M103 Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · SpektarMinimalni polinom Minimalni polinom realne...

M103 Linearna algebra 1

Tema: Spektar. Minimalni polinom.

7. 6. 2016.

predavac: Darija Markovic asistent: Ivan Soldo

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Spektar Minimalni polinom

1 Spektar

2 Minimalni polinom

M103 Linearna algebra 1 Spektar. Minimalni polinom. 2/16

PrimjerOdredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

TeoremNeka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te nekaje A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednost operatora A ako isamo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje prethodnog teorema jerpolinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

kA(λ0) = 0.

Napomena

kA(λ0) = 0.

Napomena

Primjer

Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom u kanonskojbazi e prostora R3:

[A]ee =

2 −1 01 0 0−1 0 2

.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A ∈ L(V ) iλ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A ∈ L(V )i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A ∈ L(V ) iλ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A ∈ L(V )i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

KorolarNeka je V kompleksan konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ) te neka je

σ(A) = {λ1, . . . , λk}.

OperatorA se moze dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojoj je matricniprikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo ako su geometrijska ialgebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti od A jednake.

Teorem (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Korolar

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ). Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.

kA(A) = 0.

Korolar

kA(A) = 0.

Propozicija

kA(0) 6= 0.

kA(A) = 0.

Korolar

kA(A) = 0.

Propozicija

kA(0) 6= 0.

Propozicija

Neka je V unitaran prostor i A ∈ L(V ) unitaran operator s nepraznimspektrom. Sve svojstvene vrijednosti operatora A imaju apsolutnuvrijednost jednaku 1. Svojstveni potprostori pridruzeni razlicitimsvojstvenim vrijednostima medusobno su okomiti.

Propozicija

Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan unitaran prostor iA ∈ L(V ) hermitski operator. Sve svojstvene vrijednosti operatora A surealni brojevi.

Propozicija

Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ) hermitskioperator. Svojstveni potprostori pridruzeni razlicitim svojstvenimvrijednostima operatora A medusobno su okomiti.

Propozicija

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor, neka je A ∈ L(V )hermitski operator. Postoji ortonormirana baza e prostora V u kojoj jematricni zapis [A]ee operatora A dijagonalna matrica.

1 Spektar

2 Minimalni polinom

II, AI,A,A2

−−−−−−−I, A, . . . , An

nezavisan skupxyzavisan skup

• postoji m, 1 ≤ m ≤ n, takvi da su

I, A, . . . , Am−1 linearno nezavisniI, A, . . . , Am−1, Am linearno zavisni

II, AI,A,A2

−−−−−−−I, A, . . . , An

nezavisan skupxyzavisan skup

• postoji m, 1 ≤ m ≤ n, takvi da su

I, A, . . . , Am−1 linearno nezavisniI, A, . . . , Am−1, Am linearno zavisni

Am = µ1Am−1 + µ2A

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

• vrijediµA(A) = 0

• polinom µA zovemo minimalni polinom

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

Ne postoji polinom kojeg matrica A ponisti, a ciji bi stupanj bio nizi odstupnja minimalnog polinoma.

Ne postoji normalan polinom kojeg matrica A ponisti koji bi imao stupanjjednak stupnju minimalnog polinoma, a koji bi bio od njega razlicit.

Ne postoji polinom kojeg matrica A ponisti, a ciji bi stupanj bio nizi odstupnja minimalnog polinoma.

Ne postoji normalan polinom kojeg matrica A ponisti koji bi imao stupanjjednak stupnju minimalnog polinoma, a koji bi bio od njega razlicit.

Minimalni polinom realne matrice ima realne koeficijente i kad se Apromatra uMn(C), tj. kao specijalni slucaj kompleksne matrice.

Svaki polinom P stupnja p > m kojeg A ponisti dijeljiv je s µA.

Nultocke svojstvenog polinoma su i nultocke minimalnog polinoma.

Primjer

Neka su zadane matrice

λ0λ0

, A2 =

λ0 1λ0

, A3 =

λ0 1λ0 1

.Odredite njihove minimalne polinome!

Slicne matrice imaju isti minimalni polinom sto znaci da imaju isti skupnultocaka, te da su im visestrukosti pojedine nultocke iste.

M103 Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · SpektarMinimalni polinom Minimalni polinom realne...

Documents

Transcript of M103 Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · SpektarMinimalni polinom Minimalni polinom realne...