INSTANTONES DE t'HOOFT SOBRELA 4-ESFERA 84

MARLIO PAREDES GUTIERREZ

UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Santiago de Cali, 1991

INSTANTONES DE t'HOOFT SOBRELA 4-ESFERA 84

MARLIO PAREDES GUTIERREZ

TESIS DE GRADO PRESENTADA COMOREQUISITO PARCIAL PARA OPTAR ELTITULO DE MAGISTER EN MATEMA-TICAS.

Director: CARLOS J. RODRlGUEZ BProfesor TitularDepartamento de MatemáticasUniversidad del Valle.

UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Santiago de Cali, 1991.

NOTA DE ACEPTACION

Apvo bt.c. d~

LI~~~ L.<J'") "\)CARLOS J. RODRIGUEZ B.

Presidente del Jurado

ROBERTO RUIZ S.

Jurado

JURG EN TISCHER

-~~~~wJurado

~

JAIME MILLAN H.

Jurado

Santiago de Cali, Marzo de 1991.

A mis padres

Concepción y Remando.

AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mis agradecimientos

Al Doctor CARLOS J. RODRIGUEZ, Director de este trabajo, por suacertada orientación, dedicación y su sincero interés que tuvo al diriginneeste trabajo.

A los profesores ERNESTO ACOSTA G. y GONZALO GARCIA C.por su apoyo durante el curso avanzado y seminarios conducentes a este

trabajo.

A mis profesores y compañeros del Magister.

A la señorita LORENA RAMIREZ G. por su esfuerzo, paciencia y es-mero al transcribir este trabajo.

RESUMEN

El espacio de moduli MOD(M) es el espacio de clases de equivalenciade G-conexiones autoduales sobre un haz vectorial E -+ M. Este espacioes una variedad de dimensión fuúta bajo ciertas condiciones sobre M y G.

Este trabajo detalla la teoría necesaria para probar que la dimensión deMOD(S4) es 5 (una familia 5-paramétrica) para haces de carga topológica1 y grupo estructural G = SU(2). En especial describe los instantones

encontrados por t'Hooft [t'H].

El material que contiene dicha teoría se encuentra muy disperso y estetrabajo pretende presentarlo en una forma sistemática. Otra razón parahacer esta tesis es que contiene resultados básicos para los trabajos de

Taubes [T].

CONTENIDO

INTRODUCCION 1

EL INSTANTON BASICO .6

5

. ...79

.. .11,..15

... .17

...22

1.1 El Algebra de los Cuaterniones. 1.2 El grupo de Lie SU(2)... 1.3 Productos internos 1.4 Autodualidad 1.5 Formas diferenciales sobre una variedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 La fibración de Hopf SS -+ S1 ~ S4 como un haz principal

1.7 El instantón básico

2. LAS ECU ACIONES DE y ANG-MILLS .27

. .2

. .3

..3

..4

..5

..5

2.1 Haces vectoria.les 2.21Iaces de lineas cuaterIriórricos 2.3 Conexión y curvatura ...

2.4 Conexión y curvatura sobre haces de líneas cuaterniónicos

2.5 El grupo de calibración. 2.6 Las ecuaciones de Yang-Mills. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ,

3. EL ESPACIO DE MODULI. 55

56

.59

60

3.1 ElnÚInerodeinstantón 3.2 El grupo de transformaciones conformes de 54

3.3 ()onexiones sobre ~S"""""""""""'"

BmLIOGRAFlA. ..69

7

.5

7

5

O

2

1

INTRODUCCION.

Sea E un haz vectorial sobre una. variedad M con grupo estructuralG (grupo de Lie compacto). Una. G-conexión o potencial sobre E es unoperador lineal D de las secciones de E a. las l-formas diferenciales convalores en E, tal que, para. cualquier función f sobre M y cualquier seccións de E

D(I 8) = I Ds + dI @ S.

Sea dD la diferenciación exterior sobre el espacio s"}'/c(M, E) de k-formasdiferenciales exteriores con valores en E. dD está dada para a E s"}'/c(M, E)por la fórmula:

k

Ei=O

Ei<i

. A

,Ir Dv,(a(Vo, Yt,..., V¡, , V1» +(dDa)(Vo, V¡, , Vk)

, V;,. . ~

-l)'+Ja([Vi, V;], Vo,..., Vi, ,v".)

Entonces tenemos que

R(D)=~odDactuando sobre secciones de E. De esta identidad se sigue facilmente queR( D) satisface la identidad de Bianchi

~R(D) =0.

El grupo de calibración GC de E es el grupo de automorfismos de E1esto es, un elemento de GC es un isomorfismo de haces g: E --+ E.

Supongamos que P es el G-haz principal subyacente de E.GC es el grupo de secciones del haz asociado

Entonces

P XAd G

2

y R( D) es una 2-íorma diferencial sobre M con valores en el haz P X ad Q.(Q es el álgebra de Lie del grupo G). Supongamos ahora que M es unavariedad lliemanniana y E un haz vectorial sobre M con grupo estructuralG. Sea C E el espacio de G-conexiones sobre E. .Definimos sobre esteespacio la funcional de Yang- Milis

~ 1M.R(D) 11 2YM(D)

donde la norma 11 . 11 está. definida en términos de la métrica lliemannianasobre M y una norma G-invariante sobre P x ad Q. Fácilmente se ve quela diferencia de dos G-conexiones sobre E es una l-forma con valores enP XmdQ. Así que el espacio CE es un espacio afin con .Ql(M,P XmdQ) comoel espacio vectorial de translaciones.

El grupo de calibración actúa sObre C E naturalmente:

g o D o g-1g.D

para 9 E GC y D E CEo La curvatura de g.D es R(g.D) = 9 o R(D) o g-l,de donde tenemos que YM(D) = YM(g.D). Lo que quiere decir que lafuncional de Yang-Mills es invariante bajo el grupo de calibración.

Una. conexión D E CE es llamada. un potencial de Yang-Mills y R(D)es llamada. un campo de Yang-Mills si gradD(YM) = O. Dada. una. familiade conexiones Dt = D + At donde At está en W(M,P X4d Q) Y Ao = O, lacurvatura. correspondiente puede ser escrita. como

R(Dt) = R(D) + tJD At + [At,At]

De aquí se concluye que D es un potencial de Yang-Mills si y sólo si

h'D~ o

donde fJD es el adjunto de dD. Las ecuaciones fJD RD = O son llamadas lasecuaciones de Yang-Mills. Por razones físicas la funcional de Yang-Mills esde particular interés sobre variedades de dimensión cuatro, pues la teoría

3

tiene ciertas características las cuales son especiales para esta dimensión.U Da de las más importantes es que en dimensión cuatro la funcional deYang-Mills es invariante conformalmente, esto es, solo depende de la claseconforme de la métrica sobre M.

Esta invariancia tiene la siguiente consecuencia. Recordemos que elespacio euclidiano ]R4 es conformalmente equivalente a la 4-esfera 54 conun punto removido. Consecuentemente, haces con conexión sobre nt4 lascuales son asintóticamente triviales pueden ser extendidas a 54. Además,Uhlenbeck [U] probó que cualquier haz con una conexión de Yang-Millssobre nt4 automáticamente se extiende a 54. Por esto existe especial interésen haces sobre la esfera estándar.

Sobre una variedad compacta orientada de dimensión 4 cada G-haz Etiene un número característico k llamado segunda clase de Chem ó númerode instantón o carga topológica de E, el cual puede expresarse en términ~de la curvatura por la fórmula

k

donde (. , .) es el producto interno en W(M, P X4d Q). Sobre una variedadorientada de dimensión 4 las 2-formas se descomponen como A 2 = A~ ffi A~

donde A~ y A~ son los autoespacios de +1 y -1 respectivamente, bajo eloperador * de Hodge. Esto da una descomposición R( D) = R( D)+ + R( D)-donde *R(D)+ = R(D)+ y *R(D)- = -R(D)_. De aquí se puede verfacilmente que

47r2k y

YM(D)

Se sigue inmediatamente que

.YM(D) ~ 4'K2k.

4

Para toda conexión D sobre E. Además, esta cota mínima se alcanzasi y sólo si R(D)- = o. Estas conexiones se llaman autoduales. El espaciode moduli es el espacio

DE CE/GC: Des autodualM O D( M

de clases de equivalencia de G-conexiones autoduales sobre el haz E.

Para M = 5. y G = 5U(2) el primer ejemplo de estos campos especialessobre 5. fué dado en [BPST]. Mas tarde G. t'Hooft dió en [t'H] solucionesque dependen de 5k parámetros. M. Atiyah, N. HitChin e I.M. Singerprobaron que MOD(M) es una variedad de dimensión 8k - 3, ver [AHJ].

Como se dice en el resumen, en este trabajo probaremos que MOD(st),para G = SU(2) y k = 1, es una variedad de dimensión 5 o mejor que esuna familia que depende de 5 parámetros. Este resultado es básico paraentender los trabajos de Taubes [T], quien utilizando las soluciones sobre S.probó la existencia de conexiones autoduales sobre cualquier variedad com-pacta de dimensión 4 con forma de intersección positivo-definida. DespuésS. Donaldson utilizando todos estos trabajos desarrollo varios resultadospara variedades de dimensión cuatro. Entre otros logró probar que R.tiene infinitas estructuras diferenciables, ver [D]. Otra razón para escribiresta tesis es que el material bibliográfico se encuentra muy disperso.

El trabajo consta de tres capítulos.

Capítulo 1: Aquí se describe una conexión autodual (el instantón básico),la cual utilizamos para generar el espacio de conexiones autoduales.

Capítulo 11: Se hace la teoría de haces vectoriales cuaterniónicos y secalculan las ecuaciones de Yang-Mills.

Capítulo 111: Se muestra que el espacio de moduli MOD(S4) es unafamilia 5-paramétrica y se da un teorema de caracterización geométrica deeste espacio.

5

EL INSTANTON BASICO1.En este capítulo se describe una conexion autodual ó instatón sobre el

haz de Hopf S3 -+ S1 A 54. Este instantón lo usaremos mas tarde paragenerar los otros instantones, razón por la cual es llamado instatón básico.Empezamos haciendo un repaso sobre cuatemiones puesto que en adelanteusaremos este lenguaje.

1.1 El AIgebra de los Cuaterniones.

El álgebra de los cuaterniones ni es el álgebra no conmutativa sobreel cuerpo de los números reales ffi., generada por una identidad 1 y treselementos anticonmutativos i, j, k, tales que

i2 =j2 = k2 = ijk = -1 .(1)

Así todo cuaternión x tiene la forma

ZI + Z2¡ + ss; + z4kx

donde Xl, X2, X3, x4 son números reales. Frecuentemente en este trabajoidentificaremos el punto (Xl, X2, X3, X4) en n4 con el cuaternión dado por

( 2).

