ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG

CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 62460104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG

HUẾ - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng

hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong

luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng

được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

PHAN THẾ HẢI

2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy

hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,

Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất

nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng

dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của

mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường

Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng

Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học

tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.

Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ

Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường

Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang

thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ

Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường

Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi

chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết

và chỉnh sửa luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu

sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi

đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên

cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính

họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn

thành luận án này.

PHAN THẾ HẢI

3

MỤC LỤC

1 Kiến thức chuẩn bị 16

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ 19

1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác . 23

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . . 26

2 Môđun giả nội xạ cốt yếu 30

2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . . 32

3 Môđun ADS tổng quát 48

3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . . 50

4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 64

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn

điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Tài liệu tham khảo 94

4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU

[1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"

N Tập hợp các số tự nhiên

Z Vành các số nguyên

Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)

|X| Bản số của tập hợp X

E(M) Bao nội xạ của môđun M

EndR(M) Vành các tự đồng cấu của R-môđun M

Im(f),Ker(f) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)

Mn(R) Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R

MR (RM) M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)

M (I)⊕i∈IM (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)

M I∏i∈IM (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)

N ≤M N là môđun con của môđun M

N < M N là môđun con thực sự của môđun M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M

N M N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun M

N 'M N đẳng cấu với môđun M

N ⊕M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

rR(X), lR(X) Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong R

R[x] Vành đa thức trên vành R

Rad(M), J(R) Căn của môđun M , căn của vành R (tương ứng)

Soc(M) Đế của môđun M

Sr, Sl Soc(RR), Soc(RR)

5

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

ADS Absolute Direct Summand

bao nội xạ injective hull

bất biến đầy đủ fully invariant

bất biến đẳng cấu automorphism-invariant

chính quy regular

di truyền hereditary

đều uniform

đế socle

đế mịn socle fine

địa phương local

điều kiện dây chuyền giảm Descending Chain Condition

điều kiện dây chuyền tăng Ascending Chain Condition

đối nửa đơn co-semisimple

đơn simple

giả nội xạ pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu mạnh strongly essentially pseudo-injective

hạng tử trực tiếp direct summand

iđêan ideal

không phân tích được indecomposable

liên tục continuous

linh hóa tử annihilator

lũy đẳng idempotent

M được sinh con bởi N M is subgenerated by N

M là một vật sinh con của N M is a subgenerator for N

6

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

M sinh ra N M generates N

M -sinh M -generated

môđun cốt yếu (lớn) (large) essential module

môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous module

môđun mở rộng extending module

môđun trung thành faithful module

môđun tự do free module

môđun tự nội xạ self-injective module

môđun tựa nội xạ quasi-injective module

môđun tự sinh self-generator module

mở rộng cốt yếu essential extension

N -giả nội xạ pseudo-N -injective

N -giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo N -injective

N -nội xạ N -injective

N -nửa xạ ảnh semi-N -projective

nội xạ tương hỗ (relative) mutually injective

nửa Artin semi Artinian

nửa đơn semisimple

nửa xạ ảnh semi projective

phần bù giao complement

suy biến singular

thể (vành chia) skew field (division ring)

tựa liên tục quasi-continuous

trực giao orthogonal

vành Artin nửa đơn semisimple Artinian ring

vành nửa di truyền semihereditary ring

vành QF quasi Frobenius ring

vành tự nội xạ self-injective ring

xiclic cyclic

7

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất

hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm

nghiên cứu. Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng

chính. Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều

kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là

đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun

trên chúng). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc vành theo

hướng thứ hai.

Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất

vào năm 1940. Theo đó, một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi

môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến

đồng cấu g : N →M . Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với

mọi môđun N . Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa

ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M là

nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và được phát biểu như

sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu

f : IR →MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR →MR.

Từ khi có tiêu chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở

rộng của môđun nội xạ đã được đề cập. Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun

nội xạ từ định nghĩa gốc và từ Tiêu chuẩn Baer. Vì mục đích của luận án

này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở rộng của môđun nội xạ từ định

nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm 1961 trong [26], đó là

môđun tựa nội xạ. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ.

Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ.

Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát

của môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ (xem [38]). Theo đó, môđun

M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn

8

cấu từ A vào M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N vào M . Môđun M

được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Có thể nói môđun giả nội xạ

là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm đặc biệt của các

nhà nghiên cứu. Các công trình tiêu biểu liên quan đến môđun giả nội xạ

có thể kể đến là Singh và Jain (1967, [38]), Hallett (1971, [21]), Teply (1975,

[41]), Jain và Singh (1975, [25]), Dung-Huynh-Smith và Wisbauer (1996,

[14]), Dinh (2005, [13]), Alahmadi, Er và Jain (2005, [6]). Tổng quan chung

về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ

bao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các

tính chất của môđun tựa nội xạ; xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ

sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội

xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các tính chất riêng của môđun

giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng như vành Artin nửa

đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv. . .

Cũng cần nói thêm rằng, mặc dù môđun giả nội xạ là một mở rộng của

môđun tựa nội xạ nhưng nó có phải là một mở rộng thực sự hay không

thì chưa ai trả lời được từ năm 1967 cho đến khi xuất hiện công trình của

Hallett vào năm 1971 (xem [21]). Trong luận án tiến sĩ của mình, Hallett

đã đưa ra ví dụ về môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ. Sau đó, vì nhiều

mục đích khác nhau, Teply ([41]) cũng như Jain và Singh ([25]) đã bổ sung

nhiều ví dụ khác để chứng tỏ tồn tại một môđun giả nội xạ mà không tựa

nội xạ.

Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ

ra đời với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành

đã tạo nên động lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến

sự mở rộng của môđun này. Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội

xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]), môđun nội xạ cốt yếu (xem

[14]), môđun C2 (xem [14] và [32]), vv...

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu

một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành

9

quen thuộc. Vì vậy, chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án

là "Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".

Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.

Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã

biết nhằm sử dụng cho các chương sau.

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội

xạ cốt yếu.

Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một

trường hợp tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt

yếu (xem [6]). Theo đó, môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với

mỗi môđun con A cốt yếu của N thì mọi đơn cấu f : A→M đều mở rộng

được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là môđun giả nội xạ

cốt yếu nếuM làM -giả nội xạ cốt yếu. Trong [6], các tác giả đã nghiên cứu

một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu và các ứng dụng của nó để

đặc trưng vành Artin nửa đơn, vành QF và vành SI. Mặt khác, các tác giả

cũng đã chứng minh được rằng: Một môđun có chiều Goldie hữu hạn là giả

nội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu. Những kết quả đầu tiên mà

chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N -giả nội

xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7).

Trong [13], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều

thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng

minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3

(Định lý 2.2.11).

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,

H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả

nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên

cứu tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được

rằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ

cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu được câu trả

10

lời cho câu hỏi nêu trên là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M

là môđun giả nội xạ và CS. Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt

yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả

nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập

trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ

cốt yếu nếu vành EndR(M) là giả nội xạ cốt yếu phải.

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế

mịn nếu với bất kỳ M,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) ' Soc(N) khi và chỉ

khi M ' N (xem [24]). Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh

nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký

hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các

R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó chúng tôi chứng minh được rằng, R là vành

QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15). Trong trường

hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artin

nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn

khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16). Ngoài các tính chất liên

quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của

môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và

mở rộng vành cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý

2.2.18.

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của

môđun ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát.

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun

ADS. Theo đó, một R-môđun phảiM được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân

tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′ của S thì M = S ⊕ T ′ (xem[7]). Trong công trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái

niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục. Nhiều

kết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và

[35]. Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến

định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là

11

các môđun và X = N ⊕M thì N là M -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu

với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thì X = N ⊕K(xem [6]). Từ mối liên quan này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun

ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Một môđun M được gọi là ADS tổng

quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M và mỗi phần bù giao T ′

của S mà T ′ ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T ′. Lớp môđun ADS tổng quát là một

mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2). Trong [7], các tác

giả đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân

tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Đối với môđun

ADS tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát

thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là giả nội xạ

cốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1). Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với

môđun ADS tổng quát là tương tự với các kết quả của môđun ADS trong

[35]. Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun ADS không còn đúng

nữa đối với môđun ADS tổng quát. Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp của

môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một số

điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp

của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6).

Trong [35], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là nửa đơn nếu và

chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn

sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là

ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M

là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và

chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ

nếu mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10). Do

đó, một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS

tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát

khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát (Hệ quả 3.2.11).

Đối với trường hợp môđun 2-sinh trong σ[M ], chúng tôi đã chỉ ra rằng, một

môđun xiclic M là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là

12

ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu lại được kết

quả trong [35], đó là: R là vành Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun

phải 2-sinh là ADS. Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun

tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Trong phần cuối

của chương này, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên

quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong

Định lý 3.2.15.

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của

môđun C2, đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C). Việc nghiên cứu lớp

môđun thỏa mãn điều kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để

từ đó đặc trưng một số lớp vành quen thuộc.

Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được

Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ

hai phía. Một trong những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ

ảnh và môđun nội xạ liên quan đến vành QF là định lý Faith-Walker. Định

lý được phát biểu rằng: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải

(trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là

nội xạ. Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF đã được nhiều nhà toán

học quan tâm nghiên cứu. Cuốn sách chuyên khảo [33] được xem là cuốn

sách chứa đầy đủ thông tin nhất về vành QF. Vào năm 1967, Faith-Walker

đã chứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải

(trái) nhúng được vào một môđun tự do. Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải

nhúng được vào một môđun tự do thì R là vành QF. Một câu hỏi được

đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một

môđun tự do thì R có phải là vành QF hay không? Vành R mà mỗi R-

môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì được gọi

là vành FGF. Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết ngắn gọn

lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính là giả

thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Trong [33], các

tác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành

13

QF. Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy

vọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết FGF nói trên.

Theo [33] thì các khái niệm về vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và

C3 được đề xuất bởi Utumi vào năm 1961. Sau đó việc mở rộng tới các

môđun lần lượt thuộc về Jeremy đối với môđun C1 (năm 1971), Takeuchi

đối với môđun C2 (năm 1972), Mohammed và Bouhy đối với môđun C3

(năm 1976).

Cho M là một môđun và S = EndR(M). Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi

chứng minh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ

s ∈ S, mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp

của M . Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2,

đó là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Một môđun M được gọi là thỏa mãn

điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và

nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của

M . Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđun

thỏa mãn điều kiện (C). Một số mệnh đề tương đương với một môđun thỏa

mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10 và điều

kiện đủ cho một môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng đã được chúng tôi đề

cập trong Mệnh đề 4.1.11. Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện

(C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C). Khi môđun M

có vành các tự đồng cấu S = EndR(M) là vành địa phương thì chúng tôi

chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề 4.1.7). Đối với

môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2. Trong

Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp của

môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Khi M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) mà có sự phân tích

M = A1⊕A2 thì trong Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu

f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn Ker(f) ≤⊕ A1 thì Im(f) ≤⊕ A2.

Từ mệnh đề này, chúng tôi thu được một hệ quả về mối liên hệ giữa môđun

thỏa mãn điều kiện (C) và môđun C2 là: Nếu M ⊕M là một môđun thỏa

14

mãn điều kiện (C) thì M là môđun C2 (Hệ quả 4.1.15).

Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự

đồng cấu S = EndR(M) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M

là môđun tự sinh thì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành

thỏa mãn điều kiện (C) phải (Định lý 4.1.17).

Trong [30] và [31], các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã đưa ra các khái

niệm môđun Rickart và d-Rickart như sau: Một môđun M được gọi là

Rickart nếu ∀s ∈ S thì Ker(s) = e(M) với e2 = e ∈ S và M được gọi là

d-Rickart nếu ∀s ∈ S thì Im(s) = e(M) với e2 = e ∈ S. Mối liên hệ giữa

môđunM với tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M) cũng

đã được các tác giả trên đưa ra trong [30] và [31]. Theo đó, S là vành chính

quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2 khi và

chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2. Đối với môđun

thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S là vành

chính quy khi và chỉ khiM là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khivà chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S(Định lý 4.1.21).

Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được

chúng tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này. Khi R là vành chính

quy (theo nghĩa von Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn

điều kiện (C) được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2. Khi R là vành di

truyền, một kết quả quan trọng đã biết là, vành R là di truyền nếu và chỉ

nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Trong Định

lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R là vành di truyền phải nếu và

chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa

mãn điều kiện (C). Chúng tôi cũng thu được một số kết quả về việc đặc

trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý

4.2.5. Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng

tôi nghiên cứu trong Định lý 4.2.6.

15

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả

thiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun

unita phải hoặc trái.

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Trước hết, chúng tôi giới thiệu những ký hiệu, khái niệm và các tính

chất cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án. Những khái niệm và kết quả

cơ bản liên quan đến luận án mà không được giới thiệu ở đây chúng ta có

thể tham khảo trong các tài liệu của Anderson-Fuller ([10]), Dung-Huynh-

Smith-Wisbauer ([14]), Kasch ([28]), Lam ([29]), Nicholson-Yousif ([33]) và

Wisbauer ([42]).

Với vành R đã cho, ta viết MR (RM) để chỉ M là một R-môđun phải

(t.ư., trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn

về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR. Chúng tôi

dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự)

của môđun M . Nếu A là một hạng tử trực tiếp của môđun M thì ta viết

A ≤⊕ M . Ký hiệu Mn(R) là để chỉ vành các ma trận vuông cấp n lấy các hệ

tử trên vành R. Nếu I là một tập với card(I) = α và M là một môđun, ta

sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao củaM bởiM (I) hoặcM (α), tích trực tiếp

α bản sao của M bởi M I hoặc Mα. Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm

16

trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải, đồng

cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun

phải N .

Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂M . Linh hóa tử phải của

X trong R được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau:

rR(X) = r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X .

Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X)

thay vì rR(X). Khi X = x1, x2, . . . , xn thì chúng ta viết r(x1, x2, . . . , xn)

thay vì r(x1, x2, . . . , xn). Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R. Hơn

nữa, nếu X là môđun con của M thì rR(X) là một iđêan (phải và trái) của

R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR(X) và được định

nghĩa tương tự.

Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR(M) = 0. Điều này tương

đương với việc tồn tại một đơn cấu ι : RR →M (X) với X là một tập chỉ số

nào đó.

Cho N là một môđun con của M , khi đó môđun con K của M được

gọi là phần bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn

điều kiện K ∩N = 0. Theo [10, Proposition 5.21] thì mọi môđun con trong

M luôn tồn tại phần bù giao trong M .

Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu

với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B 6= 0. Khi đó,

chúng ta cũng gọi M là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu là

A ≤e M . Một đơn cấu f : M → N được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng

cốt yếu) nếu Im(f) ≤e N . Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun con A

của môđunM được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trongM , ký hiệu là AM ,

nếu với mỗi môđun con B 6= M của M chúng ta đều có A + B 6= M . Một

toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé )

nếu Ker(g)M .

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Các

17

cặp phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1.e2 =

e2.e1 = 0.

Một kết quả về phần tử lũy đẳng liên quan đến luận án là bổ đề sau

đây:

Bổ đề 1.1.1 ([5, Lemma 5]). Cho R là một vành thỏa mãn R = ReR với

e2 = e ∈ R và M là một R-môđun phải. Đặt S = eRe và giả sử L là một

môđun con của M . Khi đó:

(1) L là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu Le là cốt yếu trong (Me)S.

(2) L là phần bù giao của K trong M nếu và chỉ nếu Le là phần bù giao

của Ke trong (Me)S.

(3) MR = L⊕K nếu và chỉ nếu (Me)S = Le⊕Ke.

ChoM vàN là cácR-môđun, theo [42, Definitions, trang 118] thì môđun

N được gọi là được sinh bởi M (M -sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn

cấu f : M (Λ) → N , với tập chỉ số Λ nào đó. Môđun M được gọi là tự sinh

nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa là với mọi môđun con N

của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N với tập chỉ số Λ nào đó. Ta

nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vật sinh

con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M -sinh.

Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các

R-môđun phải được sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun.

Rõ ràng, σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R.

Đế phải của môđunMR được kí hiệu là Soc(MR), nó là tổng các môđun

con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR. Nếu

MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0. Căn của môđun

MR được kí hiệu là Rad(MR), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại

của MR, là tổng tất cả các môđun con bé của MR. Nếu MR không chứa

môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR) = MR. Đặc biệt, chúng

18

ta đã biết Rad(RR) = Rad(RR) = J(R). Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn

kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là căn của RR.

Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M . Ta nói

L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng

A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại

n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây

chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . .

các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Dn = Dn+i với

mọi i ∈ N. Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả các

môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập

tất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC.

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của

môđun nội xạ

Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu

f : A → N , f : M → N . Khi đó người ta gọi f là một mở rộng của đồng

cấu f hoặc f mở rộng được đến đồng cấu f (hoặc f mở rộng được đến M)

nếu f(x) = f(x) với mọi x ∈ A.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng

dụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.

Một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N

thì mọi đồng cấu f : A→M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N →M .

Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ.

Nếu M là N -nội xạ với mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các

môđun M1, . . . ,Mn được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là Mj-nội xạ với

mọi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Một kết quả về môđun nội xạ liên quan đến luận

án là bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.2.1 ([32, Corollary 1.8, Corollary 1.19]). Cho môđun M =n⊕i=1

Mi.

19

Khi đó:

(1) M là A-nội xạ khi và chỉ khi Mi là A-nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n.

(2) M là tựa nội xạ khi và chỉ khiMi làMj-nội xạ với mọi i, j = 1, 2, . . . , n.

Mn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N.

Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơn

cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ

của M và ký hiệu là N = E(M). Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu

vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ.

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N -xạ ảnh nếu

với mọi toàn cấu g : N →M và mỗi đồng cấu f : P →M đều tồn tại một

đồng cấu h : P → N sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P

là N -xạ ảnh với mọi môđun N thuộc Mod-R.

Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với một

toàn cấu đối cốt yếu p : P →M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh

của M . Mặc dù mọi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh nhưng

một môđun không nhất thiết có phủ xạ ảnh. Vành R mà mọi R-môđun có

phủ xạ ảnh chính là vành hoàn chỉnh.

Sau đây là một kết quả về bao nội xạ liên quan đến sự phân tích thành

tổng trực tiếp của các môđun:

Bổ đề 1.2.2 ([33, Proposition 1.10]). Nếu M =n⊕i=1

Mi là một tổng trực

tiếp hữu hạn của các môđun. Khi đó, E(n⊕i=1

Mi) =n⊕i=1

E(Mi).

Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M , ta phải

kiểm tra xemM có là N -nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên,

trên thực tế, ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu

chuẩn Baer sau đây.

Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải

20

I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu

f : RR →MR.

Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định

nghĩa gốc và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer. Các mở rộng của môđun nội xạ

theo hướng từ định nghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội

xạ, FP-nội xạ, vv... Các mở rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là

môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv ...

Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng

của môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ.

Cho R là một vành và M , N là các R-môđun phải. Khi đó, theo [25],

một môđun M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N

thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .

Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Hai môđun M và

N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả

nội xạ. Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giả

nội xạ.

Mặt khác, theo [6], một môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu

với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở

rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt

yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Hai môđun M và N được gọi là giả

nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội

xạ cốt yếu. Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một

môđun giả nội xạ cốt yếu.

Nhiều kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu đã được các tác

giả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6]. Tuy nhiên, vì mục đích riêng của

luận án, chúng tôi chỉ đưa ra một số kết quả sau đây:

Bổ đề 1.2.3 ([6, Proposition 2.2]). Cho M và N là các môđun và X =

N ⊕M. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

21

(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.

(2) Với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thì X =

N ⊕K.

