M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 15....

M103 Linearna algebra 1

Tema: Linearni operatori

15. 5. 2018.

predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Spektar

1 Spektar

M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 2/12

P 1Spektar

• za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V , ciljnam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matrica operatora A biticim jednostavnija

• najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

P 1Spektar

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

P 1Spektar

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

P 1Spektar

• iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavu jednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija 2.53.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se da jeskalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektorx ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar (operatoraA) i oznacava sa σ(A).

• koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastita vrijednost, au engleskom jeziku naziv eigenvalue

P 1Spektar

Definicija 2.53.

P 1Spektar

Definicija 2.53.

P 1Spektar

Napomena 2.54.(a) vektor x iz navedene definicije naziva se svojstveni vektor pridruzen

svojstvenoj vrijednosti λ0. Treba primijetiti da svojstveni vektor nikakonije jedinstven: ako je x svojstveni vektor pridruzen λ0 onda je i αxsvojstveni vektor pridruzen istoj svojstvenoj vrijednosti, i to za svakiskalar α iz F, α 6= 0

P 1Spektar

Napomena 2.54.(b) neka je

VA(λ0) = {x ∈ V : Ax = λ0x}.

Ovaj skup se naziva svojstveni potprostor pridruzen svojstvenojvrijednosti λ0. Uocimo da je VA(λ0) zaista potprostor jer evidentnovrijedi

VA(λ0) = Ker (A− λ0I).

Primijetimo da je skup VA(λ) = {x ∈ V : Ax = λx} uvijek, zasvaki skalar λ, potprostor od V . Svojstvene vrijednosti su oni skalariλ0 za koje je potprostor VA(λ0) netrivijalan. Zakljucujemo:svojstvena vrijednost operatora A je takav skalar λ0 za koji jeoperator A− λ0I singularan.

P 1Spektar

Napomena 2.54.

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multiplicitet)svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0). Iz definicije je jasnoda je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer 2.55.

Operator A ∈ L(X0(M)) simetrije ravnine M u odnosu na prvukoordinatnu os prostoru X0(M) ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 iλ2 = −1; naime A~i =~i i A~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo sekasnije uvjeriti i formalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

P 1Spektar

Napomena 2.54.

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multiplicitet)svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0). Iz definicije je jasnoda je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer 2.55.

Operator A ∈ L(X0(M)) simetrije ravnine M u odnosu na prvukoordinatnu os prostoru X0(M) ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 iλ2 = −1; naime A~i =~i i A~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo sekasnije uvjeriti i formalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

P 1Spektar

Primjer 2.56.

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π, nemasvojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektora prirotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija 2.57.

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

P 1Spektar

Primjer 2.56.

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π, nemasvojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektora prirotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija 2.57.

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

P 1Spektar

Propozicija 2.58.Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija 2.59.

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) te neka je[A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V . Svojstvenipolinom operatora A, kA, definira se kao svojstveni polinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer 2.60.Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije iz primjera 2.56.

P 1Spektar

Definicija 2.59.

kA(λ) = k[A]ee(λ)

P 1Spektar

Definicija 2.59.

kA(λ) = k[A]ee(λ)

P 1Spektar

Teorem 2.61.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te nekaje A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednost operatora A ako isamo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena 2.62.U osnovi, teorem 2.61. tvrdi da su svojstvene vrijednosti operatora upravonultocke njegovog svojstvenog polinoma. Primijetimo, medutim, da jejedna od pretpostavki teorema λ0 ∈ F. To konkretno znaci da su u realnimprostorima svojstvene vrijednosti samo realne nultocke svojstvenogpolinoma.

P 1Spektar

Teorem 2.61.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te nekaje A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednost operatora A ako isamo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena 2.62.U osnovi, teorem 2.61. tvrdi da su svojstvene vrijednosti operatora upravonultocke njegovog svojstvenog polinoma. Primijetimo, medutim, da jejedna od pretpostavki teorema λ0 ∈ F. To konkretno znaci da su u realnimprostorima svojstvene vrijednosti samo realne nultocke svojstvenogpolinoma.

P 1Spektar

Napomena 2.63.

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje teorema 2.61. jerpolinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Napomena 2.64.Sve do sada izbor polja u nasim razmatranjima nije igrao nikakvu ulogu.Teorem 2.61. ocito predstavlja mjesto na kojem se teorija pocinje dijeliti narealnu i kompleksnu. S jedne strane, polje kompleksnih brojeva jealgebarski zatvoreno, i zato svaki operator na konacnodimenzionalnomkompleksnom prostoru ima svojstvenu vrijednost. Nasuprot tomu, polje Rnije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bezrealnih nultocaka.

P 1Spektar

Napomena 2.63.

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje teorema 2.61. jerpolinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Napomena 2.64.Sve do sada izbor polja u nasim razmatranjima nije igrao nikakvu ulogu.Teorem 2.61. ocito predstavlja mjesto na kojem se teorija pocinje dijeliti narealnu i kompleksnu. S jedne strane, polje kompleksnih brojeva jealgebarski zatvoreno, i zato svaki operator na konacnodimenzionalnomkompleksnom prostoru ima svojstvenu vrijednost. Nasuprot tomu, polje Rnije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bezrealnih nultocaka.

P 1Spektar

Primjer 2.65.

Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom u kanonskojbazi e prostora R3:

[A]ee =

2 −1 01 0 0−1 0 2

.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.

P 1Spektar

Primjer 2.65.

Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom u kanonskojbazi e prostora R3:

[A]ee =

2 −1 01 0 0−1 0 2

.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.

M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 15....

Documents

Transcript of M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 15....