Instabiel trillingsgedrag van roterende assen ten gevolge ...

Wouter Lemahieu

gevolge van roterende dempingInstabiel trillingsgedrag van roterende assen ten

Academiejaar 2011-2012Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Voorzitter: prof. dr. ir. Patrick De BaetsVakgroep Mechanische Constructie en Productie

Voorzitter: prof. dr. ir. Jan MelkebeekVakgroep Elektrische energie, Systemen en Automatisering

Master in de ingenieurswetenschappen: werktuigkunde-elektrotechniekMasterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Begeleider: Bram VervischPromotoren: prof. dr. ir. Mia Loccufier, prof. dr. ir. Patrick De Baets

DANKWOORD i

Dankwoord

In dit dankwoord wil ik enkele personen vermelden die een speciale bijdrage hebben gedaan in

het tot stand komen van deze thesis. Hier bedank ik graag mijn beide promotoren professor dr.

ir. Mia Loccufier en professor dr. ir. Patrick De Baets en mijn begeleider ing. Bram Vervisch

voor de ondersteuning en begeleiding van mijn masterproef.

Daarnaast wil ik hier ook mijn ouders bedanken voor de kans die ze me gegeven hebben om

deze opleiding te volgen en mijn beide zussen en mijn vriendin voor de steun die ik van hen

gekregen heb gedurende dit academiejaar.

Wouter Lemahieu, juni 2012

TOELATING TOT BRUIKLEEN ii

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van

de scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.

Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrek-

king tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit

deze scriptie.”

Wouter Lemahieu, juni 2012

TOELATING TOT BRUIKLEEN iii

Instabiel trillingsgedrag van roterende assen

ten gevolge van roterende dempingdoor

Wouter Lemahieu

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van

burgerlijk ingenieur in de werktuigkunde-elektrotechniek

Academiejaar 2011–2012

Promotoren:prof. dr. ir. Mia Loccufier, prof. dr. ir. Patrick De Baets

Scriptiebegeleider: Bram Vervisch

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Universiteit Gent

Vakgroep Mechanische Constructie en Productie

Voorzitter: prof. dr. ir. Jan Melkebeek

Vakgroep Elektrische energie, Systemen en Automatisering

Voorzitter: prof. dr. ir. Patrick De Baets

Samenvatting

Interne demping in roterende assen is een oorzaak van instabiel gedrag. In deze thesis wordt dit

gedrag onderzocht aan de hand van een eindige-elementenmodel. Met behulp van van experimen-

tele modale analyse wordt vervolgens een meetprocedure opgezet om dit gedrag te controleren.

Uit de metingen worden vervolgens de modale parameters bepaald aan de hand van de least

squares complex exponential methode. Tenslotte wordt met behulp van een recent ontwikkeld

algoritme de dempingsmatrix geschat vanuit de modale parameters. Dit laat toe een beeld te

krijgen van de verdeling van de demping over de structuur.

Trefwoorden

Rotordynamica, Demping, Eindige-elementen, Experimentele modale analyse, LSCE

Instability of rotating shafts due to internal dampingSupervisor(s): Prof. dr. ir. Mia Loccufier, Prof. dr. ir. Patrick De Baets, Ing. Bram Vervisch

Abstract— This paper discusses the influence of internal damping onthe stability of rotating structures. By constructing a finite element modelof simple beams, predictions can be made about the behavior of rotatingshafts. Special attention is given to the concequences of the damping modeland how this damping type could be measured with experiments. A seriesof simple experiments on a non-rotating shaft confirmed the validy of thefinite element simulation. The least squares complex exponential techniquewas used to extract the modal parameters from the measurements whichallows to compare the model to the simulated data. At last a recent devel-oped algorithm to calculate the damping matrix out of the measured datawas investigated. All these steps lead to a better understanding of the phe-nomena of internal damping in rotating shafts an give us more informationto predict the possible occurance of instability due to internal damping.

Keywords— Rotordynamics, Internal damping, Least squares complexexponential, Finite elements, Damping matrix identification

I. INTRODUCTION

ROTOR internal damping has been indicated as one of thecauses of instability in rotating machinery for more than

a century. This threshold frequency of instabilty which cannotbe crossed during operation limits the possible increase of ro-tating speeds and the associated reduction of size and energylosses of rotating machinery. More knowledge about the inter-nal damping is required to be able to predict the threshold speedcorrectly. However, the exact characterisation of this dampingis still an unsolved research topic.

In the first part of this paper the construction of a finite ele-ment model to predict the behavior of the threshold speed underinfluence of rotating speed and damping models is discussed.Next, by means of modal experiments and modal identificationtechniques this model is validated. At last a technique is inves-tigated to predict the distribution of the damping along a mea-sured structure. All this leads to a better understanding of thephenomena of internal damping in rotating structures.

In practice, many other elements may influence the instabilityof a rotor. The use of journal bearings for example is given asone of the most frequent causes of rotor instability in practice.Joints, fits, groove couplings and coatings are other features thatincrease the possibility of instability. In the work discussed bythis paper the influences of these other factors are reduced asmuch as possible allowing to concentrate on the role of rotorinternal damping.

II. FINITE ELEMENT ANALYSIS

The simulated shaft is divided in a number (here 8) oftwo-dimensional Euler Bernouilli beam elements. The precisederivations leading to the mass and stiffness matrices can befound in Zorzi’s [1] work or other literature dealing with finiteelement analysis of rotating structures. At predefined nodes,stiffness and viscous damping can be added in both dimen-sions to respresent the influence of symmetric bearings or otherboundary conditions. Flowchart 1 illustrates the main steps thatare followed to calculate the vibration frequencies and modalshapes.

Input data

Determination of matrices

for Ω=0-Ωmax

Defining state space model

Calculation eigenvalues

Sorting eigenvalues

Drawing graphs

Fig. 1. Block diagram of the finite element simulation program.

A viscous damping model [1] and a hysteretic damping model[2] were implemented. Figure 2 illustrates the main differencebetween both models for a simple shaft with internal dampingsupported by damped bearings at both ends. (Details of theshaft: L=1.27 m, D=0.1016 m, E=208 N/m2, ρ=7830 kg/m3,Kbearing=1.75 107 N/m, Cbearing=1750 N/ms, viscous damp-ing=0.002 s, hysteretic damping=0.04 s). The damping in theviscous damped shaft changes gradually over the speed rangewhile the damping factor in the hysteretic damped shaft showsa abrubt transition at the resonance frequency. Two types ofvibrations can be distinguished, forward and backward whirlmotions. The difference beteen these two is that the forwardwhirling motion induces harmonic vibrations in the same direc-tion of the rotation of the shaft while the backward whirl motioninduces harmonic vibration with opposite direction of the rota-tion of the shaft.

The finite element model confirms the statements made byForrai [3], namely that non-rotational damping will always en-large the instability threshold speed, backward whirling modesare always stable and instability due to rotor internal dampingcan only occur at rotational speeds above the first resonance fre-quency.

III. MEASUREMENT TECHNIQUES

The constructed finite element program was validated bymeans of modal experiments. A simple shaft (L=1 m, D=0.1m, X46Cr13 steel) supported at both ends by springs or nylon

0 500 1000 1500 20000

500

1000

Rotor spin [rad/s]

ω [r

ad/s

]Campbell Diagram

0 500 1000 1500 2000-0.5

0

0.5

1

Rotor spin [rad/s]

σ [1

/s]

Decay Rate diagram

0 500 1000 1500 20000

500

1000

Rotor spin [rad/s]

ω [r

ad/s

]

Campbell Diagram

0 500 1000 1500 20000

0.2

0.4

Rotor spin [rad/s]

σ [1

/s]

Decay Rate diagram

1st forward whirl 2nd forward whirl 1st backward whirl 2nd backward whirl

Fig. 2. Comparison of the viscous damping versus the hysteretic dampingmodel. Above: the Campbell diagrams which shows the resonance frequen-cies as a function of the rotation speed. Bellow: the decay rate, plotting thedamping factors in function of the rotational speed. Left: Viscous damping.Right: Hysteretic damping.

0 100 200 300 400 50010

0

102

104

106Frequency responce function derived from measurements

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de

Fig. 3. Frequency response function of the measured structure (Excitation andresponse measured at the center of the beam).

wires was excited with hamer impacts and the responses weremeasured with accelerometers. Tests were preformed to developa good measurement technique that could be used on rotatingshafts. During this tests it was observed that even for this rela-tive simple geometry of a long non-rotating shaft the researcherhas to be very aware of the effects that could be introduced byvarious factors. The influence of the suspension method, thehardness of the hammer tip and the cable type of the acclerom-eters were investigated in detail with extra measuremets. Thisoptimized measurement method which gives the frequency re-sponse function as illustrated in figure 3.

IV. IDENTIFICATION TECHNIQUES

The next step is the calculation of the resonance frequencies,damping factors and eigenvectors/vibration shapes. The LeastSquares Complex Exponential (LSCE) algorithm [4] was used.This algorithm is a global time domain identification method.Table I shows the identificated frequencies compared to the fre-quencies obained through simulating of the structure.

Finally a new approach for the reconstruction the viscousdamping matrix of lightly damped structures out of the modalparameters was investigated. Adhikari and Woodhouse claim in

TABLE ICOMPARISON OF THE THREE LOWEST RESONANCE FREQUENCIES OF THE

SIMULATION MODEL AND THE MEASUREMENTS.

Simulations Measurements Deviationωres ωres Damping factors ωres

298,8 rad/s 291,6 rad/s -0.339 2.47%822,6 rad/s 836,3 rad/s -4.66 1.64%1613 rad/s 1577 rad/s -1.25 2.28%

their research [5], [6] that the eigenvectors of the damped systemψjd can be approximated as a sum of the eigenvectors of the un-

damped system ψku (see equation 2). This approximation is only

acceptable for lightly damped structures where the undampedand the damped eigenvectors are close to each other.

ψjd ≈

N∑

k=1,k 6=j

ψju + iαkψk with |α| < 1 (1)

After derivations they approximate the imaginary part of theeigenvectors as [7]:

ψjd ≈ ψj

u + i

N∑

k=1,k 6=j

ωjC′kj

ω2j − ω2

k

ψk (2)

Splitting this equation up in real and imaginary parts givesa manner to calculate the C’ matrix out of the eigenvalues andeigenfrequencies of the damped system. With C’ is the dampingmatrix in modal coordinates (C ′

kl = ψTk Cψ

Tl ). Transformation

in the opposite way allows to calculate the damping matrix inphysical coordinates. These methods were tested on a theoret-ical model and succeeded to reconstruct the damping distribu-tion in the model. The use of this theory on rotating systemsrequests more research, but this approach seems verry promis-ing to be applied into rotordynamics for investigating the actualcontributions to the damping of the system.

ψjd ≈ ψj

u + i

N∑

k=1,k 6=j

ωjC′kj

ω2j − ω2

k

ψk (3)

V. CONCLUSIONS

REFERENCES

[1] E. S. Zorzi and H. D. Nelson Finite Element Simulation of Rotor-Bearing Systems With Internal Damping, Journal of Engineering for Power,99(1):71-76, January 1977.

[2] Giancarlo Genta. On a Persistent Misunderstanding of the Role of Hys-teretic Damping in Rotordynamics, Journal of Vibration and Acoustics,126(3):459, July 2004.

[3] L. Forrai Instability due to internal damping of symmetrical rotor-bearingsystems, JCAM,1(2):137-147, 2000.

[4] W. Zhou and D. Chelidze Generalized Eigenvalue Decomposition in TimeDomain Modal Parameter Identification, Journal of Vibration and Acous-tics, 130(1):011001, February 2008.

[5] S. Adhikari Damping Models for Structural Vibration, Technical report,Cambridge university engineering department, 2000.

[6] J. Woodhouse Linear damping models for structural vibration. Journal ofSound and Vibration, 215(3):547-569, August 1998.

[7] S. Adhikari Identification of Damping: Part 1, Viscous Damping, Journalof Sound and Vibration, 243(1):43-61, May 2001.

INHOUDSOPGAVE vi

Inhoudsopgave

Dankwoord i

Toelating tot bruikleen ii

Gebruikte symbolen ix

1 Inleiding 1

2 Rotordynamica 3

2.1 Ontstaan van instabiel gedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Demping 12

3.1 Algemeen dempingsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Viskeuze demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Hysteresis demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Maxwell-Weichert model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Eindige-elementenmodel 18

4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Balk element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Geımplementeerde dempingsmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.1 Viskeuze demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.2 Hysteresis demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Opbouw van het programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1 Gegevens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

INHOUDSOPGAVE vii

4.4.2 Bepalen van de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.3 Opstellen toestandsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4.4 Bepalen van de resonantiefrequenties, dempingsfactoren en trillingsvormen 27

4.4.5 Grafiek opstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5 Werking en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5.1 Vrije as zonder inwendige demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5.2 Ongedempte as op lagers zonder lagerdemping . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5.3 Ongedempte as ondersteund door lagers met lagerdemping . . . . . . . . 33

4.5.4 Viskeus gedempte as op lagers met lagerdemping . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5.5 Hysteresis gedempte as op lagers met lagerdemping . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Experimentele modale analyse 39

5.1 Beschrijving van de meetopstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Invloed ophangingsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Excitatiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.2 Invloed hamertip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Responsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.1 Meetprocedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Signaalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Identificatie 52

6.1 Least squares complex exponential algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.1 Voorbeelden en resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Lokalisatie demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.1 Fitten van een viskeuze dempingsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2.2 Toepassingen en voorbeelden viskeus gedempte systemen . . . . . . . . . 65

6.2.3 Berekening van dempingsmatrix van een niet-viskeus gedempt systeem . . 71

6.2.4 Toepassingen en voorbeelden niet-viskeus gedempt systemen . . . . . . . 74

6.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Besluiten 79

INHOUDSOPGAVE viii

Bibliografie 81

Lijst van figuren 84

Lijst van tabellen 86

GEBRUIKTE SYMBOLEN ix

Gebruikte symbolen

c Dempingsfactor (Ns/m)

i Imaginaire eenheid√−1

f(t) Externe krachtvector

g(t) Relaxatiefunctie

k Stijfheid (N/m)

l Lengte element(m)

m Massa (kg)

q Vector van veralgemeende coordinaten

t tijd

x Verplaatsing langs x-as (m)

y Verplaatsing langs y-as (m)

C Dempingsmatrix

E Elasticiteitsmodulus (N/m2)

G Gyroscopische matrix

G Glijdingsmodulus (N/m2)

H Circulatiematrix

I Traagheidsmoment

K Stijfheidsmatrix

M Massamatrix

N Dimensie van het systeem

R Positievector

η Verliesfactor (s)

GEBRUIKTE SYMBOLEN x

ε Rek

γ Fasehoek tussen spanning en rek

γ Verhouding tijdsconstante demping tegenover tijdsconstante systeem

G Matrix met set relaxatiefuncties

σ Spanning (N/m2)

σ Dempingsfactor (1/s)

ρ Massadichtheid (kg/m3)

ν Poisson-coefficient of dwarscontractiecoefficient

µ Exponentiele dempingscoefficient

φ Afschuifrek

θ Tijdsconstante systeem

τ Schuifspanning (N/m2)

ψ Eigenvector

λ Eigenwaarde / pool van het systeem

Ω Rotatiesnelheid (rad/s)

ω Resonantiefrequentie (rad/s)

(•)a Veralgemeende matrixvoorstelling

(•)eq Equivalente

(•)s Symmetrische component van matrix

(•)ss Scheef symmetrische component van matrix

(•)H Hysteresis

(•)V Viskeus

(•)T Getransponeerde

(•)∗ Complex toegevoegde

(•) Tijdsafgeleide

(•) Gedempt

(•) Ongedempt

INLEIDING 1

Hoofdstuk 1

Inleiding

Aan het begin van de 20ste eeuw (1895) bewees De Laval dat een machine boven haar eerste

kritisch toerental op een veilige manier kan werken [1]. Dit was het begin van een verdere ont-

wikkeling waarbij de rotatiesnelheden gevoelig vergroot werden om een hoger rendement van

roterende machines te bekomen. Dit leidde echter tot nieuwe problemen, een daarvan werd

reeds in 1924 herkend door Newkirk als het voorkomen van een instabiliteitsgrens door rotor-

lager interactie. Reeds in die periode werd interne demping in de rotor als een van de mogelijke

oorzaken van dit instabiel gedrag ontdekt. Een uitgebreidere beschrijving van de verdere evo-

luties in dit vakgebied wordt hier niet verder beschreven. In enkele referentiewerken [2],[3,

Hoofdstuk 1],[4],[5, Hoofdstuk 7] is een overzicht gegeven van de evolutie van de rotordynamica

en het onderzoek naar het instabiliteitsgedrag van assen.

Bovenstaande referenties tonen aan dat het ontstaan van instabiliteit door interne demping

al lange tijd omschreven staat in de literatuur. Toch valt het op dat slechts weinig experimenteel

onderzoek verricht werd rond dit thema. Het is op te merken dat er ook binnen de gepubliceerde

werken een grote kloof is tussen de beschreven theorieen en de praktische applicaties. De vele

modellen die interne demping in roterende assen beschrijven, verklaren wel de optredende ver-

schijnselen. Deze modellen laten echter niet zo eenvoudig toe een voorspelling te doen van het

gevaar op instabiliteiten.

In deze thesis wordt een eerste stap gezet in het overbruggen van de kloof tussen de theorie en

de praktijk. Door de theoretische modellen te koppelen aan meetdata, bekomen uit experimen-

tele modale analyse, kan er een praktische link worden gelegd. Deze masterproef concentreert

zich concreet vooral op het opstellen van een theoretisch model, het uitwerken van een geschikte

methode voor het bepalen van de modale parameters uit experimenten en op het onderzoeken

INLEIDING 2

van een recent gepubliceerde methode om ook de geometrische verdeling van de demping te

bepalen uit de modale parameters.

Hoofdstuk 2 geeft een inleiding in de theorie van de rotordynamica. In dit hoofdstuk wordt

de nadruk gelegd op de eigenschappen die later in deze thesis aan bod komen. In hoofdstuk 3

wordt dieper ingegaan op dempingsmodellen en het gedrag van gedempte assen. Deze dempings-

modellen worden vervolgens gebruikt bij het opstellen van een eindige-elementenmodel voor het

bepalen van het gedrag van eenvoudige assen in hoofdstuk 4. Zoals reeds hierboven vermeld

concentreert het tweede deel van deze scriptie zich op het bepalen van de modale parameters

uit experimenten. Hoofdstuk 5 bevat een analyse van de metingen die zijn uitgevoerd. In

hoofdstuk 6 worden de methoden behandelt voor het bepalen van de modale parameters en de

dempingsmatrix uit de metingen.

ROTORDYNAMICA 3

Hoofdstuk 2

Rotordynamica

Instabiliteit door roterende demping is een specifiek probleem voor roterende elementen. Om een

beter inzicht te krijgen, worden hierna de belangrijkste eigenschappen van roterende machines

besproken.

Een fysische structuur is veel te complex om volledig te modelleren. Daarom wordt het sys-

teem gediscretiseerd tot een eenvoudiger model waarvan de eigenschappen overeenstemmen met

het fysische model. De massa, stijfheid en demping van de fysische structuur worden herverdeeld

onder een beperkt aantal vrijheidsgraden. Aan de hand van de Lagrange vergelijkingen kan het

gedrag van een gediscretiseerd lineair systeem onderworpen aan trillingen met kleine amplitude

beschreven worden door volgend lineair verband:

Mq(t) + Cq(t) +Kq(t) = f(t) (2.1)

Hier stellen M, C en K de massamatrix, dempingsmatrix en stijfheidsmatrix voor, q(t) de

vector van verplaatsingen van de vrijheidsgraden en f(t) de vector van de externe krachten in

deze punten. Deze matrices zijn bij niet-roterende systemen allen symmetrisch. Het vinden van

de natuurlijke frequenties en de modale trillingsvormen van de structuur kan door het oplossen

van het eigenwaarden probleem dat gevormd wordt door vergelijking 2.1.

