Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica - Inleiding ...

InleidingHet Principe van Maximale Multipliciteit

Samenvatting

Biofysische Scheikunde: StatistischeMechanica

Inleiding & Gereedschappen

Lieven Buts

Vrije Universiteit Brussel

6 en 13 november 2009

Lieven Buts Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica


Samenvatting

Outline

1 InleidingContextKansrekening en Statistiek

2 Het Principe van Maximale MultipliciteitToepassingen van RoostermodellenStatistische Thermodynamica

3 Samenvatting



Samenvatting

ContextKansrekening en Statistiek

Outline



3 Samenvatting


Klassieke MechanicaDe klassieke mechanica beschrijft de bewegingen vanvoorwerpen aan de hand van posities, snelheden enversnellingen.

De wetten van Newton leggen het verband tussen een krachtenen de versnelling van deeltjes, waaruit in principe de volledigedynamica van een systeem berekend of gesimuleerd kanworden.


Samenvatting


Behoudswetten

De analyse van mechanische systemen wordt vereenvoudigddoor het toepassen van een aantal behoudswetten: behoudvan energie, behoud van impulsmoment, behoud vanhoekmoment, ...

Arbeid:

w =

∫ h

0δw =

∫ h

0Fextdz =

∫ h

0m.g.dz = m.g.h

Potentiële energie: V(z) = m.g.zKinetische energie: K = 1

2 mv2

Totale energie: E = K + V = constant



Samenvatting


Het Principe van Minimale Energie

Het derde centrale principe in de klassieke mechanica is hetprincipe van minimale energie: een systeem zal, binnen detoegestane vrijheidsgraden, evolueren tot de totale energiegeminimaliseerd is.

De evenwichtsvoorwaarde is

dVdx

= 0

of2mgx = 0

Het evenwichtspunt ligt dusbij x = x∗ = 0.


Evenwichtstoestanden

Stabiel evenwicht

dVdx

= 0;d2Vdx2 > 0

Neutraal evenwicht

dVdx

= 0;d2Vdx2 = 0

Labiel evenwicht

dVdx

= 0;d2Vdx2 < 0

Metastabiel evenwicht

lokaal minimum


Samenvatting


Quantummechanica

Voor systemen op atomaire schaalzijn belangrijke aanpassingennodig, waaronder het principe vanquantisatie (bijvoorbeeld vanenergieniveau’s) en hetonzekerheidsprincipe vanHeisenberg.



Samenvatting


Moleculaire Systemen

Materie bestaat uit reusachtige aantallen deeltjes (atomen,ionen, moleculen). De macroscopische eigenschappen vaneen materiaal worden bepaald door de aard van deze deeltjesen hun interacties. Door de grote aantallen is het onmogelijkom het gedrag van elk deeltje afzonderlijk te beschrijven, en iseen statistische aanpak vereist.Een zeer succesvolle toepassing van dit idee is het kinetischgasmodel, dat een verband legt tussen de temperatuur en degemiddelde snelheid van de gasdeeltjes en en de idealegaswet quantitatief ondersteunt.



Samenvatting


Statistische Mechanica

Statistische mechanica vertrekt van een moleculair-mechanischmodel van een systeem, en gebruikt statistische technieken omde macroscopische, waarneembare eigenschappen engedragingen van het systeem te verklaren in termen van demicroscopische eigenschappen van de bouwstenen.Statistische thermodynamica gebruikt dezelfde modellen om deuitwisseling van warmte en de interconversie van warmte enarbeid te verklaren.Het atomaire model wordt zo het fundamentele idee dat al dezedisciplines onderling verbindt.



Samenvatting


Een Toepasselijk Citaat

"If, in some cataclysm, all scientific knowledge were to be destroyed,and only one sentence passed on to the next generation of creatures,

what statement would contain the most information in the fewestwords? I believe it is the atomic hypothesis (or atomic fact, or

whatever you wish to call it) that all things are made of atoms - littleparticles that move around in perpetual motion, attracting each other

when they are a little distance apart, but repelling upon beingsqueezed into one another. In that one sentence you will see anenormous amount of information about the world, if just a little

imagination and thinking are applied."

