BOLMEETKUNDE en CARTOGRAFIE

voorbereidend materiaalSum of Us

INTERNATIONAAL WISKUNDETOERNOOI 2016

september 2016

Het Internationaal Wiskundetoernooi bestaat uit twee onderdelen: de estafette inde voormiddag en Sum of Us in de namiddag. In het namiddagprogramma, metwat uitgebreidere opgaven dan in de voormiddag, wordt telkens aandacht besteedaan een thema waarin de toepassing van wiskunde belangrijk is. Om een beetjevoorbereid aan Sum of Us te beginnen, wordt voorbereidend materiaal beschikbaargesteld, waarin alvast iets verteld wordt over de wiskunde die voor dit thema nuttigis. Ook staan er oefenopgaven in. Het bestuderen van dit materiaal is niet striktnoodzakelijk om de namiddagopgaven van het toernooi te kunnen maken, maarhet kan wel helpen!

Antwoorden bij de opgaven worden circa één week voor het toernooi op de web-site geplaatst.

Dit jaar heeft het thema te maken met het bepalen van de positie op de aarde enhet bepalen van reisroutes met behulp van kaarten van de wereld. Emeritus profes-sor Arnoud van Rooij van de Radboud Universiteit Nijmegen heeft bijgaande tekst,met opgaven, over bolmeetkunde en projecties geschreven en de illustraties zijn ver-vaardigd door dr. Michiel de Bondt. We zijn hen hiervoor zeer erkentelijk, evenalsTey Berendschot en Abel Vleeshouwers die voor de tekstverwerking en -verbeteringhebben gezorgd. Veel plezier!

De organisatorenProfessor Wieb Bosma (Radboud Universiteit Nijmegen),

Professor Rainer Kaenders (Universität Bonn),Professor Joeri Van der Veken (KU Leuven).

1

1 Bolmeetkunde

Een landkaart is een afbeelding van een stuk van het aardoppervlak op, zeg, een bladpapier. Voor een bruikbare landkaart wil je graag dat de afbeelding gelijkvormig ismet het orgineel: rechte lijnen (of wat we waarnemen als rechte lijnen op het aard-oppervlak) moeten rechte lijnen worden, cirkels moeten cirkels worden, hoeken opde kaart dienen gelijk te zijn aan de hoeken in het orgineel en afstanden moeten metdezelfde factor geschaald worden. Met een platte aarde zou dat in principe te doenzijn. Had de aarde de vorm van een kubus, dan ook nog wel. Echter, zoals sindsongeveer het jaar 500 voor het begin van onze jaartelling bekend is, is de aarde eenbol. En dat schept problemen. Met de wiskundige kanten daarvan gaan we ons hierbezig houden. We beginnen met wat taal. Een kaart van een deel van de aarde heet

• hoekgetrouw als de hoeken op de kaart gelijk zijn aan die op de aarde;

• lengtegetrouw als alle afstanden met eenzelfde factor vermenigvuldigd wor-den;

• oppervlaktegetrouw als alle oppervlaktes met eenzelfde factor vermenigvul-digd worden.

Idealiter zou je een kaart willen die al deze eigenschappen heeft, maar dat blijktniet te kunnen. We zullen enkele gangbare methodes onderzoeken waarmee je eenkaart kunt maken die sommige van deze eigenschappen heeft. Daartoe verdiepenwe ons in de meetkunde van het boloppervlak. Hoe zit het daar bijvoorbeeld methoeken, driehoeken en cirkels? We maken onderscheid tussen een (massieve) bolen een boloppervlak. Dat laatste wordt in de wiskunde ook wel een sfeer genoemd.

Cirkels

Een cirkel op een boloppervlak is per definitie de doorsnede van het boloppervlakmet een plat vlak (dat de bol niet raakt en er ook niet los van ligt).

Een speciaal geval van een cirkel op een boloppervlak is een grootcirkel. Een groot-cirkel krijg je als het vlak door het middelpunt van de bol gaat. Zo’n grootcirkel heeft

2

hetzelfde middelpunt en dezelfde straal als de bol. Op de aarde is de evenaar eengrootcirkel. Een meridiaan (een lijn van pool naar pool) is een halve grootcirkel.

Bogen

Als A en B twee punten op een sfeer zijn, verschillend van elkaar en niet preciestegenover elkaar, dan is er juist één grootcirkel die door A en door B gaat. De puntenA en B verdelen de grootcirkel in twee delen waarvan het ene korter en het anderelanger is dan een halve grootcirkel. Het korte deel noemen we de boog tussen A enB , afgekort: ÙAB .

