INTRODUCTIECURSUS BASIS- WETENSCHAPPEN€¦ · Algebra 3 1.2en n-de machtswortel uit een reëel...
174
INTRODUCTIECURSUS BASIS- WETENSCHAPPEN WISKUNDE & CHEMIE FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN CAMPUS GROEP T LEUVEN
Transcript of INTRODUCTIECURSUS BASIS- WETENSCHAPPEN€¦ · Algebra 3 1.2en n-de machtswortel uit een reëel...
INTRODUCTIECURSUS
BASIS- WETENSCHAPPEN
WISKUNDE & CHEMIE
FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN
CAMPUS GROEP T LEUVEN
Inhoud
Algebra
1. Reële getallen 2
1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent 2
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal 3
1.3 Machten met rationale exponent 4
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking 5
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer 6
1.6 Logaritmen van een reëel getal 6
1.7 Oefeningen 7
2. Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x 9
2.1 Definitie 9
2.2 Nulpunt 9
2.3 Merkwaardige producten 9
2.4 Deling 10
2.5 Oefeningen 13
3. Vergelijkingen en ongelijkheden 14
3.1 Vergelijkingen in IR 14
3.2 Ongelijkheden in IR 17
3.3 Oefeningen 23
4. Absolute waarde van een reëel getal 25
4.1 Definitie 25
4.2 Eigenschap 26
4.3 Bewerkingen 26
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens 26
4.5 Oefeningen 28
5. Matrices en determinanten 29
5.1 Matrices 29
5.2 Determinanten 34
5.3 Oefeningen 38
6. Stelsels 40
6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden 40
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende 42
6.3 Oefeningen 43
Analytische meetkunde
1. Vectoren en rechten 2
1.1 Vectoren 2
1.2 Rechten 3
1.3 Evenwijdige rechten 6
1.4 Het Euclidisch vectorvlak 7
1.5 Hoeken 8
1.6 Loodrechte stand van 2 rechten 9
1.7 Afstand van een punt tot een rechte 10
1.8 Oefeningen 11
2. Kegelsneden 16
2.1 Inleiding 16
2.2 De cirkel 16
2.3 De parabool 17
2.4 Oefeningen 19
Analyse
1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties 2
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen: I R 2
3. Continuïteit van een functie in IR 4
3.1 Voorbeelden 4
3.2 ε − δ - definitie 5
4. Limiet van een functie in IR 5
4.1 Voorbeelden 5
4.2 ε − δ - definitie 7
4.3 Algemene stellingen 8
4.4 Onbepaaldheden 8
4.5 Opgaven 11 5. Afgeleiden 14
5.1 Afgeleide van een functie in een punt x0 , y0( ) 14
5.2 Linker- en rechterafgeleide 15
5.3 Verticale raaklijn 16
5.4 Regels voor de berekening van de afgeleide functies 16
5.5 Opgaven 17
6. Onbepaalde integraal 20
6.1 Primitieve functies 20
6.2 Onbepaalde integraal 21
6.3 Eigenschappen 21
6.4 Fundamentele integralen 21
6.5 Substitutiemethode 21
6.6 Opgaven 22
6.7 Partiële integratie 25
6.8 Opgaven 25
7. Bepaalde integraal 26
7.1 Grondstelling 26
7.2 Integratiemethoden 26
7.3 Opgaven 28
Goniometrie
1. Hoeken 2
1.1 De goniometrische cirkel 2
1.2 Georiënteerde hoeken 2
1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd 3
2. De goniometrische getallen 4
2.1 Definities 4
2.2 Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen 5
2.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen 5
2.4 Hoofdformule en afgeleide formules 6
2.5 Voorbeelden 6
2.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken 7
2.7 Oefeningen 9
3. De goniometrische functies 11
3.1 Periodieke functies 11
3.2 Even en oneven functies 11
3.3 Sinusfunctie 11
3.4 Cosinusfunctie 12
3.5 Tangensfunctie 12
3.6 Cotangensfunctie 12
3.7 De secansfunctie 13
3.8 De cosecansfunctie 13
3.9 Oefeningen 14
4. Rechthoekige driehoeken 15
4.1 Formules 15
4.2 Oefeningen 16
5. Willekeurige driehoeken 18
5.1 De sinusregel 18
5.2 De cosinusregel 18
5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek 19
5.4 Oefeningen 20
6. Aanvullingen 22
6.1 Speciale lijnen in een driehoek 22
6.2 Gelijkbenige driehoeken 22
6.3 Gelijkzijdige driehoeken 23
6.4 Buitenhoeken 24
7. Goniometrisch rekenen 25
7.1 Som- en verschilformules 25
7.2 Verdubbelingsformules 26
7.3 Halveringsformules 26
7.4 Goniometrische getallen in functie van tan α/2 26
7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd 27
7.6 Oefeningen 28
Chemie
1. Inleiding 2
1. Praktische informatie 2
2. Chemie en chemische technologie 2
3. Materia 2
2. Het atoom 4
1. Atomen en materie 4
2. De bouw van het atoom 4
3. Isotopen 5
4. Voorstelling van een atoom 6
5. Atoommassa 7
6. Het begrip mol 8
7. Molaire massa 9
8. De periodieke tabel 10
9. De elektronenstructuur van atomen 10
10. Ionen 11
11. Oefeningen 12
3. De molecule 14
1. Inleiding 14
2. De chemische binding 14
3. De molecuulformule 17
4. Moleculen en ionen 17
5. Molecuulmassa 17
6. Molaire massa van een molecule 18
7. De oxidatietoestand van een atoom in een molecule 18
8. Oefeningen 19
4. Soorten verbindingen en naamgeving 21
1. Classificatie van chemische verbindingen 21
2. Soorten chemische verbindingen 21
3. Oefeningen 28
5. Het gedrag van verbindingen 29
1. Inleiding 29
2. Water 29
3. Oplosbaarheid 29
4. Elektrolytgedrag 30
6. Chemische reacties 32
1. Definitie 32
2. Wet van behoud van materie 32
3. De reactievergelijking 32
4. Soorten chemische reacties 33
5. Oefeningen 38
Algebra
Dr. Caroline Danneels
_____________________________________________________________________________
Algebra 2
1 Reële getallen
1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent
n0
00
a IR en n IN : a a.a....a (n factoren)
a IR : a 1
∀ ∈ ∀ ∈ =
∀ ∈ =
( ) ( )1
10
1 a IR en n IN :
nn n
na a a
a
−− −∀ ∈ ∀ ∈ = = =
Eigenschappen:a, b ∈ IR en m, n ∈ �
m n m na a a +⋅ =
mm n
n
aa
a
−=
( )n n nab a b= ⋅
n n
n
a a
b b
=
( )n
m m na a ⋅=
Voorbeeld:
( ) ( )
3 22 4 3 3
5
5 2
2
a a ab aab
bb
a
− −−
− −
⋅ ⋅ =
Tekenregel:
als n even is, dan is ( )n na a− =
als n oneven is, dan is ( )n na a− = −
_____________________________________________________________________________
Algebra 3
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal
Een n-de n ∈ IN0( ) machtswortel uit een reëel getal a is elk reëel getal x waarvan de n-de macht
gelijk is aan het gegeven getal.
of n0 x, a IR, n IN : x is de n-de machtswortel uit a x a∀ ∈ ∀ ∈ ⇔ =
Is n oneven en a ∈ IR dan heeft a in IR één n-de machtswortel, genoteerd als: an
Voorbeelden:
83 = 2 want 2
3 =8
−83 = −2 want −2( )3= −8
Is n even en :
a ∈ IR0
+ dan heeft a in IR twee n-de machtswortels die elkaars tegenge-
stelde zijn en genoteerd worden als an
en− an
.
We maken hier de afspraak dat an
een positief geheel getal
voorstelt; zo is 164
= 2 > 0.
Voorbeeld: 4 heeft 2 vierkantswortels 4 = 2 en − 4 = −2
a = 0 dan heeft a in IR één n-de machtswortel nl. 0
a ∈ IR0
− dan heeft a in IR geen n-de machtswortel.
Afspraak:
n na a=
n n
a a− = −
We beperken ons nu tot de vorm an
waar a ∈ IR+, wat niet schaadt aan de algemeenheid van
de regels, want alsa < 0 en n even dan bestaat a
n niet
a < 0 en n oneven dan schrijven we an
als - an met a ∈ IR+
_____________________________________________________________________________
Algebra 4
1.3 Machten met rationale exponent
Definitie: 0 0 a IR , m , n IN :
m
n mna a+∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =�
Toepassingen:
1.
1
nna a=
2. 1
m
n
n ma
a
−=
3.
mp mnp nmp mnp na a a a= = =
Rekenregels: +0 a, b IR en q, q' :∀ ∈ ∀ ∈ �
' 'q q q qa a a
+⋅ =
'
'
qq q
q
aa
a
−=
( )q q qab a b= ⋅
q q
q
a a
b b
=
( )'
'q
q q qa a ⋅=
_____________________________________________________________________________
Algebra 5
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking
1.4.1 Vermenigvuldiging en deling
+0 a, b IR , n IN : n n nab a b∀ ∈ ∀ ∈ =
+ +0 0 a IR , b IR ; n IN :
n
nn
a a
b b∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =
Voorbeelden:
44 48 2 16 2= =
4 123 9
12 5
3 12 4
a aa
a a= =
1.4.2 Machtsverheffing en worteltrekking
( )+ n0 a IR , n IN , m IN: a
m n ma∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =
+0 a IR ; m,n IN : m nn mn ma a a∀ ∈ ∀ ∈ = =
Voorbeelden:
( )23 2 238 8 2 4= = =
3 38 8 2= =
1.4.3 Optelling en aftrekking
( )+ n0 a IR , n IR , p, q, r IR : a n n np q a r a p q r a∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ + − = + −
Voorbeeld:
243
+ 5 33 − 81
3 = 2 33 + 5 3
3 −3 33 = 4 3
3
_____________________________________________________________________________
Algebra 6
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer
a a b
bb=
1 a b
a ba b=
−±
∓
3 32 23
3 3
1 a ab b
a ba b
+=
±±
∓
1.6 Logaritmen van een reëel getal
Laat a het grondtal van een logaritmenstelsel zijn a > 0, a ≠1( ), x ∈ IR0
+, y ∈ IR dan
y = loga x ⇔ x = ay
We noemen y de logaritme van x t.o.v. het grondtal a ( of met basis a).
Benamingen:
• Indien a = e (getal van Euler), dan spreken we van natuurlijke logaritme, notatie ln x.
ln 1 = 0 ln e = 1
• Indien a = 10, dan spreken we van de Briggse logaritme, notatie log x.
log 1 = 0 log 10 = 1
Eigenschappen:
1. loga bewaart de orde als a > 1 en keert de orde om als 0 < a < 1
2. loga a =1 loga 1= 0
Bewerkingen:
∀x,y ∈IR0
+:loga xy = loga x + loga y
∀ x, y ∈ IR0
+: loga
x
y= loga x − loga y
∀ x ∈ IR0
+: loga x
−1( )= − loga x
∀ x ∈ IR0+; ∀ z ∈ : loga x
z( )= z . loga x
∀x ∈IR0
+; ∀ n ∈IN0: loga x
n=
1
n. loga x
_____________________________________________________________________________
Algebra 7
( )( ) ( )
27 2 3 4
3 210 3 19
a a b c
abc b c
−
−
2 4( 25 ) a, b IRa b− − ∈
1.7 Oefeningen
1.7.1 Vereenvoudig ( +0a,b,c IR∈ )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.7.2 Bereken
1. 3 4 3 128a b
2. a a a
3. 4 4
3
4
2
a
a
4. 3
3 2
5 30
5 60
a
a a×
5. 1,54
6.
32 4
3a
−
( ) ( )
3 2
2 2
2 3
2 2
− −
−
+
− + −
( ) ( )
( ) ( )( )
3 23 4
64 4 2
2 4
2
a b a
a a ab
− −
− − −
1 22
n n n na b
+ +
4 5
46 8
32
81
a b
c d
9 16
6opl.:
b c
a
1opl.:
18
3
2opl.:
a
2opl.:2
nab ab
42 2
2 2opl.:
3
ab b
cd c
4opl.: 2b a
8 7opl.: a
6 4opl.: 2a
63
opl.:2a
opl.:8
1
2opl.:a−
_____________________________________________________________________________
Algebra 8
1.7.3 Maak de noemer wortelvrij
1. 1
a − b
2. 3 + 5
5 −1
3. 1
3 + 7
1.7.4 Bereken, ook als de basis a niet gegeven is
1. 3 log 4
log 2
a
a
⋅
2. 35 25 5 1
log log 3log log36 21 6 2
a a a a+ − +
opl.: 6
opl.: 0
_____________________________________________________________________________
Algebra 9
2 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x
2.1 Definitie
an xn + a n−1x
n −1 + . .. + a1x + a 0 met 1 1 0, ,...., ,
, 0
n n
n
a a a a IR
n IN a
− ∈
∈ ≠ is een veelterm van de graad n in x,
notatie V(x).
2.2 Nulpunt
a ∈ IR is een nulpunt van de geassocieerde veeltermfunctie f: IR → IR: x → V(x) als de
getalwaarde van deze veelterm in a gelijk is aan nul.
In symbolen: a is een nulpunt van V(x) ⇔ V(a) = 0.
Voorbeeld:
−1
2 is een nulpunt van V(x) = 6x
3 − 7x2 − 7x − 1
want 3 2
1 1 1 16 7 7 1 0
2 2 2 2V
− = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − =
2.3 Merkwaardige producten
A, B en C stellen veeltermen voor.
A + B( ) A −B( ) = A2 − B
2
A + B( )2= A
2 + 2AB + B2
A − B( )2= A
2 − 2AB + B2
A + B+ C( )2
= A2 + B
2 + C2 + 2AB+ 2BC + 2AC
A + B( )3
= A3 + 3A
2B+ 3AB
2 + B3
A − B( )3
= A3 −3A
2B+ 3AB
2 − B3
A3 − B
3 = A − B( ) A2 + AB+ B
2( )
A3 + B
3 = A+ B( ) A2 − AB+ B
2( )
_____________________________________________________________________________
Algebra 10
2.4 Deling
Bij twee gegeven veeltermen A(x) en B(x) ( )B(x) 0, graad A(x) graad B(x)≠ ≥ bestaat juist
één veelterm Q(x) en juist één veelterm R(x), waarvoor A(x) = B(x)Q(x) + R(x) en
graad R(x) < graad B(x).
2.4.1 Werkwijze
A(x)(Deeltal) B(x)(Deler)
_______________
Q(x)(Quotiënt)
______
R(x)(Rest)
Als R(x) = 0 spreekt men van een opgaande deling.
Voorbeeld:
6x4 - 2x3 + 9x2 - 2x - 2 x2 + 2
-6x4 - 12x2 _______________
_________________ 6x2 - 2x - 3
- 2x3 - 3x2 - 2x - 2
2x3 + 4x
_____________________
- 3x2 + 2x - 2
3x2 + 6
_______________
2x + 4
_____________________________________________________________________________
Algebra 11
2.4.2 Deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-d met d ∈∈∈∈IR:
regel van Horner
Voorbeeld: 4x3 − 5x + 6( ): x + 2( )
4 0 − 5 6
− 2 − 8 16 − 22
4 − 8 11 − 16
Q(x) = 4 x² - 8x + 11
R(x) = - 16
2.4.3 Deelbaarheid door x-d met d ∈∈∈∈IR
2.4.3.1 Reststelling
De rest van de deling van V(x) door x - d is gelijk aan de getalwaarde V(d).
Gevolg: V(x) is deelbaar door x-d ⇔ R = V d( ) = 0
Voorbeelden:
V x( ) = 3x2 −5x + 7 is niet deelbaar door x −2 want V 2( ) = 9 ≠ 0
V x( ) = 2x3 + 3x
2 − 5x +12 is deelbaar door x + 3 want V −3( ) = 0
2.4.3.2 Ontbinding in factoren van veeltermen
Indien een veelterm in x deelbaar is door x - d geldt dat a0 = -d.q0. Indien V(x) een veelterm is
met gehele coëfficiënten is d bijgevolg een gehele deler van a0 (let op: dit is een nodige
voorwaarde, geen voldoende voorwaarde!)
Om een veelterm met gehele coëfficiënten te ontbinden zoek je eerst de eventuele delers van de
vorm x – d met d ∈ � . Ga als volgt te werk:
1. zoek de gehele delers van a0
2. controleer voor welke delers de functiewaarde van V(x) 0 is.
3. vervolgens, indien zo een deler van a0 wordt gevonden, wordt het quotiënt berekend met de
regel van Horner. Zo ga je verder tot de veelterm maximaal ontbonden is.
_____________________________________________________________________________
Algebra 12
Voorbeeld:
Ontbind x3 − 4x
2 −17x + 60
Oplossing: We berekenen de functiewaarde van de corresponderende veeltermfunctie V(x) voor
de opeenvolgende delers van 60:
f 1( ) = 40 ≠ 0
f −1( ) = 72 ≠ 0
f 2( ) =18 ≠ 0
f −2( ) = 70 ≠ 0
f 3( ) = 0
De gegeven veelterm is dus deelbaar door x - 3.
Het quotiënt berekenen we met de regel van Horner.
1 − 4 − 17 60
d = 3 3 − 3 − 60
1 − 1 − 20 0
We vinden x3 − 4x
2 −17x + 60 = x − 3( ) x2 − x − 20( )
We onderzoeken nu de deelbaarheid van x2 −x −20 door x-d, waarbij d een deler van 20 moet
zijn die in absolute waarde ten minste 3 is. We vinden V(-4) = 0.
Bijgevolg is x2 −x −20 = x + 4( ) x −5( )
en dus is x3 − 4x
2 −17x + 60 = x − 3( ) x + 4( ) x − 5( )
2.4.3.3 Coëfficiëntenregels
1. Een veelterm van graad n is deelbaar door x-1 als de som van de coëfficiënten (inclusief de
constante term) gelijk is aan nul.
Voorbeeld:
x5 − 2x
3 + 2x2 −1 is deelbaar door x −1( ) (controleer!)
2. Als de som van de coëfficiënten die bij de oneven machten van x staan gelijk is aan de som
van de coëfficiënten die bij de even machten van x staan (inclusief de konstante term), dan
is de veelterm deelbaar door (x + 1).
Voorbeeld:
x5 + x
4 − x3 + x
2 − x − 3 is deelbaar door x +1( ) (controleer!)
_____________________________________________________________________________
Algebra 13
2.5 Oefeningen
Werk uit (werk zo efficiënt mogelijk):
1. ( )( )( )22 2 4x x x+ − + 4opl.: 16x −
2. ( )( )23 2 9 6 4x x x+ − +
3opl.: 27 8x +
3. ( ) ( )4 3 29 1 : 1x x x x+ + − + + 2opl.: -9 -10 -19, 29 20Q x x R x= = +
4. ( ) ( )2 320 7 3 2 : 3 met Hornerx x x x− + − −
2opl.: -7 , 2Q x x R= − = −
5. ( ) ( )3 28 -20x +2x-2 : 2x-1 met Hornerx 2opl.: 4 8 3, 5Q x x R= − − = −
6. Voor welke n ∈ IR is 3 23 2 5 10x nx nx+ − + deelbaar door x + 1 ? Bepaal daarna, voor de
gevonden n, het quotiënt.
2opl.: 1, 3 5 10n Q x x= − = − +
7. Ontbind in factoren: 4 3 28 20 18 7 1x x x x− + − + ( )( )3opl.: x-1 2 1x −
_____________________________________________________________________________
Algebra 14
3 Vergelijkingen en ongelijkheden
3.1 Vergelijkingen in IR
3.1.1 Definitie
Een vergelijking is een uitspraakvorm van de gedaante A = B. Hierbij zijn A en B twee
uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke (de onbekende genoemd) bevat.
3.1.2 Oplossen van vergelijkingen
Een vergelijking in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm
een ware uitspraak wordt.
Voorbeeld:
opl 7x2 − 2 = 5x( ) = 1, −
2
7
Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.
Voorbeeld:
( )9
4 3 0 34
x x
+ = ⇔ − =
want 9 3
opl(4 3 0) opl 34 4
x x
+ = = − = = −
Stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen:
5. A = B( ) ⇔ A + C = B + C( ) de overbrengingsregel.
6. A = B( ) ⇔ mA = mB( ) met m ∈ IR0
7. Is V de oplossingsverzameling van A.B.C = 0; V1, V2 en V3 de oplossingenverzameling
resp. van A=0, B=0, C=0 dan is V = V1 ∪ V2 ∪ V3
8. A.C = B.C( ) ⇔ A = B∨ C = 0( )
_____________________________________________________________________________
Algebra 15
Belangrijke gevolgen:
a) neemt men A = B⇒ A.C.= B.C dan loopt men gevaar oplossingen in te voeren.
Voorbeeld:x2
x − 2+1 =
4
x − 2+ 2x
⇒ x2 + x − 2( )= 4 + 2x x − 2( )
⇔ x2 − 5x + 6 = 0
⇔ x − 3( ) x − 2( ) = 0
⇔ x = 3 ∨ x = 2( )
↓
ingevoerd
dus los op als volgt:
⇔ x2 + x − 2( )= 4 + 2x x − 2( ) ∧ x ≠ 2
⇔ x = 3
dus opl = 3{ }
Onthoud: voor we een noemer verdrijven die de onbekende bevat, moeten we vooraf als
voorwaarde stellen dat deze noemer verschilt van nul.
b) Neemt men A.C = B.C⇒ A = B dan loopt men gevaar oplossingen te verduisteren.
Voorbeeld: x −1( ) x + 2( )= 3x + 2( ) x + 2( )⇔ x −1 = 3x + 2
⇔ 2x + 3 = 0
⇔ x = −3
2: 1 oplossing verloren
dus los op als volgt:
⇔ x + 2( ) 2x + 3( ) = 0
⇔ x + 2 = 0 ∨ 2x + 3 = 0
⇔ x = −2 ∨ x = −3
2
dus opl = −3
2, − 2
_____________________________________________________________________________
Algebra 16
3.1.3 Bespreking van de lineaire vergelijking ax+b = 0; a,b ∈∈∈∈ IR
(a en b hangen af van een parameter)
1. a ≠ 0 ax + b = 0 ⇔ x = −b
a= enige oplossing( ) eigenlijke oplossing( )
2. a = 0 0x + b = 0 ⇔ 0x = −b
als b ≠ 0 dan is opl = ∅ een valse vergelijking( )
als b = 0 dan is opl = IR een identieke vergelijking( )
Voorbeeld: px − m2 = 3x − 9 p en m parameters; p, m ∈ IR
2 (p - 3)x = m - 9⇔
1. p ≠ 3 x =m2 − 9
p − 3
2. p = 3 0x = m2 −9
als m = 3 m = -3 dan is 0x = 0 opl = IR
als m 3 m -3 dan is opl =
∨ ⇒
≠ ∧ ≠ ∅
3.1.4 Oplossen van de tweedegraadsvergelijking in 1 onbekende
Standaardvorm ax2 + bx + c = 0 met a ∈ IR0; b,c ∈ IR
De discriminant opzoeken ∆ = b2 − 4ac
Als
1 2
> 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 wortels
x en x 2 2
= 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 wortels
b b
a a
∆
− − ∆ − + ∆= =
∆
twee verschillende
twee gelijke
1 2
-b x = x =
2a
< 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 wortels
∆ geen reële
_____________________________________________________________________________
Algebra 17
Is b een even getal dan kan men gebruik maken van de vereenvoudigde formules. Als b = 2b'
dan is ∆ = 4b'2 − 4ac = 4 b'
2 − ac( )= 4∆' en ∆' wordt de vereenvoudigde discriminant genoemd.
De wortels zijn dan x1 =−b' − ∆ '
a, x2 =
−b' + ∆ '
a
3.2 Ongelijkheden in IR
3.2.1 Definitie
Een ongelijkheid is een uitspraakvorm van de gedaante A < B (of A ≤ B, A > B, A ≥ B). Hierbij
zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke bevat.
3.2.2 Oplossen van ongelijkheden
Een ongelijkheid in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm
een ware uitspraak wordt.
Voorbeeld: opl 2x x −1( ) > 0( )= −∞, 0] [ ∪ 1, +∞] [
Twee ongelijkheden zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.
