Priemgetallen

1 DefinitieEen priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft: 1 en zichzelf.

0 en 1 zijn geen priemgetallen. 0 heeft oneindig delers, 1 juist één. Als 1 wel een priemgetal zou zijn, zou de hoofdstelling van de rekenkunde niet opgaan. (Je zou kunnen ontbinden in 115 ∙ 17 ∙… .) Die stelt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 op juist één manier – de volgorde is onbelangrijk – ontbonden kan worden in priemfactoren.

Getal Priemgetal? Getal Priemgetal? Getal Priemgetal?

0 Nee 2 Ja 888 888 888 Nee (9)

1 Nee 17 Ja 351 Nee (13)

-2 Nee 36 526 137 358 Nee (2) 157 Ja

Hoofdstelling van de rekenkunde: elk natuurlijk getal, groter dan 1, kan op juist één manier – de volgorde is onbelangrijk – ontbonden kan worden in priemfactoren.

In symbolen: n=p1α 1∙ p2

α 2∙ p3α 3∙…∙ pq

α q met n ϵ N ; p1,p2

, …, pqpriemgetallen en α 1

, α 2, …,

α q ϵ N 0 . Het aantal delers van n is dan (α ¿¿1+1) ∙(α ¿¿2+1)∙…∙(α ¿¿q+1)¿¿¿.

Oefening: ontbind 756 in priemfactoren en bepaal het aantal delers

ontbinding :22 ∙33 ∙7, aantal delers : (2+1 ) ∙ (3+1 ) ∙ (1+1 )=24

2 Aantal priemgetallenStelling van EuclidesTe bewijzen: er zijn oneindig veel priemgetallenBewijs uit het ongerijmde:

Stel dat er een eindig aantal priemgetallen is, en stel P=p1 ∙ p2 ∙…∙ pn het product

van alle priemgetallen, met pn het grootste priemgetal.

Definieer het getal N=P+1. Het is groter dan pn.· Als N priem is, dan hebben we een nieuw priemgetal gevonden, dat groter is

dan pn, wat in tegenspraak is met de aanname.· Als N niet priem is, dan moet het deelbaar zijn door een priemgetal Q

(volgens de hoofdstelling van de rekenkunde). Dit getal Q is evenwel geen van de priemgetallen p1 , p2 ,…, pn, want deling door een van deze geeft als

rest 1, dat niet door een priemgetal deelbaar is. Q moet groter zijn dan pn, wat leidt tot een contradictie.

1

756 2

378 2

189 3

63 3

21 3

7 7

1

Besluit: er zijn oneindig veel priemgetallen. ∎

3 Eigenschappen Eigenschap 1: Een priemgetal dat een product van factoren deelt, deelt ten minste één van

de factoren.Voorbeeld: 7 deelt 14*57, want 7 deelt 14.

Eigenschap 2: Een getal is deelbaar door een ander getal, dan en slechts dan als in het eerste al de priemfactoren van het tweede staan, met dezelfde of een grotere exponent.

Voorbeeld: 375 = 5³ *3 is deelbaar door 25 = 5²

Eigenschap 3: De kleinste (echte) deler van een deelbaar getal is een priemgetal en het kwadraat ervan is kleiner dan of gelijk aan het deelbare getal.

Voorbeeld: kleinste deler van 27 is 3 en 3² < 9

Gevolg: twee getallen zijn niet onderling ondeelbaar als ze minstens 1 gemene priemdeler hebben.

(De kleinste deler van hun ggd is een priemgetal, dat beide getallen deelt.)Voorbeeld: 25 en 27 zijn onderling ondeelbaar, want ze hebben geen gemene priemdelers. 36 en 48 zijn niet onderling ondeelbaar, want ze hebben verschillende gemene priemdelers.

4 Kgv en ggd De ggd van enkele in priemfactoren ontbonden getallen, is het product van de

gemeenschappelijke priemfactoren, elk met zijn kleinste exponent.

Het kgv van enkele in priemfactoren ontbonden getallen, is het product van al de priemfactoren, elk met zijn grootste exponent.

5 Bijzonderheden Priemgetallen met speciale vorm

· Palindroompriemgetallen· Tetraëdische priemgetallen· Repunit-priemgetallen· Circulaire priemgetallen· Permutabele priemgetallen

Als p een priemgetal is en a is een willekeurig geheel getal, dan is a p−adeelbaar door p (kleine stelling van Fermat).

