Ines Hukic / Jan Otto Kranenborg

Workshop 8 juni 2012

LogicaWiskunde D

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen

Hoe het begon

• Bijeenkomst Utrecht Wiskunde-D 2008 • Contact met scholen gezocht: Vechtdal

College, Carolus Clusius College, De Noordgouw en Greijdanus College

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen

De module Logica – Opbouw en Uitvoering

• Werkwijze • Start op Windesheim• Alternerend Windesheim (docent

Windesheim) – eigen school (eigen docent)• Combinatie hoorcollege, werkcollege• Proeftoets op eigen school• Toets op Windesheim• Certificeringbijeenkomst op Windesheim

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen

Eerste deel: propositielogica

• We beginnen met een testje

Test

• De volgende test bestaat uit 4 simpele vragen. De uitkomst van de test geeft aan of u zich een ervaren professional kunt noemen.

• De vragen zijn erg simpel dus we vragen om uw eerlijkheid. Bekijk de antwoorden niet voor u zelf antwoord hebt gegeven.

Test – Vraag 1

• Hoe zou u een giraffe in de koelkast stoppen?

Test – Antwoord 1

• Open de deur van de koelkast, stop de giraffe erin en sluit de deur.

• Deze vraag test uw neiging tot het zoeken van ingewikkelde oplossingen voor simpele vraagstukken.

Test - vraag 2

• Hoe zou u een olifant in de koelkast stoppen?

Test - antwoord 2

• Als u heeft geantwoord: “Open de deur van de koelkast, olifant erin en deurtje dicht”, dan heeft u FOUT geantwoord!

• Het juiste antwoord is: Open de deur van de koelkast, HAAL DE GIRAFFE ERUIT, duw de olifant er in en sluit de deur.

• Deze vraag benadrukt uw capaciteit om de consequenties van eerdere acties in te schatten.

Test – vraag 3

• De koning van het woud, de leeuw, heeft een feest georganiseerd in de jungle.

• Alle dieren zijn aanwezig, behalve één.• Welk dier mist op het feest?

Test – antwoord 3

• Het correcte antwoord: DE OLIFANT

• Herinnert u zich nog dat de olifant zich in de koelkast bevindt?

• Deze vraag test uw geheugen

Test – vraag 4

• Goed, indien de uitkomst van de vorige drie vragen niet erg positief is heeft u nog één mogelijkheid om uzelf te bewijzen als een ware “professional”.

• Vraag 4 en laatste kans:

• U moet een diepe rivier waar krokodillen wonen, oversteken. Hoe gaat u dit doen?

Test – antwoord 4

• Correcte antwoord: U ZWEMT HEEL RUSTIG EN ONTSPANNEN NAAR DE OVERKANT.

• Waarom??

• Alle krokodillen zijn naar het feest in de jungle dat door de leeuw wordt georganiseerd.

• Deze vraag test uw vermogen tot het leren van vorige fouten.

Test

• 90% van de mensen zoals u, die deze test gedaan heeft, beantwoordt meerdere vragen foutief.

• Anderzijds beantwoordt de meerderheid van de kleuters een groot deel van de vragen correct.

• Hiermee is aangetoond dat professionals een mentaal vermogen hebben dat overeenkomt met het mentale vermogen van een kind van 4 jaar.

Waar denk je aan bij het woord

“logica”?

Hoe beginnen we de cursus?

Wat zegt Google ?

Wat zegt google?

Wat zegt google?

Wat zegt google?

Wat zegt google?

Wat zegt google?

Wat zegt google?

Wat zegt Van Dale?

www.vandale.nl

U hebt gezocht op het woord: logica.

RESULTAAT•  lo·gi·ca de; v

• 1 leer vh geldig redeneren • 2 juiste manier van redeneren

Wat zegt Wikipedia?

λόγος (logos) • betekenis, woord, idee, argument, rede of principe.

Logica: de leer van het strenge betoog• omvat sinds Aristoteles als hoofdbestandsdelen[1]:

• de leer van de bewering, definitie, gevolgtrekking, wetenschappelijk bewijs

• onderzoekt en classificeert de structuur van beweringen en argumentaties

Wat zegt Wikipedia

Soorten logica’s• Syllogisme of syllogistiek — De eerste formele logica • Propositielogica — Proposities eenvoudige beweringen, waar of onwaar. • Predicatenlogica —een uitbreiding van de propositielogica. • Typenlogica —predicaten van een willekeurige orde. • Modale logica — Formaliseert modaliteiten. • Niet-monotone logica – (..) verwerpen van eerder geldige conclusies • Tijdslogica — Formaliseert temporele informatie. • Meerwaardige logica waaronder Fuzzy logic — …• Preferentiële logica• Paraconsistente logica• Wiskundige logica

Gaan wij doen!