Bổ đề 1.2.4 ([6, Proposition 2.3]). Nếu N là M -giả nội xạ cốt yếu thì mỗi

hạng tử trực tiếp của N là M -giả nội xạ cốt yếu.

Bổ đề 1.2.5 ([6, Proposition 2.4]). Cho M và N là các môđun. Khi đó, các

điều kiện sau đây là tương đương:

(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.

(2) N làM

L-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của M .

Bổ đề 1.2.6 ([6, Theorem 2.7]). Nếu M ⊕ N là M -giả nội xạ cốt yếu thì

N là M -nội xạ.

Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các

vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3. Sau đó, việc mở rộng từ các vành

C1, C2 và C3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed

và Bouhy. Để giới thiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở

rộng của nó, trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với

môđun:

Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M , tồn

tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B.

Điều kiện C2 : Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực

tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .

Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn

A ∩B = 0 thì A⊕B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .

Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một môđun. Khi đó:

(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1. Môđun C1

còn được gọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng.

22

(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2. Môđun C2

còn được gọi là môđun nội xạ trực tiếp.

(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3.

(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và

C2.

(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1

và C3. Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π-nội xạ.

Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi,

Jain và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS. Theo đó, một R-

môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và

với mỗi phần bù giao T ′ của S, chúng ta có M = S ⊕ T ′ (xem [7]). Nhiều

kết quả về môđun ADS đã được các tác giả nghiên cứu trong [7] và [35].

1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan

trọng khác

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR

là môđun Artin, Noether (tương ứng).

Định lý 1.3.2 ([28, Theorem 6.5.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với vành R:

(1) R là vành Noether phải.

(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ.

(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun phải đơn

là nội xạ.

Định nghĩa 1.3.3. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất

một iđêan phải (hoặc trái) cực đại.

23

Một kết quả của vành địa phương liên quan đến sự phân tích của một

môđun thành tổng trực tiếp của các môđun con mà được sử dụng trong

luận án là bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.3.4 ([10, Lemma 26.4]). Cho M là một môđun có sự phân tích

M = K ⊕ L. Giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn N =

N1 ⊕ · · · ⊕Nn trong đó mỗi End(Ni) là một vành địa phương. Khi đó, tồn

tại các hạng tử trực tiếp K ′ của K và L′ của L sao cho M = N ⊕K ′⊕L′.

Định nghĩa 1.3.5. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von

Neumann) nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.

Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn(K) với K là một trường là

những vành chính quy. Sau đây, chúng tôi nhắc lại một tính chất quan

trọng liên quan đến vành chính quy.

Bổ đề 1.3.6 (McCoy’s Lemma, [37, Lemma 2.1]). Cho R là vành và a, b ∈ Rmà c = a− aba là một phần tử chính quy thì a là phần tử chính quy.

Các vành chính quy có các đặc trưng quan trọng sau đây:

Định lý 1.3.7 ([18, Theorem 1.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với vành R:

(1) R là một vành chính quy.

(2) Mọi iđêan phải (trái) xiclic là hạng tử trực tiếp của RR (RR).

(3) Mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR (RR).

Bổ đề 1.3.8 ([27, Lemma 4]). Cho R là một vành chính quy. Nếu R-môđun

M là xạ ảnh thì mọi môđun con hữu hạn sinh của M là hạng tử trực tiếp

của M .

Định nghĩa 1.3.9. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải)

nếu mỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh.

24

Các khái niệm về vành di truyền (nửa di truyền) trái hoặc hai phía được

định nghĩa hoàn toàn tương tự.

Rõ ràng, các vành chính quy là nửa di truyền (phải và trái). Các vành

Artin nửa đơn, vành ma trận tam giác trên trên một thể là di truyền phải

và trái (xem [29, 2.36]).

Các vành di truyền (một phía) có đặc trưng tiêu biểu sau đây:

Định lý 1.3.10 ([29, Corollary 2.26 và Theorem 3.22]). Các điều kiện sau

đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành di truyền phải.

(2) Mọi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ.

(3) Mọi môđun con của một R-môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh.

Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ

lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm

1939. Cho đến nay, đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ

ra. Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan trọng trong lý thuyết vành kết

hợp không giao hoán, đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.

Vành QF được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.11. Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành

QF) nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số đặc trưng của lớp vành này bằng

cách giảm nhẹ tính tự nội xạ (xem [33]).

Định lý 1.3.12. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius.

(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.

(3) R là vành Noether phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.

25

Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ,

xạ ảnh là định lý Faith-Walker sau đây:

Định lý 1.3.13 ([33, Theorem 7.56]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius.

(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh.

(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin.

Định nghĩa 1.3.14. Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđun

thương khác không có đế khác không. Một vành R được gọi là vành nửa

Artin phải nếu RR là môđun nửa Artin.

Sau đây là một số đặc trưng của vành nửa Artin.

Định lý 1.3.15 ([33, Lemma B.31]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với vành R:

(1) R là vành nửa Artin phải.

(2) Mọi R-môđun phải khác không có đế cốt yếu.

(3) Mọi R-môđun phải khác không có môđun con đơn.

(4) Mọi R-môđun phải là nửa Artin.

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1. Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng hai

môđun con là 0 và M .

26

Định nghĩa 1.4.2. Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tích

được thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Một vành R được gọi là

nửa đơn phải (trái) nếu RR (RR) là môđun nửa đơn.

Đối với môđun nửa đơn, chúng tôi giới thiệu một đặc trưng quan trọng

sau đây:

Bổ đề 1.4.3 ([14, 7.14], [42, 20.2]). Cho M là một R-môđun phải. Khi đó,

các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là môđun nửa đơn.

(2) Mọi R-môđun N là M -nội xạ.

(3) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M .

(4) Mỗi môđun trong σ[M ] là M -nội xạ.

(5) Mỗi môđun xiclic trong σ[M ] là M -nội xạ.

Khi nghiên cứu vành nửa đơn, chúng ta không cần đề cập đến phía của

nó nhờ định lý sau đây:

Định lý 1.4.4 ([23, Theorem 2.2.5]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với vành R:

(1) R là nửa đơn phải.

(2) R là nửa đơn trái.

(3) Mọi R-môđun phải M là nửa đơn.

(4) Mọi R-môđun trái M là nửa đơn.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại ở đây một số đặc trưng quan trọng của

vành nửa đơn liên quan đến phạm trù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực

tiếp vành, vành chính quy và vành Artin.

27

Định lý 1.4.5. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun

phải (trái) xiclic là nội xạ.

Định lý 1.4.6. (Wedderburn-Artin). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó

là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể.

Định lý 1.4.7. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy và

không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.

Định lý 1.4.8. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái

và J(R) = 0.

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã

có lúc Jacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J(R) = 0 và cho

đến nay vẫn còn một số nhà toán học sử dụng định nghĩa này. Chính vì thế,

để khỏi nhầm lẫn, từ Định lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửa

đơn trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn. Trong luận án này, kể từ

đây về sau, chúng tôi gọi vành nửa đơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vành

Artin nửa đơn.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi tổng hợp các mối quan hệ

giữa các môđun và các vành đã được đề cập ở trên bởi các sơ đồ sau đây:

1. Sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun

Giả nội xạ cốt yếu C3 ⇐ ⇐⇑ ⇑ ⇑

Giả nội xạ ⇒ C2 ADS

⇑ ⇑ ⇑Nửa đơn ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục

⇑ ⇑ ⇓Đơn Nội xạ C1

28

2. Sơ đồ về mối quan hệ giữa các vành

Nửa Artin (trái)

⇑QF ⇒ Artin (phải) ⇒ Noether (phải)

⇑Artin nửa đơn ⇒ Di truyền phải

⇓ ⇓Chính quy ⇒ Nửa di truyền phải

29

CHƯƠNG 2

Môđun giả nội xạ cốt yếu

Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun

giả nội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jain

nghiên cứu trong [6]. Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn,

vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn cũng được đưa ra. Các kết quả

chính của chương này là Định lý 2.2.11, Định lý 2.2.12, Định lý 2.2.15, Định

lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17. Chương này được viết trong [2] và [34].

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về môđun giả nội xạ cốt yếu

đã được Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6] như sau:

Định nghĩa 2.1.1. Cho M và N là các R-môđun phải. Khi đó:

(1) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A

của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu

g : N →M .

(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu.

(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là

N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu.

(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun

giả nội xạ cốt yếu.

30

Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N -giả nội xạ thì M là N -giả nội

xạ cốt yếu. Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu.

Ví dụ 2.1.2. Xét các Z-môđun Zp2, Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên

tố và 2 ≤ n ∈ N. Khi đó:

(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu.

(2) Zp3 là Zp2-giả nội xạ cốt yếu.

(3) Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (1). Theo [33, trang 9] thì Z-môđun Zn là tựa nội xạ, do đó

nó là môđun giả nội xạ cốt yếu.

(2). Vì môđun Zp2 chỉ có 3 môđun con làp2Zp2Z

= 0,pZp2Z

vàZp2Z

= Zp2 nên

trong các Z-đơn cấu từ các môđun con của Zp2 đến Zp3, ta chỉ xét Z-đơn cấu

f :pZp2Z→ Zp3. Giả sử f(p) = b ∈ Zp3, khi đó ta có f(p.p) = f(0) = 0 = pb.

Vậy, b = 0 hoặc b = p2. Vì f là đơn cấu nên b = p2 và như vậy chỉ có một

đơn cấu duy nhất f :pZp2Z→ Zp3 là đơn cấu được xác định bởi: f(0) = 0 và

f(p) = p2. Bây giờ ta chọn ánh xạ g : Zp2 → Zp3 được xác định g(a) = pa

với mọi a ∈ Zp2. Khi đó, g là một Z-đồng cấu. Hơn nữa, với x ∈ pZp2Z

thì

x = mp với m = 0, 1, . . . , p− 1. Khi đó g(x) = mp2 = f(x). Từ đó suy ra,

g là một mở rộng của đồng cấu f . Vì vậy, Zp3 là Zp2-giả nội xạ cốt yếu.

(3). Ta lấy một môđun con cốt yếu của Zp3 làpZp3Z

. Xét đơn cấu f :

pZp3Z→ Zp2 được xác định f(a) = (

a

p) với mọi a ∈ pZ

p3Z. Giả sử đồng cấu

g : Zp3 → Zp2 là một mở rộng của đơn cấu f . Khi đó, giả sử g(1) = b ∈ Zp2thì pb = pg(1) = g(p.1) = g(p) = f(p) = 1. Vậy pb = 1 với b ∈ Zp2. Tuynhiên, trong Zp2 thì phương trình pb = 1 không có nghiệm nên không tồn

tại đồng cấu g là một mở rộng của f . Vậy, Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt

yếu.

31

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt

yếu

Kết quả đầu tiên mà chúng tôi thu được về môđun N -giả nội xạ cốt yếu

là mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 2.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun

M và N :

(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu.

(2) Với mỗi R-môđun phải A, với mỗi đơn cấu cốt yếu bất kỳ g : A → N

và đơn cấu f : A → M thì luôn tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho

f = gh.

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho A là R-môđun phải, g : A → N là một đơn

cấu cốt yếu và f : A→ M là một đơn cấu. Từ g : A→ N là một đơn cấu

cốt yếu, chúng ta có g(A) ≤e N . Chúng ta chọn đồng cấu f ′ : g(A) → M

sao cho f ′(g(a)) = f(a) với mọi a ∈ A. Rõ ràng f ′ là đơn cấu. Do M là

N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho h|g(A)= f ′.

Vì vậy, với mọi a ∈ A chúng ta có (hg)(a) = h(g(a)) = f ′(g(a)) = f(a).

Suy ra f = gh.

(2)⇒ (1). Khi A ≤e N , lúc đó với mọi đơn cấu f : A→M thì ta chọn

đơn cấu cốt yếu g : A → N là đơn cấu chính tắc. Theo giả thiết, luôn tồn

tại đồng cấu h : N → M là mở rộng của đơn cấu f . Do vậy, M là N -giả

nội xạ cốt yếu.

Theo [33, trang 8], một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy

đủ trong M nếu f(N) ≤ N với mọi f ∈ EndR(M).

Trong [6, Corollary 2.12], các tác giả đã chứng minh được rằng, một

môđun M là giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến đầy đủ qua các

đơn cấu trong EndR(E(M)). Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra

32

rằng, một môđun M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu α(N) ≤M với

mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).

Định lý 2.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun

M và N :

(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu.

(2) α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α : E(N) → E(M) là một đơn cấu. Đặt

A = N ∩ α−1(M) thì A ≤e N và α(A) ≤ M . Thật vậy, lấy 0 6= x ∈ N , do

α là đơn cấu nên 0 6= α(x) ∈ E(M). Vì M ≤e E(M) nên tồn tại r ∈ Rđể 0 6= α(x)r = α(xr) ∈ M . Do đó 0 6= α−1(α(xr)) = xr ∈ α−1(M).

Mặt khác, vì x ∈ N nên xr ∈ N . Do vậy xr ∈ A hay A ≤e N . Như vậy,

A ≤e N và α là đơn cấu từ A → M . Theo (1) thì tồn tại R-đồng cấu

g : N →M sao cho g(a) = α(a) với mọi a ∈ A. Bây giờ chúng ta sẽ chứng

minh g(n) = α(n) với mọi n ∈ N .

Thật vậy, giả sử tồn tại n0 ∈ N sao cho g(n0) 6= α(n0). Đặt x =

g(n0) − α(n0) ∈ E(M) thì x 6= 0. Do M ≤e E(M) nên tồn tại r ∈ R sao

cho 0 6= xr = g(n0r) − α(n0r) ∈ M . Điều này chứng tỏ α(n0r) ∈ M hay

n0r ∈ α−1(M). Vì n0r ∈ N nên n0r ∈ N ∩ α−1(M) hay n0r ∈ A. Do đó,

α(n0r) = g(n0r) hay g(n0r) − α(n0r) = xr = 0, kết quả này mâu thuẫn

với xr 6= 0. Do vậy, α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).

(2)⇒ (1). Cho A ≤e N và f : A→M là một đơn cấu. Vì A ≤e N nên

E(A) = E(N), do đó tồn tại đơn cấu g : E(N) → E(M) sao cho g|A = f .

Theo (2) thì g(N) ≤ M và g là mở rộng cần tìm của f , có nghĩa M là

N -giả nội xạ cốt yếu.

Ví dụ 2.2.3. Xét các Z-môđun Zp2 và Z⊕ Zp3. Khi đó, Zp2 là Z⊕ Zp3-giảnội xạ cốt yếu.

Chứng minh. Ta có E(Zp2) = E(Zp3) = Zp∞ và E(Z) = Q nên theo Bổ đề

1.2.2, ta có E(Z ⊕ Zp3) = E(Z) ⊕ E(Zp3) = Q ⊕ Zp∞. Xét đơn cấu khác

33

không f : Q⊕Zp∞ → Zp∞. Giả sử f không toàn cấu thì f(Q⊕Zp∞) là một

môđun con thực sự của Zp∞. Nhưng theo [42, (2), 17.13 ] thì f(Q⊕Zp∞) là

hữu hạn. Vì f đơn cấu nên f(Q⊕ Zp∞) ' Q⊕ Zp∞. Do Q⊕ Zp∞ là tập vô

hạn nên sự đẳng cấu trên là vô lý. Vậy f là một đẳng cấu.

Nếu f(Q) 6= Zp∞ thì lại theo [42, (2), 17.13 ], ta có f(Q) hữu hạn nhưng

f(Q) ' Q trong đó Q là tập vô hạn nên vô lý. Vậy f(Q) = Zp∞. Tuy nhiên,

f(Q ⊕ Zp∞) = Zp∞ nên f(Q) = f(Q ⊕ Zp∞). Từ đó suy ra Q = Q ⊕ Zp∞.Điều này là vô lý. Do đó, không có đơn cấu nào từ Q ⊕ Zp∞ → Zp∞ và ta

chỉ có đồng cấu không. Vì vậy, theo Định lý 2.2.2, ta có Zp2 là Z⊕ Zp3-giảnội xạ cốt yếu.

Nhận xét 2.2.4. Từ Ví dụ 2.1.2, ta có Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt

yếu, do đó Zp2 không là Zp3-giả nội xạ. Vì vậy, theo [13, Proposition 2.1] thì

Zp2 không là Z ⊕ Zp3-giả nội xạ. Tuy nhiên, từ Ví dụ 2.2.3 ta lại có Zp2 là

Z⊕ Zp3-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, khái niệm "M là N -giả nội xạ cốt yếu"

là một mở rộng thực sự của khái niệm "M là N -giả nội xạ".

Từ Định lý 2.2.2, khi cho M = N , chúng tôi thu được hệ quả dưới đây

là nội dung của [6, Corollary 2.12].

Hệ quả 2.2.5 ([6, Corollary 2.12]). Các điều kiện sau đây là tương đương

đối với môđun M :

(1) M là giả nội xạ cốt yếu.

(2) α(M) ≤M với mỗi tự đơn cấu α của E(M).

Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như

các kết quả trong [13, Proposition 2.1] về môđun giả nội xạ.

Mệnh đề 2.2.6. Cho M và N là các môđun. Khi đó:

(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếu

với mọi K là môđun con cốt yếu của N .

34

(2) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' N , thì M là K-giả nội xạ cốt

yếu.

(3) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' M thì K là N -giả nội xạ cốt

yếu.

(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu tồn tại

một đẳng cấu giữa các môđun con A và B trong đó A ≤e N và B ≤e Mthì M ' N .

(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu E(A) 'E(B) thì mỗi đẳng cấu từ E(A)→ E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu

từ A→ B. Hơn nữa, A và B là giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (1) (⇒). Cho L ≤e K ≤e N và f : L → M là một đơn cấu.

Vì E(L) = E(K) = E(N) nên tồn tại đơn cấu g : E(N)→ E(M) sao cho

g|L = f . Do M là N -giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.2, chúng ta có

g(N) ≤M . Từ đó suy ra g(K) ≤M và vì vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu.

(⇐). Khi M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con cốt yếu K của

N thì hiển nhiên M là N -giả nội xạ cốt yếu.

(2). Cho M là N -giả nội xạ cốt yếu và g : K → N là một đẳng cấu, ta

cần chứng minh M là K-giả nội xạ cốt yếu. Đặt L ≤e K thì g(L) ≤e N .

Xét đơn cấu f : L → M , khi đó tồn tại một đơn cấu fg′ : g(L) → M ,

trong đó g′ : g(L) → L là một đơn cấu. Vì M là N -giả nội xạ cốt yếu nên

đơn cấu fg′ có thể mở rộng được đến đồng cấu h : N → M . Khi đó đồng

cấu hg : K → M thỏa mãn hg(l) = fg′(g(l)) = f(l) với mọi l ∈ L nên

hg : K →M là một mở rộng của f . Vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu.

(3). Giả sử M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' M , ta cần chứng minh

K là N -giả nội xạ cốt yếu. Gọi A là môđun con cốt yếu trong N , xét đơn

cấu f : A → K và g : K → M là một đẳng cấu. Đặt h = gf : A → M .

Hiển nhiên h là đơn cấu. VìM là N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu

t : N → M sao cho t(a) = h(a) với mọi a ∈ A. Ta đặt u = g−1t : N → K

35

thì u là một đồng cấu. Với mọi a ∈ A ta có u(a) = g−1t(a) = g−1h(a) =

g−1gf(a) = f(a), vậy u là đồng cấu mở rộng của đơn cấu f nên K là N -giả

nội xạ cốt yếu.

(4). Cho f : A → B là một đẳng cấu. Vì A ≤e N và B ≤e M nên tồn

tại một đẳng cấu g : E(N)→ E(M) sao cho g|A = f . Như vậy, ta có 2 đơn

cấu là g : E(N) → E(M) và g−1 : E(M) → E(N). Theo Định lý 2.2.2,

chúng ta có g(N) ≤ M và g−1(M) ≤ N . Vậy g|N : N → M là một đẳng

cấu.