Richard Feynman



Samenvatting


Outline



3 Samenvatting



Samenvatting


Gebeurtenissen, Frequenties en Kansen

Een gebeurtenis heeft een of meer mogelijke uitkomsten. Hetgooien van een gewone dobbelsteen heeft bijvoorbeeld degetallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6 als mogelijke uitkomsten. Om dewaarschijnlijkheid van elke uitkomst te quantifieren, kan er eenkans of probabiliteit p aan toegekend worden.Kansen kunnen op twee manieren afgeleid worden. De eerstemogelijkheid is om op basis van een aantal veronderstellingente redeneren over de eigenschappen van het systeem: bij dedobbelsteen zijn er zes mogelijke uitkomsten, en als dedobbelsteen "eerlijk" is, zijn die allemaal even waarschijnlijk,dus is de kans van elk 1/6. De andere mogelijkheid is degebeurtenis een groot aantal keren N te observeren, en dekans op uitkomst A af te leiden uit de statistische frequentienA/N, waarbij nA het aantal keer is dat uitkomst A is opgetreden.



Samenvatting


Discrete Kansverdelingen

Als de gegeven uitkomsten alle mogelijkheden voor degebeurtenis bestrijken, moet de som van alle kansen 1 zijn:

t∑i=1

pi = 1



Samenvatting


Continue Kansverdelingen

Wanneer de mogelijke waarden voor de uitkomst een continukunnen variëren, wordt een continue kansverdeling p(x)gebruikt.

De kans op een uitkomst tussen x en x + dx is p(x).dx. Devolledigheidsvoorwaarde wordt∫ b

ap(x)dx = 1

. Lieven Buts Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica


Samenvatting


Combinatieregels

Een doelstelling binnen de kansrekening is het opstellen vanformele regels om te redeneren over combinaties van kansen:

Optelregel voor wederzijds uitgesloten gebeurtenissen Aen B:

p(A of B) = p(A ∪ B) =nA + nB

N= pA + pB

Vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijkegebeurtenissen A en B:

p(A en B) = p(A ∩ B) =nA

NnB

N= pA.pB



Samenvatting


Enkelvoudige en Samengestelde Gebeurtenissen (1)

Het resultaat van twee worpen met een dobbelsteen kanbeschouwd worden als een samengestelde gebeurtenis, die isopgebouwd uit twee enkelvoudige gebeurtenissen:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6



Samenvatting



Stel dat we de kans willen berekenen dat de eerste worp een"1" oplevert, OF de tweede worp een "4" oplevert. De eerstemogelijkheid is van alle geldige resulaten te tellen:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Dit geeft een kans p = 11/36, maar is moeilijk vol te houden bijgrote aantallen gebeurtenissen.



Samenvatting



Een alternatieve aanpak is het opdelen van de gebeurtenis "1bij de eerste worp OF 4 bij de tweede worp" in drie subklassen,die samen alle mogelijkheden dekken:

A: "1 bij eerste worp EN geen 4 bij tweede worp". Dit iseen combinatie van twee onafhankelijke gebeurtenissenmet kansen 1/6 en 5/6: pA = 1

656 = 5

36 .B: "geen 1 bij eerste worp EN 4 bij tweede worp". Dit geefteveneens pB = 5

616 = 5

36 .C: "1 bij eerste worp EN 4 bij tweede worp". Dit is deklassieke combinatie van twee onafhankelijke worpen:pC = 1

616 = 1

36 .Het gewenste resultaat wordt bekomen als geval A OF geval BOF geval C optreedt, dus de gezochte kans isp(A ∪ B ∪ C) = pA + pB + pC = 11

36 .Lieven Buts Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica


Samenvatting


Voorwaardelijke Kansen

De regel van Bayes legt het verband tussen onderlingafhankelijke gebeurtenissen A en B:

p(A ∩ B) = p(B|A).pA = p(A|B).pB

Hierin is p(B|A) de conditionele kans dat gebeurtenis Boptreedt, op voorwaarde dat gebeurtenis A opgetreden is.Deze regel is het fundament voor de Bayesiaanse statistiek, diebelangrijke toepassingen heeft in de bioinformatica (neuralenetwerken, hidden Markov models, ...).De correlatie tussen twee gebeurtenissen wordt gedefinieerdals

g =p(B|A)

p(B)=

p(A ∩ B)

p(A).p(B)


