Lineaire algebra

Citation for published version (APA):Bruijn, de, N. G. (1958). Lineaire algebra. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1958

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Download date: 04. Mar. 2020

LINE.AIRE .ALGEBRA. =====================~=====~====

Syllabus van het coliege van Prof. Dr N.G. de Bruijn

in 1957- 1958.

Hoofdstuk I. ~aire verge_lijkingen em determinanten.

§ 1. Combinatoriek.

Tot de combinatoriek rekent men allerlei problemen over eindige

verzamelingen 7 en.meer in het bijzonder het bepalen van het aantal moge­

lijke situaties van een gegeven soort. Een eenvoudig voorbeeld:

Hoeveel verschillende dobbelstenen zijn er mogelijk (we maken een dobbel­

steen door de zijvlakken van een kubus met 1 t.e.m. 6 te nummeren;

twee dobbelstenen heten "gelijk" als ze, inclusief nummering, gelijk­

vormig zijn). (.Antwoord:30.)

In het volgende zullen we enkele eenvoudige combinatorische be­

grippen bespreken, t.w. permutaties 5 variaties, c~mbinaties en herhalings­

combinaties. Voor de determiiantentheorie zijn hiervan slechts ,de

permutaties van belang.

Permutaties. ----------- Di t v;oord wordt in drie betekenissen gebruikt:

10. Een eeneenduidige afbeelding P van een eindige verzameling

op zichzelf. Bestaa t die eindige verzameling ui t de getallen 1, 2, •.. 9 n ,

dan zijn de beelden daarvan resp~ P( 1), P(2), ••• , P(n) • Ter onderschei-

ding van de tweede betekenis van het woord permutatie zullen we P even

een "permutatieafbeelding" noemen.

2°. Is een eindige verzameling V in een zekere volgorde gerang­

schikt, bijv. (c, d, b, a, e) , en is P een permutatieafbeelding, dan

is (P(.::. L P( dL P(b), P( a), P( e)) weer emrtrangschikking van dezelfde

verzameling. Deze rangschikking wordt een permutatie van de oude genoemd.

Zo is bijv. (3, 2, 5, 4, 6, 1) een permutatie van (1, 2, 3, 4, 5, 6). 3°. Vaak noemt men elke rangschikking van een eindige verzamelin~

V een permuta tie, zonder da-t er van een "oorspronkelijke ~angschi~:}"in ··"

sprake is• Zo is bijv. (U~, Gld, Gr. ,N .B., N.H., z., Z.H., Ov., Dr.,; o ,Fr.)

eim permutatie van de provincies van Nederland. Meesta1 zal men de

On, der 2° en· 3° d b · 1' ·k k · d · t genoem e egrl.ppen nauwe lJ s unnen onderschel en, c '2 '1

onze eerste kennismaking met V Cioorgaans in een zekere volgorde geschiedt.

In de volgende stelling is het onverbchillig welk van de drie

begrippen meri gebruikt o

~!~!!!~~-! o Het aantal permutaties van n objecten bedraagt

n! ( = 1. 2. 3· ••o. n).

~~!~;:i~· We gebruiken het onder 3° genoemde begrip. Voor de eerste

plaats heeft men n mogelijkhede:". Heeft men de eerste plaats eenmaal

2

bezet, dan heeft men voor de tweede :plaats n-1 mogelijkheden. Heeft

men de eerste twee :plaatsen bezet 9 dan zijn er voor de derde plaats

n- 2 mogelijkheden. Enzo ("Enz. 11 betekent hier ~ voer het bewijs

zelf maar met volledige inductie uit.)

Combinatieso Zij V

geheel getal, 0 < k < n o

een verzameling van n objecten, en k een

Onder een combinatie van k objecten ui t V

verstaat men een deelverzameling v1

van V 9 die k elementen bevat.

Anders gezegd g zo'n combinatie is een groe:p van k elementen uit cen

gegeven verzameling van n elementen, waarbij met de volgorde van deze

k elementen geen rekening wordt gehouden.

Voorbeeld< n = 3 9 k = 2 9 V = {a 9 b 9 c l o De mogelijke combinaties zijn

(a, b1 9 {a, c} 9 {b, c} o

Variaties. Een varia tie van k elementen ui t een verzameling V

van n elementen is een eeneenduidige afbeelding van de verzameling

{ 1 9 2, o •• 9 k} in V o Is de afbeelding f 9 dan is f weer volledig

beschreven door de volgorde f( 1) 9 f( 2) 7 • o o, f(k) aan te geven, en met

een kleine betekenisverschuiving kunnen we dus zeggen ~ zo'n variatie

is een gree:p van k ui t n elementen met inachtneming van de volgorde

van de k elementen.

Voorbeeld g n= 3, k= 2, V= {a, b 9 c}. De mogelijke variaties zij:::J

(a, b), (b, a), (a, c), (c 9 a), (b, c), (c, b).

~~~~~~~~~~;:~~~~!~~ o Di t is eon afbeelding van { 1 9 ••• 9 k J in V ,

zonder dat de eis der eeneenduidigheid wordt gesteld.

Voorbeeld~ n=3 9 k=2 9 V={a 9 b 9 c}o Demogelijkeherhalings-

variaties zijn (a, a), (a, b), (a, c) 9 (b9 a) 9 (b, b) 9 (b, c) 9 (c, a) 9 (c 7 o) 9 (c,c),

~~~~~~~~~~~~~£~~~!~~~· Deze ontstaan uit de herhalingsvariaties

door identificatie 7 n.l. door twee herhalingsvariaties als gelijk te

beschouwen wanneer ze slechts in de volgorde der k elementen verschillen.

Voorbeeld : n = 3 9 k = 2 9 V = {a 9 b 9 c } • De herhalingscombina ties

zijn aa9 ab 9 ac 9 bb 9 be, cc , VJaar het bij een herhalingscombinatie o:p

aan komt is het aantal b's 9 etc., waaruit een greep is opgebouwd.

Zo is bijvoorbeeld in een homogene 4-de graadsveelterm in de vera~der­

lijken x, Y9 z elke term (afgezien van de coefficient) te beschouwen

als een herhalingscombL1atie van 4 ui t x 9 y, z. Het zijn 4 3 X 9 X y 7

3 22 2 22~_3_2 ~2 3 4 3 22 3 ·X Z 9 X Y 9 X yz 9 X Z , -"-Y 9 xy Z 9 X"J Z 9 XZ y y 9 y Z 9 y Z 9 yz 9

z4

( aan tal: 15).

~!~~~!~~-~0 Het aantal varie. · 5 es Van k elementen ui t n bedr::::_.,,,-:

nl/(n- k)! (Men inter:pretere 0! = i , )

~~:_~;).~· Elk dezer-variaties kan op (n- k) l manieren worden anr,· ·

vuld tot een :permutatie van de n elementen 9 en op deze manier ontstaan

alle n~ permutaties elk een kee:ro

§!~~~~~~L2· Het aantal combinaties van k ui t n elementen bed:::-rv1g+,

k!(n-k)!

~~~~~~· Elke eombinatie kan op k! manieren tot een variatie -crorden

gerangschikt~ en op deze v!ijze ontstaat elke variatie precies een keer.

Overtuig U afzonderlijk van de juistheid van de formule in de gevallen

k =' 0 en k = n.

Stelling 4. Ret aantal herhalingsvariaties van k ult n elementen -------k--bedraagt n .

~~~~;i~· Op elk der k plaatsen heeft men 9 onafhankelijk van elkaar~

n mogelijkheden.

Stelling 5. Ret aantal herhalingscombinatie~ van k ui t n elementen --------r-bedraagt \ n + ~ - 1

) •

~~~~;!~· We zullen de verzameling der ·genoemde herhalingscombinatiGs

eeneenduidig afbeelden op de combinaties van k ui t n + k - 1 elerr>:.<i: .en.

Duidelijkheidshalve laten ;ro het. zion ·aan de hand van een bijzondor

geval g n= 4~ k= 9. De 4 elementen zijn de letters a 9 b, 6 9 d. "' ·o

herhalingscombinatie R is nu als volgt te rangschikken ; eerst allc

a's, dan alle_ b 1 s~ etc. Bijv. aabbbbddd. We gaan nu elke reeds

eerder voorgekomen letter vervangen door het rangnummer dat di~ letter

in het totale rijtje heeft g a2b456d89. Noem dit rijtje H'.

Omgekeerd kan ui t de symbol en a, b 9 d, 2, 4 9 5 9 6 9 8, 9 slechts op e•5n

marrier een R' worden gevormd (de plaatsen van 2~ 4 9 5, 8 9 9 liggen

vast, en op de 3 overgebleven plaatsen moeten a, b, d in alfabetische

volgorde worden ingevuld). Verder ziet men gemakkelijk, dat elke

combinatie van 9 symbolen uit de verzameling

fa, b, c, d, 2, 3, 4 1 5 9 6, 7, 8, 9} (die 4+ 9-1 symbolen bevat) tot een

H' kan worden gerangschikt.

S t 11 . 6 ( ,__ ) n = " n ( n \ 1 n-kbk --~--~~~--. a+ u L.k=o \ k) a (n = 1 , 2, ••• )

(Binomiaalformule van Neuton).

~~!~~~, Ret is voldoende het geval a= 1 te beschouwen. We voeren

nu n veranderlijken b1

, ••• ~ bn in, en bekijken ( 1 + b1

) ••• ( 1 + 1:-\,) n Als we di t volledig ui twerken, ontstaan er 2 termen; elke terL ~s

het product van een ccmbinatie van een aantal b' s •

van de graad k bedraagt (~J (st. 3). Door nu b1

,

door b te vervangen vinden we de formule van Newton.

Ret aantal tr

0 0 0 ~ b n

Even en oneven permutatieso We zullen de n! permutaties van de --------------------~---~--

getallen 1 1 2, , o o, n indelen in even en oneven permutatieso Ook

spreken we wel over de siKDatuu~ van een permutatie g de even permuta­

ties hebben de signatuur + 1 en de oneven hebben de signatuur - 1 o

De signatuur van de permutatie (a1

, a2 ~ oo. 1 an) stellen we voor door

E( a1

, o o o 9 an) , en we definieren

0 0 c 9 a ) n

== sgn (a.-a.), J J.

(~.-a )) n n-1'

Eierbij is sgn x gedefinieerd als + 1 of - 1 naargelang x) 0 of

x < 0 9 terwijl sgn 0 = 0 word t genomen. In het product treed t een

negatieve factor op als in de permutatie een hoger nummer v66r een

lager verschijnt. Zoiets noemen we een inversie, en een permutatie is

dus even of oneven -naargelang het aantal inversies even of oneven is.

Voorbeeld g de permutatie (51 3 2 4) is oneven, want er zijn 5 inversie;o 9 te weten (51) 9 (53) 9 (52), (54) 9 (3 2) o Ook is

sgn((i-5)(3-5)(2-5)(4-5)(3-1)(2-1)(4-1)(2-3)(4-3)(4-2)) == +1 o

§~~!!~~~-Z· Verwisselt men in een permutatie twee getallen, dan

komt er een nieuwe permutatie, waarvan de signatuur tegengesteld is

aan die van de oudeo Bijvo (8 1 3 2 9 57 4 6) is oneven 9

(8 1 7 2 9 53 4 6) is even 9 3 en 7 zijn verwisseldo

~~!:!::~~0 We geven dit aan de hand van het voorbeeld~ De enige

mogelijke inversies die door de verwisseling worden be:invloed zijnr Ci:I.e

van 3 en 7 zelf en die V&'l 3 en 7 met de tussengelegen getallen 2 9 5 o

Wat de 2 9 9, 5 betreft, behoeven we slechts 5 te bekijken 9 want een 2

ziet geen verschil tussen een 3 en een 7 9 evenmin als een 9. En

(5-3)(7-5) gaat over in (5-7)(3-5) 9 waarbij dus niets veran.dert,

De enige factor die we nog moeten bekijken is 7- 3 9 deze gaat over

in 3 - 7 9 dus verandert van tekeno

Soms is het voordelig het symbool E( a1

, o. o 9 an) ook te ge-bruiken

in het geval dat er onder de getallen a1 9 ••• 9 an gelijke voflrkomGn)

in dat geval zal het als 0 worden gedefinieerdo

Stelsel;fvan lineaire vergeli.jkingen.

Een stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden kan

worden genoteerd als

a11x1 + a12x2 +

a21x1 +

+ a x mn n b m

Hierin heten x1

9 ••• , xn

of de bekende termen 7 en

de onbekenden 9 de b. 1 s heten de rechterleden, l

de a. ; Is heten de coefficienten. Men kan de lJ

a .. 1 s lJ

afzonderlijk in een rechthoekig schema zetten g

Zo 1 n schema heet een matrix; hier is het een matrix met m rijen en

n kolommen 9 een zog. (m x n)- ma tri:x:. De notatie is z6~ dat a .. lJ

het

getal voorstelt dat in de i-de rij en de j-de kolom staat.

De a;. 1 s en b.'s stellen getallen voor 9 x 19 • .; • , xn daarentegen lJ .l

zijn zonder meer letters. Voor die letters kunnen we wel getallen

invullen 9 maar dan is het geen stelsel vergelijkingen meer. (Daar vfe

uitsluitend~ lineaire vergelijkingen beschouwen, laten we in het ver­

volg de toevoeging "lineaire n weg.)

Een rijtje ( c 1 9 o o o, en) van n getallen heet een oplossing van

het stelsel, als de substi tuti e x_1

= c 19 o o o, xn =en alle vergelijkingen

in gelijkheden overvoert. (Gemakshalve zegt men vaak g

11 x:1 = c 1 , • o. 9 xn =en is een oplossing", Deze nota tie heeft voordelon

in het geval dater niet zo'n duidelijke volgorde der onbekenden is,)

Het stelsel heet oplosbaar, eenduidig oplosbaar, strijdi~ als

het respo minstens een oplossing, precies een oplossing, geen enkelo

oplossing heeft.

Het stelsel heet homo~ee~ als b = o o o = b = 0 • In da t geval is ·J m (o, ... , 0) steeds een oplossing, de Zog. nuloplossingo

Een vergelijking heet een nulvergelijkin~ als alle coefficienter

zowel als de bekende term nul zijn.

Een vergelijking hoet een strijdige vergelijking als alle co~ffi­

cienten nul zijn, doch de bekende term niet.

Een vergelijking heet een echte vergelijking als niet alle

coefficienten nul zijno

Twee stelsels heten equivalent als ze dezelfde oplossingen hebben 9

cLwozo als elke oplossing van het eerste stelsel ook aan het twecde

voldoet en omgekeerdo

6s

Voorbeeld • r X 0 ( X 1

t X + y 1 en i X 2

-X+ y 0 y 0

zijn equi vc;,l en te stelsels, want beide zijn strijdig.

Herhaaldelijk zullen de volgende operaties op ~telsels vergelijkin­

gen worden toegepast.

1°. "De i-de vergelijking met een getal p f 0 vermenigvuldigen. 11

Hiermee wordt bedoeld~ dat we ui t een steisei een nieuw· stelsel maken9

waarvan in de i-de vergelijking de co~ffici~nten en de ~ekende_ierlli

alle p keer zo groat zijn als de overeenkomstige getalleh in. de i-de

vergelijkin~ van hat oude stelse1 1 terwijl alle andere 'vergelijkingen

hetzelfde zijn gebleven~

' ' ) if J .

2°. "De i-d~ vergebjking q keer b:j_j de j-de optellen 11 ~ctis Hier is in ho-G hlteu~e stels61 hoog:H~ns de j;..de vergelijking

verschillend van de overeenkomstige in het oude. Een co~ffic±~nt uit

de nieuwe j;.;de vergel:ijki..ng is gelijk aan d.e overeenkbmstige co~fficient ui t de oude j-de vergelijking plus q maal de overeenkomstige coeffi­

cient uit de i-de vergelijking? analoog voor de bekende term.

3°. WViJegschrappen van een nulvergelijking 11 , hetgeen natuurlijk

slechts mogelijk is als er een dergelijke vergelijking in het stelsel

voorkomt. Ret nieuwe stelsel heeft nu minder vergelijkingen dan het

oude.

~!~!~~~§-~· Door een van de boven genoemde operaties op een stelsel

toe te passen ontstaat een nieu~ stelsel dat equivalent is met het oude.

!!~!!j~· Elke oplossing van het oude stelsel voldoet aan het nieuwe

( ook nog als p = 0 ~ en ook nog al s er een willekeurige vergelijkin,g-

wordt geschrapt). Gaat men omgekeerd van een oplossing van het nieuwe

stelsel uit, dan voldoet die aan het oude. De inverse operaties zijn

n .1. resps : 1° o vermenigvuldig. i.~de vergelijking

2° .. tel i-de vergelijking -q keer bij j -de op ;

nulvergelijking bij"

met p -1

3°- 1 t _ p aa s e:r' een

Gereduceerde stelselso Een stelsel van m vergelijkingen met n

onbekenden heet een gereduceerd stelsel als er bij elke echte vergelij­

king van het stelsel een onbekende is aan te wijzen die in die vergr::;,

lijking een COefficient f 0 heeft doch in alle andere vergelijking·E',J:

van het stelsel de coefficient 0 0

Voorbeelden g + w + t = 0 Bijbehorende

- Yf - 2t 4 onbekenden

z + t 1 resp. x, y, z 0

X+ y + .!- 0 Bijbehorende onbekendc·1 u

X -z 1 resp. y~ z~w of

3w 2 'resp. t~ z, w 0

O·x + o.y + O·z + Oow + O·t 0

Oox + 0·~ + o.z + o.w + o.t 2 "

~~~!!~£.~-~. Elk stelsel van m vergelijkingen met n onbekenden is

equi vale:n t met een gereduceerd stelsel van k vergelijkingen, waarbi j

k~m o

~~!~~~0 . We mogen aannemen, dat het gegeven stelsel (noem dat S)

minstens g~n echte vergelijking bevat. Zoek bij de eerste echte vers?­

lijking ee:n onbekende die een coefficient I= 0 heeft. Noem de vergG­

lijking v 1

en de genoemde onbekende y 1

o Trek nu v 1 van elke andere

vergelijking van het stelsel zo vaak af? dat de coefficient van y1 in

al die vergelijkingen nul wordto Dan komen we tot een stelsel 8 2 d.at

met het gegeven stelsel equivalent is, en waarbij de y 1 slechts in

v 1

voorkomL

Al s in s2 ~ehal ve v 1 geen e:nkele echte vergelijking voorkomt 9

zijn we reeds klae.r. Onderstel nu, ·dat v2

een tweede echte vergelij­

king in 82 is. !n v2 heeft y1 de coefficient 0 ~ er is dus een

tweede onbekende (noem die y2) die daar een coefficient f: 0 heeft,

Nu trekken we weer v 2

van alle andere vergelijkingen ( ook van v 1

)

zo vaak af, dat de y2

uit al die vergelijkingen verdwijnt. Zo ontstaat

het stelsel 83

• We gaan zo door, en komen tenslotte tot een stelsel

8k dat k echte yergelijkingen bevat en verder eventueel nog nulver­

gelijkingen of strij dige vergelijkingen~ terwijl_ er k onbekenden

y 1 , ••• , yk zijn, z6dat yi slechts in de i-de echte vergelijking

voorkomt (i = 1, .•• 7 k) • Het is duidelijk 9 dat k < n en k~m is,

· Eigenlijk zouden we het bovenstaande bewijs door middel van

volledige inductie (bijv. naar m ) moeten voeren, maar dan zou iets

minder duidelijk uitkomen hoe we de reductie in de practijk uitvoeren.

Merk op? dat het hier beschreven reductieproces vaak op verschil­

lende manieren kan worden ui tgevoerd en niet al tijd tot eenzelfde [0'­

reduceerd stelsel leid.t.

· We kunnen nu van elk otelsel alle oplossingen aangeven door een

daarmee equivalent gereduceerd stelsel te bestuderen.

~!~!!~~~-!Qo Als een gereduceerd stelsel een strijdige vergel2~~~ng

tev:at1 dan heeft het goen enkele oplossingo ·Als een gereduceerd stelsel

(met n onbekenden) k echte vergelijkingen oevat en geen enkele strij-

dige vergeli jking9 dan is het stel sel oplosbaar (en dan is k i. n ) o

bi j":pass:ende waarde van y. bepalen o:p grond. van de i,-de vergelijking. J.

Elke zo verkregen stel waarden is een oplossing~ en elke o:plossing kan zo

worden verkregen.

Voorbeeld . (X + w - t 1 ' ... - y - TJ\t 0 } 1.. 2z + \fl + t 3 0

Als A~ !l getallen zijn$ dan is

X=1-A.+!l 1 . ~(3 z = 2-, - t = !l

een o:plossing~ en elke o:plo~sing wordt door geschikte keuz~ van A en !l

zo verkregen. We noemen A en !l parameters, en het stel formules

noemen we een algemene 2Rlo~siriR.

§~~!!!!!:\3'_!!· Als m < n 9 dim he eft een stel sel van m hombRene

vergelijkingen met n onbekenden minstens een oplossing die van de

nuloplossing verschilto

~~!!~~0 Het stelsel is equivalent met een gereduceerd stelsel met

hoogstens m echte vergelijkingen. 9trijdige vergeiijkingen kunnen in

het gereduceerde stelsel niet voorkomen 7 omdat het oude stelsel de nul-

o:plossing heefi;, dus het nieuwe ooko (Bij de in st. 9 aangegeven re-

ductie-methode blijven trouwens alle vergelijkingen homogeeno)

Volgens st. 10 kunnen we, daar m<n is, een :positief aantal der

onbekende willeketirige waarden geven en daaruft een o:plossing vormeL.o

Door minstens een van die willekeurige waarden fO te nemen krijgen '"

een o:plossing die van de huloplossing verschilt.

212~~E~!!!;~_! o Voor verschillende doeleinden kan men het rekemrc-;·

beperken door met een onvolledige reductie te volstaan, bijv. tot

stelsels van het vo~gende type

rx - y + 2z + w ... t = 3 i

< y - z + w - 3t 5 i \ z - 2Vi + 5t 0 0

Hieraan kan men reeds zonder enig rekenwerk zien, dat er o:plossingen

bestaan, en wel oplossingen waarbij de waarden van w en t willekeurig

voorgeschreven kunnei,J. woTden. Uit de onderste vergelijking is, dan n.J.

z o:p te lossen, vervolgens y ui t de middelste en tenslotte x uj_ t de

bovenstea Dit is in te zien zonder het werkelijk uit te voeren, zodat

de o:plosbaarheid van het stelsel met minder moeite is aangetoond dan

bij volledige reductio.

