Matematica Superior

Tipantuna Cristian, Mauricio Martinez, Marlon RamirezDepartamento de la Energa y Mecanica, Escuela Politecnica del Ejercito

Sangolqu.Ecuador

crisjavit2010@hotmail.com

I. LOS NUMEROS COMPLEJOS

Se define el conjunto de los numero complejos C de la siguiente manera

C = {z/z = (a, b); a, b R}

z = (a, b) a+ bi

Aqui va la imagen del munero complejo

En el conjunto de lso numeros complejos definimos dos operaciones(Suma y Producto de la siguiente manera), C = (a, b) = (c, d) a, b, c, d RSuma+ = (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)Producto = (a, b) (c, d) = (ac bd, ad+ bc)El conjunto de los numeros complejos dotados de la suma y el producto forman un avmpo que debe cumplir conlas siguientes propiedades

Suma1.- Clausurativa , C

+ C2.- Conmutativa , C

+ = +

3.- Asociativa , , C

(+ ) + = + (+ )

4.- Existencia del Neutro ( e C) ( C)

+ e = e+ =

5.- Existencia del Inverso ( C) ( 1 C)

+ 1 = 1 + = e

Producto1.- Clausurativa , C

C2.- Conmutativa , C

= 3.- Asociativa , , C

( ) = ( )4.- Existencia del Neutro ( e C) ( C)

e = e = 5.- Existencia del Inverso ( C) ( 1 C)

1 = 1 = e6.- Distributiva repecto de la suma , , C

( + ) = + Inverso de la suma Inverso del producto 1

Igualdad de Numeros Complejos

Dos numeros complejos son iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales

= (a, b) = (c, d)

= a = c y b = d

Valor Absoluto de un Numero Complejo

C ; = (a, b)|| =

a2 + b2

Conjugada de un Numero Complejo

C ; = (a, b) = (a,b)

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS , C se tiene que:1. + = + 2. = 3. = 4. ||2 = 5. || = 0 ssi = (0, 0)6. + = 2 parte real de 7. = 2 parte imaginaria de 8. Un numero complejo es real si = 9. Un numero complejo es imaginario puro si =

Ejercicios

1. Hallar el valor de z = i123

i4 = 1

i123 = i120i3 = i2. Sea = 1 i hallar 11

2 = 2i

(2)5 = 32i

11 = 32i(1 i)11 = 32 32i

3. Sea = 1 i hallar 14

2 = 2i(2)6 = 64

14 = 64(2i)14 = 128i

4. Si = 1 i hallar a,b tal que:

a+ bi =

+.

||2

+ (1 )

=1 i1 + i

1 i1 i + (1 + 0i)

1 + i

1 i 1 + i

1 + i+ (1 i) 2

=0 2i

2+ (1 + 0i) 0 + 2i

2+ (1 i)

= (0 i) + (1 + 0i) (0 + i) + (1 i)a+ bi = (0 i)a = 0 y b = 1

5. Sea = 1 2i halla a,b tal que:

a+ bi =

||2 + (1 + ) 2

+

a+ bi =1 2i1 + 2i

5 + (1 2i) + 5 21 + 2i

+ (1 + 2i) (1 2i)

=(1 2i)(1 2i)

5+ (1 2i) 2(1 2i)

5+ 2

=(1 4) 4i

5+ 3 2i 2 4i

5

=3 4i

5+ 3 2i 2 4i

5

=3 4i 2 + 4i

5+ 3 2i

= 1 + 3 2i= 2 2i

6. Sea = 1 + i hallar a, b tal que

a+ bi =13

+1

2(1 ) + 2

13 = (1 + i)13

= (

2)13Cis(13pi4 ) = 64 64i

2 = (1 + i)2

= (

2)2Cis(2pi4 ) = 0 + 2i

a+ bi =13

+1

||2 2 + ||2 + 2

=64 64i

1 i 1 i1 + i

+1

2 (0 + 2i) + 2(1 + i) + 2(1 + i)

