1Diffractie van elektronen

DE GOLFLENGTE VAN ELEKTRONEN

ONDERZOEKSVRAAG:

Nagaan of de voorspelde golflengte van het elektron – met de hypothese van de Broglie - overeenkomt met de gemeten golflengte uit

het diffractiepatroon?

DEEL 1: INLEIDING: De golflengte van een deeltje?

Het deeltjeskarakter van elektromagnetische golven

Albert Einstein en Max Planck ontdekten in de eerste jaren van de 20ste eeuw, dat licht – dat volgens de klassieke theorie bestond uit elektromagnetische golven – ook een deeltjeskarakter had. Het licht dat onmiskenbaar kon beschreven worden als elektromagnetische golven, kwam deeltje per deeltje toe! Voor deze lichtdeeltjes werd de naam ‘foton’ gebruikt naar analogie van ‘elektron’.

Meestal merken we het niet, maar het blijkt dat een foto wordt opgebouwd foton per foton. Hier zie je hoe een foto wordt opgebouwd met steeds meer en meer fotonen naarmate de belichtingstijd toeneemt. De minst belichte foto bevat ca. 3000 fotonen, de meest belichte 30.000.000 fotonen.

Het golfkarakter van materie

Louis de Broglie bedacht in 1924 dat als licht - waarvan men klassiek dacht dat het golven waren - deeltjeseigenschappen heeft, zou dan omgekeerd materiedeeltjes – waarvan men dacht dat het louter deeltjes waren - geen golfeigenschappen kunnen hebben? M.a.w. zou de dualiteit golf-deeltje niet fundamenteel zijn voor elk fysisch systeem? Deze stoute gedachte over de symmetrie in de natuur is juist gebleken en heeft geleid tot een nieuwe mechanica geldig voor kleine ‘deeltjes’: de golfmechanica. Na de Broglie werkten Werner Heisenberg en Erwin Schrödinger deze kwantumtheorie verder uit en vandaag kunnen allerlei eigenschappen van de materie zoals: kleur, stabiliteit van de materie, chemische binding enz., slechts met deze

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

2Diffractie van elektronen

kwantumgolfmechanica verklaard worden (of met de verder ontwikkeld kwantumveldentheorie).

De kwantumtheorie is nu één van de fundamentele theorieën van de natuurkunde waarzonder niets meer kan begrepen worden. De hypothese van de Broglie ligt aan de grondslag van deze nieuwe inzichten. Hij legde als eerste het verband legt tussen deeltjeseigenschappen en golfeigenschappen met zijn beroemde relatie:

p=hλ (1)

De vergelijking legt een inderdaad een verband tussen deeltjeseigenschappen aan de linkerkant van de vergelijking (hoeveelheid van beweging) en met golfeigenschappen aan de rechterkant (golflengte). Beide worden verbonden door h, een fundamentele natuurconstante, de constante van Planck. Dit heeft een kleine maar ‘niet nulle’ waarde:

h=6,6260693 ∙10−34 Js

Aan de linkerkant van de uitdrukking staat p of de hoeveelheid van beweging, een deeltjeseigenschap. Een deeltje dat beweegt heeft een impuls of hoeveelheid van beweging gelijk aan het product van zijn massa maal zijn snelheid of

p=mv

Hoeveelheid van beweging is een bekend concept uit de klassieke mechanica van Newton. De verandering van hoeveelheid van beweging is gelijk aan de kracht die inwerkt op het voorwerp1.

Aan de rechterkant van de hypothese van de Broglie wordt een golflengte toegekend aan een deeltje met een bepaalde hoeveelheid van beweging. De golflengte staat in de noemer dus: een deeltje met een grote hoeveelheid van beweging zal dus een (korte/lange) golflengte hebben.

De hypothese van de Broglie voorspelt dus de golflengtes van deeltjes zoals ballen of elektronen.

1. Voorspel de grootte van de golflengte van een bal van 0,100 kg die beweegt met een snelheid van 10,0

1 Wie daaraan twijfelt moet maar eens proberen de hoeveelheid van beweging van een vrachtwagen en een speelgoedautootje trachten te wijzigen: ook al hebben beide dezelfde snelheid, de benodigde kracht zal bij de vrachtauto veel grotere zijn wegens de grotere massa.