Bij de analyse van roterende structuren wijkt de bewegingsvergelijking af van dit verband

[6]. Voor het gedrag van roterende structuren, en in het bijzonder voor de studie van het

dempingsverschijnsel, is het toegelaten volgende twee veronderstellingen door te voeren om tot

een eenvoudig, bruikbaar en accuraat model te komen: de rotatiesnelheid is constant en de

structuur is symmetrisch rond zijn rotatieas. Dit leidt tot de bewegingsvergelijkingen voor

roterende elementen:

ROTORDYNAMICA 4

Mq(t) + (C(Ω) +G(Ω))q(t) + (K(Ω) +H(Ω))q(t) = f(t) (2.2)

Met G de gyroscopische matrix en H de circulatiematrix. Deze matrices vertegenwoordigen

de gyroscopische- en corioliskrachten die aangrijpen op het systeem. De dempings-, gyrosco-

pische, circulaire en stijfheidsmatrix zijn afhankelijk van rotatiesnelheid. De gyroscopische- en

circulatiematrix zijn asymmetrische matrices en zijn gelijk aan nul indien het systeem niet roteert

zodat de bewegingsvergelijking in dat geval overeenstemt met vergelijking 2.1.

Het voorkomen van snelheidsafhankelijke termen in de bewegingsvergelijking zorgt ervoor

dat de resonantiefrequenties en de dempingsfactoren ook snelheidsafhankelijk worden. Om een

duidelijk beeld te krijgen van de resonantiefrequenties en de modale trillingsvormen moet het

eigenwaarden probleem voor verschillende snelheden uitgerekend worden binnen het relevante

snelheidsbereik. Het verloop van de eigenfrequenties in functie van het astoerental kan weerge-

geven worden aan de hand van een Campbell diagram (zie figuur 2.1).

Figuur 2.1 toont een Campbell diagram. Dit is het resultaat van de berekeningen van

de eigenfrequenties met behulp van het eindige-elementenmodel voorgesteld in hoofdstuk 4.

De eigenfrequenties worden gedefinieerd als het imaginaire deel van de eigenwaarden van het

systeem. Om het effect van de snelheidsafhankelijke termen te benadrukken wordt hier een

voorbeeld va een as genomen met een grote diameter in vergelijking tot de lengte van de as.

Namelijk een diameter van 40 centimeter tegenover een lengte van 1 meter. Deze as wordt

gelagerd aan beide uiteinden met een lager met lagerstijfheid 17.5 kN/mm en lagerdemping

van 100 N/s. Binnen het eindige-elementenmodel wordt de as gediscretiseerd tot een aantal

knooppunten met in ieder knooppunt vier vrijheidsgraden. In figuur 2.1 zijn de resultaten

weergegeven van de simulaties van deze structuur.

Het Campbell diagram is verspreid over de vier kwadranten van het ω-Ω-vlak. De punten be-

zitten een symmetrie rond de ω-as, dit is evident aangezien de polen van een dynamisch systeem

in complex toegevoegde paren voorkomen. De polen zijn eveneens symmetrisch rond de Ω-as

omdat het teken van Ω, de draairichting, geen invloed heeft op de ligging van de resonantiefre-

quenties. Door de symmetrien rond de rotatieassen kan het volledige diagram gereconstrueerd

worden indien enkel het eerste kwadrant gegeven wordt. Deze vereenvoudiging leidt tot het gere-

duceerd Campbell diagram zoals voorgesteld in figuur 2.2. Doorheen deze thesis wordt gebruik

gemaakt van dit diagram, merk echter op dat dit slechts een deel is van het volledige resultaat.

Elke eigenwaarde (λ = σ+ iω) geeft ook informatie over de hoe sterk de bijbehorende trilling

ROTORDYNAMICA 5

-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

Rotor spin [rad/s]

ω [r

ad/s

]

Campbell Diagram

Figuur 2.1: Voorbeeld van een Campbell diagram waarin de twee laagste eigenfrequenties van

een systeem afgebeeld werden.

0 2000 4000 6000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Draaisnelheid Ω [rad/s]

ω [r

ad/s

]

Campbell Diagram

Figuur 2.2: Gereduceerde voorstelling Campbell diagram waarin de twee laagste eigenfrequenties

van een systeem afgebeeld werden.

ROTORDYNAMICA 6

gedempt wordt. Het reele deel van de eigenwaarde geeft namelijk de dempingsfactor σ weer.

Aan het Campbell diagram kan het decay-diagram toegevoegd worden. Dit diagram geeft het

verloop van de dempingsfactor in functie van de snelheid weer. Een alternatieve voorstelling van

de combinatie van het Campbell en het decay diagram is de poolbaanvoorstelling (figuur 2.3)

waarbij op de ene as de resonantiefrequenties ω en de andere as de dempingsfactoren afgebeeld

worden. Door de snelheidsafhankelijkheid zullen de eigenwaarden van het systeem een traject

afleggen in het vlak.

-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

σ [1/s]

ω [r

ad/s

]

Root locus diagram

Figuur 2.3: Voorbeeld van een poolbaandiagram waarin de twee laagste eigenfrequenties van

een systeem afgebeeld werden

De resonantiefrequenties van het niet-roterend systeem zijn de snijpunten van het Campbell

diagram met de Ω-as. Op figuur 2.2 is duidelijk te zien dat dit punt het snijpunt is van twee

takken van het Campbell diagram. Aangezien de krachten in de x-richting en de y-richting bij

stilstand niet gekoppeld zijn met elkaar kan dit systeem beschouwd worden als een samenstelling

van twee 1-dimensionale systemen. Door de symmetrie van de structuur zullen beide deelsys-

temen dezelfde trillingsvormen bezitten, maar dan elk volgens hun richting. Bij de bepaling

van de eigenwaarden van het volledige systeem worden hierdoor twee dezelfde van eigenwaarden

bekomen. Op het Campbell diagram is dit het snijpunt van twee takken van eigenfrequenties.

Fysisch slaan deze twee takken met polen op het feit dat de beschouwde pool een trilling indu-

ceert die meedraaiend of tegendraaiend is met de rotatie van de as. Figuur 2.4 illustreert een

het verschil tussen voorwaartse- en achterwaartsewarrelbewegingen, of ook wel meedraaiende en

2.1 Ontstaan van instabiel gedrag 7

tegendraaiende warrelbewegingen genoemd.

T=0

T=1

T=2

T=3T=4

T=5

T=6

T=2

T=0

T=6

T=5

T=4T=3

Warrelbeweging

T=1

Warrelbeweging

Rotatiebeweging

Voorwaartse warrelbeweging Achterwaartse warrelbeweging

Rotatiebeweging

Figuur 2.4: Illustratie van de meedraaiende- en tegendraaiende warrelbewegingen [7].

Bij het bestuderen van vergelijking 2.2 blijkt dat de dempingsmatrix C(Ω) samengevoegd

wordt met de term G(Ω). Deze masterproef focust op het dempingsgedrag en bijgevolg worden de

invloed van de gyroscopische- en corioliskrachten beperkt om het effect van de interne demping

te laten overheersen. Praktisch wordt dit verwezenlijkt door enkel slanke assen in beschouwing

te nemen. Dit is een van de verklaringen voor de keuze van de geometrieen die bestudeerd

worden in hoofdstukken 4 en 5.

2.1 Ontstaan van instabiel gedrag

In deze paragraaf wordt een bewijs gegeven van het ontstaan van het instabiele gedrag van

roterende systemen gebaseerd op de publicaties van Adams [1, 8]. In de literatuur zijn nog

afleidingen te vinden waar de auteur het ontstaan en de precise ligging instabiliteitsgrens onder

bepaalde voorwaarden bewijst [6, 9, 10, 11]. De redenering hieronder is algemener en verklaart

de invloed van de matrices van de bewegingsvergelijking op het ontstaan van instabiel gedrag.

Vergelijking 2.2, de bewegingsvergelijking voor een roterend systeem, is het vertrekpunt van

deze afleiding. Bij het opstellen van deze vergelijking werd een systeem met constante rota-

tiesnelheid beschouwd. De snelheidsafhankelijke matrices worden dus constant verondersteld.

De dempingsmatrix en de gyroscopische matrix kunnen onder een algemene vorm samengeteld

worden tot de algemene dempingsmatrix Ca. De stijfheidsmatrix en de circulaire matrix kunnen

samengesteld worden tot de algemene stijfheidsmatrix Ka. Op deze manier kan de bewegings-

vergelijking van een roterend systeem in dezelfde vorm geschreven worden als een niet-roterend


systeem (zie formule 2.1), de matrices zijn nu echter niet meer symmetrisch.

Mq(t) + Caq(t) +Kaq(t) = f(t) (2.3)

De matrices Ka en Ca kunnen vervolgens opgesplitst worden in respectievelijk Kss, Css en

Ks, Cs, de symmetrische en scheef-symmetrische delen van de corresponderende matrices.

De matrices Ks en Css bezitten een conservatief karakter. Voor de Ks matrix is dit analoog

aan de eigenschappen van de niet-roterende systemen. Het conservatief karakter van de Css

matrix, bijvoorbeeld de gyroscopische matrix, wordt hier aangetoond.

De verandering van arbeid veroorzaakt door de Css matrix op een willekeurig punt of vrij-

heidsgraad van een structuur die een harmonische beweging ondergaat wordt bepaald. De

ogenblikkelijke positie van dit punt wordt beschreven door de vector R(t). Figuur 2.5 toont

traject van dit punt in het x-y-vlak tijdens een cyclus van de harmonische beweging.

x

y

R

Figuur 2.5: Verplaatsing van een vrijheidsgraad gedurende een harmonische beweging.

Om het gedrag van de as in dit punt te onderzoeken is het alleen nodig de termen van de

massa-, stijfheids- en dempingsmatrices in rekening te nemen gekoppeld aan de coordinaten van

dit punt. Het systeem reduceert zich tot vergelijking 2.4.

fx(t)

fy(t)

= M

x(t)

y(t)

+

Cxx Cxy

Cyx Cyy

x(t)

y(t)

+

Kxx Kxy

−Kyx Kyy

x(t)

y(t)

(2.4)

De symmetrische- en asymmetrische matrices Kss, Css, Ks en Cs kunnen ook gereduceerd

worden tot het beschouwde punt. De scheef symmetrische dempingsmatrix neemt dan de vol-

gende vorm aan:


Css =

0 css

−css 0

(2.5)

De arbeid uitgeoefend op dit punt ten gevolge van de termen van de scheef symmetrische

dempingsmatrix kunnen berekend worden als:

dw = −~Fd~R = −

0 css

−css 0

R

· dR met R =

xy

(2.6)

dw =

cssy

−cssx

·

xdtydt

(2.7)

dw = −css(yx− yx)dt = 0 (2.8)

Dit wijst erop dat de kracht veroorzaakt door de Css matrix loodrecht staat op de snelheids-

vector R en dat deze matrix dus enkel een conservatieve kracht veroorzaakt. Het gyroscopisch

effect, welke in praktische systemen een asymmetrische matrix is, zal dus ook geen rol spelen bij

het ontstaan van een instabiliteitsgrens (maar wel op de ligging ervan). Op een analoge manier

kan het gedrag van de Kss matrix beoordeeld worden. Dit deel van de stijfheidsmatrix wordt

meestal de circulaire matrix genoemd. Dit asymmetrisch gedeelte van de stijfheidsmatrix vindt

zijn oorzaak meestal in demping van roterende delen, wrijving tussen roterende en niet-roterende

delen of vloeistofeffecten van glijlagers. De verandering van arbeid in een punt bedraagt:

dw = −~Fd~R = −

0 kss

−kss 0

R

· dR (2.9)

Dit geeft:

dw = −

kssy

−kssx

·

dxdy

= −(kssR)dR = −kssydx+ kssxdy (2.10)

Vergelijking 2.10 is meestal niet gelijk aan nul en is geen exacte differentiaal. De Kss energie

van een cyclus van de harmonische beweging van een punt zal dus afhankelijk zijn van de

gevolgde weg. De Kss matrix zal dus geen conservatief karakter hebben. Om verder de invloed

op instabiliteit te onderzoeken, wordt de Kss energie bepaald voor een doorlopen cyclus van een

warrelbeweging.


Ecyclus = −Kss

∮(ydx− xdy) (2.11)

Gebruik makend van de stelling van Green (formule 2.12) kan deze kringintegraal ( formule

2.11 ) omgevormd worden tot een oppervlakteintegraal (formule 2.13) over het gebied dat inge-

sloten wordt door de gesloten contour. Of de grootte van deze kringintegraal positief of negatief

is, wordt bepaald door de richting waarin de contour doorlopen wordt.

∮

Contour(P (x, y)dx+Q(x, y)dy) =

∫∫ (∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

)dxdy (2.12)

Met P(x,y) en Q(x,y) willekeurige functies. Bij de hier beschouwde afleiding zijn deze functies

respectievelijk P(x,y)=y en Q(x,y)=x. De oppervlakteintegraal wordt dan:

Ecyclus = kss

∫ ∫

Oppervlaktedxdy (2.13)

Deze integraal is gelijk aan de oppervlakte van de doorlopen cyclus. De ingesloten opper-

vlakte is positief voor meedraaiende warrelbeweginen en negatief voor tegendraaiende warrelbe-

wegingen. Dit toont dus aan dat het niet-symmetrische deel van de K-matrix energie toevoegt

aan het roterende systeem bij meedraaiende warrelbewegingen. Indien deze energie niet gedis-

sipeerd kan worden in een ander element van de rotor zal op deze manier instabiliteit optreden

in de as.

Tenslotte wordt ook nog de Cs matrix behandeld. De energieverandering ten gevolge van de

Cs matrix is:

dE = −RTF = −RTCR (2.14)

Voor positief definiete matrices is deze energieverandering dus negatief (RTCR ≥ 0). Voor

viskeus gedempte structuren en de andere dempingsmodellen in deze thesis is dit symmetrisch

deel van de dempingsmatrix positief definiet. Het symmetrische deel van de dempingsmatrix

zal dus eveneens niet bijdragen tot het ontstaan van instabiel gedrag. Integendeel, door de

invloed van het symmetrische deel van de dempingsmatrix zal er arbeid onttrokken worden van

het systeem. Elementen die symmetrische dempinsfactoren toevoegen aan het systeem kunnen

ervoor zorgen dat de toegevoegde energie van de Kss-matrix gedissipeerd wordt. Deze termen

kunnen dus het ontstaan van een instabiliteitsgrens voorkomen.

2.2 Besluit 11

2.2 Besluit

In het eerste deel van dit hoofdstuk staat een korte inleiding tot de bijzonderheden van de rotor-

dynamica die nodig zijn om deze scriptie verder te begrijpen. De verschillen tussen roterende en

niet-roterende systemen werden beklemtoond. In het tweede deel van dit hoofdstuk werd ten-

slotte dieper ingegaan op de eigenschappen van de matrices van de bewegingsvergelijking voor

roterende structuren. Daarin werd vooral aandacht besteed aan het al dan niet conservatief zijn

en het dan of niet dempend karakter van een matrix voor het systeem. Daaruit bleek dat enkel

het scheef-symmetrische deel van de dempingsmatrix instabiliteit veroorzaakt. In hoofdstuk 3

volgt een bespreking enkele dempingsmodellen. Hoofdstuk 4 behandelt onder andere de invul-

ling van de verschillende matrices voor de verschillende dempingsmodellen. Daar kunnen de

afgeleide eigenschappen gebruikt worden om de oorzaken van instabiliteit te beoordelen.

DEMPING 12

Hoofdstuk 3

Demping

3.1 Algemeen dempingsmodel

Een algemene vorm om lineaire demping voor te stellen wordt besproken door Adhikari [12] en

is weergegeven in formule 3.1. Hierin worden de dempingskrachten op de verschillende vrijheids-

graden gemodelleerd als een convolutie over een set relaxatiefuncties. Op deze manier wordt de

dempingskracht afhankelijk van de geschiedenis van het systeem.

Fd(t) =

∫ t

0G(t− τ)q(τ)dτ. (3.1)

In essentie is deze definiering gelijk aan het vooropstellen dat het materiaal zich viscoelas-

tisch gedraagt. In de literatuur zijn vele definities van viscoelastisch materialen terug te vinden.

Vergelijking 3.2 geeft een veelgebruikte formulering [13, 14]. Vergelijkingen 3.1 en 3.2 zijn gelijk-

waardig met elkaar, het gebruik van de term viscoelastisch materiaal is dus gelijkwaardig met

het voldoen aan dit algemeen dempingsmodel. Viscoelastische materiaalmodellen die gegeven

worden in de literatuur kunnen op deze manier meestal omgevormd worden tot een dempings-

model.

σ(t) =

∫ t

0G′(t− τ)ε(τ)dτ. (3.2)

De term G(t) in de twee voorgaande vergelijkingen is een matrix die de realaxatiefuncties g(t)

bevat. In principe zijn de functies g(t), die gebruikt worden in vergelijking 3.1, vrij te kiezen.

Voor het correct voorstellen van demping moet de dempingskracht echter energie dissiperen.

De gebruikte relaxatiefuncties moeten dus aan deze voorwaarde voldoen. In hoofdstuk 6 zullen

nog extra eisen opgelegd worden aan de vorm van g(t) om verschillende dempingsmodellen

3.2 Viskeuze demping 13

te kunnen vergelijken. De definiering van de dempingskracht (vergelijking 3.1) laat toe de

Laplacetransformatie naar het frequentiedomein door te voeren. De bewegingsvergelijking wordt

dan vergelijking 3.3 in het frequentiedomein.

s2Mq(s) + sG(s)q(s) +Kq(s) = L(F (t)) met G(s) = L(g(t)) (3.3)

Een geschikte set relaxatiefuncties definieren die aansluiten bij het werkelijk gedrag van de

structuur is hierbij de moeilijkste factor. Tegenwoordig is het vrij goed doenbaar voor een

groot aantal vaste materialen de massa- en stijfheidseigenschappen via metingen of eindige-

elementenberekeningen te bepalen. De modellering van de demping daarentegen is nog steeds

een onderwerp van veel onderzoeken. Voor verschillende materiaaltypes worden specifieke dem-

pingsmoddellen, of in dit geval relaxatiefuncties voorgesteld. Adhikari [12] refereert enkele,

meer geavanceerde, in de literatuur voorgestelde relaxatiefuncties. Binnen dit eindwerk wor-

den de besproken dempingsmodellen beperkt tot enkele eenvoudigere en veelgebruikte types.

Daarbij werd rekening gehouden met de mogelijkheid om de verschillende dempingsmodellen te

implementeren in een eindige-elementenprogramma.

3.2 Viskeuze demping

Het meest eenvoudige, en meest gebruikte model is het viskeus dempingsmodel. Bij viskeuze

demping is de dempingskracht op een vrijheidsgraad recht evenredig met de verplaatsingssnelheid

van dezelfde vrijheidsgraad. Een viskeus dempingsmodel kan afgeleid worden uit het algemene

lineaire dempingsmodel door de relaxatiefuncties g(t) gelijk te stellen aan diracfuncties. De

convolutie van een diracfunctie is gelijk aan 1 waardoor het algemene lineaire dempingsmodel

zich vereenvoudigt tot:

Mq(t) + Cq(t) +Kq(t) = F (t) (3.4)

Viskeuze demping karakteriseert het best vloeistofdempers die door de wrijvingskracht van

de vloeistofstroming hun dempende kracht verkrijgen. Voor vaste stoffen blijkt dit een minder

goede voorstelling van het dempend gedrag van het materiaal omdat dit model geen rekening

houdt met de voorgeschiedenis van het materiaal. Toch is het viskeuze model het meest gebruikte

model vanwege zijn simpliciteit.

3.3 Hysteresis demping 14

Het spannings-rek verband bij viskeuze demping is afhankelijk van de demping. De elasti-

citeitsmodulus E en de glijdingsmodulus G zijn voor de meeste vaste stoffen constant binnen

hun werkingsgebied. Voor een viskeus gedempt materiaal is het spannings-rekverband van dat

materiaal gelijk aan vergelijking 3.5. Met η de reele viskeuse dempingscoefficient.

σ = Eε+ ηε (3.5a)

τ = Gφ+ ηφ (3.5b)

E = 2G(1 + ν) (3.5c)

3.3 Hysteresis demping

Bij het aanleggen van een harmonische kracht aan een systeem is vastgesteld dat het rek-

spanningsdiagram een hysteresislus beschrijft zoals weergegeven in figuur 3.1. Dit is zeker niet in

overeenstemming met het viskeus spannings-rekdiagram. Daarom werd het viscoelastisch model

ontwikkeld.

Figuur 3.1: Hysteresislus bij een viscoelastich model: vervorming in functie van spanning van

een materiaal.