Opgave 1. Wat gaat er mis als A = B? Wat gaat er mis als A en B wél precies tegenoverelkaar liggen?

Afstand

Tussen twee punten op een sfeer heb je twee soorten afstand: de afstand over hetboloppervlak (die je gewoonlijk bedoelt als je het op de aarde bijvoorbeeld hebtover de afstand tussen Amsterdam en Brussel) en de afstand “binnendoor”, langsde koorde.

A

B

A

B

Het begrip “afstand over het boloppervlak” moet nog wat preciezer gemaakt wor-den. Denk (op de aarde bijvoorbeeld) aan een weg van A naar B die “rechtdoor gaat”voor zover de kromming dat toelaat. Dit is een deel van een grootcirkel. De kortsteweg tussen A en B op het boloppervlak is eveneens een stuk van een grootcirkel. AlsA en B verschillend zijn en niet precies tegenover elkaar liggen, is het de boog ÙAB .Dit motiveert de volgende definitie.

De afstand tussen twee punten A en B op een sfeer is de lengte van de boog ÙAB(en is dus minder dan de helft van de bolomtrek); je ziet zelf wel wat de afstand moetzijn als A en B samenvallen of tegenover elkaar liggen en je niet over de boog tussenA en B kunt spreken. De afstand tussen A en B noteren we als |ÙAB |.

De lengte van de koorde tussen twee punten A en B op een sfeer noteren wegewoon met |AB |. Als A en B verschillend zijn, dan is |ÙAB | > |AB |. Bij gelijke af-standen horen bovendien even lange koorden. Preciezer gezegd: als A, B , C en Dpunten op een sfeer zijn en |ÙAB | = |ÙC D|, dan is ook |AB | = |C D| en omgekeerd.

3

A B

A

B

C D C

D

Bovendien geldt dat als |ÙAB | > |ÙC D|, ook |AB | > |C D|.

Hoeken

In het vlak heb je hoeken tussen twee rechten, of liever tussen twee halve rechtenmet eenzelfde eindpunt.

In de bolmeetkunde spelen grootcirkels de rol van rechte lijnen. Stel dat je tweehalve grootcirkels hebt met eenzelfde beginpunt P (en dus ook eenzelfde eindpunt,namelijk het punt van de sfeer dat precies tegenover P ligt). Dan is P het eindpuntvan twee halve rechten die in P aan de halve grootcirkels raken en we definiëren dehoek tussen de halve grootcirkels als de hoek tussen deze halve rechten (die beidenin het raakvlak aan de sfeer in P liggen).

Je kan deze definitie eenvoudig aanpassen om de hoek tussen twee bogen ÙAB enÙBC te bepalen en zo de hoek ^ABC te definiëren.

Driehoeken

Ook hier spelen grootcirkels de rol van rechte lijnen. Als A, B en C drie punten opeen sfeer zijn die niet op één grootcirkel liggen, dan bepaalt elk tweetal hiervan eengrootcirkel. De drie grootcirkels die je zo krijgt, verdelen de sfeer in acht stukken.Zo’n stuk noemen we een (bol)driehoek. Eén van de stukken bevat de drie gegevenpunten; dat stuk duiden we aan met 4ABC .

4

A B

C

Opgave 2. Op de evenaar liggen punten A en B respectievelijk op 40◦ en 120◦ tenwesten van de nulmeridiaan. Bepaal de hoeken van 4AB N , waar N de noordpoolis.

Bolcirkels

We hebben een cirkel op een sfeer gedefinieerd als de doorsnede van de sfeer meteen vlak, maar nu we beschikken over een afstandsbegrip op de sfeer, ligt een an-dere definitie voor de hand. Voor een punt P op een sfeer en een positief getal rdat kleiner is dan de halve omtrek van de sfeer, definiëren we de bolcirkel met mid-delpunt P en straal r als de verzameling van alle punten op de sfeer die op afstandr van P liggen (over de sfeer gemeten). We leggen hieronder uit dat cirkels en bol-cirkels dezelfde objecten zijn.

