1

2

Inhoud

Binaire getallen 1

Grote getallen 2

Romeinse cijfers 3

Hexadecimale getallen 4

Getallenlijn 5

Priemgetallen 6

Bewerkingen 9

Optellen 9

Aftrekken 12

Vermenigvuldigen 14

Delen 17

Machtsverheffen 21

Worteltrekken 23

Gemengde bewerkingen 28

Negatieve getallen 31

Gemiddelde 33

Verhoudingen 34

Schaal 36

Kansberekenen 39

Vergelijkingen 42

Ontbinden in factoren 45

Breuken 47

Breuken vergelijken 48

Breuken delen 51

Breuken optellen 53

Breuken aftrekken 54

Kommagetallen 55

Kommagetallen en breuken 56

Kommagetallen optellen 57

Kommagetallen aftrekken 57

Kommagetallen vermenigvuldigen 58

Kommagetallen delen 59

Procenten 61

Percentage van iets 63

Meten en wegen 69

Lengte 70

Pythagoras 72

Omtrek 74

Oppervlakte 76

Inhoud 81

Liters 85

Gewicht 86

Tijd 87

Snelheid 92

Ruimtelijke vormen 94

Diagrammen 95

3

Binaire getallen

Computers werken met nullen en enen. Getallen die worden opgebouwd uit nullen en enen, zijn binaire getallen. Hieronder staan een paar voorbeelden. 00000000 = 0 00000001 = 1 00000010 = 2 00000011 = 3 00000100 = 4 00000101 = 5 enzovoort. Bits en bytes We hebben hierboven steeds een reeks van 8 cijfers gebruikt, maar dat is niet verplicht. Je kunt alle nullen vóór de eerste 1 weglaten. Het is wel zo dat computers voor getallen vaak een reeks van 8 posities reserveren voor een getal. Zo'n groepje heet een byte. Een byte bestaat uit 8 bits. Een bit kan 0 of 1 zijn. Machten van 2 Binaire getallen met één 1 en verder allemaal nullen, hebben de waarde van een macht van 2. Kijk maar: 00000001 = 1 (20, oftewel 2:2) 00000010 = 2 (21) 00000100 = 4 (22, oftewel 2x2) 00001000 = 8 (23, oftewel 2x2x2) 00010000 = 16 (24, oftewel 2x2x2x2) 00100000 = 32 (25, oftewel 2x2x2x2x2) 01000000 = 64 (26, oftewel 2x2x2x2x2x2) 10000000 = 128 (27, oftewel 2x2x2x2x2x2x2) Als je dit weet, kun je de decimale waarde van een binair getal eenvoudig uitrekenen. Kijk maar: 00000101 = 4 + 1 = 5 00110011 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51 De maximale waarde van een byte is 11111111 (acht enen). De decimale waarde van 11111111 = 255 Een getal omzetten naar binair getal Er is een handige manier om een getal naar binair om te zetten. Deel het getal steeds weer door 2 en schrijf de rest op. Schrijf die resten van rechts naar links en je hebt het binaire getal.

• Bijvoorbeeld het getal 1000: 1000 / 2 = 500 rest 0 500 / 2 = 250 rest 0 250 / 2 = 125 rest 0 125 / 2 = 62 rest 1 62 / 2 = 31 rest 0 31 / 2 = 15 rest 1 15 / 2 = 7 rest 1 7 / 2 = 3 rest 1 3 / 2 = 1 rest 1 1 / 2 = 0 rest 1

4

Het binaire getal is 1111101000. Kilobyte, megabyte en meer In de computerwereld zie je vaak termen als kilobyte, megabyte, gigabyte en terabyte, bijvoorbeeld voor de opslagcapaciteit van een harddisk. Er is weleens een misverstand over de betekenis van die termen.

• 1 kB (kilobyte) = 1000 bytes

• 1 MB (megabyte) = 1000 kB = 1.000.000 bytes

• 1 GB (gigabyte) = 1000 MB = 1.000.000.000 bytes

• 1 TB (terabyte) = 1000 GB = 1.000.000.000.000 bytes

1000 of 1024? Vroeger kon 1 kB ook 1024 bytes betekenen. En 1 MB zou dan 1024 kB zijn. Dat had te maken met machten van 2, want "2 tot de tiende" = 1024. Sinds 1998 geldt de afspraak dat de stappen van 1024 worden aangeduid met kibibyte, mebibyte, gibibyte en tebibyte:

• 1 KiB (kibibyte) = 1024 bytes

• 1 MiB (mebibyte) = 1024 KiB = 1.048.576 bytes

• 1 GiB (gibibyte) = 1024 MiB = 1.073.741.824 bytes

• 1 TiB (tebibyte) = 1024 GiB = 1.099.511.627.776 bytes

Zie ook Wikipedia als je meer wilt weten over dit onderwerp.

Grote getallen

Grote getallen Duizend is een 1 met 3 nullen. Duizend x duizend is een miljoen. Dat is een 1 met 6 nullen. Zo is er voor elke stap van drie nullen een naam, althans voor de eerste paar stappen. Na duizend en miljoen komen miljard, biljoen en biljard, triljoen en triljard. Daarna komen nog meer termen, maar Beter Rekenen zal daar geen vragen over stellen.

duizend

1.000

(1 met 3 nullen)

miljoen

1.000.000

(1 met 6 nullen)

miljard

1.000.000.000

(1 met 9 nullen)

biljoen

1.000.000.000.000

(1 met 12 nullen)

biljard

1.000.000.000.000.000

(1 met 15 nullen)

triljoen

1.000.000.000.000.000.000 (1 met 18 nullen)

triljard

1.000.000.000.000.000.000.000

(1 met 21 nullen)

Grote gewichten: 1 ton = 1000 kilogram Geld: 1 ton = 100.000 euro

5

Romeinse cijfers

Romeinen schreven jaartallen met letters. Ook nu nog zie je Romeinse cijfers op gebouwen en bijvoorbeeld in de aftiteling van films. Niet elke Romein hanteerde precies dezelfde logica, maar als we tegenwoordig Romeinse cijfers schrijven, doen we dat volgens logische spelregels. Deze getallen zie je op veel wijzerplaten van klokken: I = 1 II = 2 III = 3 IV = 4 V = 5 VI = 6 In IV staat de I links van de V. Dat betekent: 1 minder dan 5. Dat is 4. In VI staat de I rechts van de V. Dat betekent: 1 meer dan 5. Dat is 6. VII = 7 VIII = 8 In VII en VIII werkt het net als bij de 6. Tel 2 of 3 op bij 5 en je krijgt 7 of 8. Nu kom je in de buurt van de tien. Daar gaat het op dezelfde manier als bij de getallen rondom 5. IX = 9 X = 10 XI = 11 XII = 12 Op deze manier staan nooit meer dan 3 dezelfde cijfers na elkaar, want na XIII (13) komt XIV (14). Voor jaartallen kunnen we uit de voeten met deze letters: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 (denk maar aan het Franse woord voor 100, Cent) D = 500 M = 1000 (te onthouden aan het Franse woord voor 1000, Mille) Met de logica die we hierboven beschreven, kun je ook grotere getallen maken: MDCCLVI = 1000 + 700 + 50 + 5 + 1 = 1756 MCCXLIII = 1000 + 200 + 40 + 3 = 1243 De I, X en C mogen vóór een hogere waarde staan om aan te geven dat je die hogere waarde moet verlagen:

• De I mag je één keer vóór een V of X zetten om aan te geven dat je die waarde met 1 moet verlagen.

• De X mag je één keer vóór een L of C zetten om aan te geven dat je die waarde met 10 moet verlagen.

• De C mag je één keer vóór een D of M zetten om aan te geven dat je die waarde met 100 moet verlagen.

6

Hexadecimale getallen

Wij rekenen met het 10-tallig stelsel. Dat betekent dat elke positie in een getal tien verschillende waarden kan hebben, namelijk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Computers werken met nullen en enen (zie Binaire getallen). Om de lange reeksen van nullen en enen overzichtelijk te maken, worden ze vaak verdeeld in groepjes van 4, nibbles. Een nibble kan de volgende waarden hebben: 0000, 0001, 0010, enzovoort tot en met 1111. Dat zijn in totaal 16 waarden. Als je een aantal nibbles na elkaar hebt en je wilt de waarde van elke nibble met één teken weergeven, gebruik je het 16-tallig stelsel. Getallen van het 16-tallig stelsel zijn hexadecimale getallen. Behalve de cijfers 0 t/m 9 worden ook nog de letters A t/m F toegevoegd. 0 = 0 1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 6 = 6 7 = 7 8 = 8 9 = 9 A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 Om verder te kunnen tellen heb je een tweede teken nodig: 10 = 16 11 = 17 enzovoort 1F = 31 20 = 32 30 = 48 40 = 64 50 = 80 60 = 96 70 = 112 80 = 128 90 = 144 A0 = 160 B0 = 176 C0 = 192 D0 = 208 E0 = 224 F0 = 240 FF = 255 100 = 256 ( = 16 x 16) 1000 = 4096 ( = 16 x 16 x 16) Hoe reken je hexadecimale getallen om naar gewone decimale getallen? Als je weet dat de getallen 0 t/m F de decimale waarde 0 t/m 15 hebben, kun je hexadecimale getallen van meerdere tekens ook uitrekenen. Bijvoorbeeld:

7

• 6B De B staat voor 11. De 6 staat op deze positie voor 6 x 16 = 96. Opgeteld is dat 96 + 11 = 107.

• 3BC De C staat voor 12. De B staat op deze positie voor 11 x 16 = 176. De 3 staat op deze positie voor 3 x 16 x 16 = 768. Opgeteld is dat 768 + 176 + 12 = 956.

Schrijfwijze Als een hexadecimaal getal geen letters bevat, zou je het snel kunnen verwarren met een "gewoon" decimaal getal. Daarom worden hexadecimale getallen vaak aangeduid met een kleine letter h aan het eind. Dus:

• 80h = 128

• 50h = 80

Er zijn ook andere schrijfwijzen, maar daar gaan we bij Beter Rekenen niet verder op in. Waar kom je hexadecimale getallen tegen? Je ziet hexadecimale getallen bijvoorbeeld in kleurcodes van een tekenprogramma of in beveiligingscodes van wifi-apparatuur. Het verband tussen binaire getallen en hexadecimale getallen

• een nibble (4 nullen of enen) = 1 hexadecimaal teken

• een byte (8 nullen of enen) = 2 hexadecimale tekens

Getallenlijn

Als je getallen met elkaar moet vergelijken, helpt het om ze op volgorde te zetten, bijvoorbeeld op een getallenlijn. Jaartallen Op de volgende getallenlijn willen we een paar belangrijke uitvindingen en gebeurtenissen van de afgelopen anderhalve eeuw plaatsen:

• de uitvinding van de creditcard (1950)

• de uitvinding van internet (1989)

• de eerste maanlanding (1969)

• de uitvinding van de stofzuiger (1901)

• de uitvinding van de telefoon (1876)

• de uitvinding van de televisie (1923)

• de eerste waterleiding (1853)

• de eerste test van Beter Spellen (2009)

8

Aan de jaartallen 1850, 1900, 1950, 2000 kun je zien hoe groot de afstanden op deze getallenlijn zijn: de korte streepjes liggen precies een jaar uit elkaar, de lange streepjes precies tien jaar. Als je deze regelmaat hebt ontdekt, kun je de gebeurtenissen op de getallenlijn plaatsen:

Geld Op de volgende getallenlijn staan een paar prijskaartjes op de juiste plaats.

Priemgetallen

Een priemgetal is een getal dat:

• groter is dan 1

• en alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf

Hoe weet je of een getal priemgetal is? Als je wilt weten of een getal een priemgetal is, zul moeten proberen of je het kunt delen door een (lager) priemgetal. Je hoeft daarvoor minder pogingen te doen dan je misschien denkt, want je hoeft nooit verder te gaan dan de wortel van het getal. Een paar voorbeelden:

• Is 23 een priemgetal? Het eerstvolgende bekende kwadraat is 25 (5x5). De wortel uit 23 is kleiner dan 5. Je hoeft dan alleen maar te proberen of je 23 kunt delen door 2 of 3 zonder een breuk over te houden. Dat lukt niet, dus is 23 een priemgetal.

• Is 173 een priemgetal? Het dichtstbijgelegen bekende kwadraat is 169 (13x13). De wortel uit 173 is iets groter dan 13. Je hoeft dan alleen maar te proberen of je 173 kunt delen door 2, 3, 5, 7, 11 of 13 zonder een breuk over te houden. Dat lukt niet, dus 173 is een priemgetal.

De priemgetallen onder de 10000 zijn:

2 547 1229 1993 2749 3581 4421 5281 6143 7001 7927 8837 9739

3 557 1231 1997 2753 3583 4423 5297 6151 7013 7933 8839 9743

5 563 1237 1999 2767 3593 4441 5303 6163 7019 7937 8849 9749

7 569 1249 2003 2777 3607 4447 5309 6173 7027 7949 8861 9767

11 571 1259 2011 2789 3613 4451 5323 6197 7039 7951 8863 9769

13 577 1277 2017 2791 3617 4457 5333 6199 7043 7963 8867 9781

17 587 1279 2027 2797 3623 4463 5347 6203 7057 7993 8887 9787

19 593 1283 2029 2801 3631 4481 5351 6211 7069 8009 8893 9791

9

23 599 1289 2039 2803 3637 4483 5381 6217 7079 8011 8923 9803

29 601 1291 2053 2819 3643 4493 5387 6221 7103 8017 8929 9811

31 607 1297 2063 2833 3659 4507 5393 6229 7109 8039 8933 9817

37 613 1301 2069 2837 3671 4513 5399 6247 7121 8053 8941 9829

41 617 1303 2081 2843 3673 4517 5407 6257 7127 8059 8951 9833

43 619 1307 2083 2851 3677 4519 5413 6263 7129 8069 8963 9839

47 631 1319 2087 2857 3691 4523 5417 6269 7151 8081 8969 9851

53 641 1321 2089 2861 3697 4547 5419 6271 7159 8087 8971 9857

59 643 1327 2099 2879 3701 4549 5431 6277 7177 8089 8999 9859

61 647 1361 2111 2887 3709 4561 5437 6287 7187 8093 9001 9871

67 653 1367 2113 2897 3719 4567 5441 6299 7193 8101 9007 9883

71 659 1373 2129 2903 3727 4583 5443 6301 7207 8111 9011 9887

73 661 1381 2131 2909 3733 4591 5449 6311 7211 8117 9013 9901

79 673 1399 2137 2917 3739 4597 5471 6317 7213 8123 9029 9907

83 677 1409 2141 2927 3761 4603 5477 6323 7219 8147 9041 9923

89 683 1423 2143 2939 3767 4621 5479 6329 7229 8161 9043 9929

97 691 1427 2153 2953 3769 4637 5483 6337 7237 8167 9049 9931

101 701 1429 2161 2957 3779 4639 5501 6343 7243 8171 9059 9941

103 709 1433 2179 2963 3793 4643 5503 6353 7247 8179 9067 9949

107 719 1439 2203 2969 3797 4649 5507 6359 7253 8191 9091 9967

109 727 1447 2207 2971 3803 4651 5519 6361 7283 8209 9103 9973

113 733 1451 2213 2999 3821 4657 5521 6367 7297 8219 9109

127 739 1453 2221 3001 3823 4663 5527 6373 7307 8221 9127

131 743 1459 2237 3011 3833 4673 5531 6379 7309 8231 9133

137 751 1471 2239 3019 3847 4679 5557 6389 7321 8233 9137

139 757 1481 2243 3023 3851 4691 5563 6397 7331 8237 9151

149 761 1483 2251 3037 3853 4703 5569 6421 7333 8243 9157

151 769 1487 2267 3041 3863 4721 5573 6427 7349 8263 9161

157 773 1489 2269 3049 3877 4723 5581 6449 7351 8269 9173

163 787 1493 2273 3061 3881 4729 5591 6451 7369 8273 9181

167 797 1499 2281 3067 3889 4733 5623 6469 7393 8287 9187

173 809 1511 2287 3079 3907 4751 5639 6473 7411 8291 9199

179 811 1523 2293 3083 3911 4759 5641 6481 7417 8293 9203

181 821 1531 2297 3089 3917 4783 5647 6491 7433 8297 9209

191 823 1543 2309 3109 3919 4787 5651 6521 7451 8311 9221

193 827 1549 2311 3119 3923 4789 5653 6529 7457 8317 9227

197 829 1553 2333 3121 3929 4793 5657 6547 7459 8329 9239

199 839 1559 2339 3137 3931 4799 5659 6551 7477 8353 9241

211 853 1567 2341 3163 3943 4801 5669 6553 7481 8363 9257

223 857 1571 2347 3167 3947 4813 5683 6563 7487 8369 9277

227 859 1579 2351 3169 3967 4817 5689 6569 7489 8377 9281

229 863 1583 2357 3181 3989 4831 5693 6571 7499 8387 9283

233 877 1597 2371 3187 4001 4861 5701 6577 7507 8389 9293

239 881 1601 2377 3191 4003 4871 5711 6581 7517 8419 9311

241 883 1607 2381 3203 4007 4877 5717 6599 7523 8423 9319

251 887 1609 2383 3209 4013 4889 5737 6607 7529 8429 9323

10

257 907 1613 2389 3217 4019 4903 5741 6619 7537 8431 9337

263 911 1619 2393 3221 4021 4909 5743 6637 7541 8443 9341

269 919 1621 2399 3229 4027 4919 5749 6653 7547 8447 9343

271 929 1627 2411 3251 4049 4931 5779 6659 7549 8461 9349

277 937 1637 2417 3253 4051 4933 5783 6661 7559 8467 9371

281 941 1657 2423 3257 4057 4937 5791 6673 7561 8501 9377

283 947 1663 2437 3259 4073 4943 5801 6679 7573 8513 9391

293 953 1667 2441 3271 4079 4951 5807 6689 7577 8521 9397

307 967 1669 2447 3299 4091 4957 5813 6691 7583 8527 9403

311 971 1693 2459 3301 4093 4967 5821 6701 7589 8537 9413

313 977 1697 2467 3307 4099 4969 5827 6703 7591 8539 9419

317 983 1699 2473 3313 4111 4973 5839 6709 7603 8543 9421

331 991 1709 2477 3319 4127 4987 5843 6719 7607 8563 9431

337 997 1721 2503 3323 4129 4993 5849 6733 7621 8573 9433

347 1009 1723 2521 3329 4133 4999 5851 6737 7639 8581 9437

349 1013 1733 2531 3331 4139 5003 5857 6761 7643 8597 9439

353 1019 1741 2539 3343 4153 5009 5861 6763 7649 8599 9461

359 1021 1747 2543 3347 4157 5011 5867 6779 7669 8609 9463

367 1031 1753 2549 3359 4159 5021 5869 6781 7673 8623 9467

373 1033 1759 2551 3361 4177 5023 5879 6791 7681 8627 9473

379 1039 1777 2557 3371 4201 5039 5881 6793 7687 8629 9479

383 1049 1783 2579 3373 4211 5051 5897 6803 7691 8641 9491

389 1051 1787 2591 3389 4217 5059 5903 6823 7699 8647 9497

397 1061 1789 2593 3391 4219 5077 5923 6827 7703 8663 9511

401 1063 1801 2609 3407 4229 5081 5927 6829 7717 8669 9521

409 1069 1811 2617 3413 4231 5087 5939 6833 7723 8677 9533

419 1087 1823 2621 3433 4241 5099 5953 6841 7727 8681 9539

421 1091 1831 2633 3449 4243 5101 5981 6857 7741 8689 9547

431 1093 1847 2647 3457 4253 5107 5987 6863 7753 8693 9551

433 1097 1861 2657 3461 4259 5113 6007 6869 7757 8699 9587

439 1103 1867 2659 3463 4261 5119 6011 6871 7759 8707 9601

443 1109 1871 2663 3467 4271 5147 6029 6883 7789 8713 9613

449 1117 1873 2671 3469 4273 5153 6037 6899 7793 8719 9619

457 1123 1877 2677 3491 4283 5167 6043 6907 7817 8731 9623

461 1129 1879 2683 3499 4289 5171 6047 6911 7823 8737 9629

463 1151 1889 2687 3511 4297 5179 6053 6917 7829 8741 9631

467 1153 1901 2689 3517 4327 5189 6067 6947 7841 8747 9643

479 1163 1907 2693 3527 4337 5197 6073 6949 7853 8753 9649

487 1171 1913 2699 3529 4339 5209 6079 6959 7867 8761 9661

491 1181 1931 2707 3533 4349 5227 6089 6961 7873 8779 9677

499 1187 1933 2711 3539 4357 5231 6091 6967 7877 8783 9679

503 1193 1949 2713 3541 4363 5233 6101 6971 7879 8803 9689

509 1201 1951 2719 3547 4373 5237 6113 6977 7883 8807 9697

521 1213 1973 2729 3557 4391 5261 6121 6983 7901 8819 9719

523 1217 1979 2731 3559 4397 5273 6131 6991 7907 8821 9721

541 1223 1987 2741 3571 4409 5279 6133 6997 7919 8831 9733

11

Bewerkingen

Beter Rekenen besteedt aandacht aan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In dit deel van de website geven we tips om sommetjes uit het hoofd of op papier uit te rekenen. Bijvoorbeeld:

• Optellen 38 + 16 = ? 223 + 49 + 17 = ?

• Aftrekken 14 - 9 = ? 53 - 19 = ?

• Vermenigvuldigen 5 x 37 = ? 538 x 621 = ? (niet uit het hoofd)

• Delen 185 : 5 = ? 334098 : 538 = ? (niet uit het hoofd)

• Machtsverheffen 52 = ? 33 = ?

• Volgorde (1 + 2) x 3 + 4 : (6 - 2) = ? 2(22 + 4) = ?

Optellen

Je kunt getallen bij elkaar optellen. Soms is dat makkelijk, soms zijn de getallen wat groter en dan is het optellen wat lastiger.

Eerst een makkelijk sommetje: Er staan vijf bomen aan onze kant van de straat. Aan de overkant staan drie bomen. Hoeveel bomen staan er in de straat? 5 + 3 = 8

+ =

12

Getallen die samen tien zijn Bij rekenen is 10 een belangrijk getal. Het is handig als je zonder nadenken weet welke cijfers 'vriendjes' zijn omdat ze samen 10 zijn:

+ 1 + 9 = 10 + 2 + 8 = 10

+ 3 + 7 = 10 + 4 + 6 = 10

+ 5 + 5 = 10 + 6 + 4 = 10

+ 7 + 3 = 10 + 8 + 2 = 10

+ 9 + 1 = 10

Sommen waar meer dan 10 uitkomt: splitsen. 8 + 6 = ? Veel mensen weten het antwoord op dit sommetje zonder te hoeven nadenken. Onbewust doen ze dit in twee stappen. Daarbij verdelen ze het getal 6 in twee kleinere getallen.

• STAP 1

• Zoek het getal dat samen met 8 op 10 uitkomt. Dus 8 + ... = 10. Dat getal is 2.