Stellingen over gelijkwaardige ongelijkheden.
1. A < B( ) ⇔ A + C < B + C( )
2. A < B( ) ⇔mA < mB als m ∈ IR0
+
mA > mB als m ∈ IR0
-
In een ongelijkheid verdrijven we de onbekende nooit uit de noemer.
_____________________________________________________________________________
Algebra 18
3.2.3 Bespreking van de lineaire ongelijkheid ax + b > 0; a,b ∈∈∈∈IR
(a en b hangen af van een parameter)
ax + b > 0 ⇔ ax > - b
1. a > 0 ax > −b ⇔ x > −b
aopl = x ∈ IR x > −
b
a
2. a < 0 ax > −b ⇔ x < −b
aopl = x ∈ IR x < −
b
a
3. a = 0 ax > −b ⇔ 0x > −b isb > 0 opl = IR
b ≤ 0 opl = ∅
Voorbeeld:
px − 2m + 3 < 2x − p p, m ∈IR( )
⇔ p − 2( )x < 2m − p − 3
Bespreking:
1. p > 2 opl = x ∈ IR x <2m − p − 3
p − 2
2. p < 2 opl = x ∈ IR x >2m − p − 3
p − 2
3. p = 2 0x < 2m −5a) 2m − 5 > 0 opl = IR
b) 2m −5 ≤ 0 opl = ∅
_____________________________________________________________________________
Algebra 19
3.2.4 Oplossen van kwadratische ongelijkheden in 1 onbekende
ax2 + bx + c ≥ 0 met a ∈ IR0 ; b,c ∈ IR
We onderzoeken eerst het teken van het linkerlid en leiden daaruit de gepaste intervallen af
waartoe x moet behoren. Daartoe bespreken we de grafiek van de functie y = ax2 + bx + c . Deze
stelt een parabool voor met as van symmetrie // y-as.
De snijpunten van de parabool met y-as worden verkregen door het stelsel: y = ax2 + bx + c
x = 0
op
te lossen. Oplossing S( ) = 0,c( ){ }
De snijpunten met de x-as door y = ax2 + bx + c
y = 0
op te lossen:
∆ > 0 de parabool snijdt de x-as in de punten
−b − ∆
2a, 0
en
−b + ∆
2a, 0
∆ = 0 de parabool raakt de x-as in −b
2a,0
∆ < 0 de parabool snijdt of raakt de x-as niet.
Verder weten we dat als a > 0, de parabool met haar holle zijde naar boven gericht ligt en als
a < 0 de holle zijde naar onder gericht ligt.
_____________________________________________________________________________
Algebra 20
Samenvatting:
a > 0
a < 0
D > 0 D = 0 D < 0
x x
1 2
x = x 1 2
x = x 1 2
x x 1 2
Uit deze tabel leiden we gemakkelijk het tekenverloop van y = ax2 + bx + c af:
x x1 x 2
teken van
ax2 + bx + c
teken van a 0 tegengesteld
teken van a
0 teken van a
1. Als a > 0 ⇒ 21 2opl(ax + bx + c 0) ] , ] [ , [x x≥ = − ∞ ∪ +∞
2. Als a < 0 ⇒ 21 2opl(ax + bx + c³ 0) [ , ]x x≥ =
Voorbeeld: x2 −2x − 3 ≤ 0
⇒ nulpunten zijn –1 , 3
⇒ tekenonderzoek:
x x1 x 2 2 2 3x x− − + 0 - 0 +
⇒ Opl = [-1,3]
_____________________________________________________________________________
Algebra 21
3.2.5 Oplossen van gebroken ongelijkheden
Voorbeeld 1: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotient van lineaire factoren.
f x( ) =x 1− x( ) x + 3( )3
3 − x( )22x + 3( )
> 0
⇒ tekenonderzoek:
x - 3 −3
2 0 1 3
x - - - - - 0 + + + + +
1 - x + + + + + + + 0 - - -
x + 3( )3 - 0 + + + + + + + + +
3 −x( )2 + + + + + + + + + 0 +
2x + 3( ) - - - 0 + + + + + + +
f x( ) - 0 + - 0 + 0 - -
⇒ ( ) ] [3opl f(x)>0 3, 0,1
2
= − − ∪
Voorbeeld 2: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotiënt van lineaire en
kwadratische factoren.
f x( ) =x −1( ) 2x2 + x +1( )
x2 + x − 6
≤ 0
⇒ nulpunten teller: 1; nulpunten noemer: -3, 2
⇒ tekenonderzoek:
x -3 1 2
x −1 - - - 0 + + +
2x2 + x +1 + + + + + + +
x2 + x − 6
+ 0 - - - 0 +
f x( ) - + 0 - +
⇒ ] [ ] [opl(f(x) 0) , 3 1,2≤ = −∞ − ∪
Voorbeeld 3: Tekenonderzoek van een product of een quotiënt van veeltermen.
_____________________________________________________________________________
Algebra 22
f x( ) =−x4 + x3 − x +1
x3 + x
2 + x< 0
⇒ ontbinden⇒x −1( ) x +1( ) − x2 + x −1( )
x x2 + x +1( )
⇒ tekenonderzoek:
x - 1 0 1
x −1 - - - - - 0 +
x +1 - 0 + + + + +
x - - - 0 + + +
− x2 + x −1 - - - - - - -
x2 + x +1 + + + + + + +
f x( ) + 0 - + 0 -
⇒ ] [ ] [opl(f(x) < 0) = -1,0 1,∪ +∞
Voorbeeld 4:
x + 2
x +1≤
x + 3
x −1 ⇔
x + 2
x +1−
x + 3
x −1≤ 0
⇔−3x − 5
x +1( ) x −1( )≤ 0
⇒ tekenonderzoek:
x −5
3 -1 1
- 3x - 5 + 0 - - - - -
x + 1 - - - 0 + + +
x - 1 - - - - - 0 +
f (x) + 0 - + -
] [5opl(f(x) 0) = - , 1 1,
3
⇒ ≤ − ∪ − +∞
_____________________________________________________________________________
Algebra 23
3.3 Oefeningen
3.3.1 Los op
1. ( )( ) ( )( )5 3 7 5 5 3x x x x− + = − + { }opl.: 2,5
2. ( )25 9 0x − − = { }opl.: 2,8
3. 2
6 1 2
3 1 3x x x x− =
− −
opl.: ∅
4. 1 1 2
2 2 3x x+ =
− + { }opl.: -1,4
5. ( )
12 2 3 120
3 1 2 5 1 3
x x
x x
−= −
− −
17opl.: 3,
6
6. 2 7 3(11 ) 8 0x x ax a+ + − + = als a ∈ � en er
2 gelijke wortels zijn
opl.: -1, -5a x= =
7. 3 3
4 32 5
xx − > −
24opl.:
25x >
8. 4 3 1 5
5 8 2
x x x− + −− >
71opl.:
7x > −
9. 3x +1( )3x + 2( )
<2x
2x −3 2 3 3
opl.: , ,3 11 2
− − ∪ +∞
10. 1
x −1+
2
x − 2≤
3
x −3 ] [ [ [ ] [opl.: , 1 1,2 3,−∞ − ∪ ∪ +∞
11. ( )( )( )2 22 2 3 1 2 0x x x x x− + − − − > ] [3opl.: , 1, 2
2
−∞ − ∪
12. 1 1
1 1
x x
x x
− +<
+ − ] [ ] [opl.: 1,0 1,− ∪ +∞
3.3.2 Los op en bespreek
1. m2x −2 = 4x − m
2. x
p + m+
x
p − m−2 = 0
_____________________________________________________________________________
Algebra 24
3. ( )2p p x 2x mp 2− = − −
4. mx - 1 x + m≤
5. 2x + 4 > mx + 8
6. m2
x − 4( ) < 4 − x
7. px − 5m2 + 2m < mx − mp
_____________________________________________________________________________
Algebra 25
4 Absolute waarde van een reëel getal
4.1 Definitie
De absolute waarde (of modulus) x van een reëel getal x definiëren we als volgt:
∀ x ∈ IR :
x = x als x ≥ 0
= − x als x ≤ 0
Merk op: 1) voor elk van 0 verschillend reëel getal is één van de 2 delen van de definitie van toepassing. Alleen voor 0 zijn beide delen toe te passen maar ze leveren hetzelfde resultaat want 0 = − 0
2) x ∈ IR+
Grafiek:
Men bekomt de grafiek van y = x door het deel van de grafiek van y = x dat onder de x-as ligt
te spiegelen rond de x-as.
_____________________________________________________________________________
Algebra 26
4.2 Eigenschap
∀x ∈ IR, ∀a ∈ IR+: x ≤ a
�
− a ≤ x ≤ a
4.3 Bewerkingen
∀x,y ∈IR: xy = x. y
x−1 = x
−1,x ≠ 0
⇓
x
y=
x
y,y ≠ 0
x + y ≤ x + y
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens
Gegeven: f x( ) = x − 3
Gevraagd: schets de grafiek van f
Oplossing:
Methode 1: uitgaande van de definitie van f zonder modulusstrepen
f x( ) == x − 3 als x − 3 ≥ 0
= − x − 3( ) als x − 3 ≤ 0
f x( ) = x − 3 als x ≥ 3 1( )
= 3 − x als x ≤ 3 2( )
(1) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (4, 1)
(2) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (2, 1)
_____________________________________________________________________________
Algebra 27
Methode 2: uitgaande van de grafiek van y = x - 3
• y = x - 3 wordt voorgesteld door een rechte (0, - 3), (3, 0)
• om de grafiek van y = x − 3 te vinden, spiegelen we het deel van de grafiek van y = x - 3
dat onder de x-as ligt, rond de x-as.
_____________________________________________________________________________
Algebra 28
4.5 Oefeningen
Teken de volgende grafieken in een rechthoekig assenkruis:
1. 2 1y x= +
2. 2 3 4y x= + +
3. 24y x= −
4. 23 4 1y x x= − + +
5. 29 9y x= − +
6. 2 2y x x= − + +
7. 21 4y x x= − − −
_____________________________________________________________________________
Algebra 29
5 Matrices en determinanten
5.1 Matrices
5.1.1 Definitie
Een m x n matrix A is een rechthoekige tabel van m×n reële (of complexe) getallen, bestaande
uit m rijen en n kolommen.
Algemeen:
( )
11 12 13 1n
ij 21 22 23 2n
mxn
m1 m2 m3 mn
a a a ... a
a a a a ... a=
... ... ... ... ...A
a a a ... a
De elementen a ij worden voorzien van dubbele indices. De eerste index wijst het rangnummer
van de rij van het beschouwd element aan, de tweede het rangnummer van de kolom. Aldus
staat a23 op de tweede rij en in de derde kolom.
De verzameling van alle m×n matrices wordt voorgesteld door IRm x n
of door Cm x n
al
naargelang de elementen a ij reële of complexe getallen zijn. m en n worden de dimensies van de
matrix genoemd.
5.1.2 Gelijke matrices
Twee matrices A en B heten gelijk als en slechts als:
• ze gelijke dimensies hebben,
• hun gelijkstandige elementen gelijk zijn.
A = a ij( )en B = b ij( ) dan is A = B ⇔ a ij = b ij meti = 1, 2, 3, .. .m
j = 1, 2, 3, . ..n
a ij( )= b ij( )⇔ a ij = bij
_____________________________________________________________________________
Algebra 30
5.1.3 Optelling van matrices met gelijke dimensies
Gelijkstandige elementen worden opgeteld.
a ij( )+ bij( )= a ij + b ij( )
Voorbeeld:
2 4 6 1 4 0 2 1 4 4 6 0 3 8 6
3 5 7 0 2 3 3 0 5 2 7 3 3 7 4
+ + + + = = − + + −
Eigenschappen:
1. een inwendige bewerking A, B ∈ IRm x n
: A + B ∈ IRm x n
2. commutativiteit: A + B = B + A
3. associativiteit: (A + B) + C = A + (B + C)
4. de nulmatrix 0 alle a ij = 0( ) is neutraal element. A + 0 = A
5. bij iedere matrix A = a ij( ) hoort een tegengestelde matrix −A = −a ij( )
mxnIR ,+ is een commutatieve groep
5.1.4 Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix
∀ r ∈ IR: r a ij( )= r.a ij( )
Het reëel getal wordt scalair genoemd en de bewerking heet scalaire vermenigvuldiging.
Voorbeeld:
1 0 3 0
3 2 3 6 9
0 1 0 3
= − −
_____________________________________________________________________________
Algebra 31
Eigenschappen:
1. inwendige bewerking: ∀ r ∈ IR,∀A ∈ IRm x n
: r A ∈ IRm x n
2. de scalair 1 is neutraal element: ∀A ∈ IRm x n
:1.A = A
3. associativiteit: ∀ r, s ∈ IR, ∀A ∈ IRm x n
: rs( )A = r sA( )
4. distributiviteit t.o.v. de optelling in IRm x n
: r A + B( ) = rA + rB
5. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR : r + s( )A = rA + sA
Bovendien is IRm x n
, + een communatieve groep;
Besluit: mxnIR, IR ,+ is een reële vectorruimte
5.1.5 Getransponeerde matrix
Schrijft men de rijen van een matrix A als kolommen, zonder de volgorde van die rijen of van
de elementen in iedere rij te wijzigen, dan ontstaat de getransponeerde matrix AT van A. De
overgang van de ene naar de andere matrix heet transpositie.
Merk op: als A ∈IRm x n ⇒ A
T ∈IRn x m
11 12 1n 11 21 m1
21 22 2n 12 22 m2T
m1 m2 mn 1n 2n mn
a a ... a a a ... a
a a ... a a a ... aA= A =
... ... ... ... ... ... ... ...
a a ... a a a ... a
5.1.6 Matrixvermenigvuldiging
Zij ( )ijA a= een m×p-matrix en ( )ijB b= een p×n-matrix, dan is het product van A en B een
m×n-matrix ( )ijC c= waarbij
1 1 2 2
1
... , 1... , 1...p
ij i j i j ip pj ik kj
k
c a b a b a b a b i m j n=
= + + + = = =∑ .
Opgelet: een matrix product A.B bestaat dus dan en alleen dan, als het aantal rijen van B gelijk
is aan het aantal kolommen van A.
_____________________________________________________________________________
Algebra 32
Voorbeeld
11 12 1311 12
11 12 13 21 22 2321 22
21 22 23 31 32 3331 32
41 42 4341 42
c c ca a
b b b c c ca a=
b b b c c ca a
c c ca a
4 x 2 2 x 3 4 x 3
met c11 = a11 b11 + a12 b21
c23 = a21 b13 + a 22 b23
Eigenschappen:
1. associativiteit: (A.B).C = A.(B.C)
2. distributiviteit: A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
3. Niet-commutativiteit
Voorbeeld:
[ ] [ ] [ ]1 1 1 2 3
1 2 3 1 9 terwijl 1 1 2 3 1 2 3
2 2 2 4 6
= =
5.1.7 Vierkante matrices
Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Het is een matrix van orde
n. De elementen a ii met i =1, 2, 3, ..., n vormen de hoofddiagonaal.
_____________________________________________________________________________
Algebra 33
Bijzondere vierkante matrices:
Eenheidsmatrix van de orde n:
∀ i, j = 1, 2, ... , n:a ii =1
a ij = 0 als i ≠ j
2 3
1 0 01 0
E = E 0 1 00 1
0 0 1
=
De eenheidsmatrix van de orde n speelt de rol van neutraal element voor de matrix-
vermenigvuldiging van matrices van de orde n: A.E = E.A = A.
a b 1 0 a b=
c d 0 1 c d
1 0 a b a b=
0 1 c d c d
Nulmatrix 0 is een opslorpend element voor de matrixvermenigvuldiging A.0 = 0.A = 0
a b 0 0 0 0
c d 0 0 0 0
=
Opmerking: er bestaan matrices A en B waarvoor A.B = 0 en A ≠ 0 en B ≠ 0. Deze matrices
noemt men nuldelers.
Voorbeeld: 1 1 1 2 0 0
1 1 1 2 0 0
− = −
_____________________________________________________________________________
Algebra 34
5.2 Determinanten
5.2.1 Definities
De determinant van een vierkante 2×2-matrix 11 12
21 22
a a
a a
noemen we het reële getal gegeven
door a11 a12
a21 a 22
= a11a 22 −a12a21 .
Notatie: det A of A of a ij determinant van de 2de orde.
Stel in wat volgt A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Rang van een element:
De rijen van een determinant (of bijhorende matrix) worden genummerd van boven naar onder,
de kolommen van links naar rechts. Staat een element in de rij met rangnummer i en in de
kolom met rangnummer j, dan noemt men i + j de rang van dat element.
Cofactor van een element:
Schrapt men in een determinant van orde 3 de rij en de kolom van een element, dan ontstaat een
determinant van orde 2. Deze determinant, voorafgegaan van het teken + of - , al naar gelang de
rang van het beschouwde element even of oneven is, wordt cofactor van dit element genoemd.
(minor als de determinant zonder teken beschouwd wordt.)
Notatie: αij : hangt dus niet af van de getallen uit de rij en kolom waarin het element zich
bevindt
Voorbeeld:
α21 = −1( )2+1 a12 a13
a32 a33
= −a12 a13
a32 a33
_____________________________________________________________________________
Algebra 35
Definitie:
De determinant van een 3×3-matrix is het reële getal dat men vindt door de elementen van een
rij of een kolom te vermenigvuldigen elk met hun cofactor en de bekomen producten bij elkaar
op te tellen.
Kiest men bv. de 1ste rij, dan zegt men dat men de determinant naar de eerste rij ontwikkelt.
Voorbeeld:
3 2 1
A = 2 1 2
3 2 4
−
α11 = −1( )1+1 1 2
−2 4= 4 + 4 = 8
α12 = −1( )1+2 2 2
3 4= − 8 − 6( ) = −2
α13 = −1( )1+3 2 1
3 −2= −4 −3 = −7
det A = 3.8 + (-2).2 + (-7).1 = 24 - 4 - 7 = 13 kan ook gemakkelijk teruggevonden worden met
de Regel van Sarrus.
5.2.2 Eigenschappen van determinanten
1. Een vierkante matrix A en zijn getransponeerde AT hebben gelijke determinanten.
det A = det AT
2. Worden twee rijen (kolommen) van een determinant verwisseld dan verandert die
determinant van teken.
Gevolgen:
• een determinant met 2 gelijke rijen (kolommen) is nul.
• de som van de producten van de elementen van een rij (kolom) met de overeen-
komstige cofactoren van een andere rij (kolom) is nul.
Zie voorbeeld hierboven: a21α11 +a22α12 + a23α13 = 2.8 +1 −2( )+ 2. −7( ) = 0
_____________________________________________________________________________
Algebra 36
3. Splitst men een rij (kolom) in een som van twee rijen (kolommen) dan is de determinant op
overeenkomstige wijze te beschouwen als de som van twee determinanten.
a1 + a1' b1 c1
a2 + a2' b2 c2
a3 + a3' b3 c3
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
+
a1' b1 c1
a2' b2 c2
a3' b3 c3
Voorbeeld:
2 +1 2 1
0 + 2 1 2
−1 + 4 −2 4
=
2 2 1
0 1 2
−1 −2 4
+
1 2 1
2 1 2
4 −2 4
= 13
4. Vermenigvuldigt men een rij (kolom) met een reëel getal k, dan wordt ook de determinant
met k vermenigvuldigd.
a1 kb1 c1
a2 kb2 c2
a3 kb3 c3
= k
a1 b1 c1
a 2 b2 c2
a3 b3 c3
Gevolgen:
• bevatten alle elementen van een rij (kolom) eenzelfde factor, dan kan die factor voor de
determinant worden geplaatst.
• een determinant met 2 evenredige rijen (kolommen) is nul.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan blijft de
determinant gelijk.
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=
a1 + kb1 b1 c1
a2 + kb2 b2 c2
a3 + kb3 b3 c3
6. Det (A.B) = det A . det B
_____________________________________________________________________________
Algebra 37
7. Een determinant berekenen door verlaging van de orde. Elke determinant kan door
toepassing van de eigenschappen herleid worden tot een determinant waarin een rij of een
kolom op één element na alleen nullen bevat.
Voorbeeld:
6 9 2
2 3 1
3 5 2
=
r1 − r3
3 4 0
2 3 1
3 5 2
=
r 3 − 2r2
3 4 0
2 3 1
−1 −1 0
= −13 4
−1 −1= −1 −3 + 4( ) = −1
_____________________________________________________________________________
Algebra 38
5.3 Oefeningen
1. Bereken x, y, z als
2
2
4 x x y+5z =
y 0 2x+5 x+y+z
Antwoord: x = 2, y = -3, z = 1
2. Vul de door een punt aangeduide plaatsen in:
2 . 5 1 . 6
. 3 2 3 . 11 5
4 3 . 3 4 .
+ =
3. Als A een p×q-matrix is en B een r×s-matrix, onder welke voorwaarde bestaan dan de beide
producten A.B en B.A ?
Antwoord: q = r en s = p
4. Men geeft de matrices:
0 11 2 1 0 1
A = 1 0 B = C = 3 4 2 1 3
2 2
Bereken achtereenvolgens A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) en verifieer aldus de associatieve
eigenschap.
5. Bewijs dat (A.B)T = B
T.A
T als
g ha b c
A = , B = i jd e f
k l
6. Bepaal al de matrices B waarvoor A.B = B.A. als 1 2
A = 3 4
Antwoord: 2
3x z
z x z
+
7. Welk verband bestaat er tussen de matrices B (van de orde 3) en A.B als
1.
1 0 0
A = 0 k 0
0 0 1
2.
0 1 0
A = 1 0 0
0 0 1
_____________________________________________________________________________
Algebra 39
8. Bereken de volgende determinanten (pas ordeverlaging toe):
1.
3 2 0
4 −2 1
1 3 −4
2.
2 1 1 3
0 0 3 1
2 3 4 1
1 1 0 1
3.
1 0 0 0 a
0 0 0 a 1
0 0 a 1 0
0 a 1 0 0
a 1 0 0 0
opl.: 49 opl.: -5 opl.: 1 + a5
4.
9 −5 1
2 3 −1
1 −6 2
5.
8 1 9 1
6 3 4 5
5 4 7 2
2 3 4 1
6.
a b c
c a b
b c a
opl.: 10 opl.: 20 opl.: a3+b
3+c
3-3abc
9. Toon aan dat:
a b ck
p q rk
x y z
=
a b c
p q r
xk yk z
_____________________________________________________________________________
Algebra 40
6 Stelsels
6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden
6.1.1 Matrixnotatie
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
a x + a x +...+ a x = b
a x + a x +...+ a x = b
...
a x +a x +...+ a x = b
a ij ∈ IR, b i ∈ IR
Stel
11 12 1n
21 22 2n n x n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... aA = IR
... ... ... ...
a a ... a
∈
1 1
2 2n x 1 n x 1
n n
x b
x bX = IR , B = IR
... ...
x b
∈ ∈
⇒ Matrixnotatie: A.X = B
Voorbeeld:
-2x + 5y - z = 1 -2 5 -1 x 1
x + z = 0 A = 1 0 1 , X = y , B = 0
-2y + 3z = -2 0 -2 3 z -2
⇒
_____________________________________________________________________________
Algebra 41
6.1.2 Oplossen van een stelsel door eliminatie
Door opeenvolgende eliminaties wordt het gegeven stelsel vervangen door een gelijkwaardig
stelsel waarin de eerste vergelijking n onbekenden bevat, de tweede n - 1, de derde n - 2, ... de
voorlaatste 2 en de laatste 1. Uit de laatste vergelijking wordt de waarde van de onbekende
afgeleid. Door substituties in de vergelijkingen met 2, 3, 4, ..., n onbekenden worden
achtereenvolgens de andere onbekenden berekend.
Voorbeeld:
x + y − z = 9 1 −3
x − 2y − 3z = 1 −1
3x + 6y + z = 37 1
⇒
x + y − z = 9
3y + 2z = 8 −1
3y + 4z = 10 1
⇒
x + y − z = 9
3y + 2z = 8
2z = 2
⇒
x + y = 9 +1
3y = 8 − 2
z =1
⇒
x = 10 − 2
y = 2
z = 1
⇒
x = 8
y = 2
z = 1
6.1.3 Oplossen van een stelsel met de methode van Cramer.
Zij gegeven een n x n stelsel:
Het stelsel A.X = B heeft een unieke oplossing ⇔ A ≠ 0; de oplossing wordt gegeven door
x i =Ai
A
waarbij de nxn-matrix Ai als volgt gedefinieerd wordt:
Ai =
11 12 1 i-1 1 1 i+1 1n
21 22 2 i-1 2 2 i+1 2n
n1 n2 n i-1 n n i+1 nn
a a ... a b a ... a
a a ... a b a ... a
... ... ... ... ... ... ... ...
a a ... a b a ... a
Voorbeeld:
We hernemen het vb. van 6.1.2.