PA

M

Beschouw een bolcirkel met middelpunt P en straal r . Het middelpunt van de bolnoemen we M . Kies een punt A op de bolcirkel, dus |ÙAP | = r . Laat V het vlak doorA zijn, loodrecht op de lijn MP . Laat het geheel wentelen om MP . Het vlak V blijftdaarbij als geheel op zijn plaats en de baan die A beschrijft ligt volledig op de sfeer.Enerzijds bestaat deze baan uit de punten van de sfeer die even ver van P af liggenals A (zowel gemeten langs de koorde als in de afstand op de sfeer); de baan van A isdus onze bolcirkel. Anderzijds blijft A bij de wenteling in het vlak V en is deze baande doorsnede van de sfeer met V ; een cirkel in de zin van de definitie aan het beginvan het hoofdstuk.

Opgave 3. Ga na: op een lengtegetrouwe kaart komen (delen van) cirkels overeenmet (delen van) cirkels op aarde.

5

Opgave 4. (Gebruik desgewenst resultaten van voorafgaande opgaven.) Veronders-tel dat we een lengtegetrouwe kaart van een stuk van het aardoppervlak hebben.

Neem op de kaart een regelmatige zeshoek ABC DEF en noteer met M het mid-delpunt van zijn omgeschreven cirkel.

A B

C

DE

F

M

Bij de punten A,B , . . . ,F, M horen op het aardoppervlak punten A′,B ′, . . . ,F ′, M ′.

(1) Laat zien dat de twaalf bogen ÚA′B ′, ÚB ′C ′, . . . , ÚF ′M ′ even lang zijn.

(2) Laat zien dat de punten A′,B ′, . . . ,F ′ op een cirkel in een vlak liggen. Noem decirkel Γ en het vlak V .

(3) Laat zien dat de twaalf koorden A′B ′,B ′C ′, . . . ,F ′M ′ even lang zijn.

6

We hebben in de driedimensionale ruimte een zeskantige piramide

A′ B ′

C ′

D ′E ′

F ′M ′

(4) Laat zien dat A′,B ′, . . . ,F ′ en regelmatige zeshoek in V vormen en dat de straalvan Γ gelijk is aan |A′B ′|.

(5) Laat tenslotte zien dat M ′ in V ligt, en wel midden tussen A′ en D ′ . . .

(6) . . . en dat M ′ dus niet op het aardoppervlak kan liggen!

De moraal is dat je geen lengtegetrouwe kaart van een stuk van het aardoppervlakkan maken. (Tenminste...)

De Cosinusformule

Op de evenaar liggen de steden Quito (in Ecuador) en Kampala (in Uganda). Quitoligt 80◦ ten westen, Kampala 30◦ ten oosten van de nulmeridiaan.

Q K

NN=noordpool

nulmeridiaan

evenaar

Q

K

N

30◦

80◦

bovenaanzicht

N=noordpool

nulmeridiaan

De lengte van de evenaar is 40 000 km, verdeeld over 360 graden. Eén graad langs deevenaar is dus 40000

360 km, en de afstand van Kampala tot Quito is (30+80) 40000360 km,

pakweg 12 000 km. Soms is het beter een afstand niet in kilometers uit te drukken,maar in graden. In die taal ligt Quito 110◦ van Kampala af, en Kampala 90◦ van denoordpool. Alle afstanden zijn hoogstens 180◦.

Laat nu 4ABC een driehoek op een bol zijn met hoeken α, β en γ, en laat a, ben c de lengtes van de overstaande zijden zijn, dus de lengtes van de bogen ÙBC , ÙC Aen ÙAB respectievelijk, gemeten in graden. Dan geldt

cosb = (cosc)(cos a)+ (sinc)(sin a)(cosβ).

7

c

ab

A B

C

α β

γ

We gaan deze formule hier niet bewijzen; het bewijs is niets diepzinnigs, maar welvervelend knoeiwerk. De volgende opgave illustreert wel waar de fomule goed voor.

Opgave 5. Houston in de USA ligt op 30◦ noorderbreedte en op 95◦ westerlengte.Gebruik de driehoek Houston-noordpool-Kampala om de afstand tussen Houstonen Kampala te berekenen, in graden en in kilometers.

Oppervlakte

We bekijken hier een sfeer met straal 1. Zijn oppervlakte bedraagt 4π. In deze sectiemeten we hoeken in radialen.

Een lune (=maan) is een stuk van de sfeer dat ingesloten wordt door twee halvegrootcirkels die dezelfde eindpunten hebben. De hoek van zo’n lune is de hoek diede halve cirkels met elkaar maken.

