Langsstabiliteit van een boot op hydrofoilsveldman/Scripties/VanderPol-BachelorTechWisk.pdf · het...

Langsstabiliteit van een boot

op hydrofoils

Ester van der Pol

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Juli 2010

Langsstabiliteit van een boot op

hydrofoils

Samenvatting

Varen op een boot met hydrofoils en al vleugelend over het water varen. Dat was het plan vanhet Solarteam Groningen voor hun nieuwe boot, de Solarboat-X. Doordat draagvleugels deboot uit het water tillen, zal deze minder weerstand ondervinden en dus sneller kunnen varen.Maar voor het varen op hydrofoils zijn meerdere configuraties van de draagvleugels mogelijk.En welke van die configuraties is nou het beste voor de zonneboot wat betreft langsstabili-teit? Met behulp van verschillende vleugelconfiguratie bij vliegtuigen en de voorwaarden voorlangsstabiliteit, zal ik hier antwoord op gaan geven.

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Auteur: Ester van der Pol

Begeleider(s): Prof. Dr. A.E.P. Veldman

Datum: Juli 2010

Instituut voor Wiskunde en Informatica

Postbus 407

9700 AK Groningen

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

1.1 Aanleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Terminologie van een vliegtuig 3

2.1 Vliegtuigassen en momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Zwaartepunt ‘cg’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Punten op de vleugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Statische langsstabiliteit bij een vliegtuig 7

3.1 Een vliegtuigvleugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 De eerste voorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.2 De tweede voorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.3 De vliegende vleugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Twee vleugels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 De eerste voorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.2 De tweede voorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Het neutrale punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Verschillende vleugelconfiguraties 15

4.1 Conventioneel vliegtuig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Canardvliegtuig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Tandemvliegtuig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Andere vleugelconfiguraties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

iv INHOUDSOPGAVE

5 De zonneboot 23

5.1 Conventionele configuratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Canardconfiguratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Tandemconfiguratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Conclusie 31

7 Bibliografie 32

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Aanleiding

Een samenwerkingproject tussen de Hanze Hogeschool en de Rijksuniversiteit Groningen ishet bouwen van een boot die slechts werkt op zonne-energie. Deze boot willen ze mee latenvaren in de Frisian Solar Challenge 2010 [1] die start op 4 juli 2010. De Frisian Solar Challengeis een zesdaagse race door de wateren van Friesland waarbij alleen boten meedoen die puurop zonne-energie varen. Het doel is om zo snel mogelijk een parcours af te leggen, maar erzijn ook andere prijzen te winnen. Zo is er de prijs voor meest innovatief ontwerp waar hetGroningse zonneboot-team bovenal in geınteresseerd is.

1.2 Probleemstelling

De meeste boten varen gewoon op hun romp, maar er zijn ook boten te vinden die bij hooggenoege snelheid op zogenaamde hydrofoils varen. Hydrofoils zijn een soort vleugels die zichonder water bevinden. Door de snelheid van de boot werkt er een draagkracht op de hydro-foils die de boot uit het water tilt, zodat de boot niet meer op zijn romp hoeft te varen. Ditscheelt erg veel in de weerstand die de boot in het water ondervindt doordat nu alleen dehydrofoils zich in het water bevinden die een veel kleinere oppervlakte hebben.

Doordat er op een kleiner oppervlakte gevaren wordt en een deel van de boot boven wa-ter komt, hebben we te maken met een verandering in stabiliteit van de boot. De stabiliteitvan een boot heeft veel te maken met de momenten die op de boot werken. Er zijn bij eenboot drie momenten te onderscheiden: het rolmoment, het giermoment en het langsmoment.Het rolmoment heeft te maken met het ‘rollen’ van de boot, het giermoment met het naarlinks of rechts sturen van de boeg en het langsmoment met het omhoog of omlaag brengenvan de boeg. Bij een normale boot werken deze momenten op de romp van de boot, maar bijeen boot op hydrofoils is het niet meer de romp maar de hydrofoils waar je naar moet kijken.De momenten op een boot op hydrofoils zijn dan ook het best te vergelijken met momentenop een vliegtuig, doordat deze ook op een soort hydrofoils ‘vaart’.

Bij een vliegtuig zijn dezelfde momenten te herkennen als bij een boot. Deze momenten

1

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

zeggen ook weer wat over de stabiliteit van een vliegtuig. Als de krachten en momenten dieop een vliegtuig werken met elkaar in evenwicht zijn, bevindt het vliegtuig zich in een even-wichtstoestand. Bij een vlucht is het de bedoeling dat het vliegtuig dit evenwicht aanhoudt.Wel krijgt het vliegtuig te maken met windstoten of turbulentie en zal het vliegtuig uit destationaire toestand komen en een beweging gaan maken. En vliegtuig is (statisch) stabiel alshet na een verstoring weer terug valt in de stationaire toestand zonder dat er een stuurbewe-ging aan te pas komt. Of een vliegtuig stabiel is, heeft met de configuratie van de vleugels ende verdeling van het gewicht te maken.

Over het algemeen bestaat een vliegtuig uit een romp met 2 vleugels (waarbij de vleugelsdoor de romp getrokken zijn). Hierbij kan je een keuze maken uit verschillende groottes vande vleugels en ook de positie van de vleugels. Zo heb je het conventionele vliegtuig meteen staartvleugel als stabiliserende factor, de canard (eend) waarbij juist de voorste vleugelstabiliserend werkt en een tandemvliegtuig met twee ongeveer gelijke vleugels.

(a) Conventioneel vliegtuig (b) Canard (c) Tandemvliegtuig

Figuur 1.1: Verschillende configuraties van vleugels

Deze configuraties van vleugels kan je ook toepassen op een boot op hydrofoils en daarnamet de theorie voor stabiliteit bij vliegtuigen, onderzoeken of en wanneer deze configuratiesstabiel zijn. In deze scriptie zullen we alleen gaan kijken naar de langsstabiliteit van een bootop hydrofoils. Bij ons onderzoek hebben we vooral gebruik gemaakt van twee boeken met eensectie over langsstabiliteit bij vliegtuigen [6] en [4].

Hoofdstuk 2

Terminologie van een vliegtuig

Om iets over de langsstabiliteit van een vliegtuig te kunnen zeggen, moeten we eerst een stelbegrippen introduceren. Zo zullen we later zien dat de ligging van het aerodynamisch centrumen het zwaartepunt van een vliegtuig van groot belang zijn voor statische langsstabiliteit.Maar als eerste is het belangrijk om te weten hoe een vliegtuig en vleugel eigenlijk in elkaarzitten.

2.1 Vliegtuigassen en momenten

Figuur 2.1: vliegtuigassen en momenten

Bij een vliegtuig zijn drie verschillende as-sen te herkennen: de topas, de langsas ende dwarsas. Om deze assen werken weer demomenten die op een vliegtuig werken. Zowerk het rolmoment om de langsas, het gier-moment om de topas en het langsmomentom de dwarsas, zoals te zien op het plaatsjehiernaast. Het langsmoment is positief als deneus ten opzichte van de dwarsas naar bovenstaat en logischerwijs negatief als de neus tenopzichte van de dwarsas naar beneden wijst.Aangezien deze scriptie alleen over de langs-stabiliteit gaat, willen we dat het vliegtuigstabiel blijft op het veranderen van de posi-tie van de neus ten opzichte van de dwarsasna. Het rol- en giermoment blijven deze hele scriptie buiten beschouwing.