A =
1 1 1
1 2 3
3 6 1
− − −
⇒ |A| = - 6
A1 =
9 1 1
1 2 3
3 6 1
− − −
⇒ |A1| = - 48
_____________________________________________________________________________
Algebra 42
A2 =
1 9 1
1 1 3
3 37 1
− −
⇒ |A2| = - 12
A3 =
1 1 9
1 2 1
3 6 37
−
⇒ |A3| = - 6
⇒ x =A1
A= 8, y =
A2
A= 2, z =
A3
A= 1
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende
Men lost ieder der ongelijkheden afzonderlijk op en de oplossing van het stelsel wordt gevormd
door de waarden die aan al de ongelijkheden voldoen.
Voorbeeld:
(S) =
3 5234 2
2 39
2 251
5 3
xx
x
x xx
−− < − − <
⇔ − <− <
opl (S) = x ∈IR −23
9<x< 5
- 23/9 5
_____________________________________________________________________________
Algebra 43
6.3 Oefeningen
6.3.1 Los volgende stelsels op
1.
2 3 2
2 3 1
4 7 3 7
x y z
x y z
x y z
− + − =
+ + = + + =
9 3
opl.: ,1 ,5 5
k k k
− +
2.
3 1
2 2 2
4 5 5
y z
x y z
x y z
− + =
+ + = + − =
opl.: ∅
3.
3 16
3 4 72
8
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + = − + = −
{ }opl.: (12,20,0)
4.
2 1
3 5 11
2 3 13
x y
y z
z x
+ =
− = − − = −
{ }opl.: (5,-2,1)
5.
1 1 3 + =
x y 2
1 1 + = 2
y z
1 1 + = 1
z x
4 4
opl.: 4, ,5 3
6.3.2 Los volgende stelsels ongelijkheden op
1.
24 0
( 3)( 5) 0
x
x x
− ≥
− + < ] [ [ [opl.: -5,-2 2,3∪
2.
3 1 <
3x-2 x
1 < 0
(4 x - 1)(x + 3)
1
opl.: 0,4
3. 3 17
1 25
x −− < < ] [opl.: 4,9
Analytische Meetkunde
Lieve Houwaer,
Unit informatie, team wiskunde
Analytische meetkunde 2
1. VECTOREN EN RECHTEN
1.1. Vectoren
1.1.1. Het vectorbegrip
De verzameling punten van het vlak noteren we door π.
Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd
noemen wij het gepunte vlak πo.
Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector
namelijk OP����
. Het punt P OP=��� ����
van πo noemen wij een gebonden vector, vaste vector of
puntvector.
1.1.2. Basis en assenstelsel
Wij kiezen 2 punten in πo xE���
en yE���
die samen met O een driehoek vormen.
Voor elke P���
in πo bestaat er juist één x, y( )∈IR2 zodat
.
Benamingen:
{ },x y
E E��� ���
is een basis van πo.
x, y( ) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { },x y
E E��� ���
.
Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden.
OEx is de x-as; OEy is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of
assenkruis.
1.1.3. Bewerkingen met vectoren
In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren:
1) de som van 2 vectoren A��
en B��
van πo is een vector met als eindpunt de som van de 2
overeenkomstige vectoren OA en OB����
volgens de regel van het parallellogram.
yx EyExP +=
Analytische meetkunde 3
A
B
C
x
y
1a
2a
1b
2b
O
2) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A��
van πo en een getal k ∈R is vector
met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen.
1.1.4. Toepassing: midden van een lijnstuk
Gegeven: het lijnstuk [AB]; A��
(a1,a2) en B��
(b1,b2)
Gevraagd: bepaal M���
het midden van het lijnstuk.
1 1 2 2,2 2 2
a b a bA BM
+ ++ =
�� ��
���
1.2. Rechten
1.2.1. Vectoriële vergelijking
Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het
eindpunt van een vector S�
die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo’n vector
wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S�
zo’n richtingsvector is, dan is elke k S�
met
0k ∈R opnieuw een richtingsvector van e .
O
S
e
Beschouw 1e een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en 0P op 1e .
Analytische meetkunde 4
0P�
P�
S�
0P P−� �
1e
e
Als S�
een richtingsvector is van e , geldt 0P P kS− =�� �
of 0P P kS= +�� �
voor een k ∈R .
Omgekeerd ligt voor elke k , het eindpunt van de vector 0P kS+��
op de rechte 1e .
We kunnen de vectoriële vergelijking 0P P kS= +�� �
dan ook beschouwen als de nodige en
voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte 1e zou liggen (bepaald door het punt 0P
en de richting S�
).
0P P kS= +�� �
met k ∈R
is de vectoriële vergelijking van de rechte.
1.2.2. Parametervergelijkingen
Overgang op de componenten in 2R met ( , )P x y=
�
, 0 0 0( , )P x y=�
en ( , )S a b=�
levert
0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y k a b= + met k ∈R
Verdere uitwerking levert
0 0( , ) ( , )x y x ka y kb= + + met k ∈R
equivalent met
0
0
x x ka
y y kb
= +
= + met k ∈R
Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt
0 0( , )x y met richtingsgetallen ( , )a b , de coördinaten van de richtingsvector S�
. Merk op dat
bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel 0P�
als S�
kunnen gekozen worden.
Analytische meetkunde 5
1.2.3. Cartesische vergelijking(en)
Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we
0 0x x y y
a b
− −= als 0ab ≠
of
0 0( )b
y y x xa
− = − als 0≠a
Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De
verhouding b
a wordt de richtingscoëfficiënt genoemd.
Als 0a = , dan worden de parametervergelijkingen
0
0
x x
y y kb
=
= +
met k ∈R
De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden
1 (cartesische) vergelijking over.
0x x=
De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de
richtingscoefficient bestaat niet!
Analoog, als 0b = , dan is 0y y= de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan
evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de
richtingscoefficient is 0!
Merk op dat ( , ) (0,0)a b = onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als
richtingsvector van een rechte.
Als de rechte gegeven is door middel van 2 punten 0 0 0( , )P x y en 1 1 1( , )P x y volstaat het een
richtingsverctor te vinden. Vermits 1 0−� �
P P een geschikte vector is, krijgen we
0 1 0( )P P k P P= + −� � � �
met k ∈R
als vectoriële vergelijking en
0 1 0
0 1 0
( )
( )
x x k x x
y y k y y
= + −
= + − met k ∈R
als stel parametervergelijkingen;
0 0
1 0 1 0
x x y y
x x y y
− −=
− −
als cartesische vergelijking als 01 xx ≠ en 01 yy ≠ .
Als 01 xx = dan is de vergelijking analoog aan a = 0;
Analytische meetkunde 6
als 01 yy = dan is de vergelijking even analoog aan b= 0.
De algemene cartesische vergelijking van een rechte in 2R is dus van de vorm
0Ax By C+ + =
waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke
vergelijking van deze vorm in 2R een rechte voorstelt.
Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte?
Vind een stel richtingsgetallen.
1.3. Evenwijdige rechten
Als gegeven is de rechte e1 met r.v. 1S���
, r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0,
de rechte e2 met r.v. 2S���
, r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0
e e 1
2 O S S
1 2
dan is
e1 // e2
2 1S kS⇔ =��� ���
met 0∈k R
=
=⇔
12
12
kbb
kaa met 0∈k R
12 mm =⇔
2 1
2 1
A kA
B kB
=⇔
= met 0∈k R
toepassing:
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x0,y0)
gevraagd: construeer f // e en door P
f heeft als vergelijking
A(x- x0)+B(y- y0)=0
Analytische meetkunde 7
1.4. Het Euclidisch vectorvlak
1.4.1. Definities
Als 1 2( , )A a a��
en 1 2( , )B b b��
in π 0 gegeven zijn,
dan is het scalair product van deze 2 vectoren
1 1 2 2A . B a b a b= + ∈�� ���
R
dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal
A B A . B 0⊥ ⇔ =�� �� �� ���
dan is de norm van de vector
2 2
1 2A A . A a a 0= = + >�� �� ���
dan is A een genormeerde vector als
1A =��
dan is de afstand tussen ),( 21 aaA en ),( 21 bbB
( ) ( )2 2
1 1 2 2( , )d A B A B a b a b= − = − + −�� �� �� ��
A
B
A - B
O
Analytische meetkunde 8
1.4.2. eigenschap
als A O≠�� ��
dan is de genormeerde vector voortgebracht door A��
a
AE
A=
��
���
��
waarbij a de rechte OA voorstelt.
Verklaar waarom aE���
genormeerd is.
1.4.3. Orthonormale basis (O.N.B.)
{ },x yE E��� ���
is een orthonormale basis 1
x y
x y
E E
E E
⊥⇔
= =
��� ���
��� ���
1.5. Hoeken
Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin.
1.5.1. De hoek van een rechte met de x-as
(Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.)
In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat
mm
==1
tanα
m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x-
as en de rechte.
α
E y
E x
y
x
e
0
1
m
Analytische meetkunde 9
1.5.2. De hoek tussen 2 rechten
Gegeven:
de rechte e1 met r.v.1S���
, r.g. (a1,b1), rico m1, 1α de hoek met de x-as
de rechte e2 met r.v.2S���
, r.g. (a2,b2), rico m2, 2α de hoek met de x-as
Definitie: de hoek tussen de rechten e1 en e2 in die volgorde genomen, genoteerd (e1, e2),
is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e1 en e2 ; het eerste been ligt op
een halfrechte bepaald door e1 en het tweede been op een halfrechte bepaald
door e2.
(e ,e )
e
e
1
2
1
2
(e ,e )
e
e 1
2
1 2
Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek
kiezen.
De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens.
(Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk).
2 1 2 1 1 2 2 12 1
2 1 2 1 1 2 1 2
tan tantan( )
1 tan tan 1
m m a b a b
m m a a b b
α αα α
α α
− − −− = = =
+ + +
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten
Als gegeven is
de rechte e1 met r.v. 1S���
, r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0,
de rechte e2 met r.v. 2S���
, r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0
dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.)
Analytische meetkunde 10
e
e
1
2
O
S
S
1
2
e1 ⊥ e2
2 1S S⇔ ⊥��� ���
02121 =+⇔ bbaa
1
2
1
mm −=⇔
02121 =+⇔ BBAA
toepassing:
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P0(x0,y0)
gevraagd: construeer f ⊥ e en door P0
f heeft als vergelijking
B(x- x0)-A(y- y0)=0
1.7. Afstand van een punt tot een rechte
1) definitie ( of constructieve methode)
Beschouw in π 0 een punt 0 0 0( , )P x y en een rechte : 0e Ax By C+ + = .
Om de (loodrechte) afstand van 0P tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk.
• Construeer de rechte r door 0P loodrecht op e .
• Zoek het snijpunt S van r en e .
• De gezochte afstand is dan gelijk aan 0( , )d P S .
2) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.)
0 0
0 02 2
( , ) ( , )Ax By C
d P e d P SA B
+ += =
+
Analytische meetkunde 11
1.8. Oefeningen
1. Gegeven: (5, 1), ( 1,5), ( 7,2)A B C− − −�� �� ��
.
a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC.
2, 2( ); −4,7
2
; −1,
1
2
b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC.
(-1, 2)
2. Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende
gegevens:
a) gaande door (-2, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5
b) de rechte x (k,0) en m = 0
c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet!
d) de rechte met vergelijking: 2x - y + 4 = 0 (1, 2) en m = 2
e) de rechte met vergelijking: y =3
4x (4, 3) en m =
3
4
f) de rechte met vergelijking: y = 2x + 3 (1, 2) en m = 2
3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen:
e: y = 4x
f: 2x + 3y = 0
g: 4x + 2y + 5 = 0
4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel.
e: y - x + 5 = 0 α = 45°;α = 135°
f: y − 3x − 5 = 0 α = 60°;α = 120°
5. Bewijs dat de figuur gevormd door ( 2,1), ( 1, 4), (5,6), (4,3)A B C D− −�� �� �� ��
een parallellogram is.
6. Gegeven een rechte e: x + 2y = 4
Gevraagd:
a) behoort A(4, 1) tot e ? Neen
b) behoort B(4,0) tot e ? Ja
c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 14
d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 y =3
2
e) construeer de rechte
f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, 0) en ( 0, 2)
7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + 2 = 0 met a ∈ IR
Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat:
a) de rechte door (2, 0) gaat a = -1
b) de rechte die door 0 gaat onmogelijk
c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 a = -9
d) e evenwijdig is met x-as a = 0
e) e evenwijdig is met y-as onmogelijk
f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt a = −2
3
g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt onmogelijk
Analytische meetkunde 12
h) e op y een stuk −2
3 afsnijdt a ∈ IR
8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens:
a) m = -2 en door het punt (3, 4) y + 2x - 10 = 0
b) door de punten (2, 3) en (5, 1) 3y + 2x -13 = 0
c) door de oorsprong en het punt (2, 6) y - 3x = 0
d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5
e) door de punten (-2, 4) en (-2, 1) x = -2
f) door de punten (1, 3) en (-2, -6) y - 3x = 0
g) m = 2 en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - 2x - 4 = 0
h) die van y een stuk +3 en van x een stuk +2 afsnijdt 3x + 2y - 6 = 0
i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (2, 4) gaat y - 5x + 6 = 0
j) die door het punt (-2, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + 2y - 5 = 0
2y + 3x - 6 = 0
k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (2,0) en (5, 2)
3y - 2x - 9 = 0
l) die door het punt (2, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x = 2
m) die door het punt (-2, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y = 4
9. Gegeven de rechte e: y = (a - 2)x + (a + b) met a,b ∈IR. Bepaal a en b zodanig dat:
a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1
b) e door het punt (2, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = -2
c) e een stuk -2 op x afsnijdt en (2, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7
d) e door (0, 0) en (-2, -4) gaat a = 4 en b = -4
10. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte:
a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45° maakt.
y - x + 7 = 0; y + x - 1 = 0
b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30° maakt.
3y − 3x − 9 = 0 ;3y + 3x − 9 = 0
11. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A��
(2, 4):
a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de
positieve y-as
x + 2y -10 = 0
b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt
x - y + 2 = 0
12. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn:
e: (a - 1)x - (a+2)y + 1 = 0
f: (a + 1)x + (2 - 4a)y + a = 0 a = 0 of a = 3
13. Onderzoek of volgende punten collineair zijn:
a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) Ja
b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5) Ja
Analytische meetkunde 13
14. Bepaal a zodanig dat de punten (2, 3), (a, 2) en (a + 2, a - 3) collineair zijn. Bepaal de
vergelijking van de rechte.
a = 3 en y + x - 5 = 0
a = 4 en 2y + x - 8 = 0
15. Bepaal de snijpunten van volgende rechten:
a)
=+
=+
7 y 3x :f
4 2y x :e (2, 1)
b)
=+
=+
0 8 2x :f
0 1 -3y 5x :e (-4, 7)
c)
=+−
=
0 2
33y2x :f
4x 3 -6y :e
samenvallende rechten
16. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (2, 1)
y -1 = m (x - 2)
17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient 2.
y = 2x + q
18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn.
19. Gegeven: (2,0), (1,1), (1,2)A B C�� �� ��
t.o.v. een orthonormale basis.
Bepaal:
.A B�� ��
2
.AC�� ��
2
.C B�� ��
3
.A A�� ��
4
.B B�� ��
2
.C C�� ��
5
20. Bewijs dat de punten A(4, 6), B(2, -4), C(-2, 2) een rechthoekige driehoek vormen.
21. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt.
a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 x - 5y = 0 en 15
13,
3
13
b) uit het punt (2, -6) op de rechte f: 2x - y + 5 = 0 x + 2y + 10 = 0 en (-4, -3)
22. Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: 2x + 5y + 4 = 0 in haar
snijpunt met de x-as.
5x - 2y + 10 = 0
Analytische meetkunde 14
23. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt 2. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt
4,1( ) op die rechte.
2y + x - 6 = 0
24. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3).
2y - x = 0
25. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x − 4y +14 = 0; 4x + y −13 = 0;
x + 5y −8 = 0. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het
hoogtepunt.
y − 5x + 5 = 0
3y + 4x − 15 = 0
4y − x − 10 = 0
30
19,55
19
26. Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, 2). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek
gevormd door deze punten.
10; 13; 3 5
27. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-2, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5
2 5;
10
2
28. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(2, 1), C(-3, 2) tot de rechte
e: x – y + 5 = 0
2; 3 2; 0
29. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -2), C(-2, 2) en tot de rechte BC.
5; 5 2; 5
30. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: 2x + y - 3 = 0
a) m.b.v. de formule 7 5
5
b) m.b.v. de loodlijn
31. Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte
022: =+− yxe wordt neergelaten.
2 5
32. Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3)
2
Analytische meetkunde 15
33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: 2x + y + 3 = 0 ,
2x + y − 2 = 0
5
34. Gegeven: A(1, p), e: 2x + y + 1 = 0, f: x + 2y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke
afstanden tot de rechten e en f heeft.
5
3
1=−= penp
35. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2, 3) en die op een afstand 3 ligt van de
oorsprong.
y = 3 en 5y + 12x - 39 = 0
36. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd
is van de punten B(3, -1) en C(-3, 2)
2y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = 0
37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 12y - 11 = 0 en
die op een afstand 1 van het punt A(-2, 1) ligt.
5x + 12y - 15 = 0
5x + 12y + 11 = 0
Analytische meetkunde 16
2. KEGELSNEDEN
2.1. Inleiding
Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een
kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen.
Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel
snijdt.
Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak
Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen
de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts:
bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende.
2.2. De cirkel
Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn
definitie en zijn vergelijking.
Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M
liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het
middelpunt.
( , )P d P M R∈ ⇔ =C
Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van
het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel
2 2 2x y R+ =
Verklaar!
Analytische meetkunde 17
Indien het middelpunt M de coördinaten 0 0( , )x y heeft, is de middelpuntsvergelijking
2 2 2
0 0( ) ( )x x y y R− + − =
De verklaring is analoog.
De algemene vergelijking van de cirkel is
022 =++++ CByAxyx
Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!
2.3. De parabool
Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d
gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F
noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn.
( , ) ( , )Q d Q d d Q F∈ ⇔ =P
Als het brandpunt ( ,0)F p , richtlijn :d x p= − en (x,y) de coordinaat is van Q ten
opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de
parabool P
2 4y p x=
Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid:
Q
F
d y
x T
Figuur 2 parabool
2 2
2 2 2
2
( , ) ( , )
( ) ( 0)
( ) ( 0) ( )
4
Q d Q d d Q F
x p y x p
x p y x p
y p x
∈ ⇔ =
⇔ − + − = +
⇔ − + − = +
⇔ =
P
De topvergelijking van deze parabool is dus 2 4y p x= .
De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de
richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool.
Analytische meetkunde 18
Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze
specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p
negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft
dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met
zijn opening naar boven als de parameter 0p > , en met de opening naar beneden als 0p < .
Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de
coördinaatassen als symmetrieas.
2 4y p x= met 0p > 2 4y p x= met 0p <
2 4x p y= met 0p > 2 4x p y= met 0p <
Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top 0 0( , )T x y
vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen
Horizontale symmetrieas:
2
0 0( ) 4 ( )y y p x x− = − met 0 0( , )F x p y+ en 0:d x x p= −
Verticale symmetrieas:
2
0 0( ) 4 ( )x x p y y− = − met 0 0( , )F x y p+ en 0:d y y p= −
De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas
is
Horizontale symmetrieas:
CByAyx ++= 2
Verticale symmetrieas:
CBxAxy ++= 2
Analytische meetkunde 19
2.4. Oefeningen
(we werken in een O.N.B.)
1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R.
a) a = 0, b = 0, R = 5 x2 + y
2 = 5
b) a = 4, b =1, R = 2 x − 4( )2+ y − 1( )2
= 4
2. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels
a) x2 + y
2 − 8x − 6y = 0 ( ) 53,4 =RenM
b) 3x2 + 3y
2 − 2x + 3y + 1 = 0 6
1
2
1,
3
1=
− RenM
c) 16x2 +16y
2 −8x −15 = 0 10,4
1=
RenM
d) 36 x2 + y
2( )− 48x + 36y − 227 = 0 72
1,
3
2=
− RenM
3. Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en
straal.
a) x2 + y
2 − 6x + 14y + 59 = 0 geen cirkel
b) 16x2 + 16y
2 + 8x − 64y − 335 = 0 cirkel C−
1
4,2
,5
c) 4x2 + 4y
2 − 12x + 40y + 109 = 0 (punt) cirkel C 3
2,−5
,0
4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x − y = 5
x
2 + y2 −16x − 6y + 48 = 0
5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de
cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is.
x
2 + y2 − 4x − 6y − 5 = 0
6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c:
x2 + y
2 + 3x − 4y −1 = 0
x
2 + y2 + 3x − 4y = 0
7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC
met A(2, 2); B(6, -2); C(-3, -5)
2x2 + 2y
2 − 5x + 11y − 28 = 0
8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal:
a) de vergelijking van de cirkel. x − 3( )2+ y
2 = 5
b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte
( )2 23 10x y− + =
Analytische meetkunde 20
9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek.
a) y2 − 8x = 0 (2, 0); x = -2
b) y2 + 6x = 0 −
3
2,0
; x =
3
2
c) 2x2 + y = 0 0,−
1
8
; y =
1
8
d) 2x2 − y = 0 0,
1
8
; y = −
1
8
10. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0)
en door het punt A(-1, 3):
y
2 = −9x
11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0,−1
2
en richtlijn d: y =
1
2
x
2 + 2y = 0
12. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d: x = 3
y
2 + 4y − 8x + 44 = 0
13. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d de bissectrice
van het tweede kwadrant.
x
2 + y2 − 2xy − 28x + 8y + 106 = 0
14. Schets de grafiek van:
a) 3x2 − 24x − 2y + 50 = 0
b) 4y2 + 40y − 3x +100 = 0
x − 4( )2=
2
3y −1( )
(y + 5)2 =
3
4x
Analyse
Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Analyse 2
1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties
Voor niet-ledige verzamelingen A en B noemen we elke deelverzameling van de
productverzameling A x B een relatie van A naar B.
We noemen dom R = x x, y( ) ∈ R{ } het domein van de relatie R en bld R = y x, y( ) ∈ R{ } het
beeld van de relatie R.
Keert men de volgorde van de koppels van een relatie om, dan ontstaat een relatie van B naar A,
de zgn. inverse relatie.
Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens 1
beeld heeft.
Een functie van A naar B noemt men een afbeelding van A in B als dom f = A.
Een afbeelding van A in B noemt men een bijectie van A op B als de inverse relatie eveneens
een afbeelding is.
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen: I R
De verzameling der reële getallen IR, aangevuld met de elementen - ∞ en + ∞ , noemt men de
uitgebreide verzameling der reële getallen.
Notatie: IR = IR U − ∞, + ∞{ }
• De totale orde wordt als volgt uitgebreid:
∀x ∈ IR:− ∞ < x < + ∞
Analyse 3
• De bewerkingen worden als volgt uitgebreid:
1) ∀x ∈ IR: x + −∞( ) = −∞ = −∞( ) + x
x + +∞( ) = +∞ = +∞( ) + x
∀x ∈ IR0+ : x. +∞( ) = +∞ = +∞( ). x
x. −∞( ) = −∞ = −∞( ). x
∀x ∈ IR0− : x. +∞( ) = −∞ = +∞( ). x
x. −∞( ) = +∞ = −∞( ).x
2)+∞( )+ +∞( )= +∞−∞( )+ −∞( ) = −∞
−∞( ). +∞( ) = −∞ = +∞( ). −∞( )+∞( ). +∞( ) = +∞ = −∞( ). −∞( )
+∞n = +∞
−∞n = −∞ als n oneven is.
