 0

),

(13

13

√2

13

√2 2

3

).

12. Sea 0 ≤ a ≤ 1 un numero real. Verifique que la matriz

A =

(a

√a− a2√

a− a2 1− a

)es una matriz idempotente.

13. Calcule el producto de las siguientes matrices triangulares superiores:

A =

−1 −1 00 −2 10 0 3

, B =

3 −1 −10 2 50 0 −2

.

80 3. Matrices

14. Sean A y B matrices de n× n triangulares superiores.

a) Pruebe que AB es una matriz triangular superior.

b) Pruebe que [AB]ii = [A]ii[B]ii para i = 1, 2, . . . , n.

15. Calcule el producto de las triangulares inferiores:

A =

1 2 3 40 0 1 20 0 2 10 0 0 4

, B =

0 −2 1 00 2 1 −20 0 1 −10 0 0 2

.

16. Sean A y B matrices de n× n triangulares inferiores.

a) Pruebe que AB es una matriz triangular inferior.

b) Pruebe que [AB]ii = [A]ii[B]ii para i = 1, 2, . . . , n.

17. Calcule la traza de las siguientes matrices: 0 2 112 −2 −1

29 −8 −23

,

29 4 −2212 −1 1−47 1 −4

,

−1 + 5i 1 −i8 3− 5i −2

−3 + 13i −4 8

.

18. De ejemplos de matrices tales que traza(A) = traza(B) y A 6= B.

19. Si A y B son matrices del mismo tamano tales que traza(A) = 12 ytraza(B) = −4, calcule la traza de las siguientes matrices: 8A, −5B, 4AT ,2A+ 3B y 3AT .

20. Sean A y B matrices de m × n y n × r, respectivamente. Pruebe quetraza(AB) = traza(BTAT ).

21. Sea A =

(a11 a12 a13a21 a22 a23

). Verifique que la entrada (1, 1) de AAT es a211 +

a212 + a213 y que la entrada (2, 2) de AAT es a221 + a222 + a223. Calcule la trazade AAT .

22. Generalice el ejercicio anterior. Es decir, si A ∈ Km×n, pruebe que la entrada(i, i) de la matriz AAT esta dada por

[AAT ]ii =n∑j=1

[A]2ij.

23. Suponga que A una matriz de 2× 3 tal que traza(AAT ) = 0. Pruebe que Aes la matriz cero.

3.8. Ejercicios 81

24. Sea A una matriz de n × n. Use las propiedades de la traza para mostrarque no existe ninguna matriz X tal que AX−XA = I, donde I es la matrizidentidad.

25. Sean A y B matrices cuadradas. ¿Es cierto que (A+B)2 = A2 + 2AB+B2?¿Por que? Justifique su respuesta.

26. Sean A y B matrices de m × n. Suponga que Ax = Bx para todos losvectores columna de n × 1. Pruebe que A = B (Sugerencia: Empiece conmatrices de 2 × 2 o 2 × 3 y elija valores particulares para x, por ejemplo

x =(1 0

)To x =

(1 0 0

)T).

27. Sean A,B matrices simetricas tales que AB = BA. Pruebe que AB es unamatriz simetrica.

28. Pruebe que si A y B son matrices simetricas del mismo tamano, entoncesA+B es una matriz simetrica.

29. Pruebe que si A es simetrica, entonces tambien lo son AT y cA donde c escualquier escalar.

30. Pruebe que si A ∈ Cn×n es hermitiana y c es un numero real, entonces cAtambien es una matriz hermitiana.

31. Sea A ∈ Cm×n. Pruebe que las matrices A∗A y AA∗ son matrices hermitia-nas.

32. Pruebe que si A,B ∈ Cn×n son matrices hermitianas, entonces A+B tam-bien es una matriz hermitiana.

33. Pruebe que si A,B ∈ Cn×n son matrices hermitianas tales que AB = BA,entonces AB tambien es una matriz hermitiana.

34. Pruebe que si A ∈ Cn×n es una matriz hermitiana, entonces Im[A]ii = 0 paratodo i. En otras palabras, pruebe que los elementos de la diagonal principalson numeros reales.

35. Pruebe las siguientes afirmaciones:

a) Si A es una matriz anti-simetrica, entonces [A]ii = 0 para toda i.

b) Si A ∈ Cn×n es una matriz anti-hermitiana, entonces Re[A]ii = 0 paratoda i.

36. Sea A una matriz cuadrada. Pruebe que A + AT es simetrica y A − AT esansimetrica.

37. Sea A ∈ Cn×n una matriz cuadrada. Pruebe que A + A∗ es una matrizhermitiana y A− A∗ es anti-hermitiana.

Algebra Superior II. Matrices

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