2.2 Zwaartepunt ‘cg’

Het zwaartepunt van een vliegtuig is het punt waarom alle massa van een vliegtuig in even-wicht is en de zwaartekracht aan het vliegtuig grijpt. Dit punt bevindt zich dichtbij degrootste vleugel van een vliegtuig, sinds daar zich de meeste massa bevindt en dus de kleinste

3

4 HOOFDSTUK 2. TERMINOLOGIE VAN EEN VLIEGTUIG

arm nodig heeft ten opzichte van het zwaartepunt. Dit kunnen we halen uit een makkelijkemanier om de positie van het zwaartepunt te berekenen: we delen de som van de momentenop de onderdelen van het vliegtuig door de som van het gewicht van die onderdelen [2]:

∑Momenten∑

massa

Bij een vol vliegtuig heb je te maken met de brandstof die opraakt en hierdoor zal het zwaar-tepunt ook verschuiven. Daarom hebben de makers van de vliegtuigen limieten gestelt waarhet zwaartepunt zich moet bevinden. Een vliegtuig bevindt zich in een evenwichtstoestandals de invalshoek α gelijk blijft zodat alle momenten van een vliegtuig in evenwicht zijn. Hetlangsmoment om het zwaartepunt Mcg is dan gelijk aan 0.

2.3 Punten op de vleugel

Een vliegtuig blijft vliegen doordat er een verschil is in onderdruk en bovendruk op eenvleugel die een draagkrach opwekt. Deze draagkracht is afhankelijk van de invalshoek van deluchtstroom α en is gelijk aan de zwaartekracht als het vliegtuig zich in een evenwichtstoestandbevindt. Bij kleine invalshoeken is de draagkrachtcoefficient ongeveer gelijk aan:

CL := 2πα (2.1)

Het punt op de vleugel waar de draagkracht aangrijpt, het drukpunt (‘cp’) , is afhankelijkvan de drukverdeling op de vleugel. Deze is weer afhankelijk van de vorm van de vleugel. Zoheb je een symmetrische vleugel, die symmetrisch is om zijn koorde ‘c’, een positief gewelfdevleugel en een negatief gewelfde vleugel. Bij een symmetrische vleugel ligt het drukpunt altijdop 25% van de koorde van een vleugel, maar bij gewelfde vleugels ligt het drukpunt niet vast.

(a) Symmetrische vleugel

(b) Positief gewelfde vleugel (c) Negatief gewelfde vleugel

Figuur 2.2: Verschillende soorten vleugels

Als door een windvlaag een vliegtuig onder een andere hoek komt te vliegen, is er een ver-andering van de invalshoek van de luchtstroom (∆α) opgetreden. De extra opgewekte draag-kracht die daarbij optreedt grijpt aan in het aerodynamische centrum (‘ac’) van de vleugel.Het aerodynamische centrum bevindt zich op precies 25% van de koorde van de vleugel. Bijeen symmetrische vleugel vallen het drukpunt en aerodynamische centrum samen. Dit komtdoordat een symmetrische vleugel geen eigen moment om zijn aerodynamische centrum heeft

2.3. PUNTEN OP DE VLEUGEL 5

(Mac = 0). Een positief gewelfde vleugel heeft een negatief eigen moment (Mac < 0). Ditzorgt ervoor dat bij een grote invalshoek α, en dus een grote draagkracht, het drukpunt vlakachter het aerodynamische centrum ligt. Bij kleinere invalshoeken komt het drukpunt steedsverder achter het aerodynamische centrum te liggen. Een negatief gewelfde vleugel heeft juisteen positief eigen moment (Mac > 0) een heeft bij een grote invalshoek, en dus een grote lift-kracht, het drukpunt vlak voor het aerodynamische centrum liggen. Bij kleinere invalshoekenligt het drukpunt steeds verder voor het aerodynamische centrum.

Als je te maken hebt met meerdere vleugels, zoals bij de meeste vliegtuigen, dan heb jeook een aerodynamische centrum van het gehele vliegtuig. Dit punt heet het neutrale punt(‘np’).

6 HOOFDSTUK 2. TERMINOLOGIE VAN EEN VLIEGTUIG

Hoofdstuk 3

Statische langsstabiliteit bij een

vliegtuig

Om de langsstabiliteit van een vliegtuig te kunnen bepalen is het belangrijk om eerst hetprincipe van langsstabiliteit bij een enkele vliegtuigvleugel te begrijpen. Dit zou je ook kunnenzien als een vliegtuig zonder een tweede vleugel achter of voor de originele vleugel.

3.1 Een vliegtuigvleugel

Het moment van een vliegtuigvleugel rondom een willekeurig momentpunt xm wordt als volgtbepaald:

M = Mac + L(xm − xac) (3.1)

Hierbij is Mac het moment van de vleugel om het aerodynamische centrum. De L is dedraagkracht die aangrijpt in het aerodynamische centrum en die een afstand heeft van xm−xac

tot het momentpunt. Daarnaast is α de invalshoek van de luchtstroom met snelheid v.

L

Mac(−)

xac

xm

ac m

α

v

We kunnen deze vergelijking dimensieloos maken met behulp van de volgende formules:

Cm :=M

q∞Sc, Cm,ac :=

Mac

q∞Sc, CL :=

L

q∞S

Waarbij q∞ = 12ρv2 de dynamische druk is van een ongestoorde stroming met dichtheid ρ en

snelheid v. S is hier de oppervlakte van een vleugel en c de zogenaamde aerodynamische koor-de. Vleugels van huidige vliegtuigen zijn namelijk nooit helemaal rechthoekig. Dit betekent

7

8 HOOFDSTUK 3. STATISCHE LANGSSTABILITEIT BIJ EEN VLIEGTUIG

dat we niet zomaar een koorde van een vleugel mogen gebruiken, maar dat we de gemiddeldeaerodynamische koorde moeten gebruiken om de vergelijkingen dimensieloos te maken.Nu kan voor het langsmoment van een vleugel de volgende formule gebruikt worden:

Cm = Cm,ac + CLxm − xac

c(3.2)

Er zijn twee voorwaarden waaraan een vleugel moet voldoen om langsstabiel te zijn, dusterug te vallen in zijn evenwichtstoestand op het moment dat er een kleine verandering inde invalshoek α optreed. Hierbij gaat het om het moment van het vliegtuig (in dit gevaleen enkele vleugel) om het zwaartepunt, omdat de momenten hierom in evenwicht zijn alshet vliegtuig zich in evenwichtstoestand bevindt. Het zwaartepunt wordt nu gekozen als hetmomentpunt, dit wordt aangegeven door een kleine cg, en het moment om het zwaartepuntwordt dan:

Mcg = Mac + L(xcg − xac) (3.3)

En in coefficientenvorm:

Cm,cg = Cm,ac + CLxcg − xac

c(3.4)

3.1.1 De eerste voorwaarde

De eerste voorwaarde is zeer intuitief. Op het moment dat er een verandering van de in-valshoek ∆α > 0 optreed, waarbij de neus meer naar boven komt te wijzen, wil je dat erdaarna een negatief langsmoment optreedt (Mcg < 0) zodat er een negatieve verandering vande invalshoek α optreedt, de neus naar beneden gaat en het vliegtuig zichzelf weer in even-wichtstoestand brengt. Andersom moet het ook werken. Bij een ∆α < 0 moet het vliegtuigeen positieve Mcg krijgen zodat er weer een positieve ∆α > 0 optreedt en zo het vliegtuigstabiliseerd. In de terminologie betekent dit:

dMcg

dα< 0 of ook wel

dCm,cg

dα< 0

Doordat dCL = 2πdα geldt ook dCL

dα> 0 en zo wordt de eerste voorwaarde voor statische

langsstabiliteit:

dCm,cg

dCL< 0 (3.5)

Als we nog een keer kijken naar de coefficienten vergelijking (3.4), en de voorwaarde toepassenzoals hierboven beschreven, dan krijgen we de volgende eerste voorwaarde voor langsstabili-teit:

Voorwaarde 1:dCm,cg

dCL=

xcg − xac

c< 0 (3.6)

Deze vergelijking zegt dat er alleen aan voorwaarde 1 voldaan kan worden als het zwaartepuntvoor het aerodynamische centrum ligt.

