SOPHIE SLOT & SEBASTIAN SNIJDERS

1 FEBRUARI 2014

ALGORITHMIC TRADING&

QUANTITATIVE FINANCE

Algorithmic Trading & Quantitative Finance

Een onderzoek naar het ontwikkelen van een geautomatiseerd handelssysteem

Een profielwerkstukAangeboden aan het Gemeentelijk Gymnasium Hilversum

Op 1 februari 2014

DoorS.C. Slot & S.R. Snijders

BegeleiderH.B. van de Vegt

Samenvatting

Het doel van dit profielwerkstuk is het ontwikkelen van een winstgevend geautomatiseerd handels-systeem. Hier gaat een hoop theorie aan vooraf. Allereerst is het belangrijk de werking van demarkt en de verschillende producten waarvan gebruikt gemaakt wordt te leren kennen. Vervolgenswordt er gekeken naar de verschillende manieren waarop de markt geanalyseerd kan worden. Wekiezen ervoor ons handelssysteem te baseren op kwantitatieve analyse.

Hierna bekijken we hoe koersen op een wiskundige manier beschreven kunnen worden. Defunctie van een koers blijkt te bestaan uit een willekeurig deel en een niet-willekeurig deel, datexponentiele groei ondervindt. Ook zijn de rendementen normaal verdeeld. Indien gebruik wordtgemaakt van grote tijdstappen, heeft het niet-willekeurige deel de overhand, en wanneer er gebruiktwordt gemaakt van kleine tijdstappen, domineert het willekeurige deel de prijs van het product.Van dit model maken we een continu model door de tijdstappen naar 0 te laten gaan, en doormiddel van Ito’s lemma stellen we een formule op voor het koersverloop van een aandeel.

Aangezien we zo min mogelijk risico willen lopen, maken we voor onze strategie gebruik vanhet concept hedging. We kopen twee gecorreleerde producten, en het verschil in prijs noemen wede spread. Deze twee producten moeten mean-reverting zijn. Via Ito’s Lemma bewijzen we echterdat twee gecorreleerde aandelen niet met zekerheid mean-reverting zijn. Er moet dus gezochtworden naar een andere manier om deze eigenschap te garanderen. Een manier om te verzekerendat de spread het benodigde mean-reverting gedrag vertoont is het gebruik maken van derivatenvan hetzelfde product. We kiezen voor een strategie waarbij gebruik wordt gemaakt van een ETPen zijn onderliggende product. In het specifiek worden door ons de VXX ETN en de VIX Futuresgebruikt.

Analyse van de historische koersdata laat zien dat de spread van deze producten inderdaadnormaal verdeeld is, en de Dickey Fuller Test bewijst dat de spread ook mean-reverting is. Despread kan gemodelleerd worden met behulp van het Ornstein-Uhlenbeck model en Ito’s Lemma.De verkregen functie van de spread wordt gebruikt om een functie van de winst op te stellen, hetzogenaamde CASO model. Deze functie voorspelt aan de hand van enkele variabelen de winst entargetdivergentie.

Door de invloed van de verschillende parameters (targetdivergentie, commissiekosten, vertra-ging) te testen op de historische koersdata, vinden we optima om bij te handelen. Deze verwerkenwe vervolgens in het geautomatiseerde handelsmodel. Dit model gebruiken we als handelsstrategieen testen we met behulp van real-time koersdata. Het systeem maakt uiteindelijk op een daghandelen een gecorrigeerde winst van 9,109.00 dollar. Dit komt overeen met een rendement van2.47%. Er moeten echter wel enkele kanttekeningen worden gemaakt bij deze resultaten. Bij hethandelen met echt geld is het onzeker of dezelfde resultaten behaald kunnen worden.

1

Inhoudsopgave

1 Financiele markten en analysetechnieken 51.1 Inleiding op financiele markten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Werking van handelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Inleiding op enkele financiele producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Opties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 ETF’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Het maken van een analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Fundamentele analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Technische analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Kwantitatieve analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Financiele wiskunde I 122.1 Modellen voor het verloop van koersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Het binominale model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Rendement en volatiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Het normale model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Stochastiche calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Brownse beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Algorithmisch handelen I 213.1 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Pairs trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Financiele wiskunde II 244.1 Spread modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Algorithmisch handelen II 265.1 Zoektocht naar geschikte trading pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 VIX ETP/Underlying arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.1 De VIX Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.2 VX Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.3 ETN’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.4 De VXX ETN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Verwerking data I 306.1 Historische data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Bewerking van de data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Optimalisering RT Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Analyse van de spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5 Dickey Fuller Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Financiele wiskunde III 427.1 Arbitrage optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

8 Verwerking data II 458.1 Invloed van gekozen targetdivergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 Invloed van commissiekosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Invloed van vertraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 Financiele wiskunde IV 539.1 Correlatie historische winst en CASO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2 Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3 Integratie Ornstein-Uhlenbeck met CASO model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10 De praktijk 5910.1 Uitvoering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11 Conclusie 62

12 Discussie 63

A Overzicht gebruikte notaties 72

B CASO waarden 73

C Geschreven MATLAB code 78

D Geschreven EasyLanguage code voor TradeStation 89

E Ruwe data handelsdag 91

3

Inleiding

Tegenwoordig wordt meer dan 50% [23] van alle orders op de Amerikaanse aandelenmarkt gegene-reerd door zogeheten High Frequency Trading Firms: professionele bedrijven die door middel vancomputeralgoritmes proberen winst te behalen op de aandelenbeurs. Er is echter zeer weinig open-bare informatie over deze groep handelaren beschikbaar. Bedrijven die opereren in de industrie vande geautomatiseerde aandelenhandel houden hun methodes en strategieen bij voorkeur verborgenvoor het algemene publiek. Op dit moment is de wereld van het ‘automated trading’ daarom vrijontoegankelijk voor de ‘gewone’ belegger (retail trader). In dit profielwerkstuk doen wij onderzoeknaar de theorie achter het geautomatiseerde handelen en bestuderen wij of de vooralsnog alleenin institutionele kringen toegepaste algoritmische trading strategieen gebruikt kunnen worden opparticulier niveau en winst kunnen opleveren voor retail traders.

Allereerst geven we een introductie op aandelenhandel in het algemeen. Vervolgens wordt inge-gaan op de mathematische modellering van aandelenkoersen en andere aspecten die belangrijk zijnom handelsstrategieen op te stellen. Met deze informatie proberen we een strategie te ontwikkelen,welke we vervolgens backtesten op historische data. Aan de hand van de resultaten concluderenwe of deze aanpak theoretisch gezien winst oplevert. Uiteindelijk testen we met behulp van eenzelf gebouwd trading systeem of het daadwerkelijk mogelijk is om met de gevonden methode winstte maken door deze aan- en verkoopbeslissingen te laten maken op basis van real time aandelen-koersen. Hierbij verklaren we de strategie succesvol als deze een rendement genereert dat minstensgelijk is aan de risicovrije rente.

4

Hoofdstuk 1

Financiele markten enanalysetechnieken

1.1 Inleiding op financiele markten

Om uiteindelijk winst te behalen op de financiele markten, is het belangrijk om eerst de werkinghiervan te begrijpen. Een van de eenvoudigste financiele instrumenten is een aandeel, ook wel eeneffect genoemd (of naar de Engelse termen: equity, stock of share). Een aandeel is het bezit vaneen klein stukje van een bedrijf. Wanneer je een goed idee hebt en een bedrijf wilt starten is hetnodig om kapitaal op te halen. Dit kun je doen door het verkopen van toekomstige winsten in devorm van een bezit in je bedrijf. Investeerders betalen geld en in ruil daarvoor wordt vastgelegddat ze eigenaar zijn van een deel van je bedrijf. Zo’n contract noemt men een aandeel.

Een bedrijf kan altijd meer kapitaal ophalen door extra aandelen uit te geven. Wanneer eenklein bedrijf groter groeit kunnen nieuwe aandelen worden verkocht aan een steeds groter publiek.Uiteindelijk kan een bedrijf ervoor kiezen om zijn aandelen te laten verhandelen op een gereguleerdeaandelenmarkt. Hier kunnen de aandelen van het bedrijf worden gekocht en verkocht tussenbeleggers. Hierdoor wordt het ophalen van kapitaal voor een bedrijf efficienter en goedkoper.

Met het kopen van een aandeel op de aandelenmarkt ben je in feite voor een klein stukje mede-eigenaar van het bedrijf waarvan je het aandeel koopt en als de waarde van het bedrijf aan de beurstoeneemt, maak je winst bij het verkopen van het aandeel. De prijs van het aandeel verandertvoortdurend en door deze veranderingen in prijs te gebruiken is het mogelijk om koerswinst tebehalen. De prijs van een aandeel komt tot stand door het fundamentele marktmechanisme vanvraag en aanbod. Als de vraag stijgt bij gelijkblijvend aanbod, dan stijgt de prijs van het aandeelen als het aanbod stijgt bij gelijkblijvende vraag, daalt de prijs. Aan een verandering in vraagof aanbod kunnen meerdere oorzaken ten grondslag liggen zoals veranderingen binnen het bedrijfof veranderingen van de conjunctuur. Om in te kunnen schatten hoe de koers van een bedrijf zalgaan veranderen, proberen beleggers zo veel mogelijk informatie over het bedrijf en het aandeel teverzamelen. Dit doen zij onder andere door rapporten van analisten te lezen en het verloop vande koers in het verleden te bekijken.

In figuur 1.1 is het verloop van de prijs van het aandeel van Apple weergegeven [66]. Te zien isdat de prijs aan veel veranderingen onderhevig is en op de lange termijn een stijgende lijn laat zien.Had je dus in 2006 een aandeel gekocht, en het in 2012 weer verkocht, dan zou je door dit verschilin prijs winst gemaakt hebben. Dit soort trends op de lange termijn zijn echter lastig te voorspel-len en eventuele resultaten laten lang op zich wachten. Deze lange-termijn trends worden vaakveroorzaakt door fundamentele veranderingen binnen het bedrijf en andere factoren die moeilijkin een mathematisch model te vatten zijn en daardoor nauwelijks beoordeeld kunnen worden doorcomputerprogramma’s. Computers zijn echter wel van toegevoegde waarde wanneer men kijkt naarprijsveranderingen op de korte termijn. Computers kunnen hier veel rekenkracht op loslaten enzijn, in tegenstelling tot mensen, in staat om razendsnel te beslissen. Bij geautomatiseerd handelenligt de focus hierdoor sterk op de korte termijn. Waar menselijke handelaren hun besluit tot hetkopen van een aandeel laten afhangen van allerlei factoren, zoals de aard en de toekomststrategie

5

02−Jan−2005 12−Nov−2007 21−Sep−2010 31−Jul−20130

100

200

300

400

500

600

700

Figuur 1.1: Tijdsreeks van aandeel Apple van 2005 tot 2013

van het bedrijf, om zo in te kunnen schatten hoe deze in de toekomst zal gaan presteren, neemt hetgeautomatiseerde handelssysteem slechts de huidige en historische koersen van het aandeel mee inde snelle besluitvorming. We hebben hier dan ook te maken met een andere vorm van beleggen:daytrading. Daytrading houdt in dat je de aandelen die je koopt binnen een korte periode (binneneen dag) weer verkoopt, om zo de volgende dag weer met een schone lei te beginnen. Daytradersproberen te profiteren van kleine prijsverschillen en de korte termijnbewegingen van de markt.Door veel transacties te maken zijn daytraders in staat om winsten te behalen.

1.1.1 Werking van handelen

Dat je winst kan maken bij een stijgende markt, of bij een stijgende prijs van een aandeel, wistenwe al. Je koopt het product simpelweg voor een lage prijs, en probeert het weer te verkopen als deprijs hoger is. Het verschil in prijs is hier je winst. Deze manier van kopen en verkopen noemenwe long gaan. Het is echter ook mogelijk winst te behalen bij een prijsdaling; dit noemen weshortselling, of short gaan. Shortselling houdt eigenlijk in dat je producten verkoopt die je op datmoment niet daadwerkelijk bezit. Het proces bestaat uit meerdere stappen:

1. Je leent een product van een handelaar in aandelen, een broker, en verkoopt dit productmeteen voor de prijs P1.

2. Je bezit nu de waarde van het verkochte product, maar je moet nog wel hetzelfde productterugleveren aan de broker. Dus, nu koop je met het geld dat je net verdiend hebt hetzelfdeproduct tegen prijs P2. Dit product geef je terug aan de broker.

3. Het verschil tussen P1 en P2 is je winst of verlies: als P1 groter was dan P2, heb je winstgemaakt. Is het andersom, dan heb je verlies gemaakt.

Shortselling is dus ook iets dat je alleen doet als je verwacht dat de prijs daalt, want alleen danmaak je winst.

6

1.2 Inleiding op enkele financiele producten

Het simpelste financiele product is, zoals in het stuk hiervoor al uitgelegd, het aandeel. Daarnaastbestaan er natuurlijk grondstoffen (commodities) en obligaties (bonds). Bovendien zijn er veleandere financiele instrumenten, welke men derivaten noemt, aangezien ze hun waarde ontlenen aanandere producten.

1.2.1 Opties

Het bekendste derivaat is de optie. Bij het kopen van een optie schaf je het recht aan om eenbepaald product op een bepaald tijdstip voor een van tevoren afgesproken prijs te kopen. Als dezeafgesproken prijs anders is dan de marktprijs van het product op het uitoefenmoment (het tijdstipuit het optiecontract), is er winst te behalen. Een optie geeft altijd het recht 100 aandelen te kopenof te verkopen. Opties zijn te verdelen in twee soorten:

1. Callopties: dit zijn opties waarmee je het recht krijgt om een bepaald onderliggend productop een vastgestelde datum voor een vastgestelde prijs te kopen, ongeacht de marktprijs op datmoment. Als je verwacht dat de toekomstige marktprijs hoger is dan de huidige marktprijs,is het verstandig om callopties te kopen: je winst bestaat dan uit het verschil tussen demarktprijs en de op de optie vastgestelde prijs op het uitoefenmoment.

2. Putopties: dit zijn opties waarmee je het recht krijgt om een bepaald onderliggend product opeen vastgestelde datum voor een vastgestelde prijs te verkopen, ongeacht de marktprijs op datmoment. Als je verwacht dat de toekomstige marktprijs lager is dan de huidige marktprijs,is het winstgevend om putopties te kopen: je winst bestaat wederom uit het verschil tussende marktprijs en de op de optie vastgestelde prijs.

NB: Amerikaanse en Europese opties werken verschillend. Met een Amerikaanse opties kun je jerecht tot het kopen of verkopen van een bepaald product gedurende de hele looptijd uitoefenen,terwijl je met een Europese optie dit recht alleen op de afloopdatum, ook wel het uitoefenmomentgenoemd, kunt uitoefenen. Vanaf dit moment bedoelen we met het woord ‘optie’ altijd de Europeseoptie, tenzij anders aangegeven.

1.2.2 Futures

Futures werken bijna hetzelfde als opties. Het enige verschil is dat je bij het kopen van eenfuture verplicht bent om het product te kopen of verkopen voor de afgesproken prijs op hetuitoefenmoment. Bij futures is het echter vereist om een zogenaamde margin aan te houden.Het koersverschil wordt namelijk aan het eind van elke dag berekend en van het margin bedragafgehaald.

1.2.3 ETF’s

De afkorting ETF staat voor Exchange-Traded Fund, het doel van het fonds is de koper de moge-lijkheid tot blootstelling aan een combinatie van verschillende beleggingsproducten te bieden. Desimpelste vorm van de ETF is de indextracker. Deze is opgebouwd uit een combinatie van verschil-lende aandelen of derivaten, opdat het fonds exact dezelfde samenstelling heeft als een bepaaldeindex. Het doel van de indextracker is namelijk de index waarop hij gebaseerd is zo nauwkeurigmogelijk te volgen. Een voorbeeld hiervan is de SPY, dit is een ETF op de S&P 500 index. Eenandere ETF is de zogenaamde ‘sector ETF’, dit is een fonds dat alleen aandelen van bedrijven uiteen bepaalde sector koopt. Een bekende sector ETF is de XLF, een ETF dat bestaat uit aandelenuit de financiele sector.

1.3 Het maken van een analyse

Aan het besluit om een bepaald aandeel te kopen gaat een hoop onderzoek vooraf. Het is ergbelangrijk om je transactie ergens op te baseren. Er zijn drie verschillende manieren om dit aante pakken: fundamentele analyse, technische analyse en kwantitatieve analyse.

7

1.3.1 Fundamentele analyse

Bij het maken van een fundamentele analyse probeert de analist alle factoren waarvan hij of zijdenkt dat ze meewegen in het verloop van de koers van het bedrijf een voor een te bekijken en inte schatten of deze factoren het verloop van de koers gunstig of juist ongunstig zullen beınvloeden.Onder de analisten verschillen de meningen over welke factoren dit precies zijn en hoe ze de koersbeınvloeden, maar er wordt aangenomen dat ze in drie categorieen te verdelen zijn:

• Macro-economische factoren, zoals de conjunctuur en de rente. Deze factoren beınvloedenalle aandelen, zij het misschien niet op dezelfde wijze.

• Meso-economische factoren, factoren die iets zeggen over de ontwikkeling van een bepaaldebedrijfstak. Bedrijfstakken van bedrijven die primaire goederen produceren zullen bijvoor-beeld minder last hebben van een laagconjunctuur dan bedrijfstakken van bedrijven dieluxegoederen produceren.

• De laatste en belangrijkste groep factoren is de micro-economische factoren. Hierbij wordtgekeken naar de ontwikkelingen binnen een bepaald bedrijf. Een belangrijke bron van infor-matie over het functioneren van dit bedrijf is het jaarverslag, waarin onder andere de winst-en verliesrekening en de balans te vinden zijn.

Fundamentele analyse is echter lastig uit te voeren door een computer. Er moet rekening gehoudenworden met vele parameters die niet altijd in een model te vatten zijn.

Figuur 1.2: Een overzicht met enkele fundamentele indicatoren in Bloomberg [11]

1.3.2 Technische analyse

In tegenstelling tot de fundamentele analisten geloven technische analisten in het feit dat alle op ditmoment relevante informatie al in de prijs van een aandeel verwerkt is en dat het dus geen zin heeftom al deze informatie nog een keer te bekijken. De enige gegevens die er voor een technische analyse

8

0

20

40

60

80

100

120

140

160

21010Tijd

Prijs

86420

20

40

60

80

100

120

50Tijd

Prijs

8764321

Figuur 1.3: Een voorbeeld van een steunniveau (links) en weerstandniveau (rechts)

toe doen zijn de huidige en historische koersen. Bij het maken van een technische analyse wordtgeprobeerd een trend te vinden in de grafiek van de aandelenkoers. Technisch analisten proberenbij hun analyse bepaalde patronen te ontdekken. Patronen waar vaak naar wordt gezocht zijnde zogenaamde steun en weerstandsniveaus. Een steun is een prijsniveau waar de prijs van eenaandeel bij een daling van de koers moeilijk onder lijkt te kunnen komen. De kans is groot datde prijs eerst een aantal keer ‘afketst’ terug naar boven, voordat hij er uiteindelijk toch doorheengaat of juist weer stijgt. Dit is te zien in figuur 1.3.

Een weerstand is het tegenovergestelde van een steun. Het is een prijsniveau waar een aandeelbij een stijgende koers niet boven lijkt te kunnen komen; de kans is groter dat hij er een tijdjeonder blijft hangen. Als de koers van een aandeel uiteindelijk toch door de weerstand heen breekt,wordt deze weerstand de nieuwe steun. Ditzelfde geldt bij het doorbreken van een steun; als deprijs van een aandeel tot onder de steun zakt, wordt het oude steunniveau de nieuwe weerstand.Dit is te zien in figuur 1.3 en in figuur 1.4.

Figuur 1.4: Hoe weerstand verandert in een steun (hier komt betere afbeelding)

Bij technische analyse wordt niet alleen gebruik gemaakt van veelvoorkomende patronen in dekoersen, maar ook van bepaalde rekenkundig verkregen indicatoren. Een van deze indicatoren is hetmoving average (voortschrijdend gemiddelde). Dit houdt in dat het gemiddelde van de slotkoersengedurende een bepaalde periode wordt genomen, en per dag wordt aangepast. Bijvoorbeeld, als hetom een 10-daags moving average gaat, en je dus 10 slotkoersen bij elkaar optelt en deelt door 10, ishet eerste MA het gemiddelde van de slotkoersen van dag 1-10, en het tweede MA het gemiddeldevan de slotkoersen van dag 2-11. Op deze manier is het mogelijk om het moving average in dezelfdegrafiek te laten zien als het verloop van de koers, en hier conclusies uit te trekken. Het movingaverage helpt de kleine uitschieters weg te filteren, om zo de trend duidelijker te zien. Ieder moving

9

average is te berekenen met behulp van de volgende formule1

MA =

n∑i=1

pM−(n−1)

n

waarbij het gaat om een n -daags moving average met de prijzen p op de dagen M − (n − 1)tot en met M . In het algemeen wordt aangenomen dat een koers die boven het MA staat eenpositieve indicator is voor het verdere verloop van de koers, en een koers die lager is dan het MAeen verwachte daling van de koers aangeeft.

02−Jan−2005 27−Nov−2007 21−Oct−2010 14−Sep−20130

100

200

300

400

500

600

700

Figuur 1.5: Een 100-daags moving average van het aandeel Apple

In figuur 1.5 is zowel de koers van de aandelen van Apple als het 100-daags moving averagete zien [66]. De snijpunten van de twee lijnen zijn momenten waarop het gunstig kan zijn om hetaandeel te kopen of te verkopen; op het moment dat de koers zich eerst een tijdje onder het MAbevindt en dan het MA snijdt, om er vervolgens bovenuit te komen, is het vaak gunstig het aandeelte kopen. Andersom geldt ook dat als de koers het MA snijdt en eronder komt, dit een signaal kanzijn om het aandeel te verkopen.

Uit meerdere studies is echter gebleken dat de voorspellende kracht van technische analysevaak te wensen overlaat [13, 43]. Daarom gaan we verder met de volgende vorm van analyse:kwantitatieve analyse.

1.3.3 Kwantitatieve analyse

De grens tussen technische en kwantitatieve analyse is een grijs gebied. Over het algemeen genomengebruikt men bij kwantitatieve analyse methoden uit de statistiek om iets te zeggen over de prijs vaneen aandeel of ander financieel product. Er wordt bijna uitsluitend gebruik gemaakt van historischeprijsdata. Wiskundige modellen dienen hierbij als ondersteuning om de beweging van het aandeel tebegrijpen. Dit is handig, aangezien handelscomputers slechts in staat zijn om cijfers te verwerken.In dit profielwerkstuk zal daarom uitsluitend gebruik worden gemaakt van kwantitatieve analyse.Als basis voor de meeste modellen wordt het standpunt ingenomen dat de bewegingen van de koers

1Zie voor een overzicht van gebruikte notaties bijlage A

10

van een aandeel op de korte termijn geheel willekeurig zijn. Door historische data te analyseren kanechter wel een uitspraak worden gedaan over de kansen behorend bij de prijsveranderingen. Omiets te begrijpen van kwantitatieve analyse is het belangrijk om te kijken hoe we aandelenkoersenkunnen modelleren. Bij kwantitatieve analyse wordt immers gebruik gemaakt van modellen omhet koersverloop van aandelen te analyseren. Daarom wordt in het volgende hoofdstuk geprobeerdeen wiskundige benadering van een aandelenkoers te vinden.

11

Hoofdstuk 2

Financiele wiskunde I

2.1 Modellen voor het verloop van koersen

2.1.1 Het binominale model

Voor het modelleren van aandelen gaan we ervan uit dat prijzen van aandelen een zekere wille-keurigheid bevatten. Dat betekent niet direct dat we geenszins in staat zijn om aandelenprijzen temodelleren, maar dat het moet gebeuren vanuit het oogpunt van de statistiek en kansberekening.Met het uitgangspunt dat een aandeel een willekeurig pad, ook wel random walk, volgt, kunnenwe ons eerste simpele model opstellen. Hoewel dit model de werkelijkheid niet heel realistisch be-schrijft, is dit een eerste stap richting een juiste benadering. We beginnen met een bedrag van $100.Zie dit als de prijs van een aandeel. Vervolgens gooien we met een munt. Wanneer je kop gooitvermenigvuldig je het bedrag met 1.01.1 Wanneer je munt gooit vermenigvuldig je het bedrag met0.99. Gooi nu de munt weer op en vermenigvuldig het nieuwe bedrag met 1.01 of 0.99. Er zijn nuvier mogelijkheden voor het uiteindelijke bedrag: 1.012×100, 1.01×0.99×100 = 0.99×1.01×100en 0.992× 100. Wanneer je deze stappen vaker herhaalt krijg je een willekeurig pad dat al redelijklijkt op dat van een aandeel. Een specifiek experiment is weergeven in figuur 2.1.

We hebben hier bewust gekozen ons bedrag te vermenigvuldigen met een vaste factor. Inplaats daarvan hadden we er ook voor kunnen kiezen om er een vaste hoeveelheid bij op te tellenof vanaf te trekken. Dit is een zeer belangrijk aspect van de koers van financiele producten; ophet moment dat de prijs van een aandeel hoger wordt stijgt ook de grootte van de dagelijkseprijsveranderingen. De prijsveranderingen blijven proportioneel met de hoogte van de prijs vanhet aandeel. Daarnaast kan in dit gekozen model de aandelenprijs niet negatief worden, net als bijechte aandelenprijzen. Wanneer we een vermenigvuldigingsmodel gebruiken krijgen we een goedebenadering van een zogeheten lognormale random walk, ook wel meetkundige rij genoemd.Wanneer we een optelregel gebruiken krijgen we een benadering van een normale random walkof rekenkundige rij.