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

3Diffractie van elektronen

m/s. Waarom merken we niets van de golflengte van zo een bal? (Antwoord: 6,63 x 10-34 m)

2. Voorspel de grootte van de golflengte van een elektron die een snelheid heeft van 812 m/s. De massa van een elektron is 9,11 x 10-31kg (Antwoord: 897 nm)

Experimentele verificatie van materiegolven

De Broglies deeltje-golf relatie is sinds de jaren ’20 van de 20ste eeuw al vele malen geverifieerd en correct gebleken. Het beroemdste experiment in dit verband is het dubbel spleet experiment voor elektronen dat pas in 1959 door Clauss Jönsson (Universiteit van Tübingen, D) kon uitgevoerd worden. Jönsson kon experimenteel 2-spleten interferentie van elektronen aantonen en dus onomstotelijk het golfkarakter van elektronen aantonen.

De originele foto van elektroneninterferentie aan een 2-spleten experiment met elektronen (Claus Jönson, Univesität Tübingen)

Elektronenbuiging aan een grafietristal

Maar reeds in 1927 hadden Davisson en Germer diffractie van elektronen experimenteel aangetoond door elektronen te ‘schieten’ op een kristal. De elektronen vertonen dan, dankzij hun golfkarakter, diffractie aan de ‘gaten’ die zich bevinden in de moleculaire structuur van het kristal. Dit experiment gaan we hier nu ook uitvoeren. Wij gebruiken een grafietkristal waarop we elektronen schieten. Hierin bevinden zich moleculaire openingen waar diffractie optreedt.

Bij de proef worden de elektronen vanaf een hete gloeidraad uitgezonden (zoals in een klassiek Tv-toestel) en versneld door een hoogspanning. Ze worden gefocust door magnetische velden en na doorgang door het kristal wordt hun aankomst zichtbaar op een scherm.

1. Gemeten elektrongolflengte uit het diffractiepatroon

Als de elektronen ook golven zijn dan moet hier buiging ontstaan met maxima en minima als gevolg van de weglengteverschillen tussen de verschillende openingen in het kristal. En dat is precies wat we waarnemen. Er ontstaat

inderdaad een buigingspatroon met minima en maxima die een ‘neerslag’ is van de afstanden in het kristal. Het buigingspatroon van elektronen op een grafietkristal bestaat uit een patroon waar de elektronen toekomen in enkele concentrische ringen: het resultaat van hun golfkarakter!.

Fig. Het waargenomen diffractiepatroon van elektronengolven na doorgang door een grafiekristal

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

4Diffractie van elektronen

Een grafietkristal bestaat uit vele laagjes. Bekijken we één laagje dan bestaat dit uit openingen tussen de moleculen. Deze openingen spelen de rol van een diffractierooster. De elektronengolven gaan erdoor zoals lichtgolven door een diffractierooster.

Volgens het principe van

Huygens is elk punt opnieuw een bron van golven die alle kanten opgaan. Maar er treden natuurlijk weglengteverschillen op tussen al deze ‘Huygens-golven’. Onder zekere hoeken wordt het weglengteverschil Δs groot genoeg om tegenfase te krijgen. Onder zulke hoeken treedt uitdoving op. Daar zullen geen elektronen waargenomen

worden. Onder andere hoeken treedt constructieve superpositie op van de

elektronengolven. Daar zijn de maxima en worden veel elektronen waargenomen.

Nu omdat het grafietkristal uit vele laagjes die gedraaid kunnen liggen t.o.v. elkaar, krijgen we de situatie die in (b) is voorgesteld: het kristal gedraagt zich alsof er ‘ronde’ openingen zijn. We krijgen dan ook een rond diffractiepatroon omdat de dezelfde weglengteverschillen cirkelvormig zullen optreden rond de rechtdoorgaande bundel.

Het grafietkristal heeft een in feite een mooie hexagonale structuur waarin je eigenlijk 2 verschillende afstanden kan onderscheiden.

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

5Diffractie van elektronen

Doordat de lagen gedraaid zijn resulteert dit dus in cirkelvormige moleculaire openingen van volgende 2 mogelijke afmetingen:

d1 = 2,13 . 10-10md2 = 1,23 . 10-10m

Beide afstanden geven aanleiding tot weglengteverschillen die je in het buigingspatroon tot uiting komen als afstanden tussen de maxima D1 en D2

Fig. Schematische voorstelling van de buigingsringen (maxima) die zichtbaar worden door het afvuren van een elektronenstraal op en door grafiet

Bepaling van golflengte van de elektronen uit meting van doormeter D diffractiemaxima

Via meetkunde kan men tonen dat het weglengteverschil gelijk is aan 2d sinΘ.