• Verdeel 6 in 2 + 4. Je kunt daarom ook denken:

8 + 6 = ? 8 + 2 + 4 = ? 8 + 2 + 4 = ? 10 + 4 = 14

+ + = De manier hierboven noem je 'splitsen'. Je splitst de 6 in twee getallen: 2 + 4. Ook bij moeilijkere sommen is splitsen een handig hulpmiddel bij het hoofdrekenen: 97 + 17 = ? 97 + 3 + 14 = ? 97 + 3 + 14 = ? 100 + 14 = 114

Slim optellen Als je meer dan twee getallen bij elkaar optelt, maakt het niet uit in welke volgorde je dat doet. 223 + 49 + 17 = ? Je kunt deze drie getallen bij elkaar optellen zonder papier of rekenmachine als je de getallen slim combineert. Er is een getal dat op een 3 eindigt en een getal dat op een 7 eindigt. Die vullen elkaar aan tot 10. Dat rekent makkelijk. Tel daarom eerst die twee getallen bij elkaar: 223 + 49 + 17 = ? 240 + 49 = 289

13

Splitsen Je hebt natuurlijk wel geluk als getallen makkelijk te combineren zijn. Als dat niet zo is, kijk dan of je een getal kunt splitsen, zodat er weer twee 'vriendjes' ontstaan: 525 + 47 + 14 = ? 525 + 5 + 42 + 14 = ? (je hebt 47 verdeeld in 5 + 42) 530 + 42 + 14 = ? (je hebt 525 + 5 = 530 alvast uitgerekend) 572 + 14 = 586 (je hebt 530 + 42 = 572 uitgerekend en telt nu 14 erbij op.)

Op papier optellen met 'onthouden'. Als je een paar grotere getallen moet optellen, schrijf de getallen dan onder elkaar. Zorg ervoor dat de getallen aan de rechterkant recht onder elkaar staan. Bijvoorbeeld: (H = Honderdtallen, T = Tientallen, E = Eenheden) 753 + 69 + 2 + 46 = ?

STAP 1 STAP 2 STAP 3 STAP 4

HTE

753

69

2

46

753

69

2

46

20

2

753

69

2

46

170

1

753

69

2

46

870

STAP 1: Zet de getallen met de rechterkanten recht onder elkaar met een streep onder het laatste getal. Honderdtallen (H) recht onder elkaar, tientallen (T) recht onder elkaar, eenheden (E) recht onder elkaar. STAP 2: Tel de 'eenheden' op: 3 + 9 + 2 + 6 = 20. Schrijf de 0 onder de streep. Schrijf de 2 helemaal bovenaan erbij: die twee moet je even 'onthouden'. STAP 3: Tel de 'tientallen' op, samen met die 2 die je moest onthouden: 2 + 5 + 6 + 4 = 17. Schrijf de 7 onder de streep en de 1 helemaal bovenaan, om te onthouden. STAP 4: Tel de 'honderdtallen' op, samen met die 1 die je moest onthouden: 1 + 7 = 8. Schrijf de 8 onder de streep. Nu staat het antwoord er: 870.

Een reeks opeenvolgende getallen optellen Tel de getallen 1 t/m 10 bij elkaar op. Je kunt dit natuurlijk uit het hoofd of met een kladpapiertje doen en komt uit op 55, maar hoe doe je dat met bijvoorbeeld de getallen 201 t/m 300? Als eenvoudig voorbeeld nemen we de getallen 1 t/m 10. Je kunt vijf setjes van getallen maken die samen steeds 11 zijn: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7 en 5+6. Samen is dat 5x11=55. Een andere manier is: de getallen zijn gemiddeld 5[1/2], want dat is het gemiddelde van de twee uitersten. Je hebt 10 getallen. 10 x 5,5 = 55.

14

Dit is een manier die voor alle reeksen van opeenvolgende getallen werkt. Je kunt er verschillende rekenformules voor gebruiken, die uiteindelijk hetzelfde resultaat opleveren:

• som = aantal getallen x gemiddelde van de twee uitersten. Zo kun je ook de som van de getallen 201 t/m 300 uitrekenen: 100 x (501 : 2) = 100 x 250,5 = 25050

• som = de helft van het aantal getallen x de som van de twee uitersten Zo kun je ook de som van de getallen 201 t/m 300 uitrekenen: (100 : 2) x 501 = 50 x 501 = 25050

Deze regel geldt ook voor getallen die niet opeenvolgend zijn, als de onderlinge afstand maar steeds hetzelfde is. Bijvoorbeeld de som van alle oneven getallen tussen 0 en 100:

• som = aantal getallen x gemiddelde van de twee uitersten. 50 oneven getallen, uitersten 1 + 99 = 100, gemiddeld 50 50 x 50 = 2500

• som = de helft van het aantal getallen x de som van de twee uitersten 50 oneven getallen, de helft is 25, uitersten 1 + 99 = 100 25 x 100 = 2500

Aftrekken

Je kunt getallen van elkaar aftrekken. Soms is dat makkelijk, soms zijn de getallen wat groter en dan is het aftrekken wat lastiger.

Eerst een makkelijk sommetje: Peter heeft acht euro. Hij koopt een broodje van drie euro. Hoeveel heeft hij nog over? 8 - 3 = 5

- =

Splitsen 34 - 6 = ? Je kunt deze som in twee stappen doen, door het getal 6 te splitsen in 4 en 2: 34 - 4 = 30 30 - 2 = 28 Je ziet dat het tiental 3 bij de tweede stap in een 2 is veranderd. Je hebt een tiental 'geleend'.

15

Splitsen met grotere getallen 352 - 87 = ? Als je dit uit het hoofd wilt uitrekenen, kun je het getal 87 splitsen:

• Splits het getal 87 in 52 en 35 (want 87-52=35)

• Trek nu die twee getallen na elkaar af:

• 352 - 52 = 300

• 300 - 35 = 265

Op papier aftrekken met 'lenen' Als je de getallen te groot vindt worden, schrijf ze dan op. Zorg ervoor dat de rechterkant van de getallen (de eenheden) recht onder elkaar staan. H = Honderdtallen, T = Tientallen, E = Eenheden. 352 - 87 = ?

STAP 1 STAP 2 STAP 3 STAP 4

HTE

352

87

4

352

87

5

24

352

87

65

24

352

87

265

STAP 1: Zet de getallen recht onder elkaar, eenheden onder eenheden (E), tientallen onder tientallen (T), honderdtallen onder honderdtallen (H). STAP 2: Let alleen op de eenheden. De som 2 - 7 lukt niet, want 7 is groter dan 2. Ga een tiental lenen*. Je verandert de 5 in een 4 en mag dan 12 - 7 uitrekenen. Dat is 5. Schrijf een 5 onder de streep op de plaats van de eenheden. STAP 3 Let nu alleen op de tientallen. De 5 was veranderd in een 4. De som 4 - 8 lukt niet, want 8 is groter dan 4. Ga een honderdtal lenen. Je verandert de 3 in een 2 en mag dan 14 - 8 uitrekenen. Dat is 6. Schrijf een 6 onder de streep op de plaats van de tientallen. STAP 4 Nu de honderdtallen nog. De 3 was in een 2 veranderd. Je hoeft er niets van af te trekken. Schrijf de 2 onder de streep. Nu staat het antwoord er: 265. * Het woord "lenen" is misschien niet zo goed in dit verband, want wat je leent moet je ook teruggeven. Een betere term zou kunnen zijn: inwisselen, zoals je een briefje van 10 euro inwisselt voor 10 losse euro's.

Dubbel 'lenen' Als het bovenste getal nullen bevat, wordt lenen moeilijker. H = Honderdtallen, T = Tientallen, E = Eenheden.

16

301 - 87 = ?

STAP 1 STAP 2 STAP 3 STAP 4

HTE

301

87

29

301

87

4

29

301

87

14

29

301

87

214

STAP 1: Zet de getallen recht onder elkaar, eenheden onder eenheden (E), tientallen onder tientallen (T), honderdtallen onder honderdtallen (H). STAP 2: Let alleen op de eenheden. De som 1 - 7 lukt niet, want 7 is groter dan 1. Je wilt een tiental lenen, maar dat lukt niet. Leen daarom een honderdtal. Je verandert de 3 in een 2 en de 0 in een 9 en mag dan 11 - 7 uitrekenen. Dat is 4. Schrijf een 4 onder de streep op de plaats van de eenheden. STAP 3 Let nu alleen op de tientallen. De 0 was veranderd in een 9. De som 9 - 8 lukt nu meteen. Dat is 1. Schrijf een 1 onder de streep op de plaats van de tientallen. STAP 4 Nu de honderdtallen nog. De 3 was al in een 2 veranderd. Je hoeft er niets van af te trekken. Schrijf de 2 onder de streep. Nu staat het antwoord er: 214.

Vermenigvuldigen

Als je getallen met elkaar vermenigvuldigt, is het handig als je de tafel van 1 t/m 10 goed kent, want daarmee los je alle vermenigvuldigingen op. Een voorbeeld: Henk heeft vier pakken koeken. In elk pak zitten zes koeken. Hoeveel koeken heeft Henk? 4 x 6 = 24 Dat weet je direct dankzij de tafel van 6.

Iets moeilijker: Henk heeft vier pakken koeken. In elk pak zitten 26 koeken. Hoeveel koeken heeft Henk? 4 x 26 = ? Dat kun je snel uitrekenen omdat je 4x2 en 4x6 kent. Hak de som in stukjes, door 26 te verdelen in 20 en 6: 4 x 20 = 80 4 x 6 = 24 Nu hoef je alleen nog maar die twee getallen bij elkaar op te tellen. 80 + 24 = 104

17

Henk heeft dus 104 koeken.

Nog iets moeilijker, maar nog steeds uit het hoofd: Je maakt een slinger van 32 kleurplaten. De kleurplaten zijn 29 cm breed. Hoe lang wordt de slinger als je alle kleurplaten zonder tussenruimte aan de slinger hangt? 32 x 29 = ? Dit kun je op verschillende manieren doen. We noemen twee manieren: MANIER 1 De eerste manier lijkt op de vorige vermenigvuldiging: splits het getal 32 in 30 en 2. Reken uit: 30 x 29 = 870 2 x 29 = 58 Tel daarna de uitkomsten op: 870 + 58 = 928. Je hebt dus een slinger van 928 cm, oftewel 9,28 meter. MANIER 2 De tweede manier is vooral handig als een van de getallen op een 9 eindigt. Bereken eerst hoe lang de slinger zou zijn als de tekeningen 30 cm breed zouden zijn. Dat is dan 32x een centimeter te veel. Die 32 cm trek je er aan het eind weer af. 32 x 30 = 960 32 x 1 = 32 (de 32 extra centimeters) Reken tot slot uit: 960 - 32 = 928 Je krijgt dezelfde uitkomst, een slinger van 928 cm, oftewel 9,28 meter. Zo zie je maar: het geeft niet op welke manier je het doet, als het maar een goede manier is.

Vereenvoudigen Een vermenigvuldiging wordt soms makkelijker als je even goochelt met de getallen. Een voorbeeld: 16 x 55 = ? Voor deze truc maak je gebruik van de tafel van 2. Je weet: 8x2=16 Je kunt daarom ook schrijven: 8 x 2 x 55 = ? Als je drie getallen met elkaar vermenigvuldigt, mag je zelf weten in welke volgorde je dat doet. De berekening 2 x 55 = 110 is niet zo moeilijk. Eigenlijk staat er dus: 8 x 110 = 880

18

Bovenstaand trucje kun je vaak gebruiken als een van de twee getallen daardoor een rond getal wordt. Je deelt het ene getal door 2 en vermenigvuldigt het andere getal met 2, waardoor de uitkomst hetzelfde blijft. Het gebruikte getal hoeft niet altijd 2 te zijn. Kijk maar eens naar dit voorbeeld: 36 x 250 = ? Deel 36 door 4 en vermenigvuldig 250 met 4. Dan staat er: 9 x 1000 = 9000

Vermenigvuldigen op papier Als de getallen nog groter worden, raak je de tel misschien kwijt. Gebruik dan pen en papier als hulpmiddel. Bijvoorbeeld: 426 x 39 = ? Zet de twee getallen onder elkaar, met de rechterkant recht onder elkaar. H = Honderdtallen, T = Tientallen, E = Eenheden.

STAP 1 STAP 2 STAP 3 STAP 4

HTE

426

39 x

426

39 x

54

180

3600

426

39 x

54

180

3600

180

600

12000

426

39 x

54

180

3600

180

600

12000 +

16614

STAP 1 Zet de getallen recht onder elkaar. Honderdtallen (H) recht onder elkaar, tientallen (T) recht onder elkaar, eenheden (E) recht onder elkaar. STAP 2 Reken uit: 9 x 6= 54, 9 x 20 = 180, 9 x 400 = 3600 STAP 3 Reken uit: 30 x 6 = 180, 30 x 20 = 600, 30 x 400 = 12000 STAP 4 Tel alle uitkomsten op: 54 + 180 + 3600 + 180 + 600 + 12000 = 16614

19

De negenproef Als je een ingewikkelde vermenigvuldiging hebt gedaan, kun je controleren of de uitkomst klopt met behulp van de 'negenproef'. Het is geen betrouwbaar bewijs dat het antwoord goed is, maar je kunt er wel snel mee ontdekken of een antwoord fout is. Het gaat zo:

De berekening die je wilt controleren

De negenproef (stap 1)

(stap 2) (stap 3)

426

29 x

12354

4+2+6 = 12

2+9 = 11

1+2+3+5+4 = 15

1+2 = 3

1+1 = 2

1+5 = 6

3

2 x

6

• Tel de cijfers van het eerste getal bij elkaar op. In dit voorbeeld is de uitkomst 12 (stap 1). Tel de twee cijfers van 12 bij elkaar op (1+2=3, stap 2). Je herhaalt dit totdat een getal van één cijfer overblijft. Dat is in dit geval een 3.

• Doe hetzelfde met het tweede getal. Via 11 (stap 1) kom je op 2 (stap 2).

• Doe hetzelfde met de berekende uitkomst. Je komt via 15 (stap 1) op het cijfer 6 (stap 2).

• Doe tot slot de berekening 3 x 2 = 6 (zie stap 3).

Als het onderste cijfer van stap 2 geen 6 zou zijn geweest, wist je zeker dat het antwoord fout was. Er zijn echter nog veel meer getallen waarbij de negenproef een 6 oplevert (bijvoorbeeld 12345), dus als het cijfer klopt, heb je nog geen echte zekerheid.

Delen

Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen. Vijf mensen hebben ieder twee benen. Hoeveel benen hebben ze samen? Het sommetje dat daarbij hoort is: 5 x 2 = 10 De hond ligt onder de eettafel. Hij is heel knap, want hij kan tellen. Hij ziet tien benen van mensen. Hoeveel mensen zitten er aan de tafel? Het sommetje dat daarbij hoort is: 10 : 2 = 5

Rest Vijf mensen verdelen de kaarten van een kaartspel. Er zijn 52 kaarten. Als iedereen evenveel kaarten krijgt, blijven er kaarten over, want 52 kun je niet precies door 5 delen. Iedereen krijgt 10 kaarten. Er blijven er 2 over. Het sommetje dat daarbij hoort is: 52 : 5 = 10 rest 2 Wat is het verschil tussen '2 rest 3' en '2,3'? We laten hier zien wat het verschil is tussen 'rest' en een kommagetal:

• Er zijn 63 reizigers. Er zijn bussen waarin 30 reizigers passen.

20

Je hebt dan 2 bussen vol (60 reizigers) en er zijn 3 reizigers over die niet in deze bussen passen. De deelsom bij dit sommetje schrijf je zo op: 63 : 30 = 2 rest 3

• Er zijn 63 servetten 30 servetten zijn samen even groot als 1 tafellaken. 63 servetten zijn samen even groot als 2,1 tafellaken. De deelsom die bij dit sommetje hoort schrijf je zo op: 63 : 30 = 2,1

• In de eerste som is de uitkomst met een rest (hoeveel reizigers zijn er over). Die overgebleven reizigers deel je verder niet door 30.

• In de tweede som is de uitkomst geschreven met decimalen. Het eerste cijfer achter de komma staat voor 'tienden'.

Je zou in beide sommen ook met breuken kunnen werken: 63 : 30 = 2[3/30] [3/30] is 'drie dertigsten' en dat is hetzelfde als [1/10] ('één tiende') 63 : 30 = 2[3/30] is dus hetzelfde als 63 : 30 = 2[1/10] en dat is hetzelfde als 63 : 30 = 2,1

Breuken Met het kaartspel hierboven heeft het geen zin om de overgebleven twee kaarten in stukjes te knippen. Daarom heb je daar een rest. Maar als je het restant in stukjes kunt delen, kun je de rest wegwerken tot een breuk. Hierover vind je meer informatie in de rubriek Breuken.

Delen met grotere getallen De voorbeelden hierboven kun je wel uit het hoofd, maar hoe zit dat met grotere getallen? Bijvoorbeeld: 2580 : 15 = ? Er zijn verschillende manieren om dit op papier uit te rekenen. We noemen twee manieren. MANIER 1: de ouderwetse staartdeling

STAP 1 STAP 2 STAP 3

15 / 2580 \ 1 15 10

15 / 2580 \ 17 15 108 105 3

15 / 2580 \ 172 15 108 105 30 30 0

STAP 1: Zet het getal dat je wilt verdelen tussen schuine strepen (2580) en zet aan de linkerkant het getal waardoor gedeeld moet worden (15).

21

Kijk naar de eerste twee cijfers van het grote getal (25). Hoe vaak past daar 15 in? 1x15=15, 2x15=30. Met andere woorden: je kunt hier maar 1x het getal 15 van aftrekken. Schrijf rechts op: 1. Trek 15 van 25 af. Je houdt 10 over. STAP 2: Pak het volgende cijfer uit het grote getal (8) en zet dat achter de 10 die je nog over had. Er staat nu 108. Hoe vaak past 15 in dat getal? 7x15=105, dus dat komt al dicht in de buurt. Schrijf rechts op: 7. Trek 105 van 108 af. Je houdt 3 over. STAP 3: Pak het volgende en laatste cijfer uit het grote getal (0) en zet dat achter de 3 die je nog over had. Er staat nu 30. Hoe vaak past 15 in dat getal? 2x15=30, dus dat past precies. Schrijf rechts op: 2. Trek 30 van 30 af. Je houdt 0 over. MANIER 2: delen door herhaald aftrekken (H = Honderdtallen, T = Tientallen, E = Eenheden.)

STAP 1 STAP 2 STAP 3 STAP 4

DHTE HTE 2580 :15 1500 | 100 x 15 1080 |

2580 :15 1500 | 100 x 15 1080 | 750 | 50 x 15 330 |

2580 :15 1500 | 100 x 15 1080 | 750 | 50 x 15 330 | 300 | 20 x 15 30 |

2580 :15 1500 | 100 x 15 1080 | 750 | 50 x 15 330 | 300 | 20 x 15 30 | 30 | 2 x 15 0 172

STAP 1 Zet het getal dat je wilt verdelen op papier (2580) Dit getal heet het DEELTAL en het getal waardoor gedeeld moet worden (15) heet de DELER. Kijk naar de eerste twee cijfers van het grote getal (25). Hoe vaak past daar 15 in? 1x15=15, 2x15=30. Met andere woorden: je kunt hier minstens 100x het getal 15 van aftrekken. Schrijf rechts op: 100 x 15. Schrijf links op: 1500, want 100 x 15 = 1500. Schrijf de getallen recht onder elkaar: duizendtallen onder duizendtallen (D), honderdtallen onder honderdtallen (H), tientallen onder tientallen (T), eenheden onder eenheden (E). Trek 1500 van 2580 af. Je houdt 1080 over. STAP 2 Hoevaak kun je 15 aftrekken van 1080? Je mag hier van alles doen. Als je er maar niet te veel van aftrekt. In dit voorbeeld hebben we de som 5x15=75 gebruikt. Je kunt minstens 50x het getal 15 aftrekken. Schrijf rechts op: 50 x 15. Schrijf links op: 750, want 50 x 15 = 750. Trek 750 van 1080 over. Je houdt 330 over. STAP 3 Kun je nog vaker 15 aftrekken van 330? Ja, in elk geval 20 keer, want 20x15=300. Schrijf rechts op: 20 x 15 Schrijf links op: 300, want 20 x 15 = 300 Trek 300 van 330 af. Je houdt 30 over. STAP 4 Hoe vaak kun 15 aftrekken van 30? Precies 2 keer, want 2x15=30. Schrijf rechts op: 2 x 15 Schrijf links op: 30, want 2 x 15 = 30 Trek 30 van 30 af. Je houdt 0 over.

22

Tel nu de getallen rechts bij elkaar op: 100+50+20+2=172. Eigenlijk doen beide manieren hetzelfde. De uitkomst is ook hetzelfde. Een voordeel van de tweede manier is, dat je eindeloos mag proberen. Het geeft niet als je er te weinig aftrekt, want dan komt dat bij de volgende stap wel goed. Voor sommige mensen is deze manier ook begrijpelijker, omdat ze beter zien wat ze doen. Daardoor maak je minder fouten.

Wanneer is een getal deelbaar door .... (zonder breuken in de uitkomst)?

Een getal is deelbaar door...

als ...

2 het getal eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8

3 de som van de cijfers deelbaar is door 3

4 het getal, gevormd door de laatste twee cijfers, deelbaar is door 4

5 het getal eindigt op 0 of 5

6 de som van de cijfers deelbaar is door 3 en het getal eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8

8 het getal, gevormd door de laatste drie cijfers, deelbaar is door 8

9 de som van de cijfers deelbaar is door 9

10 het getal eindigt op een 0

11 het verschil tussen de som van de cijfers op even plaatsen en de som van de cijfers op de oneven plaatsen deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld 60929. Oneven plaatsen 6 + 9 + 9 = 24, even plaatsen 0 + 2 = 2, verschil = 22, deelbaar is door 11.

23

Machtsverheffen

Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen. Kwadraat Het bekendste voorbeeld van machtsverheffen is het kwadraat, bijvoorbeeld 42 (spreek uit: vier kwadraat). 42 = 4 x 4 = 16 122 = 12 x 12 = 144 Hier volgt een overzicht van kwadraten t/m 1002 (dan hoef je die niet meer uit te rekenen):

1 1 26 676 51 2601 76 5776

2 4 27 729 52 2704 77 5929

3 9 28 784 53 2809 78 6084

4 16 29 841 54 2916 79 6241

5 25 30 900 55 3025 80 6400

6 36 31 961 56 3136 81 6561

7 49 32 1024 57 3249 82 6724

8 64 33 1089 58 3364 83 6889

9 81 34 1156 59 3481 84 7056

10 100 35 1225 60 3600 85 7225

11 121 36 1296 61 3721 86 7396

12 144 37 1369 62 3844 87 7569

13 169 38 1444 63 3969 88 7744

14 196 39 1521 64 4096 89 7921

15 225 40 1600 65 4225 90 8100

16 256 41 1681 66 4356 91 8281

17 289 42 1764 67 4489 92 8464

18 324 43 1849 68 4624 93 8649

19 361 44 1936 69 4761 94 8836

20 400 45 2025 70 4900 95 9025

21 441 46 2116 71 5041 96 9216

22 484 47 2209 72 5184 97 9409

23 529 48 2304 73 5329 98 9604

24 576 49 2401 74 5476 99 9801

25 625 50 2500 75 5625 100 10000

Het verschil tussen kwadraten Voor het uitrekenen van het verschil tussen twee kwadraten, kun je ook deze formule gebruiken:

• a2 - b2 = (a + b) x (a - b)

Bijvoorbeeld: 162 - 122 = (16 + 12) x (16 - 12) = 28 x 4 = 112 Dat rekent misschien sneller dan: 162 - 122 = 256 - 144 = 112

24

zie ook de pagina Merkwaardige producten. Exponent groter dan 2 Het kleine hoger geschreven getal wordt exponent genoemd. Als de exponent groter wordt, wordt de vermenigvuldiging vaker herhaald, bijvoorbeeld 23 (uitgesproken als: "twee tot de derde" of "twee tot de derde macht" of "twee tot de macht drie"). 23 = 2 x 2 x 2 = 8 43 = 4 x 4 x 4 = 64 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 Bij Beter Rekenen zullen we op niveau 3F af en toe iets doen met machtsverheffen, maar hoofdzakelijk met een exponent van 2 of 3. Exponent 1 De exponent is dus het aantal keren dat je het getal wordt vermenigvuldigd. Iets tot de eerste macht, kan dat ook? Ja, dat bestaat ook. Kijk eens naar de volgende regelmaat: 33 = 3 x 3 x 3 = 27 32 = 3 x 3 = 9 31 = ..............? Telkens als de exponent 1 kleiner wordt, wordt de uitkomst in bovenstaand voorbeeld gedeeld door 3. De laatste stap, van 32 naar 31 is dan ook weer een deling door 3. Die levert het getal 3 als uitkomst op. Dus: 31 = 9 : 3 = 3 Exponent 0 En hoe zit dat dan met "iets tot de macht nul"? 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = ..............? Als de exponent 1 kleiner wordt, wordt de uitkomst in bovenstaand voorbeeld gedeeld door 3. De stap van 31 naar 30 is ook weer een deling door 3. Die levert het getal 1 als uitkomst op. 30 = 1 Dit geldt ook voor elk ander positief getal: 10 = 1 20 = 1 30 = 1 40 = 1 8750 = 1

25

Negatieve exponent En als je voortborduurt op bovenstaand rijtje, kun je ook beredeneren wat 3(-1) en 3(-2) zal betekenen. 33 = 3 x 3 x 3 = 27 32 = 3 x 3 = 9 31 = 3 = 3 30 = 1 3-1 = 1 : 3 = [1/3] 3-2 = [1/3] : 3 = [1/9] 3-3 = [1/9] : 3 = [1/27]

Worteltrekken

Eerst even iets over de schrijfwijze Je schrijft het zo:

Worteltrekken (of "vierkantswortel") is het omgekeerde van "kwadraat", want 5 x 5 = 25.