Hoewel de bovengenoemde eigenschappen kloppend zijn, zit er een groot nadeel aan deze mo-delmatige benadering van aandelenkoersen: het model stelt dat het aandeel of omhoog, of omlaagkan gaan met een vaste verhouding. Er zijn dus slechts twee mogelijkheden voor de prijs van‘morgen’. Daarom wordt dit model ook wel het binominale model genoemd. Dit is overduidelijkonrealistisch.

2.1.2 Rendement en volatiliteit

Wanneer je ergens in investeert, verwacht je natuurlijk dat het in waarde toeneemt, zo ook bijaandelen. Deze extra waarde noemen we rendement of return. Met het woord rendement wordt deprocentuele groei van de waarde van je aandeel bedoeld, samen met eventueel ontvangen dividenden

1Alle getallen zullen vanaf hier in de Amerikaanse notatie gegeven worden, dat wil zeggen dat een punt wordtgebruikt om de decimalen van het getal te scheiden.

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10090

95

100

105

110

115

120

Aantal keer gooien

Figuur 2.1: Een simpele simulatie van een aandelenkoers

over een bepaalde periode:

Rendement =Verandering in waarde aandeel + ontvangen dividenden

Originele waarde aandeel

Het is belangrijk om onderscheid te maken tussen procentuele of relatieve groei, en absolute groei.Stel, we kunnen investeren in twee aandelen die beiden $10 per jaar in waarde toenemen. AandeelA heeft een waarde van $100 en aandeel B heeft een waarde van $1000. Aandeel A is dan duidelijkeen betere investering. Na een jaar is aandeel A $110 waard en aandeel B $1010. Beide zijngestegen met $10, maar aandeel A is toegenomen met 10% en aandeel B met slechts 1%. Als je$1000 hebt om te investeren kun je beter tien aandelen A kopen dan een aandeel B.

Dit voorbeeld toont ons dat we bij het onderzoeken van koersen de nadruk moeten leggen oprendementen. De absolute verandering van de prijs is namelijk vele malen minder relevant dan derelatieve verandering van de koers. Om de rendementen van verschillende aandelen in te schattenmoeten we bepalen hoeveel onzekerheid er aanwezig is in de waarde van de effecten. Later pogenwe rendementen en hun onzekerheid in een beter model voor de prijs van aandelen te vatten.

In figuur 2.2 zien we het koersverloop van Goldman Sachs (GS) van september 2012 tot sep-tember 2013 [66]. Dit is een typische plot van een financieel instrument. Het aandeel laat over dezeperiode een opwaartse trend zien, maar dit is niet per definitie gegarandeerd. De onvoorspelbaar-heid van het koersverloop is een belangrijk kenmerk van financiele producten. Omdat er zoveelwillekeur in de prijs zit, moet elk model gebaseerd worden op toeval en kansberekening.

Aangezien we eerder al hebben geconcludeerd dat de rendementen belangrijker zijn dan deabsolute waarde van aandelenprijzen, kijken we nu hoe we deze rendementen kunnen berekenen.Als we de prijs van het aandeel op de ide dag noteren met Si, dan wordt het rendement van dag itot dag i+ 1 gegeven door:

Si+1 − SiSi

= Ri

Hierbij negeren de eventuele dividenden die op aandelen worden uitbetaald. Het gemiddelde vande rendementen wordt dan gegeven door:

R =1

M

M∑i=1

Ri

13

03−Sep−2012 02−Jan−2013 03−May−2013 01−Sep−2013100

110

120

130

140

150

160

170

Figuur 2.2: Goldman Sachs Group Inc. van september 2012 tot september 2013

De standaarddeviatie wordt gebruikt om aan te geven hoe de waarden rond het gemiddelde ver-spreid zijn. Deze wordt als volgt berekend:

σ =

√√√√ 1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2

Hierin is n het aantal waarden, xi de waarde van een getal in de reeks, en x het gemiddelde vande waarden.

De standaarddeviatie van rendementen wordt ook wel de volatiliteit genoemd, en deze geeft debewegelijkheid van een aandeel aan. De standaarddeviatie van de verzameling rendementen wordtnu dus gegeven door

σ =

√√√√ 1

M − 1

M∑i=1

(Ri −R)2

waarin M het aantal rendementen in de verzameling is (eentje minder dan het aantal prijzen,aangezien het rendement bestaat uit het verschil tussen twee prijzen). Hoe hoger de volatiliteit,hoe bewegelijker het aandeel. Hier komen we later op terug. Wanneer we deze formules gebruikenkomen we voor het aandeel GS uit op een gemiddeld rendement van 0.0015 en een standaarddeviatievan 0.0153 per dag. De standaarddeviatie is vele malen groter dan het gemiddelde rendement(σ > R). Dit is typerend voor financiele producten op de korte termijn. Van dag tot dag is ervooral ruis waarneembaar. Het kan soms maanden duren voordat je een trend kunt waarnemen.

14

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

5

10

15

20

25

30

Rendement

Dic

hthe

id

Rendementen GoldmanNormaalverdeling

Figuur 2.3: Histogram van de rendementen van Goldman Sachs Group Inc. en normale verdeling

2.1.3 Het normale model

De normale verdeling

In figuur 2.3 is een histogram weergeven van de rendementen van Goldman Sachs Inc. Geplot indezelfde figuur is de functie van de normale verdeling2

1

σ√

2πe−

12 ( x−µσ )

2

waarbij σ de standaarddeviatie is en µ het gemiddelde van de verdeling.De verdelingen zijn niet identiek, maar ze zijn min of meer hetzelfde. Wanneer we geloven dat de

empirische rendementen genoeg lijken op de normale verdeling, en deze dus een goede benaderingvormt van de verdeling van de rendementen, kunnen we dit verwerken tot een nieuw model. Alswe nu de rendementen schrijven als een combinatie van een gemiddelde groei en een willekeurigevariabele φ krijgen we het volgende:

Ri =Si+1 − Si

Si= gemiddelde + standaarddeviatie× φ

Hierin is φ een willekeurige variabele, getrokken uit de standaardnormale verdeling met µ = 0 enσ = 1.

Dit vormt een goede basis voor een nieuw model waarin we groei over de lange tijd splitsenvan de willekeurigheid op de korte termijn. Daarnaast zijn er op deze manier van tijdsstap tottijdsstap oneidig veel mogelijke prijsveranderingen, met elk hun eigen kans van voorkomen. Ditis al vele malen beter dan het binominale model, waarin slechts twee prijsveranderingen mogelijkwaren.

Tijdsschaal niet-willekeurige deel

Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar metingsintervallen van een dag, maar wat gebeurt ermet onze rendementen en standaarddeviatie als we kijken naar intervallen van bijvoorbeeld eenuur of een week? Hoe veranderen deze als gevolg van veranderingen van de tijdsduur?

2De normale verdeling is een klokvormige verdeling, met op de horizontale as het gemiddelde µ en de standaard-deviatie σ van dit gemiddelde, en op de verticale as de kans op een bepaalde waarde x. De normale verdeling is eencontinue kansverdeling, wat wil zeggen dat het aantal mogelijke waarden binnen deze kansverdeling oneindig is. Deverdeling is afhankelijk van de µ en de σ van de waarden binnen de verzameling. De totale oppervlakte onder denormaalkromme is altijd 1.

15

We noemen de tijdsstap δt. Het gemiddelde van de rendementen schaalt evenredig met degrootte van de tijdsstap. Dit betekent dat hoe groter de tijd tussen de meetmomenten is, des temeer de prijs gemiddeld zal zijn bewogen, en des te groter (of kleiner) het rendement zal zijn. Wekunnen schrijven:

gemiddelde rendement = µ δt

Dit is dezelfde µ die we eerder hebben gezien en die het gemiddelde jaarlijkse rendement voorstelt,ook wel drift genoemd. We nemen aan dat µ constant blijft.

Wanneer we de afwijkingen van het gemiddelde op de korte termijn (dus σ × φ) even buitenbeschouwing laten, zien we dat het rendement gelijk is aan µ maal δt. In formules:

Si+1 − SiSi

= µ δt

Dit kunnen we omschrijven tot:Si+1 = Si(1 + µ δt)

Wanneer het aandeel begint op S0, met t = 0, dan geldt na een tijdsstap t = δt dat

S1 = S0(1 + µ δt)

en na twee tijdsstappen t = 2δt dat

S2 = S1(1 + µ δt) = S0(1 + µ δt)2

en na M tijdsstappen t = Mδt = T dat:

SM = S0(1 + µ δt)M

Wanneer de we toewerken naar een continu model en de tijdsstappen δt naar nul gaan met detotale tijd T constant is dit:

SM = S0(1 + µ δt)M

Hierin is δt een breuk die steeds kleiner wordt, als er meer tijd verstrijkt.Vanwege deze mathematische definitie van ex:

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)nKunnen we dit als volgt schrijven:

SM = S0(1 + µ δt)M = S0eM ln(1+µ δt) ≈ S0e

µMδt = S0eµT

Dit is een belangrijke observatie aangezien een aandeel zonder de aanwezigheid van het wil-lekeurige deel (σ × φ) dus een eponentiele groei ondervindt. Nu we dit weten is het zaak om dewillekeurige term, die we zojuist buiten beschouwing hebben gelaten, mee te schalen. Hoe gaat ditin zijn werk?

Tijdsschaal willekeurige deel

Wanneer we terugkijken naar de functie voor de standaarddeviatie van de rendementen

σ =

√√√√ 1

M − 1

M∑i=1

(Ri −R)2

en we kijken naar een vast tijdsbestek T dan zien we duidelijk dat als we onze tijdsstappen δttussen de rendementen kleiner maken, M (het aantal rendementen) omgekeerd evenredig groeit.Dit betekent dat de variantie, gegeven door (Ri−R)2 lineair schaalt met de tijd. Hierdoor schaaltde standaarddeviatie met de wortel van de tijd. De standaarddeviatie is immers de wortel van devariantie. Dit betekent dat over een periode T geldt

standaarddeviatie = σ δt12

16

Wanneer we de niet-willekeurige component samenvoegen met de willekeurige component voor derendementen kunnen we het volgende samenstellen:

Ri =Si+1 − Si

Si= µ δt+ σφ δt

12

Hierin is φ een willekeurige component, getrokken uit een normale verdeling met µ = 0 en σ = 1.Hieruit volgt:

Si+1 − Si = µSiδt+ σSi φ δt12

Het linker gedeelte is de verandering van de prijs van i naar i + 1 en het rechter gedeelte is hierons ‘model’. Het is belangrijk om te beseffen dat we niet in staat zijn om de prijs van morgen tevoorspellen. We geven slechts een kansverdeling van de mogelijke prijzen op de volgende tijdsstap.We zien met dit model ook direct waarom de volatiliteit domineert op de korte termijn. Aangezienσ maal δt

12 gaat en µ maal δt, zal voor een zeer kleine waarde van δt de volatiliteit belangrijker zijn

dan de drift (µ). De wortel van een dusdanig klein getal is namelijk altijd groter dan het getal zelf.Echter, wanneer de tijdsstappen groter worden, krijgt de drift de overhand en wordt de volatiliteitminder belangrijk. Dit is direct zichtbaar in de aandelenkoersen; op de lange termijn is er vaakeen trend waarneembaar terwijl de prijs zich op de korte termijn willekeuriger lijkt te bewegen.

2.2 Stochastiche calculus

Aangezien ons nieuwe model gebaseerd is op kansberekening, krijgen we te maken met stochastichewiskunde. Dit is het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met willekeurige processenen functies. Deze tak van de wiskunde zal in de loop van dit hoofdstuk behandeld worden.

2.2.1 Brownse beweging

De willekeurige beweging uit ons huidige model kan ook wel een Brownse beweging genoemdworden. Deze heeft een aantal bijzondere eigenschappen waar we zometeen op terug zullen komen.

Het discrete model

We hebben net gezien:Si+1 − Si = µSiδt+ σSi φ δt

12

Vooralsnog is dit een discreet model, dat wil zeggen dat het alleen voor beperkte waarden van detijdsstap δt geldt. We kunnen schrijven:

∆S = µSδt+ σSφ δt12

De verandering in S over een kleine tijdsstap δt wordt dus gegeven door het verwachte rendement,de drift (µ), keer de tijd (δt) plus een stochastiche component. Hierbij is φ nog steeds dezelfdewillekeurige component, getrokken uit een normale verdeling met µ = 0 en σ = 1.

Met deze vergelijking kunnen we een zogenaamde Monte Carlo simulatie uitvoeren om hetprijsverloop van een aandeel te simuleren. We starten met een prijs van 100. Vervolgens voeren wedeze waarde in in onze formule. Hieruit volgt een nieuwe waarde voor S op de volgende tijdsstap,die we weer invoeren in de formule. Wanneer we dit N keer doen, krijgen we een willekeurigegrafiek zoals figuur 2.4, voor een arbitraire waarde van de drift en volatiliteit. Zoals te zien begintdit al aardig op het koersverloop van een aandeel te lijken.

Hoewel we met behulp van dit model het verloop van een aandeel redelijk kunnen simuleren, ishet lastig om er berekeningen mee uit te voeren. Het is immers een discreet proces. Om er zinvolleberekeningen mee uit te kunnen voeren moeten we toewerken naar een continue functie. Dat wilzeggen dat onze tijdsstap naar de limiet nul gaat.

17

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100097

98

99

100

101

102

103

104

105

106

N

S

Simulatie 1Simulatie 2Simulatie 3

Figuur 2.4: Drie Monte Carlo simulaties van een aandelenpad met N = 1000 en S0 = 100

Eigenschappen van het continue Brownse model

Allereerst moeten we stilstaan bij een paar belangrijke mathematische eigenschappen van onsmodel. Wanneer we het niet-willekeurige gedeelte buiten beschouwing laten en ons even focussenop het stochastische (willekeurige) gedeelte kunnen we de volgende eigenschappen waarnemen:

1. Markov

Ons model is alleen afhankelijk van de vorige waarde van S. Alle eerdere waarden van S totaan Si zijn irrelevant voor de waarde van Si+1. Dit noemen het we Markov kenmerk. Ditkomt overeen met het geloof van technische analisten dat alle relevante informatie van eenaandeel in de prijs van nu zit verwerkt, en oudere prijzen dus van geen enkel belang zijn.

2. Martingaal

De verwachte prijs van het aandeel op het volgende moment is gelijk aan de prijs van hetaandeel op dit moment. Oftewel: E[Si+1] = Si Als de verwachte prijs anders zou zijn, danzou de prijs immers nu al veranderen.

3. Kwadratische variantie schaalt lineair met tijd

Laten we ons stochastische onderdeel φδt12 tijdelijk de functie G(t) noemen. Hierdoor is

G(t) = φδt12 waarbij φ nog steeds een variabele is getrokken uit een normale verdeling,

N (0,1). Wanneer we de tijdsstap δt bekijken kunnen we deze steeds kleiner maken door eenhulpvariabele n te nemen. We hebben:

G(t) = n× φ√δt

n

We nemen voor n een grote waarde. δt wordt door een groot getal gedeeld, en is dus klein.G(t) wordt hierbij als het ware opgebouwd uit de som van een hoop verschillende kansva-riabelen getrokken uit de normale verdeling. Door deze grote hoeveelheid gaat gelden datE[G(t)] = 0 vanwege het feit dat de µ van φ gelijk is aan 0 (deze is immers getrokken uitN (0,1)). Daarnaast is belangrijk dat de kwadratische variantie evenredig schaalt met detijd. We kunnen stellen dat E[G(t)2] = t. Dit is duidelijk te zien als we de functie G(t)kwadrateren. Dit geeft G(t)2 = φ2δt. Zoals eerder vermeld, is φ een variabele getrokken uitde normale verdeling N (0,1). De verwachte waarde voor φ2 is dus 1.

18

Het continue Brownse model

Wanneer we voor δt de limiet nul bereiken noemen we φ δt12 een Wiener proces. We kunnen het

dan schrijven als dW . Dit is niets anders dan φ δt12 in een omgeving waar δt bijna nul is. Er geldt

nog steeds dat E[dW ] = 0 en E[dW 2] = dt. Als we ons model op een Wiener manier opschrijvenin een omgeving waarin de limiet naar nul gaat krijgen we de volgende differentiaalvergelijking:

dS = µSdt+ σSdW (2.1)

Dit is een van de belangrijkste formules uit de kwantitatieve analyse en vormt de basis voor veletheorieen. Stochastische differentiaalvergelijkingen zoals deze kunnen worden bewerkt door middelvan Ito’s Lemma, een theorie die hierna wordt uitgelegd.

2.2.2 Ito’s Lemma

Omdat we te maken hebben met stochastische calculus gelden er andere regels dan voor normalecalculus. Een van de belangrijkste hulpmiddelen in de stochastische calculus is Ito’s Lemma [7, 37,64, 65]. Dit wordt hieronder verder toegelicht.

Stel we hebben een functie g(x) met een variabele, dan is de Taylorreeks3 van deze functie

g(x+ dx) = g(x) +dg

dxdx+

1

2

d2g

dx2dx2 +

1

6

d3g

dx3dx3 + · · ·

dus:

∆g(x) =dg

dxdx+

1

2

d2g

dx2dx2 +

1

6

d3g

dx3dx3 + · · ·

En voor een functie g(x,y) met twee variabelen is de Taylor serie:

∆g(x,y) =dg

dxdx+

dg

dydy +

1

2

d2g

dx2dx2 +

d2g

dx dydx dy +

1

2

d2g

dy2dy2 + · · ·

Een Ito functie bestaat uit een functie a en b welke afhangen van (x,t), waarin een Wiener procesverwerkt zit, dus:

dx = a(x,t) dt+ b(x,t) dW

Of zonder argumenten:dx = a dt+ b dW

f(x,t) is een functie afhankelijk van dit Ito proces en t. Dan kunnen we met behulp van deTaylorreeks schrijven:

df =df

dxdx+

df

dtdt+

1

2

d2f

dx2dx2 +

d2f

dx dtdx dt+

1

2

d2f

dt2dt2

Invullen voor dx levert:

df =df

dx(a dt+ b dW ) +

df

dtdt+

1

2

d2f

dx2(a2 dt2 + ab dWdt+ b2 dW 2) +

d2f

dx dt(a dt+ b dW )dt+

1

2

d2f

dt2dt2

(2.2)

Ito maakt gebruik van de een aantal eerdergenoemde kenmerken:

• De kwadratische variantie schaalt lineair met de tijd. Hierbij geldt dat E[dW 2] = dt. VolgensIto geldt dat in de limiet naar nul dW 2 → dt.

• Aangezien limd→0 dt, wordt dt2 verwaarloosbaar klein en geldt dt2 → 0.

• Omdat E[dW ] = 0 geldt dat het gemiddelde E[dWdt] = 0.

• De variantie van dWdt is E[dW 2dt2] = E[dtdt2] = E[dt3]. Volgens eerder genoemde redenengeldt dt3 → 0 dus dWdt→ 0.

3de Taylorreeks is een wiskundig hulpmiddel om een benadering van een functie op te stellen.

19

dW dtdW dt 0dt 0 0

In de bovenstaande tabel zijn de regels van Ito’s Lemma overzichtelijk samengevat. Vergelijking2.2 wordt, als we deze kenmerken meenemen, dus:

df =df

dx(a dt+ b dW ) +

df

dtdt+

1

2

d2f

dx2(b2 dt)

Hieruit volgt de algemene definitie voor Ito’s Lemma:

df =

(df

dt+df

dxa+

1

2

d2f

dx2b2)dt+

df

dxb dW (2.3)

Dus een functie alsk(S) = ln(S)

met de differentiaalvergelijking met Wienerproces

dS = µSdt+ σSdW

kunnen we met behulp van Ito’s Lemma omschrijven. De a van Ito’s Lemma is in dit geval dusµS, en de b is σS. Verder geldt:

• dfdt = 0, aangezien de variabele t niet voorkomt.

• dfdx = 1

S , aangezien de afgeleide van ln(x) = 1x .

• d2fdx2 = 1

S2 , aangezien de tweede afgeleide van ln(x) = 1x2 .

Deze regels toepassend, krijgen we:

dk(S) =

(0 +

1

SµS − 1

2S2σ2S2

)dt+

1

SσS dW

Na het wegstrepen van een aantal keer S, volgt:

dk(S) =

(µ− 1

2σ2

)dt+ σ dW

Integreren levert:

k(S) =

(µ− 1

2σ2

)t+ σ (W (t)−W (0))

Aangezienk(S) = ln(S)

geldt dat de orspronkelijke functie S(t) wordt gegeven door:

S(t) = e(µ−12σ

2)t+σ(W (t)−W (0))

We hebben hiermee de oorspronkelijke differentiaalvergelijking van het continue model omgeschre-ven tot een bruikbare functie. We zullen deze methode later weer gebruiken om soortgelijke functiesop te stellen.

20

Hoofdstuk 3

Algorithmisch handelen I

3.1 Hedging

Nu we een redelijk goed werkende formule hebben om het verloop van de prijs van een aandeelweer te geven, wordt het tijd om deze kennis te gebruiken om winst te maken. Ons doel iseen zo hoog mogelijk rendement met een zo laag mogelijk risico te behalen. Een goede manierom dit te doen is door middel van het zogenaamde ‘hedging’. Dit principe houdt in dat je hetrisico dat voortkomt uit het bezitten van een bepaald product afdekt met het bezitten van eenander product1. Hiervoor zijn in het simpelste voorbeeld twee aandelen nodig met een negatievecorrelatie. Een (erg) eenvoudig voorbeeld hiervan kan optreden bij de koersen van een bedrijf datzonnebrand produceert en een bedrijf dat paraplu’s produceert. Als in ons voorbeeld even geldt dataltijd regent, of altijd zonnig is, dan zouden de koersen van de bedrijven tegengestelde bewegingenmaken. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat als de zon schijnt, mensen wel zonnebrand nodighebben, maar geen paraplu’s. Bij regen treedt dit effect omgekeerd op. Jammer genoeg is deechte wereld niet zo simpel, dus moeten we actief op zoek naar twee aandelen met een negatievecorrelatie. De correlatie tussen twee aandelen wordt berekend met Pearsons correlatiecoefficient,deze is als volgt:

ρ =

∑ni=1(Xi − X)(Yi − Y )√∑n

i=1(Xi − X)2√∑n

i=1(Yi − Y )2

Oftewel:

ρ =

∑ni = 1(S1i − S1)(S2i − S2)

σS1σS2

Als we eenmaal twee aandelen met een negatieve correlatiecoefficient hebben gevonden, zullenhun koersen er bijvoorbeeld zo uitzien als in figuur 3.1. Dit zogeheten ‘delta neutral’ portfoliowordt in de praktijk echter vaker geconstrueerd door long en short te gaan in twee aandelen diejuist sterk positief gecorreleerd zijn.

Het verschil in prijs tussen de twee aandelen noemt men de ‘spread’. Deze wordt gegeven door:

|S1 − S2|

In de financiele wereld wordt echter vaak gebruikt

|ln(S1)− ln(S2)|

aangezien (zoals eerder besproken) de prijsveranderingen van een aandeel proportioneel zijn methet huidige prijsniveau. Door het logaritme te nemen wordt het berekenen van de spread van tweeaandelen met een zeer verschillend prijsniveau vergemakkelijkt.

1We hebben het hier specifiek over delta hedging, waarbij de waardeverandering van de gehele portfolio tot nulwordt gereduceerd.

21

01−Jan−2008 01−Jan−2010 01−Jan−20120.5

0.75

1

1.25

1.5

SPYSH

Figuur 3.1: Genormaliseerde koersen van SPDR S&P 500 (SPY) en ProShares Short S&P500(SH)

3.2 Pairs trading

Als we nu twee aandelen gevonden hebben met een correlatie ρ, zal de spread van de twee aan-delen mogelijk terugkeren naar een bepaald historisch gemiddelde. Dit gedrag noemen we mean-reverting. Bij pairs trading probeert men gebruik te maken van eventueel mean-reverting gedragvan aandelen. Stel nu dat we twee aandelen hebben, aandeel A en aandeel B, waarvan eerderis vastgesteld dat ze positief gecorreleerd zijn en mean-reverting. De gemiddelde spread is ookhistorisch bepaald. Als de prijzen van A en B nu op een bepaald moment verder uit elkaar liggen,doordat de prijs van A gestegen is en de prijs van B is gedaald, en de spread dus groter is dande gemiddelde spread, kan er winst behaald worden. Men weet dat de spread zal terugkeren naarhet gemiddelde, dus dat de prijs van aandeel A zal dalen ten opzichte van de prijs van aandeelB. Omdat deze strategie markt-neutraal is, maakt het niet uit in welke richting de markt zichbeweegt, alleen de onderlinge beweging van de twee aandelen is van belang. Een pairs trader zouop dit moment dus short gaan op aandeel A, en long gaan op aandeel B. Als de prijs van aandeelA daalde, zou hij winst maken, en als de prijs van aandeel B steeg, zou hij ook winst maken.

In afbeelding 3.2 is duidelijk te zien dat de correlatie van aandelen niet altijd constant hoeft teblijven. Dit kan een probleem opleveren bij pairs trading.