Waarom is helder redeneren belangrijk?.. wat Johan Cruijff quotes…

• 'Je gaat het pas zien als je het doorhebt.’• 'Het is veel moeilijker om goed te spelen, dan

om te voorkomen dat je slecht speelt.' • 'Italianen kennen niet van je winnen, maar je

ken wel van ze verliezen.' • 'Ik maak eigenlijk nooit fouten want ik heb

enorme moeite om me te vergissen.' • 'Je moet schieten, anders kun je niet scoren.'

Propositielogica

Proposities

• “1 + 1 = 2”• “Ik krijg nu koffie”• “Ajax heeft gisteren gewonnen”• “10 x 2 = 30”• “De nieuwe cd van Metallica kost €15,99”

Een propositie is een bewering die waar of onwaar is.

Géén proposities

• “Men neme een lepel”• “Doe normaal!”• “Is er nog boerenkool?”• “De nieuwe cd van

Metallica is goed”

Samenstellen van proposities

• (Ik ga met de trein) EN (ik ga met de fiets)• (Het smaakt zoet) OF (het smaakt bitter)• ALS (az verliest) DAN (is psv kampioen)• Ik neem GEEN suiker• ALS (ik suiker krijg OF ik melk krijg) DAN (krijg ik een

lepeltje EN een koekje)• …

• Dit zijn zelf ook weer proposities!• = Samengestelde proposities

Wat betekent dit eigenlijk?

Conclusie van deze vragen/antwoorden?• “Wil je koffie of thee?” Ja!• “Met melk en suiker?” Nee…• “Je geld of je leven!” Ja.• “Kom je vandaag niet?” Nee.• “Als je blond bent, dan ben je slim” Ja.

Hoe zit dat nou precies? Stel, je hebt…

• Kopje zwarte koffie• Melk• Suiker

• Welke smaken kun je maken?• Geen melk, geen suiker• Geen melk, wel suiker• Wel melk, geen suiker• Wel melk, wel suiker

Combinaties

Melk SuikerX XX VV XV V

Melk en suiker?

Melk Suiker M en SX X ?X V ?V X ?V V ?

• Ik wil melk én suiker• Wanneer ben ik blij??

Melk en suiker?

Melk Suiker M en SX XX VV XV V

• Ik wil melk én suiker• Wanneer ben ik blij??

Conjunctie (=“en”)

M S M Λ S0 0 00 1 01 0 01 1 1

Waarheids-tabel

0 Λ 0 = 0

0 Λ 1 = 0

(etc.)

0 = “Onwaar”

1 = “Waar”

Conjunctie (=“en”)

Dus:• 0 Λ 0 = 0• 0 Λ 1 = 0• 1 Λ 0 = 0• 1 Λ 1 = 1

Melk of suiker?

Melk Suiker M of SX XX VV XV V

• Harry houdt van melk of suiker• Wanneer is hij blij??

Disjunctie (=“of”)

M S M V S0 0 00 1 11 0 11 1 1

Waarheids-tabel

0 v 0 = 0

0 v 1 = 1

(etc.)

Of melk, óf suiker?

Melk Suiker óf M óf SX XX VV XV V

• Mieke wil óf melk óf suiker• Wanneer is ze tevreden?

Exclusief-of

M S M Δ S0 0 00 1 11 0 11 1 0

Waarheids-tabel

0 Δ 0 = 0

1 Δ 0 = 1

(etc.)

Geen melk

Melk Geen MXV

• Fritsie wil geen melk

Negatie

M ¬M0 11 0

Waarheids-tabel

¬0 = 1

¬1 = 0

Dus: het tegenovergestelde!

Als melk, dan ook suiker

Melk Suiker Als M dan SX XX VV XV V

• Marlies: • “Het maakt me niet uit hoor, maar áls er melk in

zit, dan ook suiker!”

• Wanneer is ze tevreden?

Implicatie

M S M =>S0 0 10 1 11 0 01 1 1

Waarheids-tabel

0 => 0 = 1

0 => 1 = 1

(etc.)

Implicatie

• Implicatie is het moeilijkst• Tip: uit hoofd leren:

• Implicatie alléén NIET waar bij 1 => 0

• Nog wat oefeningen…

Trakteren

• Belofte: • “Als ik dit jaar de jackpot win, dan trakteer

ik alle wiskunde-D leerlingen volgend jaar op een etentje.”

• Proposities: ik win, ik trakteer• Belofte: W => T

Mogelijkheden

1. Ik win niet en trakteer niet

2. Ik win niet en trakteer wel

3. Ik win wel en trakteer niet

4. Ik win wel en trakteer wel

• Bij welke optie(s) worden jullie boos cq. kom ik mijn belofte niet na?

Als melk, dan ook suiker

• Marlies wil, áls er melk in zit, dan ook suiker!• Gegeven: er zit suiker in; • zit er dan ook zeker weten melk in?

M S M =>S0 0 10 1 11 0 01 1 1

Géén conclusie

aan te verbinden

dus!