3.1. EEN VLIEGTUIGVLEUGEL 9

3.1.2 De tweede voorwaarde

De tweede voorwaarde halen we uit de momentenlijn. Dit is het verband tussen Cm,cg en CL.

CL

Cm,cg

Cm,L=0

Evenwichtstoestand

∆CL

∆Cm,cg

0

De eerste voorwaarde is hierin te vinden als de hellingdCm,cg

dCL, die volgens (3.5) negatief moet

zijn. Of ook wel: bij een postieve verandering van CL, ∆CL moet er een negatieve ∆Cm,cg

optreden en bij een negatieve verandering ∆CL moet er een positieve ∆Cm,cg optreden. Om-dat dit allemaal geldt bij verandering vanuit de evenwichtstoestand, moet de momentenlijndoor die evenwichtstoestand lopen. Deze vindt plaats bij Mcg = 0, of ook wel bij Cm,cg = 0.Samenvattend: de momentenlijn moet een negatieve helling hebben en door CL-as gaan. Ditbetekent automatisch dat de momentlijn een positief beginpunt moet hebben, het zogenaam-de nul-lift moment Mcg,L=0. Dit is het moment om het zwaartepunt waarbij geen draagkrachtoptreedt: CL = 0. Mcg,L=0 omgeschreven in coefficienten noteren we als Cm,L=0 en zal indeze scriptie altijd op het moment om het zwaartepunt slaan. De tweede voorwaarde voorstatische langsstabiliteit wordt dan:

Voorwaarde 2: Cm,L=0 > 0 (3.7)

Als we de coefficientenvergelijking (3.4) met L = 0 hierin invullen krijgen we:

Cm,cg = Cm,ac > 0

Of ook wel, de vleugel moet een positief eigen moment hebben.

3.1.3 De vliegende vleugel

We hebben nu twee voorwaarden voor statische langsstabiliteit:

xcg − xac

c< 0

enCm,L=0 > 0

De tweede voorwaarde is te vinden in een negatief gewelfde vleugel, aangezien deze een positiefeigen moment Mac heeft zoals te zien in hoofdstuk 1. Als het zwaartepunt ook nog voor het


aerodynamische centrum ligt, hebben we een negatief gewelfde vliegende vleugel die statischlangsstabiel is.

cg

ac

Mac(+)

Z

L

Figuur 3.1: Negatief gewelfde vleugel

3.2 Twee vleugels

In de realiteit zijn vliegtuigen met een negatief gewelfde hoofdvleugel niet praktisch. Ditkomt doordat je de minste weerstand creeert als de staart van een vleugel richting de grondgericht is, maar de voorkant van de vleugel bol blijft. Dit resulteert in een positief gewelfdevleugel. Helaas is een positief gewelfde vleugel van zichzelf langsinstabiel en zal een extravleugel het vliegtuig moeten stabiliseren. Dit gebeurt dan ook bij de meeste vliegtuigen. Detwee voorwaarden voor statische langsstabiliteit gelden nog steeds, maar moeten aangepastworden voor de extra vleugel.

L2

L1

2

X

X

1

2

Mac,1

(−)

ac

Mac,2

(−)

V

αcg

ac1

Z

Er geldt nog steeds dat de momenten om het zwaartepunt van een vliegtuig in evenwicht zijnals het vliegtuig zich in een evenwichtstoestand bevindt. We gaan daarom weer kijken naarhet langsmoment van een vliegtuig om zijn zwaartepunt. Deze wordt nu gelijk aan

Mcg = Mac,1 + Mac,2 + L1x1 − L2(x2 − x1)

Hierbij is Mac,1 het moment op de eerste vleugel, Mac,2 het moment op de tweede vleugel, x1

is het afstand van het aerodynamische centrum van de eerste vleugel tot het zwaartepunt enx2 de afstand van het aerodynamische centrum van de eerste vleugel tot het aerodynamischecentrum van de tweede vleugel. L1 is de draagkracht die in het aerodynamische centrum vande eerste vleugel aangrijpt en L2 is de draagkracht die in het aerodynamische centrum van de

3.2. TWEE VLEUGELS 11

tweede vleugel aangrijpt. De totale draagkracht L is gelijk aan deze draagkrachten opgeteld:L = L1 + L2. Na omschrijven wordt het langsmoment

Mcg = Mac,1 + Mac,2 + Lx1 − L2x2 (3.8)

Nu schrijven we deze formule om naar de coefficienten formule door te delen door q∞Sc, metq∞ de dynamische druk van een ongestoorde stroming, S = S1 +S2 het oppervlakte van beidevleugels en c de gemiddelde aerodynamische koorde van de hoofdvleugel. Zo krijgen we

Cm,cg = Cm,ac,1S1c1

Sc+ Cm,ac,2

S2c2

Sc+ CL

x1

c− CL,2V2 (3.9)

met V2 = S2x2

Sc.

3.2.1 De eerste voorwaarde

Uit de vorige sectie halen we de eerste voorwaarde (3.5) voor langsstabiliteit:

dCm,cg

dCL< 0

Nu passen we deze voorwaarde toe op de nieuwe coefficientenvergelijking (3.9). De eerstevoorwaarde wordt nu:

dCm,cg

dCL=

x1

c−

dCL,2

dCLV2 < 0 (3.10)

Cm,ac,1 en Cm,ac,2 hangen niet van de draagkrachtcoefficient af, dus die zijn verdwenen uit devergelijking. De voorwaarde kunnen we nu verder uitwerken naar:

x1

c<

dCL,2

dCLV2

Dit levert een eis aan de positie van het zwaartepunt. Deze moet namelijk ver genoeg naarvoren liggen.

3.2.2 De tweede voorwaarde

Zoals bij een vliegende vleugel luidt de tweede voorwaarde:

Cm,L=0 > 0 (3.11)

Of ook wel, er geldt bij L = 0 (en dus ook CL = 0) dat Cm,cg > 0. Als er geen draagkrachtop het vliegtuig werkt, betekent dit niet dat er geen draagkracht op de aparte vleugels werkt.Door de vorm van de vleugels zal er namelijk altijd een draagkracht op werken. Op de voorstevleugel werkt een positieve draagkracht L1, waardoor op de achterste vleugel een even grotenegatieve draagkracht L2 moet werken doordat voldaan moet worden aan L = L1 + L2.Dit is alleen te realiseren als de invalshoek van de achterste vleugel, α2, negatief is, omdatCL,2 = 2πα2. α2 hangt af van meerdere factoren: de invalshoek van de het vliegtuig diegelijk is aan de invalshoek van de voorste vleugel α, de neerstroomhoek ǫ, wat het verschil istussen de originele richting van de luchtstroom en de luchtstroom bij de achterste vleugel dielichtelijk is veranderd door de voorste vleugel, en de instelhoek van de achterste vleugel i2.Deze factoren hangen op de volgende manier samen:

α2 = α + i2 − ǫ


α−εα 2

α

α

i2

α−ε

De neerstroomhoek is als volgt ongeveer gelijk aan [3]:

ǫ :=2CL

πAR(3.12)

Zowel CL = 2πα als AR = b2

Sgaan over de voorste vleugel die de neerstroomhoek creert. Het

enige waar we zelf invloed op hebben is de instelhoek i2. We moeten deze dan ook zo kiezendat α2 negatief wordt.

3.2.3 Het neutrale punt

Bij een verstoring van het evenwicht door een ∆α, treedt er een verandering in draagkracht op.Deze verandering grijpt aan in de aerodynamische centra van beide vleugels. De resultantevan deze draagkrachten grijpt aan in het neutrale punt van het vliegtuig. Hiervoor geldt:

xnpdL = x2dL2 Of ook wel xnp =dL2

dLx2 (3.13)

Voud ac2

dα

Vnieuw

cg

ac1

L2

L1 2dL

dL1

dL1+ dL2

np

X2

X1

Z

Xnp

We kunnen nu de ligging van het neutrale punt op de gemiddelde aerodynamische koordeomschrijven door middel van:

dL = dCLq∞S en dL2 = dCL,2q∞S2

Naar:xnp

c=

dCL,2q∞S2

dCLq∞S

x2

c

De ligging van het neutrale punt hangt af van het verschil in draagkracht van de achterstevleugel dCL,2 ten opzichte van het verschil in draagkracht van beide vleugels dCL. De liggingwordt nu alsvolgt bepaald:

xnp

c=

dCL,2

dCLV2 (3.14)

3.2. TWEE VLEUGELS 13

Met wederom V2 = S2x2

Sc.