22

Figuur 3.2: JCJ Index: door opties geımpliceerde correlatie van aandelen in de S&P 500 Index

23

Hoofdstuk 4

Financiele wiskunde II

4.1 Spread modellering

Het eerder genoemde pairs trading heeft dus een spread nodig die mean-reverting is. Een correlatietussen de aandelen is echter niet voldoende om vast te stellen dat de spread inderdaad mean-reverting is, zo wordt hieronder bewezen.

Stel we hebben twee aandelen waarvan de rendementen gecorreleerd zijn met ρ, waarvoor geldtdat −1 < ρ < 1. Voor deze aandelen gaan we weer uit van het continue model zoals beschreven inhoofdstuk 2, Financiele wiskunde I:

dS1 = µ1S1dt+ σ1S1dW1

dS2 = µ2S2dt+ σ2S2dW2

Stel we hebben een functie f(S1,S2) dan kunnen we via Taylor schrijven:

df =df

dS1dS1 +

df

dS2dS2 +

1

2

d2f

dS21

dS21 +

d2f

dS1dS2dS1 dS2 +

1

2

d2f

dS22

dS22

Invullen voor S1 en S2 en delen met dtλ met λ > 1 weglatend, aangezien deze verwaarloosbaarklein worden, levert:

df = µ1S1df

dS1dt+ σ1S1

df

dS1dW1 + µ2S2

df

dS2dt+ σ2S2

df

dS2dW2

+1

2σ21S

21

d2f

dS21

dW 21 + σ1σ2S1S2

d2f

dS1dS2dW1dW2 +

1

2σ22S

22

d2f

dS22

dW 22

Er gelden nog steeds de volgende Ito regels:

E[dWi] = 0 en E[dW 2i ] = dt

De Wiener processen zijn echter gecorreleerd, dus er geldt:

E[dW1dW2] = ρdt

Wanneer we dit invullen krijgen we:

df = µ1S1df

dS1dt+ σ1S1

df

dS1dW1 + µ2S2

df

dS2dt+ σ2S2

df

dS2dW2

+1

2σ21S

21

d2f

dS21

dt+ σ1σ2S1S2d2f

dS1dS2ρdt+

1

2σ22S

22

d2f

dS22

dt

24

Er geldt dus:

df =

(µ1S1

df

dS1+ µ2S2

df

dS2+

1

2σ21S

21

d2f

dS21

+ σ1σ2S1S2d2f

dS1dS2ρ+

1

2σ22S

22

d2f

dS22

)dt

+ σ1S1df

dS1dW1 + σ2S2

df

dS2dW2

Wanneer we voor de spread de volgende functie hebben

ξ = ln(S1)− ln(S2)

met

• dfdS1

= 1S1

, aangezien de afgeleide van ln(x) = 1x .

• dfdS2

is dus ook 1S2

• d2fdS2

1= − 1

S21, aangezien de tweede afgeleide van ln(x) = − 1

x2 .

• d2fdS2

2is dus ook − 1

S22

• d2fdS1dS2

= 0, aangezien ....

dan levert dit op:

dξ =

(µ1S1

1

S1− µ2S2

1

S2− 1

2σ21S

21

1

S21

+ σ1σ2S1S2 × 0× ρ+1

2σ22S

22

1

S22

)dt

+ σ1S11

S1dW1 − σ2S2

1

S2dW2

dt, σ1 en σ2 buiten haakjes halen geeft:

dξ =

(µ1 − µ2 −

1

2σ21 +

1

2σ22

)dt+ σ1dW1 − σ2dW2

En nu integreren we, zodat we de oorspronkelijke functie hebben:

ξ(t) =

(µ1 − µ2 −

1

2σ21 +

1

2σ22

)t+ σ1 (W1(t)−W1(0))− σ2 (W2(t)−W2(0))

Als de correlatie ρ tussen de Wiener processen niet exact 1 of -1 is, is dit weer een Brownse bewe-ging (willekeurige beweging). We kunnen nu concluderen dat twee aandelen die elk een Brownsebeweging volgen en gecorreleerde rendementen hebben een spread opleveren die niet met zekerheidmean-reverting is, maar willekeurig. Voor de pairs trading strategie is het echter essentieel dat despread mean-reverting is. Dit bewijs laat ons zien dat je met twee gecorreleerde aandelen via pairstrading geen gegarandeerde winst zult maken.

25

Hoofdstuk 5

Algorithmisch handelen II

5.1 Zoektocht naar geschikte trading pairs

We hebben net aangetoond dat er met twee gecorreleerde aandelen via pairs trading geen gegaran-deerde winst te behalen valt, aangezien gecorreleerde aandelen niet per se mean-reverting zijn. Eenstrategie waar wel gegarandeerde winst mee behaald kan worden, is arbitrage. Arbitrage is het hettegelijkertijd kopen en verkopen van een aandeel om zo ‘risicovrije’ winst te behalen. De simpelstevorm van arbitrage is mogelijk als hetzelfde effect wordt verhandeld op twee verschillende beurzen.Wanneer de prijs op de ene locatie verschilt van die op de andere locatie, kan er een risicoloze winstworden gemaakt door het product tegelijkertijd op de plek met de lagere prijs te kopen en op deplek met de hogere prijs te verkopen, aangezien je weet dat de prijzen vanzelf weer gelijk zullenworden. In praktijk zijn er door de globalisatie en automatisering van de markten echter nog maarweinig van dit soort mogelijkheden. Het maakt huidige investeerders niet uit of ze het product vanplek A of plek B kopen, alles gaat immers elektronisch. Er zal daarom tussen de locatiesmweinigverschil in vraag en aanbod bestaan, de drijfveer is achter deze prijsverschillen.

Deze simpele vorm van arbitrage is in de praktijk dus niet haalbaar, en eerder is al geblekendat pairs trading met gecorreleerde aandelen ook geen winstgarantie biedt. Dit wordt veroorzaaktdoor het feit dat je er niet vanuit kunt gaan dat de spread van de twee aandelen het benodigdemean-reverting gedrag vertoont. Daarnaast verandert de correlatie tussen de aandelen voortdurendvanwege fundamentele redenen. Voor een succesvolle strategie moeten we dus op zoek naar eenkoppel van producten waarvan we redelijkerwijs kunnen aannemen dat de spread altijd mean-reverting zal zijn. Een manier om dit te garanderen is door te handelen in producten die inwezen exact hetzelfde zijn, dus derivaten met hetzelfde onderliggende product. Je weet dan metzekerheid dat een eventuele spread mean-reverting zal zijn aangezien de onderliggende waarde vande producten hetzelfde is. Deze zijn echter erg lastig te vinden.

Om deze strategie uit te kunnen voeren, moeten we op zoek naar een andere vorm van ditprincipe. In dit profielwerkstuk opperen wij een door onszelf bedachte variant van deze arbitrage-strategie die slechts sinds enkele jaren mogelijk is geworden, de ETP/Underlying arbitage. Zoalseerder uiteengezet is een ETP, Exchange-Traded Product, (in ons geval een ETN) een beleggins-product waarbij de koper wordt blootgesteld aan de waardeverandering van de door het ETP aldan niet direct gehouden producten. Het doel van het ETP is dus om net zo van koers te verande-ren als zijn benchmark. Wanneer de koers van het ETP afwijkt van de waarde van de productendie het bevat is er arbitrage mogelijk. Als bijvoorbeeld een graan ETF duurder is dan het graanzelf, is er een spread aanwezig, en kan men long gaan in graan en short gaan in het ETF. Omdatde producten in feite hetzelfde zijn zal de spread die is ontstaan weer verdwijnen, en dan kan erwinst worden behaald.

ETP’s bestaan echter omdat het voor consumenten vaak lastig is om de producten die ze bevat-ten aan te schaffen of te houden. Het bovengenoemde voorbeeld met graan illustreert dit. Het ETFis makkelijk verhandelbaar, maar het is onhandig om graan te kopen of verkopen. Je krijgt dan temaken met opslagkosten en verschillende kwaliteiten. Dit is vanuit het oogpunt van algorithmischhandelen ongewenst. Ook ETP’s die bestaan uit zeer veel verschillende componenten zijn onbruik-baar. Voor een pairs trading strategie moet je dan simultaan handelen in een hoop verschillende

26

producten, en de kans dat er iets fout gaat omdat een van de producten niet tegelijkertijd met deandere producten te verkrijgen is wordt dan groter.

De ETP’s die gebruikt worden voor deze strategie moeten dus bestaan uit enkele makkelijkverhandelbare, gestandaardiseerde producten. De zogenaamde VIX ETF’s en ETN’s voldoen aandeze criteria.

5.2 VIX ETP/Underlying arbitrage

5.2.1 De VIX Index

Aandelen

S&P500 Index

Opties

Geïmpliceerde Volatiliteit

VIX Index

Futures

ETF’s / ETN’s

Figuur 5.1: Opbouw VIXIndex en afgeleide producten

Simpel gezegd is de VIX Index een geannualiseerde waarde vande geimpliceerde volatiliteit van een combinatie van korte termijnopties op de S&P 500 index. Aandelenindexen, zoals de S&P 500(SPX), worden berekend aan de hand van de prijzen van de onder-liggende aandelen. De VIX Index is echter gebaseerd op opties inplaats van aandelen, waarbij de prijs van iedere optie de marktver-wachting van de toekomstige volatiliteit weergeeft. De prijs van op-ties is immers afhankelijk van de volatiliteit van het onderliggendeproduct (wanneer een hogere volatiliteit wordt verwacht zullen op-ties relatief duurder zijn). Om de VIX Index te berekenen wordenverschillende call- en putopties van huidige termijn en opties vande volgende termijn gebruikt. De VIX geeft hiermee de 30-daagseverwachte volatiliteit van de S&P 500 index aan, gestandaardiseerdnaar een periode van een jaar. Een waarde van de VIX Index van20 betekent dus dat de S&P 500 over een periode van 30 dagen eenvolatiliteit van 20% per annum verwacht. Over 30 dagen is dit dus20%√12

.

Na de komst van de VIX Index zijn er verscheidene hierop ge-baseerde derivaten op de markt gebracht. Hierdoor is het mogelijkgeworden om direct in verwachte volatiliteit te handelen. Dit is eenbijzonder concept aangezien volatiliteit op zichzelf niet tastbaar is.Om in de VIX Index te kunnen handelen bestaan er futures op deindex (ticker VX). Daarnaast bestaan er ETF’s en ETN’s geba-seerd op deze futures. Voorbeelden hiervan zijn VXX, UVXY enVXZ. Zie voor een duidelijk overzicht figuur 5.1.

5.2.2 VX Futures

Een belangrijk derivaat dat is gebaseerd op de VIX Index, zijn deCBOE VIX Futures. Hierbij geldt de VIX Index vanzelfsprekendals onderliggende index van de futures. Anders dan bij futures opgrondstoffen vindt er bij de VIX Futures op het uitoefenmomentgeen aflevering van een daadwerkelijk product plaats. De VIXFutures zijn ‘cash-settled’. Dat wil zeggen dat er alleen een afre-kening plaatsvindt op basis van de waarde van de onderliggendeVIX Index. Ieder VIX Futures contract heeft een vermenigvuldi-gingsfactor van $1000. Iedere verandering van $0.05 in de prijs van het contract zorgt dus vooreen winst of verlies van $50.

5.2.3 ETN’s

Een ETN (Exchange-Traded Note) lijkt qua principe erg op een ETF: het product is verhandelbaarop een exchange en heeft als doel de investeerder exposure te bieden aan een verzameling van andereproducten die zijn opgenomen in een index. De wijze waarop dit gebeurt is echter verschillend.Waar een ETF als het ware een aandeel is in een speciaal fonds dat de betreffende productenbezit, is dit bij een ETN anders geregeld. Een ETN is een ongedekt schuldbewijs dat op een

27

beurs wordt verhandeld. De ‘lening’ van de investeerders aan de bank heeft een vaste waarde enis bij de creatie van een ETN vastgelegd (aan de hand van de waarde van de referentie-index).De bank die de ETN uitgeeft betaalt over deze lening geen rente of periodieke aflossingen. Zijbelooft echter om aan het einde van de looptijd van de ETN de waarde van de index terug tebetalen aan de houder van de ETN, de investeerder dus. Het is bij een ETN voor de bank dus nietnodig om de daadwerkelijke effecten te bezitten, als de bank maar in staat is om aan het einde aanhaar verplichtingen te voldoen. Om te garanderen dat de koers van de ETN niet te ver af gaatwijken van de referentie-index heeft de bank een ‘redemption / creation’ mechanisme opgesteld.Hiermee kunnen institutionele beleggers de onderliggende producten van de index in grote blokkenomruilen voor ETN’s, en ETN’s omruilen voor onderliggende producten. Dit garandeert dat eenevetuele premium of discount van de ETN ten opzichte van de index na verloop van tijd teniet zalworden gedaan. Bij een premium van de ETN ten opzichte van de onderliggende producten zullende beleggers de onderliggende producten omruilen voor ETN’s. Hierdoor neemt het aanbod vande ETN’s toe en die van de onderliggende producten af. De prijzen zullen daardoor convergeren.Wanneer er een discount is gebeurt het omgekeerde.

VXX ETN

iPath (Uitgever ETN)

Nom

inale waarde note

Schuld (Indexwaarde - Fees)

Referentie VIX Futures1e maand

Referentie VIX Futures2e maand

Short Term VIX Futures IndexIndexwaarde

Investeringen

Investeerders

Betaling

Notes Exchange

Futures

Notes

Barclays Bank PLCRedemption / Creation

Futures

Notes

Figuur 5.2: Schematisch overzicht opbouw VXX ETN

5.2.4 De VXX ETN

Een specifiek voorbeeld van zo’n product is de VXX ETN. De structuur is weergeven in figuur5.2. In het geval van de VXX ETN wordt gepoogd exposure te creeren aan een constante looptijdvan korte termijn VIX Index futures, welke de geımpliceerde volatiliteit van de S&P 500 indexweergeven op verschillende punten in de voorwaardse volatiliteitscurve. Om dit te bereiken wordtop basis van de futures van de huidige en komende maand een nieuwe indexwaarde berekend, deS&P 500 VIX Short-Term Futures Index TR (hierna STF Index, niet te verwarren met de VIXIndex), welke een investeringsstrategie simuleert op basis van een gewogen gemiddelde van een longpositie in VIX futures, opdat deze samen een constante looptijd hebben van 1 maand. Deze indexdient als referentie voor de waarde van de ETN.

28

Om een constante looptijd van 1 maand te creeren wordt gebruik gemaakt van het zogeheten‘rolling’. Wanneer je futures hebt die worden uitgeoefend in de maand augustus en je deze inruiltvoor futures die worden uitgeoefend in de maand september noemt men dit ‘rolling’: je rolt alshet ware je exposure door naar de volgende maand. De STF Index maakt dagelijks gebruik vanhet rolling proces en ruilt iedere dag een deel van de futures van de huidige maand in voor die vande volgende maand door deze te kopen en te verkopen. Stel, we nemen de expiratiedatum van dealle futures op de eerste dag van de maand. Om een gemiddelde exposure van 1 maand te creerenzal de STF Index dus op 1 augustus volledig bestaan uit september futures, die op 1 septemberverlopen. Op 1 september zal de index volledig bestaan uit oktober futures. Tussen 1 augustusen 1 september bestaat de index uit een mix van september en oktober futures. Iedere dag na 1augustus wordt een deel van de september futures verkocht en een gelijke nominale waarde aanoktober futures gekocht. Deze hoeveelheid is evenredig met het aantal futures contracten van dehuidige maand op de vorige dag en omgekeerd evenredig met de lengte van de huidige roll periode.Op deze manier wordt de initiele positie in huidige maand contracten progressief verwisseld met eenpositie in de volgende maand contracten gedurende de periode van een maand, totdat de volgenderoll periode begint en de oude volgende maand contracten de nieuwe huidige maand contractenzijn geworden. Dit principe is makkelijk weer te geven in de volgende twee formules (met wf,1als wegingsfactor van de eerste maands futures en wf,2 als wegingsfactor van de tweede maandsfutures):

wf,1 =dr

dt

ws,2 =dt− drdt

Hierbij bedraagt dt het totale aantal werkdagen in de huidige roll periode, beginnend met eninclusief de eerste CBOE VIX Futures uitoefendatum en eindigend met, maar exclusief de volgendeCBOE VIX Futures uitoefendatum. dr is hierbij het totale aantal werkdagen in een roll periode,beginnend met, en inclusief de volgende werkdag, en eindigend met, maar exclusief de volgendeCBOE VIX Futures uitoefendatum. De roll periode begint op de dinsdag voorafgaande aan aande maandelijkse CBOE VIX Futures uitoefendatum, welke valt op de woensdag 30 kalenderdagenvoorafgaande aan de S&P 500 optie expiratiedatum voor de volgende maand. De roll periode loopttot de dinsdag voorafgaande aan de volgende maands CBOE VIX Futures uitoefendatum.

29

Hoofdstuk 6

Verwerking data I

6.1 Historische data

Om verder onderzoek op dit gebied uit te voeren maken we gebruik van historische data. Dezeprijsdata hebben wij verkregen via Bloomberg L.P. [11]. We hebben data van zes dagen opgeslagen,te weten 31 mei, 24 juni, 22 juli, 10 september, 8 oktbober en 4 november. Hierbij hebben weernaar gestreefd om dagen met verschillende volatiliteitsniveaus van de markt te selecteren. Wehebben de VIX Index als referentie gebruikt.

01−Jan−2013 03−May−2013 02−Sep−2013 02−Jan−201411

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

VIX Index

Figuur 6.1: Historische koers VIX Index met gekozen data

6.2 Bewerking van de data

Na het vergaren van de benodigde historische data via Bloomberg, is de tijd aangebroken om dedata te analyseren. Allereerst hebben we de start- en eindtijden van alle data gelijk gemaakt (bijsommige producten was er sprake van after-hours trading). Daarna hebben we alle gegevens inMATLAB1 geımporteerd om de berekeningen uit te kunnen voeren. Eerst moesten we echter nogvan de ticks prijzen per seconde maken, met een zelfgeschreven functie2. Ook moest rekeninggehouden worden met het feit dat op vrijdag 8 november 2013, Barclays Bank een 1-for-4 reversesplit heeft uitgevoerd op de VIX futures ETN [6], waarvoor de data van Bloomberg automatisch

1MATLAB is een softwarepakket, geproduceerd door The Mathworks. Het kan worden gebruikt voor een ver-scheidenheid aan wiskundige toepassingen op het gebied van functies, statistiek, algoritmen en economische analyses.Hierbij wordt gebruik gemaakt van zogenaamde ’M’ code, waarmee gegevens kunnen worden bewerkt en geanaly-seerd.

2Zie bijlage C voor alle geschreven MATLAB codes

30

was gecorrigeerd. Om de huidige prijzen toch met de historische data te kunnen vergelijken, hebbenwe alle prijzen door vier moeten delen.

De spread wordt, zoals eerder beschreven, gegeven door de prijs van de VXX, min de prijs van deVXX.IV. Er ontstond echter een probleem, gezien het feit dat de VXX.IV slechts een eenmaal per15 seconden geupdatet wordt, en de rest van de data wel minstens eenmaal per seconde geupdatetwordt. Daarnaast loopt de index achter op de koersen van de VXX en de futures, zoals nadertoegelicht in de indicative value disclaimer [5]:

The indicative value calculation is provided for reference purposes only. It is not in-tended as a price or quotation, or as an offer or solicitation for the purchase, sale,redemption or termination of the iPath ETNs, nor do they reflect hedging or transac-tion costs, credit considerations, market liquidity, or bid-offer spreads. Published Indexlevels from the index sponsor may occasionally be subject to delay or postponement.Any such delays or postponements will affect the current Index level and therefore theindicative value of the iPath ETNs. The actual trading price of the iPath ETNs maybe different from their indicative value.

Om een zinvolle analyse van de spread te kunnen maken hebben we besloten een nieuwe indexte creeren om de spread mee te kunnen berekenen. We noemen deze de real time index, oftewelRT Index. Deze RT Index heeft exact dezelfde samenstelling van futures als de VXX.IV Index,maar is gebaseerd op secondendata. Om te compenseren voor het effect van historisch onderganecontango3 en andere prijseffecten moet daarnaast de hedgeratio tussen de RT Index en de VXX.IVIndex, β worden bepaald.

6.3 Optimalisering RT Index

Om de correcte hedge ratio, β, te bepalen van de RT Index t.o.v. de IV Index moeten we ookrekening houden met het feit dat de data van de IV Index achterloopt op de RT Index met γseconden, gezien de aard van de calculatie van deze index. Ons doel is om de cumulatieve afwijkingvan de RT Index t.o.v. de IV Index zo laag mogelijk te houden. We hebben twee datasets, ieder vanlengte n waarbij geldt dat I = {. . . } de verzameling van waarden van de IV Index is en R = {. . . }de verzameling waarden van de RT Index is. Onze cumulatieve afwijking van de IV Index ten opzichte van de RT Index, afhankelijk van β en γ, wordt gegeven door de functie :

V (β,γ) =

n−γ∑k

(|Ik+γ −Rkβ|)∣∣ γ ∈ N

Om dit probleem op te lossen creeren we een matrix A met waarden

ai,j =n−i+1∑k

(|Ik+i−1 −Rkjdβ|)

met {i,j} ∈ N waarbij geldt dat i = γ + 1 en j = βdβ en dβ het interval is benodigd voor een

accurate berekening van β. We krijgen dus:

Am,p =

a1,1 a1,2 · · · a1,pa2,1 a2,2 · · · a2,p

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,p

Waarvoor dus geldt:

Am,p =

∑nk (|Ik −Rkdβ|)

∑nk (|Ik −Rk2dβ|) · · ·

∑nk (|Ik −Rkpdβ|)∑n−1

k (|Ik+1 −Rkdβ|)∑n−1k (|Ik+1 −Rk2dβ|) · · ·

∑n−1k (|Ik+1 −Rkpdβ|)

......

. . ....∑n−m

k (|Ik+m −Rkdβ|)∑n−mk (|Ik+m −Rk2dβ|) · · ·

∑n−mk (|Ik+m −Rkpdβ|)

3Het feit dat de futures van de tweede maand duurder zijn dan de futures van de eerste maand wordt ook wel

contango genoemd.

31

In de matrix Am,p zijn we op zoek naar min[ai,j ]. Deze vinden we met behulp van een compu-terberekening. Wanneer we min[ai,j ] hebben gelocaliseerd kunnen we met behulp van i en j viaγ = i − 1 en β = jdB de waarden van γ en β achterhalen waarvoor de fout in onze waarde vande RT Index ten opzichte van de IV Index minimaal is. We hoeven de cumulatieve afwijkingenai,j niet te corrigeren voor de afname van het aantal gesommeerde waarden aangezien in onzeberekening geldt dat γ � n.

Nu we de hedge ratio β bepaald hebben, is het mogelijk de RT Index op te stellen. Hiertoehebben we een functie geschreven, die berekent uit hoeveel front en hoeveel second month futuresde VXX.IV op een bepaald moment bestaat. De RT Index kan hiermee als volgt samengesteldworden:

RT = β(Sf × wf + Ss × ws)

Waarbij Sf en Ss de prijzen zijn van de eerste en tweede maands futures en wf en ws de respec-tievelijke wegingsfactoren.

In de figuren 6.2(a) tot en met 6.2(f) staan zowel de Hedgeratio β, als de vertraging γ, als decumulatieve afwijking RT Index t.o.v. de VXX.IV Index. De resulataten van deze optimalisatiezijn weergeven in tabel 6.1.

Datum vertraging VXX.IV, RT (s)4 Hedge Ratio RT IV (β)31 mei 24 1.177124 juni 27 1.137122 juli 28 1.056410 sept 28 0.93628 okt 36 0.88794 nov 23 0.8524

Tabel 6.1: Tabel met de optimale waarden voor de Hedgeratio β en de vertraging

4de vertraging van de VXX.IV Index t.o.v.de RT Index

32

1.17551.1761.17651.1771.17751.1781.1785

020

4060

100

200

300

400

500

600

700

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x

(a) 31 mei

1.13551.1361.13651.1371.13751.1381.1385

020

4060

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x(b) 24 juni

1.0551.05551.0561.05651.0571.05751.058

020

4060

100

200

300

400

500

600

700

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x

(c) 22 juli

0.9350.93550.9360.93650.9370.9375

020

4060

150

200

250

300

350

400

450

500

550

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x

(d) 10 september

0.88650.8870.88750.8880.88850.889

020

4060

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x

(e) 8 oktober

0.85150.8520.85250.8530.8535

020

4060

100

150

200

250

300

350

400

HedgeratioDelay

Cum

ulat

ieve

afw

ijkin

g R

T In

dex

t.o.v

. IV

Inde

x

(f) 4 november

Figuur 6.2: Optimale hedge ratio en delay RT en IV Index

33

6.4 Analyse van de spread

Nu we een nieuwe index (RT Index) hebben om mee te werken in plaats van de VXX.IV, kunnenwe de spread bepalen. De spread wordt gegeven door:

|S1 − S2|

In ons geval is dat dus:|Svxx − Srt|

We gebruiken hier bewust geen logaritmische spread aangezien het hier om zeer kleine verschillengaat. Na per dag op alle tijdstippen t de spread bepaald te hebben, hebben we de grootte vande spread tegen het aantal keer voorkomen uitgezet. We stellen dus een kansdistributie op. Ookstellen we de normale verdeling voor deze kansdistributie op, zoals in de figuren op de volgendepagina’s voor elke dag te zien is.