Als n een positief geheel getal is, dan is er altijd een priemgetal p met n < p ≤ 2n (postulaat van Bertrand).

Onbeantwoord / onbewezen:

2

· Vermoeden van Goldbach: ieder even getal kan geschreven worden als de som van 2 priemgetallen

· Oneindig veel priemtweelingen?· Formule voor priemgetallen?

6 Oefeningen1. Het verschil van twee priemgetallen, groter dan 2, is minstens 2. Verklaar.

Elk priemgetal groter dan 2 is oneven. Het verschil tussen 2 oneven getallen is altijd minstens 2, omdat er tussen 2 opeenvolgende oneven getallen een even getal is.

2. Bereken ggd en kgv van 60, 72 en 180.60=2²∗3∗5 ,72=2³∗3² ,180=2²∗3²∗5

ggd(60,72,180) =2²∗3 = 12kgv(60,72,180) = 2³*3²*5 = 360

3. Elk priemgetal, groter dan 3, is te schrijven als 6n±1. Het omgekeerde is vals. Toon aan.Gegeven: p is een priemgetal groter dan 3Te bewijzen: p=6n±1Bewijs: Neem een willekeurig priemgetal p (verschillend van 0 en groter dan 3) en deel dat

door zes m.b.v. een euclidische deling, zodat p=6q+r . r , q ϵ N0, p > 3 en 0≤r ≤5.

Verschillende mogelijkheden, afhankelijk van de rest:· De rest kan niet 0, 2 of 4 zijn, dan zou p deelbaar zijn door 2 en niet priem.· De rest kan niet 3 zijn, dan zou p deelbaar zijn door 3 en niet priem.· De rest kan 1 zijn en dan is p priem en schrijfbaar als 6q + 1. => q = n· De rest kan 5 zijn en dan is p priem en schrijfbaar als 6q+5=6 (q+1 )−1. => q +1 = n Het omgekeerde (6n±1 stelt een priemgetal groter dan 3 voor) geldt niet.

Tegenvoorbeeld: n = 4, 25 is niet priem.

4. Bereken a en b, als a²-b² = 11.Verschil tussen twee opeenvolgende priemgetal is telkens oneven getal: (1), 4, 9, … 11: verschil tussen 36 en 25. a=6, b=5

5. Bepaal twee priemgetallen als het verschil van hun kwadraten een priemgetal is.a en b zijn priemgetallen, als a²-b² = c² met c ϵ N 0

a² = c² + b² => sommige Pythagorese drietallen (oneindig veel) zijn oplossingen, bv. (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), maar bv. (6,8,10) niet!

6. Welke macht van 60 is deelbaar door 72³?

60=2²∗3∗5 ,72³= (23∗32 )3

606 is deelbaar door723

3

7. Is p een priemgetal, groter dan 3, dan is p²-1 een 24-voud. Bewijs.Gegeven: p is een priemgetal groter dan 3Te bewijzen: p ²−1=24q met q ϵ N0Bewijs:

p=6n±1 => p ²−1=(6n±1 )2−1=36n ²±12n+1−1=12n (3n±1)· Als n even is, dan bestaat er een t ϵ N0 zodat n=2t. Dan geldt:

p ²−1=12∙2 t (3n±1 )=24 t (3n±1), en dus p ²−1=24q met q=24 t (3n±1).

· Als n oneven is, dan is (3n±1)even, dus dan bestaat er een t ϵ N0 zodat

(3n±1 )=2 t. Dan geldt: p ²−1=12n∙2 t=24n ∙ t en dusp ²−1=24q met q=n ∙ t.

p ²−1=( p+1 ) (p−1 ) . p+1en p−1 zijn sowieso even, dus deelbaar door 2. Omdat p > 3, is een van beide factoren ook zeker deelbaar door 4. (Van twee opeenvolgende even getallen is juist 1 deelbaar door 4!) p is niet deelbaar door 3, maar een van de drie getallen uit de reeks p-1, p, p+1 moet wel deelbaar zijn door 3. We kunnen de factoren 2, 3 en 4 vooropzetten en krijgen zo een 24-voud.