Heeft een lune een hoek van 2π7 , dan bestaat de volledige sfeer uit 7 kopieën ervan.

De oppervlakte van de lune is dus 17 maal de oppervlakte van de sfeer: 4π

7 . In hetalgemeen heeft een lune met een hoek α oppervlakte 2α.

We berekenen nu de oppervlakte van een (bol)driehoek. De zijden van zo’n driehoekzijn stukken van drie grootcirkels. De drie hele grootcirkels verdelen de sfeer inachten. Noem de acht delen A, B, C, D, A′, B′, C′ en D′. Laat D de driehoek zijn dieons interesseert en laat zijn hoeken α, β en γ zijn. We mogen bovendien veronder-stellen dat A′ het stuk van de sfeer is dat precies tegenover A ligt en dat, op dezelfdemanier, B′ tegenover B, C′ tegenover C en D′ tegenover D ligt. In het bijzonder heeftA′ dezelfde oppervlakte als A, B′ als B, C′ als C en D′ als D (zie onderstaande figuur).

8

α β

γ

D

A

A′

B

B′

C

C′

vooraanzicht

D′

A′

A

B′

B

C′

C

achteraanzicht

A en D vormen samen een lune met hoek α, dus

oppA+oppD = 2α.

Analoog vinden we

oppB+oppD = 2β,

oppC+oppD = 2γ.

De totale oppervlakte van de sfeer (4π) is de som van de oppervlaktes van A,B, . . . ,D′,dus tweemaal de som van de oppervlaktes van A,B,C en D. Delen door 2 levert

2π= oppA+oppB+oppC+oppD

en als we oppA, oppB en oppC vervangen met behulp van de drie voorgaande ge-lijkheden, krijgen we 2π= 2α+2β+2γ−2oppD. We besluiten dus

oppD =α+β+γ−π.

Deze formule leert ons dat de som van de hoeken van een boldriehoek groter isdan π. Het positief getal α+β+γ−π noemt men ook wel het sferisch exces van deboldriehoek D.

We hebben hier een sfeer met straal 1 bekeken. Een sfeer met straal R heeft op-pervlakte 4πR2 en de oppervlakte van een driehoek met hoeken α, β en γ op zo’nsfeer bedraagt (α+β+γ−π)R2.

In de volgende hoofdstukken onderzoeken we een paar methodes om van een stukboloppervlak kaarten te maken. We zullen soms doen alsof de bol de aarde is, enspreken van een “noordpool” of een “evenaar”; we zullen er ook niet voor terug-schrikken de aarde op een stuk papier te leggen. Voor alle duidelijkheid: de werke-lijke aarde heeft een noord- en een zuidpool. Dit zijn bijzondere punten in verbandmet de aswenteling van de aarde, maar dat heeft met ons onderwerp niets te maken.Er zijn zekere praktische voordelen aan dat je, bijvoorbeeld, de meridianen op dekaart aangeeft met verticale lijnen en niet met scheve, en het is traditie de noord-pool boven te hebben. Dat zullen wij ook doen, maar daar zit niets meer achter dandat je in de vlakke meetkunde een driehoek meestal zo tekent, en niet zo .

9

2 Cilinderprojecties

Hier begin je met een cilinder die langs de evenaar om de aarde gewikkeld is. Op decilinder beeld je het aardoppervlak af en vervolgens wikkel je de cilinder af. Voor deconstructie van de afbeelding zijn een aantal methodes gangbaar, we bespreken ertwee. Beide methodes hebben de volgende eigenschappen: elk punt van de evenaarwordt op zichzelf afgebeeld; de meridiaan door een punt P van de evenaar wordtafgebeeld op (een deel van) de verticale lijn door P ; breedtecirkels gaan naar hor-izontale cirkels op de cilinder (die we gemakshalve ook breedtecirkels zullen noe-men), noordelijke naar noordelijke breedtecirkels en zuidelijke naar zuidelijke. Hetverschil tussen de methodes zit er dus alleen in op welke hoogtes de diverse breedte-cirkels terechtkomen. Je ziet dat er problemen ontstaan bij de polen. Die moeten webij onze projectie weglaten.

Dat je een kaart krijgt die 40 000 km breed is, moet je maar voor lief nemen. Wezouden ook alles met een constante factor kunnen verkleinen, maar dat maakt hetalleen maar gecompliceerder.