Als melk, dan ook suiker

• Marlies wil, áls er melk in zit, dan ook suiker!• Gegeven: er zit melk in; • zit er dan ook zeker weten suiker in?

M S M =>S0 0 10 1 11 0 01 1 1

Nu wel conclusie

aan te verbinden

dus!

Oefening melk en suiker

• Opgave A:• Gegeven: er zit géén suiker in; • zit er dan ook zeker weten geen melk in?

• Opgave B:• Gegeven: er zit géén melk in; • zit er dan ook zeker weten suiker in?

M S M =>S

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Oefening: bewijs

Bewijs opg. A m.b.v. een waarheidstabel:• M=>S is gelijk aan ¬S => ¬M • Hint: vul in en vergelijk:

M S ¬S ¬M ¬S => ¬M M =>S

0 0 .. .. .. 1

0 1 .. .. .. 1

1 0 .. .. .. 0

1 1 .. .. .. 1

Equivalentie

W I Alleen als W dan IX XX VV XV V

• Alléén als je wachtwoord goed is, dan word je ingelogd (maar alléén dan!)

Equivalentie(“dan en slechts dan als”)

W I W <=>I0 0 10 1 01 0 01 1 1

Waarheids-tabel

Oefening: bewijs

Bewijs m.b.v. een waarheidstabel:• (M<=>S) is gelijk aan (M=>S Λ S=>M)• Hint: vul in, kijk en vergelijk:

M S M =>S S =>M M =>S Λ S =>M M <=>S

0 0 .. .. .. 1

0 1 .. .. .. 0

1 0 .. .. .. 0

1 1 .. .. .. 1

Oefening: bewijs

Bewijs m.b.v. een waarheidstabel:• (M<=>S) is gelijk aan (M=>S Λ S=>M)• Hint: vul in, kijk en vergelijk:

M S M =>S S =>M M =>S Λ S =>M M <=>S

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Oefening: luchtsluizen

Twee deuren, buitendeur en binnendeur

A betekent: buitendeur is open

B betekent: binnendeur is open

Eis: Deuren mogen niet tegelijk open staan,

dus ¬ (A Λ B)

a. Hoe kun je volgens De Morgan deze uitdrukking anders schrijven?

Oefening: luchtsluizen

Als het goed is heb je o.a. het V teken gebruikt (inclusieve OF).

b. Wat zou het betekenen als hier het exclusieve OF had gestaan?

Het is mogelijk om een samenstelling te maken met V, Λ en ¬ die dezelfde waarheidstabel oplevert als het exclusieve OF.

c. Probeer zo’n samenstelling te maken.

• Propositie: bewering die waar of onwaar is• Waarheidstabel:

• Conclusie: je kunt nu helder redeneren!

Samenvatting

M S ¬M ¬S M v S M Δ S M Λ S M =>S M <=>S

0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1 1

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen

Tweede deel Predicatenlogica

Predikatenlogica

• Wat nu wanneer een uitspraak willen voor alle elementen van een verzameling? Of voor minimaal één element hiervan?

Predikatenlogica

• Voor alle…..• Voor minimaal één.….• • (x > 0) : Voor iedere x geldt: x > 0• (x > 0) : Er is een x waarvoor geldt:

x > 0

Predikatenlogica

• (x > 2) : Voor iedere x geldt: x > 2• (x > 2) : Er is een x waarvoor geldt:

x > 2• De eerste uitspraak is niet waar voor de

natuurlijke getallen (kies bijv. x=1, dan geldt de uitspraak niet)

• De tweede uitspraak is waar (kies bijv. x=3)

Predikatenlogica

• Ook combinaties mogelijk van en• x y (x + y = 5):• Voor elke x is er een y te vinden zodat

x + y = 5. Deze uitspraak is niet waar voor de natuurlijke getallen (bijv. bij x = 6 is geen y te vinden), maar is wel waar voor de gehele getallen (bij een x hoort de y = 5 - x)

Predikatenlogica

• Let op de volgorde van en• x y (x + y = 5):

Er is een x zodat voor elke y geldt dat

x + y = 5.

Deze uitspraak is niet waar, want de y is afhankelijk van de x. Bijv. bij x = 1 hoort een andere y (nl 4) dan bij x = 2 (nl 3)

Predikatenlogica

• Let op de volgorde van en• Voorbeeld. Domein: apen • Welke uitspraken zijn waar?

x y (x is vader van y)

y x (x is vader van y)

y x (x is vader van y)

x y (x is vader van y)

Predikatenlogica

• Let op de volgorde van en• Voorbeeld. Domein: apen • Welke uitspraken zijn waar?

x y (x is vader van y) Niet waar

y x (x is vader van y) Niet waar

y x (x is vader van y) Waar

x y (x is vader van y) Niet waar

Wat gaan we doen?

• Hoe het begon• De module Logica – Opbouw en

uitvoering• Eerste deel – propositielogica• Tweede deel predicatenlogica• Leerlingen vertellen over hun

ervaringen