Selectie zonder Terugplaatsen


Samenvatting


Gemiddelde en Variantie (1)

Wanneer men discrete kansdistributie volledig kent, heeft mende t mogelijke uitkomsten x1, x2, ..., xt, elk met eengeassocieerde kans p1, p2, ..., pt.Het n-de moment van deze kansverdeling wordt dangedefinieerd als

< xn >=

t∑i=1

xni .pi

Voor een uitkomstbereik x ⊂ [a, b] met een continuekansverdeling p(x) wordt de som zoals gebruikelijk vervangendoor een integraal:

< xn >=

∫ b

axn.p(x).dx



Samenvatting



Het eerste moment < x >=∑

xi.pi is het gemiddelde van dekansverdeling. (In het bijzondere geval van N gelijkwaardigemetingen xi is de kans voor elke meting pi = 1

N en vinden we deklassieke formule < x >= 1

N

∑xi terug.)

De volgende eigenschappen zijn algemeen geldig voor hetgemiddelde:

< a.x >= a. < x >

< f (x) + g(x) >=< f (x) > + < g(x) >



Samenvatting



De variantie σ2 wordt gedefinieerd als

σ2 =< (x− < x >)2 >=< x2 − 2 < x > x+ < x >2>

en kan herschreven worden als

σ2 =< x2 > −2 < x >< x > + << x >2>

=< x2 > −2 < x >2 + < x >2

en dus

σ2 =< x2 > − < x >2


Diffusie als een Kansproces (1)

We beschouwen een eenvoudig model voor diffusie in ééndimensie:

N deeltjes beginnen allemaal op de oorsprong op hettijdstip t = 0.De positie van deeltje i als functie van de tijd wordtvoorgesteld als xi(t). Dit betekent dat xi(0) = 0 voor alledeeltjes.Na elk tijdsinterval τ maakt elk deeltje willekeurig een stapnaar links of naar rechts, zonder voorkeur voor de ene ofde andere richting. De lengte van elke stap is δ.

De deeltjes kunnen dus alleen voorkomen op posities die eenveelvoud van δ zijn:


Samenvatting



Na een tijd t heeft elk deeltje n = tτ stappen uitgevoerd.

Elke stap is statistisch onafhankelijk van de vorige. Demicroscopische interpretatie hiervan is dat de deeltjes doorvoortdurende botsingen met de solventmoleculen nooit erglang in dezelfde richting blijven bewegen.De verschillende deeltjes bewegen onafhankelijk vanelkaar. Dit is een redelijke benadering als het systeemvoldoende verdund is.We kunnen het effect van de willekeurige stap op depositie van een deeltje als volgt uitdrukken:

xi(t + τ) = xi(t)± δ


Diffusie als een Kansproces (3)We kunnen nu afleiden hoe < x >, de gemiddelde positie vanalle deeltjes, evolueert als functie van de tijd:

< x > (t + τ) =1N

N∑i=1

xi(t + τ)

=1N

N∑i=1

(xi(t)± δ) =1N

N∑i=1

xi(t) +1N

N∑i=1

(±δ)

=< x > (t) +1N

N∑i=1

(±δ)

Aangezien de stap willekeurig naar links of rechts gebeurt, zalde laatste term voor grote aantallen N naar nul neigen.We vinden dus dat < x > (t + τ) =< x > (t). Aangezien< x > (0) = 0 betekent dit dat < x > (t) = 0 voor alle waardenvan t.

Diffusie als een Kansproces (4)Op dezelfde manier kunnen we de evolutie van het tweedemoment < x2 > berekenen:

< x2 > (t + τ) =1N

N∑i=1

(xi(t + τ))2

=1N

N∑i=1

(xi(t)± δ)2

=1N

N∑i=1

((xi(t))2 ± 2xi(t)δ + δ2)

De middenste term neigt opnieuw naar nul door de gelijkeverdeling van positieve en negatieve stappen. We vinden dus:

< x2 > (t + τ) =< x2 > (t) + δ2


Samenvatting



Aangezien xi(0) = 0 voor alle deeltjes, geldt ook dat< x2 > (0) = 0. Uit het zonet gevonden verband vinden we< x2 > (τ) =< x2 > (0) + δ2 = δ2,< x2 > (2τ) =< x2 > (τ) + δ2 = δ2 + δ2 = 2δ2, enzovoort.Hieruit vinden we het algemene verband