(5). Cho g : E(A)→ E(B) là một đẳng cấu. VìB là A-giả nội xạ cốt yếu

nên theo Định lý 2.2.2, ta có g(A) ≤ B. Tương tự ta cũng có g−1(B) ≤ A.

Do đó B = (gg−1)(B) = g(g−1(B)) ≤ g(A) ≤ B. Vậy g(A) = B và ta có

g|A : A → B là một đẳng cấu. Hơn nữa, từ A là B-giả nội xạ cốt yếu và

B ' A nên theo (2) chúng ta suy ra A là A-giả nội xạ cốt yếu hay A là

giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự, ta cũng có B là giả nội xạ cốt

yếu.

Trong Bổ đề 1.4.3 ta có, N là môđun nửa đơn khi và chỉ khiM là N -nội

xạ với mọi môđunM . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được

một kết quả mở rộng sau đây:

Định lý 2.2.7. Cho M và N là các môđun. Khi đó:

(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi

môđun M .

(2) Giả sử N = A ⊕ B và M = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D.

Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (1) (⇒). Khi N là môđun nửa đơn thì theo Bổ đề 1.4.3, mọi

R-môđun M là N -nội xạ. Do đó, với mọi R-môđun M thì M là N -giả nội

xạ cốt yếu.

(⇐). Cho A ≤ N , khi đó tồn tại C ≤ N sao cho A ⊕ C ≤e N . Giả sử

36

rằng ι : A ⊕ C → N là một đồng cấu bao hàm. Vì M là N -giả nội xạ cốt

yếu với mọi môđun M nên A ⊕ C là N -giả nội xạ cốt yếu, do đó tồn tại

f : N → A⊕ C sao cho fι = 1A⊕C . Theo [3, Mệnh đề 3.15, trang 30] thì ι

chẻ ra hay ι(A⊕C) = A⊕C ≤⊕ N . Giả sử N = (A⊕C)⊕N ′ với N ′ ≤ N

thì do A⊕ C ≤e N nên N ′ = 0. Vậy ta có N = A⊕ C. Điều này chứng tỏ

A ≤⊕ N . Theo Bổ đề 1.4.3 thì ta có N là môđun nửa đơn.

(2). Vì B được nhúng trong D nên tồn tại đơn cấu α : B → D. Giả sử

H ≤e A và f : H → C là một đơn cấu. Thế thì, f⊕α : H⊕B →M = C⊕Dlà một đơn cấu. Hơn nữa, theo [10, Proposition 5.20] thìH⊕B ≤e A⊕B hay

H⊕B ≤e N . VìM là N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu g : N →M

sao cho g là mở rộng của f ⊕ α. Đặt f = πgι : A → C với π : M → C là

phép chiếu và ι : A→ N là đồng cấu bao hàm. Khi đó, với mọi h ∈ H thì

f(h) = πgi(h) = πg(h + b) = π(f ⊕ α)(h + b) = π(f(h) + α(b)) = f(h).

Vì vậy, f |H = f . Do đó C là A-giả nội xạ cốt yếu.

Hệ quả 2.2.8. Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu là

giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. Hệ quả được suy ra một cách trực tiếp từ Định lý 2.2.7 khi ta

cho M = N , A = C và B = D.

Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu.

Định lý 2.2.9. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu.

(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến

đầy đủ dưới các đơn cấu của EndR(M).

(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (1)⇒ (2). Cho f ∈ EndR(M) là một đơn cấu và H là môđun

con cốt yếu của M . Khi đó tồn tại một đơn cấu g của E(M) sao cho g

37

là mở rộng của f . Do E(H) = E(M) nên g cũng chính là đơn cấu từ

E(H) → E(H). Theo giả thiết, mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt

yếu nên H là giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H.

Do g là mở rộng của f nên f(H) ≤ H. Vậy H là bất biến đầy đủ dưới đơn

cấu của EndR(M).

(2) ⇒ (3). Cho H là một môđun con cốt yếu của M . Giả sử A ≤e Hvà f : A → H là một đơn cấu. Khi đó, tồn tại một đơn cấu g của E(M)

là một mở rộng của f . Vì E(M) = E(H) nên g là một đơn cấu của E(H).

Theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H và vì vậy g là mở rộng của f hay H là

môđun giả nội xạ cốt yếu.

(3) ⇒ (1). Giả sử rằng H là một môđun con của M . Khi đó, tồn tại

một môđun K của M sao cho H ⊕ K ≤e M . Theo (3) thì H ⊕ K là giả

nội xạ cốt yếu và do đó theo Hệ quả 2.2.8, H cũng là môđun giả nội xạ cốt

yếu.

Theo Hệ quả 2.2.8 thì mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ

cốt yếu là giả nội xạ cốt yếu. Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun

giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một

số điều kiện.

Định lý 2.2.10. Cho M = M1 ⊕M2 và E(M1), E(M2) là các môđun con

bất biến đầy đủ dưới các tự đơn cấu của E(M). Khi đó M là giả nội xạ cốt

yếu khi và chỉ khi M1,M2 là giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (⇒). Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.8.

(⇐). Vì M = M1 ⊕M2 nên theo Bổ đề 1.2.2, ta có E(M) = E(M1)⊕E(M2). Lấy α : E(M)→ E(M) là một đơn cấu. Khi đó, do E(M1), E(M2)

là các môđun con bất biến đầy đủ dưới các đơn cấu của E(M) nên α|E(Mi) :

E(Mi) → E(Mi) là đơn cấu với i = 1; 2. Từ M1,M2 là giả nội xạ cốt yếu

38

nên theo Hệ quả 2.2.5, ta có:

α(M) = α(M1 +M2)

= α(M1) + α(M2)

= α|E(M1)(M1) + α|E(M2)(M2)

≤M1 +M2 = M.

Lại theo Hệ quả 2.2.5, ta có M là giả nội xạ cốt yếu.

Trong [13, Theorem 2.6], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun

giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,

chúng tôi chứng minh được:

Định lý 2.2.11. Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3.

Chứng minh. Cho M là một môđun giả nội xạ cốt yếu, giả sử A và B là

2 hạng trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0. Chúng ta cần chứng minh

A⊕B cũng là hạng tử trực tiếp của M .

Vì A ≤⊕ M nên ta có M = A ⊕ A′. Đặt π : M → A′ là phép chiếu

chính tắc. Vì A ⊕ B ≤ M nên tồn tại C là môđun con của M sao cho

(A⊕ B) ∩ C = 0 và A⊕ B ⊕ C ≤e M . Đặt D = B ⊕ C, khi đó A⊕D =

A⊕ π(D). Thật vậy, với x ∈ A⊕ π(D) thì x = a+ π(d) trong đó a ∈ A và

d ∈ D. Giả sử d = a1 + a′1 với a1 ∈ A; a′1 ∈ A′ thì x = a + π(a1 + a′1) =

a+ a′1 = a+ d− a1 = (a− a1) + d ∈ A⊕D. Mặt khác, với mọi x ∈ A⊕Dthì x = a + d trong đó a ∈ A và d ∈ D. Giả sử d = a1 + a′1 với a1 ∈ A;a′1 ∈ A′ thì x = a + d = a + (a1 + a′1) = (a + a1) + a′1 ∈ A ⊕ π(D). Vậy

A ⊕ π(D) = A ⊕D. Hơn nữa, π|D : D → π(D) là một đẳng cấu. Do vậy,

1A ⊕ π|D : A ⊕D → A ⊕ π(D) là một đẳng cấu. Do M là môđun giả nội

xạ cốt yếu và A⊕D là cốt yếu trong M nên 1A⊕ π|D mở rộng được tới tự

đẳng cấu g của M . Vì B ≤⊕ M và π(B) = g(B) ≤⊕ M nên π(B) ≤⊕ A′.Giả sử A′ = π(B) ⊕ A′′, khi đó ta có M = A ⊕ A′ = A ⊕ π(B) ⊕ A′′. Vìvậy, A⊕π(B) ≤⊕ M . Mặt khác, bằng việc chứng minh tương tự như chứng

minh A ⊕ π(D) = A ⊕ D, ta cũng có A ⊕ B = A ⊕ π(B), do đó ta được

A⊕B ≤⊕ M .

39

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,

trong [13, Question 3.5], H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không

suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Trong

định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng, một môđun M là tựa

nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS. Từ đó chúng

tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H. Q. Dinh.

Định lý 2.2.12. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt

yếu và CS.

Chứng minh. (⇒). Khi M là môđun tựa nội xạ thì hiển nhiên M là giả nội

xạ cốt yếu và CS.

(⇐). Vì M là giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.11 ta có M

thỏa mãn điều kiện C3, do đó M là tựa liên tục. Mặt khác, với mọi f ∈EndR(E(M)) thì do E(M) là môđun liên tục nên theo [11, Theorem 3.9],

ta có f = e + g trong đó e2 = e ∈ EndR(E(M)) và g ∈ Aut(E(M)). Vì

môđun E(M) là tựa nội xạ nên theo [33, Lemma 1.15] ta có g(M) ≤ M .

Hơn nữa, vìM là tựa liên tục nên theo [32, Theorem 2.8], ta có e(M) ≤M .

Do đó, f(M) = e(M) + g(M) ≤M . Lại theo [33, Lemma 1.15], ta có M là

tựa nội xạ.

Hệ quả 2.2.13. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và

CS.

Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu

và vành các tự đồng cấu của nó.

Định lý 2.2.14. Cho M là một môđun tự sinh. Nếu EndR(M) là giả nội

xạ cốt yếu phải thì M là giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. Đặt S = EndR(M), giả sử A ≤e M và f : A→M là một đơn

cấu. Đặt I = g ∈ S| g(M) ≤ A. Chúng ta sẽ chứng minh rằng I là một

iđêan phải cốt yếu của S. Thật vậy, với mọi m ∈M , g ∈ I và s ∈ S thì ta

40

có gs(m) ∈ g(M) ≤ A. Vậy I là một iđêan phải của S. Mặt khác, với mọi

0 6= s ∈ S, thì tồn tại m0 ∈M để 0 6= s(m0) ∈M . Vì A ≤e M nên tồn tại

r ∈ R sao cho 0 6= (s(m0))r ∈ A, do đó s(m0r)R ≤ A hay s(m0rR) ≤ A.

Mặt khác, vìM là môđun tự sinh nên theo [4, Mệnh đề 1.2.4, trang 45] chúng

ta có thể viết m0rR =∑

u∈K⊆Su(M). Nếu m0rR = 0 thì m0r = 0, suy ra

s(m0r) = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. D đó, m0rR 6= 0, suy ra tồn

tại u ∈ K sao cho 0 6= su(M) ≤ A và do đó 0 6= su ∈ I hay I ≤e S. Bây giờ,

ta xét S-đồng cấu φ : I → SS được xác định bởi φ(g) = fg. Do f là một đơn

cấu nên φ cũng là một S-đơn cấu. Vì S là giả nội xạ cốt yếu phải nên tồn tại

đồng cấu φ là mở rộng của đồng cấu φ. Giả sử φ(g) = fg với f ∈ S và g ∈ S.Khi đó, với mọi g ∈ I thì fg = fg. Với mỗi a ∈ A, tồn tại u1, . . . , uk ∈ I,m1, . . . ,mk ∈ M sao cho a = u1(m1) + · · · + uk(mk). Do đó chúng ta có

f(a) = fu1(m1) + · · ·+ fuk(mk) = fu1(m1) + · · ·+ fuk(mk) = f(a).

Vì vậy f là mở rộng của f .

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, theo [24, trang

398], Ω được gọi là đế mịn nếu với bất kỳM,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) 'Soc(N) khi và chỉ khi M ' N .

Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N -giả

nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các

R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ

ảnh.

Trong [24, Theorem 3.3], các tác giả đã chứng minh được rằng, R là vành

QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R-môđun xạ ảnh hoặc lớp các R-môđun nội

xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi cũng thu

được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 2.2.15. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành QF.

(2) Lớp PR ∪ SE là đế mịn.

41

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Nếu R là QF thì theo Định lý 1.3.13, ta có mọi

R-môđun xạ ảnh là nội xạ. Vì vậy PR ∪ SE = SE .

Bây giờ, giả sử M và N là hai môđun thuộc lớp SE mà Soc(M) 'Soc(N) thì ta có E(Soc(M)) ' E(Soc(N)). Mặt khác, do R là Artin nên R

là nửa Artin phải. Vì vậy, từ [4, Mệnh đề 2.2.2, trang 141], ta có Soc(M) ≤e

M và Soc(N) ≤e N . Theo Mệnh đề 2.2.6 (4), ta có M ' N .

Ngược lại, nếu M ' N thì theo [4, Định lý 1.1.5, trang 103], ta có

Soc(M) ' Soc(N). Do vậy, lớp PR ∪ SE là đế mịn.

(2)⇒ (1). Cho P là R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó P ∈ PR và E(P ) ∈SE và Soc(P ) = Soc(E(P )). Theo (2), chúng ta có P ' E(P ). Vì E(P )

nội xạ nên P là nội xạ. Điều này chứng tỏ R là vành QF.

Trong [24, Theorem 2.1], mối quan hệ giữa vành Artin nửa đơn R với

các R-môđun nội xạ đã được các tác giả chỉ ra là: R là Artin nửa đơn khi

và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun nội xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội

xạ cốt yếu và giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi cũng thu được các kết quả

tương tự sau đây:

Định lý 2.2.16. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn.

(2) Lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.

(3) Lớp SE là đế mịn.

Chứng minh. (1)⇒ (2). Vì R là vành Artin nửa đơn nên theo [10, Proposi-

tion 13.9] ta có mọi R-môđun phảiM là nửa đơn. Do đó ta có Soc(M) = M .

Điều này chứng tỏ khi R là vành Artin nửa đơn thì lớp R-môđun là đế mịn.

Do đó lớp tất cả các môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.

(2)⇒ (3). Giả sử M,N ∈ SE thì M và N thuộc lớp môđun giả nội xạ

cốt yếu. Theo (2) thì Soc(M) ' Soc(N) ⇔ M ' N . Do đó, lớp SE là đế

mịn.

42

(3) ⇒ (1). Rõ ràng Soc(E(RR)) = Soc(RR) = Soc(Soc(RR)). Vì

E(RR) và Soc(RR) là giả nội xạ cốt yếu nên theo (3), chúng ta nhận

được E(RR) ' Soc(RR). Điều đó suy ra rằng E(RR) là nửa đơn và do

RR ≤ E(RR) nên R là nửa đơn.

Theo Fuller trong [17], một môđun M được gọi là đối nửa đơn nếu mỗi

môđun con thực sự của M là giao của các môđun con cực đại. R được gọi

là vành đối nửa đơn nếu môđun phải RR là một môđun đối nửa đơn. Theo

[22, Proposition 3.1] thì M là một môđun đối nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi

R-môđun đơn là M -nội xạ.

Định lý 2.2.17. Cho R là một vành. Khi đó:

(1) Mỗi tổng trực tiếp của 2 môđun giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ

cốt yếu khi và chỉ khi mỗi môđun giả nội xạ cốt yếu là nội xạ.

(2) Mở rộng cốt yếu của một R-môđun phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu

khi và chỉ khi R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.

Chứng minh. (1) (⇒). ChoM là môđun giả nội xạ cốt yếu. Khi đó theo giả

thiết, ta có M ⊕E(M) là một môđun giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Định

lý 2.2.11, môđun M ⊕E(M) thỏa mãn điều kiện C3. Xét đơn cấu chính tắc

i : M → E(M) thì từ [8, Proposition 2.3], ta có M ≤⊕ E(M). Do hạng tử

trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ nên ta được M là nội xạ.

(⇐). Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu. Theo giả thiết

thì M và N là các môđun nội xạ. Do vậy M ⊕ N là nội xạ. Từ đó ta có

M ⊕N là giả nội xạ cốt yếu.

(2) (⇒). Cho M là một môđun nửa đơn, khi đó M ⊕M là môđun nửa

đơn. Vì M ⊕M ≤e M ⊕ E(M) nên M ⊕ E(M) là một mở rộng cốt yếu

của môđun nửa đơn M ⊕M . Do đó từ giả thiết ta có M ⊕ E(M) là một

môđun giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự như phần (1) ta có M là

nội xạ. Vì vậy R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.

43

(⇐). Vì R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải nên ta có mỗi

R-môđun phải nửa đơn là nội xạ. Do đó mở rộng cốt yếu của một R-môđun

phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên

quan đến mở rộng vành.

Định lý 2.2.18. Cho M là S-R-song môđun. Giả sử T =

(S M

0 R

)là giả

nội xạ cốt yếu phải. Khi đó:

(1) R là giả nội xạ cốt yếu phải.

(2) Nếu SM là trung thành thì MR là giả nội xạ cốt yếu.

Chứng minh. (1). Cho I là một iđêan phải cốt yếu của R và f : I → R

là một đơn cấu. Đặt I =

(S M

0 I

). Khi đó I là một iđêan phải cốt

yếu của T . Thật vậy, với mọi

(s1 m1

0 i

)∈ I và

(s m

0 r

)∈ T , ta có(

s1 m1

0 i

)(s m

0 r

)=

(s1s s1m+m1r

0 ir

)∈ I. Do đó I là một iđêan phải

của T . Mặt khác, với 0 6= t =

(s m

0 r

)∈ T thì:

+) Nếu s 6= 0 thì tồn tại t′ =

(1S 0

0 0

)∈ T thỏa mãn

tt′ =

(s m

0 r

)(1S 0

0 0

)=

(s 0

0 0

)∈ I và tt′ 6= 0.

+) Nếu m 6= 0 thì tồn tại t′ =

(0 0

0 1R

)∈ T thỏa mãn

tt′ =

(s m

0 r

)(0 0

0 1R

)=

(0 m

0 r

)∈ I và tt′ 6= 0.

44

+) Nếu 0 6= r ∈ R thì do I ≤e R nên tồn tại r1 ∈ R sao cho 0 6= rr1 ∈ I.

Chọn t′ =

(0 0

0 r1

)∈ T thì ta có tt′ =

(s m

0 r

)(0 0

0 r1

)=

(0 mr1

0 rr1

)∈ I

và tt′ 6= 0.

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có nếu 0 6= t =

(s m

0 r

)∈ T thì tồn

tại t′ ∈ T để 0 6= tt′ ∈ I. Do đó ta có I ≤e T .

Bây giờ, chúng ta thiết lập đồng cấu θ : I → T được xác định bởi

θ(

(s m

0 i

)) =

(s m

0 f(i)

)với mọi

(s m

0 i

)∈ I. Khi đó θ là một T -đơn cấu.

Do T là giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại T -đồng cấu φ : T → T là mở rộng của

đồng cấu θ. Giả sử với mọi t =

(s m

0 r

)∈ T , ta có φ(t) =

(s1 m1

0 r1

)∈ T .

Khi đó nếu t =

(s m

0 i

)∈ I thì r1 = f(i). Bây giờ, ánh xạ f : R → R

được xác định f(r) = r1 với mọi r ∈ R là một R-đồng cấu. Khi đó, với mọi

i ∈ I thì f(i) = r1 = f(i) hay f là một mở rộng của đồng cấu f . Vậy R là

giả nội xạ cốt yếu.

(2). Giả sử N là một môđun con cốt yếu của M và f : N → M là

một đơn cấu. Đặt N =

(0 N

0 R

). Ta sẽ chứng minh N là một iđêan phải

cốt yếu của T . Thật vậy, với mọi

(0 n1

0 r1

)∈ N và

(s m

0 r

)∈ T thì ta có(

0 n1

0 r1

)(s m

0 r

)=

(0 n1r

0 r1r

)∈ N . Do đó N là một iđêan phải của T .