=64(1 + i)(1 + i)

2 (1 i)(1 i)

2+

1

2 (0 + 2i) + (4 + 4i)

=64(0 + 2i)

2 (0 2i)

2+

1

2+ (4 + 2i)

= 32i+ i+ 12

+ 4 + 2i

a+ bi =9

2 29i

Representacion Polar de un numero complejo

a = rCosb = rSenz = rCos + irSenz = r(Cos + iSen)z = rCis

Definicion: x Reix = Cosx+ iSenxz = rei

z1 = r1ei1

z2 = r2ei2

MULTIPLICACION

z1 z2 = r1ei1 r2ei2= r1 r2ei(1+2) Exponencial= r1 r2Cis(1 + 2) Trigonometrica

DIVISION

z1/z2 =r1e

i1

r2ei2

=r1r2ei(12) Exponencial

=r1r2Cis(1 2) Trigonometrica

POTENCIACION

Si z = rei zn = rnein

zn = rn(ei)n

= rnein Exponencial

= rnCis(n) Trigonometrica

RADICACION

Dado un numero complejo z se trata de obtenerw wn = z es decir vamos a calcular las races enesimas dr z.zn = rn(ei)n

z = rei

1 = Cos(2kpi) + i2kSen(pi)

1 = ei2kpi

z = ei2kpi rei

w1n = r

1n e

+2kpin

w = r1n [Cis(

+ 2kpi

n)]

k = 1, 2, 3, ...(n 1)EJERCICIOS

1. { = 1 i hallar 11z = 2 i hallar z9

= 1 i|| = 2 = 5pi411 = (

2)

11Cis(11 5pi4 )

11 = 32 32i

z = 2 i|z| = 5 = 333,43o

z9 =

59Cis(9 333,43o)

z9 = 717,06 i1199,552. {

= 1 i hallar 12z = 2 i hallar z 13

= 1 i =

2 = 225o

121 = (

2)

12Cis( 2252 ) = 0,455 + i1,098

122 = (

2)

12Cis( 5852 ) = 0, 455 i1,098

z = 2 i|z| = 5 = 333,43o

z131 = (

5)

13Cis( 333,433 ) = 0,4716 + i1,219

z132 = (

5)

13Cis( 693,433 ) = 0,820 i1,018

z133 = (

5)

13Cis( 1053,433 ) = 1,2920 i0,201

Logaritmo Natural

z = re(i+2kpi)

ln(z) = ln(re(i+2kpi))

ln(z) = ln(r) + i( + 2kpi) k ZEl valor de logaritmo se da con k que cumple

+ 2kpi piEjemplo:

Calcular el valor de (i+ i)i

ln(z) = ln(1 + i)i

ln(z) = iln(1 + i)

ln(z) = i[ln

2 + i(pi

4+ 2kpi)]

ln(z) = iln

2 (pi4

+ 2kpi)

eln(z) = eiln

2(pi4 +2kpi)

z = eiln

2e(pi4 +2kpi)

r = e(pi4 +2kpi)

= iln(

2)

Calcular el valor de z deez+1z = 1 + i

(z + 1

z) = ln(1 + i)

z + 1

z= ln(

2) + i(

pi

4+ 2kpi)

z + 1 = z[ln(

2) + i(pi

4+ 2kpi)]

z z[ln(

2)] zi(pi4

+ 2kpi) = 1

z[1 ln(

2) i(pi4

+ 2kpi)] = 1

z =1

1 ln(2) i(pi4 + 2kpi)

z =1 ln(2) + i(pi4 + 2kpi)

(1 ln(2))2 + (pi4 + 2kpi)2

z =1 ln(2)

(1 ln(2))2 + (pi4 + 2kpi)2+ i

(pi4 + 2kpi)

(1 ln(2))2 + (pi4 + 2kpi)