De eerste figuur (a) van elke pagina laat de spread uitgezet tegen de tijd zien. In de tweedefiguur (b) is de spread als een histogram uitgezet tegen het aantal keer voorkomen van die bepaaldespread. De diagram is dus tegelijkertijd te beschouwen als een kansverdeling. In dezelfde figuuris de normale verdeling van deze kansdistributie geplot. De derde figuur, (c), laat de normaleverdeling en de probability plot van de spread zien. Hieruit kan de afwijking van de spread tenopzichte van de normale verdeling worden afgelezen, en het is bij elk van de gekozen dagen duidelijkzichtbaar dat de spread vooral bij de uiteinden afwijkt van de normale verdeling. De statistiekenvan iedere meting zijn weergeven in tabel 6.2.

34

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tijd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

5

10

15

20

25

30

35

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.0001

0.050.1

0.25

0.5

0.75

0.90.95

0.99

0.999

0.9999

Spread

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.3: Spread grafieken van 31 mei

35

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tijd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

5

10

15

20

25

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.0001

0.0050.01

0.050.1

0.25

0.5

0.75

0.90.95

0.990.995

0.999

0.9999

Spread ($)

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.4: Spread grafieken van 24 juni

36

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Tijd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

5

10

15

20

25

30

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0.0001

0.050.1

0.250.5

0.750.9

0.950.99

0.9990.9999

Spread ($)

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.5: Spread grafieken van 22 juli

37

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

TIjd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.080

5

10

15

20

25

30

35

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.0001

0.050.1

0.25

0.5

0.75

0.90.95

0.99

0.999

0.9999

Spread ($)

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.6: Spread grafieken van 10 september

38

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tijd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

5

10

15

20

25

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.0001

0.050.1

0.25

0.5

0.75

0.90.95

0.99

0.999

0.9999

Spread ($)

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.7: Spread grafieken van 8 oktober

39

16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tijd

Spre

ad ($

)

(a) spread uitgezet tegen de tijd

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Spread ($)

Den

sity

SpreadVerdeling

(b) spread met normale verdeling

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.0001

0.05 0.1

0.25

0.5

0.75

0.9 0.95

0.99

0.999

0.9999

Spread ($)

Prob

abilit

y

SpreadVerdeling

(c) spread met probability plot

Figuur 6.8: Spread grafieken van 4 november

40

Datum µξ σµ σξ σσ31 mei 0.0798166 1.20681E-4 0.0184610 8.53370E-624 juni -0.00664618 1.19260E-4 0.0182436 8.43321E-522 juli 0.0360119 1.21405E-4 0.0185717 8.58487E-510 sept 0.0378299 1.08929E-4 0.0166633 7.70268E-58 okt -0.00455212 1.11755E-4 0.0170956 7.90251E-54 nov 0.0152216 8.42112E-5 0.0128821 5.95482E-5

Tabel 6.2: Spread statistieken

6.5 Dickey Fuller Test

Hoewel het feit dat de spread mean-reverting is in de aard van het product lijkt vast te liggen,moeten we dit natuurlijk kunnen bewijzen voordat we onze modellen hierop baseren. Dit doenwe door middel van de Augmented Dickey Fuller Test. Hiermee onderzoeken we of de spread eenstationair proces is. De ADF test maakt hierbij gebruik van het feit dat bij een mean-revertingproces de prijsverandering proportioneel is met de huidige prijs. We gebruiken hierbij het model:

∆yt = α+ βt+ ηyt−1 + δ1∆yt−1 + · · ·+ δp−1∆yt−p+1 + εt

Bij ons vallen echter α, βt en δ1∆yt−1 + · · ·+ δp−1∆yt−p+1 weg, omdat er bij onze spread als hetgoed is geen sprake is van drift, lag of een tijdstrend. We houden over:

∆yt = ρyt−1 + εt,

De ADF test kijkt of de nulhypothese H0 : ρ = 0 kan worden verworpen tegen de alternatievehypothese HA : ρ < 0. Bij ρ = 0 geldt namelijk dat de verandering in y geheel afhankelijk is vande willekeurige term εt en dat y dus een random walk is. Wanneer deze hypothese kan wordenverworpen kunnen we stellen dat y naar alle waarschijnlijkheid geen random walk uitvoert. Intabel 6.3 zijn de p-waarden, t statistieken en kritieke waarden van de test weergeven. We kunnenconcluderen dat de spread op geen van de dagen een random walk uitvoert. We kunnen voor demodellering van onze spread dus een mean-reverting model gebruiken.

Datum p-waarde t waarde kritieke waarde 5% kritieke waarde 1%31-mei < 0.001 -24.7022 -1.9416 -2.566224-jun < 0.001 -45.2334 -1.9416 -2.566222-jul < 0.001 -11.8875 -1.9416 -2.566210-sep < 0.001 -10.4595 -1.9416 -2.566208-okt < 0.001 -39.5824 -1.9416 -2.566204-nov < 0.001 -14.8302 -1.9416 -2.5662

Tabel 6.3: Augmented Dickey Fuller Test statistieken

41

Hoofdstuk 7

Financiele wiskunde III

7.1 Arbitrage optimum

Nu we de spread hebben onderzocht moeten we zien te achterhalen bij welke waarde van de spreadwe onze handelsstrategie het beste kunnen uitvoeren. Hierbij zullen we eerst een zelf bedachttheoretisch model opstellen en dit vervolgens vergelijken met de historische data. We zijn dus opzoek naar een target level van de spread die ons het meeste winst zal opleveren. Laten we eerstuitgaan van een strategie waarbij we een positie innemen op het moment dat we een afwijkendespread waarnemen, en de positie sluiten op het moment dat de spread is teruggekeerd naar zijn‘normale’ niveau. We noemen dit normale niveau λ. We beginnen met het corrigeren van despread door er λ van af te trekken. Hierdoor kunnen we makkelijk berekeningen doen aangeziende spread nu rond 0 fluctueert, in plaats van rond de waarde λ. Hiervoor moeten we echter eerstde waarde λ bepalen. Dit zouden we natuurlijk kunnen doen door het gemiddelde (mean) van despread over de hele dag te nemen. Wanneer echter blijkt dat de spread vanuit ons niveau λ vakeromhoog afwijkt dan naar beneden, zal onze berekening van λ significant hoger uitvallen dan deechte waarde van λ. We moeten dus eerst controleren of dit niet het geval is. Dit doen we door deλ te vinden waarvoor geldt dat de standaarddeviatie van de absolute waarden van de spread minusλ minimaal is. Op deze manier elimineren we het effect van een scheve verhouding van positieveen negatieve uitwijkingen op λ. Dus:

min[σ] = min

√√√√ 1

N

N∑i=1

(|Si − λ|)

Wanneer we dit numeriek oplossen plotten we op de horizontale as λ en op de verticale as σ. Wekunnen dan het minimum bepalen. Dit is de waarde voor λ, gecorrigeerd voor een onevenwichtigeverdeling van positieve en negatieve uitwijkingen. Vervolgens vergelijken we dit met de waardenvoorspeld door een simpel gemiddelde. Er ontstaat een plot zoals in figuur 7.1. We zien dat opalle dagen het verschil in de waarden tussen beide methoden verwaarloosbaar is. We kunnen vooronze waarde λ dus gewoon het gemiddelde van de spread gebruiken.

Nu onze spread gecorrigeerd is voor λ en rond het punt 0 fluctueert kunnen we verder gaanmet het opstellen van ons model. Vanaf nu wordt met ‘spread’ de genormaliseerde (dus minus λ)van de spread bedoeld. We gaan er nog steeds van uit dat de spread normaal verdeeld is. Houd ingedachte dat de formule van de normale distributie werd gegeven door

1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

waarbij σ de standaarddeviatie is van de verdeling en µ de gemiddelde waarde van deze verdeling.De µ is in dit geval dus nul vanwege de correctie met behulp van λ. De winst van iedere trade wordtgegeven door de openingsspread minus de commissiekosten. We stappen immers uit de trade ophet moment dat de waarde van de spread nul is. Wanneer we een lage waarde van de spread nemen(die vaak voorkomt) om onze trades bij uit te voeren kunnen we vaak handelen met een kleine

42

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

h

m

31 mei24 juni22 juli10 september8 oktober4 novemberstd methode hmean methode h

Figuur 7.1: Bepaling λ via mean en standaarddeviatie methode vergeleken

winst. De commissiekosten zijn dan echter relatief hoog. Wanneer we een hoge waarde van despread nemen (die weinig voorkomt), kunnen we minder vaak handelen met een hogere winst. Decommissiekosten zijn dan relatief laag. We moeten een goede balans vinden tussen vaak handelenen hoge commissiekosten en weinig handelen en lage commissiekosten. De winst P kunnen wemathematisch als volgt opschrijven:

P = 2

[ξd

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd − c

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

]Hierin noteren we de target spreaddeviatie als ξd en de commissiekosten als c opschrijven. Wenoemen dit het CASO model (Convergence Arbitrage Strategy Optimum). We beschrijven nuhoe deze formule tot stand is gekomen. Wanneer we een target spreaddeviatie ξd vaststellen vanbijvoorbeeld minimaal 2 cent, dan zal er niet gehandeld worden als de spread lager is dan 2cent. Van alle mogelijkheden van 2 cent en hoger zal gebruik worden gemaakt. Omdat de spreadnormaal verdeeld is, wordt het relatieve voorkomen van de spread boven de 2 cent gegeven doorde cumulatieve normale distributie van ξd tot∞. Het relatieve aantal keren dat de strategie wordtuitgevoerd wordt dus gegeven door ∫ ∞

ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

Dit levert per keer ξd op en kost per keer c. We krijgen dus

P = ξd

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd − c

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

Dit moeten we echter nog met een factor 2 vermenigvuldigen aangezien het ons niet uitmaakt of despread −2 of +2 is. Wanneer we dit niet zouden doen, zouden alleen de positieve waarden wordengebruikt. We kunnen hier mooi gebruik maken van het feit dat de normale verdeling symmetrischis. We kunnen dit makkelijk opschrijven als:

P = 2(ξd − c)∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd (7.1)

We zijn op zoek naar de maximale waarde van deze functie. Deze kunnen we vinden wanneer wede afgeleide van P gelijk stellen aan 0 en het geheel oplossen voor ξd. Dus:

d

dξd

[2(ξd − c)

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

]= 0

43

Als we de afgeleide gaan nemen krijgen we voor∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

gewoon:

− 1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

Dusd

dξd

[2ξh

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd − 2c

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

]= 0

wordt via de kettingregel

2

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd − 2ξd

1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2 + 2c

1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2 = 0

vereenvoudigd:

2(c− ξh)

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)+ 2c

∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd = 0 (7.2)

We zien echter dat dit een probleem oplevert. Vanwege de kettingregel blijft de functie∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

in onze formule staan. Het is echter bewezen dat deze functie geen exacte oplossing heeft [22]. Wezullen het geheel dus numeriek op moeten lossen. Wanneer we de winst plotten als functie vande targetdivergentie van de spread volgens formule (7.1) krijgen we een figuur van de vorm zoalsweergeven in figuur 7.2. Deze figuur laat zien dat maximale winst wordt behaald als er gehandeldwordt bij een spread van ongeveer 2 cent. Hierbij is uitgegaan van commissiekosten van 1 cent, eentijdelijke assumptie om het verloop van de functie te illustreren. De figuur klopt relatief gezien wel,maar de absolute waarde van de winst is nog niet te bepalen. Dit proberen we later op te lossen.Daarnaast is het zo dat er verlies gemaakt wordt wanneer er gehandeld wordt bij een spread vanminder dan 1 cent. Dit is niet te zien in de figuur, maar moet wel opgemerkt worden.

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08Divergence target ($)

Theo

retis

che

win

st

Maximale winst

Figuur 7.2: Theoretische winst bij verschillende targetdivergenties

44

Hoofdstuk 8

Verwerking data II

In dit hoofdstuk onderzoeken we de invloed van de verschillende parameters en kijken we in hoeverreons CASO model overeenkomt met de werkelijkheid.

8.1 Invloed van gekozen targetdivergentie

Laten we allereerst kijken naar de invloed van de gekozen targetdivergentie (in de grafieken ookwel divergence target genoemd) voor de strategie. In figuur 8.1 is voor de historische data dewinst bij verschillende targets te zien met commissiekosten van $0.01. We zien dat de vorm van degrafiek overeenkomt met de door CASO voorspelde vorm. Bij het backtestalgoritme wordt er bijeen targetdivergentie van $0.01 echter nog steeds winst gemaakt. Dit komt door de discrete natuurvan de aandelenprijzen. Dit probleem verdwijnt echter snel naarmate we dichter bij het optimumkomen. De grafieken in figuur 8.1 geven alleen het verloop weer van de winst bij gelijkblijvendecommissiekosten van $0.01. Hieruit kan de optimale targetdivergentie worden bepaald. In devolgende sectie wordt dit optimum gebruikt wanneer we de commissiekosten varieren.

45

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

1

2

3

4

5

6

7

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(a) 31 mei

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(b) 24 juni

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(c) 22 juli

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(d) 10 september

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

2

4

6

8

10

12

14

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(e) 8 oktober

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Divergence target ($)

Win

st ($

)

WinstOptimum

(f) 4 november

Figuur 8.1: Historische winst bij verschillende targetdivergenties

46

8.2 Invloed van commissiekosten

We kunnen nu zowel de maximale winst als de optimale targetdivergentie plotten als functie van decommissiekosten c. Hiermee kunnen we de invloed van commissiekosten op onze tradingstrategievisualiseren. In figuur 8.2 is het CASO model geplot en vergeleken met historische data. De linkergrafieken laten de maximale winst per dag als functie van de commissiekosten zien, en de rechterfiguren laten de optimale targetspread als functie van de commissiekosten zien. De waarde van demaximale winst is hierbij genormaliseerd met factor ω om op de hoogte van de historische winstente komen, iets waar we later op terugkomen. In de figuren 8.2(a), 8.2(a), 8.2(b) en 8.2(c) lijktde historische data aardig overeen te komen met ons model. De historische plot en de voorspeldeplot verlopen hetzelfde. Alleen op 22 juli (figuur 8.2(c)) wijkt de voorspelling van de optimaletargetdivergentie af van de historische data. Daarnaast kon er op 24 juni (figuur 8.2(b)) en 22 juli(figuur 8.2(c)) historisch gezien meer winst gemaakt worden dan het CASO model laat zien.

47

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

2

4

6

8

10

12

14

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

HistorischCASO voorspeling

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)O

ptim

ale

dive

rgen

ce ta

rget

($)

HistorischCASO voorspelingy = x

(a) 31 mei

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

5

10

15

20

25

30

35

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et ($

)

HistorischCASO voorspeling

HistorischCASO voorspelingy = x

(b) 24 juni

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

2

4

6

8

10

12

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

HistorischCASO voorspeling

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et ($

)

HistorischCASO voorspelingy = x

(c) 22 juli

48

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

2

4

6

8

10

12

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

HistorischCASO voorspeling

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et ($

)

HistorischCASO voorspelingy = x

(a) 10 september

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

5

10

15

20

25

30

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et ($

)

HistorischCASO voorspeling

HistorischCASO voorspelingy = x

(b) 8 oktober

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Commissiekosten ($)

Max

imal

e w

inst

per

pai

r per

dag

($)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Commissiekosten ($)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et ($

)

HistorischCASO voorspeling

HistorischCASO voorspelingy = x

(c) 4 november

Figuur 8.2: Maximale winst en optimale divergentietargets CASO model versus historische data

49

8.3 Invloed van vertraging

Naast de invloed van de targetdivergentie en de commissiekosten kunnen we met de historischedata de invloed van een eventuele vertraging berekenen. Aangezien de data uit de Verenigde Statenmoet komen, moet worden verwerkt door de computer, en de orders weer verstuurd moeten wordennaar de Exchanges zal er een zekere vertraging in het handelen zitten. In figuur 8.3 is de maximalewinst en de procentuele winstdaling bij verschillende vertragingen geplot. Een vertraging van 1seconde betekent dat de order op de koersinformatie van de volgende seconde wordt uitgevoerd.Een vertraging van 2 seconden betekent dat de order op de koersinformatie 2 seconden later wordtuitgevoerd.

50

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

2

4

6

8

10

12

14

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Commissiekosten ($)Pr

ocen

tuele

wins

tdali

ng

Delay 1 secDelay 2 sec

(a) 31 mei

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

5

10

15

20

25

30

35

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Commissiekosten ($)

Proc

entu

ele w

instd

aling

Delay 1 secDelay 2 sec

(b) 24 juni

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

2

4

6

8

10

12

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Commissiekosten ($)

Proc

entu

ele w

instd

aling

Delay 1 secDelay 2 sec

(c) 22 juli

51

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

2

4

6

8

10

12

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Commissiekosten ($)

Proc

entu

ele w

instd

aling

Delay 1 secDelay 2 sec

(a) 10 september

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

5

10

15

20

25

30

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Commissiekosten ($)

Proc

entu

ele w

instd

aling

Delay 1 secDelay 2 sec

(b) 8 oktober

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

1

2

3

4

5

6

7

8

Commissiekosten ($)

Max

imale

wins

t per

pair

per

dag

($)

Delay 0 secDelay 1 secDelay 2 sec

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Commissiekosten ($)

Proc

entu

ele w

instd

aling

Delay 1 secDelay 2 sec

(c) 4 november

Figuur 8.3: Invloed van vertraging van de historische data met verschillende commissiekosten opde winst

52

Hoofdstuk 9

Financiele wiskunde IV

9.1 Correlatie historische winst en CASO

We hebben inmiddels kunnen zien dat ons CASO model de relatieve hoogte van de winsten ende optimale targets goed kan voorspellen. De exacte hoogte van de winst kan hiermee echter nogniet worden bepaald. Wanneer we de door CASO voorspelde hoogte van de exacte winst en dehistorische winst plotten (zie figuur 9.1) en een correlatietest uitvoeren, krijgen we statistiekenzoals weergeven in tabel 9.1. Voor de test geldt H0 : r = 0 en HA : r 6= 0. Hieruit kunnen weconcluderen dat ons CASO model nog geen voorspellende kracht heeft met betrekking tot de exactehoogte van de winst. Kennelijk mist er nog een dimensie in het model waardoor de bepaling van deexacte hoogte van de winsten mogelijk kan worden gemaakt. We gaan terug naar de theoretischebasis om ons model te verbeteren.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5x 10−3

0

5

10

15

20

25

30

CASO winst ($)

Hist

orisc

he w

inst

($)

Winst bij c = 0.0025Winst bij c = 0.0050Winst bij c = 0.0100

Figuur 9.1: Correlatie van de door CASO voorspelde exacte winst en de historische winst

Paar r2 p-waardeP0.0025 0.176 0.407P0.0050 0.193 0.384P0.0100 0.171 0.415

Tabel 9.1: Correlatie tussen door CASO voorspelde winst en de historische winst

53

9.2 Ornstein-Uhlenbeck

Om het CASO model te verebeteren grijpen we terug op de eerder geıntroduceerde stochastischedifferentiaalvergelijkingen en Ito’s Lemma. We gaan de spread wiskundig modelleren en enkele as-pecten invoegen in het CASO model. Hiermee veralgemeniseren we tegelijkertijd het CASO modelopdat het gebruikt kan worden voor een veelvoud aan arbitragestrategieen. Aangezien we met deAugmented Dickey Fuller test hebben bewezen dat onze spread zoals verwacht mean-reverting is,kunnen we met zekerheid een mean-reverting model gebruiken om de spread wiskundig weer tegeven. We kunnen hierbij gebruik maken van een specifieke stochastische differentiaalvergelijking:het Ornstein-Uhlenbeck model. Deze differentiaalvergelijking heeft de volgende vorm:

dξ(t) = θ(λ− ξ) dt+ σ dW

Hierbij geldt dat θ de snelheid is waarmee de spread terugkeert naar het gemiddelde, θ > 0 en λhet gemiddelde van de spread over de lange termijn is. Wanneer de spread ξ groter of kleiner isdan λ, zal θ(λ− ξ) dt ervoor zorgen dat de spread convergeert naar λ.

Stel, we hebben een functie f(ξ,t) afhankelijk van dit proces. De algemene definitie voor Ito’sLemma was

df =

(df

dt+df

dxa+

1

2

d2f

dx2b2)dt+

df

dxb dW

voor een stochastische differentiaalvergelijking van de vorm:

dx = a dt+ b dW

Stel we nemen voor de functie f het volgende:

f(ξ,t) = ξeθt

De a van Ito’s Lemma is dan dus gelijk aan θ(λ− ξ), en de b is gelijk aan σ.Verder geldt:

• dfdt = θξeθt

• dfdξ = eθt

• d2fdξ2 = 0

Dit invullen levert:df(ξ,t) =

(θξeθt + eθtθ(λ− ξ)

)dt+ σeθtdW

iereenvoudigd:df = θλeθtdt+ σeθtdW

Integreren levert: ∫ t

0

df = θλ

∫ t

0

eθpdp+ σ

∫ t

0

eθpdWp

Hierbij is de als variabele gebruikte t tijdelijk vervangen door p om verwarring te voorkomen. Ditlevert:

f(t) = f(0) + λ(eθt − 1) + σ

∫ t

0

eθpdWp

We hadden genomen:f(ξ,t) = ξ eθt

Dus:ξ(t) = f(t) e−θt

Onthoud dat e−θt hetzelfde is als 1eθt

. Ook geldt:

ξ(0) = f(0)

54

Voor de nieuwe functie ξ(t) krijgen we dus:

ξ(t) = ξ(0)1

eθt+ λ(eθt − 1)

1

eθt+ σ

1

eθt

∫ t

0

eθpdWp

Vereenvoudigen geeft:

ξ(t) = ξ0 e−θt + λ(1− e−θt) + σe−θt

∫ t

0

eθpdWp

Deze formule zullen we gebruiken om de spread voor te stellen. Aangezien de laatste componentwillekeurig is en een verwachte waarde heeft van 0 (het is immers een Wiener Proces), geldt:

E [ξ(t)] = ξ0 e−θt + λ(1− e−θt)

Dit correspondeert met onze parameter λ voor de lange-termijns verwachting van het gemiddeldeals t→∞. Daarnaast geldt voor de kwadratische variantie:

Var[ξ(t)] = Var

[σe−θt

∫ t

0

eθpdWp

]=

(σe−θt

∫ t

0

eθpdWp

)2

= σ2e−2θt∫ t

0

e2θpdp =

σ2e−2θt(

1

2θe2θt − 1

2θ

)=σ2

2θ

(1− e−2θt

)Ook voor de variantie geldt dat als t→∞ gaat, deze een eindige waarde aanneemt, namelijk:

σ2

2θ

De standaarddeviatie van de gemodelleerde spread wordt dus gegeven door de wortel van dezevariantie. Aanstonds hebben we deze eigenschappen nodig voor de aanpassing van het CASOmodel.

9.3 Integratie Ornstein-Uhlenbeck met CASO model

Laten we nu ons Ornstein-Uhlenbeck model integreren in ons CASO model. Onthoud dat de winstin ons CASO model wordt gegeven door de volgende formule:

P = 2(ξd − c)∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

ξ2d2σ2

)dξd

We hebben net gezien dat ons Ornstein-Uhlenbeck proces wordt gedefinieerd door de differentiaal-vergelijking:

dξ(t) = θ(λ− ξ) dt+ σ dW

Dit leidde tot de volgende formule voor de spread

ξ(t) = ξ0 e−θt + λ(1− e−θt) + σe−θt

∫ t

0

eθpdWp

met voor t→∞ de belangrijke eigenschap:

Var[ξ(t)] =σ2

2θ

Aangezien θ de mean-reversion snelheid voorschrijft, is er naar alle waarschijnlijkheid een evenredigverband tussen θ en P . Immers, hoe sneller (en dus vaker) de spread naar de nullijn terugbeweegt,hoe meer winst er te behalen valt. Laten we aannemen dat geldt P ∼ ωθ, waarbij ω een vooralsnogonbekende evenredigheidscontante is. Daarnaast neemt de totale winst toe naarmate de strategielanger wordt gebruikt. De winst P is dus ook evenredig met de tijd T . We verwachten dat:

P ∼ ωθT

55

Laten we dit invoegen in onze formule, zodat we deze aanname kunnen testen. Tegelijkertijd vullen

we onze variantie σ2

2θ in. We krijgen:

P = 2ωθT (ξd − c)∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe− 2ξ2d

2σ2

2θ

)dξd

Wanneer we de 2 verwerken in de evenredigheidsconstante ω en de formule vereenvoudigen krijgenwe:

P = ωθT (ξd − c)∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

2θξ2dσ2

)dξd

We hebben nu dus een algemene formule opgesteld waarmee we de winst van een spreadarbitrage-strategie aan de hand van de variabelen targetdivergentie en commissiekosten kunnen voorspellenals we weten dat deze een standaard Ornstein-Uhlenbeck proces volgt. Laten we dit model testenop de historische data door de door het model voorspelde winsten te vergelijken met de historischewinsten.