Mặt khác, với 0 6= t =

(s m

0 r

)∈ T thì:

+) Nếu s 6= 0 thì do SM là môđun trung thành nên tồn tại 0 6= m′ ∈Msao cho sm′ 6= 0. Vì 0 6= sm′ ∈ M và N ≤e M nên tồn tại r1 ∈ R

45

thỏa mãn 0 6= (sm′)r1 ∈ N . Bây giờ ta chọn t′ =

(0 m′r1

0 0

)∈ T thì

tt′ =

(s m

0 r

)(0 m′r1

0 0

)=

(0 sm′r1

0 0

)∈ N và tt′ 6= 0.

+) Nếu 0 6= m ∈ M thì do N ≤e M nên tồn tại r1 ∈ R thỏa mãn

0 6= mr1 ∈ N . Chọn t′ =

(0 0

0 r1

)∈ T thì tt′ =

(s m

0 r

)(0 0

0 r1

)=(

0 mr1

0 rr1

)∈ N và tt′ 6= 0.

+) Nếu 0 6= r ∈ R thì chúng ta có 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: m 6= 0. Trường hợp này đã được chứng minh ở trên.

- Trường hợp 2: m = 0. Chọn t′ =

(0 0

0 1R

)∈ T thì khi đó ta có

tt′ =

(s 0

0 r

)(0 0

0 1R

)=

(0 0

0 r

)∈ N và tt′ 6= 0.

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có nếu 0 6= t =

(s m

0 r

)∈ T thì tồn

tại t′ ∈ T để 0 6= tt′ ∈ N . Do đó ta có N ≤e T .

Bây giờ, chúng ta thiết lập θ : N → T được xác định bởi θ(

(0 n

0 r

)) =(

0 f(n)

0 r

). Khi đó θ là một T -đơn cấu. Theo giả thiết, tồn tại một T -đồng

cấu φ : T → T là mở rộng của θ. Giả sử với mỗi x ∈M và

(0 x

0 r

)∈ T thì

θ(

(0 x

0 r

)) =

(sx mx

0 rx

)trong đó sx ∈ S, rx ∈ R và mx ∈M . Bây giờ, ánh

xạ f : M → M được xác định f(x) = mx với mọi x ∈ M là một R-đồng

cấu. Khi đó, với mọi x ∈ N thì f(x) = mx = f(x) hay f là một mở rộng

của f .

46

Điều ngược lại của Định lý 2.2.18 ở trên là không đúng.

Thật vậy, cho S = M = R = K với K là một trường. Khi đó R là giả

nội xạ cốt yếu phải, SM là trung thành và MR là giả nội xạ cốt yếu. Nếu

T là giả nội xạ cốt yếu phải thì theo Định lý 2.2.12, ta có T là vành C3.

Tuy nhiên, theo [33, Example 1.34] thì T không phải vành C3 nên ta có T

không phải là vành giả nội xạ cốt yếu phải.

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Trong phần đầu của chương, chúng tôi thu được các đặc trưng của

môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2 và Mệnh đề

2.2.6). Từ kết quả của Định lý 2.2.2, chúng tôi thu lại được kết quả trong [6,

Corollary 2.12]. Một mối liên hệ giữa môđun nửa đơn và môđun nội xạ mà

chúng ta đã biết là: N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -nội xạ với

mọi môđun M . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được một

kết quả mở rộng sau đây: N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -giả

nội xạ cốt yếu với mọi môđun M (Định lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôi cũng

đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9

và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun

giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3. (Định lý 2.2.11) và môđun

M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý

2.2.12). Hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin

nửa đơn, vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun

giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối

cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được

chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.

47

CHƯƠNG 3

Môđun ADS tổng quát

Trong chương này, chúng tôi khảo sát một trường hợp tổng quát của

môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Như chúng tôi đã đề cập trong

phần đầu của Chương 2, khái niệm môđun giả nội xạ cốt yếu là do các tác

giả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6]. Kết quả mà chúng tôi quan tâm

trong công trình của họ là [6, Proposition 2.2], trong đó các tác giả đã chứng

minh được rằng, nếu M và N là các môđun và X = N ⊕M thì N là M -giả

nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà

K ∩M = 0 thì X = N ⊕K. Mặt khác, một R-môđun phải M được gọi là

ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′ của

S, chúng ta có M = S⊕T ′ (xem [7]). Tổ hợp các khái niệm vừa nêu ở trên,

chúng tôi xét một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát.

Một số tính chất của môđun ADS tổng quát đã được đưa ra và việc vận

dụng chúng để đặc trưng vành Artin nửa đơn cũng được chúng tôi nghiên

cứu. Các kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.10 và

Định lý 3.2.14. Chương này được viết trong [19].

3.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun ADS tổng quát như

sau:

Định nghĩa 3.1.1. Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi

48

sự phân tích M = S ⊕ T của M và với mỗi phần bù giao T ′ của S mà

T ′ ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T ′. Một vành R được gọi là ADS tổng quát phải

nếu RR là môđun ADS tổng quát.

Từ các định nghĩa về môđun ADS và môđun ADS tổng quát, chúng ta

dễ dàng suy ra được mỗi môđun ADS là ADS tổng quát. Do đó, các vành

Z và Zn là các vành ADS tổng quát. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải

bao giờ cũng đúng. Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng, một môđun ADS tổng quát

thì có thể không là môđun ADS.

Ví dụ 3.1.2. Cho R =

F F F0 F 0

0 0 F

trong đó F là một trường có 2 phần

tử. Khi đó N = e11R là một R-môđun phải bất biến đẳng cấu (có nghĩa là,

N là bất biến dưới tất cả các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó), không

phân tích được, không tựa nội xạ và EndR(N) là vành địa phương (xem [39,

Example]).

Bây giờ, ta xét R-môđun M = N1⊕N2 trong đó N1 = N2 = N . Chúng

ta sẽ chứng minh rằng M là môđun ADS tổng quát. Giả sử M = A⊕B mà

A 6= 0 và B 6= 0. Vì N1 ≤⊕ M và EndR(N1) là vành địa phương nên theo

Bổ đề 1.3.4 sẽ tồn tại A1 ≤⊕ A và B1 ≤⊕ B sao cho M = N1 ⊕ A1 ⊕ B1.

Do đó, N2 ' A1 ⊕ B1. Vì N2 là một môđun không phân tích được nên ta

có hoặc là A1 = 0 hoặc là B1 = 0.

Trường hợp 1: A1 = 0, chúng ta có M = N1 ⊕ B1 và N2 ' B1. Khi

đó M = N1⊕B1 = A⊕B =A⊕B′1⊕B1 và do đó N1 ' A⊕B′1. Vì N1 là

môđun không phân tích được nên B′1 = 0. Vì vậy, B = B1 ' N2 và A ' N1.

Trường hợp 2: B1 = 0, bằng cách lý luận tương tự như trên, chúng ta

có B ' N1 và A ' N2.

Trong cả hai trường hợp, nếu M = A ⊕ B thì A ' B ' N . Do N là

môđun bất biến đẳng cấu nên N là môđun giả nội xạ. Từ đó suy ra A là

B-giả nội xạ và B là A-giả nội xạ. Theo Định lý 3.2.1 sẽ được giới thiệu

49

sau đây, chúng ta có M là môđun ADS tổng quát. Mặt khác, chúng ta có

N không là tựa nội xạ, do đó M không là môđun ADS.

3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát

Trong [7], các tác giả Alahmadi, Jain và Leroy đã chứng minh được

rằng: Nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta

luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Trong trường hợp môđun ADS tổng

quát, chúng tôi thu được kết quả sau đây:

Định lý 3.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là ADS tổng quát.

(2) Nếu M = A⊕B thì A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.

(3) Với bất kỳ sự phân tích M = A⊕B, thì phép chiếu chính tắc πB : M →B là một đẳng cấu khi nó được hạn chế đến bất kỳ phần bù giao C của

A trong M mà C ∩B = 0.

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M là một môđun ADS tổng quát có sự

phân tích M = A ⊕ B. Gọi B′ là một phần bù giao của A trong M mà

B′ ∩B = 0. Khi đó ta có M = A⊕B′. Theo Bổ đề 1.2.3, ta có A là B-giả

nội xạ cốt yếu. Lí luận một cách tương tự, chúng ta có B là A-giả nội xạ

cốt yếu. Vì vậy, A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.

(2)⇒ (1). Giả sử môđun M có sự phân tích M = A⊕B. Khi đó, theo

giả thiết ta có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Vì vậy, theo Bổ đề

1.2.3, với mỗi phần bù giao B′ của A mà B′ ∩ B = 0 thì M = A⊕ B′. Do

đó, M là môđun ADS tổng quát.

(1)⇒ (3). Giả sửM là ADS tổng quát vàM = A⊕B. Xét πB : M → B

là phép chiếu chính tắc. Gọi C là phần bù giao của A trong M thỏa mãn

C ∩B = 0. Chúng ta sẽ chứng minh rằng πB |C là một đẳng cấu.

50

Thật vậy, với c ∈ C thì c ∈ M và giả sử c = a+ b với a ∈ A và b ∈ B.

Khi đó, nếu πB(c) = 0 thì πB(c) = πB(a + b) = b = 0. Do đó a = c. Vì C

là phần bù giao của A trong M nên C ∩ A = 0 và do đó a = c = 0. Vậy

πB |C là đơn cấu.

Mặt khác, vì M là ADS tổng quát nên M = A⊕C. Khi đó, với bất kỳ

b ∈ B thì b ∈ M , do đó tồn tại a ∈ A và c ∈ C sao cho b = a + c, suy ra

c = −a + b và ta có πB(c) = b. Vậy πB |C là toàn cấu. Điều này chứng tỏ

πB |C là một đẳng cấu.

(3) ⇒ (1). Giả sử M = A ⊕ B và C là một phần bù giao của A trong

M mà C ∩ B = 0. Theo (3), phép chiếu chính tắc πB |C : M → B là một

đẳng cấu. Do đó M = A ⊕ B = A ⊕ πB(C). Để chứng minh môđun M là

ADS tổng quát, ta cần chứng minh M = A⊕ C hay A⊕ πB(C) = A⊕ C.

Thật vậy, với x ∈ A ⊕ πB(C) thì x = a + πB(c) trong đó a ∈ A và

c ∈ C. Giả sử c = a′ + b với a′ ∈ A; b ∈ B thì x = a + πB(a′ + b) =

a + b = a + c − a′ = (a − a′) + c ∈ A ⊕ C. Mặt khác, với mọi x ∈ A ⊕ Cthì x = a + c trong đó a ∈ A và c ∈ C. Giả sử c = a′ + b với a′ ∈ A;

b ∈ B thì x = a + c = a + (a′ + b) = (a + a′) + b ∈ A ⊕ πB(C). Vậy

A⊕ πB(C) = A⊕ C.

Hệ quả 3.2.2. Cho M là một R-môđun phải. Giả sử A là một hạng tử trực

tiếp bất kỳ của M vàM

A⊕ A

Klà một môđun ADS tổng quát với mọi môđun

con K của A. Khi đó, M là môđun ADS.

Chứng minh. Giả sử M = A ⊕ B, theo giả thiết, chúng ta cóM

A⊕ A

Klà

môđun ADS tổng quát với mọi môđun con K của A. Theo Định lý 3.2.1,

chúng ta suy raM

AlàA

K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con K của A.

VìM

A' B nên theo Mệnh đề 2.2.6, ta có B là

A

K-giả nội xạ cốt yếu với

mọi môđun con K của A. Do đó theo Bổ đề 1.2.5, ta có B là A-nội xạ. Lý

luận một cách tương tự, chúng ta có A là B-nội xạ. Do vậy, theo [7, Lemma

3.1], ta có M là môđun ADS.

51

Từ Định lý 3.2.1, chúng tôi thu được một số ví dụ liên quan đến môđun

ADS tổng quát sau đây:

Ví dụ 3.2.3. Xét Z-môđun M = Zp2⊕Zp3. Theo Ví dụ 2.1.2 thì Zp2 khônglà Zp3-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, theo Định lý 3.2.1 thì M không phải là

môđun ADS tổng quát và hiển nhiên M không phải là môđun ADS.

Ví dụ 3.2.4. Cho vành R =

(Z2 Z2

0 Z2

)và đặt M = RR. Xét các R-môđun

con của M là A =

(Z2 Z2

0 0

)và B =

(0 0

0 Z2

). Khi đó:

(1) A và B là các R-môđun ADS tổng quát.

(2) M = A⊕B không là R-môđun ADS tổng quát.

Chứng minh. (1). Thật vậy, do A chỉ có một môđun con thực sự J =(0 Z2

0 0

)và B là môđun đơn nên A và B đều không phân tích được thành

tổng trực tiếp của 2 môđun con khác không. Vì vậy, theo [7, Lemma 3.1]

thì các môđun A và B là môđun ADS và do đó, chúng là các môđun ADS

tổng quát.

(2). Thậy vậy, ta lấy môđun con khác không và khác A duy nhất của A

là A1 =

(0 Z2

0 0

)và thiết lập R-đồng cấu ϕ :

(0 Z2

0 0

)→(

0 0

0 Z2

)thỏa

mãn ϕ(

(0 1

0 0

)) =

(0 0

0 1

). Khi đó A1 ≤e A và ϕ là đẳng cấu.

Tuy nhiên, giả sử α là một R-đồng cấu bất kỳ từ

(Z2 Z2

0 0

)→(

0 0

0 Z2

)

và giả sử α(

(1 0

0 0

)) =

(0 0

0 x

)với một x nào đó thuộc Z2.

Thế thì, với mọi

(a b

0 0

)∈ A, ta có α(

(a b

0 0

)) = α(

(1 0

0 0

)(a b

0 0

))

52

= α(

(1 0

0 0

))

(a b

0 0

)=

(0 0

0 x

)(a b

0 0

)=

(0 0

0 0

). Vậy α là đồng cấu

không. Điều này chứng tỏ đồng cấu ϕ không mở rộng được đến đồng cấu

α nên môđun B không phải là A-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, theo Định lý

3.2.1, chúng ta có M không phải là môđun ADS tổng quát.

Sau đây là một điều kiện tương đương khác để một môđunM là môđun

ADS tổng quát.

Định lý 3.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là ADS tổng quát.

(2) Với mỗi sự phân tích M = A⊕B và với mỗi đơn cấu

f ∈ HomR(E(B), E(A)) thì M = A⊕X trong đó X = b+ f(b) | b ∈B, f(b) ∈ A.

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Để chứng minh M = A ⊕ X, chúng ta sẽ chỉ ra

rằng X ∩ A = 0, X ∩B = 0 và X là phần bù giao của A trong M .

Thật vậy, nếu n ∈ X ∩ A thì n ∈ X, do đó n = b + f(b) với b ∈ B và

f(b) ∈ A. Suy ra b = n − f(b) ∈ A. Lại do b ∈ B nên b ∈ A ∩ B = 0 hay

b = 0. Do đó f(b) = 0 và suy ra n = 0. Vậy X ∩A = 0. Mặt khác, ta cũng

có nếu m ∈ X ∩B thì m ∈ X, do đó m = b+ f(b) với b ∈ B và f(b) ∈ A.Suy ra f(b) = m − b ∈ B. Lại do f(b) ∈ A nên f(b) ∈ A ∩ B = 0 hay

f(b) = 0. Vì f đơn cấu nên b = 0. Vậy m = 0. Do đó, X ∩B = 0.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng X là môđun con lớn nhất trong

M có giao với A bằng 0. Lấy L là một môđun con củaM sao cho L∩A = 0

và X ≤ L. Xét các phép chiếu tự nhiên πA và πB của M tới A và B tương

ứng. Khi đó ta có πA(x) = fπB(x) với mọi x ∈ L.

Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ L sao cho πA(x) 6= fπB(x) hay 0 6=(πA−fπB)(x) ∈ E(A). Vì A ≤e E(A) nên tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= (πA−fπB)(xr) ∈ A. Giả sử x = a+ b ∈ L trong đó a ∈ A và b ∈ B thì πA(xr) =

53

ar và πB(xr) = br, suy ra πA(xr) + πB(xr) = ar + br = xr hay πA(xr) =

xr−πB(xr). Do đó πA(xr)−fπB(xr) = xr−(πB(xr)+fπB(xr)). Hiển nhiên

πA(xr)− fπB(xr) = (πA− fπB)(xr) ∈ A theo giả thiết. Mặt khác, cũng từ

(πA− fπB)(xr) ∈ A nên fπB(xr) ∈ A, do đó πB(xr) + fπB(xr) ∈ X ≤ L.

Vì xr ∈ L nên πA(xr) − fπB(xr) = xr − (πB(xr) + fπB(xr)) ∈ L. Vậy

πA(xr)− fπB(xr) ∈ A ∩ L = 0 và điều này là một điều mâu thuẫn với giả

thiết. Do đó πA(x) = fπB(x) với mọi x ∈ L.

Bây giờ với mọi x ∈ L, chúng ta có x = πA(x) + πB(x) = f(πB(x)) +

πB(x) ∈ X. Điều này chứng tỏ L ≤ X và do đó L = X.

(2) ⇒ (1). Giả sử với mỗi sự phân tích M = A ⊕ B và với mọi đơn

cấu f ∈ HomR(E(B), E(A)), chúng ta có M = A ⊕ X trong đó X =

b + f(b)| b ∈ B, f(b) ∈ A. Khi đó, với mọi b1 ∈ B thì b1 ∈ M . Giả sử

b1 = a+ x với a ∈ A và x ∈ X thì b1 = a+ b+ f(b) với b ∈ B và f(b) ∈ A.Vậy b1−b = a+f(b). Do b1−b ∈ B và a+f(b) ∈ A nên b1−b = a+f(b) = 0

hay b1 = b và f(b) = −a. Điều này chứng tỏ f(b1) = f(b) = −a ∈ A hay

f(B) ≤ A. Theo Định lý 2.2.2, ta có A là B-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh

tương tự, ta cũng có B là A-giả nội xạ cốt yếu và do đó M là ADS tổng

quát theo Định lý 3.2.1.

Chúng ta biết rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun ADS cũng là

môđun ADS. Tuy nhiên, để một hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng

quát là môđun ADS tổng quát thì chúng tôi cần bổ sung thêm một số điều

kiện.

Theo [33, trang 41], một môđun M được gọi là phân phối nếu A∩ (B+

C) = (A ∩B) + (A ∩ C) với mọi môđun con A,B và C của M .

Mệnh đề 3.2.6. Cho M là môđun ADS tổng quát. Khi đó:

(1) Mỗi hạng tử trực tiếp thỏa mãn điều kiện CS của M là ADS tổng quát.

(2) Nếu M là môđun phân phối thì mỗi hạng tử trực tiếp của M là ADS

tổng quát.

54

Chứng minh. Cho M = A ⊕ B là môđun ADS tổng quát. Ta cần chứng

minh A là môđun ADS tổng quát. Giả sử A = A1 ⊕ A2 và K là phần

bù giao của A1 trong A thỏa mãn K ∩ A2 = 0. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng

A = A1 ⊕K.

Trước hết, ta có với mọi x ∈ K ∩ (A1⊕B) thì x ∈ K và x ∈ A1⊕B, do

đó x = a1 + b trong đó a1 ∈ A1 và b ∈ B. Vì x ∈ K ≤ A và a1 ∈ A1 ≤ A

nên ta có b = x − a1 ∈ A và do vậy b = x − a1 ∈ A ∩ B = 0. Từ đó

suy ra b = 0 và do đó x = a1. Vì x ∈ K, a1 ∈ A1 và K là phần bù giao

của A1 trong A nên A1 ∩ K = 0 và ta có x = a1 = 0. Điều này suy ra

K ∩ (A1 ⊕B) = 0.