1
+∞= 0
1
−∞= 0
Dus de volgende uitdrukkingen hebben geen betekenis, zijn ONBEPAALDHEDEN:
+∞( ) + −∞( ) ; −∞( ) + +∞( ) ; 0.+∞ ; + ∞. 0 ; 0.−∞ ; −∞.0 ;+∞+∞
;+∞−∞
;−∞+∞
;−∞−∞
Analyse 4
3. Continuïteit van een functie in IR
3.1. Voorbeelden
Stel f: IR → IR en a ∈ dom f dan zegt men:
f(a)
a
b
f(a)
a
Y
X
Y
X
f is continu in a f is discontinu in a
f is niet linkscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a
X
Y
X
Y
a a
c
f(a)
b
f(a)
b
f is discontinu in a f is discontinu in a
f is niet linkscontinu in a f is rechtscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a
X
Y
a
bf(a)
f is discontinu in a
f is linkscontinu in a
Analyse 5
3.2. ε − δε − δε − δε − δ - definitie
Beschouw een functie f : IR → IR en onderstel dat a ∈ dom f dan zegt men:
f is continu in a
c
∀ ε > 0, ∃ δ > 0: x− a < δ ⇒ f x( ) − f a( ) < ε
Verder geldt:
f is rechtscontinu in a⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ a ,a+ δ[ [⇒ f x( ) − f a( ) < ε
f is linkscontinu in a⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ a−δ ,a] ]⇒ f x( ) − f a( ) < ε
4. Limiet van een functie in IR
4.1. Voorbeelden
"via het begrip limiet, discontinuïteiten opheffen"
stel a ∈ adhdom f .
als f continu is in a dan lim a f x( ) = f a( )
als f discontinu is in a dan:
1) beschouw een functie f met f x( ) = f x( ) x ≠ a
f a( ) = b
f = een uitbreiding van f in a( ) 2) als f continu is in a
dan lim a f x( ) = f a( ) = b "limiet"
als f rechtscontinu is in a dan lim a+ f x( ) = f a( ) = b "rechterlimiet"
als f linkscontinu is in a dan lim a− f x( ) = f a( ) = b "linkerlimiet"
Analyse 6
f(a)
a
b
f(a)
a
Y
X
Y
X
f is continu in a f is discontinu in a
f is niet linkscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a lim a f x( ) = f a( ) lim a f x( ) = b
X
Y
X
Y
a a
c
f(a)
b
f(a)
b
f is discontinu in a f is discontinu in a
f is niet linkscontinu in a f is rechtscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a
lim
a+ f x( ) = c ≠ lima− f x( ) = b
⇒ lim a f x( ) bestaat niet.
lima+ f x( ) = f a( ) ≠ lim
a− f x( ) = b
⇒ lim a f x( ) bestaat niet.
X
Y
a
bf(a)
f is discontinu in a
f is linkscontinu in a
lim
a+ f x( ) = b ≠ lima− f x( ) = f a( )
⇒ lim a f x( ) bestaat niet.
Analyse 7
4.2. ε − δ ε − δ ε − δ ε − δ - definitie
4.2.1. limiet, rechterlimiet, linkerlimiet
Als f : IR → IR dan is:
limx → a
f x( ) = b
c
∀ ε > 0, ∃ δ > 0: 0 < x − a < δ ⇒ f x( ) − b < ε
Verder geldt:
lim
x →>
af x( ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ a ,a+ δ] [⇒ f x( ) − b < ε
limx →
<af x( ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ a−δ , a] [⇒ f x( ) −b < ε
4.2.2. Oneigenlijke limieten
Het argument neemt onbeperkt toe of af:
lim
x → + ∞f x( ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x > m ⇒ f x( ) − b < ε
lim
x → − ∞f x( ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x < −m ⇒ f x( ) − b < ε
Oneindige limieten
lim
x →af x( ) = + ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0: 0 < x −a < δ ⇒ f x( ) > n
lim
x → af x( ) = −∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f x( ) < −n
lim
x → + ∞f x( ) = −∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ m > 0: x > m⇒ f x( ) < −n
Analyse 8
4.3. Algemene stellingen
1. Als limx → a
f x( )= b
limx → a
g x( ) = b'
⇒ lim
x → af + g( ) x( ) = b + b'
2. Als lim
x → af x( ) = b⇒ lim
x → ar. f x( ) = r. lim
x → af x( ) = r. b
3. Als limx → a
f x( )= b
limx → a
g x( ) = b'
⇒ lim
x → af x( ).g x( ) = lim
x → af x( ). lim
x → ag x( )= b.b'
4. Als limx → a
f x( )= b
limx → a
g x( ) = b'
⇒ lim
x → a
f x( )g x( )
=limx → a
f x( )
limx → a
g x( )=
b
b'
5. Als lim
x → af x( ) = lim
x → af x( )
6. Als limx → a
f x( )[ ]n= lim
x → af x( )
n
7. Als lim
x →af x( )n = lim
x → af x( )n
8. Als lim
x →ak = k
(deze stellingen zijn geldig op voorwaarde dat het rechterlid zin heeft)
4.4. Onbepaaldheden
Onbepaalde vorm 0
0
- rationale functie V x( )W x( )
als limx →a
V x( ) = limx →a
W x( ) = 0 , dan betekent dit dat V(x) en W(x)
beide deelbaar zijn door (x - a), nl. V x( ) = x −a( ).Q1 x( ), W x( ) = x − a( ).Q2 x( )
Er geldt: limx →a
V x( )W x( )
= limx →a
Q1 x( )Q2 x( )
Analyse 9
Voorbeeld.
limx →2
x2 − 4
x2 −5x+ 6= lim
x → 2
x −2( ) x + 2( )x − 2( ) x −3( )
= limx →2
x + 2
x − 3= −4
- irrationale breuk: teller en/of noemer rationaal maken.
Voorbeeld.
limx →3
x +1− 2
x − 3= lim
x →3
x +1− 2( ) x +1+ 2( )x − 3( ) x + 1+ 2( )
= limx → 3
x +1− 4( )x −3( ) x +1+ 2( )
= limx → 3
1
x +1+ 2= 1
4
Onbepaalde vorm ∞∞
- rationale functie
limx → ∞
anxn + an −1xn − 1 + . ..+ a1x + a0
bpxp + bp −1xp −1 + . .. + b1x + b0
= limx → ∞
anxn
bpxp
= ∞ alsn > p (teken van ∞ nader te bepalen)
=an
bp
als n= p
= 0 als n< p
- irrationale breuk: zet in teller en noemer de hoogst mogelijke macht van x voorop.
let op: x2 = x als x> 0
= −x als x< 0
Analyse 10
Voorbeeld
limx → ∞
x2 + 5 + 2x
3x= lim
x → ∞
x2 1+ 5
x2
+ 2x
3x
⇒
limx→ + ∞
/ x 1+5
x2+ 2
3/ x =1
limx → − ∞
/ x − 1+ 5
x2+ 2
3 / x =
1
3
Onbepaalde vorm ∞ - ∞
irrationale functie: vermenigvuldig met en deel door de toegevoegde irrationale vorm.
Voorbeeld.
limx → ∞
4x2 + 3x −1 + 2x( )
a. limx → + ∞
4x2 + 3x−1+ 2x( )= +∞
b. limx → − ∞
4x2 + 3x−1+ 2x( )= limx → − ∞
4x2 + 3x−1+ 2x( ) 4x2 + 3x−1− 2x( )4x2 + 3x−1 −2x
= limx → − ∞
3x−1
4x2 + 3x −1 −2x= lim
x → − ∞
x 3− 1
x
x − 4+3
x−
1
x2−2
= −3
4
Analyse 11
4.5. Opgaven
1. limx →4
x2 −16
3x −12
8
3
2. limx →3
x2 − 7x+12
x2 − 4x + 3 −
1
2
3. limx →1
x2 −1
x3 −1
2
3
4. limx →a
x4 −a4
a3 − x3 −
4
3a
5. limx →1
x3 + 2x2 − x − 2
x2 + x −2 (2)
6. limx →1
x3 − 3x+ 2
2x3 − 2x2 + x − 2 (0)
7. limx → − 3
2x4 − 2x3 −16x2 + 24x
x3 + x2 − 6x (- 10)
8. limx →0
2x4 −2x3 −16x2 + 24x
x3 + x2 −6x (- 4)
9. limx →a
xm − am
x − a m.am − 1( )
10. limx →a
xm − am
xn − an
m
nam − n
11. limx → 2
x + 2 −2
x −2
1
4
12. limx →
>3
x + 6 − 3x
x −3 (0)
13. limx → 0
x
x +1 − 1− x (1)
Analyse 12
14. limx →
>5
x2 − 4x−5 − x2 − 25
x − 5 (- ∞)
15. limx →2
6x− 3− 4x +1
x − 23 (0)
16. limx →1
x − 2 x+ 3 + 3
x + 3− 2 (2)
17. limx →2
1−x3 + 1+ 2x− x23
x2 − 2x −
1
2
18. limx → 3
x −24 −1
x − 2 −1
1
2
19. limx →
><
2
x − 2
x3 − 3x2 + 4−
x − 2
x3 − 4x3
±
3
3
20. Bepaal a zó dat:
limx →a
x2 + 8ax− x2 + 8a2
x2 + 2ax− 3a2=
a
12 (a = + 2)
21. limx →
><
1
2
x2 − 3x+ 2−
3
x2 −1
(m∞)
22. limx → 2
x +8
x2 + x − 6−
6
x2 − x − 2
7
15
23. limx → − 3
2x+ x + 1
x + 3
1+ x2
x2 + 4x + 3
4
9
24. limx → + ∞
2x+ 3− x2 +1
x − 2 (- 1)
25. limx → ∞
8x3 + 2x3 − x2 −4
x +13 + x
(1; 3)
26. limx → ∞
1−8x33
x +1 (- 2)
Analyse 13
27. limx → ∞
3x − x2 − x + 4( ) (± ∞)
28. limx → ∞
x3 + 3x2 +13 − x( ) (1)
29. limx → ∞
x +1− 4x2 + x +1( ) (- ∞)
30. limx → + ∞
x x +1 − x( ) 1
2
31. limx → − ∞
x2 + 2x+ 4 + 9x2 −1− 4x( ) (+ ∞)
32. limx → ∞
2x3 −x2 − 8x+ 4
x2 −4− 4x2 + 5x −1
− ∞, −
9
4
33. limx → ∞
x x2 + 5x+ 8 − x2 + 5x− 4( ) (± 6)
Analyse 14
5. Afgeleiden 5.1. Afgeleide van een functie in een punt x0 , y0( )
aba
b
Dy
D x
y = f(x)
x + x0 Dx0
x0
x + x0 Df( )
f( )
X
Y
Beschouw:
lim∆ x → 0
∆ y
∆ x= lim
∆ x →0
f x0 + ∆ x( )− f x 0( )∆ x
Als deze limiet bestaat, wordt hij de afgeleide genoemd van de functie in x0 .
Notatie: f ' x 0( )= lim∆ x → 0
∆ y
∆ x.
Meetkundige betekenis:
Beschouw de kromme met vergelijking y = f(x), a x0, f x0( )( )en b x0 + ∆ x, f x0 + ∆ x( )( ) zijn 2 naburige punten van de kromme.Dan is de
richtingscoëfficiënt van de koorde ab: mab =yb − ya
xb − xa
=f x 0 + ∆ x( )− f x0( )
x0 + ∆ x( )− x0
=∆ y
∆ x= tgα
Laat men de rechte ab wentelen om a zodat het punt b onbeperkt tot a nadert, dan gaat de rechte
ab over in de raaklijn in a (aan de kromme).
lim∆ x → 0
b → a
∆ y
∆ x= lim
α → βtg α = tg β , m.a.w. f ' x0( ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het
punt x0 , f x0( )( ) aan de kromme y = f(x).
Analyse 15
Voorbeeld.
y = x2 − 3x+ 4
f ' x0( ) = lim∆ x → 0
x0 + ∆ x( )2 −3 x0 + ∆ x( )+ 4− x02 + 3x0 − 4
∆ x
= lim∆ x → 0
2x0 + ∆ x − 3( ) = 2x0 − 3
Zo is voor x0 = 1; f ' 1( ) = − 1. Bijgevolg is b = 135°.
5.2. Linker- en rechterafgeleide
Men noemt lim∆ x →
>0
∆ y
∆ x, resp. lim
∆ x →<
0
∆ y
∆ x, de rechter-, resp. linkerafgeleide van f(x) in het
beschouwde punt, op voorwaarde dat de limiet bestaat.
Het kan gebeuren dat linker- en rechterafgeleide in een punt verschillend zijn. Meetkundig
betekent dit dat de kromme een hoekpunt (knik) heeft, zodat de kromme in dat punt 2
verschillende raaklijnen heeft. De functie is dan niet afleidbaar in dat beschouwde punt.
Voorbeeld
y =1
4x2 −1 is continu voor elke waarde van x, maar de rechterafgeleide voor x = 2, is
verschillend van de linkerafgeleide in dat punt, nl.
limx →
>2f ' x( ) = 1
limx →
<2f ' x( ) = − 1
Besluit:
f continu in x = x0 / ⇒ f afleidbaarin x = x0 .
Maar men bewijst dat,
f afleidbaar in x = x0 ⇒ f continuin x = x0
Analyse 16
5.3. Verticale raaklijn
Voorbeeld.
De functie y = x3
is continu voor elke waarde van x.
We berekenen de afgeleide voor x = 0
lim∆ x → 0
f 0 + ∆ x( )− f 0( )∆ x
= lim∆ x→ 0
∆ x3
∆ x= lim
∆ x→ 0
1
∆ x23= + ∞
De functie is dus niet afleidbaar voor x = 0. Men spreekt van een oneigenlijke afgeleide.
Meetkundig betekent dit dat tg a = + ∞, zodat a = 90°. De raaklijn valt dus samen met de y-as.
5.4. Regels voor de berekening van de afgeleide functies
1. afgeleide van een constante
y = k ⇒ y' = 0
2. afgeleide van het argument
y = x ⇒ y' =1
3. afgeleide van een som van functies
y = u + v + w ⇒ y' = u' +v' +w'
4. afgeleide van een product van functies
y = u.v ⇒ y' = u' . v + u.v'
5. afgeleide van een quotiënt van functies
y =u
v⇒ y' =
u' . v − u.v'
v2
6. afgeleide van een macht
y = un ⇒ y' = n. un−1.u'
7. afgeleide van de samengestelde van 2 functies
Dx go f( ) x( )[ ]= Dz g z( ) . Dx f x( ) 8. afgeleide van goniometrische functies
y = sin x ⇒ y' = cosx
y = cosx ⇒ y' = − sin x
y = tg x⇒ y' =1
cos2 x
y = cotg x⇒ y' =−1
sin2 x
Analyse 17
5.5. Opgaven 1. y = x3 −x2 − x +1 y' = 3x2 − 2x−1( )
2. y =1
8x3 +
3
4x2 − 4 y' =
3
8x2 +
3
2x
3. y = x2 − 4x + 3( )2 y' = 2 x2 − 4x + 3( ) 2x− 4( )( ) 4. y = x3 x + 6( )2 x + 3( ) y' = 3x2 x + 6( ) 2x2 +13x+ 18( )( )
5. y =2,5
−5+ 3x− 1
2x2
y'=2,5x− 7,5
−5 + 3x− 1
2x2
2
6. y =2x2 − 3
x2 − 2x + 2 y'=
−4x2 +14x− 6
x2 − 2x+ 2( )2
7. y =x2 − 5x + 7
x − 2 y'=
x2 − 4x+ 3
x − 2( )2
8. y =x x + 2( )
x2 −1 y' =
−2 x2 + x +1( )x2 −1( )2
9. y =1
3x3 + x +
2
x y' = x2 +1−
2
x2
10. y =x3
x2 −1 y' =
x2 x2 − 3( )x2 −1( )2
11. y = a2 −x2 y' =−x
a2 − x2
Analyse 18
12. y = x + 18− x2 y'=18− x2 − x
18− x2
13. y = x3 + 3x2 y' =3x2 + 6x
2 x3 + 3x2
14. y = 2x3 + 5x −5 y'=6x2 + 5
2 2x3 + 5x − 5
15. y = 4x −1− x2 − x − 2 y' = 4 −2x−1
2 x2 − x − 2
16. y = 2x−1( ) 4− x2 y' = 2 4 − x2 −x 2x −1( )
4− x2
17. y = x +1( )2 x2 − 4x+ 3 y' =x +1( ) 3x2 − 9x+ 4( )
x2 − 4x+ 3
18. y = 5x2 − 4x+13
y' =2 5x − 2( )
3 5x2 − 4x+1( )23
19. y = 5x2 − 6x+ 4( ) x2 + 2( )34 y'=35x3 − 30x2 + 52x− 24
2 x2 + 24
20. y =x + 5
x y'= −
x +10
2x2 x + 5
21. y =2x2 −3x+1
x2 − x +1 y' =
4x3 − 6x2 + 9x− 5
2 x2 − x + 1( ) x2 − x +1
22. y =3x
1+ 2x( )5 y' =
3 1− 3x( )1+ 2x( )7
Analyse 19
23. y =x −1( ) x − 2( )x − 3( ) x − 4( )
y' =−2x2 +10x−11
x −1( ) x − 2( ) x − 3( )3 x − 4( )3
24. y =2−3x2( ) x2 − 9
4x2 y' =
−3x4 − 2x2 + 36
4x3 x2 − 9
25. y =2x−1( )2 x3 − 2
3
x + 2( )3 y' =
2x −1( ) 14x3 − 2x2 + 4x− 22( )x + 2( )4 x3 − 2( )23
26. y = 4 sin2 x y' = 4 sin 2x( ) 27. y = cos2x −5 cosx −2 y' = −2 sin 2x+ 5 sin x( )
28. y = cos2 x
2 y' = − sin
x
2. cos
x
2
29. y =sin x + cosx
sin x− cos x y'=
−2
sin x− cos x( )2
30. y = x −sin x y' =1−cos x( )
31. y = sin 2x −2sin x y' = 2 cos 2x− 2 cos x( )
32. y = cos x y'=−sin x
2 cos x
Analyse 20
33. y = cos2 4x3 y'=− 8 sin 4x
3 cos 4x3
34. y = 4 cos3x + 3sin 4x y' = − 12 sin 3x+12 cos 4x( ) 35. y = cosx + sec2x y' = −sin x + 2tg 2x sec 2x( )
36. y =cos2x
sin x y' =
−2sinxsin2x − cosxcos2x
sin2 x
37. y =sinx . cosx
3 cos2 x − 2 sin2 x y' =
3 cos4 x + 2 sin4 x
3 cos2 x − 2 sin2 x( ) 3 cos2 x − 2 sin2 x
6. Onbepaalde integraal
6.1. Primitieve functies
Definitie
Een primitieve functie F(x) van de functie f(x) is elke functie met de eigenschap F'(x) = f(x).
Eigenschap 1
Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan is ook F(x) + k, k ∈ IR , een primitieve functie van
f(x).
Eigenschap 2
Als F1 x( ) en F2 x( ) primitieve functies zijn van f(x) dan verschillen F1 x( ) en F2 x( ) slechts door
een constante term.
Besluit
Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan worden alle primitieve functies van f(x) gevonden
door bij F(x) een willekeurig reëel getal op te tellen.
Analyse 21
6.2. Onbepaalde integraal
De onbepaalde integraal van een functie f(x) is de verzameling van alle primitieve functies van
f(x).
Notatie:
f x( ) dx = F(x) + k F' (x) = f (x) en k∈IR{ }∫
kortweg noteert men
f x( ) dx = F x( ) + k∫
6.3. Eigenschappen
1. k f x( )dx = k f x( ) dx∫∫
2. f x( )+ g x( )( )dx = f x( )dx + g x( )dx∫∫∫
6.4. Fundamentele integralen
xn dx =xn+1
n +1+ k, als n≠ −1∫
sin x dx= − cos x+ k∫
cos x dx= sin x+ k∫
dx
cos2 x= tg x + k∫
dx
sin2 x= − cotg x+ k∫
6.5. Substitutiemethode
De substitutiemethode is gebaseerd op de formule:
f g x( )( )g' x( ) dx = f t( ) dt met g x( ) = t∫∫
Analyse 22
6.6. Opgaven
Bereken de onbepaalde integraal met integrand gelijk aan:
1. x3
3
4x x
3 + k
2. x34
4
7x x34 + k
3. x x 2
5x2 x + k
4. x3 x25
5
22x4 x25 + k
5. 1
x3
3
2x23 + k
6. 1
x9 −
1
8x8+ k
7. x34
x23 12
13x x
12 + k
8. 2x + 7 x2 + 7x + k( )
9. sin x + cos x (- cos x + sin x + k)
10. 7
2 cos2 x
7
2tg x + k
11. 1
1− cos 2x −
1
2cotg x+ k
12. 5x2 − 8x+ 3
x5 −
5
2x2+
8
3x3−
3
4x4+ k
Analyse 23
13. 1− cos3 x
cos2 x tan sinx x k− +
14. 1+ cos 2x ± 2 sin x + k( )
15. x + 3( )5
x + 3( )6
6+ k
16. cos2x 1
2sin 2x+ k
17. cos2 x 1
2x +
1
4sin 2x+ k
18. sin2 x 1
2x −
1
4sin 2x+ k
19. x − 5( )4
x − 5( )5
5+ k
20. x + 6 2
3x + 6( ) x + 6 + k
21. 4
x − 5 8 x− 5 + k( )
22. sin 3x −1
3cos 3x+ k
23. 2x− 7( )5
2x − 7( )6
12+ k
24. 3x + 4 2
93x+ 4( ) 3x + 4 + k
25. 1
cos2 4x
1( tan 4 )4
x k+
26. 1
3x −13
1
23x−1( )23 + k
27. x − 2( ) x − 2 2
5x − 2( )2
x − 2 + k
Analyse 24
28. x + 3( ) 2x+ 6 2
5x +3( )2
2x+ 6 + k
29. sin3 x − cos x+cos3 x
3+ k
30. cos3 x sin x−sin3 x
3+ k
31. sin 2x . cosx −2
3cos3 x + k
32. cos4 x 3
8x +
1
4sin 2x+
1
32sin 4x+ k
33. sin4 x 3
8x −
1
4sin 2x+
1
32sin 4x+ k
34. 1
1+ cos x (tan )
2
xk+
35. x x + 3 2
5x2 + x − 6( ) x + 3 + k
36. x2 x −1 2
105x −1( ) 15x2 +12x + 8( ) x −1 + k
37. x + 3( ) x + 23
3
28x + 2( ) 4x+15( ) x + 2
3 + k
28. x + 2
3x −1
2
273x + 20( ) 3x−1 + k
Analyse 25
6.7. Partiële integratie
Vermits
udv = d(uv) - (du)v
is
udv = uv − vdu.∫∫
Deze formule ligt aan de basis van de partiële integratie.
6.8. Opgaven
Bereken de onbepaalde integralen met integrand gelijk aan:
1. x2 .cosx x2 sin x + 2x cos x− 2 sin x+ k( )
2. x. cosx x sin x + cos x+ k( ) 3. x3 sin x −x3 cos x+ 3x2 sin x + 6x cos x− 6 sin x + k( )
4. cos2 x 1
2x +
1
2sin x. cos x+ k
5. cos3 x 1
3cos2 x. sin x +
2
3sin x + k
6. x.sin x. cosx −1
4x. cos 2x+
1
8sin 2x + k
7. x. cos2 x 1
4x2 +
1
4x sin 2x +
1
8cos 2x+ k
Analyse 26
7. Bepaalde integraal
7.1. Grondstelling
Is f x( )dx = F x( ) + k∫ , dan is f x( )dxa
b
∫ = F b( ) − F a( ) = F x( )a
b.
Merk op de bepaalde integraal is een getal.
7.2. Integratiemethoden
7.2.1. Substitutiemethode
Voorbeeld.
I = sin 2x dx0
π2
∫
- eerste methode: eerst de onbepaalde integraal oplossen
sin 2x dx =1
2sin 2x d 2x( ) = −
1
2cos 2x+ k∫∫
zodat I = −1
2cos 2x[ ] 0
π2 = −
1
2−1− 1( ) = 1
- tweede methode: aanpassen van de integratiegrenzen, bij het doorvoeren van de
substitutie
I = sin 2x dx0
π2
∫
stel 2x = t dan is 2dx =dt
en voor
x = 0 is t = 0
x = π2
is t= π
bijgevolg is: I = sin t.1
2dt = −
1
2cos t
0
π
∫0
π
= −1
2cosπ − cos 0( ) = 1
Analyse 27
7.2.2. Partiële integratie
udva
b
∫ = uv ab− vdu
a
b
∫
Voorbeeld.