La parte real del cuaternión x dado por ( 2) es

Re x = Xl

La parte imaginaria de x es

z2i + Z3j + z.kImx

El conjugado de x es

x2i - X3j - x4kSI :5)f

6

La. conjugación es una. anti-involución, es decir

(6)y"i~

La norma de x es4

¿(XlAt1'=1

1%12xx = xx

que es la norma usual en 1{.4. Si x es diferente de cero tiene un único inversoX-l dado por

,1:-1i-

fzf2

Si identificamos i con el número complejo usual, podemos considerar losnúmeros complejos ( contenidos en 11. Usando ( 1) podemos escribir elcuaternión x dado en ( 2) en la forma

z - "1 + ..,.;

Así hemos identificado ni con (2.: Wl + W2j, con Wl, W2 E (, y la

donde Zl = Xl + x2i y Z2 = x3 + x4iAhora consideremos el cuaternión ymultiplicación cuaterniónica

Z -+ Z'J,

Ca.1culando la multiplicación tenemos que

xy (Z1 + Z2Í)(W1 + w2Í)(Z1W1 - Z2~) + (Z1W2 + Z2W1)j

Así usando la identificación de ti con (2, el vector (ZI, Z2) aparecemultiplicado a la dereroa por la matriz compleja 2 x 2

( Wl-W2

~2)W¡

7

Entonces podemos pensar ni como una subálgebra de las matrices com-plejas 2 x 2 en la cual i, j, k son las matrices

o~) (~O.)-.S ~)(~ 1

1.2

Llamaremos M at(n<, n) al espacio de matrices n x n con coeficientes enn<, donde n< son los números reales, complejos o cuaterniónicos.

Consideremos los grupos de Lie

{A E Mat (( ,2): AlT{x E 11: Ixl2 = 1}.

1}1 Y det ASU(2)Sp(l)

Geométricamente SP(l) es la 3-esfera S3,

La aplicación

(10)S ( 1'p ,

~ SU(2)( %1 %2

)-i2 i1ZI + z2Í ~

es un isomorfismo. Entonces podemos hablar de SU(2) y SP(l) indistinta-mente.

Calculemos el álgebra de Lie de SU(2), la cual llamaremos su(2). Comoel álgebra de Lie de un grupo de Lie es isomorfa al espacio tangente en laidentidad del grupo, entonces calculem~ este espacio tangente. Para esto,tomemos una curva. de matrices a(t) en SU(2) que pasa por la identidad,esto es, a( t) es tal que

det a(t) a(O) l.Ta(t) (;(t) = 1, 1 y

8

Derivando y evaluando en t = O obtenemos

tr(ó(O»o o.y

Por 10 tanto el vector tangente á(O) es una matriz antihermítica y detraza cero. Ahora probemos que toda matriz 'antihermítica de traza ceroes un vector tangente en la identidad. Sea X tal que

xT = -x tr X o.y

Consideremos la familia de matrices

A(t) = exp (tX).

Entonces

Por las propiedades de la exponenciall.

exp (tX)( exp (tX) )Texp (tX)(exp (tX»Texp (tX)exp (tXT)exp t(X + ..fT)

como XT X tenemos que

l.

Como las matrices t¡X y t2X conmutan entonces11.

A(tl)A(t2)'~t1 + t~)

Sea f(t) = da (A(t», entonces

/(tI + t2) /(11)/(12)'

9

Sabemos que la única solución de ésta ecuación funcional es f( t)Veamos entonces que c es cero.

ect.

f(t) = det exp (tX) = etr(tX) = et(trX) = 1 +t(trX)+O(t~), pero puestoque trX = O, se tiene que f(t) = 1 + O(t~) y

o.c

Por lo tanto det A(t) 1.

Así A(t) es una curva en SU(2) por la identidad y ~It=o = X es un

vector tangente en la identidad.

Entonces el álgebra de Líe de SU(2) es

8,,(2) = {A E Mat«( ,2): AT .A Y tr A = O}

Consideremos el álgebra de Lie

ImnI = {q E nI: Re q = O}

de cuaterniones imaginarios puros. Entonces la aplicación

8u(2)

( ql~-Z

Im1H ~

.:li)2 S'Z = q + q 1,qlj + q2j + q3k (1.1:~

es un isomorfismo. Hablaremos de su(2) e ImllI indistintamente.

1.3 Prod uctos Internos.

Un producto internoSea. V un espacio vectorial real de dimensión nsobre V es una. función

10

VxV(a, .8)

~

R( a, fJ}

tal que:

t1,t2 E IR Y Cll,a2,p e V.(ttat + t2a2'.8) = tI {at, IJ) + t2(a2' P);

(a,.8) = (.8,a); a,.8 E V.11.

°,iii. Si (a,.8) O, para todo ,8 E V, entonces a

Por ejemplo consideremos 8u(2) con el producto interno

8u(2) x 8u(2)(A, B)

:IR(A, B) =

(. .}:-+

too+ .tr( AB)

Veamos en-En la. sección anterior hemos probado que su(2) ~ [mEtonces como se expresa. este producto interno en [mE. Sean

~2)Wl( w~

-~

ZI Z2

,-%2 %1.

donde ZI Y Wl son imaginarios puros. Llamaremos x = ZI + z21' y y =Wl + W2j los cuaterniones en 1 mE que corresponden a A y B bajo elisomorfismo ( 11).

BA y

Entonces

Z¡W¡(A,B) -tr(AB) = Z2W2 - ZlWt + Z2W2

2& (Z2W2 - ZtWt)

2& (zg).

11

Por lo tanto sobre 1 mil 13) se escribe

(x, y) = 2& (XV)

Ahora dado un espacio vectorial V de dimensión n, éste tiene asociadosespacios vectoriales A"V, para p = 1,..., n, conocidos como la p...ésimapotencia exterior de V. Si V tiene un producto interno (. , .) éste puedeextenderse a A"V así:

. A a, y #l = .8t A /J2 A " .81/ elementos de Al/VSi ~ = al " a2 "entonces defuúmos

(.>.,#,) = det «0.,.8;»

A dos espacios vectoriales Yt, ~ se les puede asociar otro espacio vecto-riel Yt ~~, el producto tensorial de VI y V2. Si (., .)1 Y (., .)2 son productosinternos en Yt y V2 respectivamente, estos inducen un producto interno enYt ~ V2, así:

(01 002, Pt 0.82) = (01, Pt)I.(02, .82)2

Sea M una variedad diferenciable. Una estructura RiemAnniana sobreM es una familia de productos internos positivos definidos {{. , .),,}pEM,donde (. , .)" es un producto interno sobre TM", tales que si X, Y soncampos vectoriales C«¡ sobre M entonces (X, Y) es una función C«¡ sobreM.

Autodualidad.1.4

Sea Y un espacio vectorial real, orientado, de dimensión 4, con un pro-ducto interno (., .). En la sección anterior vimos que este producto induceun producto interno sobre A2y definido por:

(VI A ~,WI A W2) = del «Vi, Wj).

12

Existe una tranformación lineal

.: A2y --+ A2y

llamada el operador estrella de Hodge definida así: Sea {el' e2, e3, e~} unabase ortonormal orientada positivamente de V entonces

*< e.- ¡\ ej) = e" ¡\ e,

También podemosdonde (i,j, k, 1) es una permutación par de (1,2,3,4).definir * invariantemente así

a" *.8 = (a, .8) vol

el ¡\ e2 ¡\ e3 ¡\ e. es la forma de volumen.donde a y .8 están en A2 V Y volEs claro de ( 18) que

id...

Por tanto * tiene valores propios :1:::1, llamamos A~ V Y A~ V los corres-pondientes autoespacios. Entonces

A 2y = A~ V EB A: y

donde

e2 A e., el A e. 1r e2 A e3)A2V+ (el A e2 + e3 A e., el A e3

A~V (el Ae2 - es A e., el A e3 + e2 A e4, el A e... - e2 A ea)

Los elementos de A¡ V son tales que *a = a y los de A: V son tales que*a = -a, los primeros se llaman autoduales y los segundos antiautoduales.Observemos además que * es conformalmente invarÍante. Cambiemos elproducto interno original (.,.) sobre V por el producto interno {., .)c ;:

c.. . , para c > O. Sea {el, e2, e3, e.} una base ortonormal orientada para

13

V con el primer producto interno entonces {*el'...' *e.} es una. baseortonormal orientada para. V con el otro producto interno, pues

= ! (e¡, e¡)cc (~, ti)

El elemento de volumen cambia así

1 1C-2 volvolc ~e¡ " . A ~e,.

al "a2 Y .8 = .8t ".82 en A 2V tenemosPara a

= det «o., .8¡)c)= det (c{a., .8;»= ~(a, .8).

(o, P)c

Resumiendo tenemos para el operador *c respecto al segundo productoInterno tenemos

Q " *c.8 (a, /J)c volc(a, /J) vol

a" */J.

Así *c = *. Todos los resultados anteriores son válidos si trabajamoscon fOnllas con valores en un espacio vectorial E, esto es, en A2V0E. Paraeste caso tenemos una extensión natural de *

A2V~E~A2V@E

cuyo cuadrado es 1 y también tenemos una descomposición

(A¡ V Ig) E) EB (A~ V Ig) E).A2y ~E

14

En adelante denotarem~ * ~ id simplemente *

Estamos interesados en el caso en que V = (m.4)* el espacio dual dem.4 y E = su(2) ~ ImnI. Usaremos la siguiente notación cuatemiónica ydiferencial

dz1 + dz2¡ + dz3j + dz~kdz

dXl dz2¡ dx3j dX4k.di

Sean Q Y .8 elementos de A2(R4). @ 8u(2) entonces

Q = L Xlol, XI E 8u(2), °1 E A2(R4)*,111=2

lrJ E A2(R4)*E YJaJ,IJI=2

'JJ E 8u(2),p

donde {al} es una base de A2(m,4)*.

por2 E Re(X¡YJ ).(Ci¡,&'J}

¡,J(a, ,8)

Entonces tenemos que sobre A2(R4)* ~ 8u(2)

2Re( o. /\ *.8) = (o., ,8)vol.

Consideremos las 2-forInas cuaternionicas

dx "dx = -2{(dxl" dx2 + dX3" dX4)i + (dXl "dX3

+( dx1 " dX4 + dx2 " dx3)k}dX2 A dx4)j

2{(dz1 A dz2 - dz3 A dz4)i + (dXl A dz3 + dz2 A dz4)j+(dz1 A dz4 - dz2 A dz3)k}.

dx/\dx

15

Por ( 21) los coeficientes de i, j, k en estas 2-formas son bases para las2-formas autodua.1es y antiautodua.1es respectivamente.