(1). Giả sử A là một môđun CS. Vì K là phần bù trong A nên K ≤⊕ A.Do đó K ≤⊕ M . Lại vì, K là phần bù giao của A1 trong A nên theo [40,

Lemma 2.2], ta có K⊕A1 ≤e A. Từ đó suy ra K⊕(A1⊕B) ≤e A⊕B = M .

Vậy K là phần bù giao của A1 ⊕B trong M theo [40, Lemma 2.2].

(2). Giả sử tồn tại môđun C sao cho K ≤ C ≤ A và thỏa mãn C ∩(A1 ⊕ B) = 0. Khi đó, vì M là môđun phân phối nên C ∩ (A1 ⊕ B) =

(C ∩ A1) ⊕ (C ∩ B) = 0, do đó C ∩ B = 0 và C ∩ A1 = 0, từ đó suy ra

(C ∩A)∩A1 = 0. Do K ≤ C ∩A và K lại là phần bù giao của A1 trong A

nên từ việc (C ∩A)∩A1 = 0 ta suy ra K = C ∩A = (C ∩A)⊕ (C ∩B) =

C ∩ (A ⊕ B) = C ∩M = C. Điều này chứng tỏ K là phần bù giao của

A1 ⊕B trong M .

Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có K là phần bù giao của

A1 ⊕B trong M .

Vì M là môđun ADS tổng quát nên M = (A1 ⊕ B) ⊕ K = A ⊕ B.

Trong chứng minh ở phần (1), ta có A1⊕K ≤e A. Mặt khác, với mọi a ∈ Athì a ∈ M . Giả sử a = a1 + b + k với a1 ∈ A1, b ∈ B và k ∈ K, suy ra

b = a− (a1 + k). Do a ∈ A và a1 + k ∈ A1 ⊕K ≤ A nên b ∈ A. Vì b ∈ Bvà A ∩ B = 0 nên b = 0. Do đó a = (a1 + k) ∈ A1 ⊕ K. Từ đó suy ra

A ≤ A1 ⊕K và ta được A = A1 ⊕K. Vì vậy, A là ADS tổng quát.

55

Trong Ví dụ 3.2.4, với R =

(Z2 Z2

0 Z2

)thì ta có các R-môđun

(Z2 Z2

0 0

)

và

(0 0

0 Z2

)là ADS tổng quát. Tuy nhiên, ta lại có R-môđun

(Z2 Z2

0 Z2

)=(

Z2 Z2

0 0

)⊕(

0 0

0 Z2

)không phải là môđun ADS tổng quát. Điều này chứng

tỏ tổng trực tiếp của hai môđun ADS tổng quát không nhất thiết là một

môđun ADS tổng quát. Do vậy, trong phần tiếp theo, chúng tôi quan tâm

đến việc khi nào thì tổng trực tiếp của hai môđun ADS tổng quát là một

môđun ADS tổng quát.

Trước hết, chúng tôi giới thiệu bổ đề cơ bản sau đây:

Bổ đề 3.2.7 ([35, Lemma 2.15]). Cho (Mi)i∈I và A, B là các môđun con

của R-môđun phảiM sao choM =⊕i∈IMi = A⊕B. Nếu, với bất kỳ i, j ∈ I,

HomR(Mi,Mj) = 0 thì với mọi i ∈ I ta có Mi = (A ∩Mi)⊕ (B ∩Mi) và

hơn nữa A =n⊕i=1

(A ∩Mi) và B =n⊕i=1

(B ∩Mi).

Định lý 3.2.8. Cho M =n⊕i=1

Mi trong đó E(Mi)i là một họ các môđun

con bất biến đầy đủ của E(M). Thế thì, M là ADS tổng quát nếu mỗi Mi

là ADS tổng quát với mọi i = 1, 2, . . . , n.

Chứng minh. Giả sửM =n⊕i=1

Mi = A⊕B. Để chứng minhM là môđun ADS

tổng quát ta sẽ chứng minh A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Từ giả

các giả thiết đã cho, theo Bổ đề 3.2.7, chúng ta cóMj = (A∩Mj)⊕(B∩Mj)

với mọi j = 1, 2, . . . , n, A =n⊕i=1

(A ∩Mi) và B =n⊕i=1

(B ∩Mi). Khi đó theo

Bổ đề 1.2.2, ta có E(A) =n⊕i=1

E(A ∩Mi), E(B) =n⊕i=1

E(B ∩Mi).

Lấy ϕ : E(B) → E(A) là một đơn cấu. Với mỗi i = 1, 2, . . . , n, đặt

ϕi = ϕιi : E(B ∩Mi)→ E(A) trong đó ιi : E(B ∩Mi)→ E(B) là các đơn

cấu chính tắc. Từ đó ta có ϕi là đơn cấu. Với j 6= i và đặt πj : E(A) →E(A∩Mj) là phép chiếu chính tắc. Thế thì πjϕi : E(B∩Mi)→ E(A∩Mj)

56

thỏa mãn πjϕi = 0 (theo giả thiết). Do đó ϕi(E(B∩Mi)) ≤ E(A∩Mi). Vì

Mi là môđun ADS tổng quát và Mj = (A ∩Mj)⊕ (B ∩Mj) nên chúng ta

nhận được A∩Mi là B∩Mi-giả nội xạ cốt yếu và từ Định lý 2.2.2 chúng ta

có ϕi(B ∩Mi) ≤ A ∩Mi. Do vậy ϕ(B) ≤ A. Điều này có nghĩa A là B-giả

nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có B là A-giả nội xạ cốt yếu.

Theo Định lý 3.2.1, ta có M là môđun ADS tổng quát.

Trong [6, Example 2], các tác giả đã đưa ra được phản ví dụ để chứng

tỏ rằng S1 và S2 là các môđun N -giả nội xạ cốt yếu nhưng S1⊕S2 không là

N -giả nội xạ cốt yếu. Từ đó, chúng tôi xem xét điều kiện sau đối với môđun

M :

(*): Nếu S1 và S2 là các môđun N -giả nội xạ cốt yếu thì S1 ⊕ S2 là

N -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con S1, S2 và N của M .

Nếu môđunM =n⊕i=1

Mi thỏa mãn thêm điều kiện (*) thì chúng tôi nhận

được kết quả sau đây:

Mệnh đề 3.2.9. Cho M =n⊕i=1

Mi là môđun phân phối và thỏa mãn điều

kiện (*). Khi đó, M là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi Mi là ADS tổng

quát và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i.

Chứng minh. (⇐). Ta cần chứng minhM là môđun ADS tổng quát. Giả sử

M = A⊕B. VìM là môđun phân phối nênMi = Mi∩M = Mi∩(A⊕B) =

(A ∩Mi) ⊕ (B ∩Mi) với mọi i = 1, 2, . . . , n. Mặt khác, A = A ∩M =

A∩n⊕i=1

Mi =n⊕i=1

(A∩Mi) và lý luận tương tự ta cũng có B =n⊕i=1

(B∩Mi). Do

Mi là ADS tổng quát và Mi = (A∩Mi)⊕ (B ∩Mi) với mọi i = 1, 2, . . . , n

nên A ∩Mi là (B ∩Mi)-giả nội xạ cốt yếu với mọi i = 1, 2, . . . , n. Theo

giả thiết, ta có Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i nên A ∩Mi là

A∩Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i. Lại do A∩Mj là (B ∩Mj)-giả nội

xạ cốt yếu với mọi i = 1, 2, . . . , n nên A∩Mi là (B∩Mj)-giả nội xạ cốt yếu

với mọi i, j = 1, 2, . . . , n và i 6= j. Như vậy, ta có A ∩Mi là (B ∩Mj)-giả

nội xạ cốt yếu với mọi i, j = 1, 2, . . . , n. Theo [6, Corollary 2.13] thì A∩Mi

57

làn⊕i=1

(B ∩Mj)-giả nội xạ cốt yếu hay A ∩Mi là B-giả nội xạ cốt yếu với

mọi i = 1, 2, . . . , n. Theo tính chất (*) ở trên thìn⊕i=1

(A ∩Mi) là B-giả nội

xạ cốt yếu hay A là B-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có

B là A-giả nội xạ cốt yếu. Theo Định lý 3.2.1, ta có M là môđun ADS tổng

quát.

(⇒). Khi M là môđun ADS tổng quát thì theo Định lý 3.2.1 và Mệnh

đề 3.2.6, ta có mỗi Mi là ADS tổng quát và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với

mọi j 6= i.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất liên quan đến

khái niệm ADS tổng quát đối với môđunM khiM là môđun nửa đơn trong

phạm trù σ[M ]. Từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về vành Artin

nửa đơn.

Trong [35, Theorem 2.4], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là

nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi

môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh

trong σ[M ] là ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi cũng chứng

minh được các kết quả tương tự như sau:

Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là nửa đơn.

(2) Mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát.

(3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

(4) Mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

Chứng minh. (1)⇒ (2). Khi M là môđun nửa đơn, theo Bổ đề 1.4.3, ta có

mỗi môđun trong σ[M ] là môđun nội xạ. Do đó mỗi môđun trong σ[M ] là

ADS tổng quát.

58

(2)⇒ (3)⇒ (4) là hiển nhiên.

(4) ⇒ (1). Lấy N ∈ σ[M ] là môđun xiclic và x ∈ M . Khi đó ta có

(N ⊕xR)⊕xR là môđun 3-sinh trong σ[M ] và do đó theo (4) nó là môđun

ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có N ⊕ xR là xR-giả nội xạ cốt yếu

và do đó theo Bổ đề 1.2.6, N là xR-nội xạ theo. Từ [32, Proposition 1.4],

ta có N là M -nội xạ. Vì vậy theo Bổ đề 1.4.3, M là môđun nửa đơn.

Hệ quả 3.2.11. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn.

(2) Mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát.

(3) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát.

(4) Mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát.

Trong trường hợp môđun 2-sinh, chúng tôi nhận được kết quả sau đây:

Mệnh đề 3.2.12. Cho M là môđun xiclic. Khi đó, các điều kiện sau đây

là tương đương đối với môđun M :

(1) M là nửa đơn.

(2) Mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

Chứng minh. (1)⇒ (2). Điều này được suy ra từ Định lý 3.2.10.

(2)⇒ (1). Cho N là R-môđun xiclic trong σ[M ]. DoM là môđun xiclic

nên với bất kỳ môđun K của M , ta có N ⊕ M

Klà môđun 2-sinh và do đó

theo (2), N ⊕M

Klà môđun ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có N là

M

K-giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.5, N là M -nội xạ và do đó M

là môđun nửa đơn theo Bổ đề 1.4.3.

Hệ quả sau đây là một mở rộng của Corollary 2.5 trong [35]:

59

Hệ quả 3.2.13. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn.

(2) Mỗi R-môđun phải 2-sinh là ADS tổng quát.

Tiếp theo là mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa

nội xạ.

Định lý 3.2.14. Cho M =n⊕i=1

Mi là một tổng trực tiếp các môđun. Khi đó,

các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là tựa nội xạ.

(2) Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và M 2 là ADS tổng quát.

(3) Mk là ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3.

Chứng minh. (1)⇒ (2) và (1)⇒ (3). Nếu M là tựa nội xạ thì theo Bổ đề

1.2.1, ta có Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và Mk là tựa nội xạ

với mọi số nguyên dương k ≥ 1 và do đó Mk là ADS tổng quát với mọi số

nguyên dương k ≥ 1.

(2) ⇒ (1). Theo giả thiết, chúng ta có M 2 = [[n⊕

i=1,i 6=jMi]

2 ⊕Mj] ⊕Mj

là ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có [n⊕

i=1,i6=jMi]

2⊕Mj là Mj-giả nội

xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.6 ta có [n⊕

i=1,i 6=jMi]

2 là Mj-nội xạ. Từ Bổ

đề 1.2.1 ta thu được Mi là Mj-nội xạ với mọi i 6= j. Vì Mi là tựa nội xạ với

mọi i = 1, . . . , n nên ta có Mi là Mj-nội xạ với mọi i, j = 1, . . . , n. Lại theo

Bổ đề 1.2.1, chúng ta có M là tựa nội xạ.

(3) ⇒ (1). Chúng ta có Mk = [[[n⊕

i=1,i 6=jMi]

k ⊕Mk−2j ] ⊕Mj] ⊕Mj là

ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3. Theo Định lý 3.2.1, chúng

ta có [[n⊕

i=1,i 6=jMi]

k ⊕Mk−2j ]⊕Mj là Mj-giả nội xạ cốt yếu. Do đó, theo Bổ

60

đề 1.2.6, [n⊕

i=1,i 6=jMi]

k ⊕Mk−2j là Mj-nội xạ. Từ Bổ đề 1.2.1, ta có các Mi

và Mj là Mj-nội xạ với mọi i, j = 1, . . . , n. Vậy Mi là Mj-nội xạ với mọi

i, j = 1, . . . , n. Lại theo Bổ đề 1.2.1, chúng ta có M là tựa nội xạ.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số kết quả liên quan

đến vành ADS tổng quát.

Trước hết là kết quả liên quan đến mở rộng vành.

Định lý 3.2.15. Cho M là một S-R-song môđun. Nếu T =

(S M

0 R

)là

vành ADS tổng quát phải thì R là vành ADS tổng quát phải.

Chứng minh. Giả sử RR = A⊕B, ta sẽ chứng minh A và B là giả nội xạ cốt

yếu tương hỗ. Giả sử I ≤e A và f : I → B là R-đơn cấu. Đặt A =

(0 0

0 A

),

B =

(S M

0 B

)và I =

(0 0

0 I

). Khi đó chúng ta có TT = A ⊕ B và I là

một iđêan phải của A. Mặt khác, nếu 0 6= x =

(0 0

0 a

)∈ A =

(0 0

0 A

)thì 0 6= a ∈ A. Do I ≤e A nên tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= ar ∈ I.

Lấy t =

(0 0

0 r

)∈ T thì ta có xt =

(0 0

0 a

)(0 0

0 r

)=

(0 0

0 ar

)∈ I và

xt 6= 0 do ar 6= 0. Vậy I ≤e A. Bây giờ, chúng ta xây dựng đồng cấu

θ : I → B được xác định θ(

(0 0

0 r

)) =

(0 0

0 f(r)

). Thế thì θ là một T -đơn

cấu. Vì TT = A ⊕ B là môđun ADS tổng quát nên tồn tại một T -đồng

cấu φ : A → B sao cho φ(i) = θ(i) với mỗi i ∈ I. Giả sử với bất kỳ

a ∈ A ta có φ(

(0 0

0 a

)) =

(s m

0 b

). Khi đó, ánh xạ f : A → B được xác

định bởi f(a) = b là một R-đồng cấu. Bây giờ, với mỗi i ∈ I, chúng ta có

φ(

(0 0

0 i

)) =

(0 0

0 f(i)

), do đó f(i) = f(i) hay f là một mở rộng của f .

61

Do vậy B là A-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có A là

B-giả nội xạ cốt yếu và do đó R là vành ADS tổng quát phải.

Sau đây là một kết quả khác liên quan đến vành ADS tổng quát.

Mệnh đề 3.2.16. Cho M là một R-môđun phải trong đó R = ReR với

e2 = e ∈ R và S = eRe. Khi đó:

(1) (Me)S là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu MR là ADS tổng quát.

(2) (Re)S là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu RR là ADS tổng quát.

(3) SS là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu (eR)R là ADS tổng quát.

Chứng minh. (1) (⇒). Giả sử (Me)S là ADS tổng quát và MR = L ⊕ K.

Gọi H là phần bù giao của K trong M thỏa mãn H ∩ L = 0. Chúng ta sẽ

chứng minh rằng M = H ⊕ K. Theo (2) và (3) trong Bổ đề 1.1.1, chúng

ta có Me = Le ⊕Ke và He là phần bù giao của Ke trong Me thỏa mãn

He ∩ Le = 0. Vì (Me)S là ADS tổng quát nên Me = He ⊕Ke. Theo (3)

trong Bổ đề 1.1.1, ta có M = H ⊕K.

(⇐). Giả sửM là ADS tổng quát. Với bất kỳ sự phân tíchMe = Le⊕Kevà He là phần bù giao của Ke trongMe thỏa mãn He∩Le = 0, chúng ta sẽ

chứng minh rằng Me = He⊕Ke. Theo (2) và (3) trong Bổ đề 1.1.1, chúng

ta có M = L⊕K và H là phần bù giao của K trong M mà H ∩L = 0. Vì

M là ADS tổng quát nên M = H ⊕K. Theo (3) trong Bổ đề 1.1.1, ta có

Me = He⊕Ke.

(2). Nếu chúng ta chọn R-môđun phải M ở (1) là R-môđun phải R thì

ta được kết quả là (2).

(3). Nếu chúng ta chọn R-môđun phải M ở (1) là R-môđun phải eR thì

khi đó (Me)S = (eRe)S = SS và ta được kết quả là (3).

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 3

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

62

Chúng tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun

là ADS tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa

biết được một hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS

tổng quát hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải

là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn

điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun

ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđun M cũng là ADS tổng

quát (Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất

của môđun ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn

(Định lý 3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa

đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun

tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng

giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng

vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.

63

CHƯƠNG 4

Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Khi nghiên cứu về môđun giả nội xạ, trong [13, Theorem 2.6], tác giả

H. Q. Dinh đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn

điều kiện C2. Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra được ví dụ để chỉ ra rằng,

môđun C2 là một mở rộng thực sự của môđun giả nội xạ ([13, Remark 2.9]).

Liên quan đến việc nghiên cứu môđun C2, chúng tôi xin nhắc lại ở đây một

giả thuyết nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời, đó là giả thuyết

FGF, nội dung của giả thuyết là: Vành FGF có phải là vành QF hay không?

Trong [33, Theorem 7.21], các tác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là

vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2

và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết

FGF nói trên. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một mở rộng của

môđun C2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và từ mở rộng này, chúng tôi

nghiên cứu để áp dụng vào việc đặc trưng vành bao gồm vành chính quy,

vành Artin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin.

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun

thỏa mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C)với môđun C2 cũng được chúng tôi đề cập. Việc áp dụng một số tính chất

của môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành Artin nửa đơn và

64

vành chính quy cũng được nghiên cứu. Các kết quả chính trong phần này là

Mệnh đề 4.1.7, Định lý 4.1.10 và Định lý 4.1.21. Phần này được viết trong

[1], [20] và [36].

Chúng tôi bắt đầu phần này bằng một tính chất đơn giản của môđun

C2 như sau:

Bổ đề 4.1.1. Cho M là một R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các

mệnh đề sau là tương đương:

(1) Môđun M là môđun C2.

(2) Với s ∈ S mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử

trực tiếp của M .

Chứng minh. (1)⇒ (2). ChoM là môđun C2 và s ∈ S thỏa mãn Ker(s) ≤⊕

M . Khi đó M = Ker(s) ⊕ K với K là một môđun con của M . Vì vậy,

Im(f) ' M

Ker(s)' K ≤⊕ M . Vì M là môđun C2 nên

M

Ker(s)≤⊕ M và do

đó Im(s) ≤⊕ M .

(2) ⇒ (1). Giả sử N ≤ M mà N ' K ≤⊕ M , ta cần chứng minh

N ≤⊕ M . Vì K ≤⊕ M nên tồn tại e2 = e ∈ S để K = e(M). Gọi α

là một đẳng cấu từ e(M) → N và i : N → M là đơn cấu chính tắc.

Đặt s = iαe, khi đó se(M) = iαee(M) = iαe(M) = N và Ker(se) =

m ∈M | iαe(m) = 0 = m ∈M | αe(m) = 0 = m ∈M | e(m) = 0= Ker(e). Do e là đồng cấu lũy đẳng nên Ker(e) ≤⊕ M và do đó Ker(se) ≤⊕

M . Theo (2), ta suy ra Im(se) ≤⊕ M hay N ≤⊕ M , do đó M là môđun

C2.

