PORTFOLIO 23

DEEL III HOOFDSTUK 2 LINEAIRE STELSELS EN INV. MATRICES (2)

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .

2 Lineaire stelsels en inverteerbare matrices Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.6 Inverteerbare matrices 28 29 30 31 32 33

2.7 Toepassingen 34353637

3738394041

424344

4546

47 48 49 50

Oefeningen bij §2.6B Oefening 28. Gegeven zijn de inverteerbare matrices A =

[1 23 5

]en B =

[1 −20 1

]. Ga telkens na met behulp van

je grafische rekenmachine.

(a) (A ·B)−1?= A−1 ·B−1 (d) (AT )−1

?=(A−1

)T

(b) (A ·B)−1?= B−1 ·A−1 (e) (2 ·A)−1

?= 2−1 ·A−1

(c) (AT )−1?= A−1 (f) (A−1)−1

?= A

B? Oefening 29. Toon algebraısch aan dat de matrix P =

[−3 20 0

]singulier is.

B?? Oefening 30. Gegeven zijn de matrices A =

[1 −2−1 2

]en C =

[1 −21 2

].

(a) Toon algebraısch aan dat A niet rechts-inverteerbaar is.

(b) Toon algebraısch aan dat C rechts-inverteerbaar is.

V Oefening 31. Beschouw het lineair stelsel

x− 2y + z = 2−x+ 3y − z = 3x+ y = 4.

Los het stelsel algebraısch op zonder een trapvorm te berekenen als je weet dat de coefficientenmatrix A inverteerbaaris en

A−1 =

−1 −1 11 1 04 3 −1

.

V? Oefening 32. Zij A en B twee inverteerbare n× n matrices. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) De matrix A ·B is inverteerbaar, en (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.

(b) De matrix AT is inverteerbaar, en(AT)−1

=(A−1

)T.

(c) Voor r ∈ R0 is de matrix rA inverteerbaar, en (rA)−1 =1

rA−1.

(d) De matrix A−1 is inverteerbaar, en(A−1

)−1= A.

Po-104

V?? Oefening 33. Zij A een n× n matrix. Bewijs de volgende eigenschappen.

(a) Als A links-inverteerbaar is, dan is A rechts-inverteerbaar.

(b) Als A rechts-inverteerbaar is, dan is A links-inverteerbaar.

(c) Als A links-inverteerbaar en rechts-inverteerbaar is dan is A inverteerbaar.

Oefeningen bij §2.7

DocumentairefilmSuper Size Me (2004)

B Oefening 34. Morgan Spurlock schuift aan in fastfoodrestaurant Super size. Hijziet nergens een prijslijst hangen. Hij heeft 6 euro op zak en zou graag 2 cola’s, 2hamburgers en 1 portie friet bestellen. Er staan 3 mensen voor hem in de rij. Deeerste bestelt 3 cola’s, 1 portie friet en 2 hamburgers en betaalt 6, 60 euro. De tweedebestelt 3 hamburgers, 2 porties friet en 2 cola’s en betaalt 7, 60 euro. De derde vraagt3 porties friet met 5 hamburgers en 4 cola’s en betaalt 13, 10 euro. Kan Morgan zijnbestelling betalen, en zo ja, hoeveel moet hij betalen?

B Oefening 35. In de winkel koopt An drie blikjes cola, twee zakjes chips en een zaksnoep en betaalt daarvoor 4 euro. Leen koopt een blikje cola, een zakje chips en driezakken snoep voor 4, 70 euro. Ivo betaalt voor twee blikjes cola, drie zakjes chips eneen zak snoep 3, 90 euro. Wat is de afzonderlijke prijs van een blikje cola, een zakjeships en een zak snoep?

B Oefening 36. Anna, Brigitte en Charlotte vormen een driegeslacht. Samen zijn ze105 jaar oud. Anna is negen jaar ouder dan Brigitte en Charlotte samen. Jammergenoeg komen Anna en Charlotte samen nog drie jaartjes te kort om het dubbel vande leeftijd van Brigitte te zijn. Hou oud zijn deze drie dames?

Oefening 37. Ga telkens algebraısch na of de matrix A inverteerbaar is. Zo ja, geef de inverse van A.

B (a) A =

[1 42 8

]A =

1 2 32 5 31 0 8

B? (b) A =

1 2 32 5 31 0 8

B? Oefening 38. Gegeven zijn de inverteerbare matrices A =

[1 3−1 4

]en B =

[1 21 −1

].

(a) Bepaal algebraısch A−1 en B−1.

(b) Ga algebraısch na dat A ·B inverteerbaar is, en bepaal (A ·B)−1.

Calpe Costa Blanca,Spanje

B? Oefening 39. In hotel Viva Franco in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

B? Oefening 40. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en desom van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerddan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

B? Oefening 41. Een gezin heeft drie kinderen, waaronder een tweeling. Wanneer de buurvrouw vraagt hoe oud ze zijn,antwoordt de vader, die van raadsels houdt, het volgende: als ik driemaal de leeftijd van Hilde, onze oudste, optel bijde totale leeftijd van beide anderen, dan is het resulaat een drievoud, en drie jaar geleden was Hilde even oud als deanderen samen. Hoe oud zijn de kinderen?