212~~E~!!!:§_g. De volgende vraag lG nog onbeantwoord. Als het stelsel

S equivalent is met Lat gereduceerde stelsel R1

en ook met het go.rufu­

ceerde s"telsel ~2 ~ b8vatten R.1

en R2

dan evenveel echte vergelijk:l '": ?

Wel is duidelijk9 ctat strijdige "'Tergslijkingen of zowel in ~1 a~ s . -' '1,21

§ 3. Determinanten.

Een stelsel van n homogene vergelijkingen met n onbekenden ver­

keert steeds in ~~n der volgende gevallen.

I. Bet heeft slechts ~e nuloplossing. Dit is het geval als

het equivalent is met eon gereduceerd stelsel dat n echte vergelijkingen

bevat ; dat gereduceerde stelsel is dan c x1

= 0~ •.. 1 c x = 0 1 n n

met c 1

/= 01 ••• , en f 0 •

II. Het heeft mecr dan e~n oplossing. Dit treedt op als het

equivalent is met een gereduceerd stelsel met minder dan n echte ver­

gelijkingen.

'iVe zullen zien 9 dat er een zekere functie van de coefficienten lE

aan te geven, de z 0 g. C.eterminant van de coefficienten- matrix, zodanig

dat we in het geval I verke~en als ~e determinant /=0 _is, en in het

geval II al s de determinant = 0 l s.. Deze functie zullen we aangeve:::-1

met

( a!-\ ,., .\

a11 a1n j • I ~In\ det

\ ~n1 of met

}

a nn i a n1 • 0 Q a nn

We bekijken eerst de gevallen n=\ 5 29 3 0 Als n=1 is het stelsel

ax= 0, 'I've verkeren in geval I als in geval II als a= 0.

We definieren de determi:na!l-~ door det(a) =a. Inderdaad heeft deze d·3

gewenste eigenschap.

Zij nu n = 2 9 en het stolsel

r a1x + a2:' (\ ·J

1. b1

x + 11 v 0 0 2u Als a1 =a = 0 dan -r;rerkeren vve in geval IL

2 Ala a

1 /= 0 , dan red-c:.ce­

ren we door x ui t de twesc~:;; vergcli~1d ng te verwijderen ~

~ a~x + a 2y t ( -1 \ l b 2 - a

2a.

1 1;~ )Y

0

0 e

We zijn dus slecht2 t~ geval I d.w.z.

a1

b2-a

2b

1 f 0.

Is a 1 = O, a 2 /= 0 9 dE•.CJ. kom.en v:e gc:mokkelijk tot hetzelfde resul taat"

Vi!e defini~ren nu

en weer heeft de detersin2~t de gewenste eigenschap.

Neem nu · n = 3 g

~-\- E'll.: ~t _1.. L .. -:, ~~ :..:;:.=::: 0

~ ./

b '2-:.r -:- iJ 7 c 7 ._,

)

·'- r. ,. -~ .. .(~ 0 v ~-: 7 0

:::. )

Als

..

I We onderstellen nu a 1 t 0 o We reduceren tot

{

+ ay + az=O a1x (a1 b2- a2b11Y + (a1 b3- a3b2Jz = 0

(a1

c2

- a2

c1

)y + (a1

c3

- a3

c·1

)z == 0 o

Ret stelsel verkeert dan en slechts dan in geval II1 ·Lals het stel sel

gevormd door de onderste twee vergelijkingen in g~val II verkeeri, dus

als

a1b2 - a2b1

a1c2 - a2c1

a1b3 - a3b2

a1c3 - a3c1 :::: 0 0

Na ui twerking en deling door a1

zien we, dat di t neerkomt op D = 0 ,

waarbij

D = a 1 b 2 c 3 -a 1 b 3 c2 -a2b 1 c 3 +a2b3 c 1 +a3b 1 c 2 ~a3b 2 c 1 •

Ook ars a1

= 0 9 a 2 -f 0 komen we tot di t resul taat ( verwisseiirig van de

indices 1 en 2 doet D in -D overgaan) o Ook als a 1 = a2 = 0 , a3

-f 0

en als a =a =a =0 1 2 3 zien we, dat

D f 0 <==> stelsel eenduidig oplosbaar.

Per defini tie is D weer determinant van de coefficiehtenmatrixo

Ret is te ingewikkeld om op de aangegeven weg verder te gaa:ri naar

We zullen anders te werk gaan. We bekijken de uitdrukkirg

D (bij n = 3) wat nauwkeuriger en bouwen naar analogie de determin~·rt

voor n = 4, 5, • o. op; achteraf bewijzen we pas, dat deze de gewonsto

eigenschap heefto

In de ui tdrukking voor D staan 6 termen, elk van de vorm +a. lJ. ck . - l J

Hier is (i 9 j, k) steeds een permutatie van (1, 2, 3) het teken is +

als die permutatie even is, en - als die oneven is.

Definitie. Onder

0

ani ~nn I verstaat men de som van de nJ termen van de gedaante

j ) a1

. a2

. • • • a . • n J1 J2 11Jn

In elk der termen is een permutatie van (1, o o o, n)

bij elke permutatie behoort precies een term.

In de gevallen n:::: '1, 2 9 3 stemt di t met de eerder gegeven defini tie

overeen. Merk op 9 da t we det A alleen gedefinieerd hebben voor een

vierkante matrix A (d.io een matrix met evenveel rijen als kolommen) ...

Laat

oplossing van j = 1 9 X

( . \

Ej1

, .•• 9 J}a. :;:, 1 J 1

een permutatie zijn van ( 1 9 ••• , n) • · Zi j i 1

a . nJ~

cie van j = 2 9 enz . Dan is X

• o o , j ) a . 1 o • o al. . . n n l1 n

Nu is

11 0

(j1

, •• o, jn) ~ dus j )j 9 p(q. Stellen we nu j =r 9 j =s, dan is p q p q ;i.r=p 9 i

8=q en (is' i) is eeninversievan (i

1,o •• 9 in)o Om.gekeerd

hoort bij iedere inversie (is, ir) van (i1

, • o. 9 in) door middel van

i =p, i =q een inversie (j, j) van (j1

, ••o 9 j) o De aantallen r s p q n inversies van (j

1, .0., jn) en (i

1, ••• ,in) zijn dus gelijko

Voorbeeld ~ Als (j1

, o o., j 6) =(53 14 6 2) dari is

(i_1, o o o 9 i 6 ) = (3 6 2 4 1 5) • De inversie (53) op 1e en 28 plaats bij de

jis correspondeert met de inversie (2 1) op 3e en 5 8 plaats bij de iiso

We hebben dus

j )a1

. ~·0 a. =E(i1

; o••> i )a. 1 •o• a .. , n Ji nJn n 1 1 1nn

Doorloopt alle perm.utaties, dan doorloopt (i1

, o •• ; in)

alle perm.utaties. Hieruit volgt nu

a n1

• I ann I

m.a.wo een determinant verandert niet

hoofddiagonaal (d.i. de diagonaal van

I a11 a21

1 ~12 I ~1n

=

a nn I

als men de matrix wentelt om (le

a 11 naar ann ) .

In de volgende stellingen wordt gesproken over zekere bewerklngen

die met de rijen van een matrix worden uitgevoerd. Op grond van st. 12

zal het duidelijk zijn, dat de overeenkomstige stellingen gelden wann8er

men overal het woord "rij" door "kolom. 11 vervangt en omgekeerd.

~!~~!!~~L1~o Zij i een der getallen 1, o o., n. Is elk element van

de i-de rij van een vierkante matrix

:1n) nn \

-~11 ooo

A = o

an 1 0 0 •

als som van twee termen geschreven a .• =b .. +c .• (j=1 9 .••• ,n), lJ lJ lJ

dan is det A= det B + dmt C. Hierin is B de matrix die ui t A onts"t2 -;-!;

door de i-de rij a. 1

, o o ,.~·, a. te vervangen do0r b.1

, •• , 9 b. 9 1 1n 1 1n terwijl C analoog is gedefinieerd.

~~!~j~ o Gemakshal ve nomen we i = 1 1 doch het algemene geval gaa t

evenzc. Elk8 in de dofini tie va::1. det A voork,omende term kan worden

gespli tst ?

T.1 ( • .r!; J 9 0 0 0 9

E (j 1'

+E(j1,

0 0 0 9 a . nJn

a . nJn

+

Door di t voor elke permutatio op te schrijven en te somm.eren blijkt

det A = det B + det C •

Analocig bewijst men·

~!~~~~~~-14. Laat de matrix B ontstai:J,n ui t de ( vierkante) ina trix A

door de e~rste rij van A met :p 1 te vermenigvuldigen 9 de tweede mot p2

9

enz. Dus b .. =:p.a .. (i=1 9 oo. 9 n 9 j=1 9 ••• ,n). Dan is lJ l lJ

det B = p1

p2

••• :pn det A.

~~~~~~~~~22· Laat de matrix :B ontstaan uit de (vierkante) matrix A

door twee rijen te verwisscleh. Dan is det B =- det A.

£~!:~:1~· Terwille van de notatie nemen we gemakshalve aan, dat de

verwisseling de eerste twee rijen betreft. Dan is een term uit detB

E(j1, •••9 j )b .. b2 .•.• b. = E(j1, ooq j )a2. a1. a3. coo a. n :r. J 1 .· J 1 llJn n J 1 J 2 J 3 nan

E(j 1 , ••o 9 j )a1

. a2

. a3 .••• a.

n J 2 J 1 J 3 nJn

=-E(j2' j1, j39 •.. , jn)a1j2a2j1 •o• anjn

(de laatste stap berust o:p st. 7)o Als (j1

, ••• 9 jn) alle permutaties

doorloopt, dan doet (j2

, ,j1

, j3

, ••• 9 jn) dat ook. Sommatie van het

eerste lid levert det B op, en van het laatste - det A o

~!~~1!~8'_2§· Als A twee gelljke rijen heeft dan is de"i A= 0 •

~~!~j~· Verwisseling van deze rijen doet det A in zi;jn tegengestelde

overgaan 9 terwijl A door deze verwisseling niet veranderto Dus

det A= - det A •

~!~~!!~8'-2I· Laat p en i gegeven indices zijn 9 :pfi 9 1~p~n, 1i_i~n en c een gegeven getal. Laat de matrix E ontstaan uit de

vierkante matrix A door in de i-de ri_j R-. -~ te vervangen door lJ .

(j = 1 9 ••• , n) . (We zeggen dan dat B ui t A ontstaat door a .. + c a . lJ PJ

de p-de rij c maal bij de i-de rij op te tellen.) Dan is det B = det A.

£~!:~~~· We spli tsen det B volgens st. 13 en passen nog st. 14 toe.

We vinden dan 9 ·dat det B = det A+ c det A' 9 waarin A' twee gelijke rij1:n

heeft. Nu st. 16.

We kunnen nu reeds bewijzen 9 dat de determinant van een matrix d:

eigenschap heeft die we reeds bij n = 1 ~ 2, 3 hadden vastgesteld.

~!~~~~~~L2~ · a11 a1n

0 <=> ) a11x1 + •• 0 + a X 0 nn n . . he eft slechts

~nn j la n1x1 + + annxn 0 de nulo:plossing.

0 1 • Onderstel, dat het stelsel een oplossing

z 1 = c1

, o •• 1 xn = dn heef't waari:h c 19 .... 9 c:n niet alle :hul zijn.

Bijv. c1 f 0 o Tel nu achteree:nvolgens de 2e koiom van de matrix c

1-\

2 e -1 keor bij de eerste op 9 de 3 kolom c1

o3

keer~ enz. Dan ontstaat

een matrix waarvan de determinant nog steeds gelijk is aan det A

(blijkens st. 17; 9 doch waarvan de gehele eerste kolom uit nullen bc­

staat. Een dergelijke matrix heeft ochter de determinant 0 9 zodat

det A= 0 .

2°o Onderstel 9 dat het stelsel slechts de nuloplossing

heeft. Dat betekont, dat het met de in hot bewijs van st. 9 gegeven

methode te herleiden is tot oen gereduceerd stelsol van de vorm

· ( p 1 x1

<) i \.

:= 0

0

p X = 0 , n n met p

1 f O, •. o, pn f 0 o Deze herleiding geschiedt dan door herhaaldo1ijk

vergelijkingen van het stelsel zekcre malen af te trekken van anderr:: •:n

af en toe de volgorde van de vergelijkingen te veranderen. Door al o.~zo

oporaties verandert de determinant van de coefficientenmatrix hoogstons

wat het teken.betreft, zodat

I p1 0 0 Q Q 0 0 Q 0

I 0 p2 0 •• 0 0 + det A - i 0 0 I

I 0

0 OQ0~0.¢0 0 Pn I

I

De determinant in het rechterlid is p1

•o• pn ( bij toopassing van de

defini tie is di t de enige van de n! termen die niet verdwijnt) o

Daar de P-: 's alle /-0 zijn, is dus ook det A f 0 • .L

an1 a nn

I 0 r

( a11x1 I <=> ) 0 •

C an1x1

+ + a1n X n

+ +· a X nn n

b1 eenduidig

b oplosbaeT, n

~~!~Q.~· Het stelsel vergelijkingen noemen we S , en het stelsel d t

daarui t on tstaat door de bekende termen door null en te vervangen :n:Jc r ·:1.

we S. 0

Blijkens st. 18 is het voldoende te bewijzen, dat

s eenduidig oplosbaar <=> S heeft slechts de nuloplossing. 0

Merk op, dat di t niet meer geldt voor m vergelijkingen met n onbd·,m-­

den als m > n o

vfe reduceren S met de methode van het bewijs van st. 9 tot een geredu­

ceerd stelsel R o Met precies dezelfde stappen word t S gereduceerd 0

tot een gereduceerd stelsel R , v-raarbij ook weer R ui t R ontstaa-t 0 0

door de bekende termen n1::.l te maken. .Als S0

slechts de nuloplossin;?,·

heeft, dan heeft R0

de vorm p1

x1

= 0, ••• ~ pnxn = 0 ~ met

.cj 1 /=0 9 oooypnfO. Nu is R van de vorm p1

x1

=q1 , •o·~PnXn=~ (or

kunnen geen strijdige -;-ergelijkingen bijkomen, want S bevat niet :meor

dan n vergelijkingen). !lus R is eenduidig oplosbaar, zodat hetzelfde

voor S geldt.

Zij omgekeerd S eenduidig oplosbaar, en x1

= c1 9 o. o y xn =en do

oplossing van S o Is x1

= o.1

, o o., xn = dn een oplossing van S0

, 0'"

is x 1 = c 1

+ d1 , ••• , xn = en+ dn

slechts 66n oplossing heeft, is

de nuloplossing.

ook een oplossing van S o Daar S

d = o o o = d = 0. S heeft dus slc,;11·:s 1 n o

Onderdeterminanten. Laat mon uit de mc.trix ------------------u11 ~1n)

an1 a nn

kolom weg, dan ontstaat er weer een de i-de rij on de j-de

matrix die we met A .. lJ

aanduiden. De determinant van A .• • • J_ J

onderdeterminant van a ..• J.J

minor van a. . genoemdo lJ

( ) l+J Ret getal -1 det A .. = m .. . :LJ 2J

~~~!!~~~-g20 Is i een der getallen 1, ... , n, dan is

+a. m. J.n 2n

vierkanto

hoet de

wordt d8

(ontwikkeling van de. determinant van een matrix naar de elementen van

een rij). De overeenkomstige stalling geldt voor ontwikkeling naar

een kolom.

· ~~!~j~. 1°. Zij B een n x n matrix met

bnj = 0 voor j = 1, ••• , n - 1 o

Dan zijn in de .som, waarin det :B volgens de defini tie geschreven kan

worden, alleen die termen mogelijk ongelijk nul, die de gedaante

E(j 1 , ••• , j )b4 • 1 2 .••• bnJ··n, met j =n, n ;.J 1 J2 n

hebben, waarbij (j1

, o.,, j.) een permutatie van (1, .•• , n) is. . n

Di t ,betekent, dat (j 1

, ••• , jn_1

) een permutatie van ( 1, ••• , n- 1)

is. Daar E(j 1 , ••q jn_1

, n) = E(j 1 , ••• , jn_1

) stellen we nu vast, dat

det B = b det B nn nn

waarbij det :B, de onderd.eterminant is van b nn nn

2°. We keren nu terug tot onze matrix A • Volgens st. 13

is

det A = det P 1 + • o. + det Pn ,

waarbij de matrix P. ontstaat door in de i-de rij van A (voor de e:r:e J .

bepaalde i van de s·telling) alle ol~'>nenten"! B."{k met k ~ j door 0

te vervangen, Door in J.eder der P.: s de i-de rij n- i plaatsen J

naar bene den te schui ven en de j -do kolom n- j plaatsen naar recb".,-

komen we tot

detP. = (..,.1)(n-i).J..(n-j)det J

/ I

\

I! . Aij

··························-···· 0 • 0. 0

*

* a .. lJ

. _/ .

Passen we nu 1° toe, dan zien we 9 dat

( ) i+j det P. = -1 a .. det A .. J J.J J.J

a •• m .. J.J J.J

waaruit het gestelde volgt.

Teneinde de stelling ook voor ontwikkeling'naar een kolom te be­

wijzen, gaan we op de gespiegelde matrix over (vergelijk st. 12).

Merk op, dat de minor van a. . in A gelijk is aan de minor van het J.J

element in de j-de rij en i-de kolom in de gespiegelde matrix.

We kunnen st. 20 o.ao gebruiken om determinanten snel te berekenen.

We herleiden de matrix dan eerst door toepassing van st. 17 tot een

andere (met dezelfde determinant) die een rij heeft ~marin nog maar

een element f. 0 staat. Vervolgens ontwikkelen we naar die rij, waartoe

we dan nog slechts een determinant van een matrix van n ---t rij-en en

kolommen behoeven te berekenen. Voor de laatstgenoemde kunnen we weer

hetzelfde precede toepassen.

+ a. mk = 0 J.n n + a .m k = 0. nJ. n

(Als i=k,

~~!~~::!i>

ai1mk1 + ai2mk2 +

a1im1k + a2im2k + dan zijn die sommen blijkens st. 20 gelijk aan

We vormen een matrix B di-e ui t A onstaat door de k-de rij

van A te vervangen door ai 1 , ••• , ain (de i-de rij van B is echter

nog gelijk aan de i-de rij van A). Blijkens st. 20 is nu

ai 1mk 1 + ••. + ainmkn = detB. Op B is echter st. 16 van toepassinr,.

dus det B = 0 •

§!:::!!~~~-gg. Zij det A f. 0. Tian is het stelsel

\a11x1 + -- alnxn "b 1

I o •

\ J + + 8. X b \ an_;x1 nn n n

eenduidig oplosbaar; de op1ossing is x 1 = d1/d, x

2 = d2/d, ••• , xn = dn/d.

Hierin is d = det A 9 en <l~ is de dete:rm.inant van de matrix die ontsL;,at ....

door de getallen in de j -·de kolom van A opeenvolgcmd door b 1 9 ••• , bn

te vervangen, (Regel van Cramer).

~~!~j~· Voor een gedeel te vo,n het bewijs kunnen we st. 19 gebruikcn;

we zullen.dat echter niet doen.

We merken op 9 dat uit st. 20 volgt 9 dat

+ b m . 9 n nJ

waarin de m •. 1 s de minoren van de matrix A zijn. Neem vervolgens J.J

eerst aan 9 dat het stelsel oplosbaar is. Laat (x1* 1 ••• , xn*) een

-oplossing voorstellen (dit zijn dus nu geen onbekenden, doch getallcn).