2.1 De vierkantenkaart

Dit is een van de oudste manieren om de aarde af te beelden; hij wordt rond het jaar100 genoemd door Marinus van Tyrus en is nog steeds van nut.

De vierkantenkaart is zó ingericht dat de breedtecirkel op afstand r van de eve-naar op het aardoppervlak overgaat in de breedtecirkel op afstand r van de eve-naar op de cilinder. Na afwikkeling van de cilinder heb je een rechthoekige kaart,tweemaal zo breed als hoog.

Teken op het aardoppervlak de meridianen bij 0◦, 10◦, 20◦, . . . , 180◦ en bij −10◦,−20◦, . . . ,−180◦, alsmede de breedtecirkels bij 0◦, 10◦, 20◦, . . . , 90◦ en −10◦, −20◦,. . . , −90◦ (de meridianen van 180◦ en −180◦ vallen samen, de “breedtecirkels” van±90◦ zijn de polen). Zo verdeel je de sfeer in vakjes, vierkantachtig of (bij de polen)driehoekig. De vierkantachtige gaan onder de projectie over in echte vierkanten,vandaar de naam.

10

zij-aanzicht

vierkantenkaart

De breedtecirkels op de aarde worden horizontale lijnstukken op de kaart, alle-maal even lang, terwijl de breedtecirkels dat niet zijn. De kaart vertoont dus eenuitrekking in de horizontale richting. Hoe hoger je komt, des te erger de uitrekking(aan de evenaar is er geen uitrekking). In de verticale richting zijn de afstanden opde aarde en op de kaart gelijk. Je krijgt dus een vertekend beeld. In de buurt van deevenaar valt het wel mee, maar bij de polen loopt de vertekening uit de hand, en depolen zelf komen op de kaart niet voor.

We kunnen de vertekening zichtbaar maken met de vertekeningsellipsen. Stelje kleine cirkeltjes voor op het aardoppervlak. Op de kaart worden die horizontaaluitgerekt, verticaal niet. Wat je op de kaart ziet zijn ellipsachtige figuurtjes.

vertekening van vierkantenkaart

Opgave 6. De lengte van de evenaar bedraagt 40 000 km. Hoe lang is op de aardede 60◦-breedtecirkel? Hoe lang is zijn beeld op de vierkantenkaart? Een lijnstuk opaarde, ter lengte van 2 meter, langs de 60◦-breedtecirkel wordt op de kaart weergegevenals ...?

11

60◦zijaanzicht

breedtecirkel

evenaar

Opgave 7. (De vierkantenkaart is niet hoekgetrouw.) Stel je op het aardoppervlak,op de 60◦-breedtecirkel, een vierkant ABC D voor met zijden van 1 meter, met ABen C D in oost-west-richting, en BC en D A noord-zuid. Op de kaart krijg je eenrechthoek A′B ′C ′D ′ met A′B ′ en C ′D ′ horizontaal en B ′C ′ en D ′A′ verticaal.

(1) Hoe lang zijn A′B ′ en B ′C ′?

(2) Hoe groot is de tangens van ^C AB op de aarde? En die van ^C ′A′B ′ op dekaart?

Je zou moeten vinden dat ^C AB 6=^C ′A′B ′. (Toegegeven, de redenering is niet wa-terdicht: er zijn op een sfeer geen vlakke vierkanten en al helemaal niet met allehoekpunten op dezelfde breedtecirkel. Maar ze bestaan wel bij een heel goede be-nadering, terwijl ^C AB veel verschilt van ^C ′A′B ′.)

Opgave 8. Laat zien dat de vierkantenkaart niet oppervlaktegetrouw is (vergelijk metde vorige opgave).

Je hebt vast wel opgemerkt dat we in plaats van vertekeningsellipsen ook “verteken-ingsrechthoeken” hadden kunnen nemen (ellipsen geven mooiere tekeningen, maarer zijn ook minder frivole redenen om ellipsen te kiezen; voor ons spelen deze echtergeen rol).

Opgave 9. Hoe zullen de vertekeningsellipsen eruit zien bij een hoekgetrouwe kaart?