Las 2-formas en ( 25) toman valores en 8u(2) ~ ¡mil entonces usando24) podemos calcular sus normas. Así

/ldx A dx/l2vol = 2Re{(dx A dX) A *(dx A dx)}

= 2Re{(dx A dx) A (-dx A tlz)}= -8{2(dxl A dX2)i A (dX3 A dx4)i - 2(dxl A dX3)j A (dx2 A dx4)j

+2( dx1 A dx4)k A (dX2 A dz3)k} (26)= -8(-2 - 2 - 2)vol = 48vol

= /ldX A dxll2vol.

Formas Diferenciales sobre una Variedad.1.5

Sean Xl, X2,.. ., x" coordenada.s Euclidiana.s para R". El espacio dual(R")* es el espacio vectorial generado por dXI, dX2,..., dx". Este espaciotambién es llamado espacio de l-formas.

El espacio de p-formas sobre m." es el espacio AP(m.")*, la p-ésimapotencia exterior de (m.")*. Los elementos de AP(JR")* son expresiones dela forma

. "dxhp.¿ aHdxH

( h1, h2, . . . , hp) Y dxH d:r;"1 Adonde aH E IR, H

El espacio de p-formas difenciales sobre R" es el espacio

{Funciones Coo sobre RR} ~ AP(RR)*'{}'P(Rn)

Así un elemento de .QP(RR) tiene la forma

16

donde fH es una función Coo sobre ]R."

El álgebra n*(ntR) = ~~=o n9(ntR) es naturalmente un álgebra gradua-da, esto es, si w = EfHdxH Y'7 = EgKdxK son elementos de np(ntR) yn9(ntR) respectivamente, entonces wl\'7 = E fHgKdxH I\dxK es un elementode {}P+9(RR). También se tiene la siguiente propiedad

wAr¡ =(. 1)P9'1 /\ w.

Existe un operador diferencial

d: {);9(m,") --+ {);9+1(m,")

definido por

Si I E nO(RR) entonces di

Si w = Efldxl entonces dw = Edil d:r;l.11.

Este operador es una antiderivación, esto es, si w E S1"(R") y " E

S1Q(R") ent.onces

(dw) A '1 + (-l)pw ¡\ d'7d(w A '7)

Sean Xl,..., Xm y yl,. . . , yn las coordenadas usuales sobre nm y ntnrespectivamente. Una función diferenciable f: mm -+ mn induce una trans-formación

!}"(R") -+ !}"(Rm:f*

definida por

. A dyip) = ~(gI o f)dJit A ... A dJipr(}:9¡dyit A

y' oJ.donde fi

17

Sea M una variedad diferenciable y {U Q} un atlas para M. Una p-formadiferencial w sobre M es una colección de p-formas diferenciales Wu paracada U en el atlas de M, tal que si i, j son las inclusiones

unv~vUnV -4 U,

El espacio de p-formas sobre M se denota. porj*wventonces ¡*wu =1};"( M) = APT* M

Dada una variedad lliemanniana orientada M de dimensión n existeun operador * definido sobre APT* Mm, para cada m E M. Este operadorextiende a {}P( M)

*: ,{}"( M) -+ 0"-"( M).

Para calcular * es costumbre utilizar la fórmula

o. " *,8 = (o., ,8)vol, 0,,8 E {l"(M

La formula 20) se escribe para este caso como

** = ( -1 )P(~-p)id.

Cuando p = 2 Y n = 4 obtenemos

*: {}2(M) --to {}2(M)

n~(M) ffi n:(M),y la descomposición .{}.2( M)

La Fibración de Hopf 83Principal.

-. 81 ~ 84 como un Haz1.6

Aquí estudiaremos la fibración de Hopf 53 -+ sr A S4 como un hazprincipal con grupo estructural 5U(2) ~ 5P(1) ~ oS"'.

18

Sean P y M variedades y G un grupo de Lie. P es un haz principalsobre M con grupo estructural G si existe una aplicación diferenciable

P-+M

y una acción libre a derecha de G sobre P tales que

-x:(P2)G actúa transitivamente a lo largo de las fibras, esto es, 1r(p¡)si y sólo si existe 9 E G tal que P¡.9 = P'J, para Pl, P'J en P.

l.

P es localmente un producto, es decir, para. cada. x E M existe una.vecindad U de x y un difeomomsmo

11.

'¡': U x G -+ .-I(U

que hace conmutativo el siguiente diagrama

~ l(U)1.u.

UxG!u id

iii. t/J respeta la acción, esto es,

a,b E G.t/J(x, a)bj zEUt/J( x, ab) y

: El conjunto 'Jr-l(X) 10 llamaremos la fibra sobre x.piE 'Jr-l(X) entonces

Obsérvese que si

'Jr-l(X) = {p.g: 9 E G} = pO ~ G.

Para más detalles ver [H], página 5.

Dotamos H2 = H x ni con el producto interno cuatemiónico usual, esto

es, dados (Pt,POJ) y (Ql, Q2) en nI2 su producto interno esta dado por

(27){(Pt,P2), (Ql, Q2») = Ptijl + P2ij2

19

La parte real de este producto es el producto interno usual sobre m.8,identificando R8 con H2. Entonces la 7-esfera S1 es el conjunto

{(Ql,Q2) E 8251 1}q¡ ii¡ + q2ii2

La 4-esfera 54 puede ser identificada con el espacio proyectivo JHpl ={[ql, q2]: (ql, q2) E JH2}. Este es el espacio cociente de ni2 por la siguienterelación de equivalencia (Ql, Q2) '" (pql, PQ2), para todo p :¡f O en ni (ver[NTF], "La fibración de Penroee"). Entonces podemos definir la aplicación

IIpl ~ S4[Ql,q2].

h: ~S1(ql,q~)

Esta aplicación es llamada la fibración de Hopf. Encontremos la fibrade h, sea [p¡, ~J E nlpl entonces

h-1([P¡,~J) = {(PPt,m): p E ni, IPPtl2 + lPP2r = 1}.

Podemos suponer que IPlr + IP2r = 1, puesto que cada clase de equi-valencia tiene su representante de norma uno. Entonces de la condiciónIpPll2 + IpP212 = 1 tenemos

Ipr= IPPlr + IPPJr plPt lii + plP2lii1

Así

Ipl~h-1([P¡,POJ]) l} ~ Sp(l{(PPt,PP2): p E ni y

La fibra de h entonces es SP(l) ~ SU(2). SU(2) actúa libremente adereroa sobre S7 y la acción está dada por

sr x SU(2)

«Ql' q,), p) (pql,pq2)

-+sr.-+ (qt,Q2)'P

20

29) 5P(1) actúa transitivamente sobre 57 a lo largo de las fibras.Por

Ahora tomamos la cubierta abierta usual de JHpl, esto es

{[Ql,Q2] E Hpl q.. =F O}u,

Entonces

h-1(U..) = {(tI, q2) E sr: 9¡ :F O}, i = 1,2.para

Definimos trivializaciones de h sobre cada. U¡ así

h-l(U1)(!Jnl !f1.r¡r , rl91 I

tPl: U1 x 51'(1) -+([~, 92], z) ~

</>2: h-l(U2)

(~,~)

u~ x SP(l) -+

([qt, q~]), x) 1'-+

Donde r2 = I~ 12 + Iq212. Estas aplicaciones están bien definidas y hacenconmutativo el siguiente diagrama

U¡ x SP(l) ~ h-l(Ui)j,A,Vi

id--+U¡

Las inversas deAsí que {U1, U2} es una cubierta trivializante para h.cada 4>í están dadas por

.1.:-1.'1'. . h-l(U.) -+ U. x SP(l)(q¡,q,) 1-+ ([q¡,q~),~)

21

1,2. Además 18.8 4>¡ respetan la acción esto espara I

4>.. ([Ql, Q2], xy) 4>.. ([Ql, Q2], X) .y,

donde el producto de la derecha es la acción definida en ( 30). Así hemc:.probado de que h es un haz principal con grupo estructural SP(l) ~ SU(2).

Consideremos las aplicaciones

.,-;1 O "j~ (U. n Uj) X SP(l) -+ (U¡ n Uj) X Sp(l

1, 2 las cuales vienen dadas porpara. 1, J

;;1 O tPj ([Ql, ~], X)

Por tanto las funciones de transición de h

ftj: Ui nUj -+ SP(l)

están dadas por:ij¡ !!i.4>.;([~, q2))

~'iqjr'

31) de Hpl podemos escoger funciones coordenadasPara la cubierta

R4

(:1fXl: U1 -+

[~, 92] t-+

(33)

R4hg.¡..19212

%2: -+U2

[Ql, Q2]

con c8JIlbio de coordenadas

22

(34)

ffi4 R4 - {D}1- z;-];¡'J"

{O}x

t/J: ~

Llamando x

n:t4 {O}z

SP(l)zTZ1

~2: -+

ym.4 - {O}

xSP(l)~]Zf

4>21:

...,.

Las funciones 4>i; forman un cociclo sobre 54 con valores en 5P(1). Elhaz de Hopf h puede ser construido mediante la construcción universal deh~es principales, usando la cubieaota {U1, U2} de HPl dado en { 31) Y elcociclo 4>i; anterior (ver [H], página 12).

1.7 El Instantón Básico,

En esta sección describimos una conexión autodual sobre el haz de Hopf.Las conexiones autoduales son llamadas instantones. (ver [KNl], página 63y [FU], página 100).

Para cada a E [mil ~ su(2), a(t) = exp ta es una curva. en SU(2) quepasa por la identidad. Si (Ql, Q2) está en S1 entonces

u(t) = (qt,q~).exp ta = (exp tCiqt, exp tCiq~)

es una curva en S1 que pasa por (ql, Q2)' Además u(t) es una curva sobre lafibra que contiene a (Ql, Q2) puesto que la acción de SU(2) sobre S1 respetalas fibras. Entonces el campo vectorial sobre sr definido por

a*(Ql,q2) ü(O) = (aql, aq2)

23

es un campo vectorial tangente a las fibras llamado campo vectorial funda-mental correspondiente al elemento a E 1mE.