Bij een viscoelastisch materiaal bestaat er een naijlingshoek tussen de spannings en de ver-

vorming van het materiaal. Dit impliceert een snelheidsafhankelijke term in het spannings-

rekverband. De fasehoek tussen spanning en rek wordt bij hysteresis demping verondersteld

niet afhankelijk te zijn van de frequentie van de harmonische beweging. Stel een harmonische

beweging, dan kan het spanning en rek beschreven worden als:

3.3 Hysteresis demping 15

σ(t) = σ0sin(ωt) (3.6)

ε(t) = ε0sin(ωt− γ) (3.7)

σ(t) = σ0sin[(ωt− γ) + γ] (3.8)

σ(t) = σ0sin(ωt− γ)cos(γ) + σ0cos(ωt− γ)sin(γ) (3.9)

σ(t) =σ0

ε0cos(γ)ε(t) +

σ0

ε0|ω|sin(γ)

dε(t)

dt(3.10)

σ(t) = E′ε(t) +E′η

|ω| ε(t) (3.11)

Met γ de naijlingshoek tussen spanning en rek, ω is de frequentie waarmee de hysteresislus

doorlopen wordt en E′ = σ0ε0cos(γ). Eenzelfde redenering kan doorgevoerd worden met de

schuifspanning en de glijding van het materiaal, dit geeft:

τ(t) = G′φ(t) +G′η

|ω| φ(t) (3.12)

Bovenstaande vergelijkingen zijn enkel bruikbaar bij harmonische bewegingen. Voor een

frequentie naderend naar nul wordt de spanning of kracht die nodig is voor het opleggen eenzelfde

rek oneindig groot. Dit is zeker niet in overeenstemming met de fysische realiteit. Daarom wordt

het gebruik van het hysteresis dempingsmodel beperkt tot harmonische bewegingen met hogere

frequenties.

De oppervlakte die ingesloten wordt in het rek-spanningsdiagram (figuur 3.1) is evenredig

met de gedissipeerde energie. De oppervlakte is niet afhankelijk van de frequentie waarmee de

lus doorlopen wordt want de factor |ω| in de noemer van 3.11 en 3.12 valt weg omdat de afgeleide

van de rek bij een harmonische beweging ook evenredig is met de frequentie. De afmetingen van

de lus worden dus enkel en alleen bepaald door de amplitudes van de spanning en rek.

Vergelijkingen 3.11 en 3.12 zijn vergelijkingen in het tijdsdomein. Door de veronderstelling

van harmonische bewegingen is het praktischer over te gaan naar het frequentiedomein.

σ(ω) = E′ε(ω) +E′ηiω

|ω| ε(ω) (3.13)

Of, met aanname van positieve frequenties:

σ(ω) = E′ (1 + iη) ε(ω) (3.14)

Dit is een veelgebruikte vorm om het hysteresis dempingsmodel voor te stellen. Het wordt ook

het complexe modulus dempingsmodel genoemd. De hierboven beschreven afleidingen tonen

aan dan beide modellen equivalent zijn.

3.4 Maxwell-Weichert model 16

Het spannings-rekverband kan gebruikt worden om de krachtwerking op een vrijheidsgraad

te bepalen. De bewegingsvergelijking van een hysteresis gedempt systeem wordt dan:

(−ω2m+ k(1 + iη))q(ω) = f(ω) (3.15)

Uit de grafische voorstelling van de hysteresislus (figuur 3.1) blijkt dat de grootte van de

gedissipeerde energie evenredig is met de fasehoek γ tussen de vervorming (rek) en de kracht

(spanning). De factor η wordt de verliesfactor genoemd.

tan γ = η of sin γ =η√

1 + η2(3.16)

Door de definiering van hysteresis demping is het model enkel geldig in het frequentiedomein.

Voor harmonische bewegingen kan het model omgezet worden naar het tijdsdomein door een

equivalente viskeuze demping in te voeren (zie vergelijking 3.17). Merk hierbij op dat het gebruik

van deze equivalente dempingsfactor niet zo evident is. Deze waarde hangt af van de frequentie

van de trilling, meer precies de frequentie waarmee het materiaal de spannings-rekhysteresislus

doorloopt.

ceq =kη

|ω| (3.17)

Deze formulering van de equivalente dempings is een niet-lineair verband door de invoering van

de absolute waarde van ω. Dit leidt tot ongeldige resultaten in het gebied rond ω = 0. De

benadering van hysteresis demping door een equivalente viskeuse demping wordt dus best niet

gebruikt om demping te begroten voor lage frequenties.

Genta [15] publiceerde nog enkele andere methoden om hysteresis demping in het tijdsomein

te benaderen met behulp van lineaire functies. Deze methoden worden niet verder besproken om-

dat bovenstaande benadering voldoende is voor het construeren van het eindige-elementenmodel

in hoofdstuk 4.

3.4 Maxwell-Weichert model

Een Maxwell-Weichert model wordt regelmatig gebruikt voor het voorstellen van het gedrag van

viscoelastisch materiaal. Het kernidee van dit model is de samenvoeging van een groot aantal een-

voudige modellen tot een ingewikkeldere systemen. Viskeuse dempers en lineaire veren kunnen

op verschillende wijzen gecombineerd worden tot complexere modellen. Het Maxwell-Weichert

3.5 Besluit 17

bestaat uit een veer in parallel met n veer-demper takken. Een schematische voorstelling van het

Maxwell-Weichert model is weergegeven in figuur 3.2. Het aantal demper-veertakken kan zelf

gekozen worden. Merk echter op dat per toegevoegde tak twee extra parameters en een extra

vrijheidsgraad toegevoegd wordt aan het systeem. Dit maakt het moeilijker alle parameters uit

metingen te halen.

Figuur 3.2: Maxwell-Weichert dempingsmodel

Het spannings-rekverband voor een Maxwell-Weichert model met n+1-takken is gegeven

door:

σ(t) = k0ε(t) +∑ kns

s+ 1cn

ε(t) (3.18)

3.5 Besluit

Deze opsomming van theorien geeft slechts een kleine samenvatting van mogelijke dempingsmo-

dellen. Aan het begin van dit hoofdstuk werd de analogie van een algemeen dempingsmodel en

een viscoelastisch materiaalmodel aangetoond. Door deze algemene modellen een willekeurige

invulling te geven kan een oneindig groot aantal dempingsmodellen gecreeerd worden. De keuze

van de modellen die gebruikt worden in deze masterproef is gebaseerd op de toepasbaarheid

ervan binnen een eindige-elementenmodel, de mogelijkheid om de fysische demping op een waar-

heidsgetrouwe manier voor te stellen en het aantal variabelen binnen het model. Het viskeuse-

en hysteresis dempingsmodel worden verder gebruikt bij het bepalen van het gedrag van een ro-

tor in hoofdstuk 4. Viskeuse demping vanwege de eenvoud van het model en hysteresis demping

omdat dit model beter de fysische demping van materialen voorstelt.

EINDIGE-ELEMENTENMODEL 18

Hoofdstuk 4

Eindige-elementenmodel

4.1 Inleiding

Het opstellen van een eindige-elementenmodel en het voorspellen van de eigenfrequenties van

een roterende as kan gebeuren aan de hand van een softwarepakket zoals Ansys, Abaqus of

dergelijke. In het kader van deze thesis gaat de interesse vooral uit naar de invloed van bepaalde

parameters. Daarom is er een eigen simulatie opgezet binnen de Matlab omgeving.

In de literatuur [6, 9, 10, 16, 17, 18, 19] is genoeg informatie beschikbaar hoe een eindige-

elementenmodel voor roterende structuren opgebouwd kan worden. Tussen de modellen bestaan

lichte verschillen door de keuze van:

• Definiering van de vrijheidsgraden of coordinaten

• Type elementen

• Toegepast dempingsmodel

In het kader van deze thesis is het vooral de bedoeling de invloed van interne demping

te bestuderen op de instabiliteisgrens van een as. Daarom worden de modellen beperkt tot

eenvoudige slanke assen, eventueel ondersteund door twee lagers. Er wordt meer aandacht

besteed aan verschillende methoden om interne demping toe te voegen aan een model.

4.2 Balk element

Het opstellen van een eindige-elementenmodel begint bij de omlijning van de te bepalen para-

meters en het kiezen van een geschikt elementtype. Omdat onze interesse enkel uitgaat naar

4.2 Balk element 19

de transversale bewegingen van de as wordt er gebruik gemaakt van tweedimensionale balkele-

menten, meer bepaald Euler-Bernoulli-elementen. Een as wordt in zijn lengterichting opgedeeld

in een aantal elementen. De definiering van dit element en de coordinaten zijn weergegeven in

figuur 4.1.

Figuur 4.1: Balk element

De uitwerking van dit Euler-Bernoulli-element staat reeds beschreven in verschillende lite-

raire werken [18, 19] en de werkwijze om deze af te leiden is als volgt:

• Keuze voorstelling coordinaten

• Voorstel van vormfuncties

• Uitschrijven kinetische en potentiele energie

• Lagrange toepassen

Twee mogelijke coordinatenvoorstellingen zijn bruikbaar: formule 4.1 geeft de complexe

coordinatisering weer en formule 4.2 geeft de reele voorstelling weer. Door over te gaan naar

complexe coordinaten reduceert de omvang van het model. Na de invoering van complexe

coordinaten zullen symmetrie, anti-symmetrie, hermiticiteit en anti-hermiticiteit van de matrices

eveneens andere betekenissen hebben dan in het geval er gewerkt wordt met reeele coordinaten.

De uitwerking van het eindige-elementenmodel in deze tekst zal verder gebeuren met de complexe

voorstelling. Voor het toepassen van de eigenschappen die afgeleid werden in paragraaf 2.1, het

al dan niet conservatief zijn van de verschillende matrices, moet in rekening gebracht worden

dat daar de coordinaten reeel verondersteld werden.

4.2 Balk element 20

[qcomplex] =

x1 + iy1

ϕx1 + iϕy1

x2 + iy2

ϕx2 + iϕy2

(4.1) [qreeel] =

x1

y1

ϕx1

ϕy1

x2

y2

ϕx2

ϕy2

(4.2)

Na de uitwerking van de volgende stappen voor het bepalen van de Euler-Bernoulli-elementen

kan de bewegingsvergelijking voor een ongedempt balk element opgesteld worden.

Mq(t) + ΩGq(t) +Kq(t) = f(t) (4.3)

Hierin is M de massamatrix. G is de gyroscopische matrix, deze is afhankelijk van de ro-

tatiesnelheid van de as. K tenslotte, is de stijfheidsmatrix tegenover transversale trillingen.

De keuze die gemaakt werd om Euler-Bernouilli elementen te gebruiken, legt dus de vorm van

de verschillende snelheidsafhankelijke matrices in de algemene bewegingsvergelijking voor rote-

rende structuren (vergelijking 2.2) vast. De snelheidsafhankelijke gyroscopische matrix G(Ω)

vereenvoudigt tot een constante gyroscopische matrix G die vermenigvuldigd wordt met de ro-

tatiesnelheid. De stijfheidsmatrix K(Ω) is bij het gebruik van Euler-Bernouilli elementen geen

functie meer van de rotatiesnelheid.

Na het vastleggen van het complexe coordinatenstelsel en de keuze van een geschikt stel vorm-

functies kan met behulp van de Lagrange theorie de massa-, gyroscopische- en stijfheidsmatrices

uitgewerkt worden [18, 19]. Dit geeft volgende resultaten :

M = MT +MR =ρAl

420

156 −i22l 54 i13l

i22l 4l2 i13l −3l2

54 −i13l 156 i22l

−i13l −3l2 −i22l 4l2

+ρIy30L

36 −i3l −36 −i3li3l 4l2 i3l −l2

−36 −i3l 36 i3l

i3l −l2 −i3l 4l2

(4.4)

4.3 Geımplementeerde dempingsmodellen 21

K =EIyl3

12 −i6l −12 −i6li6l 4l2 −i6l 2l2

−12 i6l 12 i6l

i6l 2l2 −i6l 4l2

(4.5)

G = 2iMR (4.6)

4.3 Geımplementeerde dempingsmodellen

De precieze uitwerking van een eindige-elementenmodel voor de analyse van een ongedempte ro-

terende structuur kan in vele werken gevonden worden. Gedempte roterende elementen, of meer

specifiek de extra termen die de dempingskrachten introduceren in een eindige-elementenmodel

zijn veel minder vaak te vinden in de literatuur. De dempingsmodellen in deze publicaties zijn

meestal gebaseerd op twee modellen. Deze twee dempingsmodellen zijn een viskeus en een hys-

teresis dempingsmodel. Beiden werden geıntroduceerd door Zorzi [19]. De publicatie van Zorzi

bevat echter een onjuistheid in de uitwerking van het hysteresis dempingsmodel. Deze fout werd

niet aangepast in een aantal werken die hierop gebaseerd zijn [10, 17, 20]. Deze werken bevatten

hierdoor enkele incorrecte stellingen. Genta publiceerde reeds een paper [21] waarin bij deze

fout opmerkte en de foute verklaringen beschreef. Bij de uitwerking van de modellen in deze

paper werd hiermee rekening gehouden om zo dezelfde misstap te vermijden.

4.3.1 Viskeuze demping

Voor het opstellen van het model van inwendige viskeuze demping wordt begonnen met het

opstellen van de rek en de spanningsvergelijkingen [19]. In hoofdstuk 3 werd reeds het spannings-

rekverband opgesteld voor viskeuse demping (formule 3.5).

σz(t) = Eεz(t) + EηV εz(t) met ηV de viskeuse dempingscoefficient (4.7)

Waarbij figuur 4.1 de ligging van de as ten opzichte van het assenstelsel vastlegt. Voor een

harmonische beweging, met frequentie ω, van de ronddraaiende as, met rotatiesnelheid Ω, kan

de rek beschreven worden door:

εz(t) = −rcos[(Ω− ω)t]∂2R

∂z2(4.8)

Met R de positievector in het vlak loodrecht op de rotatieas is. Afleiden van vergelijking 4.8

geeft de reksnelheid voor een harmonische beweging.


εz(t) = (Ω− ω)rsin[(Ω− ω)t]∂2R

∂z2− rcos[(Ω− ω)t]

∂

∂t

∂2R

∂z2(4.9)

Aan de hand van deze formules wordt vervolgens het moment ten gevolge van de viskeuse

demping uitgeoefend rond de rotatieas opgesteld.

MY =

∫ 2π

0

∫ r

0[X + rsin(Ωt)]σzdr(rd(Ωt)) (4.10)

MZ =

∫ 2π

0

∫ r

0−[Y + rcos(Ωt)]σzdr(rd(Ωt)) (4.11)

Waarbij X en Y de projecties zijn van de positievector R op de x- en de y-as. Wanneer 4.9,

4.10 en 4.11 samengenomen worden, resulteert dit in:

MZ

MY

= EI

0 ηV Ω

ηV Ω 0

∂2X∂z2

∂2Y∂z2

+ EI

ηV 0

0 −ηV

∂2X∂z2

∂2Y∂z2

(4.12)

Tenslotte kan aan de hand van deze momenten de buigingsenergie bepaald worden. Daaruit

kunnen dan de matrices voor de bewegingsvergelijking gehaald worden:

Mq(t) + (ΩG+ ηVK)q(t) + (K − iηV ΩK)q(t) = f(t) (4.13)

Om de eigenschappen betreffend het conservatief zijn van matrices uit hoofdstuk 2 te kun-

nen toepassen op deze vergelijking 4.13 moet het verband tussen dde complexe en de reele

voorstelling van de matrices worden bepaald. Genta [Hoofdstuk 1][6] beschreef deze verbanden.

Hij maakt echter gebruik van een andere definiering voor zijn complexe coordinaten. Zijn de-

finiering van de complexe coordinaten is opgegeven in vergelijking 4.14. Bij gebruik van deze

coordinatisering transformeren symmetrische matrices in reele coordinaten tot reele matrices in

complexe coordinaten en scheef symmetrische matrices transformeren tot symmetrische imagi-

naire matrices.

Bij het gebruik van de coordinatisering die gebuikt wordt in het hier beschreven eindige-

elementenmodel (vergelijking 4.1) kan eveneens de transformatie van symmetrische en scheef

symmetrische matrices onderzocht worden. De transformering van symmetrische matrices en

scheef symmetrische matrices blijken echter beiden hermitisch toegevoegde matrices te geven.

Om toch de eigenschappen van de matrices in vergelijkingen 4.4, 4.5 en 4.6 te onderzoeken is

het aangeraden om de matrices terug te transformeren naar reele coordinaten.

Met behulp van deze transfomaties kan ingezien worden dat het viskeuze dempingsmodel

instabiliteit veroorzaakt door de term −iηV ΩK. In reele coordinaten transformeert deze term


tot een scheef symmetrische matrix. Dit zorgt dus voor een energietoevoer naar het systeem. De

hoeveelheid energie die toegevoerd wordt is evenredig met de rotatiesnelheid van de as. De term

ηVK transformeert naar een symmetrische matrix en neemt dus energie weg uit het systeem. De

gyroscopische matrix transformeert eveneens tot een scheef symmetrische matrix en heeft dus

een conservatief karakter wat de bevindingen uit hoofdstuk 2 bevestigd. De stijfheidsmatrix en

de massamatrix transformeren naar symmetrische matrices in reele coordinaten wat eveneens in

overeenstemming is met de stellingen uit hoofdstuk 2.

[qGenta] =

x1 + iy1

ϕy1 − iϕx1x2 + iy2

ϕy2 − iϕx2

(4.14)

4.3.2 Hysteresis demping

De implementatie van hysteresis demping kan op analoge manier gebeuren. De uitwerking van

de massa-, stijfheids- en gyroscopische matrix is dezelfde. In hoofdstuk 3 wordt het hysteresis

dempingsmodel beschreven. De spannings-rekvergelijking wordt in vergelijking 3.16 voorgesteld.

Door herformulering van de elasticiteitsmodulus E als σ0/ε0 in plaats van E′ = σ0/ε0 cosγ in

vergelijking 3.11 kan het spannings-rekverband herschreven worden als vergelijking 4.15 en 4.16.

σx = E

εx√

1 + η2H

+εxηH√

1 + η2H(Ω− ω)

(4.15)

Na de analoge uitwerking als het viskeus gedempte geval geeft dit:

Mq(t) + ΩGq(t) +K1 + ηH√1 + η2

H

− iK ηH√1 + η2

H

q(t) = f(t) (4.16)

De transformatie naar reele coordinaten toont terug aan dat hysteresis demping instabiliteit

kan veroorzaken. De transformatie van complexe naar reele coordinaten van de term −iK ηH√1+η2H

geeft een asymmetrische matrix. Dit is dus een niet conservatieve kracht die energie kan toe-

voegen aan de roterende beweging.

Deze opbouw van het hysteresis dempingsmodel bevat echter een fout. Bij het opstellen van

vergelijking 4.15 uit vergelijking 3.11 wordt geen rekening gehouden met de absolute waarde

van ω in formule 3.11. In vergelijking 3.11 stelde ω de frequentie waarmee de spannings-rek

hysteresislus doorlopen werd voor. Bij een ronddraaiende as is deze frequentie gelijk aan het


verschil van de resonantiefrequentie en de rotatiesnelheid, de term (Ω−ω). Deze term heeft een

ander teken indien de as sneller of trager draait dan de resonantiefrequentie. Vergelijking 4.15

is echter opgesteld met de voorwaarde dat (Ω − ω) positief is, waarbij de as sneller draait dan

de frequentie van de harmonische beweging. Deze fout is ook in andere referentiewerken[10, 17,

19, 20] terug te vinden.

Het gebruik van een absolute waarde in het eindige-elementenmodel is echter ongewenst

wegens twee redenen. Ten eerste is het berekenen van de eigenwaarden uit een vergelijking

waarin een absolute waarde voorkomt niet mogelijk met de gekende lineaire oplossingsmethoden.

En de tweede reden is het feit dat het nodig is de eigenfrequentie ω te kennen. Deze is echter

nog niet gekend bij de start van de berekeningen waardoor een iteratieve berekening vereist zou

zijn.

Om dit probleem te omzeilen werd het oplossen van het eigenwaarde probleem opgesplitst

in twee stukken. In het eerste deel werd verondersteld dat de term (Ω − ω) positief is, in het

tweede deel wordt verondersteld dat deze term negatief is. Vergelijking 4.16 werd opgesteld

onder de voorwaarde dat (Ω − ω) > 0 en is dus een correcte oplossing voor het eerste deel.

Voor het tweede deel, (Ω − ω) < 0 moet nog de bijbehorende oplossing gezocht worden. Deze

uitwerking is analoog aan de uitwerking van de viskeus gedempte bewegingsvergelijking 4.13 en

de reeds voorgestelde hysteresis gedempte bewegingsvergelijking 4.16. De bewegingsvergelijking

voor (Ω− ω) < 0 is:

Mq(t) + ΩGq(t) +K1 + ηH√

1 + η2h

−

iK ηH√

1 + η2H

∗

q(t) = f(t) (4.17)

Waarbij (•)∗ de complex toegevoegde van een getal voorstelt. Om de consequenties van

deze complex toegevoegde matrix na te gaan op de energie overdracht van of naar de as kan

terug de transformatie van de term

[−iK ηH√

1+η2H

]∗naar reele coordinaten doorgevoerd worden.