Je spreekt uit als "wortel 25" of "de wortel uit 25" of "de wortel van 25" Omdat niet elke webbrowser of tekstverwerker in staat is om het lijntje aan de bovenkant te laten doorlopen boven de cijfers, kun je ook de volgende schrijfwijze gebruiken: [wortel](25) = 5 of: wortel(25) = 5 Mooie wortels Er zijn maar weinig getallen waarvan de wortel een mooi rond getal is:

• [wortel_1] = 1

• [wortel_4] = 2

• [wortel_9] = 3

• [wortel_16] = 4

• [wortel_25] = 5

• [wortel_36] = 6

• [wortel_49] = 7

• [wortel_64] = 8

• [wortel_81] = 9

• [wortel_100] = 10

Wortels vermenigvuldigen en delen Je kunt bij een vermenigvuldiging of deling ook eerst de getallen onder één wortelteken zetten: [wortel_9] x [wortel_16] = 3 x 4 = 12 [wortel_9] x [wortel_16] = [wortel] (9 x 16) = [wortel_144] = 12 [wortel_144] : [wortel_16] = 12 : 4 = 3 [wortel_144] : [wortel_16] = [wortel] (144 : 16) = [wortel_9] = 3

26

In het algemeen: [wortel]a x [wortel]b = [wortel](a x b) [wortel]a : [wortel]b = [wortel](a : b) Bovenstaand trucje geldt niet voor optellen en aftrekken. Kijk maar: [wortel_9] + [wortel_16] = 3 + 4 = 7 [wortel](9 + 16) = [wortel_25] = 5 Minder mooie wortels berekenen Maar hoe reken je de wortel van bijvoorbeeld 22 uit? Als je geen rekenmachine hebt, kun je de wortel van 22 wel ongeveer uitrekenen: 22 ligt ergens tussen 16 en 25 in. [wortel_22] ligt daarom ergens tussen 4 en 5 in. Maar waar precies? Deel 22 eens door 4,5. 22 : 4,5 = 4,89 Het zou mooi geweest zijn als er 4,5 uitkwam, want dan was 4,5 het juiste antwoord geweest. Het juiste antwoord ligt tussen 4,5 en 4,89. Misschien is het wel 4,7. Deel 22 eens door 4,7. 22 : 4,7 = 4,68 Dat komt dus aardig in de buurt. √22 is ongeveer 4,7. Wil je nog preciezer? Ga dan nog eens tussen 4,7 en 4,68 in zitten: 22 : 4,69 = 4,69 (en nog wat meer decimalen). Zo kun je dus de wortel van een getal benaderen.

27

Wortels van 0 t/m 100 Voor de getallen t/m 100 hebben we het alvast voor je uitgerekend: getal wortel 33 5,744563 67 8,185353 0 0 34 5,830952 68 8,246211 1 1 35 5,91608 69 8,306624 2 1,414214 36 6 70 8,3666 3 1,732051 37 6,082763 71 8,42615 4 2 38 6,164414 72 8,485281 5 2,236068 39 6,244998 73 8,544004 6 2,44949 40 6,324555 74 8,602325 7 2,645751 41 6,403124 75 8,660254 8 2,828427 42 6,480741 76 8,717798 9 3 43 6,557439 77 8,774964 10 3,162278 44 6,63325 78 8,831761 11 3,316625 45 6,708204 79 8,888194 12 3,464102 46 6,78233 80 8,944272 13 3,605551 47 6,855655 81 9 14 3,741657 48 6,928203 82 9,055385 15 3,872983 49 7 83 9,110434 16 4 50 7,071068 84 9,165151 17 4,123106 51 7,141428 85 9,219544 18 4,242641 52 7,211103 86 9,273618 19 4,358899 53 7,28011 87 9,327379 20 4,472136 54 7,348469 88 9,380832 21 4,582576 55 7,416198 89 9,433981 22 4,690416 56 7,483315 90 9,486833 23 4,795832 57 7,549834 91 9,539392 24 4,898979 58 7,615773 92 9,591663 25 5 59 7,681146 93 9,643651 26 5,09902 60 7,745967 94 9,69536 27 5,196152 61 7,81025 95 9,746794 28 5,291503 62 7,874008 96 9,797959 29 5,385165 63 7,937254 97 9,848858 30 5,477226 64 8 98 9,899495 31 5,567764 65 8,062258 99 9,949874

32 5,656854 66 8,124038 100 10

En hier zijn de eerste 101 getallen waarvan de wortel een geheel getal is:

getal wortel 1089 33 4489 67

0 0 1156 34 4624 68

1 1 1225 35 4761 69

4 2 1296 36 4900 70

9 3 1369 37 5041 71

16 4 1444 38 5184 72

25 5 1521 39 5329 73

36 6 1600 40 5476 74

49 7 1681 41 5625 75

64 8 1764 42 5776 76

81 9 1849 43 5929 77

100 10 1936 44 6084 78

121 11 2025 45 6241 79

144 12 2116 46 6400 80

169 13 2209 47 6561 81

196 14 2304 48 6724 82

28

225 15 2401 49 6889 83

256 16 2500 50 7056 84

289 17 2601 51 7225 85

324 18 2704 52 7396 86

361 19 2809 53 7569 87

400 20 2916 54 7744 88

441 21 3025 55 7921 89

484 22 3136 56 8100 90

529 23 3249 57 8281 91

576 24 3364 58 8464 92

625 25 3481 59 8649 93

676 26 3600 60 8836 94

729 27 3721 61 9025 95

784 28 3844 62 9216 96

841 29 3969 63 9409 97

900 30 4096 64 9604 98

961 31 4225 65 9801 99

1024 32 4356 66 10000 100

Negatieve getallen uitgesloten Eigenlijk zou de wortel van een getal twee uitkomsten kunnen hebben: positief en negatief. Immers:

• (-5) x (-5) = 25

Dus [wortel_25] zou ook (-5) kunnen zijn, maar er is afgesproken dat dit antwoord niet goed is.

• Voor worteltrekken is afgesproken dat de uitkomst van een vierkantswortel altijd een niet-negatief getal is, dus 0 of groter dan 0.

Zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Vierkantswortel.

29

Worteltrekken op papier Er is een rekenkundig maniertje waarmee je de wortel van een getal nauwkeurig kunt berekenen. Het is niet makkelijk, maar het is leuk dat het kan. Bijvoorbeeld: Bereken de wortel uit 979. Verdeel het getal 979 van achteren af in groepjes van twee cijfers: 9 79

Wortel 9 79 Begin met het eerste groepje, de 9.

Welk kwadraat past in 9? Dat is 3 kwadraat.

3 x 3 = 9 3 is het eerste cijfer van de uitkomst.

De 'voorlopige uitkomst' is 3.

-------------- Trek 9 af van het eerste groepje (9 - 9 = 0)

0 79 Haal het volgende groepje erbij

6 Verdubbel de voorlopige uitkomst (3) tot 6.

6c x c = Welk cijfer kun je invullen op de c, waarbij de uitkomst maximaal 79 is?

61 x 1 = 61 Het cijfer 1.

De 'voorlopige uitkomst' is nu 31.

-------------- 79 - 61 = 18

18 00 Haal het volgende groepje erbij. Dat zijn nullen achter de komma.

62 Verdubbel de voorlopige uitkomst (31) tot 62.

62c x c = Welk cijfer kun je invullen op de c, waarbij de uitkomst maximaal 1800 is?

622 x 2 = 12 44 Het cijfer 2.

De 'voorlopige uitkomst' is nu 31,2.

-------------- 1800 - 1244 = 556

5 56 00 Haal het volgende groepje erbij. Dat zijn weer nullen achter de komma.

624 Verdubbel de voorlopige uitkomst zonder komma (312) tot 624.

624c x c = Welk cijfer kun je invullen op de c, waarbij de uitkomst maximaal 55600 is?

6248 x 8 = 4 99 84 Het cijfer 8.

De 'voorlopige uitkomst' is nu 31,28.

-------------- 55600 - 49984 = 5616

56 16 00 Haal het volgende groepje erbij. Dat zijn weer nullen achter de komma.

6256 Verdubbel de voorlopige uitkomst zonder komma (3128) tot 6256.

6256c x c = Welk cijfer kun je invullen op de c, waarbij de uitkomst maximaal 561600 is?

62568 x 8 = 50 05 44 Het cijfer 8.

De 'voorlopige uitkomst' is nu 31,288.

-------------- 561600 - 500784 = 60816

6 10 56 enzovoort.

Op deze manier wordt het aantal cijfers achter de komma steeds groter, 31,288975694...

30

Gemengde bewerkingen

Als je in een opgave verschillende bewerkingen ziet staan, is de volgorde belangrijk. LET OP: de regel van Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord is gewijzigd! Ongeveer sinds 1992 geldt een andere regel voor de volgorde van bewerkingen. Deze nieuwe regel wordt gehanteerd bij Beter Rekenen. Het heeft te maken met de opkomst van de computer in die tijd. Lees hieronder hoe het zit.

Optellen en aftrekken: van links naar rechts. Bijvoorbeeld: 12 - 5 + 4 = ? Reken eerst uit: 12 - 5 = 7 en daarna: 7 + 4 = 11. Je doet deze bewerkingen dus van links naar rechts, in de volgorde zoals ze in de opgave staan.

Vermenigvuldigen en delen: van links naar rechts. 12 : 3 x 4 = ? Reken eerst uit: 12 : 3 = 4 en daarna 4 x 4 = 16. Je doet deze bewerkingen dus van links naar rechts, in de volgorde zoals ze in de opgave staan.

Vermenigvuldigen en delen hebben voorrang boven optellen en aftrekken. 5 + 2 x 7 = ? Hier heeft de vermenigvuldiging voorrang! Reken eerst uit: 2 x 7 = 14 en daarna 5 + 14 = 19. Nog een paar voorbeelden. We hebben de bewerking die voorrang heeft dik gedrukt. 6 + 30 : 3 = 6 + 10 = 16 20 - 2 x 4 = 20 - 8 = 12 30 - 10 : 2 = 30 - 5 = 25

Machtsverheffen heeft voorrang op vermenigvuldigen, delen, optellen, aftrekken. 22 x 5 = 4 x 5 = 20 32 + 23 = 9 + 8 = 17

31

Worteltrekken heeft voorrang op vermenigvuldigen, delen, optellen, aftrekken. [wortel_16] + [wortel_64] = 4 + 8 = 12 Vermenigvuldigen en wortels Het maalteken wordt vaak weggelaten tussen een getal en een wortel. 2[wortel_16] is hetzelfde als 2 x [wortel_16].

Haakjes zijn het belangrijkst Als een deel van een opgave tussen haakjes staat, moet dat gedeelte eerst worden uitgerekend. Vergelijk de uitkomsten met de opgaven ernaast, waar geen haakjes gebruikt zijn. Je ziet dat de haakjes een belangrijk verschil maken.

opgaven met haakjes

opgaven zonder haakjes

12 - (5 + 4) = 12 - 9 = 3

12 - 5 + 4 = 7 + 4 = 11

12 : (3 x 4) = 12 : 12 = 1

12 : 3 x 4 = 4 x 4 = 16

(5 + 2) x 7 = 7 x 7 = 49

5 + 2 x 7 = 5 + 14 = 19

(6 + 30) : 3 = 36 : 3 = 12

6 + 30 : 3 = 6 + 10 = 16

(20 - 2) x 4 = 18 x 4 = 72

20 - 2 x 4 = 20 - 8 = 12

(30 - 10) : 2 = 20 : 2 = 10

30 - 10 : 2 = 30 - 5 = 25

Vermenigvuldigen en haakjes In een vermenigvuldiging schrijven we altijd een "x" (maalteken of keerteken), maar als dat teken voor een haakje staat, wordt het vaak weggelaten. Bijvoorbeeld:

• 2 x (4 - 1) = 2 x 3 = 6 is hetzelfde als:

• 2(4 - 1) = 2 x 3 = 6

Samentrekken In bepaalde gevallen kun je twee delen van een som samentrekken om daarna makkelijker uit het hoofd de uitkomst te kunnen berekenen. Bijvoorbeeld: 4 maaltijden van € 18,50 + 4 drankjes van € 1,50. De totaalprijs is: 4 x € 18,50 + 4 x € 1,50 = .....? De moeilijke manier: 4 x € 18,50 = € 74,00 4 x € 1,50 = € 6,00 € 74,00 + € 6,00 = € 80,00 De makkelijke manier: € 18,50 + € 1,50 = € 20,00

32

4 x € 20,00 = € 80,00 Je maakt gebruik van de volgende tussenstap: 4 x € 18,50 + 4 x € 1,50 = 4 x (€ 18,50 + € 1,50)

Oud ezelsbruggetje: zak er niet doorheen! Laat je niet in de war brengen door een verouderd ezelsbruggetje dat aangeeft in welke volgorde de verschillende bewerkingen aan de beurt zijn:

Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord Dit ezelsbruggetje hoort bij een verouderde rekenmethode. Vroeger had vermenigvuldigen voorrang boven delen. Kijk eens naar dit sommetje:

• 24 : 2 x 4 = ...

Dit sommetje levert met die verouderde regel de uitkomst 3 op, omdat je eerst 2 x 4 = 8 moest uitrekenen en daarna 24 : 8 = 3. Dat ezelsbruggetje klopt sinds ca. 1992 niet meer. Dit heeft te maken met de opmars van de computer in de jaren 90. Tegenwoordig zijn vermenigvuldigen en delen gelijkwaardig. Je moet nu delen en vermenigvuldigen in de volgorde zoals het in de som staat, tenzij haakjes een andere volgorde afdwingen. Bovenstaand sommetje levert nu de uitkomst 48 op, omdat vermenigvuldigen geen voorrang meer heeft boven delen. Eerst 24 : 2 = 12 en dan 12 x 4 = 48. De volgorde waarin je een berekening uitvoert is: 1. (haakjes) 2. machtsverheffen en worteltrekken, in de volgorde van de opgave 3. vermenigvuldigen en delen, in de volgorde van de opgave 4. optellen en aftrekken, in de volgorde van de opgave Op sommige scholen wordt tegenwoordig een andere zin als ezelsbruggetje gebruikt, waarin de H van Haakjes is verwerkt en waarin de W van Worteltrekken naar voren gehaald is:

Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen of

Heel Mooi Weer Veertien Dagen Op Ameland. Toch blijkt ook uit deze ezelsbruggetjes niet duidelijk dat Vermenigvuldigen en Delen gelijkwaardig zijn en dat Optellen en Aftrekken gelijkwaardig zijn. In een echt goede vervanging van Meneer Van Dale zou je moeten zien dat de M en W gelijkwaardig zijn, net als de V en D en net als de O en A. Een suggestie:

Hé, Mw. v/d Aorta! of:

Heel WarMe DiepVries OAse Maar ja, wie onthoudt dat? Je kunt beter gewoon die vier genummerde stappen uit het hoofd leren. Zo ingewikkeld is het niet. Zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde.

33

Kloppen alle berekeningen van de vorige eeuw dan niet meer? Nee, zo zit het niet. De regel van Meneer Van Dale was alleen maar een afspraak over de notatie. De notatie is veranderd. Maar wát destijds berekend werd, klopt nog steeds. Een voorbeeld: An en Bea gaan drie avonden uit. Ze betalen de bioscoop (elke avond samen 30 euro). Wat heeft het voor elk van beiden gekost?

• Elke avond is het voor zowel An als Bea 30:2 = 15 euro.

• Na 3 avonden is het voor elk van hen 3x15 = 45 euro.

Tegenwoordig zou je kunnen noteren: 30 : 2 x 3 = 45 De regel van Meneer Van Dalen gaf destijds bij zo'n notatie voorrang aan vermenigvuldigen, alsof er stond: 30 : (2 x 3) = 30 : 6 = 5 Als je het uitgavepatroon van An en Bea in een som wilde noteren, zou je in de tijd van Meneer Van Dale haakjes moeten toevoegen: (30 : 2) x 3 = 45 of je zou de notatievolgorde moeten omkeren, zodat niet 2x3 wordt gesuggereerd: 3 x 30 : 2 = 45 Met andere woorden: als men vroeger de uitgaven van An en Bea uitrekende, kwam men op dezelfde uitkomst, maar werd de berekening anders genoteerd.

Negatieve getallen

Optellen en aftrekken met negatieve getallen Om eenvoudig te beginnen: In onderstaande voorbeelden zetten we de getallen om in tastbare begrippen:

• een berg (5)

• een heuveltje (1)

• een kuiltje (-1)

• een krater (-5)

Daarbij is een kuiltje precies het omgekeerde van een heuveltje. Een berg is precies het omgekeerde van een krater.

• 5 + 1 = 6 Een berg PLUS de inhoud van een heuveltje = een iets hogere berg.

Een negatief getal optellen

• 5 + (-1) = 4 Een berg PLUS een kuiltje = een iets minder hoge berg.

Dit is hetzelfde als:

34

• 5 - 1 = 4 Een berg MIN de inhoud van een heuveltje = een iets minder hoge berg.

Een negatief getal aftrekken

• 5 - (-1) = ...

Dit is hetzelfde als

• 5 + 1 = 6 want een berg MIN een kuiltje = een berg PLUS de inhoud van een heuveltje

dus:

• 5 - (-1) = 6

Optellen bij een negatief getal

• (-5) + 1 = (- 4) een krater PLUS de inhoud van een heuveltje = een iets minder diepe krater

• (-5) - 1 = -6 een krater MIN de inhoud van een heuveltje = een iets diepere krater

Een negatief getal aftrekken van een negatief getal

• (-5) - (-1) = ...

is hetzelfde als

• (-5) + 1 = - 4 want een krater MIN een kuiltje = een krater PLUS de inhoud van een heuveltje

dus:

• (-5) - (-1) = - 4

Als je in dit soort sommen twee minnen na elkaar ziet, kun je die vervangen door een plus:

• 5 - (-1) = 5 + 1

• (-5) - (-1) = (-5) + 1

Een volgend trucje maakt het misschien allemaal makkelijker te beredeneren. Optellen is omkeerbaar:

• 2 + 3 is hetzelfde als 3 + 2

Maak van de vorige aftreksom eerst een optelsom:

35

• (-5) - (-1) = (-5) + 1

Draai daarna de optelsom om:

• (-5) + 1 = 1 + (-5)

Dit is weer hetzelfde als:

• 1 - 5 = - 4

Gemiddelde

Als je het gemiddelde van een aantal getallen wilt uitrekenen, tel je alle getallen bij elkaar op en je deelt het totaal door het aantal getallen. Bijvoorbeeld: Bart heeft vijf proefwerken gedaan. Hij haalde daarbij achtereenvolgens een 6, 8, 7, 8 en 9. Wat is zijn gemiddelde cijfer?

• Je rekent eerst het totaal van de scores uit: 6+8+7+8+9=38

• Daarna deel je het totaal door 5, omdat het 5 scores waren: 38 : 5 = 7 rest 3 = [7 3/5] = [7 6/10] = 7,6

• Het gemiddelde cijfer is dus een 7,6.

Het gemiddelde van veel cijfers Vijftig leerlingen doen hetzelfde proefwerk. Na afloop krijgt iedereen een rond getal als score. Hier zijn de resultaten van de hele groep: 2x 4 6x 5 11x 6 16x 7 8x 8 5x 9 2x 10 Om het gemiddelde te berekenen, moet je eerst het totaal van alle cijfers weten:

aantal score totaal

2 4 2x4= 8

6 5 6x5= 30

11 6 11x6= 66

16 7 16x7= 112

8 8 8x8= 64

5 9 5x9= 45

2 10 2x10= 20

50 345

36

Het gemiddelde is 345 : 50 = 6 rest 45 = [6 45/50] = [6 9/10] = 6,9

Met negatieve getallen erbij In een week is de temperatuur overdag achtereenvolgens:

dag temperatuur (gr.Celsius)

ma +2

di +3

wo -2

do 0

vr -3

za -2

zo -5

7 dagen -7

Wat is de gemiddelde dagtemperatuur? Je kunt weer alle getallen bij elkaar optellen, maar denk eraan dat een negatief getal optellen, betekent dat het totaal minder wordt. Maandag en dinsdag zijn samen 5 graden, maar als je woensdag erbij telt (-2), kom je op 3 graden. In totaal is het -7. De gemiddelde temperatuur is dan (-7) : 7 = (-1).

Verhoudingen

Een foto vergroten Je hebt een fotoafdruk van 10 cm breed en 15 cm hoog. Je zegt "10 bij 15 cm". Je schrijft "10 cm x 15 cm" of "10 x 15 cm". Als je zo'n foto groter afdrukt en de breedte wordt 20 cm, dan wordt de hoogte ook twee keer zo groot, dus 30 cm. De verhouding tussen de breedte en hoogte blijft gelijk. De verhouding tussen breedte en hoogte is in dit geval "2 staat tot 3". Je kunt ook zeggen "2 op 3". Je schrijft het met een deelteken "2 : 3". De verhouding 10 : 15 is hetzelfde als 20 : 30. Als je de getallen aan beide kanten van het deelteken met dezelfde waarde vermenigvuldigt, blijft de verhouding gelijk. Moeilijker verhoudingen Eerst een simpel voorbeeld:

• De verhouding 2 : 3 is hetzelfde als 8 : ......

8 is 4x2, dus de getallen in de rechter verhouding zijn 4x zo groot als in de linker verhouding. Daarom komt op de puntjes een getal dat 4x zo groot is als 3. 4x3 =12. Dus:

37

• De verhouding 2 : 3 is hetzelfde als 8 : 12

Nu een stap moeilijker:

• De verhouding 2[1/6] : 1[1/4] is hetzelfde als 17[1/3] : ......

Je moet je dus afvragen hoe vaak 2[1/6] in 17[1/3] past. Dat blijkt 8 te zijn. Kijk maar: 8 x 2[1/6] = 16[8/6] = 17[2/6] = 17[1/3] Het getal op de puntjes moet dus 8 x 1[1/4] zijn. 8 x 1[1/4] = 10

In het dagelijks leven kom je ook andere rekensommen tegen die met verhoudingen te maken hebben. Bijvoorbeeld de verhouding tussen gewicht en prijs: De supermarkt verkoopt druiven voor € 1,90 per 500 gram. Je koopt 750 gram druiven. Wat kost dat? Het helpt om de getallen in een tabel te zetten:

gewicht 500 gram 250 gram 750 gram

prijs € 1,90 € 0,95 ?