Vermenigvuldig de gelijkheden die door substitutie van

ontstaan, opeenvolgend met m ___ ,' ·iJ

.., 0 0 9 m . 11J

en tel op ;

* X ,,_ x 1 ' ••• ' ·-n.

dan komt er

d = d .x. * ' dus X:*= d ./d '• Er is dus hoogstens een oplossing g als er J J . J J

een oplossing is, dan is het (d1/d, • 0. 9 dn/d) 0

Tenslotte laten we zien, dat dit inderdaad een oplossing is. Substitutie

in de i-de vergelijking geeft in het linkerlid

n / -1 n n .:..1 n n 2: . a. . d . d = d I: . 1 a. . I:k 1 bk m.. • = d I:k 1 bk I: . 1 a . . mk . . J = 1 J. J J J = J. J = KJ = J = J. J ~ J

De binnenste somis altijd nul, tenzij k=j (st. 21) 9 want dan komt er

d uit (sto 20). De dubbele som levert dus bkd op, zodat

d1/d, ••• , dn/d inderdaad aan de i-de vergelijking voldoeto

~~~!!~~~-gz o Beschouw .n-- 1 homogene vergelijkingen met n onbekenden :

( a11x1 +

tan_;,1x; +

. \

+ a x = 0. n-1 ,n n

Zij d. de determinant van de matrix die uit de coefficientenmatrix J.

ontstaat door de i-de kolom weg te lateno Dan geldt: als d 1 , .•• , dn

niet alle tegelijk nul zijn, da~ is de algemene'oplossing van het

stelsel

x 1 = A d 1 , x2

= - Ad , x = A d , •• ., x = ( -1 ) n A d " 2 3 3 n r '

waarin A een parameter is.

~~!~~~· Is bijv. d 2 f 0 9 dan brengen we de termen met x 2 naar de

rechterkant, en we geven x 2 de waarde - Ad2

, waarin A. willekeurig

is gekozen. Wanneer we nu dit stelsel volgens de regel van Cramer

naar x 1 , x3

, x4

, . o., xn oplossen, komen we tot het genoemde resul taat.

Elke oplossing wordt zo verkregen, omdat bij elke oplossing de waarde

van x 2 in ·de vorm - A.d 2 kan worden geschreven ( wegens d2

/= 0 ) •

Een (k x k)- onderdeterminant van een (m x n) -matrix A is

(als k~m, ki_n) de determinant van een (k x k) -matrix die ontstaat

door m-k rJ.Jen en n-k kolommen van A te schrappen. (Het aant.'.

manieren waarop dat kan gebeuren is (~) (~) o)

We zeggen, d'a t A de ran_g £. he eft 9 als r het grootste getal :;_ '

met de eigenschap dat er een (r x r)- onderdeterminant is met waard." ·1.

We spreken af, dat de nulmatrix (d.i. oen matrix die uitsluitend uit

nullen bestaat) de rang 0 heeft.

Voorbeelden g

(: \0

f) 1

2 0

2 -1

~) 1 J

heeft de rang 2 ;

1 1

3 3 4 4 5 5

~~ heeft de rang ·;

o I Als de rang van A r is, dan heet elke van nul verschillende (r xr)­

. onderdeterminant een hoofddete-rmi nant van A • Bij de discussie van con

stelsel lineaire 'I'Tergelijkingen zullen we een hoofddeterminan t van (".~~'

coefficientenmatrix gebruiken. Gnmakshalve nemen we aan 9 dat die

links-boven in de hoek te vinden is~ dus door de eerste r rijen en de

eerste r kolommen word.t gevormd (di t is overigens steeds te bereikcn

door de volgorde der ~e~gelijkingen en de volgorde der ohbekenden

geschikt.te kiezen)o

b' 1

= b n

een stelsel van m vergelijkingen met n onbekenden~ en :rij r de rang

van de coefficientenmat:rix A ~

(~11 a ' I a11 a1r . ~n) A == • 0 Onderstel~ dat I • =) 0 •

\~m1 0 I ... a I a

r1 a·

ill-"11 rr

Nu geldt, dat nodig en voldoende voor ds oplosbaarheid van het stelsoJ

is~ da~.: de m- r kari'l-::CtJ3·risti elze deter._min..§:.~ 9 die ontstaan door de

hoofddete:rminant met ecn rij a's e:1 een kolom b' s te randen:

a gq

alle gelijk aan nul zi~n.

(q r + 1 ~ r + 2, ••• 9 m)

(Q:r::?~:£'~~~~ z Als r = u ~ den zijn er geen karakteristieke deter­

m5_nanten5 dus dan zegt 0.8 stGlling- 9 dai; het stelsel oplosbaar is.)

En als l1et s-telsel oplostsaT is 9 d2.n is de algemene oplossing te ver~

:k.:ri ,j r;on C:o'J.c ,;: , - ~~ -r:i1le:ts:euT.i.a-e waarden te g·even en vervoJ..g-ens -r~-1 ° c;

0 > ..... ~1 ._. "-

...::.. ·: 7 (> g 0 9 A uit de ee::cc-i.:e r -vergel5.jkingen op te los sen (di t gaat p

£,~n£e:'ld:u.icJ.ig 9 en kan l!ij",-~ net c~e regel \ran Cramer worden ui tgevoerd).

en ale het stelsel d?losbaar is, dan is

het eenduidig opJosbsar.J

40. ~~~~:~~" dat h~t stelsel oplo~baar is 9 en J?evv~j s (l

'!:."' .... - ..... ..,,,,_ ••

laat x 1 = c1

, o. o, ::rn == c:n een op2.o,:;sing sijn. We willen bewijzen? c

alle ka:rakteristj_e~:e de-bs:cnina::.ten nul :ziij:n. J)aartoe vervangen v-!8 c} o

b. door o . c + o • < -l- a c • J_ Jl! 1 . ill IJ

De d_eteTminant die daardoor ontstao. t

,.Yl L.J j=i c ..

J "" ?~ . :r:r I'J 2, ..1

q_: aq_:r ~\lJ I In deze 8~m is elke t0~~ nul vc.·:>Jr ·1 i_ j ~ r op grond van het fei t

c1'at e:;~ can. t;-,~'88 ge}_:_~k8 k'llrnmr:n j_n A·caan (st. ·16) ~ voor j) r o:mdat

"~'fG (;_-a;:l ee:1 (r-'· -::_, >-: (:;:- + ~) -· o~:·~l0,··ie>[:errr:jna.n'c -v-an A hebben (deze zij.n

18.

2°. Voldoende. Neem aan, dat alle karakteristieke cl·::-, .. T-

minanten nul zijn. Laat C c c nnllekeurige getallen zijn. r+1' r+2' 0

• ·' n "-'- - ' en beschouw het stelsel

( a11x1 +

( :m1x~ + + a x mr r

"= b I 1

b' m'

waa.rbij b. 1 = b. -a. 1

c 1

- o •• -a. c • De eerste r vergelijkingen l l 1,r+ r+ 1n n

hiervan vormen een eenduidig oplosbaar stelsel, daar de determinant van

de coefficientenmatrix I 0 is. Noem die oplossing x1 = p1 0 0.1 X = p ., ~ r

We laten zien, dat die oplossing ook aan de q-de vergelijking voldoet

(als r < qi_m). Vfe merken eerst op, dat

0

(door de b . 1 's te spli tsen overeenkomstig hun defini tie 1 spli tsen 1.70 l

de determinant in 1 + n- r determinanten die alle = 0 zijn, vergel ijk

het 1e dee:::. van het bewijs). T::'Ok in deze matrix de eerste kolom p1

keer van de laatste af, de tweede p2

keer, ••• 1 de r-de pr keer.

Op de eerste r plaatse:h in de laatste kolom komen dan nullen. Daarui t

volgt, dat bp de onderste plaats ook een nul komt (ontwikkel naar de

laatste kolom en merk op, dat de hoofddeterminant I 0 is). Uit dit

feit lezen v;-e af, dat (p1

, ••• , pr) ook aan de q-de vergelijk~ng vcodoct.

Dus (p 1 , o o., p , c 1

, o o o, c ) voldoet aan alle vergelijkingen van het r r+ m oorspronkelijk stelselo

Dat we zo alle oplossingen verkrijgen is duidelijk g olke oplossing-·"

van het stelsel van m vergelijkingen ic ook een oplossing v~n het

stelsel bestaande uit de eerste r vergelijkingeno De waarden van I

xr+i' oo•' xn kunnen we cr+i' o.o 9 en noemen, en daarbij zijn de

waarden voor x1

, o. o, xr eenduidj g bepaald.

Men overtuige zich ervan dat ::;';;lling en bewijs geldig blijven

in de gevallen

Hoofdstuk II. Vectorruimten.

§ 1. Jectoren in het platte vlak.

Kies in het platte vlak een vast punt 0 • .A.ls A een willekeurig

punt is 5 verstaan we onder de _ve9to_JZ_ 61 het gerichte lijnstuk met te,-Ll­

punt 0 en eindpunt A. (Veelal noemt men ook het gerichte lijnstuk ' ) ... _, een vector,. en men zegt dat CD= OA als CD en OA gelijk zijn en de-

zelfde richting hebben (d.w.z. evenwijdig en gelijkgericht zijn). Wij

hebben daar echter geen behoefte aan, en we zullen uitsluitend vectoren ~

beschouwen die vanui t 0 zijn ui tgezet). De vector 00 heet nu;Lve<;.:t-<2...:-f.,

en word t ook door 0 voorgesteld.

De ~ van de vectoren OA en oB is gedefinieerd als Oc 9 >marin

C z6 gekozen is, dat OACB een parallelogram is. Is A een reeel getal -+ .....

dan is A. OA gedefinieerd als OB 9 waarin ] op de lijn OA ligt,

zodanig dat de afstand OB gelijk is aan A keer de afstand OA 9 en zo

dat A en B aan dezelfde kant van 0 liggen voor A > 0 , aan verschil­

lende kant voor ·;,. < 0.

Ter afkorting zullen we vectoren oak vaak-met een enkele letter ..... .....

aangeven (met pijl) : a, b, enzo Men kan nu gemakkelijk meetkundig be-

wijzen :

§!~!!~~~-~· Ten opzichte van de optelling vormen de vectoren een

abelse ( =·cammutatieve) groep (zie Syllabus Inleiding tot de Wiskunde, .........

§ 10) 0 Ver0er ~eldt, voor alle vectoren a, b en voor alle getallen

fl '

( 1)

(2)

(3)

(4)

A(~ +b)

(A+~)~ (:A. fl )~

..... 1 • a

-+ ..... /1. a + A b 9

..... ... /l.a+fla,

~~.c~ ~) .... a

§!~!~~~~-g. Kies pun ten E ( 1) en E( 2 ) die niet met 0 op een rechte

liggen. Noem ciCi) = -;;( 1 )' 6E( 2 ) = -;;C 2 ) 0 Dan is er bij elke vector a~ - -c 1) --c 21 precieS een getallenpaar ( a

1 9 a

2) te Vinden met a 0:

18 + a

2e I

Behoren bij

dan behoren bij

; de getallen ( a 1

, o: 2

) , bij b de getallen ( P 1

, P 2

}.,

~ + b de getallen ( a 1

+ ~ 1

, -~ 2

+ B 2

) 9 en bij A 1 -de getallen (A.a 1 Aa 2) o Bij 0 behoren de getallen (0, 0), bij -c 1) .... c :2) e : ( 1 , 0) , bi j e' g ( 0, 1 ) •

9EJE~E~~~~~~· De aan -;; toegevoegde re~allen heten de coorQ.inat_~'1, van

; , behorende bij het door E( 1 ) en E 2 ) vastgestelde coordinaten~ systeem.

1\U:en kan het bewijs van stelling 1 bekorten door eerst stelli.ng 2

(meetkundig) te bewijzen, en met behulp daarvan een algebraisch bewi ·: :.

te geven voor stelling !.

§ 2. Vectoren in de ruimte.

We kiezen een vast punt 0 in de ruimte. Is A een willekeurig punt .... dan is de vector OA weer het gerichte lijnstuk met beginpunt 0 en eind---.-.-punt A. Ook optelling en scalaire vermenigvuldiging wordt geheel als

in § 1 gedefinieerd.

Stelling 1 van§ 1 blijft woordelijk g:elden. In plaats van strl:iYJ.g

2 komt er nu ~

die niet met 0 ~~~!!~~~-2· Kies punten E(i) 5 E( 2), E(3)

vlak liggen. No em oE(i) = E:(i) (i = 1, 2 1 3) • Dan is er bij elke vector

~ precies een getallentripel (a1, cr2,c' 3) met .... ~(1) -+(2) -(3) ( . ) .. -; a= ~ 1 e + o: 2 e-~> + a.

3e Behoort a

1, ~ 2 , o: 3 b~J a,

( ~ 1 ? ~ 2? p 3) bi j b ? dan behoort ( a.1 + ~ 1? <X 2 + 13 2? ex. 3 + ~ 3) ci 5 ~ + b , en ( A. ex.

1 , {,ex. 2 , A. a.

3) bi j ;, 8: •

Verder behoort - -(1) ( 0, 0, 0) bi j 0 ; ( 1 , 0 5 0) bi j e (0,1,0)

b ; J. -c 2) co o _,_ e ' ' '

1 ) bi j -;< 3) •

2E~~!~· Laat zien~ dat de vectoren

het vlak E( 1)E(2)E(3J, kunnen worden

c: E;(i) + CJ. ~( 2 ) +a. ~3) met a. + 1 2 3 1

§ 3· Vectorr~imten.

-OA, waarin A een punt is

voorgesteld door

0!.2+ a.3 = 1 •

Defini tie 1. Zij R een verzameling, waarvan de. elementen met --

van

a, b, • • • worden aangeduid. In R is een optellingsoperatie gegev:,.

ten opzichte waarvan R een abelse groep is. Dus er is een element

( ---. en er is voor alle a, b, c) voldaan aan

( 1) - -) -?) (~+b) -a+ (b + c = + c 7 (2) -. - -+ -a+b=b+a,

(3) - ..,-'l>

_, a+ 0 a '

(4) - -)

bij a is er een vector d -7 - -te vinden met a+ d = 0

Verder veronderstellen we, dat er een afbeelding (z.g. scalaire v: .. r-

menigvuldiging) is die a an elk paar ( ). , ~) ( A. = reeel getal 5 ~· E ,. )

een element van R toevoegt ~ di t element wordt met A.~ aangeduid. .Gn

-.rfe veronder:;;;tellen, dat ( voor alle a:, b, J...., t.t ) geldt

(5)

(6)

(7)

(8)

(- -7 A. a+ b)

(A. ++!l )~ ( )1. !l)~ =

-+ -> A.a+ 1-.b, - -;\.a.+ fl. a,

/, ( !J. a:) ? -a

Dan heet R een vectorruimte.

Uit stelling 1 volgt, dat de vectoren in het platte vlak een vector­

, ruimte vormen, hetzelfdr:o geldt voor de vectoren in de ruimt.e. We ,g----c:n

nog enige voorbeelden g

Defini tie 2. Een ri j tj e van n reele getallen heet een numeri

n- vector.

(Merk o:p, dat een rijtje van n getallen iets anders is dan een ver­

zameling van n getallen: in een rijtje mogen gelijke getallen voorkomen,

en twee rijtjes die slechts in volgorde verschillen, worden als verschil··

lend beschouwd. Het begri:p "rijtje" kan worden gedefinieerd als :

afbEelding Van de Verzameling { 1 9 2 ~ • • e 9 n J in de Verzameling der reele

getallen).

O:ptelling en scalaire vermenigvuldiging definieren we met g

(a 1 9 o •• , an) + ( b 1

, o .• , b n)

A. ( a1

, o •• , an)

(a1+b19 00., an+bn)

( A. a 1

9 •• o , A. an) •

~!:;~~~::~_1· De verzameling van alle numerieke n- vectoren is een.

vectorruimte. Deze noemen we de numerieke n- dimensionale vectorruJ£Lte

(het woord

st. 10) ;

n- dimensionaal wordt echter pas later gedefinieerd, zie

nota tie R • n

Een algemener voorbeeld krijgen we door uit te gaan van een wille­

keurige verzameling V (die in :plaa ts treedt van de (1, ... 9 n J van

zoeven) o Zij Rv de verzameling van alle afbeeldingen van V in de

verzameling der reele getalleno Is f E Rv' g E Rv' dan schrijven we

f + g = h als

f(v) + g(v) h(v) voor alle vEV,

en A.f = k als

il.f(v) k(v) voor alle vEV.

Ook Rv is een vectorruimteo

Een wat s:pecialer voorbeeld, dat we niet verder uitwerken, is g

de verzameling van alle functies die o:p het interval 0 S.. xs_ 1 con tinu 2ijn.

Ui t de defini tie van het begri:p vectorruimte ( def o 1) zullen we lL.;:;

enkele eenvoudige conclusies trekken. Uit (1), (3) en (4) volgt (zio

syllabus Inl. Wisk.) :

~

(9) Bij gegeven ~ en b is er :precies een X met ~ ~

a+x

.... -'> -Nu voldoet x=d+b, want .-.~ -- ~

(Kies nl. een d met

~ + ca + b) = ca: + <l) + ;; = 0 + b = b + 0 = b. Neem omgekeerd aan 9 dat or ~ ..... ~ ~ ..... ~ - -T -) ..... ~ .....

een y is met a+ y b o Dan is <'! + b = d + (a+ y = (d +a) + y

(~ ~) ~ ..... - --" ..... ..... ..... ~ - - ~ = a+ d + y = 0 + y y + 0 = y. Dus y = d + b , zodat d + b de enicc

o:plossing van de vergelijking a:+ 1 = b is). - ~ ..... _, In het bijzonder vinden we, dater slechts een X aan a+x 0 -voldoet. Deze wordt met -a aangeduido

Gebruiken we ook nog (2) en (5) t.e.m. (8), dan kunnen we afleiden ~

( 10)

.... -(i·a+O•a - - ..... (1 +0) • a 1 ·a, zodat 0 o a een oplossing is van de

vergelijking ~ -') -) __,

1 o a + x = 1 o a o Deze heeft slechts een oplossing, nl. 0 ) .

(11) .....

~ a _,

-a

(want we gens 1 o -;; + ( -1), • -;; = ( i + (- i) Y~ a an de vergeli jking ~ + ~ = 0 ) o

-" 0 o a 0 voldoet (-1) o a

(12) -> -'>

Ao 0 0

(want A. 0 A• co 0 o) we gens ( 10), dus _,

• 0 -'> 0 0 0 ( Jv • 0)

weer we gens (1<W)).

(13) Bij gegeven ~, b en A (At 0) -iS er preCies een X met •.

(er is precies een mogelijkheid voor . , ;

dus preCJ.es een voor

-'> .... - (-'>a 1 _..o ) Merk echter op, dat er bij gegeven a, b, c F niet noodzake-

lijk een reeel getal~te vinden is met

§ 4o Lineaire afhankelijkheid.

We beschouwen een vectorruimte R •

.... ~:.:;f~~~!~~-2 o De vector b heet 1 i neair afhankelijk van de vectorcn .... .... ~ ~ --4

a1

, •• o, ak ~ als er getallen A 1

, o. o, A k zijn met b -'a+ ,,;., - /1.1 1 • 0 ' ' • :~ ( 'k •

We zeggen ook wel, dat b een linec:,=l_r,_t:;_ combinatie is ~ -~

van a 1

, • o • , ::; k o

Ret stel vectoren

als er een onder te vinden is die lineair afhanke1ijk is van de andere. -? ~ .

Is di t niet het geval, dan heten c 1

, • o., em lineair onafhanlkel::Li]fo

(Ret woord lineair zullen we gemakshalve vaai~ achterwege laten) o

-'> _.,

~!~!!~~~L~ o c 1 , o •• i em zijn dan en slechts dan lineair afhankelijk

al s er getallen a , o. o 9 ex zijn, die niet allemaal 0 zijn, en vol-_, 1 __, m_,

do en a an ex 1

c 1

+ o o o + a. c = 0 o -~ $ m c

1, o. o, c zijn dan en slechts dan lineair ona:fhanJrelijk

- _, m al s a 1 c

1 t .. o + am em = 0 ~ a

1 = o o o = a m = 0 •

.... -~:.:;!~~~0 Zijn c1

, o •• , c afhankelijk dan . m combinatie van de overige 9 bijvo

( ) - .... -i--1 • c 1

+ A. 2

c2

+ • o • + A c = 0 • _,. mm

is ~en ervan een lineaire -" - .... c

1 = A. 2 c

2 + o • o + A. m c m 0 Dus

Hierin is in elk geval de coefficient

van c1

ongelijk nul.

.... -Is omgekeerd a1

c1

+ooo + a.mcm = 0, en ZlJn niet alle a. 1 s nul.

is bijY. _· a 1 f 0. Dan is 0'

1 lineai.r in de oyerige ui t te drukke::

( deel q.oor - a.1

, en vermeerder beide leden met 0'1

) o

Ret tweede deei van st o 5 is ee:'l logi sch gevolg van het eerste (!r · '

Ter overdenking volgt hier een aantal uitspraken betreffende af­

hankelijkheid g _,

I b f ·, 1 l .. , . s a nanKe_::;_,Jrc van --? -) ~

a2

, a3

, dan is b ook afhankelijk van

·n

\

22;

~ --'> ~

De uitspraak dat b afhankelijk is van a 1 9 a 2 betekent niet; ~· ->

afhankelijk is van a1 en afhankelijk is van a 2 •

Is een van de vectoren van een zeker stel vectoren de nul vecto-c;

dan is het stel afhankelijk.

4°. Voegt men aan een afhankelijk stel vectoren neg enige vectora~

toe 9 dan blijft het een afhankelijk stel 'l een onafhankelijk stel cl: ,-; tt

ohafhankelijk als men er enige uit weg laat.

§ 5. ]3asis2.- dimentlie~

We beschouwen weer een vectorruimte R •

~~!~~!~!~_2. Het eindige stel vectoren {~19 ••• 9 ~k} heet een

_?asis voor R als elke Vc:Jctor ui t R van di t stel afhankelijk is.

Niet elke vectorruimtc heeft een basis.

L;Ihcllet voorbeili van § I word t een basis gevormd door

in dat van § 2 ana1oog met drie vectoren 9 in de numerieke n- voctorruimte

:cu~-,_ne:cl. we (1, o, ... , o), (o, 1, o, ... , oL ... , (o, o, o·q o, 1.) nemen.

In R n In het voorbeeld ·Rv (zie § 3) is er echter geen eindige basis als

V niet eindig is.

! -;1

, ••• 9 -;k 1 heet een line air onafhankelijke basis

(afgekort; l.o. basis) als het een basis vormt en bovendien een ljnc c _..;......,_;,.

Definitie 6.

onafhankelijk stelsel vormt.

~!3~~~~2~_§. {~4 9 ••• ; ~!) is du1 en slechts dan een l.o. basis o ._;::

elke bE R op precios 88n maniera:Ls l:ineaire combinatie van { ~1 , •• , 9-~k} te schrij-Hm is. :De getE,llmJ. /,

1, •• , 9 Ak waarmee b kan worden

ui tgedrlJ_kt (b A -~A -:- 0'. + A., 1 ) heten de coordinate_n van b _., ·; I _, K K

o a o ? c;..1 (l ,r

is OC:fJ}.S (-c) elke .-)

b is lineaire combi:hatie van A •

j,_ is J in, 0'1.8-:':'n, <~--) 0 is op precies oen manier lin. C::JI'D.

--c:an .!1 o

el~:e b golcli de irr:plicatie;

b j_s op -'c7we ve:coc[lj_lle:J.de na~lieren lir, comb. van A ~ 0 is op twoe

A •

verschillendc manieren lin. comb. van A

want door van twee ¥ersnhjllende voorstellingswijzen van -4

b het vcrschil

te vormcn VlnCl8i':l Vie Ci als lincai:r-e combinatie van A 9 op een manic:;:· r'; ;

---~? -~

Ooo-Ooa · + 0 ~a·,_ T o o o c i~ o

~~!!!!~6_7· Laat

R zijn 5 en laat

een lineair onafhankelijk stel \ ~~ -0n een oasis voor R zijno :Dan is k < T".

~ ~

~~!!~~ 0 We kunnen elke a in de o 1 s ui tdrukken :

-> ~ -> a1 1'11 °1 + + A. 1m b m J r ~ -> -> ak fck1 bi + + A.l b 0

~m m

Beschouw nu het 7olgende stel lineaire vergelijkingen met onbekenden

1'"11a1 +

A. 1m a 1 + • 0 • /

0 J

0 •

Nemen we aan k > m J dan heeft di t stelsel een oplossing die van de

nuloplossing verschilt (Hoofdstuk I, st& 11). Er zijn dus getallen

a 1 , ••• , <i k_: niet alle_:aal _; 5 die aan h~ stelsel vold~en. Ze volt1oen

ook aan a 1

a1

+ o o o + a.kak = 0 5 zodat de a's afhankelijk zouden zijn.

Dus de onderstelling k > m is ortjuist.

§~~!!!~6-~· Is zowel

danis k=m.

~~!!J~o Op grand van st. 7 kunnen we zowel k~m als m~k ·bewi~"" ;_1~

f_, ~ J §~~!!!~~-2· Van elke basis o1 , ••• , bm is een l.o& b~ te maken

~

door zo nodig een aantal der b 1 s eruit w~g te laten.

-l> -+ ~~!!J~· _;.i.lS een de:t b 1 s 9 bijv, o1 J lineair afhangt Van de overiq·e ..

~

dan houden we na schrappen van b 1

nag een basis over. Want elke vector ~ -> ->

U;+ ~ v R is een lineaire coml::inatie van o

1, o

2, ••• , bk 9 en die kunnen we

~ ........;.._ ~

als lineaire combinatie van 1::2

, ••• 9 bk schrijven, aangezien r1

daari:c.

uit te drukken is.

We gaan nu onze basis herhaald uitdunnenJ door steeds, wanneer we ·en

el!ement aantreffen dat afhangt van ,de andere nog overgebleven basisele-­

menten, dat Hoverbodige~1 element te schrappe11.• Op het ogenblik dat er

niets meer te schrappen valt hebben we een l.o. basis bereikt.

Ret ui tdunningsproces is ook als volgt ui t te voeren: Vat achteretm--> -> ->

volgens b 1 J b 2 ? '""' bk in het oog. Laat' de nulvectoren uit deze rij ->

weg i we nemen aan, dat zulks al gebeurd i~. Schrap b2

als die afhsr.c· ~ -4 ~ 4

kelijk is van b 1 • Schrap b3

a~s die afhankelij~ is van b1

en b;2

(voor zover die nog niet gcschrapt zijn). Schrap 'b4

als die afhank,· :.-:·.----4 -Y ~

is van b1

, b2

, o3 5 enz.

het ·v-olgende principe ~

zo dat c k

hiervoor lezen -· --~) c = 0 . 1

Dat zo een l. o o basis word t bereikt, berust r -)

zijn c1 1 , , o, c afhankelijk~ dan is er een 1

' n ..... (in het geval dat k = i moet mf'7' g 0 0 ~

2 )i

2E~~~~~~§o Formeel gesproken is st. 9 onjuist in het geval dat te

gBgeven basis slechts { 0~ 0) o o o , 0 } is (dan blijft er na het schrappe,'

niets over). :Oi t treed t slechts op in het geval dat R slechts de vector -0 bevat. :Oeze ruimte noemen we

:Oi t is ook een vectorruimte ~ -;. -)

R • 0

er is slechts een element, nl. 0 9 en

voor alle A. is A.. 0 = 0 0 Aan de eisen (1) t.e.m. (8) van § 3 is

l 0} ~ maar een Lo. basis bestaat er

ken-

Een basis is nelijk voldaan.

De basis to} is nl. lineair afhankelijk, want er bestaat een getal o ,

Cl I= 0 ~ met

