Informe Metodo de Steffensen
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8/12/2019 Informe Metodo de Steffensen
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UNIVERSIDAD AUTNOMAGABRIEL RENMORENO
FACULTAD DE INGENIERA EN CIENCIASDE LA COMPUTACIN Y TELECOMUNICACIONES
TEMA:
MTODO DE STEFFENSEN
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIN Y TELECOMUNICACIONES
MATERIA: MTODOS NUMRICOSINTEGRANTES:
OLEGARIA PANOZO LEYGUE
FECHA:
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NDICE1. INTRODUCCIN ...................................................................................................................... 2
2. BIOGRAFIA .............................................................................................................................. 3
3. MARCO TERICO .................................................................................................................. 4
3.1. CONCEPTO DEL METODO DE STEFFENSEN ........................................................ 4
3.2. FORMULAS PARA APLICAR EL MTODO .............................................................. 4
3.2.1. TEOREMA ...................................................................................................................... 4
3.2.2. PRUEBA ......................................................................................................................... 5
3.3. EJEMPLOS DEL MTODO ........................................................................................... 6
3.4. EL ALGORITMO DEL MTODO DE STEFFENSEN ................................................ 8
3.6. VENTAJAS ....................................................................................................................... 9
3.7. DESVENTAJAS ............................................................................................................... 93.8. IMPORTANCIA................................................................................................................. 9
3.9. CONCLUSIN ................................................................................................................ 11
3.10. APLICACIONES............................................................................................................... 11
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1. INTRODUCCIN
En la resolucin de ecuaciones no lineales nos aparecen muchos problemas en
forma natural, con la necesidad de calcular el valor de donde una funcin seanula, es decir, una raz de
. En general, con las herramientas analticas que se
usan para estudiar y graficar funciones suaves (derivables) slo podemos analizar
si hay un intervalo ,donde el grfico de cruza el eje .
En muchas ocasiones, slo tiene sentido encontrar una solucin aproximada. A
veces, el clculo exacto no es posible ya sea porque se trata de una raz irracional
2o porque la funcin viene dada por coeficientes cuyos valores seconocen slo en forma aproximada.
Lo importante al utilizar mtodos que estimen el valor deseado es poder controlar
el error que se comete al utilizar un valor aproximado en lugar del exacto.
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2. BIOGRAFIA
Johan Frederick Steffensen Naci en Dinamarca el ao 1873, fue un importante
matemtico, estadstico y actuario, a lo largo de su vida realiz una investigacin
en los campos del clculo de diferencias infinitesimales y la interpolacin.
Steffensen dio ctedra de Ciencia Actuaria en la Universidad de Copenhague
desde 1923 hasta 1943.La inecuacin de Steffensen y el Mtodo de Steffesen fue
nombrado despus de su fallecimiento el ao 1961. El mtodo de Steffensen es
un algoritmo para obtener los ceros de una funcin. El mtodo de Steffensen se
puede considerar como una combinacin del mtodo de punto fijo y del mtodo de
Aitken. El mtodo de Aitken es la aceleracin de mtodos, por lo tanto podemos
definir este mtodo como el mtodo de punto fijo acelerado.
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3. MARCO TERICO
3.1. CONCEPTO DEL METODO DE STEFFENSEN
El mtodo de Steffensen se puede considerar como una combinacin del
mtodo del punto fijo y del mtodo de Aitken. Para construir la sucesin de lasaproximaciones }, en todo tercer paso se usa la frmula de Aitken, y en losdems pasos se aplica la frmula ;
Hay casos en los que la convergencia de la sucesin () obtenida medianteun mtodo iterado es demasiado lenta y, en consecuencia, no resulta de
utilidad en situaciones prcticas. As, es preciso transformar dicha sucesin en
otra que converja ms rpidamente al mismo lmite (raz).
3.2. FORMULAS PARA APLICAR EL MTODO
3.2.1. TEOREMASea { { 0 0 el esquema de (la sucesin)
De punto fijo
: , , . , .
Existe q tal que 0 < 1 y || < 1para todo , .
0Para
el punto fijo de g.
Entonces converge al menos linealmente a , cuando .
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3.2.2. PRUEBA
|+| |+ | | | | | ||
Con entre y . Como cuando y est entre y
Entonces la sucesin tambin converge a cuando . Luego
lim| 1|
|| l i m||
|| lim|| lim
Por lo tanto lim|+|
|| < 1 , de donde la convergencia es
lineal.
Por el Teorema la sucesin de aproximaciones sucesivas convergelinealmente a , cuando con constante asinttica < 1, entoncestiene sentido aplicar el mtodo de Aitken a sta sucesin. Es as comouna combinacin entre el mtodo de aproximaciones sucesivas y el
mtodo de Aitken producen un mtodo conocido como el Mtodo deSteffensen, el cual consiste en calcular la sucesin:
+
() 2 .