Als we dit invullen in de eerste voorwaarde (3.10):

dCm,cg

dCL=

x1

c−

dCL,2

dCLV2 < 0

Dan krijgen we:dCm,cg

dCL=

x1

c−

xnp

c=

x1 − xnp

c< 0 (3.15)

Zoals eerder al gezegd kan het neutrale punt gezien worden als het aerodynamische centrumvan een vliegtuig. Voorwaarde (3.15) zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moetliggen om het vliegtuig langsstabiel te laten zijn. Tegelijk zegt (3.15) iets over de mate vanlangsstabiliteit. De mate van langsstabiliteit wordt via x1 − xnp uitgedrukt als (negatief)

percentage van de gemiddelde aerodynamische koorde c. Hoe negatieverdCm,cg

dCL, hoe stabieler

het vliegtuig. Bij de meeste vliegtuigen ligt de mate van stabiliteit tussen de 5 en 15%, informule vorm wordt dit: 0.05c < −(x1 − xnp) < 0.15cDe mate van stabiliteit is terug te zien in de momentenlijn als de helling. Hoe stabielerhet vliegtuig, hoe stijler de momentenlijn. Doordat het neutrale punt vastgelegd is doorvergelijking (3.14), kan de mate van stabiliteit alleen aangepast worden door de ligging vanhet zwaartepunt. Er is wel een limiet aan hoever het zwaartepunt naar voren mag liggen.Als het zwaartepunt namelijk te ver naar voren komt te liggen, dan moet de voorste vleugeleen te grote hoek maken om nog genoeg genoeg liftkracht op te wekken. Als deze hoek tegroot wordt, zal de vleugel overtrekken en de lifkachten instorten (’stale’), het vliegtuig zaldan ’omklappen’. Hoe ver het zwaartepunt naar voren mag komen te liggen, ligt aan deconfiguratie van de vleugels.

Hoofdstuk 4

Verschillende vleugelconfiguraties

Nu we de algemene voorwaarden voor statische langsstabiliteit bij een vliegtuig hebben, gaanwe kijken hoe deze kloppen bij een aantal vleugelconfiguraties die bij vliegtuigen te vindenzijn. Hierbij gaan we kijken naar de ligging van het neutrale punt en het zwaartepunt en wezullen kijken naar de momentenlijnen van een conventioneel vliegtuig, een canardvliegtuig eneen tandemvliegtuig waarin de voorwaarden duidelijk zichtbaar worden.

4.1 Conventioneel vliegtuig

Figuur 4.1: Conventioneelvliegtuig

Bij een conventioneel vliegtuig heb je ongeveer in het midden vanhet vliegtuig een grote vleugel, de hoofdvleugel, en achter bij destaart nog een kleinere vleugel, de staartvleugel. De hoofdvleugelzit bij deze configuratie vooraan en S1 past in dit geval bij devoorste vleugel. S2 is dan automatisch de achterste vleugel. Devoorwaarden voor statische langsstabiliteit waren respectievelijk(3.15)

dCm,cg

dCL=

x1 − xnp

c< 0

en (3.11)

Cm,L=0 > 0

Deze tweede vergelijking gaan we nu verder doorwerken met behulp van decoefficientenvergelijking (3.9) en de vergelijking voor de invalshoek van de achterste vleu-gel α2 = α+ i2− ǫ. Aan de coefficientenvergelijking moet het een en ander aangepast worden.De hoofdvleugel van een conventioneel vliegtuig neemt het grootste deel van de draagkrachtop zich. Dit kan vertaald worden als S ≈ S1 en c = c1. Dan wordt de coefficientenvergelijking:

Cm,cg = Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1+ CL

x1

c1− CL,2V2 (4.1)

met V2 = S2x2

S1c1.

15

16 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES

Nu gaan we de tweede voorwaarde (3.11) doorwerken in de coefficientenvergelijking. Hierbijnemen we L = 0 en dus ook CL = 0 en α = 0. De coefficientenvergelijking wordt dan:

Cm,L=0 = Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1− CL,2V2

= Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1− 2πα2V2

= Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1− 2π(i2 − ǫ)V2 > 0

Doordat er meestal gebruik gemaakt wordt van positief gewelfde vleugels zullen Cm,ac,1 enCm,ac,2 negatief zijn. De voorwaarde wordt dan:

0 > Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1> 2π(i2 − ǫ)V2 (4.2)

ǫ is over het algemeen klein en V2 positief. Dit betekent dat de instelhoek i2 negatief moetzijn en dus dat de staartvleugel naar beneden moet wijzen om te voldoen aan de tweedevoorwaarde.

Voor de eerste voorwaarde is het van belang om de ligging van het neutrale punt te we-ten, zodat je de ligging van het zwaartepunt juist kan kiezen. Ook hier geldt nu S = S1 enc = c1. De ligging van het neutrale punt wordt bepaald door de grootte van de staartvleugelten opzichte van de hoofdvleugel en de afstand tussen de twee aerodynamische centra (3.14):

xnp

c1=

dCL,2

dCLV2 =

dCL,2

dCL

S2x2

S1c1

Als we terug kijken naar de formule voor de draagkrachtcoefficent (2.1) krijgen we:

dCL,2

dCL

=d2πα2

d2πα

=d2π(α + i2 − ǫ)

d2πα=

dα

dα+

di2

dα−

dǫ

dα= 1 −

dǫ

dα(4.3)

De instelhoek i2 is vast en zo blijkt dat het deel van de liftkracht die de achterste vleugel op-wekt uit kan worden gedrukt in de neerstroomhoek ǫ. Deze uitdrukking kan nu omgeschrevenworden door de formule die we voor de neerstroomhoek (3.12) hebben: ǫ = 2CL

πAR= 4πα

π(AR)1naar:

dCL,2

dCL

= 1 −4π

π(AR)1= 1 −

4S1

b12

De ligging van het neutrale punt wordt nu:

xnp

c= (1 −

4S1

b12 )

S2x2

S1c1(4.4)

Doordat de staartvleugel vrij klein is ten opzichte van de hoofdvleugel, wordt S2

S1veel kleiner

dan 1. x2 is nu zo groot, dat het neutrale punt meer achterop de hoofdvleugel komt teliggen. Voorwaarde 1 (3.15) zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moet liggenals we langsstabiliteit willen hebben. Dit betekent dat het zwaartepunt ook op of voor de

4.2. CANARDVLIEGTUIG 17

hoofdvleugel moet liggen, maar wel voor het neutrale punt. Het zwaartepunt ligt dus vrijvooraan het vliegtuig.

cg np ac2ac1

Figuur 4.2: Positie neutrale punt conventioneel vliegtuig

We krijgen nu een negatieve helling in de momentenlijn.

CL

Cm,cg

Cm,L=0

Evenwichtstoestand

0

Cm,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig

Staartvleugel

Figuur 4.3: Momentenlijn Conventioneel vliegtuig

In bovenstaand figuur zie niet alleen je de momentenlijn van het vliegtuig, maar ook demomentenlijn van een vliegtuig met alleen de hoofdvleugel. Doordat de hoofdvleugel positiefgewelfd is, is de hoofdvleugel zelf statisch langsinstabiel. In het figuur is dit te zien aan destijgende lijn en een negatieve Cm,ac. De combinatie van de twee vleugels daarentegen heefteen negatieve helling en een positieve Cm,L=0 als het zwaartepunt voor het neutrale puntwordt gekozen en de staartvleugel een negatieve instelhoek heeft. De langsstabiliteit van hetvliegtuig wordt veroorzaakt door de staartvleugel: met een grote afstand x2 is er maar eenrelatief kleine CL,2 nodig om het vliegtuig te stabiliseren.