~~~~~~~~-!2· Als R een basis heeft en bovendien t R is, dan heeft 0

tR ook een l.o. basis. In elke lio·rbasis van R is het aantal vectoren

hetzelfde. :Oi t aantal heet de A.:J.J!!..?.l?-Sie van R •

(Als R geen basis bezi t, kennen we aan R de dimensie co toe. Als R

slechts uit de nulvector bestaat, kennen we .aan R de dimensie nul tocc )

~~~~~~~~-!! o Laat R de dimensie n hebben. Als m > n is 9 is elk:

m- tal vectoren afhankelijk. En als een n- tal vectoren onafhankeh.~ .::

is (n>O) dan vormen ze een basis.

~~!~~~· Als m vectoren onafhimkelijk zijn 9 dan is m_f n (st. 7) 9

want er is ergens een basis die ui t n 'lrectoren bestaato ~ ......

Al s b 1 9 ••• 9 bn onafhankeliJk zijn en geen basis zouden vormen,

zou er een vector t i -7 -'> zijn dle niet van b 19 o •• 9 bn afhing. I\[et

b19 ••• 9 bn 9 ";; zouden we dan meer dan n onafhankelijke vectoren hebbeno

:!~~EE~~!~~~· :Oe vectoren in het platte vlak (§ 1) vormen een vector···

ruimte met dimensie 2. Uit de eerste alinea van st. 2 en st. 6 volgt

nl., dat ~( 1 ), ~( 2 ) een l,o. basis is.

Op dezelfde manier zien we in, dat de vectoren in de ruimte (§ 1)

een vectorruimte met dimensie 3 vormen.

Ook kunnen we nu inzien, dat de numerieke n- dimensionale vector-

ruimte R (§ 3) inderdaad de dimensie n heeft. Elke vector (a1

, •• .,a) n n

is nl. op precies een manier als lineaire combinatie van

( 1 9 o, 0 0 0 9 o), (o, 1 9 09 0 l) 0 9 oL 0 0 1:) 9 ( 0 9 0 ~ 0 9 o, 1) te schrijve.l,

Dit gaat nl. met de co~fficienten en alleen met dezeo

Om de eindig- dimensionale vec~:;orruimten te bestuderen 9 is het v.;

doende oru de R 1 s (resp" met n = 0 9 1 9 2 9 3, ••• ) te bekijken< (zie ~:;";. 12). n

~~f~~~~~~-7. :Oe vectorruimten R en R' heten isomorf 7 als er een

eeneenduidige afbeelding 9 ~;·van R op R 1 bestaa t (~ E R 9 dan

a ...., cp(~) E R1 ) , z6 clat steeds cp(-;; +b) == cp(S:) + cp(b) en

cp( A.~) == A.cp(-;;) ~ Elke lirteaire betrekking in R kan dus i1irect o-p ~\ t

wor-den overgebracht ~ is b A. 1-;;

1 + o, o + A. k~k , dan is

·--") c-' ) c-' , cp\b = A. 1 cp a 1 + o•• + A.k 9,ak).

26o

~~~"!"!~.'~~-].g. Heeft de vectorruimte R een eindige dimensie n 9 dan is

R isomorf met R • n

Sluiten we R uit (daarvoor is de uitspraak triviaal), dan 0

heeft R een loo. basis {-=b1

, o o o 9 bn} o Voor elke vector ~ is er precies - ~ .... een stel getallen cr. 1? 0. 0 1 a. n te vinden met a = 0(.1 b 1 + •• 0 + cr. nbn °

We nem~m- nu: ~(~) ( a , o o o 9 a ) (di t laatste is een element van 1 _ n n ) n

Is qJ (~) = ( C{ 1

, o o • 9 (J. n) , qJ (c) ( y 1

, o o o 9 y n) . 9 dan i s

~ +-; = ('a 1

+ y 1

) 'b1

+ + (an + y n)bn 9 waa:n:ui:t men afleest dat

9 (~ + "(;) = ( a 1 + Y 1 ' o o • ' a n_ + y n) = ( a 1 ' 0 0 • 9 a n) + ( y 1 ' • • • 1 . y n)

9 (~) + qJ (~) • En Gl(A a) =

Defini tie 8. Een deel verzameling R 1 van de vectorruimte R heet ----------- _, .... een Jineaire ~lruimte als voor alle a, b 9 A geldt

-? -) ~ ~

a E R 1 & b E R 1 ~ a + b E R 1 ,

_, .... a E R1 5:> :\ a E R1

o

-t -t Voorbeelden. Zijn b

1, • o. 9 bk een aantal vectoren in R, dan is

_, _, b

1 , • o • 9 bk e en

_, .....:)

de verzameling R' van alle lineaire combinaties van

lineaire deelruimte. Deze heet g de door b1

, o o. 9 bk o:rgespannen ruim"ie ..

2° o Laat n een natuurlijk getal zijn, en laat R de

numerieke vectorruimte R voorstellen. Laat getallen a.. (i = 1 9 • o., p 9 n lJ

j = 1, o •• 9 n) gegeven zijn, en laat R' bestaan ui t alle n- vectoren

(x1

9 o. o, xn) die voldoen aan het stelsel vergelijkingen

+ .a·1

·. X= € 0 , _r n n

+ a x pn n

0 •

~!~~~~~~-220 Is R' een lineaire deeiruimte van de vectorruimte R,

dan is R 1 weer een vectorruimteo Heeft R de eindige dimensie n 9 dan

is de dimensie m van R' ten hoogste gelijk aan n. Als m=p., dan is

R 1 = R.

I A ) \ I

Opdat R'

( 8) gel den.

een vectorruimte is 9 moeten in R1 de relatics

Daaraan is voldaan, omdat de elementen van Hi

ook elementen van R zijn 9 en daarvoor gelden die betrekkingeno

Laat R de (eindige) dimensie n hebben, We tonen nu eerst aan 9 dat

H1 een eindige·basis heeft. Kies een vector

niet bestaat is t 0 l reeds een basis voor R 1

_,

.... ,_, c

1 :f 0 in . R 1 (als die

_,. ). I{ies een c E B 1

2 . (~ i_ -

onafhankelijk van c1

is. Kies een c E R 1

3 die onafhankelijk van c l ~;

is. Di t kan 1'1:iet so .doo.::r- b1ijven gaa:,n, want nte€'~ <:t.an n onainanKe..LlJt<..u

vB.ctc.ren z.ijn er niet in R (st? 11). We komen dus vroeg of laat bij ::::'r..

(met min) zo dat er in R 1 geen enkele vector is die niet van -••• , c afhangt. ])it wil zeggen 9 dat we vocr R' een basis hebben m

gevonden. Het is zelfs een l,o. basis (zie het eind van het bewijs van

st. 9). R 1 he eft dus de dimeniie m_~ n.

Is m=n 9 dania (weer volgens st. 11) c;1

, ••• 9 C'n een basis voor R.

Elke vector ui "i R is nu een lineaire combinat:Le van ~1 , ••• ; "(;n 9 en ligt

oijgevolg in R'

Van nu af aan zullen we van onze vectorruimten steeds veronderstcllen,

dat ze e~n eindige dimensie hebben.

Laat een l.o. basis voor een lineaire deel-

ruimte R' van de n- dimensionale vectorruimte R zijn. Is m < n, dan

zijn er vectoren in R te vinden, zo da t een

l.o. basi~ voor R is.

Kies een -+ c

n+1 die niet van afhangt, en zet het

in het bewijs van stelling 13 uitgevoerde proces voort.

Als vo•rbeeld werken we de volgende opgave uit. In R5

wordt een

lineaire deelruimte R 1 opgespannen door de vectoren ~ == ( 1, o, 4, 7, -t) ]

b= (1, 19 7, 7, 0), ~= (1, -1, 2, 2, 1), d= (1, -2 1 -1,2, -5). Bepaal :®en

l.o. basis voor R 1 9 en breidt die uit tot een l.oo basis voor R5 .

Onderzoek of de vector (1, 1, 0,1 1 1) tot R 1 behoort.

We pas sen het in Hoofdstuk 1,. .st. 9 ui teengezettec .. reductieproce;:,

toe. (Merk desgewenst op 9 dat de homogene lineaire vergelijkingen in n

ol11;lekellden een · n:,.,... dimsnsitmale vectorruimte vormen). In :plaats van ~

"di t stel vergelijkingen is equivalent met dat" treedt nu ; ndi t stel

vectoren spant dezelfde lineaire deelruimte op als dat"o We reduceren

ons stelsel Tectoren nu eerst tot

-'> a

:-7 -'> b-a -'> -'> c-a ~ .... d-a

en vervolgens to~ _. a

--i> ~ "

b-a

~- ~ + (b- ~) d - -;; + 2 (b - ~)

:=

( 1 ~ e~ 4, 7, -6)

(o~ 1 ' 3, o, 6)

(0,-19-29-5) 7)

(0,-2,-5,-5, 1)

( 1 9 o, 4, 7~ -6) (o, 1 ? 3, o, 6)

(o, o, 1,-5, 13)

(o, o, 1~-5, 13)

stap wordt de derde ·f"an de vierde afgetrokken. In de volgende Dit

wordt de hulVeetor 9 en kan vvorden Yieggelaten. Het is gemakkelijk in tc

:;;ien, dat het resterende half gereduceerde stelsel -( vgl. opm. 1 na st, ~I

in Hfdsto I) lineain;onafhankelijk is g ui t

ex. 1 ( 1 ~ 0' 4 7 7 ~ -6) + cx.2 ( 0 ~ 1 ? 3' 0' 6) + ex. 3 ( 0' 0 5 1 5 -5? -13) == 0 -

volgt nL achtereenvolgens ex. 1

= 0 5 ex. 2

== 0 5 e::3

== 0 • Het is dus een L o o

basis voor R 1 0 Evenzo ziet men in, dat we deze basis <loor toevoeci~1C

van (09

05

0 7 1 5 0) en (0, O, O, 0, 1) tot een Lo. basis voor R kunnen

aanvullen.

Om nate gaan of (1 9 1, o'"', 1, 1) tot R 1 behoort, onderstellen we: ..

dat xi, x2 9 x3 vdldoen aan

(1, 1, o, 1, 1) = x 1 (1~ o, 4, 7, -6) + x2(o, 1, 3~ o, 6) + x3

(o9 o, 15

(Di t is ook te lezen als een stelsel van vijf inhomogene vergt:L .:'

kingen met drie onbekendeno)

We vinden achtereen_yolgens x1

== 1 5 x2

= 1, x3 = -7 ~. waarmee de zaksn

van de eerste drie plaatsen in orde gemaakt zijno lEaar op de laatste

plaa tsen komt het J.1iet ui t 9 zodat de gestelde vraag ohtkennend moet

worden beantw6ord.

-13).

~!~~~~:::~L~2 0 Laat R 1 en R 11 lineaire deelruimten van de vectorruimte -7 _.

R,zijno Dan is er een Lo. basis b1

, ••• ,bn z6 dat een deelverzamsling -7

dezer b's een basis voor R 1 vormen, en een andere deelverzameling dcT

b 1 s een basis voor R11 o

(Het kan bijv~ gebeuren, dat een basis voor R 1 vcrrr.cn, ~ _. ~ -7

en b1

, b3

, b4 ~ b5

een basis voor

~:::!i~~. De doorsnede RHt van R 1 en R11 is ook een lineaire cteelruimte.

(Liggen nl. twee vectoren in de doorsnede 9 dan liggen ze in R 1 9 dus h 1 'n

som ligt in R 1 ? om eenzelfde rede ligt hun som in R 11 , dus in R 1 ~'.

Voor scalair product een analoge redenering.) _. -7

Laat a1

, ••• ,ak eenLo.basisvoorRm zijn. Vuldiemet -4 -4

c1

, o o. 9 ch aan tot een basis van R 1 (p,§.S st. 14 toe? R111 is een J :. "

aire deelruimte van R 1 ) • Anderzijds zullen we ~1 , ••• 9 ~k met

__. -4

d1

, ••• , dm aanvullen tot een l.o. basis voor R 11• We tonen nu aan,

~ ~ -7 -7 -7 _.d dat a

1, .. o, ak, c

1, • o. ~ ch, d

1, •• o, m lineair onafhankelijk zijn.

Laat ~ -7 ~ --) ('_,. 0~

cx.1a1+ ••• + cx.kak+ y1-0 1+o••+ "(hen+ 0 1d1+ ••• + mdm 0

zijn, en onderstel dat niet alle coefficienten nul zijn. Als alle y 1 s -4 -7

nul waren, hadden we een linea±re betrekking tussen a 1 s en d 1 s 9 die

er niet i9 (ze vormen een l.o. basis voor R 11 ). Dus minstens een Y;

is f 0 o. Dus cx 1~ 1 + o o o + cx.k-;.;:~ + y1c>

1 + •• o + yhc;h is een vector ;_:;_~ t Ft

die bui ten Rm ligt. Deze vector is gelijk aan -( o 11

1 + o o. + om~m) ~

d.us ligt in R 11 • Maar di t is ongerijmd g een vector die zowel in R'

als R 11 ligt 9 kan niet buiten R 1u liggeno

De >--'> --? .__,

a 1 s 9 c 1 s .en d 1 s vormen· dus een lineaire onafhankeli jk stel o In

de ruimte die ze ops:pannen vormen ze een l o o. basis o ])eze kunnen we ·::'ln~

-7 ~ ) vullen met bijvo e 19 o•o; et tot een l.o. basis voor R (st. -14"

_,. -.._.. .._.." " - ~

Nu vormen a' sy c' s~ d 1 s en e' s- samen een lzo. _basis vocr R 9 de a'~ _,. ~ .._..

en c's vormen een l.o. ba.sis voor R' 9 de a's en d's vormen een -L-

basis voor R 11 •

§ 7. Tie rang van een matrix.

In Reo:fdstuk I hebben we de rang van een (m x n) --matrix gedefinicord

als het grootste getal r mel. de eigenschap dat de matrix een' (r x :r) -

onderdeterminant bevat met waarde f 0. Er is echter een veel ee:hvcu"liP's:r

definitie mogelijk, die meestal gemakkelijker toepasbaar is. De equi­

valentie met de oude definitie zal in st. 16 worden aangetoond.

Elke kolom van een (m x n)- matrix is een m- vector. Elke kolom

representeert dus een vector in R De door daze vectoren opgespannen ill

lineaire deelruimte--van R noemen WE; kortweg de kolo!Jlmenruimte. n

Stelling 16 o De rang van een matrix is· de dimensie van de kolommen-.~----------

ruimte.

~~!~J~· Als de matrix slechts uit nullen bestaat is de rang nul 9

evenals de genoemde dimensie. Dat geval kan dus verder puitE;n beschouwing

blijven.

Laat r de rang zijn 9 en s /

de dimensie van de kolommenruimte.

p > s 0 :Beschouwen we p kolommen, dan is een ervan een lineaire corrL Lb. tie

van de overige (st. 11). Daaruit volgt 9 dater ge~n van nul versc:i-:;nde

(p x p) - onderdeterminant ui t deze kolommen kan worden gehaald. Dus :r

is in de gehele matrix geen van nul verschillende onderdeterminant te

vinden waarvan de afmetingen grater dan s X s zijn. ])us r < s •

Gemakshalve onderstellen we verder, dat een hoofddeterminant linke

boven in de hoek van de matrix ligt. Kies een index j (r < j ~m) o ·.:c

beschouwen nu het stelsel

a x 1 + m1

+ a1

x. r r

+ a x mr r a ; .

IDJ De karakteristieke determinanten (zie Hoofdstuk I 9 st. 24) zijn alle

nul9 omdat het ( (r + 1) x (r + 1) - onderdeterminanten van de (m x n) -matrix

zi jn). We concluderen 9 dat er een oplossing voor x 19 •• o 9 xr is o Di t

wil zeggen9 dat de j -de kolom een lineaire combinatie is van de ee '~:::: t:o

r kolommen. De kol0mmenruimte wordt dus door de eerste r kolornr:L::: :-

ge spanneD. Dus s i. r •

Uit s~r en r.S:s volgt r=so

In plaats van over de kolommenruimte kun:hen we ook over de .£i,l op-_:rt.lim"ie

Tan een (m x n) -matrix sprekeno Dit is een deelruimte van R AaT s:Pzien n

de matrices

• a j mnr

en .i a11 I • J 0·

I : . I • i • ' . \ . ' I \ : \a \ in

a .. t~ m1!

\

\

I I

a f mnt

dezelfde rang hebben (vglo Hoofdstuk I, st. 12) 9 vinden we, dat ook oe

dimensie van de rijenruimte gelijk aan r is. Dus ~

§~~~~~~~-!7· Rijenruimte en kolommenruimte hebben dezelfde dimensie.

Een ander bewij s voor deze stelling, dat geeil gebruik maakt vs.n de··

terminanten, krijgt men door de reductiemethode van Hoofdstuk I, § 2 (voor

zover dat op hom9gene vergelijkingen betrekking·heeft) te gebruiken.

Door di..§. reductie _verande:ren de dimensiE')..§. van r:ijen- Jill. ko}O.LD.m~imte n~.

We beschouwen hier alleen even het moeilijkste geval, nl~ de operatie:

de i-de ri j q keer bi j de j -de opt ellen (bl z. 6). Elke lineaire be trek­

king tussen de kolommen blijft daardoor onveranderd, en er kunnen oo~~

geen nieuwe kolommen door ontstaan. Zijn nu v66r de operatie bijv. de

1e, 38 en 48 kolom een l.o. basis voor de kolommenruimte, dan zijn d"

nieuwe 1e, 3e en 48 kolom een l.o. basis voor de nieuwe kolommenruir:·+:,

:Door de genoemde operatie veranderen wel de betrekkingen tussen de

:djen. Maar nu kunnen we' zeggen, dat de door de rijen opgespannen ruimte - -niet verandert. Zijn de rijen r1

, , , , , r. , dan spanne:q. deze dezelfce .....,. .....,. ......;. - m

ruimte opals bijv. r 1 , r 2 +qr 1, ry ••• , rm.

Ook bij de andere operaties (vermenigvuldigen van een rij met een

getal /: 0, weglaten van een nulrij) veranderen de dimensies van rijen­

ruimte en kolommenruimte niet.

(de

de

In de gereduceerde matrix, die de volgende gedaante heeft

sterretjes

gelijkheid

Van enig

/ 1

i 0 i •

l. l 0

\ () \o

d.uiden

0

1

getallen

0

0 *

OO':>Q000

*\ \

0 '

I . I * J

oj (j!

I

a an die ons niet in teresseren)

van beide dimensies te constateren.

practisch be lang is Y10g de volgende ~telling.

is

Op

dirr:: :~+

grc ~~ .1

daarvan kan men steeds als volgt een hoofddeterminant vindeng zoek een

(1 X1)-onderdeterminant -fo. Rand die zo mogelijk tot een (2 x2)-o·15er­

¢!.eterminant I= 0. Rand die zo mogelijk tot een (3 x 3)-onderdeterm:in··,:"t 9

enz. Op het ogenblik dat dit proces afbreekt hebben we de hoofddeterTinant

in handen.

~~:;:!!~~fi-2~. Is er in de matrix A een onderdeterminant H die vo,n

nul verschilt, en zodanig is dat alle determinanten die uit deze ene c,'­

staan door randen met een rij en een kolom ui t A , nul zijn, dan is v

een hoofddeterminant.