Calcular(2 2i) 11i3

w = (2 2i)1

13

ln(w) =1

13ln(2 2i)

=1

13[ln(

8) + i(3pi

4+ 2kpi)]

(1

3)ln(w) = ln(

8) + i(3pi

4+ 2kpi)

eln(w) = e

1

13[ln(

8)+i( 3pi4 +2kpi)]

w =

8

1

13e1

13[i(3pi4 +2kpi)]

r =

8

1

13

=1

13[(3pi

4+ 2kpi)]

Hallar el lugar geometrico si:

z =a+ i

1 + 2a+ i

donde a R y z C

x+ iy =a+ i

1 + 2a+ i(x+ iy)(1 + 2a+ i) = a+ i

x+ 2ax+ ix+ iy + 2aiy y = a+ i(x y) + i(x+ y) = a+ 1 2ax 2aiy

(x y) + i(x+ y 1) = a(1 2x 2iy)(x y) + i(x+ y 1)

(1 2x) i(2y) = a[(x y) + i(x+ y 1)][(1 2x) + i(2y)]

(1 2x)2 + (2y)2 = a

[(x y)(1 2x) (x+ y 1)(2y)] + i[(x y)(2y) + (x+ y 1)(1 2x)](1 2x)2 + (2y)2 = a

[x 2x2 y + 2xy 2xy 2y2 + 2y](1 2x)2 + (2y)2 + i

[2xy 2y2 + x+ y 1 2x2 2xy + 2x](1 2x)2 + (2y)2 = a

2x2 + 2y2 3x y + 1 = 0x2 + y2 3

2x y

2= 1

2

(x 34

)2

+ (y 14

)2

=1

8

Por lo tanto el lugar geometrico pertenece a un crculo con:

centro c = (3

4,

1

4)

y radio r =

2

4

Hallar los valores de z1 y z2 para que r sea real:

r =(z1 + z2)i

z1 z2

z1 = x+ iyz2 = a+ bi

r =(x+ iy + a+ ib)i

(x+ iy a ib)=

ix y + ai bx+ iy a ib

=(y b) + i(a+ x)(x a) + i(y b)

(x a) i(y b)(x a) i(y b)

=[(y + b)(x a) + (a+ x)(y b)] + i[(y + b)(y b) + (x a)(x+ a)]

(x a)2 + (y b)2

r =[(xy ay + bx ab) + ay ab+ xy bx] + i[(y2 b2) + x2 a2]

(x a)2 + (y b)2

(y2 b2) + x2 a2 = 0x2 y2 = a2 b2

Hallar los valores de z tales que:

z6 + 9z3 + 8 = 0

y = z3

y2 + 9y + 8 = 0

y = 8y = 1

z1 = 813Cis(0) = 2

z2 = 813Cis(

2pi

3) = 1 + i

3

z3 = 813Cis(

4pi

3) = 1 i

3

z4 = 113Cis(0) = 1

z5 = 113Cis(

2pi

3) = 1

2+ i

3

2

z6 = 113Cis(

4pi

3) = 1

2 i

3

2

Demostrar que si:

z +1

z

es un real entonces la parte imaginaria de z es nula o |z| = 1

= (x+ iy) +1

x+ iy

=(x2 y2) + 2ixy

x+ iy x iyx iy

=[x3 xy2 + 2xy2] + i[x2y + y3 + 2x2y]

x2 + y2

3x2y + y3 = 0

y(3x2 + y2) = 0

Por lo tantoy = 0

Describa el lugar Geometrico de:

|z 2i| 1 z C

|x+ iy i2| 1|x+ i(y 2)| 1x2 + (y 2)2 1x2 + (y 2)2 1

Por lo tanto es la parte interna de un crculo:C = (0, 2)

y radior = 1

II. FUNCIONES COMPLEJAS Y LIMITESUn simbolo tal como Z = x + iy que representa un elemento cualquiera de un conjunto numeros complejos se

denomina variable compleja.Si para cada valor de Z existe una o mas varialbles de w diremos entonces que w es funcion de Z y notaremosw = f(Z) dado Z es la variable independiente y w es la variable dependiente.