De bekomen matrix is terug een asymmetrische matrix. De asymmetrische delen hebben in

dit geval het tegenovergestelde teken van de matrix die bekomen werd door transformatie van

−iK ηH√1+η2H

.

De energie overdracht ten gevolge van een niet symmetrische stijfheidsmatrix werd voorge-

steld in vergelijking 2.11. Daar werd gesteld dat het teken van deze vergelijking afhankelijk

was van de richting waarin de contour doorlopen werd. Door veranderen van het teken van de

asymmetrische termen in vergelijking 2.10 kan ingezien worden dat hierdoor het teken van de

energie overdracht eveneens wijzigt.

4.4 Opbouw van het programma 25

Voor snelheden lager dan de resonantiefrequentie zal de hysteresis demping energie ont-

trekken aan het systeem. Voor snelheden groter dan de resonantiefrequentie zal de hysteresis

demping energie toevoeren naar het systeem. Afhankelijk van de aanwezigheid van andere ele-

menten die deze energie kunnen opnemen zal er een instabiliteitsgrens optreden ter hoogte van

de resonantiefrequentie.

De bewegingsvergelijking voor (Ω − ω) > 0 en de bewegingsvergelijking voor (Ω − ω) < 0

geven twee verschillende oplossingen. In het eindige-elementenmodel worden beide vergelijkingen

uitgerekend. Daarna wordt per eigenfrequentie de correcte eigenwaarde geselecteerd aan de hand

van de ligging van de eigenfrequentie ten opzichte van de rotatiefrequentie.

4.4 Opbouw van het programma

Op figuur 4.2 is de algemene opbouw van het programma weergegeven. Deze paragraaf geeft

toelichting bij de verschillende onderdelen van het programma.

4.4.1 Gegevens

Volgende gegevens van de te simuleren structuur kunnen aangepast worden in het model:

• Afmetingen: lengte, binnendiameter en buitendiameter (in meter)

• Massadichtheid materiaal as ( in kg/m3)

• Elasticiteitsmodulus materiaal ( in Pa)

• Stijfheid (N/m) en dempingsfactor (Ns/m) van de lagers.

• Positie lager (plaats of nodenummer)

• Viskeuze en/of hysteresis dempingsfactor ηV en ηH

• Snelheidsbereik van simulatie (in rad/s)

• Aantal eindige elementen waarin de as opgedeeld wordt

4.4.2 Bepalen van de matrices

Binnen dit onderdeel van het programma wordt voor de Euler-Bernouilli elementen de matri-

ces M, K en G uitgerekend. Deze matrices worden vervolgens samengevoegd tot de massa-,


Inlezen van de gegevens

Bepalen van de Matri-

ces en toevoegen lagers

Lus voor Ω= 0→max

Opstellen toestandsmodel

Bepalen polen/eigenwaarden

Sorteren van de Polen

Grafiek opstellen

Figuur 4.2: Blokschema van het simulatieprogramma


stijfheids- en gyroscopische matrix van het volledige systeem. Merk op dat deze drie matrices

bepaald kunnen worden zonder kennis van de rotatiesnelheid.

Aan deze matrices worden de demping en de stijfheid van de lagers toegevoegd. De lagers

worden verondersteld geen demping of stijfheid te bezitten tegenover de rotatie van de as. Even-

als wordt er aangenomen dat de demping en de stijfheid van de x- en de y-richtingen ontkoppeld

en gelijk zijn. Voor wentellagers is dit een aanvaardbare veronderstelling. Voor glijlagers mag dit

echter niet verondersteld worden, daar speelt de koppeling tussen beide richtingen wel degelijk

een belangrijke rol in het ontstaan van instabiel trillingsgedrag.

4.4.3 Opstellen toestandsmodel

Voor iedere relevante frequentie wordt vervolgens de algemene dempings- en stijfheidsmatrix

bepaald (Ca en Ka). Op deze manier is iedere term van de bewegingsvergelijking bepaald.

Voor het bepalen van de eigenfrequenties van een tweede-orde systeem wordt een toestands-

model toegepast. Dit wordt gedaan als volgt:

De algemene definitie van een toestandsmodel:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (4.18a)

y(t) = Cx(t) +Du(t) (4.18b)

Waarbij x de toestandsvector is, y de uitgangsvector, en u de ingangsvector. Het vereenvoudigd

model van een onbelaste balk :

Maq(t) + Caq(t) +Kaq(t) = 0 (4.19)

wordt omgevormd naar:

qq

=

−CaM

−1a −KaM

−1a

0 I

qq

+ 0 (4.20)

4.4.4 Bepalen van de resonantiefrequenties, dempingsfactoren en trillings-

vormen

Gebruik makend van het toestandsmodel kunnen de eigenwaarden met behulp van Matlab be-

rekend worden. De functies eig, pole en polyeig geven allen dezelfde resultaten, maar in andere

vormen.

4.5 Werking en voorbeelden 28

Om de eigenfrequenties grafisch voor te kunnen stellen worden tenslotte de eigenfrequenties

met bijbehorende eigenvectoren nog gesorteerd. De modale trillingsvormen zijn de bijbehorende

eigenvectoren.

4.4.5 Grafiek opstellen

Eenmaal de polen geordend zijn is het heel wat eenvoudiger om een duidelijke en eenvoudige

grafiek op te stellen. Omdat in de meeste gevallen slechts een bepaald frequentiegebied of een

bepaalde pool onderzocht wordt is er in de software de mogelijkheden voorzien om de relevante

polen of het gewenste snelheidsbereik op te geven. Zowel een root-locus grafiek of het Campbell

diagram kunnen opgevraagd worden.

4.5 Werking en voorbeelden

De werking van de software wordt gedemonstreerd aan de hand van enkele voorbeelden die

gecontroleerd kunnen worden aan de hand van verschillende referenties. Deze voorbeelden geven

eveneens meer informatie over de invloed van de verschillende parameters en het verloop van de

dempingsfactoren bij de twee dempingsmodellen.

Voor alle simulaties maken we gebruik van een balk met gevens weergegeven in tabel 4.1.

Tabel 4.1: Gegevens van de balk

Gegevens

Diameter 0,1016 m

Lengte 1,27 m

Massadichtheid 7800 kg/m3

Optionele gegevens

Lagerstijfheid 1,75 107 N/m

Lagerdemping 100 Ns/m

Simulatieparameters

Aantal elementen 10

Laagste frequentie 0 rad/s

Hoogste frequentie 1000 rad/s

Frequentiestap 50 rad/s


4.5.1 Vrije as zonder inwendige demping

Een eerste voorbeeld is een vrije as zonder interne demping en zonder lagers. Figuur 4.3 geeft

het gereduceerd Campbell diagram. De resonantiefrequenties van een stilstaande balk kunnen

teruggevonden worden op de snijpunten met de y-as. Op figuur 4.4 is het verloop van de resonan-

tiefrequenties van de eerste meedraaiende- en tegendraaiende trillingsbewegingen weergegeven.

Op deze figuur is duidelijk de opsplitsing te zien, tengevolge van het gyroscopich effect, van de

eigenfrequentie van het niet-roterend systeem in twee takken met eigenfrequenties voor mee-

draaiende en een tegendraaiende warrelbewegingen. Op figuur 4.5 zijn de eigenvectoren voor de

drie laagste eigenfrequenties afgebeeld voor een stilstaande as.

0 200 400 600 800 10000

1000

2000

3000

4000

5000

Rotatiesnelheid Ω [rad/s]

ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

1e Meedraaiende mode 2e Meedraaiende mode 1e Tegendraaiende mode 2e Tegendraaiende mode

Figuur 4.3: Campbell diagram voor een vrije ongedempte balk.

4.5.2 Ongedempte as op lagers zonder lagerdemping

Een volgende stap is het toevoegen van lagers aan beide uiteinden van de as. In deze voorbeelden

worden lagers toegevoegd met een stijfheid van 1.75 107 N/m. Figuur 4.6 toont het Campbell

diagram en figuur 4.7 toont de trillingsvormen van het systeem bij stilstand. Een vergelijking

tussen figuur 4.3 en 4.6 toont de invloed van het toevoegen van lagers. Het toevoegen van extra

stijfheid aan het systeem beınvloedt de ligging van de eigenfrequenties. Uit deze figuren zou


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001780

1790

1800

1810

1820

1830

1840


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

1e Meedraaiende mode 1e Tegendraaiende mode

Figuur 4.4: Eerste meedraaiende en tegendraaiende warrelbeweging voor een vrije ongedempte

balk.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Eigenvector uit eindig elementenmodel

Vrijheidsgraad

Rel

atie

ve v

erpl

aats

ing

Trillingsvorm 1ste mode Trillingsvorm 2de mode Trillingsvorm 3de mode

Figuur 4.5: Modale trillingsvormen voor de eerste drie modes bij stilstand van een ongedempte

vrije as.


kunnen geconcludeerd worden dat door toevoeging van extra stijfheid de eigenfrequenties van

het systeem dalen. Dit is in tegenstelling met de basisprincipes van dynamische systemen. Toch

zijn beide figuren correct. Bij het bestuderen van een vrije balk worden echter enkel de flexibele

trillingsvormen afgebeeld. Dit zijn de trillingsvormen waarin de as een vervorming ondergaat.

Door de vrije opstelling bezit de as echter ook twee starre bewegingsvormen, trillingsvormen

waarbij de as beweegt zonder vervorming. Omdat het systeem geen stijfheid bezit die deze

trillingsvorm beperkt, zijn de bijbehorende eigenfrequenties bij deze trillingsvormen 0 rad/s. Bij

het toevoegen van lagers aan de as komen de eigenfrequenties van deze trillingsvormen hoger te

liggen, namelijk op (523.2 en 1097 rad/s). In tegenstelling tot de vrije balk zal de as nu wel een

vervorming vertonen bij deze trillingsmode. De mate waarin de as vervormt is afhankelijk van

de stijfheid van de as ten opzichte van de stijfheid van de lagers.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram


Figuur 4.6: Campbell diagram van een ongedempte as ondersteund door twee lagers.

In tabel 4.2 is een vergelijking gemaakt van de overeenstemmende eigenfrequenties van een

vrije en een gelagerde as. Naarmate de eigenfrequenties hoger liggen wordt het verschil tussen

beide kleiner. De trillingsvromen van hogere eigenfrequenties bezitten door hun bewegingsvorm

een hogere materiaalstijfheid dan de lagere eigenfrequenties. De toegevoegde stijfheid van de

lagers is dus relatief kleiner voor de hogere eigenfrequenties waardoor deze eigenwaarden minder


verschuiven.

Tabel 4.2: Vergelijking resonantiefrequenties vrije en gelagerde as

vrije as gelagerde as

0 rad/s 523.16 rad/s

0 rad/s 1096.7 rad/S

1806.2 rad/s 2254.3 rad/s

4907.5 rad/s 5079.8 rad/s

9453.6 rad/s 9538.5 rad/s

Figuur 4.7 toont tenslotte de de trillingsvormen van de ongedempte as ondersteund door

lagers. De vergelijking van deze trillingsvormen met figuur 4.5 bevestigt de correspondentie van

de eigenwaarden in tabel 4.2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Eigenvector uit eindig elementenmodel

Vrijheidsgraad

Rel

atie

ve v

erpl

aats

ing

1ste mode 2de mode 3de mode 4de mode 5de mode

Figuur 4.7: Trillingsvormen van een stilstaande ongedempte as ondersteund door lagers.


4.5.3 Ongedempte as ondersteund door lagers met lagerdemping

Aan de hand van volgend voorbeeld kan het belang van het decay rate diagram aangetoond

worden. Indien de decay rate positief wordt in een van de modes wordt het systeem instabiel.

Voor een systeem met enkel lagerdemping is de dempingsfactor per eigenfrequentie een constante

negatieve waarde die niet varieert met de rotatiesnelheid. Een ongedempte as ondersteund door

lagers met lagerdemping zal dus geen stabiliteitsgrens kennen.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0


σ [1

/s]

Decay Rate diagram


Figuur 4.8: Eerste twee meedraaiende en tegendraaiende warrelbewegingen van een ongedempte

balk ondersteund door lagers met lagerdemping

4.5.4 Viskeus gedempte as op lagers met lagerdemping

Figuur 4.9 geeft het Campbell en het decay diagram weer voor een viskeus gedempte as on-

dersteund door lagers met viskeuse demping. De demping van de as bedraagt ρv =0,0002 s en

de lagerdemping bedraagt 100 Ns/m. Uit de resultaten blijkt dat de dempingsfactor nu wel

afhankelijk is van de rotatiesnelheid. Dit is in overeenstemming met de stellingen uit paragraaf

4.3.1. Voor de meedraaiende warrelfrequentie verlaagt de demping terwijl voor de tegendraai-

ende warrelbewegingen de demping verhoogt.

In tabel 4.3 wordt de invloed op de instabiliteitsgrens van de roterende asdemping en de


niet-roterende lagerdemping onderzocht en eveneens vergeleken met resultaten van simulaties

uitgevoerd door Forrai [9] en Montagnier [11]. De lagerdemping wordt gevarieerd tussen 0 en 500

Ns/m terwijl de viskeuze demping de constante waarde van 0.0002 s is. Het simulatiemodel toont

dat de stabiliteitsgrens van het systeem voor iedere simulatie bepaald wordt door het gedrag van

de eerste voorwaartse warrelbeweging. Uit deze tabel en figuur 4.9 kan geconcludeerd worden dat

het toevoegen van lagerdemping aan een viskeus gedempt systeem de instabiliteitsgrens verhoogt

maar dat de instabiliteitsgrens niet verdwijnt. Bij het volledig weglaten van lagerdemping komt

de instabiliteitsgrens net overeen met de eerste resonantiefrequentie. De laagste eigenfrequentie

van het systeem is dus de laagst mogelijke frequentie waarop instabiliteit kan voorkomen. Dit

stemt overeen met de eis [10] dat instabiliteit door interne demping niet voorkomt onder de

eerste resonantiefrequentie van het systeem.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-40

-20

0

20


σ [1

/s]

Decay Rate diagram


Figuur 4.9: Campbell en decay rate diagram van een viskeus gedempte balk ondersteund door

gedempte lagers.

4.5.5 Hysteresis gedempte as op lagers met lagerdemping

Figuur 4.10 geeft het Campbell diagram van een as met hysteresis demping met ηH = 0.0002 s

ondersteund door gedempte lagers. Deze dempingswaarde werd gebruikt om het dempingsmodel


Tabel 4.3: Vergelijking instabiliteitstoerentallen voor een viskeus gedempte as

Toerental van instabiliteit

Lagerdemping [9] Simulatie

0Ns/m 521,3 rad/s 524 rad/s

100Ns/m 544,1 rad/s 547 rad/s

200Ns/m 566,8 rad/s 571 rad/s

300Ns/m 589,5 rad/s 594 rad/s

400Ns/m 612,3 rad/s 618 rad/s

500Ns/m 635,0 rad/s 642 rad/s

te controleren aan de hand van simulaties van Genta [21]. De resultaten komen daadwerkelijk

overeen, maar de hysteresis demping is echter veel te klein in verhouding tot de viskeuse la-

gerdemping (100 Ns/m) om de invloed van de hysteresis demping duidelijk in deze figuren te

zien. In figuur 4.11 is het verloop van de demping van de eerste meedraaiende trillingsbeweging

uitvergroot. Daarin is wel duidelijk het effect van de hysteresis demping te zien.

Om de invloed van hysteresis demping verder te verduidelijken wordt nog een tweede si-

mulatie voorgesteld. Figuur 4.12 geeft het Campbell diagram voor een hysteresis gedempte as

ondersteund door ongedempte lagers. Het dempingsverloop vertoont terug een abrupte stap op

het punt waar de rotatiesnelheid gelijk is aan de resonantiefrequentie. Op figuur 4.12 is deze stap

niet duidelijk zichtbaar omdat slechts een beperkt aantal punten van het Campbell diagram in

de simulaties berekend werd. Figuur 4.13 is het resultaat van dezelfde simulatie die uitgevoerd

werd met een veel hoger aantal punten binnen het relevante snelheidsbereik.

De twee voorgaande simulaties illustreren het gedrag van hysteresisdemping. De hystere-

sisdemping veroorzaakt voor iedere resonantiefrequentie een constante dempingsfactor over het

frequentiedomein die ofwel positief of negatief is. Bij rotatiesnelheden lager dan de resonan-

tiefrequenties heeft hysteresis demping een dempende invloed, de hysteresis demping ontneemt

energie uit het systeem. Voor snelheden groter dan de resonantiesnelheden gebeurt de energie

overdracht in de andere richting. Hysteresis demping transfereert dan energie naar de as en kan

op deze manier instabiliteit veroorzaken. Dit is in overeenstemming met de fysische realiteit van

hysteresis demping zoals Genta [15] verder in detail uitlegt. Uit de simulaties volgt nog dat de

stabiliteitsgrens ook bij hysteresis demping voorkomt bij de eerste voorwaartse trillingsmode in-


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0


σ [1

/s]

Decay Rate diagram


Figuur 4.10: Campbell en decay rate diagram voor een hysteresis gedempte as op gedempte

lagers

520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530-0.5

-0.495

-0.49

-0.485

-0.48

-0.475

-0.47

-0.465

-0.46

-0.455

-0.45


σ [1

/s]

Decay Rate diagram 1ste meedraaiende mode

Figuur 4.11: Dempingsverloop van de eerste meedraaiende trillingsbeweging voor een hysteresis

gedempte as ondersteund door gedempte lagers.

4.6 Besluit 37

dien de as instabiel kan worden. De voorwaarde dat de instabiliteitsgrens voorkomt hangt af van

de verhouding van de hysteresis demping tegenover de niet-roterende lagerdemping. De energie

die verbonden is aan de hysteresis demping wordt namelijk opgenomen door de niet-roterende

demping. Afhankelijk van welke van deze twee termen het grootst is zal instabiliteit optreden of

niet. In het eerste voorbeeld van deze paragraaf is de energieopname van niet-roterende demping

duidelijk groter dan de toegevoerde energie van de roterende demping. In het tweede voorbeeld is

er geen niet-roterende demping aanwezig zodat de toegevoerde energie van de hysteresis demping

instabiliteit zal veroorzaken voor snelheden groter dan de eerste resonantiefrequentie.

4.6 Besluit

In dit hoofdstuk is de uitwerking van het eindige-elementenmodel beschreven voor het simuleren

van eenvoudige roterende assen. Dit laat toe de eigenfrequenties, dempingsfactoren en eigenvec-

toren/trillingsvormen van een eenvoudig model te berekenen. De geometrie werd beperkt tot

slanke assen met constante doorsnede, eventueel ondersteund door assymmetrische lagers. In

het model werden twee dempingstypes geımplementeerd: viskeuse en hysteresis demping. Door

deze twee modellen kan het instabiliteitsgedrag in kaart te gebracht worden en de invloedsfac-

toren op de instabiliteitsgrens bepaald worden. De simulaties geven bovendien een referentie

waarmee identificatieprocedures uit hoofdstuk 6 getest kunnen worden.

Uit het simulatiemodel kan tenslotte nog het verschil aangetoond worden tussen het verloop

van de dempingscoefficienten en instabiliteitsgrenzen voor het hysteresis en viskeus dempings-

model. Een van de hoofdzaken die hierbij vastgesteld werd, is dat de instabiliteitsgrens altijd

voorkomt in de eerste meedraaiende warrelbeweging. Deze belangrijke conclusie laat toe om in

verdere experimenten (zie hoofdstuk 5) de metingen te beperken tot deze bewegingsmode.

4.6 Besluit 38

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


ω [r

ad/s

]

Campbell diagram

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04

-0.02

0

0.02

0.04


σ [1

/s]

Decay Rate diagram


Figuur 4.12: Campbell en decay diagram voor een hysteresis gedempte as op ongedempte lagers

520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530-0.5

-0.495

-0.49

-0.485

-0.48

-0.475

-0.47

-0.465

-0.46

-0.455

-0.45


σ [1

/s]

Decay Rate diagram 1ste meedraaiende mode

Figuur 4.13: Dempingsverloop van de eerste meedraaiende trillingsbeweging voor een hysteresis

gedempte as ondersteund door ongedempte lagers.