~~!~;1~.:. Laat de afmetingen van H k x k zijn. Als we het bewijs ·-v ·:1

st. 16 nagaan 9 z-ien we 9 dat van de (r x r) -onderdeterminant links bov•:::n

in de hoek niets anders wordt gebruikt dan hier over H gegeven is. We

kunnen dus ook concl uderen, da t k > s • ])us k 2. r • Aan de andere kant 1 s

k < r ( omcLa t de determinant van H van nul verschil t) 5 zoda t k = r .

§ 8. .~ens : Stelsels van lineaire vergeli.j,kingen.

Een stelsel van m lineaire vergelijkingen kan men op verschillen·'l2

manieren met vectoren in verband brengen.

In de eerste plaats kan men een vergelijking als een v~dtor opvatten,

met de vo6r de hand liggende optelling en sdalaire vermenigvuldiging g

Bijv.

(2x 1 +3x2 =5)+(x1 -x2 =3) = (3x1 +2x2

=e)

3 ( 2x1 - x2

= 3) = ( 6x1 - 3x2

~ 9) •

In deze -Zil). opgeva t vormen de vergelijkingen met n onbekenden ecr,

vectorruimte, als men ook strijdige vergelijkingen en de nulvergelij- ... -;" )

meetel t. :De dimensie van deze ruimte is n + 1 (l.o. basis ~

(x1 = 0) 5 (x2 = o)? ••• 9 (xn = o) 9 (o = 1)). Er is een n- dimensionale linP­

aire deelruimte bestaande uit alle pomogen~ vergelijkingen.

Heeft men m vergelijkingen 9 dan spannen deze een lineaire deelr<riu ce

in de ruimte van alle vergelijkingen op. Ve::tder kunnen we opmerken 7 d~.t

een stel getallen x1 9 ••• , xn dan en slechts dannaan al deze m verge­

lijkingen voldoet, als het aan elke vergelijking uit de lineaire deelruimte

voldoet.

In de tweede plaats kan men in de kolommen van het stelsel vectorcn

zien (vectoren uit R ). Is het stelsel m

+ a-1 x 1n n

+ a x mn n b 5 m

dankanmendevectoren (a11 , .•• ,am1), ••• 1 (a

1n, .•• ,amn), (b

1?''''

beschouwen. Terwille van een beter overzicht schrijven we deze get:;J. ~­

als verticale rijtjes i.p,v. als horizontale, en we spreken dan over

kolo!I' i.p.v. rij. ]us

\ - - )

/a11 ( a1n /b1 ! . / ' 0

{ 0

--" ' 0 ~ i e

--> 0 ' 0 j 0

a1 } 0 7 0 0 0 9 a ' 0 b l 0

! n \ . 0

' \ \ a \ \b \ a m1 \_\ mn ;, m

JJe vraag naar de oplossingen van het ste'lsel is nu gelijkwaardic ~

met cLe vraag o.f 9 en zo ja hoe, b als lineaire combinatie van _, _., a 1 9 o o o 9 an kan wwrden geschreven : - ~ x

1a

1 + oo• + x a n n

~~~~~~~§_120 Het stelsel is dan en slechts dan oplosbaar als de

matrices

i 0

\ \ 0

\a~ .... a 1 m, mn

,~F-11 a1n b1\ f!

: \ ;; 0

en I ! 0

i 0 0 1

\a 1 a b j

im mn mf dezelfde rang hebben.

_, ~~!~;i~· Stelsel oplosbaar <i 3:> b ligt in de ruimte opgespannen

~ -> ~ -:),~

door a1

, . o • 9 an ~ ) de ruimte opgespannen door ai 9 o • o 9 an 9 b is -'> -'>

dezelfde als de ru.imte opgespannen door ai, • o. 9 an <: ) de ruimte ~ ~ ~

opgespannen cl.oor a1

, • o o, an 7 b he eft dezelfde dtmensie als de ruimte

o:pgespannen door ~1 , .• o 9 "8:n (vgl. stQ 13) ~ ) de genoemde matrices

hebben dezelfde rang (st. 16).

In de derde piaats kan men de rijtjes (x1

, ••• 9 xn) als vectoren

in R zieno n

~~~~~~~§-~2· JJe oplossingen van een horn.ogee:h stelsel met n onbe­

kenden vormen een lineaire deelruimte in R • Deze heet de oplossings­n

ruimte van het stelsel.

Al s ( p ~ , • o • , p ) : n

" /; Q oplossingen zijn (J. en

het stelsel gaat in een stelsel gelijkheden over bij substitutie

xi= p 1 , •• o 9 xn = pn 9 en evenzo bij xi= q1

, ooo 9 xn = qn)' dan '::1r

ook (p 1 + q 1 , o. o 9 pn + qn) en ( Ap1

, o o. 9 A.pn) oplossingen.

Bij een inhomogeen stelsel is dit niet meer juist.

~!~~~~~~-~20 Zij r de rang van de coefficientenmatrix

van het homogene stelsel

a I IDYl;

+ a x mn n 0 0

JJan he eft de oplossingsruimte de d:~ mensie n- r o

Geef de kolommen van de matrix met 0 0 0 9

~

a n

aano

Deze s:pannen een r- dimensionale lineaire deelruimte van R op (st. 16) o m Het is mogelijk van deze n vectoren een (n- r)- tal te schra:p:pen 9 zo dat

de resterende een 1 o Oo basis voor d±e lineaire deelruimte vormen. :Heem ~ -) i

gemakshalve aan, dat a 1 ~ ••• , ar een looo basis vormen.

Zij r < j _s_ n. Dan heeft het stelsel precies een o:plossing (x1

, • o., xn)

waarbij x r+ 1 , o • o 7 xn

eisen. Want

alle nul zijn met uitzondering van x. 9 waarvoor J

we -?

a. J

kan O:p :precies een manier als lineaire COJl-X.= 1 J

binatie van a 1 ' ••• ' ar worden geschreven (st. 6)o :Hoem deze o:plossing

is een vector in Rn). -t(r+1) ->(li)

combinatievan p 9 .o•;:P

p(j) (het Het is nu duidelijk 9 dat elke lineaire

weer een o:plossing is 1 en verder dat

elke o:plossing zo kan worden verkregen.

lossing is, dan is

Want als CIOD!J("1) 'in een o:p-

het verschil van beide leden is nl. een o:plossing waarbij X = o o • = ,X = 0 ; r+1 n

-? -?

hetgeen wegens de lineaire onafhankelijkheid van

da t ook x = o o o = x = 0 o

~(r+1) r -(n)

a1

, o o o 9 ar im.:pliceert,

De p , • o o 7 p vormen dus een basis voor de oplossingsruimte.

Daar ze lineair ~onafhankelijk zijn, vinden we 9 dat de dimensie n- r be- ·

draagto

~!~~~~-£~~~j~· Bij het reductie:proces van Hoofdstuk I, § 2 verandert

de rang van de matrix van het stelsel niet, en ook de oplossingsruimto

'blijft dezelfde. We kunnen ons dus 'be:perken tot een gereduceerd homogc·en

stelsel, hetgeen (na omnummering van de onbekenden)kan worden geschrevon

als

x1 + <;l 0 0 0 I) 0 0 + a X + + a1n X 0 9 1, k+1 k+1 n

x2 + + a xk+1 + + a2n X 0 2,k+1 n

0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0

x. + al lr'., xk+1 + • 0 • + akn X 0 0

.!:> (9J:\.T I n

Daar de eerste k kolommen een basis voor de kolommenruimte zijn,

is k=ro

Als we een stel waarden voor xk+ 1 9 o o o 9 xn kiezen, zijn daarbij

x1 9 • o. 9 xk op precies eon manier z6 te bepalen 9 dat (x

1, .. o 9 xn) 8en

oplossing wordt (vgl. Hfdst. I ~ 2 9 st. 10). Evenals 'bij het eerste bo­

v:ijr:c 'irerkrijgt men nu een uit n-r voctoren bestaande loo. basis voor

de u~:;lossingsruimte.

~!~~~~~~-~~ o Zij 0 < r ~ n . Bij elke (n- r) - dimensionale lineaire

deolruimte van R kan een stelsel van r lineair onafhankelijke vsrge-n

lijkingen worden aangegeven waarvan de gegeven lineaire deelruimtc:: de.

cT)lossingsruimte is,

~~:!~~~, No em de gegeven lineaire dvelruimte 'R* en noem n- r s "

l{i es s line air onafhankeli jke ve ctoren in R~- : ( u1 1

1 o o • 9 u1n) 9

(u21 , •. o~u2n),o •. 9 (us 19 ••• 9 u8n). Als a 1x 1 +.o.+an:xn=0 eenvf'-.··~

lijking is waaraan elke vector uit R" "' voldoet 9 dan voldoen

a an

u11 a1 + + u1nan 0

. 0 . 0

usia! + + u a 0 0

sn n

'Dit beschouwen ~ve als een stelsel vergelijkingen met onbekenden

a1

1 , • o, an De rang van de coefficfuntenmatrix is s (want er zijn s

lineair onafhankelijke rijen) o De oplossingsrnimte heeft dus de dimen::io

n- s = r. Kies r lineair onafhankelijke oplossingen. Door weer van ~-lke

a- vector een vergelijking te maken ( (a1

9 o o. 9 an) _. a1

x1

+ ••• + anxn =G)

leveren deze ons r lineair onafhankelijke vergelijkingen in x 19 o o. 9 xn 9

en elke vector ui t R-v, voldoct aan elk dezer vergelijkingen. Zij EH·

de oplossingsruimte van di t stelsel, dan is R* c R~H~. De dimensie van

B** bedraagt n-r (st. 21). Volgens st. 13 is nu R* ~ RiHf - .

Hoofdstuk III? Lineaire transformaties,

§ 1. Transformatie~ oeeld en kern.

We oeschouwen twee vectcrruimten R9 R' en een afoeelding

in R' • Aan elke vector ~ E R is dus een vector f(~) E R' toeg·,~voegd.

Defini tie 1. De afbeelding f heet lineair als voor alle -'> -l

a en b ~--·~--~·---~-

geldt

f(~ +b) = f(~) + f(b) 9 f( ~ 1) ~-f(1) (In het bijzonder geldt dan f(O) = O)o Lp.v. "lineaire afbeeldirc"

zegt men vaak 11 lineaire transformatie.!'.

~~~E~~~~~~l2-· 1°. Zij R de verzameling van alle vectoren in het

platte vlak (vast punt 0) 9 R 1 = R. Onze afoeelding is nvergroting 1

-f.· --)

factor 3" g aan elke a voegen we 3a toe. Ileze afbeelding is linea.i r.

"draailng

voegen we

in 0 9 met

over -?

OB

L

2°. Weer R = R' =platte vlako Afoeelding is g

90° 11 (bij afgesproken draaiingszin). ~ ~

Il o w o z • a an a "" 0 A

toe, z6 dat OAB een gelijkbenige driehoek is met tophaek 0

AOB = 90 . 0 3 • R = R 1 = platte vlako In R trekken we een rechte r

door 0. Afbeelding is g "orthogonale projectie op r "• Il.w.z. aan ~ --}!> .......)

a= OA voegen we OB toe 9 waarbij B het voetpun t i;:J van de loodlijn ui t

A op r.

4°. R = R 1 = platte vlako Rechte r door 0. Afb'·e·; __

cling is "spiegeling t.ooVo r 11, -'>

D.w.z. aan OA

Ymarbij B z6 ligt, da t r de middellillodlijn van

dan B =A) o

- -> voegen we toe OB

AB is (ligt A op r 9

5° o Beschouw in de ruimte twee vlakken V en W door 0 o

Laat R bestaan ui t de vectoren in V 5 R 1 ui t de vectoren in W.

Afbeelding is; "orthogonale projectie op W ", d.w •. z. aan OA in Y ---.:-it _. OB toegevoegd, waarbij B het voetpunt is van de loodlijn ui t A 'p

6°o R = R, R 1 = R • Kies een (m xn)-matrix me": n m

elementen a .. o Deze legt een afbeelding vast g aan de vector lJ

(x_,, ••• , ,xn) voegen we toe de vector (y 19 o o., ym) met

+ ooo + a1

x n n

y =a 1x 1 + oo• +a x · m m mnn

2E~~E~~~~o IoEen v~~c~~~vi,ng in het platte vlak is geen lineaire ...;,) . -l·

t:ransformatie ( want daarbij gaat 0 niet in 0 over). Het verband tl1.ssen

coordinaten van oude en nicuwe vector wordt daar wel door lineaire fo:r·oules

gegeven, maar die zijn niet ~1omogeen. Daarom zegt men soms 'ihomoge···:

l:icr~c,aiTe .transformatie" i.p.v. nlineaire transformatie" •

. Zij f lineair. Bestaat er een lineaire- betrekking tussen biJv,

~ 1 t, -; in R; dan bestaat de overeenkomstige betrekking tussen

f(~), f(b), f(C') • Eet omgekc9rd.e is echter niet al tijd waar.

I

Zij f een lineaire afoeelding van R in R 1 • Het 'cr;eJ:l

va:n. d.e transformatie (of heJc beeld van R 'oij f' )

f(S:)

is de verzameling vnn

alle vectore.n cl:flB op ten minste ~~n marrier als kunnen worden rre-· '·~

schreven, De ~ern van de transformatie

f (;:) = 0 ( dus ~ I ~ E R en f (S:) c-o 0 ) ) . _,

is c.te verzan.eling van alle a E R met

Stelling i 0 Bij een lineaire afbeelding van R in R 1 zi jn 'oeeld. · -----:---·--·-kern lineaire d.eelruimtEcn van p_: rf",SJ)o R ~ en de som van hun dimens.;_-

is de dimensi e van R ,

Als "-"

en bER

·.? _,

o en cl in het 'oecJ.cl liggen~ dan zijn er vectoren ::;, t. J.

is f ( ;~.S: + 1-1 b) = A.c> + 1-1 d o Dns

laatstgenoemd.e vector l~Lgt weer in he i:; beeldo J)us het 'oeeld is een

lineaire deel:ruimte B van R 1 o _,

Als -'>

en b in de kern liggen 5 dan is Af(~) + ;7") 1 Pi h \..__ ..L. \ !,/

een.

-> -> fl · 0 = 0 , dus

lineaire deelruimte K

,. A.a.+ ll b .....

van ::R o

ligt weer in de kern~ Di t is due

Geef d.e ditnensies van R 9 B en K respo met n 9 r en s aan. Kics ._....') .;__) ~ -?

ee1:. loo, 'oasis c1

, • o o, en voor R 9 zo dat c1 9 o o o 1 c. een l.o. tasi Ei

. . s wordt opgespannen dobr f(c1) 9 .o. 9 :f(C'h), en

.-.:. _l.,_ c:rva:n. 0 zijn 9 worcH .B opgespannen door f (c;'s+l), o o.,

daar de ecrste

(-> \ f c J 0

n Dezs zijn lineair onafhankelijk" Onderstel nl. dat

_.,. d

-> Dus d is

".·-) \ a ~1(c ,; + s+ i " s-+!

a f('2 ) = 0 o

n n

-> ct c ..,-

s+1 s+1 + -> a c

n n dan blijkt dat f(d) = 0 9 dus

-> ..., c;,fhankelijk 'Tail C....,;t OOC9 c Q

l s We gens de lineaire onafhankel'

... -;. __..:;,.

heici van c1

, o o o, c vinden we I 4 n ,-~~)

0:. ==ooo= C/.. =Oo s+l n

nu, ctat We cone~_':-

der<?n 9 da * f ( c ..1. 1 L o , . ,, f ( c ) s, , n l:;.asis voor B vormen. een loo. Dus

r=n~-s<'

Voo:c~oeeldeno We bekijksn d.e ee~1sr gegeven voorbeelden 1° toe.mo 6°o r:

is B = ?.~ K '·= 0 Kj 3~ is :S de deelruirnte van allo

1."0C tors-:1 L~ngs :r J en K c~.l.c -:-an al1e Yectoren loodrecht op r. Bi.j 6°

lS 1:3 de:: k010:::nnenr·,.J.i7':;-::. Yi:lil ,.Je mat:cix, en K is de oplossingsruimte v_.~

~ct b~j d2 m~~rix 'oehors~0° stolsel bomcgens vergelijkingen. (I;lus st. 21

~lJn twcs gevalls~ ~·gelijko Als V loodrecht op Yf staa i~;

::3 -ci c allc vcctore:n. ,::;_ s la:r-'g:: de snij lijn vall en 9 en K ui t; < le

s -.:_: .3,0.,11 em W niet loodrocht op elkaar; cl:m

eY! T( = ,- ·cJ1 ~- ( ) 0

) { 0

§ 2, Samenstelling van transformatieso

~:;:!~~~~~:;:-~ 0 Zij f een lineaire afbeelding van R in R 1 9 en A. een

~

geta1. Onder A.f verstaan we de lineaire afbeelding die aan elke a E R

de vector A.f('Et) uit R 1 toevc;egt.

Zijn f en g lineaire afbeeldingen van R in R' , dan is f + g -,

lineaire afbeelding die aan elke -;;:E R de vector f0t) + g("'it) uit F 1

toevoegt<

2£JE-~Ef~~~· Op grond va::.1 deze c.e-:'j ni t.Le vormen de lineaire afbeeLL; -- ·_n

van R in R 1 een vectorruimte (met als dimensie het product van de di:-:':21'1-

sies van R en R! ). We gaa:c1 hier echter niet nader op in.

::Q~!~~~~~~-1· Laat R, R 1 en R'i vectorruimten zijn, f een linesdro

afbeelding van R in R 1 9 g een lineaire afbeelding van R 1 in R" . ~<n

~

verstaan we onder gf de afbeelding die aan elke a E R toevoegt de

vector g[f(;]] E RH. Dus (gf) (~) = g[f(~) J • Ook di t is weer een line­

airs afbeelding.

afbeelc1ingen zijn van resp. R in R 1 R 1 in R'' en R" in R'" IJan is

( hg) f = h ( gf) 0

~

~~~~~~· Kies a E R 9 en ga na dat zowel bij (hg)f als bij h(gf) ...., r [ r-"\ ] 1 ( het beeld van a gelijk is aan h (g f\a) Het is een zeer algemene

kwestie9 dat de R's vectorruimten z:Ljn of f,g,h lineair zijn~ speelt

geen rol) o

~~~~~~~~-~0 Laat f,f 1 ,f2 lineaire afbeeldingeh van R in R' Zl.::'~: 9 en g, g

1 ~ g

2 liheaire afbeeldingen van R 1 in Rh. Dan is

( g 1 + g 2) f = g 1 f + g 2f ; g ( f 1 + f 2

) = gf_; + gf 2 9 g ( A. f) = ( A g) f = A ( gf) ,

Stelling 4. De lineaire afbeoldingen van R in R zelf vormen een _ .... ____ ~---ring (bij de bovengege7en definitie van som en product).

§ 3. Ontelling en vermen~~~l~iging van matrices.

Een lineaire transformat:i_e '.'an een numerieke vectorruimte R n

in

e eE !1Umeri eke ve ctorruim to is steeds van het type dat in voorbeeld r,

cran § i werd aangegeven ~

~ ·;~~}~~~-~ o Is f een lineaire t::-ansformati e van R in R 9 da:::. :c s n m e:;::· - ·"1 (m )<J_1)- matrix (a-;-) die de transformatie als volgt vastlegt ~

J.s ·::;- (-.r x ) cl'".-·" -: ;" -P(:-.:·;- (y y ) met " "n a x .... _- \"'"1' o•·•o? n -~-'" ~- ~ , __ - ,. :' ••o9 m 9 .;i = "'j=1 'ij,_j

Dit verband tusson lineai~e trancformatie en matrices is ~~n~~nduidig.

Bewijs, Neem in >( -,.----·-~ n}= (09•••90,1)

( a 1

9 , o , , a . ) • Aan . J illJ

0 Q 0 ;}

noem die

uordt, de;_·~.'

Omgekeerde leidt een willekeurige keuze van de matrix tot een lineaire

transformatie. Verschillende lineaire transformaties geven verschillende

matrices, want als f en g verschillend zijn, dan is er een j met

f(e'(j)) .f g(e'(j)) 9 zodat de j-de kolommen van Q.e bijbehorende mat-,..ices

niet geheel overeenstemmen.

Aangezien we elke (m x n) ~ raa trix nu direct kunnen inter:preteren al s

een afbeelding van R in R 9 kunnen we ook soin en product van matrices n m

definieren in de gevallen -v-raarbij die or:.Jeraties .met de afbeeldingen J<:unnen

v:orc::_en ui tgevoerd. De sam (reslJ• :product) van de matrices A1

en A2

is

(l_e n:atrix van de afbeelding die de sam (resp. :pro.duct) is van de bij A1

en A~ behorencle afbeeluingen. c.

van de factoren te worden gelet).

(Bij het :produci dient op de volgorde

~~~~~~~§_§. Hebben de matrices A en B dezelfde vorm (m x n) 9 (!_an

is

+

b In (c 11

! : ! • !

\ c1 \ n \

met

b ml

b mn \

0m1

/ c c .. =9 •• r-b. ,

mn: lJ lJ lJ

I 1 0 (> 0 a

In\

a : mn;

.\a 1n

f.. a mn

§~~~~~~§_7. He eft de matrix A evenveel kolommen als 3 rijen tel t 9

dan is het :product AB gedefinieerd, en wel is

met

a m1

c . .. .::::: lJ

a , mn/

2: n . b k=l aik kj •

b n1

b 1 t \ '

c11 =::

b J c nt 1 m1

~~!~;i.~: B is de matrix van de transformatie die aan

(uit toevoegt (ui t R ) , met n

A is de matrix van de transformatie die aan

(z 1 ,.,. 9 zm) (uit Rm), met zi = z;~l aikyk •

De :producttransformatie voegt dus aan (x1

, •• , xt)

en we hebben

cit

c mt

toe

~ LJ •

l a.,

lK " t t n '-'J· =-'~ bl -;X. = Z. -1 XJ. Lk=~ al. kbkJ'

I KJ J J- - I

t 2: . ..,

J=l

Tiaarui t volgt, dat C de matrix van de producttransformatie is.

c ~ . : 4

lJ J

De :productvorming is in het algemeen niet commutatief. Als A C'~, l3

res:p. de 70ITH (m x n~ en (n x t) hebben, dan is AB ged·efinieerd, :lc ch

BA slechts al s m =-c t. En als m = t dan hebben AB en :BA nag ni- -~

al tijd dezelfde vorm ~ AB heeft dan de vorm (m x m) en BA de vc-rr-:

) 1

(n >< n) , En zelfs als m = n = t (zodat AB en BA beide gedefinieerd

zijn? en beide (n x n) matrices Zijn) 9 behoeft AB = B}.. niet te geldcn.

