Linearna algebra 1 - mathos.unios.hr fileLinearna algebra 1 Vje zbe 9 Ra cunanje determinanti n-toga...

Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9

Racunanjedeterminantin-toga reda

Koristenjerekurzivnihformula

Cramerovopravilo zaracunanjeinverzamatrice

Linearna algebra 1

Vjezbe 9

7.5.2012.

Vjezbe 9 Linearna algebra 1

Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 1.

Izracunajte sljedece determinante n-tog reda:

a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α β 0 . . . 0 00 α β . . . 0 00 0 α . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . α ββ 0 0 . . . 0 α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 4 6 . . . 2n−2 0 6 . . . 2n−2 −4 0 . . . 2n

......

.... . .

...−2 −4 −6 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




c) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 . . . 11 a1 0 . . . 01 0 a2 . . . 0...

......

. . ....

1 0 0 . . . an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




d) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 2 2 . . . 22 −1 2 . . . 22 2 −1 . . . 2...

......

. . ....

2 2 2 . . . −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




e) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x a a . . . a a−a x a . . . a a−a −a x . . . a a

......

.... . .

......

−a −a −a . . . x a−a −a −a . . . −a x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




f) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3 . . . an−1 an−x x 0 . . . 0 00 −x x . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . x 00 0 0 . . . −x x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




g) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 a10 0 . . . a2 0...

.... . .

......

0 an−1 . . . 0 0an 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 2.

Izracunaj sljedece determinante koristeci rekurzivne formule:

a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1 1 11 1 0 . . . 0 0 00 1 1 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . 1 1 00 0 0 . . . 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 . . . 1 1 1−1 0 1 . . . 1 1 1−1 −1 0 . . . 1 1 1

......

.... . .

......

...−1 −1 −1 . . . −1 0 1−1 −1 −1 . . . −1 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Pretpostavimo da determinante zadovoljavaju sljedecurekurzijsku jednadzbu:

∆n = p∆n−1 + q∆n−2. ? (1)

Za nju kazemo da je linearna rekurzijska jednadzba drugogreda. Rjesavamo ju tako da najprije rijesimo pripadnukarakteristicnu jednadzbu

λ2 = pλ+ q

u kojoj razlikujemo sljedece slucajeve:


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




i) λ1 6= λ2; rjesenje relacije (?) ima oblik

∆n = C1λn1 + C2λ

n2

ii) λ1 = λ2; rjesenje relacije (?) ima oblik

∆n = C1λn1 + C2nλ

n1

Konstante C1 i C2 odredujemo iz poznatih vrijednostideterminante ∆n za n = 1 i n = 2 (ili n = 2 i n = 3).


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




c) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 3 0 . . . 0 02 5 3 . . . 0 00 2 5 . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 5 30 0 0 . . . 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




d) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4 3 0 . . . 0 01 4 3 . . . 0 00 1 4 . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 4 30 0 0 . . . 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 3.

Izracunaj Vandermondeovu determinantu

V (x1, . . . , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xnx21 x22 . . . x2n...

.... . .

...

xn−11 xn−1

2 . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 4.

a) ∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 1 3 51 1 9 251 1 27 125

∣∣∣∣∣∣∣∣b) ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 10 1 3 −10 1 9 10 1 27 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣Vjezbe 9 Linearna algebra 1

Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Domaca zadaca

c) Izracunajte detA ako je A = B2 pri cemu je B

B =

1 1 1a b ca2 b2 c2

.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




A−1 =1

detA

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

... . . ....

An1 An2 . . . Ann

T

=1

detAA,

Aij = (−1)i+jMij ,

pri cemu je Mij determinanta matrice koja nastaje iz matrice Auklanjanjem i-tog retka i j-tog stupca.Matrica A naziva se adjunkta matrice A.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Cramerovo pravilo je efikasno za matrice drugog i treceg reda,a za matrice viseg reda koristit cemo Gaussov postupak.

Teorem 1.

Matrica A je regularna ako i samo ako je detA 6= 0.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 5.

Odredi inverz sljedecih matrica koristeci Cramerovo pravilo:

a)

A =

1 2 32 −1 −11 3 4


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




b)

A =

3 −4 52 −3 13 −5 −1

c)

A =

2 7 33 9 41 5 3


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 6.

Rijesi matricne jednadzbe:

a) [1 33 4

]X =

[3 55 9

]b) [

1 3−3 1

]X

[1 00 5

]=

[3 20 5

]


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 9




Zadatak 7.

Pokazi da dijagonalna matrica reda n sa elementimad1, d2, . . . , dn na dijagonali ima inverz ako i samo ako je di 6= 0,∀i . Kako glasi njen inverz?


Linearna algebra 1 - mathos.unios.hr fileLinearna algebra 1 Vje zbe 9 Ra cunanje determinanti n-toga...

Documents

Transcript of Linearna algebra 1 - mathos.unios.hr fileLinearna algebra 1 Vje zbe 9 Ra cunanje determinanti n-toga...