El conjunto TVS(91'~) de vectores tangentes a la fibra en (qt,q2) de laforma a*(qt, q2), a E 1mB, es un subespacio vectorial de TS(ql'~)' llamadoel espacio tangente vertical a S1 en (qt, q2)' Entonces

El grupo SP(2) de tra.nsformaciones ni-lineales de H2 que dejan inva-riante el producto interno ( 27) actúa por isometrias sobre S7. Entoncesel complemento ortogonal real del espacio tangente vertical, TVSlql'~)' encada punto (Ql, Q2) E sr define una distribución horizontal homogenea sobreS7. Llamaremos estos complementos los espacios tangentes horizontales ylos denotaremos

(TVS(f1092»).LTHSl91'~)

EntoncesTS(q¡,92) = THS(91'92) ffi TVS(91,92)

y cualquier X E TS(q¡,92) lo podemos descomponer así

x XH+Xy,

Esta distribución es una conexión sobre el haz principal h

Toda conexión en un haz principal tiene asociada una l-forma diferen-cial con valores en el álgebra de Lie del grupo estructural del haz llamada laforma de conexión. Afirmamos que la forma de conexión asociada a. nuestra.conexión es

(35)1m (qtdqt + q2dij2)8

24

Por definición la. fonna. de conexión es tal que, para X E TS(91,f2)

8(X) = a

Xv Así que sidonde a es el único elemento en su(2) tal que a*(ql' q2)X = (Xl' X2) está. en TS[91,9'J)' tenemos"que

8(X)Xv

1m (~%t + 92%2) y

(-1m (qt%t + Q2%2)Ql, 1m (Q1Xl + Q~x~)Q~

Entonces la componente horizontal de X es

(36)XH x-xv(Xl + 1m (qlXI + Q2X2)QI, X2 + 1m (QIXI + Q2X2)Q2)

35) es la. forma. de conexión debemos probar quePara. comprobar que

Re (XH,Xv) o.

qtXt + q2X2, entoncesLlamemos p

Re (XH,Xv) Re{[:l:l + (1m P)~]ql 1m P + [:1:2 + (1m P)Q2]Q2 1m p}

Re{[:l:l91 + (1m P)IQlI2 +:1:2 92 + (1m p)IQ212]lm p}Re{(p + 1m p)lm p}Re{(Re p)(lm p)} = O.

La. forma. de conexión 8 tiene asociada. una. 2-forma n llamada. la forma.de curvatura.. Esta. se calcula. como la. derivada. exterior covanante de 9, osea.

(dO) °PHn-+ THS(91192) es la proyección.donde PH: TS{Qltf2)

25

Por ( 35)

d9 1m (dql "dql + dq2" dii2)

dql " diit + dq2 " dq2.

La fórmula general para {} es complicada(0,1) la cual utilizaremos mas adelante.

Calculem~la entonces en

Para esto ~ X = (Xl, X2) e y = (Yl, Y2) vectores tangentes a S7 en-). Usando ( 36) las componentes horizontales de X y Y son'0,]

XH = (%1'& %2) YH = (Yl,Re Y2)y

Entonces

n(o.l)(X, y d8(XH,YH)(dql A dql + dq2 A dii2) (('ZI, Re 'Z2), (')1' Re ')2»'ZIYI - il'J¡ + Re 'Z2Re ')2 - Re 'Z2Re ')2'ZIYl - i1')1

(dql A dql)(XH, YH).

Así

O{O,l) = dql A dijl (37)

Por ( 25) sabemos que ésta forma es autodual y toma valores en 1 mIEl

Toda conexión cuya forma de curvatura es autodual también se llamaautodual.

27

LAS ECUACIONES DE YANG-MILLS.2.

La conexión definida en el capítulo 1 fué dada en términos del hazprincipal h. Existe una descripción utilizando el haz vectorial asociadoE... En este capítulo nos dedicaremos a estudiar las conexiones desde estepunto de vista y plantearemos las ecuaciones de Yang-Mills (ver [L], página45 Y [FU], página 102).

Haces Vectoriales.2.1

Denotaremos por n< uno cualquiera de los campos de números reales,complejos ó cuaternÍones.

Un haz vectorial real, complejo ó cuaterniónico sobre una variedaddiferenciable M es una familia { Fe} zoEM de espacios vectoriales sobre ]Kparametrizada por M junto con una estructura de variedad 000 sobreF = U~EM F ~ tal que

La proyección 1f' F M que envía F ~ en x es C~

11. Para cada %0 E M existe un conjunto abierto U en M que contiene aXo y un difeomomsmo

'Pu: l(U) -+ U x H{r

cuya restricción ~u IF.: F ~ -+ {x} X I{r es un isomorfismo, para cadax E U. ~u es llamada una trivialización de F sobre U.

La dimensión de las fibras F s es llamada el rango de F. En particular,un haz vectorial de rango 1 es llamado un haz de líneas. Obsérvese quecada par de trivializaciones cpu, cpy induce la función

U n v -+ Gl(r, E) (38)9UV

28

dada por guv(x) = «puo<pyl)l{z})(J{r, la cual es Coo. Las funciones guv sonllamadas funciones de transición de F relativas a las trivializaciones <Pu,<pv Y satisfacen las siguientes identidades

9uv( x ).gyu( x) 1, para todo x E U n V

(39)guv(:¡; ).gvw(:¡; ).gwu(:¡;) 1, para todo x E U n V n W

Recíprocamente, dada una cubierta abierta {U o} de M y funciones COO,gap: Uo n Up -+ Gl(r, H<), que satisfacen ( 39) existe un único haz vectorialF -+ M con funciones de transición {gop}. El haz F se construye como elespacio cociente del conjunto

UUa X I{ra

por la relación de equivalencia (x, v) ,..., (x, v.ga,8( x)), con la estructura devariedad inducida por las inclusiones U a X J{r c-+ F.

Si Fl -+ M y F2 -+ M son haces vectoriales de rango r y 1 con funcionesde transición {gQ{J} y {hQ{J} respectivamente podemos definir los siguienteshaces

.1 Fl ~ F2, dado por las funciones de transición

gaP(X)o

oha",(x:

E Gl(]Kr E9 ]K')ia,8(z)

2. Fl 18) Fg, dado por las funciones de transición

gafJ(x).haP(x) E Gl(]Kr (8) ]KI).jafJ(X)

3. F:, dado por las funciones de transición

(9a.8{X)-11ja.s(Z)

llamado el haz dua.l F 1.

29

4. A" Fl' dado por las funciones de transición

A"9aP(X) E Gl(A"n<r).jo.8(Z)

En particular, A r F 1 es un haz de líneas dado por

det (9ap(x» E Gl(l, I<) ]K*ja.8(Z)

llamado el haz detenninante de Ft.

Un subhaz F' de un haz F es una colección {F; C F ~} ~EM de subespaciosde las fibras F ~ de F tal que F' = U F; es una subvariedad de F. Así F' estambién un haz vectorial. La condición que F' sea una subvariedad de Fes equivalente a decir que para cada x E M existe una vecindad U de x enM y una trivialización

tpu: Fu -+ U X J(r

donde Fu W-l(U), tal que

/puIFú: 1iÜ -+ u X D(l C U X J(r

Las funciones de tr8Jlsición de F relativas a estas trivializaciones son

'huv(x)\ o

kuv(x)jUY(x)

9UV(X)

El haz F' tiene funciones de transición huv y las funciones juv sonlas funciones de transición para el haz cociente F / F' dado por (F / F')6: =F6:/~.

Dada una función COO, ¡: M -+ N, entre las variedades diferenciablesM y N Y un haz F -+ N, podemos definir un haz sobre M, ¡* F -+ M,llamado el haz inducido, dado por

'f* F)so = F,(so\

30

Una aplicación entre los haces vectoriales Fl y F2 es una función coo,f: Fl -+ F2, tal que f(F1z) C F2z Y fIFl.: F1z -+ F2z es lineal. Si flFl. esun isomorfismo para todo x E M se dice que Fl y F2 son isomorfos. Un hazvectorial sobre M se llama trivial si es isomorfo al haz producto M x H(r.

Una sección O' del haz vectoria.l F ~ M sobre U C M es una aplicacióncoo

U-.FO'

tal que O'(x) E Fz, para todo x E U.

Un marco para F sobre U c M es una colección O'}, 0'2,..., O'r de sec-ciones de M sobre U tal que {O'}(x), 0'2(X),..., O'r(X)} es una base para Fz,para todo x E U. Dada una trivialización

'Pu: Fu -+ U X ]Kr

las secciones

<".(%) fPül(z,ei)forman un marco para F, donde {el, e2, . . . , er} es la base usual para I(r.Recíprocamente dado 0"1,0"2,... ,O"r un marco para F podemos defillir unatrivialización rpu por

'Pu(f) (z, (/1, 12, ,1,. »

donde J = Ei:l J¡O'¡(x) está en Fz. Así que dar un marco para F sobre Ues equivalente a dar una trivialización de F sobre U.

Ahora dada una trivialización 'Pu de F sobre U cada sección O' deF sobre U puede ser representada como una función vectorial COa s =(Sl,S2,...,Sr) escribiendo

r

L 8i( 'Z )¡pÜl( 'Z, eli=l

C1{z)

y la representación es única puesto que {tpÜl(X, e¡)} es Wla base para F~

31

S. . .aJi ., d F b V ' ( " ' ) 11 <py es una tnVl zaclon e 80 re y 8 = "1' "2' . . . , "r a corres-pondiente representación de ulunY, entonces

L 8¡{.1: )¡pÜl (.1: , ei)

L S¡(.1: ).e¡

E s~( X )<pj;1( x, e¡)

E s~(x )<PU<pj;l(X, e¡)

guv.s'.esto es, s

Por lo tanto, en términos de trivializaciones {CPa: 7r-l(Ua) -fo Ua X I(r}

las secciones de F sobre Ua U a son exactamente colecciones de funcionesvectoriales coo, {sa = (saJ' S02' . . . , sar)} tales que

(40)"a 9a,8S,8

para todo a, ,8, donde las 9a.8 son las funciones de transición de F relativasa {'Pa}.

Todo haz principal P sobre una variedad diíerenciable M con grupoestructural G tiene asociado un haz vectorial sobre M el cual utilizaremosen adelante. Este haz se construye así: Sea '7: P -+ M un haz principalsobre M con grupo estructural G y V un espacio vectorial sobre el cual Gactúa a la izquierda

GxV(g,v)

v

~

g.v

Vamos a construir un haz vectorial EM sobre M con fibra V. Definimosuna acción a derecha de G sobre P x V de la siguiente manera

xG -+

.--+

(P x V)«p, v), g)

PxV(p.g, g-l.V)

Esta acción determina una relación de equivalencia sobre P xV:(Pt, VI) "" (p~, v~) si y sólo si existe g E G tal que P2 = Pt.g Y V~ = g-lVl'

El espacio total EM del haz se define como el espacio cociente de P x Vpor esta acción y la proyección se define como

32

(41

EM[p, v]

M'1(p ).