Voorbeeld ~

/0 ' \o

0 ' 1 0 \ 1 0 J 0 0 '· 0 1 ( 0 r; ,_,

i

} 0 \

1 0 0 0 9 \ 0

1

0 0 0 ,-\ 1 ! \

:Oi t hangt samen met het fei t dat voor afbeeldingen f, g van ecn

vectorruimte B. in zichzelf nie± steeds fg = gf geldt. "Neem bijvooT·b'c::ld

voor f en g de afbeeldingen bes chrc:;ven :Ln de voorbeelden 2° en 3° in 5 1.

~~~~~~~§-~· Zijn A, B, C matrices, dan is

1°. A+ B = B +A , (A+ B) + C ~A+ (B + C) 9

A.(A + B)

c~~JA '

(AB)C

A.A + A.B 9 ( A.+ !l )A = ~A + !l .A?

\( !l A) 1 1 • A = A ;

A(BC) 9

(A(B + C) = }B + AC

(A + B) C AC + B€i 9

1~.( A. :B) :: ~(AB) = ( ~- A)B.

Al deze gelijkheden gelden onder de voorwaarde d~t in €~n der beide

leden de opera ties ui tvoerbaar zij1'1 {dB.n zijn ze het in het andere lid

ook).

~~!!J~· Volgt onmiddellijk uit st. 2 en st. 3 9 door voor de aldaar

optredende ruimten numerieke ruimten te nemen~

~~~~~!~~-2. Laa t f een lineaire transformatie van R in R zijn, n m

met matrix (a .. ) (zie st. lJ

5)? zodat de transformatie is gegeven doo~

(x1

1 • o. 9 x ) -> (y1

; • , o , y ) n m , met

Ilan

hetger:m

1 \ ; J ;

y = a11x1 1

v = am1xl ~m

is di t verband

Y1\ ;a11 . ' ~= ! Q,

: 0

+

+

ook

~ .. + a1nxn

~,. 0 0 + a X mn n

te schrijven

o a mn

als

een betrekking is tussen matrices (net afmetingen resp.

(m >< n) 9 (n X 1) ).'

Het heeft dus grate voordelen om de vectoren uit R n

resp. R IT:.

als kolommen te schrijven, en daarna a,ls matrices met een kolom op ts

vatten. Nu geldt bijv. :: de .lf..olommen van de matrix zi;in de beeld..§]:l ~~- T

'de eenheidsvectoren van R . n

Laat f een lineaire 'transformatie van 2~~1!~~§_:12· R ih R n m met matrix (a .. ).

lJ ])an geldt ~ ])e dimensie van het beeld is gelijk

de rang van de matrix.

R n

wordt opgespannen door de vectoren

; 1 \ f 0 \ ! j ->(2) ' , , ' e = \ 0 ! \ Q J

\0 f

0\ 1

o/ i

0 i • I Q ! 1/

en het beeld wordt opgespannen door de beelden van deze vectoren. Het

beeld van ~(k) is de k-de kolom van de matrix. Dus beeldruimte

kolommenruimte, en nu kunnen we Hfdst. II st. 16 toepassen.

§ 41 ])e inverse van een matrix.

We beschouwen lineaire afbeeldingen van Rn in zichzelf. Volgens

st. 5 worden deze door vierkante matrices (n x n) beschreven.

~!~~~~~tL22. Is f een lineaire afbeelding van Rn in zichzelf 7 be­

schreven door de matrix A 7 dan zijn de volgende condities equivalent:

( 1) det A I 0 (det A stel t de determinant van de matrix voor).

(2) A he eft de rang n •

(3) f is een eeneenduidige afbeelding van R op zichzelf. n

~~!~j~· ])at (1) ~> (2) volgt diFect uit de definitie van de rang als

het grootste getal r zodanig da t A een (r x r) onderdeterminan t he eft

die f. 0 is.

Uit (2) volgt, dat de dimensie van het beeld gelijk is aan n (st. 10),

zodat f een afbeelding van R ~ R n n

afbeelding is, blijkt uit het feit dat

is. ])at het een eeneenduidige

f(~) = 0 ~ ~= 0. ])it laatste

volgt ui t st. 1 (dimensie kern + dimensfu::.beeld = n) , maar ook bijv. ui t

het feit dat in onze matrix de kolommen lineair onafhankelijk zijn (II st.

11 of II .st. 21).

Hiermee is (2) ~ (3) bewezen. ])e overgang (3) ;> (2) is iets r:c-makkelijker, want daartoe hehoeven we ui t (3) slechts te concluderen h.t

de dimensie van het beeld gelijk is aan n.

P~f~~!~!~-~- Als aan een der in st; 11 genoemde conditie~ is voldn~n

(zodiH dus aan alie drie is voidaan), dan heet A zov.tel als f ;r:egyl~SI·

Een niet- reguliere matrix of transformatie (van

sing-u_l i er_.

Pefinitie 6. ])e (n x' n)- matrix

I

1 0

' ' . \o

R n

0 1

in zichzelf) ~cat

0

1

die overal nullen heeft behalve in de hoofddiagonaal, waar enen sta~n,

hcet de eenheidsmatrix.

~~~~~~~§_1~· De eenheidsmatrix is de matrix van de identieke trans­

formatie (L e. de transformatie :; -"-; L en AI= IA =A voor alle ( ' ~,_n ;< n) -matrices A.

~~~~~~::§_1.2· Is A een reguliere (n x n) -matrix, dan is er precies

een X die aan ~v = T -'"lJ\. ~ voldoet 7 en precies een Y, die aan YA =I vold.oot.

])eze twee vergelij];:i:ngen heoben dezelfde op1ossing; doze wordt de i.l?:.v'j?,T_S..<:? _ _ 1

matrix van .A genoemd en met A ' ar.:cngeduid.

~~!~~~· Zij f de bij A behorende linGaire afbeelding van R op y,

zichzelf. ""'"'"') ..L--;.

Ilaar f eenc8nduidig is 7 i 8 er bij elke y precies een X te

vinden met y = f(~) • Deze 1 is ee:n functie van y , en we duiden eli e Let

g aan. Ret is de inverse afoeelding van f 7 en vYe hebben

v~[g(f(-;)) = :;] 1

We tonen aan, dat g lineair is. Neem vectoren y 1

, y 2

en getallen

~1. No~em g(y1)=x

1, g(y

2)=-;;

2, en g(l..y

1+fly

2)=:;. Dan is

_,. - ("'"" \ d(-" ) ( ~ ----1- ) ( (---;,)) = l..y1

+__fl y2

= /l.f x 1 ; + !J-:r,\x2

=.t /1. x1

+ !lx2

• Dus g f x ==

( ( - -)) _. - - . = g f /l.x, +!.1X2 0 ])us X=A.XI +!lX2 0 Dit oetekent dat g llneair iso

Zij B de matrix van g • ])an is,. cl.aar gf = fg = iden tieke transfor-

matie, ook BA=AB=I (vgl. § 3). ])us B voldoet zowel aan AX=I als

aan YA =I.

Laat nu C voldoen aan AC =I. Dan is B(AC) = B 7 dus (BA)C = B 9

dus IC = B 7 dus C =B. (We kunnen ook als volgt redeneren ~ als h de

bij C behorende transformatie is, en AC =I, dan is fh de identieke

afbeelding 7 dus h is cte inverse van f ) • Ilus B is de enige oplossing

van AX= I • Voor YA = I redeneren we analoog.

~~::~~~~§_11-· Laat A en B ( n x n) matrices zijn, en .AB =I. ])an 7 · :n

A en B regulier, en elkaars inverse.

2~-~~!~~~_: Laat f en g de met A en B corresponderende afbecl"'ingen

zijn. Daar

hovendien

blijkt dat

dim g( R ) < dim R n - n

f(g(R ) ) = (fg)(R ) = R n n n

g(R ) = R 7 dus da t g n n

em dim f(g(Rn)) s_ dim g(Rn) ~ en

(fg is de identieke afbeelding),

R .2..E. zichzdf n

een afbeelding van

Uit het laatstgenoemde feit 7 en uit het fait dat fg de idenb Ci:::G

is.

afbeelding is 9 volgt da t f en g eeneenduidige afbeeldingen van I? c:p ..:.1.

zicl'czelf zijn 7 en elkaars inversen zijn.

Elke kolom van AB is eon lineaire combinatie van de

kolommen van A • Ile kolommen var. A spannen dus de gehele R Ope n

A is Te/!"J.lier. Om te laton zien dat B regulicr is 7 passen we dc:·sclfd.e

rcdenering op de rijen toe. lhJ. st. \3.

2~-~~!~j~· Uit de productstelling voor determinanten 7 die we in ~ 5 zullEm oewijzen, volgt dat A em B regulier zijn. Nu st. 13.

42.

:De stellingen 12 9 1) 9 i4 k-cmnen ook onafhankolijk van de theorie 0 r

lineaire ruimten en afbeeldingen worden afgeleid 9 nl. met behulp van (c::-',;cr-'

minai'lten. Ilat zou kunnen gaan met de volgende stelling 9 waarmee de

inverse matrix e:x:pliciet kan worden berekend ~

~!~~~~~§_22· Stel

A

(a11 0

I I • ( 0

\ . \ \ani

a ' 1n ' ! ' } 9

a I nn:

B /b11 • • • b1n \

{ 0 0 \

i • !

\ 0 J

\bn1 \;n/

m .. I (dot A) , waarin m .. Jl Jl neem aan dat det A I 0 en dat b ..

lJ blz. 14). ]an is AB= I. minor van a ..

Jl in A is (Hfdst.,I, § 3

~~!~~~o Uit I, § 3 st. 20 en st. 21

det A

0

hetgoen kan worden gelezen als

I a1n ! a11 ..

;

' 0 \ \ . l \ 0

\a Tl1

a nn/ '

Is LB =I 7 dan is

D i

+ a. m. , ln ln

'I m n1

(det

m1n m nJl

b .. = m .. I ( det A) lJ Jl

A) . I .

de

§~~~~~1?-§_17. Laat L en C (n x n)- matrices zijn, en zij A regulior.

Dr-cL hob beE C; AC en CA dezolfde rang.

1~-~~!~~~· :noom de uij A en C behorende afbeeldingen f en g. ::=::1ar

_,6~J.eOr1duidig is 9 hebben fg en g dezelfde kern ( f(~) = 0 ~ ) ~ == 0 dus (fg) (x) = 0 ~=> g(~) = 0 ) _ zocla t ook bij beide de dimensie van hot

beeld .. hGt~6olfde \C 8TL C hebben deze1fde rang. Verder hebben

:;:·'lkc 1-:c;l :::m va:'l CA is een l:ineaire combinatie van de

r.,_,.-,, r;/J_rr.··.:~"'l'-; ~, '-r v·C>n CA) c (1~olommenruimte . \-- , .......... v ... .t ..... -:...;._ ! ... , ...,. ·_. Ci.l 'l. vs_n ,; : -'1

CoJ:1: A is een (n x n). matrix, dus

( 0 fl \ \ -~- ... / 1{j_ oYu:. ·~ V<Jlgt rang C = rang CA • Door

( n x n ) ma tri cos 7 dan i s o :---' -~

( ,,-o\ (-._,-1 fi -i \ 'l'iJJ) \ 1.) __ :J.,. )

, r ,,~- i , ~ -1 AI -1 -1 "~',D.d )i;_ A = AA = I 9

·p- --~ ,., -~ i ..!::) 1-i de inverse va11 AB is (st. 14) •

43.

§ 5. Productstelling~or determinanten.

~!~~~~~\L22 o Zijn A en B (n x n) matrices 9 dan is

det (AB) (det A)· (det B)

~~!~:2~.:.. JJe rang van AB is niet grater dan die van A (zie 2e bewijs

van st. 17)o Als dus det A= 0 is, is ook det (AB)

formule juist is. We nemen verder aan, dat det A t 0

0 1 zodat de

en we noemen

AB = C,

Je beschouwen de rijoperatie, waarbij een rij q keer bij een andere

rij wordt opgeteld. Gaat bij een dergelijke operatie A in A' over en

C in C1 , dan is nog steeds A'B = C1 7 en det A= det A' 1 det C = det C' o

Bet is mogelijk een aantal van dergelijke operaties op A toe te passen,

z6 dat A tenslotte wordt

A*

t i n f

(buiten de hoofddiagonaal

slechts nullen),

en c is dan een matrix c-)(- geworden. Yen raadplege hiervoor Hfdste I, st. 8. Merk op 1 dat er tijdens de reductie nooit een nulrij kan ontstaan

(want anders zou de determinant nul zijn). En merk op, dat het ~~i£_selen

van twee rijen (op een factor na) ook met de beschouwde operaties kan

worden bereikt. (Schema; (-;J, :;;) ) (-;J 9 ;; + -:;)=-c ) (-:;-;;- -:;, :;; + -:;J:) =

( _-; 9 :;; + -:;) 9 ( _:;; 9 -;f) ) 0

Bet is nu voldoende te bewijzen 9 dat det(A*B)

en dit is niets anders dan T:Ifdst. I, st. 14. (det A*)(det B),

We geven nog een uitbreiding van de productstelling, de zogenaamde

stelling van Cauchy en Binet.

§!~~~~~~L~2° Zij m > n 9 en

( a11 0 0 • a 1m

I o o B A \ \a o a \ n1 nm

/0

11 l \ ~ 0 0

\ b 1 \ n

o, \ m;

' 0 Q 0 Q l

b ; nm'

Ui t A kunnen we op 'ill) ~n manieren een onderdeterminant (n x y-,:

nemeno Elk dezer onderdeterminanten vermenigvuldigen we met de ove-r· - ·~-

komstige onderdeterminan t ui B • T T

gelijk aan det(AB ) 9 waarin B

T B =

:Oan is de som dezer ( m ) nroducte:n n

de gespiegelde matrix voorstel t ~

b n1

b -nm

44

~~~~j~. 'Ne voeren m variabelen u 1 , ..• , um in, en we vervangen

a .. u .• :Nu is elk element van ABT een lineaire vorm in d"" lJ J T

det(AB ) is een homogene veel term van de graad n in

a. door lj

u 1 s, CcUS

de U 1 S. Elke term van deze veel term bevat hoogstens n u 1 s. Zij

cec~ getal, 1i.:pi.n. We kiezen nu p der u's uit, bijv. ui, ···~ ur De som van de coeffieienten van de termen die u:p+i, .•. , um niet bevatten,

is te vinden door u1

= ••• = un = i, up+\= •.. = um = 0 te stellen. Di t wordt

dus det(AleBT), waarbij A:;..-~ uit A ontstaat door alle kolommen na de " rr p-de door nullen te vervangen. Daaruit volgt, dat de rang van A~B-

hoogstens p · bedraagt. Als nu p < n 9 blijkt dat det(A-rcBT) = 0 is, en T

bijgevolg krijgen we dan in det AB geen bijdrage die uitsluitend uit

mach ten van ui, .•• 9 up bestaat. Als we p = n nemen zien we op grand

van st. 19 gemakkelijk in dat det(L-i<-BT) gelijk is aan het product van

de determinanten die uit A res:p. B ontstaan door alle kolommen na de

:p-de te schrappen. Hiermee is de s~elling bewezen voor het geval dat

a. . door a .. u. is vervangen. Door nu u1

= J.J lJ J

komen we o:p het oors:pronkelijke geval terug.

Voorbeeld. ---------

=u = 1 te nemen, m

t2 2 !a ~312 2 2 2

a 1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a1 a3 a1 + a2 + a, + +

1 2 ,, -' + +

b2 b1 b3 lb2 :::

a1b1 b2 b2 b1 03 + a2b2 + a 3bj + + 1 2

De volgende stelling (Laplace) heeft, oak wat bewijs betreft, enige

gelijkenis met st. 20.

~~:;:~~~~~-gl. Zij A een (m x m) matrix, en 1 i-_ n < m. VJ"e kunnen ui t de

eerste n rijen van A o:p ( m ) manieren een onderdeterminant n

(n x n)

vormen door een n- tal kolommen aan te wijzen. Elk dezer onderdetermi­

nanten vermenigvuldigen we met de onderdeterminant die uit de laatste

m- n rijen en de m- n resterende kolommen ontstaat. Di t :product vcr­

menigvuldigen we met ( -1) v ( v = (k1

- 1) + (k 2 - 2) + •.• + (kn- n)) 9 waarin

k 1 , •.• , kn de kolomindices zijn bij de ui t de eerste n rijen geko?J'n

Onderdeterml, nant. D d ( m \ d d t · d l' ·· e som er n ; eevon en :pro uc en 1 s an ge lJK aan

det Ji..

Vervang a .. lJ

door

det A een homogene veelterm in

verder als in het bewijs van st.

a .. u. als 1iii.n 9 1ij~m. Nu is olJ J u

1 9 ••• 9 urn 9 met graad n • V\fe redr::n .~r'en

20.

b3

a11 . . . . . . aim b 11 I) o o 0 II ' b

1n 0 0

b n1

ooocoo b 0 . 0 nn

b b 1 0 0 n+191 n+1? n ·

\ \ 0 1 (I 0 0 0 0

\ ami • • · a . b m1

0 0 0 0 0 0 b 0 .••. 0 1 m:mt mn

1 0 0 a1n+1 a 1m 0 ""1 0

0 0 I a n,n+1 a

nm 0 0 a n+1 9 n+1" a

~n+1, m . 0 . 0 a . a m9n+1 mm

en door t~epassing van st. 19 blijkt dat

(det A) • ~n+i ,n+i • ~11 · • • ~1n bni • . . b nn

a m,n+1

. . .

'~ 6. ]~atrix van een l ineaire transforma"iie.

In § 3 werd een lineaire afbeelding van R in n

R m

a rom

beschouwd, on

daarmee was onmiddellijk een matrix te associeren. Hebben we een afbeel-

ding van een willekeurige vectorruimte R

numerieke) in een andere vectorruimte R 1

(dus niet noodzakelijk een

(niet noodzakelijk numeriek),

dan kunnen we die ook met een matrix beschrijven, maar da.t bevc;.t c'.r"

een element van ~illekeur. We kunnen het als volgt voorsteller;

Laat n resp. m de dimensie van R resp. R 1 zijn. Kies r:.1.1 ,,_cr i somorfe afbeelding tp van R mp Rn en een isomorfe afbeelding f 'Jll<\1

op R m

( Hf d s t . I I 9 s t • ' 1 2 ) o f de lineaire afbeelding van R

R 1 " :Dan is -1 q_, f 9 een lineaire afbeelding van

met een matrix te beschrijveno

R n

in R , m

en die is

Voor 9 en ¢ zijn er vele mogelijkheden. Elke l. o. basis van R levert

ons een 9 , en elke l.o. basis Tan R 1 levert een ~ :De isomorfie

tussen R en R is zodanig 5 dat de coordinaten (t.o.v. de l.o. basis) n

van een vector ;; ui t R de numerieke vector 9 (~) vormen • ._.;, ~ - -7

lils t1

, ••• , bn een l.o. basis voor R is 9 en c 1 , oo 09 en een Ln.

basis voor R; , dan is het verband. tussen transformatie en matrix als volgt _,. ._.;,

Als x1b1 + 0 0 0 + X b n n

dan is

yi ail

yffi a ml

~ ....;.

y 1°1 +

a in\

a illlli

0 0 0

xi

X n

+ -4

ym c m

Als we met een afbeelding van R ·in zichzelf te doen hebben?- zullen -4 -?

we er natuurlijk liefst voor zcr.;en 9 dat b- basis en c- basis dezelfde

zijn.

.l

Coordinatentransformaties.

Laat R een vecto.rruimte zijn waarvah 0 ~ 0 9 een l.oa basis -? il

iS a Aan elke xER kunnen we coordinaten toekennen t.o.v.

nl. de getallen x 1 ••• 7 x die eenduidig bepaald zijn door 4 ~ ~~ n x = xibi + ••o + xnbn :Dus

x1\ 0 '

l X / n;

Gaan we uit van een tweede l.o. basis c1

5

dezelfde vector i andere getallen 9 die we door

stellen.

We kunnen de _,. c's in de

-?

b 1 s uitdrukken.

X'"" 1 9 f'\ 0 0 '

dan behcren bij

x* zullen voor­n

loor nu·in x1t

1 ,

vi''J.den we dat

v- -x-1·c1+ •• beide leden in de b 1 s ui t te dru1:1(sn 9

(XA \ X.;~ \

4 ;

! 0 i ; .!

i 0 \ s met s ; 9

! • ' -l(-

~ -.:r ; "V" n; \.<>. . _.,_ ' n:

· :Merk op 9 dat S onafhankelijk van x is.

transformatie in de numerieke R ·n

/S1 ; i sin i l 0 0 0 i \ '; \sn·i s ! nn

We hebben hiermee een.

een stel behoort, is S regU.iier (st. 11)o We noemen de

O n de x-1~ overgang van de x 1 9 • o o ; xn 1:' 1 9 _. 0 0 0, x* een coordinatentransf:,._-c

n _. Pas op ~ in de formules die de c 1 s in· de b' s ui tdrukken zien we niet · ~.

matrix S, doch ST.

~!~~~~~~L~~. Laat f een lineaire transformatie in R zijn (lineaire ~ ~

afbeelding van R in zichzelf)o Laat f toOoVo b 1 ~ o •• , bn de ma"irix ;~

entoo.vo -;A, ..• ,-; dematrix A7~. J)anis A*==;-·1

/.:3 • 1 n

. bb I . ne en \Zle

.....,. ~ (_,.) Laat x een vector zijn en y = f x

cle coordina ten

* X n

en

-s 1 yl

-> too.vo de b 1 s resp.

;xi\ ! 0 -

i ;

\ <;) j \x 1 , n·

en

dan gelden de betrekkingen

'. /YI ' XI .x .,

\ ; / 1 \ i I ~ ' ' . \ , I • A \ 0 I 0 l . f

I ' ' '

het beeld bi j f .

en

, dus

de

.,..._

/Y1 \

-'> c 1 s

( o I

i 0 I= ! Q l

ZijL

1 \

{ Yni X Yn! \ n X n/

\ * f ,Yn' I )

i ~

y:.~ J .··ni

Dus is de matrix van f too.v.

§ 8. ~3i,genwaarden en eigenvectoren.

~

c n

Dus A*·= s-~fl~ ~ ... _,_J _,

Zij f een lineaire transformatie in de vectorruimte R.