4.2 Canardvliegtuig

Figuur 4.4: Canardvlieg-tuig

Bij een canardvliegtuig hebben we te maken met een grote vleu-gel net iets achter het midden en een kleine vleugel vooraan hetvliegtuig. Wederom is het de voorste vleugel die het vliegtuig in-stabiel maakt. Dit betekent dat de achterste en grootste vleugel,de hoofdvleugel, het vliegtuig moet stabiliseren. Het is bij een ca-nard zowel mogelijk om de hoofdvleugel alle draagkracht op zichte laten nemen, als dat beide vleugels een deel van de draagkrachtop zich nemen. We nemen in dit hoofdstuk aan dat de hoofdvleu-gel alle draagkracht op zich neemt. De coefficientenvergelijking(3.9) wordt dan gelijk aan de coefficientenvergelijking van een


conventioneel vliegtuig (4.1) en we substitueren ook weer overalS = S1 en c = c1, de maten van de hoofdvleugel (in dit geval de achterste vleugel). Destabiliteit van een canardvliegtuig kan met dezelfde voorwaardes worden bekeken als vooreen conventioneel vliegtuig. Het verschil is nu dat we de staartvleugel bij het conventionelevliegtuig op een negatieve x2 = −x2 nemen, zodat de staartvleugel nu een neusvleugel wordt.Dit heeft invloed op beide voorwaarden.

De eerste voorwaarde (3.15) was:

dCm,cg

dCL

=x1 − xnp

c< 0

We hebben hier weer de ligging van het neutrale punt nodig (3.14):

xnp

c1=

dCL,2

dCL

S2x2

S1c1

Nu passen we de negatieve afstand x2 toe:

xnp

c1= −

dCL,2

dCL

S2x2

S1c1

Sinds de achterste vleugel (S1) een stuk groter is dan de voorste vleugel (S2), is S2

S1wederom

veel kleiner dan 1.Uit het vorige gedeelte kunnen we de vergelijking voor

dCL,2

dCLhalen (4.3):

dCL,2

dCL

= 1 −dǫ

dα

Als we nu de formule voor de neerstroomhoek ǫ (3.12) gebruiken, krijgen we:

dCL,2

dCL= 1 −

dǫ

dα= 1 −

4

1 − 4(AR)2

= 1 −4S2

b22

Dit wijkt af van de vorige sectie, omdat nu de neusvleugel (met S2 en b2) de voorste vleugelis. Ingevuld in de ligging van het neutrale punt wordt deze:

xnp

c1= −

dCL,2

dCL

S2x2

S1c1= −(1 −

4S2

b22

)S2x2

S1c1= (

4S2

b22

− 1)S2x2

S1c1(4.5)

xnp wordt nu −ax2, met a een kleine positieve waarde tussen de 0 en 1. Dit is ook welxnp = ax2. Het neutrale punt komt nu dus voor het aerodynamische centrum van de vleugelte liggen. Het zwaartepunt moet weer voor het neutrale punt liggen om aan de eerste voor-waarde te voldoen.

cg np ac1ac2

Figuur 4.5: Positie neutrale punt canard

4.2. CANARDVLIEGTUIG 19

De tweede voorwaarde luidde (3.11):

Cm,L=0 > 0

Op dezelfde manier als bij het conventionele vliegtuig schrijven we deze voorwaarde om. Dezekeer nemen we de invalshoek van de neusvleugel als instelbaar en de achterste vleugel vast(instelhoek i = 0). De hoofdvleugel heeft nu wel een neerstroomhoek ǫ. De invalshoek wordtdan:

α1 = α − ǫ ≈ α

Deze hoek is ongeveer gelijk aan de invalshoek van het gehele vliegtuig α, omdat ǫ erg kleinis. De invalshoek van de neusvleugel is nu α2 = α+ i2, met i2 de instelhoek. Er is in dit gevalgeen neerstroomhoek ǫ, omdat de neusvleugel door een onverstoorde luchtstroming gaat.Voor de tweede voorwaarde nemen we L = 0 in de coefficientenvergelijking (4.1), en dus ookCL = 0 en α = 0. De tweede voorwaarde wordt nu:

Cm,L=0 = Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1− 2πα2V2 > 0

Weer vervangen we x2 door −x2 (met x2 > 0) en zo krijgen we:

Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1+ 2πi2

S2x2

S1c1> 0

Cm,ac,1 en Cm,ac,2 zijn wederom negatief en zo schrijven we de tweede voorwaarde als:

Cm,ac,1 + Cm,ac,2S2c2

S1c1> −2πi2

S2x2

S1c1(4.6)

S2x2

S1c1is nu positief, dus i2 moet genoeg positief zijn om aan de tweede voorwaarde te voldoen.

De neusvleugel moet dus naar boven wijzen.

Hieronder vind je de momentenlijn van het canardvliegtuig.

CL

Cm,cg

Cm,L=0

Evenwichtstoestand

0Cm,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig

Neusvleugel

Figuur 4.6: Momentenlijn Canardvliegtuig

Ook deze keer is ook de momentenlijn van alleen de hoofdvleugel en de momentenlijn van hetvliegtuig weergegeven. In dit geval is het de neusvleugel die langsinstabiel is, zoals te zien


aan het verschil in helling tussen de twee momentenlijnen. De neusvleugel heeft namelijk eenpositieve helling en de hoofdvleugel is op zichzelf ook niet langsstabiel, omdat deze positiefgewelfd is, Cm,ac < 0. Wel heeft de hoofdvleugel een negatieve helling. Dit komt omdat hetaerodynamische centrum van de hoofdvleugel zich achter het zwaartepunt bevindt. Beidewaarden zijn nodig voor langsstabiliteit, dus is de hoofdvleugel ook niet langsstabiel. Decombinatie van de twee vleugels is echter wel langsstabiel. Ook nu is er gekozen voor eenzwaartepunt voor het neutrale punt en een positieve instelhoek van de neusvleugel. Zo krijgtde combinatie van de twee vleugels een negatieve helling (voorwaarde 1) en een positieveCm,L=0 (voorwaarde 2) en deze is dus wel langsstabiel.

4.3 Tandemvliegtuig

Figuur 4.7: Tandemvlieg-tuig

Een tandemvliegtuig bestaat uit twee ongeveer even grootte vleu-gels en kan gezien worden als een combinatie van een conventio-neel vliegtuig en een canardvliegtuig. Over het algemeen is hetbij een tandemvliegtuig zo dat het gewicht gelijk wordt verdeeldover beide vleugels en dat beide vleugels een ongeveer even grotebijdrage hebben aan de totale draagkracht. Dit is anders dan bijeen conventioneel vliegtuig en een canardvliegtuig, daar is er eenhoofdvleugel die het grootste deel van de draagkracht op zichneemt. De coefficientenvergelijking (3.9) kan in dit geval nietvereenvoudigd worden en blijft:

Cm,cg = Cm,ac,1S1c1

Sc+ Cm,ac,2

S2c2

Sc+ CL

x1

c− CL,2V2

met V2 = S2x2

Sc.

