Kat en Muis Spel

Een workshop over katten, muizen en nadenken in de

Informatica

Informatica Ouderdag 2009 Gerard Tel

Wat is Informatica?

• Gaat over computers en programmeren

• Ontwerp-wetenschap• Logische en

kwantitatieve onderbouwing

• Berekenen (Wisk Tech)• Beredeneren (Logica)

Probleemstelling: Muizen vangen

1. Kattenwereld: 1. gangen: twee kanten op2. kruisingen: keuze3. èèn geheel: alles

bereikbaar

2. Er liggen slome muizen3. Startpunt: kat 4. Train de kat zo, dat hij

alle muizen vindt

Wij gaan dit uitproberen met vrijwilligers.

Beperking: Geen globaal overzicht

Doel: Vind alle muizen.

Middelen: Op kruisingen neemt de kat een beslissing.

Inzet: Hoe moet hij kiezen? Wat moet hij onthouden?

Reflectie: Vindt hij zeker alle muizen?Wat kost het?

Kat 0.0: Rent door kattenwereld

Regel 0:Doorgeven van kat mag alleen via een gang.

Zin van Regel 0?• Doet niets• Stopt nooit• Vindt sommige muizen?

Kat is nog niet voldoende getraind.

Kat 1.0: Geen herhaling

(Regel 0 blijft gelden.)

Regel 1: Geen tweede maal dezelfde gang in vanaf dezelfde kant.

(Administratie: )

Gevolg van Regel 1:

• Het stopt (waarom??)

• Boemerang: hij stopt in het startpunt!

Eindig aantal ongeblokkeerde gang-einden;“Voorraad” neemt elke stap af.

Is dit toeval of een onvermijdelijk gevolg van hoe de kat is getraind?

Bewijs van boemerangeffect

• Stel in A, niet startpunt, zit .

• Aantal keren binnengekomen: k

• Gang heeft twee richtingen.

• A heeft tenminste k gangen,en pas (k-1) maal vertrokken.

• A HEEFT EEN ONGEBRUIKTE GANG:

Gevolg Regel 1: Kat stopt in het startpunt

De kat kan niet vastlopen in een kruising die niet het startpunt is.

Ziet de kat alle gangen?

Het kan… … maar het hoeft niet …

wel niet

geweest… en we willen het wel!

HOE krijgen we dat voor elkaar?

Kat 2.0: Eerste gang uitstellen

(Regels 0 en 1 blijven gelden.)

Regel 2:• Onthoud waar je het eerst binnenkwam (

)• Ga pas daarheen als je niet anders kan• (Startpunt: geen )

Gevolg van Regel 2:• De kat komt overal

Wat gebeurt er in het startpunt?

• Regels 0 en 1 gelden nog…De gevolgen ervan dus ook:

• De kat keert terug in het startpunten stopt omdat alle gangen gemerkt zijn

• Hij is evenvaak teruggekomen als vertrokken

• Elke gang wordt tweemaal gebruikt(bij het startpunt)

Direct gevolg: Alles of NietsVan elke bezochte kruising,

werd elke gang tweemaal gebruikt.

• Van startpunt weten we dat al.

• Stel: Er is een kruising A met: (meegedaan, niet alles 2x)

• Kies de eerst-ontdekte die dat heeftnoem de kruising waar de kat toen vandaan kwam, B.

• Bij B is alles 2x gebruikt, ook de lijn AB !

• Dus A stuurde een keer naar B: tegen Regel 2!!

AB

De kat komt overal

• Gevolg van Regel 2:Van elke kruising (zoals B) die bezocht is,zijn alle buren (zoals A) ook bezocht.

• Dus: startpunt, buren van startpunt, buren van buren van startpunt, … (“et cetera”)

• Alles bereikbaar:dit geldt voor allepunten

11

1

2

2

2

2

3

Inductie naar de afstand tot de startknoop

Wat hebben we geleerd?

1. Kattenwereld te groot voor overzicht2. Muizen zoeken: strategie nodig3. Strategie met lokale informatie is

mogelijk

4. De spelregels zijn simpel …5. … het geheel moeilijker te doorgronden

6. Wiskundig modelleren en beredeneren is nodig om het geheel te snappen uit de delen