I = x x − 1 dx1
2
∫
u = x → du = dx
dv = x −1 dx ⇒ v = x −1( ) d x−1( )=2
3x −1( )3
∫
I =2
3x x − 1( )3
1
2
−2
3x − 1( )3
dx1
2
∫
2
32 − 0( ) −
2
3.2
5x − 1( )5
1
2
=4
3−
4
151− 0( ) =
16
15
Analyse 28
7.3. Opgaven
1. x dx1
3
∫ (4)
2. 3x2 − 2x + 4( ) dx−2
2
∫ (32)
3. sin x dx0
π
∫ (2)
4. 1
x21
2
∫ dx 1
2
5. cos2 x dxπ
2 π
∫ π2
6. 1− x2 dx0
1
∫ π4
7. x x + 5 dx−5
−1
∫ −208
15
8. x
x2 + 5dx
−2
2
∫ (0)
9. cos2 x sin3 x dx0
π
∫ 4
15
10. cosx sin3 x dx0
π2
∫ 1
4
Goniometrie
Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel
De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de wijzerzin (fig. 1).
1.2 Georiënteerde hoeken
Een hoek wordt bepaald door 2 gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde hoek. We noteren ∠AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen. We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA. Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek ∠AOB. De hoek ∠BOA is een andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van ∠AOB zullen noemen (fig. 2).
Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd.
+
x
y
Z
α
∠AOB
A
B
∠BOA
A
B
O O
fig. 1 : de goniometrische cirkel fig. 2 : hoeken ∠AOB en ∠BOA
De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke georiënteerde hoek ∠OAB, die we voortaan α zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel.
Goniometrie 2
fig. 3 : de vier kwadranten
Als Z ∈ I: hoek α behoort tot het eerste kwadrant.
Als Z ∈ II: hoek α behoort tot het tweede kwadrant.
Als Z ∈ III: hoek α behoort tot het derde kwadrant.
Als Z ∈ IV: hoek α behoort tot het vierde kwadrant.
Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek 2πR bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus 2π radialen. Omgekeerd, tekent men in het middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van θ radialen, dan bepaalt deze op de cirkel een boog met lengte θ.R. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm geschreven.
In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen °, ' en " worden gebruikt voor resp. graden, boogminuten en boogseconden.
Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van 360° of 2π na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van de georiënteerde hoek α genoemd. De hoofdwaarde van α is die waarde van α welke behoort tot ]- 180°, 180°], resp. ]- π,π].
1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd
Omdat 2π = 360° gelden de volgende omzettingsformules:
°
360 rr rad 2
2g rad360
g
π
π
° →
→
Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de vermelding ‘rad’.
Goniometrie 3
2 De goniometrische getallen 2.1 Definities
Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek α zoals omschreven in de vorige paragraaf. Het eindbeen van de hoek α snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de x-coördinaat van Z de cosinus van α, of kortweg cos α, en de y-coördinaat de sinus van α of kortweg sin α. De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast. Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op een geheel veelvoud van 2π na.
x
y
Z
α1
cosα
sinα
Fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel
Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd :
de tangens : sintancos
ααα
= de cotangens : coscotsin
ααα
=
de secans : 1seccos
αα
= de cosecans : 1cscsin
αα
=
1
1
cosα
α
sinα
tanαcotα
secα
cscα
S1
S2
Fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen
Goniometrie 4
Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in volgende gebieden :
sin α [ -1,1 ] cos α [ -1,1 ]
tan α ] -∞ , +∞ [ cot α ] -∞ , +∞ [
sec α ] -∞ , −1] ∪ [ 1, +∞ [ csc α ] -∞ ,−1] ∪ [ 1, +∞ [
2.2 Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen
α 0 30° = π/6 45° = π/4 60° = π/3 90° = π/2
sin α 0 1/2 2 /2 3 /2 1
cos α 1 3 /2 2 /2 1/2 0
tan α 0 1/ 3 1 3 ∞
cot α ∞ 3 1 1/ 3 0
sec α 1 2/ 3 2 2 ∞
csc α ∞ 2 2 2 /3 1
Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante hoeken.
2.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen
Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 5).
+
++
--
+
+
+
-
-
+
+
+-
-
sinus cosecans
cosinus secans
tangens cotangens
Fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant.
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
Goniometrie 5
2.4 Hoofdformule en afgeleide formules
De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons :
2 2 2OP PZ OZ+ =
Met cos ; sin ; 1OP PZ OZα α= = = betekent dit :
2 2cos sin 1α α+ =
Dit is de hoofdformule van de goniometrie. Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid :
2 2
2 2
1 tan sec
1 cot csc
α α
α α
+ =
+ =
P
Q Z
α
Ο x
y
Fig. 7 : de driehoek OPZ
2.5 Voorbeelden
2.5.1 Berekening van goniometrische getallen Gegeven: sin 5 13α =
Gevraagd: alle andere goniometrische getallen
Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen :
• uit de hoofdformule : 2 2cos 1 sin 1 25 169 144 169α α= − = − =
dus cos 144 169 12 13α = ± = ±
• tan sin cos 5 12α α α= = ±
• cot 1 tan 12 5α α= = ±
• sec 1 cos 13 12α α= = ±
Goniometrie 6
• csc 1 sin 13 5α α= =
De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten.
Samengevat :
kwadrant sin cos tan cot sec csc
1ste 5/13 12/13 5/12 12/5 13/12 13/5
2de 5/13 -12/13 -5/12 -12/5 -13/12 13/5
2.5.2 Bewijs de volgende identiteit
2 2 2 2sec csc sec cscα α α α+ =
Bewijs : 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1sec csccos sinsin cos =cos sin
1 =cos sin
= sec csc
α αα α
α αα α
α α
α α
+ = +
+
2.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken
2.6.1 Formules
a. Supplementaire hoeken ( = som is π )
sin(π − α) = sin α cos(π − α) = - cos α
tan(π − α) = - tan α cot(π − α) = - cot α
b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is π )
sin(π + α) = - sin α cos(π + α) = - cos α
tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α
c. Tegengestelde hoeken ( = som is 2π )
sin(2π − α) = - sin α cos( 2π − α) = cos α
tan(2π − α) = - tan α cot(2π − α) = - cot α
Goniometrie 7
d. Complementaire hoeken ( = som is π / 2 )
sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α
tan(π/2 − α) = cot α cot(π/2 − α) = tan α
α
y
x
-απ+α
π-α
Fig. 8 : De aanverwante hoeken van α
De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant; de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire hoeken kunnen hoeken tussen 45° en 90° herleid worden naar hoeken tussen 0° en 45°. het volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen.
2.6.2 Hoeken terugzoeken
Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder!
Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede oplossing:
Invoer Rekenmachine Tweede oplossing
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Positieve sinus of cosecans 1 2
Negatieve sinus of cosecans 4 3
Positieve cosinus of secans 1 4
Goniometrie 8
Negatieve cosinus of secans 2 3
Positieve tangens of cotangens 1 3
Negatieve tangens of cotangens 4 2
2.7 Oefeningen
2.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen (zonder vooraf de hoek te bepalen)
1. sin 6 6α = − 2. csc 4 3α =
3. cot 13 6α = − 4. sec 25 24α =
2.7.2 Bewijs volgende identiteiten
1. 2 2 2 2csc cot csc cotα β β α+ = +
2. ( ) ( )( ) ( )
2 21 sin 1 sincos cot
sec 1 sec 1α α
α αα α
− +=
+ −
3. ( )2sec tan 1 sinsec tansec tan 1 sin
α α αα αα α α
+ += + =
− −
4. ( )( ) ( )32 1 tan
1 cot sec 2 tantan
αα α α
α+
+ + =
2.7.3 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante hoeken.
1. ( )
( )
( ) ( )cos cos sin cos23sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
x x x x
π π π ππ π ππ
+ − − + + − − + +
2. csc(2 )sec( ) sec(2 )csc( )3 3csc sec sec csc
2 2 2 2
x x x x
x x x x
π π π ππ π π π
+ − − −−
− + + −
Goniometrie 9
2.7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik geen rekenmachine). 1. sin 120° 2. cos ( -135° )
3. tan 225° 4. 3cot4π −
5. 11tan3π
2.7.5 Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen.
1. cos 5x = 32
−
2. sin 5x = 32
−
3. sin 2x = 3 sin x
4. 1 + sin x = 3 sin x
5. sin x = 15
en x ∈ ,2π π
; gevraagd: sin 2x
6. 22 sin x = 3 cos x
7. tan ( 3x + 2 ) = 3
Goniometrie 10
3 De goniometrische functies 3.1 Periodieke functies
Definitie : een functie f : IR → IR is periodiek
⇔
∃ p IRo : ∀ x dom f : x + p dom f ∧ f (x + p ) = f(x)
Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over opeenvolgende intervallen met lengte P.
3.2 Even en oneven functies
Een functie f heet EVEN indien:
∀ x dom f : - x dom f ∧ f (- x) = f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as.
Een functie f heet ONEVEN indien:
∀ x dom f : - x dom f ∧ f (- x) = - f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong.
3.3 Sinusfunctie
sin : IR → [ -1,1 ] : x → sin x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen.
Fig. 9 : de sinusoïde
∈ ∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
-π π
Goniometrie 11
3.4 Cosinusfunctie
cos : IR → [ -1,1 ] : x → cos x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen.
fig. 10 : de cosinusoïde
3.5 Tangensfunctie
tan : IR \ π kπ , k IR2
+ ∈
→ IR : x → tan x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen.
fig. 11 : de tangensfunctie
3.6 Cotangensfunctie
cot : IR \ { }kπ , k IR∈ → IR : x → cot x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen.
-π π
π− 2π
− 2π π
Goniometrie 12
fig. 12 : de cotangensfunctie
3.7 De secansfunctie
sec : IR \ π kπ , k IR2
+ ∈
→ ] −∞, −1] ∪ [1,+∞[ : x → sec x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke secansen.
fig. 13 : de secansfunctie
3.8 De cosecansfunctie
csc : IR \ { }kπ , k IR∈ → ] −∞,−1] ∪ [1,+∞[ : x → csc x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus tegengestelde cosecansen.
π− 2π
π− 2π
− 2π
π
π
Goniometrie 13
fig. 14 : de cosecansfunctie
3.9 Oefeningen
3.9.1 Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek 1. f(x) = sin 2x
2. f(x) cos3x =
3. f(x) cos3xπ = +
π− 2π
− 2π π
Goniometrie 14
4 Rechthoekige driehoeken 4.1 Formules
fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf
In een rechthoekige driehoek met α als rechte hoek gelden steeds volgende formules:
α = 2π β + γ =
2π a2 = b2 + c2
Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende lengten:
c = a cos β en b = a sin β
Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede driehoek in fig. 15), vinden we:
b = a cos γ en c = a sin γ
In woorden :
De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde
De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde
Delen wij de eerste twee formules dan vinden we :
b = c tan β of c = b cot β
Analoog met de laatste twee formules :
c = b tan γ of b = c cot γ
Goniometrie 15
In woorden :
De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde
De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde
Voorbeeld : Gegeven : α = 90° ; β = 13° ; b = 10
Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden
γ = 90° - β = 90° - 13° = 77°
a = 10sin sin13
bβ
=°
= 44.5
c = 2 2a b− = 43.5
4.2 Oefeningen
1. Gegeven : ∆ABC met a = 45, α = 90° ; β = 40°10'35"
Gevraagd : de overige zijden en hoeken
2. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53°18' ; helemaal ingeschoven is de hoek 29°10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken :
• de maximale hoogte die men kan bereiken • de maximale lengte van de ladder
3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule wordt uitgedrukt: sin 4sin 3
αβ
= .
Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30° bedraagt en het water 1 m diep is. Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek β te berekenen.
Goniometrie 16
In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden. In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het berekenen van hoeken tussen staven.
4. Bereken:
• hoek tussen FE en het horizontaal vlak • hoek tussen FC en het verticaal vlak
fig. 17 : illustratie bij oefening 4
5. Bereken hoek tussen CD en DF
fig. 18 : illustratie bij oefening 5
6. Bereken hoek tussen BC en CD
fig. 19 : illustratie bij oefening 6
Goniometrie 17
5 Willekeurige driehoeken Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat de som van de hoeken 180° is.
Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ∆ABC met zijden a, b en c en hoeken α, β en γ.
5.1 De sinusregel
De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek ∆ΑΒS enerzijds, en vanuit het punt C in de driehoek ∆ASC anderzijds :
fig. 20 : Willekeurige driehoek
d = c sin β en d = b sin γ
Dus bekomen we sin sinb c
β γ=
Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende hoek α in de gelijkheid. Dit geeft ons de
SINUSREGEL : sin sin sin
a b cα β γ
= =
5.2 De cosinusregel
Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 15 wordt de zijde a door S in twee stukken gedeeld met lengte a1 en a2. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als
a1 = b cos γ
d = b sin γ
In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras:
Goniometrie 18
2 2 2 2 22 1
2 2 2 21 1
2 2 2 2 2
2 2
c = d + a = d + (a-a )
= b sin γ + a + a - 2 a a
= b sin γ + a + b cos γ - 2 a b cos γ
= b + a - 2 a b cos γ
Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt.
Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken.
Samengevat krijgen we op die manier:
COSINUSREGEL : a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α
b2 = a2 + c2 - 2 a c cos β
c2 = a2 + b2 - 2 a b cos γ
Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras.
5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek
Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken: • de som van de hoeken is 180° • de sinusregel: betrekkingen tussen 2 zijden en hun overstaande hoeken • de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek. Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180° bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de driehoeksongelijkheid, nl. de som van 2 zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde. a. Gegeven twee zijden a en b en hun tussenliggende hoek.
Dan is er 1 oplossing: bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde hoek als 180° min de twee reeds gekende.
Opgelet: de sinusregel geeft 2 oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (Zie oefeningen)
Goniometrie 19
b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken.
Dan is er één oplossing: de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180° min de twee gegeven hoeken, de twee overige zijden zijn gekend via de sinusregel.
c. Gegeven de drie zijden.
Dan is er één oplossing: bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde via de som van de hoeken die 180° moet zijn.
d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of 2 oplossingen zijn.
Bepaal de hoek α uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin α > 1) of 2 oplossingen (supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek γ, en dan de zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is: er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (Zie oefeningen)
5.4 Oefeningen
1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 21°. Gaat men 24 meter dichterbij, dan is die hoek 35°. Bepaal de hoogte van de toren.
2. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen maken onderling een hoek van 32°. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur.
3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45°. Vijf meter boven het steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen vastmaken.
fig. 21 : illustratie bij oefening 3
4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van 2 meter, en daarna met een kabel van 8 meter.
5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van 2, 3 en 4 meter. Bepaal voor elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet.
Goniometrie 20
6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40° naar het oosten. Na 20 km te hebben gevaren is de hoek toegenomen tot 80°. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de vuurtoren.
7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD.
Fig. 22 : illustratie bij oefening 7
Goniometrie 21
6 Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek
6.1.1 Hoogtelijn = de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan buiten deze zijde liggen.
Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit kan buiten de driehoek liggen.
H Z
fig. 23 : hoogtelijnen fig.24 : zwaartelijnen
6.1.2 Zwaartelijn = verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.
Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit ligt binnen de driehoek.
6.1.3 Andere lijnen Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek. Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen.
6.2 Gelijkbenige driehoeken
β
α
β
h bb
a
H
fig. 25 : gelijkbenige driehoek
Goniometrie 22
Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken genoemd.
Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen.
Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek α en de basishoek β:
dan : h = b sin β en 2a
= b cos β
6.2.1 Oefeningen 1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken.
2. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande zijde 14.
3. Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 42° en basis 12.
4. Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36° en top-hoogtelijn 28.
5. In een gelijkbenige driehoek met tophoek 24° ligt het hoogtepunt op afstand 26 cm van de top. Bepaal alle hoeken en zijden.
6.3 Gelijkzijdige driehoeken
aa
a
H=Z
60°
60° 60°
fig. 25 : gelijkzijdige driehoek
Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig. Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60°.
Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek. Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen.
Goniometrie 23
6.3.1 Oefeningen 1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de
lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek)
2. Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 28 cm
3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de zijden.
6.4 Buitenhoeken
De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus 360° of 2π .
Goniometrie 24
7 Goniometrisch rekenen De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden. Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen.
7.1 Som- en verschilformules
Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid.
Nemen we de somformule voor de sinus:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1) Vervang hierin β door -β , met sin(-β) = - sin β, cos(-β) = cos β:
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β (2)
Voor de analoge cosinusformules:
cos(α + β) = sin[2π - (α + β)]
= sin [(2π - α ) - β]
= sin(2π - α) cos β - cos(
2π - α) sin β
of nog : cos(α+ β) = cos α cos β - sin α sin β (3)
Wordt hierin opnieuw β vervangen door -β :
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β (4)
Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij elkaar.
We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en noemer door cos α cos β :
tan tantan( )1 tan tan
α βα βα β+
+ =−
(5)
Goniometrie 25
en vervangen we β door -β, dan bekomen we:
tan tantan( )1 tan tan
α βα βα β−
− =+
(6)
7.2 Verdubbelingsformules
Nemen we in de voorgaande somformules β gelijk aan α dan vinden we de formules voor dubbele hoeken :
cos 2α = cos 2 α - sin 2 α (7) sin 2α = 2 sin α cos α (8)
2
2 tantan 21 tan
ααα
=−
(9)
Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos2 α te vervangen door 1 - sin2 α, of sin2 α door 1 - cos2 α :
cos 2α = 1 - 2 sin 2 α (10) cos 2α = 2 cos 2 α - 1 (11) En dus:
sin 2 α = 12 ( 1 - cos 2α ) (12)
cos 2 α = 12 ( 1 + cos 2α ) (13)
7.3 Halveringsformules
Vervang 2α door α in (10) en (11):
cos α = 1 - 2 sin 2 α2 (14)
cos α = 2 cos 2 α2 - 1 (15)
7.4 Goniometrische getallen in functie van tan α/2
In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec 2 α . Door in de noemer 1 + tan 2 α = sec 2 α (zie $ 2.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen met de cosinus vinden we :
2
2 tansin 21 tan
ααα
=+
(16)
Goniometrie 26
Vervangen we α hierin door 2α :
2
2 tan2sin
1 tan2
α
αα
=+
(17)
Door een zelfde operatie op (7) vinden we :
2
2
1 tan2cos
1 tan2
α
αα
−=
+ (18)
en door in (9) α te vervangen door2α :
2
2 tan2tan
1 tan2
α
αα
=−
(19)
7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd
In de somformules (1) en (2) zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product sin α cos β. Door (1) en (2) lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door 2 te delen bekomen wij :
sin α cos β = 12 [ sin(α + β) + sin(α - β) ] (20)
Op analoge manier vinden we door (1) en (2) lid aan lid af te trekken :
cos α sin β = 12 [ sin(α + β) - sin(α - β) ] (21)
Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu:
cos α cos β = 12 [ cos(α + β) + cos(α - β) ] (22)
sin α sin β = 12 [ cos(α - β) - cos(α + β) ] (23)
Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend
argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor 12
naar het
andere lid te brengen en vervolgens :
α : te vervangen door p + q
2
β : te vervangen door p - q
2
Goniometrie 27
Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson:
sin p + sin q = 2 sin p + q
2 cos p - q
2 (24)
sin p - sin q = 2 cos p + q
2 sin p - q
2 (25)
cos p + cos q = 2 cos p + q
2 cos p - q
2 (26)
cos p - cos q = - 2 sin p + q
2 sin p - q
2 (27)
7.6 Oefeningen
1. In een driehoek geldt:
2 2 2sin sin sin 2sin sin cosα β γ α β γ+ − = Bewijs.
2. Bereken en/of vereenvoudig:
a. tan cot4 4π πα α − + +
b. sin cossin cos
α αα α
−+
3. Schrijf in functie van machten van sin α en/of cos α:
a. sin 3α
b. cos 4α
c. tan2α
d. sin cos
2 2
cos sin2 2
α α
α α
+
−
4. Ontbind in factoren:
a. sin 3 sinα α− ( )opl: 2cos 2 sinα α
b. cos 4 cos5 cos 6α α α+ + ( )opl: cos5 (2cos 1)α α +
c. tan sinα α− 2opl: 2 tan sin2αα
d. 2 2cos cosβ α− ( )opl: sin( )sin( )α β α β+ −
Goniometrie 28
Chemie
A. Deschuytere S. De Jonge
Hoofdstuk 1. Inleiding 1. Praktische informatie. Het eerste jaar Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen bij KULeuven campus GroepT omvat verschillende opleidingsonderdelen waaronder het vak Chemie. In dit vak worden een aantal voor een ingenieur belangrijke aspecten van de Chemie behandeld. Daarbij veronderstellen we dat je als student reeds een zekere voorkennis van Chemie hebt. Vele studenten zullen de meeste onderdelen van deze basiskennis reeds in hun vorige opleidingen bestudeerd hebben. Andere daarentegen hebben maar weinig Chemie gehad. Daarom heeft de Eenheid Materie, die verantwoordelijk is voor alle opleidingsonderdelen die met Chemie te maken hebben, de hiernavolgende tekst opgesteld. Normaal gezien kan je deze gebruiken om zelfstandig de voorkennis Chemie in te studeren. Om je hierbij echter te begeleiden organiseren we een introductiecursus voor beginnende studenten. Voor het gedeelte Chemie is dit de cursustekst. Tijdens de cursus van het eerste bachelorjaar wordt een handboek gebruikt als cursustekst. Een aantal van de begrippen die hier besproken worden komen ook voor in dit handboek (General Chemistry, Chang, McGraw-Hill, 4de ed.).
2. Chemie en chemische technologie Chemische technologie omvat alle processen die de mens gebruikt om de structuur en de samenstelling van de materie te wijzigen. Vele van deze processen zijn even oud als de mens zelf, andere zijn slechts zeer recent ontwikkeld. Processen die in de voedselbereiding of in de metaalverwerkende industrie gebruikt worden behoren tot de oudste processen. De ontwikkeling van nieuwe geneesmiddelen, brandstofcellen en organische halfgeleiders zijn enkele voorbeelden van meer recente ontwikkelingen in de chemische technologie.
3. Materie Materie is alles wat ons omringt. De materie kan duidelijk zichtbaar zijn maar ook onzichtbaar (de gassen in de ons omringende atmosfeer bvb.). De materie kan van natuurlijke oorsprong zijn of door de mens gemaakt. De mens zelf is opgebouwd uit materie. We kunnen de materie bewerken om er nieuwe vormen van te maken. Materie kan gekleurd zijn of niet, doorzichtig of ondoorzichtig, inert of eerder reactief. Bij deze grote verscheidenheid in de ons omringende materie kunnen we ons afvragen waaruit de materie is opgebouwd, hoe de materie die in het universum aanwezig is, ontstaan is en wat de relatie is tussen materie en energie. De kennis van de samenstelling en de structuur van de materie laat ons ook toe ermee te werken. Onderzoek heeft aangetoond dat de materie, in al zijn vormen en verscheidenheid, opgebouwd is uit een aantal fundamentele bouwstenen, de atomen. De kennis van de atomen en de wijze waarop ze met elkaar binden laat ons toe toe vele eigenschappen van de materie te verklaren.
Chemie 2
Als toekomstige ingenieur is inzicht in de samenstelling en de eigenschappen van de materie bijzonder belangrijk. Vele functies die je als ingenieur kan uitvoeren hebben te maken met het werken met materie.
Chemie 3
Hoofdstuk 2. Het atoom 1. Atomen en materie. De atomen zijn de bouwstenen waaruit de materie is opgebouwd. In de natuur komen 92 verschillende atomen voor. Sommige daarvan zijn zeldzaam, andere komen in zeer grote hoeveelheden in het universum voor. Ook op aarde komen al deze atomen in meer of mindere mate voor (tabel 1).
Tabel 1 Het voorkomen van atomen in de aardkorst
Atoom
Aanwezigheid in de aardkorst (in %)
Zuurstof 45,5 Silicium 27,2 Aluminium 8,3 Ijzer 6,2 Calcium 4,7 Magnesium 2,8 Alle andere atomen 5,3
De atomen worden gevormd in sterren. Naast de 92 zogenaamd natuurlijke atomen zijn er ook een aantal atomen die door de mens worden gemaakt. Het zijn de synthetische of transuraan atomen. Zij zijn het resultaat van reacties in kernreactoren of deeltjesversnellers.