< x2 > (nτ) = nδ2 =δ2

τt

waaruit tenslotte volgt dat

σ(t) =< x2 > (t)− (< x > (t))2 =δ2

τt − 0 =

δ√τ

√t



Samenvatting



Samengevat vinden we dus

< x > (t) = 0;σ(t) ∼√

t

De gemiddelde positie van de deeltjes blijft dus nul, en despreiding neemt toe met de vierkantswortel van de verstrekentijd.Ondanks de extreme vereenvoudigingen blijkt dit model hetessentiële gedrag van het fysische systeem goed tevoorspellen.



Samenvatting


Roostermodellen

Voor het begrijpen van een fysisch systeem is het vaak nuttigom gebruik te maken van een vereenvoudigd model, waarin deessentiële eigenschappen van het systeem behouden blijven,en complicerende details genegeerd worden.

In een roostermodel worden debouwstenen van het systeem(atomen, moleculen, delen vanmoleculen, ...) voorgesteld alsharde bollen, die gepositioneerdworden op een rooster, waarinelke site ofwel onbezet is, ofwelplaats biedt aan precies één bol.



Samenvatting


Permutaties en Combinaties (1)

Een permutatie is een geordende sequentie van elementen.Elk element is hierbij onderscheidbaar van alle andere, en devolgorde is van belang. Voor de verzameling van de letters w, x,y en z zijn er bijvoorbeeld 24 mogelijke permutaties:

wxyz wxzy wyxz wyzx wzxy wzyxxwyz xwzy xywz xyzw xzwy xzywywxz ywzx yxwz yxzw yzwx yzxwzwyx zwxy zxwy zxyw zywx zyxw

Door het probleem te beschouwen als het trekken vanelementen uit een verzameling zonder terugplaatsen, vindenwe N! = N.(N − 1).(N − 2). · · · .1 permutaties voor N elementen.



Samenvatting



Het woord "baviaan" bevat zeven letters, waaronder drie maalde letter "a". Als we elke a een verschillende index geven (a1,a2, a3), zijn er zeven onderscheidbare elementen, en dus7! = 5040 permutaties.Als we de drie a’s als identiek of ononderscheidbaarbeschouwen, worden een aantal van de 5040 verschillendepermutaties gelijkwaardig: ba1via2a3n, ba1via3a2n, ba2via1a3n,ba2via3a1n, ba3via2a1n en ba3via1a2n zijn identiek. In hetalgemeen zijn er steeds 3! = 6 permutaties van de drieononderscheidbare elementen, zodat het aantal combinaties(sequenties waarin de volgorde van ononderscheidbareelementen niet van belang is) gelijk is aan7!/3! = 5040/6 = 840.



Samenvatting



Als er t verschillende soorten elementen zijn, met n1 elementenvan de eerste soort, n2 elementen van de tweede soort,enzovoort tot nt elementen van de laatste soort, dan vinden wede volgende algemene formule voor het aantal combinatieswaarin de elementen van dezelfde soort niet te onderscheidenzijn:

W(n1, n2, . . . , nt; N) =N!

n1!n2! · · · nt!

N = n1 + n2 + · · ·+ nt is hier het totaal aantal elementen.



Samenvatting



Als er twee soortenuitkomsten zijn (t = 2),geldt dat N = n1 + n2.Als we stellen datn = n1, volgt datn2 = N − n, en wordt dealgemene formule:

W(n; N) =N!

n!(N − n)!=

(Nn

)



Samenvatting

Toepassingen van RoostermodellenStatistische Thermodynamica

Outline



3 Samenvatting



Samenvatting


Een Roostermodel voor de Uitzetting van een Gas (1)

Het genereren van een configuratie voor dit roostermodel isequivalent met een sequentie van kop/munt-uitkomsten bij hetwerpen van een munt.


Toepassing van De Binomiale Verdeling


Samenvatting


Een Roostermodel voor de Uitzetting van een Gas (2)

WA = W(V = 5) =

(53

)=

5!

3!2!= 10

WB = W(V = 4) =

(43

)=

4!

3!1!= 4

WC = W(V = 3) =

(33

)=

3!