8. Wat is het kleinste priemgetal dat 311+513deelt? Som wordt sowieso even getal, kleinste priemdeler is 2. 31=3 ,3²=9 ,33=27 ,34=81,35=243: patroon, het eindcijfer van 3k is ook het

eindcijfer van 3k +4. Eindcijfer van 311=37+4=33+4+4 :eindcijfer van 3³. Het eindcijfer

van 5k (met k > 0) is altijd een 5. 5+7=2 (eindcijfer) => kleinste priemdeler is 2

4

5

2 als het laatste cijfer 0, 2, 4, 6 of 8 (dat wil zeggen even) is, 3 als de cijfersom deelbaar is door 3; deze test kan herhaald worden voor de cijfersom, als die te groot is om deelbaarheid door 3

direct vast te stellen, 4 als het getal van de laatste twee cijfers (de rest bij deling door 100) deelbaar door 4 is, 5 als het getal eindigt op 0 of 5, 6 als het getal zowel deelbaar is door 2 als door 3, 7 als het getal, dat bekomen wordt door het laatste cijfer weg te laten en 2 maal af te trekken van het getal gevormd door de

overblijvende cijfers, deelbaar is door 7. Zo is b.v. 364deelbaar door 7, want 36 - 2 × 4 = 28 is deelbaar door 7. Deze bewerking komt er immers op neer dat men het 21-voud van het laatste cijfer aftrekt van het onderzochte getal, en elk 21-voud is deelbaar door 7. Deze test kan herhaald worden voor het bekomen getal, als dat te groot is om deelbaarheid door 7 direct vast te stellen,

8 als het getal van de laatste drie cijfers (de rest bij deling door 1000) deelbaar door 8 is, 9 als de cijfersom deelbaar is door 9; deze test kan herhaald worden voor de cijfersom, als die te groot is om deelbaarheid door 9

direct vast te stellen 10 als het laatste cijfer een 0 is, 11 als het resultaat, verkregen door de cijfers afwisselend op te tellen en af te trekken, deelbaar door 11 is (bij herhaald uitvoeren

van de procedure komt men uit op 0). Bijvoorbeeld: 2.454.232 is deelbaar door 11, want 2 - 4 + 5 - 4 + 2 - 3 + 2 = 0, 12 als het getal zowel deelbaar is door 3 als door 4. 13 als het getal, dat bekomen wordt door achtereenvolgens het laatste cijfer weg te laten, dat cijfer op te tellen bij het getal gevormd

door de overblijvende cijfers, en af te trekken van de tientallen daarvan, deelbaar is door 13. Zo is bijvoorbeeld 572 deelbaar door 13, want 57 + 2 - 10 × 2 = 39 is deelbaar door 13. Deze bewerking komt er immers op neer dat men het 91-voud van het laatste cijfer aftrekt van het onderzochte getal, en elk 91-voud is deelbaar door 13. Deze test kan herhaald worden voor het bekomen getal, als dat te groot is om deelbaarheid door 13 direct vast te stellen,

14 als het getal zowel deelbaar is door 2 als door 7. 15 als het getal zowel deelbaar is door 3 als door 5.

Grote getallen kan men ook testen op deelbaarheid door 7 of 13 door de cijfers in groepen van 3 afwisselend op te tellen en af te trekken, en het resultaat te testen op deelbaarheid door 7 of 13. Zo is 2634717358 deelbaar door zowel 7 als 13, want 2 - 634 + 717 - 358 = -273 en 273 is zowel door 7 als door 13 deelbaar. Deze test berust op de gelijkheid 7 × 11 × 13=1001.

Er is een verband tussen deze regeltjes en de deelbaarheid van getallen nabij machten van 10:

Als een getal een deler van 10n is, zijn de laatste n cijfers genoeg. (zie: 2, 4, 5, 8, 10) Als een getal een deler van 10n - 1 is, kan men de cijfersom per n-tal van getallen gebruiken. (zie: 3, 9) Als een getal een deler van 10n + 1 is, kan men de 'afwisselende cijfersom' per n-tal van getallen gebruiken. (zie: 11, 7, 13) Als het getal het product is van 2 getallen die relatief priem zijn, kan men naar die factoren afzonderlijk kijken. (zie: 6, 12)

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.

6

7