Allereerst is het belangrijk dat we van de historische winst de mean-reversion snelheid θ bepalen.Hiervoor kalibreren we de spread met een algemeen Ornstein-Uhlenbeck proces. Dit gaat als volgt:We beginnen met het omzetten van de continue Ornstein-Uhlenbeck formule van de spread in eenversie met een discrete tijdsstap. We hebben:

ξ(t) = ξ0 e−θt + λ(1− e−θt) + σe−θt

∫ t

0

eθpdWp

We hadden vastgesteld dat de kwadratische variantie van het willekeurige deel

σe−θt∫ t

0

eθpdWp

werd gegeven door:σ2

2θ

(1− e−2θt

)We kunnen het niet-willekeurige deel laten staan en we vervangen het willekeurige deel door eenkansproces uit een normale verdeling vermenigvuldigd met de standaarddeviatie, die nu dus wordtgegeven door: √

σ2(1− e−2θδ)2θ

We krijgen:

ξi+1 = ξie−θδ + λ(1− e−θδ) + σ

√1− e−2θδ

2θN0,1

We kunnen nu met behulp van deze discrete formule een lineaire regressie uitvoeren op de histo-rische spreaddata om de verschillende parameters te achterhalen. We zien dat de discrete formulevan de volgende vorm is:

y = ax+ b+ ε

Waarbij ε een willekeurige component voorstelt. Wanneer we voor de x-component de waarde vande spread op het tijdstip i nemen, dus

x = ξi

en voor de y-component de waarde van de spread op het tijdstip i+ 1, dus

y = ξi+1

56

krijgen we voor de regressie de volgende variabelen:

a = e−θδ

b = λ(1− e−θδ)

sd(ε) = σ

√1− e−2θδ

2θ

Als we dit in elkaar substitueren en het geheel omschrijven krijgen we:

θ =−ln(a)

δ

λ =b

1− a

σ = sd(ε)

√−2ln(a)

δ(1− a2)

Hieruit kunnen we gemakkelijk de waarden van de parameters verkrijgen. Vanzelfsprekend zijnwe met name geınteresseerd in de waarden van θ om ons vernieuwde CASO model te testen. Wekrijgen de waarden zoals weergeven in tabel 9.2. Betrouwbaarheidsgrenzen van deze inschattingzijn weergeven op 95% niveau als θ− en θ+.

Datum θ θ− (95%) θ+ (95%)31 mei 0.06041 0.05583 0.0649724 juni 0.20106 0.19213 0.2101022 juli 0.05884 0.05435 0.0633710 sept 0.05893 0.05446 0.063478 okt 0.14432 0.13697 0.151754 nov 0.04600 0.04207 0.05003

Tabel 9.2: Berekende θ per dag

De winst volgens CASO wordt gegeven door:

P = ωθT (ξd − c)∫ ∞ξd

(1

σ√

2πe−

2θξ2dσ2

)dξd

Om te testen of dit model werkt, vullen we voor P de historische winst in. We kunnen de formuleomschrijven tot:

θ =Ph

ωT (ξd − c)∫∞ξd

(1

σ√2πe−

2θξ2d

σ2

)dξd

We plottenPh

ωT (ξd − c)∫∞ξd

(1

σ√2πe−

2θξ2d

σ2

)dξd

op de y-as, en θ op de x-as. Hierdoor ontstaat figuur 9.2. De regressie van de vorm y = ax +b heeft een r2 waarde van 0.9734 en een p-waarde van 4.971E-14. We kunnen dus stellen dathet vernieuwde CASO model een goede benadering geeft van de werkelijkheid en nu kan wordengebruikt om de exacte waarde van de winst te schatten. De integratie met het Ornstein-Uhlenbeckmodel en de toevoeging van de factor θωT hebben de eerdere problemen verholpen. Wanneerwe de commissiekosten en de targetdivergentie weergeven in termen van σ kunnen we het modelveralgemeniseren zodat de waarden bruikbaar zijn voor iedere arbitragestrategie. De figuur 9.3ontstaat. De optimale waarden zoals gegeven door ons model in termen van σ zijn te vinden inappendix B.

57

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

e

Rat

io C

ASO

en

hist

oris

che

win

st

Ratio bij c = 0.0025Ratio bij c = 0.0050Ratio bij c = 0.0100lijn e t T

Figuur 9.2: Invloed van θ op de ratio van de door CASO voorspelde winst en de historische winst

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Commissiekosten (m)

Rel

atie

ve w

inst

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Commissiekosten (m)

Opt

imal

e di

verg

ence

targ

et (m

)

Figuur 9.3: Algemeen geldende versie van het CASO model

58

Hoofdstuk 10

De praktijk

10.1 Uitvoering

Na de tests op historische data volgde natuurlijk een test op real-time data. Dit hebben wegedaan met behulp van het programma TradeStation, een handelsplatform waarin zelf bedachtehandelsstrategieen gebruikt kunnen worden. We hebben een academisch account van TradeStationgekregen om met een fictieve een miljoen dollar transacties uit te kunnen voeren. Na het invullenen opsturen van verschillende formulieren is hier ook real-time data aan toegevoegd en konden wede koersen van de VXX, de twee futures en de spread tussen van VXX en de futures bepalen. Despread wordt nog steeds gegeven door:

|Svxx − Sfutures|

Het invoeren van onze strategie in TradeStation was een uitdaging, aangezien de programmeertaalvan TradeStation, EasyLanguage, minder eenvoudig bleek te zijn dan de naam deed denken. Doorde eenvoud van de taal werden onze mogelijkheden beperkt en hebben we ingewikkelde omwegenmoeten nemen om tot het gewenste resultaat te komen.

Figuur 10.1: Een schermafbeelding van TradeStation met de door ons ontwikkelde spreadindi-cator

Als de spread zich boven de bovenste targetdivergentielijn bevindt (zie figuur 10.1, onderstehelft), betekent dit dat de VXX ten opzichte van de futures duur is. De strategie neemt hierbij eenshortpositie in de VXX en een longpositie in de futures in. Als de spread zich onder de onderste

59

targetdivergentielijn bevindt, betekent dit dat de VXX ten opzichte van de futures goedkoop is.De strategie neemt dan een longpositie in de VXX en een shortpositie in de futures in.

Uit historische tests hadden we al bepaald dat de optimale afwijking van de gemiddelde spreadom bij te handelen, afhankelijk van de commissiekosten, tussen de 0.75 en de 3.25 dollarcent ligt.De lage targetdivergentie bij geringe commissiekosten kon onze computer en het programma Tra-deStation niet aan. Hierdoor hebben we besloten de targetspread bij opening van een positie hogerte leggen dan de optimale waarde, opdat er minder orders werden gegenereerd. In het programmahebben wij daarom voor een targetdivergentie van anderhalve standaarddeviatie gekozen. Ookhebben we de targetspread bij het sluiten van een positie aangepast; we hebben gekozen om destrategie alleen te laten handelen als de koers beide optima passeert; de positie werd nu geopendbij het passeren van de ene targetdivergentielijn, en gesloten bij het passeren van de andere. Ditverminderde het aantal handelsmomenten en zorgde voor een grotere winst per transactie.

Omdat we, in tegenstelling tot bij het testen op historische data, niet direct beschikking haddenover de data van de gehele dag, hebben we de gemiddelde spread en targetdivergenties bepaaldmet behulp van data uit de voorgaande 500 seconden.

10.2 Resultaten

Toen het systeem eenmaal redelijk functioneerde, hebben we het een hele handelsdag (donderdag6 februari, van half 4 ’s middags tot 10 uur ’s avonds Nederlandse tijd) aangezet. De resultatenvan de strategie gedurende deze dag zijn in tabel 10.1 weergegeven.

Aantal winstgevende trades 107Aantal verlieslatende trades 69Aantal neutrale trades 15Totaal aantal trades 191

Maximale winst per trade $ 2,050.00Maximaal verlies per trade $ 1,240.00

Gemiddelde duur trade 102 secGemiddelde tijd tussen trades 18 sec

Bruto winst $ 28,570.00Bruto verlies $ 15,450.00Netto winst $ 13,120.00

Netto winst $ 13,120.00Commissiekosten per trade $ 10.501

Totale commissiekosten $ 4,011.00Gecorrigeerde netto winst $ 9,109.00

Benodigde startkapitaal $ 368.650,002

Gecorrigeerde netto winst $ 9,109.00Rendement 2.47%

Tabel 10.1: Resultaten van een dag handelen met de strategie

1Na enig marktonderzoek zijn we tot de conclusie gekomen dat competitieve brokers gemiddeld zo’n $4.50 pertransactie van aandelen vragen. Hierbij tellen we 10 keer $0.60 op, de commissiekosten per futurescontract. Even-tuele kosten voor het lenen van de aandelen voor shortselling zijn verwaarloosbaar.

2Het benodigde startkapitaal is berekend door de hoogste prijs van de VXX op de betreffende dag te vermenig-vuldigen met 5000, het aantal aandelen dat per keer wordt verhandeld. Hierbij is 10 keer de benodigde marge vande VX futures opgeteld ($5,390.00 initiele marge en $4,900.00 onderhoudsmarge). We gaan er dus van uit dat er bijde aandelen geen gebruik wordt gemaakt van eventuele mogelijkheden tot leverage.

60

Het verloop van de handelsstrategie gedurende de handelsdag is in figuur 10.2 weergeven.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−4000

−2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Trade #

Win

st ($

)

Winst strategieWinst VXXWinst VXG14Winst VXH14

Figuur 10.2: Verloop van de strategie

Om te testen of onze strategie een significante bijdrage heeft geleverd aan de winst gebruiken weeen afgeleide versie van de Monte Carlo bootstrapping methode. We simuleren hierbij een strategiegebaseerd op volledige willekeur. Hiervoor genereren we 192 × 2 willekeurige cijfers3 tussen de 1en 23401, het aantal seconden in een handelsdag. Dit gebeurt zonder terugleggen. Deze getallenworden gesorteerd. Op de tijdstippen corresponderend met de willekeurige cijfers wordt een positieingenomen of gesloten, afhankelijk van de huidige positie en corresponderend met de hoeveelhedenen producten van onze eigen strategie, gebaseerd op de prijsdata van de dag waarop we de strategiehebben uitgevoerd. De richting van de positie wordt bepaald door een willekeurige 1 of -1. Op dezemanier wordt een pairs-trading strategie gesimuleerd die volledig gebaseerd is op toeval. De winstvan deze strategie wordt bepaald. Dit proces wordt 20,000 keer herhaald opdat we een verdelingop kunnen stellen van de ontstane winsten. Een normale verdeling onstaat. Met behulp van hetgemiddelde en de standaarddeviatie kunnen we eenvoudig via de cumulatieve verdelingsfunctie dep-waarde van onze strategie bepalen, met H0 : de strategie is volledig willekeurig. Deze blijktuit te komen op 0.000024. Op 0.05% significantieniveau kunnen we dus de nulhypothese dat onzestrategie volledig willekeurig zou zijn verwerpen. Daarmee heeft onze strategie dus wel degelijktoegevoegde waarde.

3192× 2 komt overeen met het aantal transacties dat heeft plaatsgevonden op onze testdag.

61

Hoofdstuk 11

Conclusie

We hebben een model, het CASO model, kunnen opstellen waarmee men voor alle mean-revertingeffectenparen de optima voor een pairs-trading strategie kan bepalen, afhankelijk van enkele varia-belen. Ook hebben we de invloed van enkele van deze variabelen, namelijk de commissiekosten ende targetdivergentie, op de totale winst onderzocht met behulp van historische data. Uit wiskun-dige bewerking van de historische data is gebleken dat de winst maximaal is bij commissiekostenvan 0 cent en dat de winst richting de nul gaat bij commissiekosten die 3 keer zo groot zijn als destandaarddeviatie σ van de spread. Uit grafiek 9.3 volgt dat de commissiekostenelasticiteit van dewinst ten allen tijden negatief is, en negatiever wordt naarmate de commissiekosten oplopen. Inde bijlage bevindt zich een tabel met daarin de optimale targetdivergentie voor een verscheiden-heid aan commissiekosten. Daarnaast hebben we de invloed van eventuele vertraging op de winstonderzocht. Figuur 8.3 laat zien dat met slechts enkele seconden vertraging de winst significantafneemt. Dit effect wordt sterker naarmate de commissiekosten toenemen.

Uit onze praktische resultaten blijkt dat het gelukt is een werkend geautomatiseerd handelssys-teem op te bouwen. Het systeem heeft gedurende een handelsdag 191 transacties uitgevoerd, op dedoor de strategie aangegeven momenten. Met deze transacties heeft het systeem een gecorrigeerdenetto winst van 9,109.00 dollar gemaakt, dit komt overeen met een rendement van 2.47%. Onzedoelstelling was om een rendement hoger dan de risicovrije rente te behalen. Dit is ruimschootsgelukt aangezien de risicovrije rente van de 10-jarige US Treasury Bond op dit moment 2,68% perjaar bedraagt [10]. Deze winst had nog groter kunnen zijn, ware het niet dat enkele factoren binnenhet systeem dit belemmerden. In de discussie worden deze factoren besproken.

62

Hoofdstuk 12

Discussie

Hoewel de door ons bedachte strategie uiteindelijk een positief rendement heeft behaald, en theore-tisch gezien toegevoegde waarde heeft gegenereerd, is het toch belangrijk om enkele kanttekeningenbij dit resultaat te maken. Het is nog maar de vraag of de strategie even optimaal zou werken ophet moment dat deze met ‘echt geld’ zou worden uitgevoerd. Er bestaan namelijk enkele verschil-len tussen de simulatie en de werkelijkheid, daarnaast heeft de manier waarop de simulatie heeftplaatsgevonden indirect invloed gehad op de uitkomst. Ook is bij de real-time simulatie afgewekenvan het CASO model, welke gebruikt had moeten worden om de optima te bepalen.

Allereerst is het spijtig dat het CASO model niet gebruikt kon worden om de tradingsstrategievan het real-time systeem voor te schrijven. Dit werd veroorzaakt door het feit dat ons systeemniet in staat is om te kapitaliseren op alle winstmogelijkheden vanwege de snelheid waarmee deberekeningen uitgevoerd dienen te worden en de snelheid waarmee orders geplaatst moeten worden.Vanwege de gebruikte computer, de betrouwbaarheid van de dataconnectie en de aard van het soft-warepakket TradeStation was dit onhaalbaar. Hierdoor hebben we de strategie aan moeten passen.Het oorspronkelijke plan om de CASO waarden aan te houden werd hierdoor dus belemmerd.

Er zijn enkele punten waardoor de strategie mogelijkerwijs minder goed zal werken wanneerdeze met ‘echt geld’ uit wordt gevoerd. Ten eerste zijn de futures waarin gehandeld wordt minderliquide dan de VXX. Hierdoor zal het wellicht op de handelsmomenten niet altijd mogelijk zijnom tegelijkertijd alle producten te kopen of te verkopen. Het gemiddelde handelsvolume van deeerstemaands futures is 15,471 en het gemiddelde handelsvolume van de tweedemaands futuresis 11,882. Ter vergelijking: het gemiddelde handelsvolume van de VXX ETF is 13,375,372. Deliquiditeit van de futures is dus, in verhouding tot de liquiditeit van de VXX, erg laag. Dit kan ertoeleiden dat alleen de VXX gekocht wordt, omdat er op dat moment niet genoeg aanbod aan futuresis. Dit kan zorgen voor situaties waarbij slechts een kant van de positie wordt ingenomen. Demarktneutraliteit van de strategie komt hiermee in het geding. De door ons gebruikte simulatie inTradeStation is gebaseerd op de laats geldende prijs voor de producten waardoor eventuele effectenveroorzaakt door de liquiditeit van de producten niet duidelijk in de resultaten zijn meegenomen.Het was ook mogelijk om simulaties uit te voeren op basis van de volgende geldende prijs. Ditzorgde echter voor grote verliezen en is daarnaast minder representatief voor de werkelijkheid.Omdat er voortdurend Bid/Ask prijzen zijn zou een order in een ‘echte’ situatie sneller uitgevoerdkunnen worden dan de volgende door TradeStation geregistreerde trade van een ander persoon. Dewerkelijke prijzen waartegen een order kan worden uitgevoerd zullen daarom ergens in het middenvan deze simulatiemethoden liggen en kunnen alleen worden bepaald wanneer de strategie met echtgeld wordt uitgevoerd.

Het feit dat we maatregelen hebben moeten nemen om de last op de computer en de softwarete beperken heeft een significante invloed gehad op de hoogte van de winst. Wij zijn begonnen methandelen op een tamelijk trage computer, en later overgeschakeld naar een snellere laptop aangeziende eerste computer, zelfs na de genomen maatregelen, te vaak vastliep om goed te kunnen handelen.Zelfs op deze snellere laptop kwam het echter regelmatig voor dat het programma even vastliep, ofde data niet snel genoeg doorkwam. Aangezien er bij onze strategie soms binnen enkele secondengehandeld moet worden, is een vastlopende computer al snel funest voor de winst. Wanneer webeschikking hadden gehad over een computer met meer rekenkracht waren we in staat geweest om

63

gebruik te maken van meer winstmogelijkheden.Daarnaast zorgde de gebruikte software en de daarbij behorende EasyLanguage voor een sub-

optimale uitvoering van de strategie. Het programma is eigenlijk bedoeld om in een product tegelijkte handelen. Aangezien we met onze strategie gebruik maken van drie producten die tegelijkertijdmoeten worden gekocht en verkocht vormde dit een uitdaging. Via het gebruik van een externe dll1

en enkele andere technische ‘trucs’ was het mogelijk om dit te omzeilen. Door deze omwegen washet echter niet mogelijk om de berekeningen voor de verschillende producten simultaan te latengeschieden. Een kleine vertraging ontstond, welke ongetwijfeld invloed heeft gehad op de werkingvan de strategie. Idealiter hadden we dus een ander softwarepakket gebruikt om onze strategie meeuit te voeren. Het bleek echter zeer lastig om een bedrijf te vinden dat bereid was voor educatievedoeleinden zijn software en data te verschaffen. Voor ons was TradeStation daarom op dit momentde best beschikbare optie.

Ook kwam er af en toe enkele seconden geen nieuwe prijsdata binnen via TradeStation. Het isonzeker of dit aan de computer lag of aan de dataservice zelf. Hier geldt hetzelfde: enkele secondenniet kunnen handelen kan zorgen voor zeer grote verliezen.

Al met al zijn er dus veel factoren die de optimale werking van onze strategie verstoord kunnenhebben en ervoor zorgen dat de resultaten van de test niet representatief zijn voor de ‘echte wereld’.Om de strategie vrij van deze factoren te kunnen testen, zou het volgende nodig zijn:

• Een zeer snelle computer met veel rekenkracht

• Een beter softwarepakket dat gemaakt is om meerdere producten tegelijkertijd te verhandelen

• Een stabielere dataservice

• Een test waarbij werkelijk aandelen gekocht worden, voor een representatieve orderuitvoering.Hiervoor is echter redelijk wat geld nodig, aangezien we eerder hebben berekend dat er eenminimaal startkapitaal nodig is van $368.650,00.

Vanwege deze vereisten is het uberhaupt de vraag of de strategie haalbaar is voor de gemiddeldeconsument. De noodzaak van een zeer snelle computer, een hoog startkapitaal en een betrouwbaredataverbinding om veel te kunnen handelen maken het moeilijk om de strategie succesvol uit tekunnen voeren. Een strategie waarbij minder trades per dag plaats hoeven te vinden zou waar-schijnlijk beter passen bij het profiel van de gemiddelde belegger. Ook zou een strategie die handeltin meer liquide producten waarschijnlijk voor betere resultaten zorgen (alhoewel de prijsverschillennatuurlijk deels worden veroorzaakt door het verschil in liquiditeit van de producten). Feit blijftechter dat het theoretisch mogelijk is om te kapitaliseren op de prijsverschillen die er bestaan tussende VXX en de onderliggende VIX Futures wanneer aan alle vereisten wordt voldaan.

1DDL staat voor “dynamic-link library”. Het is een bibliotheek met waarden en functies die door meerdereapplicaties gebruikt kunnen worden.

64

Nawoord

Tijdens het maken van dit profielwerkstuk hebben wij nieuwe inzichten gekregen in de werkingvan geautomatiseerde aandelenhandel, en in het bijzonder in het creeren van geautomatiseerdehandelsstrategieen. Het bouwen van het systeem was een grotere uitdaging dan we vooraf haddeningeschat, maar het was erg mooi om te zien dat het systeem uiteindelijk werkte en zelfs winstge-vend was. Het lijkt ons echter zeker dat het voor de gemiddelde consument lastig is om zoiets teontwikkelen, en dat het uitvoeren zeer kapitaalsintensief is. Onze dank gaat uit naar de heer Vande Vegt voor de begeleiding, aan Matthijs Wouterse en Niels Schuurman voor het verlenen vantoegang tot de historische koersdata, en aan Janette Perez van TradeStation, voor het verschaffenvan het academische account waarmee we gehandeld hebben.

Maatschappelijke overwegingen

Veel van de handel in financiele producten gaat inmiddels via computerprogramma’s zoals hetonze. Deze systemen bieden investeerders grote voordelen in de vorm van hoog rendement en laagrisico, maar hebben ook een schaduwzijde. Het leek ons vekeerd deze maatschappelijke kant vande financiele wereld totaal te negeren, vandaar dit kleine uitstapje richting de ethische kant enmaatschappelijke gevolgen van geautomatiseerde handel.

Gevolgen van geautomatiseerd handelen

De afgelopen jaren heeft de handel in aandelen en andere financiele producten een grote veranderingdoorgemaakt. Waar in 2006 een derde deel van alle beurshandel uitgevoerd werd door algoritmes,steeg dit aandeel totdat in 2009 61% [55, 23] van alle beurshandel in de Verenigde Staten uitgevoerdwerd door de zogenaamde High Frequency Traders, handelaren die met behulp van supercomputersen algoritmes aandelen kopen en weer verkopen binnen enkele seconden. Grote veranderingenhebben grote gevolgen, zo ook in het geval van de aandelenmarkt, en deze gevolgen zijn zo nu endan zeer goed merkbaar. De eerste keer dat de wereldeconomie met deze gevolgen te maken kreegwas op 6 mei 2010, de dag waarop de gebeurtenis plaatsvond die later bekend zou komen te staanals de ‘flash crash’ [33, 51, 67]. Het begon als een normale dag op de Amerikaanse beursvloer, maarrond 2 uur ‘s middags begon de Dow Jones Industrial Average ongewoon snel te dalen. Binnenenkele minuten was de Dow Jones met 998.62 punten, oftewel 9.2 procent van zijn totale waarde,gedaald. De index herstelde zich bijna net zo snel weer, en steeg met 619.42 punten. Wereldwijdriep deze flash crash vragen op, en de oorzaak van de crash bleef lang onbekend. Op dit momentis de meest aannemelijke theorie dat de crash veroorzaakt werd door een plotselinge, erg groteverkooporder van “E-mini” futures op de S&P 500 index. Deze verkooporder had met behulp vaneen algoritme langzaam, binnen enkele uren, uitgevoerd moeten worden, maar werd per ongelukbinnen 20 minuten voltooid. Deze ongebruikelijk grote verkoop triggerde ook andere automatischehandelssystemen tot verkopen, en dit veroorzaakte een kettingreactie van verkopen, waardoor deDow Jones zo snel daalde. De beurs krabbelde zo snel als hij was ingestort weer overeind, maarde schrik van deze crash bleef nog lang hangen. “Even 9/11 didn’t have that kind of impact”,stelde Dave Lauer, voormalig High Frequency Trader [46]. Na de flash crash heeft men geprobeerdsoortgelijke toekomstige gebeurtenissen te voorkomen door het invoeren van handelspauzes. Hierbijwordt de handel in een bepaald product tijdelijk stilgelegd op momenten van ongebruikelijk hogevolatiliteit.

65

De flash crash heeft laten zien dat de beurs misschien makkelijker te beınvloeden is dan menzou denken, vooral nu ook het nieuws automatisch geanalyseerd wordt. De computersoftwarevan analisten onderzoekt de nieuwsberichten van betrouwbare bronnen, maar ook bijvoorbeeld detwitterfeeds en facebookpagina’s van persbureaus. Deze analysetechniek kan een enorm voordeelzijn, maar vormt tegelijkertijd een zwakte, zo bleek op dinsdag 23 april 2013 [59, 21, 45]. Hackerswisten via het twitterkanaal van Associated Press de valse tweet uit figuur 12.1 te plaatsen.

Figuur 12.1: Valse tweet van Associated Press

Handelssytemen die het nieuws scanden en interpreteerden, gingen spontaan over tot het verkopenvan aandelen. Dit zorgde alweer voor een kettingreactie, maar de twittercrash bleef beperkter dande flash crash van 2010. De Dow Jones daalde (slechts) 143 punten, en herstelde, toen de tweetvals bleek te zijn, binnen enkele minuten weer.

Problemen gerelateerd aan complexe financiele producten

Uit het eerdere stuk over ETN’s is al gebleken dat ETN’s erg ingewikkelde producten zijn, en voorde gemiddelde belegger wellicht wat te hoog gegrepen. Er zijn genoeg particuliere beleggers diebijvoorbeeld de VXX ETN bezitten, en naar alle waarschijnlijkheid weet slechts een klein deel vandeze mensen hoe het door hen gekochte product precies werkt, of dat op de lange termijn deze ETNalleen maar daalt, wat voor de consument verlies inhoudt en voor de bank winst, aangezien dekoper hier eigenlijk geld uitleent aan de bank, en een aan de index gerelateerd bedrag terugkrijgt.Zoals in figuur 12.2 te zien is, maken lange-termijn bezitters van de VXX ETN bijna gegarandeerd

30−Jan−2009 21−Sep−2010 12−May−2012 01−Jan−20140

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

VXX

Figuur 12.2: Lange termijn koers VXX

66

verlies. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat het product is opgebouwd uit VIX Futures van dehuidige maand en VIX Futures van de volgende maand, en zoals eerder al beschreven worden deeerste maands futures verkocht, en tweede maands gekocht. Tweede maands VIX Futures zijn doorhet zogenaame contango effects bijna altijd duurder dan eerste maands futures, en dus maakt hetfonds verlies. De VXX ETN is echter zo complex dat veel particuliere beleggers dit van tevoren nietinzien. Ook worden complexe producten vaak als waardevoller dan simpele producten beschouwd,terwijl dit helemaal niet het geval hoeft te zijn.