: 2

x 3

Je ziet in deze tabel sneller wat er moet gebeuren. 750 gram is [1 1/2] x 500 gram. De prijs wordt dan op dezelfde manier hoger: [1 1/2] x € 1,90 = 2,85 Zo'n tabel wordt verhoudingstabel genoemd. In het dagelijks leven kom je veel berekeningen tegen die je met een verhoudingstabel kunt uitrekenen. Een paar voorbeelden:

Ik fiets in 45 minuten naar mijn broer, 20 km verderop. Hoelang moet ik fietsen naar mijn oom, die 12 km hiervandaan woont? Ik rijd altijd met dezelfde snelheid.

:5

x 3

afstand 20 km 4 km 12 km

tijd 45 minuten 9 minuten ?

:5

x 3

12 km is [3/5] van 20 km. Je berekent de benodigde tijd: [3/5] x 45 minuten = 27 minuten

38

1 liter alcohol weegt 800 gram. In een plastic vat zit 10 kilo alcohol. Hoeveel liter is dat?

:8

x 100

gewicht 800 gram 0,1 kg 10 kg

inhoud 1 liter 0,125 liter ?

:8

x 100

800 gram alcohol is 1 liter 0,1 kg alcohol is 1/8 liter = 0,125 liter 10 kg alcohol is 100 x 0,125 liter = 12,5 liter

Er wonen 400 mensen in dit gebouw. 80 van hen zijn kinderen. Hoeveel procent van de bewoners is kind?

: 100

x 20

bewoners 400 4 80

procenten 100% 1% ?

: 100

x 20

Alle 400 bewoners samen zijn 100%. Eventueel reken je nu eerst uit, hoeveel is 1%? Dat zijn 4 bewoners. Hoeveel keer 4 bewoners zit er in 80 bewoners? 80:4=20. Het antwoord is 20%. Je kunt de tussenstap van 1% ook overslaan, als je ziet dat [1/5] x 400 = 80. Dan weet je namelijk dat het percentage [1/5] van 100% is. En dat is 20%.

Schaal

Een plattegrond is bijna nooit op ware grootte. Een stad wordt verkleind naar een kaart van ongeveer een vierkante meter. De schaal van de plattegrond vertelt iets over de verhouding met de werkelijkheid. Schaal is alleen maar een verhouding Sommige mensen denken dat "schaal" iets te maken heeft met centimeters, maar dat is onjuist. Als iets op schaal getekend is, geeft de schaal de verhouding aan tussen de tekening en de werkelijkheid.

• Bij een schaal van 1:100 is een centimeter op de kaart 100 cm in werkelijkheid.

• Maar ook is bij een schaal van 1:100 een millimeter op de kaart 100 mm in werkelijkheid.

• En bij diezelfde schaal is de lengte van een gebouw in werkelijkheid 100 keer zo groot.

39

Verhoudingen dus. Niet klakkeloos in centimeters denken. Dan ga je bij veel opgaven de mist in. Bijvoorbeeld:

• Bij een foto van een bureau staat "schaal 1:10" 1 mm = 10 mm De breedte van het ladenblok is 45 mm op de foto. Het ladenblok is in werkelijkheid 450 mm = 45 cm.

Plattegronden met verschillende schalen Op de foto hieronder zie je drie verschillende plattegronden.

• Een fietskaart met een schaal van 1:50.000 Elke afstand op de kaart is in werkelijkheid 50.000 keer zo groot. 1 cm op de kaart = 50.000 cm = 500 m = 0,5 km 2 cm op de kaart = 1 km

• Een stadsplattegrond met een schaal van 1:12.500 Elke afstand op de kaart is in werkelijkheid 12.500 keer zo groot. 1 cm op de kaart = 12.500 cm = 125 meter = 1/8 km 8 cm = 1 km

• Een wegenkaart van Nederland met een schaal van 1:300.000 Elke afstand op de kaart is in werkelijkheid 300.000 keer zo groot. 1 cm op de kaart = 300.000 cm = 3000 m = 3 km

Bij een schaal van 1:100.000 geldt: 1 cm op de kaart = 1 km in werkelijkheid.

40

Handig om te onthouden: 1 km = 100.000 cm. Dat is een verschil van vijf nullen. Je kunt vanuit de schaal snel van kaart-centimeters naar werkelijke kilometers komen, door vijf nullen weg te halen:

Schaal op de kaart in werkelijkheid

1 : 100.000

1 cm

1 km

1 : 500.000

1 cm

5 km

1 : 2.500.000

1 cm

25 km

Als je de schaal van de kaart weet, kun je met een meetlat de afstand tussen twee punten meten en die afstand omrekenen naar de werkelijke afstand. Bijvoorbeeld:

• De afstand tussen twee plaatsen op de kaart is 4 cm. De schaal is 1 : 250.000. Wat is de afstand in werkelijkheid? 1 cm = 250.000 cm in werkelijkheid. 4 cm = 1.000.000 cm = 10 km in werkelijkheid

Schaal berekenen Meestal wil je een afstand berekenen aan de hand van de schaal. Maar het omgekeerde kan ook. Soms is het handig om de schaal te berekenen:

• Een keukenspecialist heeft een ontwerp getekend voor je nieuwe keuken. Je wilt de bestaande keukentafel in de juiste proporties in de keuken erbij tekenen. Het aanrechtblad is in werkelijkheid 80 cm breed. Op de tekening is het 4 cm. Wat is de schaal van de tekening? 4 cm op de tekening is 80 cm in werkelijkheid. De verhouding is 4 : 80. Als je beide getallen door 4 deelt, heb je de schaal. De schaal is 1:20. Als de keukentafel 2 meter lang is, moet je hem tekenen met een lengte van 10 cm.

41

Op een beeldscherm Op een beeldscherm heb je niets aan een aanduiding als 1:50.000. De maker van de kaart kan namelijk niet weten hoe groot het beeldscherm is waarmee de kaart bekeken wordt en welke instellingen het beeldscherm heeft. Wat op de ene monitor 1 cm groot is, is op de andere misschien wel 3 cm groot. Daarom zie je bij plattegronden op internet vaak een balkje dat aangeeft hoe groot de afstanden in werkelijkheid zijn. De grootte van het beeldscherm doet er dan niet toe. Als je in- of uitzoomt, veranderen de waarden bij dat balkje. Hieronder zie je drie verschillende kaartfragmenten van de omgeving van Bodegraven. De afstand tussen de streepjes aan de bovenkant van het balkje is respectievelijk 500 m, 2 km en 10 km.

Kansrekenen

Kansrekenen (of kansberekenen) is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met toevalssituaties: hoe groot is de kans dat iets gebeurt? Daar zijn vaak ingewikkelde modellen en formules voor, die we niet allemaal zullen behandelen bij Beter Rekenen. Maar eenvoudige kansberekeningen komen soms wel aan bod in een opgave. Een paar voorbeelden:

Dobbelstenen Hoe groot is de kans dat je 4 gooit met 1 gewone dobbelsteen?

• Een dobbelsteen heeft 6 kanten. Als het een normale, eerlijke dobbelsteen is en je gooit 36 keer, gooi je elk cijfer ongeveer 6 keer. Je gooit 4 bij gemiddeld is 1 op de 6 worpen.

• De kans dat je 4 gooit is 1 op 6.

• Het is een kans van 1 : 6 (spreek uit als: '1 op 6').

Hoe groot is de kans dat je met 1 dobbelsteen hoger dan 2 gooit?

• Van de 6 mogelijke cijfers zijn er vier hoger dan 2 (namelijk 3, 4, 5 en 6).

• De kans dat je hoger dan 2 gooit, is een kans van 4 : 6.

• Dat mag je vereenvoudigen, zoals bij breuken. Het is een kans van 2 : 3.

42

Nu met twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee vieren tegelijk gooit?

• Bekijk de dobbelstenen een voor een.

• Voor de eerste dobbelsteen is de kans 1 : 6.

• De kans dat de tweede dobbelsteen ook een 4 wordt, is ook 1 : 6.

• Je kunt deze kansen met elkaar vermenigvuldigen alsof het twee breuken zijn: [1/6] x [1/6] = [1/36]

• De kans op twee vieren is 1 : 36. Gemiddeld genomen heb je 36 worpen nodig om een keer twee vieren te gooien.

Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee gelijke cijfers gooit?

• Bekijk de dobbelstenen een voor een.

• Voor de eerste dobbelsteen maakt het nog niet uit. Deze bepaalt wat de waarde van de tweede dobbelsteen moet zijn om twee gelijke cijfers te gooien.

• Voor de tweede dobbelsteen geldt een kans van 1 : 6 dat deze hetzelfde is als de eerste.

• De kans op twee gelijke cijfers is 1 : 6.

Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee verschillende cijfers gooit?

• Bekijk de dobbelstenen een voor een.

• Voor de eerste dobbelsteen maakt het nog niet uit. Deze bepaalt wat de waarde van de tweede dobbelsteen niet mag zijn om twee verschillende cijfers te gooien.

• Voor de tweede dobbelsteen geldt een kans van 5 : 6 dat deze anders is dan de eerste.

• De kans op twee verschillende cijfers is 5 : 6.

Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je een 2 en een 3 gooit?

• Bekijk de dobbelstenen een voor een.

• De eerste dobbelsteen mag 2 of 3 zijn. Dat is een kans van 2 : 6, oftewel een kans van 1 : 3.

• De tweede dobbelsteen moet nu het andere cijfer zijn. Als de eerste dobbelsteen 2 is, moet de tweede dobbelsteen 3 zijn en andersom. De tweede dobbelsteen moet precies die ene waarde hebben die je nog mist. Daarvoor geldt een kans van 1 : 6.

• Je kunt nu deze twee kansen met elkaar vermenigvuldigen, zoals je dat ook zou doen met breuken: [1/3] x [1/6] = [1/18]. Het is een kans van 1 : 18.

• Dat klopt, want van de 36 worpen (1-1, 1-2, 1-3, enzovoort t/m 6-6) voldoen er twee aan de voorwaarde: 2-3 en 3-2. Een kans van 2 : 36 is hetzelfde als 1 : 18.

Nu met drie dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee zessen en één vijf gooit?

• Bekijk de dobbelstenen een voor een.

• Als je 6-6-5 wilt gooien, moet de eerste dobbelsteen een 6 zijn. Dat is een kans van 1 : 6. De tweede dobbelsteen moet ook een 6 zijn (weer een kans van 1 : 6) en de derde moet een 5 zijn (ook een kans van 1 : 6). Dat zou een kans van 1 : 216 zijn.

• Maar je gooit de dobbelstenen tegelijk. Het mag daarom ook 6-5-6 of 5-6-6 zijn.

• Er zijn drie combinaties mogelijk met één vijf en twee zessen. In de wiskunde noemen ze die verschillende mogelijkheden 'permutaties'.

• De kans is 3 : 216.

• Dat is een kans van 1 : 72.

Tot zover de dobbelstenen. Door op bovenstaande manier te redeneren, kun je heel veel kansberekeningen oplossen.

43

Knikkers Je hebt een bak met 5 rode, 4 blauwe en 3 gele knikkers. Totaal 12 knikkers. Je pakt willekeurig 1 knikker.

• De kans op een rode knikker is 5 : 12.

• De kans op een blauwe knikker is 4 : 12, oftewel 1 : 3.

• De kans op een gele knikker is 3 : 12, oftewel 1 : 4.

Je pakt twee knikkers uit de genoemde bak. Hoe groot is de kans dat het twee gele knikkers zijn?

• De kans dat de eerste knikker geel is, is 1 : 4.

• Daarna zijn er nog 2 gele knikkers in een bak van 11 knikkers. De kans dat de tweede knikker geel is, is 2 : 11.

• Je kunt de kansen (1 : 4) en (2 : 11) met elkaar vermenigvuldigen, alsof het twee breuken zijn.

• De kans dat je twee gele knikkers pakt, is 2 : 44, oftewel 1 : 22.

Je pakt twee knikkers uit de genoemde bak. Hoe groot is de kans dat deze dezelfde kleur hebben?

• De kans op twee gele knikkers is 1 : 22.

• Op dezelfde manier kun je uitrekenen wat de kans op twee blauwe knikkers is: (1 : 3) x (3 : 11) = 3 : 33 = 1 : 11

• Op dezelfde manier kun je uitrekenen wat de kans op twee rode knikkers is: (5 : 12) x (4 : 11) = 20 : 132 = 5 : 33.

• Nu moet je drie verhoudingen bij elkaar optellen. De kans dat je twee dezelfde kleuren pakt is: (1 : 22) + (1 : 11) + (5 : 33).

• Behandel dit als breuken die je eerst gelijknamig moet maken: (3 : 66) + (6 : 66) + (10 : 66) = 19 : 66.

Kans uitdrukken in procenten Vaak wordt een kans uitgedrukt in procenten. Het omrekenen naar procenten is eigenlijk hetzelfde als het omrekenen van breuken naar kommagetallen en procenten. Een aantal van de kansen die hierboven genoemd worden, zijn:

• een kans van 1 : 2 is een kans van 50%.

• een kans van 3 : 4 is een kans van 75%.

• een kans van 1 : 18 is een kans van 5,556% (afgerond)

• een kans van 1 : 22 is een kans van 4,545% (afgerond)

• een kans van 19 : 66 is een kans van 28,788% (afgerond)

Opmerking tot slot: het is kansberekening. Uitkomsten blijven onvoorspelbaar. Als je zes keer met een dobbelsteen gooit, is niet precies 1 van die worpen een 4. Statistisch, gemiddeld over heel veel worpen klopt het wel, maar het is nog steeds mogelijk om 6 keer achtereen een 4 te gooien, hoe onwaarschijnlijk dat ook is.

44

Vergelijkingen

Wat weegt het blauwe blokje?

Blokken met gelijke kleuren hebben hetzelfde gewicht. De getallen zijn kilo's. Wat weegt het blauwe blok? De oplossing: We noemen het aantal blauwe blokken B en het aantal rode blokken R. De weegschalen kun je opschrijven als twee vergelijkingen: 6R + 4B = 24 (weegschaal links) 3R + 3B = 15 (weegschaal rechts) Om tot de oplossing te komen, moet je proberen om de vergelijkingen op elkaar af te stemmen. Wat gebeurt er als je in de rechter weegschaal verdubbelt? Dan liggen er 6 rode en 6 blauwe blokken, die samen 30 kilo wegen. 6R + 6B = 30 (2x weegschaal rechts) 6R + 4B = 24 (weegschaal links) Het verschil tussen de twee weegschalen is 2 blauwe blokken aan de ene kant en 6 kilo aan de andere kant. Je trekt eigenlijk de twee vergelijkingen van elkaar af en houdt over: 2B = 6 (verschil tussen vorige twee regels) B = 3 Het blauwe blok weegt dus 3 kilo. Nog een voorbeeld: 3 appels en 2 bananen wegen 180 gram. 6 appels wegen even veel als 2 bananen. Wat weegt één appel? Dat kun je uitdrukken in de volgende vergelijkingen::

• Vergelijking 1: 3A + 2B = 180 Vergelijking 2: 6A = 2B

45

Deel in de tweede vergelijking alles door 2:

• 3A = B

Vervang 3A door B in vergelijking 1:

• B + 2B = 180 3B = 180 B = 60

Vul dit in in vergelijking 2:

• 6A = 2 x 60 6A = 120 A = 20

Een appel weegt 20 gram. Een banaan weegt 60 gram. Een ingewikkelder voorbeeld: Een appel, banaan en citroen wegen samen 160 gram. 6 appels en een banaan wegen samen even veel als 3 citroenen. 6 bananen en 2 citroenen wegen samen even veel als 9 appels. Wat weegt 1 appel, wat weegt 1 banaan, wat weegt 1 citroen? Dat kun je uitdrukken in de volgende drie vergelijkingen::

• Vergelijking 1: A + B + C = 160 Vergelijking 2: 6A + B = 3C Vergelijking 3: 6B + 2C = 9A

Nu is het kwestie van goochelen met de vergelijkingen, zodat je ze met elkaar kunt mengen. Als je aan beide kanten van het =-teken hetzelfde doet, kun je blijven goochelen. Vermenigvuldig alles met 6 in vergelijking 2:

• 36A + 6B = 18C (vergelijking 4) Trek aan beide zijden 36A af: 6B = 18C - 36A Dit laatste heet ook wel: breng 36A naar de andere kant. Daarbij wordt het negatief (-36A).

Trek bij vergelijking 3 aan beide zijden 2C af:

• 6B = 9A - 2C

Je hebt nu twee vergelijkingen die iets zeggen over 6B:

• 9A - 2C = 18C - 36A Tel aan beide kanten 2C en 36A op (oftewel: breng alles met A naar links en alles met C naar rechts): 45A = 20C Deel beide zijden door 5: 9A = 4C Vermenigvuldig beide zijden met 4: 36A = 16C

Vervang 36A door 16C in vergelijking 4:

46

• 16C + 6B = 18C 6B = 2C 9B = 3C

Vermenigvuldig in vergelijking 1 beide zijden met 9:

• 9A + 9B + 9C = 1440 Vervang 9A door 4C en 9B door 3C: 4C + 3C + 9C = 1440 16C = 1440 C = 90 B = 30 A = 40

Een appel weegt 40 gram, een banaan 30 gram en een citroen 90 gram.

Merkwaardige producten

In de wiskunde bestaan enkele bijzondere vermenigvuldigingen die je vaak kunt tegenkomen bij het oplossen van sommen met vergelijkingen. Het is daarom handig als je zulke vermenigvuldigingen herkent. Zo'n bijzonder geval wordt een merkwaardig product genoemd. Hieronder staan een paar veel voorkomende merkwaardige producten.

• (a + b) x (a - b) = a² - b² want: (a + b) x (a - b) = a (a - b) + b (a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b²

• (a + b)² = a² + 2ab + b² want: (a + b) x (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

• (a - b)² = a² - 2ab + b² want: (a - b) x (a - b) = a (a - b) - b (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

Een voorbeeldsom Als je bij de leeftijd van een kind 4 optelt en daarvan het kwadraat neemt, zou het kind 16 keer zo oud zijn. Hoe oud is het kind? In een vergelijking ziet dat er zo uit: (a + 4)² = a x 16 (a + 4) x (a + 4) = 16a a x a + 4 x a + 4 x a + 4 x 4 = 16a a² + 8a + 16 = 16a a² - 8a + 16 = 0 hier herken je misschien 2b en b² van het merkwaardig product (a - b)² (a - 4)² = 0 a - 4 = 0 a = 4

47

Ontbinden in factoren

Je kunt getallen ontbinden in factoren. Dat wil zeggen: reken uit, door welke priemgetallen je het getal kunt delen. Twee voorbeelden: Ontbind 140 in factoren. Probeer de getallen achtereenvolgens zo vaak mogelijk te delen door 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• 140 : 2 = 70

• 70 : 2 = 35

• 35 : 5 = 7

• 7 : 7 = 1

Het getal 140 bestaat uit de factoren 2, 2, 5 en 7. Met andere woorden:

• 140 = 2 x 2 x 5 x 7

Ontbind 165 in factoren.

• 165 : 3 = 55

• 55 : 5 = 11

• 11 : 11 = 1

Met andere woorden:

• 165 = 3 x 5 x 11

Getallen vermenigvuldigen Als je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt, blijven alle factoren aanwezig. Voorbeeld:

• 35 = 5 x 7

• 20 = 2 x 2 x 5

35 x 20 = 2 x 2 x 5 x 5 x 7 Soms is het makkelijk om de factoren in groepjes te verwerken.

• Je weet: 2 x 5 = 10 In de reeks 2 x 2 x 5 x 5 x 7 komt die combinatie twee keer voor:

• 2 x 2 x 5 x 5 x 7 = 2 x 5 x 2 x 5 x 7 = 10 x 10 x 7 = 700

Hulpmiddel voor het ontbinden in priemfactoren http://nl.numberempire.com/numberfactorizer.php

KGV

Kleinste gemene veelvoud (KGV)

48

Eerst een voorbeeld:

• 5 kinderen delen koekjes. De koekjes zijn verpakt in pakjes van 3. Ze blijven pakjes verdelen totdat iedereen evenveel koekjes heeft. Hoeveel koekjes zijn er dan verdeeld?

• Antwoord: 15 koekjes, want dan hebben ze allemaal 3 koekjes.

In dit geval is dus het aantal kinderen x het aantal koekjes van één verpakking het juiste antwoord: 5 x 3 = 15. Maar het is niet altijd zo makkelijk:

• 8 kinderen delen koekjes. De koekjes zijn verpakt in pakjes van 6. Ze blijven pakjes openen en de inhoud verdelen totdat iedereen evenveel koekjes heeft. Hoeveel koekjes zijn er dan verdeeld?

• Antwoord: 24 koekjes, want dan hebben ze allemaal 3 koekjes.

In dit laatste geval kom je dus niet bij de oplossing door 8 x 6 = 48 uit te rekenen. Dat komt omdat de getallen 6 en 8 allebei door 2 te delen zijn. Het Kleinste Gemene Veelvoud (KGV) is het kleinste getal dat een veelvoud is van de genoemde getallen. In dit geval gaat het om het KGV van 6 en 8. 24 is het KGV van 6 en 8, want 24 = 3 x 8 en 24 = 4 x 6. Je kunt het KGV berekenen als je de getallen eerst "ontbindt in factoren". Dat wil zeggen: reken uit, door welke priemgetallen je de getallen kunt delen. Hierover kun je meer lezen op de pagina "Ontbinden in factoren". Wat is het KGV van 140 en 165?

• 140 = 2 x 2 x 5 x 7

• 165 = 3 x 5 x 11

Je ziet dat er één overeenkomst is tussen beide reeksen: de factor 5. Voor het berekenen van het KGV heb je die factor maar één keer nodig. De andere factoren heb je allemaal nodig. Het KGV van 140 en 165 is dus:

• 140 x 3 x 11 = 4620.

Andere manier Het kan ook op een andere manier, maar uiteraard kom je op dezelfde uitkomst: Je moet wel eerst weer de getallen ontbinden in priemfactoren, zoals hierboven al is voorgedaan.

• 140 = 2 x 2 x 5 x 7

• 165 = 3 x 5 x 11

Je ziet dat er één overeenkomst is tussen beide reeksen: de factor 5. Vermenigvuldig nu beide getallen met elkaar en deel de uitkomst door die factor 5:

• 140 x 165 : 5 = 23100 : 5 = 4620

49

Breuken

Als de bakker een taart in 8 gelijke stukken verdeelt en jij krijgt één zo'n stuk, dan krijg je "één achtste" van de taart. Je schrijft dat als [1/8]. Dat is een breuk.

• Het cijfer boven de streep vertelt hoeveel van zulke stukken je hebt. Dit cijfer heet de TELLER.

• Het cijfer onder de streep vertelt hoeveel van zulke stukken een hele taart vormen. Dit cijfer heet de NOEMER.

Breuken vergelijken en vereenvoudigen Als de bakker jou twee van die stukken geeft, dan heb je "twee achtsten" of "twee achtste delen" van de taart. Je schrijft dan [2/8]. Dat is evenveel als één vierde deel, [1/4]. Zie ook Breuken vergelijken.