Xuất phát từ đặc trưng của môđun C2 trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi đề

xuất một tính chất mở rộng của môđun C2 như sau:

Định nghĩa 4.1.2. Một môđun MR được gọi là thỏa mãn điều kiện (C)nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn)

là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của M .

65

Một vành R được gọi là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là

môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C) ở trên, chúng ta dễ

dàng có được mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 4.1.3. Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C).

Ví dụ 4.1.4. Cho vành R =

(Z2 Z2

0 Z2

)và đặt M = RR. Khi đó:

(1). Môđun M không phải là môđun C2 và cũng không thỏa mãn điều

kiện (C). Thật vậy, xét ánh xạ f : M → M được xác định f(

(x1 x2

0 x3

)) =(

0 x3

0 0

). Hiển nhiên là f 6= 0 và f 2 = 0. Mặt khác, với r =

(r1 r2

0 r3

)∈ R

và x =

(x1 x2

0 x3

)∈M thì f(xr) = f(

(x1r1 x1r2 + x2r3

0 x3r3

)) =

(0 x3r3

0 0

)=

f(x)r. Do đó f là một R-đồng cấu. Ta có Ker(f) =

(Z2 Z2

0 0

)≤⊕ M nhưng

Im(f) =

(0 Z2

0 0

)6≤⊕ M , do đó M không phải là môđun C2. Vì f 2 = 0

nên M cũng không phải là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(2). Xét các R-môđun con của M là A =

(Z2 Z2

0 0

)và B =

(0 0

0 Z2

).

Do A chỉ có một môđun con thực sự J =

(0 Z2

0 0

)và J 6' A nên A là

môđun C2. Hơn nữa, B là môđun đơn nên B cũng là môđun C2. Vậy cả A

và B đều là các môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Nhận xét 4.1.5. Ta có

(Z2 Z2

0 Z2

)=

(Z2 Z2

0 0

)⊕(

0 0

0 Z2

). Từ Ví dụ 4.1.4,

ta có các môđun A và B thỏa mãn điều kiện (C) nhưng môđun A ⊕ B lại

không thỏa mãn điều kiện (C), điều này chứng tỏ tổng trực tiếp của hai

66

môđun thỏa mãn điều kiện (C) không nhất thiết là một môđun thỏa mãn

điều kiện (C).

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng một môđun con của một môđun thỏa mãn

điều kiện (C) cũng có thể không thỏa mãn điều kiện (C).

Ví dụ 4.1.6. Xét Q như là một Z-môđun. Khi đó S = EndZ(Q) ' Q.

Vì mỗi phần tử của S hoặc là đồng cấu không hoặc là đẳng cấu nên Qlà môđun thỏa mãn điều kiện (C). Bây giờ ta xét môđun con của Q là

Z và xét f ∈ EndZ(Z) được xác định bởi f(x) = 2x với mọi x ∈ Z.Vì 0 = Ker(fn) ≤⊕ Z và Im(fn) 6≤⊕ Z với mọi số nguyên dương n nên

Z-môđun Z không phải là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Khi S = EndR(M) là vành địa phương thì chúng tôi nhận thấy các

môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) là trùng nhau thể hiện trong

mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 4.1.7. Cho M là một R-môđun phải có vành các tự đồng cấu

S = EndR(M) là vành địa phương. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương

đương:

(1) M là C2.

(2) M thỏa mãn điều kiện (C).

Chứng minh. (1)⇒ (2). Theo Mệnh đề 4.1.3.

(2)⇒ (1). Giả sử M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và s : M → M

là một đơn cấu. Nếu tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và Ker(sn) ≤⊕ M thì

sn(M) ≤⊕ M . Vì s là một đơn cấu nên sn : M →M cũng là đơn cấu. Giả

sử M = sn(M)⊕K với K ≤M . Khi đó, với mọi x ∈M thì x = sn(m) + k

vớim ∈M và k ∈ K. Xét đồng cấu g : M →M được xác định như sau: Với

x ∈M mà x = sn(m) +k thì g(x) = m. Hiển nhiên ta có gsn = 1M . Vì vậy

S = Ssn ⊆ Ss. Mặt khác, với s ∈ S thì s = s.1M = sgsn = (sg)sn ∈ Ssn,

67

do đó S ⊆ Ssn và ta có S = Ss. Theo [43, Theorem 4 và Corollary 11], ta

suy ra M là môđun C2.

Ví dụ sau đây giới thiệu về một môđun có vành các tự đồng cấu là vành

địa phương và nó cũng đồng thời là môđun C2 và môđun thỏa mãn điều

kiện (C).

Ví dụ 4.1.8. Xét Z-môđun Z4, vì Z4 chỉ có một iđêan cực đại duy nhất là

2Z4 nên Z4 là vành địa phương. Mà Z4 ' EndZ(Z4) nên EndZ(Z4) là vành

địa phương. Vì Z4 không phân tích được nên nếu f ∈ EndZ(Z4) mà fn 6= 0

và Ker(fn) ≤⊕ Z4 thì Im(fn) ≤⊕ Z4. Do vậy Z4 là môđun thỏa mãn điều

kiện (C). Hơn nữa, theo [33, trang 9] thì Z-môđun Z4 là tựa nội xạ, do đó

nó là môđun C2.

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các điều kiện tương đương với một môđun

thỏa mãn điều kiện (C) nhưng trước hết chúng tôi cần bổ đề sau đây:

Bổ đề 4.1.9. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó:

(1) Nếu s ∈ S mà Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S và n ∈ N thì Im(sn) =

Im(sne).

(2) Nếu với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 thì Ssn ⊆ Se ⊆lS(Ker(sn)) nếu và chỉ nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S.

Chứng minh. (1). Trước hết, ta có nếu x ∈ Ker(e) thì e(x) = 0, do đó

x − e(x) = x hay (1 − e)(x) = x. Vậy x ∈ Im(1 − e). Mặt khác, nếu

x ∈ Im(1 − e) thì tồn tại y ∈ M để (1 − e)(y) = x. Do e2 = e nên

(1 − e)2 = 1 − e, vì vậy (1 − e)(y) = (1 − e)2(y) = (1 − e)(x) = x

hay e(x) = 0. Vậy x ∈ Ker(e). Tóm lại, ta có Ker(e) = Im(1 − e). Vì

Ker(sn) = Ker(e) nên Ker(sn) = Im(1− e), suy ra sn((1− e)(M)) = 0 hay

Im(sn) = Im(sne).

(2) (⇒). Giả sử với e2 = e ∈ S, ta có Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) thì ta

cần chứng minh Ker(sn) = Ker(e).

68

Thật vậy, vì Se ⊆ lS(Ker(sn)) = h ∈ S | h(Ker(sn)) = 0 nên e ∈lS(Ker(sn)), do đó e(Ker(sn)) = 0 hay Ker(sn) ⊆ Ker(e). Mặt khác, vì

Ssn ⊆ Se nên sn ∈ Se. Giả sử sn = s′e với s′ ∈ S và x ∈ Ker(e) thì

sn(x) = s′e(x) = s′(0) = 0 nên x ∈ Ker(sn) hay Ker(e) ⊆ Ker(sn). Vậy

Ker(sn) = Ker(e).

(⇐). Giả sử Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta cần chứng minh

Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)).

Thật vậy, vì Ker(sn) = Ker(e) nên theo (1) ta có Im(sn) = Im(sne).

Do đó, Ssn = Ssne = (Ssn)e ⊆ Se. Mặt khác, với he ∈ Se thì he(Ker(sn))

= he(Ker(e)) = h(e(Ker(e))) = h(0) = 0. Điều này chứng tỏ he ∈lS(Ker(sn)) hay Se ⊆ lS(Ker(sn)). Vậy, Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)).

Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng Bổ đề 4.1.9 để chứng minh các kết quả

trong định lý sau đây.

Định lý 4.1.10. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các

mệnh đề sau đây là tương đương:

(1) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).

(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =

Ker(e) với e2 = e ∈ S thì e ∈ Ssn.

(3) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =

Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.

(4) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =

Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Im(sne) ≤⊕ M .

(5) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ssn ⊆ Se ⊆lS(Ker(sn)) với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.

(6) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =

Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Ssn = lS(Ker(sn)).

69

Chứng minh. (1) ⇒ (4). Cho M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và 0 6=s ∈ S. Giả sử tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và Ker(sn) = Ker(e) với

e2 = e ∈ S. Vì e lũy đẳng nên Ker(e) ≤⊕ M , do đó Im(sn) ≤⊕ M .

Mặt khác, từ Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne). Do vậy, chúng ta có

Im(sne) ≤⊕ M .

(4)⇒ (1). Với mỗi 0 6= s ∈ S và tồn tại n ∈ N để Ker(sn) ≤⊕ M , khi đó

Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S. Theo Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne).

Theo (4) thì Im(sne) ≤⊕ M nên ta có Im(sn) ≤⊕ M . Vậy, môđun M thỏa

mãn điều kiện (C).

(2) ⇒ (3). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và

nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta sẽ chứng minh Ssn = Se.

Theo giả thiết thì e ∈ Ssn, do đó Se ⊆ Ssn. Bây giờ, với k ∈ S thì do

Ker(sn) = Ker(e) nên theo Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne), vì vậy

ksn(M) = k(sne)(M) ∈ Se(M) hay Ssn ⊆ Se. Do đó Ssn = Se.

(3) ⇒ (4). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu

Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta sẽ chứng minh Im(sne) ≤⊕ M .

Theo giả thiết thì Se = Ssn, do đó e = tsn hoặc e = e2 = tsne với

t ∈ S.Nếu e = tsn thì (snet)2 = snetsnet = sne(tsn)et = sneeet = snet.

Nếu e = tsne thì (snet)2 = snetsnet = sne(tsne)t = sneet = snet.

Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều có (snet)2 = snet, tức snet là đồng

cấu lũy đẳng. Do đó, snet(M) ≤⊕ M .

Bây giờ ta sẽ chứng minh snet(M) = sne(M). Thật vậy, hiển nhiên ta

có snet(M) = sne(t(M)) ⊆ sne(M). Hơn nữa, ta có sne(M) = snee(M) =

snetsn(M) ⊆ snet(M) (nếu e = tsn) và sne(M) = snee(M) = snetsne(M) ⊆snet(M) (nếu e = tsne). Do đó, ta luôn có sne(M) ⊆ snet(M). Vậy

snet(M) = sne(M). Vì snet(M) ≤⊕ M nên sne(M) ≤⊕ M .

(4) ⇒ (2). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu

Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta sẽ chứng minh e ∈ Ssn.

70

Theo giả thiết thì sne(M) ≤⊕ M và do Ker(sn) = Ker(e) nên theo

Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne). Từ đó suy ra sn(M) ≤⊕ M . Xét

đồng cấu φ : sn(M) → e(M) xác định bởi φ(sn(m)) = e(m), khi đó nếu

sn(m1) 6= sn(m2) mà φ(sn(m1)) = φ(sn(m2)) thì e(m1) = e(m2), tức là

m1 − m2 ∈ Ker(e) = Ker(sn), do đó sn(m1) = sn(m2). Điều này là mâu

thuẫn với giả thiết, vì vậy φ là đơn cấu. Hiển nhiên φ là toàn cấu nên φ là

đẳng cấu. Xét phép chiếu chính tắc π : M = sn(M)⊕K → sn(M) và đơn

cấu chính tắc i : e(M)→ M . Đặt α = iφπ. Khi đó α ∈ S và α là một mở

rộng của φ. Với mọi m ∈ M , chúng ta có αsn(m) = φ(sn(m)) = e(m) hay

e(m) = αsn(m). Do đó e = αsn ∈ Ssn.

(3) ⇔ (5). Sự tương đương này được suy trực tiếp từ (2) trong Bổ đề

4.1.9.

(5) ⇒ (6). Giả sử, với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0

và nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta cần chứng minh Ssn =

lS(Ker(sn)).

Thật vậy, từ Bổ đề 4.1.9, ta có Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)), do đó từ (5) suy

ra Ssn = Se. Nếu h ∈ lS(Ker(sn)) thì h(Ker(sn)) = 0 hay h(Ker(e)) = 0,

từ đó ta có h ∈ Se. Do đó lS(Ker(sn)) ⊆ Se. Mà Se ⊆ lS(Ker(sn)) nên

Se = lS(Ker(sn)). Vậy Ssn = lS(Ker(sn)).

(6)⇒ (5). Giả sử, với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và

nếu Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) với e2 = e ∈ S, ta cần chứng minh Ssn = Se.

Thật vậy, từ Bổ đề 4.1.9, ta có Ker(sn) = Ker(e), do đó từ (6) suy ra

Ssn = lS(Ker(sn)). Kết hợp với giả thiết Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) ta suy

ra Ssn = Se = lS(Ker(sn)) hay (5) được chứng minh.

Sau đây là các điều kiện đủ để một môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Mệnh đề 4.1.11. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Chúng ta

xét các điều kiện sau đây:

(1) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu sn(M) đẳng

71

cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì sn(M) ≤⊕ M .

(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và mỗi R-đẳng cấu

sn(M) → e(M) trong đó e2 = e ∈ S đều mở rộng thành đồng cấu từ

M →M .

(3) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).

Khi đó, ta có dãy sơ đồ sau: (1)⇒ (2)⇒ (3).

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho 0 6= s ∈ S, giả sử tồn tại n ∈ N sao cho

sn 6= 0 và φ : sn(M)→ e(M) là đẳng cấu, trong đó e2 = e. Vì e(M) ≤⊕ Mvà sn(M) ' e(M) nên theo (1) ta có sn(M) ≤⊕ M . Xét phép chiếu chính

tắc π : M → sn(M) và đơn cấu chính tắc i : e(M)→M . Đặt s = iφπ. Khi

đó s ∈ S và s là một mở rộng của φ.

(2) ⇒ (3). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu

Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta sẽ chứng minh e ∈ Ssn.

Xét đồng cấu φ : sn(M) → e(M) xác định bởi φ(sn(m)) = e(m). Khi

đó, nếu sn(m1) 6= sn(m2) mà φ(sn(m1)) = φ(sn(m2)) thì e(m1) = e(m2),

tức là m1 − m2 ∈ Ker(e) = Ker(sn). Do đó sn(m1) = sn(m2). Điều này

mâu thuẫn với giả thiết, vì vậy φ là đơn cấu. Hiển nhiên φ là toàn cấu nên

φ là đẳng cấu. Theo (2) thì tồn tại t ∈ S là một mở rộng của φ, tức là

với mỗi m ∈ M thì t(sn(m)) = φ(sn(m)) hay t(sn(m)) = e(m). Điều này

chứng tỏ e ∈ Ssn. Theo Định lý 4.1.10, ta có M là môđun thỏa mãn điều

kiện (C).

Ta có môđun con của một môđun thỏa mãn điều kiện (C) không nhất

thiết là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) như trong Ví dụ 4.1.6 đã chỉ

ra. Tuy nhiên, các môđun con là hạng tử trực tiếp thì chúng có tính chất

di truyền. Nói cách khác, hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều

kiện (C) cũng là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Định lý 4.1.12. Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện (C) thì mỗi hạng tử

trực tiếp của M cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

72

Chứng minh. Giả sửM là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) và K ≤⊕ M ,

ta cần chứng minh K cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Vì K ≤⊕ Mnên K = eM trong đó e2 = e ∈ S = End(M). Xét đồng cấu f : e(M) →e(M) với f 6= 0 và giả sử tồn tại n ∈ N sao cho fn 6= 0 và Ker(fn) ≤⊕ eM .

Đặt s = ιfπ trong đó π : M → e(M) là phép chiếu chính tắc và ι : e(M)→M là đơn cấu chính tắc. Ta có s(M) = ιfπ(M) = f(eM). Với mọi m ∈Mthì sn(m) = fn(em) nên sn(M) = fn(eM), do đó Ker(sn) = Ker(fn). Vì

Ker(fn) ≤⊕ eM và eM ≤⊕ M nên Ker(fn) ≤⊕ M hay Ker(sn) ≤⊕ M .

Do M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên ta có Im(sn) ≤⊕ M . Vì

sn(M) ≤ e(M) ≤M nên theo [10, 4, trang 76], ta có sn(M) ≤⊕ e(M). Do

đó fn(M) ≤⊕ e(M), hay e(M) là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Trong mệnh đề tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng nếu A1 ⊕ A2 là một

môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì có một mối liên hệ liên quan đến điều

kiện C2 giữa A1 và A2.

Mệnh đề 4.1.13. Giả sử M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có sự

phân tích M = A1 ⊕ A2 và f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn

Ker(f) ≤⊕ A1 thì Im(f) ≤⊕ A2.

Chứng minh. Giả sử Ker(f) ≤⊕ A1 thì ta có A1 = Ker(f) ⊕ B trong đó

B là một môđun con của A1. Do M = A1 ⊕ A2 = Ker(f) ⊕ B ⊕ A2

nên B ⊕ A2 ≤⊕ M . Vì M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên từ

Bổ đề 4.1.12 ta có môđun B ⊕ A2 thỏa mãn điều kiện (C). Xét đồng cấu

g : B → A2 được xác định g = f |B, khi đó g là đơn cấu. Đặt s := ιgπ

trong đó ι : A2 → M là đơn cấu chính tắc và π : M → B là phép chiếu

chính tắc. Thế thì s 6= 0 và s(M) = (ιgπ)(M) = (ιg)(B) = g(B) ≤ A2. Do

đó, s2(M) = s(s(M)) ≤ s(A2) = ιgπ(A2) = 0 hay s2 = 0. Vì M là một

môđun thỏa mãn điều kiện (C) và Ker(s) = A2 ≤⊕ M nên s(M) ≤⊕ M . Do

s(M) ≤ A2 ≤M nên theo [10, 4, trang 76], ta có s(M) ≤⊕ A2. Vì g(B) =

s(M) nên g(B) ≤⊕ A2. Do g(B) = f(B) = f(A1) nên f(A1) ≤⊕ A2 hay

Im(f) ≤⊕ A2.

73

Từ Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi thu được một số hệ quả sau đây:

Hệ quả 4.1.14. Giả sửM là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có sự phân

tích M = A1 ⊕ A2 và f : A1 → A2 là một R-đơn cấu thì Im(f) ≤⊕ A2.

Hệ quả 4.1.15. Nếu M ⊕M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì M

là môđun C2.

Chứng minh. Giả sửM1 ≤⊕ M vàM1 'M2, ta cần chứng minhM2 ≤⊕ M .

Đặt ϕ : M1 →M2 là một đẳng cấu và giả sử M = M1⊕K với K là môđun

con của M . Thế thì M ⊕M = (M1 ⊕ 0) ⊕ (K ⊕M). Chúng ta xét đồng

cấu sau đây:

ϕ : M1 ⊕ 0 −→ K ⊕M(m1, 0) 7−→ (0, ϕ(m1)).

Ta có Ker(ϕ) = (m1, 0) | ϕ(m1) = 0 = (0, 0), do đó ϕ là một đơn cấu.

Vì M ⊕M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên theo Hệ quả 4.1.14, ta có

Im(ϕ) ≤⊕ K⊕M hay 0⊕M2 ≤⊕ K⊕M . Giả sửK⊕M = (0⊕M2)⊕H với

H ≤ K⊕M . Khi đó 0⊕M = (0⊕M)∩(K⊕M) = (0⊕M)∩[(0⊕M2)⊕H] =

(0⊕M2)⊕ [(0⊕M) ∩H].

Đặt L = m ∈M | (0,m) ∈ H. Khi đó, L ≤ M . Hơn nữa, vì (0 ⊕M)∩H = (0,m) | (0,m) ∈ H nên (0⊕M)∩H = 0⊕L. Vậy 0⊕M =

(0⊕M2)⊕ (0⊕ L) hay 0⊕M2 ≤⊕ 0⊕M và do đó M2 ≤⊕ M .