De VXX ETN is niet het enige (te) complexe product op de financiele markt [35]. Er zijnzodanig veel gecompliceerde producten, dat de Europese Unie vorig jaar een zoektocht naar hetgevaarlijkste financiele product heeft uitgeschreven [32]. Het product dat deze wedstrijd gewonnenheeft, is de Credit Default Swap.2

Joris Luyendijk, correspondent voor onder andere NRC Next en The Guardian, schetste in2011 portretten van medewerkers van de financiele wereld in Londen, door middel van meer dan200 interviews. Hij liet de mensen voornamelijk zelf en vaak anoniem aan het woord, en wist zobuitenstaanders een kijkje te geven in de complexe financiele wereld. Een van de personen diehij sprak was een structurer, iemand die financiele producten bedenkt en in elkaar zet. Hij heeftlange tijd bij een grote investeringsbank gewerkt en is tot de conclusie gekomen dat veel van de(onder andere door hem) bedachte producten niet altijd even goed werken. In zijn interview zeihij: “Generally, I’d say that 80-90% of all derivatives are morally ambiguous, to say the least. It’smostly to do with accounting, legal or tax needs, with greed or fear or with gambling” [42].

2Een credit default swap, ook wel CDS is erg vergelijkbaar met een verzekering en wordt vaak afgesloten op fixedincome producten (bijvoorbeeld obligaties). Een CDS is een contract waarbij kredietrisico wordt overgedragen. Stel,bedrijf A bezit een obligatie van bedrijf C. Bedrijf A kan het risico op wanbetaling afdekken met een CDS. BedrijfA betaalt hiervoor een maandelijks bedrag aan bedrijf B, de premie. Wanneer bedrijf C niet in staat is om bedrijfA via de obligatie te betalen, dan keert bedrijf B een afgesproken bedrag aan bedrijf A uit. Het kredietrisico vanbedrijf C is nu dus overgedragen van bedrijf A naar B.

67

Bibliografie

[1] Irene Aldridge. High-frequency trading: a practical guide to algorithmic strategies and tradingsystems. Wiley trading. Hoboken, N.J: Wiley, 2010. 339 p.

[2] Algorithmic trading. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 575076354.30 sep 2013. url: http : / / en . wikipedia . org / w / index . php ? title = Algorithmic _

trading&oldid=575076354 (bezocht op 30-09-2013).

[3] An Inside Look At ETF Construction. Investopedia. 28 mei 2011. url: http : / / www .

investopedia.com/articles/mutualfund/05/062705.asp (bezocht op 23-10-2013).

[4] An Introduction To Sector ETFs. Investopedia. 20 apr 2012. url: http://www.investopedia.com/articles/exchangetradedfunds/08/sector-etfs.asp (bezocht op 23-10-2013).

[5] Barclays iPath. iPath VIX Futures ETNs Prospectus. English. 11 jul 2013. url: http://www.ipathetn.com/static/pdf/vix-prospectus.pdf (bezocht op 20-11-2013).

[6] Barclays iPath. iPath VIX Futures ETNs Splits and Reverse Splits FAQs. English. 19 jul2012. url: http://www.ipathetn.com/static/pdf/ipath-split-FAQs.pdf (bezocht op20-11-2013).

[7] Martin Baxter en Andrew Rennie. Financial calculus: an introduction to derivative pricing.Cambridge; New York, NY: Cambridge University Press, 1996.

[8] Simon Benninga. Financial modeling. 3rd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 2008. 1132 p.

[9] Thijs van den Berg. Calibrating the Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) model. Sitmo. 28 mei 2011.url: http://www.sitmo.com/article/calibrating-the-ornstein-uhlenbeck-model/(bezocht op 30-11-2013).

[10] Bloomberg. United States Government Bonds. Bloomberg. url: http://www.bloomberg.com/markets/rates-bonds/government-bonds/us/ (bezocht op 09-02-2014).

[11] Bloomberg L.P. Bloomberg Professional Service. (Bezocht op 15-11-2013).

[12] Damiano Brigo e.a. “A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management”. In: arXiv:0812.4210[q-fin] (22 dec 2008). url: http://arxiv.org/abs/0812.4210 (bezocht op 30-11-2013).

[13] E.S. Browning. “Reading market tea leaves”. In: The Wall Street Journal Europe (31 jul2007), p. 17–18.

[14] Bruce I. Carlin. “Strategic price complexity in retail financial markets”. In: Journal of Finan-cial Economics 91 (3 mrt 2009), p. 278–287. doi: 10.1016/j.jfineco.2008.05.002. url:http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304405X08002092 (bezocht op30-11-2013).

[15] Bruce I. Carlin. Technical Analysis - Explained. url: https://www.credit-suisse.com/legal/pb_research/technical_tutorial_en.pdf.

[16] Barbara Casu en Laura Chiaramonte. “Are Cds spreads a good proxy of bank risk? Evi-dence from the recent financial crisis”. In: BANCARIA 11 (2011), p. 82–98. url: http:

//econpapers.repec.org/article/banbancar/v_3a11_3ay_3a2011_3am_3anovember_

3ap_3a82-98.htm (bezocht op 30-11-2013).

[17] Mario Cerrato. The mathematics of derivatives securities with applications in MATLAB.Hoboken: John Wiley & Sons Inc, 2012. 236 p.

68

[18] Ernest P. Chan. Quantitative trading: how to build your own algorithmic trading business.The Wiley trading series. Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, 2009. 181 p.

[19] Chart pattern. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 564047090. 17 jul2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Chart_pattern&oldid=564047090 (bezocht op 14-09-2013).

[20] Chicago Board Options Exchange. The CBOE Volatility Index - VIX. English. 27 feb 2009.(Bezocht op 20-11-2013).

[21] Amy Chozick en Nicole Perlroth. “Social Media’s Effects On Markets Concern Regulators”.In: The New York Times (28 apr 2013). url: http://www.nytimes.com/2013/04/29/business/media/social- medias- effects- on- markets- concern- regulators.html

(bezocht op 08-09-2013).

[22] Brian Conrad. Impossibility theorems for elementary integration. 19 jul 2005. url: http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/academy/LectureNotes05/Conrad.pdf (bezochtop 12-12-2013).

[23] “Declining U.S. High-Frequency Trading”. In: The New York Times (15 okt 2012). url:http://www.nytimes.com/interactive/2012/10/15/business/Declining-US-High-

Frequency-Trading.html?ref=business (bezocht op 30-09-2013).

[24] Department of Economics, Mathematics and Statistics, Birkbeck, University of London. Acrash course in Ito calculus. url: http://www.ems.bbk.ac.uk/for_students/msc_finEng/math_methods/lecture34.pdf (bezocht op 09-10-2013).

[25] Deutsche Bank Research - Global Risk Analysis. Sovereign default probabilities online - Ex-tracting implied default probabilities from CDS spreads. 12 aug 2011. url: http://www.dbresearch.com/PROD/DBR_INTERNET_EN-PROD/PROD0000000000183612.pdf.

[26] David A. Dickey en Wayne A. Fuller. “Distribution of the Estimators for AutoregressiveTime Series with a Unit Root”. In: Journal of the American Statistical Association 74 (366ajun 1979), p. 427–431. doi: 10.1080/01621459.1979.10482531. url: http://amstat.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1979.10482531#.UpnfEmTknVA (bezochtop 30-11-2013).

[27] Double top and double bottom. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID:542515955. 10 aug 2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Double_top_and_double_bottom&oldid=542515955 (bezocht op 14-09-2013).

[28] Exchange-traded fund. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 577078972.14 okt 2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Exchange-traded_fund&oldid=577078972 (bezocht op 23-10-2013).

[29] Exchange-Traded Fund (ETF) Definition. Investopedia. 15 feb 2009. url: http://www.

investopedia.com/terms/e/etf.asp (bezocht op 23-10-2013).

[30] Fabio Bellini. Vasicek. 26 mei 2009. url: http://www.economia.unimib.it/DATA/moduli/4_4366/materiale/vasicek.pdf (bezocht op 30-11-2013).

[31] Fundamentele analyse. nl. In: Wikipedia. Page Version ID: 35485399. 16 mei 2013. url: http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentele_analyse&oldid=35485399

(bezocht op 01-09-2013).

[32] Gefahrlichstes Finanzprodukt Europas. url: http://www.dangerous-finance.eu/ (bezochtop 01-02-2014).

[33] Giovanny Moreano. Anatomy of the Flash Crash: 15 Minutes of Market Madness. CNBC.url: http://www.cnbc.com/id/42920769 (bezocht op 30-09-2013).

[34] William H. Greene. Econometric analysis. 5th ed. Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall,2003. 1026 p.

[35] Ken Hawkins. These Financial Products Are Too Complex For The Average Joe. Investope-dia. 13 nov 2009. url: http://www.investopedia.com/articles/financial-theory/08/structured-products.asp (bezocht op 06-11-2013).

69

[36] Head and shoulders (chart pattern). en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page VersionID: 564320520. 10 aug 2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Head_and_shoulders_(chart_pattern)&oldid=564320520 (bezocht op 14-09-2013).

[37] John Hull. Options, futures, and other derivatives. 8th. Boston: Prentice Hall, 2012. 841 p.

[38] Kenneth Small Jeff Smith. “Weighing the Risks - Are Exchange- Traded Notes Right for YourClients?” In: Journal of Financial Planning (2010), p. 48–56. url: http://www.fpanet.org/journal/CurrentIssue/TableofContents/WeighingtheRisks/.

[39] Chad Langager en Casey Murphey. Analyzing Chart Patterns: Double Top And DoubleBottom. Investopedia. 25 feb 2009. url: http://www.investopedia.com/university/charts/charts4.asp (bezocht op 14-09-2013).

[40] Chad Langager en Casey Murphey. Analyzing Chart Patterns: Head And Shoulders. Invest-opedia. 25 feb 2009. url: http://www.investopedia.com/university/charts/charts2.asp (bezocht op 14-09-2013).

[41] Chad Langager en Casey Murphey. Analyzing Chart Patterns: Triple Tops And Bottoms.Investopedia. 25 feb 2009. url: http://www.investopedia.com/university/charts/charts9.asp (bezocht op 14-09-2013).

[42] Joris Luyendijk. “Head of structuring equity derivatives: ’Structurers are like snakes’”. In:The Guardian (23 mrt 2012). url: http://www.theguardian.com/commentisfree/2012/mar/23/voices-of-finance-structuring-equity-derivatives (bezocht op 01-02-2014).

[43] Ben R. Marshall, Rochester H. Cahan en Jared Cahan. Technical Analysis Around the World.SSRN Scholarly Paper ID 1181367. Rochester, NY: Social Science Research Network, 1 aug2010. url: http://papers.ssrn.com/abstract=1181367 (bezocht op 01-02-2014).

[44] MathWorks. Augmented Dickey-Fuller test. adftest - MATLAB. 2013. url: http://www.mathworks.nl/help/econ/adftest.html (bezocht op 30-11-2013).

[45] Christopher Matthews. “How Does One Fake Tweet Cause a Stock Market Crash?” In: Time(). url: http://business.time.com/2013/04/24/how-does-one-fake-tweet-cause-a-stock-market-crash/ (bezocht op 02-10-2013).

[46] Marijke Meerman. Wall Street Code. Tegenlicht. 4 nov 2013.

[47] Moody’s Investors Service - Global Credit Research. Moody’s Ultimate Recovery Database.Apr 2007. url: https://www.moodys.com/sites/products/DefaultResearch/2006600000428092.pdf (bezocht op 30-11-2013).

[48] Moving average. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 572389091. 11 sep2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Moving_average&oldid=572389091 (bezocht op 14-09-2013).

[49] Normale verdeling. nl. In: Wikipedia. Page Version ID: 38672019. 10 aug 2013. url: http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Normale_verdeling&oldid=38672019 (bezochtop 30-09-2013).

[50] NYSE Euronext. NYSE Euronext TAQ Database via Wharton Research Data Services (WRDS).(Bezocht op 10-11-2013).

[51] “One big, bad trade”. In: The Economist (1 okt 2010). url: http://www.economist.com/blogs/newsbook/2010/10/what_caused_flash_crash (bezocht op 30-09-2013).

[52] Ornstein–Uhlenbeck process. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 566989142.8 okt 2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ornstein%E2%80%93Uhlenbeck_process&oldid=566989142 (bezocht op 23-10-2013).

[53] Hans Oudshoorn en Peter Siks. Beleggen voor dummies. Amsterdam: Pearson, 2012.

[54] Scott Patterson. The quants: [how a new breed of math whizzes conquered Wall Street andnearly destroyed it]. 1ste ed. New York: Crown Business, 2010.

[55] Nathaniel Popper. “With Profits Dropping, High-Speed Trading Cools Down”. In: The NewYork Times (14 okt 2012). url: http://www.nytimes.com/2012/10/15/business/with-profits-dropping-high-speed-trading-cools-down.html (bezocht op 04-09-2013).

70

[56] Short (finance). en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 572853601. 12 okt2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Short_(finance)&oldid=572853601 (bezocht op 23-10-2013).

[57] Standard deviation. en. In: Wikipedia, the free encyclopedia. Page Version ID: 583586640.27 nov 2013. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Standard_deviation&oldid=583586640 (bezocht op 30-11-2013).

[58] “Stochastic Differential Equations”. en. In: Stochastic Differential Equations. Universitext 0.Springer Berlin Heidelberg, 2003, p. 65–84. url: http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-14394-6_5 (bezocht op 30-11-2013).

[59] “The Twitter Crash: #newscrashrecover”. In: The Economist (27 apr 2013). url: http://www.economist.com/news/finance-and-economics/21576671-hacked-tweet-briefly-

unnerves-stockmarket-newscrashrecover (bezocht op 02-10-2013).

[60] G. E. Uhlenbeck en L. S. Ornstein. “On the Theory of the Brownian Motion”. In: PhysicalReview 36 (5 1 sep 1930), p. 823–841. doi: 10.1103/PhysRev.36.823. url: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.36.823 (bezocht op 29-11-2013).

[61] Oldrich Vasicek. “An equilibrium characterization of the term structure”. In: Journal ofFinancial Economics 5 (2 nov 1977), p. 177–188. doi: 10.1016/0304-405X(77)90016-2. url: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304405X77900162

(bezocht op 29-11-2013).

[62] Ganapathy Vidyamurthy. Pairs trading: quantitative methods and analysis. Hoboken, N.J:J. Wiley, 2004. 210 p.

[63] Paul Wilmott. Frequently asked questions in quantitative finance: including key models, im-portant formulæ, popular contracts, essays and opinions, a history of quantitative finance,sundry lists, the commonest mistakes in quant finance, brainteasers, plenty of straight-talking,the Modellers’ Manifesto and lots more. 2nd ed. Chichester, U.K: Wiley, 2009. 608 p.

[64] Paul Wilmott. Paul Wilmott introduces quantitative finance. 2de ed. Chichester, West Sussex,England; Hoboken, NJ: J. Wiley & Sons, 2007.

[65] Paul Wilmott. Paul Wilmott on quantitative finance. 2de ed. Chichester, England; Hoboken,NJ: John Wiley & Sons, 2006.

[66] Yahoo! Inc. Yahoo! Finance. url: http://finance.yahoo.com/.

[67] Heidi Moore in New York en Dan Roberts in Washington. “AP Twitter hack causes panicon Wall Street and sends Dow plunging”. In: The Guardian (23 apr 2013). url: http:

//www.theguardian.com/business/2013/apr/23/ap- tweet- hack- wall- street-

freefall (bezocht op 30-09-2013).

71

Bijlage A

Overzicht gebruikte notaties

Symbool BetekenisR rendementP winstt tijdS prijsσ standaarddeviatie, volatiliteitµ gemiddelde, driftφ stochasitsche variabeleE verwachte waardeW Wiener procesρ correlatiecoefficientξ spreadβ hedge ratioγ vertragingθ snelheidsparameter mean-reverting procesλ gemiddelde spread over lange termijnω evenredigheidsconstante

72

Bijlage B

CASO waarden

c (σ) ξd (σ) Pr0.000 0.750 1.00000.005 0.755 0.99340.010 0.760 0.98680.015 0.760 0.98020.020 0.765 0.97360.025 0.770 0.96710.030 0.775 0.96060.035 0.775 0.95420.040 0.780 0.94780.045 0.785 0.94140.050 0.785 0.93500.055 0.790 0.92870.060 0.795 0.92240.065 0.795 0.91610.070 0.800 0.90990.075 0.805 0.90370.080 0.810 0.89750.085 0.810 0.89140.090 0.815 0.88520.095 0.820 0.87910.100 0.820 0.87310.105 0.825 0.86710.110 0.830 0.86110.115 0.835 0.85510.120 0.835 0.84910.125 0.840 0.84320.130 0.845 0.83730.135 0.845 0.83150.140 0.850 0.82570.145 0.855 0.81990.150 0.860 0.81410.155 0.860 0.80840.160 0.865 0.80270.165 0.870 0.79700.170 0.870 0.7913

c (σ) ξd (σ) Pr0.175 0.875 0.78570.180 0.880 0.78010.185 0.885 0.77460.190 0.885 0.76900.195 0.890 0.76350.200 0.895 0.75810.205 0.900 0.75260.210 0.900 0.74720.215 0.905 0.74180.220 0.910 0.73640.225 0.910 0.73110.230 0.915 0.72580.235 0.920 0.72050.240 0.925 0.71530.245 0.925 0.71010.250 0.930 0.70490.255 0.935 0.69970.260 0.940 0.69460.265 0.940 0.68940.270 0.945 0.68440.275 0.950 0.67930.280 0.950 0.67430.285 0.955 0.66930.290 0.960 0.66430.295 0.965 0.65940.300 0.965 0.65440.305 0.970 0.64960.310 0.975 0.64470.315 0.980 0.63990.320 0.980 0.63500.325 0.985 0.63030.330 0.990 0.62550.335 0.995 0.62080.340 0.995 0.61610.345 1.000 0.6114

c (σ) ξd (σ) Pr0.350 1.005 0.60670.355 1.010 0.60210.360 1.010 0.59750.365 1.015 0.59300.370 1.020 0.58840.375 1.025 0.58390.380 1.025 0.57940.385 1.030 0.57490.390 1.035 0.57050.395 1.040 0.56610.400 1.040 0.56170.405 1.045 0.55730.410 1.050 0.55300.415 1.055 0.54870.420 1.055 0.54440.425 1.060 0.54010.430 1.065 0.53590.435 1.070 0.53170.440 1.070 0.52750.445 1.075 0.52330.450 1.080 0.51920.455 1.085 0.51510.460 1.085 0.51100.465 1.090 0.50690.470 1.095 0.50290.475 1.100 0.49890.480 1.100 0.49490.485 1.105 0.49090.490 1.110 0.48700.495 1.115 0.48300.500 1.115 0.47920.505 1.120 0.47530.510 1.125 0.47140.515 1.130 0.46760.520 1.135 0.4638

73

c (σ) ξd (σ) Pr0.525 1.135 0.46000.530 1.140 0.45630.535 1.145 0.45260.540 1.150 0.44890.545 1.150 0.44520.550 1.155 0.44150.555 1.160 0.43790.560 1.165 0.43430.565 1.165 0.43070.570 1.170 0.42710.575 1.175 0.42360.580 1.180 0.42010.585 1.185 0.41660.590 1.185 0.41310.595 1.190 0.40970.600 1.195 0.40620.605 1.200 0.40280.610 1.200 0.39940.615 1.205 0.39610.620 1.210 0.39270.625 1.215 0.38940.630 1.220 0.38610.635 1.220 0.38280.640 1.225 0.37960.645 1.230 0.37640.650 1.235 0.37310.655 1.235 0.37000.660 1.240 0.36680.665 1.245 0.36360.670 1.250 0.36050.675 1.255 0.35740.680 1.255 0.35430.685 1.260 0.35130.690 1.265 0.34820.695 1.270 0.34520.700 1.270 0.34220.705 1.275 0.33920.710 1.280 0.33630.715 1.285 0.33330.720 1.290 0.33040.725 1.290 0.32750.730 1.295 0.32460.735 1.300 0.32180.740 1.305 0.31890.745 1.310 0.31610.750 1.310 0.31330.755 1.315 0.31050.760 1.320 0.30780.765 1.325 0.30500.770 1.330 0.3023

c (σ) ξd (σ) Pr0.775 1.330 0.29960.780 1.335 0.29690.785 1.340 0.29430.790 1.345 0.29160.795 1.345 0.28900.800 1.350 0.28640.805 1.355 0.28380.810 1.360 0.28120.815 1.365 0.27870.820 1.365 0.27620.825 1.370 0.27360.830 1.375 0.27120.835 1.380 0.26870.840 1.385 0.26620.845 1.385 0.26380.850 1.390 0.26140.855 1.395 0.25900.860 1.400 0.25660.865 1.405 0.25420.870 1.410 0.25180.875 1.410 0.24950.880 1.415 0.24720.885 1.420 0.24490.890 1.425 0.24260.895 1.430 0.24030.900 1.430 0.23810.905 1.435 0.23590.910 1.440 0.23370.915 1.445 0.23150.920 1.450 0.22930.925 1.450 0.22710.930 1.455 0.22500.935 1.460 0.22280.940 1.465 0.22070.945 1.470 0.21860.950 1.470 0.21650.955 1.475 0.21450.960 1.480 0.21240.965 1.485 0.21040.970 1.490 0.20840.975 1.495 0.20640.980 1.495 0.20440.985 1.500 0.20240.990 1.505 0.20050.995 1.510 0.19851.000 1.515 0.19661.005 1.515 0.19471.010 1.520 0.19281.015 1.525 0.19091.020 1.530 0.1891

c (σ) ξd (σ) Pr1.025 1.535 0.18721.030 1.535 0.18541.035 1.540 0.18361.040 1.545 0.18181.045 1.550 0.18001.050 1.555 0.17821.055 1.560 0.17641.060 1.560 0.17471.065 1.565 0.17291.070 1.570 0.17121.075 1.575 0.16951.080 1.580 0.16781.085 1.585 0.16621.090 1.585 0.16451.095 1.590 0.16281.100 1.595 0.16121.105 1.600 0.15961.110 1.605 0.15801.115 1.605 0.15641.120 1.610 0.15481.125 1.615 0.15321.130 1.620 0.15171.135 1.625 0.15011.140 1.630 0.14861.145 1.630 0.14711.150 1.635 0.14561.155 1.640 0.14411.160 1.645 0.14261.165 1.650 0.14121.170 1.655 0.13971.175 1.655 0.13831.180 1.660 0.13681.185 1.665 0.13541.190 1.670 0.13401.195 1.675 0.13261.200 1.680 0.13131.205 1.680 0.12991.210 1.685 0.12851.215 1.690 0.12721.220 1.695 0.12591.225 1.700 0.12451.230 1.705 0.12321.235 1.705 0.12191.240 1.710 0.12071.245 1.715 0.11941.250 1.720 0.11811.255 1.725 0.11691.260 1.730 0.11561.265 1.735 0.11441.270 1.735 0.1132