3!0!= 1

Het grootste volume is dus alleen al om statistische redenenhet meest waarschijnlijk.



Samenvatting


Het Effect van Grote Aantallen (1)

N = 4n W ln W4 4!

0!4! = 1 03 4!

1!3! = 4 1.3862 4!

2!2! = 6 1.7921 4!

3!1! = 4 1.3860 4!

4!0! = 1 0Totaal W = 16

N = 10n W ln W

10 1 09 10 2.3038 45 3.8077 120 4.7876 210 5.3475 252 5.5294 210 5.3473 120 4.7872 45 3.8071 10 2.3030 1 0

Totaal W = 1024Lieven Buts Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica


Samenvatting


Het Effect van Grote Aantallen (2)

Bij grote aantallen experimenten wordt de kans op uitkomstendie sterk van het gemiddelde afwijken verwaarlosbaar klein tenopzicht van de meest waarschijnlijke uitkomsten. Hoewel hetproces intrinsiek stochastisch is, is de samenstelling van deuitkomsten toch met grote nauwkeurigheid te voorspellen.


Een Roostermodel voor Menging en Diffusie

A :Wtot = Wlinks.Wrechts =4!

2!.2!

4!

2!.2!= 36

B :Wtot = Wlinks.Wrechts =4!

1!.3!

4!

3!.1!= 16

C :Wtot = Wlinks.Wrechts =4!

0!.4!

4!

4!.0!= 1

De meeste heterogene verdeling is dus de meestwaarschijnlijke.


Samenvatting


Een Roostermodel voor Elasticiteit

In dit model stellen debolletjes opeenvolgendemonomeren in een polymeervoor. Het zoudenbijvoorbeeld de aminozurenin een polypeptide kunnenzijn. Het polymeer is aan éénuiteinde verankerd, en kanzich verder uitstrekken in eenaantal conformaties,waardoor het andere uiteindeop een zekere afstand l vande wand eindigt.



Samenvatting


Outline



3 Samenvatting



Samenvatting


Arbeid en Hitte

De eerste thermodynamische modellen werden ontwikkeld voorde atomistische visie bekend was, en bestudeerden hetverband tussen verschillende vormen van arbeid (mechanisch,elektrisch, ...) enerzijds en de uitwisseling van warmteanderzijds.Aanvankelijk werd warmte beschouwd als een geconserveerdegrootheid, die enkel van het ene voorwerp naar het andere konvloeien. Door waarnemingen op materialen met verschillendewarmtecapaciteit en experimenten met de omzetting vanwarme in arbeid moest dit standpunt echter herzien worden.



Samenvatting


De Eerste Hoofdwet van de Thermodynamica

Een thermodynamisch systeem heeft een interne energie U, deopgebouwd is uit de potentiële energie van de onderdelenenerzijds, en de gecombineerde kinetische energie van dewillekeurige (thermische) bewegingen van de deeltjes.U is een toestandsfunctie van het systeem, en kan op tweemanieren veranderd worden: door arbeid w (zijndegeorganiseerde, grootschalige veranderingen) of door warmteq (zijnde chaotische, microscopische veranderingen):

∆U = q + w



Samenvatting


Uitwisseling van Warmte (1)

We beschouwen een systeem met N deeltjes en tenerginiveau’s. Het energieniveau i heeft een energie εi. Vande N deeltjes bevinden er zich N1 op energieniveau 1, N2 openergieniveau N2, enzovoort. De aantallen N1, N2, ..., Nt

worden ook de populaties van de energieniveau’s genoemd.De som van alle Ni’s moet natuurlijk N zijn.De totale interne energie U van het systeem is dan

U =

t∑i=1

Niεi



Samenvatting



Verschillende bezettingspatronen kunnen resulteren in dezelfdetotale interne energie. Voor sommige waarden van U zijn ermaar een klein aantal mogelijke patronen (lage multipliciteit),terwijl er voor andere waarden vele mogelijke combinaties zijn.Als we de totale energie als vrijheidsgraad van het systeembeschouwen, kunnen we de multipliciteit uitdrukken als eenfunctie W(U).