EXPERIMENTELE MODALE ANALYSE 39

Hoofdstuk 5

Experimentele modale analyse

Hoofdstukken 3 en 4 beschreven hoe een simulatiemodel opgebouwd wordt voor het voorspel-

len van de stabiliteitsgrens van een roterende as. Een kanttekening die hierbij gemaakt moet

worden, is dat het theoretisch model enkel betrouwbaar is als alle parameters correct kunnen

ingeschat worden, het theoretisch model overeenkomt met het fysisch model en de gemaakte ver-

onderstellingen overeenkomen met de werkelijkheid. Daarom is het noodzakelijk de geldigheid

van de vooropgestelde modellen te staven met metingen.

Dit hoofdstuk bespreekt de experimenten die uitgevoerd werden om het theoretisch model te

controleren. Het doel van de meetprocedure is om de frequentieresponsie van de as te bepalen.

Uit deze frequentieresponsiefuncties kunnen dan de modale parameters bepaald worden aan de

hand van de technieken die in hoofdstuk 6 besproken worden.

5.1 Beschrijving van de meetopstelling

De metingen worden uitgevoerd op een stilstaande as met diameter 1 cm en een lengte van

1 m. De keuze voor deze afmetingen ontstaat vanuit praktische overwegingen. Een te dikke

staaf zorgt ervoor dat de eigenfrequenties hoger liggen en dat de nodige impactenergie groter

wordt. Het reduceren van de dikte mag echter niet onbeperkt; een te dunne as biedt te weinig

sterkte zeker als dezelfde afmetingen gebruikt worden voor roterende experimenten. Voor deze

metingen op een stilstaande as wordt de staaf opgehangen in de knooppunten van zijn eerste

flexibele trillingsmode. Op deze manier is de invloed van de ophanging op de eerste trillingsmode

sterk gereduceerd.

Uit het eindige-elementenmodel kunnen reeds enkele voorspellingen gedaan worden. De

5.1 Beschrijving van de meetopstelling 40

eerste vijf resonantiefrequenties van de vrij opgehangen as werden gesimuleerd en staan opgesomd

in tabel 5.1. Deze zullen in de praktijk verschillen van de gemeten frequenties vanwege de

inschatting van enkele parameters, bijvoorbeeld de stijfheid en de massadichtheid van de as.

Tabel 5.1: Eerste vijf resonantiefrequenties uit het gesimuleerd model.

Mode frequentie (Hz)

1 47,5

2 131

3 257

4 425

5 636

5.1.1 Invloed ophangingsmethode

Avitable [22] besprak in een artikel reeds dat het belangrijk is een goede overweging te ma-

ken tussen ophangen met veren, elastieken of draad. Daarom werden er voorafgaand aan de

uiteindelijke testen enkele verkennende metingen uitgevoerd om het verschil tussen een ophan-

ging aan veren en een ophanging aan nylondraad (visdraad) te testen. Deze test ging als volgt:

de frequentieresponsiefunctie werd opgemeten door een hamerimpact in het midden van de as

en een accelerometer op dezelfde plaats. Voor beide ophanginsmethoden werden vijf metingen

uitgevoerd.

In figuur 5.1 staan de frequentieresponsiefuncties opgemeten bij een as opgehangen aan

nylondraad. En in figuur 5.2 ziet u de bekomen frequentieresponsiefuncties voor de as opge-

hangen aan veren. De veren werden gekozen zodat de resonantiefrequenties veroorzaakt door

de massa-veer interactie voldoende onder de laagste eigenfrequentie van de as liggen. Zo wordt

de invloed op de eigenfrequenties van de as zelf zo laag mogelijk gehouden. Bij het gebruik van

nylondraad kan de stijfheid niet gevarieerd worden. Op figuur 5.1 is duidelijk te zien dat de

resonantiefrequentie van de starre trilling voor de ophanging met visdraad voorkomt bij 10.2 Hz.

De overeenkomstige niet-flexibele trillingsbeweging voor de as-veercombinatie is niet duidelijk

zichtbaar op figuur 5.2, deze ligt op 1.3Hz. Als deze waarden vergeleken worden met de laagste

resonantiefrequentie van een flexibele trillingsmode uit tabel 5.1 of figuur 5.1 dan is voor de

ophanging aan draden de verhouding slechs 1 op 5 is tegenover een verhouding van 1 op 35 voor


de ondersteuning met veren. De invloed van de ophanging met draden op de eerste trillingsmode

zal dus wel degelijk een rol spelen.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

0

101

102

103

104

105

106

Frequentiersponsiefuncties as opgehangen aan nylondraden

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Figuur 5.1: Frequentieresponsiefunctie as opgehangen aan draden.

Figuur 5.3 tenslotte, toont de uitgemiddelde frequentieresponsiefuncties van beide ophan-

gingsmethoden. In deze figuur is duidelijk te zien dat bij frequenties hoger dan 300 Hz de

frequentieresponsiefunctie van de as opgehangen met draden een grotere ruis bezit.

Een laatste punt dat we hierbij willen bespreken, is de toegevoegde demping door de ophan-

ging. Aangezien een licht gedempte structuur gebruikt wordt, is dit zeker niet te verwaarlozen.

Deze invloed kan aangetoond worden aan de hand van de dempingsfactoren van de verschillende

eigenfrequenties. In hoofdstuk 6 wordt een methode besproken om deze parameters te bepa-

len, namelijk het least squares complex exponential algoritme. We lopen hier even vooruit en

gebruiken deze methode om de dempingsfactoren van de eerste en derde mode te bepalen. De

dempingsfactor van de tweede eigenfrequentie kan met behulp van deze metingen niet opgemeten

worden. De impactplaats, het midden van de as, ligt namelijk samen met een knooppunt van

de trillingsvorm van de tweede resonantiefrequentie. De resultaten in tabel 5.2 tonen aan dat

de ophanging met draden meer demping toevoegt dan het systeem met veren.

Bovenstaande experimenten tonen duidelijk aan dat, zelfs bij het eenvoudig systeem dat hier

bestudeerd wordt, de ophanging een invloed kan hebben op de meetresultaten. Een ophanging


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

0

101

102

103

104

105

106

Frequentiersponsiefuncties as opgehangen aan veren

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Figuur 5.2: Frequentieresponsiefunctie as opgehangen aan veren.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

0

101

102

103

104

105

106

Vergelijking frequentieresponsiefuncties ophanging met veren en nylondraad

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

NylondraadVeren

Figuur 5.3: Invloed van de ophanging op de frequentieresponsiefunctie.

5.2 Excitatiemethode 43

Tabel 5.2: Dempingsfactor σ per mode voor de eerste en derde resonantiefrequenties voor beide

ophangingstypes.

Mode Veren Visdraad

1 -0.128 -0.145

3 -0.963 -2.05

met veren resulteert duidelijk in betere meetresultaten en is daarom te prefereren ten opzichte

van een ophanging aan nylondraad.

5.2 Excitatiemethode

5.2.1 Algemeen

Voor de excitatie van structuren zijn de shaker- en hamerexcitatie de twee meestgebruikte me-

thoden. Daarnaast wordt geluidsexcitatie ook toegepast om een structuur te exciteren. Deze

methoden zijn meestal ontwikkeld om toe te passen op stilstaande structuren. De keuze van de

gepaste methode voor deze thesis wordt vooral bepaald door de extra eis dat de methode ook

bruikbaar moet zijn voor roterende structuren. Enkel zo blijft de hier gevolgde meetprocedure

geldig voor experimenten op draaiende assen.

Het grootste voordeel van shaker- en geluidsexcitatie ligt in de eigenschap dat de frequenties

die geexciteerd worden eenvoudig bepaald kunnen worden. Bij keuze voor shakerexcitatie op

roterende assen is het enkel mogelijk een excitatie op niet-roterende elementen uit te oefenen

(de lagerhuizen bijvoorbeeld). Eventueel kan een hulplager, dat de verbinding maakt tussen

de stilstaande shaker en de ronddraaiende excitatieplaatsen, gebruikt worden om ook roterende

punten te kunnen exciteren. Dit extra lager en de verbinding tussen shaker en lager zullen wel

de meetresultaten beınvloeden.

Bovenstaande problemen komen niet voor bij het gebruik van geluidsexcitatie. Doordat deze

methode geen contact met de structuur vereist, is een excitatie van een roterende structuur

mogelijk zonder aanpassingen aan de methode. Bij geluidsexcitatie ligt de moeilijkheid in het

bepalen van de juiste krachtwerking van de geluidsbron op de structuur. Afhankelijk van de

grootte van de bron, de richting en de vorm van de structuur zal de krachtwerking anders zijn.

Eveneens moet er rekening mee gehouden worden dat deze methode enkel praktisch toepasselijk

5.2 Excitatiemethode 44

is bij kleine structuren omdat de overdraagbare krachten relatief klein zijn.

Hamerexcitatie is de meestgebruikte van de drie vooropgestelde excitatiemethoden. Het

grootste voordeel van deze methode is dat er op een eenvoudige en snelle manier op een groot

aantal, zelfs moeilijk toegankelijke, punten een excitatie gegeven kan worden. Hierdoor wordt

deze methode voor veel toepassingen gebruikt. Het resulterend krachtsignaal benadert zo goed

mogelijk een impulsvorm. Dit zorgt ervoor dat een zo breedbandig mogelijk frequentiebereik

geexciteerd wordt. De juiste hamertip, hamermassa en materiaaleigenschappen van de excita-

tieplaats zijn hierbij bepalende factoren van de inhoud van het frequentiespectrum. Het exci-

tatiesignaal wordt opgemeten met behulp van een ingebouwde krachtsensor in de kop van de

hamer. Bij roterende structuren kan ook hier de bedenking gemaakt worden of de noodzaak tot

een hulplager nodig is. Bij erg snel draaiende structuren zal immers door de niet oneindig korte

impacttijd naast een normaalkracht ook een wrijvingskracht gegenereerd worden. Bij trager

draaiende structuren zal dit verschijnsel minder uitgesproken voorkomen. Een extra mogelijk-

heid om dit effect te verminderen, is door een hamertip of een tussenmateriaal te gebruiken met

een lage wrijvingscoefficient.

Men merkt dus op dat bij de keuze van een geschikte excitatiemethode veel verschillende

parameters in rekening gebracht moeten worden. Hamerexcitatie werd gekozen omdat deze

methode het eenvoudigst toepasbaar is op roterende structuren.

5.2.2 Invloed hamertip

Net zoals bij de keuze van de geschikte ophangingsmethode werden experimenten uitgevoerd om

de invloed van de gebruikte hamertip te onderzoeken. Een harde stalen tip werd hierbij ver-

geleken met een zachte plastic tip. Terug werden de herhaalbaarheid en lineariteit onderzocht.

Figuren 5.5 en 5.4 tonen de vijf responsies voor de harde en de zachte hamertip. Figuur 5.6 geeft

de vergelijking van de uitgemiddelde frequentieresponsiefuncties voor de beide hamertippen. De

verschillende metingen met de harde hamertip (figuur 5.5) tonen een grotere spreiding. Boven-

dien komt de vorm van sommige responsiefuncties niet overeen met wat verwacht wordt voor

een lineair systeem. De harde hamertip slaagt er dus niet in het systeem op een goede manier

te exciteren. De zachte hamertip heeft een duidelijk betere herhaalbaarheid voor frequenties

onder 400 Hz. Boven 400 Hz zijn de frequentieresponsiefuncties verkregen met de zachte ha-

mertip niet meer bruikbaar. Uit het simulatiemodel van hoofdstuk 4 blijkt dat vooral de eerste

resonantiefrequentie van tel is bij het onderzoek naar instabiel gedrag door interne demping. In

5.3 Responsie 45

dit onderzoek is de opgemeten responsie accuraat genoeg in dit frequentiegebied. Daarom wordt

voor deze thesis gebruik gemaakt van de zachte hamertip. Voor metingen waar ook de hogere

resonantiefrequenties gezocht worden, zal deze zachte hamertip niet de beste optie zijn.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

0

101

102

103

104

105

106

Frequentiersponsiefuncties hamerimpact met zachte tip

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Figuur 5.4: Opgemeten frequentieresponsiefuncties hamerimpact met zachte tip.

5.3 Responsie

Voor het opmeten van de responsie van de structuur ligt de keuze tussen afstandssensoren en

accelerometers.

Afstandssensoren bestaan in veel verschillende types: laser-, infrarood- of ultrasoonsensoren

zijn de meest gebruikte sensortypes. De voornaamste eis bij de keuze van een geschikte sensor

voor trillingsmetingen, is de benodigde nauwkeurigheid en de resolutie om de kleine verplaat-

singen te kunnen opmeten.

Accelerometers hebben als voordeel dat ze gemakkelijk toepasbaar zijn op moeilijke plaat-

sen en dat ze gemakkelijk verplaatsbaar zijn. Voor on-sitemetingen of metingen waarbij een

groot aantal vrijheidsgraden dient opgemeten te worden, is het gebruik van accelerometers sterk

aangeraden.

De keuze tussen de gepaste sensor heeft in tegenstelling tot de keuze van de geschikte exci-

tatie minder invloed op de metingen. Daarom weegt de ervaring en de beschikbaarheid van de

5.3 Responsie 46

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

0

101

102

103

104

105

106

Frequentiersponsiefuncties hamerimpact met harde tip

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Figuur 5.5: Opgemeten frequentieresponsiefuncties hamerimpact met harde tip.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

0

101

102

103

104

105

106

Vergelijking harde en zachte hamertip

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Harde tipZachte tip

Figuur 5.6: Vergelijking opgemeten frequentieresponsiefuncties met zachte en met harde tip.

5.3 Responsie 47

verschillende opties zwaarder door. Voor roterende structuren is de keuze evident. Hier is het

gebruik van afstandssensoren de enige mogelijke optie.

De metingen die in het kader van deze thesis werden uitgevoerd met 1-dimensionale accele-

rometers vanwege de beschikbaarheid van deze sensoren binnen het meetlabo. Voor metingen

van lichtgedempte structuren moet bij het gebruik van accelerometers rekening gehouden wor-

den met de extra demping die de verbindingskabels van de accelerometers introduceren in de

metingen. In het labo is een dik en een dun kabeltype beschikbaar. Verdere gegevens van deze

kabels zijn niet gekend.

Dat de keuze van een geschikte kabel niet zo rechtlijnig is als eerst gedacht, kan aangetoond

worden met metingen. Dezelfde metingen als beschreven in paragrafen 5.1.1 en 5.2.2 werden

terug uitgevoerd maar nu met het type signaalkabel als varierende parameter. Figuur 5.7 geeft

de bekomen frequentieresponsiefuncties. Een gedetailleerd beeld (figuur 5.8) van de eerste reso-

nantiefrequentie toont duidelijk de invloed aan van de extra demping van de dikke draden. Dit

wordt bevestigd met de berekeningen van de dempingsfactoren van de eerste en derde mode (zie

tabel 5.3).

Figuur 5.7 brengt ook nog een ander opvallend bijverschijnsel aan het licht. Er is een ver-

schil in het hoogfrequente gebied tussen de dikke en de dunne draden. Een mogelijke oorzaak

hiervan is de hogere gevoeligheid van de dunne kabels naar ruis. De dikkere kabels bezitten

een beter afschemschild waardoor externe elektromagnetische velden minder verstoring kunnen

veroorzaken in de metingen. De dunnere kabels zijn minder geschikt voor metingen van signalen

met hoge frequentieinhouden.

Tabel 5.3: Dempingsfactor σ per mode voor de eerste en derde resonantiefrequenties voor beide

kabeltypes.

Mode Dunne verbindingskabels Dikke verbindingskabels

1 -0.128 -0.479

3 -0.963 -1.32

Dit laatste verschijnsel toont nogmaals aan dat het opzetten van een geschikte meetopstelling

niet eenvoudig noch rechtlijnig is. Voor het meten van de eerste drie resonantiefrequenties van

deze lichtgedempte as is gekozen voor het gebruik van de lichtgedempte, dunne kabels.

5.3 Responsie 48

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

0

101

102

103

104

105

106

Vergelijking frequentieresponsiefuncties voor verschillende kabeltypes van de signaaldraden

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Dikke dradenDunne draden

Figuur 5.7: Opgemeten frequentieresponsiefuncties voor metingen met dikke en dunne signaal-

kabel.

41 42 43 44 45 46 47 48 49 5010

3

104

105

106

Vergelijking frequentieresponsiefuncties voor verschillende kabeltypes van de signaaldraden

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Dikke dradenDunne draden

Figuur 5.8: Detail van de eerste flexibele resonantiefrequentie van de opgemeten frequentieres-

ponsiefuncties voor metingen met dikke en dunne signaalkabel.

5.4 Signaalanalyse 49

5.3.1 Meetprocedure

Het aantal meetpunten en excitatiepunten is een volgende parameter die besproken wordt. Er

dient een overweging gemaakt te worden tussen: de beınvloeding van de structuur door massa-

en dempingstoevoeging, de tijdsduur die gespendeerd kan worden aan het meten van alle im-

pactpunten, en de noodzaak tot het meten van een groot aantal modes. Aangezien in de eindige-

elementenanalyse van hoofdstuk 4 reeds aangehaald werd dat in deze analyse enkel de eerste

flexibele eigenfrequentie van daadwerkelijk belang is voor het bepalen van de instabiliteitsgrens,

zou de metingen kunnen beperkt worden tot een meetpunt. Om echter de verdeling van de dem-

ping te kunnen inschatten aan de hand van de methode uit sectie 6.2 is het wenselijk een groter

aantal modes op te meten. Daarom werden de drie eerste trillingsvormen in kaart gebracht door

een excitatie en een meting op beide uiteinden en op het midden van de as.

5.4 Signaalanalyse

Een volgende stap is het bepalen van de frequentieresponsies uit de opgemeten data. Hiervoor

worden de ingangs- en uitgangsdata eerst gefilterd. In verschillende referentiewerken is hierover

al veel geschreven. Maar opnieuw geeft Avitabile in een kort artikel [23] de meest praktische

tips over hoe beoordeeld kan worden of het toepassen van een window functie nodig is.

Het excitatiesignaal van de hamerimpact wordt opgemeten door een krachtsensor die inge-

bouwd zit in de hamerkop. De op de as uitgeoefende kracht is echter slechts een gedeelte van de

slag van het opgemeten signaal. De krachtsensor zal daarnaast bijvoorbeeld ook het opnemen

en wegleggen van de hamer registreren. Daarom moet het opgemeten signaal gefilterd worden

zodat enkel de impulskracht overblijft.

Het responsiesignaal is een uitgedempte trilling. Veelal wordt in dit geval een exponentieel

venster gebruikt om het signaal naar nul te forceren op het einde van de tijdsduur om zo het

fenomeen van lekkage in de frequentieresponsiefunctie te beperken. Dit venster voegt echter

extra demping toe aan het signaal, wat erg ongewenst is bij het meten van deze licht gedempte

structuren. Een alternatief voor het toepassen van een exponentieel window is het verlengen van

de tijdsduur van de metingen zoals voorgesteld door Avitabile. Om de invloed van het toegepaste

exponentieel venster verder te onderzoeken, werd de vergelijking gemaakt tussen een ongefilterd

signaal, een signaal met langere tijdsduur en een gefilterd signaal. In figuur 5.9 is de eerste

resonantiefrequentie van de bijbehorende responsiefuncties weergegeven. Bij het ongefilterde

5.5 Besluit 50

signaal is het effect van de lekkage tussen verschillende frequenties duidelijk zichtbaar. Bij het

gefilterde signaal is de invloed van de extra demping ook zichtbaar indien deze vergeleken wordt

met de meting met langere tijdsduur. Dit toont aan dat het toevoegen van een window alleen

mag gebeuren indien andere opties, zoals het verlengen van de tijdsduur, niet toepasbaar zijn.

41 42 43 44 45 46 47 48 49 5010

2

103

104

105

106

Invloed exponentieel window

Frequentie (Hz)

Am

plitu

de

Zonder exponentieel windowLangere tijdsduur metingExponentieel window

Figuur 5.9: Illustratie van de invloed van een exponentieel venster, en een verlengde meetduur.

Eenmaal de meetprocedure op punt staat, kan de frequentieresponsiefunctie berekend wor-

den. Deze berekening werd niet zelf geımplementeerd maar er werd gebruik gemaakt van de

functie tfestimate die reeds in de Matlab omgeving beschikbaar is. Deze functies werden wel

gecontroleerd aan de hand van algoritmes die opgesteld werden door A. Deschildre in het kader

van zijn thesis [24] en beide methoden stemmen overeen.