2.2 De Mercatorprojectie

De Mercatorprojectie is een vinding uit 1569 van de Vlaamse cartograaf GerardusMercator. Het is een verbetering van de vierkantenkaart, die wél hoekgetrouw is.De vierkantenkaart rekt in horizontale richting uit, sterker naarmate je dichter bijde pool komt en de Mercatorkaart corrigeert dit door de vierkantenkaart nog eensverticaal uit te rekken. Iets preciezer gezegd: Op elke hoogte rekt de vierkantenkaartin de breedte uit met een of andere factor (2 bijvoorbeeld, op hoogte 60◦). Mercatorneemt, bij wijze van spreken, de vierkantenkaart en rekt die met dezelfde factor ver-ticaal uit.

12

zij-aanzicht

kaart van Mercator

vertekening van kaart van Mercator

13

De vertekeningsellipsen op bovenstaande figuur laten inderdaad vermoeden dat deMercatorprojectie hoekgetrouw is en zoals boven vermeld is ze dat ook; het preciezebewijs zullen we hier niet geven.

De breedtecirkel die hoort bij breedtegraad α op de aarde wordt bij de Mercator-projectie een horizontale lijn op hoogte

1

2ln

(1+ sinα

1− sinα

)·R,

waarbij R de straal van de aardbol is. In de dagen van Mercator was de logaritmenog niet uitgevonden, hij beschikte dus niet over bovenstaande formule en om zijnkaart te kunnen maken!

Opgave 10. Ga na dat de Mercatorprojectie niet oppervlaktegetrouw is.

Een belangrijke toepassing van de Mercatorprojectie zullen we later nog zien.

2.3 De kaart van Lambert

α◦

zijaanzicht als in opgave 6

lengte evenaar in km = 40000

lengte breedtecirkel in km = 40000 ·cosα

Bij de vierkantenkaart wordt op breedte α horizontaal uitgerekt met een factor 1cosα

(zie opgave 6). Mercator rekt op die breedte de vierkantenkaart verticaal uit metdezelfde factor 1

cosα . Het resultaat is dat vierkantjes op aarde overgaan in vierkant-

jes, maar dat oppervlaktes (op breedte α) vermenigvuldigd worden met ( 1cosα )2. De

Zwitser Lambert gaat in 1772 ook uit van de vierkantenkaart, maar vermenigvuldigtverticaal met cosα. Het gevolg is dat de horizontale uitrekking nog versterkt wordt,maar dat de oppervlaktes met 1 vermenigvuldigd worden: de kaart van Lambert isoppervlaktegetrouw.

zij-aanzicht kaart van Lambert

14

Het blijkt dat de α-breedtecirkel op de kaart een horizontaal lijnstuk wordt (allicht!)op hoogte R sinα boven de evenaar, waar R de straal van de aarde is.

vertekening van kaart van Lambert

3 Azimutprojecties

Bij cilinderprojecties beelden we het aardoppervlak af op een cilinder, vanuit de asvan de cilinder. Bij azimutale projecties ligt de afbeelding meteen in een plat vlak.Stel je een globe van beschilderd glas voor, met een lamp binnenin. Wat je op dekamerwand ziet is een azimutaal beeld van het aardoppervlak.

3.1 Stereografische projectie

Hier zit de lamp niet binnenin, maar op de noordpool N . Je kijkt naar het beeld datontstaat in het raakvlak aan de zuidpool Z .

beeldvlak

N

Z

P

P ′

Een punt P van de sfeer levert een punt P ′ op de kaart op: het snijpunt van delijn N P met het raakvlak te Z . Elk punt van de sfeer geeft zo één punt op de kaart,behalve N (Die “noordpool” is natuurlijk maar een keuze, vanuit ieder punt van desfeer kun je projecteren naar het raakvlak aan de overkant).

15

stereografische projectie

vervorming van stereografische projectie

Opgave 11. Ga na wat er kan gebeuren als je projecteert op het raakvlak aan de zuid-pool, maar vanuit een ‘projectiecentrum’ dat niet de noordpool is.

16

Opgave 12. Bij de cilinderprojecties bestaat de kaart uit een rechthoek of een oneindiglange strook. Ga na dat bij de stereografische projectie ieder punt van het raakvlakte Z aan de beurt komt: de kaart beslaat het hele vlak.

Men kan bewijzen dat de stereografische projectie hoekgetrouw is.

3.2 De gnomonische projectie

Hier zet je de lamp in het middelpunt van de sfeer en je projecteert op een raakvlak.Je projecteert dan niet de hele sfeer, maar alleen de helft die naar het vlak gekeerd is.

beeldvlak

M

Z

P

P ′

gnomonische projectie

17

vervorming van gnomonische projectie

Opgave 13. Hoe ziet het beeld eruit van een (stuk van een) grootcirkel?