Bijzondere breuken Voor sommige breuken bestaan speciale namen. Een helft = [1/2] Een kwart = [1/4] Een procent = [1/100]. Zie ook Procenten. Een promille = [1/1000]

Breuk groter dan 1

Veel stukken maken een hele taart Je snijdt een taart in 8 gelijke stukken. Eén stuk is [1/8]. Alle stukken, [8/8], is weer een hele. Dit geldt niet alleen voor achtsten, maar voor elke breuk: als de teller (boven) en de noemer (onder) gelijk zijn, dan is het een hele. Dus: [2/2] = [8/8] = [77/77] = [3125/3125] = 1 = een hele taart.

Meer dan een hele taart Je hebt drie taarten. Je snijdt elke taart in 8 stukken. Dan heb je 24 stukken, want 3x8=24. 11 mensen eten een stuk taart. Hoeveel stukken zijn er nog over? Eigenlijk is het een gewoon aftreksommetje: 24 - 11 = 13 Maar het ging over achtsten. Als breukensom ziet het er zo uit:

50

[24/8] - [11/8] = ? Als de noemers (onder de streep) gelijk zijn, mag je de tellers (boven de streep) gewoon optellen en aftrekken. Dus: [24/8] - [11/8] = [13/8] Het antwoord hierboven is nog niet helemaal klaar. Het is gebruikelijk om breuken te vereenvoudigen:

• De drie hele taarten aan het begin schrijven we niet als breuk, maar gewoon als 3.

• De de 11 achtsten die opgegeten worden, zijn eigenlijk een hele taart (8 achtsten) en nog eens 3 achtsten.

• De 13 achtsten die overblijven bestaan uit een hele taart (8 achtsten) en nog eens 5 achtsten.

De beste schrijfwijze voor de hele aftreksom is daarom: 3 - 1[3/8] = 1[5/8]

Breuken vergelijken

Wat is meer: [3/4] of [5/6]? Je moet hier vierden en zesden met elkaar vergelijken. Dat gaat niet vanzelf. Maar met taarten los je veel problemen op. Hieronder zie je een taart die op drie verschillende manieren is gesneden. Links in 4 stukken, middenin in 6 stukken en rechts in 12 stukken.

Je kunt hieronder goed zien dat [1/4] taart even groot is als [3/12]. Je ziet ook dat [1/6] taart even groot is als [2/12].

Als je breuken met verschillende noemers (getallen onder de streep) met elkaar wilt vergelijken, moet je de breuken eerst zodanig omrekenen, dat ze dezelfde noemers hebben. Dit heet gelijknamig maken.

51

Gelijknamig maken Als de noemers (het getal onder de streep) geen lastige getallen zijn, kun je vaak snel bepalen, naar welke noemer je de breuken moet omrekenen om ze gelijknamig te maken. Als je de "tafels" van deze noemers kent, weet je welke getallen in beide tafels voorkomen. Twee voorbeelden:

• [2/3] en [3/4] kun je omzetten naar twaalfden [8/12] en [9/12], want 12 komt voor in de tafel van 3 (4x3=12) en de tafel van 4 (3x4=12).

• [1/8] en [5/6] kun je omzetten naar vierentwintigsten [3/24] en [20/24], want 24 komt voor in de tafel van 8 (3x8=24) en de tafel van 6 (4x6=24).

Terug naar de vraag waarmee dit verhaal begon. Wat is meer: [3/4] of [5/6]? Je moet de breuken gelijknamig maken. In dit geval is 12 het handigste getal, want 12 komt voor in de tafel van 4 (3x4=12) en in de tafel van 6 (2x6=12).

• Hoeveel twaalfden is [3/4]? We hadden al gezien: [1/4] = [3/12]. [3/4] is drie keer zoveel, dus [3/4] = [9/12].

• Hoeveel twaalfden is [5/6]? We hadden al gezien: [1/6] = [2/12]. [5/6] is vijf keer zoveel, dus [5/6] = [10/12].

Wat is meer: [9/12] of [10/12]? Nu is het duidelijk: de tweede breuk bevat meer taart. Dus [5/6] is groter dan [3/4].

Breuken vermenigvuldigen

Een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk. Je viert je verjaardag. 's Morgens komen een paar vrienden, 's middags komen de buren en 's avonds komt de familie. Toevallig heb je drie keer 5 stukken taart nodig: 's morgens, 's middags en 's avonds. Je hebt twee taarten gekocht die je vooraf allebei in acht gelijke stukken hebt gesneden. Je hebt dus 3 x 5 stukken taart nodig. In totaal zijn dat 15 stukken. Het sommetje dat hierbij hoort is: 3 x [5/8] = [15/8] Het is gebruikelijk om breuken te vereenvoudigen als ze groter dan 1 zijn. Dus: 3 x [5/8] = [1 7/8]

52

Je houdt van je twee taarten nog één stuk over. Lekker voor de volgende dag: [2] - [1 7/8] = [1/8]

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk. Je snijdt een appel in twee helften. Eén zo'n stuk snijd je nog een keer in twee gelijke delen. Hoe groot zijn die stukken dan? De helft van de helft is een kwart (een vierde). Het sommetje dat hierbij hoort is: [1/2] x [1/2] = [1/4]

Nog eens: een breuk vermenigvuldigen met een breuk. Iets moeilijker wordt het als er grotere getallen boven de breukstreep staan: [3/4] x [8/9] = ? Eerst even in kleine stappen proberen op de juiste oplossing te komen: Als je driekwart van [8/9] wilt berekenen, kun je eerst kijken hoeveel één kwart is. In taarttermen heb je hier een taart die in 9 stukken verdeeld was. Daarvan moet je 8 stukken verdelen over 4 tafeltjes. Fijn dat je 8 kunt delen door 4. Op elk tafeltje kun je 2 stukken neerzetten: [1/4] x [8/9] = [2/9] Maar het sommetje ging niet over één kwart, maar over drie kwarten: [3/4] x [8/9] = 3 x [2/9] = [6/9] Dit antwoord kun je nog vereenvoudigen, want 6 en 9 zijn allebei deelbaar door 3. De beste schrijfwijze voor deze vermenigvuldiging is daarom: [3/4] x [8/9] = [2/3]

Nog iets lastiger: [3/4] x [2/5] = ? Je kunt dit weer in kleine stappen oplossen: Als je driekwart van [2/5] wilt berekenen, is het handig als je de breuk zó schrijft, dat het getal boven de streep door vier kunt delen. [2/5] = [4/10] Je kunt dus ook schrijven: [3/4] x [4/10] = ? Eén kwart van [4/10] is [1/10]. Drie kwart is drie keer zoveel, [3/10].

53

De beste schrijfwijze voor deze vermenigvuldiging is daarom: [3/4] x [2/5] = [3/10]

Een snellere manier [3/4] x [8/9] = ? Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, is er ook een snellere manier: vermenigvuldig de getallen boven de streep met elkaar en vermenigvuldig de getallen onder de streep met elkaar. Boven de streep: 3 x 8 = 24 Onder de streep: 4 x 9 = 36 Invullen en vereenvoudigen: [3/4] x [8/9] = [24/36] = [2/3] Nóg sneller gaat het, als je getallen tegen elkaar kunt wegstrepen. [3/4] x [8/9] = [1/4] x [8/3] (eerste breuk door 3 gedeeld, tweede breuk x 3) = [8/12] = [2/3]

Nog een voorbeeld: [3/4] x [2/5] = ? Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, is er ook een snellere manier: vermenigvuldig de getallen boven de streep met elkaar en vermenigvuldig de getallen onder de streep met elkaar. Boven de streep: 3 x 2 = 6 Onder de streep: 4 x 5 = 20 Invullen en vereenvoudigen: [3/4] x [2/5] = [6/20] = [3/10] De uitkomst is hetzelfde als bij de vorige manier. Deze tweede manier is wel sneller, maar bij de eerste manier zie je misschien beter wat je doet. Ook snel: je kunt getallen tegen elkaar wegstrepen: [3/4] x [2/5] = [3/2] x [1/5] (linker breuk x2 en rechter breuk delen door 2) = [3/10]

Breuken delen

Een breuk delen door een geheel getal Je kunt een breuk delen door een getal. Bijvoorbeeld: [8/9] : 4 = ? Eerst maar even taart snijden. In dit geval hebben we één taart in 9 stukken gesneden. Daarvan hebben we nu nog 8 stukken, die we willen verdelen over 4 tafeltjes. Op ieder tafeltje komen 2 stukken taart.

54

[8/9] : 4 = [2/9] Je kunt zien dat bij dit sommetje niets gebeurt met de noemer (het getal onder de streep). We rekenen gewoon 8:4=2 uit. De 9 onder de streep blijft gewoon een 9.

Een breuk met lastig deelbare teller delen door een geheel getal Als je het getal boven de streep niet makkelijk kunt delen, moet je eerst de breuk omrekenen naar een breuk met grotere getallen. Bijvoorbeeld: [6/7] : 4 = ? Als je 6:4 uitrekent, krijg je nog eens te maken met een breuk. Dat is niet handig. Zoek een getal dat in de tafels van 4 en 6 voorkomt. Dat is 12. Je kunt [6/7] ook schrijven als [12/14]. Je vermenigvuldigt de getallen boven en onder de streep allebei met 2. Het sommetje wordt dan: [12/14] : 4 = ? Nu kun je het getal boven de streep wel door 4 delen. 12:4=3. [12/14] : 4 = [3/14]

Delen door een breuk: pizzapunten Wat doe je eigenlijk bij een deelsom? Kijk eens naar dit voorbeeld: een groep mensen wil klaverjassen. Dat is een kaartspel dat je met 4 personen moet spelen. De groep bestaat uit 8 personen. Hoeveel groepjes van 4 personen gaan klaverjassen? 8 : 4 = 2 Je berekent dus hoe vaak 4 in 8 zit. Nu pizzapunten. Je hebt 3 pizza's in kwarten verdeeld. Hoeveel kwarten zitten er in 3 pizza's? De deelsom die hierbij hoort is eigenlijk: 3 : [1/4] = ? Je hebt misschien allang uitgerekend dat er gewoon 3x4=12 stukken pizza zijn. Dat is het goede antwoord. Je kunt het antwoord namelijk op twee manieren uitrekenen: 3 : [1/4] = 3 x 4 = 12 De regel is dan ook:

• delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde

Met een extra tussenstap zie je dat: 3 : [1/4] = 3 x [4/1] = 3 x 4 = 12

55

Een breuk delen door een breuk Je hebt een halve pizza. Hoeveel stukken van [1/8] pizza kun je daaruit snijden? De deelsom is: [1/2] : [1/8] = ? Je kunt de twee breuken eerst gelijknamig maken: [4/8] : [1/8] = ? en daarna beide breuken vermenigvuldigen met 8. Dan staat er nog: 4 : 1 = 4 Hier is een handig hulpmiddel, dat veel rekenwerk kan besparen:

• Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.

Kijk maar, met dezelfde deelsom: [1/2] : [1/8] = ? [1/2] x [8/1] = [1/2] x 8 = 4

Extra pittige pizzasom Je hebt [4 1/2] pizza. Iedereen eet [3/4] pizza en dan is alles precies op. Hoeveel mensen eten pizza? De deelsom is: [4 1/2] : [3/4] = ? En als we de eerste breuk even omrekenen, staat er: [9/2] : [3/4] = ? Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde: [9/2] : [3/4] = [9/2] x [4/3] = [36/6] =6 Dus: er eten zes mensen ieder [3/4] pizza.

Breuken optellen

Sommen met breuken worden makkelijker als je aan taarten denkt. Daarom beginnen we weer met een taartenverhaal: Je koopt twee taarten. De ene taart laat je in 10 stukken snijden, de andere in 8 stukken. Je hebt nu [10/10] + [8/8] = 2 taarten. Van elke taart worden zeven stukken gegeten. Hoeveel taart is er nog? Het sommetje is: [3/10] + [1/8] = ?

56

Als je breuken met elkaar wilt vergelijken, optellen of aftrekken, moet je ze gelijknamig maken. Dat betekent dat je de breuken zó omrekent dat de noemer (het getal onder de streep) bij beide breuken gelijk is. Dit wordt uitgebreider behandeld op de pagina Breuken vergelijken. In dit geval kun je de breuken omrekenen naar veertigsten, want 40 zit in de tafel van 10 (4x10=40) en in de tafel van 8 (5x8=40). De som wordt daarmee: [12/40] + [5/40] = ? Als de noemers gelijk zijn, kun je de tellers vergelijken, optellen en aftrekken. Dus: [12/40] + [5/40] = [17/40]

Het sommetje hierboven heeft een lastige uitkomst waar je verder niet veel mee kunt. In sommige gevallen kun je de uitkomst nog vereenvoudigen. Bijvoorbeeld: [5/10] + [1/8] = [20/40] + [5/40] = [25/40] = [5/8] en nog een voorbeeld: [5/10] + [5/8] = [20/40] + [25/40] = [45/40] = [9/8] = [1 1/8]

Breuken aftrekken

Als je twee breuken van elkaar moet aftrekken, is het belangrijk dat je ze eerst gelijknamig maakt. Een voorbeeld: Een pizzaverkoper heeft vlak voor sluitingstijd nog drie kwart van een pizza liggen. Iemand vraagt om vijf punten van een achtste pizza. Hoeveel blijft er over? Het sommetje is: [3/4] - [5/8] = ? Je kunt dit pas netjes uitrekenen als de noemers (de getallen onder de streep) gelijk zijn. Je moet in dit geval de eerste breuk omzetten in achtsten, want: [3/4] = [6/8] De som wordt dan: [6/8] - [5/8] = [1/8] De pizzaboer kan dus zelf dat laatste puntje van [1/8] opeten en gaat daarna naar huis. Meer weten over gelijknamig maken? Kijk op de pagina Breuken vergelijken.

57

Kommagetallen

Dit deel van de website gaat over kommagetallen of decimale breuken. Misschien hoor je deze termen voor het eerst, maar je hebt er dagelijks mee te maken als je iets betaalt in de winkel. Bijvoorbeeld:

• Een brood kost € 1,45.

• Dat is 1 euro en 45 cent.

• Een cent is [1/100] deel van een euro.

• De twee cijfers achter de komma zijn dus honderdsten.

Maar kommagetallen gaan niet altijd over geld:

• Peter is flink gegroeid. Hij is al 1,68 meter.

• Dat is 1 meter en 68 centimeter.

• Een centimeter is [1/100] van een meter.

• De twee cijfers achter de komma zijn dus honderdsten.

Kommagetallen hebben niet altijd twee cijfers achter de komma:

• Eva heeft voor de twee proefwerken een 7 en een 8 gehaald.

• Zij heeft gemiddeld een 7,5.

• Dat is een 7 en [5/10].

• Eén cijfer achter de komma betekent tienden.

De namen van de belangrijkste decimalen De cijfers achter de komma heten decimalen. In het getal 0,123456 heb je te maken met tienden, honderdsten, duizendsten, tienduizendsten, honderdduizendsten, miljoensten t h d td hd m 0, 1 2 3 4 5 6

• t = de eerste decimaal staat voor tienden

• h = de tweede decimaal staat voor honderdsten (bijvoorbeeld centen)

• d = de derde decimaal staat voor duizendsten

• td = de vierde decimaal staat voor tienduizendsten

• hd = de vijfde decimaal staat voor honderdduizendsten

• m = de zesde decimaal staat voor miljoensten

58

Een paar voorbeelden:

• 0,06 = 6 honderdsten = [6/100]

• 0,032 = 32 duizendsten = [32/1000]

• 0,000004 = 4 miljoensten = [4/1000000]

• 0,000456 = 456 miljoensten = [456/1000000]

Kommagetallen en breuken

We gebruiken kommagetallen om gedeelten van een geheel te beschrijven. Immers: € 1,50 = 1 euro en 50 cent 1,75 meter = 1 meter en 75 centimeter De kommagetallen hierboven zou je ook kunnen schrijven als breuken met een teller boven de streep en een noemer onder de streep: [1 50/100] euro en [1 75/100] meter In allebei de gevallen gaat het over honderdsten, maar als je getallen als een breuk schrijft, is het gebruikelijk om de breuken te vereenvoudigen. Dit wordt uitgelegd op de pagina breuken vergelijken. De breuken worden dan: [1 1/2] euro en [1 3/4] meter

Beroemde kommagetallen Het is handig om sommige kommagetallen direct te herkennen als een bepaalde breuk. Hier zijn enkele beroemde kommagetallen: [1/2] = 0,5 [1/4] = 0,25 [3/4] = 0,75 [1/5] = 0,2 [2/5] = 0,4 [1/8] = 0,125 [1/10] = 0,1 [2/10] = 0,2 [3/10] = 0,3 [1/100] = 0,01 [1/1000] = 0,001 [1/3] = 0,33333... (een eindeloze rij drieën)

59

[1/6] = 0,166666... (na de 1 een eindeloze rij zessen) [1/9] = 0,111111... (een eindeloze rij enen)

Kommagetallen optellen

Als je kommagetallen optelt, is het belangrijk dat je tienden en honderdsten niet door elkaar haalt. Daarom geldt ook bij kommagetallen: zet de getallen op de juiste manier onder elkaar: honderdtallen onder honderdtallen, tientallen onder tientallen, eenheden onder eenheden, tienden onder tienden, honderdsten onder honderdsten. In het kort komt het erop neer dat je de komma's recht onder elkaar zet. Een voorbeeld: 13,76 + 108,3 = ? (H=honderdtallen, T=tientallen, E=eenheden, t=tienden, h=honderdsten) HTE th 13,76 108,30

Als je de getallen op de juiste manier onder elkaar zet, werkt het verder precies als bij het optellen van hele getallen:

• Zet de komma's recht onder elkaar. Vul eventuele lege plekken op met nullen.

• Begin helemaal rechts, bij de honderdsten: 6 + niks = 6

• Dan de tienden: 7 + 3 = 10. Schrijf de 0 op en onthoud de 1.

• Dan de eenheden: 1 + 3 + 8 = 12. Schrijf de 2 op en onthoud de 1.

• Dan de tientallen: 1 + 1 + 0 = 2.

• En de honderdtallen: 0 + 1 = 1.

HTE th 11 13,76 108,30 122,06

Kommagetallen aftrekken

Als je kommagetallen van elkaar aftrekt, is het belangrijk dat je tienden en honderdsten niet door elkaar haalt. Daarom geldt ook bij kommagetallen, zet de getallen op de juiste manier onder elkaar: honderdtallen onder honderdtallen, tientallen onder tientallen, eenheden onder eenheden, tienden onder tienden, honderdsten onder honderdsten. In het kort komt het erop neer dat je de komma's recht onder elkaar zet. Een voorbeeld: 152,6 - 13,76 = ? (H=honderdtallen, T=tientallen, E=eenheden, t=tienden, h=honderdsten) HTE th

60

152,60 13,76 -

Als je de getallen op de juiste manier onder elkaar zet, werkt het verder precies als bij het optellen van hele getallen:

• Zet de komma's recht onder elkaar, vul eventueel lege plekken op met nullen.

• Begin helemaal rechts, bij de honderdsten: 0 - 6 kan niet, je moet lenen bij de 6. Dan wordt het 10 - 6 = 4.

• Dan de tienden: De 6 was een 5 geworden. 5 - 7 kan niet, je moet lenen bij de 2. Dan wordt het 15 - 7 = 8.

• Dan de eenheden: De 2 was een 1 geworden. 1-3 kan niet, je moet lenen bij de 5. Dan wordt het 11 - 3 = 8.

• Dan de tientallen: de 5 was een 4 geworden. 4 - 1 = 3.

• Tot slot de honderdtallen: 1 - niks = 1.

HTE th 41 5 152,60 13,76 - 138,84

Kommagetallen vermenigvuldigen

Als je kommagetallen met elkaar vermenigvuldigt, moet je goed opletten waar je de komma plaatst in het antwoord. Een voorbeeld: 0,5 x 0,5 = 0,25 Bij deze eenvoudige getallen zie je misschien wel dat er eigenlijk staat: de helft van een halve is een kwart.

Als de getallen iets minder fraai zijn, wordt het moeilijker: 1,44 x 0,2 = .....? Doe zo'n som in meerdere stappen:

• Let bij de eerste stap niet op de komma. 144 x 2 = 288

• Tel nu hoeveel cijfers er in totaal achter de komma staan: - bij 1,44 staan twee cijfers achter de komma - bij 0,2 staat één cijfer achter de komma - samen zijn dat drie cijfers achter de komma.

• Zet bij het antwoord ook drie cijfers achter de komma: 1,44 x 0,2 = 0,288

61

Nog iets ingewikkelder: 10,203 x 3,2 = ....?

• Eerst zonder komma's: 10203 x 32 = 326496

• Dan cijfers achter de komma tellen: dat zijn er in totaal 4 10,203 x 3,2 = 32,6496

• Ter controle kun je ook nog even kijken of het antwoord kan kloppen: (iets meer dan 10) x (iets meer dan 3) = (iets meer dan 30), want 10 x 3 = 30

Kommagetallen delen

Als je kommagetallen moet delen, let dan goed op waar je de komma plaatst in het antwoord. Een paar voorbeelden, om te laten zien wat je in de uitkomst merkt van de komma:

• 24 : 2 = 12 geen cijfers achter de komma

• 2,4 : 2 = 1,2 Het getal 2,4 heeft 1 cijfer achter de komma, het getal 2 heeft geen komma, de uitkomst 1,2 heeft 1 cijfer achter de komma.

Voor elk cijfer dat het deeltal (2,4) achter de komma heeft, schuift de komma in de uitkomst een plaats naar links.

Maar als je gaat delen door een kommagetal, gebeurt er iets anders:

• 24 : 0,2 = 120 er komt een extra 0 achter de 12

Voor elk cijfer dat de deler (0,2) achter de komma heeft, schuift de komma in de uitkomst een plaats naar naar rechts. In het getal 12 staat geen komma, maar 12 is hetzelfde als 12,0 en daarin staat wel een komma. Als je die een plaats naar rechts schuift, staat er 120. Makkelijker: vermenigvuldig beide getallen met 10, 100 of 1000 Veel mensen vinden het makkelijker om eerst de komma te verschuiven, maar dan wel in beide getallen dezelfde kant op:

• 24 : 0,2 = (vermenigvuldig beide getallen met 10) 240 : 2 = 120

Nog enkele voorbeelden van delen door een kommagetal:

62

1,212 : 0,12 = ....?

• (beide getallen x 1000) 1212 : 120 = 10,1

321,6 : 0,08 = ....?

• (beide getallen x 100) 32160 : 8 = 4020

0,25 : 0,2 = ....?

• (beide getallen x 100) 25 : 20 = 1,25

Euro

De euro bestaat in biljetten van: € 500 € 200 € 100 € 50 € 20 € 10 € 5

De euro heeft munten van: € 2,00 € 1,00 € 0,50 € 0,20 € 0,10 € 0,05 € 0,02 (in veel landen afgeschaft) € 0,01 (in veel landen afgeschaft) Bij bijzondere gelegenheden worden wel eens munten van 5 of 10 euro uitgegeven. In onze opgaven laten we die bijzondere bedragen buiten beschouwing.

Omrekenen naar euro In Nederland en België is de euro ingevoerd op 1 januari 2002. Tot die datum betaalden we in Nederland met guldens en in België met de Belgische frank.

• De Nederlandse gulden wordt ook wel aangeduid met f of fl (afkomstig van florijn) of HFL of NLG.

• De Belgische Frank wordt ook wel aangeduid met BEF.

Soms is het nog nodig om een guldenbedrag om te rekenen naar euro's of andersom. Postzegels van vóór 2002 waren nog tot 1 november 2013 te gebruiken, maar dan moest je de waarde wel omrekenen naar euro's.