B?? Oefening 42. Bepaal de waarde(n) van k, l ∈ R waarvoor de matrix A =

1 2 12 k 02 4 l

inverteerbaar is.

Po-105

B?? Oefening 43. Ga algebraısch na of de matrix

A =

0 1 0 21 0 1 00 1 0 11 0 2 0

inverteerbaar is. Zo ja, geef de inverse van A.

B?? Oefening 44. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

V Oefening 45 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2001).

Een bioloog heeft voor een experiment met muizen een voedselmengsel nodig dat, buiten andere stoffen, bestaat uit23g proteıne, 6, 2g vet en 16g vocht. Hij beschikt over mengsels met de volgende samenstelling:

proteıne (%) vet (%) vocht (%)

mengsel 1 20 2 15mengsel 2 10 6 10mengsel 3 15 5 5

Welke van de volgende hoeveelheden van mengsel 1 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoe-veelheden van de mengsels 2 en 3, het gevraagde voedselmengsel te verkrijgen?

(A) 30 g (B) 40 g (C) 50 g (D) 60 g

V Oefening 46. Twee identieke vazen bevatten een verschillende hoeveelheid water. Het totale gewicht van de eerstevaas bedraagt 4/5 van het totale gewicht van de tweede vaas. Gieten we het water van de tweede vaas in de eerste,dan weegt de eerste vaas 8 maal meer dan de tweede lege vaas. Als de tweede vaas 50 g water meer bevat dan deeerste vaas, zoek dan het gewicht van elke vaas en de hoeveelheid water die ze oorspronkelijk bevatten.

Claude Gaspard Bachet deMeziriac(1581 - 1638)

V? Oefening 47 (het probleem van Bachet). 1 Drie jonge mensen hebben watspaargeld. Een van hen verdubbelt met een deel van zijn spaarcenten het bedrag vande andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijn centen het bedragvan de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld hetbedrag van de andere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijkebedrag dat elk van hen had?

V?? Oefening 48 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent1997).

Bepaal een veelterm A(x) van de vijfde graad die deelbaar is door x − 2 en doorx2 +2x+2. We weten ook dat de som van de quotienten van de deling van A(x) doorx− 2 en door x2 + 2x+ 2 gelijk is aan 2x4 + 8x3 + 8x2 + 6x.

U? Oefening 49 (inverse van een 2 × 2 matrix). Gegeven is een algemene 2 × 2

matrix A =

[a bc d

]met a, b, c, d ∈ R. Bewijs: als A inverteerbaar is, dan wordt de

inverse gegeven door

A−1 =1

ad− bc ·[d −b−c a

].

1 Bachet was een schrijver van boeken met wiskundige puzzels, en lag daarmee aan de oorsprong de recreatieve wiskunde. Zijn boekProblemes plaisants et delectables qui se font par les nombres bevat problemen over talstelsels met een grondtal verschillend van 10,kaarttrucs, opstellen van magische vierkanten, en weeg- en gietproblemen. De volgende klassieker komt uit het boek van Bachet: drieemmers hebben een inhoud van respectievelijk 8, 5 en 3 liter. Aanvankelijk zijn ze gevuld met resp. 8, 0 en 0 liter water. Hoe moet je deemmers overgieten om 4, 4 en 0 liter water over te houden?

Po-106

Melancholia IAlbrecht Durer (1514)

U?? Oefening 50 (magisch vierkant). Een magisch vierkant (of tovervierkant) is eenvierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen ende beide diagonalen alle dezelfde som opleveren.2 Meestal - en zo ook in deze oefening- eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat, waarbijn het aantal cellen in een zijde is, genaamd de orde van het magisch vierkant. Eenmagisch vierkant van orde drie is bijvoorbeeld

8 3 4

1 5 9

6 7 2

(a) Toon aan dat bij een magisch vierkant van orde n de som in elke rij, kolom endiagonaal gelijk is aan

n(n2 + 1)

2.

(b) Bepaal alle magische vierkanten van orde twee. Hoeveel vrijheidsgraden zijn er?

(c) Bepaal alle magische vierkanten van orde drie. Hoeveel vrijheidsgraden zijn er?

Reflectie

vb.

datum

oefeningafgew

erkt

oefeningnummer

oefeningverbeterd?(kruisje)

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

• voldoende tijd besteed?

• opgave goed gelezen?

• nauwkeurig gewerkt?

• modelvoorbeelden bekeken?

• opgave begrepen?

• leerstof voldoende begrepen?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• notatiefout (NF)

• eenheden (EF)

• grafisch rekenmachine (GF)

• rekenfout (RF)

• interpretatie van de opgave (IF)

• denkfout (DF)

verder

oefenen

nodig?(kruisje)

31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF

2De eerste verschijning van een magisch vierkant in de Europese kunst komt voor op de gravure Melencolia I (melancholie) van AlbrechtDurer. Het jaartal is verwerkt in het vierkant.

Po-107