Funciones unvocas y multvocas.

Si para valor de Z existe un solo valor de w, diremos entonces que w = f(Z) o que f(Z) es una funcion unvocaEjemplo:

f(Z) = Z2

w = Z2

Si para valor de Z existen dos o mas valores de w, diremos entonces que w = f(Z) o que f(Z) es una funcionmultvoca, multivaluada o multiforme.Ejemplo:

f(Z) = Z1/2

w = Z1/2

Funciones complejas.

Funciones polinomicas:P (Z) = a0 + a1Z + a2Z

2 + a3Z3 + ...+ anZ

n

a0, a1, a2, a3, ..., an : constantes complejas.n : Grado del polinomioZ CFuncion racional:

P (Z)

Q(Z)

P (Z);Q(Z) : polinomios; Q(Z) 6= 0Funcion exponencial:Caso generalsi a 0; a R

f(Z) = azln(a)

Caso Particular:a = e

f(Z) = eZ = ex+iy = ex[cos(y) + sen(iy)]

Funcion logartmica:

ln(Z) = ln(x) + arctan(y

x)i

Z = x+ iy

Funciones trigonometricas:

sen(Z) =eiZ eiZ

2i

cos(Z) =eiZ + eiZ

2

tan(Z) = ieiZ eiZeiZ + eiZ

ctg(Z) = ieiZ + eiZ

eiZ eiZ

sec(Z) =2

eiZ + eiZ

csc(Z) =2i

eiZ eiZ

Cumple con las identidades trigonometricas:

sen(Z) = sen(Z)

cos(Z) = cos(Z)sen2Z + cos2Z = 1

1 + tan2Z = sec2Z

1 + ctg2Z = csc2Z

sen(Z1 Z2) = sen(Z1)cos(Z2) cos(Z1)sen(Z2)cos(Z1 Z2) = cos(Z1)cos(Z2) sen(Z1)sen(Z2)

tan(Z1 Z2) = tan(Z1) tan(Z2)1 tan(Z1)tan(Z2)

Funciones trigonometricas inversas:

sen1Z =1

i ln(iZ +

1 Z2)

cos1Z =1

i ln(iZ +

Z2 1)

tan1Z =1

2i ln

(1 + iZ

1 Zi)

cot1Z =1

2i ln

(Z + i

Z i)

sec1Z =1

i ln

(1 +

1 Z2Z

)

csc1Z =1

i ln

(i+Z2 1Z

)Funciones hiperbolicas:

senh(Z) =eZ eZ

2

cosh(Z) =eZ + eZ

2

tanh(Z) =eZ eZeZ + eZ

ctgh(Z) =eZ + eZ

eZ eZ

sech(Z) =2

eZ + eZ

csch(Z) =2

eZ eZ

Sea f(Z) y g(Z) dos funciones conocidas definimos

f(z)g(Z) = eg(Z)ln(f(Z))

Transformaciones

Sea w = u+ iv; (u, v R) un funcion de Z = x+ iy; (x, y R)w = f(Z)u+ iv = f(x, yi)u = (x, y)v = (x, y)(x, y) C(u, v) Ww = f(Z) = Z2

u+ iv = (x+ yi)2

u+ iv = x2 y2 + 2xyiu = x2 y2v = 2xy

Dadas las siguientes funciones hallar el dominio y determinar su parte real e imaginari en funcion de la partereal e imaginaria de la variable independiente.f(Z) = Z1Z2iDf(Z) = {Z/Z 2i 6= 0;Z 6= 2i}

u+ iv =x+ iy 1x+ iy 2i =

(x 1) + iyx+ (y 2)i

x (y 2)ix (y 2)i

((x 1) + iy) (x (y 2)i)x2 + (y 2)2

u =x2 x+ y2 2yx2 + (y 2)2

v =2x+ y 2x2 + (y 2)2

f(Z) =Z2 + 1

Z3 iZ2 Z + i =Z2 + 1

(Z 1)(Z + 1)(Z i) Z + i

(Z + i)