5.5 Besluit

Het uitvoeren van een experiment vergt een grondige voorbereiding. Dit hoofdstuk handelt

voornamelijk over de invloedsfactoren op de kwaliteit van de metingen. Met verschillende expe-

rimenten werden de invloed van de ophangingsmethode, hamertip en signaalfiltering onderzocht

5.5 Besluit 51

zodat de meetprocedure op punt gezet kon worden. Deze experimenten en de analyse ervan

nemen meer tijd in dan de uiteindelijke metingen zelf, maar er werd meermaals aangetoond dat

een ondoordachte keuze snel leidt tot een onbruikbaar meetsignaal.

De metingen op de stilstaande structuur geven ons als resultaat een set responsiefuncties.

Om de dempingseigenschappen van de as hieruit af te leiden moeten nog een extra stap gezet

worden. In het volgende hoofdstuk wordt vertrokken vanuit de bekomen responsiefuncties en

worden de dempingsfactoren en de geometrische verdeling van de demping bepaald.

IDENTIFICATIE 52

Hoofdstuk 6

Identificatie

Het doel van een identificatietechniek is, vertrekkend van gekende frequentieresponsiefuncties

de modale parameters uit deze data te halen. Met modale parameters worden de eigenvectoren,

de eigenfrequenties en de modale schalingsfactoren bedoeld. Uit deze gegevens kan dan de

verdeling van de demping over de opgemeten structuur geschat worden aan de hand van een

recent ontwikkelde methode.

Het bepalen van de modale parameters kan op verschillende manieren gebeuren. Het onder-

scheid kan gemaakt worden tussen lokale of globale methoden, tijdsdomein of frequentiedomein

algoritmes, enkelvoudige of meervoudige ingangs- en uitgangsmodellen [25, 26]. Het is niet de

opzet van deze scriptie om een vergelijking te maken tussen deze methoden of een gedetailleerd

overzicht te geven van de eigenschappen. In deze thesis wordt gebruik gemaakt van de de Least

Squares Complex Exponential (LSCE) methode [27, Hoofdstuk 9.3] en [28, Sectie 3.4].

6.1 Least squares complex exponential algoritme

Het least squares complex exponential algoritme (soms ook Prony methode genoemd) is een

tijdsgebaseerde globale methode. Dit algoritme vertrekt vanuit de impulsresponsies van het

systeem welke geschreven kunnen worden in de vorm van formule 6.1.

xi(t) =

2N∑

k=1

ψikeλkt i = 1...n (6.1)

Met λ de polen/eigenwaarden van het systeem onder de vorm λ = σ±ωi en ψ de bijhorende

eigenvectoren. De term ψik is dus de het element dat overeenstemt met de i-de vrijheidsgraad

van de eigenvector bij de k-de eigenfrequentie. Indien de impulsresponsies gesampled worden

6.1 Least squares complex exponential algoritme 53

met sampleperiode ∆t kan bovenstaande vergelijking omgevormd worden tot:

xi(l∆t) =2N∑

k=1

ψikVlk i = 1..n met Vk = eλk∆t (6.2)

In bovenstaande vergelijking zijn de parameters Vk en ψik de factoren die onbekend zijn.

Prony’s methode geeft nu een manier om deze parameters te berekenen. Een eerste stap is het

invoeren van de onbekende coefficienten βj en het opstellen van onderstaande veelterm:

β0 + β1Vk + β2V2k + ...+ β2NV

2Nk = 0 (6.3)

De term β2N wordt gelijkgesteld aan 1 zodat alle andere parameters eenduidig vastliggen.

Daarna worden beide leden van de veelterm 6.2 vermenigvuldigd met β0...β2N . Na sommeren

geeft dit:

2N∑

j=0

βjxi(tj) =

2N∑

j=0

(βj

2N∑

k=1

ψikVjk

)=

2N∑

k=1

ψik

2N∑

j=0

βjVjk

(6.4)

Waarin vergelijking 6.3, welke gelijk is aan nul, herkend kan worden. Indien enkel de eigen-

frequenties en dempingsfactoren nodig zijn, kan gebruik makend van een enkele impulsrespon-

siefunctie een oplossing gevonden worden voor bovenstaand probleem. Voor het bepalen van de

verdeling van de demping (sectie 6.2) is het wenselijk ook de eigenvectoren te kennen. Daarom

wordt in dit hoofdstuk de methode geıllustreerd om de eigenfrequenties, de dempingsfactoren

en de eigenvectoren te bepalen aan de hand van een groter aantal impulsresponsies.

Voor iedere impulsresponsie kunnen vergelijkingen 6.3 en 6.4 gecombineerd worden tot vol-

gende vergelijking:

0 =

xi(t0) xi(t1) · · · xi(t2N )

xi(t1) xi(t2) · · · xi(t2N+1)...

.... . .

...

xi(t2N−1) xi(t2N ) · · · xi(t4N−1)

β0

β1

...

β2N

(6.5)

Doordat β2N = 1 geldt dat:

xi(t0) xi(t1) · · · xi(t2N−1)

xi(t1) xi(t2) · · · xi(t2N )...

.... . .

...

xi(t2N−1) xi(t2N ) · · · xi(t4N−2

β0

β1

...

β2N−1

= −

xi(t2N )

xi(t2N+1)...

xi(t4N−1)

(6.6)


Of kort samengevat:

Xiβ = −xi (6.7)

Dit maakt het mogelijk om met een impulsresponsie β te bepalen. Om resultaten te bekomen

uit p ingangssignalen kan vergelijking 6.7 uitgebreid worden:

X1

X2

...

Xp

[β]

= −

x1

x2

...

xp

(6.8)

Hieruit kan β terug bepaald worden met behulp van de pseudoinverse van X omdat X geen

vierkante matrix is. De waarden van β kunnen nu ingevuld worden in vergelijking 6.3. De

nulpunten van deze polynoom zijn dan de parameters V 1k − V 2N

k . Hieruit kunnen tenslotte de

eigenfrequenties en dempingsfactoren van het systeem berekend worden.

Voor het verkrijgen van de eigenvectoren is een volgende stap vereist. Volgende matrices

kunnen opgesteld worden door een combinaties van vergelijking 6.2 voor de tijdstippen t0 tot

t2N−1.

1 1 · · · 1

V1 V 2 · · · V2N

V 21 V 22 · · · V 2

2N

......

. . ....

V 2N−11 V 2N−1

2 · · · V 2N−12N

ψ11 ψ21 · · · ψ2N1

ψ12 ψ22 · · · ψ2N2

......

. . ....

ψ12N ψ22N · · · ψ2N2N

=

x1(t0) x2(t0) · · · x2N (t0)

x1(t1) x2(t1) · · · x2N (t1)...

.... . .

...

x1(t2N−1) x2(t2N−1) · · · x2N (t2N−1)

(6.9)

Hieruit kunnen de modale vectoren bepaald worden zodat deze aan vergelijking 6.1 voldoen.

De onderlinge verhouding van de eigenvectoren is hierbij vastgelegd, de schaling echter nog niet.

Dit kan eenvoudig ingezien worden aan de hand van vergelijking 6.1. Aangezien de grootte van

de impulsresponsie willekeurig is, is de grootte van de eigenvectoren afhankelijk van de grootte

van de ingegeven impuls.


6.1.1 Voorbeelden en resultaten

Controle aan de hand van eindige-elementenmodel

Om de resultaten van het least squares complex exponential algoritme te valideren en te illustre-

ren wordt een controle uitgevoerd met behulp van het eindige-elementenmodel. Dit model wordt

hiervoor uitgebreid zodat ook een impulsresponsie van het simulatiemodel gegenereerd wordt.

Het impulse commando binnen de Matlab omgeving is de basis van deze impulsgeneratie.

Een balk zonder interne demping, ondersteund aan beide uiteinden door lagers met lager-

demping, werd gesimuleerd. De gegevens van dit model zijn de waarden uit tabel 4.1. In tabel

6.1 worden de berekende resonantiefrequenties uit de gegenereerde impulsresponsies vergeleken

met de eigenwaarden uit het eindige-elementenmodel. Het least squares complex exponential

algoritme schat de verschillende eigenfrequenties goed in. In figuur 6.1 worden vervolgens de

eigenvectoren, die bepaald werden met het least squares algoritme, afgebeeld. Deze figuur dient

naast figuur 4.5 gelegd te worden ter vergelijking met de simulaties.

Tabel 6.1: Vergelijking van de laagste 5 eigenwaarden van het simulatiemodel en de least squares

complex exponential methode.

Simulatiemodel LSCE algoritme

-0,476 ± 523,3i -0,476 ± 523,3i

-3,173 ± 1097i -3,173 ± 1097i

-5,388 ± 2259i -5,388 ± 2259i

-5,155 ± 5107i -5,155 ± 5107i

-4,772 ± 9623i -4,773 ± 9623i

Een belangrijke bedenking die gemaakt moet worden bij het gebruik van de least squares

complex exponential methode is dat in praktijk de dimensie van het systeem niet gekend is. De

afgeleide formules gaan echter wel uit van een gekend aantal (namelijk 2N, N paren complex toe-

gevoegde polen) eigenfrequenties. Daarom moet een inschatting gemaakt worden van het aantal

te bepalen polen. Een te laag aantal polen zal impliceren dat bepaalde polen niet opgemerkt

worden of afwijken van de reele waarde doordat het algoritme verschillende eigenfrequenties

combineert. Een te groot aantal polen kan ervoor zorgen dat verschillende mathematische polen

gevonden worden die geen fysische betekenis hebben. Het opstellen van een stabiliteitsdiagram

(figuur 6.2) is een oplossing voor dit probleem. In dit diagram worden de gevonden polen uit-


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vrijheidsgraad

Rel

atie

ve a

mpl

itude

Trillingsvormen uit het eindig-elementenmodel

1ste resonantiefrequentie 2de resonantiefrequentie 3de resonantiefrequentie 4de resonantiefrequentie 5de resonantiefrequentie

Figuur 6.1: Eigenvectoren bepaald met behulp van het least squares complex exponential algo-

ritme.

gezet in functie van vooropgestelde dimensies van het model. Vertrekkend met een klein aantal

polen wordt gecontroleerd of bepaalde polen zich stabiliseren of enkel wiskundig zijn bij het

vermeerderen van het aantal eigenfrequenties. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen polen

waarvan alleen de frequentie gestabiliseerd is en polen waarvan zowel de frequentie als de dem-

pingsfactor niet meer varieren bij verhogen van de omvang van het model. In de achtergrond

van figuur 6.2 wordt het vermogensspectrum voorgesteld van een van de impulsresponsies als

indicatie voor de ligging van de polen.

De resultaten tonen duidelijk aan dat het least squares complex exponential algoritme correct

functioneert op een gesimuleerd model. Zowel de eigenvectoren als de eigenwaarden kunnen goed

ingeschat worden.

Controle aan de hand van eindige-elementenmodel met ruis

Een volgende controle van het LSCE algoritme is het bestuderen van het gedrag bij toevoeging

van ruis aan de impulsresponsies. Een stoorsignaal van 10% werd gesupperponeerd op de im-

pulsresponsies. Tabel 6.2 en het stabiliteitsdiagram 6.3 tonen dat door de toevoeging van ruis

de gevonden resonantiefrequenties meer afwijken dan de gevonden polen uit vorig voorbeeld.

Vooral de dempingsfactoren kunnen minder goed correct ingeschat worden. Tijdens de simu-


Figuur 6.2: Stabiliteitsdiagram voor het least squares complex exponential algoritme toegepast

op gesimuleerde impulsresponsies.

laties werd opgemerkt dat vooral de hogere frequenties beınvloed worden door de toegevoegde

ruis. De uitwijking van deze eigentrillingen is meestal veel kleiner door de hogere stijfheid van

deze trillingsvormen. De ruis, die een bepaald percentage is van de uitwijking op elk tijdstip,

zal dus meer invloed hebben op deze hogere frequenties.

LSCE algoritme op metingen

Na de controles van het algoritme aan de hand van simulaties kan dezelfde methodiek gebruikt

worden om de metingen en de resultaten van het eindige-elementenmodel te vergelijken. De

afmetingen, massa en stijfheid van de proefstaaf en de stijfheid van de veren (22 N/m) waaraan

de as opgehangen wordt, kunnen eenvoudig in het model voor balk ingegeven worden.

De demping kan echter moeilijker ingevoerd worden, een schatting van de dempingsgraad

en het dempingstype is niet evident. Toch kunnen enkele besluiten genomen worden over de

invloed van de demping op de resultaten. Ten eerste wordt verwacht dat de eigenfrequenties van

het gesimuleerde model en eigenfrequenties van het opgemeten stuk dicht in elkaars buurt liggen

omdat eigenfrequenties slechts weinig beınvloed worden in licht gedempte systemen. Ten tweede

zal uit de metingen, en met name de berekende dempingsfactoren, ook blijken dat voorgaande


Tabel 6.2: Vergelijking van de laagste vijf eigenwaarden van het simulatiemodel en het least

squares complex exponential methode toegepast op impulssignalen met ruis.

Simulatiemodel LSCE algoritme Fout eigenfrequentie Fout dempingsfactor

-0,4760 ± 523,279i -0,4662 ± 523,268i 0,0030 % 2.0546 %

-3,1730 ± 1097,36i -3,2134 ± 1097,37i -0,0014 % -1,272 %

-5,3881 ± 2259,12i -5,4359 ± 2259,13i -0,0003 % -0,8864 %

-5,1547 ± 5107,16i -5,3709 ± 5107,15i 0,0002 % -4,1953 %

-4,7726 ± 9623,02i -12,945 ± 9612,05i 0,1141 % -171,2 %

Figuur 6.3: Stabiliteitsdiagram voor het least squares complex exponential algoritme toegepast

op gesimuleerde impulsresponsiefuncties met ruis.

6.2 Lokalisatie demping 59

aanname van een licht gedempt systeem al dan niet gerechtvaardigd was.

In tabel 6.3 zijn de eerste drie flexibele resonantiefrequenties naast de gesimuleerde eigen-

frequenties van deze trillingsvormen uitgezet. Deze blijken goed overeen te komen als rekening

gehouden wordt met de onzekerheid die in de gebruikte factoren zit. De correcte massadicht-

heid en stijfheid en het toevoegen van extra massa door de plaatsing van accelerometers kunnen

een oorzaak zijn van deze kleine verschillen. Figuren 6.4 en 6.5 geven de eigenvectoren van

respectievelijk het gesimuleerde model en de experimentele modale analyse. Aangezien in de

meetprocedure slechts drie vrijheidsgraden opgemeten werden, kan de eigenvector van het opge-

meten systeem ook slechts op deze punten berekend worden. Toch leren deze figuren ons dat, op

een lichte afwijking na, de opgemeten flexibele resonantiefrequenties de correcte trillingsvormen

bezitten.

Tabel 6.3: Vergelijking van de eigenfrequenties bekomen uit simulaties en metingen.

Simulaties Metingen Afwijking

Resonantiefrequenties Resonantiefrequenties Dempingsfactoren Resonantiefrequenties

298,8 rad/s 291,6 rad/s -0.339 2.47%

822,6 rad/s 836,3 rad/s -4.66 1.64%

1613 rad/s 1577 rad/s -1.25 2.28%

6.2 Lokalisatie demping

Aan de hand van de eigenvectoren, de resonantiefrequenties en de dempingsfactoren kan reeds

heel wat gezegd worden over het opgemeten model. Om het instabiliteitsgedrag van een roterende

as nog verder te onderzoeken, is het gewenst om een nog gedetailleerder beeld te krijgen van

de demping van het systeem. In de literatuur beschrijven Woodhouse en Adhikari [12, 29, 30,

31, 32, 33] een recente ontwikkeling die het mogelijk maakt de dempingsmatrix te berekenen

vertrekkende vanuit de modale parameters. Door deze methode toe te passen, is het mogelijk

de locatie van de demping vast te stellen. Op deze manier kan de dempende invloed van een

lager, ophanging of dempende coating in kaart gebracht worden [34].


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vrijheidsgraad

Rel

atie

ve a

mpl

itude

Trillingsvormen uit het eindig-elementenmodel

1ste resonantiefrequentie 2de resonantiefrequentie 3de resonantiefrequentie 1ste starre resonantiefrequentie 2de starre resonantiefrequentie

Figuur 6.4: Eigenvectoren gesimuleerd met het eindige-elementenmodel.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vrijheidsgraad

Rel

atie

ve a

mpl

itude

Eigenvector uit het least squares complex exponential algoritme

1ste resonantiefrequentie 2de resonantiefrequentie 3de resonantiefrequentie

Figuur 6.5: Eigenvectoren bepaald uit de metingen aan de hand van het least squares complex

exponential algoritme (stippen) tegenover de overeenkomstige eigenvectoren van het simulatie-

model (lijnen).


6.2.1 Fitten van een viskeuze dempingsmatrix

Bij het opstellen van hun theorie vertrekken Adhikari [12] en Woodhouse [29] van de ongedempte

bewegingsvergelijking van het systeem volgens:

Mq(t) +Kq(t) = 0 (6.10)

Voor een harmonische beweging, waarbij q(t) = ψeλt = ψeiωt kunnen de oplossingen van deze

vergelijking gevonden worden (vergelijking 6.11). Om het onderscheid te maken tussen de ge-

dempte en ongedempte eigenvectoren worden de notaties (ψ) en (ψ) ingevoerd voor respectie-

velijk gedempte en ongedempte eigenvectoren. De ongedempte eigenwaarden worden aangeduid

met iω, de gedempte eigenwaarden met λ.

− ω2nMψn +Kψn = 0 (6.11)

Kψn = ω2nMψn (6.12)

Met δ de diracfunctie. Deze eigenvectoren zijn orthogonaal ten opzichte van de massa- en

stijfheidsmatrix en de eigenvectoren worden massa-genormaliseerd of in formulevorm:

ψTj Mψk = δjk (6.13a)

ψTj Kψj = ω2j δjk (6.13b)

De eigenwaarden van ongedempte systemen zijn zuiver imaginaire getallen. De eigenvecto-

ren kunnen geschreven worden als zuiver reele vectoren. Bij een licht gedempt systeem zullen

de gedempte eigenfrequenties dicht liggen bij de ongedempte eigenfrequenties ωn. Ook de ei-

genvectoren zullen nauw aansluiten bij de ongedempte eigenvectoren en volgend verband wordt

vooropgesteld:

ψn =N∑

j=1

αjψj met αn = 1 en |αj | << 1 (j 6= n) (6.14)

Volledig analoog aan vergelijking 6.11 kan ook voor de gedempte bewegingsvergelijking de

oplossing gezocht worden voor harmonische bewegingen. De eigenfrequenties zijn niet meer

zuiver imaginair maar complexe getallen.


λ2nMψn + λnCψn +Kψn = 0 (6.15)

De benaderde oplossingen voor de gedempte eigenvectoren van vergelijking 6.14 kunnen

ingevuld worden in vergelijking 6.15. Dit geeft:

λ2nM

N∑

j=1

αjψj + λnCN∑

j=1

αjψj +KN∑

j=1

αjψj = 0 (6.16)

Deze vergelijking wordt voorvermenigvuldigd met ψTk .

λ2nψ

TkM

N∑

j=1

αjψj + λψTk C

N∑

j=1

αjψj + ψTkK

N∑

j=1

αjψj = 0 (6.17)

Gebruik makend van de orthogonaliteitseigenschappen van de ongedempte eigenvectoren

(formule 6.13) kan bovenstaande vergelijking vereenvoudigd worden tot:

λ2jαk + λj

N∑

l=1

αlC′kj + ω2

kαk = 0 (6.18)

Met:

C ′kj = ψkCψj (6.19)

Vergelijking 6.18 uitwerken voor k=j en verwaarlozen van alle termen die een tweede orde

bevatten van αjl en Cjkl geeft vergelijking 6.20. De verwaarlozing van deze termen mag enkel bij

een licht gedempt systeem. De gedempte eigenvectoren liggen dan erg dicht bij de ongedempte

eigenvectoren. Alla α’s zijn dan erg klein behalve αn.