Algortmicamente el Mtodo de Steffensen para acelerar el mtodo de
punto fijo se puede expresar de la siguiente manera. Sea laaproximacin inicial en el mtodo de punto fijo, entonces se toma:
()
()
() [ ]
2
()
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()
() [ ]
2
3.3. EJEMPLOS DEL MTODO
Teniendo los puntos ,,reemplazamos en la frmula general deSteffensen 1 2
Dada la funcin: 1y el punto inicial 1calcularLa raz de la ecuacin con error absoluto de 0,005.1er Paso:Se debe calcular el ).Para obtener se debedespejar la variable de mayor exponente, en el presente casosera Igualando la ecuacin a 0(cero)
1 0Despejamos tenemos
1 =2do Paso: Dado el punto inicial 0 1, calculamos0reemplazandoen el valor de
1
= 1
1.25992105
3er Paso: Con 0calculamos, reemplazando el valoren
1.312293837
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4to Paso: Calculamos 1con la frmula:
1 2
2
5to Paso:Calculamos error relativo porcentual con la frmula
Correspondiente:
=100
Repetimos desde el 2do Paso las iteraciones que sea necesarias
Para satisfacer la condicin que de error que nos dan
+ %0 1 1,25992165 1,322293873 1,325509316 1 1,325509316 1,324868256 1,324746505 1,324717961 0,062 1,324717961 1,324717958 1,324717957 1,324717957 0,000003
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3.4. EL ALGORITMO DEL MTODO DE STEFFENSEN
En pseudocdigo el Mtodo de Steffensen se puede expresar como sigue:
Entrada:N, Tol, , gSalida:Aproximacin de o mensaje de error
Paso 1. 2Paso 2.Mientras , siga los pasos 36Paso 3.
+Paso 4.Si | |
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3.6. VENTAJAS
El mtodo de Steffensen presenta una convergencia rpida y no requiere,
como en el caso del mtodo de la secante, la evaluacin de derivada
alguna. Presenta adems, la ventaja adicional de que el proceso deiteracin slo necesita un punto inicial.
La eficiencia de un mtodo numrico depende, en parte, de la rapidez con
la cual la sucesin } converge a ,donde rapidez significa el nmeromnimo de iteraciones necesarias para tener a una distancia dada dela raz , es decir, tal que | | < para algn > 0dado.
3.7. DESVENTAJASSi aplicamos Steffensen en algoritmos de orden cuadrtico puede que no lo
acelere o que haga que una funcin que era divergente la transforme en
convergente (incluso llegar a cambiar la convergencia de una funcin).
3.8. IMPORTANCIA
Steffensen es un tipo de mtodo de gran importancia para la resolucin de
ecuaciones numricas. Son mtodos que se basan en construir unasucesin } en la forma siguiente:
Dado,+ , 0,1,2,
Donde la funcin se determina a partir de la funcin F que define laecuacin a resolver: 0.
A la hora de estudiar el mtodo se plantean las siguientes cuestiones:
1. Cualquiera que sea , Pertenece siempre al dominio de ?. Si larespuesta fuese negativa. No podra construirse la sucesin.
Por ejemplo, esto ocurre con que slo est definida comofuncin real para los positivos:
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1, 1, 1 .2. Si la sucesin puede construirse, lim ?.3. Si la sucesin es convergente, Es su lmite una raz de 0?.
El problema planteado en la primera cuestin puede resolverse imponiendo
la siguiente hiptesis sobre:
Hipotesis1:Existe un intervalo , .
Hipotesis2:es continua en , .
En efecto, si la sucesin es convergente:
l i m 1 l i m .Esto es, es un punto fijo de . Por tanto, si toda solucin de la ecuacin 0es tambin solucin de 0 , es una raz de . As pues,nos interesan aquellastales que 0sea equivalente a 0.
Se tiene el siguiente resultado:
Teorema: Sea continua y tal que . Entonces tiene, almenos, un punto fijo en .En todos estos casos se puede observar que para tener convergencia
necesitamos que la pendiente deen el punto fijo tenga mdulo menor que1. Esto sugiere imponer la siguiente hiptesis sobre :
Hipotesis3:es contractiva en , , es decir:
0,1 | | | |,, .
(Debe tenerse en cuenta que H3 H2.)
Hemos visto hasta ahora que exigiendo a las hiptesis H1, H2 y H3 seaseguraba la convergencia global del mtodo, esto es, la sucesin
converge al punto fijo de cualquiera que sea el punto inicial en .
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3.9. CONCLUSIN
En conclusin, tenemos que el mtodo de Steffensen conocido tambin
como mtodo de aceleracin de Aitken converge ms rpido a que lasucesin original . ste mtodo es bueno en algunos casos, y no loes tanto en otros. Si lo utilizamos para acelerar una funcin de orden lineal
la converge en una cuadrtica, mientras que si lo utilizamos en una
cuadrtica puede que nos lleve a errores de clculo importantes.
3.10. APLICACIONES
Una de las aplicaciones de este mtodo numrico es la aceleracin de
convergencia. Como ya sabemos, bajo ciertas condiciones el mtodo de
iteracin de punto fijo converge linealmente si 0 y convergecuadrticamente si
0. Resulta que en el caso de convergencia lineal existen mtodospara acelerar la convergencia. En esta situacin es muy conveniente el uso
del mtodo de Steffensen.