We hadden voor de positie van het neutrale punt de volgende formule (3.14):

xnp

c=

dCL,2

dCL

S2x2

Sc

dCL,2

dCLis op dezelfde manier te berekenen als in de vorige secties en wordt in dit geval:

dCL,2

dCL= 1 −

4S

b2

Hierbij zijn S en b respectievelijk de oppervlakte en lengte van de voorste vleugel. Meestalheeft een tandem een voorste vleugel die instelbaar is. We zullen een tandem dus gaanbeschouwen als een canard met ongeveer gelijke vleugels. De positie van het neutrale puntwordt nu:

xnp

c= −(1 −

4S2

b22

)S2x2

Sc= (

4S2

b22

− 1)S2x2

Sc(4.7)

Met x2 = −x2 (en x2 > 0). Ook nu hebben we xnp = ax2, met a een waarde tussen de 0en 1. Het neutrale punt komt net als bij de canard voor het aerodynamische centrum van detweede vleugel te liggen, maar dit maal wel meer naar voren. Dat komt omdat nu 4S2

b22

een

4.4. ANDERE VLEUGELCONFIGURATIES 21

stuk groter is, dan in het geval van de canard. xcg kiezen we nu weer voor het neutrale punt,zodat er voldaan wordt aan voorwaarde 1 (3.15).

cg np ac1ac2

Figuur 4.8: Positie neutrale punt tandem

Voorwaarde 2 (3.11) was:

Cm,L=0 > 0

Door de coefficientenvergelijking (3.9) te combineren met voorwaarde 2 krijgen we:

Cm,ac,1S1c1

Sc+ Cm,ac,2

S2c2

Sc> CL,2V2 = −2πi2

S2x2

Sc(4.8)

Ook hier moet i2 genoeg positief zijn.

CL

Cm,cg

Cm,L=0

Evenwichtstoestand

0Cm,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig

Neusvleugel

Figuur 4.9: Momentenlijn Tandemvliegtuig

Hierboven vindt je de momentenlijn van een tandem. We hebben het zwaartepunt voor hetneutrale punt genomen, en wat meer aan de voorkant van het vliegtuig. Hierdoor is de hellingvan de neusvleugel klein ten opzichte van de hoofdvleugel. Het verschil in beginpunt tussende momentenlijnen van de aparte vleugels en het vliegtuig ligt aan een groot genoeg gekozeni2.

4.4 Andere vleugelconfiguraties

Hieronder vindt je nog een tweetal wat vreemde vleugelconfiguraties. Het vliegtuig met maareen vleugel is te vergelijken met een vliegende vleugel en is dus alleen statisch langsstabiel alsde vleugel negatief gewelfd is. Het vliegtuig met drie vleugels is erg stabiel. Op het momentdat een vliegtuig erg statisch langsstabiel is, is de directe consequentie dat het vliegtuig niet


echt wendbaar is. Een langsinstabiel vliegtuig heeft juist als bijwerking dat deze zeer wendbaaris, deze zijn dan ook erg handig bij luchtgevechten.

(a) Vliegtuig met drievleugels

(b) Vliegtuig metmaar een vleugel

Figuur 4.10: Nog meer configuraties van vleugels

Hoofdstuk 5

De zonneboot

Het doel van deze scriptie is om te kijken of de zonneboot statisch langsstabiel is. Nu hebbenwe in de vorige secties het slechts over de langsstabiteit bij vliegtuigen gehad. De overgangvan vliegtuigen naar een boot met hydrofoils is erg klein, namelijk een verandering van hetmedium waarin de vleugels zich bevinden. Bij vliegtuigen is dit natuurlijk de lucht, bij eenboot op hydrofoils ’vliegen‘ de vleugels door het water. Ook zal de romp van de boot zichniet door het water bewegen wanneer de boot hard genoeg gaat. Verder is aan de zonnebooteen motor bevestigd. Deze zal zorgen voor een grote verstoorde stroming. Helaas hebben wein deze scriptie geen tijd om rekening te houden met de motor. We zullen de motor dan ookop het zwaartepunt kiezen, zodat we niet nog met een extra component van de boot rekeninghoeven te houden.

Voor de configuratie van de hydrofoils van de zonneboot hebben we een aantal keuzes. Wewillen bij de drie configuraties uit het hoofdstuk hiervoor gaan kijken hoe stabiel die configu-raties zijn bij de zonneboot. Dit zullen we gaan doen door te kijken naar de momentenlijn vande boot. Omdat de stuurman van de zonneboot geen electronica tot zijn beschikking heeft,en dus de boot zelf zou moeten stabiliseren als deze niet statisch langsstabiel is, willen wede boot zo statisch langsstabiel als mogelijk is hebben. Dit kunnen we zien aan de mate vanstabiliteit. Zoals al eerder opgemerkt zegt de helling van de momentenlijn iets over de matevan stabiliteit. We herinneren ons dat de helling weer afhankelijk is van de ligging van hetneutrale punt, die vast ligt bij een configuratie, en de ligging van het zwaartepunt. Omdatde boot zelf erg licht is, zal de positie van de stuurman een grote bijdrage leveren aan deligging van het zwaartepunt. We willen uiteindelijk een advies gaan geven welke configuratiehet beste is voor de zonneboot. Hierbij kijken we naar de mate van stabiliteit, maar ook naarde positie van de stuurman.

We sommen nu een aantal waardes op van onder andere de boot, die we nodig gaan heb-ben bij het bekijken van de momentenlijn van de boot:

23

24 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT

Symbool Betekenis Waarde

l Lengte boot 7 m

w Breedte boot 2.6 m

b Spanwijdte hydrofoil variabel (m)

c Koordelengte hydrofoil 0.16 m

S Oppervlakte hydrofoil c*b (m2)

ρ Dichtheid water 999.1 kg/m3

x2 Afstand tussen de twee variabel (m)aerodynamische centra

x1 Afstand van het zwaartepunt variabel (m)tot het aerodynamische centrumvan de hoofdvleugel

i2 Instelhoek voorste vleugel variabel (graden)

Cac Eigen moment hydrofoil -0.135 Nm

De hydrofoils die ze gaan gebruiken voor de boot zijn Speer H005 modellen [5]. Hiervanis het eigenmoment experimenteel bepaald . Zoals we eerder hebben aangenomen uit depotentiaaltheorie [7] dat CL = 2πα, blijkt dit experimenteel voor de Speer H005 modellenook te kloppen.De hydrofoils hebben allemaal dezelfde koorde c (16 cm). Deze koorde is meteen gelijk aande gemiddelde aerodynamische koorde, sinds de hydrofoils rechthoekig zijn. De hydrofoilskunnen dus alleen verschillen in spanwijdte b. b mag alleen niet groter zijn dan de boot breedis, dus kan maximaal 2.6 m bedragen. De afstand tussen de twee aerodynamische centra vande hydrofoils kan natuurlijk niet groter zijn dan de lengte van de boot en heeft zo ook eenmaximum.

5.1 Conventionele configuratie

Bij vliegtuigen betekent een conventionele configuratie dat er een grote vleugel voor en eenkleine vleugel achter is. We zullen de naam conventioneel overnemen, ondanks dat deze confi-guratie bij boten met hydrofoils weinig gebruikt wordt. Als we ons een conventioneel vliegtuigherinneren, bleek dat het zwaartepunt van het vliegtuig iets achter het aerodynamisch centrumvan de hoofdvleugel moest komen te liggen. Dit omdat de voorste vleugel alle draagkrachtzou moeten leveren. Bij de zonneboot wil je dat beide foils de draagkracht leveren, omdat defoils vrij klein zijn. Een conventionele configuratie is dan ook niet gewenst.Het feit dat de stuurman helemaal vooraan de boot zou komen te zitten is natuurlijk ook niethandig. Hij moet wel overzicht kunnen houden bij het varen en sturen.