63

1 euro = 2,20371 Nederlandse gulden 1 euro = 40,3399 Belgische frank Een bedrag van 1000 gulden is in euro's (1000 : 2,20371) = € 453,78 Een bedrag van 1000 BEF is in euro's (1000 : 40,3399) = € 24,79

Procenten

Dit deel van de website legt uit wat procenten zijn en hoe je ermee kunt rekenen. Een procent is [1/100] deel van het geheel. Daar kun je op allerlei manieren mee rekenen:

Bij deze fabriek werken 42 vrouwen. Dat is 30% van het personeel. Hoeveel mensen werken er totaal bij deze fabriek? Hoe dat werkt, zie je op de pagina Alles is 100 %.

Henk verdient € 30,00 per dag. Hiervan doet hij 15% in een spaarpot. Hoeveel geld gaat er dagelijks in de spaarpot? Hoe dat werkt, zie je op de pagina Percentage van iets.

In een dorp wonen 4000 mensen. 1000 mensen zijn jonger dan 20 jaar, 2400 mensen zijn 20 tot 60 jaar, 600 mensen zijn 60 jaar of ouder. Hoe je dat omzet in procenten, zie je op de pagina Hoeveel procent.

En dan zijn er ook nog makkelijke percentages. Als iemand het over 25% heeft, weten veel mensen direct dat het over een kwart gaat. Meer van deze getallen zie je op de pagina Makkelijke percentages.

Promille [1/1000] deel, dus [1/10] procent, wordt ook wel promille genoemd. Het symbool voor promille is ‰ .

• 0,1% = 1‰

Procentpunt of procent? De btw werd in 2012 verhoogd van 19% naar 21%. Dat noemt men een verhoging met 2 procentpunten. Het is niet een verhoging met 2%, want 2% van 19 is 0,38. Bij een verhoging met 2% zou de btw van 19% naar 19,38% gaan.

64

Een ander voorbeeld: de rente van een spaarrekening wordt verhoogd van 2% naar 3%. Dat is een verhoging met 1 procentpunt. Maar het is ook een renteverhoging van 50%.

Alles is 100%

Hoeveel is 100%? Bij deze fabriek werken 42 vrouwen. Dat is 30% van het personeel. Hoeveel mensen werken er totaal bij deze fabriek? Je moet dus uitrekenen, hoeveel personeelsleden samen 100% zijn. Dit kun je oplossen met een verhoudingstabel:

personeelsleden 42 ?

procenten 30% 100%

Om van 30% naar 100% te komen, kun je als tussenstap 10% uitrekenen: 42 : 3 = 14 Daarna kun je uitrekenen: 14 x 10 = 140

personeelsleden 42 14 140

procenten 30% 10% 100%

: 3

x 10

Terugrekenen naar 100% Peter vertelt dat hij 275 euro per week verdient omdat hij 10% loonsverhoging heeft gekregen. Hoeveel verdiende hij vóór de loonsverhoging? Die loonsverhoging is 10% van het oude salaris. Het salaris is van 100% naar 110% gestegen. In dit geval moet je terugrekenen naar 100%.

Salaris € 275 ?

procenten 110% 100%

Om van 110% naar 100% te komen, kun je een tussenstap maken via 10%. Je rekent dan uit: € 275 : 11 = € 25

Salaris € 275 € 25 € 250

procenten 110% 10% 100%

: 11

x 10

Het oude salaris (100%) was dus € 250.

65

Percentage van iets

Een deel van het geheel berekenen Henk verdient € 30,00 per dag. Hiervan doet hij 15% in een spaarpot. Hoeveel geld gaat er dagelijks in de spaarpot? 15% is 15 x [1/100] deel. Dat is 15 x € 0,30 = € 4,50. Henk spaart dus € 4,50 per dag. Je kunt dit ook met een verhoudingstabel oplossen:

bedrag € 30,00 € 0,30 € 4,50

procenten 100% 1% 15%

: 100

x 15

Je bent niet verplicht om eerst 1% uit te rekenen. In dit geval kun je ook 10% en 5% uitrekenen:

bedrag € 30,00 € 3,00 € 1,50 € 4,50

procenten 100% 10% 5% 10% + 5% = 15%

: 10

: 2

Een percentage van een percentage Hoeveel is 5% van 20%? 5% is hetzelfde als 1/20 deel. Zie de pagina Makkelijke percentages. 1/20 van 20% is 1%. Het nieuwe loon uitrekenen Frits verdiende vorige maand € 30,00 per dag. Z'n baas is erg tevreden, want hij geeft Frits 10% loonsverhoging. Hoeveel gaat Frits per dag verdienen? 10% is [1/10] deel. Frits krijgt er dus € 3,00 bij. Voortaan verdient hij €33,00 per dag. Je kunt dit ook met een verhoudingstabel oplossen:

loon € 30,00 € 3,00 € 33,00

procenten 100% 10% 110%

: 10

x 11

66

Rente over rente Bij veel spaarrekeningen wordt jaarlijks rente bijgeschreven. Meestal wordt in het volgende jaar rente berekend over het totale bedrag, inclusief de rente van het vorige jaar. Op die manier krijg je elk jaar iets meer rente uitbetaald, ook al voeg je zelf geen geld toe aan de rekening. In vaktermen heet dit "samengestelde interest". Als je 10% rente krijgt, wordt je bedrag in ruim 7 jaar verdubbeld. Bijvoorbeeld: Startbedrag: € 100,00 na 1 jaar: € 110,00 na 2 jaar: € 121,00 na 3 jaar: € 133,10 na 4 jaar: € 146,41 na 5 jaar: € 161,05 na 6 jaar: € 177,16 na 7 jaar: € 194,87 na 8 jaar: € 214,36 Er is een vuistregel waarmee je globaal kunt uitrekenen na hoeveel tijd het startbedrag is verdubbeld: aantal jaren = 72 / rentepercentage Bij het percentage 10% kom je uit op 7,2 jaar. Als je het heel precies uitrekent (met Excel bijvoorbeeld), is het 7,2725 jaar (dus ietsje meer), maar voor een globale schatting is dit een handige regel. De rente wordt meestal pas na hele jaren bijgeschreven, dus voor de verdubbeling zul je toch moeten wachten tot 8 jaar.

Procenten van procenten Hoeveel is 20% van 50%? Stel: de twee dochters van Pietersen delen een erfenis. Zij krijgen ieder 50% (de helft) van het bedrag dat Pietersen nalaat. Stel: een van die twee dochters leeft niet meer. Daarom wordt haar deel van de erfenis verdeeld over haar vijf kinderen (de kleinkinderen van Pietersen). Zij krijgen ieder 20% (een vijfde deel) van die 50%. 1/5 x 1/2 = 1/10 De vijf kleinkinderen krijgen ieder 1/10 deel. Dat is 10%. 20% van 50% is dus 10%. Je kunt hier zien dat je een percentage van een percentage kunt nemen. 20% (een vijfde deel) van 50 procent is 1/5 van 50 procent. Dat is 10 procent. Als je percentages als breuken schrijft, kun je het eenvoudig uitrekenen.

Procentpunten en procenten Let op het verschil tussen de begrippen procent en procentpunt. Voorbeeld:

• Eerst betaal je 20% belasting.

• Daarna betaal je 21% belasting.

• Hoeveel is de belasting gestegen?

In procentpunten:

67

• De stijging van 20% naar 21% is 1 procentpunt, want 20 + 1 = 21.

In procenten:

• De stijging van 20% naar 21% is 5%, want 5% van 20% = 1% en 105% x 20% = 21%

De btw-verhoging is ook zo'n voorbeeld: Als de btw stijgt van 19% naar 21%, is dat dus een stijging van:

• 2 procentpunten want 19 + 2 = 21

• 10,52 procent want 10,52 x 19% = 2% 110,52% x 19% = 21%

Hoeveel procent

Deze straat heeft 25 huizen, waarvan 7 huizen een rode deur hebben. Hoeveel procent van de huizen heeft een rode deur? Met een verhoudingstabel:

huizen 25 1 7

procenten 100% ? ?

Als 25 huizen samen 100% zijn, dan is één huis [100/25]%, dus 4%. Als 1 huis 4% is, dan zijn 7 huizen 7x4=28%. Het antwoord is dus 28%.

: 25

x 7

huizen 25 1 7

procenten 100% 4% 28%

Hoeveel procent van de bevolking? In een dorp wonen 4000 mensen. Als je ze verdeelt in drie leeftijdsgroepen, krijg je de volgende aantallen:

• JONGER: 1000 mensen zijn jonger dan 20 jaar

• MIDDEN: 2400 mensen zijn 20 tot 60 jaar

• OUDER: 600 mensen zijn 60 jaar of ouder

68

Hoe kun je de drie groepen in procenten uitdrukken? Dit werkt het handigst met een verhoudingstabel:

mensen 4000 ? 1000 2400 600

procenten 100% 1% ? ? ?

• Er is een kolom voor het hele dorp (4000 mensen = 100%)

• De volgende kolom is een hulpje: hoeveel mensen zijn samen 1%? [1/100] van 4000 mensen = 40 mensen.

mensen 4000 40 1000 2400 600

procenten 100% 1% ? ? ?

: 100

Nu kun je de procenten in de overige kolommen uitrekenen. In deze opgave is één procent hetzelfde als 40 mensen. Je moet de getallen 1000, 2400 en 600 door 40 delen:

• 1000 : 40 = 25

• 2400 : 40 = 60

• 600 : 40 = 15

mensen 4000 40 1000 2400 600

procenten 100% 1% 25% 60% 15%

Je kunt over het dorp dus ook schrijven:

• 25% is jonger dan 20 jaar

• 60% is 20 tot 60 jaar

• 15% is 60 jaar of ouder

Het leuke van procenten is dat je het dorp nu makkelijker kunt vergelijken met andere dorpen. Het aantal inwoners doet er nu niet meer toe. Je geeft met percentages aan hoe de verschillende leeftijden verdeeld zijn.

Meer dan 100% Je koopt een schilderij voor 50 euro. Na een paar jaar verkoop je het schilderij voor 300 euro. Met hoeveel procent is de prijs van het schilderij toegenomen? De verandering in procenten druk je altijd uit ten opzichte van de oude situatie. De oude prijs (50 euro) is 100%. De nieuwe prijs is 250 euro hoger dan de oude prijs. Dat is 5 x 50 euro. De nieuwe prijs is 500% hoger dan de oude prijs. Je kunt ook zeggen: de nieuwe prijs is 600% van de oude prijs, maar dat was hier niet de vraag.

69

A is hoeveel procent groter dan B? Bij formuleringen als "hoeveel procent is A groter dan B?" is B de maatstaf waarmee gemeten wordt. Met andere woorden: B is 100%. Een voorbeeld: Jan eet 4 broodjes. Wim eet 5 broodjes. Wim eet .... % meer broodjes dan Jan. Wim eet 1 broodje meer dan Jan. Dat is 25% van wat Jan eet. Wim eet 25% meer broodjes dan Jan. Nog een voorbeeld: In 1950 had Nederland 10 miljoen inwoners. In 1991 had Nederland 15 miljoen inwoners. In 1991 had Nederland .... % meer inwoners dan in 1950. In 1991 had Nederland 5 miljoen inwoners meer dan in 1950. In 1991 had Nederland 50% meer inwoners meer dan in 1950.

Makkelijke percentages

Sommige percentages zijn zó beroemd, dat je daar niet ingewikkeld over hoeft te doen.

100% 75% 50% 25% 20% 12,5% 10% 5% 4% 2%

alles [3/4] [1/2] [1/4] [1/5] [1/8] [1/10] [1/20] [1/25] [1/50]

100% 10% 1% 0,1% 0,01%

alles [1/10] [1/100] [1/1000] [1/10000]

repeterende breuken:

66,666...% 33,333...% 16,666...% 11,111...% 9,0909...% 8,333...%

[2/3] [1/3] [1/6] [1/9] [1/11] [1/12]

[1/7] = 14,285714 285714 ... %

Btw

Btw = belasting toegevoegde waarde. In de winkel betaal je btw op alle artikelen. Er bestaat een laag tarief voor o.a. voedingsmiddelen, maar de meeste artikelen hebben het hoge tarief. Dat was in Nederland jarenlang 19% en is in 2012 gestegen naar 21%. Misverstand 1: de btw is niet 21% van de totale prijs De btw komt boven op de kale prijs. Sommige winkeliers bieden als verkoopstunt tijdelijk 21% korting en zeggen daarmee de btw voor hun rekening te nemen. De winkelier doet zichzelf daarmee tekort, want als hij de btw voor zijn rekening neemt, hoeft hij maar 17,36% korting te geven. Kijk maar:

70

Als de kale prijs van het artikel € 100 euro is, is de nieuwe prijs inclusief btw € 121. Het btw-deel van de prijs is 21 euro. Hoeveel procent is dat van de totale 121 euro?

• 1% van € 121,00 = € 1,21

• € 21,00 / € 1,21 = afgerond 17,36

• € 21,00 = 17,36% van € 121,00

Als de winkelier echt 21% korting geeft op het artikel van € 121,00, hoeveel euro korting geeft hij dan?

• 1% van € 121,00 = € 1,21

• 21% = 21 x € 1,21 = € 25,41 korting

• De nieuwe prijs wordt dan: € 121,00 - € 25,41 = € 95,59 (en dus niet € 100,00)

Neem dit rekensommetje mee naar de winkel als de winkelier "21% korting" aanbiedt en vervolgens alleen het btw-bedrag in mindering brengt. Dat kan op een groot bedrag een fors aantal euro's voordeel opleveren. Misverstand 2: bij de btw-verhoging van 19% naar 21% steeg de prijs niet met 2% Toen op 1 oktober 2012 in Nederland het btw-tarief van 19% naar 21% steeg, bleek uit veel advertenties dat niet iedereen begreep hoe ze met dat tarief moesten rekenen. De btw komt boven op de "kale prijs" van het artikel. Kijk even naar het plaatje. Voor een artikel waarvan de kale prijs 100 euro is:

• betaalde je vroeger € 119,00. Dat was inclusief 19% btw.

• betaal je nu € 121,00. Dat is inclusief 21% btw.

Sommige mensen denken dat de prijs met 2% stijgt bij deze btw-verhoging van 19 naar 21 procent. Dat klopt niet. Als de winkelier op 1 oktober de prijs keurig heeft aangepast aan de btw-verhoging, wordt een artikel van € 119 (inclusief btw) 2 euro duurder. Dat is in het plaatje hierboven te zien.

71

Die € 2,00 is voor de consument een prijsstijging van 1,68%. Kijk maar:

• 1% van € 119,00 = € 1,19

• € 2,00 / € 1,19 = afgerond 1,68

• € 2,00 = 1,68% van € 119,00

Als de prijs wél met 2% zou stijgen, zou de nieuwe prijs worden:

• € 119,00 + 2 x € 1,19 =

€ 119,00 + € 2,38 = € 121,38

Het lage btw-tarief Voor sommige artikelen geldt in Nederland een laag btw-tarief. Dat is bijvoorbeeld op levensmiddelen, boeken en kunst. In 2018 was het lage btw-tarief 6%. Op 1 januari 2019 is dit verhoogd naar 9%. Als de kale prijs (zonder btw) van een boek 100 euro is, is de prijs inclusief 6% btw 106 euro. Datzelfde boek kost met het het verhoogde tarief (9% btw) 109 euro. Als je de gevolgen van deze btw-verandering wilt uitrekenen, weet je waarschijnlijk alleen de prijs inclusief btw. Deel dan eerst de prijs door 1,06 om de kale prijs te berekenen en vermenigvuldig de uitkomst vervolgens met 1,09. Bijvoorbeeld:

• Oude prijs (met 6% btw) € 106.

• Kale prijs (zonder btw) € 106 : 1,06 = € 100

• Nieuwe prijs (met 9% btw) € 100 x 1,09 = € 109.

Als een boek inclusief 6% btw 50 euro kost, zou de gecorrigeerde prijs met 9% btw zijn:

• € 50,00 : 1,06 x 1,09 = € 51,415... afgerond € 51,42

Meten en wegen

Dit deel van de website behandelt onderwerpen als lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd.

• Lengte en afstand druk je uit in meters of afgeleiden daarvan: millimeter, centimeter, decimeter, decameter, hectometer, kilometer.

• Als je een hek om een grasveld zet, moet je de omtrek van dat veld weten. Dat is uiteindelijk ook een lengte, dus bijvoorbeeld een waarde in meters.

• Als je graszaad koopt, moet je de oppervlakte van de tuin weten. Oppervlakte wordt uitgedrukt in vierkante meters (m2) of afgeleiden daarvan.

• Als je een zwembad vult, wil je misschien weten wat de inhoud is. Dat kan in kubieke meters (m3) of afgeleiden daarvan en het kan ook in liters.

• Massa (in het dagelijks leven spreken we van gewicht) wordt uitgedrukt in grammen of afgeleiden daarvan. De bekendste afgeleide is de kilogram, die vaak gewoon kilo genoemd wordt. Sommige weegvraagstukken gaan niet over exacte gewichten. Met een balansweegschaal

72

kun je gewichten vergelijken. Je weet dan alleen welk van de twee het zwaarst is.

• Tijd is wat ingewikkelder. Je kunt tijd uitdrukken in seconden, minuten, uren, dagen, weken en nog veel meer.

Lengte

• Een cd is ongeveer 1 millimeter dik.

• De opening van een usb-aansluiting is ongeveer 1 centimeter breed.

• Een plakstift is ongeveer 1 decimeter lang (er zijn ook grotere).

• Een tuinpad is ongeveer 1 meter breed

• Een flinke tuin bij een rijtjeshuis is 1 decameter lang.

• Een straat met 18 rijtjeshuizen is ongeveer 1 hectometer lang.

• Een wandeling van 10 minuten is ongeveer 1 kilometer lang.

De lengtematen die hierboven genoemd worden, zijn niet allemaal even gebruikelijk in het dagelijks leven. Veel mensen zullen na hun schooltijd de woorden 'decimeter' en 'decameter' niet vaak gebruiken en 'hectometer' alleen als ze het over die groene bordjes langs de snelweg hebben: de hectometerpaaltjes, die zo heten omdat ze 100 meter uit elkaar staan (ze geven geen hectometers aan, maar de afstand vanaf het begin van de weg, in kilometers met een decimaal, bijvoorbeeld 25,1). Op school leer je ze allemaal kennen. Dat is leuk, want dan kun je er allerlei sommetjes mee maken. Bij Beter Rekenen krijg je regelmatig zulke sommetjes. Zit je niet meer op school? Dan is dit de gelegenheid om de kennis weer op te poetsen.

1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 dam 1 hm 1 km

millimeter centimeter decimeter meter decameter hectometer kilometer

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

Op de zeven foto's hierboven zie je een millimeter, centimeter, decimeter, meter, decameter, hectometer en kilometer. Elke stap naar rechts is een tien keer zo grote maat: je hebt 10 millimeters nodig om een centimeter te vullen, enzovoort.

• 10 mm = 1 cm

• 10 cm = 1 dm

• 10 dm = 1 m

• 10 m = 1 dam

• 10 dam = 1 hm

• 10 hm = 1 km

73

Let op: sommige lesmethodes gebruiken de omgekeerde schrijfwijze. Als je 1 cm hebt, heb je 10 mm. Op grond van dat gegeven vinden sommige methodes dat een stap naar links (van cm naar mm) juist de factor x10 is. Het is dus maar hoe je het bekijkt. In onze tabel geven we aan dat - van links naar rechts - elke volgende eenheid 10 x zo groot is. Het gevolg is dat je het aantal dan door 10 deelt. Vergelijk het met:

• Een briefje van 10 euro is 10 x zo veel waard als een munt van 1 euro. Het briefje is 10 x zo veel waard.

• Maar 10 munten van 1 euro zijn evenveel waard als 1 briefje van 10 euro. Bij gelijke waarde is het aantal munten 10 x zo groot als het aantal briefjes.

Als je dit rijtje kent, kun je ook allerlei andere dingen uitrekenen: Stappen van rechts naar links:

• van km naar m

• drie stappen naar links

• 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m

• 3 km = 3000 m

• van m naar cm

• twee stappen naar links

• 1 m = 10 dm = 100 cm

• 5,2 m = 520 cm

• van m naar mm

• drie stappen naar links

• 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

• 1,075 m = 1075 mm

Stappen van links naar rechts:

• van cm naar m

• twee stappen naar rechts

• 1 cm = 0,1 dm = 0,01 m

• 7 cm = 0,07 m

• van m naar km

• drie stappen naar rechts

• 1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km

• 2500 m = 2,5 km

Voorbeeld van een opgave met meters Je koopt een boekenkast, waar 120 boeken in moeten passen. De boeken zijn allemaal ongeveer 25 mm dik. Je ziet een mooie kast die in je kamer past. Je kunt zelf nog kiezen hoeveel planken je erin legt. De planken zijn 75 cm lang. Hoeveel planken heb je nodig? Eerst kun je je afvragen: hoeveel meter boekenplank heb ik nodig? 120 x 25 mm = 3000 mm = 3 meter

74

De planken zijn [3/4] meter per stuk. Hoeveel planken zijn samen 3 meter? Je kunt dit op heel veel manieren uitrekenen. De volgende manier maakt gebruik van de regel "delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde". 3 : [3/4] = 3 x [4/3] = [12/3] = 4 planken

Lengte en breedte Het woord 'lengte' wordt ook gebruikt bij rechthoekige vormen. De lange kant van een rechthoek is de lengte, de korte kant is de breedte.

Oude maten Een eeuw geleden was de myriameter een term voor 10 km. Tot 1960 maakte de myriameter deel uit van het officiële SI-stelsel. In Zweden en Noorwegen wordt de eenheid nog regelmatig gebruikt, onder de naam 'mil' (Noors-Zweedse mijl).

Pythagoras

De stelling van Pythagoras heeft te maken met rechthoekige driehoeken. Dat zijn driehoeken waarvan één hoek precies 90 graden is. Als je de lengte van de twee rechthoekszijden weet, kun je de lengte van de schuine zijde uitrekenen met de formule:

a2 + b2 = c2 De rechthoekszijden noemen we a en b, de schuine zijde is c. De schuine zijde wordt ook wel hypotenusa genoemd. Pythagoras heeft niet alleen gesteld dat volgens hem de formule zo is, maar hij heeft het ook bewezen. Er zijn op internet allerlei demonstraties en rekenvoorbeelden waarmee bewezen wordt dat a2 + b2 = c2. Een begrijpelijke uitleg die je met papier, liniaal en schaar zelf kunt nadoen, zie je op Wikipedia. Mooie combinaties Bij de meeste combinaties van a en b wordt c een getal met cijfers achter de komma, maar er zijn ook combinaties van a en b waarbij de uitkomst c een geheel getal is. Bij de driehoek hieronder zijn a, b en c mooie ronde getallen: de rechthoekszijden zijn 3 en 4 cm lang, de schuine zijde blijkt precies 5 cm lang te zijn. Kijk maar:

75

32 + 42 = 9 + 16 = 25 De schuine zijde is dan de wortel van 25 en dat is 5, want 52 = 25. Zie ook de pagina over worteltrekken. Het is een kwestie van verhoudingen, dus wat voor de combinatie 3 en 4 geldt, geldt ook voor de combinatie 6 en 8: 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102. De schuine zijde is dan 10 cm. Zo kun je een heel rijtje maken waarvan de verhoudingen telkens 3:4:5 zijn:

a b c

3 4 5

6 8 10

9 12 15

12 16 20

15 20 25

18 24 30

21 28 35

24 32 40

27 36 45

30 40 50

33 44 55

36 48 60

39 52 65

42 56 70

45 60 75

48 64 80

51 68 85

54 72 90

57 76 95

60 80 100

Maar er zijn meer combinaties waarbij a2 + b2 = c2 mooie uitkomsten oplevert. De driehoeken hieronder zijn onderling niet allemaal op dezelfde schaal getekend, maar de verhoudingen binnen elke driehoek zijn wel zoals de getallen aangeven. 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 52 + 122 = 25+ 144 = 169 = 132 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 122 + 352 = 144 + 1225 = 1369 = 372 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172 202 + 212 = 400 + 441 = 841 = 292

76

In de tabel hieronder staan deze verhoudingen nog eens, gevolgd door een of meer combinaties met dezelfde verhoudingen. De kleur komt overeen met de kleur uit de tekening hierboven.