Uitwisseling van Warmte (5)We beschouwen twee systemen A en B, elk met 10 deeltjes dieover twee energietoestanden (met energie ε1 = 0 en ε2 = 1verdeeld worden. Systeem A heeft twee deeltjes op het hogeenergieniveau, en dus een totale interne energie UA,1 = 2.Systeem B heeft vier deeltjes op het hoge energiniveau, en duseen interne energie UB,1 = 4.

De multipliciteit van systeem A apart is WA,1 =10!

2!8!= 45, en de

multipliciteit van systeem B apart is WB,1 =10!

4!6!= 210.

De gecombineerde multipliciteit van de twee systemen samenis Wtot = WAWB (combinatie van onafhankelijkegebeurtenissen). In dit geval is dit WA,1WB,1 = 45.210 = 9450.

Uitwisseling van Warmte (6)Als we de twee systemen in thermisch contact brengen,kunnen ze onderling energie uitwisselen. Een mogelijkeuitkomst is dat er geen uitwisseling optreedt. In dat geval blijftde totale multipliciteit onveranderd (9450). Een anderemogelijkheid is dat er energie wordt uitgewisseld tussen detwee systemen, natuurlijk onder de voorwaarde dat de totaleenergie UA + UB onder alle omstandigheden behouden blijft.Een mogelijke uitkomst is dat er energie van systeem B naarsysteem A stroomt, tot uiteindelijk UA,2 = UB,2 = 3.


De multipliciteit van systeem A is dan WA,2 =10!

3!7!= 120, en de


3!7!= 120. Dit geeft

een gecombineerde multipliciteit van WA,2WB,2 = 14400, m.a.w.een toename t.o.v. de oorspronkelijke situatie.

Uitwisseling van Warmte (8)Een derde mogelijkheid is dat er energie van systeem A naarsysteem B stroomt, tot uiteindelijk UA,3 = 1 en UB,3 = 5.

De multipliciteit van systeem A is dan WA,3 =10!

1!9!= 10, en de


5!5!= 252. Dit geeft

een gecombineerde multipliciteit van WA,3WB,3 = 2520, m.a.w.een daling t.o.v. de oorspronkelijke situatie.

Uitwisseling van Warmte (9)Het principe van maximale multipliciteit is veel algemenergeldig dan de equilibratie van de interne energie:

Wtot,1 = WA,1.WB,1 =10!

2!8!

4!

2!2!= 45.6 = 270

Wtot,2 = WA,2.WB,2 =10!

3!7!

4!

1!3!= 120.4 = 480


Samenvatting


De Tweede Hoofdwet van de Thermodynamica

De richting van uitwisseling van warmte tussen twee systemenbij verschillende temperatuur kan dus ook voorspeld wordendoor middel van het principe van maximale multipliciteit. Ditidee wordt verder geformaliseerd in de Tweede Hoofdwet vande thermodynamica ("de entropie van het universum neemt toevoor spontane processen"), waarvoor we de begrippen entropieen temperatuur nauwkeuriger zullen moeten definiëren.



Samenvatting

Samenvatting (1)

Statistische mechanica is de toepassing van de principesvan de klassieke mechanica, waar nodig gecorrigeerd doorde quantummechanica, op atomaire en moleculairesystemen met zeer grote aantallen deeltjes die eenstatistische aanpak noodzakelijk maken.De belangrijkste principes die geërfd worden uit demechanica zijn de behoudswetten voor een aantalgeconserveerde grootheden, en het Principe van MinimaleEnergie.



Samenvatting

Samenvatting (2)

Een moleculair systeem heeft een zeer groot aantalmicroscopische toestanden, met verschillende opstellingenen energieën van de deeltjes waar het uit bestaat. Hetgemiddelde gedrag van alle deeltjes bepaalt demacroscopische toestand van het materiaal.Voor een gegeven macroscopische toestand zijn er eenvariabel aantal microscopische toestanden mogelijk. Dit isde multipliciteit van het systeem in de gegevenomstandigheden.



Samenvatting

Samenvatting (3)

De richting van een groot aantal processen (uitzetting vangassen, diffusie, elasticiteit, thermische equilibratie, ...)wordt vaak verklaard door het Principe van MaximaleMultipliciteit.De principes van minimale energie en maximalemultipliciteit bepalen samen de evolutie van een systeemvan een begin- naar een eindtoestand.


Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica - Inleiding ...

Documents

Transcript of Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica - Inleiding ...