5.2 Canardconfiguratie

Nu de conventionele configuratie is uitgeschakeld, gaan we verder naar de canardconfiguratie.We hebben eerst aangenomen dat bij de canard alle draagkracht door de achterste vleugelwordt gedragen, maar bij een canardconfiguratie kunnen ook beide vleugels een draagkrachtuitoefenen. De canard configuratie zou daarom wel gebruikt kunnen worden voor de zonne-boot. We gaan nu een momentenlijn maken van een canard configuratie waar beide hydrofoils

5.2. CANARDCONFIGURATIE 25

draagkracht opwekken.Voor de helling van de momentenlijn hebben we de positie van het neutrale punt nodig. Uithet vorige hoofdstuk halen we hoe deze (aangepast) berekend kan worden (4.5):

xnp = (4S2

b22

− 1)S2x2

Sc(5.1)

S2 en b2 gelden voor de voorste (en kleinste vleugel), S = S1 +S2 is het oppervlakte van beidevleugels en c de koorde van de hydrofoils. Uit het vorige hoofdstuk halen we dat het neutralepunt dicht voor bij het aerodynamische centrum van de hoofdvleugel komt te liggen.Ook belangrijk voor de helling van de momentenlijn is de ligging van het zwaartepunt. Wegingen er in het vorige hoofdstuk bij de canard vanuit dat de achterste vleugel (bijna) al-le draagkracht op zich neemt. Hiervoor moest het zwaartepunt op of heel dicht bij hetaerodynamische centrum van de hoofdvleugel komen te liggen. Nu laten we de draagkrachtop beide vleugels werken. Het zwaartepunt mag dan meer naar voren komen te liggen. Hetzwaartepunt wordt voor het grootste deel bepaald door de stuurman, maar we zullen deze welin de buurt van het zwaartepunt van de lege boot nemen. Om dit zwaartepunt te berekenengebruiken we de volgende formule:

xcg =

∑Momenten∑

massa

Hierbij is xcg de afstand van het zwaartepunt tot de voorkant van de boot. De massa van eenvleugel nemen we als de volume van een vleugel V = c ∗ b ∗ (dikte vleugel) maal de dichtheidvan de vleugel ρvleugel. Dan wordt de ligging van het zwaartepunt:

xcg =V1 ∗ ρvleugel ∗ r1 + V2 ∗ ρvleugel ∗ r2

V1 ∗ ρvleugel + V2 ∗ ρvleugel

Met r1 en r2 respectievelijk de afstand van de achterste vleugel tot de voorkant van de booten de afstand van de voorste vleugel tot de voorkant van de boot. De afstanden zijn hieronderschematisch weergegeven.

x cg

cg

1

V

r2 2

r1

−x

−x

Figuur 5.1: Afstanden van de hydrofoils tot de voorkant van de boot

ρvleugel kunnen we uit deze vergelijking delen evenals de dikte en koordelengte c van devleugels, sinds die voor beide vleugels gelijk zijn. Zo wordt de ligging van het zwaartepunt:

xcg =b1 ∗ r1 + b2 ∗ r2

b1 + b2


De ligging van het zwaartepunt is dus erg afhankelijk van de grootte van de vleugels, maarook van de ligging van de vleugels. De positie van het zwaartepunt tot het aerodynamischecentrum van de achterste vleugel wordt nu:

x1 = xcg − r1 =b1 ∗ r1 + b2 ∗ r2

b1 + b2− r1 =

b2(r2 − r1)

b1 + b2

Sinds r1 = x2 + r2, kunnen we de formule hierboven alleen laten afhangen van x2 en despanwijdte van de vleugels b1 en b2 door gebruik te maken van (5.1) en Si = bic

x1 =b2(r2 − (r2 + x2))

b1 + b2=

−b2x2

b1 + b2(5.2)

De helling van de momentenlijn is nu ook alleen afhankelijk van x2 en de spanwijdte van devleugels b1 en b2 (3.15):

dCm

dCL

=x1 − xnp

c=

− b2x2

b1+b2− (4c

b2− 1) b2x2

b1+b2

c=

−4x2

b1 + b2(5.3)

Dit is tevens de formule voor de mate van stabiliteit.

Voor het beginpunt van de momentenlijn kijken we naar de momentencoefficient waarbijL = 0:

Cm,L=0

We maken hierbij gebruik van de algemene coefficientenvergelijking (3.9):

Cm,cg = Cm,ac,1S1c1

Sc+ Cm,ac,2

S2c2

Sc+ CL

x1

c− CL,2

S2x2

Sc(5.4)

Het beginpunt wordt nu:

Cm,L=0 = Cm,ac,1S1c1

Sc+ Cm,ac,2

S2c2

Sc+ 2πi2

S2x2

Sc

= Cm,acS1c1 + S2c2

Sc+ 2πi2

S2x2

Sc= Cm,ac + 2πi2

b2x2

(b1 + b2)c(5.5)

Met S = S1 + S2 en c de gemiddelde aerodynamische koorde die gelijk is aan c. Cm,ac,1 enCm,ac,2 zijn gelijk (Cm,ac) omdat het beide Speer H005 modellen zijn. Nu wordt de formulenog simpeler:

Cm,L=0 = Cm,ac + 2πi2S2x2

Sc

Zoals eerder gemeld moet de instelhoek i2 van de voorste vleugel groot genoeg zijn om tevoldoen aan de tweede voorwaarde voor langsstabiliteit (3.11) Cm,L=0 > 0. We berekenendaarom eerst de instelhoek waarbij Cm,L=0 = 0 en nemen de instelhoek daarna groter om aande tweede voorwaarde te voldoen:

i2 > −Cm,ac

2π S2x2

Sc

= −Cm,acSc

2πS2

1

x2≡ i2,min (5.6)

Nu het beginpunt en de helling van de momentenlijn bekend zijn, kunnen we deze gaan teke-nen. Hieronder vinden we de momentenlijn voor de volgende extra waarden:

5.2. CANARDCONFIGURATIE 27

Symbool Waarde

b1 2 m

b2 1 m

S1 0.32 m

S2 0.16 m

S 0.48 m

x2 5 m

i2,min 0.002◦

i2 4*i2,min = 0.008◦

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25CL

-1.0

-0.5

CM

Figuur 5.2: Momentenlijn Canard

We krijgen nu voor het beginpunt (5.5):

Cm,L=0 = −0.135 + 0.108x2 = 0.405

En voor de helling (5.3):

dCm,cg

dCL= −

4

3x2 = −6.67

Dit is meteen de mate van stabiliteit. Als de maat van de hydrofoils vast liggen, dan is deminimale instelhoek i2,min (5.6) slechts afhankelijk van de keuze van x2, net als de helling.Dit is een lineaire afhankelijkheid zoals te zien in vergelijking (5.3) Hieronder vinden we driemomentenlijnen met verschillende x2. We zien dat de momentenlijn met de grootste x2 hetstijlst is. Dus hoe verder de vleugels uit elkaar liggen, hoe stabieler de boot kan zijn.


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

Figuur 5.3: Momentenlijnen canard met x2 = 1, x2 = 3 en x2 = 5

Als we de stuurman op het zwaartepunt van de lege boot plaatsen, blijkt de canard vrijstatisch langsstabiel te zijn. Zetten we de stuurman wat naar achter, dan wordt deze minderstabiel. De stuurman mag niet achter het neutrale punt komen te zitten (voorwaarde 1). Hetneutrale punt bevindt zich met onze keuze van de waarden op 0.6 m voor het aerodynamischecentrum van de hoofdvleugel volgens (4.5).Er is ook nog een restrictie aan hoe ver het zwaartepunt naar voren mag liggen. Als hetzwaartepunt te ver naar voren mag komen te liggen, dan moet de invalshoek α van de voorstevleugel zeer groot zijn om nog genoeg liftkracht op te wekken. Maar er is een optimum aande draagkracht die een vleugel kan opwekken. Dit optimum zit ongeveer bij α = 15◦ [5], dusnemen we dat α niet groter mag zijn dan 15◦. Bij een snelheid van 10 m/s en de waarden diehiervoor gekozen zijn, kan de voorste vleugel van 1 meter breed een liftkracht van ongeveer750 N (L = 1

2ρv2SCL met CL = 2πα) opwekken. Omdat de gehele boot 200 ∗ 9.81 = 2000N nodig heeft om het water uit te komen, is dit dus 3

8 van de gehele liftkracht. Het voorstelimiet van het zwaartepunt ligt dan ook op 3

8 van x2 vanaf de hoofdvleugel.