2. De bouw van het atoom.
A. Elementaire deeltjes. Atomen bestaan zelf uit nog kleinere deeltjes, die elementaire deeltjes genoemd worden. Verschillende atomen zijn dan opgebouwd uit een verschillend aantal van deze deeltjes. De deeltjes waaruit atomen zijn opgebouwd zijn de protonen, de elektronen en de neutronen. Tabel 2 geeft informatie over de massa en de lading van deze deeltjes.
Tabel 2 De eigenschappen van de elementaire deeltjes in atomen
Massa (in g) Lading (in C) Proton 1,67262 x 10-24 + 1,6022 x 10-19
Neutron 1,67493 x 10-24 0 Elektron 9,10939 x 10-28 - 1,6022 x 10-19
B. De lading van de elementaire deeltjes. Uit tabel 2 blijkt dat protonen en elektronen geladen zijn. De protonen hebben een positieve lading, de elektronen een negatieve lading. De neutronen zijn neutrale deeltjes.
Chemie 4
Atomen bevatten evenveel elektronen als protonen zodat zij steeds neutraal zijn. Het atoom zuurstof bvb bevat 8 protonen in de kern en 8 elektronen daarrond. Atomen kunnen wel elektronen afgeven of opnemen zodat er geladen deeltjes, ionen, ontstaan (zie verder). De lading van het elektron (of proton) is de kleinste lading, waarvan alle andere ladingen (ook deze die in de elektriciteit gebruikt worden) veelvouden zijn. Daarom wordt deze waarde de elementaire ladingseenheid (ele) genoemd. Een elektron heeft dus een lading van –1 ele (of gewoon –1) het proton een lading van +1 ele (of +1). 1 ele komt (afgerond) overeen met 1,6 x 10-19 C
C. De massa van elementaire deeltjes. Wat massa betreft zijn protonen en neutronen ongeveer even zwaar, terwijl de elektronen een veel kleinere massa hebben. De massa van de elektronen zal slechts in heel beperkte mate bijdragen tot de massa van een atoom. Meestal wordt de massa van de elektronen dan ook verwaarloosd (zie verder voor een rekenvoorbeeld). De protonen en de neutronen (de zware deeltjes) vormen samen de kern (nucleus) van het atoom. Zij worden daarom ook de nucleonen genoemd. De kern bevat dus bijna alle materie van een atoom. De elektronen daarentegen vormen een soort ijle ruimte rond de kern. Alhoewel niet alle atomen even groot zijn kan men stellen dat de straal van een gemiddeld atoom ongeveer 100 pm bedraagt (een pm komt overeen met 10-12 m). De kern daarentegen meet gemiddeld 5 x 10-3 pm.
D. De samenstelling van de atomen De verschillende atomen waaruit de materie is opgebouwd, onderscheiden zich van elkaar door het aantal protonen in de kern. Dit aantal varieert van 1 tot 92 in de natuurlijke atomen en is hoger in de synthetische atomen. De atomen kunnen gerangschikt worden op basis van het aantal protonen in de kern. Dit aantal, voorgesteld met het symbool Z, is het atoomnummer. Het atoomnummer voor de natuurlijke atomen varieert van 1 tot 92 en is hoger dan 92 in de transuraan atomen. Alhoewel de atomen kunnen beschreven en gerangschikt worden op basis van hun atoomnummer is het om praktische redenen beter ze een naam en een symbool te geven. Zo wordt het atoom dat in zijn kern slechts één proton heeft (Z=1) waterstof genoemd. Het krijgt het symbool H. De volledige lijst van de atomen met hun atoomnummer, naam en symbool vind je terug in de periodieke tabel.
3. Isotopen. Van een atoom, gedefinieerd door zijn atoomnummer, kunnen verschillende isotopen bestaan. Dit zijn varianten van een atoom die hetzelfde atoomnummer hebben maar een verschillend aantal neutronen (in de kern). Het totaal aantal deeltjes in de kern van een atoom (protonen en neutronen) wordt het massagetal van een atoom genoemd. Het massagetal krijgt het symbool A. Isotopen van een atoom hebben dus hetzelfde atoomnummer maar een verschillend massagetal. Tabel 3 toont de isotopen van enkele atomen. Isotopen kunnen stabiel zijn of door radioactief verval verdwijnen. Dit verval kan snel of traag gebeuren.
Chemie 5
Tabel 3 Isotopen van enkele atomen (niet alle bestaande isotopen zijn vermeld). Atoomnummer (Z) Naam (Symbool) Massagetal van de
isotopen Voorkomen (in %)
1 Waterstof (H) 1 99,985 2 0,015
6 Koolstof (C) 12 98,89 13 1,11
20 Calcium (Ca) 40 96,97 42 0,64 43 0,14 44 2,1 46 0,003 48 0,18
92 Uraan (U) 235 0,72 238 99,27
Men heeft vastgesteld dat het procentueel voorkomen van de isotopen een constante waarde is, onafhankelijk van de plaats waar men de atomen verzamelt. De isotopen van een atoom hebben dezelfde chemische eigenschappen. Dit heeft te maken met het feit dat de chemische eigenschappen van een atoom (hoe het bindingen vormt bvb.) afhangen van het aantal elektronen en niet van de kern. Isotopen hebben hetzelfde aantal elektronen daar zij hetzelfde atoomnummer hebben.
4. Voorstelling van een atoom. In de meeste gevallen wordt een atoom voorgesteld met behulp van zijn symbool. Dit is zeker zo wanneer men de formules van moleculen schrijft. Soms echter wenst men bijkomende informatie te vermelden. Wanneer het gaat om een specifieke isotoop kan men het massagetal toevoegen. Dit wordt dan links bovenaan naast het symbool vermeld zoals in volgende voorbeelden.
Voorbeeld 1 De voorstelling van enkele isotopen
Het uraan isotoop met massagetal 238: 238U (uitgesproken “uraan 238”) Het waterstofisotoop met massagetal 2: 2H.
Het koolstofisotoop met massagetal 14: 14C
Eventueel kan het atoomnummer vermeld worden en dan wordt dit links onderaan geschreven. De isotopen van waterstof krijgen eveneens een eigen naam.
Tabel 4 De isotopen van waterstof
Isotoop Naam 1H Waterstof 2H Deuterium 3H Tritium
Chemie 6
5. Atoommassa.
A. Absolute atoommassa. De massa (gewicht) van een atoom is gelijk aan de som van de massa’s van de elementaire deeltjes waaruit het is opgebouwd. Het volstaat dus te weten hoeveel protonen en hoeveel neutronen het atoom bevat. Het aantal elektronen is gelijk aan het aantal protonen.
Voorbeeld 2 Wat is de massa van het 2H waterstofisotoop? Wat is de bijdrage van het elektron tot deze massa?
Dit isotoop bevat 2 nucleonen (1 proton, 1 neutron) en 1 elektron. Massa waterstof atoom 2H = massa proton + massa neutron + massa elektron. Massa 2H = 1,67262 x 10-24 g + 1,67493 x 10-24 g + 9,10939 x 10-28 g. Massa 2H = 3,34846 x 10-24 g De bijdrage van het elektron = (9,10939 x 10-28 g/ 3,34846 x 10-24 g) x 100% = 0,0272 %
Zoals blijkt uit deze berekening draagt de massa van het elektron slechts in beperkte mate bij tot de totale massa van dit atoom. Daarom wordt deze massa meestal verwaarloosd.
B. De atomaire massa eenheid. De massa van een atoom uitgedrukt in gram is een bijzonder klein getal. Het gebruik van deze eenheid om de atoommassa uit te drukken is dan ook onpraktisch. Om die reden werd een nieuwe eenheid ingevoerd die toelaat op een eenvoudige manier zulke kleine massa’s weer te geven. Deze eenheid is de atomaire massa eenheid (ame). Deze wordt gedefinieerd als 1/12 van de massa van een 12C-isotoop. Vermist dit isotoop bestaat uit 6 protonen en 6 neutronen betekent dit dat de ame het gemiddelde is van de massa van een proton en een neutron. De waarde van de ame (afgerond) = 1,6 x 10-24 g . De massa van gelijk welk atoom (of isotoop) kan dan uitgedrukt worden als een veelvoud van de atomaire massa eenheid.
Voorbeeld 3 Wat is de massa van het 2H-isotoop uitgedrukt in ame?
De massa van dit isotoop (zie hoger) = 3,34846 x 10-24 g Massa 2H uitgedrukt in ame = 3,34846 x 10-24 g/1,6 x 10-24 g/ame = 2 ame (afgerond)
C. Gemiddelde atoommassa. Wanneer men spreekt over een bepaald atoom, zoals Chloor, dan heeft men het in werkelijkheid over een verzameling atomen bestaande uit verschillende isotopen met elk een andere massa. Rekening houdend met de massa van elk isotoop en met het
Chemie 7
(constante) relatieve voorkomen van deze isotopen kan men voor een atoom een gemiddelde atomaire massa berekenen. Onderstaand voorbeeld toont dit aan.
Voorbeeld 4 De berekening van de gemiddelde atoommassa van chloor.
Chloor bestaat uit de volgende isotopen: 35Cl: een atoommassa van 34,9688 ame en een procentueel voorkomen van 75,53 % 37Cl: een atoommassa van 36,965 ame en een procentueel voorkomen van 24,47 % De gemiddelde atoommassa van Chloor =
34,9688 ame x 75,53/100 + 36,965 ame x 24,47/100 = 35,45 ame
Op deze wijze kan men voor elke atoomsoort een gemiddelde atoommassa berekenen.
D. Relatieve gemiddelde atoommassa. Zoals blijkt uit vorige berekeningen kan de massa van een gemiddeld atoom weergegeven worden als een veelvoud van de ame. Dit veelvoud wordt de relatieve (gemiddelde) atoommassa (Ar) genoemd. De relatieve atoommassa wordt gedefinieerd als een getal dat aangeeft hoeveel maal het gemiddeld atoom zwaarder is dan de ame. Het is dit getal (dat geen eenheid heeft) dat in de periodieke tabel samen met andere eigenschappen van het atoom vermeld wordt.
Voorbeeld 5 Wat is de massa van een aluminiumatoom?
In de periodieke tabel vindt men voor de relatieve atoommassa van aluminium de waarde 27 Een (gemiddeld) aluminiumatoom weegt dus:
Massa Al-atoom = Ar(Al) x ame = 27 x 1,6 x 10-24 g = 4,32 x 10-24 g
6. Het begrip mol. De massa van de atomen is zeer klein. Dat betekent dat men in de praktijk steeds met zeer grote aantallen atomen zal werken. Een druppel water bvb met een volume van 0,05 ml (dit is ook 0,05 g) bevat ongeveer 5 x 1021 atomen (waterstof en zuurstof). Om met zulke grote aantallen te kunnen werken heeft men het begrip mol ingevoerd. Een mol wordt gedefinieerd als een aantal dat overeenkomt met 6,02 x 1023. Dit getal noemt met het getal van Avogadro (symbool NA). Het komt overeen met het aantal atomen aanwezig in 12 g van het 12C-isotoop. Het begrip mol is vergelijkbaar met andere begrippen die eveneens een aantal aangeven zoals paar (2), dozijn (12), honderd (100) enz. Gezien de waarde van mol heeft het gebruik ervan enkel zin bij het weergeven van de aantallen van zeer kleine deeltjes zoals elektronen, protonen, atomen of, zoals verder blijkt, moleculen.
Chemie 8
Voorbeeld 6 Hoeveel mol atomen zijn er in 0,05 g water?
In 0,05 g water zijn er 5 x 1021 atomen. Het aantal mol atomen hierin = aantal atomen/NA Het aantal atomen in 0,05 g water = 5 x 1021 atomen/ 6,02 x 1023 atomen per mol = 0,00831 mol atomen
7. Molaire massa. De molaire massa van een deeltje (atoom, elektron e.d.) is de massa van 1 mol (6.02 x 1023 ) van deze deeltjes. De molaire massa (symbool MM) bekomt men door de massa van één deeltje te vermenigvuldigen met het getal van Avogadro. De eenheid van molaire massa is g/mol.
Voorbeeld 7 Wat is de molaire massa van aluminium?
De relatieve atoommassa van aluminium (uit periodieke tabel) = 27 De molaire massa van aluminium is: MM(Al) = aantal atomen in 1 mol x massa van 1 atoom MM(Al) = NA atomen/mol x Ar(Al) x ame MM(Al) = 6.02x1023 atomen/mol x 27 ame/atoom x 1,6 x 10-24 g/ame
MM (Al) = 27 g/mol
Zoals blijkt uit dit voorbeeld is de absolute waarde van de molaire massa van een atoom gelijk aan de relatieve atoommassa van dit atoom. Om de molaire massa van een atoom te kennen volstaat het dus de relatieve atoommassa uit een tabel af te lezen en de eenheid g/mol er aan toe te voegen. Onderstaande tabel geeft hiervan enkele voorbeelden.
Tabel 5 Enkele voorbeelden van de molaire massa van atomen.
Atoom Ar (afgerond, uit periodieke tabel)
1 mol van dit atoom weegt
O 16 16 g Al 27 27 g Si 28 28 g V 89 89 g U 238 238 g
Opmerking: de verschillende massa’s in tabel 5 bevatten allemaal hetzelfde aantal deeltjes (nl. 1 mol of 6,02 x 1023).
Chemie 9
8. De periodieke tabel. In de periodieke tabel worden de atomen gerangschikt op basis van hun atoomnummer. Bovendien is de tabel zodanig opgebouwd dat atomen die gelijkaardige eigenschappen hebben samen staan, hetzij vertikaal hetzij horizontaal. De kolommen in de periodieke tabel worden groepen genoemd. De rijen in de periodieke tabel worden perioden genoemd. De atomen die in eenzelfde groep voorkomen vertonen zeer gelijkaardige eigenschappen. Dit is de reden waarom deze groepen een nummer krijgen en ook een naam. De groep waar fluor (F) bovenaan staat krijgt nummer 7 en wordt de groep van de halogenen genoemd. In de periodieke tabel wordt een onderscheid gemaakt tussen de hoofdgroepen, genummerd van IA tot VIIA en VIII, en de nevengroepen, genummerd met het suffix B.
Tabel 6 Informatie over de hoofdgroepen van de periodieke tabel.
Nummer Atoom dat bovenaan staat Naam IA Waterstof Alkalimetalen IIA Beryllium Aardalkalimetalen IIIA Boor Boorgroep IVA Koolstof Koolstofgroep VA Stikstof Stikstofgroep VIA Zuurstof Zuurstofgroep VIIA Fluor Halogenen VIII Helium Edelgassen
De periodieke tabel wordt gebruikt om een grote hoeveelheid informatie over de atomen samen te brengen.
9. De elektronenstructuur van atomen. Atomen bestaan uit een kern die positief geladen is (hier bevinden zich de protonen) met daarrond een aantal elektronen. In een neutraal atoom is het aantal elektronen gelijk aan het aantal protonen. Alhoewel de beschrijving van de elektronen behoort tot het domein van de quantummechanica zullen hier toch enkele aspecten ervan besproken worden. Het aantal elektronen in een atoom varieert van 1 in waterstof (Z=1) tot 92 in uraan (Z=92). Deze elektronen hebben niet allemaal dezelfde energie. Sommige elektronen hebben een lagere energie en bevinden zich gemiddeld dichter bij de kern, andere hebben een hogere energie en bevinden zich gemiddeld verder van de kern. Deze verschillen in positie van de elektronen kunnen weergegeven worden door een model waarbij de elektronen in sferische schillen worden geplaatst. Elke schil komt dan overeen met een energieniveau. De elektronen op de schillen die dichter bij de kern liggen hebben een lagere energie, de elektronen op verder gelegen schillen hebben een hogere energie. De elektronen die zich op de buitenste schil bevinden worden valentieëlektronen genoemd. Het zijn deze elektronen die betrokken zijn bij de interacties (bindingen) tussen atomen.
Chemie 10
Het aantal valentieëlektronen van een atoom kan afgeleid worden uit de positie van het atoom in de periodieke tabel en komt overeen met het nummer van de groep.
Tabel 7 Het aantal valentieëlektronen(VE) van de atomen.
Groep Atoom dat bovenaan staat Aantal VE IA Waterstof 1 IIA Beryllium 2 IIIA Boor 3 IVA Koolstof 4 VA Stikstof 5 VIA Zuurstof 6 VIIA Fluor 7 VIII Helium 8
10. Ionen. Hierboven werd aangegeven dat atomen steeds neutraal zijn omdat ze evenveel elektronen als protonen bevatten. In vele gevallen echter zullen atomen tijdens hun interacties met elkaar elektronen afgeven of opnemen. Dit gebeurt o.a. bij de vorming van chemische bindingen (zie verder). Wanneer atomen elektronen afgeven of opnemen worden ionen gevormd. Positieve ionen (kationen) worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen afgeven (verliezen). Zulke ionen hebben minder elektronen dan protonen en hebben dus een netto positieve lading. De waarde van de positieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat verloren werd. Negatieve ionen worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen opnemen. Zulke ionen hebben meer elektronen dan protonen en krijgen een netto negatieve lading. De waarde van de negatieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat opgenomen werd. Atomen kunnen niet zomaar gelijk welk aantal elektronen verliezen of opnemen. Hoeveel elektronen kunnen worden afgegeven of opgenomen hangt o.a. af van het aantal valantieëlektronen en dus van de groep waarin het atoom zich bevindt.
A. Positieve ionen. Positieve ionen worden o.a. gevormd door atomen die behoren tot de groepen IA, IIA en IIIA. Zij vormen ionen met een lading van respectievelijk +1, +2, +3. Volgende tabel toont dit aan. Enkele ionen van de andere hoofdgroepen zijn eveneens vermeld.
Chemie 11
Tabel 8 Voorbeelden van positieve ionen van de atomen in de hoofdgroepen.
Groep Atoom Ion IA H H+
Li Li+
Na Na+
IIA Be Be+2
Mg Mg+2
Ca Ca+2
IIIA Al Al+3
IVA Pb Pb+2 en Pb+4 Sn Sn+2 en Sn+4
Atomen van de nevengroepen vormen eveneens positieve ionen. Een aantal van deze ionen zijn in volgende tabel weergegeven. Merk op dat sommige atomen meerdere verschillend geladen ionen kunnen vormen.
Tabel 9 Veel voorkomende ionen van de nevengroepen
Groep Atoom Ion(en) IB Cu Cu+ en Cu+2 Ag Ag+
Au Au+ en Au+3 IIB Zn Zn+2 Cd Cd+2 Hg Hg2
+2 en Hg+2 VIB Cr Cr+3 VIIB Mn Mn+2
VIIIb Fe Fe+2 en Fe+3 Co Co+2 Ni Ni+2
B. Negatieve ionen. Negatieve ionen worden voornamelijk gevormd door atomen van de groepen die rechts in de periodieke tabel staan. De belangrijkste daarvan zijn de atomen van groep VIIA (de halogenen). De negatieve ionen van deze atomen zijn in werkelijkheid de zuurresten van de overeenkomende binaire zuren (vb. Cl-)
11. Oefeningen. 1. Stel dat men een atoom zodanig zou vergroten dat de kern even groot is als een basketbal. Hoe groot zou dan het atoom zijn? 2. Stel dat deze basketbal dezelfde dichtheid zou hebben als de kern van een waterstofatoom. Bereken dan de massa van deze bal. 3. Vervolledig volgende tabel
Chemie 12
Tabel 10 Vervolledig.
Symbool Z A Aantal protonen
Aantal neutronen
Aantal elektronen
1 3 H+ 2 Cs 55 133 Bi 209 56 138 56 Sn 70 Zn+2 34 17 37 18 238U 4. De constante van Faraday (F) geeft de lading weer van één mol elektronen. Bereken deze waarde. 5. Bereken de bijdrage van de massa van de elektronen tot de totale massa in een 203Hg-atoom. 6. Hoeveel valentieëlektronen heeft het 12C-isotoop?
Chemie 13
Hoofdstuk 3. De molecule. 1. Inleiding. Een molecule is een deeltje dat bestaat uit meerdere atomen. Deze atomen zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. In dit gedeelte van de cursus wordt besproken hoe deze chemische bindingen ontstaan en dus hoe moleculen gevormd worden. Een molecule wordt beschreven met een moleculeformule die aangeeft welke en hoeveel atomen deel uitmaken van de molecule.
2. De chemische binding.
A. Definitie. De chemische binding is een interactie tussen atomen die tot gevolg heeft dat deze atomen aan elkaar gebonden worden om zo een min of meer permanente structuur (molecule) te vormen. Bindingen kunnen terug verbroken worden zodat chemische reacties mogelijk worden. Tijdens chemische reacties worden bestaande bindingen verbroken en ontstaan nieuwe bindingen met de oorspronkelijke atomen. Bij de vorming en het breken van de chemische binding spelen de valentieëlektronen van de bindende atomen een belangrijke rol. Op basis van het gedrag van de elektronen tijdens de vorming van de chemische binding kunnen twee soorten bindingen onderscheiden worden: de covalente binding en de ionbinding.
B. De covalente binding. De covalente binding kan het best begrepen worden wanneer men de vorming van diwaterstof (H2) uit twee individuele waterstofatomen bestudeert. Stel dat twee waterstofatomen (elk bestaande uit 1 proton en 1 elektron) zich op een oneindig grote afstand van elkaar bevinden. De enige interacties die dan bestaan zijn de aantrekkingskrachten tussen de kern(+) en het eigen elektron(-). Deze interacties definiëren een begin energie van het beschouwde systeem die we gelijk stellen aan nul
(zie figuur). Wanneer deze atomen dichter naar elkaar gebracht worden ontstaan ook wederzijdse interacties. De kern van het ene atoom zal ook elektronen van het andere atoom beginnen aan te trekken. Deze aantrekkingskrachten verlagen de energie van het systeem en doen de atomen nog dichter naar elkaar toekomen. Wanneer de atomen te dicht genaderd zijn ontstaan er ook sterke afstotingen tussen de twee kernen, die allebei positief geladen zijn. Deze afstotingskrachten
verhogen de energie van het systeem. Op de figuur is duidelijk te zien dat de energiecurve een minimum vertoont. Dit minimum komt overeen met een bepaalde afstand tussen de twee kernen waarbij de aantrekkingskrachten tussen kernen en elektronen de afstotingskrachten tussen de kernen optimaal compenseren. Wanneer twee waterstofatomen zich op deze afstand van elkaar
Chemie 14
bevinden zijn ze aan elkaar gebonden. Men noemt deze afstand de bindingsafstand. De bindingsafstand in waterstof is gelijk aan 74 pm. Wanneer andere atomen met elkaar binden is deze afstand verschillend. Zoals uit het voorgaande blijkt binden twee waterstofatomen met elkaar omdat de elektronen van elk atoom door beide kernen worden aangetrokken. Deze elektronen vormen een paar en dit elektronenpaar wordt door de atomen gemeenschappelijk gebruikt. Men spreekt daarom van een gemeenschappelijk elektronenpaar of een bindend elektronenpaar. De chemische binding waarbij een elektronenpaar gemeenschappelijk gebruikt wordt door twee atomen noemt men een covalente binding. Het bindende elektronenpaar wordt in een tekening van een covalente binding met een horizontale streep weergegeven.
C. De polariteit van een covalente binding. Bij de vorming van de covalente binding tussen twee waterstofatomen wordt het bindend elektronenpaar door beide atomen (in feite de atoomkernen) even hard aangetrokken. Dit elektronenpaar zal dus op symmetrische wijze verdeeld zijn tussen de twee atomen. Wanneer echter twee verschillende atomen met elkaar binden (vb. waterstof en fluor) dan zullen de twee atomen een verschillende invloed uitoefenen op het elektronenpaar. Eén van beide atomen zal harder aan het paar trekken dan het andere atoom zodat de elektronen niet meer symmetrisch verdeeld zijn maar verschoven naar het atoom dat de sterkste aantrekking uitoefent. Het atoom dat de elektronen meer naar zich toetrekt zal daardoor een gedeeltelijk negatieve lading krijgen, het andere atoom een gedeeltelijk positieve lading. Deze ladingen zijn kleiner dan 1, omdat de elektronen slechts gedeeltelijk verschoven worden, en worden voorgesteld met het symbool δ- of δ+.