'1v:~

Esta aplicación está bien definida puesto que si [p¡, VI] = ~, V2] entoncesexiste 9 E G tal que P2 = Pt.g Y por la definición de haz principal T/(Pt) =T/(P2) o sea T/V[P¡, VI] = T/V~, V2]'

Existe una descripción local de E M la cual es dada por la construcciónuniversal de haces (ver (St], página 14). Esto es, sea {Ua} una cubiertaabierta de M tal que EMIUa ~ Ua xV, esto es, para cada a existe unatrivialización I;'a de EM sobre Ua

<Po: "yl(Uo) -+ Uo X V.

Para cada par de trivializaciones Ct'a, Ct'P sean

gap: Ua n U, -+ G

las funciones de tr&IlSición relativas a ¡po, ¡pp.

EntoncesEM = UUQ X vI Q

donde (x,v) (y,w) si y sólo si x = y y wy (y,w) E Up x V.

9Pa(X),V, para (x,fJ) E UQ x V

2.1.1 Ejemplo: (ver [FU], página 102) En la sección 1.6probamos que el haz de Hopf $7 ~ 54 es un haz principal con grupo

33

estructural SP(l). Como un ejemplo de lo expuesto anteriormente darem~una descripción del haz vectorial asociado a h con fibra ni ~ (2.

Consideremos la cubierta para nIpl ~ S. dada en ( 31). Mediante lasfunciones coordenadas para nIpl, dadas en ( 33) podemos identificar cadaU¡ con m,4. Ahora consideremos el conjunto

E (U¡ X 11 x {l})U(U~ x ni x {2}).

Definamos la siguiente relación de equivalencia en E

(q,z,i) '" (p,y,j) si y sólo si p y y = x.t/Ji¡(q).q

El espacio total de '7H es

E.. {[q,x,i): (q,x,i) E E}.

Su proyección está definida por

E..(q, x, i]

S'q

'lB:

~

Este haz se puede describir con dos trivializaciones E.4Iu¡ ~ R4 X JH1,2. Estas trivializaciones están dadas porJ

1/Ji J1iIl(U.)[q, z, i]

U¡ X nI -+

(q,x) 1-+

unidas por la aplicación

Cm,4cf>: {O})xH(q,x)

-+ (R4 - {O}) x ]H1-+ (},XQ)

34

Obsérvese que la función de transición 4>12(q)(X) = x~ es ]H-lineal yortogonal para la métrica usual sobre ]H. q

Usando la sección

n4 -+

X 1-+

]R4 X 11~¡.t( X) = yl+I:z:P

p.:

del haz E.. IR. ~ R4 X ]El encontraremos expresiones en coordenadag localesde ( 35) Y (37). Como 8 y O son fonIla8 sobre S7 y p( x) E sr podemoscalcular p.8 y p'O.

Dado y E TIR: ~ IR. se tiene que

(Jl.8)~(y) 8(IJ..z(y)).

Un cálculo directo muestra que

/J*Z(Y) (1 + Izl')-3/1«1 + IzI2)'II .Re (z17» E T~(~)Re (xy)x,

Así

Re (xi))

Ji+=i~p(1 + Izr)-3/21m8(JI_(Y»

xJi+j;j2[(l + Izt2)g - Re (xy)X]

Re (zj)1z r(1 + Izf2)-3/21m (1 + IZ¡'2)1/2Zj -

35

Por tanto

zdZ1+ Izl2

Al = 1.&.8 1m

De manera similar para .{}; obtenemos

dzAdZ(i + j;12)2'

R1 J.l*,{}.

Si escribimos

Al4

¿ A! dxii=l

entonces

Z2¡ + Z3j + z4k.1Al 1m

1+ Ixl2--xli + x3k - x4j

--A~ 1m

A~ 1m

Z3¡A~ 1m

z1+ Izl2

-zi1 + Izt2

-z)1+J;f2

-zk1+ Izl2

1 + Ixl2.xli - x2k, + X"¡

--~

2.2 Haces de Líneas Cuaterniónicos.

2.2.1 Definición: Un haz de líneas cuaterniónico F sobre Mtiene tres diferentes formas de pensarse, a saber

2.2.1.1 F es un haz vectorial cuaterniónico de rango 1

2.2.1.2 F es un haz vectorial complejo de rango 2 con una aplicaciónde haces J: F -+ F antilineal tal Que P = -1.

36

2.2 .1.3 F es un haz vectorial real de rango 4 con tres aplicacionesde haces lineales 1, J, K tales que P = J~ = K~ = -1 e IJ = -JI = K.

Las aplicaciones 1, J, K en 2.2.1.3 corresponden a la multiplicaciónescalar por los cuaternios i, j, k respectivamente. En 2.2.1.2 i actúa pormultiplición escalar compleja y j actúa por J.

2.2.2 Definición: Un haz de líneas cuaterniónico lo llamaremosmétrico si admite un producto interno (ver 2.3.7) para el cual la multipli-cación escalar por i, j, k es ortogonal en cada fibra.

Equivalentemente podemos decir que el producto interno es invariantebajo 81)(1).

Cada haz de líneas cuaterniónico sobre una variedad admite métricasinvariantes bajo SP(l).

Las funciones de transición para un haz métrico pueden escogerse en laforma

9a': Ua n U, -+ Sp(l

El ejemplo típico de un haz de líneas cuaterniónico métrico es el hazde líneas tautológico Eo sobre el espacio proyectivo cuaterniónico Hpn.Recordemos que Hpn es el conjunto de subespacios de dimensión 1 deHn+l.

Definimos1Eo {(l,v) E nlpn x Hn+l; ti E l}

con proyecciónF.o(l,v)

nIpn'Ir,,: -+

El producto interno en .las fibras es heredado del producto interno in-

37

variante usual en Hn+l. 1rl = '1H es el haz de líneas cuaterniónico asociado

ala fibración de Hopf S1 ~ 5., el cual estudiamos en el ejemplo 2.1.1.

2.3 Conexión y Curvatura.

Sea F un haz vectorial real sobre una variedad diíerenciable M. Lla-maremos COO( F) al espacio de secciones de F y ,Q,1'( F) al espacio de p-formascon valores en F, esto es

{);P(F) = COO(APT. M ~ F)

En cada pWltO x E M, Wl elemento ti> E {}P(F) define Wl& transfor-mación p-~ alternante

<l>z-: T Mz- x x TM~ -+ F~.

En particular .{}.O(F) COO(F).

2.3.1 Definición:lineal

Una conexión sobre F es una transformación

D: .Q;O(F) -+ {}l{F)

que satisface la regla de Leibnitz

D(/~) = di 0 ~ + fDq,

para cada 4> E {}O(F) y cada f E C~(M).

Una conexión es una regla la cual nos permite derivar secciones de F.Dada. una. sección 4> E nO(F) definimos para. cada vector tangente V E T M~

(Dv4»(x) (D,).(V) E F.

Dv <p se llama la derivada covariante de <p en la dirección de V. Si V es uncampo vectorial suave definido globalmente entonces Dv<p es nuevamente

38

una sección de F o sea que Dv es una transformación lineal

nO(F) -+ nO(F).Dv

Ahora podemos reescribir la propiedad 45) en términos de Dv así:

(47)Dv(Jq;) = (Vf)q; + f.Dvq;

para todo campo vectorial V, todo 4> E nO(F) y todo f E C~(M)

Si F es el haz trivial, esto es F ~ M x Rm, entonces las seccionesson funciones vectoriales con va.1ores en R m. Así podemos definir unaconexión, tomando la. derivada. usual, esta. conexión en nuestra notaciónD: .{2°(Rm) -+ .{21(Rm), es la. diferencial exterior de De Rham. Para uncampo vectorial o/ ox. y una. función vectorial 4> con valores en R m, tenemos

8IPOXi

d<l>(8/8zi) =D8/8.ci 4>

El conjunto de todas las conexiones sobre F no tiene una estructuranatural de espacio vectorial. Sin embargo, si DI Y D2 son conexiones sobreF y g es una función de valor real sobre M, entonces la combinación convexagDI + (1- g)D2 es de nuevo una conexión sobre F, puesto que

g)D2)f4>(gD1 + (1 gDI(ftJ» + (1 - g)D2(ftJ»

df (81 tjJ + ¡(,DI + (1 - g)D2)tJ>.

2.3.2 Teorema: Sean V, W campos vectoriales y 4», t/J secciones.elementos de ,QO( F). Entonces

1. Dv+wt/> Dv4> + Dw4>.

2. Dy( t/; + "') = Dvt/; + Dy'"

39

fE COO(M)3. DJvt/> f Dvt/>,

Demostración:

1

(Dv+w4»(x) (D4»~(V(x) + W(x»(D4»~(V(x» + (D4»s-(W(x»(Dv~)(x) + "Dw4»(x).

2.

[Dv(t/J + tJ1)](x) (D(~ + t/J».(V(z»(D4».(V(z» + (Dt/J)*(V(z»(Dv~)(z) + (Dvt/J)(z)

3.

(D¡v4»(z) (Dt/»s(f(x). V(x»f(x)(Dvt/»(x).

f( x)( Dtf) )~(V( x»

Lema:2.3.3conexión.

Si M es paracOmpacta entonces F posee una

Demostración: Sea {Va} una cubierta abierta de M tal queFlua es trivial para cada Q. Como M es paracompacta podemos escogeruna partición de la unidad {Pa} tal que el soporte de Pa este contenido enUa. Como Flua es trivial entonces este haz posee una conexión Da = d.Entonces D = E poDa es una conexión global para F.

Dadas conexiones D y D' sobre los haces F Y F' sobre M, éstas inducennaturalmente conexiones sobre F*, F ffi F' y F 18) F'. Las dos primeras sonobvias, la última está dada por

D ~ D')( ~ ~ ~') = (DC;) c&I ~' + ~ ~ (D' ~')

40

2.3.4 Definición: La curvatura. de una. conexión D es la. 2-forma. R(D) E {}.2(Hom(F,F)) definida para campos vectoria.les suaves Vy W por la regla

R(D)v,w DvDw DwDv Drv, W)

2.3.5 Teorema:4> E (}O(F). Entonces

Sean V, W campos vectoriales, f E C~( M) y

1. R(D)v,wU</» fR(D)v,w.

2. R(D)¡v.w = fR(D)v,w R(D)v./w

Demostración:

1. Calculemos DvDwUcf», DwDvUcf» y D(V,W]Ucf».

DvDw(Jcf» = (VWJ)cf> + (WJ)(Dvcf» + (Vf)(Dwcf» +

JDvDw(4»DwDvUcf» = (WVf)cf> + (Vf)(Dwcf» + (Wf)(Dvcf» +

JDwDv(cf»D(V,W](Jcf» = (VWJ)cf> - (WVf)cf> + JD(V,W](cf».