~~~~~~!~~-27. Ben vector v heet een eigenvector van f als ":;J f 0

is en er een getal A bestaat zo dat f(;;) A-:;;..

•:;en getal A. heet een eigenwaarde van f als er een vector -:; f C is n r-'') .... r:2,et I\v = A.v o

Onder eigenvector resp. eigenwaarde van een matrix verstaan we eigen­

vector resp. eigenwaarde van de bij die matrix behorende transformatie in R n -t _.

§!::~~~~~-~~· Als f t.o.v, de Lo. basis b1

, oo 09 bn de matrix A

heeft, dan geldt Elke wortel van de vergeli jking det ( A I- A) = 0 i .s

een eigenwaarde 9 en elke eigenwaarde voldoet aan cUe vergeli jkingo JJexe

vergelijking wordt karakteristieke vergelijking genoemd. Het linke:rl.td~ ... ,

ervan is een polynoom in A met graad n •

~:'::!~j~. Al s A voldoet aan det ( A. I - A)

gene vergelijkingen in X "g n

0 , dan heeft het stel l' ~·"Jc;-

. I X\ \ . \ I • . •

A f • I i 0 f I X ' \ / ' n;

een oplossing die van de nuloplossing verschil t, en dat wil zeggen d.r ";

x.1t 1 + ~. o + xnbn een eigenvector met eigenwaarde A. is. Het omgekeerde

geldt eveneens.

~~~!!!~~-~1· Ten opzichte van iedere loo. basis heeft een lineai~G

trqnsformatie f dezelfde karakteristieke vergelijking.

~~!~;i.~· Volgens st. 22 hebben we te maken met matrices A en S- 'A3

( S regulier). We moe ten aantonen 9 dat det( A I- A) en det ( A.I- S-1 AS)

dezelfde veel term in A voorstellen. ])it volgt ui t

det( AI-S- 1AS) = det(s'"" 1 i\IS-S- 1AS) = det(S-1(i\I-A)$)=

1 -1 det S- . det( A.I- A)"" det S = det( AI- A) • det S . det S =

det( A.I -A). det S- 1S = det (A. I- A) .

Laat een l.o. basis zijn 9 en laat de~e

vectoren tevens eigenvectoren van f zijn 9 resp. met eigen~aarden

t.. 19 ••• 9 An. ]an is de matrix die f t.o.v. deze basis beschrijft de

diagonale matrix

(nullen buiten de hoofddiarc~-~~).

Is .A de matrix 9 dan is

/1\ ' ' \ f ''-1 .,

II o \

i

I : J

\ a· ;/

waaruit volgt, dat ( 0 l I : I

de eerste kolom van

\ o I

\ol I 1 ' I

! is. Evenzo redeneert men met de volgende kolommen.

We merken o:p, da t niet elke matrix n lineair onafhankelijke eigen­/1 1\

vectoren he eft. Voorbeeld l 0 1) • Karakteristieke vergelijking

( f..- I) 2 = 0 • En bij A= 1 behoren slechts de eigenvectoren ( ~ )

Ook moeten we rekening houden met het feit dat niet elke algebraische

vergelijking reele wortels heeft. ]it bezwaar is te ondervangen door op

com:plexe getall€m over te gaan. Tot nu toe hebben we alles met reele ge­

tallen gedaan, maar de gehele lineaire algebra, voor zover we die tot nu

toe hebben ontwikkeld, blijft onverminderd van kracht· als we overal com-­

plexe getallen toelaten. ]it zullen we in het vervolg van deze pareq i"C~..LLf J

do en. We kunnen dan de z. g. hoofdstelling van de algebra toe:pas sen~ d_ e., *I ::,.

ze'gt da t elke veel term van de graad n in :tineaire factoren is te oni fd~krlen.

§~:;:~~~~~-~§· Bij elke (n x n) matrix A kan men een (complexe) f"tffU.r

liere (n x n) mat·rix .s vinden 9 zo dat s- 1As een dri~hoeksmatrix 1s,

d.i~ een matrix van de vorm 1/

812 s 1 :tl ;811

I I

f' 0 i 822

82n I

! 0 0 (d.w.z. s. = 0 als i > \

lj ,. \ \ 0

\" 0 1(,0 s rin ~.\

(In de diagonaal staan dan eigenwaarden van A , want de karakteristi '"':~.:-

( . ' -· ) \ Yergelijking is i\-s11

; ,,, ( A.-snn == 0 J•

Daar met 1 ee:1 lineaire transformatie in R n

is

kunnen we C..e stelling ook als volgt ui tdrukken : Is f een lineaL"e

) formatie in R' dan is er een loOo Oa.s.is t.e vinden ten opzichte 1TV8.:2l"·

f beschreven wordt door een matrix met driehoeksvormo Weer ande:_'b ,r;,c.;:e_jd g

E!r is een basis met de eige~1schap dat voor elke i geldt d

f(b.) l

ligt in de rui~te opgespannen door ~ -> b1? 000~ b. 0

l

We bewijzen nude stelling door volledige inductie naar de dimens~c

van R ~ Voor n"" 1 is cii: -~ril-iaaL Neem nu aan 9 dat de ste1ling "be·.-,­

zen is voor dimensie n ·· I ; ,-re zullen nu het bewij s leveren voor hot

geval da t R de dim en si e n .>1eeft o

De karakteristieke vergolijking heeft minstens §~n oplossingo Kle6 -l>

er ~~n~ en kies daarbij een eigenvector. Noem die b1

. Kies vervolgonJ

een (n- 1)- dimensionale deelruimte R 1 die 'b1

niet bevat (bijv, cLoor

n- 1 vectoren te kiezen die samen met 'b1

een L o" basis voor R vo-rtnen) o

-> ~ -;> o.....)

Elke vER laat zich nu op precies e~;n inanier splitsen als v=O:b.1

+w

(-;; E R') • Zij p de afbeelding die aan elke ~ de bijbehorende -;; toevc "'t.

(Dus p(-:;;) E R' en -:;;- p(~) is een veelvoud van 'b1

;; De kc··n v::o~c :;::

bestaa t ui t alle veel vouden van , b 1

? en fl.et beeld p (R) is R 1 ) • }'Tu

levert pf een· lineaire afbeelding van R' in zichzelf. Volgons d0 -l>

inductieveronderstelling is er dus in R' een l.o. basis b2

, •.• , \1. z6 dat (voor i=2 9 ... ? n) pf(b.)

~ > -l> ,l

door "b2

, 'b3 ~ • o. ~ bi o :Daar pf(bi) ~

b1

verschillen, zien we dat (voor -e. .__:;,

combinatie is van b1

, o, o 9 bi o Daar

deze ui tspraak juist voor i = 1 ,

steeds }igt (--" ) en f\b.

l

i=2, ••. ?n)

in de ruimte opgespa.Ln··

slechts een veel voucl.. \ z~~­

f(b.) een lineaire l

een eigenvector is, blijft

Hoofdstuk IV. KwadratischeVormeno

§ 4o I:~atrix van een kw2,Cc:c'atische vormo

::Oefinitie 1o Een kwadrati_s;che 29rm is een ndmogene veelterm van c_e

graad 2 in een aantal veranderlijken 0 0 0 9 X n

JJefini tie 2. De matrix van een kwadratische vorm in

de (n x n) ma,trix (a .. ) ~ -vvaarin lJ

Voorbeeldo

a .. ll 2a ..

lJ

co~f:t:icient van

coefficient van

2 x. l

x.x. l J

(als if j)

1 0

-1

0 -1 0 2 2 -4

~!~~~~~~L2 · Is (a .. ) =A de matrix van een kwadratische vorm 9 lJ de vorm I x ....

n n / I

z z ( X ) A ' . a. .X. X. I ,xi? 0 0 0 7 1 o i=4 j=1 lJ l J n i 0

\

\x n Eigenlijk stelt het rechterlid niet de vorm zelf voor, maar

( 1 x 4) matrix waarvan onze vorm het enige element is.

~~f~~~!~~-2. Is A de (m x n) matrix

9 dan heet de matrix 1

R mn

de gespiegelde of getransponeerde matrix van A

\ 0

J 0

i 0

\ \ a1n

T :Nota tie A •

de

is

dan

a \ m1 '

a mn

is

St 11 . 2 St d . ( ~ _h \1

T ~-~--~~~--0 ee s ls \ /\~

T /,A • Als A+B resp. AB gedefi-

nieerd zijn, dan is

Als T A= A 9 dan heet A symmetrischo De matrix van een

kwadratische vorm is dus symmetrischo

Stelling 3. Is A symmetrisch (n )< n) 9 d.an is bij elke (n x m) :':ctrix ------m---:s 00~ Bl~B t .. h · ~ ~ symme rlsc" o

~~!~j~. De producten zijn gedefinieerd'

r X · o, t BT h_:S een .(m ;;! m) -~.. · · il1 m_ 9 z aa 1;; •• mavrlx lSo BT(BTA)T = BTATBTT = BTlLB 0

~!~~~!~~-40 Door de substitutie

X ;;:::: '1 b~~Y. + ••• + b1 y

, , 1 m m .., c 0 Q 0 c

:x:n = on ..-,':;l ~ I I

+ b y nm· m

BT is (m X n) 9 en AB

Verder is (BTAB)T =

(met matrix B)

gaat de kwadratische vorm met matrix A over in een kwadratische vorm

in met matTix "'T '·J3 ..!_) J:i e

_,

Stel de kolom met XI~ 0 0 0 door X voor, en die met y I; c _, o;

~ -> \ (I x n) :Oan is x =By Tie rij (" X is de matrix 0 AI' 0 0 0 9 n; door y 0

X Nu is de vorm ~ T ( -") ""'""T ( T ', )_, (:By) A\ By = y B A :S y

Daar syrnmetrisch is, zien we dat het de gevraagde matrix voors+- -:'_t,

§ 2o _9pli tsing in kwadra ten.

De een>J-oudigste kwaciratische vormen zijn kwadraten van lineaire

( \ 2 vormen • _c_,x

1 + o •. + c x ) o Tie matrix van zo 'n vorm heeft als elementen

1 n n a .. =c.c. i lJ l J

Het is nu ons doel, willekeurige kwadratische vormen te schrij-

ven als lineaire combinatie van kwadraten van lineaire vormeno We nocnen

dat "splitsen in kwadraten 11 o

Elke kwadratische vorm in kan in n of minder

kwadraten worden gesplitst.

~~:!~;i~o Volledige inductie naar no Voor n = i is het juist. :Neem

nu aan, dat elke kwadratische vorm in n- 1 veranderlijken kan ·worden

gespli tst in n- 1 of minder kwadraten. We proberen nu een vorm n:et n

veranderlijken in kwa._.raten te spli tseno

Als een der co~fficienten a11

, a 22 , o••> ann van nul verschi1t 9 is

het gemakkelijl-ca Is bijv. a1 1

/= 0 5 dan schrijven we

n n a12 a1n 2 F = z;; 2: a .. x.x. = a 11 (x~ + --~x2 + o. o+ --x ) + G(x,., 5

1 1 lJ l J 1 a 1 1 a 1 1 n c_

0 0 0 'j X ) • n

Daar G de niet bevat 5 en weer een kwadratische vorm is~ is G

in n- 1 of mino.er kwadraten te spli tsen 7 zodat F in n of minder kii'·s,­

draten is gesplitsto

Als

niet zo

klaar).

. I= - (• a~ 1

= • o i = a = 0 . dan zoe ken we een a. . met a. . 0 \l s , nn ' .• ;, l J J. J

een a .. ? lJ Zij bijv.

dan zijn alle coefficienten nul, en dan zijn we al

We gaan nu op nieuwe variabelen over doOl~

er

de substitutie x 1 = x1 + x2_) :x:2 = x4- x2, x3

= x3, • o •,

schijnt er een vorm waarih :x:12 de coefficient 2a12

x = x1 • Tian ver·­n n

~ ~ hetgeen we zoeven bewezen, is de vorm nu te schrlJVen

heeft, Volgens

als lineaire com-

binatie van hoogstens n kwadraten van lineaire vormen in ...... .ri A. •

n Laatstgenoemde l~neaire vormen zijn echter weer als lineaire vormen in

x 1 , 0 •• 9 xn te schrijveno Hiermee is het bewijs voltooido

V o orb eel d . 4x x + 4Y ~r + 4x x - 4 ( x t 2 - x 1

2 ) -'- 4 ( x t + x t ) -c t -'- ;l ( -- ; - \ ~ i ---------- 1 2 "-1-"-3 2 3 - · I 2 ' -1 " 2 "3 . --r --~ - 2 '"'3 -

? 2 2 2 2 2 )2 2 4x;-- 4x2 + 8x4x3 = 4(x1 + x3) - 4x2 - 4x3 = (x1 + x 2 + 2x3) - (x1-x2 -4x3 •

~~~~~~~§_§- 3ij elke symmetrische matrix A- ::Ls er een matrix B -"-c:· rr

vind.en en een diagonal e matrix D z6 da t A= :s-:o:s .

~~:!~j~. Splits de bij A behorende kwadratische vorm in n of ninder

kwadraten. Zij m het aantal daarvan. Laat de lineaire vormen zijl~

y1

, ••• 9 ym 9 waarbij

! • j 0

; 0

]

,x ) ' n'

Laat de vorm worden 0 2 o¢o+ay m m

De matrix daarvan is een

diagonale (m x m) matrix ffiet diagonaalelementen di, ••• 9 d • l1Toem die D.

Enerzijd,s is de matrix van onze vorn:l A 9 and .. erzijds is het mBTD3 (st. 4). T

Dus A= B DB.

§!~~~~~§_7. Elke kwadratische vorm in xi 9 ••• 9 xn kan in kwadraten

van lineair onafhankelijke lineaire vormen 'Norden ges:pli tst.

~~!~~~· We bewijzen di t door aan te tonen 9 dat een SJ?li tsing in m

kwadraten door een s:plitsing in een kleiner aantal kan worden vervangen,

als de betreffende m lineaire vormen afhankelijk zijn.

Zl.J. F( \ l't t l d 2 d 2 . x 1 9 ••• 9 xn; ge s:p l s a s i y 1 + •.• + my m •

y i' •.. 9 ym lineair afhankelijke lineaire vormen in xi,

Er bestaat dus bijv. een betrekking ym = biy 1 + bm-lym-l

als identiteit in

~~eem e ... ail~ da t

0 Q Q 7 :x: ZiJ.ne n

(te beschouwen

We beschouwen nu m- 1

d 2 ' , 2 1 z~ •••• +a. 1z 1

1 m- m-

variabelen z1

, ••• 9 zm_1 9 en nemen de vorm

+ d (b ~ z 1 + •. • • + b 1 z 1) 2

• m 1 m- m-

Deze is te s:plitsen in m- 1 of minder kwadraten van lineaire vorrr:en

in (st. 5). ~Ffe substitueren nu voor de

lineaire vormen y1, ••• ,yrr.-1 9 zo vinden we F in of minder

kwadraten ges:plitst.

Een ander bewijs kan worden gegeven door aan te tonen 9 dat de split­

singsmethode va:il het bewijs van st. 5 steeds tot lineair onafhankelij'··c

vormen leidt.

Stelling 8. Laat de kwadratische vorm F(x1 9 ••• 9 x ) ges:pli tst Zl.Jn ------2--- 2 n

als d 1y i + • • • +dry r 9 V!aarin y 1 9 • •. 7 y r lineair onafhankelijke lineaire

vormen zijn, en zij d1

d2

dr f. 0, Dan is r de rang van de matrix van F.

En de matrix A van F is te schrijven als

A

waarin B een reguliere (n X n) rr.atrix is.

De ruimte van alle lineaire vormen in 0 0 0 7

• d:r 0

X n

0

(J

dimensie n • Dus r ..$_ n 9 en het stelsel y 1 9 ••• 9 yr is door -vornen

Yr+i' •.. ,yn aan te -vullen tot een Lo. basis -voor die rui:mte (II, st. 14).

Is nu y i \ x1

B

yn X n

dim is B een reguliere (n x n) matrix (vmnt de rijen zijn lineair onaf­

hankelijk). Blijkens st. 4 is nu

A B 9

en volgens III 9 st. 17 he eft A nu de rang r o

Als we een reele kwadratische vorm in kwadraten van reele lineaire

VOrmen Willen spli tsen 9 kunnen 1He er niet al tijd VOOr zorgen dat alle

coefficienten positief zijn. Wel kunnen we ervoor zorgen dat de coeffi­

cienten + 1 zijn? door de wortel ui t de absolute waarde van de coefficient

in de lineaire vorm op te nemen.

(Traagh€idswet van Sylvester). Laat

onafhankelijke lineaire vormen in x1

, ooo 9 xn zijn, en laat ook

z1

9 ••• , zr reeel en lineair onafhankelijk zijn. Neem aan dat

2 - Yr F(x19 • • • , X )

2 2 2 y1 + + y - Ys+1 -n s

2 2 2 2 - z r , z1 + + zt - z -t+1

Dan is s=t.

reele

~~:!~;1~. Beschouw het stelsel van r + s- t homogene vergelijkingen

y 1 = 0 , • • • , y 8

= 0 9 z t+ 1 = 0 ~ o " " , z r = 0 •

De dimensie van de oplossingsruimte is ten minste n- s - ( r- t)

(want de rang is ten Huogste gelijk aan het aantal vergelijkingen).

Substitueer een oplossing van dat stelsel in de identiteito

2 2 2 2.2 2 2 2 Y1 + ••• + ys + zt+1+ ••. +zr = Ys+1+ .•• +yr+z1+ ••• +zt

daar het linkerlid nul is, concluderen we dat alle termen in h-et recl:!.ter-

lid nul zijn, in h~t bijzonder y = ..• =y =0. s+1 r

Onze vectoren voldo2n

dus aan y 1 = • o o = yr = 0. De oplossingsruimte hiervan heeft de dimens:Le

n - r , Derhal ve is :n - r _(_ n - s - ( r - t) 9 dus s 2_ t o Door de y 1 s en z 1 s

te verwi sselen beredeneert men t_L s • JJus s = t .

~~!~:;~!~:::_2· Als een reele kwadratische vorm gesplitst kan worden rls 2 2 2 2 ( ) Y 1 + · ·• + y

8- y s+ 1 - o o. - y r y' s lineair onafhankelijk 9 dan heet r le

]:'__?,ng en s- (r- s) de signatuur van o.e vorm (volgens st. 8 is dus de

rang vanFgelijk aan de rang van de matrix vi:u;:L. F :'.

~:;:f~~~!~:::._§. De reele kvradratische vorm F heet

~) reele -.'=

niet - negatief d ?)'~i,_;YJ.i e t als 'Gl(-v > 0 voor alle X -·-· ..,£),.. 9

~(~) reole ....., ~0 posi_tief de_:fj.niet als > 0 voor alle X

J I

~!~~~~~~-29· F is dan en'slechts dan positief definiet als de

signatuur n is,

~~!~1:::• Noem s == n 1 r- s = v ( n is dus he~ aantal posi tieve 1

v het aan tal negatieve kwadra ten in een 11 lineair ~ onafhankelijke 11 spli tsin::;).

Dus iisignatuur = n 11 ~) ( n = n en V= 0) o

. . w 2 2 d . . . Zi j g~geven n = n, v = 0 • :Dan is l. = y

1 + •• o + y n , us F > 0

voor alle i o Als voor eeh zekere ~ gelclt F(;;) = 0 9 dah is voor die ~ ook yl=ooo=yn=O. Dit.stelsel lineair onafhankeli;)ke vergehjk:l.ngen

heeft slechts de. nuloplossing, zodat

Zij omgekeerd gegeven dat F :positief definiet is. We S')litscn . 2 2 .· 2 2

F = y 1 + o o o + Y.fi -.. Yrc+l - • o o - Yn+V

een reele 11() die aah y 1 = 0 '0

F(~) ~ 0; hetgeen onmogelijk is.

= Yrr

Neem a an dat

= 0 voidoet. rtlh is~ Ti;;p is

Vb r _,

is die X nu

dan

Stelling 11, F is dan en slechts clan niet;;; nega:HA:f definiet als de -----------.signatuur gelijk is aan de rang.

~~!~j~o Laatstgenoemde conditie is equivalent met V=O.

Als V=O, dan

Als vI o 9 dan

- y = 0 - 1t+V

2 2 + "$n - y 1t+ 1 -

§!~~~~tt§_2~o

is F 2 . 2 > 0 ll. ~ = y 1

+ 1 o _o + y n _ vo or a _ e x o

is er e en ~ die a an . . y 1

== 0 9 o •• , Yn = 0 ,

vold.oet o Voor deze 1 is nu F(~)

- y 2 < 0 0

TI+V

is det A > 0 9

Is F :posi tief definiet, en is A de matrix van F 9 dan

en tevens zijn alle diagonaalminoren :positief (een diago-

naalminor is een minor waarvan de hoofddiagonaal langs de hoofddiagonaal

van A val t.

:.§;::::~;L~o Er is een reguliere (n x n) matrix B zodat A= BTIB

(st. 10 en st. 8) 1 dus de-i A = (det s) 2 > 0.

Bij de bewering over diagonaalminoren be:perken we ons terwille vaB

de notatie tot een s:peciaal geval we beschouwen de submatrix

ia11

\a21

a\2\

a22) Deze submatrix is de matrix van de kwadratische vorm

F(x 1 , x2

, 0 7 o o. 1 0) in de twee veranderlijken x 1 , x2

• Deze vorm i.s

positief definiet, dus de determinant van deze matrix is :positief.