3.3 Even terug naar Mercator

We kunnen nu zien waarvoor Mercator zijn kaart uitvond. Het ging om het bepalenvan de koers van een schip ergens midden op de oceaan. Als je van A naar B wiltvaren, ligt voor de hand dat je de kortste weg neemt: een stuk grootcirkel. Op eengnomonische kaart wordt dat een recht lijnstuk (dat heb je in opgave 13 wel gezien),dus je zou verwachten dat zeevaarders met gnomonische kaarten werkten. Maarhoe volg je midden op zee een koers die zo uitgezet is? Zeg, je wilt van Lissabonnaar New York, beide op 40◦ noorderbreedte. De kortste weg, een stuk grootcirkel,loopt vanuit Lissabon eerst noordwest, dan west, dan zuidwest naar New York (niethelemaal een poolroute, maar wel zoiets, halverwege de reis zit je op 45◦ noorder-breedte). Een zeeman in de zestiende eeuw beschikte over een kompas en wist hoehij noordwest moest varen, maar om op de juiste plaats naar west af te buigen di-ende hij te weten hoever op zijn route hij was, en dat kon alleen door te schatten hoesnel hij gevaren had.

18

Wat hij in werkelijkheid deed was de 40◦-breedtecirkel volgen. Dat kon hij: lood-recht op de kompasrichting varen. Zo had hij niet de kortste weg, maar hij arriveerdewaar hij wezen wilde.

Lissabon-New-York is een simpel voorbeeld, maar het gaat erom dat de zeemanin staat was om een route te volgen die overal dezelfde hoek maakte met de kompas-richting (=meridiaan). En wélke hoek hij moest kiezen om van A naar B te komenkon hij zien op de kaart van Mercator. Omdat die hoekgetrouw is, maakte zijn routeop de kaart ook overal dezelfde hoek met de meridiaan: het was dus een recht lijn-stuk.

Op een sfeer zijn de grootcirkels de wegen die je volgt wanneer je alsmaar recht-door blijft lopen; daarom noemt men ze ook wel orthodromen (van ‘ortho-’, recht,rechtdoor en ‘-dromos’, loop). De lijnen die met alle meridianen eenzelfde hoekmaken heten loxodromen (van ‘loxo-’, scheef).

4 Iets over het aardmagnetisme

We hebben hierboven de kompasrichting gelijkgesteld aan de meridiaan, maar daarvalt wel wat op af te dingen. In West-Europa wijst een kompasnaald niet precies naarhet noorden, maar 1 of 2 graden naar het westen.

De aarde wordt omgeven door een magnetisch veld. Dat veld zit erg ingewikkeldin elkaar en veel ervan is nog onbekend, maar het grootste deel kun je beschrijvenalsof het veroorzaakt wordt door een staafmagneet binnenin de aarde.

schets van aardmagnetisch veld

Z

N

De polen daarvan ziten ruwweg één derde van de aardstraal onder de oppervlakte.In werkelijkheid is er niet zo’n staafmagneet; het krachtenveld wordt veroorzaaktdoor allerlei, onregelmatige stromingen in het vloeibare deel van de aarde.

De punten van het aardoppervlak boven de polen van die theoretische staaf-magneet heten de magnetische polen van de aarde. Die vallen niet samen met degeografische polen – de aardmagneet ligt niet langs de draaiingsas van de aarde ende magnetische polen liggen niet tegenover elkaar.

19

Een kompas wijst in principe naar de magnetische noordpool. Toevallig ligt dievanuit Leuven, Nijmegen of Bonn gezien dus ongeveer in dezelfde richting als degeografische. De afwijking is zó klein dat men eeuwen met kompassen gewerkt heeftvoordat men (Columbus) het merkte. De afwijking heet ook wel de declinatiehoek.

Tot slot nog dit: misschien vraag je je af waarom in de laatste figuur de “staaf-magneet” in de aarde met zijn pool N naar beneden wijst, waar we gewoonlijk hetzuiden tekenen? Dat is omdat we bij een echte staafmagneet (zoals de naald vaneen kompas) het uiteinde dat wordt aangetrokken door de noordpool van de aardede noordpool N noemen. Omdat het juist tegengestelde polen van staafmagnetenzijn die elkaar aantrekken, ligt de zuidpool van de staafmagneet in de aarde dus bijde noordpool.

20