De aquí tenemos

R(D)v,wUq,) fDvDw«!J) -f.R(D)v,w«!J)

JDwDv«f» fD{V.W) (4»

41

2. Usaremos el siguiente resultado para campos vectoriales (ver [KNl],página 6)

[fV,gW] fg[V,WJ + f(Vg)W - g(Wf)V,

donde I,g E COO(M). Si 9 1 entonces tenemos

[IV, W] = I[V, W] (Wf)V.

Por tanto

R(D)¡v,w<p = D¡vDw<p - DwD¡v<p - Duv,WJ<P

= fDvDw<p - Dw(fDv<p) - D¡[v,WJ<P + D(W/)v<p

= f Dv Dw<p - (W /)Dv<p - f Dw Dv<p - f DCV,WJ<P + (W f)Dvt/>

= fR(D)v,w<p.

De manera similar se demuestra. la otra. igualdad

En el Teorema anterior (1) quiere decir que R(D)v,w es COO(M)-linea.l,o sea que, R(D)v,w es una sección de Hom(F,F).

Una. conexión D: .{}O(F) -+ W(F) puede ser extendida para obteneroperadores diferenciales

dD: O'(F) -+ (}P+1(F)

para cada p o, 1,2, . ... Si tP E (}P( F), dD tP se define como

,~,...,v,») +dDt/>(Vo,...,V,,) (50)

., Vp).

Se entiende que sobre nO(F), dD = D.

El l)i+i~(v.,V¡],Vo,...,~,...,v;,i<i

42

Lema:2.3.6

dD o dD = R(D), sobre {),O(F

11. Considerando R(D) E {}2(H om(F, F» se tiene

dD R(D) = O. (51)

Demostración:

Sea. <1> E !}O(F), entonces

dD o dD( 4» ~(D<p).Para. cada. par de campos vectoria.les suaves, usandotenemos

dD(D4»(Vo, V¡) =

46) Y ( 50)

D4> ([vo, Yt])Dvo D4>(V¡» - Dv1 (D~Vo»-DvoDvl4> - DVIDvo4> - D(VO,Vl]4>

R(D)vo,v¡4>.

11.

Para. <1> E (}O(F) tenemos

Dd R(D)(Vo, VI, ~)<I> = Dvo(R(D)v1,~)<I> - DV1(R(D)Vo,v2)tjJ +DV2(R(D)vo,Vl)<I> - R(D)(VO,Vl],V2<1>-

R(D)(Vo,V2],Vl<1> - R(D)(Vl,V2],VO<l>

Usando ( 48) Y ( 49) Y la identidad de Jacobi obtenemos la igualdadbuscada. La identidad ( 51) es llamada la identidad de Bianchi.

43

2.3.7 Definición: Sea M una variedad Riemanmana y F unahaz vectorial sobre M. Una métrica sobre F es un producto interno (., .)$sobre cada fibra F $ de F tal que para cada dos secciones </J, t/J E (2°( F) sobreun abierto U ~ M la función

(4>, tiJ)(z) (ti>( x), t/1( x »)s

es suave sobre U

2.3.8 Definición: Diremos que una conexión D sobre F eslliemanniana si para todas las secciones <1>, ~ E {10( F) se tiene

d(cP,~) (D;,1/1) + <~,D1/1).

Si V es una campo vectoria.l 52) se escribe en la forma

V(t/>,tiJ) = (Dvt/>,tiJ) + (t/>,Dv1/J).

Si DI Y D2 son dos conexiones Riemannianas sobre F y 9 es una funciónde valor real sobre M la combinación convexa, gDI + (1 - g)D2 es unaconexión lliemanniana puesto que

((gD1 + (1- g)D2)4>1'~) + (tPt,(gD1 + (1- g)D2)cf>2)= g(D1tPt, cf>2) + (1 - g)(D24>t, t/12) + g(t/11, D1~) + (1

= gd(t/11' t/12) + (1 - g)d(t/11' 4>2)= d(t/11' t/12).

g)(cPl,D2cP2)

Usando ~ argumento de particiones de la unidad, similar a.1 utilizado enla demostración de 2.3.3 se muestra la existencia de conexiones Riemannia-nas. Dada una métrica Riemanniana sobre M existe una única conexiónRiemanniana D sobre T M ta.1 que Dv W - Dw V = [V, W] para todoslos campos vectoria.1es V, W. Esta es llamada la conexión Riemanmanacanónica (ver [KN1], página 160).

44

Si tenemos métricas dadas sobre M y F existen métricas naturales sobrelos haces A PT* M t&I F. Las conexiones Riem~nnianas sobre F y M inducenconexiones Riemannianas sobre los haces APT* M t&I F. El producto internopuntual nos da una L:l-nonna en .Q;P( F) tomando

Los operadores dD dados en ( 50) tienen entonces adjunt~ formales

,5D: ,{}P+l(F) --+ '{}P(F) (55)

tales que

(dD4>I,4>2) = (4>1,6D4>2) (56)

para todo 4>1 E {}JI(F), cf>2 E {}P+l(F) con soporte compacto. Usando laconexión Riemanniana D sobre AJlT* M ~ F ~demos escribir 6D como

n(6D<I»(~,..., Vp) = - ¿(Dej<l»(ej,~,..., Vp) (5

j=1

donde {el,e2,... ,en} es cualquier base ortonomal de TM~ y <1> E {}P(F).

2.3.9 Teorema: Si D es una conexión lliemanniana entonces

(R(D)v,W<l>l' <1>2) + (<I>l, R(D)v,W<.b2) = O

para tPl, tP2 E ,QO( F)

Demostración: De ( 53) tenemos que:

WV (tPl, tP2) - (DwDv4>l,4>2) + (DV4>l' Dw4>2)

+ {Dw<./>t , DV4>2) + (4>1, DwDv4>2)

VW{<I>t,1/>2) - (Dv DW<Pl' <P2) + (DW<Pl' Dv<P2)

+(DV<Pl, DW<P2) + «Pl, DvDw<P2)

45

[V, W]«I>l, <1>2) (D(V,W)tPl,4>2) + (4>1, D(V,W) 4>2) (61)

Como [V, WJ vw - WV entonces

( 60) -( 59) -( 61)(DvDw<f>t,4>2) - (DwDv<f>t, 4>2) -+(4>1, DvDw4>2) - (4>1, DwDvci>2)

(D(V,WJ~' ~2)- (~1' D(V,WJ<f>2) o

De donde

(R(D)v,wcPtt cf>2) + (cPtt R(D)v,wcf>2) = o.

Este Teorema muestra que R(D) toma valores en elsubhaz de H om(F, F)de endomorfismos antisimétricos de F.

2.4 sobreConexión y CurvaturaC ua ternió nicos.

Haces de Líneas

2.4.1 Definición: Sea. M una. variedad y F una. haz de líneascua.terniónico métrico sobre M. Una. conexión lliemanniana. D que es JH-lineal, esto es, conmuta. con multiplicación escalar por cua.terniones, la. lla-maremos una Sp(l)-conexión (SU(2)-conexión).

De acuerdo a 2.2.1.3 yD(J) = [D, J) = O Y D(K

48) esto quiere decir que D(I) = [D, J}: [D~K] = O.

o

Dada una Sp(l)-conexión D sobre F, su curvatura R(D) también seránI-,-lineal. Por tanto R(D) toma valores en H omH.(F, F), esto es R(D) E.{"22( H omH( F, F».

46

Consideremos los siguientes haces

ASF {L E HomH(F,F): Le .L}

OF {L E Homu(F,F): Lf = L-1}

ASF es \Ul haz de álgebras de Lie, cada una isomorfa a 8u(2), bs.jo elcorchete de Lie [L1, L2] = Ll o L2 - L2 o Ll. De ( 58) Y ( 62) tenemos que

R(D) E ,{}2(ASF).

2.4.2 Teorema: Dado un haz de líneas cuaterniónico métricoF sobre una variedad M, el espacio C de Sp(l )-conexiones sobre F es unespacio afín con espacio vectorial asociado W (AS F

Demostraci6n: Sean D', D E C y consideremos la. diferencia.A = D' - D. Por ( 41) tenemos

A(fq,) = (D' - D)(fq,) = df t8J q, + fD/~ - dI t8J ~ - fD~

= fA(q,).

para todo f E COO(M). Sea V E TMz, como D'v y Dv son JH-lineales, laaplicación Av: F~ -+ Fz también lo es. De ( 53) tenemos

v (f/>I' f/>2)

V(f/>I,fi2)

(D'V<Pl' <p,) + «Pl, D'V<P2)

(DV<Pl' <p,) + «Pl, Dvt/>2)

Restando estas dos igualdades obtenemos

(AV4>1' 4>2) + (4>1, AV4>2) = O

O sea que Av es antisimétrica. Por 10 tanto Av E ASF, lo que quiere decirque A es una sección global en W(ASF).

Ahora, dada una Sp(l)-cone:x:ión D y una sección A E {}l(ASF) eloperador D' ~ D + A es nI-lineal. Por ser A antisimétrica tenemos que

(A~l'~) + (4»1, A'2) o

47

y por ser D riemanniana tenemos que

d( 4>t, t/>2) (D4>I,4>2) + (4>1, D4>2) + (Ac;., ;2) + (~, A4>2)(D'4>1,4>2) + (4>1' D'4>2).

Por lo tanto D' es una Sp(l)-conexión.

De acuerdo a este teorema para cada conexión D E C tenemos natural-mente las siguientes identificaciones

S'}l(ASF) ~ TCD ~ C.

Tomemos una conexión D fija. Por el Teorema anterior para cualquierotra conexión D' existe una única forma A E W ( AS F) tal que D' = D + A.Ahora estamos interesados en saber como se expresa R( D') en términos deR(D) y A. Para esto escojemos V, W E TM$" es fácil ver que podemosdefinir campos vectoriales locales de tal forma que [V, W] = o. Usando( 48), ( 49) Y ( 50) tenemos

R(D')v,w D~D'w - D~D'v - DÍv,W](Dv + Av)(Dw + Aw) - (Dw + Aw)(Dv + AvR(D)v,w + [Dv,Aw] - [Dw,Av] + [Av,Aw]R(D)v,w + Dv(Aw) - Dw(Av) + [Av,Aw]

R(D)v,w + (~A)v,w + [A,A]v,w

donde [A, A] es la 2-fonIla AS ~valuada definida por [A, A]v,wAsí

:Av,Aw].

R(D') R(D) + ~ A + [A, A].