~!~~~~~~L2~ · Zij A de matrix van F

a11 a , 1n' I a11 a1k

A I 0

Dk en no em

,a n1 a nn; I ak1 akk

Is geen der D k gelijk a an nul (zodat de rang n is), d.an zijn n rcs~.v

gelijk aan l±et aantal positieve _res:po negatieve onder de getallen ])2 Dn

:Di; ·D-, o o o, ·D- In het bijzonder geldt ~ als :01

> 0 7 o o., Dn > 0 dc:m i n-1

is de vorm· positief definiet.

~~~~;).~· We passen het in het be-rrijs van st. 5 beschreven proces toe

Zij 'c 2 de coefficient van

F(x1

9 x2

, O, o,, 9 0)

zodat (st. 4) I

\0

'f1 b -/1) 1

' '

I . \ 0

J)an is

2 + c'"'x,.,

i::.. c:_

0 ' I

c : 0 2

b

Tioor links en rechts de determinant te berekenen blijkt dat c2

We gaan nu voort ~ J)

F = TII(xl+ , .. )2 + J)2(x2+,o.)2+ 1

en beredeneren op analoge wijze 9 dat in E de coefficient van

is aan n3

/ n1

o We komen zo tot

2 x

3 gelijk

:!) 2 D2 , 2 ~ 2

F=D1

(x1

+ •.• ) +D (x2 ,ooo) +D (x3

+o .. ) +ooo 1 2

n 2 +--x l)n-1 n 9

waaruit onze stelling onmiddellijk volgto

§ 4, Eig_enwaarden Van een s....rm_:~p.etri sche ma trixo

~~::11~~~L.J4· Is A een reele symmetrische (n x n) matrix, en zijn A.

en tJ. verschillende eigenwaarden met eigenvectoren X ) r, dan is

~~!~::1~ o Vat ~ en y als kolommen opo ~ ~

Dan is .A.,-y_ = AX; ..... ..... Ay=~cy 9

~T -4 -"T-'> ~ _. _.T_. dus yAx=AYX 9 xAy !J.XYo noor transposi tie vinden '.-re ui t de

~ ..... -11'1'--\ laatste formule y Ax = tJ. y- x •

_.T~ _,T_. Du S ( fc - tJ. ) Y X = ( 0) ' d US Y X = ( 0)

§~~11~~~-22· Alle eigeniTaarden van een reele symmetrische matrix zijn

reeel,

Laat A. een eigenwaarde zijn met eigenvector

Dan is 7 daar A reeel is, ook de complex geconjugeerde A een eigen--

waarde met eigenvector (x1·, o •• 9 xn)_:___ Als A. niet reeel is 9 is A. /= ~ 9

dusvolgens st. 14is x1

x1

+o .. +xnxn=Oo Tius jx1

12

+ ••. +fxnj2

=09

dus x1

= o o o = xn = 0. Eaar een eigenvector is -fo ! '

~~~!~~!~~-!: __ QE!~~~~~~!!!~!!· In di t hoofdstuk werken 1H6 ui tslui tend met reele getallen !

Orthogonale .!-' • mavrlces.

' . ' ~

]I!en (n x h) matrix ,'3 heet orthogonaal, als .s.s-Definitie 1.

Voorbeelden.

Is dus S

cosc sin&\

\-since cos.a.} en

coscx. -sine(\ \

sin~ - cosaj

(s .. ) orthogonaal 1; CLan is lJ

8i 1 s j 1 .2

8i 1

+

+

+

+

s. s. 0 (i I j) ln Jn 2 1 s: ln

T. -'- .

Hoofdstuk III, st. 14.

Dus als ,...

orthogonaal i G 9 lS oolc 0

s1i s1j + + s ni

s nj 0 (i I j)

2 sli + +

2 1 s ni

,

9

~!~!!!~~-~. Als S orthogonaal is, dan is det S + 1

~ (det S) (det s-) = det I = 1 •

Als S orthogonaal is, dan is ook -1 s o:rthogonaal.

Als s1 en s2

· orthogonaal zi,jn 9 dan is ook s1s

2 orthogonaaL

m

S QJ. - T J...,) - ~ is

~ I , dus s- is orthogonaaL

T m 'f1 =S1(s2s2-)s1L s1s1-=I.

I .

De (n x n) orthogonale matrices vormen een groep (t.o.v,

de matrixvermenigvuldiging). De (n x n) orthogonale matrices met detor­

minant + 1 vormen daarvan een ondergroep.

§ 2 o Ruimten met invrendi,g _product o

~~f~~~!~~-~. Laat in een vectorruimte R bij elk paar vec-toren x 9 :r een reeel getal gegeven zijn dat met (~ 9 y) ,-rordt aangeduid.. (Er is

Cius 86ll reele functie gedefinieerd Op he-[; cartesisch product VS.l1 p JTS't

zichzelf).

zijn aan

~· -·> -"> Laaf voor alle x, j, z en voor alle reele getallen \ vnldaan

(~1 y) (y, ~') X

( _..}.

)\.X 9 y) A.(~·, y) (~

-) _,,\ . (~, ~) r-" ~) + y, Z) + \:Y'

(;;, ~) > 0 c:: ~-)). (-;:{ o) 0 --. 0 9 \u9 = 0

Dan heet de ui tdrukking c;;. -;.') een in __ '!\'endi,g ']JrOduc_i.

Voorbeeld. _.

al s x = ( x 1 ; • o , , x ) 9 y- = _ \. y 1 _,_ , • o 9 y ,_--.} n . - -• In kunnen we 9

nemen

2 . 2 ) (merk op dat ui t x1

+ •• o + xn = 0 volgt x1

= , •• = xn = 0 •

Wanneer we over R spreken en er verder niets bij zeggen, '"'Orcl t n

met 11 inwendig product" steeds cii t inwendig product becLoeld.

In een willekeurige R kunnen we steeds een inwendig product aan­

brengen door de een of andere isomorfie aan te brengen tussen R en een

R 9 en daarna het zojuist genoemde inwendige product te gebruiken. n

~~!!~!~!~-~· In een ruimte met inwendig product zeggen we dat

;':J_ y ( ~- en y staan loodrecht op elkaar) als (~ 9 y) = 0 Ret getal

-~{t;., 1) heet de leng-te van de vector 1 ~ Notati.e

I (-> _,\ I x, Y; < 1~1 z !"YI .

Daar het linkerlid 2. 0 is voor alle "A en 11 , stel t het rechterlid

een niet- negatief definiete kwadratische vorm in A. en f.: voor. De deter­

minant van de matrix van deze vorm is > 0 (vgl. IV st. 12). Dus

(~, y) c;, y) 2. 0

Dus (~ 9 y) 2 ~ (~, ~) (y 9 y) 9 waa,rui t het gestelde volgt.

Door toepassing op R n

levert dit op voor alle reele getallen

0 0 0 9 gelc1t

+X y )2 ( nJn --

2 2) 2 (xi + • · • + xn (y I +

In het bijzonder geldt

xI + .::...:._~. xn n

-1\ (y = = y = n '

1 2 n 2 ~

< ( xl + • ~ • + xn) 2

(het rekenkundig gemiddelde is < het kwadratisch gemiddelde).

Om de meetkundige terminologie uit def. 3 te rechtvaardigen beschouwen

we de vectoren in de "stereometrische'1 ruimte (II § 2) 9 met een basis ->(1) -;(2) ->(3) e 9 e , e bestaande ui t drie vectoren die elk (in stereometr~ ,c;che

zin) de lengte 1 hebben en twee aan twee (in stereometri sche zin) :; · : t­

recht op elkaar staan. We clefini~l"en nu een inwendig product als volgt

zijn XI' x?~ ~

nemen we (-; '· y)

.• -> ~

en y1

, y2

, y3

res}J• de coordinaten van x en y ,, 2 2 2

= x 1y 1 + x 2y 2 + x3y3

• __, J3ekend is nu dat x 1 + x 2 +_~3

drtll

inier-

daad het kwadraat van de lengte van x is. Als de hoek tussen x en v

rccht is9 dan geldt volgens de stelling van Pythagoras g ~~-Y-! 2 ==!~1:~+1~!;". (

-'> -> --¥ -'>) (_,. -> -'>) -'> -> _,. _, -" _, _,. -' -> Daar x-y, x-y = x 9 x-y- (y 9 x-y) = (x,x)-2(x,y)+(y 7 y)

blijkt nu dat (:';_ 9y) =·0 is. Algemener ~ is a. de hoek tussen ; c:T .y

dan geldt volgens de zgo projectiestelling

(_, __, \ I ( ,_,.I I_, I l

dus cos5:'. = x, YJ 1 x • !YI 1 ,

§ 3o Or_thonormale s.telselso

'Ne be.schouwe.n een vectorruimte met inwendig product.

Definitie 4o Het symbool

if j .

0 .. lJ

(Kronecker symbool) stel t 1 voor als

i = j en 0 als _..;..). ~

Defini tie 5. ----------- 'Een stel vectoren b 1 9 ••• , bk he\3t orthonQ_rl'Jaal_ a1 s

~- .... \ 1. \U • 9 b .) = U • • o

l J lJ

~!~~~~~~-§· Een orthonorma~l stelsel is lineair onafhankelijk.

(b i 9 0) = (b i 9 /1.1 t 1 + • • • + \k bk ) "-i •' Dus P-

1 = 0 • o = /l.k = 0 •

~!:;:~~~~~-1· In een n- dimensionale vectorruimte vormt elk orthonormaal ~ ~ ( stel b

1 9 ••• 9 bn van n ve ctoren een l. o. basis een z o g • .Q_J;tl]._opormg:)?~

basis). Is -;,E R 9 dan is -;, = (~ 9 t 1)b

1 + ••• + (~, b_Jb •

• L n

~:;:!~j~o De eerste bewering volgt uit st. 6. Is verder

~ = X 1t

1 + • o • + X b 9 dan iS (~ 9 b. ) = X

1 (b

1 9 b. ) + • • o + X (b ? b. ) nn l l n n l

n 2::. 1 x. a·. x.

J= J lJ l

~!:;:~~~~~-~· Er bestaat een orthonormale basis. ·En als k < n, Jean

elk orthonormaal stelsel b19 o o. 9 bk door toevoeging van n- k vectoren

tot een orthonormale basis worden aangevuldo

~:::!!~~; .Door een willekeurige vector ~a, _L -"o F te vermenigvuldigen met

!-.a' ~-1 krijgen we een vector met lengte 1 9 en dus een orthonormaal stel

bestaande ui t een vector. :Je laten nu nog zien, dat elk orthonormaal stel

(k < n)

b.) = 0 l

uit te breiden is, dus dat er een

ri-1 k) ~--b• I \- - ? • 0 0 9 -- 9 k+ 1 ' = i 0

~ .-, .....

.... b

k+1 te vinden is

Neem een vector a die niet in de door b 19 o •• , bk opgespannen

deelruimte ligt 9 en vorl!l b = 8:'- (~, t1

)b'1

- •o•- (~ 9 bk)bk. Dan is voor

(b 9 bl. ) = (~ 9 bl. ) - L: ~ 1 (~ 9 b . ) (b" . 9 b. ) J= ' J J l

11 P.n kan nu = nP.mer1 ~b = ..... b I l~b-.1 - - k + 1 - ~ ' -- 0

Is een orthonormale basis 9 en is

dan is + ••• +XV. n'"'n

n n ;;:: I: y .--s' )

J J i=1 j=1 x.y.(b. 9 b.)

l J . l J.

0 .

') 4. O:c_thogonale -pun:t;transforma ti_s;s.

-\1e oeschouvven weer een B. met inY:endig -product. ''Je gebruiken in c'1e

titel van deze :paragraaf het woord "punttraiJ-sformatie" om een lineaire

afoeelding van R in zichzelf aan te duiden 9 zulks ter ,onderscheiding v:m

het oegrip "coordinatentransformaties".

Defini tie 6. J~en lineaire transformatie f van R in zichzelf heet ~ I (-) \ I I ..... I orthogonaal als voor elke x geldt , f ,x) 1 = 1 x

1 •

~~~~~~~1L29· Als f orthogonaal isJ dan geldt voor all8 }: sn y g

(f (;;) 9 f (y)) = (;; 9 y) .

, If(~+ y) 12

I~+ Y- 12

Pas nu toe dat If(~)(

(f(~)+f(y), f(~)+f(y)) =

(f(~) 9 f(~)) + 2(f(-;;), f(y)) + (f(y) 9 f(~:)) 0

(~, ~) + 2(~, y) + (y, y) 0

1-;;1, jf(y)l = !Y-19 !fC-;;+Y:)I = !~+"Y!.

-> .... ~~~~~~~~-22· .Als f orthogonaal is 9 en o 19 ••• 9 bk een orthonormaal

stelsel 9 dan is ook f(b1

) 9 •• o 9 f(bk) een orthonormaal stelsel.

~~!~J~· (f(bi)9 f(bj)) = (ti, 'bj) =oij

~!~~~~~~-~~· Is 'b1 , .• o 9 bn een orthonormal~ basis-en f(b1 ) 9 ••• , f(bn)

ook 9 dan is f orthogonaaL

n n n n n ~~~~~~· If c l: ~ ) 12 x.b, l: I X. X. ( f(b;) 9 f(b.)) I L: X. X. o.

lj i=1 l l i=1 j=1 l J l J i=1 j=1 l

r £ -4 ! 2 n n (b.; b.)

n n X.Oi I I X. X. = I l: X. X. 0 .

i=1 l l i=i j=1 l J l J i=1 j=1 l J lj

~ ----?

§!~~~lrl§_2~. Laa t f een lineaire trimsformatie zijn, o 1 ; , •• , on

een orthonormale oasis 9 en A de matrix van f t.o.v. deze oasis (zie

r ') ; 0 .• Dan geld t

f orthogonaal <i ~ A orthogonaal.

~~!~j~· De transformatie is gegeven door

+xb n n

A

+ 0 c Q + y b . n n

J

TTT J _._ ~ 9

Het oeeld van b. is dar1 J

een vector waarvan de coordinaten de j-de

De invrendige producten rnet (f(b.), f(b.)) l J

kolom van A vormen. zijn

oehul:p van st. 9 te oerekenen. Vfe vinden nu : nodig en voldoende voo~

de orthogonaliteit van f is, dat de kolommen van A een orthonormale basis

voor Rn vormen, maar di t laatste wil zeggen 9 dat de matrix van A or-tho­

gonaal is,

I ' ' j

I

I I I

§ 5: brth6g6riale c;i:ir_(i__]J:!.a t~nt:r_ans:[orma ties.

Laat R een ruimte met in•'Jendig product zijno Laat zonel b1,, •• ,bn

-\ -als c 19 ••• 9 en een orthonormale basis zijn~ We kunnen zo~el t.oov. de

eerste als t. o. v. de tweede aan elke vector x

toekennen 9 en het verband wordt gegeven CLOJr eer

coordinatentransformatie

/XI\ ! 0 .

{ : \X / ' n

s ; 0

' . \ x-¥'/ 'l n

~!~~~~~~-21· S is een orthogonale matrix. _.;. .....,

~~~~j~. Neem willekeurige vectoren x en y • Volgens st. 9 is

(~ 9 y) = x1y

1 + • o o + x y = x~-y-1;' +

n n ,

Dus T

~x.,

X Yn n

X. 1 S en y. l s l J

Wegens ~e willekeur van de is

~t. ~~

+ x"y'· o

n n

~e. X

n

nu STS

y~

,_ y"

n

= I ,

§ 6o Orthogonale reductie van een symme,trische matrix,

In eenvectorruimte R zij eenl.o. basi·s b'1- 9 ••• 9 'to gegeven. Zij

-L a verder A een symmetri sche (n x n) matrix en p een reeel getaL We be-

kijken nu de verzameling van alle vectoren x met de eigenschap dat

T

waarin

A

X n

p 9

---:· de COOrdinaten Van X toOoVo zijn.

Wanneer we dit in de "stereometrischen ruimte doen 9 vormen de uiteinden

van de genoernde vectoren een z.g. kw-adratisch oppervlak met middelpunt 0.

Door coordinatentransforrnatie

(de x~ 9 o • o 9

..... -c~ ) c 1 ; ... ; n

krijgen 9 n.l.

(IV 9 st. 8) o

* X n

s

\Xn" , X~/

zij~ nu coordinaten too.v. een"nieuwe loOo basis

kunnen we er slagen de vergelijking in eenvouclige vorm te

door ervoor te zorgen dat STAS = D een diagonale matrix is

Zijn de diagonaalelernenten dan wordt de v·rge-

1 . "k" d.,x"'1,,2 7'f2 l J l ng + • o • + d x = p • n n

Bij verschillende toepassingen hsbben we echter te maken met een in-

wendig product, en dan zouden we graag zien dat er een orthonorrr·a:l,J?_ basis

I

J I

='l I ~ . . . .. ·. c

1, •.• 9 en te vinden is met de eigenschap dat de vergelijking. t.o.v. ¢lb.ze

basis d.eze eenvoudige vorm heeft. Di t blijkt inderda~d het gev~i te zfjn. _,

Ne mogen aannemen, dat ook de b's een orthonormale basis vormi:m. Ret

probleem wordt dus opgelost door de volgende stelling ~

~~~!~:l:~~-12· een orthogonale

matrix is.

:Bij elke (reele) symmetrische (n x n) matrix A is er

(n x n) matrix S te vinden z6 dat ST AS ee:ri. diagonale

rr ~~!:'~;1~. ·vve beginnen met de opmerking dat, als S orthogonaal is 5 S~

de inverse is van S , zodat ST AS = s- 1AS dezelfde karakteristieke ver;;.

gelijking heeft als A • Di t doet ons dus aan eigenwaarden en eigenvectoren

denkeno Inderdaad , al8 S- 1AS = D, dan is

I '8 ' I 8 11 81 \ 1811 81 \ d1 \ · 8 1i\ f

j 1 . : n, n\ I l'

A( ' I . I A ( : . 0 \ .

J ' zodat d. 0 = ! l' = t : I l . 0 ! l I \ s j dn/ \ 8ni/ n1 8 nn' \ 8n1 s I \ .S

nn.'

dus dan kunnen we een orthonormaal stel8el van n eigenvectoren aangeven:

_, v

n

met eigenwaarden resp. d1

, •• o, dn. We zullen dus ons probleem will en

oplossen door eigenvecm0ren,als basisvectoren te kiezen.

We bewljzen de stellihg door volledige inductie naar no Voor

( 1 x 1) matrices is zij tri viaal. Nee.m nu een (n X n) matrix A • Kies ; ""+

daarvan een eigenvector. b1 met eigenwaarde ;\1' (er is minstens een

reeh3 eig~nwaarde (III, § 8), en daarbij kuhnen we een reeie eicorc.7e.:: ceo..~

vinden1 want de eigenvectoren ~orden gevonden uit een stel lineaire vcr­

gelijkingen met reele coefficienten). Yife mogen aannemen dat j'b1 j = 1 . ..... -+ ) Vul nu aan tot een orthoro;xrmale basis b 1 , •.. 9 bn (st. 8 voor Rn . We

passen coordinatentransformatie toe naar deze nieuwe basis. De matri::

wordt dan s-1AS 9 met een orthogonale S .

!lenieuwe coordinatenvan 'b1

zijn (1 1 0, ••• ,0), zodat

i1 I o \ f • :_, = I • .

\ . / ,Q I

'AS

11 lo ! . I o

! 0

' 0 lO

is een ~ector uit R 9 en we stellen die als een kolom voor). n

concluderen nu dat 1

( 1 \ ( 0 \ ( 0 l \ 0 i I I \ Ct i

\oJ 'A

1

zodat s- 1 AS de volgende v9rm heeft ~

! 1 \ .I 0 \ , I

I : I I I \ • I \ 0! \ I

We

,, I

• j lll.t

r~ p12 ° 0 0 ll1n\

I 0 D \ 1 • P22 ° "'2n l s- As = \. : i.

/ \0 \ Pn2 o Pnn/

Dus

Daar S orthogonaal is 9 is S-1

AS = ST AS , dus S-1

A S is symmetri sch.

p12

== q• ==p1n=0, en de ((n-1) x(n-1))mat,rix rechts onderaan i:~

synnetrisch. Blijkens de inductie-a~mname is er nu een orthogonale rLahix

(t .. ) die deze in de diagonaalvorm transformeert: lJ

It l, . i ! i 0

\ : \tn2

t . T , .

2 \ fP22 nl , • l ! 0

t ~ 0

\ ' t I ,

n-d \Pn2

Nu is ook

/1 .T ;.;...1 .0 0 0 0 \ '

\ ! 0 t22 t2 \ I 0 I p22 i 11! ! ; 0 ! . i ! • . . i . \ 0 I .

\0 t t ! \ 0 pn2 n2 nnl

0 . 0

P2n

\

; t22 I l •

' 0 I • \ t \ n2

/1 I I

\ ! 0 I; i i ,, H . f \ : ! I 0

pnn! \

0 0

t22

t n2

t \ 2n \

~-

! '

tnn/

lA. I 2

\ i

' De derde matrix in het linkGrlid is weer een orthogonale ; stel die

door s1

voor. We zien nu dat (ss1

)TA(ss1

) diagonaal is; aangezien

ook ss1

orthogonaal is, is hiermee de inductiestap voltooid.

In de praktijk zal me1,1 niet de bovengeschetste methode vo}.gen. 1.':_ t

het eindresultaat blijkt n.l. ~ als a. een k- voudige wortel van de

karakteristieke vergelijking is~ dan is er een orthonormaal stel van k

eigenvectoren met eigenwaarde o: ·• Deze voldoen aan de vergelijkin<'':

(A. ~ a I)-:;;: = 0; in de oplossingsruimte daarvan heeft men een ortho:l.·J~ ··s.le

basis te kiezen.

We merken op, dat bij niet- symmetrische A de situatie niet alti-Jr; ".

zo eenvoudig is~ als a een k- voudige wortel is, behoeft er geen

k- dimensionale deelruimte te bestaan die geheel ui t eigenvectoren is

opgebouwd (voorbeeld 1 \

\ ) 0

1 I

Is een orthonormaal stelsel Van eigenv:::;e: ·, :::Gn

van de symmetrische matrix A 9 met eigenwaarden :respo

de tijbehorende kwadratische vorm

x19 .o.,

_.;.-t n ·-~ ~ 2 (.A.x 9 x) = 2.: A.~ (x, b.) •

i=1 l l

f... 9 n daE is

--.T· 4 - , ) ~~!!;i~· De vorni is x Ax ( :x als kolomvector opgevat , en dit is te

(. T -+) r_rl .:.., ( T .... ) .....,.) ( 4 ->) schrijven als .A. X X A x, X = Ax, X Wegens st. 7 is dit

n -+ _., _. (A .L: (x 9 b. )b. 9 x)

l=1 l l

n -...., ~ n---, ( 2:: (x, b.) /c. b. 9 x) = l: (x~ b. )(b.) x) A. •• . i=1 l l l i==1 l l l

~!~~~~~~-27. Een kwadratische vorm is dan en slechts dan posi tief ').efinie·

(resp. niet-negatief def.) als alle eigenwaarden van zijn matrix >O

2. 0) zijn.. ~::;::~;1~0 St. 16 en IV 9 st. 10 (respo 11).