Men krijgt constructieve superpositie indien dit weglengteverschil een geheel aantal keer een golflengte (van de ingestraalde elektronen!) bedraagt:

Constructieve superpositie indien n . λ=2d . sinθ (2)

n: geheel getald: afstand in het kristalrooster.

λ : de golflengte van de elektronen

wat voor kleine hoeken kan vereenvoudigd worden tot:

constructieve superpositie indien λ=d D2 L (3)

waarin D de gemeten diameter van het diffractiemaximum is. L is de afstand tussen het kristal en het scherm, in onze opstelling is L = 133 mm.

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

6Diffractie van elektronen

Vermits we het rechterlid in (3) kennen (d bekend, L bekend, D meten we), kunnen we hiermee experimenteel de golflengte λ van een elektron bepalen.

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

7Diffractie van elektronen

2. Voorspelde elektrongolflengte uit de De Broglie relatie

We gaan nu de theoretische voorspelde golflengte van zulke elektronen bepalen volgens de hypothese van De Broglie (om te kijken of deze voorspelde golflengte zal kloppen met de gemeten). De Broglie’s hypothese is: λ= hp (4)

De Broglie’s relatie voorspelt dat de golflengte afhangt van de impuls die we het elektron meegeven.Maar hoe groot is de impuls p die we onze elektronen meegeven? Voor een impuls weten we dat

p=mv (5)

Maar hoeveel is de snelheid van de elektronen in ons experiment?

De elektronen worden versneld door de hoogspanning U . Dit betekent dat ze een elektrische energie verwerven van de spanning (joule per coulomb) maal de lading.De verworven elektrische energie van het elektron is dus

E=U .q

met q de lading van het elektron q=e. Het elektron in het experiment wordt daardoor versneld en verkrijgt een eindsnelheid en dus een eind kinetische energie ½ mv2.

E=U .e=12mv2

waaruit

v=√ 2 . e .Um (6)

Als we dit nu invullen in de impuls van het elektron (5) dan krijgen we volgende vergelijking.

p=mv=√2 .m. e .U (7)

m: elektronenmassa = 9,11 . 10-31 kge: elementaire lading = 1,6022 . 10-19 C

De waarde van de De Broglie golflengte bedraagt daardoor

λ= hp= h

√2 .m . e .U(8)

Met deze uitdrukking kunnen we dus de golflengte die het elektron moet hebben voorspellen a.h.v. de ingestelde hoogspanning!

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

8Diffractie van elektronen

DEEL 2: PRACTICUM

Nagaan of de voorspelde golflengte van het elektron – met de hypothese van de Broglie - overeenkomt met de gemeten golflengte uit

het diffractiepatroon?

1. Gemeten elektrongolflengte uit het diffractiepatroon

Tijdens het experiment worden eerst bij verschillende spanningen U de diameters D1 en D2 van de ringen gemeten (zie fig 4). Neem bv. U= 2,0 kV, 2,5 kV enz.

λexperimenteel=dD2 L

De afstand tussen de grafietfolie en het scherm L = 133 mm. De afstanden in het kristalrooster d1 en d2 zijn d1 = 2,13 . 10-10m en d2 = 1,23 . 10-10m

UkV

D1cm

λD1nm

D2cm

λD2nm

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

9Diffractie van elektronen

2. Voorspelde elektrongolflengte uit de ‘de Broglie’-relatie

We gaan de (uit het diffractiepatroon) gemeten waarden van de elektrongolflengte vergelijken met de waarden die rechtstreeks volgen uit de formule van de Broglie voor de ingestelde hoogspanningen.

λdeBroglie voorspelling=hp= h

√2.m . e .U

m: elektronenmassa me= 9,11 . 10-31 kge: elementaire lading e= 1,6022 . 10-19 Ch: constante van Planck h = 6,63 × 10-34 J . s

We vergelijken ze met de uit het diffractiepatroon gemeten λD1 en λD2

UkV

λde Broglienm

λD1nm

λD2nm

En is de hypothese van De Broglie over het golfkarakter van elektronen experimenteel geverifieerd? Komen de gemeten golflengtes uit het diffractiepatroon op voldoende manier overeen met de theoretisch voorspelde?

Ja/Nee

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]

10Diffractie van elektronen

[[KWANTUM SPIN-OFF - PRACTICUM UNIVERSITEIT ANTWERPEN]