Hệ quả 4.1.16. Cho M là một R-môđun phải. Khi đó:

(1) Tổng trực tiếp hữu hạn bất kỳ các bản sao của M là một môđun thỏa

mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp hữu hạn bất kỳ các bản

sao của M là một môđun C2.

(2) Tổng trực tiếp đếm được các bản sao của M là một môđun thỏa mãn

điều kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp đếm được các bản sao của M

là một môđun C2.

74

(3) Tổng trực tiếp bất kỳ các bản sao của M là một môđun thỏa mãn điều

kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp bất kỳ các bản sao của M là một

môđun C2.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều

kiện (C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó.

Định lý 4.1.17. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó:

(1) Nếu S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì M là môđun thỏa mãn

điều kiện (C).

(2) Nếu M là môđun tự sinh và thỏa mãn điều kiện (C) thì S là vành thỏa

mãn điều kiện (C) phải.

Chứng minh. (1). Cho 0 6= s ∈ S. Vì S là vành thỏa mãn điều kiện (C)phải nên theo Định lý 4.1.10, nếu tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu

rS(sn) = rS(f) sao cho f 2 = f ∈ S thì f ∈ Ssn. Giả sử e2 = e ∈ S sao

cho Ker(sn) = Ker(e). Khi đó rS(sn) = rS(e) và do đó e ∈ Ssn. Điều này

chứng tỏ M là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(2). Cho 0 6= s ∈ S. Từ M là môđun thỏa mãn điều kiện (C), tồn tại

n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(u) sao cho u2 = u ∈ S thì

u ∈ Ssn. Giả sử e2 = e ∈ S sao cho rS(sn) = rS(e). Ta cần chứng minh

Ker(sn) = Ker(e).

Thật vậy, với mọi m ∈ Ker(sn) thì sn(m) = 0, do đó sn(mR) =

0. Vì M là môđun tự sinh nên mR =∑

f∈I⊆Sf(M). Khi đó sn(mR) =∑

f∈I⊆Ssnf(M) = 0. Từ đó suy ra snf = 0 với mọi f ∈ I và do đó

f ∈ rS(sn) = rS(e) hay ef = 0. Vì vậy, f(M) ≤ Ker(e) và ta có mR =∑f∈I⊆S

f(M) ≤ Ker(e). Điều này chứng tỏ m ∈ Ker(e). Chứng minh hoàn

toàn tương tự, chúng ta cũng có với mọi m ∈ Ker(e) thì m ∈ Ker(sn). Do

đó Ker(sn) = Ker(e). Theo giả thiết thì ta suy ra được e ∈ Ssn. Vì vậy, Slà vành thỏa mãn điều kiện (C) phải.

75

Vì một môđun tự do thì sinh tất cả các môđun con của nó nên ta có:

Hệ quả 4.1.18. Giả sử M là một R-môđun tự do phải. Khi đó M là môđun

thỏa mãn điều kiện (C) nếu và chỉ nếu vành các tự đồng cấu EndR(M) của

M là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải. Đặc biệt, với n ∈ N thì Rn là

R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu và chỉ nếu Mn(R) là vành thỏa

mãn điều kiện (C) phải.

Từ Hệ quả 4.1.16 và Hệ quả 4.1.18, chúng tôi thu được hệ quả sau đây:

Hệ quả 4.1.19. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R(n)R là môđun C2 phải với mọi n ≥ 1.

(2) R(n)R là môđun thỏa mãn điều kiện (C) với mọi n ≥ 1.

(3) Mn(R) là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải với mọi n ≥ 1.

Chứng minh. (1)⇔ (2). Điều này được suy ra từ Hệ quả 4.1.16.

(2)⇔ (3). Điều này được suy ra từ Hệ quả 4.1.18.

Theo Lee, Rizvi và Roman trong [30], một R-môđun M được gọi là

Rickart nếu ∀s ∈ S = EndR(M) thì Ker(s) = e(M) với e2 = e ∈ S. Trong[30, Theorem 3.17], các tác giả đã chứng minh được rằng, S là vành chính

quy nếu và chỉ nếu Ker(f) và Im(f) là các hạng tử trực tiếp của M với mọi

f ∈ S.

Dựa theo khái niệm môđun nửa xạ ảnh đã được Wisbauer giới thiệu

trong [42, trang 260], chúng tôi gọi một R-môđun phải N là M -nửa xạ ảnh

nếu, với mỗi toàn cấu π : M → B trong đó B là môđun con bất kỳ của M

và với mỗi R-đồng cấu α : N → B đều tồn tại một R-đồng cấu β : N →M

sao cho πα = β. Hiển nhiên, M là nửa xạ ảnh nếu M là M -nửa xạ ảnh.

Trong mệnh đề dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra mối quan hệ giữa môđun

Rickart M và khái niệm M -nửa xạ ảnh.

76

Mệnh đề 4.1.20. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các

điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là môđun Rickart.

(2) s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.

Chứng minh. (1)⇒ (2). Trước hết, chúng tôi chứng minhM là nửa xạ ảnh.

Thật vậy, đặt f : M → A là một toàn cấu và g : M → A là một R-đồng

cấu trong đó A ≤ M . Đặt ι : A → M là một đơn cấu chính tắc. Khi đó,

theo giả thiết ta có Ker(ιf) = e(M) với e2 = e ∈ S. Vì Ker(ιf) = Ker(f)

nên Ker(f) ≤⊕ M . Vậy f là một toàn cấu chẻ ra. Do đó, tồn tại h : A→M

sao cho fh = idA. Vì f(hg) = (fh)g = g nên M là nửa xạ ảnh.

Bây giờ, với mọi s ∈ S mà Ker(s) ≤⊕ M thì s(M) ' e(M) với e2 =

e ∈ S. Nếu A là một môđun con của M , chúng ta xét sơ đồ sau đây:

M

e(M)

M A 0.

?

p

?

g

-f

-

Đặt ι : e(M) → M là đơn cấu chính tắc và p : M → e(M) là phép

chiếu chính tắc. Vì M là nửa xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h : M →M sao

cho fh = gp. Từ đó suy ra f(hι) = g. Vì vậy, e(M) là M -nửa xạ ảnh và do

đó s(M) cũng là M -nửa xạ ảnh.

(2)⇒ (1). Với mỗi s ∈ S, chúng ta xét sơ đồ sau đây:

s(M)

M s(M) 0.?

ids(M)

-s -

77

Vì s(M) là M -nửa xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h : s(M) → M sao cho

sh = ids(M). Do đó s là một toàn cấu chẻ ra và vì vậy Ker(s) ≤⊕ M.

Đối ngẫu với môđun Rickart là môđun d-Rickart đã được các tác giả

Lee, Rizvi và Roman giới thiệu trong [31] như sau: Một R-môđun M được

gọi là d-Rickart nếu ∀s ∈ S = EndR(M) thì Im(s) = e(M) với e2 = e ∈ S.Một kết quả liên quan giữa môđun d-Rickart M và vành các tự đồng cấu

S = EndR(M) của nó đã được các tác giả nói trên đưa ra trong [31, Theorem

3.8]. Theo đó, S là vành chính quy nếu và chỉ nếu M là môđun d-Rickart

thỏa mãn điều kiện D2 (Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện D2

nếu mọi môđun con A ≤M màM

Ađẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M thì A là một hạng tử trực tiếp của M).

Sau đây là đặc trưng của vành chính quy thông qua các môđun Rickart,

d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Định lý 4.1.21. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các

điều kiện sau đây là tương đương:

(1) S là vành chính quy.

(2) M là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).

(3) M là môđun d-Rickart và s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Vì S là vành chính quy nên với mọi f ∈ S, ta

luôn có Ker(f) ≤⊕ M . Do đó M là môđun Rickart. Mặt khác, ta cũng có

Im(f) ≤⊕ M với mọi f ∈ S nên M thỏa mãn điều kiện (C).

(2) ⇒ (1). Lấy x ∈ S, x 6= 0 và tồn tại n ∈ N sao cho xn 6= 0.

Do M là môđun Rickart nên Ker(xn) = e(M) với e2 = e ∈ S. Vì vậy,

Ker(xn) ≤⊕ M . VìM là môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên xn(M) ≤⊕ M .

Từ Ker(xn) ≤⊕ M và xn(M) ≤⊕ M , ta suy ra xn là phần tử chính quy của

S. Nếu n = 1 thì x là chính quy. Ngược lại, do xn là phần tử chính quy nên

tồn tại c ∈ S sao cho xn = xncxn. Đặt y = xn−1−xn−1(cx)xn−1, khi đó ta có

78

y2 = (xn−1 − xn−1(cx)xn−1)(xn−1 − xn−1(cx)xn−1)

= x2n−2 − x2n−2(cx)xn−1 − xn−1(cx)x2n−2 + xn−1(cx)xn−1xn−1(cx)xn−1

= x2n−2 − xn−2(xncxn)− xn−1cx2n−1 + xn−1cxn−1(xncxn)

= x2n−2 − xn−2xn − xn−1cx2n−1 + xn−1cxn−1xn

= x2n−2 − x2n−2 − xn−1cx2n−1 + xn−1cx2n−1

= 0.

Vậy y2 = 0. Nếu y = 0 thì xn−1 = xn−1(cx)xn−1 hay xn−1 là phần tử chính

quy. Nếu y 6= 0 thì theo chứng minh trên, chúng ta có y cũng là phần tử

chính quy. Do đó xn−1 là phần tử chính quy theo Bổ đề 1.3.6. Bằng phép

quy nạp theo n, chúng ta có x là phần tử chính quy hay S là vành chính

quy.

(1) ⇒ (3). Vì S là vành chính quy nên Im(s) ≤⊕ M và Ker(s) ≤⊕ Mvới mọi s ∈ S. Do đó, từ Mệnh đề 4.1.20, ta có M là môđun d-Rickart và

s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.

(3) ⇒ (1). Vì M là môđun d-Rickart nên Im(s) ≤⊕ M với mọi s ∈ S.Lại vì s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S nên theo Mệnh đề 4.1.20, ta

có M là môđun Rickart hay Ker(s) ≤⊕ M với mọi s ∈ S. Do đó S là vành

chính quy.

Trong Ví dụ 4.1.22 dưới đây, chúng ta sẽ thấy rằng một trong hai điều

kiện ở phần (2) của Định lý 4.1.21 là không thể bỏ được.

Ví dụ 4.1.22. Cho vành số nguyên Z và các Z-môđun Z, Z4 và Z6. Khi đó:

(1). Xét Z-môđun Z. Vì mọi Z-đồng cấu f : Z → Z là đơn cấu nên

Ker(f) = 0 với mọi f ∈ EndZ(Z). Vì vậy Z-môđun Z là môđun Rickart.

Tuy nhiên, theo Ví dụ 4.1.6 thì Z-môđun Z không thỏa mãn điều kiện (C).Hơn nữa, theo [30, Theorem 3.17] thì vành S = EndZ(Z) không phải là

vành chính quy.

(2). Xét Z-môđun Z4. Khi đó S = EndZ(Z4) = f1, f2, f3, f4 trong

đó f1 là đồng cấu không, f2 là đồng cấu đồng nhất, f3 là đồng cấu được

xác định bởi f3(0) = f3(2) = 0, f3(1) = f3(3) = 2 và f4 là đẳng cấu

79

được xác định bởi f4(0) = 0, f4(1) = 3, f4(2) = 2, f4(3) = 1. Vì f 23 = 0 và

Ker(f3) = 0, 2 6≤⊕ Z4 nên Z-môđun Z4 là môđun thỏa mãn điều kiện (C).Tuy nhiên, cũng vì Ker(f3) = 0, 2 6≤⊕ Z4 nên Z4 không phải là môđun

Rickart. Theo [30, Theorem 3.17] ta cũng suy ra được vành S = EndZ(Z4)

không phải là vành chính quy.

(3). Xét Z-môđun Z6. Khi đó S = EndZ(Z6) = f1, f2, f3, f4, f5, f6trong đó f1 là đồng cấu không, f2 là đồng cấu đồng nhất, f3 là đồng cấu

được xác định bởi f3(0) = f3(3) = 0, f3(1) = f3(4) = 2, f3(2) = f3(5) = 4,

f4 là đồng cấu được xác định bởi f4(0) = f4(2) = f4(4) = 0, f4(1) =

f4(3) = f4(5) = 3, f5 là đồng cấu được xác định bởi f5(0) = f5(3) =

0, f5(1) = f5(4) = 4, f5(2) = f5(5) = 2, và f6 là đẳng cấu được xác định

bởi f6(0) = 0, f6(1) = 5, f6(2) = 4, f6(3) = 3, f6(4) = 2, f6(5) = 1. Vì

Z6 = 0, 3 ⊕ 0, 2, 4 nên Z-môđun Z6 là môđun thỏa mãn điều kiện

(C) và là môđun Rickart. Hơn nữa, với mọi f ∈ S thì Ker(f) ≤⊕ Z6 và

Im(f) ≤⊕ Z6 nên vành S = EndZ(Z6) cũng là vành chính quy.

Từ Định lý 4.1.21, chúng tôi thu được một số hệ quả sau đây:

Hệ quả 4.1.23. Vành R là chính quy khi và chỉ khi R là vành Rickart thỏa

mãn điều kiện (C).

Hệ quả 4.1.24 ([30, Theorem 3.17]). Cho M là R-môđun phải và S =

EndR(M). Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) S là vành chính quy.

(2) M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2.

Hệ quả sau đây là sự mở rộng của Lee-Rizvi-Roman trong [30, Theorem

3.20].

Hệ quả 4.1.25. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành Artin nửa đơn.

80

(2) Mỗi R-môđun tự do là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).

(3) R-môđun tự do R(R) là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).

Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ Định lý 4.1.21 và [30, Theorem 3.20].

Liên quan đến tính chất bất biến Morita đối với một vành thỏa mãn

điều kiện (C), chúng tôi thu được kết quả sau đây:

Mệnh đề 4.1.26. Nếu R là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì vành eRetrong đó e2 = e ∈ R thỏa mãn ReR = R cũng là vành thỏa mãn điều kiện

(C) phải.

Chứng minh. Đặt S = eRe. Giả sử a ∈ S và a 6= 0 thì a ∈ R. Vì R là vành

thỏa mãn điều kiện (C) phải nên nếu tồn tại n ∈ N sao cho an 6= 0 và nếu

rR(an) = rR(f) với f 2 = f ∈ R thì f ∈ Ran. Bây giờ giả sử rS(an) = rS(u)

với u2 = u ∈ S thì ta cần chứng minh u ∈ San.

Trước hết ta có với mọi s ∈ S thì s = ete với t ∈ R. Khi đó se = etee =

ete = s và es = eete = ete = s. Bây giờ ta sẽ chứng minh rR(an) = rR(u).

Thật vậy, nếu r ∈ rR(an) thì với mọi x ∈ R ta có an(erxe) = (ane)(rxe) =

an(rxe) = (anr)(xe) = 0, do đó erxe ∈ rS(an) = rS(u). Vậy u(erxe) = 0

hay urxe = 0 với mọi x ∈ R. Vì ReR = R nên suy ra ur = 0 hay r ∈ rR(u).

Vậy rR(an) ⊆ rR(u). Chứng minh tương tự, ta có rR(u) ⊆ rR(an) và do

đó rR(an) = rR(u). Theo giả thiết, từ rR(an) = rR(u) ta có u ∈ Ran. Vìu ∈ Ran nên u = eu ∈ eRan. Do an = ean nên u ∈ eRan = eRean hay

u ∈ San. Vậy S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải.

Nhận xét 4.1.27. Từ Mệnh đề 4.1.26 thì ta có vành R thỏa mãn điều kiện

(C) phải là một bất biến Morita nếu chúng ta có được vành M2(R) là vành

thỏa mãn điều kiện (C) phải khi R là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải. Do

vậy, từ Hệ quả 4.1.18, chúng ta có thể phát biểu rằng: Vành R thỏa mãn

điều kiện (C) phải là một bất biến Morita khi và chỉ khi nếu R là vành thỏa

81

mãn điều kiện (C) phải thì môđun (R⊕R)R là môđun thỏa mãn điều kiện

(C) phải.

4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun

thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành thông qua môđun

thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu được bao

gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin. Các

kết quả chính của phần này là Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và

Định lý 4.2.6. Phần này được viết trong [20].

4.2.1. Đối với vành chính quy

Trước hết, chúng tôi có nhận xét sau đây:

Nhận xét 4.2.1. Xét môđun M thỏa mãn tính chất (**) sau đây:

(**) Nếu M = A1 ⊕ A2 trong đó A1 và A2 là các môđun con của M ,

f : A1 → A2 là một R-đơn cấu và i : A1 → A1 là ánh xạ đồng nhất, khi đó

tồn tại một R-đồng cấu g : A2 → A1 sao cho g f = i.

Theo Hệ quả 4.1.14, mỗi môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì thỏa mãn

tính chất (**). Chúng tôi xin được nhắc lại rằng tính chất tương đương

Morita là bảo toàn đối với các hạng tử trực tiếp, các đơn cấu và các đẳng

cấu. Do vậy, nếu R và S là các vành tương đương Morita cùng tương đương

phạm trù F : Mod-R → Mod-S thì R-môđun phải MR thỏa mãn tính chất

(**) khi và chỉ khi (F (M))S thỏa mãn tính chất (**).

Định lý 4.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành chính quy.

(2) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) thỏa mãn điều kiện (C).

(3) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) được sinh bởi ma trận đường chéo

thỏa mãn điều kiện (C).

82

(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun

thỏa mãn điều kiện (C).

(5) Mỗi môđun con 2-sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa

mãn điều kiện (C).

Chứng minh. (1)⇒ (2). Trước hết ta có mỗi vành chính quy là môđun thỏa

mãn điều kiện (C). Thật vậy, giả sửR1 là vành chính quy vàK1 ' H1 ≤⊕ R1.

Vì H1 ≤⊕ R1 nên H1 = eR1 với e là phần tử lũy đẳng của vành R1. Do

đó H1 là iđêan chính. Từ đó suy ra K1 cũng là iđêan chính. Theo Định lý

1.3.7, ta có K1 ≤⊕ R1. Vậy R1 là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Do tính chất chính quy là một tính chất bất biến Morita và theo (1) thì

R là vành chính quy nên M2(R) cũng là vành chính quy. Giả sử K là iđêan

phải chính của M2(R), khi đó, theo Định lý 1.3.7, ta có K ≤⊕ M2(R). Vì

M2(R) là vành chính quy nên M2(R) là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Do

đó, theo Định lý 4.1.12, ta có K là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(2)⇒ (3). Điều này là rõ ràng.

(3)⇒ (1). Lấy a ∈ R và I là một iđêan phải chính của M2(R) được sinh

bởi ma trận đường chéo

(a 0

0 1

). Xét I như là một M2(R)-môđun phải thì

theo (3), ta có I là một môđun thỏa mãn điều kiện (C). Theo [23, Corollary

10.7.3], ta có M2(R) và R là tương đương Morita. Bây giờ, từ I ' aR⊕ Rnhư là các R-môđun phải và I thỏa mãn tính chất (**) nên theo Nhận xét

4.2.1, ta có aR ⊕ R thỏa mãn tính chất (**) như là một R-môđun phải.

Xét i : aR→ R là một đơn cấu chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có

aR ≤⊕ R và do đó, từ Định lý 1.3.7 ta có R là một vành chính quy.

(1)⇒ (4). Giả sử R là vành chính quy và M là R-môđun xạ ảnh. N là

R-môđun con hữu hạn sinh của M . Nếu K là một môđun con của N mà

K ' H ≤⊕ N thì ta cần chứng minh K ≤⊕ N .