74

c (σ) ξd (σ) Pr1.275 1.740 0.11201.280 1.745 0.11081.285 1.750 0.10961.290 1.755 0.10841.295 1.760 0.10731.300 1.760 0.10611.305 1.765 0.10501.310 1.770 0.10381.315 1.775 0.10271.320 1.780 0.10161.325 1.785 0.10051.330 1.785 0.09941.335 1.790 0.09831.340 1.795 0.09721.345 1.800 0.09621.350 1.805 0.09511.355 1.810 0.09411.360 1.815 0.09311.365 1.815 0.09201.370 1.820 0.09101.375 1.825 0.09001.380 1.830 0.08901.385 1.835 0.08801.390 1.840 0.08711.395 1.845 0.08611.400 1.845 0.08511.405 1.850 0.08421.410 1.855 0.08331.415 1.860 0.08231.420 1.865 0.08141.425 1.870 0.08051.430 1.870 0.07961.435 1.875 0.07871.440 1.880 0.07781.445 1.885 0.07691.450 1.890 0.07611.455 1.895 0.07521.460 1.900 0.07431.465 1.900 0.07351.470 1.905 0.07271.475 1.910 0.07181.480 1.915 0.07101.485 1.920 0.07021.490 1.925 0.06941.495 1.930 0.06861.500 1.930 0.06781.505 1.935 0.06701.510 1.940 0.06631.515 1.945 0.06551.520 1.950 0.0647

c (σ) ξd (σ) Pr1.525 1.955 0.06401.530 1.960 0.06321.535 1.960 0.06251.540 1.965 0.06181.545 1.970 0.06111.550 1.975 0.06031.555 1.980 0.05961.560 1.985 0.05891.565 1.990 0.05821.570 1.995 0.05761.575 1.995 0.05691.580 2.000 0.05621.585 2.005 0.05561.590 2.010 0.05491.595 2.015 0.05421.600 2.020 0.05361.605 2.025 0.05301.610 2.025 0.05231.615 2.030 0.05171.620 2.035 0.05111.625 2.040 0.05051.630 2.045 0.04991.635 2.050 0.04931.640 2.055 0.04871.645 2.060 0.04811.650 2.060 0.04751.655 2.065 0.04691.660 2.070 0.04641.665 2.075 0.04581.670 2.080 0.04531.675 2.085 0.04471.680 2.090 0.04421.685 2.090 0.04361.690 2.095 0.04311.695 2.100 0.04261.700 2.105 0.04201.705 2.110 0.04151.710 2.115 0.04101.715 2.120 0.04051.720 2.125 0.04001.725 2.125 0.03951.730 2.130 0.03901.735 2.135 0.03851.740 2.140 0.03811.745 2.145 0.03761.750 2.150 0.03711.755 2.155 0.03671.760 2.160 0.03621.765 2.160 0.03581.770 2.165 0.0353

c (σ) ξd (σ) Pr1.775 2.170 0.03491.780 2.175 0.03441.785 2.180 0.03401.790 2.185 0.03361.795 2.190 0.03311.800 2.195 0.03271.805 2.195 0.03231.810 2.200 0.03191.815 2.205 0.03151.820 2.210 0.03111.825 2.215 0.03071.830 2.220 0.03031.835 2.225 0.02991.840 2.230 0.02951.845 2.235 0.02921.850 2.235 0.02881.855 2.240 0.02841.860 2.245 0.02811.865 2.250 0.02771.870 2.255 0.02731.875 2.260 0.02701.880 2.265 0.02661.885 2.270 0.02631.890 2.270 0.02591.895 2.275 0.02561.900 2.280 0.02531.905 2.285 0.02491.910 2.290 0.02461.915 2.295 0.02431.920 2.300 0.02401.925 2.305 0.02371.930 2.310 0.02331.935 2.310 0.02301.940 2.315 0.02271.945 2.320 0.02241.950 2.325 0.02211.955 2.330 0.02181.960 2.335 0.02161.965 2.340 0.02131.970 2.345 0.02101.975 2.350 0.02071.980 2.350 0.02041.985 2.355 0.02021.990 2.360 0.01991.995 2.365 0.01962.000 2.370 0.01942.005 2.375 0.01912.010 2.380 0.01882.015 2.385 0.01862.020 2.390 0.0183

75

c (σ) ξd (σ) Pr2.025 2.390 0.01812.030 2.395 0.01782.035 2.400 0.01762.040 2.405 0.01742.045 2.410 0.01712.050 2.415 0.01692.055 2.420 0.01672.060 2.425 0.01642.065 2.430 0.01622.070 2.430 0.01602.075 2.435 0.01582.080 2.440 0.01562.085 2.445 0.01532.090 2.450 0.01512.095 2.455 0.01492.100 2.460 0.01472.105 2.465 0.01452.110 2.470 0.01432.115 2.470 0.01412.120 2.475 0.01392.125 2.480 0.01372.130 2.485 0.01352.135 2.490 0.01332.140 2.495 0.01322.145 2.500 0.01302.150 2.505 0.01282.155 2.510 0.01262.160 2.515 0.01242.165 2.515 0.01232.170 2.520 0.01212.175 2.525 0.01192.180 2.530 0.01172.185 2.535 0.01162.190 2.540 0.01142.195 2.545 0.01132.200 2.550 0.01112.205 2.555 0.01092.210 2.560 0.01082.215 2.560 0.01062.220 2.565 0.01052.225 2.570 0.01032.230 2.575 0.01022.235 2.580 0.01002.240 2.585 0.00992.245 2.590 0.00972.250 2.595 0.00962.255 2.600 0.00952.260 2.605 0.00932.265 2.605 0.00922.270 2.610 0.0091

c (σ) ξd (σ) Pr2.275 2.615 0.00892.280 2.620 0.00882.285 2.625 0.00872.290 2.630 0.00852.295 2.635 0.00842.300 2.640 0.00832.305 2.645 0.00822.310 2.650 0.00812.315 2.655 0.00792.320 2.655 0.00782.325 2.660 0.00772.330 2.665 0.00762.335 2.670 0.00752.340 2.675 0.00742.345 2.680 0.00732.350 2.685 0.00712.355 2.690 0.00702.360 2.695 0.00692.365 2.700 0.00682.370 2.700 0.00672.375 2.705 0.00662.380 2.710 0.00652.385 2.715 0.00642.390 2.720 0.00632.395 2.725 0.00622.400 2.730 0.00612.405 2.735 0.00612.410 2.740 0.00602.415 2.745 0.00592.420 2.750 0.00582.425 2.750 0.00572.430 2.755 0.00562.435 2.760 0.00552.440 2.765 0.00542.445 2.770 0.00542.450 2.775 0.00532.455 2.780 0.00522.460 2.785 0.00512.465 2.790 0.00502.470 2.795 0.00502.475 2.800 0.00492.480 2.805 0.00482.485 2.805 0.00472.490 2.810 0.00472.495 2.815 0.00462.500 2.820 0.00452.505 2.825 0.00452.510 2.830 0.00442.515 2.835 0.00432.520 2.840 0.0042

c (σ) ξd (σ) Pr2.525 2.845 0.00422.530 2.850 0.00412.535 2.855 0.00412.540 2.855 0.00402.545 2.860 0.00392.550 2.865 0.00392.555 2.870 0.00382.560 2.875 0.00372.565 2.880 0.00372.570 2.885 0.00362.575 2.890 0.00362.580 2.895 0.00352.585 2.900 0.00352.590 2.905 0.00342.595 2.910 0.00332.600 2.910 0.00332.605 2.915 0.00322.610 2.920 0.00322.615 2.925 0.00312.620 2.930 0.00312.625 2.935 0.00302.630 2.940 0.00302.635 2.945 0.00292.640 2.950 0.00292.645 2.955 0.00292.650 2.960 0.00282.655 2.965 0.00282.660 2.965 0.00272.665 2.970 0.00272.670 2.975 0.00262.675 2.980 0.00262.680 2.985 0.00252.685 2.990 0.00252.690 2.995 0.00252.695 3.000 0.00242.700 3.005 0.00242.705 3.010 0.00232.710 3.015 0.00232.715 3.020 0.00232.720 3.025 0.00222.725 3.025 0.00222.730 3.030 0.00222.735 3.035 0.00212.740 3.040 0.00212.745 3.045 0.00212.750 3.050 0.00202.755 3.055 0.00202.760 3.060 0.00202.765 3.065 0.00192.770 3.070 0.0019

76

c (σ) ξd (σ) Pr2.775 3.075 0.00192.780 3.080 0.00182.785 3.085 0.00182.790 3.085 0.00182.795 3.090 0.00172.800 3.095 0.00172.805 3.100 0.00172.810 3.105 0.00172.815 3.110 0.00162.820 3.115 0.00162.825 3.120 0.00162.830 3.125 0.00152.835 3.130 0.00152.840 3.135 0.00152.845 3.140 0.0015

c (σ) ξd (σ) Pr2.850 3.145 0.00142.855 3.145 0.00142.860 3.150 0.00142.865 3.155 0.00142.870 3.160 0.00132.875 3.165 0.00132.880 3.170 0.00132.885 3.175 0.00132.890 3.180 0.00132.895 3.185 0.00122.900 3.190 0.00122.905 3.195 0.00122.910 3.200 0.00122.915 3.205 0.00122.920 3.210 0.0011

c (σ) ξd (σ) Pr2.925 3.210 0.00112.930 3.215 0.00112.935 3.220 0.00112.940 3.225 0.00112.945 3.230 0.00102.950 3.235 0.00102.955 3.240 0.00102.960 3.245 0.00102.965 3.250 0.00102.970 3.255 0.00102.975 3.260 0.00092.980 3.265 0.00092.985 3.270 0.00092.990 3.275 0.00092.995 3.275 0.0009

77

Bijlage C

Geschreven MATLAB code

Tick2second

1 function [newtime,newprice] = tick2second(time,price)2 %TIME2INTERVAL Zet Bloomberg Tick Data om naar secondendata3 % Zet meerdere ticks om in secondendata door de openingstick te nemen van4 % iedere seconde. Daarnaast worden missende waardes opgevuld met vorige5 % prijsdata.6

7 temptime(1) = time(1);8 tempprice(1) = price(1);9

10 for i=1:length(time)11

12 if temptime(end) 6= time(i)13 temptime(end+1) = time(i);14 tempprice(end+1) = price(i);15 end16 end17

18 dt = datenum(0,0,0,0,0,1);19 newtime = temptime(1):dt:temptime(end);20 newprice = zeros(1,length(newtime));21

22 k=1;23

24 for j=1:length(newtime)25 if abs(temptime(k)− newtime(j)) < 0.5*dt26 newprice(j) = tempprice(k);27 k = k+1;28 else29 newprice(j) = newprice(j−1);30 end31 end

Browninan motion generator

Gebruikt voor figuur 2.4

1 function [ output args ] = Brownian(start,mu,sigma,steps)2 %Brownse beweging GENERATOR Deze functie plot enkele Brownse bewegings3 % Deze functie plot drie Brownse bewegingen voor een gegeven startwaarde, mu,4 % sigma en aantal stappen.5

6 sigma = sigma / steps;7 mu = 1 + mu / steps;8 gbmeen=start;9 value = start;

78

10

11 for i = 2:steps12 gbmeen(end+1) = value*mu + value*sigma*normrnd(0,1);13 value = gbmeen(end);14 end15

16 plot(gbmeen,'Color',[0 0 0]);17 hold on;18

19 gbmtwee = start;20 value = start;21

22 for i = 2:steps23 gbmtwee(end+1) = value*mu + value*sigma*normrnd(0,1);24 value = gbmtwee(end);25 end26

27 plot(gbmtwee,'Color',[0.75 0.75 0.75]);28

29 gbmdrie = start;30 value = start;31

32 for i = 2:steps33 gbmdrie(end+1) = value*mu + value*sigma*normrnd(0,1);34 value = gbmdrie(end);35 end36

37 plot(gbmdrie,'Color',[0.5 0.5 0.5]);38

39 legend('Simulatie 1','Simulatie 2','Simulatie 3')40 legend('Location','SouthWest')41

42 hold off;43 end

VXX futures weight calculator

1 function [front,second] = stfweight(date)2 %Short Term VIX Futures Total Return Index Weigth3 % Berekent het percentage van het AANTAL front en second month futures in de4 % index op een gegeven dag volgens de vorm 'dd−mm−yy'. Als deze leeg5 % wordt gelaten wordt de huidige dag gebruikt. Output arguments zijn6 % [front,second] in een decimale representatie. Werkt alleen na 167 % januari 2013.8

9 % Alle futures expirations voor 2013 en 201410 vxexpdates = datenum({'16−01−13', '13−02−13', '20−03−13', '17−04−13', '22−05−13', ...

'19−06−13', '17−07−13', '21−08−13', '18−09−13', '16−10−13', '20−11−13', ...'18−12−13', '22−01−14', '19−02−14', '18−03−14', '16−04−14', '21−05−14', ...'18−06−14', '16−07−14', '20−08−14', '17−09−14', '22−10−14', '19−11−14', ...'17−12−14'},'dd−mm−yy');

11

12 % Controleer of er een speciale datum is gegeven, indien het geval, deze13 % gebruiken, anders is de dag de huidige dag14 if nargin < 115 vandaag = today();16 else17 vandaag = datenum(date,'dd−mm−yy');18 end19

20 % Bereken de volgende werkdag21 morgen = busdate(vandaag, 1);22

23 % Bereken de huidige experiatiedatum en vorige expiratiedatum24 currexpdate = vxexpdates(1);25 for i = 1:2426 if vandaag > vxexpdates(i)

79

27 currexpdate = vxexpdates(i+1);28 prevexpdate = vxexpdates(i);29 end30 end31

32 % Bereken de laatste handelsdag in huidige periode33 currlasttrade = currexpdate − 1;34

35 % Bereken totaal aantal werkdagen in huidige roll periode36 dt = length(busdays(prevexpdate,currlasttrade));37

38 % Bereken het aantal werkdagen te gaan in huidige roll periode39 dr = length(busdays(morgen,currlasttrade));40

41 % Bereken het percentage contracten van de eerste maand42 front = dr/dt;43

44 % Berkene het percentage contracten van de tweede maand45 second = 1 − front;46

47 % Zet tweede maands contracten om in eerste maands contracten bij einde periode48 if second == 149 front = 1;50 second = 0;51 end52

53 display(front);54 display(second);55

56 end

Minimalisatie fout RTindex en IVindex

Gebruikt voor figuur 6.2

1 %MINERROR Vindt de optimale waarde voor de delay en hedge ratio2 % Vindt aan de hand van de rtindex en de Indicative Value index de3 % correcte hedge ratio door via een Monte Carlo simulatie de minimale4 % afwijking tussen de rtindex en de Indicative Value index vast te5 % stellen.6

7 prompt = 'Geef minimale waarde voor hedge ratio: ';8 mini = input(prompt);9

10 prompt = 'Geef maximale waarde voor hedge ratio: ';11 maxi = input(prompt);12

13 prompt = 'Geef sample size (tussen 0.01 en 0.0001): ';14 sample = input(prompt);15

16 afwijking = [];17

18 x = [mini:sample:maxi];19 y = [0:60];20

21 [L,P] = meshgrid(x,y);22

23 for i=0:6024 l = 23401 − i;25 j=1;26 for k=mini:sample:maxi27 afwijking(i+1,j) = (sum(abs(avxxivprice((i+1):23401) − rtindex(1:l)*k)));28 j = j + 1;29 end30 end31

32 surfc(L,P,afwijking);33 xlim([mini,maxi]);

80

34 view([50 90 20]);35

36 [r,c]=find(afwijking==min(min(afwijking())));37

38 delay = y(r);39 hedge = x(c);40

41 display(delay);42 display(hedge);43

44 ylabel('Delay');45 xlabel('Hedgeratio');46 zlabel('Cumulatieve afwijking RT Index t.o.v. IV Index');47

48 clear x y r c;49

50 title('');

Mean en std methode vergelijker voor het vinden van labda

Gebruikt voor figuur 7.1

1 %MEANvsSTD Vergelijkt de mean en std methode voor het vinden van labda2

3 spreadvar1 = spread31mei;4 spreadvar2 = spread24juni;5 spreadvar3 = spread22juli;6 spreadvar4 = spread10sept;7 spreadvar5 = spread8okt;8 spreadvar6 = spread4nov;9

10 s = [];11 hold off;12

13 for m = −0.05:0.0001:0.0514 s(end+1) = std(abs(spreadvar1 − m ));15 end16

17 m = −0.05:0.0001:0.05;18 [minimum,mindex] = min(s);19 mu = m(mindex);20

21 mei = plot(m,s,'b');22 hold on;23 optr = plot(mu,minimum,'+r');24

25 gem = mean(spreadvar1);26 optg = plot(gem,minimum,'+g');27

28 clear m spread;29 s = [];30

31 for m = −0.05:0.0001:0.0532 s(end+1) = std(abs(spreadvar2 − m ));33 end34

35 m = −0.05:0.0001:0.05;36 [minimum,mindex] = min(s);37 mu = m(mindex);38

39 juni = plot(m,s,'r');40 plot(mu,minimum,'+r');41

42 gem = mean(spreadvar2);43 plot(gem,minimum,'+g');44

45 clear m spread;46 s = [];

81

47

48 for m = −0.05:0.0001:0.0549 s(end+1) = std(abs(spreadvar3 − m ));50 end51

52 m = −0.05:0.0001:0.05;53 [minimum,mindex] = min(s);54 mu = m(mindex);55

56 juli = plot(m,s,'b−.');57 plot(mu,minimum,'+r');58

59 gem = mean(spreadvar3);60 plot(gem,minimum,'+g');61

62 clear m spread;63 s = [];64

65 for m = −0.05:0.0001:0.0566 s(end+1) = std(abs(spreadvar4 − m ));67 end68

69 m = −0.05:0.0001:0.05;70 [minimum,mindex] = min(s);71 mu = m(mindex);72

73 sept = plot(m,s,'r−.');74 plot(mu,minimum,'+r');75

76 gem = mean(spreadvar4);77 plot(gem,minimum,'+g');78

79 clear m spread;80 s = [];81

82 for m = −0.05:0.0001:0.0583 s(end+1) = std(abs(spreadvar5 − m ));84 end85

86 m = −0.05:0.0001:0.05;87 [minimum,mindex] = min(s);88 mu = m(mindex);89

90 okt = plot(m,s,'b−−');91 plot(mu,minimum,'+r');92

93 gem = mean(spreadvar5);94 plot(gem,minimum,'+g');95

96 clear m spread;97 s = [];98

99 for m = −0.05:0.0001:0.05100 s(end+1) = std(abs(spreadvar6 − m ));101 end102

103 m = −0.05:0.0001:0.05;104 [minimum,mindex] = min(s);105 mu = m(mindex);106

107 nov = plot(m,s,'r−−');108 plot(mu,minimum,'+r');109

110 gem = mean(spreadvar6);111 plot(gem,minimum,'+g');112

113 xlabel('\lambda');114 ylabel('\sigma');115 legend([mei juni juli sept okt nov optr optg],'31 mei','24 juni','22 juli','10 ...

september','8 oktober','4 november','std methode \lambda','mean methode ...

82

\lambda','Location','SouthWest');116

117 clear m spread s spreadvar1 spreadvar2 spreadvar3 spreadvar4 spreadvar5 ...spreadvar6 minimum mindex gen mei juni juli sept okt nov optb optr optg;

118 hold off;

CASO (1 dimensionaal, afhankelijk van divergence target)

Gebruikt voor 7.2

1 function [target,maximum] = caso(c,m,s)2 %CASO (Convergence Arbitrage Strategy Optimum) Berekent het optimale divergence ...

target3 % output: [target,maximum]4 % caso('commissiekosten per share','mu van distributie5 % divergences','sigma van distributie divergences')6 % Het model gaat uit van een normale distributie van de divergences.7

8 format long;9 f = @(x) 2.*(x−c).*(1−normcdf(x,m,s));

10 [maximum,target] = max(f(c:0.000001:0.8));11 target = (target−1)*0.000001 + c;12

13 ezplot(f,[c,0.08]);14

15 xlabel('Divergence target ($)');16 ylabel('Theoretische winst');17

18 hold on;19

20 plot(target,maximum,'r+');21 text(target,maximum,sprintf('Maximale ...

winst'),'VerticalAlignment','bottom','HorizontalAlignment','left');22

23 ylim([0 3e−3]);24

25 hold off;26 set(gca,'YTick',[]);27 title('');28

29 target30 maximum31

32 end

Strategie test bij vastliggende commissiekosten

Gebruikt voor figuur 8.1

1 function strategyprofit(spreadvar,commission)2 %STRATEGYPROFIT Test winst van strategie op historische data3 % Simplele test om de winst van een strategie te testen aan de hand van4 % historische data bij een gegeven commissiekosten. Het divergence target5 % wordt hier als variabele gebruikt.6 % Instructies voor input: strategyprofit('variabele met spread ...

data','commissiekosten in $')7

8 position = 0;9 target = commission:0.0001:0.08;

10 close = 0.01;11 profit = zeros(length(target),1);12 spread = spreadvar;13 maxi = [];14 maxindex = [];15

83

16 m = mean(spreadvar);17 spread = spread − m;18

19 for j = 1:length(target)20 temptarget = target(j);21 for i = 1:length(spread)22 if position == 023 if abs(spread(i)) ≥ temptarget24 openp = spread(i);25 position = 1;26 end27 else28 if abs(spread(i)) < close29 tempprof = abs(openp − spread(i)) − commission;30 position = 0;31 profit(j) = profit(j) + tempprof;32 end33 end34 end35 end36

37 plot(target,profit);

CASO vs historisch (multi dimensionaal, afhankelijk van commissiekos-ten)

Gebruikt voor figuur 8.2

1 function casovshist(spreadvar)2 %CASOvsHIST Vergelijkt de historische data met het CASO model3 % Bij het vergelijken van de historische data met het CASo model wordt de4 % commissiekosten als variabele gebruikt.5 % Instructies voor input: casovshist('variabele met spread data')6

7 hold off;8 position = 0;9 target = 0:0.0001:0.08;

10 close = 0.01;11 profit = zeros(length(target),1);12 spread = spreadvar;13 maxi = [];14 maxindex = [];15 maximum = [];16 maximumindex = [];17

18 m = mean(spreadvar);19 s = std(spreadvar);20

21 spread = spread − m;22

23 % Historisch24 for c = 0:0.0001:0.0825 for j = 1:length(target)26 temptarget = target(j);27 for i = 1:length(spread)28 if position == 029 if abs(spread(i)) > temptarget30 openp = spread(i);31 position = 1;32 end33 else34 if abs(spread(i)) < close35 tempprof = abs(openp − spread(i)) − c;36 position = 0;37 profit(j) = profit(j) + tempprof;38

39 end

84

40 end41 end42 end43 [maxi(end+1),maxindex(end+1)] = max(profit);44 profit = zeros(length(target),1);45 end46

47 % CASO48 for c = 0:0.0001:0.0849 winst = [];50 for x = 0:0.0001:0.0851 winst(end+1) = (x−c).*((1−normcdf(x,0,s))+normcdf(−x,0,s));52 end53 [maximum(end+1),maximumindex(end+1)] = max(winst);54 clear profit;55 end56

57 commission = 0:0.0001:0.08;58 maxindex = (maxindex − 1) .* 0.0001;59 maxindex = maxindex;60

61 maximumindex = (maximumindex − 1) .* 0.0001;62 target = (target−1) .* 0.0001;63 coeff = maxi(10)/maximum(10);64 maximum = coeff * maximum;65

66 % Linker plot67 subplot(1,2,1);68 plot(commission,maxi,'b');69 hold on;70 plot(commission,maximum,'r−−');71 xlabel('Commissiekosten ($)');72 ylabel('Maximale winst per pair per dag ($)');73 legend('Historisch','CASO voorspeling','Location','NorthEast');74

75 % Rechter plot76 subplot(1,2,2);77 plot(commission,maxindex,'b');78 hold on;79 plot(commission,maximumindex,'r−−');80 plot(commission,commission,'g−−');81

82 xlabel('Commissiekosten ($)');83 ylabel('Optimale divergence target ($)');84

85 legend('Historisch','CASO voorspeling','y = x','Location','NorthWest');86

87 hold off;88

89 end

Delay test

Gebruikt voor figuur 8.3

1 function delay2(spreadvar)2 %DELAY2 Test de impact van een hypothetische delay op de winst3 % Zoals bij andere tests wordt aan de hand van het optimale target bij4 % iedere commissiekosten de msximale winst berekend. Nu wordt het5 % gesimuleerde handelen echter beinvloed door de aanwezigheid van een6 % vertraging (delay). Wanneer een target wordt waargenomen om te handelen7 % zal de prijs worden genomen van x seconden later.8 % Instructies voor input: casovshist('variabele met spread data')9

10 position = 0;11 target = 0.01:0.0001:0.08;12 close = 0.01;13 profit = zeros(length(target),1);

85

14 spread = spreadvar;15 maxindex = [];16 maxi = [];17 maxi1 = [];18 maxi2 = [];19

20 m = mean(spreadvar);21 spread = spread − m;22

23 % Historische winst 0 seconden delay24 for c = 0:0.0001:0.0625 for j = 1:(length(target)−2)26 temptarget = target(j);27 for i = 1:length(spread)28 if position == 029 if abs(spread(i)) > temptarget30 openp = spread(i);31 position = 1;32 end33 else34 if abs(spread(i)) < close35 tempprof = abs(openp − spread(i)) − c;36 position = 0;37 profit(j) = profit(j) + tempprof;38 end39 end40 end41 end42 [maxi(end+1),maxindex(end+1)] = max(profit);43 profit = zeros(length(target),1);44 end45

46 clear profit tempprof;47 position = 0;48 profit = zeros(length(target),1);49

50 % Historisch winst 1 seconde delay51 for c = 0:0.0001:0.0652 temptarget = target(round(maxindex(round(1+(c.*10000)))));53 for i = 1:(length(spread)−2)54 if position == 055 if abs(spread(i)) > temptarget56 openp = spread(i+1);57 position = 1;58 end59 else60 if abs(spread(i)) < close61 tempprof = abs(openp − spread(i+1)) − c;62 position = 0;63 profit(j) = profit(j) + tempprof;64 end65 end66 end67 maxi1(end+1) = max(profit);68 profit = zeros(length(target),1);69 end70

71 clear profit tempprof;72 position = 0;73 profit = zeros(length(target),1);74

75 % Historisch winst 2 seconden delay76 for c = 0:0.0001:0.0677 temptarget = target(round(maxindex(round(1+(c.*10000)))));78 for i = 1:(length(spread)−2)79 if position == 080 if abs(spread(i)) > temptarget81 openp = spread(i+2);82 position = 1;83 end

86

84 else85 if abs(spread(i)) < close86 tempprof = abs(openp − spread(i+2)) − c;87 position = 0;88 profit(j) = profit(j) + tempprof;89 end90 end91 end92 maxi2(end+1) = max(profit);93 profit = zeros(length(target),1);94 end95

96 commission = 0:0.0001:0.06;97

98 % Linker plot99 subplot(1,2,1);

100 hold off;101 plot(commission,maxi,'b');102 hold on;103 plot(commission,maxi1,'r');104 plot(commission,maxi2,'g');105