=(Z2 + 1)(Z + i)

(Z2 1)(Z2 + 1) =Z + i

(Z2 1)

=x+ iy + i

(x+ iy)2 1 =x+ (y + 1)i

x2 + 2xyi y2 1 =x+ (y + 1)i

(x2 y2 1) + 2xyi (x2 y2 1) 2xyi(x2 y2 1) 2xyi

=[x(x2 y2 1) + 2xy(y + 1)] + [2x2y + (y + 1)(x2 y2 1)]i

(x2 y2 1)2 + 4x2y2i

u =x(x2 + y2 + 2y 1)

(x2 y2 1)2 + 4x2y2i

v =x2y y3 y + x2 y2 1

(x2 y2 1)2 + 4x2y2if(Z) = Z + 1

Zen coordenadas polares Df(Z) = {Z/Z 6= 0}

f(Z) =ZZ + 1

Z=|Z|2 + 1

Z=r2 + 1

rei=r2 + 1

rei e

i

ei=

(r2 + 1)ei

r

v =(r2 + 1)sen

r

u =(r2 + 1)cos

r

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Aqui va la parte de limites xfa si tienes algun problema llamaras ahoarita compila del puchicas

III. DERIVACION E INTEGRACION COMPLEJA

DERIVACION COMPLEJA

La funcion

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

verifica las condiciones de Couchy-Riemann

u(x, y)

x=v(x, y)

y(1)

u(x, y)

y= v(x, y)

x(2)

Por lo tanto (1) y (2) son condiciones necesarias para verificar si f(z) es derivable

EjemplosVerificar si las siguientes funciones cumplen las condiciones de Couchy-Riemann y encontrar su derivada

1) f(z) = ez

Solucion:ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y)

f(z) = ex cos y u(x,y)

+ i sin y v(x,y)

verificamos las condiciones de Couchy-Riemann

1)u(x, y)

x=v(x, y)

y

ex cos y = ex cos y

2)u(x, y)

y= v(x, y)

x

ex sin y = ex sin ySe cumplen las condiciones, entonces f(z) es derivable.

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

= ex cos y + iex sin y

= ex(cos y + i sin y)

f (z) = exeiy = ex+iy = ez

2) f(z) = ln(z)

Solucion:ln(z) = ln(

x2 + y2) + i arctan

(yx

)u(x, y) = ln(

x2 + y2) =

1

2ln(x2 + y2)

v(x, y) = arctan(yx

)verificamos las condiciones de Couchy-Riemann

u(x, y)

x=

x

x2 + y2v(x, y)

y=

x

x2 + y2

u(x, y)

y=

y

x2 + y2v(x, y)

x= y

x2 + y2

Las condiciones se cumplen, entonces f(z) es derivable

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

=x

x2 + y2 i y

x2 + y2

=x iyx2 + y2

=z

| z |2

=z

zz

f (z) =1

z

3) f(z) = sin(z)

Solucion:sin(z) = sin(x+ iy)

= sin(x) cos(iy) + sin(iy) cos(x)

cos(iy) = ei(iy)+ei(iy)

2 =ey+ey

2 = cosh(y) (1)

sin(iy) = ei(iy)ei(iy)

2i =eyey

2i = i sinh(y) (2)

= sin(x) cosh(y) u(x,y)

+ i sinh(y) cos(x) v(x,y)

verificamos las condiciones de Couchy-Riemann

u(x, y)

x= cos(x) cosh(y)

v(x, y)

y= cosh(y) cos(x)

u(x, y)

y= sin(x) sinh(y)

v(x, y)

x= sinh(y) sin(x)

cumple las condiciones, entonces f(z) es derivable

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

= cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y)reemplazando(1)y(2) = cos(x) cos(iy) sin(x) sin(iy)