De ( 6) Y .51) tenemos que la métrica sobre un haz líneas cuaterniónicométrico F es invariante bajo 5P(1). Así podemos definir un producto

(}I'(F) ~ nt(F) -+ W+9(M:A

48

el cual localmente se ve así:

Si ~ E 011(F) y t/J E 09(F) entonces

~ = E SI~I, SI E COO(F)111=11

t/J = E tJt/JJ,IJI=9

f>1 E {}P(M)y

tJ E CCX)( F) t/JJ E {}9(M)y

v'¡""¡' I::(Sl,tJ)4>l A t/JJo

1,J

Además las derivadas coV8XÍantes se comportan como una derivacióncon respecto a este producto, esto es

1ft/>" ~.p.d(4>/\.p) ~4>At/J+( (67)ver [AB], página 551.

El operador de Hodge extiende naturalmente a formas con valores enun haz y está. defillido por

~ /\ *t/J (4>, .¡, )volj ~,t/1 E OP(F).

Si M es una 4-variedad lliemanniana orientada, entonces todo 10 ante-rior 10 tenemos para n*CASF). Así existe un operador de Hodge

*: O"(ASF) -t- fI;4-P(ASF)

2, * {}2 -+ {}2 es tal que .2 = 1 Ytal que *2 = (-1)P<4-p). Cuando pproporciona. la. descomposición

n2(ASF) = n~(ASF) 6) O:(ASF)

como vimos en la sección 1.4.composición

Como R(D) E 02(ASF) tenemos una. des-

R(D) R(D)+ + R(D)- (68)

49

2.4.3 Definición:R(D), esto es, si R(D)-

Una conexión D es autodual si *R(D)=0.

De forma similar podemos definir conexiones antiautoduales, en estecaso, son conexiones tales que *R(D) = -R(D). Estas conexiones puedenconvertirse en autoduales cambiando la orientación en M.

En la sección 1.4 probamos que el operador de Hodge es invariante- .

2.4.4 Lema: El adjunto formal del operador dD

h'D: {}P(ASF) -+ {}P-l(ASF

está dado por:6D = - * ~ * .

Demostración: Recordemos que

(4>, 6D.¡,)(~4>, t/J)

con 4> E OJJ-l(ASF) y 1/7 E OP(ASF), dondedefinido en ( 54).

) es el producto interno

Si 4> E í}P-l(ASF) y t/I E í}"(ASF) entonces 4> 1\ *r!J E í}3(ASF:67) y el teorema de Stokes tenemos

Por

o 1)1'-1 1M 4> A ~ *'¡'

de donde

lY!M 4>" dD * t/J

Usando esto tenemos

( q" - * ~ * 1/1) - 1M 4> A * * ~ * '"

conforma.lmente, por tanto la condición de autodualidad anterior tambiénes invariante conformalmente.

50

Obsérvese que como tjJ E {},11( AS F) entonces dD * tjJ E {},5-p o sea que enla última integral ** = (-1)(5-11)(p-l).

Así~

(4», *dD*t!J) -1M'" A (-I)(5-P)(P-l)dD * t/J

(-I)-r 1M '" A dD * t/J

(-1)-'( -1)-' 1M ~q, A.'¡'

(-l)-P<P+l) 1M (dD q" '¡')vol

IM(~q"",)Vol = (dDq,,'¡')

( q" 6D'¡' )

2.5 El Grupo de Calibración.

Sea F un haz de líneas cuaterniónico métrico. Llamaremos el grupo decalibración de F al grupo GC de todos los automorfismos suaves del haz Fque preservan la métrica y la estructura cuaterniónica. Este es exactamenteel espacio de las secciones suaves de O F, o sea

GC = COO( OF.

El grupo de calibración actúa naturalmente sobre el espacio C de 51>(1)-conexiones y la acción está dada por

Cg(D) =goDog'

GCxC (g,D) f-+

donde la derivada covarÍante en la dirección de V, g( D)v, se calcula así:

g( D)vt/>

51

Calculemos la curvatura de g(D), esto es

R(g(D»yW = g(D)vg(D)w - g(D)wg(D)v - g(D)[V,W),= (g o Dv o g-I)(g o Dw o g-l) - (g o Dw o g-I)(g o Dv o g-l)

D -1-g O [V,W) O 9 .

= 9 O (DvDw) O g-1 - 9 O (DwDv) O g-1 - 9 O D[V,W) O g-1

= 9 O R(D)v,w O g-I,

por tanto

R(g(D» 9 o R(D) 09-1 (72)

La métrica sobre APT-M@F inducida por las métricas sobre M y F sepuede escribir

donde e'l' . , eip es una base para T Mz

2.5.1 Lema:bajo GC esto es

La norma puntual de la curvatura es invariante

11 R(g(D»11 = nR(D)1I

para todo 9 E GC.

Demostración: Por la definición de GC sabemos que todo auto-morfismo de calibre es ortogonal puntualmente, así que, para todo 9 E GC,gt = g-l. Entonces

lR(g(D»//2 = (R(g(D», R(g(D»)= L traZR [R(g(D»~J e¡,

iJ <...<ip

= L trazR [(g o R(D)eóJ eó"iJ <...<i,

= ~ trazR (g o R(D )et. ,e.L., 'J ,... '"iJ<...<i"

o R(g( D) )eil ,...,eip

o g-l)

52

-

Las Ecuaciones de Yang-Mills.2.6

Sea M una variedad lliemann1&na compacta de dimensi6n 4 y F un hazvectorial ~bre M. Suponemos que el grupo estructural de F es SP(l) ~SU(2). El grupo de calibración GC actúa. sobre el espacio C de Sp(l)-conexiones entonces tenemos un espacio cociente C / GC.

2.6.1 Definici6n: La funcional de Yang-Mills es la transfor-mación YM: C -+ JR+ dada por

donde 11 II~ es la L2-norma definida en ( 54). Así que

En la ~ci6n 1.4 probamos que si cambiamos la métrica por una métricaconforme o sea si cambiamos el producto interno (., .)z por un productointerno c(., .)z, c > O, sobre cada fibra Fz, las 2-fonnas y la forma devolumen cambian así

c-211t/J1I~

c2tJole

114>112

vol.

(73)--De aquí claramente concluimos que la funcional de Yang-Mills es la

misma para la métrica conforme, en otras palabras, la funcional de Yang-Milis es invariante conformalmente.

53

Además por 2.5.1 tenemos que la funcional de Yang-Mills es invariantebajo GC, por 10 tanto, ésta funcional pasa al cociente y obtenemos unafuncional

YM: C/GC -+ m,+

Pensando la funcional de Yang-Mills como una acción, las ecuacionesde Yang-Mills son sus ecuaciones de Euler-Lagrange. Para calcularlas con-sideremos la curva de conexiones Dt = D + tA, tER y A E W(ASF). De( 65) tenemos que su curvatura está. dada por

R(Dt) = R(D) +t~ A + t2[A,A].

Su norma esta dada por

IIR(D,) 11 2

Así

-

Las ecuacionesde Euler-Lagrange se obtienen haciendo igual a cero laprimera variación ( 74) para todo A. De donde obtenemos las ecuaciones

6DR(D) = o

o sea 188 ecuaciones de de Yang-MilIs.

De (2.4.4) sabemos que 6D * dD* o sea que ( 75) se escribe

~*R(D)=O

1M (~ A, R(D») vol

fM(A,6DR(D») vol

54

2.6.2 Definici6n: Una conexión D E C es llamada una conexiónde Yang-Mills y su curvatura R(D) es llamada un campo de Yang-Mills siR(D) satisface ( 75).

Si D es autodual ó antiautodual por la identidad de Bianchi ( 51) Y( 76) R(D) es automáticamente solución de las ecuaciones de Yang-Mills.

5.5

EL ESPACIO DE MODULI.3.

Sea F un haz de líneas cuatemiónico métrico sobre una variedad com-pacta Riemanniana M de dimensión 4. Como el espacio de conexionesautoduales es invariante bajo el grupo de calibración GC definimos el es-pacio de moduli como el espacio

D es autodual}MOD(M {[D] E C/GC

de clases de equivalencia de Sp(l -conexiones autoduales ~bre F.

En este último capítulo estudiaremos éste espacio para un haz sobre8. de número de instantón 1, ver 3.2. Probaremos que MOD(8.) es unafamilia 5-paramétrica y por último estudiaremos un teorema de caracteri-zación geométrica de éste espacio llamado el teorema de collar.

El Número de Instantón.3.1

Sea F un haz vectorial complejo sobre una variedad M. Si D es unaconexión sobre F y R( D) su curvatura entonces definimos la fonDa de Cherntotal como

c(F)

(77)1 + cl(F) + C2(F) +

donde las fonDas individuales c;(F) son polinomi~ de grado j en R(D).Se puede probar que dc( F) = O Y que por lo tanto c( F) representa unaclase de cohomología de De Rham o sea c(F) = [det (1+ ~R(D»] EnI*(M, (). Además ésta clase de cohomología resulta ser independiente dela conexión. Así, las formas de Chern c;( F) representan clases de coho-mología en H2;(M, (). Un hecho todavía más notable es que las clasesde cohomología a las cuales las clases de Chern pertenecen son realmenteclases enteras, esto es c;(F) E nI~;(M,Z). Para más información ver [M],[EGH].

56

Sea F un haz de líne88 cuatemiónico métrico. Utilizamos la descripcióndada en (2.2.1.2) o sea que pensam~ F como un haz complejo de rango2 con grupo estructural SU(2). En 2.4 vimos que R(D) E !}2(ASF) y queASF es un haz de álgebr88 de Lie isomorf88 a 8u(2). Entonces R(D) lopodemos ver como

[ rll

r21R(D)

con rll + r22 = O. Ahora calculemos c( F) usando 77), entonces

1 + frrll i2;"r12I1+ -R(D) =

2-w- i2;r21 1 + ~r22

y

det

De donde

Co(F)

cl(F)

c2(F)

Si M es una variedad de dimensión 4 orientada podemos integrar ~(F)sobre M y obtenemos un entero el cual es independiente de la conexión. De-finimos el número de instantón ó segunda clase de Chem ó carga topológicade F como

k= R(D) A R(D» (78)

57

Ahora, como observamos en ( 68) R( D) se descompone en la forma

R(D) = R(D)+ + R(D)-

con R(D)+ E n~ y R(D)- E n~ Como n~ es ortogonal 8. n~

De igual manera

tr(R(D) A R(D» tr(R(D)+ A R(D)+) + tr(R(D)- A R(D)_)tr(R(D)+ A .R(D)+) - tr(R(D)- A .R(D)_)-tr(R(D)~ A .R(D)+) + tr(R(D)~ A .R(D)_)-IIR(D)+1I2 + UR(D)-II2

Así de ( 78)

k

4'K~

De 79) Y ( SO) tenemos que

~ o

.YM(D) 41r2k,~ si k> O.

Así que YM(D)probado el teorema.