3 4 5 5 12 13 8 15 17

6 8 10 10 24 26 16 30 34

9 12 15 15 36 39 24 45 51

12 16 20 20 48 52 32 60 68

15 20 25 25 60 65 40 75 85

18 24 30 30 72 78 48 90 102

21 28 35 35 84 91

24 32 40 40 96 104

27 36 45 20 21 29

30 40 50 40 42 58

33 44 55 7 24 25 60 63 87

36 48 60 14 48 50 80 84 116

39 52 65 21 72 75

42 56 70 28 96 100

45 60 75 35 120 125 28 45 53

48 64 80 56 90 106

51 68 85

54 72 90 12 35 37

57 76 95 24 70 74 33 56 65

60 80 100 36 105 111 66 112 130

Omtrek

Een hek om een weiland Je berekent de omtrek van een figuur door alle zijden bij elkaar op te tellen.

77

Dit weiland is mooi rechthoekig. 200 meter lang en 100 meter breed. Als je een hek om dit weiland zet, hoe lang is het totale hek dan? Het weiland heeft twee lange zijden en twee korte zijden. Je kunt dus uitrekenen: 200 + 200 + 100 + 100 = 600 meter. Voor een rechthoek kun je ook onthouden:

• omtrek = 2 x (lengte + breedte)

Kijk maar: 2 x (200 + 100) = 2 x 300 = 600 meter

De omtrek van een cirkel Als je de doorsnede (diameter) van een cirkel weet, kun je de omtrek berekenen. Daarbij speelt het getal "pi" een belangrijke rol. Het getal pi wordt geschreven als ∏. Het is een getal met eindeloos veel cijfers achter de komma. Wij ronden pi af op twee cijfers achter de komma: ∏ = 3,14 of ∏ = 22/7

De straal is de halve diameter (de halve doorsnede). Je kunt de omtrek daarom op twee manieren berekenen:

• Als je een ronde vijver of een ronde tafel meet, is het makkelijker om de volledige diameter te meten. Voor de omtrek ga je dan uit van de diameter: De omtrek van een cirkel is ∏ x de diameter.

• Als je een cirkel gemaakt hebt met een passer, weet je de straal (de afstand tussen het middelpunt en de cirkellijn). Voor het berekenen van de omtrek ga je dan uit van de straal: De omtrek van een cirkel is 2 x ∏ x de straal. Wetenschappers en samenstellers van rekensommen spreken vaker van de straal dan van de diameter. De straal wordt vaak aangeduid met de letter r.

78

De omtrek van een cirkel is daarom 2 ∏ r

Hoe groot is pi? Het getal ∏ is een getal met eindeloos veel cijfers achter de komma, waarin geen enkele regelmaat zit. Met de eerste 30 decimalen is het: 3,141592653589793238462643383279.... Wij ronden ∏ af op 3,14 Dat is 0,001592653... te weinig. Sommigen gebruiken als benadering: ∏ = 22/7. (dat is 3,142857142857....) Dat is 0,0012644892... te veel en dus iets nauwkeuriger dan 3,14. De datums 3/14 (Amerikaanse schrijfwijze voor 14 maart) en 22/7 (22 juli) zijn voor de liefhebbers van pi bijzondere feestdagen, respectievelijk pi-dag en pi-benaderingsdag. Op http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde) staan veel leuke weetjes over pi, zelfs gedichten die als ezelsbruggetje dienen om de getallenreeks te onthouden.

Oppervlakte

Hoe groot is het weiland?

Dit weiland heeft een lengte van 200 meter en een breedte van 100 meter. Hoe groot is het stuk grond? Het is de bedoeling dat je de oppervlakte van het weiland berekent. Een veelgebruikte maat voor oppervlakte is de vierkante meter. Dat is de grootte van een vierkant van 1 meter breed en 1 meter lang. Je schrijft ook wel 1 m2. We gaan uitzoeken hoeveel vierkante meter de oppervlakte van het weiland is:

• Neem een paar vierkante stukken vloerbedekking van 1 m2 mee naar dat weiland.

• Leg het eerste stuk in de hoek, het tweede stuk strak ernaast.

• Op die manier kun je langs de lange zijde van het weiland 200 keer een vierkante meter neerleggen. Dat zou bij elkaar een lange strook zijn van 1 meter breed en 200 meter lang. De oppervlakte van die strook is 200 m2.

• Maar het weiland is 100 meter breed. Je hebt dus 100 van die stroken nodig.

De oppervlakte van het weiland is 100 x 200 m2. Dat is 20.000 m2. Een lange kant van een rechthoek is de lengte, de korte kant is de breedte.

79

Andere oppervlaktematen Behalve de vierkante meter zijn er ook andere oppervlaktematen:

• De achterkant van een dunne lucifer is ongeveer 1 vierkante millimeter.

• De zijkant van een dobbelsteen is ongeveer 1 vierkante centimeter.

• Een blaadje uit een notitiekubus is ongeveer 1 vierkante decimeter.

• Een douchebak is ongeveer 1 vierkante meter (ook wel centiare).

• Een flinke tuin bij een huis is ongeveer 1 vierkante decameter (ook wel een are).

• Anderhalf voetbalveld is ongeveer 1 vierkante hectometer (ook wel: 1 hectare).

• Het stadscentrum van een stad als Zwolle is ongeveer 1 vierkante kilometer.

1 mm2 1 cm2 1 dm2 1 m2 1 dam2 1 hm2 1 km2

vierkante millimeter

vierkante centimeter

vierkante decimeter

vierkante meter

vierkante decameter

vierkante hectometer

vierkante kilometer

centiare (ca)

are hectare (ha)

x 100

x 100

x 100

x 100

x 100

x 100

Op de zeven foto's hierboven zie je een vierkante millimeter, centimeter, decimeter, meter, decameter, hectometer en kilometer. Elke stap naar rechts is een honderd keer zo grote maat: je hebt 100 vierkante millimeters nodig om een vierkante centimeter te vullen.

• 100 mm2 = 1 cm2

• 100 cm2 = 1 dm2

• 100 dm2 = 1 m2

• 100 m2 = 1 dam2

• 100 dam2 = 1 hm2

• 100 hm2 = 1 km2

Let op: sommige lesmethodes gebruiken de omgekeerde schrijfwijze. Als je 1 cm2 hebt, heb je 100 mm2. Op grond van dat gegeven vinden sommige methodes dat een stap naar links (van cm2 naar mm2) juist de factor x100 is. Het is dus maar hoe je het bekijkt. In onze tabel geven we aan dat - van links naar rechts - elke volgende eenheid 100 x zo groot is. Het gevolg is dat je het aantal dan door 100 deelt. Vergelijk het met:

• Een briefje van 100 euro is 100 x zo veel waard als een munt van 1 euro. Het briefje is dus 100 x zo veel waard.

• Maar 100 munten van 1 euro zijn evenveel waard als 1 briefje van 100 euro. Het aantal munten is dus 100 x zo groot als het aantal briefjes.

80

Als je dit rijtje kent, kun je ook allerlei andere dingen uitrekenen:

• 1 m2 = 100 x 100 cm2 = 10.000 cm2

• 1 dam2 = 10 x 10 m2 = 100 m2 = 1 are = 100 centiare

• 1 hectare = 1 hm2 = 100 x 100 m2 = 10.000 m2

• 1 km2 = 100 hm2 = 100 hectare

Hectare Een hectare is een oppervlakte van 10.000 m2, maar dat hoeft niet per se een vierkant van 100 m x 100 m te zijn. Een stuk grond van 5 meter breed en 2 km lang is ook 1 hectare. De oppervlakte van een rechthoek Als je de lengte en breedte van een rechthoek weet, kun je de oppervlakte berekenen. Zorg ervoor dat de lengte en breedte dezelfde eenheid hebben. Dus niet meters en centimeters door elkaar gebruiken. Bijvoorbeeld:

• Een lint is 5 cm breed en 4 meter lang. Hoeveel cm2 stof is dat? 5 cm x 4 meter = 5 cm x 400 cm = 2000 cm2

Oppervlakte van een vierkant Een vierkant is een rechthoek waarvan lengte en breedte gelijk zijn.

• Een vierkant grasveld heeft een oppervlakte van 64 m2. Hoe lang is een zijkant van het grasveld? Het juiste antwoord is "de wortel van 64", met andere woorden: Welk getal moet je met zichzelf vermenigvuldigen om 64 te krijgen? Dat is 8, want 8x8=64. Het grasveld heeft dus zijkanten van 8 meter.

Papiermaten Een vel papier van A0-formaat (A nul) is 1189 mm lang en 841 mm breed. Dat is geen toevallige maat, want als je de opervlakte van dit vel uitrekent, is het een vierkante meter (om precies te zijn 999.949 mm²). Andere papiermaten zijn hiervan afgeleid: A1 is de helft van A0, A2 is de helft van A1, enzovoort. De bekende papiermaat A4 is afgerond 297 mm x 210 mm.

81

De oppervlakte van een driehoek Wat is de oppervlakte van driehoek ABC?

• Teken een lijn vanuit de top (C) van de driehoek. Zorg dat die lijn loodrecht op de basis (AB) van de driehoek staat. De lengte van deze loodlijn is de hoogte (h) van de driehoek.

• De oppervlakte van de driehoek is dan: 1/2 x AB x h

In het plaatje hieronder kun je zien waarom dit zo is. Er is een rechthoek om de driehoek heen getekend. De oppervlakte van deze rechthoek is lengte x breedte. In dit geval AB x h.

82

De loodlijn deelt de rechthoek in twee kleinere rechthoeken, die we hier blauw en groen gemaakt hebben. Beide rechthoeken worden precies gehalveerd door een diagonaal. Het lichtblauwe deel en het lichtgroene deel vallen buiten de driehoek en zijn samen even groot als de driehoek. Dan is de oppervlakte van de driehoek ABC precies de helft van AB x h.

De oppervlakte van een cirkel Als je de diameter (doorsnede) van een cirkel weet, kun je de oppervlakte berekenen. Daarbij speelt het getal "pi" een belangrijke rol. Het getal pi wordt geschreven als ∏. Het is een getal met eindeloos veel cijfers achter de komma. Wij ronden pi af op twee cijfers achter de komma: ∏ = 3,14

• De straal is de halve diameter (halve doorsnede).

• De oppervlakte van een cirkel is 3,14 x ( de straal )2

De straal wordt vaak aangeduid met de letter r.

• De oppervlakte van een cirkel = ∏ r2

83

De oppervlakte van een bol Als je de diameter van een bol weet, kun je de oppervlakte berekenen. Daarbij speelt het getal "pi" een belangrijke rol. Het getal pi wordt geschreven als ∏. Het is een getal met eindeloos veel cijfers achter de komma. Wij ronden pi af op twee cijfers achter de komma: ∏ = 3,14 Net als bij een cirkel geldt: de straal van de bol is de halve diameter. De straal (r) is de afstand tussen het middelpunt en de buitenkant van de bol. De oppervlakte van een bol is 4 ∏ r2

De oppervlakte van een cilinder De oppervlakte van een rechthoek is lengte x hoogte. Als je een rechthoekig vel papier zo ombuigt dat precies een cilinder ontstaat, is de oppervlakte nog steeds lengte x hoogte. Die lengte is nu de omtrek van een cirkel. De oppervlakte van een cilinder is dus omtrek x hoogte. De omtrek van een cirkel = 2 x ∏ x r of ∏ x diameter De oppervlakte van een cilinder is dus ∏ x diameter x hoogte.

Inhoud

Hoe groot is een huiskamer?

84

Een huiskamer heeft een lengte van 8 meter, een breedte van 5 meter en een hoogte van 2,5 meter. Hoeveel ruimte zit er in de kamer? Het is de bedoeling dat je de inhoud van de kamer berekent. Een veelgebruikte maat voor inhoud is de kubieke meter. Dat is de grootte van een kubus van 1 meter breed, 1 meter lang en een meter hoog. Je schrijft ook wel 1 m3. We gaan uitzoeken hoeveel kubieke meter de inhoud van de huiskamer is:

• Timmer een paar van die kubussen van 1m3.

• Haal alle meubels uit de kamer.

• Zet de eerste kubus in de hoek, een tweede strak ernaast.

• Op die manier kun je langs de lange zijde van de kamer 8 kubieke meters neerzetten. Dat zou bij elkaar een lange strook zijn van 1 meter breed, 1 meter hoog en 8 meter lang. De inhoud van die strook is 8 m3.

• Maar de vloer van de kamer is 5 meter breed. Je hebt dus 5 van die stroken nodig. Dat is dan al 40 m3.

• Met 40 van die kubussen heb je de hele vloer volgebouwd, maar je komt nog niet tot het plafond. Daar heb je 2,5 van die lagen voor nodig.

De inhoud van de kamer is 2,5 x 8 x 5 = 2,5 x 40 = 100 m3. Andere inhoudsmaten Behalve de kubieke meter zijn er ook andere inhoudsmaten:

• Een korrel suiker is ongeveer 1 kubieke millimeter.

• Een klein formaat suikerklontje is ongeveer 1 kubieke centimeter (ook wel 1 cc).

• Een notitiekubus is ongeveer 1 kubieke decimeter (ook wel een liter)

• Een berg tuinaarde (13 kruiwagens) is ongeveer 1 kubieke meter.

• In een wedstrijdzwembad zit ongeveer 1 kubieke decameter water.

• Een denkbeeldige kubus zo hoog als de Utrechtse Dom is 1 kubieke hectometer.

• Een grote ijsberg kan wel een kubieke kilometer groot zijn.

1 mm3 1 cm3 1 dm3 1 m3 1 dam3 1 hm3 1 km3

kubieke millimeter

kubieke centimeter

kubieke decimeter

kubieke meter

kubieke decameter

kubieke hectometer

kubieke kilometer

1 cc 1 milliliter

1 liter

1 kuub

x 1000

x 1000

x 1000

x 1000

x 1000

x 1000

Op de zeven foto's hierboven zie je een kubieke millimeter, centimeter, decimeter, meter, decameter, hectometer en kilometer. Elke stap naar rechts is een duizend keer zo grote maat: je hebt 1000 cm3 nodig om 1 dm3 te vullen.

85

Er passen 1000 kubieke decimeters in een kubieke meter.

• 1000 mm3 = 1 cm3

• 1000 cm3 = 1 dm3 (= 1 liter)

• 1000 dm3 = 1 m3

• 1000 m3 = 1 dam3

• 1000 dam3 = 1 hm3

• 1000 hm3 = 1 km3

Let op: sommige lesmethodes gebruiken de omgekeerde schrijfwijze. Als je 1 cm3 hebt, heb je 1000 mm3. Op grond van dat gegeven vinden sommige methodes dat een stap naar links (van cm3 naar mm3) juist de factor x1000 is. Het is dus maar hoe je het bekijkt. In onze tabel geven we aan dat - van links naar rechts - elke volgende eenheid 1000 x zo groot is. Het gevolg is dat je het aantal dan door 1000 deelt. Vergelijk het met:

• Een briefje van 1000 euro is 1000 x zo veel waard als een munt van 1 euro. Het briefje is dus 1000 x zo veel waard.

• Maar 1000 munten van 1 euro zijn evenveel waard als 1 briefje van 1000 euro. Het aantal munten is dus 1000 x zo groot als het aantal briefjes.

Liter Als je een kubusvormig bakje van precies 10 cm lang, breed en hoog vult met water, dan is dat precies 1 liter water. Probeer het maar eens over te gieten in een melkpak. Een laag van 1 mm regen op 1 vierkante meter is 1 liter regenwater. Net als bij "meter", kun je ook bij "liter" de woorddelen milli-, centi-, deci-, deca-, hecto- en kilo- ervoor plakken. Meer daarover op de pagina Liters.

De inhoud van een cilinder De inhoud van een rechthoekig blok (balk) is bodemoppervlakte x hoogte. Voor een cilinder geldt ook: inhoud = bodemoppervlakte x hoogte.

86

De bodem van de cilinder is een cirkel. De oppervlakte van een cirkel = ∏ x ( de straal )2 De inhoud van een cilinder is dus ∏ x ( de straal )2 x hoogte. Wij ronden ∏ af op 3,14 ∏ = 3,14 of ∏ = 22/7 Rekenvoorbeeld: De bodem van de cilinder heeft een straal van 5 cm en de cilinder is 10 cm hoog. De oppervlakte van de bodem = 3,14 x 52 = 3,14 x 25 = 78,5 cm2. De inhoud van de cilinder is 10 x 78,5 = 785 cm3.

De inhoud van een bol Je kunt het volume (of de inhoud) van een bol uitrekenen als je de diameter weet. De formule voor de inhoud van een bol, op basis van de diameter is: [1/6] x ∏ x ( diameter )3 of kortweg: ∏ d3 / 6 Voorbeeld: een bol met diameter 20 cm. Voor pi houden we de gangbare afgeronde waarde 3,14 aan: ∏ d3 / 6 = 3,14 x 203 / 6 = 3,14 x 8000 / 6 = 25120 / 6 = 4186,666... cm3 Afgerond is de inhoud van de bol 4187 cm3 oftewel 4,187 liter. De inhoud van een bol berekenen met de straal Je kunt ook de formule gebruiken die uitgaat van de straal van de bol. Net als bij een cirkel geldt:

• de straal is de helft van de diameter.

De formule voor de inhoud van een bol, op basis van de straal is: [4/3] x ∏ x ( de straal )3 of kortweg: [4/3]∏ r3 Voorbeeld: opnieuw die bol met diameter 20 cm. Uiteraard kom je met deze formule op dezelfde uitkomst. De straal is 10 cm. Voor pi houden we de gangbare afgeronde waarde 3,14 aan: [4/3]∏ r3 = [4/3] x 3,14 x 103 = [4/3] x 3,14 x 1000 = [4/3] x 3140 = 4186,666... cm3 Afgerond is de inhoud van de bol 4187 cm3 oftewel 4,187 liter.

87

Liters

Als je een kubusvormig bakje van precies 10 cm lang, breed en hoog vult met water, dan is dat precies 1 liter water. Probeer het maar eens over te gieten in een melkpak. Je zult zien"dat het precies past. Net als bij "meter", kun je ook bij "liter" de woorddelen milli-, centi-, deci-, deca-, hecto- en kilo- ervoor plakken.

• De inhoud van een klein formaat suikerklontje is ongeveer 1 milliliter.

• Een 1/3 gevuld borrelglaasje is ongeveer 1 centiliter.

• De inhoud van een klein koffiekopje (espresso) is ongeveer 1 deciliter.

• De inhoud van een normaal melkpak is 1 liter.

• De inhoud van een emmer is 1 decaliter. Deze term wordt zelden gebruikt.

• Een kleine regenton is ongeveer een hectoliter.

• Een grote afvalcontainer is ongeveer 1 kiloliter. Deze term wordt zelden gebruikt. Gebruikelijker is "kubieke meter", want dat is ook 1000 liter.

Vroeger, toen veel mensen nog kolenkachels hadden, werden de steenkolen bezorgd in zakken van 100 liter. Dat was dan een "mud" kolen. Tegenwoordig wordt die term niet meer gebruikt.

1 mL (1 ml)

1 cL (1 cl)

1 dL (1 dl)

1 L (1 liter)

1 daL (1 dal)

1 hL (1 hl)

1 kL (1 kl)

milliliter centiliter deciliter liter decaliter hectoliter kiloliter

1 cc 1 dm3 1 mud 1 m3

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

Bovenstaand rijtje foto's is van links naar rechts bij elke stap 10x zo groot. Let op: sommige lesmethodes gebruiken de omgekeerde schrijfwijze. Als je 1 cL hebt, heb je 10 mL. Op grond van dat gegeven vinden sommige methodes dat een stap naar links (van cL naar mL) juist de factor x10 is. Het is dus maar hoe je het bekijkt. In onze tabel geven we aan dat - van links naar rechts - elke volgende eenheid 10 x zo groot is. Het gevolg is dat je het aantal dan door 10 deelt. Vergelijk het met:

• Een briefje van 10 euro is 10 x zo veel waard als een munt van 1 euro. Het briefje is dus 10 x zo veel waard.

• Maar 10 munten van 1 euro zijn evenveel waard als 1 briefje van 10 euro. Het aantal munten is dus 10 x zo groot als het aantal briefjes.

Hoofdletter L of kleine letter l? De hoofdletter L in de mL, cL enzovoort wordt ook vaak als kleine letter geschreven. Vroeger was dat zelfs de enig juiste schrijfwijze. Tegenwoordig wordt in het onderwijs vaak die hoofdletter

88

gebruikt, o.a. in het Centraal Examen voor scheikunde en biologie. Voor de leesbaarheid heeft dat wel voordelen (kan niet verward worden met het cijfer 1 of de hoofdletter "I"). Daarom zullen we proberen dit bij Beter Rekenen ook consequent aan te houden. Meer hierover op Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Liter#Symbool Neerslag De hoeveelheid regen wordt vaak uitgedrukt in mm.

• 1 mm neerslag = een laag van 1 mm water op een vlakke ondergrond.

1 mm x 1 m x 1 m = 0,01 dm x 10 dm x 10 dm = 1 dm[macht3] = 1 liter Daarom geldt:

• 1 mm neerslag op 1 vierkante meter = 1 liter water

• 1 mm neerslag = 1 liter water per vierkante meter

Engelse inhoudsmaten In Groot-Brittannië is men rond 1995 overgestapt op het metriek stelsel (meters en liters), maar je ziet er nog regelmatig oude lengte- en inhoudsmaten:

• 1 gallon benzine = 4,546 liter

• 1 pint bier = 0,568 liter

Meer vreemde Engelse maten op http://www.tuxx.nl/gewichten-maten/engels-amerikaans/

Gewicht

Met een weegschaal weeg je het gewicht van een zak appels. Je weet dan hoe zwaar de appels zijn. Gewicht wordt uitgedrukt in gram of een afgeleide daarvan. Net als bij meters en liters kun je daar een regelmatig rijtje van maken. Het is leuk dat voor elk tienvoud een naam bestaat, maar in het normale leven kom je vooral de termen milligram, gram en kilogram tegen.

1 mg 1 cg 1 dg 1 gr 1 dag 1 hg 1 kg

milligram centigram decigram gram decagram hectogram kilogram

kilo

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

• Je komt in drie stappen van milligram naar gram. 1 gram = 1000 mg.

• Je komt in drie stappen van gram naar kilogram. 1 kilogram = 1000 gram.

Een kilogram wordt ook vaak "kilo" genoemd. Let op: sommige lesmethodes gebruiken de omgekeerde schrijfwijze. Als je 1 cg hebt, heb je 10 mg. Op grond van dat gegeven vinden sommige methodes dat een stap naar links (van cg naar mg) juist de factor x10 is.

89

Het is dus maar hoe je het bekijkt. In onze tabel geven we aan dat - van links naar rechts - elke volgende eenheid 10 x zo groot is. Het gevolg is dat je het aantal dan door 10 deelt. Vergelijk het met:

• Een briefje van 10 euro is 10 x zo veel waard als een munt van 1 euro. Het briefje is dus 10 x zo veel waard.

• Maar 10 munten van 1 euro zijn evenveel waard als 1 briefje van 10 euro. Het aantal munten is dus 10 x zo groot als het aantal briefjes.