Een covalente binding die op deze manier gevormd wordt noemt men een polaire covalente binding. Deze uitdrukking verwijst naar het feit dat er twee polen (een negatieve en een positieve pool) aanwezig zijn. Men zegt ook dat de binding een dipool is. De sterkte van de dipool wordt aangegeven met het dipoolmoment. Het dipoolmoment (µ) wordt berekend als het produkt van de absolute lading van één van de polen (beide polen hebben dezelfde absolute waarde voor de lading)
vermenigvuldigd met de afstand tussen de twee polen (de bindingsafstand).
D. Elektronegativiteit. Om de polariteit van een covalente binding te kennen moet men weten welk van de twee atomen de elektronen van de binding sterker naar zich toe trekt. Dit wordt aangegeven door de elektronegativiteit (EN), ook elektronegatieve waarde genoemd. Deze waarde
Chemie 15
ligt tussen 0 en 4 en wordt meestal in een periodieke tabel naast andere informatie over atomen weergegeven. Tabel 7 geeft hiervan enkele voorbeelden.
Tabel 1 De elektronegativiteit van enkele atomen.
H 2,2
Li 1,0
Be 1,5
B 2,0
C 2,5
N 3,0
O 3,5
F 4,0
Na 0,9
Al 1,5
Si 1,8
P 2,1
S 2,5
Cl 3,0
K 0,8
Br 2,8
Hoe groter het verschil in elektronegativiteit (∆EN) tussen de twee atomen in een binding hoe meer de binding gepolariseerd is en hoe groter het dipoolmoment is. Wanneer twee identieke atomen met elkaar binden is ∆EN gelijk aan nul en is de binding niet polair of apolair.
E. De ionbinding. Een ionbinding is een extreem geval van een polaire binding. De ionbinding ontstaat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen de bindende atomen zo groot is dat de bindingselektronen volledig verschoven worden naar één van de twee atomen. Daardoor krijgt dit atoom een gehele negatieve lading terwijl het andere atoom een gehele positieve lading krijgt. De twee tegengesteld geladen deeltjes zijn dan gebonden door elektrische aantrekking, ook Coulombse aantrekking genoemd. De binding tussen natrium en chloor toont dit aan.
Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de ionbinding tussen natrium en chloor?
Natrium is een atoom met 1 valentieëlektron en met een lage elektronegativiteit. Chloor is een atoom met zeven valentieëlektronen en een hoge elektronegativiteit. Het chlooratoom onttrekt 1 elektron aan het natriumatoom en krijgt daardoor een lading van –1. Het natriumatoom krijgt een lading van +1.
Het Cl- ion en het Na+ ion trekken elkaar aan omdat ze tegengesteld geladen zijn.
Over het algemeen stelt men dat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen twee atomen groter is dan 1,7 de binding als een ionbinding kan beschouwd worden. De ionbinding komt dus vooral voor tussen atomen met een lage EN (links in de tabel) en atomen met een hoge EN (rechts in de tabel).
Chemie 16
Voorbeeld 2 Wat voor een binding bestaat er tussen H en O?
De elektronegativiteit van deze elementen is (zie tabel): EN(H) = 2,2 EN(O) = 3,5
Het verschil in elektronegativiteit ∆EN = 1,3
∆EN is groter dan nul maar kleiner dan 1,7. De binding tussen H en O is dus een polaire covalente binding.
3. De molecuulformule. De molecuulformule beschrijft de samenstelling van de molecule door aan te geven hoeveel atomen van elke soort in de molecule aanwezig zijn.
Voorbeeld 3 Hoe is een molecule zwavelzuur (H2SO4) opgebouwd?
Eén molecule zwavelzuur bestaat uit twee atomen waterstof, één zwavelatoom en vier zuurstofatomen. Deze zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden.
Merk op dat de molecuulformule niets zegt over de volgorde of de ruimtelijke structuur van de chemische bindingen, zij geeft enkel de samenstelling van de molecule weer.
4. Moleculen en ionen. Water (H2O) en keukenzout(NaCl) zijn zeer verschillende verbindingen. Water bestaat uit een groot aantal afzonderlijke deeltjes (moleculen) die elk bestaan uit twee waterstofatomen
die covalent gebonden zijn aan een zuurstofatoom. Keukenzout daarentegen bestaat uit vele postief geladen natriumionen en negatief geladen chloorionen die in een kristalrooster aan elkaar gebonden zijn bij middel van elektrische aantrekkingskrachten (Coulombse krachten). In dat opzicht is H2O een echte voorstelling van een watermolecule terwijl NaCl enkel de verhouding van de ionen in
keukenzout weergeeft. Wij zullen echter verder de formule NaCl behandelen alsof het een echte molecuulformule is.
5. Molecuulmassa.
A. Absolute molecuulmassa. De massa van een molecule is gelijk aan de som van de massa’s van de atomen waaruit deze molecule is opgebouwd.
Chemie 17
Voorbeeld 4 Wat is de massa van een watermolecule?
Een watermolecule (H2O) bestaat uit een zuurstofatoom en twee waterstofatomen. Massa watermolecule = massa zuurstofatoom + 2x massa waterstofatoom. Massa watermolecule = Ar(O) x ame + 2 x Ar(H) x ame Massa watermolecule = 16 ame + 2 x 1 ame Massa watermolecule = 18 ame
Massa watermolecule = 18 x 1,6 x 10-24 g = 2,88 x 10-23 g
B. Relatieve molecuulmassa. Net zoals bij atomen kan men de moleculaire massa ook weergeven met behulp van een getal dat aangeeft hoeveel maal de molecule zwaarder is dan de ame. Men noemt dit getal de relatieve molecuulmassa (Mr). De relatieve molecuulmassa is gelijk aan de som van de relatieve atoommassa’s van de atomen waaruit de molecule is opgebouwd. Het bovenstaande voorbeeld toont aan dat de massa van een watermolecule 18 maal zwaarder is dan de ame. Mr (H2O) = Ar(O) + 2 x Ar(H) = 18.
6. Molaire massa van een molecule. Net zoals bij atomen is de massa van een molecule zeer klein. Ook hier zal het begrip mol gebruikt worden om grote aantallen moleculen te beschrijven. Een mol moleculen komt overeen met 6,02x1023 moleculen. De molaire massa van een molecule is de massa van 1 mol van deze moleculen. De molaire massa kan, zoals bij atomen, berekend worden door aan het getal van de relatieve molecuulmassa de eenheid g/mol toe te voegen.
Voorbeeld 5 Wat is de molaire massa van water?
Massa van één molecule water = 18 ame. De massa van 1 mol water = massa van één molecule x NA Molaire massa (H2O) = 18 x ame x NA
MM(H2O) = 18 g/mol
7. De oxidatietoestand van een atoom in een molecule. Wanneer atomen met elkaar binden om moleculen te vormen doen ze dat met hun valentieëlektronen. Zij geven elektronen (gedeeltelijk) af op nemen elektronen (gedeeltelijk) op. Om aan te geven wat het verschil is tussen het aantal elektronen van een niet gebonden (vrij) atoom en een gebonden atoom worden twee getallen gebruikt: de oxidatietoestand (OT) en de formele lading (FL). De formele lading wordt vooral gebruikt bij de gedetailleerde beschrijving van de elektronenverdeling in moleculen en zal later toegepast worden. De oxidatietoestand (ook oxidatietrap genoemd) is echter belangrijk bij de beschrijving van chemische reacties en zal hier besproken worden.
Chemie 18
De oxidatietoestand wordt normaal gezien berekend door het bindende elektronenpaar in een chemische binding toe te kennen aan één van beide atomen en vervolgens de bekomen toestand te vergelijken met deze die bestond in het vrije atoom. Om dit te kunnen heeft men echter informatie nodig over de wijze waarop de atomen aan elkaar gebonden zijn en het aantal elektronen dat hierbij betrokken is. In dit stadium van de cursus hebben we deze informatie nog niet (het enige dat we weten is de globale molecuulformule) en daarom worden, voor het bepalen van de oxidatietoestand een aantal regeltjes gebruikt. Deze worden in volgende tabel weergegeven. Merk op dat wij voor het schrijven van de oxidatietoestand romeinse cijfers gebruiken om deze te onderscheiden van de lading van ionen (en ook van de formele lading).
Tabel 2 regels voor het bepalen van de oxidatietoestand van een atoom
OT van atomen die niet aan andere (verschillende) atomen gebonden zijn = 0 OT van waterstof in een molecule is meestal +I OT van zuurstof in een molecule is meestal –II OT van de atomen van groepen IA, IIA en IIIA zijn +I, +II en +III resp. De som van de OT van de atomen in een molecule vermenigvuldigd met het aantal atomen = 0 De som van de OT van de atomen in een ion vermenigvuldigd met het aantal atomen = lading van het ion Deze regels laten toe voor de atomen in de meeste van de verbindingen die in de cursus voorkomen de oxidatietoestanden te bepalen.
Voorbeeld 6 Wat zijn de oxidatoetoestanden van de atomen in H2SO4?
De oxidatietoestanden van H en O zijn resp +I en –II. De som van deze oxidatietoestanden is dus = 2 x (+I) + 4 x (-II) = -VI Omdat de som van de OT’s moet gelijk zijn aan nul (molecule) is de OT van S = +VI.
Samengevat: OT(H) = +I, OT(O) = -II en OT(S) = +VI
Voorbeeld 7 Wat zijn de oxidatietoestanden van de atomen in NH4+?
De oxidatoetoestand van H = +I wat een totaal geeft van 4 x (+I) = +IV Omdat het deeltje een lading heeft van +1 moet de som van alle OT’s = +I
De OT van N is dus = -III.
8. Oefeningen. 1. Zeg van de volgende bindingen tot welke categorie ze behoren: polaire covalente binding, apolaire covalente binding, ionbinding. H-Cl, N-H, O-O, K-Cl 2. Rangschik volgende bindingen volgens stijgende polariteit en geef met een pijl het dipoolmoment en de deelladingen aan. C-H, H-H, H-Br, H-F en B-H 3. Hoeveel atomen zijn er in een molecule Ca3(PO4)2?
Chemie 19
4. Bereken de massa van een propaan molecule (C3H8) 5. Wat is de molaire massa van zwavelzuur (H2SO4)? 6. Met hoeveel mol komt 1 kg water overeen? 7. Hoeveel gram zwavelzuur moet men afwegen om evenveel moleculen te hebben als in 500 g propaan? 8. Hoeveel gram K is er in 150 g KNO3? 9. Bepaal de oxidatietoestand van elk atoom in de volgende verbindingen: K2SO4, HNO3, CrO4
-2, KMnO4, HSO4-.
Chemie 20
Hoofdstuk 4. Soorten verbindingen en naamgeving 1. Classificatie van chemische verbindingen. Over het algemeen worden chemische stoffen (verbindingen, moleculen) ingedeeld op basis van hun chemische eigenschappen. Azijnzuur bvb wordt bij de zuren ingedeeld omdat het zuur smaakt, omdat het met basen reageert en omdat het metalen aantast in een typische reactie waarbij waterstofgas gevormd wordt. Om een chemische stof te kunnen bespreken en om de eigenschappen ervan te kennen zodat men ermee kan werken, moet men weten tot welke groep verbindingen deze stof behoort. In de meeste gevallen kan men dit afleiden uit de molecuulformule (en soms ook uit de naam). Het is dus van belang te weten welke soorten chemische verbindingen bestaan, welke eigenschappen ze hebben en hoe men ze kan herkennen aan de hand van de formule en/of de naam.
2. Soorten chemische verbindingen. De soorten chemische verbindingen die in deze cursus besproken worden zijn:
- de zuren, - de basen en hydroxiden, - de zouten, - de oxiden.
De verbindingen die behoren tot elk van deze groepen hebben karakteristieke eigenschappen die tot uiting komen in hun gedrag tijdens chemische reacties. Bij de hiernavolgende bespreking van deze groepen zal ook telkens worden aangegeven welke algemene formule ze hebben en hoe ze genoemd worden.
A. Zuren.
A.1. Eigenschappen van zuren. Zuren zijn verbindingen die de mens reeds lang kent al was het maar vanwege de typische smaak die zij hebben. Enkele voorbeelden zijn:
- Azijnzuur dat gevormd wordt wanneer wijn verzuurt, - Melkzuur dat ontstaat bij de verzuring van melk, - Het zuur dat in de maag gevormd wordt en bij oprispingen in de mond kan terechtkomen.
Zuren zijn verbindingen die in staat zijn een positief geladen waterstofion (H+, een proton) te vormen. In hun formule vinden we dus steeds één of meerdere waterstofatomen terug. Algemeen kan de formule als volgt voorgesteld worden:
HnA In deze formule is n meestal gelijk aan 1, 2 of 3 Wanneer n gelijk is aan 1 spreekt men van een monoprotisch zuur, wanneer n groter is dan 1 spreekt men van een polyprotisch zuur. In de formule van een zuur wordt A de zuurrest genoemd.
Chemie 21
De classificatie van de zuren gebeurt op basis van de samenstelling van de zuurrest. De zuurrest bevat steeds minstens één niet-metaal zoals chloor, zwavel, forfor e.d. Daarnaast kunnen er al dan niet zuurstofatomen in voorkomen. Wanneer de zuurrest geen zuurstof bevat spreekt men van een binair zuur. Wanneer er wel zuurstof in voorkomt spreekt men van een oxozuur of ternair zuur. Opm.: er bestaan ook veel verbindingen die waterstof bevatten en die niet zuur zijn. Methaan (CH4) is hiervan een voorbeeld. Een waterstofatoom dat zich niet als zuur gedraagt, noemt men een niet-zure waterstof.
A.2. Binaire zuren Bij binaire zuren bestaat de zuurrest uit een niet-metaal. De naam van de binaire zuren wordt als volgt opgebouwd
Naam van een binair zuur= waterstof + niet-metaal + -ide.
De volgende binaire zuren en hun overeenkomende zuurresten moeten gekend zijn.
Tabel 1 Enkele belangrijke binaire zuren en hun zuurrest. Formule Naam Zuurrest Naam zuurrest HF waterstoffluoride F- fluoride(ion) HCl waterstofchloride Cl- chloride(ion) HBr waterstofbromide Br- bromide(ion) HI waterstofjodide I- jodide(ion) H2S waterstofsulfide HS-
S2-
waterstofsulfide(ion) sulfide(ion)
HCN waterstofcyanide CN- cyanide(ion) De naam van de negatief geladen zuurrest wordt gevormd door van de naam van het zuur de waterstof te verwijderen en eventueel de uitgang -ion toe te voegen. Indien niet alle waterstofatomen worden verwijderd, wordt het aantal waterstoffen dat overblijft in de naam aangegeven (zie HS- in bovenstaande tabel). Opm.: waterstofcyanide wordt soms een pseudo-binair zuur genoemd omdat het twee niet-metalen in de zuurrest bevat i.p.v. één.
A.3. Oxozuren. Deze zuren bestaan uit waterstof en een zuurrest die naast het niet-metaal één of meerdere zuurstofatomen bevat. Er zijn twee naamgevingen voor oxozuren in gebruik. Deze worden door elkaar gebruikt.
Naamgeving a: naam van niet-metaal + zuur. (vb HClO3: chloorzuur).
Naamgeving b: waterstof + niet-metaal + -aat. (vb HClO3: waterstofchloraat)
Chemie 22
Indien van eenzelfde niet-metaal meerdere oxozuren gekend zijn moet de naamgeving duidelijk maken over welk zuur het gaat. Eén van de zuren (het referentiezuur) wordt benoemd volgens de regels die hierboven werden gegeven. Voor de andere zuren wordt de naam met behulp van voor- of achtervoegsels aangepast. Dit blijkt het best uit volgend voorbeeld:
Voorbeeld 1 Hoe worden de verschillende oxozuren die chloor bevatten genoemd?
Met chloor kunnen meerdere oxozuren gevormd worden. Deze zijn HClO, HClO2, HClO3, en HClO4. Het referentiezuur is HClO3, dat op de normale manier benoemd wordt (zie hierboven). HClO3 noemt men waterstofchloraat of chloorzuur.
HClO4 bevat meer zuurstofatomen dan het referentiezuur en wordt waterstofperchloraat of perchloorzuur genoemd.
HClO2 bevat één zuurstofatoom minder dan het referentiezuur en wordt waterstofchloriet of chlorigzuur genoemd. HClO bevat nog een zuurstofatoom minder en wordt waterstofhypochloriet of hypochlorigzuur genoemd.
Het systeem dat in het voorbeeld wordt geïllustreerd gebruikt men ook voor de andere zuren. De keuze van het referentiezuur varieert sterk en is niet gebonden aan een bepaalde formule. Voor de naamgeving van de zuurresten wordt naamgeving b gebruikt. In volgende tabel worden de te kennen oxozuren opgesomd.
Chemie 23
Tabel 2 Lijst met belangrijke oxozuren.
Het niet-metaal in de zuurrest
Formule Naam Zuurrest Naam van de zuurrest
Koolstof (C)
H2CO3 Koolzuur Waterstofcarbonaat
HCO3- Waterstofcarbonaat(ion)
CO32- Carbonaat(ion)
Stikstof (N) HNO3 Salpeterzuur Waterstofnitraat
NO3- Nitraat(ion)
HNO2 Salpeterigzuur Waterstofnitriet
NO2- Nitriet(ion)
Fosfor (P) H3PO4 Fosforzuur Waterstoffosfaat
H2PO4- Diwaterstoffosfaat(ion)
HPO42- Monowaterstofosfaat(ion)
PO43- Fosfaat(ion)
H3PO3 Fosforigzuur Waterstoffosfiet
H2PO3- Diwaterstoffosfiet(ion)
HPO32- Monowaterstoffosfiet(ion)
PO33- Fosfiet(ion)
Arseen (As)
H3AsO4 Arseenzuur Waterstofarsenaat
H2AsO4- Diwaterstofarsenaat(ion)
HAsO42- Monowaterstofarsenaat(ion)
AsO43- Arsenaat(ion)
H3AsO3 Arsenigzuur Waterstofarseniet
H2AsO3- Diwaterstofarseniet(ion)
HAsO32- Monowaterstofarseniet(ion)
AsO33- Arseniet(ion)
Zwavel (S) H2SO4 Zwavelzuur Waterstofsulfaat
HSO4- Waterstofsulfaat(ion
SO42- Sulfaat(ion)
H2SO3 Zwaveligzuur Waterstofsulfiet
HSO3- Waterstofsulfiet(ion)
SO32- Sulfiet(ion)
H2S2O3 Thiozwavelzuur Waterstofthiosulfaat
HS2O3- Waterstofthiosulfaat(ion)
S2O32- Thiosulfaat(ion)
Chemie 24
Chloor (Cl) HClO4 Perchloorzuur Waterstofperchloraat
ClO4- Perchloraat(ion)
HClO3 Chloorzuur Waterstofchloraat
ClO3- Chloraat(ion)
HClO2 Chlorigzuur Waterstofchloriet
ClO2- Chloriet(ion)
HClO Hypochlorigzuur Waterstofhypochloriet
ClO- Hypochloriet(ion)
Broom (Br) HBrO4 Perbroomzuur Waterstofperbromaat
BrO4- Perbromaat(ion)
HBrO3 Broomzuur Waterstofbromaat
BrO3- Bromaat(ion)
HBrO2 Bromigzuur Waterstofbromiet
BrO2- Bromiet(ion)
HBrO Hypobromigzuur Waterstofhypobromiet
BrO- Hypobromiet(ion)
Iood (I) HIO4 Perioodzuur Waterstofperiodaat
IO4- Periodaat(ion)
HIO3 Ioodzuur Waterstofiodaat
IO3- Iodaat(ion)
HIO2 Iodigzuur Waterstofiodiet
IO2- Iodiet(ion)
HIO Hypoiodigzuur Waterstofhypoiodiet
IO- Hypoiodiet(ion)
Er bestaan ook enkele oxozuren die een metaal bevatten i.p.v. een niet-metaal. Deze staan in volgende tabel. Hieraan is ook azijnzuur toegevoegd dat een organisch zuur is, zodat de structuur enigszins afwijkt van de andere zuren
Tabel 3 Oxozuren met afwijkende samenstelling.
Atoom in de zuurrest
Formule Naam Zuurrest Naam van de zuurrest
Mangaan (Mn)
HMnO4 Permangaanzuur Waterstofpermanganaat
MnO4- Permanganaat(ion)
Chroom (Cr)
H2CrO4 Chroomzuur Waterstofchromaat
HCrO4- Waterstofchromaat(ion)
CrO42- Chromaat(ion)
H2Cr2O7 Dichroomzuur Waterstofdichromaat
HCr2O7- Waterstofdichromaat(ion)
Cr2O72- Dichromaat(ion)
Koolstof (C)
CH3COOH Azijnzuur Waterstofacetaat
CH3COO- Acetaat(ion)
Chemie 25
B. Hydroxiden en basen.
B.1. Hydroxiden. Hydroxiden zijn verbindingen van een positief geladen metaalion en één of meerdere OH-groepen. De OH-groep noemt men de hydroxide-groep. Deze is éénwaardig negatief geladen (OH-).
Naamgeving van de hydroxiden: naam van het metaal + hydroxide.
Het aantal OH-groepen wordt bepaald door de lading van het metaalion. Indien meerdere hydroxiden van eenzelfde metaal bestaan (omdat er meerdere ladingen van dit metaal bestaan) moet ofwel de lading (oxidatietoestand) van het metaal of het aantal OH-groepen vermeld. Onderstaande tabel geeft enkele voorbeelden.
Tabel 4 Enkele metaalhydroxiden. Formule Naam
NaOH Natriumhydroxide Ba(OH)2 Bariumhydroxide Fe(OH)2 Ijzer(II)hydroxide*
Ijzerdihydroxide Fe(OH)3 Ijzer(III)hydroxide
Ijzertrihydroxide Al(OH)3 Aluminiumhydroxide
* uitgesproken: ijzertweehydroxide.
B.2. Verschil tussen base en hydroxide. Zoals hierboven aangegeven werd worden hydroxiden gekarakteriseerd door de aanwezigheid van de OH-groep in de formule. Basen daarentegen worden gedefinieerd op basis van hun scheikundige eigenschappen. Basen zijn in staat vetten te hydrolyseren, geven een bepaalde kleur aan zuur-baseindicatoren en verhogen de pH. Sommige hydroxiden gedragen zich als basen, andere niet. Er bestaan eveneens moleculen die basen zijn maar niet de typische formule van een hydroxide hebben. Ammoniak (NH3) is daarvan een voorbeeld. De hydroxiden van de metalen van de groepen I en II gedragen zich als basen, de andere niet.
Tabel 5 Enkele voorbeelden van basen en hydroxiden.
Verbinding Behoort tot… Natriumhydroxide Basen Ijzer(II)hydroxide Hydroxiden (is geen base) Ammoniak Basen Calciumhydroxide Basen
Chemie 26
Met de meeste hydroxiden en basen kan een positieve groep geassocieerd worden, namelijk het positief geladen metaalion. Bij ammoniak (NH3) is dit het ammoniumion (NH4
+). Dit is belangrijk bij de bespreking van de zouten.
B.3. Zouten. Zouten zijn samengesteld uit een positieve groep (metaal- of ammoniumion) en een negatieve groep (zuurrest). Het aantal van elk van deze groepen moet zodanig zijn dat de verbinding neutraal is. Men kan de vorming van de zouten beschrijven als het vervangen van één of meerdere zure waterstoffen van een zuur door een positieve groep. Zouten die zodanig gevormd zijn dat niet alle zure waterstofatomen uit het zuur vervangen zijn, noemt men zure zouten.
Naamgeving: naam van de positieve groep + naam van de zuurrest.
Indien nodig moet het aantal van de verschillende groepen aangegeven worden. Volgende tabel geeft een aantal voorbeelden.
Tabel 6 Enkele voorbeelden van zouten met hun naam. Formule Naam Alternatieve naam KCl kaliumchloride Na2SO4 natriumsulfaat NaHSO4 natriumwaterstofsulfaat Ca3(PO4)2 calciumfosfaat NH4Cl ammoniumchloride FeSO4 ijzer(II)sulfaat monoijzermonosulfaat Fe2(SO4)3 ijzer(III)sulfaat diijzertrisulfaat NaH2PO4 natriumdiwaterstoffosfaat
B.4. Oxiden. Oxiden zijn verbindingen van een atoom met zuurstof. Van de meeste atomen bestaan één of meerdere oxiden. Zij ontstaan bvb. tijdens een verbranding.