= cos(x+ iy)

f = cos(z)

4) f(z) = | z |2

Solucion:| z |2 = | x+ iy |2(x+ iy)(x iy)

= x2 + y2 + (xy + xy)i= x2 + y2

u(x,y)

+ oiv(x,y)

Verificamos las condiciones de Couchy-Riemann

u(x, y)

x= 2x

v(x, y)

y= 0

u(x, y)

y= 2y

v(x, y)

x= 0

No cumple las condiciones, entonces f(z) no es derivable

5) f(x, y) = x33xy2x2+y2 + i

y33yx2x2+y2

Solucion:

f(x, y) =x3 3xy2x2 + y2 u(x,y)

+ iy3 3yx2x2 + y2 v(x,y)

verificamos si se cumplen las condiciones de Couchy-Riemann

u(x, y)

x=

(3x2 3y2)(x2 + y2) 2x(x3 3xy2)(x2 + y2)2

=(x2 + 3y2)2 12y4

(x2 + y2)2

v(x, y)

y=

(3y2 3x2)(x2 + y2) 2y(y3 3yx2)(x2 + y2)2

=3x4 + 6x2y2 + y4

(x2 + y2)2

u(x, y)

x6= v(x, y)

y

No se cumplen las condiciones, entonces f(z) no es derivable

INTEGRACION

Si f(z) = x(t) + iy(t) a t b ba

f(z)dz =

ba

x(t)dt+ i

ba

y(t)dt

Sea c un contorno de parametrizacion y f(z) una funcion contnua en cada punto de dicho contornoC

f(z)dz =

C

f(z(t))z(t)dt

Ejemplos:

1) Sea f(z) = z2 + 1 y C el contorno de 0 a 1 + i

Solucion:

z = t+ it dz = (1 + i)dtf((z)) = (t+ it)2 + 1

= 1 + 2it2

Parametrizamos el contorno Cx(t) = ty(t) = t

Definimos los lmites de C en el parametro tPara x = 0 t = 0Para x = 1 t = 1

reemplazamos en la integral de lnea C

f(z)dz =

C

f(z(t)

)f (t)dt 1+i

0

f(z)dz =

10

(1 + 2it2)(1 + i)dt

=

10

(1 + i+ 2it2 2t2)dt

=(t+ it+

2

3it3 2

3t3)1

0

=1

3+ i

5

3

Nota: Se puede hacer directamente 1+i0

(z2 + 1)dz

siempre y cuando la integral sea contnua en ese intervalo

z3

3 + z es contnua en [0; 1 + i], entonces existe la primitiva de z2 + 1

2) DemostrarF (z)G(z)dz = F (z)G(z) F (z)G(z)dz y hallar 2pi

0z2 sin(4z)dz

Solucion:Para la demostracion partiremos de la derivada de un producto de funciones

d(F (z)G(z)

)=(F (z)G(z) + F (z)G(z)

)dz

d(F (z)G(z)

)=

F (z)G(z)dz +

F (z)G(z)dz

F (z)G(z)dz = F (z)G(z)

F (z)G(z)dz demostrado

hallar 2pi

0z2 sin(4z)dz

F (z) = z2 F (z) = 2zdz

G(z) = sin(4z) G(z) = 14

cos(4z)

2pi0

z2 sin(4z)dz = z2(1

4cos(4z)

) 2pi0

2z(1

4cos(4z)

)

= z2 14

cos(4z) +1

2

2pi0

z cos(4z)

=(1

4z2 cos(4z) +

1

2

(14z sin(4z) +

1

16cos(4z)

))2pi0

= pi2

3) Demostrar dz

z2 + a2=

1

aarctan

(za

)+ c

Solucion:

tan =z

a

z = a tan

dz = a sec2()d

a sec2

a2 tan2 + a2d =

1

a

sec2

tan2 + 1d

=1

a

sec2

sec2 d

=1

a + c

=1

aarctan

(za

)+ c

4) Demostrar dz

a2=

1

2ailn

(z aiz + ai

)+ c

Solucion:

1

z2 + a2=

1

z2 (ai)2 =1

(z ai)(z + ai)1

(z ai)(z + ai) =A

z ai +B

z + ai

=A(z + ai) +B(z ai)

(z ai)(z + ai)

1 = A(z + ai) +B(z ai)1 = z(A+B) + ai(AB)

z : 0 = A+B

z0 : 1 = ai(AB)

A =1

2aiB = 1

2ai

reemplazando en la integral propuestadz

(z ai)(z + ai) =

dz

2ai(z ai)

dz

2ai(z + ai)

=1

2ai

1

z aidz 1

2ai

1

z + aidz

=1

2ailn(z ai) 1

2ailn(z + ai) + c

=1

2ailn

(z aiz + ai

)+ c

5) Hallar el valor numerico de (2;4)(0;3)

(2y + x2)dx+ (3x y)dy

a lo largo de:a) La parabola x = 2t y y = t2 + 3b) Las lneas rectas (0; 3) a (2; 3) y luego, de (2; 3) a (2; 4)c) Una lnea recta desde (0; 3) a (2; 4)

Solucion:a)De la funcion parametrica de la parabola obtenemos los lmites respecto del parametro t

x = 0 t = 0x = 2 t = 1

reemplazamos la parabola y los lmites en la integral propuesta t=1t=0

(2(t2 + 3) + 4t2

)2dt+

(3(2t) (t2 + 3)) 2tdt

2

10

(6t2 + 6)

)dt+ 2

10

(t3 + 6t2 3t) dt2

[2t3 + 6t 1

4t4 + 2t3 3

2t2]1

0

= 16,5

b)De (0; 3) a (2; 3){

y = 3

dy = 0

Luego de (0; 3) a (2; 3){x = 3

dx = 0Reemplazando los valores de cada recta (se trata de dos funciones) en la integral propuesta obtenemos lo

siguiente: 20

(6 + x2)dx +

43

(6 + y)dy

44

3+

5

2

=103

6

c) Obtenemos la recta que va desde (0; 3) a (2; 4) un vector paralelo a la recta: < 2; 1 > un punto de la recta es:(0; 3) la ecuacion de la recta es: 12 (x+ 0) =

11 (y + 3)

x = 2y 6 dx = 2dy

los lmites de integracion son:x = 0 y = 3x = 2 y = 4

reemplazamos en la integral propuesta: 43

((2y + (2y 6)2)2dy + (3(2y 6) y)dy)

43

(8y2 39y + 54)dy[8

3y3 39

2+ 54y

]43

= 16,17

6) Hallar el valor de C

zdz

desde z = 0 hasta z = 4 + 2i a lo largo de:a) La curva z = t2 + it b) La lnea z = 0 a z = 2i y desde z = 2i hasta z = 4 + 2iSolucion:

Primero expresamos el numero complejo en sus componentes cartesianas

C

zdz =

C

(x iy)(dx+ idy)

=

C

(xdx+ ydy + ixdy iydx)

=

C

(xdx+ ydy) + i

C

(xdy ydx)

a) De la curva z = t2 + it obtenemos los diferenciales dt y los lmites de integracion

x = t2 dx = 2tdty = t dy = dt

lmites:x = 0 t = 0x = 4 t = 2

Reemplazamos en la integral 20

(t22tdt+ tdt) + i

20

(t2dt t2tdt)

20

(2t3 + t)dt i 2

0

t2dt[1

2t4 +

1

3t3]2

0

= 10 i83

b)