Theo Bổ đề 1.3.8, R là một vành chính quy nếu và chỉ nếu mỗi môđun

83

con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là hạng tử trực tiếp, do đó

K ' H ≤⊕ N ≤⊕ M . Vì M là môđun xạ ảnh nên N là môđun xạ ảnh. Do

N là hữu hạn sinh và H ≤⊕ N nên H hữu hạn sinh. Vì vậy, K là môđun

hữu hạn sinh. Do R là vành chính quy và K là môđun con hữu hạn sinh

của môđun xạ ảnh N nên K ≤⊕ N .

(4)⇒ (5) là hiển nhiên.

(5) ⇒ (1). Nếu a ∈ R thì R-môđun phải aR ⊕ R là môđun thỏa mãn

điều kiện (C). Xét i : aR → R là một đơn cấu chính tắc. Khi đó, theo Hệ

quả 4.1.14 ta có aR ≤⊕ R và do đó, từ Định lý 1.3.7 ta có R là một vành

chính quy.

Ví dụ 4.2.3. Cho R là vành ma trận

(Z2 Z2

Z2 Z2

)và R-môđun phải M =

RR. Chúng ta xét các môđun con A =

(1 0

0 0

)(Z2 Z2

Z2 Z2

)=

(Z2 Z2

0 0

)và

B =

(1 1

0 0

)(Z2 Z2

Z2 Z2

)=

(Z2 Z2

0 0

)của M . Khi đó A là một iđêan chính

phải của M2(Z2) được sinh bởi ma trận đường chéo e11 =

(1 0

0 0

)và B

là một iđêan chính phải của M2(Z2) được sinh bởi phần tử e =

(1 1

0 0

).

Chúng ta có Z2 là một vành chính quy và lý luận tương tự như trong Ví dụ

4.1.4 thì A và B là các môđun thỏa mãn điều kiện (C).

4.2.2. Đối với vành di truyền

Theo Định lý 1.3.10, một vành R là di truyền phải nếu và chỉ nếu mỗi

môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Đối với môđun thỏa

mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 4.2.4. Cho R là một vành. Khi đó, R là vành di truyền phải nếu

và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa

mãn điều kiện (C).

84

Chứng minh. (⇒). Khi R là vành di truyền phải thì mỗi môđun thương

của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ, do đó mỗi môđun thương của một

R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(⇐). Giả sử rằng mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là

môđun thỏa mãn điều kiện (C). Lấy M là một R-môđun nội xạ và K là

một môđun con của M , chúng ta cần chứng minhM

Klà nội xạ.

Vì E(M

K)⊕M là nội xạ và E(

M

K)⊕M

Klà môđun thương của E(

M

K)⊕M

nên theo giả thiết ta có E(M

K)⊕M

Klà môđun thỏa mãn điều kiện (C). Xét

i :M

K→ E(

M

K) là một R-đơn cấu. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có

M

K' i(

M

K) ≤⊕ E(

M

K). Vì hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội

xạ nên i(M

K) là môđun nội xạ. Do vậy, ta có

M

Klà môđun nội xạ.

4.2.3. Đối với vành Noether

Một môđunM được gọi là Σ-(tựa) nội xạ (đếm được) nếu mỗi tổng trực

tiếp (đếm được) của các bản sao của M là (tựa) nội xạ. Nếu mỗi tổng trực

tiếp (đếm được) của các bản sao của M là môđun thỏa mãn điều kiện (C)thì M được gọi là thỏa mãn điều kiện Σ-(C) (đếm được).

Một kết quả của Faith và Walker đã được đưa ra trong [15] là: Một vành

R là Noether phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ.

Hơn nữa, tác giả Fuller cũng đã chỉ ra được rằng: Mỗi R-môđun phải tựa

nội xạ là Σ-tựa nội xạ khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ

(xem [16, Theorem 2.3]).

Định lý 4.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành Noether phải.

(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn

điều kiện (C).

85

(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun phải nội xạ là môđun

thỏa mãn điều kiện (C).

(4) Mỗi R-môđun phải nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

(5) Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3). Chúng được suy ra từ [28, Theorem 6.5.1]

và mỗi môđun nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(3) ⇒ (1). Cho M =⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được của các

R-môđun phải nội xạ. Khi đó, theo (3), ta có M ⊕E(M) =⊕i∈IMi⊕E(M)

là một môđun thỏa mãn điều kiện (C). Xét i : M → E(M) là một đơn cấu

chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có M ' i(M) ≤⊕ E(M). Vì hạng

tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ nên i(M) là môđun nội xạ.

Do vậy, ta có M là môđun nội xạ. Do đó, R là vành Noether phải theo [28,

Theorem 6.5.1].

(4) ⇒ (3). Cho M =⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được của các

R-môđun phải nội xạ, chúng ta cần chứng minh M thỏa mãn điều kiện (C).

Thật vậy, đặt K =∏i∈IMi. VìMi với i ∈ I là các môđun nội xạ nên theo

[33, Corollary 1.3], ta có K là môđun nội xạ. Theo giả thiết (4), ta có K(I)

là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Vì Mi là nội xạ và Mi ≤ K nên chúng ta

có K = Mi⊕ Ti trong đó Ti là một môđun con nào đó của K và i ∈ I. Khi

đó, ta có K(I) =⊕i∈IK =

⊕i∈I

(Mi ⊕ Ti) = (⊕i∈IMi) ⊕ (

⊕i∈ITi) là một môđun

thỏa mãn điều kiện (C). Do vậy, theo Định lý 4.1.12 thì hạng tử trực tiếp

của K(I) là M =⊕i∈IMi cũng là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(5)⇒ (4) là hiển nhiên.

(1)⇒ (5). Giả sử M là môđun tựa nội xạ. Ta cần chứng minh M (I) là

môđun thỏa mãn điều kiện (C) với I là tập chỉ số đếm được nào đó.

Thật vậy, vì R là vành Noether phải nên [E(M)](I) là môđun nội xạ.

86

Điều này chứng tỏ E(M) là Σ-nội xạ đếm được. Theo [12, Theorem 2.5],

ta có M là Σ-tựa nội xạ đếm được hay M (I) là môđun tựa nội xạ và do đó

M (I) là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

4.2.4. Đối với vành nửa Artin

Theo [9, Definition 1.1], M được gọi là N -đế nội xạ nếu bất kỳ R-đồng

cấu f : Soc(N)→M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N →M . Môđun

M được gọi là đế nội xạ mạnh, nếu M là N -đế nội xạ với mọi R-môđun

phải N .

Trong [8, Proposition 2.22], các tác giả đã chứng minh được rằng vành

R là nửa Artin phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là

nội xạ. Kết quả tương tự đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi đưa ra trong định lý sau đây:

Định lý 4.2.6. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là nửa Artin phải.

(2) Mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Từ vành R là nửa Artin phải nên theo [8, Propo-

sition 2.22], ta có mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là nội xạ. Do đó mỗi

R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

(2)⇒ (1). Cho M là một R-môđun phải đế nội xạ mạnh. Khi đó, theo

[9, Theorem 3.1], ta có M = N ⊕ T , trong đó N là nội xạ và Soc(T ) = 0.

Vì M ⊕E(M) = N ⊕T ⊕E(M) = (N ⊕E(M))⊕T nên theo [9, Theorem

3.1], ta có M ⊕ E(M) là đế nội xạ mạnh và vì vậy M ⊕ E(M) là môđun

thỏa mãn điều kiện (C) theo giả thiết. Xét i : M → E(M) là một đơn cấu

chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có M ' i(M) ≤⊕ E(M). Vì hạng

tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ nên i(M) là môđun nội xạ.

Do vậy, ta có M là môđun nội xạ. Theo [8, Proposition 2.22] thì R là nửa

Artin phải.

87

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 4

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

∗ Trong phần đầu của chương, chúng tôi đưa ra các mối quan hệ giữa

môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh

đề 4.1.7. Các tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi

nghiên cứu trong Định lý 4.1.10, Mệnh đề 4.1.11, Định lý 4.1.12 và Mệnh

đề 4.1.13. Đặc biệt, từ Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi thu được Hệ quả 4.1.14 là

một kết quả rất quan trọng vì nó được trích dẫn nhiều lần trong các phần

chứng minh về sau của luận án. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều

kiện (C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình

bày trong Định lý 4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng

cấu S = EndR(M) của môđun M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart

và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đưa ra trong Định

lý 4.1.21.

∗ Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối

với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi đã

nghiên cứu bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành

nửa Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).

88

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. KẾT LUẬN

Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây:

1.1. Từ việc nghiên cứu về môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã đưa

ra được một số đặc trưng của môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1,

Định lý 2.2.2 và Mệnh đề 2.2.6). Mối liên hệ giữa môđun nửa đơn và môđun

giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi chỉ ra là: N là môđun nửa đơn khi và

chỉ khi M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun M (Định lý 2.2.7). Ngoài

ra, chúng tôi cũng đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt

yếu (Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được

rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3. (Định lý

2.2.11) và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và

CS (Định lý 2.2.12). Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H. Q.

Dinh nêu ra trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và môđun

CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không?

Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa

đơn, vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội

xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng,

một kết quả liên quan đến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng

tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.

1.2. Trong [7] và [35], các tác giả đã nghiên cứu và đưa ra một số tính

chất của môđun ADS. Từ việc kết nối môđun ADS với môđun giả nội xạ

cốt yếu, chúng tôi đề xuất khái niệm môđun ADS tổng quát. Sau đó, chúng

tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun là ADS

89

tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được

một hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS tổng quát

hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun

phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện

CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếuM là môđun ADS tổng

quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđunM cũng là ADS tổng quát (Mệnh

đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất của môđun

ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn (Định lý

3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa đơn (Hệ

quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ

được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống như

môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng vành ADS

tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.

1.3. Từ một đặc trưng của môđun C2 mà chúng tôi thu được là: Môđun

M là môđun C2 khi và chỉ khi với s ∈ S = EndR(M) mà Ker(s) là hạng

tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M , chúng tôi đưa ra

khái niệm môđun thỏa mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun C2 và

môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đề cập trong Mệnh đề

4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Các tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C)được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 4.1.10, Mệnh đề 4.1.11, Định lý

4.1.12 và Mệnh đề 4.1.13. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C)và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình bày

trong Định lý 4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu

S = EndR(M) của môđun M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart và

môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đưa ra trong Định lý

4.1.21.

Trong phần cuối của luận án này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối

với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu

được bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa

Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).

90

1.4. Từ các kết quả mà chúng tôi đã nghiên cứu được về môđun giả nội

xạ cốt yếu, môđun ADS tổng quát và môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúngtôi hoàn thiện sơ đồ đã được đưa ra trong phần cuối của Chương 1 thành

một sơ đồ mở rộng hơn như sau:

ADS tổng quát

Giả nội xạ cốt yếu ⇒ C3 ⇐ ⇐ ⇑

⇑ ⇑ ⇑

Giả nội xạ ⇒ C2 ⇒ (C) ADS

⇑ ⇑ ⇑

Nửa đơn ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ ⇒ Tựa liên tục

⇑ ⇑ ⇓

Đơn Nội xạ C1

2. KIẾN NGHỊ

Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ quan tâm đến các vấn đề chính sau

đây:

2.1. Chúng tôi sẽ nghiên cứu để trả lời 2 câu hỏi về môđun ADS, đó là:

+) Hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là môđun ADS

tổng quát hay không?

+) Cho M =n⊕i=1

Mi là tổng trực tiếp của các môđun ADS tổng quát

Mi và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i. Khi đó M có là môđun

ADS tổng quát hay không?

2.2. Chúng tôi sẽ xem xét một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có phải

là mở rộng thực sự của môđun C2 hay không.

2.3. Vì môđun D2 là môđun đối ngẫu với môđun C2 nên chúng tôi sẽ

xem xét một mở rộng của môđun D2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C∗).Từ đó chúng tôi hy vọng sẽ đưa ra được các kết quả liên quan đến môđun

D2 cũng như các mở rộng của nó để từ đó nhận được các đặc trưng vành.

91

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH

CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN

1. Phan Thế Hải, Vành và môđun C2 yếu, Tạp chí khoa học, Đại học

Huế, (đã được nhận đăng).

2. Phan Thế Hải và Trương Công Quỳnh, Môđun giả nội xạ cốt yếu,

Tạp chí khoa học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng,

Số 3(02) (2012), 13-18.

3.Hai, P. T.,On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii

Journal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.

4.Hai, P. T.,On modules and rings satisfy condition(C), Asian-EuropeanJournal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).

5. Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V., Mutually essentially

pseudo injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sci-

ences Society, 39(2), (2016), 795-803.

6. Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular mor-

phisms, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.

92

CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN

ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ

THẢO LUẬN TẠI:

1. Hội thảo Khoa học Cán bộ trẻ các trường Đại học Sư phạm toàn quốc

lần thứ ba, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng, 26-27/4/2013.

2. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Trường Sỹ quan thông tin

Nha Trang, Khánh Hòa, 10-14/8/2013.

3. Hội thảo về nhóm, vành và các vấn đề liên quan, Viện nghiên cứu

cao cấp về toán (VIASM), tầng 7 thư viện Tạ Quang Bửu, Trường Đại học

Bách khoa Hà Nội, 30/5/2014.

4. Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Tuần Châu, Hạ Long, Quảng Ninh,

18-21/12/2014.

5. Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ nhất, Trường Đại

học Quy Nhơn, Bình Định, 12-14/8/2015.

6. Xêmina tại Tổ bộ môn Đại số-Hình học, Khoa Toán, Trường Đại học

Sư phạm-Đại học Huế.

7. Xêmina tại Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh, Nghệ An.

8. Xêmina tại Khoa Đại số và Logic Toán, Viện Toán-Cơ Lobachevsky,

Trường Đại học Kazan, Liên bang Nga.

93

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT

[1] Phan Thế Hải, Vành và môđun C2 yếu, Tạp chí khoa học, Đại học Huế,

(đã được nhận đăng).

[2] Phan Thế Hải và Trương Công Quỳnh, Môđun giả nội xạ cốt yếu, Tạp

chí khoa học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng,

Số 3(02) (2012), 13-18.

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun và

vành, Nhà xuất bản Giáo dục, (2001).

[4] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết, Giáo trình Lý thuyết vành và

Môđun, Nhà xuất bản Đại học Huế, (2013).

TÀI LIỆU TIẾNG ANH

[5] Akalan, E., Birkenmeier, G. F. and Tercan, A., Goldie extending rings,

Comm. Algebra, 40(3), (2012), 423-428.

[6] Alahmadi, A., Er, N. and Jain, S. K., Modules which are invariant under

monomorphisms of their injective hulls, J.Aust. Math. Soc. 79, (2005),

349-360.

[7] Alahmadi, A., Jain, S. K. and Leroy, A., ADS modules, J. Algebra 352,

(2012), 215-222.

[8] Amin, I., Ibrahim, Y. and Yousif, M. F., C3-modules, Algebra Colloq.

22, (2015), 655–670.

94

[9] Amin, I., Yousif, M. F. and Zeyada, N., Soc-injective rings and modules,

Comm.Algebra 33, (2005), 4229-4250.

[10] Anderson, F. W. and Fuller, K. R., Rings and categories of modules,

Berlin - Heidelbeng - New York (2rd edition), (1992).

[11] Camillo, V. P., Khurana. D., Lamc. T. Y., Nicholson. W. K. and Zhou.

Y., Continuous modules are clean, J. Algebra, 304, (2006), 94-111.

[12] Clark, J., On direct sums of modules which satisfy generalizations of in-

jectivity, Proceedings of the Mathematics Conference, Birzeit University,

West Bank, Palestine, 19-23 August, (1998).

[13] Dinh, H. Q., A note on pseudo-injective modules, Communications in

Algebra, 33, (2005), 361-369.

[14] Dung, N. V., Huynh, D. V., Smith, P. F. and Wisbauer, R., Extending

Modules, Pitman London, (1996).

[15] Faith, C. and Walker, E. A., Direct sum representations of injective

modules, J. Algebra 5, (1967), 203-221.

[16] Fuller, K. R., On direct representations of quasi-injectives and quasi-

projectives, Arch. Math. XX, (1969), 495-502.

[17] Fuller, K. R., Relative projectivity and injectivity classes determined by

simple modules. J.London Math.Soc. 5, (1972), 423-431.

[18] Goodearl, K. R., Von Neumann regular rings, Pitman London, (1979).

[19] Hai, P. T., On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii

Journal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.

[20] Hai, P. T., On modules and rings satisfy condition(C), Asian-EuropeanJournal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).

[21] Hallett, R. R., Injective modules and their generalizations, Ph.D. The-

sis,Univ. of British Columbia, Vancouver, B.C., (1971).

95

[22] Hirano, Y., Regular modules and V-modules, Hiroshima Math.J., 11,

(1981), 125-142.

[23] Hazenwinkel, M., Gubaeni, N., Kirichenko, N. N., Algebra, Rings and

Modules (Volume 1), Kluwer Academic Publisher, 2004.

[24] Idelhadj, A., Kaidi, E., Martin, Barquero, D., and Martin Gonzalez,

C., Rings whose class of projective modules is socle fine. Publ. Mat. 48,

(2004), 397-408.

[25] Jain, S. K. and Singh, S., Quasi-injective and pseudo-injective modules,

Canadian Math. Bull. 18, (1975), 359-366.

[26] Johnson, R. E. andWong, E. T.,Quasi-injective modules and irreducible

rings, J. London Math. Soc. 36, (1961), 260-268.

[27] Kaplansky, I., Projective modules, Annals of Mathematics, Second Se-

ries, 68, (1958), 372-377.

[28] Kasch, F., Modules and Rings, L.M.S. Monograph No. 17, Academic

Press, New York, (1982).

[29] Lam, T. Y., Lectures on modules and rings, Grad. texts in Math. 189,

Springer, (1998).

[30] Lee, G., Rizvi, S. T. and Roman, C. S., Rickart modules, Commun.

Algebra 38(11), (2010), 4005-4027.

[31] Lee, G., Rizvi, S. T. and Roman, C. S., Dual Rickart modules, Comm.

Algebra 39, (2011), 4036-4058.

[32] Mohammed, S. H. and Muller, B. J., Continous and Discrete Modules,

London Math. Soc. LN 147: Cambridge Univ. Press., (1990).

[33] Nicholson, W. K. and Yousif, M. F., Quasi-Frobenius Rings, Cambridge

Univ. Press, (2003).

96

[34] Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V.,Mutually essentially pseudo

injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences

Society, 39(2), (2016), 795-803.

[35] Quynh, T. C. and Kosan, M. T., On ADS modules and rings, Commu-

nications in Algebra 42, (2014), 3541-3551.

[36] Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular mor-

phisms, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.

[37] Shen, L. and Chen, J., New characterization of quasi-Frobenius rings,

Comm. Algebra 34, (2006), 2157-2165.

[38] Singh, S. and Jain, S. K., On pseudo injective modules and self pseudo-

injective rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2 (1) (1967), 125-

133.

[39] Singh, S. and Srivastava, A. K., Rings of invariant module type and

automorphism-invariant modules, in: Ring Theory and Its Applications

(volume in honor of T. Y. Lam), Contemp. Math., Amer. Math. Soc.

609 (2014), 299-311.

[40] Smith, P. F. and Tercan, A., Generalizations of CS-modules, Commu-

nications in Algebra 21, (1993), 1809-1847.

[41] Teply, M. L., Pseudo-injective modules which are not quasi-injective,

Proc. Amer. Math. Soc., 49 (2), (1975), 305-310.

[42] Wisbauer, R., Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and

Breach. Reading, (1991).

[43] Zhu, Z. and Yu, J., On GC2 modules and their endomorphism rings,

Linear and Multilinear Algebra 56(5), (2008), 511-515.

97