106 xlabel('Commissiekosten ($)');107 ylabel('Maximale winst per pair per dag ($)');108

109 legend('Delay 0 sec','Delay 1 sec','Delay 2 sec','Location','NorthEast');110

111 % Rechter plot112 subplot(1,2,2);113 hold off;114 plot(commission,((maxi1 − maxi)./maxi .*100),'b');115 hold on;116 plot(commission,((maxi2 − maxi)./maxi .*100),'r');117

118 xlabel('Commissiekosten ($)');119 ylabel('Procentuele winstdaling');120

121 legend('Delay 1 sec','Delay 2 sec','Location','NorthEast');122

123 hold off;124

125 end

Monte Carlo bootstrap

Gebruikt voor de Monte Carlo bootstrapping test

1 %MONTECARLOBOOTSRAP Genereert de p−waarde voor de strategie winst2 m = 20000;3 qe = 5000;4 qff = 4000;5 qfs = 6000;6 numtrades = 191*2;7 targetprof = 13120;8

9 profit = zeros(m,1);10

11 for p = 1:m12

13 position = 0;14 randtime = sort(randperm(23401,numtrades));15 j = 1;16 for i = 1:length(vxxprice)17 if i == randtime(j);18 if j < numtrades19 j = j + 1;20 end21 if position == 0

87

22 openvxx = vxxprice(i);23 openvxg = vxgprice(i);24 openvxh = vxhprice(i);25 position = 1;26 else27 l = randi(2,1);28 if l == 229 l = −1;30 end;31

32 tempprof = l*qe*(openvxx − vxxprice(i)) −l*qff*(openvxg − ...vxgprice(i)) −l*qfs*(openvxh − vxhprice(i));

33 profit(p) = profit(p) + tempprof;34 position = 0;35 end36 end37 end38

39 end;40

41 histfit(profit,40);42 prob = 100*(1− cdf('normal',targetprof,mean(profit),std(profit)));43 disp(prob);

88

Bijlage D

Geschreven EasyLanguage codevoor TradeStation

VXXGV

Gebruikt om de VXX te verhandelen

1 Inputs:2 DataSeries1(Close of Data1),3 DataSeries2(Close of Data2),4 DataSeries3(Close of Data3),5 Length(500),6 wf1(1),7 wf2(1);8 Vars:9 SprdDiff(0),

10 futures(0),11 hedgeratio(1),12 Avg(0),13 UpperBand(0),14 LowerBand(0),15 CRtn(0),16 aantal(0);17

18 futures = DataSeries2 * wf1 + DataSeries3 * wf2;19 hedgeratio = AverageFC(DataSeries1,Length) / AverageFC(futures,Length);20 SprdDiff = DataSeries1 − hedgeratio * futures ;21 Avg = AverageFC( SprdDiff, Length );22 UpperBand = BollingerBand(SprdDiff,Length,1.4);23 LowerBand = BollingerBand(SprdDiff,Length,−1.4);24 CRtn = GVSetNamedInt("vxxpos",marketposition);25 aantal = 5000;26

27 If pos(marketposition) > 0 then begin28 If marketposition > 0 and (SprdDiff > Upperband) then29 Sell aantal shares this bar on close;30 If marketposition < 0 and (SprdDiff < Lowerband) then31 Buy aantal shares this bar on close;32 end33 Else begin34 If (SprdDiff > UpperBand) then begin35 Sellshort aantal shares this bar on close;36 end;37

38 If (SprdDiff < LowerBand) then begin39 Buy aantal shares this bar on close;40 end;41 end;

89

VXGV

Gebruikt om de VX Futures te verhandelen

1 inputs:2 Length(500),3 wf1(1),4 wf2(1),5 aantal(4);6 Vars:7 SprdDiff(0),8 futures(0),9 hedgeratio(1),

10 Avg(0),11 UpperBand(0),12 LowerBand(0),13 vxxpos(0),14 sprd(0);15

16 Value1 = Ticks;17 vxxpos = round(GVGetNamedInt("vxxpos",−999.9),0);18 sprd = GVGetNamedFloat("spread",−999.9);19 print(sprd);20

21 If pos(marketposition) > 0 then begin22 If marketposition < 0 and (vxxpos < 0) then23 Buy aantal contracts this bar on close;24 If marketposition > 0 and (vxxpos > 0) then25 Sell aantal contracts this bar on close;26 If marketposition < 0 and (vxxpos = 0) then27 Buy this bar on close;28 If marketposition > 0 and (vxxpos = 0) then29 Sell this bar on close;30

31 end32 Else begin33 If (vxxpos < 0) then begin34 Buy this bar on close;35 end;36 If (vxxpos > 0) then begin37 SellShort this bar on close;38 end;39 end;

90

Bijlage E

Ruwe data handelsdag

VXX VXX VXG14 VXG14 VXH14 VXH14 TOTAAL TOTAALTijd P trade Tijd P trade Tijd P trade P trade P cumul

16:34:49 $350.00 16:34:51 ($120.00) 16:34:59 ($60.00) $170.00 $0.00$0.00 16:35:01 $40.00 16:35:01 $0.00 $40.00 $170.00

16:35:55 $700.00 16:35:56 ($200.00) 16:36:03 $0.00 $500.00 $210.0016:36:43 ($400.00) 16:36:45 $120.00 16:36:58 ($60.00) ($340.00) $710.0016:38:06 $950.00 16:38:18 ($560.00) 16:38:18 ($180.00) $210.00 $370.0016:40:43 $100.00 16:40:43 $0.00 16:40:46 $240.00 $340.00 $580.0016:43:04 $450.00 16:43:06 ($400.00) 16:43:11 ($60.00) ($10.00) $920.0016:43:17 $150.00 16:43:18 $0.00 16:43:25 $0.00 $150.00 $910.0016:43:26 $200.00 16:43:51 $0.00 16:43:54 $0.00 $200.00 $1,060.0016:43:58 ($150.00) 16:44:00 $0.00 16:44:00 $0.00 ($150.00) $1,260.0016:44:02 $350.00 16:44:02 $0.00 16:44:02 $0.00 $350.00 $1,110.00

$0.00 16:44:05 $0.00 16:44:09 ($300.00) ($300.00) $1,460.0016:44:12 $350.00 16:44:14 $0.00 16:44:15 ($300.00) $50.00 $1,160.0016:44:26 $250.00 16:44:26 $0.00 16:44:27 $0.00 $250.00 $1,210.0016:44:35 $500.00 16:44:37 ($160.00) 16:44:42 $0.00 $340.00 $1,460.0016:44:44 $100.00 16:44:45 ($320.00) 16:44:45 $0.00 ($220.00) $1,800.0016:44:46 ($200.00) 16:45:05 $200.00 16:45:05 $0.00 $0.00 $1,580.0016:45:23 ($300.00) $0.00 16:45:20 $0.00 ($300.00) $1,580.0016:46:32 ($400.00) $0.00 16:45:31 $300.00 ($100.00) $1,280.00

$0.00 16:46:39 $400.00 16:46:34 $300.00 $700.00 $1,180.0016:47:13 ($50.00) 16:47:18 ($120.00) 16:47:18 ($120.00) ($290.00) $1,880.0016:47:52 $500.00 16:47:44 ($120.00) 16:47:44 ($120.00) $260.00 $1,590.00

$0.00 $0.00 16:48:00 $120.00 $120.00 $1,850.0016:48:16 $250.00 16:48:17 $0.00 16:48:16 $120.00 $370.00 $1,970.0016:48:26 $200.00 16:48:27 $0.00 16:48:27 $0.00 $200.00 $2,340.0016:49:06 $200.00 $0.00 $0.00 $200.00 $2,540.0016:49:20 ($1,900.00) 16:49:30 $600.00 16:49:47 $720.00 ($580.00) $2,740.0016:52:59 $150.00 16:53:28 ($40.00) 16:53:26 $180.00 $290.00 $2,160.0016:58:02 ($50.00) 16:58:02 ($80.00) 16:57:58 $0.00 ($130.00) $2,450.00

$0.00 16:58:13 $0.00 16:58:09 ($120.00) ($120.00) $2,320.0017:00:15 ($450.00) 17:00:16 $0.00 17:00:16 $180.00 ($270.00) $2,200.00

$0.00 17:00:18 $200.00 17:00:21 $180.00 $380.00 $1,930.0017:02:18 $400.00 17:02:23 $0.00 17:02:49 ($240.00) $160.00 $2,310.0017:02:51 ($50.00) 17:02:53 $240.00 17:02:52 $120.00 $310.00 $2,470.0017:04:35 ($700.00) 17:04:40 $240.00 17:04:40 $300.00 ($160.00) $2,780.0017:06:23 $200.00 17:06:16 ($80.00) 17:06:16 ($300.00) ($180.00) $2,620.00

$0.00 17:06:52 $0.00 17:06:47 $60.00 $60.00 $2,440.00$0.00 17:07:00 $0.00 17:07:00 $60.00 $60.00 $2,500.00

91

17:07:11 ($550.00) 17:07:18 $200.00 17:07:18 $180.00 ($170.00) $2,560.0017:12:51 $150.00 17:13:02 $80.00 17:13:04 $0.00 $230.00 $2,390.0017:13:52 $700.00 17:13:51 ($120.00) 17:13:51 ($120.00) $460.00 $2,620.00

$0.00 $0.00 17:13:54 ($540.00) ($540.00) $3,080.0017:17:59 $0.00 17:18:06 $0.00 17:18:08 $60.00 $60.00 $2,540.0017:19:42 $0.00 17:18:18 $0.00 17:18:10 $0.00 $0.00 $2,600.0017:19:43 ($200.00) 17:19:50 $0.00 17:19:50 $0.00 ($200.00) $2,600.00

$0.00 17:20:35 $0.00 17:20:35 $0.00 $0.00 $2,400.0017:20:40 ($100.00) 17:20:45 $0.00 17:20:45 $0.00 ($100.00) $2,400.0017:21:16 ($100.00) 17:21:30 $0.00 17:21:36 $0.00 ($100.00) $2,300.0017:21:40 $300.00 17:21:42 $0.00 17:21:42 ($120.00) $180.00 $2,200.00

$0.00 17:23:19 $0.00 17:23:19 $0.00 $0.00 $2,380.0017:23:35 ($50.00) 17:24:00 $0.00 17:24:27 $120.00 $70.00 $2,380.0017:26:48 $200.00 17:26:50 ($80.00) 17:26:51 $0.00 $120.00 $2,450.0017:27:23 ($50.00) 17:27:31 ($80.00) 17:27:27 $0.00 ($130.00) $2,570.00

$0.00 17:28:53 ($120.00) 17:28:53 ($120.00) ($240.00) $2,440.0017:29:28 ($650.00) 17:29:31 $600.00 17:29:57 $420.00 $370.00 $2,200.0017:31:16 $450.00 17:31:21 $0.00 17:31:21 ($180.00) $270.00 $2,570.0017:32:33 $50.00 17:32:50 ($200.00) 17:32:50 ($60.00) ($210.00) $2,840.0017:34:45 $200.00 17:34:46 ($400.00) 17:34:46 ($300.00) ($500.00) $2,630.0017:44:05 $950.00 17:44:15 ($320.00) 17:44:08 ($480.00) $150.00 $2,130.0017:56:07 $2,050.00 17:56:08 $0.00 17:56:08 $0.00 $2,050.00 $2,280.00

$0.00 17:56:10 ($400.00) 17:56:39 ($840.00) ($1,240.00) $4,330.0018:05:51 ($550.00) 18:05:54 $200.00 18:06:28 $240.00 ($110.00) $3,090.00

$0.00 18:12:25 $0.00 18:12:17 $0.00 $0.00 $2,980.0018:13:08 $200.00 18:13:17 $0.00 18:13:17 $0.00 $200.00 $2,980.0018:13:52 $1,500.00 18:14:09 ($640.00) 18:14:09 ($420.00) $440.00 $3,180.0018:22:31 $350.00 18:22:50 $40.00 18:22:48 $0.00 $390.00 $3,620.0018:24:18 ($150.00) 18:24:28 $80.00 18:24:21 $180.00 $110.00 $4,010.0018:24:51 $450.00 18:25:36 $0.00 18:25:36 $0.00 $450.00 $4,120.0018:27:31 $100.00 18:28:32 ($160.00) 18:27:50 $0.00 ($60.00) $4,570.0018:29:40 $150.00 $0.00 $0.00 $150.00 $4,510.0018:30:32 $150.00 18:30:37 $80.00 18:30:33 $0.00 $230.00 $4,660.0018:33:00 $50.00 $0.00 $0.00 $50.00 $4,890.0018:33:25 ($100.00) 18:33:50 $120.00 18:33:17 $0.00 $20.00 $4,940.0018:35:25 ($150.00) 18:35:43 $240.00 18:35:35 $0.00 $90.00 $4,960.0018:37:40 ($250.00) 18:38:18 ($80.00) 18:37:53 ($300.00) ($630.00) $5,050.0018:39:29 ($50.00) 18:39:30 ($120.00) 18:39:30 ($300.00) ($470.00) $4,420.0018:39:31 $50.00 18:39:41 $120.00 18:39:36 $0.00 $170.00 $3,950.0018:40:06 $50.00 18:40:25 $0.00 18:40:11 $240.00 $290.00 $4,120.0018:40:38 ($1,550.00) 18:41:06 $600.00 18:40:40 $360.00 ($590.00) $4,410.0018:46:07 $600.00 18:46:07 ($80.00) 18:46:06 $60.00 $580.00 $3,820.00

$0.00 18:46:17 ($280.00) 18:46:11 ($120.00) ($400.00) $4,400.0018:47:38 ($100.00) 18:47:38 $0.00 18:47:46 $0.00 ($100.00) $4,000.00

$0.00 18:47:41 ($80.00) $0.00 ($80.00) $3,900.0018:48:02 $750.00 18:48:16 ($280.00) 18:48:16 ($360.00) $110.00 $3,820.0018:49:43 $100.00 18:51:28 ($400.00) 18:50:02 ($180.00) ($480.00) $3,930.0018:51:58 ($50.00) 18:52:35 $0.00 18:52:35 ($120.00) ($170.00) $3,450.00

$0.00 18:54:36 $40.00 18:54:31 ($120.00) ($80.00) $3,280.0018:57:40 $100.00 18:57:51 ($200.00) 18:58:17 ($120.00) ($220.00) $3,200.0019:00:57 $150.00 19:01:03 ($200.00) 19:01:12 $180.00 $130.00 $2,980.00

$0.00 19:03:40 $0.00 19:04:04 ($120.00) ($120.00) $3,110.0019:05:52 ($450.00) 19:06:19 $320.00 19:06:19 $360.00 $230.00 $2,990.0019:13:47 $1,700.00 19:14:17 ($400.00) 19:14:46 ($780.00) $520.00 $3,220.0019:17:56 $350.00 $0.00 $0.00 $350.00 $3,740.00

$0.00 19:19:04 $0.00 19:17:57 $0.00 $0.00 $4,090.00

92

$0.00 $0.00 19:18:07 $0.00 $0.00 $4,090.0019:19:05 $450.00 19:19:20 $0.00 19:19:22 $180.00 $630.00 $4,090.0019:20:28 $250.00 19:21:06 $0.00 19:21:09 ($180.00) $70.00 $4,720.00

$0.00 19:24:33 $0.00 19:24:33 ($60.00) ($60.00) $4,790.0019:24:36 $1,000.00 19:24:40 ($280.00) 19:24:38 ($480.00) $240.00 $4,730.0019:27:47 $200.00 19:27:53 ($200.00) 19:28:01 ($120.00) ($120.00) $4,970.0019:29:33 ($200.00) 19:29:35 ($240.00) 19:29:35 ($60.00) ($500.00) $4,850.0019:30:02 ($200.00) 19:30:49 ($120.00) 19:30:06 ($60.00) ($380.00) $4,350.0019:30:36 $650.00 $0.00 19:30:16 $60.00 $710.00 $3,970.00

$0.00 $0.00 19:30:39 ($120.00) ($120.00) $4,680.0019:35:27 $150.00 19:35:39 $0.00 19:36:02 $0.00 $150.00 $4,560.0019:36:26 $100.00 19:36:36 ($80.00) 19:36:46 ($60.00) ($40.00) $4,710.0019:39:17 ($200.00) 19:39:30 ($80.00) 19:39:24 $0.00 ($280.00) $4,670.0019:40:39 $0.00 19:41:03 ($320.00) 19:41:03 $0.00 ($320.00) $4,390.0019:46:45 ($550.00) 19:47:04 $0.00 19:47:00 $120.00 ($430.00) $4,070.0019:47:10 ($100.00) 19:47:14 $160.00 19:47:11 $60.00 $120.00 $3,640.0019:47:48 $100.00 19:47:53 $0.00 19:48:22 $0.00 $100.00 $3,760.00

$0.00 19:49:56 $0.00 19:49:18 $0.00 $0.00 $3,860.0019:50:54 $200.00 19:50:58 $40.00 19:50:58 $0.00 $240.00 $3,860.0020:02:23 $250.00 20:02:17 $0.00 20:02:21 ($180.00) $70.00 $4,100.00

$0.00 20:02:27 ($120.00) 20:02:27 ($120.00) ($240.00) $4,170.0020:06:22 ($450.00) 20:06:46 $200.00 20:06:42 $360.00 $110.00 $3,930.0020:10:23 $350.00 20:11:00 ($400.00) 20:11:10 ($120.00) ($170.00) $4,040.0020:14:10 ($250.00) 20:14:12 $120.00 20:14:12 $120.00 ($10.00) $3,870.0020:14:22 $700.00 20:14:22 $0.00 20:14:22 $0.00 $700.00 $3,860.00

$0.00 20:14:24 ($160.00) 20:14:25 ($180.00) ($340.00) $4,560.0020:16:53 ($750.00) 20:16:57 $440.00 20:16:57 $60.00 ($250.00) $4,220.0020:20:18 $500.00 20:21:04 $160.00 20:20:31 ($240.00) $420.00 $3,970.0020:21:18 $100.00 20:21:22 $0.00 20:21:24 $240.00 $340.00 $4,390.00

$0.00 20:23:05 $0.00 20:23:06 $0.00 $0.00 $4,730.0020:23:11 $300.00 20:23:13 $0.00 20:23:13 $180.00 $480.00 $4,730.0020:23:18 ($800.00) 20:23:19 $280.00 20:23:20 $480.00 ($40.00) $5,210.00

$0.00 20:25:37 $0.00 20:25:37 $0.00 $0.00 $5,170.0020:25:39 ($550.00) 20:25:42 $200.00 20:25:45 $180.00 ($170.00) $5,170.0020:29:33 ($200.00) 20:29:39 $160.00 20:29:57 $0.00 ($40.00) $5,000.0020:32:08 $250.00 20:32:20 ($80.00) 20:32:20 $60.00 $230.00 $4,960.0020:32:24 $300.00 20:32:25 $0.00 20:32:34 $0.00 $300.00 $5,190.0020:32:41 ($200.00) 20:32:49 $0.00 20:32:50 $600.00 $400.00 $5,490.0020:35:26 ($400.00) 20:35:37 $200.00 20:35:46 $240.00 $40.00 $5,890.0020:40:55 $400.00 20:41:11 $0.00 20:40:56 ($300.00) $100.00 $5,930.0020:42:31 $0.00 20:42:53 $120.00 20:42:35 $300.00 $420.00 $6,030.0020:43:28 ($1,250.00) 20:43:32 $1,120.00 20:43:27 $840.00 $710.00 $6,450.0020:48:45 ($50.00) 20:48:50 $0.00 20:49:21 $120.00 $70.00 $7,160.00

$0.00 20:50:17 $0.00 20:50:19 $0.00 $0.00 $7,230.0020:51:02 $100.00 20:51:06 ($160.00) 20:51:04 $0.00 ($60.00) $7,230.00

$0.00 20:51:23 $0.00 20:51:11 $0.00 $0.00 $7,170.0020:51:25 $250.00 20:51:30 $0.00 20:51:26 $60.00 $310.00 $7,170.0020:52:48 $700.00 20:52:58 $0.00 20:52:49 ($300.00) $400.00 $7,480.0020:55:06 $50.00 20:55:12 $0.00 20:55:13 $300.00 $350.00 $7,880.0020:59:41 $350.00 20:59:53 ($400.00) 20:59:50 $180.00 $130.00 $8,230.0021:00:19 $350.00 21:00:25 ($120.00) 21:00:25 $0.00 $230.00 $8,360.0021:02:43 $600.00 21:02:53 ($480.00) 21:02:48 ($300.00) ($180.00) $8,590.0021:04:27 ($50.00) 21:04:40 $0.00 21:04:37 ($180.00) ($230.00) $8,410.0021:07:54 ($50.00) 21:07:55 $0.00 21:07:55 $60.00 $10.00 $8,180.0021:08:47 ($50.00) 21:08:54 $80.00 21:08:54 $240.00 $270.00 $8,190.0021:10:35 ($400.00) 21:10:40 $400.00 21:10:35 $300.00 $300.00 $8,460.00

93

21:12:19 ($50.00) 21:12:24 $0.00 21:12:24 ($60.00) ($110.00) $8,760.00$0.00 21:12:35 $0.00 21:12:39 $0.00 $0.00 $8,650.00

21:13:08 $550.00 21:13:13 ($120.00) 21:13:10 ($180.00) $250.00 $8,650.0021:13:30 $550.00 21:13:43 $40.00 21:13:41 ($120.00) $470.00 $8,900.00

$0.00 21:13:56 $40.00 21:13:56 $0.00 $40.00 $9,370.0021:14:14 ($100.00) 21:14:14 $0.00 21:14:14 $120.00 $20.00 $9,410.0021:14:35 $50.00 21:14:38 $0.00 21:14:43 ($120.00) ($70.00) $9,430.00

$0.00 21:15:02 $0.00 21:14:57 ($120.00) ($120.00) $9,360.0021:15:31 $0.00 21:15:40 $120.00 21:15:43 $0.00 $120.00 $9,240.0021:15:58 $550.00 21:16:14 ($120.00) 21:16:14 ($120.00) $310.00 $9,360.0021:16:59 $200.00 21:17:31 $0.00 21:17:07 $0.00 $200.00 $9,670.0021:17:55 ($150.00) 21:17:59 $80.00 21:18:19 $300.00 $230.00 $9,870.0021:23:00 $50.00 21:23:10 ($240.00) 21:23:03 $240.00 $50.00 $10,100.0021:23:11 $150.00 $0.00 21:23:48 $120.00 $270.00 $10,150.0021:25:15 $200.00 $0.00 21:25:44 $120.00 $320.00 $10,420.0021:27:56 ($350.00) 21:28:18 $80.00 21:28:20 $240.00 ($30.00) $10,740.0021:28:46 ($350.00) 21:28:46 $0.00 21:28:46 $0.00 ($350.00) $10,710.00

$0.00 21:28:48 $280.00 21:28:48 $240.00 $520.00 $10,360.0021:35:19 ($300.00) 21:35:23 $200.00 21:35:23 $120.00 $20.00 $10,880.0021:35:54 $50.00 21:35:50 $80.00 21:36:01 $60.00 $190.00 $10,900.0021:36:33 $100.00 21:36:47 $120.00 21:36:41 $120.00 $340.00 $11,090.00

$0.00 21:37:56 $0.00 21:37:56 $120.00 $120.00 $11,430.0021:38:26 $450.00 21:38:31 ($40.00) 21:38:31 ($120.00) $290.00 $11,550.0021:38:55 $500.00 21:39:19 ($240.00) 21:39:08 ($300.00) ($40.00) $11,840.0021:41:57 ($100.00) 21:42:02 $120.00 21:42:03 $60.00 $80.00 $11,800.0021:42:11 $650.00 21:42:15 ($240.00) 21:42:15 ($180.00) $230.00 $11,880.0021:46:45 $250.00 21:46:49 ($40.00) 21:46:49 $0.00 $210.00 $12,110.00

$0.00 21:47:02 ($40.00) 21:47:02 $0.00 ($40.00) $12,320.0021:47:06 ($400.00) 21:47:09 $80.00 21:47:09 $300.00 ($20.00) $12,280.0021:50:22 ($550.00) 21:50:25 $280.00 21:50:23 $180.00 ($90.00) $12,260.00

$0.00 21:51:43 $200.00 21:51:43 $60.00 $260.00 $12,170.0021:51:46 ($50.00) 21:51:50 ($40.00) 21:51:50 $120.00 $30.00 $12,430.0021:51:51 $200.00 21:52:07 ($120.00) 21:52:07 ($120.00) ($40.00) $12,460.00

$0.00 21:52:22 $0.00 21:52:22 $0.00 $0.00 $12,420.0021:52:31 $300.00 21:52:43 $80.00 21:52:36 $0.00 $380.00 $12,420.0021:52:53 ($50.00) 21:52:56 $0.00 21:52:56 ($240.00) ($290.00) $12,800.0021:54:47 $0.00 21:55:03 $0.00 21:54:55 ($180.00) ($180.00) $12,510.0021:55:10 ($100.00) 21:55:23 $120.00 21:55:23 $240.00 $260.00 $12,330.00

$0.00 21:55:52 $0.00 21:55:52 $0.00 $0.00 $12,590.0021:56:13 $600.00 21:56:15 ($120.00) 21:56:15 ($60.00) $420.00 $12,590.0021:56:35 ($50.00) 21:56:37 $160.00 21:56:37 $0.00 $110.00 $13,010.0021:56:49 21:56:49 21:56:49 $13,120.00

94