De (0; 0) a (0; 2){x = 0

dx = 0

Luego de (0; 2) a (4; 2){y = 2

dy = 0

Reemplazamos en la integral observando los lmites correspondientes a cada diferencial (dx o dy) y=2y=0

ydy +

x=4x=0

xdx+ i

x=4x=0

(2)dx

[1

2y2]2

0

+

[1

2x2]4

0

+ i

[ 2x

]40

= 10 8i

7) Calcular C

(2xy x2)dx+ (x+ y2)dy

donde C es la suma de la region limitada por y = x2 y y2 = x

Solucion:

Determinamos el punto de corte entre parabolasestos seran los lmites de integracion

y = x2

y = (y2)2 = y4

y y4 = 0y(1 y3) = 0{

y = 0 x = 0y = 1 x = 1

El punto de corte es (1; 1)

Determinamos los diferencialesy = x2 dy = 2xdxy2 = x 2ydy = dx

Reemplazamos, en la integral, los datos obtenidos; ya que el contorno C lo forman dos funciones, tedremos dosintegrales con sus respectivos lmites: 1

0

((2x3 x2)dx+ (x+ x4)2xdx

)

y=x2

+

01

((2y3 y4)2ydy + (y2 + y2)dy

)

y2=x 10

(2x3 + x2 + 2x5)dx+

01

(4y4 2y5 + 2y2)dy

[1

2x4 +

1

3x3 +

1

3x6]1

0

+

[4

5y5 1

6y6 +

2

3y3]0

1

=1

30

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE CONTORNO

1)

C

kf(z)dz = k

C

f(z)dz k = cte

2)

C

(f(z) g(z)

)dz =

C

f(z)dz +

C

g(z)dz

3)

C

f(z)dz = +

C

f(z)dz

4)

C

f(z)dz =

C1

f(z)dz +

C2

f(z)dz donde C es la union de las curvas C1 y C2

Ejemplos

1) Calcular C

(x2 + iy2)dz

donde C es el contorno

Solucion:

Definimos los contornos C1 y C2

C1

y = x

z = x+ ix

dz = (1 + i)dxC2

x = 1

z = 1 + iy

dz = idy

Reemplazamos los datos en la integral propuesta, tendremos una integral por cada curva

C

(x2 + iy2)dz =

C1

(x2 + iy2)dz +

C2

(x2 + iy2)dz

=

10

(x2 + ix2)(1 + i)dx+

21

(1 + iy2)idy

= int10(i2x2)dx+

21

(i y2)dy

=

[i2

3x3]1

0

+

[iy 1

3y3]2

1

=7

3+ i

5

3

DOMINIO SIMPLEMENTE CONEXO Y MULTIPLEMENTE CONEXO

Un dominio se denomina simplemente conexo si no presenta orificios; es decir, que puede encojerse y no presentadiscontinuidad. Si no es simplemente conexo, se denomina multiplemente conexo. As, si se presenta un orificio esdoblemente conexo, dos orificios, triplemente conexo, etc.

Simplemente conexo

Doblemente conexo Triplemente conexo

TOREMA DE CAUCHY - GOURSAT

Sea f(z) una fucnion analtica (que sea contnua) en un dominio simplemente conexo C, entonces para un con-torno simple cerrado C en B.

C

f(z)dz = 0

Ejemplos

Calcular el valor de:

1) 1

zdz

a lo largo de la elipse (x 2)2 + (y 5)2

4= 1

Solucion:

R(z) =1

zes contnua en todo plano {C {0}} pero el punto z = 0 no pertenece a la elipse

Entonces, 1

zdz = 0

2) (ez + 1)dz

a lo largo de | z 3 |= 2

Solucion:

ez + 1 es contnua para todo el plano {C}; no existe restriccion por lo que:

(ez + 1)dz = 0

3) 1

zdz

donde z es el crculoz = cos t+ i sin t ; 0 t 2pi

Solucion:

z = cos t+ i sin t = eit

dz = ieit 0 t 2piReemplazamos en la integral: 2pi

0

1

eitieitdt = i

2pi0

dt =

[it

]2pi0

= i2pi