λ2j + λjC

′jj + ω2

j ≈ 0 (6.20)

Verder uitwerking van dit resultaat geeft:

(λj +

C ′jj2

)2

≈ −ω2j (6.21)

λj ≈ −C ′jj2± iωj (6.22)

Vergelijking 6.22 geeft de benadering van de gedempte natuurlijke frequenties

Voor het geval j6=k kan vergelijking 6.18 nu omgevormd worden tot:

λ2jαk + λjC

′kj + ω2

kαk = 0 (6.23)


of

αk =λC ′kj

(λ2j + ω2

k)(6.24)

Voor licht gedempte systemen liggen de gedempte eigenwaarden zeer dicht bij de ongedempte

eigenwaarden. Gebruik makend van deze benadering wordt volgende vergelijking bekomen:

αk ≈iωjC

′kj

ω2j − ω2

k

(6.25)

Indien vergelijkingen 6.14 en 6.25 gecombineerd worden, dan kan een eerste orde benadering

van de gedempte eigenvectoren geschreven worden als:

ψj ≈ ψj + i

N∑

k=1,k 6=j

ωjC′kj

ω2j − ω2

k

ψk (6.26)

Deze vergelijking is een specifieke uitwerking van vergelijking 6.14. In vergelijking 6.14

zijn de coefficienten αn complexe getallen waarvan de modus kleiner is dan 1. Door aanname

van licht gedempte systemen werd dit verband benaderd door vergelijking 6.26. Hierin zijn

alle coefficienten αn, behalve αj welke gelijk is aan 1, zuiver imaginaire getallen. Vergelijking

6.26 splitst de complexe eigenwaarden van het gedempt systeem dus op in een reeel deel wat

ongeveer gelijk is aan de ongedempte eigenvectoren en een imaginair deel wat gelijk is aan een

lineaire combinatie van de andere ongedempte eigenvectoren. Dit biedt een mogelijkheid om

in te schatten of het bestudeerde systeem licht gedempt is. De reele delen van de gedempte

eigenvectoren zouden loodrecht moeten staan op de imaginaire delen van de eigenvectoren en de

reele delen van de eigenvectoren moeten benaderend gelijk zijn aan de ongedempte eigenvectoren

opdat dit een goede benadering zou zijn. Bij zwaar gedempte systemen zal dit niet opgaan.

Woodhouse en Adhikari [30, 32] gebruiken bovenstaande afleiding om de volledige dempings-

matrix te berekenen vanuit opgemeten modale parameters. Zij splitsen de opgemeten complexe

eigenvectoren als:

ψj = ψRej + iψImj (6.27)

Doordat er hier sprake is van licht gedempte systemen kan met vergelijking 6.22 de onge-

dempte natuurlijke frequenties ingeschat worden als:

ωj = Im(λj) (6.28)

En het imaginair deel van de gedempte eigenvectoren kunnen analoog aan de hand van

vergelijking 6.26 berekend worden als:


ψImj =m∑

k=1

BkjψRek met Bkj(ω

2j − ω2

k) = ωjC′kj (6.29)

Voor een opgemeten set eigenvectoren kan met deze formule de factoren Bkj gezocht worden.

De matrix B wordt berekend door minimalisatie van de fout ε.

εj = ψImj −m∑

k=1

BkjψRek (6.30)

Dit wordt gedaan aan de hand van een Galerkin benadering waarbij de ongedempte eigen-

vectoren als gewichtsfunctie gebruikt worden. Zodat voor een vaste j:

ψReT

j εj = 0 (6.31)

ψReT

l

ψImj −

m∑

k=1

BkjψRek

= 0 (6.32)

De matrices S en W worden ingevoerd, met Wij = ψReT

i ψRej en Sij = ψReT

i ψImj de elementen

van beide matrices. Als U en V de matrices zijn met de reele en imaginaire delen van de

eigenvectoren dan kunnen deze matrices berekend worden volgens: W = UTU en S = UTV .

Gebruik makend van de matrices W en S kan vergelijking 6.32 geschreven worden als:

S −WB = 0 of WB = S (6.33)

Op deze manier is kan de matrix B gevonden waaruit de matrix C ′kj bepaald kan worden.

Vanuit de definitie van B in 6.29 is het duidelijk dat de diagonaalelementen van de matrix C ′kj

nul zullen zijn. Deze diagonaalelementen kunnen echter berekend worden met het imaginaire

gedeelte van de gedempte eigenfrequenties.

C ′jj = −2Re(λj) (6.34)

Vergelijkingen 6.29 en 6.34 laten toe de volledige C’ matrix te bepalen aan de hand van

de modale parameters. Om de uiteindelijke dempingsmatrix C te bekomen moet nog een

coordinatentransformatie uitgevoerd worden. Deze luidt:

C = [([ψRe]T [ψRe])

−1[ψRe]T ]TC ′[([ψRe]

T [ψRe)])−1[ψRe]

T ] (6.35)


6.2.2 Toepassingen en voorbeelden viskeus gedempte systemen

Berekening van dempingsmatrix van licht viskeus gedempt systeem

Als eerste voorbeeld wordt een model van Adhikari gebruikt. Figuur 6.6 geeft de opbouw van

het systeem weer. Het bestaat uit een ketting van 30 massa’s en 31 veren. Elke massa is

1kg en elke veer heeft een stijfheid van 4000 N/m. Massa 8 tot en met massa 17 zijn via

een demper van 25Ns/m gekoppeld met de grond. De vrijheidsgraden van dit systeem liggen

in de zwaartepunten van de massa’s. De massamatrix voor dit systeem is een eenheidsmatrix

van 30 op 30. De stijfheidsmatrix is een tridiagonale matrix met 2 op de hoofddiagonaal en

-1 op de zijdiagonalen. De dempingsmatrix is afgebeeld in figuur 6.7. Dit oppervlak stelt de

waarden van de dempingsmatrix grafisch voor. Op de x- en de y-as staan de aanduidingen van de

verschillende vrijheidsgraden, wat gelijk is met de aanduiding van de rijen en de kolommen van

de dempingsmatrix. De hoogte van dit oppervlak is gelijk aan de gekoppelde demping tussen de

beschouwde vrijheidsgraden, of de getallen in de dempingsmatrix. Op deze manier kan visueel

een inschatting gemaakt worden van zowel de grootte als de verdeling van de demping van een

systeem.

Bij het opstellen van het berekeningsalgoritme werd gebruik gemaakt van de eigenschap-

pen van licht gedempte systemen. Om aan te tonen dat het gebruikte systeem licht gedempt

is worden drie beoordelingswijzen uitgewerkt. Ten eerste, de controle van de Q-waarden (de

verhouding van de eigenfrequenties tot de dempingsfactoren). Dit is weergegeven in kolom 3

van tabel 6.4. Ten tweede, een vergelijking van de ongedempte eigenwaarden met de gedempte

eigenwaarden (zie kolommen 1 en 2 tabel 6.4). De derde controle is het berekenen van de pro-

ducten van de reele delen van de gedempte eigenvectoren met de reele en imaginaire delen van

deze eigenvectoren. In de bovenstaande afleiding worden de eigenvectoren benaderd door eigen-

vectoren waarvan de imaginaire en de reele delen lineair onafhankelijk zijn. Het product van de

imaginaire delen van de eigenvector met de reele delen van een eigenvector zou, voor en licht

gedempt systeem, ongeveer gelijk moeten zijn aan nul. De reele delen van de eigenvectoren van

licht gedempte systemen zijn bij benadering de ongedempte eigenvectoren. Indien de gedempte

eigenvectoren een goede benadering zijn moet het product van de reele termen van de eigenvec-

toren een eenheidsmatrix zijn omdat alle ongedempte eigenvectoren loodrecht op elkaar staan.

Enkel het product van de overeenkomstige eigenvectoren is dan ongeveer gelijk aan 1. Deze

controles kunnen terug grafisch voorgesteld worden. In grafiek 6.8 is het product van de reele

delen van de eigenvectoren afgebeeld. Merk op dat langs de x- en de y-as de verschillende eigen-


Figuur 6.6: Voorgesteld simulatiemodel voor het controleren van de geldigheid van het algoritme

voor het bepalen van de dempingsmatrix.

Figuur 6.7: Dempingsmatrix van het systeem voorgesteld in figuur 6.6.


frequenties staan waarbij het hoogste volgnummer overeenkomt met de laagste eigenfrequentie.

Uit deze grafiek is het zichtbaar dat de reele delen onderling zo goed als loodrecht staan zoals

verwacht. Het product van de imaginaire en reele delen grafisch voorstellen is minder evident.

Er kan enkel gecontroleerd worden of de producten kleine waarden oplevert zoals verwacht. Het

gemiddelde van de producten van de imaginaire en reele delen van de genormeerde eigenvectoren

bedraagt 0.0066. Dit toont aan dat er weinig correlatie is tussen beide.

Uit alle drie de controles kan besloten worden dat dit een licht viskeus gedempt systeem

vormt zodat een goede benadering van de dempingsmatrix moet worden bekomen.

Tabel 6.4: Q-waarden en vergelijking gedempte en ongedempte eigenwaarden van de 10 laagste

eigenfrequenties ter controle van het licht viskeus gedempt zijn van het systeem

Ongedempte eigenwaarden Gedempte eigenwaarden Q-factoren

±64,067i -6,8500±63,879i 9,3254

±127,97i -3,3869±127,77i 37,725

±191,54i -3,9966±191,46i 47,906

±254,62i -3,4065±254,51i 74,713

±317,05i -4,8120±316,91i 65,859

±378,67i -3,9058±378,69i 96,956

±439,31i -3,8325±439,22i 114,61

±498,83i -3,9514±498,81i 126,23

±557,06i -4,1339±556,96i 134,73

±613,86i -4,3404±613,88i 141,43

De verschillende tussenstappen tot het bekomen van de dempingsmatrix lenen zich minder

tot controles. Door het toepassen van de eigenvectoren als gewichtsfuncties voor de Galerkin be-

nadering in vergelijking 6.32 transformeren de fysische vrijheidsgraden naar modale coordinaten.

Daardoor geeft de grafische voorstelling van de matrices S, B, W en C’ weinig informatie. Het

is slechts bij de terugtransformatie van de dempingsmatrix naar de fysische vrijheidsgraden dat

de grafische voorstelling van deze matrix terug zinvol wordt.

Figuur 6.9 geeft de berekende dempingsmatrix. Zowel de amplitude als de verdeling van

de demping stemmen goed overeen met de ingevoerde dempingsmatrix. Deze matrix heeft een

maximaal verschil van 1.5537 Ns/m tegenover de oorspronkelijke dempingsmatrix (zie figuur


Figuur 6.8: Grafische voorstelling van het product van de reele delen van de eigenvectoren.

6.7) en een gemiddelde afwijking van 0.0558. Wat respectievelijk 6.21% en 0.22% van de waarde

van de dempers is.

Berekening van dempingsmatrix van zwaar viskeus gedempt systeem

Door de aanname van licht gedempte modes worden veel vereenvoudigingen doorgevoerd om dit

algoritme te bekomen. Hier wordt bekeken wat de invloed is op de berekende dempingsmatrix

indien de demping opgevoerd wordt tot 150 Ns/m. Terug kunnen de drie controles uitgevoerd

worden namelijk de controle van de Q-factoren, eigenwaarden (tabel 6.5) en product van de

imaginaire en reele delen van de eigenvectoren (figuur 6.10). De eigenwaarden wijken duidelijk

af van de ongedempte eigenwaarden. En ook de lage Q-waarde is een teken dat dit systeem

niet licht gedempt is. De minimale Q-waarde is gelijk aan 0.5755 terwijl bij de beschrijving

van het algoritme een grens van ongeveer 10 tot 20 [29] wordt vooropgesteld waarboven goede

nauwkeurigheid bekomen wordt. Dit blijkt overeen te stemmen met de hier gevonden resultaten

De producten van de reele en imaginaire delen van de gedempte eigenvectoren blijken ook veel

groter te zijn. Het gemiddelde van de producten van deze delen van de eigenvectoren is 0.0481.

Figuur 6.11 geeft de berekende dempingsmatrix weer. De amplitude blijft in dezelfde groot-

teorde als de theoretische matrix en de verdeling van de demping kan ook nog herkend worden.


Figuur 6.9: Berekende dempingsmatrix aan de hand van het algoritme beschreven door Wood-

house en Adhikari voor een licht viskeus gedempt systeem.

Tabel 6.5: Q-waarden en vergelijking gedempte en ongedempte eigenwaarden van de 10 laagste

eigenfrequenties van een zwaar viskeus gedempt systeem.

Ongedempte eigenwaarden Gedempte eigenwaarden Q-factoren

±64,067i -49,804±49,013i 0,9841

±127,97i -15,597±122,55i 7,8571

±191,54i -23,588±189,05i 8,0147

±254,62i -18,352±251,81i 13,721

±317,05i -29,703±311,02i 10,471

±378,67i -22,987±380,02i 16,531

±439,31i -22,565±436,13i 19,327

±498,83i -24,044±498,23i 20,722

±557,06i -23,822±553,30i 23,226

±613,86i -27,248±614,67i 22,558


Figuur 6.10: Grafische voorstelling van het product van de reele delen van de eigenvectoren van

een zwaar viskeus gedempt systeem.

De nauwkeurigheid is echter verloren. De maximale afwijking van deze dempingsmatrix is 116.94

Ns/m, dit is 58.47% van de dempingswaarde van de dempers. De gemiddelde afwijking is gelijk

aan 2.2046 Ns/m of 1.10% van de dempingswaarde.

Het toepassen van dit algoritme op zwaar viskeus gedempte systemen zorgt dus voor resulta-

ten die niet correct zijn. Een preciese grens kan echter niet vastgelegd worden. Bovendien hangt

ook veel af van de complexiteit van het systeem. In het voorbeeld dat hier gegeven werd is het

herkennen van de fysische verdeling van de demping nog steeds mogelijk bij zwaar gedempte

systemen. Bij complexere systemen waar de dempingsmatrix complexere vormen aanneemt,

wordt het moeilijker de correcte dempingsmatrix te berekenen bij zwaar gedempte systemen.

Berekening dempingsmatrix van een as uit eindige-elementenmodel

Bovenstaande controles werden ook uitgevoerd aan de hand van het viskeus gedempte eindige-

elementenmodel. De conclusies zijn echter volledig analoog met de conclusies die bij boven-

staande twee figuren gemaakt kunnen worden. Voor licht gedempte structuren geeft de voor-

gestelde routine nauwkeurige resultaten. Hoe zwaarder het systeem gedempt is, hoe verder de

resultaten afwijken van de vooropgestelde dempingsmatrix.


Figuur 6.11: Berekende dempingsmatrix zwaar viskeus gedempt systeem aan de hand van het

algoritme beschreven door Woodhouse en Adhikari.

6.2.3 Berekening van dempingsmatrix van een niet-viskeus gedempt systeem

Bij het opstellen van het berekeningsalgoritme om de viskeuse dempingsmatrix te berekenen

werd uitgegaan van viskeus gedempte systemen. Een vraag die hier gesteld kan worden is of

de ontwikkelde methode ook bruikbaar is voor niet-viskeus gedempte systemen. Daarom werd

een simulatiemodel opgesteld voor het bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van een

niet-viskeus gedempt systeem waarop dan het berekeningsalgoritme kan toegepast worden.

De fysische opbouw van het model is volledig analoog aan de modellen van figuur 6.6. De

dempers worden in dit geval niet meer viskeus verondersteld. Er wordt gebruik gemaakt van

het algemene dempingsmodel uit hoofdstuk 3. Alle dempers worden gelijk verondersteld waar-

door alle relaxatiefuncties gelijk zijn. Het model dat hier beschouwd wordt is het exponentieel

dempingsmodel waarvoor de relaxatiefuncties voorgesteld worden door vergelijking 6.36.

g(t) = µeµt (6.36)

De bewegingsvergelijking wordt dan:


Mq(t)C

∫ t

− infg(t− τ)q(τ)dτ +Kq(t) = 0 (6.37)

Of in het frequentiedomein voor harmonische bewegingen:

λ2Mq(λ) + Cµ

µ+ q(λ)+Kq(λ) = 0 = D(λ) (6.38)

De matrix C is voor het fysisch model van figuur 6.6 gelijk aan de dempingsmatrix voor

het viskeus gedempt systemen (zie figuur 6.7). Het viskeus gedempt model kan ook opgebouwd

worden aan de hand van vergelijking 6.37. De relaxatiefuncties zijn in dit geval gelijk aan

de diracfuncties. Bij de definiering van het niet-viskeus dempingsmodel wordt slechts 1 extra

parameters in het model toegevoegd, de parameter µ. Bij de definiering van de relaxatiefuncties

werd er reeds voor gezorgd dat de relaxatiefuncties genormaliseerd zijn zodat de verschillende

relaxatiefuncties vergeleken kunnen worden met elkaar en met het viskeuse dempingsmodel. Een

tweede parameter waarmee de verschillende dempingsmodellen vergeleken kunnen worden, is het

invoeren van een karakteristieke tijdsconstante θ. Vergelijking 6.39 geeft de definiering van deze

tijdsconstante weer. Voor een viskeus model is deze tijdsconstante gelijk aan 0. Hoe hoger deze

tijdsconstante is, hoe minder viskeus gedempt een dempingsmodel is.

θj =

∫ ∞

0tg(t)dt (6.39)

Voor het exponentieel dempingsmodel is de tijdsconstante gelijk aan 1/µ. Hoe hoger de

parameter µ hoe meer het systeem zich zal gedragen als een viskeus gedempt systeem en vice

versa. Tenslotte wordt nog een derde parameter ingevoerd, γ. Om te bepalen of een het hier

beschouwde simulatiemodel zicht viskeus gedraagt moet er rekening gehouden worden met de

tijdsconstante van het systeem. De parameter γ duidt de verhouding van de tijdsconstante

van het dempingsmodel tegenover de tijdsconstante van het systeem. Als een indicatie van

de tijdsconstante van het systeem wordt hier gebruik gemaakt van de periode van de hoogste

ongedempte eigenfrequentie. Hoe kleiner γ hoe meer de demping aanleunt bij viskeuze demping.

γ =θ

Tmin(6.40)

Het oplossen van de bewegingsvergelijking brengt enkele complicaties met zich mee. Door

de tijdsafhankelijke termen in het dempingsmodel in vergelijking 6.37 is het niet meer mogelijk

de functies eig, polyeig of pole te gebruiken. Een alternatieve manier moet gebruikt worden


om de eigenwaarden en de eigenvectoren van het systeem te berekenen. Het bepalen van de

eigenwaarden voor het hier gekozen systeem kan door middel van het oplossen van het stelsel

van lineaire vergelijkingen bepaald door 6.38. Voor meer complexere dempingsmodellen waar de

bewegingsvergelijkingen in het frequentiedomein geen lineaire vergelijkingen zijn kan een Taylor

benadering met een eindig aantal termen toch voor een set lineaire vergelijkingen zorgen. Met

behulp van algemene oplossingsmethoden kunnen de eigenwaarden van deze systemen bepaald

worden.

De rang van de karakteristieke vergelijking is m, m zal meestal groter zijn dan 2N. Dit is

een cruciaal verschilpunt tussen de viskeus en de niet-viskeus gedempte systemen. Voor het

hier bestudeerde dempingsmodel is het correct te stellen dat er naast de 2N paren complex

toegevoegde eigenwaarden, p=m-2N zuiver reele eigenwaarden zullen voorkomen.

λ1, λ2, ..., λN , λ∗1, λ∗2, ..., λ

∗N , λ2N+1, λ2N+2, ..., λm (6.41)

Het bepalen van de eigenvectoren is een volgende stap. Uit vergelijking 6.38 volgt:

D(λj)ψj = 0 (6.42)

Opsplitsing van D(s) en ψj volgens:

ψj =

ψ1j

ψ2j

met ψ1j = 1 (6.43a)

D(λj) =

D11(λj) D12(λj)

D21(λj) D22(λj)

(6.43b)

Op deze manier kunnen aan de hand van vergelijkingen 6.42, 6.43 de resterende termen van

de eigenvectoren bepaald worden.

ψ2j = −[D22(λj)]−1D21(λj) (6.44)

Adhikari [35] stelde in zijn paper een manier voor om de tijdsintensitieve berekening van het

inverse van de matrix D22(λj) (met dimensie (N-1)x(N-1)) te vervangen door een benaderend

algoritme voor de 2N complex toegevoegde polen. Voor de p zuiver reele polen is het gebruik

van Adhikari’s algoritme niet bruikbaar. Deze methode werd onderzocht, maar door de snelle


rekenkracht van de hedendaagse computers bleek dat het gebruik van deze methode weinig

voordelen biedt bij de hier onderzochte voorbeelden.

Met de keuze van ψ1j = 1 werd de schaling van de eigenvectoren vastgelegd. Voor het gebruik

van het hierboven ontwikkelde berekeningsalgoritme strookt dit niet met de vereiste schaling.