41r2 k si y sólo si D es autodual. Entonces hem~

58

3.1.1 Teorema: Sobre una variedad compacta de dimensión 4las conexiones autoduales minimizan absolutamente la funcional de Yang-Mills. Además cualquier otro mínimo absoluto también es autodual.

Cuando k < O obtenemos resultados similares cambiando autodualidadpor antiautodua.1idad.

Ahora consideremos el haz de líneas cuaterniónico métrico E.. estudiadoen 2.1.1. La curvatura Rl de este haz esta dada por ( 43)

dzAd.f(1 + /zI2)2.

Rl

Entonces

k tr( R1 /\ RI)

1 { n dz 1\ di 02B;2 J~ (1 + 1z1212 =

1 48 I8:;2.w 1St vol

Como habíamos dicho inicialmente trabajaremos con haces de númerode instantón 1. Estudiaremos el espacio de moduli MOD(S4) utilizando elhaz Ea..

59

3.2

Recordemos que el grupo de transfonn~iones confannes propias(transfonnaciones que preservan orientación) de S2 es 5L(2, ()/{:f:l} ac-tuando vía transform~iones íraccionales lineales de una variable compleja.De manera similar el grupo conformal propio de 54 es 5L(2,H)/{:f:l}actuando de la misma forma sobre una variable cuaterniónica, ver [A].

Debido a la. no conmutatividad de los cuaterniones cada transformaciónconforme de 8. puede escribirse usando multiplicación a izquierdao multiplicación a derecha. Así para cada trasformación conforme de 84tenemos las siguientes representaciones

(81)(82)

X -+ (ax + b)(cx + d)-1X -+ (X1 + 6)-1(ZQ +.8)

Tomando conjugados cuaterniónicos se intercambian ( 81) Y (82). Másprecisamente, llamemos S y T las transformaciones ( 81) Y (82) respectiva-mente con (a,,8, "Y, 6) = (ti, b,c, J). Sea C la transformación de conjugación,C(x) = x. Entonces

CoSoC(z c o S(.i) == C[(az + b)(ü + d)-l](CX + d)-l (;j:f+~ = (xc + t1)-l(Za + 6)T(x).

Por lo tanto T = CG$oC

Consideremos ahora el instantón básico ( 42). Recordemos que las ecua-ciones de Yang-Mills son invariantes bajo transformaciones conformes, porlo tanto SL(2, JH)/{:f:l} actuando sobre el instantón básico produce nuevosinstantones, en realidad obtenemos todos los k = 1 instantones, ver [AHS].En la siguiente sección probamos que el instantón básico es invariante bajola inversión x -+ X-l, salvo por una transformación de calibre. Claramente

60

también es invariante bajo x -+ ax, con lal = 1 Y x -+ xa produce so-lamente una transformación de calibre constante. Así es inva.riante bajo50( 4). Pero realmente es invariante, salvo transformaciones de calibre,bajo el grupo 50(5) el cual podemos ver como 5P(2)j{xl}. En conclusiónel espacio de moduli para 54 es

MOD(~) SL(2, H) / Sp(2) 50(5,1)/50(5)

la bola hiperbólica o espacio de normas cuaterniónicas sobre :JH2 con volu-men 1.

De acuerdo a lo anterior para obtener nuevos instantones debemos uti-lizar elementos de SL(2, nI) módulo SP(2) , estos elementos están dadosnaturalmente por las transformaciones

X -+ I"(x - b)

donde P E R+ y b E ni. Estos parámetros puede verse que parametrizan aSL(2,ni)jSp(2) asociando a (p,b) la matriz auto-adjunta positiva

~)(~ Ibl2 = 1con JJv

Como Jl Y b varian la transformación ( 41) aplicada al instantón básicogenera una familia 5-paramétrica de instantones, la cual por lo dicho ante-riormente es el espacio de moduli sobre S4.

3.3 Conexiones sobre E..

Recordemos que en el ejemplo 2.1.1 estudiamos el haz JH --+ E.. ~84, allí fué descrito utilizando dos trivializaciones E..lu¡ ~ n:t4 xII (i = 1,2)las cuales están dadas por

-+ '7Ifl{U,)..-+ [q, z, al

t/J¡: U¡ X JH

(q, x)(85)

61

y están unidas por la aplicación

Cffi,4</>:{O}) x II -+ (1l4 - {O}) x Bf

(q,x) ~ (~,x.~)

Bajo la trivialización t,b¡ las secciones de E.. sobre U¡ son simplementefunciones f: m.4 -+ H las cuales pueden escribirse en la forma

/(z) !t(z) + ih(z) +jf;s{z) + kJ4(Z

donde h, . . . , f 4. son funciones de valor real. Una conexión sobre E.4 puedenser expresada sobre U 1 como

D=d+A

donde A es una 1-forma con valores en ImJH, esto es

A = Aldx1 + A2dx2 + ~dx3 + A-.dx4

y Aa: ]R4 -+ [mil es una función suave para cada Q. Así escribimos

alazQ

Da/a...! = + f.~; Q = 1,2,3,4.

Veamos que sucede bajo la,transformación (86), la cual descomponemosen la transformación de coordenadas y = l/x y la transformación de hacesdada por la multiplición a derecha por la función ti = ~ = ~.

Bajo 86) una sección f se convierte en 1, donde

i=/.uy

~ (]R4(m.4 - {O}) x H

'lB!i!m.4

{O})!i j

]R.

xII1]H

id--+

62

Así j(x) = f(x).¡;¡ en x-coordenadas y j(,,) = f(l/,,).~ en y-coorde-nadas.

Para ver que sucede con una 1-forma. bajo ( 86) primero observemos

que como ü.u = 1 entonces -/!au = -ü-l!a. Si A es 1-forma de conexión

entonces

-

Tenemos entonces que bajo 86) A se convierte en

A = -üdu + üAu.

Ahora. para. cada. >. E R + definimos

zdZ-AA = 1m

Obsérvese que cuando>. = 1 obtenemos el instantón básico.

Calculemos la 2-forma de curvatura de A, esto es

R). -

63

( dx 1\ dx zdiAztlZ1m < X2+lZr + zd().2 + fZr)-ld.f + ().2 + Iz12)2

Escribiendo Ixl2 XX obtenemos

zd().2+ IzI2)-ldz.z(.\ 2 + IZr)-2( di.z + xdz )dx

zdx " zdX Izr( dz " dx)~2 + Iz12)2 (~2 + 1%1')'

Entonces

.\2dz A ~ 1dx 1\ dx Izr(dz A dx)R'x 1m =Im

(A2 + IxI2)2) {).2 + Iz1~)2

o seaA2dz A di

R>' (91( .\2+)%:12)2

43)Para>. = 1 obtenemos la curvatura del instantón básico dada en

3.3.1 Lema:sobre el haz E...

La conexión A extiende para definir una conexión

Demostración: Sean p y -p puntos antipoda.les sobre S4. To-mando proyección estereográfica desde -p obtenemos coordenadas y, cony = ~ = 1;Í2, ver ( 32) y ( 33).

Como ,i,i-l =guiente expresión

1 entonces dXX-l XdX-l Ahora calculemos la si-

xdofZ-1 + Zd.f-lz IzI2d.f.z-l).2 + Izl2 + zdZ

64

zdz-:( l%f2 -j4¡;fi + 1

..\2.fü-1

..\2 + Izl2

Dividiendo el nÚInerador y el denominador de la última expresión racionalpor ).21x12 obtenemos

ydij¡¡,-1 + ¡¡,d¡¡,-l (92)f

zdi

,:\2+ f;¡¡ 1Ir + lyl2

Tomando parte imaginaria en esta identidad se demuestra que la conexiónA.x extiende a 8" y tiene forma muy similar tanto en 00 como cerca de cero.

Haciendo A = A-x en ( 89) se obtiene la identidad: 92) o sea que ellema anterior prueba que las conexiones A-X(x) y At(y) están relacionadaspor la función de transición u = J:i = ~.

De 10 hecho en la sección 1.4 tenem~ que R>' es autodual o sea que lasconexiones A>' son instantones.

Consideremos la dilatación

r~ ffi.4X

m,4

lXA

~

Un cálculo similar al hecllo en el ejemplo 2.1.1 muestra que (r~). Aly (r~). Rl = R~.

A.\

Veamos ahora que cuando A -+ O, R~, A~ Y IIR~II se concentran envecindades más y más pequeñas de cero.

65

~2(~2+P)2'

1 R). ).2dzl\d.T; ' d 1 !un " f( ), = ().2+lzP)2' cona! eremos a Clon tderivando

Entonces

4.>t2t 4.\2(5t2 - ,.(.\2 + t2). '

).2)y,"

().2+ t2)3

De donde f(t) tiene un máximo en tt = ~*)..

o y dos puntos de inflexión en

,ftt,}

~

*} "Ir

2. Para A). = 1m ("41"), consideremos la función g(t) = ~, o seaconsideremos una sola. dirección para x. Derivando

~2 - t2(~2 +t2)2

g"(t) = 2t(t2g'(t) = y- 3.\2)

(.\2 + t2)3 .

De donde g{t) tiene un máximo en t = >., un núnimo en t =tres puntos de inflexión t = O, t = ..;3>. y t = -..;3>.. Además

>.y

limg(t) = lim g(t)t-<XI t--~

o.

f~(t:

66

:1r~~

1 ~

f ~ .

..:L..~

3. De ( 91) Y ( 25) tenemos que4

IIR}1I2 48).

;,'"~I + ti!'

2

(~)Sea h(t) Derivando

8), 4t 9t'l, .. - - ().2 + t2)5 - 8).4().2 ~.

De donde h(t) tiene un máximo en t = O Y dos puntos de inflexión ent = :i:1)..

,\2h'(t) h"(t)y

4hltl

-4Y!-

+~~

67

Todos estos cálculos muestran la afirmación hecha anteriormente.

Recordemos ahora. que la función IIR(D)1I2 depende únicamente de laclase de equivalencia de D, puesto que IIR(gD)1I = IIg o R(D) o g-111 =IIR(D)II. Por tanto, si ),1 ;J6 ),21&8 conexiones D~l = d+A~l y D~2 = d+A~2no son equivalentes.

Sea q E S4 y tomemos proyección estereográfica de q a -q. Para ). < 1,la función /lR)./l2 construida sobre la carta coordenada que contiene a qtiene máximo absoluto en q. O sea que cada una de las conexiones A).para q E 5. y O < ). < 1 están en clases de equivalencia diferentes. Laidentificación (q,).) -+ A nos da el difeomomsmo

~ x (0,1) -+ MOD(~) - {O},

Agregando la conexión simétrica. Al se completa el espacio. Este difeo-momsmo es conocido como El Teorema del collar.

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