Naamgeving: naam van het atoom + oxide. Indien meerdere oxiden van eenzelfde atoom gekend zijn moet, bij middel van de oxidatietoestand van het atoom of de samenstelling van het oxide, aangegeven worden over welk oxide het gaat. Men maakt een onderscheid tussen metaaloxiden en niet-metaaloxiden. Voor de metaaloxiden is de formule gemakkelijk af te leiden uit de lading van het metaalion. Wat de niet-metalen betreft zullen we hier enkel de oxiden gebruiken waarin het niet-metaal dezelfde oxidatietoestand heeft als in de te kennen oxozuren
Chemie 27
Tabel 7 Enkele voorbeelden van metaaloxiden Groep Formule Naam groep I Na2O natriumoxide groep II MgO magnesiumoxide groep III Al2O3 aluminiumoxide overgangsatomen MnO2 mangaan(IV)oxide mangaandioxide FeO ijzer(II)oxide monoijzermonooxide Fe2O3 ijzer(III)oxide diijzertrioxide HgO kwik(II)oxide monokwikmonooxide
Tabel 8 Enkele voorbeelden van niet-metaaloxiden met het overeenkomende oxozuur
Groep Formule Naam Naam Oxozuur groep IV CO2 koolstof(IV)oxide koolstofdioxide H2CO3
groep V N2O5 stikstof(V)oxide distikstofpentaoxide HNO3 groep VI SO2 zwavel(IV)oxide zwaveldioxide H2SO3 SO3 zwavel(VI)oxide zwaveltrioxide H2SO4 groep VII Cl2O7 chloor(VII)oxide dichloorheptaoxide HClO4
Tabel 9 Enkele andere bestaande niet-metaaloxiden.
Groep Formule Naam groep I H2O (waterstofoxide) water groep IV CO koolstof(II)oxide koolstofmonooxide groep V N2O stikstof(I)oxide distikstofmonooxide groep VIII XeO3 xenon(VI)oxide xenontrioxide
3. Oefeningen 1. Geef de naam van de volgende verbindingen: FeO, K2Cr2O7, As2S3, Ba(NO3)2, KClO3, AgCl, LiOH, KNO2, H2S, KMnO4. 2. Geef de formule van de volgende verbindingen: Aluminiumoxide, koper(I)sulfaat, dikopersulfaat, natriumnitriet, ijzer(III)oxide, tin(IV)chloride, bariumcarbonaat, ammoniumchloride, distikstoftrioxide, kaliumwaterstofsulfaat. 3. Geef van elk van de vorige verbindingen aan tot welke groep ze behoren: binair zuur, oxozuur, metaaloxide, niet-metaaloxide, hydroxide, base, zout, zuur zout.
Chemie 28
Hoofdstuk 5. Het gedrag van verbindingen. 1. Inleiding. Bij de studie van het gedrag van verbindingen kunnen twee situaties beschreven worden, het gedrag van zuivere verbindingen (zuiver water, keukenzout, een staaf ijzer bvb.) of het gedrag van mengsels (een oplossing van zout in water, een legering van ijzer en zink enz.). Het gedrag van een zuivere stof gaat vooral over de aggregatietoestanden (vast, vloeibaar en gasvormig) en de overgangen ertussen (kookpunt, smeltpunt e.d.). Zo kan men bvb proberen te verklaren waarom water een veel hoger kookpunt heeft dan methaan. De bespreking van zulke problemen maakt deel uit van de stof die tijdens de cursus in het eerste jaar wordt gegeven en zal hier niet verder behandeld worden. Wat we in dit hoofdstuk zullen bespreken is wat er gebeurt wanneer chemische verbindingen in contact worden gebracht met water.
2. Water. Water is een belangrijke verbinding. In de natuur is water het oplosmiddel waarin veel chemische reacties gebeuren. Dit is niet alleen het geval in het water van rivieren en oceanen maar ook in het water dat deel uitmaakt van cellen, organen en weefsels. Ook in het chemisch laboratorium en in de industrie is water een veel gebruikt oplosmiddel. De chemie van het eerste jaar beperkt zich bijna volledig tot systemen waarbij water het oplosmiddel is. Organische solventen worden pas later gebruikt. Bij de studie van het gedrag van verbindingen in water zullen twee aspecten behandeld worden: de oplosbaarheid en het elektrolytgedrag. Deze twee begrippen zijn niet onafhankelijk. Het elektrolytgedrag gaat over het feit of een verbinding in een waterige oplossing al dan niet ionen vormt. Het is duidelijk dat om dit te kunnen doen de verbinding eerst in water moet kunnen opgelost worden.
3. Oplosbaarheid. De oplosbaarheid wordt gedefinieerd als de maximale hoeveelheid die men van een verbinding kan oplossen in een welbepaalde hoeveelheid oplosmiddel (water) bij een welbepaalde temperatuur. De oplosbaarheid kan uitgedrukt worden in gram per liter (g/l) of een andere concentratieëenheid. De waarde van de oplosbaarheid is voor elke verbinding anders en varieert van zeer kleine tot zeer grote waarden. Alhoewel in de cursus Chemie en Chemische technologie deze waarden zullen gebruikt worden, zullen hier de verbindingen ingedeeld worden in twee groepen: slecht oplosbare en goed oplosbare verbindingen. De slecht oplosbare verbindingen (soms ook onoplosbaar genoemd) zijn al die verbindingen waarvan de oplosbaarheid lager ligt dan een bepaalde waarde (bvb 1 g/l), de goed oplosbare verbindingen zijn deze waarvan de oplosbaarheid hoger ligt. Volgende tabel geeft de oplosbaarheden van de verbindingen die we het meest zullen gebruiken. In deze tabel hebben de hoger geplaatste regels voorrang op de lager geplaatste.
Chemie 29
Tabel 1 Oplosbaarheid van verbindingen in water
1. Alle natrium, kalium en ammoniumzouten en alle nitraten zijn goed oplosbaar.
2. Alle zilver, lood(II) en Hg22+ zouten zijn weinig oplosbaar behalve de nitraten (hoger). 3. Alle (per)chloraten, acetaten, chloriden, bromiden en iodiden zijn goed oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 4.Alle carbonaten, sulfiden en fosfaten zijn weinig oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 5. Alle metaaloxiden en hydroxiden zijn slecht oplosbaar behalve die van natrium, kalium, lithium. 6. Alle sulfaten zijn oplosbaar behalve van calcium en barium en de hoger vermelde ionen.
4. Elektrolytgedrag. Een verbinding die oplost in water kan ofwel onder zijn moleculaire vorm blijven bestaan ofwel in ionen splitsen. Een molecule die niet in ionen splitst noemt men een niet-elektrolyt. Suiker is daarvan een voorbeeld. Een verbinding die wel in ionen splitst noemt men een elektrolyt. Elektrolyten kunnen verder opgesplitst worden in zwakke
elektrolyten en sterke elektrolyten. Bij zwakke elektrolyten zullen slechts enkele van de moleculen in ionen splitsen terwijl het grootste gedeelte (meer dan 90 % bvb.) onder moleculaire vorm blijft bestaan. Sterke elektrolyten zijn verbindingen die volledig in ionen splitsen zodat de concentratie van ionen in zulke oplossingen hoog kan zijn. Het verschil tussen deze situaties kan gemeten
worden met de geleidbaarheid van de oplossing. Een oplossing van een niet-elektrolyt geleidt de elektrische stroom niet en een oplossing van een zwak elektrolyt slechts weinig. Een oplossing van een sterk elektrolyt geleidt de stroom bijzonder goed.
A. Elektrolytgedrag van zuren. Zuren zijn over het algemeen goed oplosbaar in water. De meeste zuren zijn zwakke elektrolyten. Zij worden daarom ook zwakke zuren genoemd. Slechts enkele zuren zijn sterke elektrolyten en deze worden sterke zuren genoemd. Volgende tabel geeft aan welke zuren sterk zijn. Alle andere zijn zwak.
Tabel 2 De sterke zuren
Volgende zuren zijn sterke zuren (sterke elektrolyten): HI, HBr, HClO4, HCl, H2SeO4, H2SO4, HMnO4, HNO3, H2CrO4, HClO3
Chemie 30
B. Elektrolytgedrag van hydroxiden en basen. De meeste metaalhydroxiden zijn slecht oplosbaar en kunnen daarom ook weinig ionen vormen in oplossing. De goed oplosbare hydroxiden (NaOH, LiOH, KOH) zijn dan ook sterke elektrolyten. Ammoniak (NH3) is een goed oplosbare verbinding maar is een zwak elektrolyt.
C. Elektrolytgedrag van zouten. Bij de zouten komt het elektrolygedrag overeen met de oplosbaarheid. Goed oplosbare zouten zijn sterke elektrolyten, slecht oplosbare zouten zijn zwakke elektrolyten.
D. Elektrolytgedrag van oxiden. Oxiden die in water oplossen reageren over het algemeen ook met water tot vorming van hydroxiden of zuren (zie volgend hoofdstuk). Hoeveel ionen er daarbij gevormd worden hangt af van het elektrolytgedrag van de gevormde verbinding.
Chemie 31
Hoofdstuk 6. Chemische reacties. 1. Definitie. Een chemische reactie is een proces waarbij uit één of meerdere deeltjes (moleculen of atomen) nieuwe deeltjes gevormd worden. Een chemische reactie kan eenvoudig zijn maar ook zeer complex. De deeltjes waarmee het proces start worden de reagentia genoemd (enkelvoud: reagens), de deeltjes die tijdens het proces ontstaan worden producten genoemd. Een chemisch proces wordt meestal als volgt weergegeven: Reagentia Produkten
2. Wet van behoud van materie. Tijdens een chemische reactie gaat geen materie verloren en wordt geen nieuwe materie gevormd. Men noemt dit de wet van behoud van materie. Dit betekent dat alle atomen die voor reactie aanwezig waren, na de reactie (meestal onder de vorm van andere verbindingen) teruggevonden worden.
3. De reactievergelijking. In de reactievergelijking wordt aangegeven welke deeltjes (verbindingen) met elkaar reageren, welke produkten gevormd worden en in welke verhouding dit gebeurt. De reactievergelijking moet zodanig geschreven worden dat ze voldoet aan de wet van behoud van materie. Het aantal atomen aanwezig onder de vorm van produkten moet gelijk zijn aan het aantal atomen in de reagentia. Wanneer dit zo is dan zegt men dat de reactievergelijking in balans is. Het in balans brengen van een reactievergelijking gebeurt door gebruik te maken van stoechiometrische coëfficiënten. Dit zijn de getallen die voor de molecuulformules geschreven worden in de reactievergelijking. Onderstaand voorbeeld illustreert dit.
Voorbeeld 1 De reactievergelijking voor de synthese van ammoniak.
Ammoniak is een belangrijke chemische verbinding die wordt gemaakt uit waterstofgas en stikstofgas in het zogenaamde Haber-proces. Het proces kan als volgt geschreven worden: N2 + H2 NH3 In deze vergelijking staan links en rechts niet evenveel waterstof- of stikstofatomen. Het toevoegen van de coëfficiënten brengt de vergelijking in balans: N2 + 3 H2 2 NH3
Chemie 32
4. Soorten chemische reacties. Algemeen kunnen chemische reacties onderverdeeld worden in twee belangrijke groepen: reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen niet verandert en reacties waarbij deze wel verandert. Reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen verandert worden oxido-reductiereacties of redoxreacties genoemd.
A. Reacties zonder verandering van oxidatietoestand.
A.1. Algemeen. Tijdens deze reacties veranderen de oxidatietoestanden van de betrokken atomen niet. Dit is een gegeven dat moet gebruikt worden om de correctheid van de reactievergelijking na te gaan. Bovendien laat het in een aantal gevallen toe te voorspellen welke verbindingen zullen gevormd worden tijdens de reactie. Bij de reacties met de oxiden bvb is dit heel duidelijk (zie verder).
A.2. Reacties met oxiden.
(1)Algemeen Bij de reacties met oxiden zijn geen geladen deeltjes (ionen) betrokken. In die zin zijn ze verschillend van de volgende reacties (zoals tussen zuren en basen) waarbij ionen met elkaar zullen reageren.
(2)Oxiden met water
(a)Metaaloxiden Algemeen: oxiden van alkali- en aardalkalimetalen (groep IA en IIA) reageren met water tot vorming van hydroxiden. Men noemt ze basevormende oxiden. De andere oxiden reageren niet. Voorbeeld 2 Reacties van metaaloxiden met water.
Na2O + H2O ⇒ 2 NaOH
Fe2O3 + H2O ⇒ geen reactie.
(b)Niet-metaaloxiden. Algemeen: de reactie van een niet-metaaloxide met water levert een oxozuur op. Men noemt deze oxiden daarom zuurvormende oxiden. De oxidatoetoestand van het niet-metaal verandert niet tijdens de reactie. Dit maakt het mogelijk te kiezen tussen de verschillende oxozuren die van een niet-metaal kunnen bestaan.
Voorbeeld 3 Reacties van niet-metaaloxiden met water.
SO3 + H2O ⇒ H2SO4 (en niet H2SO3).
Chemie 33
P2O5 + H2O ⇒ 2 H3PO4
Zoals blijkt uit uit de vorige voorbeelden kunnen niet-metaaloxiden geassocieerd worden met een overeenkomend oxozuur. Voor de metaaloxiden kan met dat eveneens doen met hydroxiden, alhoewel sommige niet met water reageren. Men kan bvb. Fe2O3 (in gedachten) associëren met Fe(OH)3, ondanks het feit dat het niet met water reageert. Dit gegeven is belangrijk in de volgende reacties om te begrijpen hoe oxiden met andere verbindingen reageren.
(3)Oxiden met oxiden. Algemeen: metaaloxiden reageren met niet-metaaloxiden tot vorming van zouten. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide.
Voorbeeld 4 Reactie van oxiden onderling.
Na2O + SO3 ⇒ Na2SO4
(4)Oxiden met zuren. Algemeen: metaaloxiden reageren met een zuur tot vorming van een zout en water. Voorbeeld 5 Reactie van een oxide met een zuur.
Na2O + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O
Fe2O3 + 6 HCl ⇒ 2 FeCl3 + 3 H2O
Opmerking: deze reactie gaat op voor alle metaaloxiden, in tegenstelling hun reactie met water.
(5)Oxiden met hydroxiden. Algemeen: niet-metaaloxiden reageren met hydroxiden tot vorming van zouten en water. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide. Voorbeeld 6 Reacties van oxiden met hydroxiden.
SO3 + Ca(OH)2 ⇒ CaSO4 + H2O
A.3. Thermolysereacties. Algemeen: Thermolysereacties zijn reacties waarbij verbindingen onder invloed van warmte ontbonden worden. Deze reacties mogen niet verward worden met verbrandingsreacties waarbij zuurstof een reagens is en waarbij warmte vrijkomt. De thermolyse van zouten, oxozuren en hydroxiden geeft de overeenkomende metaal- en/of niet-metaaloxiden en eventueel water. Deze reacties kunnen beschouwd worden als de
Chemie 34
omgekeerde reacties van de hierboven beschreven reacties van oxiden met oxiden en oxiden met water.
Voorbeeld 7 Thermolyse reacties
CaCO3 + warmte ⇒ CaO + CO2
Cu(OH)2 +warmte ⇒ CuO + H2O
H2CO3 + warmte ⇒ CO2 + H2O
Opm.: de oxidatietoestanden van de betrokken atomen veranderen niet.
A.4. Metathesereacties.
(1)Inleiding. Metathesereacties zijn reacties die optreden omdat de ionen die in het reactiemidden (een waterige oplossing) gebracht worden met elkaar binden tot vorming van een nieuwe verbinding. Deze verbinding kan een neerslag zijn, een zwak elektrolyt of kan eventueel onder de vorm van een gas uit de oplossing verdwijnen. Zulke reacties gaan enkel op indien er inderdaad zo een nieuwe verbinding gevormd wordt. Indien dit niet gebeurt, is er geen reactie en blijven de ionen gewoon naast elkaar in de oplossing bestaan. Heel algemeen kunnen deze reacties als volgt geschreven worden:
AB + CD ⇒ AD + CB
Zoals blijkt uit deze vergelijking worden de twee negatieve groepen, voorgesteld door B en D (t.t.z. zuurresten of OH--groepen) gewoon van plaats verwisseld. De reactie gaat op indien minstens één van de vermelde verbindingen (AD en/of CB) ook daadwerkelijk gevormd wordt. Wanneer dit niet het geval is wordt de reactie herschreven als:
AB + CD ⇒ geen reactie
(2)Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt. Bij deze reacties worden meestal onoplosbare zouten gevormd. Deze zouten worden gevormd door het combineren van de ionen die voor de reactie aanwezig waren tot een onoplosbare verbinding.
Chemie 35
Voorbeeld 8 Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt
1. Reactie van zilvernitraat met natriumchloride
AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3
Deze reactie gaat op omdat zilverchloride onoplosbaar is 1. Reactie van kaliumnitraat met natriumchloride
KNO3 + NaCl ⇒ geen reactie want KCl en NaNO3 zijn beide goed oplosbaar 3. Reactie van kaliumhydroxide met ijzer(III)chloride.
3 KOH + FeCl3 ⇒ Fe(OH)3 + 3 KCl
Deze reactie gaat op omdat ijzertrihydroxide onoplosbaar is
(3)Reacties waarbij een zwak elektrolyt gevormd wordt. Zulke reacties gaan op omdat een zwak zuur of water gevormd wordt. Merk op dat de slecht oplosbare zouten in de vorige paragraaf ook zwakke elektrolyten zijn.
Voorbeeld 9 Vorming van zwakke elektrolyten
1. Reactie van ijzer(II)sulfide met waterstofchloride
FeS + 2 HCl ⇒ FeCl2 + H2S
Deze reactie gaat op omdat waterstofsulfide een zwak elektrolyt is. 2. Reactie van natriumhydroxide met salpeterzuur
NaOH + HNO3 ⇒ NaNO3 + H2O
Deze reactie gaat op omdat water een zwak elektrolyt is
(4)Reacties waarbij gassen gevormd worden. Dit zijn reacties waarbij één van de gevormde produkten H2CO3 of H2SO3 is. Deze zuren zijn bijzonder onstabiel en zullen reeds bij kamertemperatuur ontbinden (thermolyseren). Zij vormen dan resp. CO2 + H2O en SO2 + H2O.
Voorbeeld 10 Vorming van gassen.
1. Natriumcarbonaat met waterstofchloride
Na2CO3 + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O + CO2↑ (en niet 2 NaCl + H2CO3)
2. Kaliumsulfiet met zwavelzuur.
K2SO3 + H2SO4 ⇒ K2SO4 + H2O + SO2 ↑
Een bijzonder geval van deze reacties zijn de reacties met ammoniumzouten en basen. Bij zulke reacties wordt het gas ammoniak gevormd (en niet ammoniumhydroxide, dat niet bestaat).
Chemie 36
Voorbeeld 11 De vorming van ammoniak
Reactie van ammoniumchloride met kaliumhydroxide.
NH4Cl + KOH ⇒ KCl + NH3 + H2O (en niet NH4OH).
(5)De essentiële reactievergelijking. Wanneer een metathesereactie opgaat zullen sommige ionen deelnemen aan de reactie om een neerslag, een zwak elektrolyt of een gas te vormen. Andere ionen die in de oplossing aanwezig zijn nemen niet deel aan de eigenlijke reactie. Dikwijls noemt men ze toeschouwerionen. De essentiële reactievergelijking is een vergelijking waarin de toeschouwerionen niet voorkomen. Het is een reactievergelijking waarin enkel de actief aan de reactie deelnemende ionen (of verbindingen) vermeld worden. Wanneer men aan de hand van bovenstaande regels de molecuulvergelijking heeft opgesteld kan men hieruit gemakkelijk de essentiële vergelijking bekomen. Men doet dit door alle moleculen die sterke elektrolyten zijn te splitsen in ionen en vervolgens de ionen die links en rechts voorkomen te schrappen. Molecuulformules van verbindingen die zwakke elektrolyten zijn of slecht oplosbaar, blijven gewoon staan (zowel links als rechts van de reactiepijl).
Voorbeeld 12 Het schrijven van een essentiële vergelijking
Reactie van zilvernitraat met natriumchloride
Molecuulvergelijking: AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3
Tussenstap: Ag+ + NO3- + Na+ + Cl- ⇒ AgCl + Na+ + NO3
-
Essentiële vergelijking: Ag+ + Cl- ⇒ AgCl
Merk op dat reacties die niet opgaan ook geen essentiële vergelijking hebben.
B. Reacties met verandering van oxidatietoestand.
B.1. Inleiding Van de chemische reacties waarbij een verandering van oxidatietoestand optreedt zijn de verbrandingsreacties en de reacties van onedele metalen met zuren, deze waarvan de reactievergelijking op een eenvoudige manier kan geschreven worden. Deze worden hier dan ook in de eerste plaats behandeld. Van andere oxidoreductiereacties vergt het bepalen van de reactievergelijking het gebruik van een techniek bestaande uit verschillende stappen. Dit wordt behandeld in de cursus zelf.
B.2. Verbrandingsreacties. Verbrandingsreacties zijn reacties van verbindingen of atomen met zuurstof (O2). Alhoewel in werkelijkheid verbrandingsreacties zeer complex kunnen zijn, zullen we hier veronderstellen dat bij deze reacties van elk atoom dat in de verbinding aanwezig was een oxide gevormd wordt. Indien verschillende oxiden van een atoom bestaan wordt steeds het oxide met de hoogst mogelijke oxidatoetoestand van het atoom gevormd..
Chemie 37
Voorbeeld 13 Enkele verbrandingsreacties.
1 Verbranding van ijzer
4 Fe + 3 O2 ⇒ 2Fe2O3
2. Verbranding van methaan (CH4)
CH4 + 2 O2 ⇒ CO2 + 2 H2O
3 Verbranding van C6H5NO2Cl
4 C6H5NO2Cl + 37 O2 ⇒ 24 CO2 + 10 H2O + 2 N2O5 + 2 Cl2O7
Opmerking: omdat bij de verbranding geen ionen betrokken zijn, heeft deze reactie geen essentiële vergelijking.
B.3. Reacties van onedele metalen met een zuur. Onedele metalen reageren met een zuur tot vorming van een zout en waterstofgas (H2). Dit gas ontsnapt uit het reactiemengsel. Voorbeeld 14 Zink reageert met waterstofchloride
Zn + 2 HCl ⇒ ZnCl2 + H2↑
De essentiële reactie is: Zn + 2 H+ ⇒ Zn2+ + H2↑
Opmerking: edele metalen (Au, Pt, Ag) en halfedele metalen (Cu, Hg) reageren op een andere manier met zuren. Deze reacties behoren tot de complexe oxidoreductiereacties (zie verder).
5. Oefeningen. Schrijf van de volgende reacties de reactievergelijking. Geef, indien van toepassing, ook de essentiële vergelijking. 1. Zwavelzuur met natriumsulfide. 2. Calciumoxide met zwaveltrioxide. 3. Lithiumoxide met zwavelzuur. 4. Thermolyse van aluminiumcarbonaat. 5. Ammoniumchloride met kaliumhydroxide. 6. Zilversulfiet met waterstofchloride. 7. Thermolyse van koper(I)sulfaat. 8. Aluminiumoxide met waterstofchloride. 9. Reactie van chloorzuur op zink. 10. Aluminiumoxide met waterstoffosfaat. 11. Reactie van perchloorzuur op magnesium. 12. Aluminiumcarbonaat met zwavelzuur. 13. Lood(II)nitraat met kaliumchloride. 14. Oplossen van zwaveldioxide in water.
Chemie 38
15. Thermolyse van koper(II)fosfaat. 16. Het oplossen van koolstofdioxide in een oplossing kaliumhydroxide. 17. Reactie van natriumhydroxide met waterstofarsenaat. 18. Het oplossen van lithiumoxide in water. 19. De verbranding van C4H4S 20. De reactie van natriumsulfaat met bariumnitraat.
Chemie 39