De eigenvectoren dienen genormeerd te worden naar de massamatrix (vergelijking 6.13a). De

correct verschaalde eigenvectoren worden bekomen door:

ψnormj =ψj√

ψTj Mψj(6.45)

6.2.4 Toepassingen en voorbeelden niet-viskeus gedempt systemen

Terug worden twee voorbeelden beschouwd, maar nu met exponentiele demping. Het eerste

voorbeeld is ene systeem waar de demping nauw aansluit bij viskeuze demping. Voor dit systeem

is γ = 0.02. Voor het tweede voorbeeld is γ = 0.5. Dit systeem zal minder gelijkenissen vertonen

met het viskeus gedempt systeem. De C-matrix is voor beide voorbeelden dezelfde, en gelijk

aan de dempingsmatrix van het licht viskeus gedempt voorbeeld (c=25 Ns/m). De opbouw van

beide systemen is verder volledig analoog aan de voorbeelden van de zuiver gedempte systemen.

Er kan dus niet gesproken worden over een zwaar of een licht gedempt systeem. Een vergelijking

van de eigenwaarden van de niet-viskeus gedempte systemen met het viskeus gedempte systeem

(tabel 6.6) toont hoeveel de niet-viskeuze eigenwaarden afwijken. Het uitvoeren van de drie

controles die aangehaald werden eerder in deze paragraaf om te achterhalen of een systeem licht

gedempt is, is hier minder relevant. De demping is, doordat er gewerkt wordt met dezelfde

demingsmatrix, voor beide systemen ongeveer dezelfde. Allebei de systemen zijn licht gedempt

zoals ook blijkt uit de resultaten in tabel 6.6.

Niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.02

Exponentiele demping werd gebruikt. De verhouding van de tijdsconstantes is γ = 0.02 wat

overeenstemt met µ = 402.1. Een selectie uit de eigenwaarden staan opgesomd in tabel 6.6

samen met de ongedempte eigenwaarden en de eigenwaarden van het zuiver viskeus gedempt

systeem. Door de 10 niet-lineaire dempers zijn er 10 zuiver reele eigenwaarden in het niet-viskeus

gedempt systeem.

De berekende dempingsmatrix is afgebeeld in figuur 6.12. Deze matrix is erg gelijkend op

de berekende dempingsmatrix voor het zuiver viskeus simulatiemodel (figuur 6.9). De matrix


heeft een gemiddelde afwijking van 0.1224 Ns/m en een maximale afwijking van 1.5750 Ns/m

tegenover de zuiver viskeuse dempingsmatrix. Dit is respectievelijk 0.49% en 0.063% van de

dempingswaarden. Deze resultaten tonen aan dat het opgestelde berekeningsmodel geldig is

voor systemen die erg nauw aansluiten bij het viskeus dempingsmodel.

Figuur 6.12: Dempingsmatrix niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.02.

Niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.5

De berekende dempingsmatrix (figuur 6.13) vertoont duidelijk afwijkingen tegenover de voor-

gestelde verdeling van de demping. De gemiddelde afwijking is 0.3979 Ns/m, de maximale

afwijking 17.448 Ns/m. Dit is 1.592% en 69.795% van de dempingswaarden. De geometrische

verdeling van de demping blijkt nog steeds erg goed zichtbaar in de grafische voorstelling van

de berekende dempingsmatrix. De grootte van deze demping is echter niet correct.

Voor het bestuderen van niet-viskeuze systemen is de vooropgestelde methode dus niet altijd

bruikbaar. Dit is ook logisch, het gedrag van een niet-viskeus gedempt systeem is ook anders

dan van een viskeus gedempt systeem. Door het niet-viskeus systeem te willen voorstellen door

middel van een viskeus systeem ontstaat er al een fout die groter wordt naarmate het systeem

minder viskeus gedempt is. Daarnaast zal ook de mate van demping ook resulteren in extra

afwijkingen van de dempingsmatrix. Bij het gebruik van deze methode is het dus belangrijk dat


Tabel 6.6: Eigenwaarden voor een ongedempt, en de niet-viskeus gedempte systemen. De eerste

10 koppels gewone eigenwaarden samen met de 10 extra eigenwaarden door het gekozen niet-

viskeus dempingsmodel.

Ongedempt Viskeus γ = 0.02 γ = 0.5

λ1 & λ31 ±64,067i -6,8500±63,879i -6,8569±63,923i -6,8428±65,017i

λ2 & λ32 ±127,97i -3,3869±127,77i -3,3926±127,81i -3,2078±128,81i

λ3 & λ33 ±191,54i -3,9966±191,46i -3,9998±191,54i -3,3183±193,08i

λ4 & λ34 ±254,62i -3,4065±254,51i -3,4112±254,60i -2,5135±256,15i

λ5 & λ35 ±317,05i -4,8120±316,91i -4,8184±317,07i -3,0361±319,40i

λ6 & λ36 ±378,67i -3,9058±378,69i -3,9001±378,84i -2,0510±380,63i

λ7 & λ37 ±439,31i -3,8325±439,22i -3,8342±439,39i -1,7789±441,23i

λ8 & λ38 ±498,83i -3,9514±498,81i -3,9452±499,00i -1,5551±500,76i

λ9 & λ38 ±557,06i -4,1339±556,96i -4,1335±557,19i -1,4407±559,04i

λ10 & λ40 ±613,86i -4,3404±613,88i -4,3240±614,15i -1,2889±615,85i...

......

......

λ61 - - -10028 -394,90

λ62 - - -10028 -391,52

λ63 - - -10028 -386,09

λ64 - - -10028 -399,63

λ65 - - -10028 -398,88

λ66 - - -10028 -396,91

λ67 - - -10028 -399,78

λ68 - - -10028 -398,13

λ69 - - -10028 -399,35

λ70 - - -10028 -379,14


Figuur 6.13: Dempingsmatrix niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.5.

beide factoren in overweging genomen worden. Met name dat zowel het dempingstype als de

hoeveelheid demping kunnen zorgen voor foutieve resultaten.

Adhikari en Woodhouse presenteren in de paper die volgt op de voorstelling van hun be-

rekeningsalgorimte voor viskeuse matrices een nieuw berekeningsalgoritme voor niet-viskeuse

demping [31]. De demping wordt benaderd door een set exponentiele dempingsmodellen. Op

deze manier kan de fout die gemaakt wordt door het fitten van een ander dempingstype ver-

minderd worden. Maar ook hier worden weer benaderingen uitgevoerd zodat de oplossing niet

algemeen geldig is.

Een parameter die nog niet onderzocht werd in deze thesis is de invloed van ruis of fouten

op de eigenwaarden en eigenvectoren [33]. Om deze methode toe te passen op experimenteel

bekomen data is het zeker nodig de invloed van de meetfout te kunnen inschatten. Het is

duidelijk dat het toepassen van dit algoritme in praktische metingen nog meer onderzoek vraagt.

Toch blijken de resultaten erg veelbelovend te zijn voor het beoordelen van de grootte en de

verdeling van de demping over een structuur.

6.3 Besluit 78

6.3 Besluit

Dit hoofdstuk bestaat uit twee onderdelen. In het eerste deel werd de least squares complex

exponential algoritme besproken en toegepast. Uit deze berekeningen werden de eigenvectoren,

resonantiefrequenties en de dempingsfactoren van de opgehangen as berekend. De eigenvecto-

ren en eigenwaarden blijken erg goed overeen te stemmen. De dempingsfactoren konden niet

gecontroleerd worden omdat het ingeven van de correcte demping in het simulatiemodel niet

mogelijk was. De dempingsfactoren gaven wel de bevestiging dat het opgemeten systeem een

licht gedempt systeem was.

Laatstgenoemde eigenschap is belangrijk bij de tweede identificatiemethode die besproken

werd in dit hoofdstuk, een methode voor het bepalen van de viskeuse dempingsmatrix uit de

modale parameters. Bij het opstellen van deze methode wordt gebruik gemaakt van enkele

eigenschappen van licht gedempte systemen. Twee voorbeelden in dit hoofdstuk bevestigden

de invloed van de grootte van de demping op de resultaten. De berekende dempingsmatrix

voor licht gedempte systemen stemde goed overeen met de verwachtingen terwijl de resultaten

sterk afweken bij zwaarder gedempte systemen. Daarnaast werd ook onderzocht of fitten van

een viskeuse dempingsmatrix met deze methode ook toepasbaar is op niet-viskeus gedempte

systemen. Twee systemen met exponentiele demping werden gesimuleerd. Daaruit blijkt dat

voor dempingsmodellen die nauw aansluiten bij viskeuze demping de verdeling van de demping

nog steeds bepaald kan worden. Hoe meer een systeem afwijkt van het viskeus dempingsmodel

hoe minder goed de dempingsmatrix ingeschat kan worden.

BESLUITEN 79

Hoofdstuk 7

Besluiten

Het gedrag van roterende assen onder invloed van interne demping werd onderzocht. Deze

thesis kan in vijf onderdelen opgesplitst worden. Een eerste deel is de algemene theorie en de

bijzonderheden van roterende systemen (hoofdstuk 2). In dit hoofdstuk wordt vooral ingegaan

op het ontstaan van instabiel gedrag door interne demping en de oorzaak van dit verschijnsel.

De belangrijkste conclusie uit dit onderzoek is dat de instabiliteit veroorzaakt wordt door het

scheef-symmetrische deel van de dempingsmatrix.

Verschillende mogelijkheden voor de invulling van de dempingsmatrix wordt besproken in

hoofdstuk 3. Het kiezen van een gepast dempingstype is reeds het onderwerp geweest van tal van

onderzoeken. Er dient een afweging gemaakt te worden tussen het aantal onbekende/te bepalen

parameters, de eenvoudigheid van het model en de mogelijkheid om het model realistisch voor

te stellen.

De theorieen uit hoofdstukken 2 en 3 worden gebruikt in hoofdstuk 4 voor het construeren

van een eindige-elementenmodel. Dit simulatiemodel laat toe nog verdere eigenschappen van

gedempte roterende structuren te bepalen. Aan de hand van de simulaties met verschillende

dempingsfactoren en dempingstypes werd aangetoond dat uit experimenten op roterende assen

meer informatie kan gehaald worden over het dempingstype en de hoeveelheid demping dat een

as in realiteit bezit. Dit betekent een verdere stap in het correct inschatten van interne demping

van een roterende as en het beter begrijpen en voorspellen van instabiliteit door roterende

demping. De resultaten van dit eindige-elementenmodel werden gecontroleerd aan de hand van

experimentele modale analyse van een opgehangen as. Hoofdstuk 5 bespreekt de vele factoren

die de resultaten van deze relatief eenvoudige experimenten beınvloed hebben. Bijvoorbeeld de

ophangingsmethode, de gebruikte hamertip en de signaaldraden naar de accelerometer hebben

BESLUITEN 80

allen een gevolg op de kwaliteit van de metingen.

In hoofdstuk 6 tenslotte, worden twee verschillende identificatiemethoden besproken. Eerst

komt het least squares complex exponential algoritme aan bod. Met dit algoritme kunnen de

eigenvectoren en de eigenwaarden uit de metingen bepaald worden. Dit maakt het mogelijk

het eindige-elementenmodel te controleren. Er kan geconcludeerd worden dat het gesimuleerde

model goed overeenstemt met de metingen. De hier ontwikkelde methoden houden reeds rekening

met de mogelijke uitbreidingen naar roterende structuren waardoor een groot deel van dit werk

gebruikt kan worden in verdere onderzoeken naar het instabiliteitsgedrag van roterende assen.

In het tweede deel van dit hoofdstuk wordt een methode beschreven voor het identificieren

van een viskeuse dempingsmatrix vertrekkend van de metingen. Binnen deze thesis worden

de eigenschappen en de verschillende invloedsfactoren op de berekeningen bestudeerd aan de

hand van gesimuleerde modellen. De toepassing van deze methode op modellen van roterende

systemen en op metingen is echter nog een grote stap verder en komt daarom niet aan bod

binnen deze thesis. Toch biedt de hier verzamelde informatie enkele interessante vooruitzichten

voor het identificieren van de lokalisatie en het type van de demping van een structuur. Dit sluit

aan bij de gedachtegang van de vorige hoofdstukken namelijk het zoeken naar methoden voor

het modelleren en identificieren van de interne demping in roterende systemen.

BIBLIOGRAFIE 81

Bibliografie

[1] M. L. Adams en J. Padovan. Insights into linearized rotor dynamics. Journal of Sound and

Vibration, 76(1):129–142, 1981.

[2] E. J. Gunter. Dynamic stability of rotor-bearing systems. Technical report, NASA SP-113

Report Lewis research center Cleveland Ohio, 1966.

[3] M. Rades. Dynamics of machinery. Editura Printech, 2007.

[4] R. Tiwari. A Brief History and State of the Art of Rotor Dynamics. Technical report,

Indian institue of technology Departmetnd of mechanical engineering, 2008.

[5] J. M. Vance, F. Y. Zeidan en B. Murphy. Machinery Vibration and Rotordynamics. John

Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2010.

[6] G. Genta. Dynamics of rotating systems, volume 1. Springer Verlag, 2005.

[7] E. Swanson, C. D. Powell en S. Weissman. A practical review of rotating machinery critical

speeds and modes. Sound and Vibration, 39(5):10, 2005.

[8] M.L. Adams. Insights into linearized rotor dynamics, Part 2. Journal of Sound and Vibra-

tion, 112(1):97–110, Januari 1987.

[9] L. Forrai. A finite element model for stability analysis of symmetrical rotor systems with

internal damping. journal of computional and applied mechanics, 1(1):37–47, 2000.

[10] L. Forrai. Instability due to internal damping of symmetrical rotor-bearing systems. journal

of computional and applied mechanics, 1(2):137–147, 2000.

[11] O. Montagnier en C. Hochard. Dynamic instability of supercritical driveshafts mounted on

dissipative supports: Effects of viscous and hysteretic internal damping. Journal of Sound

and Vibration, 305(3):378–400, Augustus 2007.

BIBLIOGRAFIE 82

[12] S. Adhikari. Damping Models for Structural Vibration. Technical report, Cambridge uni-

versity engineering department, 2000.

[13] G. Genta en N. Amati. Hysteretic damping in rotordynamics: An equivalent formulation.

Journal of Sound and Vibration, 329(22):4772–4784, Oktober 2010.

[14] D.I.G. Jones. Handbook of viscoelastic vibration damping. John Wiley & Sons, Arizona,

USA, 2001.

[15] G. Genta en N. Amati. On the equivalent viscous damping for systems with hysteresis, Juli

2008.

[16] M. L. Adams. Rotating machinery vibration: from analysis to troubleshooting. CRC Press,

2009.

[17] D. M. Ku. Finite element analysis of whirl speeds for rotor-bearing systems with internal

damping. Mechanical Systems and Signal Processing, 12(5):599–610, September 1998.

[18] H. D. Nelson en J. M. McVaugh. The Dynamics of Rotor-Bearing Systems Using Finite

Elements. Journal of Engineering for Industry, 98(2):593–600, Mei 1976.

[19] E. S. Zorzi en H. D. Nelson. Finite Element Simulation of Rotor-Bearing Systems With

Internal Damping. Journal of Engineering for Power, 99(1):71–76, Januari 1977.

[20] M. M. Abduljabbar en Z. S. ElMadany. On the dynamic analysis of rotor-bearing systems

using finite elements. Technical report.

[21] G. Genta. On a Persistent Misunderstanding of the Role of Hysteretic Damping in Rotor-

dynamics. Journal of Vibration and Acoustics, 126(3):459, Juli 2004.

[22] P. Avitabile. Will the support mechanism have any effect on FRFs? Experimental Techni-

ques, 35, Januari 2011.

[23] P. Avitabile. When impact testing, can the use of the exponential window cause any

problems? Experimental Techniques, 25(2), 2001.

[24] A. Deschildre. Benchmarksysteem voor trillingstesten. Universiteit Gent, Gent, 2010.

[25] N.M. Maia en J.M.M. Silva. Modal analysis identification techniques. Philosophical

Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences,

359(1778):29–40, Januari 2001.

BIBLIOGRAFIE 83

[26] W. Zhou en D. Chelidze. Generalized Eigenvalue Decomposition in Time Domain Modal

Parameter Identification. Journal of Vibration and Acoustics, 130(1):011001, Februari 2008.

[27] J. He en F. Fu. Modal Analysis. Butterworth Heinemann, 2001.

[28] W. Heylen, P. Sas en S. Lammens. Modal Analysis Theory and Testing. KULeuven, 1998.

[29] J. Woodhouse. Linear damping models for structural vibration. Journal of Sound and

Vibration, 215(3):547–569, Augustus 1998.

[30] S. Adhikari en J. Woodhouse. Identification of damping part 1: Viscous damping. Journal

of Sound and Vibration, 243(1):43–61c, Mei 2001.

[31] S. Adhikari. Identification of Damping: Part 2, Non-Viscous Damping. Journal of Sound

and Vibration, 243(1):63–88, Mei 2001.

[32] S. Adhikari en J. Woodhouse. Identification of damping part 3: Symmetriy-preserving

methods. Journal of Sound and Vibration, 251(3):477–490, Maart 2002.

[33] S. Adhikari en J. Woodhouse. Identification of Damping: Part 4, Error Analysis. Journal

of Sound and Vibration, 251(3):491–504, Maart 2002.

[34] N. Barbieri,P. R. Novak en R. Barbieri. Experimental identification of damping. Interna-

tional Journal of Solids and Structures, 41(13):3585–3594, Juni 2004.

[35] S. Adhikari. Dynamics of Nonviscously Damped Linear Systems. (Mei 2012).

LIJST VAN FIGUREN 84

Lijst van figuren

2.1 Campbell diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Gereduceerd Campbell diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Poolbaan diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Illustratie van de warrelbewegingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Verplaatsing bij een harmonische beweging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Hysteresislus spanning-rekdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Maxwell-Weichert dempingsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Balk element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Blokschema van het simulatieprogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Campbell diagram voor een vrije ongedempte balk. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Campbell diagram vrije ongedempte balk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Modale trillingsvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Campbell diagram van een ongedempte as ondersteund door twee lagers. . . . . . 31

4.7 Trillingsvormen van een stilstaande ongedempte as ondersteund door lagers. . . . 32

4.8 Campbell diagram ongedempte balk ondersteund door lager . . . . . . . . . . . . 33

4.9 Campbell diagram gedempte balk ondersteund door lagers . . . . . . . . . . . . . 34

4.10 Campbell diagram van een hysteresis gedempte as ondersteund door lagers . . . 36

4.11 Dempingsgedrag gedempte as ondersteund door gedempte lagers . . . . . . . . . 36

4.12 Campbell diagram hysteresis gedempte as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.13 Dempingsgedrag gedempte as ondersteund door ongedempte lagers . . . . . . . . 38

5.1 Frequentieresponsiefunctie as opgehangen aan draden. . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Frequentieresponsiefunctie as opgehangen aan veren. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Invloed ophanging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

LIJST VAN FIGUREN 85

5.4 Zachte hamertip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Harde hamertip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6 Invloed hamertip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.7 Vergelijking kabeltypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.8 Vergelijking kabeltypes eerste resonantiefrequentie . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.9 Hamerimpact invloed exponentieel venster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.1 Eigenvectoren LSCE Algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Stabiliteitsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Stabiliteitsdiagram systeem met ruis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4 Eigenvectoren uit simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5 Eigenvectoren uit metingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.6 Simulatiemodel bepaling dempingsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.7 Dempingsmatrix simulatiemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.8 Controle loodrechtheid reele delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.9 Berekende dempingsmatrix licht viskeus gedempt systeem . . . . . . . . . . . . . 69

6.10 Controle loodrechtheid reele delen zwaar viskeus gedempt systeem . . . . . . . . 70

6.11 Berekende dempingsmatrix zwaar viskeus gedempt systeem . . . . . . . . . . . . 71

6.12 Dempingsmatrix niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.02. . . . . . . . . . . . . . . 75

6.13 Dempingsmatrix niet-viskeus gedempt systeem γ = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . 77

LIJST VAN TABELLEN 86

Lijst van tabellen

4.1 Gegevens van de balk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Vergelijking resonantiefrequenties vrije en gelagerde as . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Vergelijking instabiliteitstoerentallen voor een viskeus gedempte as . . . . . . . . 35

5.1 Gesimuleerde resonantiefrequenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Dempingsfactor per mode per ophanging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Dempingsfactor per mode per kabeltype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1 Controle LSCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Controle LSCE met ruis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 LSCE algoritme op metingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 Controle licht viskeus gedempt systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Controle zwaar viskeus gedempt systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.6 Eigenwaarden niet-viskeus gedempt systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Instabiel trillingsgedrag van roterende assen ten gevolge ...

Documents

Transcript of Instabiel trillingsgedrag van roterende assen ten gevolge ...