Pond en ons In recepten worden de termen pond en ons vaak gebruikt. Ook bij de groentewinkel zie je vaak prijzen per pond, ook al wordt algemeen aangeraden om alleen nog in grammen en kilo's te werken. Als je de recepten en de prijskaartjes wilt begrijpen, is het toch handig om te weten:

• 1 pond = 500 gram

• 1 ons = 100 gram

• Dus: 1 kilogram = 2 pond = 10 ons

Ton Het gewicht van zware voertuigen zoals vrachtwagens wordt vaak uitgedrukt in tonnen. Het is daarom handig om te weten:

• 1 ton = 1000 kilo

Het woord ton wordt ook voor geld gebruikt, maar dan betekent het € 100.000 (honderdduizend)

Tijd

Bij rekenen met meters, grammen en liters is het handig dat de maten in stappen van 10 groter worden (millimeter, centimeter, decimeter, enzovoort). Rekenen met tijd is wat lastiger, want tijd is op een afwijkende manier opgedeeld. We kunnen dan ook niet zo'n mooi rijtje foto's naast elkaar zetten zoals bij lengte, oppervlakte en inhoud.

1 ms 1 msec

1 s 1 sec

1 min 1 u 1 dag 1 week

milli- seconde

seconde

minuut

uur

ook: etmaal

x 1000

x 60

x 60

x 24

x 7

• Een seconde bestaat uit 1000 milliseconden

• Een minuut bevat 60 seconden

• Een uur bevat 60 minuten

• Een dag (etmaal) duurt 24 uur

• Een week heeft 7 dagen (maandag, dinsdag, woensdag, donderdag, vrijdag, zaterdag, zondag)

• Een uur = 60 x 60 seconden = 3600 seconden

90

Nu wordt het nog onregelmatiger: Een maand duurt 28, 29, 30 of 31 dagen

• De maanden januari, maart, mei, juli, augustus, oktober en december hebben 31 dagen.

• De maanden april, juni, september en november hebben 30 dagen.

• De maand februari heeft 28 dagen en in een schrikkeljaar 29 dagen. Die extra dag wordt ook wel schrikkeldag genoemd. Dat gebeurt (bijna) elke 4 jaar. Zie hieronder: schrikkeljaar.

Om te onthouden welke maand hoeveel dagen heeft, bestaan allerlei rijmpjes en ezelsbruggetjes. Internet staat er vol mee. Een voorbeeld van zo'n klassiek rijmpje is:

• Dertig dagen heeft november, april, juni en september. De andere hebben er dertig-en-één, behalve februari alleen. Die heeft er 4 maal 7 en in een schrikkeljaar nog één daarneven.

Schrikkeljaar Schrikkeljaren zijn de jaren die je door 4 kunt delen (2008, 2012, 2016, enzovoort), behalve de hele eeuwen (2100, 2200, enzovoort). Op deze laatste uitzondering is wéér een uitzondering: jaartallen die je door 400 kunt delen, zijn weer wél een schrikkeljaar (2000, 2400, enzovoort). Meer weten over schrikkeljaren? Kijk op http://nl.wikipedia.org/wiki/Schrikkeljaar. Een kwartaal duurt drie maanden De maanden van een jaar zijn in vier groepen van drie gebundeld in kwartalen:

• 1e kwartaal = januari, februari, maart (samen 90 of 91 dagen)

• 2e kwartaal = april, mei, juni (samen 91 dagen)

• 3e kwartaal = juli, augustus, september (samen 92 dagen)

• 4e kwartaal = oktober, november, december (samen 92 dagen)

In de zakenwereld worden de kwartalen vaak aangeduid met Q1, Q2, Q3 en Q4. De kwartalen hebben niet allemaal precies evenveel dagen, maar afgerond wel allemaal 13 weken. Een jaar duurt 365 of 366 dagen Een gewoon jaar duurt 365 dagen, een schrikkeljaar duurt 366 dagen. Een jaar is de tijd die de aarde nodig heeft om één keer rond de zon te draaien. Dat duurt ongeveer 365[1/4] dag. Daarom wordt elke vier jaar een schrikkeldag ingelast. Jaartallen die deelbaar door 4 zijn, zijn schrikkeljaren, behalve de hele honderdtallen die niet deelbaar zijn door 400. Dus 1900 en 2100 zijn geen schrikkeljaar. Het jaar 2000 was wél een schrikkeljaar. Een jaar bestaat uit 52 weken + 1 of 2 dagen. Hierdoor schuift je verjaardag elk jaar één dag op in de week: ben je op maandag jarig, dan is je volgende verjaardag op dinsdag of (als er een schrikkeldag tussen komt) woensdag. Data vallen weer op dezelfde weekdagen na 5, 6 of 11 jaar, afhankelijk van het aantal tussenliggende schrikkeljaren. Zeker is dat (tussen de jaren 1900 en 2100) elke 28 jaar alle data weer op dezelfde weekdagen vallen.

91

Pasen, Pinksteren en dergelijke De christelijke feestdagen Pasen, Hemelvaartsdag en Pinksteren vallen elk jaar op een andere datum, maar de onderlinge afstand is per jaar wel gelijk. Pasen valt altijd op een zondag. In sommige landen, waaronder Nederland, is de maandag na Pasen ook een feestdag (tweede paasdag) evenals de maandag na Pinksteren (tweede pinksterdag). De ieder jaar weer andere datum van Pasen wordt op een ingewikkelde manier berekend. De rekenmethode van Gauss is o.a. gebaseerd op de stand van de maan. Pasen (eerste paasdag) is nooit eerder dan 22 maart en nooit later dan 25 april. De data voor Hemelvaartsdag en Pinksteren zijn afgeleid van de paasdatum:

• Pinksteren is altijd 7 weken (49 dagen) na Pasen

• Hemelvaartsdag is op donderdag, 10 dagen vóór Pinksteren.

• De laatste dagen vóór Pasen heten Witte Donderdag, Goede Vrijdag en Stille Zaterdag.

Leeftijd: afspraken voor rekensommen Een jaar na je geboorte vier je je eerste verjaardag en word je 1 jaar. Nieuwe ouders vertellen in het begin vol trots de leeftijd van hun kind in maanden, weken en dagen. Dat is voor Beter Rekenen te veel gedoe. Bij de opgaven van Beter Rekenen mag je ervan uitgaan dat iedereen 1x per jaar jarig is. Je wordt dan bijvoorbeeld 15 jaar oud. Ook 11 maanden later ben je nog steeds 15. Dat blijft zo totdat je 16 bent. Op de dag dat je jarig bent, heb je voor Beter Rekenen de gehele dag al je nieuwe leeftijd, ook al werd je in werkelijkheid niet om 00.01 uur geboren. Als je leeftijden moet optellen, gaan we dus steeds uit van deze (omlaag afgeronde) gehele getallen. Als we iets anders verwachten, staat dat er nadrukkelijk bij. Veelvouden van een jaar

• 1 lustrum = 5 jaar

• 1 decennium = 10 jaar

• 1 eeuw = 100 jaar

• 1 millennium = 1000 jaar

Het jaar 0 bestaat niet In onze jaartelling hebben we het over het jaar .... v. Chr. (voor Christus) of het jaar .... na Chr. Tussen het jaar 1 v. Chr. en het jaar 1 na Chr. zit geen "jaar 0", maar een soort nulpunt, een moment, namelijk de geboorte van Christus.

Het plaatje laat zien dat tussen de zomer van het jaar 1 v. Chr. en de zomer van het jaar 1 na Chr. een tijdsduur van 1 jaar zit. Pas aan het eind van het jaar 1 bevond men zich 1 jaar na het nulpunt. Pas aan het eind van het jaar 2020 bevind je je 2020 jaar na het nulpunt. Bezoek voor meer informatie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/0_(jaar) De nulde eeuw bestaat niet

92

Onze westerse (Christelijke) eeuwtelling is gerelateerd aan de geboorte van Christus. De eeuwnummers worden vaak gevolgd door "voor Christus" (in het Engels: BC, Before Christ) en "na Christus". We leven nu in de 21e eeuw na Chr., of kortweg de 21e eeuw. Let op, welke jaartallen bij welke eeuw horen:

eeuw jaren

1e eeuw (na Chr.) 1 t/m 100

2e eeuw 101 t/m 200

3e eeuw 201 t/m 300

(enzovoort)

19e eeuw 1801 t/m 1900

20e eeuw 1901 t/m 2000

21e eeuw 2001 t/m 2100

22e eeuw 2101 t/m 2200

1e eeuw v.Chr. 100 t/m 1 v.Chr.

2e eeuw v.Chr. 200 t/m 101 v.Chr.

3e eeuw v.Chr. 300 t/m 201 v.Chr.

Meer over de eeuwtelling op http://nl.wikipedia.org/wiki/Eeuw. Wereldtijden Het is niet overal op de wereld even laat. Als het bij ons 3 uur 's middags is, is het in Engeland 2 uur en in Finland 4 uur. De aardbol is verdeeld in tijdzones, verticale stroken die van de Noordpool naar de Zuidpool lopen. Naar het westen toe is het in elke strook steeds een uur vroeger, naar het oosten toe steeds een uur later. In elke tijdzone staat de zon om ongeveer 12 uur 's middags op het hoogste punt. Dat klopt niet helemaal, o.a. omdat in veel landen de zomertijd is ingevoerd, maar grofweg is dat wel de vuistregel. Wil je weten of het in een land later of vroeger is, bedenk dan welke kant je op reist om daar te komen. Voor Amerika bijvoorbeeld vlieg je vanuit Nederland naar het westen. Dat is ook de richting waar de zon naartoe gaat in de loop van de dag (de zon gaat immers onder in het westen). Als het in Nederland 12.00 uur is, heeft de zon in Amerika z'n hoogste punt nog niet bereikt, want "daar moet hij nog naartoe". Dat duurt ongeveer 6 tot 8 uur, afhankelijk van de plek in Amerika. Het is daar dan zoveel uur vroeger. Meer weten over tijdzones? Kijk bijvoorbeeld op http://nl.wikipedia.org/wiki/Tijdzone. 12 of 24 uur Vooral in Engelstalige landen wordt met AM (ante meridiem) en PM (post meridiem) aangegeven of het voor of na 12:00 uur 's middags is.

• 00:00 uur = 12:00 AM = middernacht

• 01:00 uur = 1:00 AM

• 11:59 uur = 11:59 AM

• 12:00 uur = 12:00 PM = 12 uur 's middags

• 13:00 uur = 1:00 PM

• 23:59 uur = 11:59 PM

Zomertijd

93

In veel landen geldt de zomertijd. In de lente wordt de klok een uur vooruitgezet en in de herfst wordt de klok weer een uur achteruitgezet. In de EU gebeurt dit op de laatste zondag van maart (om 02.00 uur wordt het 03.00 uur) en de laatste zondag van oktober (om 03.00 uur wordt het opnieuw 02.00 uur). De zomertijd is ingevoerd in de jaren 70 van de vorige eeuw, vooral om energie te besparen. In de zomer zijn de dagen langer en komt de zon eerder op dan in de winter. Zonder zomertijd zou dat betekenen dat er al veel daglicht verspild is voordat het dagelijkse leven op gang komt. Door het dagelijkse leven een uur naar voren te halen, profiteren we ook van het vroege daglicht en hoeven we 's avonds minder lang energieverslindend kunstlicht te gebruiken. Met andere woorden: Als je in maart de klok een uur vooruit zet, haal je het dagelijks leven kunstmatig een uur naar voren. Immers, in die maartse nacht slaap je een uur korter en je staat voortaan in de 'winterse' telling een uur vroeger op. Je profiteert dan ook van het ochtendlicht waar je anders slapend aan voorbijgegaan zou zijn. Het lichte deel van het etmaal is kunstmatig een uur later op de tijdlijn gezet. Als de zon 's avonds in zomertijd ondergaat om 22.00 uur, zou het in wintertijd pas 21.00 uur geweest zijn. Mensen die volgens de klok om 23.00 uur naar bed gaan hebben dankzij de zomertijd minder lang elektrisch licht nodig dan wanneer de klok op wintertijd was zijn blijven staan. Omdat veel mensen bovenstaande theorie moeilijk vinden, zijn er allerlei ezelsbruggetjes om te onthouden wat er met de klok moet gebeuren aan het begin en eind van de zomertijd:

• Aan het begin van de zomertijd raak je een uur kwijt (de klok wordt een uur verdergezet) en dat uur krijg je aan het eind van de zomertijd weer terug.

• In het VOOR-jaar zet je de klok een uur VOOR-uit en in het najaar achteruit.

• Aan het begin van de winter mag je langer slapen, een soort winterslaapje, en om die nacht dan langer te laten duren, zet je de klok een uur terug. In het voorjaar sta je weer fris vroeg op, en om daarom maak je die nacht korter door een klok een uur vooruit te zetten.

Je vindt meer informatie over zomertijd op http://nl.wikipedia.org/wiki/Zomertijd. 'Tot' of 'tot en met'? Bij tijdstippen is de term 'tot en met' onzinnig. Tijdsaanduidingen zoals 09:00 zijn altijd tijdstippen. Ze hebben zelf geen lengte. Tussen 09:00 en 09:01 ligt 1 minuut. Als je een begin- en eindtijd aangeeft, gebruik je daarom 'tot'. Bijvoorbeeld:

• Wij zijn open van 09:00 uur tot 17:00 uur.

• De receptie duurt tot 17:00 uur.

Het is onzinnig om in bovenstaande gevallen 'tot en met 17:00 uur' te schrijven, omdat 17:00 uur een tijdstip is en geen periode die er ook nog bij hoort. Bij data en leeftijden gebruik je wel de term 'tot en met'. Je geeft dan aan dat de laatstgenoemde datum of leeftijd er ook bij hoort. Bijvoorbeeld:

• De tentoonstelling is te bezoeken van 1 maart tot en met 14 april.

• Kinderen t/m 12 jaar krijgen korting.

Hiermee geeft je nadrukkelijk aan dat de tentoonstelling ook op 14 april te bekijken is en dat kinderen van 12 jaar ook nog korting krijgen. Als je 'tot 14 april' of 'tot 12 jaar' schrijft, is dat op twee manieren te interpreteren. Het kan betekenen dat de tentoonstelling op 14 april gesloten is en dat kinderen van 12 jaar geen korting meer krijgen. De hoek tussen de wijzers van de klok

94

Een normale klok met twee wijzers heeft een grote wijzer voor de minuten en een kleine wijzer voor de uren. Je kunt daar leuke sommetjes mee maken. Wanneer staan bijvoorbeeld de wijzers op elkaar, in dezelfde richting? Om 0:00 uur en dan weer om ongeveer 5 over 1, maar niet precies 1:05 uur, want dan staat de grote wijzer op de 1, maar de kleine wijzer is daar dan al een stukje voorbij. Op veler verzoek rekenen we hier even voor wat de precieze tijdstippen zijn waarop de wijzers samenvallen: De kleine wijzer legt 1 rondje af in 12 uur. In die tijd legt de grote wijzer 12 rondjes af. Omdat ze in dezelfde richting draaien, zijn er niet 12, maar 11 tijdstippen waarop ze precies samenvallen. De afstand tussen die tijdstippen is elke keer precies 1/11 deel van 12 uur. [1/11] van 12 uur = 1 uur + [1/11] uur. [1/11] uur = [1/11] x 3600 seconden = 327,2727 seconden = 5 minuten + 27,27 seconden. De tijdstippen waarop de twee wijzers precies samenvallen zijn daarom (uren:minuten:seconden): 00:00:00, 01:05:27, 02:10:55, 03:16:22, 04:21:49, 05:27:16, 06:32:44, 07:38:11, 08:43:38, 09:49:05, 10:54:33, 12:00:00, 13:05:27, 14:10:55, 15:16:22, 16:21:49, 17:27:16, 18:32:44, 19:38:11, 20:43:38, 21:49:05, 22:54:33 De tijdstippen waarop de twee wijzers precies in elkaars verlengde staan zijn 6 uur later: 06:00:00, 07:05:27, 08:10:55, 09:16:22, 10:21:49, 11:27:16, 12:32:44, 13:38:11, 14:43:38, 15:49:05, 16:54:33, 18:00:00, 19:05:27, 20:10:55, 21:16:22, 22:21:49, 23:27:16, 00:32:44, 01:38:11, 02:43:38, 03:49:05, 04:54:33

Snelheid

Op veel Nederlandse snelwegen mag een auto 130 km/u rijden. Dat betekent dat de auto 130 kilometer aflegt in 1 uur. Een voorbeeld: Een auto rijdt van Haarlem naar Groningen, een afstand van 200 km. De auto rijdt gemiddeld 100 km/u. Hoelang duurt de autorit? Je kunt dit uitrekenen met een verhoudingstabel:

afstand 100 km 200 km

tijd 1 uur 2 uur

x 2

Veel rekensommen over snelheid werken zoals het voorbeeld hierboven. Je hebt een snelheid en een afstand. Welke tijdsduur hoort daarbij? Meestal kom je met een verhoudingstabel snel bij de juiste oplossing. Snelheid, afstand en tijd Er is een verband tussen snelheid, afstand en tijd. Als je sneller gaat, leg je in dezelfde tijd een grotere afstand af.

95

Als je sneller rijdt, leg je dezelfde afstand in minder tijd af. snelheid = afstand : tijd Immers: snelheid druk je bijvoorbeeld uit in km/u of m/s km/uur = km : uur m/s = meters : seconde snelheid = afstand : tijd Het gemiddelde van twee snelheden Als je het gemiddelde van twee snelheden moet berekenen, mag je niet zomaar de twee snelheden optellen en door 2 delen. Een voorbeeld: Als iemand een afstand van 120 km rijdt met 60 km/u, doet hij daar 2 uur over. Als hij dezelfde afstand terugrijdt met 120 km/u, doet hij daar 1 uur over. Wat is de gemiddelde snelheid? FOUT: Het ligt voor de hand om het gemiddelde van 60 en 120 te berekenen. Dat is 90. Maar het juiste antwoord is niet 90 km/u. Dit antwoord is fout, omdat de lage snelheid gedurende meer minuten gereden wordt dan de hoge snelheid. De lage snelheid heeft daardoor meer invloed op de gemiddelde snelheid. GOED: Het juiste antwoord is 80 km/u. Kijk maar: In totaal heeft hij 240 km afgelegd in 3 uur. De gemiddelde snelheid is 240 : 3 km/u = 80 km/u. Meters per seconde Snelheid wordt ook vaak uitgedrukt in meters per seconde. Vooral als het een beweging is op een korte afstand. Zo kan bijvoorbeeld een liftfabrikant zeggen dat zijn liften omhoog gaan met een snelheid van 1 m/s. Hoe snel is dat dan in km/u? Even omrekenen met een verhoudingstabel:

afstand 1 m 60 m 3600 m 3,6 km

tijd 1 sec 1 minuut 1 uur

x 60

x 60

Je ziet: 1 m/s = 3,6 km/u Trucje Er is een trucje voor het omrekenen van m/s naar km/u: Vermenigvuldig het aantal m/s met 4 en trek er dan 10% van af. Bijvoorbeeld:

• 10 m/s = ..... km/u 10 x 4 = 40 40 - 10% = 40 - 4 = 36 10 m/s = 36 km/u

Andersom, omrekenen van km/u naar m/s: Tel 1/9 deel van het aantal km/u erbij op en deel het resultaat door 4.

96

Bijvoorbeeld:

• 90 km/u = ..... m/s 90 x 1/9 = 10 90 + 10 = 100 100 : 4 = 25 90 km/u = 25 m/s

Knopen In de lucht- en scheepvaart wordt snelheid uitgedrukt in knopen (afgekort 'kt', van het Engelse 'knot'). 1 knoop = 1 zeemijl per uur 1 zeemijl = 1852 meter 1 knoop = 1,852 km/u Lichtsnelheid De snelheid van het licht (in vacuüm) is afgerond: 300.000.000 m/s (meter per seconde), oftewel 300.000 km/s, oftewel 300 km/ms (kilometer per milliseconde)

Ruimtelijke vormen

Kubus Een kubus is een blok met zes vierkante vlakken, zoals een dobbelsteen. Een kubus heeft 8 hoekpunten.

Een vouwlijn van hoek tot hoek heet een ribbe. Een kubus heeft 12 ribben: 4 rondom het ondervlak, 4 rondom het bovenvlak en 4 verticale ribben. Omdat bij een kubus alle ribben even lang zijn, kun je een kubus definiëren met de lengte van de ribben, bijvoorbeeld 'een kubus met een ribbe van 10 cm' is een kubus van 10 cm x 10 cm x 10 cm.

97

Piramide Een piramide heeft een grondvlak (basis) die bestaat uit een veelhoek.

Het grondvlak kan een driehoek of een vierkant zijn, maar bijvoorbeeld ook een onregelmatige zevenhoek.

Vanuit elke hoek van het grondvlak loopt een lijn omhoog naar telkens hetzelfde punt: de top van de piramide. Zo krijgt de piramide allemaal driehoekige zijden. Het aantal driehoekige zijden is hetzelfde als het aantal zijden van het grondvlak. Een piramide met een driehoekig grondvlak heeft 4 hoekpunten. Een piramide met een vierkant grondvlak heeft 5 hoekpunten. Een piramide met een zevenhoekig grondvlak heeft 8 hoekpunten. Een piramide met een n-hoekig grondvlak heeft n+1 hoekpunten. Alle vouwlijnen zijn ribben van de piramide. Een piramide met een driehoekig grondvlak heeft 6 ribben. Een piramide met een vierkant grondvlak heeft 8 ribben. Een piramide met een zevenhoekig grondvlak heeft 14 ribben. Een piramide met een n-hoekig grondvlak heeft 2n ribben.

Diagrammen

Vaak worden getallen in tabellen of grafieken gezet, om het allemaal wat overzichtelijker te maken. Tabellen

98

In de tabel hierboven staat van acht groepen kinderen aangegeven, hoeveel jongens en hoeveel meisjes er in die groepen zitten. Een tabel kan ook één kolom gegevens bevatten (bijvoorbeeld alleen de aantallen jongens). Staafdiagrammen

Een staafdiagram geeft met balken bepaalde waarden aan. In het voorbeeld hierboven is het de gemiddelde temperatuur in Nederland. Je ziet in een oogopslag in welk jaar het het koudst was. Voor een globaal overzicht is dit duidelijker dan een tabel. De precieze getallen staan er niet altijd bij, maar als die getallen belangrijk zijn, kan dat wel.

99

Cirkeldiagrammen

Een cirkeldiagram geeft een duidelijk beeld over een onderlinge verdeling, zoals in dit geval de deelnemersverdeling over vier leeftijdsgroepen. Je ziet in één keer welke leeftijdsgroep het minst vertegenwoordigd is. De getallen bij de segmenten zijn in dit geval echte aantallen, maar het zijn ook weleens percentages, die allemaal samen 100% opleveren. Lijngrafieken

In een lijngrafiek zie je een trend, een algemeen verloop, zoals een groeiend aantal leden of een geleidelijke verandering in een gemiddelde temperatuur. Als je in bovenstaande grafiek de waarde van het jaar 2008 wilt aflezen, kun je een verticale lijn tekenen om te zien dat de rode lijn bij het jaar 2008 ongeveer de horizontale lijn van 400.000 kruist. Je kunt ook meerdere lijnen in een grafiek zetten. In onderstaande grafiek zie je bijvoorbeeld de snelheid van een auto die optrekt en op een vaste snelheid komt (groen), een auto die continu even snel blijft rijden (blauw), een auto die steeds sneller gaat rijden (rood) en een auto die langzaam op gang komt maar steeds sneller van een heuvel af rijdt (paars). Er staan in deze gevallen niet altijd waarden langs de assen, omdat het om de vorm van de grafiek gaat.