Hieronder zie je het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen, en dus waar de stuurmanmag zitten.

Figuur 5.4: Gebied waar het zwaartepunt mag liggen. Hydrofoils niet op schaal

5.3. TANDEMCONFIGURATIE 29

5.3 Tandemconfiguratie

De laatste configuratie waar we naar gaan kijken is de tandemconfiguratie. Hierbij heb je tweeongeveer even grootte vleugels op afstand x2 = −x2 van elkaar. In de vorige sectie hebben wegeconstateerd dat de tandem als een canard kan worden behandeld. We willen ook dit maalde momentenlijn tekenen om te kijken naar de stabiliteit.Uit de vorige sectie halen we de formule voor respectievelijk het beginpunt (5.5) en de helling(5.3) van de momentenlijn: We krijgen nu voor het beginpunt:

Cm,L=0 = Cm,acS1c1 + S2c2

Sc+ 2πi2

S2x2

Sc= Cm,ac + 2πi2

b2x2

(b1 + b2)c(5.7)

Voor de helling hebben we net als bij de canard (5.3):

dCm,cg

dCL

=−4x2

b1 + b2(5.8)

Ook hier moeten we de minimale hoek i2,min vinden door Cm,L=0 = 0 te berekenen. Als wedie gevonden hebben kunnen we ook dit keer i2 groter nemen om aan voorwaarde 2 te voldoen(4.8) en de momentenlijn tekenen. Hiervoor gebruiken we de extra onderstaande waarden:

Symbool Waarde

b1 2.1 m

b2 1.9 m

S1 0.336 m

S2 0.304 m

S 0.64 m

x2 5 m

i2,min 0.002◦

i2 4*i2,min = 0.008◦

Hieronder zie je de momentenlijn voor de waarden:

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25CL

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

CM

Figuur 5.5: Momentenlijn Tandem


Het beginpunt is nu (5.7):

Cm,L=0 = −0.135 + 0.108x2 = 0.405

En de helling (5.8):dCm

dCL= −x2 = −5

Ook hier is het zwaartepunt, en zo ook de plaats van de stuurman van belang. Het neutralepunt ligt in dit geval (4.7) 1.575 m voor het aerodynamische centrum van de achterste vleugel.Het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen, vanaf het neutrale punt voor de plaats vande voorste vleugel, is groter dan bij de canard.Hieronder vind je het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen. Het voorste limiet hebbenwe bepaald zoals bij de canard (L = 1

2ρv2SCL) met een snelheid van 10 m/s en de waardenvan hierboven.

Figuur 5.6: Gebied waar het zwaartepunt mag liggen. Hydrofoils niet op schaal

Zoals te zien is op het plaatje, is het gebied waar bij de tandem het zwaartepunt mag liggenveel groter dan bij de canard. Bij de canard is de mate van stabiliteit maximaal −8 volgens(5.3), omdat we daar |x1| maximaal hebben. Bij de tandem kan de mate van stabiliteiteen stuk groter worden, omdat de afstand tussen het zwaartepunt en het neutrale punt ookeen stuk groter kan worden. Als we de bestuurder op het voorste limiet van het zwaartepuntzetten, dan is de mate van stabiliteit ongeveer gelijk aan −13.6, dankzij vergelijking (5.8). Wehebben bij de tandem dus erg veel speelruimte wat betreft het plaatsen van het zwaartepunten kunnen op die manier een boot maken met de gewenste stabiliteit. Zoals eerder genoemdis bij vliegtuigen een stabiliteit van −5 tot −15 normaal, dus de stuurman kan het beste ietsachter het voorste limiet gaan zitten zodat de boot ook nog goed bestuurbaar blijft.

Hoofdstuk 6

Conclusie

De langsstabiliteit bij een boot op hydrofoils moet ervoor zorgen dat als de neus naar bovenof naar beneden beweegt door bijvoorbeeld hoge golven, de boot niet omklapt. Hiervoor zijneen aantal punten op de boot van groot belang, namelijk het neutrale punt, het zwaartepuntvan de boot en hun relatieve afstand. Als we de afmetingen van de hydrofoils weten, dan ligthet neutrale punt van de boot vast. Het zwaartepunt kan je aanpassen door de stuurman opeen bepaald punt te plaatsen.

Uit hoofdstuk 3 halen we de twee voorwaarden waar de zonneboot aan moet voldoen wildeze statisch langsstabiel zijn. Voorwaarde 1 (3.15) heeft te maken met de relatieve afstandtussen het neutrale punt xnp en het zwaartepunt x1:

dCm,cg

dCL=

x1 − xnp

c< 0

Deze voorwaarde zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moet komen te liggen.De tweede voorwaarde (3.11) zegt dat het zogenaamde nul-lift moment positief moet zijn.Of ook wel, als er geen draagkracht op het gehele vliegtuig werkt (L = 0), moet er wel eendraagkracht op de aparte vleugels werken door de vorm van de vleugels. Omgeschreven ineen wiskundige formule is dit:

Cm,L=0 > 0

Als we de coefficienten vergelijking toepassen op de tweede voorwaarde komt er uit dat dekleinste vleugel een bepaalde instelhoek i moet hebben om aan deze voorwaarde te voldoen.Zo moet de staartvleugel bij een conventioneel vliegtuig naar beneden wijzen en de voorstevleugel bij een canard juist naar boven.

Bij de zonneboot zijn er drie configuratie mogelijkheden. Zo kan je een grote vleugel vooren een kleine achter (conventionele configuratie), een kleine vleugel voor en een grote achter(canard) of twee gelijke vleugels (tandem) plaatsen. Bij de conventionele configuratie werktalle draagkracht op de hoofdvleugel en zal de stuurman erg ver naar voren moeten zitten omdeze configuratie statisch langsstabiel te maken. Dit blijkt niet erg handig te zijn.Bij de canard en de tandem configuratie is dit al beter. Bij beide configuraties heb je eengebied waarin het zwaartepunt moet liggen om de boot statisch langsstabiel te laten zijn. Bijde canard is dit echter maar een klein gebiedje achterin de boot, terwijl bij de tandem de

31

32 HOOFDSTUK 6. CONCLUSIE

stuurman veel meer bewegingsruimte heeft. De tandemconfiguratie is dan ook de gunstigstekeuze voor de zonneboot.

We moeten er bij de zonneboot wel rekening mee houden dat we de boot niet te langs-stabiel maken. Eerder in deze scriptie is al gemeld dat grote stabiliteit gelijk staat aan lichtemobiliteit. Omdat het gaat om een race door friese wateren, wil je wel een redelijk hogemate van mobiliteit hebben. Dit betekent dat de stabiliteit dus niet te groot mag zijn. Destuurman zal dus ongeveer in het midden van de boot moeten komen te zitten. Dit is wat debouwers van de echte zonneboot ook hebben uitgevoerd.

Bibliografie

[1] http://frisiansolarchallenge.nl.

[2] http://www.wikihow.com/Calculate-Center-of-Gravity.

[3] http://adg.stanford.edu/aa241/stability/staticstability/htm.

[4] John D. Anderson Jr. Introduction to Flight. McGraw-Hill, 2008.

[5] Thomas E. Speer. Low reynolds number hydrofoils. http://www.tspeer.com/

Hydrofoils/h105/h105.htm, January 1999.

[6] E. Torenbeek and H. Wittenberg. Aeronautiek, Grondslagen en techniek van het vliegen.DUP Science, 2002.

[7] A.E.P. Veldman and A Velicka. Stromingsleer. Rijksuniversiteit Groningen, 2007.

33

Langsstabiliteit van een boot op hydrofoilsveldman/Scripties/VanderPol-BachelorTechWisk.pdf · het...

Documents

Transcript of Langsstabiliteit van een boot op hydrofoilsveldman/Scripties/VanderPol-BachelorTechWisk.pdf · het...